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CAMPO E POTENZIALE ELETTROSTATICO Marco Panareo
Campo elettrico
Si definisce vettore campo elettrico EG
il rapporto tra la forza FG
che agisce su una carica di prova positiva 0q ed il valore di
tale carica:
0q
FEGG = ,
tale grandezza si misura in CN . La carica di prova 0q deve
essere sufficientemente piccola da non perturbare la distribuzione
di carica che genera il campo; cos, a rigore, E
G va definito come:
0
00lim
qFE
q
GG= ,
sebbene il limite 0 0q risulti fisicamente privo di senso poich
la carica pi piccola ottenibile quella dellelettrone.
Il concetto di campo consente di interpretare diversamente
lazione che si esplica tra due corpi carichi: possibile rivedere
tale interazione come linterazione tra una carica ed il campo
prodotto dallaltra carica, senza dover far ricorso allazione a
distanza (interazione diretta e istantanea) suggerita dalla legge
di Coloumb. I mutamenti di posizione della carica che si assume dia
origine al campo si propagano nello spazio alla velocit della luce
in accordo con la teoria della relativit.
Assegnata una carica puntiforme q posta a distanza r dalla
carica di prova 0q , secondo la legge di Coloumb si ha:
020
1 4
qqF rr=
G,
cos il campo elettrico prodotto dalla carica puntiforme q dato
da:
20 0
1 4
F qE rq r= =GG
,
(si veda la figura in cui mostrato il campo elettrico prodotto
in
corrispondenza di una carica di prova da una carica puntiforme
positiva, in alto, e negativa, in basso).
Come conseguenza del principio di sovrapposizione, se 1EG
, 2EG
, ..., NEG
sono i campi prodotti da N cariche, allora il campo complessivo
:
1 2 NE E E E= + + +
G G G G .
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2 Campo e potenziale elettrostatico
In particolare, per un sistema di N cariche puntiformi 1q , 2q ,
..., Nq , poste rispettivamente alle distanze 1r , 2r , ..., Nr dal
punto in cui stata posta la carica di prova, si ha:
210
1 4
Ni
ii i
qE rr ==
G
Distribuzioni continue di carica
Qualora la separazione fra le singole cariche di un certo
insieme molto piccola rispetto alla distanza dal punto in cui si
vuole calcolare il campo, possibile considerare tale insieme come
una distribuzione continua di carica.
Consideriamo pertanto una certa distribuzione di carica e
valutiamo il campo elettrico in un punto P. Il contributo al campo
di un elemento q di carica :
20
1 4
qE rr =G ,
dove r la distanza dellelemento q da P. In virt del principio di
sovrapposizione, il campo totale prodotto dallintera distribuzione
approssimativamente dato da:
20
1 4
ii
i i
qE rr = G
dove iq rappresenta li-esimo elemento di carica che costituisce
la distribuzione. Se la separazione fra tali elementi piccola
rispetto alla distanza dal punto P, la distribuzione pu ritenersi
continua, cos, nel limite 0iq si ha:
2 200 0
1 1 lim4 4i
iiq i i Q
q dqE r rr r = = G
dove lintegrazione estesa a tutta la carica Q che costituisce la
distribuzione.
Allo scopo di eseguire tale calcolo si rende opportuno
introdurre il concetto di densit di carica. In particolare, se la
carica distribuita in un volume si definisce:
dqdV
che prende il nome di densit di carica volumetrica e si misura
in 3C m ; se distribuita su di
una superficie:
dqdS
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Campo e potenziale elettrostatico 3
che prende il nome di densit di carica superficiale e si misura
in 2C m ; infine, se la carica distribuita lungo una linea si
definisce:
dqdl
che prende il nome di densit di carica lineare e si misura in C
m . Qualora una carica q uniformemente distribuita in un volume V o
su di una superficie S o lungo
una linea l allora si ha, rispettivamente, q V = o q S = o q l =
. Esempio: (Campo elettrico prodotto da una bacchetta carica).
Consideriamo una bacchetta di lunghezza l lungo la quale
uniformemente distribuita una carica Q con densit . Stabiliamo
lintensit del campo elettrico in un punto situato lungo lasse della
barretta, ad una distanza d da un estremo. Consideriamo unascissa
con origine nel punto O in cui si vuole stabilire il campo.
Allelemento infinitesimo dx della sbarretta, posto a distanza x
dallorigine, corrisponde una carica (si veda la figura): dq dx= cos
il campo elettrico nel punto O dovuto a tale elemento vale: ( )2
2
0 0
1 1 4 4
dq dxdE x xx x
= =
G
essendo dE
G orientato nella direzione opposta dellasse x. Integrando
questa espressione tra d e d l+ si ha:
( )20 0 0 01 1 1
4 4 4 4
d ld l
dd
dx lE x x x xx x d d l d d l
++ = = = = + + G ,
e, in modulo: ( ) ( )0 0
14 4
l QEd d l d d l
= =+ +
,
poich, essendo la carica Q uniformemente distribuita lungo la
bacchetta, di ha l Q = . Si osservi che, a grande distanza dalla
bacchetta, ovvero per d l , risulta:
20
14
QEd ,
cio, a grande distanza la bacchetta assimilabile ad una carica
puntiforme. Esempio: (Campo elettrico prodotto da un anello
carico). Consideriamo lanello di figura, di raggio R lungo il quale
uniformemente distribuita la carica Q. Ci proponiamo di stabilire
lintensit del campo elettrico su un punto situato sullasse
dellanello. Consideriamo unascissa x coincidente con lasse e con
origine O nellintersezione tra lasse e il piano dellanello. Se il
punto P situato a distanza x dallorigine, il campo elettrico dovuto
ad un elemento di carica dq sullanello risulta:
20
14
dqdEr=
-
4 Campo e potenziale elettrostatico
dove r la distanza da dq a P. Il vettore dEG
pu essere decomposto in una componente diretta lungo lasse ed
una perpendicolare a questo, cos, poich per ogni elemento dq c ne
un altro 'dq che genera un campo 'dE
G la cui
componente normale allasse opposta a quella di dEG
, allora il campo in P dovuto alla sola componente di dEG
diretta lungo lasse. Siccome: ( )1 22 2r x R= + , cos
xr
= , si ha:
( ) ( )1 2 3 22 2 2 2 2 20 01 1cos
4 4xx xdqdE dE dq
x R x R x R = = =+ + +
;
integrando infine su q si ha: ( ) ( )3 2 3 22 2 2 20 0
14 4x Q
x xQE dqx R x R = =+ + .
In figura mostrato landamento del campo elettrico lungo lasse x.
Esempio: (Campo elettrico prodotto da un disco carico).
Consideriamo un disco di raggio R sul quale risulta uniformemente
distribuita una carica Q con densit superficiale . Stabiliamo il
campo in corrispondenza di un punto posto sullasse. Consideriamo
lascissa indicata in figura, con origine nellintersezione tra il
disco e lasse, e sia x la coordinata del punto P. Consideriamo
inoltre un anello di raggio r ( r R< ) e spessore dr ; poich
larea di questo anello 2 r dr , la carica dq che contenuta in esso
vale: 2dq r dr= . Dal risultato dellesempio precedente segue che il
campo prodotto da tale distribuzione : ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 2 2
2 2 20 0 0
1 1 24 4 2
x x x rdE dq r dr drx r x r x r
= = =+ + +.
