Campamento_delegaciones_2012_materiales

Campamento para Delegaciones1-3 de junio de 2012Materiales de talleres

Angles and Parallel Lines

Roman Kvasov

Problem 1

In some isosceles triangle ( ), segments and are the median and the angles bisector

respectively. Find the angle if .

Problem 2

In the isosceles triangle ( ), the ratio of the height to the base is . The point is chosen

on the side in such way that . Find the angle .

Problem 3

In the triangle , the segments and are the medians. Line is parallel to and passes through the

midpoint of . Find the ratio in which line divides the side .

Problem 4

Points and are the midpoints of the sides and of the parallelogram . Lines and

intersect at . Find .

Problem 5

In the triangle , the point belongs to and . The point is the midpoint of side .

Find , where is the point of intersection of and .

Problem 6

In the triangle the point is the midpoint of . Point is the centroid of the triangle . Line

intersects at the point . Find .

Problem 7

Find the area of the acute triangle , if and are its medians and is its altitude.

CAMPAMENTO 2012 PARTE II CROEM

Luis F. Cáceres Ph.D. UPR Mayagüez

PROBLEMA 1 Pablo dice: “Al día de mi cumpleaños le sumo 2 y multiplico el resultado por 2. Al número obtenido le sumo 4 y multiplico el resultado por 5. Al nuevo número obtenido le sumo el número del mes de mi cumpleaños (por ejemplo, si es junio, le sumo 6) y obtengo 342.” ¿Cuál es la fecha del cumpleaños de Pablo? Dar todas las posibilidades. PROBLEMA 2 Llamamos S (n) a la suma de las cifras del entero n. Por ejemplo, (327) 3 2 7 12S = + + = . Hallar el valor de

(1) (2) (3) (4) ... (2011) (2012)A S S S S S S= − + − + + − . (A tiene 2012 términos). PROBLEMA 3 De un cuadrilátero de papel como el de la figura, hay que recortar un nuevo cuadrilátero cuya área sea igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Solo se puede doblar una o más veces y cortar por algunas de las líneas de los dobleces. Describir los dobleces y los cortes y justificar que el área es la mitad. PROBLEMA 4 Pedro tiene 111 fichas azules y 88 fichas blancas. Hay una máquina que por cada 14 fichas azules entrega 11 fichas blancas y por cada 7 fichas blancas entrega 13 azules. Decidir si Pedro puede lograr, mediante sucesivas operaciones con la máquina, aumentar en 33 el número total de fichas, de modo que

la cantidad de fichas azules sea igual a 53 de la cantidad de fichas blancas.

Si se puede, indicar cómo hacerlo. Si no se puede, indicar porqué. PROBLEMA 5 En una reunión hay 12 personas. Se sabe que para cada dos personas A y B de la reunión hay (al menos) otra persona C de la reunión que es amiga de A y de B. Determinar el mínimo número de pares de amigos que hay en la reunión. Cada persona puede integrar varios pares. Si X es amigo de Y entonces Y es amigo de X. Nota: ejercicios de la Olimpiada de Mayo 2012

CAMPAMENTO 2012

PARTE II

CROEM

Luis F. Cáceres Ph.D.

UPR Mayagüez

1. Demostrar que la figura formada cuando los puntos medios de un cuadrilátero se unen en

orden es un paralelogramo de área la mitad del cuadrilátero.

2. Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares que se cortan en P, demostrar

que la línea que pasa por P perpendicular a cualquier lado biseca el lado opuesto.

3. Demostrar que la reflexión del ortocentro sobre uno de los lados del triangulo está en el

circuncírculo.

4. En el triángulo XYZ sea Q en el arco YZ del circuncírculo de XYZ tal que XQ es

perpendicular a YZ. Probar que el reflejo de Q en YZ es el ortocentro del triangulo.

5. (IBERO 2011) Sea ABC un triángulo y O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que

BOAP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es el ortocentro de ABC.

6. (IBERO2011)Sea ABC un triángulo. Sea Sea D en el lado BC tal que la medida del

ángulo DAC es el doble de la medidad del ángulo BAD. Sea I el centro de la

circunferencia Γ inscrita al triángulo ADC. La circunferencia circunscrita al triángulo

AIB interseca a Γ en X y Y. Sea P la intersección de XY xon AI. Sea M el pie de la

perpendicular de I hasta AB. Demostrar que 24AP PI MI⋅ = .

7. (IBERO2011) Ana y Bruno juegan el siguiente juego. Ana elige 300 puntos del plano y

los pinta de rojo. Si Bruno puede encontrar diez puntos rojos que estén alineados o si

puede encontrar diez puntos rojos de modo que no haya tres de ellos alineados, entonces

gana él. En caso contrario, gana Ana. Determinar cuál de los jugadores puede asegurarse

victoria.

8. (IBERO2011) El profesor escribe en la pizarra una ecuación cuadrática de la forma 2 0x mx n+ ∗ = . El signo de n está borroso. Aun así Ana y Bruno la resuelven y obtienen

soluciones enteras, una de las cuales es 2011. Hallar todos los posibles valores de m y n.

Olimpiada de Mayo

Campamento para delegacionesArturo Portnoy

Etc...........

Nine point circle

Campamento para delegacionesArturo Portnoy

Simetría en polinomios

Campamento para delegacionesArturo Portnoy

Ejemplos iniciales

● x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0● x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0

Polinomios simétricos elementales

Porqué son importantes?

● Cualquier polinomio simétrico puede escribirse en terminos de polinomios simétricos elementales. Ej: x^2+y^2+z^2.

● Aparecen en las fórmulas de Vieta.

Formulas de Vieta

En general...

Referencias

● A Few Elementary Properties of Polynomials, Adeel Khan