UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA LA MEDIDA DE MICROACELERACIONES EN APLICACIONES ESPACIALES Tesis Doctoral Julián B. Santiago Prowald Ingeniero Aeronáutico Madrid, febrero de 2000
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CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA LA MEDIDA DE ...oa.upm.es/368/1/JULIAN_SANTIAGO_PROWALD.pdf · 60 3.5 Modelo con ... Longitud óptica, brazo de giro del punto de medida de oscilación
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DE MICROACELERACIONES EN
APLICACIONES ESPACIALES
Tesis Doctoral
Julián B. Santiago Prowald
Ingeniero Aeronáutico
Madrid, febrero de 2000
DEPARTAMENTO DE VEHÍCULOS AEROESPACIALES
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DE MICROACELERACIONES EN
APLICACIONES ESPACIALES
Julián B. Santiago Prowald
Ingeniero Aeronáutico
Dirigida por
Ángel Pedro Sanz Andrés
Doctor Ingeniero Aeronáutico
José Manuel Perales Perales
Doctor Ingeniero Aeronáutico
Madrid, febrero de 2000
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad
Politécnica de Madrid, el día ..... de .......................... de 2000.
Presidente D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Secretario D. .......................................................................................
Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día .............
de ............................. de 2000.
en .............................................................................................................
En la figura 4.12 se aprecia la respuesta en frecuencia de ambos, sensor óptico y
acelerómetro. Para esta configuración particular han caido muy cerca unas de otras las
frecuencias de resonancia y antirresonancia, por lo que casi no se aprecian en la
respuesta del acelerómetro. Ello es debido a la colocación del acelerómetro que en este
caso corresponde a un radio de giro mayor de lo habitual ( La = 94 mm).
111
Fig.4.12. Espectros de salida: oscilación (SPEC A) y aceleración de ISOSHEAR
(SPEC B). u u1 1 4 5= ≈max / mµ . La = 94 mm. Puntero (⊗) a 1.475
Hz, Vos = ⋅101. 10 V-4 , Va = ⋅ −519 10 4. V . Resolución en frecuencia
∆f = 0 025. Hz .
La tabla 4.3 recoge los resultados de los ensayos de calibración del acelerómetro
ISOSHEAR a diferentes frecuencias. A cada frecuencia, los diferentes niveles de
excitación demuestran linealidad y repetitividad en la medida del factor de escala. Se
observa la pendiente negativa del factor de escala con la frecuencia, concordando con
los datos dados por el fabricante. La incertidumbre dominante procede del parámetro
La , siendo de tipo B y del orden u LLa a/ .≈ 0 02 . Esto se debe a las propiedades
constructivas del sistema de suspensión, que han resultado peores de lo esperado. La
incertidumbre de tipo A ha resultado ser despreciable, con lo que resulta finalmente para
112
estos ensayos u SFSF / .≈ 0 02 . Evidentemente, este dato se puede mejorar en el futuro
modificando el método de suspensión.
Tabla 4.3. Calibración del acelerómetro ISOSHEAR. Ganancia acel. = 100,
La = 94 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 0 02 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (V/g) SF (pC/g)
25.5 1.0 54.2 1.090 556 0.975 1052
18.0 1.0 27.9 1.075 272 1.025 1106
18.0 2.0 59.9 2.310 585 1.024 1105
13.5 1.0 16.1 1.080 153 1.054 1137
13.5 2.0 34.6 2.315 328 1.056 1139
11.0 0.5 5.20 0.510 48 1.088 1173
11.0 1.0 10.9 1.080 100 1.083 1169
11.0 2.0 23.4 2.325 217 1.080 1165
El acelerómetro ISOTRON tiene una respuesta más ruidosa, luego la incertidumbre de
tipo A es mayor. La tabla 4.4 muestra los resultados de una calibración de sensibilidad a
diferentes frecuencias. En este caso u SFSF / .≈ 0 04 .
113
Tabla 4.4. Calibración del acelerómetro ISOTRON. Ganancia acel. = 1,
La = 94 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 0 04 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (mV/g)
20.0 1.0 152 1.08 337 451
17.5 1.0 115 1.08 257 447
10.0 1.0 33 1.11 85 388
Los ensayos de medida de la resolución presentan niveles de incertidumbre mayores,
debido a que el sensor óptico tiene un comportamiento ligeramente no lineal y a la
mayor incertidumbre en la medida de osV , que en esta ocasión presenta una mayor
contribución de tipo A. En la tabla 4.5 se recoge un ensayo de resolución a niveles
cercanos a 1 µg observándose la variabilidad del factor de escala así determinado.
Aunque no esté reflejado en la tabla, se ha llegado hasta el nivel de 0.1 µg, aunque con
una incertidumbre más alta.