Per ottenere il campo in P integriamo da 0 a R: ( )3 22 20
02
Rx rE drx r
= + ,
ponendo 2 2x r + si ha 2r dr d= cos, sostituendo segue:
( )2 22 2
2 2
1 23 2
1 22 20 0 0
1 1 12 2 2 2 1 2 2
x Rx R
x x
x x xE d
x R
++
= = = +
, (si veda la figura). Si noti che, nellespressione precedente,
facendo tendere 0x o R si ottiene:
-
Campo e potenziale elettrostatico 5
02
E = tale relazione rappresenta il campo elettrico prodotto da
una distribuzione di carica piana di estensione infinita.
Linee di forza del campo elettrico
Le linee di forza consentono una immediata visualizzazione della
distribuzione spaziale del campo elettrico. Le loro caratteristiche
sono:
Il vettore campo elettrico tangente alle linee di forza in ogni
punto; Il numero di linee di forza per unit di superficie che
attraversano una superficie ad esse
perpendicolare proporzionale allintensit del campo elettrico in
corrispondenza della superficie. Nellesempio di figura, siccome la
densit delle linee che attraversano
la superficie (matematica) A superiore a quella delle linee che
attraversano la superficie B, il campo elettrico in A maggiore del
campo in B.
Le regole per disegnare le linee di forza per una distribuzione
di carica sono:
le linee di forza devono avere origine dalle cariche positive e
terminare sulle cariche negative o allinfinito qualora il sistema
abbia un eccesso di carica;
il numero di linee di forza che entrano o escono da una carica
proporzionale alla carica; due linee di forza non si possono
incrociare. Per verificare che quanto sopra in accordo con la legge
di Coloumb,
consideriamo una sfera di raggio r concentrica con una carica q
(si veda la figura). Per simmetria il campo elettrico avr la stessa
intensit su tutti i punti della sfera. Il numero N di linee che
escono dalla carica pari a quello delle linee che entrano nella
superficie sferica, cos, poich la superficie della sfera in
questione 24 r e lintensit del campo elettrico proporzionale al
numero di linee per unit di superficie, sar:
24NEr ,
inoltre, siccome il numero di linee proporzionale alla carica (
N q ), allora,
in accordo alla legge di Coloumb:
24qEr
Poich la carica quantizzata, il numero di linee di forza che
escono da un qualsiasi oggetto
materiale deve essere 0, ke , 2ke , , dove k una costante di
proporzionalit arbitraria. Fissata k il numero di linee di forza
non arbitrario. Se, ad esempio, un oggetto ha carica 1Q ed un altro
ha carica 2Q , allora il rapporto 1 2N N tra i numeri delle
corrispondenti linee di forza sar pari al rapporto delle cariche 1
2Q Q .
Il metodo di rappresentazione del campo elettrico attraverso le
linee di forza presenta tuttavia alcune limitazioni. Innanzitutto
la sua efficacia circoscritta alla descrizione di campi statici
essendo piuttosto complessa la rappresentazione dei campi generati
da cariche in movimento;
-
6 Campo e potenziale elettrostatico
inoltre con questo metodo impossibile applicare il principio di
sovrapposizione. Si faccia riferimento infatti alla configurazione
di
linee di forza originate da una singola carica (si veda la
figura); in principio il campo prodotto da due cariche uguali ma di
segno opposto si dovrebbe ottenere affiancando due configurazioni
di linee di una singola carica e invertendo la direzione delle
frecce per una delle due cariche. Tuttavia tale metodo
determinerebbe delle linee che si incrociano a cui
corrisponderebbero due direzioni del campo elettrico nello stesso
punto. La rappresentazione delle linee di forza per tale sistema di
cariche comunque possibile ma richiede un preventivo calcolo
matematico (si veda la figura).
Il dipolo elettrico
Il sistema costituito da due cariche uguali ma opposte q poste
alla mutua distanza d prende il nome di dipolo elettrico.
Calcoliamo il campo elettrico in un punto situato lungo la linea
mediana perpendicolare alla congiungente le cariche e posto alla
distanza x dalla congiungente (si veda la figura). Indicando con
E
G e E+
G i campi prodotti da ciascuna
carica, per il principio di sovrapposizione si ha: E E E +=
+
G G G,
dove:
220 0 2
1 14 4
2
q qE Er dx
+ = = = + .
Daltra parte ( ) ( )x xE E +=
cos il campo sar diretto lungo lasse y e varr:
( ) ( ) cos cos 2 cosy yE E E E E E + + += + = + = dove:
Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico
prodotto da una carica puntiforme.
Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico
prodotto da due cariche puntiformi uguali (in alto) e di segno
opposto (in basso).
-
Campo e potenziale elettrostatico 7
2
2
2 2cos
2
d d
r dx
= = +
.
Pertanto, sostituendo, si ha:
2 3 2 3 22 2 20 0 02 2 2 2
1 1 1 124 2 4 4
2 2 2 2
q d qd pEd d d dx x x x
= = = + + + +
, (1.1)
avendo posto: p qd kG ,
dove k un versore orientato dalla carica negativa a quella
positiva (si veda la figura). Il vettore cos definito prende il
nome di momento di dipolo elettrico e, in modulo pG vale qd .
Esempio: Il momento di dipolo elettrico una propriet di numerose
molecole, ossia di aggregati atomici contenenti una carica positiva
ed una negativa separate da una certa distanza. Ad esempio la
molecola di cloruro di sodio (NaCl) pu essere rivista come linsieme
di uno ione Na+ ed uno Cl separati da una certa distanza NaCld e
rispettivamente di cariche e+ e e . Dalle misure si evince che:
0.236NaCld nm , cos il relativo momento di dipolo dovrebbe essere:
( ) ( )19 9 291.6 10 0.236 10 3.78 10NaCl NaClp ed C m C m = = = .
Tuttavia il valore misurato : 293.00 10NaClp C m
; ci evidenzia che lelettrone del sodio non completamente ceduto
allatomo di cloro ma risulta condiviso tra questi due atomi.
In applicazioni come quella mostrata nellesempio precedente
risulta utile stabilire il campo elettrico a grande distanza dal
dipolo, ossia per:
x d . Dalla relazione (1.1) segue:
3 22
3 2 320 02
1 1 14 4 2
2
p p dEx xdx
= = + +
,
-
8 Campo e potenziale elettrostatico
facendo uso della relazione dello sviluppo in serie del
binomio:
( ) ( ) 211 12!
n n ny ny y+ = + + + ,
si ha:
2
30
1 314 2 2
p dEx x
= + +
ed arrestando lo sviluppo al primo termine segue:
30
14
pEx .
Analogamente si prova che per un punto posto lungo lasse y, a
grande distanza da dipolo, si ha:
30
14
pEy .
