MÉTODOS ELÉCTRICOS INGENIERÍA EN GEOCIENCIAS CIENCIAS DE LA TIERRA CVE.:4523 GPO.: C 16:00-17:00 HRS AULA: U11 Equipo: C OULOMBS ORTÍZ ROSALES CINDY L. OSORIO VALLEJO NOHEMI OSORIO ORTIZ ADRIANA M. PACHECO AVIÑA IVAN RIVAS MALDONADO GILBERTO E. CASTILLO FLORES ADHEMAR ING. MARTINEZ FLORES MIGUEL
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Campo eléctrico, Ley de Gauss, Practica: Jaula de Faraday
1 El campo eléctrico 1.1 Ley de Coulomb 1.2 Campo eléctrico (E) 1.3 Movimiento de cargas en campos eléctricos
2 Ley de Gauss 2.1 Flujo eléctrico 2.2 Ley de Gauss para el campo electrico
Practica: JAULA DE FARADAY
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MÉTODOS ELÉCTRICOS
INGENIERÍA EN GEOCIENCIAS CIENCIAS DE LA TIERRA
CVE.:4523 GPO.: C 16:00-17:00 HRS AULA: U11
Equipo: C OULOMBS
ORTÍZ ROSALES CINDY L. OSORIO VALLEJO NOHEMI OSORIO ORTIZ ADRIANA M.
PACHECO AVIÑA IVAN RIVAS MALDONADO GILBERTO E.
CASTILLO FLORES ADHEMAR
ING. MARTINEZ FLORES MIGUEL
E L CAMPO ELECTRICO
1.1 LEY DE COULOMB
La ley de Coulomb puede expresarse como:
La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas. Se nombra en reconocimiento del físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que la enunció en 1785 y forma la base de la electroestática.
Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que
determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste
en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra
tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de
torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en
un punto de la barra.
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario.
La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las
cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas son negativas
o positivas.
En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a
continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada.
Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.
Dichas mediciones permitieron determinar que:
La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de
las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un
factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza
era proporcional al producto de las cargas:
y
En consecuencia:
Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción
disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al
cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En
consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:
Asociando ambas relaciones:
Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la
relación anterior en una igualdad:
Variación de la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales en función de la
distancia.
Enunciado de la Ley:
La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando
no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se
realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que
es llamada fuerza electrostática.
En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos
cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se
Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma
vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas.
Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la figura.
El módulo del campo eléctrico
producido por cada una de las
cargas es
Y las componentes del campo total
son
Como el campo es tangente a las líneas
de fuerza, la ecuación de las líneas de
fuerza es
Tal como se muestra en la figura.
El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales
debidos a cada una de las cargas en dicho punto.
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipotenciales es
SUPERPOSICIÓN DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS
La descripción de la influencia de una carga aislada en términos de campos puede
generalizarse al caso de un sistema formado por dos o más cargas y extenderse
posteriormente al estudio de un cuerpo cargado. La experiencia demuestra que las
influencias de las cargas aisladas que constituyen el sistema son aditivas, es
decir, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un
punto cualquiera del espacio que rodea dos cargas Q1 y Q2 será la suma vectorial
de las intensidades E1 y E2 debidas a cada una de las cargas individualmente
consideradas.
Este principio de superposición se refleja en el mapa de líneas de fuerza
correspondiente. Tanto si las cargas son de igual signo como si son de signos
opuestos, la distorsión de las líneas de fuerza, respecto de la forma radial que
tendrían si las cargas estuvieran solitarias, es máxima en la zona central, es decir,
en la región más cercana a ambas.
Si las cargas tienen la misma magnitud, el mapa resulta simétrico respecto de la
línea media que separa ambas cargas. En caso contrario, la influencia en el
espacio, que será predominante para una de ellas, da lugar a una distribución
asimétrica de líneas de fuerza.
1.3 MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN
CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
Cuando una partícula de carga q y masa m se sitúa en un campo eléctrico E. la
fuerza eléctrica ejercida sobre la carga es q E . Si ésta es la única fuerza ejercida
sobre la partícula, debe ser la fuerza neta y, por ende, debe causar que la
partícula se acelere. En este caso la segunda ley de \newton aplicada a la
partícula produce
Por tanto, la aceleración de la partícula es
Si E es uniforme (es decir, constante en magnitud y dirección), entonces la
aceleración es constante. Si la partícula tiene una carga positiva, la aceleración
está en la dirección del campo eléctrico. Si la partícula tiene carga negativa,
entonces la aceleración es en la dirección opuesta del campo eléctrico.
El campo eléctrico en la región entre 2 placas metálicas planas con cargas
opuestas es casi uniforme (Fig. 6.1). Suponga que un electrón de carga —c se
proyecta horizontalmente dentro de este campo a una velocidad inicia! v\. Puesto
que- el campo eléctrico E en la figura 6.1 está en la dirección y positiva, la
aceleración fiel electrón es en la dirección y negativa. Es decir:
Ya que la aceleración es constante, se pueden aplicar las ecuaciones de la
cinemática en dos dimensiones con V xi = V i y V yi . Después de que el electrón
ha estado en el campo eléctrico durante un tiempo t, las componentes de su
velocidad son
V x = V i = constante
Un electrón se lanza horizontalmente en un campo eléctrico uniforme producido
por dos placas cargadas . El electrón experimenta una aceleración descendente
(opuesta a E) y su movimiento es parabólico mientras está entre las placas.