Tabla 4.5. Ensayo de resolución del acelerómetro ISOSHEAR. Ganancia acel. = 100,
La = 22 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 010 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (103pC/g)
17.5 0.10 0.55 0.100 5.4 1.10
17.5 0.09 0.48 0.080 4.3 1.20
17.5 0.08 0.43 0.075 4.1 1.14
17.5 0.07 0.38 0.070 3.8 1.08
17.5 0.06 0.33 0.060 3.3 1.10
114
Como se ha podido observar en las figuras y tablas anteriores, los valores de aceleración
que se han obtenido, así como las incertidumbres asociadas a la calibración, no serían
alcanzables sin la excepcional respuesta del péndulo de calibración. Las técnicas
tradicionales, basadas en instrumental semejante, no permiten llegar a tales niveles,
debido principalmente a las imperfecciones de los dispositivos que generan la señal de
referencia. Estas imperfecciones suelen ir ligadas al desconocimiento de la proyección
de la gravedad durante el movimiento, algo que no ocurre en el péndulo de calibración
desarrollado. Así mismo, el estudio de incertidumbre ha permitido identificar
parámetros de control de las fuentes de incertidumbre, especialmete las relacionadas con
desalineamientos y sensibilidad transversal, a diferencia de otras técnicas.
En cualquier caso, no se ha alcanzado el límite de esta técnica, basta con pequeñas
mejoras en el mecanismo de suspensión para reducir a la mitad la incertidumbre, y más
todavía con un sensor óptico de mejor resolución y linealidad.
115
5. TÉCNICA DE CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DEL AMBIENTE MICROGRAVITATORIO
La calibración aplicada al ambiente microgravitatorio se diferencia de la técnica del
capítulo anterior en la presencia de la señal continua (frecuencia 0), principalmente,
complicando en gran medida el método expuesto en el capítulo anterior. Ello se debe
a que precisamente en la señal continua aparecen superpuestos los errores y derivas
del cero procedentes del propio sensor, la proyección de la gravedad local por
desalineamiento, la rectificación de las vibraciones y otros errores.
La forma de entender mejor las contribuciones al nivel de continua es comenzar
desarrollando el modelo de la respuesta del acelerómetro. El péndulo y la instalación
experimental se diseñan y construyen considerando dicho modelo, con el objeto de
limitar en lo posible las incertidumbres de medida y simplificar los procedimientos
experimentales.
Se describen dos métodos. El primero es un método simplificado y consiste en una
primera aproximación basada en el control de las incertidumbres, mientras que la
calibración completa, en la que se determina la orientación real del eje sensible y el
error de BIAS, requiere un instalación compleja y delicada. Los resultados que se
presentan corresponden al procedimiento simplificado.
5.1 El péndulo de microgravedad
El péndulo de microgravedad tiene una constitución totalmente distinta al péndulo
de microvibraciones, tanto en geometría y componentes, como sobre todo en el peso
116
y dimensiones. Físicamente es una plataforma de gran masa (unos 50 kg),
suspendida mediante cables de acero y dotada de una ligadura adicional: una barra
articulada en la pared y empotrada en la plataforma, como se aprecia en la figura 5.1.
El motivo de esta diferencia viene dado por el criterio de diseño, encaminado a
reproducir en lo posible la dinámica de una plataforma orbital como es el UPM Sat 1
(Santiago et al., 1996).
a
a
O O
HH
x
y
z
x
z
b
Go
Go
r
s1
Pu
M
Fig. 5.1. El péndulo de microgravedad. Componentes: placa cuadrada de
lado a y centro G0, varilla de longitud b, cables de suspensión
desde el punto H, partícula de excitación P desplazada una
distancia d desde el centro, masa m y amplitud de oscilación 1u .
Además, este péndulo cumple los requisitos funcionales, es decir, tiene una respuesta
en frecuencia aceptable y es relativamente inmune a las vibraciones sísmicas, el gran
problema de los dispositivos convencionales. Las vibraciones transmitidas a la
d
m
α α
117
plataforma desde el punto de suspensión H, se filtran mediante la elasticidad de los
cables y el dispositivo de enganche hasta hacerlas imperceptibles, mientras que las
vibraciones transmitidas por el punto de articulación son principalmente radiales y
no afectan a las medidas tangenciales. Se puede considerar, dentro del rango, que el
péndulo se comporta como un sólido rígido dotado de un único grado de libertad: el
giro alrededor del eje oblicuo OH. El hecho de tener un movimiento bien definido es
otra de las ventajas de este instrumento sobre las mesas orientables y los vibradores.