I due risultati appena riportati costituiscono unindicazione di
una caratteristica generale del dipolo; infatti possibile provare
che a distanza r dal dipolo, con r d , il campo elettrico varia
come
31 r . Supponiamo che il dipolo si immerso in un campo elettrico
esterno uniforme E
G e supponiamo
inoltre che il dipolo non perturbi significativamente le linee
di forza del campo. Le forze 1FG
e 2FG
agenti sulle due cariche valgono, in modulo:
1 2F F qE= = ,
tuttavia, sebbene abbiano la stessa direzione, sono opposte in
verso (si veda la figura) cos il centro di massa del dipolo non
soggetto a movimento. Nondimeno le forze esercitano una coppia sul
dipolo che tende pertanto a ruotare per allinearsi con la direzione
del campo. Se 1r
G e 2rG sono i due bracci, con
1 2 2dr r= = ,
i momenti delle due forze rispetto al centro di massa del dipolo
1G e 2G hanno moduli:
1 1 1 2 2 2sin2dr F qE r F = = = =G GG G ;
inoltre 1G e 2G sono uguali sia in direzione che in verso, cos
risulta:
-
Campo e potenziale elettrostatico 9
1 2 =G G ,
e pertanto il momento totale delle forze ha modulo:
12 2 sin sin sin2d qE dqE pE = = = = ,
e quindi vettorialmente:
p E = GG G . Fisicamente ci significa che il dipolo elettrico
indotto dal campo a raggiungere una posizione
di equilibrio tale che pG risulti parallelo ad EG ; in tale
condizione infatti 0 =G . Questo corrisponde sia a 0 = che a = ;
nel seguito proveremo che mentre il primo valore di corrisponde ad
una posizione di equilibrio stabile, il secondo valore relativa ad
una posizione di equilibrio instabile.
Flusso di un vettore
Consideriamo un campo vettoriale vG e supponiamo che le linee di
forza corrispondenti siano tutte parallele tra loro. Consideriamo
una superficie di area S disposta perpendicolarmente alle linee di
forza (si veda la figura). Poich il numero di linee di forza per
unit di area di un vettore proporzionale al modulo del vettore, un
a misura del numero di linee di forza passanti attraverso la
superficie proporzionale al prodotto v S . Questa grandezza prende
il nome di flusso del vettore vG attraverso la superficie S:
v S = . Qualora la superficie forma un angolo con le linee di
forza di vG
risulter: cosv S = ,
essendo il numero di linee che attraversa S pari al numero di
linee che attraversa larea proiettata 'S , perpendicolare al campo
(si veda la figura). Se si definisce un versore normale n alla
superficie
S, come mostrato in figura, si pu definire il flusso come: v nS
= G ,
ovvero, definendo un vettore S nSG si ha: v S = GG . Nel caso
generale il vettore vG pu variare in corrispondenza dei punti della
superficie S
attraverso la quale si vuole calcolare il flusso; cos per poter
applicare la precedente definizione occorre suddividere tale
superficie in elementi infinitesimi ds in corrispondenza dei quali
la variazione del vettore vG pu essere considerata trascurabile,
allora il flusso elementare di vG attraverso ds sar:
-
10 Campo e potenziale elettrostatico
d v n ds v ds = = G G G ,
dove si posto ds n dsG (si veda la figura). Pertanto la misura
del numero di linee di forza del campo vG che attraversano tale
superficie :
S
v ds = G G . Poich in generale la superficie pu anche essere
chiusa (si veda la
figura), occorre stabilire una convenzione circa il verso di n .
In questo contesto tale versore scelto uscente dalle superfici
chiuse. Con questa convenzione il prodotto v nG sar positivo
laddove il campo uscente dalla superficie considerata e sar
negativo dove il campo entrante.
La legge di Gauss
Consideriamo una carica puntiforme q posta al centro di una
sfera di raggio r. Sulla superficie S della sfera risulta:
20
1 4
qE nr=
G
dove n il versore normale uscente dal generico punto posto sulla
superficie. Il flusso elementare attraverso un elemento di
superficie dsG vale (si veda la figura):
2 20 0
1 1 4 4
q qd E ds n n ds dsr r
= = =G G ,
cos, il flusso attraverso lintera superficie S vale:
22 2 20 0 0
1 1 1 44 4 4S S S
q q qE ds ds ds rr r r
= = = = G G ,
essendo pari 24 r la superficie della sfera, cos:
0
q = . Quindi il flusso del campo elettrico attraverso la
superficie della sfera proporzionale alla carica
interna alla superficie. Il risultato appena conseguito, che sar
esteso nel paragrafo successivo ad una qualsiasi
superficie chiusa contenente la carica, risulta consistente con
la definizione di flusso e con le caratteristiche delle linee di
forza; infatti il flusso attraverso una superficie proporzionale
al
-
Campo e potenziale elettrostatico 11
numero di linee di forza che attraversano tale superficie,
daltra parte tale numero proporzionale alla carica che le origina,
cos il flusso risulta proporzionale alla carica.
Dalla costruzione di figura evidente che il numero di linee di
forza che attraversano le superfici non sferiche 2S e 3S pari al
numero di linee di forza che attraversano 1S , cos il flusso totale
attraverso qualsiasi superficie chiusa indipendente dalla forma
della superficie stessa.
Se la carica esterna alla superficie chiusa (si veda la figura)
il numero di linee di forza entranti pari a
quello delle linee uscenti, cos il flusso totale del campo
elettrico che attraversa una superficie chiusa che non circonda
alcuna carica nullo.
I due risultati test illustrati costituiscono lenunciazione
della legge di Gauss per una carica singola, in formule:
00S
q se q interna a SE ds
se q esterna a S
= G G .
Dimostrazione della legge di Gauss
Consideriamo una superficie S contenente la carica q. Sia 'S una
superficie sferica concentrica alla carica e contenuta in S (si
veda la figura); dal risultato conseguito nel paragrafo precedente,
il flusso attraverso 'S vale:
'0' '
' 'SS S
qE ds E ds = = = G G ,
dove 'E
G il campo elettrico sulla superficie 'S . In particolare se 'r
il raggio della sfera si
superficie 'S , si ha:
20
1'4 '
qEr= (1.2)
mentre, in un punto a distanza r sulla superficie S risulta:
20
14
qEr= , (1.3)
cos, dividendo membro a membro le equazioni (1.2) e (1.3) si
ottiene:
2'
'E rE r
= . (1.4)
Con riferimento al cono di figura risulta che larea A della base
e larea 'A di una
sezione del cono perpendicolare allasse possono essere espresse
in funzione dei corrispondenti raggi delle base e della sezione
come:
2
2
' ' ,,
A lA l
==
pertanto il rapporto tra le aree 'A e A vale:
-
12 Campo e potenziale elettrostatico
2' 'A l
A l =
;
daltra parte, valendo la relazione di proporzionalit ' 'l l r r=
si pu scrivere:
2' 'A r
A r =
. (1.5)
Applicando tale relazione alle superfici infinitesime dsG e 'dsG
appartenenti rispettivamente alle superfici S e 'S
della figura precedente si ha:
2'cos 'rds ds
r =
cos, il flusso del campo elettrico E
G attraverso la superficie S vale:
2 2
0'
'cos ' ' ' ''S S S S S
r r qE ds E ds E ds E dsr r
= = = = =
G G ,
dove si fatto uso della (1.4) per mettere in relazione il campo
E
G col campo 'E
G.