ECUACION 6.5
ECUACION 6.6
Al sustituir el valor t = x/ V i , de la ecuación 6.5, en la ecuación 6.6, se ve que y es
proporcional a x². Por tanto, la trayectoria es una parábola. Después de que el
electrón abandona el campo continúa moviéndose en una línea recta en la
dirección de v en la figura 6.1, obedeciendo la primera ley de Newton, a una
rapidez v > v t . Observe que se ha ignorado la fuerza gravitacional que actúa
sobre el electrón.
Esta es una buena aproximación cuando se trabaja con partículas atómicas. Para
un campo eléctrico de 10 4 N/C, la relación entre la magnitud de la fuerza
eléctrica e.E y la magnitud de la fuerza gravitacional mg es del orden de 10 14
para un electrón y del orden de 10 11 para un protón.
L EY DE GAUSS Y FLUJO ELECTRICO
2.1 FLUJO ELECTRICO
¿Qué es el flujo de campo eléctrico?
El matemático y físico alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855) estableció una relación entre el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada y la carga almacenada en su interior.
El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (ΦE) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio (N·m2/C).
Esta definición comprende dos conceptos importantes:
Por un lado, el número de líneas de fuerza, que como ya estudiamos anteriormente es siempre proporcional al módulo de la intensidad del campo eléctrico.
Por otro, la superficie que atraviesan dichas líneas de fuerza. Cada superficie plana se puede representar por medio de un vector S→ que se caracteriza porque:
S→ es siempre perpendicular a dicha superficie.
El módulo de S→ equivale al área de la superficie.
Para calcular el flujo eléctrico consideraremos varios casos:
Campo eléctrico uniforme o Superficie plana perpendicular al campo eléctrico. o Superficie plana no perpendicular al campo eléctrico.
Campo eléctrico no uniforme o Superficie cualquiera abierta. o Superficie cualquiera cerrada.
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA PERPENDICULAR
Si nos atenemos a la definición de flujo eléctrico, cuando disponemos de un campo eléctrico uniforme E→ y una superficie S→, el flujo eléctrico (ΦE) se puede calcular por medio de la siguiente expresión:
ΦE=E→·S→
Si consideramos que la superficie es perpendicular al campo eléctrico (es decir, S y E forman un ángulo de 0º entre ellos), aplicando la definición de producto escalar obtenemos que:
ΦE=E→·S→=E·S·cos 0 =E·S
El flujo eléctrico que atraviesa una superficie plana perpendicular a un campo eléctrico uniforme, viene determinado por la siguiente expresión:
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA NO PERPENDICULAR
En este caso, el ángulo (α) que forman el vector E→ y el vector S→ no es 0, por tanto el flujo eléctrico dependerá de dicho ángulo:
ΦE=E→·S→=E·S·cos α
El flujo eléctrico (ΦE) que atraviesa una superficie plana S→ no perpendicular a un campo eléctrico uniforme E→, viene determinado por la siguiente expresión:
ΦE=E·S·cos α
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE ABIERTA.
Lo más común es que los campos eléctricos no sean uniformes y las superficies no sean planas. En este caso, para calcular el flujo eléctrico es necesario dividir la superficie en pequeñas superficies elementales (dS→), cuyo carácter infinitesimal nos permita considerar que E→ en cada una de esas superficies elementales es constante. De esta forma, podemos definir el flujo que atraviesa cada superficie elemental de la siguiente forma:
dΦ=E→·dS→
Una vez conocido el flujo que atraviesa cada superficie elemental, el flujo total que atraviesa toda la superficie será la suma de todos esos diferenciales de flujo.
El flujo eléctrico que atraviesa una superficie no plana y creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:
ΦE=∫SE→·dS→
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME A TRAVÉS DE CUALQUIER TIPO DE SUPERFICIE CERRADA.
Basándonos en el flujo de campo eléctricos no uniformes que atraviesan superficies abiertas, es posible deducir que si disponemos de una superficie cualquiera cerrada, el flujo en dicha superficie se puede obtener como la suma de los flujos de cada una de las superficies abiertas que constituyen dicha superficie.
El flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:
ΦE=∮SE→·dS→
En clase definimos la cantidad de flujo como la cantidad de energía que penetra
una superficie por unidad de tiempo.
Y el flujo eléctrico como el número de
líneas de campo que pasa por una
superficie determinada.
Una imagen representando el flujo
eléctrico.
Un flujo eléctrico uniforme
atraviesa un área, las líneas de fuerza
en la figura señalan que el campo es
uniforme.