En cuanto a la respuesta dinámica del péndulo, resulta ser idéntica, en su forma
adimensional, al péndulo de microvibraciones y por tanto al péndulo elemental. La
ley dinámica deducida en el anexo A.VII. permite escribir la misma respuesta en
frecuencia, sin más que cambiar las definiciones de los parámetros:
θγ
=−
− +
B Ax
x x
2
2 2 2 2
1
1 4c h, (5.1.1)
siendo para este péndulo:
x A rg
B m u gI mr
P
P
= = =+
ωα
α/sin
sinΩ ΩΩ0 0
2 1
02
02 , , c h . (5.1.2)
La frecuencia propia y la de antirresonancia son, respectivamente:
Ω02 0
02
2=+
g qI mrP
sin( )α , ΩeP
gr
2 = sinα (5.1.3)
118
con los parámetros definidos en A.VII. Se observa que la altura del péndulo no
interviene directamente en la respuesta, sólo afecta al ángulo de inclinación α, que se
puede modificar fácilmente desplazando el punto H. La longitud de los cables sólo
modifica la transmisibilidad de vibraciones. El ángulo de inclinación es
preferiblemente pequeño, pero suficientemente grande para evitar desplazamientos
indeseados del punto de equilibrio.
La frecuencia de antirresonancia, al igual que para el péndulo elemental (capítulo 3),
viene dada por x Ae = 1/ , mientras que los límites de frecuencia cero e infinita
son, respectivamente, θ ω = =0 B y θ ω→∞ = A B .
La respuesta en función de la frecuencia y con el ángulo de inclinación α como
parámetro se representa en la Fig. 5.2. Se aprecia claramente el efecto de α, que
desplaza la frecuencia propia y el punto de amplitud nula a frecuencias mayores y
aumenta ligeramente las amplitudes de oscilación.
Amplitud de osc ilac ión: efec to de la inc linac ión
0 1 2 3 4 5
ω (rad / s)
0.1
0.2a = 0.25a = 0.1 a = 0.5
Fig. 5.2. Respuesta teórica no amortiguada con α como parámetro. m = 0.1 kg,
M = 35 kg, a = 0.35 m, b = 0.53 m, d = 0.1 m, 1u = 0.01 m.
θ
(mrad)
119
De la ecuación de respuesta (5.1.1), se puede deducir que, para una adecuada
combinación de los parámetros y amortiguamiento nulo se puede obtener una curva
de respuesta plana. Esto es así cuando A = 1, aunque resulte casi imposible de
obtener en la práctica debido al amortiguamiento, los efectos de segundo orden y
sobre todo a la gran sensibilidad que presenta la antirresonancia a la incertidumbre
de la frecuencia.
5.2 Modelo del servoacelerómetro pendular
Hasta la fecha, el tipo de acelerómetro comercial más apropiado para las técnicas
microgravitatorias con un coste accesible, es el denominado Q-Flex. Se trata de un
servoacelerómetro pendular de gran calidad y dotado de un nivel de integración
medio. El elemento sensible es un péndulo mecanizado sobre una oblea de cuarzo
amorfo, de gran estabilidad, controlado por captadores capacitivos y actuadores
electromagnéticos, en lazo cerrado. La resolución, en el mejor de los casos, es de 1
µg y el rango dinámico típico está en 106. Hasta la aparición de los Vibrating-Beam
este tipo de acelerómetros ha sido la única elección posible en el rango de señales
pequeñas y bajas frecuencias, incluida la frecuencia cero.
Los resultados que se presentan a continuación se pueden generalizar fácilmente a
otros tipos de acelerómetro, si bien está particularizado al servoacelerómetro
pendular. En el anexo A.VIII se deducen detalladamente las ecuaciones de los
modelos para permitir mayor fluidez en la exposición de los argumentos.
120
5.2.1 El servoacelerómetro pendular ideal
El modelo del acelerómetro pendular ideal ya se ha introducido en el capítulo 1. En
primera aproximación, el comportamiento se puede suponer parecido al del
acelerómetro lineal, para el que se dedujo la ecuación (1.1), repetida aquí:
δ δ+ = − ⋅Ω2 g a sb g .
Un modelo más detallado, pero todavía ideal, incluye el movimiento pendular de la
masa sísmica, considerada puntual. Así se ha deducido tanto en el capítulo 1
mediante la Mecánica Analítica, como en el anexo A.VIII mediante la ecuación de
conservación del momento cinético, resultando:
δ δ+ − +FHG
IKJ = −a g
lg an n
t tΩ2 , (5.2.1)
donde se ha empleado la terminología del apartado 1.1. La entrada normal al eje
sensible se acopla con el movimiento del péndulo sísmico y se manifiesta como una
perturbación de la frecuencia propia y por tanto del factor de escala. Este efecto es
una de las causas de la sensibilidad del factor de escala a la gravedad ambiental. En
el anexo A.VIII se deducen con detalle las ecuaciones de respuesta del acelerómetro
pendular ideal, incluyendo no sólo la aceleración transversal sino también los efectos
de rotación del sistema de referencia, que en general son despreciables.