Se la carica situata allesterno della superficie considerata,
con riferimento alla figura risulta:
2''cos ' cosrds ds
r =
;
facendo uso di tale formula ed esprimendo il flusso infinitesimo
del campo elettrico attraverso S come la somma dei flussi
infinitesimi attraverso la superfici contrapposte dsG e 'dsG , si
ha:
2 2'' ' ' 'cos ' cos cos cos 0
'Sr rd E ds E ds E ds Eds E ds Edsr r
= + = + = + = G GG G ,
e siccome questo risultato vale per ogni coppia di elementi dsG
e 'dsG , risulter: 0S = .
La dimostrazione della legge di Gauss mette in luce un
importante
collegamento tra tale legge e la legge di Coloumb. Infatti
questa dimostrazione basata sul fatto che il rapporto tra i campi
elettrici prodotti da una carica puntiforme in corrispondenza di
due superfici sferiche concentriche alla carica e di raggi r e 'r
(1.4) uguale al rapporto tra le aree delle due superfici (1.5).
Concludiamo quindi che la validit della legge di Gauss dipende
dalla proporzionalit con linverso del quadrato espressa dalla legge
di Coloumb.
Supponiamo che internamente alla superficie chiusa considerata S
vi siano N cariche 1 2, , , Nq q q , allora se 1 2, , , NE E E
G G G rappresentano i campi prodotti da ciascuna di esse prese
singolarmente (si veda la figura), allora:
-
Campo e potenziale elettrostatico 13
11
0
22
0
0
,
,
,
S
S
NN
S
qE ds
qE ds
qE ds
=
=
=
G G
G G
#G G
cos, sommando membro a membro, per il principio di
sovrapposizione, se: 1 2 NE E E E + + +
G G G G , 1 2int Nq q q q + + + , allora:
0
int
S
qE ds =G G .
Cio il flusso del campo elettrico totale attraverso una
qualunque superficie chiusa uguale alla
carica totale contenuta allinterno della superficie, divisa per
0 . Esempio: (Campo elettrico prodotto da una sfera carica).
Consideriamo una sfera isolante di raggio R caratterizzata da una
distribuzione di carica uniforme di densit . Calcoliamo il campo
elettrico in ogni punto dello spazio. Consideriamo una superficie
sferica di raggio r concentrica con la sfera data e valutiamo il
campo per r R> e per r R< . Se r R> , (si veda la figura
in alto) dallapplicazione della legge di Gauss segue: ( )
0S
qE E ds = =G G G ,
dove 24S r= la superficie della sfera di raggio r e q la carica
contenuta nella sfera isolante. Da tale relazione si ricava: 2
0
4S S
qE ds E ds E r = = = G G ,
cio:
20
14
qEr= .
Quindi allesterno della sfera il campo lo stesso che si avrebbe
qualora la sfera fosse sostituita da una carica puntiforme di
uguale valore posta al centro della sfera. Inoltre, siccome r
uniformemente distribuita nel volume V della sfera, si ha: 34
3V Vq dv dv R = = = ,
e quindi:
-
14 Campo e potenziale elettrostatico
3
203
REr
= .
Se r R< , (si veda la figura, in basso) dallapplicazione
della legge di Gauss segue: ( ) 2
0
'4S
qE E ds E r = = =G G G ,
dove 'q rappresenta la carica contenuta allinterno del volume 'V
delimitato dalla superficie S di raggio r: 3
' '
4'3V V
q dv dv r = = = , quindi, sostituendo si ha:
03E r= ,
in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di
r. Esempio: (Distribuzione di carica a simmetria cilindrica).
Consideriamo un filo di lunghezza infinita lungo il quale
uniformemente distribuita una carica con densit lineare .
Stabiliamo il valore del campo elettrico in tutto lo spazio. La
simmetria della distribuzione di carica suggerisce che il campo
elettrico deve essere perpendicolare al filo carico e uscente.
Consideriamo una superficie cilindrica S di raggio r e lunghezza l
coassiale col filo (nella figura, in alto; in basso la superficie
mostrata in sezione); il flusso attraverso le superfici di base
nullo essendo il campo elettrico parallelo a tali superfici,
quindi: ( ) 2
S S
E E ds E ds rl E = = = G G G . Daltra parte per la legge di
Gauss risulta: ( )
0 0
2 q lE rl E = = =G ,
pertanto:
0
12
Er
= . Si osservi che se il filo non infinito viene a cadere la
simmetria diventa inutile lapplicazione della legge di Gauss per la
determinazione del campo elettrico; tuttavia questo risultato resta
valido per un filo di lunghezza finita L nel limite r L per punti
sufficientemente distanti dalle estremit del filo.
Esempio: (Campo prodotto da un guscio sferico). Consideriamo un
guscio sferico di materiale isolante di raggio R sul quale
uniformemente distribuita una carica con densit . Con riferimento
ad una superficie sferica S di raggio r concentrica al guscio (si
veda la figura), possiamo affermare che per r R< il campo
elettrico nullo poich non presente carica allinterno del guscio.
Per r R> , se q la carica distribuita sul guscio, si ha: 24q R =
,
e quindi, poich: ( ) 2
0
4S
qE E ds E r = = =G G G ,
-
Campo e potenziale elettrostatico 15
segue:
2
2 20 0
14
q REr r
= = .
in figura mostrato landamento del campo elettrico al variare di
r. Esempio: (Piano infinito uniformemente carico). Consideriamo un
piano isolante indefinito sul quale uniformemente distribuita una
carica positiva con densit superficiale . Stabiliamo il valore del
campo elettrico in ogni punto dello spazio. Per simmetria il campo
elettrico su entrambe la superfici del piano sar normale ed opposto
in verso (si veda la figura). Consideriamo una superficie
cilindrica S con asse perpendicolare al piano e superfici di base
di area A equidistanti dal piano come mostrato in figura. Il flusso
del
campo elettrico attraverso ciascuna base EA , cos il flusso
totale attraverso la superficie S vale: ( ) 2E EA =G ; daltra parte
la carica q interna a questa superficie pari a quella distribuita
sullintersezione tra il volume definito dal cilindro di superficie
S ed il piano carico: q A= , cos, essendo ( ) 0E q =G , segue:
02E = .
Questo risultato, per altro gi ottenuto attraverso un approccio
differente in un precedente esempio, pu essere applicato ad una
importante configurazione di carica rappresentata da
una coppia di piani infiniti e paralleli uniformemente carichi e
recanti su di essi cariche di segno opposto. Con riferimento alla
figura si osserva che allesterno della regione compresa tra i due
piani, i campi prodotti da ciascun piano sono uguali ma hanno verso
opposto; allinterno i campo hanno lo stesso segno e si sommano.
Pertanto:
0
0int
ext
E
E
==
.
Questa configurazione elettrostatica consente quindi di
confinare in una regione limitata dello spazio un campo
uniforme.
Operatori differenziali e relativi teoremi
Si definisce un operatore nabla nella maniera seguente:
x y zx y z
+ + G
.
E possibile provare che tale operatore possiede caratteristiche
analoghe a quelle dei tradizionali
vettori e si presta a definire in maniera sintetica altre
grandezze utili nellambito
Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico
prodotto da due piani uniformemente carichi.