Cuando el área de superficie se gira deja de ser perpendicular el campo
eléctrico, el flujo se reduce, hay un menor número de líneas de campo a través de
ella. Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el
área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de
la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define
mediante el producto escalar.
EJEMPLOS
Una lámina plana tiene forma rectangular, con lados cuya longitud es de 0.400 m y 0.600 m. Se introduce la lámina en un campo eléctrico uniforme con una magnitud de 75.0 N/C y cuya dirección forma un ángulo de 20o con respecto al plano de la lámina (ver figura). Halle la magnitud del flujo eléctrico a través de la lámina. Datos: E = 75 N/C Base = 0.6 m Altura = 0.4 m Calcular la magnitud del flujo eléctrico. ΦE = EA Senθ ΦE = 75 (0.6 x 0.4) Sen (20) ΦE = 6.16 Nm2/ C
Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico total vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. Datos: E = 52 N/C Base = 6m Altura = 6m Calcular el flujo eléctrico total. ΦE= EA ΦE = 52 (6x6) ΦE = 1872 Nm2/C
2.2 LA LEY DE GAUSS
Puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una
jaula de Faraday (Un volumen V sin carga eléctrica rodeado por una superficie
conductora cerrada S). El potencial φ en el interior del conductor cumple la
ecuación de Laplace: ∇2φ = 0 ∀r∈V Dado que el conductor está en equilibrio en su
superficie no hay corrientes, de modo que el potencial en su superficie es
constante:φ|S=φ0.
En virtud del teorema de unicidad del potencial el potencial que cumple tales
condiciones es único y puede verse que la solución es trivialmente: φ = φ0 ∀r ∈ R.
Por lo tanto E = −∇φ = 0
De modo que el campo eléctrico en el interior es nulo.
◦ Evitar el ruido molesto de las interferencias entre el teléfono móvil y su altavoz.
◦ Dejar sin señal: (teléfonos móviles, módems, etc.)
◦ Evitar interferencias entre altavoces y una frecuencia de radio.
J AULA DE FARADAY
Una jaula de Faraday es una caja metálica que protege de los campos eléctricos
estáticos. Debe su nombre al físico Michael Faraday, que construyó una en 1836.
Se emplean para proteger de descargas eléctricas, ya que en su interior el campo
eléctrico es nulo.
El funcionamiento de la jaula de Faraday se basa en las propiedades de un
conductor en equilibrio electrostático. Cuando la caja metálica se coloca en
presencia de un campo eléctrico externo, las cargas positivas se quedan en las
posiciones de la red; los electrones, sin embargo, que en un metal son libres,
empiezan a moverse puesto que sobre ellos actúa una fuerza dada por:
𝐹 = 𝑒𝐸𝑒𝑥𝑡
Donde e es la carga del electrón. Como la carga del electrón es negativa, los
electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y, aunque la carga
total del conductor es cero, uno de los lados de la caja (en el que se acumulan los
electrones) se queda con un exceso de carga negativa, mientras que el otro lado
queda con un defecto de electrones (carga positiva). Este desplazamiento de las
cargas hace que en el interior de la caja se cree un campo eléctrico de sentido
contrario al campo externo, representado en azul.
El campo eléctrico resultante en el interior del conductor es por tanto nulo.
Como en el interior de la caja no hay campo, ninguna carga puede atravesarla; por
ello se emplea para proteger dispositivos de cargas eléctricas. El fenómeno se
denomina apantallamiento eléctrico.
PRACTICA 1 Introducción:
Tomando como base la jaula de Faraday, pero orientado más hacia los campos
eléctricos y magnéticos que utilizan los celulares, probaremos entonces que la
jaula de Faraday y la teoría que maneja es cierta con ésta práctica.
Materiales:
Tela de malla
Estaño
Cautín
Celulares
Metodología:
1. Se crea una pequeña jaula, que en nuestro caso fue una especie de caja,
con la ayuda del cautín y el estaño para poder unir los lados de la caja. (Ver
Fig 1 y 2)
2. Una vez ensamblada, se coloca un celular dentro, y se busca la manera de
que este bien cerrada dicha caja, que no queden lados abiertos, y que la
tapa toque muy bien los lados de la caja para un mejor resultado, y así
evitando agujeros que hagan pasar los campos.
3. Se hace una llamada desde otro celular, y si estamos haciendo bien el
sellado de nuestra caja, tal como en nuestra practica se hizo, no entra la
llamada (Ver Fig 3) debido a que el campo electromagnético en el interior
de nuestra jaula es nulo y ésta anula los efectos de campos externos.
4. Para comprobar que era cierto, y no solo casualidad, decidimos abrir la caja
y realizar otra llamada, y ésta vez si entró. (Ver Fig 4)
Fig 1 Fig 2
Fig 3
Fig 4
Conclusión:
Es cierto lo que se dice de la jaula, aunque no podemos ver los campos con los
que el celular trabaja, podemos darnos cuenta que si no entra la llamada
obviamente la jaula es la que hace este efecto, dado que si abrimos la jaula, o la
cerramos de una manera errónea, la llamada entrará normalmente.