La forma del factor de escala del acelerómetro ideal, definido como la relación entre
la intensidad de la corriente eléctrica generada y la aceleración en el eje sensible,
121
SF I a gt t= −/ ( ) , para el caso de gran rigidez del péndulo sísmico,
( ) / ( )a g ln n− <<Ω2 1 , es:
SFSF
x
x x
a gl
o a glo a
n n n n= − −
− +⋅ − + −F
HGIKJ1 1
1
2
2 2 2 2 2c h ( )γ Ω Ω (5.2.2)
donde x = ω / Ω , Ω2 = K m/ , γ a es el coeficiente de amortiguamiento viscoso
adimensional y:
SF Kx x
oG
a
= ⋅− +Ω2 2 2 2
11( ) ( )γ
(5.2.3)
es la conocida función de transferencia del sistema lineal de segundo orden, en la
que entra la ganancia del servo KG . La primera aproximación para la fase es:
cot cotφ φγ
= − ⋅ − + −FHG
IKJo
a
n n n n
xa g
lo a g
l1
2 2Ω Ω, (5.2.4)
con:
cotφγo
a
xx
= − −1 2
. (5.2.5)
La sensibilidad transversal se debe a la acción conjunta de una aceleración axial que
desplaza el péndulo sísmico de su punto de equilibrio y una aceleración transversal
que actúa simultáneamente y modifica la rigidez. Es, por tanto, proporcional al
producto de ambas aceleraciones, motivo por el que también se conoce como
sensibilidad cruzada. Se define el coeficiente de sensibilidad transversal (o cruzada)
δ C como el desplazamiento angular del péndulo sísmico por unidad de aceleración
122
axial en rad/g (McLaren, 1975). A partir de (5.2.1) y (5.2.2) y como primera
aproximación se puede tomar:
δ C l= 1
2Ω. (5.2.6)
Los servoacelerómetros pendulares reducen la sensibilidad transversal al aumentar la
ganancia y por tanto la rigidez y el ancho de banda Ω . Un valor típico para δ C suele
estar entre 10-6
y 10-4
rad/g, según la calidad del instrumento.
Una contribución a la sensibilidad transversal que no queda recogida por este
modelo ideal procede de los errores de alineamiento del eje sensible, que en cambio
se describen en los siguientes apartados y en el anexo A.VIII. Resulta que la
sensibilidad transversal de otros tipos de acelerómetros (no pendulares), se debe casi
exclusivamente a estos ángulos de desalineamiento.
Por otra parte, la rectificación por vibración aparece como consecuencia de la
sensibilidad transversal y la transmisibilidad de ruidos externos. Se manifiesta en un
error semejante al BIAS cuando el instrumento está sometido a vibraciones. Una
forma sencilla de interpretarlo es suponer que el acelerómetro está sometido a una
vibración senoidal formando un ángulo α con su eje sensible:
A A t A t
A t A t
C
C
medida = + =
= +
sin cos sin sin
sin cos sin ( ) sin( )
ω α δ ω α
ω α δ ω α
112
22 2
b g
El segundo término presenta un máximo en α = 45° y distorsiona la señal de salida.
Cuando se intenta medir una aceleración de baja frecuencia y bajo nivel y A
123
representa un ruido mecánico, un filtro pasabajos eliminaría el primer término, pero
no el segundo, cuyo valor medio es ( ) /A C2 2 4δ αsin y afectaría a la parte continua
de la señal de salida. Se dice que la vibración se rectifica. No conviene despreciar
este efecto sistemáticamente, sobre todo cuando se trabaja en ambientes ruidosos.
Baste observar que la amplitud de vibración entra al cuadrado, aunque esté mitigada
por δ C .
5.2.2 Modelo generalizado
Hasta ahora se han deducido ecuaciones que proporcionan la respuesta del
acelerómetro a partir de un modelo simplificado, que no es lo suficientemente
completo por no incluir los errores del cero ni los ángulos de desalineamiento.
Además, resulta difícil determinar con precisión los parámetros que intervienen en
cada ecuación, teniendo en cuenta que algunos son función de la temperatura. Es
necesario, por tanto, encontrar un modelo más general y práctico, como el que
proporcionan los fabricantes de estos instrumentos (Sundstrand Data Control, 1986).
El enfoque va a ser desde el exterior, se omite la constitución interna y nos
limitaremos a observar el funcionamiento real, pero teniendo en cuenta los principios
del instrumento ideal.