-
16 Campo e potenziale elettrostatico
dellelettromagnetismo. In generale la sua espressione dipende
dal particolare sistema di coordinate adoperate e lespressione
precedente relativa alle coordinate cartesiane.
Il gradiente
Sia ( ), ,x y z una funzione definita e derivabile in ogni punto
( ), ,x y z di una certa regione dello spazio (ossia descrive un
campo scalare derivabile). Si definisce gradiente di e si indica
con
G o grad la seguente grandezza:
x y z x y zx y z x y z
+ + = + + G
;
cos G descrive un campo vettoriale. La componente di G nella
direzione di un versore r data da r G e prende il nome di
derivata direzionale della funzione nella direzione di r ; in
pratica r G esprime lentit della variazione di nella direzione di r
nel punto ( ), ,x y z .
La divergenza
Sia ( ) , , x y zv x y z v x v y v z= + +G una funzione
vettoriale definita e derivabile in ogni punto ( ), ,x y z di una
certa regione dello spazio (ossia vG descrive un campo vettoriale
derivabile). Si definisce divergenza di vG e si indica con v G G o
divvG la seguente grandezza:
( ) yx zx y z vv vv x y z v x v y v zx y z x y z + + + + = + + G
G .
Si noti che loperatore nabla viene formalmente adoperato come un
operatore tradizionale;
tuttavia tale operatore non soddisfa la propriet commutativa dei
vettori rispetto al prodotto scalare, risultando v G G differente
da v GG , espressione, questultima che priva di significato.
Il rotore
Sia ( ) , , x y zv x y z v x v y v z= + +G un campo vettoriale
derivabile. Si definisce rotore di vG e si indica con vG G o rot vG
la seguente grandezza:
( )
.
x y z
x y z
y yx xz z
x y z
v x y z v x v y v zx y z x y z
v v v
v vv vv vx y zy z z x x y
+ + + + = =
= + +
G G.
-
Campo e potenziale elettrostatico 17
Si osservi che anche in questo caso loperatore nabla agisce
analogamente ad un vettore tradizionale nel prodotto
vettoriale.
Teorema della divergenza
Sia V il volume delimitato dalla superficie chiusa S e uG un
campo vettoriale derivabile con derivate continue, allora:
S S V
u ds u n ds u dv = = GG G G G ,
dove n il versore positivo (ossia orientato verso lesterno)
normale ala superficie S.
Teorema del rotore
Sia S una porzione di superficie aperta a due facce, delimitata
da una curva chiusa non intrecciata (curva chiusa semplice) C,
allora, se vG un campo vettoriale derivabile con derivate continue,
si ha:
( ) ( )
S S
v dr v n ds v ds = = G GG G G G GvC
,
dove C percorsa in direzione positiva. La direzione di C detta
positiva se un osservatore che cammina sul contorno di S in questa
direzione e con il capo orientato nella direzione del versore
positivo n normale a S, ha la superficie S alla sua sinistra (si
veda la figura).
Formulazione puntuale della legge di Gauss
Supponiamo che allinterno del volume V racchiuso da una
superficie S vi sia una distribuzione continua di carica con densit
( ), ,x y z (si veda la figura). Allora la carica totale contenuta
allinterno del volume V vale:
V
q dv= ;
sostituendo q nellespressione della legge di Gauss si trova:
0 0
1
V V
qE ds dv = = G G .
Questa espressione mette in relazione il campo elettrico,
definito su una superficie, con la densit
di carica, definita in un volume. Sebbene risulti utile in
numerose circostanze, tale formulazione della legge di Gauss, detta
integrale, presenta lo svantaggio di non poter fornire, in
generale, indicazioni di carattere puntuale circa le grandezze
coinvolte.
Applicando il teorema della divergenza al primo membro
dellespressione precedente, si trova:
0
1
V V V
E ds E dv dv = = G G GG ,
-
18 Campo e potenziale elettrostatico
ovvero:
0
1 0V
E dv = G G
;
dovendo valere questa relazione per ogni dominio di integrazione
V, deve essere:
0
1E =G G
.
Laddove nullo, 0E =G G ed il campo elettrico EG detto, ivi,
solenoidale. In
sostanza lequazione precedente stabilisce quali sono i punti
dello spazio dove EG
o meno solenoidale e, di conseguenza, lassenza o meno di
sorgenti del campo elettrico in quei punti. Pertanto se, ad
esempio, osserviamo delle linee di forza di E
G che
originano da un punto, che funge quindi da sorgente del campo
(si veda la figura in alto), possiamo dedurre che esiste un punto
in cui risulta 0E G G . Viceversa, se le linee di forza del campo
non originano manifestatamene da alcun punto (si veda la figura in
basso), concludiamo che il campo solenoidale.
Conduttori in equilibrio elettrostatico
Dal punto di vista microscopico, un buon conduttore elettrico pu
essere generalmente rappresentato come un reticolo atomico immerso
il un gas di elettroni liberi di muoversi allinterno del materiale.
In assenza di un moto netto degli elettroni in una particolare
direzione, il conduttore detto in equilibrio elettrostatico. In
tale circostanza valgono le seguenti propriet:
Il campo elettrico allinterno del conduttore ovunque nullo; Un
qualunque eccesso di carica su conduttore deve localizzarsi
superficialmente. Allesterno del conduttore, in prossimit della
superficie, il campo elettrico
perpendicolare alla superficie ed ha intensit pari a 0 , dove la
densit superficiale di carica.
Su un conduttore di forma irregolare la carica tende ad
accumularsi nei punti in cui la curvatura della superficie
maggiora, ovvero sulle punte
La prima propriet pu essere compresa considerando una lastra
conduttrice immersa in un campo elettrico. Allapplicazione del
campo, gli elettroni si muovono verso sinistra causando un accumulo
di carica negativa a sinistra e positiva a destra (si veda la
figura). Queste cariche creano un campo elettrico opposto al campo
esterno; la densit superficiale di carica cresce fino a che
lintensit di questo
campo non uguagli quella del campo esterno, dando luogo ad un
campo nullo allinterno del conduttore; i tempi tipici per
raggiungere tale condizione di equilibrio sono dellordine di 1610
sec per un buon conduttore.
Consideriamo un conduttore in equilibrio elettrostatico;
allinterno del conduttore consideriamo una superficie chiusa S
prossima quanto si vuole alla superficie del conduttore (si veda la
figura). Poich allinterno del conduttore il campo elettrico nullo,
dalla legge di Gauss segue che
-
Campo e potenziale elettrostatico 19
allinterno della superficie S quindi del conduttore la carica
netta nulla. Pertanto se il conduttore carico, tale carica deve
situarsi sulla superficie.
Consideriamo un conduttore carico allequilibrio e facciamo
riferimento ad una superficie S a forma di cilindro con le
superfici di base A sufficientemente piccole da potersi ritenere
localmente parallele alla superficie del conduttore e con parte del
cilindro contenuta nel conduttore. Attraverso la parte interna il
flusso del campo elettrico nullo essendo nullo il campo elettrico
internamente al conduttore. Inoltre il campo normale alla
superficie perch qualora vi fosse una componente tangenziale
determinerebbe un moto delle cariche e quindi una condizione di non
equilibrio. Perci nullo il flusso anche attraverso la superficie
laterale del cilindro. Cos il flusso attraverso la superficie del
cilindro nE A essendo nE il campo elettrico in prossimit della
superficie esterna del conduttore. Applicando la legge di Gauss
alla superficie del cilindro si ha quindi:
0 0
nS
q AE ds E S = = =G G ,
dove la densit locale di carica superficiale. Ne segue che,
siccome nE pari a E n
G, dove n il versore normale alla
superficie del conduttore, allora:
0
E n=G
;
tale espressione prende il nome di Teorema di Coloumb.
Lultima propriet elencata dei conduttori in equilibrio sar
provata nel seguito.
Differenza di potenziale e potenziale elettrico
Le forze di tipo centrale, che dipendono dalla sola distanza da
un centro, risultano intrinsecamente conservative; poich la forza
espressa dalla legge di Coloumb appartiene a questa categoria,
allora la forza elettrostatica conservativa e di conseguenza il
campo elettrostatico conservativo.
Se 0q immersa in un campo EG
la forza FG
cui soggetta vale 0q EG
; tale forza conservativa essendo la somma di tutte le forze
conservative agenti tra 0q e le cariche che determinano il
campo
EG
. Il lavoro fatto da questa forza in corrispondenza di uno
spostamento infinitesimo dlG
della carica vale:
0dL F dl q E dl= =
G GG G.
Per definizione, il lavoro fatto da una forza conservativa pari
alla variazione di energia
potenziale dU , cambiata di segno: 0dU dL q E dl= =
GG;
Rappresentazione delle linee di forza del campo elettrico
prodotto da due conduttori carichi.
-
20 Campo e potenziale elettrostatico
in corrispondenza di uno spostamento finito di 0q dal punto A al
punto B, la variazione di energia potenziale data da:
0B
B AA
U U U q E dl = = GG ,
dove lintegrale non dipende dal cammino scelto essendo il campo
EG
conservativo. La differenza di potenziale A BV V tra i punti A e
B definita come la variazione dellenergia
potenziale per unit di carica, ovvero:
0
BB A
A BA
U UV V V E dlq = = GG .
Si noti che tale definizione perviene soltanto a differenze di
potenziale, in quanto solo tali
quantit hanno valore fisico. Spesso si usa assumere che la
funzione potenziale si nulla in un punto particolare, ad esempio
allinfinito; allora, ponendo:
( ) 0V = ,
il potenziale in corrispondenza di un generico punto P vale:
P
PV E dl
= GG ,
espressione che pu essere riguardata come il lavoro necessario
per trasportare una carica unitaria dallinfinito al punto P.
Lunit di misura del potenziale il volt (V) e risulta 1 1 1V J C=
, cos 1V rappresenta il lavoro che deve essere fatto per far
superare ad una carica di 1C una differenza di potenziale di 1V .
Lintroduzione del volt consente inoltre di riscrivere lunit di
misura del campo elettrico in V m che rappresenta lunit
tradizionalmente pi usata per questa grandezza.
In fisica atomica e nucleare duso comune per la misura
dellenergia lelettronvolt (eV),definito come lenergia che un
elettrone (o un protone) acquista quando viene accelerato mediante
una differenza di potenziale di 1V . Siccome 1 1 1V J C= e la
carica dellelettrone (protone) di
191.6 10 C , allora 19 191 1.6 10 1.6 10eV C V J = = .
Esempio: Nel cinescopio di un apparecchio televisivo un
elettrone del fascio ha una velocit di 78 10 m sec circa. Poich la
massa dellelettrone 319.1 10 kg circa, questa velocit corrisponde
ad unenergia cinetica di 153 10 J . Cosi tale elettrone per
raggiungere questa velocit, partendo da fermo, deve essere
accelerato tramite una differenza di potenziale di 19 kV .
Campo elettrico uniforme
Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo lasse x
(si veda la figura):
-
Campo e potenziale elettrostatico 21
E E x=G
e calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B
separati dalla distanza d:
( ) ( ) B B BB AA A A
V V V E dl E x x dx E dx Ed = = = = = GG .
Il fatto che 0V < indica che il potenziale di B inferiore a
quello di A, ossia B AV V< . La variazione di energia potenziale
di interazione tra una carica di prova 0q e un campo elettrico
uniforme quando la carica si muove tra A e B : 0 0B AU U U q V q
Ed = = = .
Quindi se 0 0q > allora 0U < ovvero B AU U< , cio il
sistema perde energia potenziale in corrispondenza del moto di una
carica positiva nella direzione del campo elettrico. Se venisse
abbandonata in A, la carica, per effetto della forza 0q E
G, sarebbe accelerata acquisendo energia
cinetica; siccome la carica guadagna energia cinetica in una
certa misura, il sistema deve perdere altrettanta energia
potenziale. Pertanto se la carica originariamente a riposo in A,
allora la sua velocit Av nulla e quindi risulta:
0
12A B q B
U U m v= + , dove Bv la velocit della carica e 0qm la sua massa.
Viceversa, se 0 0q < allora 0U > ovvero B AU U> , cio il
sistema guadagna energia potenziale in corrispondenza del moto di
una carica negativa nella direzione del campo elettrico.
Supponiamo che lo spostamento avvenga tra due punti generici,
allora, siccome E
G uniforme, si ha:
( ) ( ) B B BA A A
V E dl E x x dx y dy E dx Ed = = + = = GG , cos il risultato
conseguito lo stesso del caso presentente. Ne segue che i punti
perpendicolari alla direzione del campo (B e C ad esempio, nella
figura) sono equipotenziali e definiscono una superficie detta
superficie equipotenziale.
Potenziale elettrico ed energia potenziale per cariche
puntiformi
Calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B di
figura:
B
B AA
V V E dl = GG ,
-
22 Campo e potenziale elettrostatico
in cui:
20
1 4
qE rr=
G,
allora
2 2 20 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1cos4 4 4 4 4
BB
A A
rrB B
B AB AA A r r
q q q q qV V dl dl drr r r r r r
= = = = = .
Si noti che lintegrale appena calcolato risulta indipendente dal
percorso seguito, a motivo della conservativit del campo.
Assumendo che il potenziale sia nullo per Ar , si trova il
potenziale di una carica puntiforme:
0
14
qVr= ;
tale espressione pu essere interpretata come il lavoro per unit
di carica che si effettua per trasportare una carica dallinfinito
ad un punto posto a distanza r dalla carica q.
Poich V uniforme su una superficie sferica di raggio r (cio A Br
r= nella precedente espressione), concludiamo che le superfici
equipotenziali per una
carica puntiforme sono delle sfere concentriche alla carica
stessa e tali superfici risultano perpendicolari alla direzione del
campo.
In figura mostrata la sezione (in tratteggio) delle superfici
equipotenziali per una carica puntiforme e per due cariche
puntiformi di segno opposto.
Come conseguenza del principio di sovrapposizione, il potenziale
in un certo punto, dovuto a pi cariche puntiformi pari alla somma
dei potenziali di ciascuna carica calcolati in tale punto:
0
14 i i
qVr= ,
sempre con lipotesi che il potenziale sia nullo allinfinito.