El servoacelerómetro pendular Q-Flex se comporta como una fuente de intensidad
eléctrica I proporcional a la aceleración neta proyectada en el eje sensible y al error
sistemático del cero (BIAS), como se ha deducido en el anexo A.VIII.:
I SF T A T BIAS T= +( , ) ( , ) ( )ω ω ,
124
siendo ( )TA ,ω dicha aceleración neta y T la temperatura. El circuito eléctrico de
realimentación se cierra externamente mediante una resistencia de carga en serie y la
lectura de la señal es la tensión de caída a través de la resistencia de carga,
convenientemente amplificada y filtrada. Resulta entonces un factor de escala global
H T( , )ω , además de una tensión de desviación (offset) debida a los circuitos de
tratamiento. La ecuación del modelo es finalmente:
V H T A T BIAS T V Ta = + +( , ) ( , ) ( ) ( )ω ω 0 (5.2.7)
Dentro de ( )TA ,ω están ocultos los ángulos de desalineamiento del eje sensible
definidos en el anexo A.VIII. En consecuencia, la calibración consiste en determinar
las siguientes funciones de la frecuencia y la temperatura de funcionamiento:
• H T( , )ω , factor de escala global medido en V/g.
• BIAS(T), error sistemático del cero debido al instrumento.
• V T0 ( ) , error del cero debido a los circuitos electrónicos externos.
• ψ ( )T y ϕ( )T , errores de alineamiento del eje sensible respecto a la carcasa.
5.2.3 Respuesta sobre el péndulo de microgravedad
A lo largo de la oscilación del péndulo de calibración, sobre el eje sensible se
proyecta la aceleración debida al movimiento y a la gravedad local por inclinación,
de manera que la aceleración neta está dada por:
A ddt
ωb g = ⋅ −s OP g( )2
2 , (5.2.8)
125
siendo s e u k u u k= + + = + +m m m s s sr1 2 3 1 2 3θ θ θ la orientación verdadera del eje
sensible respecto a la placa, expresada en dos sistemas de referencia ligados al
péndulo y que se utilizarán según convenga. Este vector incluye el desalineamiento
interno del acelerómetro y el error de montaje. Véase la figura 5.3 para la definición
de los sistemas de referencia sobre la placa.
O
H
e u
uGo
K1K
J
I
PGox0
yo
z0
e
u
k
Fig. 5.3. Referencia ligada al péndulo.
El vector de posición de la masa sísmica es OP OG G P u u ko o= + = + +r r rr1 2 3θ ,
estando los parámetros definidos en el anexo A.VIII. La gravedad es g k= − g 1 . La
aceleración del punto P, ( )ωA , resulta para ángulos pequeños y reteniendo términos
hasta de segundo orden en θ :
A r s r s r s r s g s g s g s sω θ θ θ α θ α α αb g b g= − − + + + + −( ) ( ) ( sin ) ( sin ) cos sin1 2 2 12
1 1 2 22
1 2 3 112
(5.2.9)
θu
ru e
k k1
j
i e
θu
θk
126
Ya se aprecia que surge un término constante que se va a acoplar con el BIAS y el
offset. Además, alguno de los términos del desarrollo de A puede resultar
despreciable frente a otros dependiendo del valor de los coeficientes. Es necesario
por tanto un análisis cuidadoso. En particular, el término en θ 2 sólo se presenta si
s s1 2 1/ />> θ , según se deduce de (5.2.9). Cada término tiene una interpretación
física sencilla:
− + ≡( )θ 21 1 2 2r s r s aceleración centrípeta .
( )θ r s r s1 2 2 1− ≡ aceleración tangencial .
− ≡g ssinα 1 término gravitatorio de orden 0 en ru .
θ α21 2g ssin / ≡ término gravitatorio de orden 2 en ru .
g scosα 3 ≡ término gravitatorio en k .
θ α θg ssin 2 ≡ término gravitatorio en u .
Se van a introducir las siguientes simplificaciones, debidas a la configuración de
ensayo:
1. El acelerómetro se coloca cerca del centro de la placa, alineado con OG0 ,
luego: x z b a0 0 2, /<< + , y0 0= .
2. El eje sensible se coloca casi tangencial, luego:
m m m1 2 31 1 1<< ≈ <<, , .
3. Ángulos pequeños: θ α<< << 1. Entonces:
r b a1 2
≈ + , r y2 0 0= = , s1 0≈ , s m2 2 1= ≈ .
127
Bajo estas condiciones y para un movimiento armónico de frecuencia angular ω y
amplitud θ , se obtienen las siguientes relaciones entre términos y sus órdenes de
magnitud:
ρθ1
1
1 1≡ ≈ >>acel. tangencialacel. centrípeta m
ρ ωαθ
2
2 2≡ ≈ +acel. tangencialterm. grav. u
( / )b ag
ρθθ
31 1≡ ≈ =term. gra.0
term. gra.ru
um O( )
ρ αθ αθ
43 1 1≡ ≈ + =term. gra.
term. gra.ku
m m O( )
ρθ
θ5
1
21≡ ≈ <<term. gra.2
term. gra.ru
um
En el caso de frecuencias altas, ω α>> +g b a/ ( / )2 , se verifica ρ2 1>> y el
término dominante es la aceleración tangencial. Para frecuencias bajas, sin embargo,
dominan los términos gravitatorios. Por tanto, reteniendo ambos términos, se obtiene
una expresión simplificada, válida en todo el rango de frecuencias, para la
aceleración neta:
A b a m g m gm= + + +( / ) sinθ θ α2 2 2 3 , (5.2.10)
expresión que al introducirla en la ecuación del modelo del acelerómetro permite
predecir la respuesta del acelerómetro sobre el péndulo:
V H T b a m g m gm BIAS T V Ta = + + + + +( , ) ( / ) sin ( ) ( )ω θ θ α2 2 2 3 0 . (5.2.11)
128
Con el péndulo en reposo y sin descentramiento, la salida es constante y vale:
V H T gm T BIAS T V Ta = + +( , ) ( ) ( ) ( )0 3 0 , (5.2.12)
donde se vuelve a observar cómo se acoplan términos gravitatorios y el error del
cero.
5.3 La instalación de calibración
La instalación de calibración consta de:
• Péndulo de calibración
• Sistema de excitación
• Sistema de medida de oscilación
• Sistema de nivelación y orientación de acelerómetros
• Circuitos de tratamiento y adquisición de señales
El péndulo se ha descrito en el apartado 5.1 y la respuesta del acelerómetro sobre el
mismo en el 5.2. La instalación se completa con la instrumentación del péndulo:
sistemas de excitación y medida de oscilación, así como el dispositivo de nivelación
y orientación del acelerómetro sobre la plataforma.
Dado que la campaña de ensayos formaba parte del desarrollo del satélite UPM Sat 1
y por no tener que calibrar independientemente su sistema de adquisición de datos se
utilizó el mismo sistema de tratamiento y adquisición, formado por una tarjeta
129
analógica y los conversores A/D y D/A del ordenador de a bordo. El siguiente
esquema clarifica la configuración de la instalación:
Servo velocidadMotor
Amplificadoresy Filtros
Acelerómetros
FiltrosFASOP
Tarjeta analógicaOrdenador
ConversorD/A
Conversor
A/D
V Bias
V consigna
V FASOP
V tempV acel
Fig. 5.4. Esquema de la instalación.
Para la correcta calibración del acelerómetro es necesario que todos los equipos
utilizados estén a su vez calibrados. Los equipos empleados son el captador óptico,
el sistema de excitación y los acelerómetros, todos ellos con sus circuitos asociados.
La calibración correcta del captador óptico es la base de la técnica, ya que mide el
desplazamiento del péndulo y por tanto la aceleración que entra por el eje sensible y
su frecuencia. Con la frecuencia de la señal generada por el captador óptico y la
tensión de consigna del servo de velocidad, se calibra el sistema de excitación. Con
la magnitud del desplazamiento, la frecuencia y la salida del acelerómetro, se
determina su función de respuesta.
130
Sistema de excitación
La excitación es armónica y de tipo mecánico. Se comunica un desplazamiento lineal
armónico a la masa m mediante un motor de corriente continua cuya velocidad se
controla mediante un servomecanismo construído con tal propósito. El control se
consigue gracias a una dinamo de precisión ligada al motor y que genera la señal de
error respecto a la tensión de consigna, como se representa en la figura.
Dinamo
Motor
+
-consigna
w
-+ Vs
Fig. 5.5. Esquema funcional del servo de control. Vs es la alimentación del
motor. Véase la Fig. 5.9 para más detalle.
El paso del movimiento rotatorio al lineal se realiza mediante dos ruedas dentadas
contrarrotatorias con dos masas excéntricas simétricas (Fig. 5.6). La transmisión del
motor al mecanismo es una junta Cardan, con lo que se evita la infiltración de
vibraciones del motor y el efecto negativo del desalineamiento de los ejes de
rotación. Entre motor y junta hay un reductor de relación 1:66. El motivo de utilizar
dos masas contrarrotatorias es anular el momento cinético y así evitar fuerzas de
reacción en los enganches del péndulo. El movimiento de excitación resulta estar
contenido en el eje vertical del esquema y equivale al desplazamiento lineal de una
masa m.
131
Fig. 5.6. Concepto del mecanismo de excitación.
Las ventajas de este sistema son su sencillez y la precisión en el rango de las bajas
frecuencias, como se ha podido comprobar experimentalmente. Entre los
inconvenientes están el ruido mecánico generado por el motor y los mecanismos a
frecuencias altas, pero sobre todo la ligadura entre la aceleración de excitación y la
frecuencia.