Sia 1V il potenziale determinato dalla carica 1q nel punto P
distante 12r da 1q . Il lavoro richiesto per portare una seconda
carica, 2q , dallinfinito a P vale 2 1q V . Poich per definizione
tale lavoro pari allenergia potenziale U del sistema quando le due
cariche sono separate dalla distanza 12r , allora:
1 22 10 12
14
q qU q Vr= = .
-
Campo e potenziale elettrostatico 23
E possibile generalizzare questa espressione ad un sistema di pi
cariche trovando, ad esempio, per tre cariche:
1 3 2 31 20 12 13 23
14
q q q qq qUr r r
= + + ,
ovvero, per N cariche:
, 1 1 1 10 0 0
1 1 1 1 1 1 14 2 2 4 2 4 2
N N N N N Ni j j j
i i i ii j i i j i i j iij ij iji j
q q q qU q q q V
r r r = = = = = = = = .
Potenziale elettrico dovuto a distribuzioni continue di
carica
Per il calcolo del potenziale per una distribuzione continua
facciamo riferimento alle espressioni gi trovate per le cariche
puntiformi. Sia dq un elemento di carica della distribuzione Q,
allora, il contributo al potenziale nel punto P posto a distanza r
da questo elemento :
0
14
dqdVr= ,
cos, per ottenere il potenziale generato da tutta la
distribuzione occorre integrare su tutta la carica Q della
distribuzione:
0
14 Q
dqVr= .
In relazione al tipo di distribuzione di carica possibile
esplicitare il differenziale dq ; cos,
qualora la carica distribuita in un volume V con densit dq dv =
, allora:
0 0
1 14 4Q
dq dvVr r
= = V .
Un approccio alla determinazione del potenziale di un corpo
alternativo al precedente prevede la
diretta applicazione dellespressione della differenza di
potenziale in termini di integrale di linea di EG
. Pertanto, se il problema ha un grado di simmetria tale da
rendere agevole tale determinazione, fissando infine il valore del
potenziale in un punto arbitrario, possibile stabilire il
potenziale del corpo.
Relazione tra campo elettrico e potenziale
Nota che sia lespressione del campo elettrico possibile ricavare
il corrispondente potenziale attraverso la relazione:
-
24 Campo e potenziale elettrostatico
( ) ( )0
0
P
P
V P E dl V P= + GG ; Da questa relazione segue: E dl dV = GG ,
e, sviluppando i due membri in coordinate cartesiane, si ha:
x y zV V VE dx E dy E dz dx dy dzx y z
+ + = + + , cos, confrontando le due espressioni, segue:
,
,
,
x
y
z
VExVEyVEz
= = =
ovvero, vettorialmente: E V= G G .
Sostituendo questa relazione nellespressione di dV si trova: ( )
cosdV V dl V dl = = GG G in cui rappresenta langolo compreso tra i
vettori VG e dlG . Da tale relazione segue:
cosdV Vdl
= G , cio la variazione per unit di lunghezza di V nella
direzione di dl
G
pari alla proiezione di VG nella direzione di dlG . Se a partire
da un punto ci si sposta di un tratto dl
G
ortogonalmente a VG , siccome vale 2 e cos 0 = , segue che 0dV
dl = , ovvero V costante; pertanto VG un vettore
perpendicolare alle superfici equipotenziali in cui V costante.
Infine, se dl
G diretto perpendicolarmente alle superfici
equipotenziali, ovvero parallelamente a VG , siccome nullo e cos
1 = , segue che la derivata direzionale dV dl risulta massima e
pari al modulo del gradiente:
-
Campo e potenziale elettrostatico 25
dV Vdl
= G . Inoltre il verso di VG nella direzione in cui il
potenziale aumenta con la derivata massima1.
Espressione della conservativit del campo elettrostatico
Dalla conservativit del campo elettrico segue che lintegrale di
linea di EG
calcolato da un punto A ad un punto B risulta indipendente dal
percorso C che porta da A a B. Risulta infatti che, essendo:
( ) ( )BA
E dl V A V B = GG , lintegrale dipende dai soli valori estremi
del percorso. Se il percorso tale che i punti A e B coincidono,
ovvero la curva C chiusa, allora si ha: 0E dl = GGv
C.
Quindi, lintegrale di linea del campo elettrostatico, calcolato
lungo una curva chiusa nullo.
Se applichiamo a questultima espressione il teorema del rotore,
si ha: ( )0 E dl E ds= = GG G G Gv
C S,
e poich tale relazione vale per ogni linea chiusa C e per ogni
superficie S che abbia per contorno C, segue che: 0E =G G , cio il
campo elettrostatico irrotazionale.
Per altro questa relazione pu essere ricavata seguendo unaltra
via, ovvero, il fatto che il campo elettrostatico conservativo
implica che esiste una funzione scalare V tale che E V= G G ,
allora:
2 2 2 2 2 2
0.
x y z
E Vx y zV V Vx y z
V V V V V Vx y zy z y z x z z x x y y x
= = =
= =
G G G G
1 Infatti, ad esempio, per una carica puntiforme positiva, VG
punta verso la carica, dove il potenziale aumenta.
-
26 Campo e potenziale elettrostatico
Si noti che a prescindere dallo sviluppo del prodotto vettoriale
VG G in coordinate cartesiane, tale risultato poteva essere
conseguito considerando G e VG come due vettori paralleli il cui
prodotto vettoriale risulta, ovviamente, nullo. Esempio:
(Potenziale elettrico di una bacchetta carica). Consideriamo una
bacchetta di lunghezza l e valutiamo il potenziale in
corrispondenza dei punti dellasse passante per un estremo. Il
contributo al potenziale di un elemento di carica dq posto a
distanza r dal punto considerato, vale: ( )1 22 20 0
1 14 4
dq drdVr x y
= = +
,
cos, integrando da 0 a l si trova:
( )2 2
1 22 20 00
ln4 4
l l l ydrVyx y
+ + = = +
Esempio: (Potenziale elettrico dovuto ad un anello uniformemente
carico). Consideriamo un anello uniformemente carico e calcoliamo
il potenziale in un punto P posto sullasse dellanello. Il
contributo al potenziale di un elemento di carica dq posto
sullanello : ( )1 22 20 0
1 14 4
dq dqdVr x R = = +
,
il termine ( )1 22 2x R+ comune a tutti i punti sullanello, cos,
integrando,
segue:
( ) ( )( )
1 2 1 22 2 2 20 0
1 22 20
1 1 14 4
14
Q Q
dqV dqx R x R
Q
x R
= =+ +
=+
.
Il cui grafico mostrato in figura. Si osservi che, a partire
dalla relazione E V= G G si pu ricavare lespressione del campo
elettrico lungo lasse x. Infatti: ( ) ( ) ( )
3 22 21 2 3 22 2 2 2
0 0 0
1 1 24 4 2 4
dV d Q Q Q xE V x R xdx dx x R x R
= = = = + = + +G
Conduttori carichi isolati
Siano A e B due punti posti in un conduttore allequilibrio,
poich allinterno il campo elettrico nullo, si ha:
( ) ( ) 0BA
V A V B E dl = = GG per cui:
-
Campo e potenziale elettrostatico 27
( ) ( )V A V B= , ovvero tutti i punti interni al conduttore
sono allo stesso potenziale e, anche la superficie del conduttore,
in particolare, una superficie equipotenziali.