Sistema de medida de oscilación
Para la medida de la oscilación del péndulo se ha utilizado el captador óptico marca
FASOP con su amplificador asociado CLSK-10. Se trata de un detector
optoelectrónico, basado en radiometría, de gran sensibilidad. Está constituido por el
amplificador, que incluye el sistema emisor-receptor, el módulo de alimentación
pulsante y sincronización y los circuitos de tratamiento; y por otra parte por el
sistema de transmisión óptica, formado por conector, fibras ópticas y cabezal de
detección. El emisor es un diodo infrarrojo IRED (880 nm) y el detector un
fototransistor.
u(t)
m / 2 m / 2
132
Es necesario calibrar el captador antes de cada ensayo con el péndulo debido a la
respuesta no lineal y a la deriva del cero. Conviene adelantar que es este captador la
principal fuente de error en la técnica de calibración de acelerómetros descrita en
este capítulo. Como mejora se propone el uso del sensor Keyence PA-1810,
empleado en el capítulo 4 para la medida de microvibraciones, en lugar del captador
FASOP.
Sistema de nivelación y orientación
La sujeción de acelerómetros de precisión es un problema delicado. Por una parte es
necesario un alineamiento lo más perfecto posible entre el eje sensible del
acelerómetro y el eje geométrico del soporte, lo que implica tolerancias de forma y
acabados especiales en las superficies de referencia de acelerómetro y soporte. Por
otra parte, la unión debe ser firme, pero sin deformar las superficies de referencia.
Cada modelo de acelerómetro lleva especificaciones de tolerancias, acabados
superficiales, tipos de tornillos y par de apriete, todo ello compatible con el error de
alineamiento interno. En el montaje hay que prestar especial atención a las
herramientas utilizadas, se procurará no golpear la superficie del acelerómetro con
elementos puntiagudos para evitar rayaduras y daños internos, y se aplicará el par de
apriete indicado.
Durante los ensayos es necesario poder orientar el eje sensible del acelerómetro en
un plano horizontal respecto a la gravedad local. Para ello se ha construido una mesa
de orientación que permite nivelar la superficie de referencia mediante giros sobre
dos ejes ortogonales, según el método que se describe en el capítulo 2. La mesa
consta de una tabla que contiene la superficie de referencia y tres puntos de apoyo
situados en los vértices de un triángulo rectángulo. Uno de los puntos es fijo,
133
mientras que los otros dos son de altura variable. La altura de los puntos de apoyo se
regula mediante tornillos micrométricos Mitutoyo de 0.1 µm de precisión, con lo que
se resuelve un ángulo de inclinación de 0.5 µrad, que equivale a 0.5 µg al
proyectarse la gravedad en el eje sensible. El proceso de nivelación es una operación
delicada, puede durar del orden de horas hasta alcanzar un desnivel que produzca
una señal inferior a 1 µg.
Superficie circular de referencia rectificadaPieza: tabla de la mesa de calibración.Material: acero.
Fig. 5.7. Tabla de la mesa de orientación. Diseño y fabricación: Laboratorio
de Fabricación, ETSIA.
70
134
Circuitos de medida y tratamiento de señales
Las cinco señales representadas en la Fig. 5.4 son las que se registran en la
calibración. La señal llamada V Bias es la autocorrección de BIAS realizada por el
ordenador para prevenir la saturación de los amplificadores de los acelerómetros.
Conviene mantener V Bias = 0 V durante los ensayos de calibración para comprobar
el comportamiento del offset y del BIAS.
A continuación se describen con más detalle los circuitos de la tarjeta analógica:
LT1014+
+LTC1052--
--
V+
V+
V--
V--
V Bias
V OutI Acel
1 K
101 K
330 nF
22 K
220 K
330 nF
150 K15 nF
220 K
1ª Etapa 2ª Etapa
Fig. 5.8. Tratamiento de la señal del acelerómetro (Hernández, 1992).
Los circuitos de tratamiento de la señal de cada acelerómetro constan de dos etapas.
La primera etapa tiene las siguientes características:
135
• Resistencia de carga del acelerómetro de 1 kΩ.
• Filtro pasabajos de primer orden de 4.8 Hz.
• Amplificador LTC1052 con autocompensación de offset por
conmutación e intensidad de polarización de 5 pA, equivalente a 3 ng.
• Ganancia de la etapa de 101 mV/µA.
La segunda etapa es un filtro Butterworth de 2º orden y 7 Hz. En esta etapa entra la
corrección del Bias, procedente del conversor D/A. Tiene una ganancia adicional de
10 V/V.
Todo el conjunto tiene una ganancia de 1010 mV/µA sobre 1 kΩ de carga. La salida
está en el rango de ± 12 V, es decir, la aceleración máxima medible será ± 8 mg. En
estas condiciones un escalón del conversor A/D equivale a 0.99 µg, con lo que la
resolución teórica del equipo es del orden de 1 12/ µg. En la práctica esta cifra es
inalcanzable y se estima en varios escalones del conversor.
En cuanto al servo de velocidad, el circuito corresponde a un sistema de control
proporcional-integral, que en estado estacionario responde a la ecuación VDinamo
/220 + VConsigna /680= 0. El amplificador operacional, con ganancia 47/5, gobierna
el circuito de potencia que ataca al motor. Los diodos protegen al motor en caso de
sobretensión.