Quale ulteriore propriet dei conduttori carichi allequilibrio,
possibile provare che in un conduttore di forma irregolare la
carica tende ad accumularsi nei punti in cui la curvatura della
superficie maggiore, ovvero in prossimit delle punte.
Per comprendere questo fenomeno consideriamo due sfere
conduttrici di raggi, rispettivamente, 1R e 2R , con 1 2R R< ,
collegate elettricamente tra loro tramite un filo conduttore. Se 1
e 2 indicano le densit superficiali di carica sui due conduttori,
le cariche rispettive saranno:
2
1 1 12
2 2 2
4 ,
4 ,
q Rq R
==
e facendo il rapporto membro a membro, segue:
2
1 1 12
2 2 2
q Rq R
= .
Daltra parte, siccome sono connesse con un conduttore, le due
sfere sono allo stesso potenziale; assumendo che la distanza tra le
sfere sia tale da poter assumere che la carica su una non abbia
alcun effetto sulla distribuzione di carica dellaltra, segue che il
comune valore V del loro potenziale :
1 20 1 0 2
1 14 4
q qVR R = = ,
e facendo il rapporto membro a membro dei due valori del
potenziale, segue:
1 12 2
q Rq R
= , cos, confrontando con lespressione precedente, si ha:
1 22 1
RR
= .
Daltra parte, siccome 1 2R R< , allora 1 2 > , cio la
sfera pi piccola ha una maggiore densit di carica superficiale; ci
implica che il campo elettrico pi intenso in prossimit della sfera
pi piccola. Per questo motivo in un conduttore che presenta una
zona in cui il raggio di curvatura della superficie molto piccolo,
ovvero presenta una punta, il campo elettrico maggiore in tale
zona.
Potenziale di un dipolo
Consideriamo un dipolo il cui momento ha intensit
-
28 Campo e potenziale elettrostatico
p qd= ;
il potenziale in un punto P posto a distanze 1r e 2r ,
rispettivamente, da q+ e q , vale:
2 10 1 2 0 1 2
1 14 4
r rq qV qr r r r
= = .
Questa espressione pu essere semplificata nel caso in cui il
punto P molto distante dal dipolo, ovvero per 1 2,r r d ; in questo
caso risulta:
1 2, ,
',r r r
con tali approssimazioni il prodotto 1 2r r circa uguale a
2r e la differenza 2 2r r , pari a cos 'd , circa uguale a cosd
. Pertanto, sostituendo nella precedente espressione, si ha:
2 20 0
1 cos 1 cos4 4
qd pVr r
= = .
Da tale espressione segue che il potenziale nullo per 0 = ,
ovvero nel piano equatoriale del dipolo, pertanto il campo
elettrico del dipolo non compie lavoro quando una carica viene
portata dallinfinito ad un punto su questo piano, attraverso un
qualsiasi percorso.
A partire dalla relazione precedente possibile ricavare
lespressione del campo elettrico prodotto dal dipolo in tutto lo
spazio. Allo scopo esprimiamo V in coordinate cartesiane; con
riferimento alla figura, poich:
( )1 22 2 2cos ,
,
z r
r x y z
== + +
segue:
( )3 22 2 3 2 2 20 0 0 01 1 1 1cos
4 4 4 4p p z pz pzVr r r r x y z
= = = = + + .
Applichiamo ora la relazione E V= G G e calcoliamo il gradiente
del potenziale. Per la componente lungo x si ha:
-
Campo e potenziale elettrostatico 29
( )( ) ( )
1 22 2 2
3 5 22 2 2 2 2 20 0
3 21 1 324 4x
x y z xV pzxE pzx x y z x y z
+ += = = + + + +.
La componente lungo y si pu ricavare dalla precedente
espressione osservando che, per simmetria, le due componenti devono
essere indipendenti per uno scambio tra i due assi corrispondenti,
cos:
( )5 22 2 201 3
4yV pzyEy x y z
= = + +,
infine:
( ) ( )
( ) ( )3 2 1 22 2 2 2 2 2
2 2 2
3 5 22 2 2 2 2 20 0
3 21 1 224 4y
x y z z x y z zV x y zE p pz x y z x y z
+ + + + + = = = + + + +.
Energia potenziale di un dipolo
Consideriamo un dipolo di momento pG immerso in un campo
elettrico esterno EG ; per ruotare tale dipolo di un dato angolo
rispetto al campo necessario compiere del lavoro. Tale lavoro
accrescer lenergia potenziale del sistema. Il lavoro elementare dL
necessario per ruotare un momento meccanico G di un angolo d pari a
d , cos, siccome il momento del dipolo vale p E GG , e quindi sinpE
= , e poich il lavoro viene trasformato in energia potenziale, si
ha che
per una rotazione finita da 0 a , la variazione di energia
potenziale :
( )0
0 0
0 0' sin ' ' cos ' cos cosU U d pE d pE pE
= = = = . La costante 0 dipende dallorientazione iniziale del
dipolo, per cui, assumendo 0 pari a 2 e ponendo quale riferimento
per lenergia potenziale 0 0U = per 0 2 = si ha: cosU pE = , ovvero:
U p E= GG . Il grafico dellenergia potenziale in funzione
dellangolo mostra la presenza di un minimo per 0 = , per cui tale
angolo corrisponde ad una posizione di equilibrio stabile del
dipolo nel campo elettrico.
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30 Campo e potenziale elettrostatico
Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico
Assegnata una certa distribuzione statica di carica nello spazio
vuoto, di densit descritta dalla funzione ( ), ,x y z = , il campo
elettrico soddisfa le equazioni integrali:
0
1 ,
0,
E ds dv
E dl
= =
G G
GGvS V
C
nella prima S una superficie chiusa contenente il volume V ;
nella seconda C una generica curva chiusa. La prima equazione
lespressione della legge di Gauss mentre la seconda conseguenza
della conservativit del campo elettrostatico. In forma puntuale
queste equazioni si scrivono:
0,
0.
E
E
=
=
G G
G G
Queste relazioni sono dette equazioni di Maxwell per il campo
elettrostatico.
Il fatto che il campo elettrostatico irrotazionale implica
lesistenza di una funzione potenziale V tale che:
V E =G G ,
cos, sostituendo nella prima delle equazioni di Maxwell segue (
) 2 0V V = = G G , ovvero:
20
V = , dove loperatore 2 definito come:
2 2 2
22 2 2x y z
+ + . Lequazione precedente compendia le due equazioni di
Maxwell e prende il nome di equazione di Poisson. Fissata che sia
la funzione localizzata in una regione definita dello spazio, si
prova che lequazione di Poisson ammette una sol soluzione che
soddisfi le specificate condizioni al contorno del dominio di
definizione.
In assenza di cariche localizzate, ovvero per 0 = , lequazione
precedente si scrive: 2 0V =
e prende il nome di equazione di Laplace.