136
V+
V+
V-- V--47 K
1 uF
1 K
330 pF
TL082 L149 M--
+
5 K
220 KV Dinamo
V Consigna 680 K
Fig. 5.9. Circuito del servomecanismo de excitación (Hernández, 1992).
El captador óptico ya dispone de sus propios circuitos de tratamiento de señal en la
tarjeta denominada CLS-K10. Sólo se añade un filtro RC pasabajos de 33 Hz.
5.4 Método de calibración
El método de calibración está basado en las mismos principios que el del apartado
4.1. En este caso se centra la exposición en las diferencias debidas al propio
acelerómetro, es decir, el error de BIAS y la orientación.
La cadena de medida se ha descrito detalladamente en el apartado 5.3. Aquí nos
interesan sus características funcionales, que son:
1. Resistencia de carga RL = 1 kΩ
2. Tensión de offset V0 = 1,5 mV ≅ 1 µg
3. Ganancia G = 1010 V/V
4. Rango de salida ±12 V ≅ ± 8 mg
137
5. Factor de escala del acel. (aproximado) SF ≈ 1,4 mA/g
6. Factor de escala total (estimado) H ≈ 1.4 V/mg
Estas características pueden variar en los montajes reales y son sólo estimaciones
preliminares. El objeto mismo de la calibración es determinarlas con precisión.
La ecuación que determina la salida del acelerómetro para una cierta entrada en la
calibración es la (5.2.11) del modelo generalizado, repetida aquí por conveniencia:
V H T b a m g m gm BIAS T V Ta = + + + + +( , ) ( / ) sin ( ) ( )ω θ θ α2 2 2 3 0 ,
en la que está incluída la función de transferencia de los circuitos de tratamiento
(filtros + amplificador), luego:
H T SF T R T G TL( , ) ( , ) ( ) ( , )ω ω ω= ⋅ ⋅ .
Las incógnitas de la calibración son por tanto:
H(ω,T), BIAS(T), m2(T) y m3(T),
habiendo supuesto V T0 ( ) conocido por medida previa (y despreciable). Se observa
que la parte continua de la señal procede de BIAS + gm3.
138
5.4.1 Procedimiento simplificado
El acelerómetro se orienta tangencialmente con m2 ≈ 1, sin determinarlo, e
imponiendo y0 = 0. Esta calibración simplificada es dinámica, lo cual significa que H
es una función de la frecuencia, pero no se determinan los cosenos directores.
Al igual que para el acelerómetro piezoeléctrico, se utiliza la calibración del sensor
óptico, de manera que la amplitud de la señal registrada es:
V H Los os os= θ . (5.4.1)
No se considera el error de nivelación porque una operación previa es precisamente
la nivelación por el procedimiento descrito en el capítulo 2 y conocida en la
literatura especializada por tilting test. Para ello se utiliza el dispositivo descrito en
5.3.
Al introducir (5.4.1) en (5.2.11) se obtiene la expresión buscada:
H m H Lg b a
VV
os os a
os
⋅ =− +2 22sin /α ωb g , (5.4.2)
que como se puede comprobar es totalmente análoga a la (4.3.1). En este caso, sin
embargo, permanece acoplado el coseno director m2. Un ensayo de calibración
típico, por tanto, consiste en excitar el péndulo armónicamente y medir las
amplitudes de salida del captador óptico y el acelerómetro, a cada frecuencia y
temperatura.
139
Por otro lado, la parte continua de la señal de salida Vac h no permite determinar el
BIAS ni los cosenos directores, pero en primera aproximación dice:
BIAS gm V VH ma+ ≈ −
⋅30
2
.
5.4.2 Calibración completa
En base al procedimiento simplificado, se puede separar m2 de ( )TH ,ω y determinar
la orientación del eje sensible sobre la plataforma del péndulo. Será necesario
modificar la orientación del acelerómetro utilizando la mesa orientable, como se
representa en la Fig. 5.11. Los giros que se imponen, ∆α y ∆β , son muy pequeños,
por lo que se puede seguir considerando que la orientación es tangencial.
Fig. 5.10. Giros sobre el péndulo en la calibración completa.
0α0β
s
θu
e
θk
α∆
β∆
140
El procedimiento consiste en aplicar el método simplificado tres veces consecutivas
con orientaciones diferentes, de manera que se obtienen tres medidas de H·m2:
H m H
H m H
H m H
⋅ =
⋅ = +
⋅ = + +
2 0 0
2 0 0
2 0 0
cos cos
cos( ) cos
cos( ) cos( )
'
''
α βα α βα α β β
∆
∆ ∆
Se miden ∆α y ∆β , para determinar H·m2 después de cada giro. La solución del
sistema anterior es:
tansin
cos
tansin
cos
'
''
'
αα
α
ββ
β
02
2
02
2
1
1
= −LNM
OQP
= −LNM
OQP
∆∆
∆∆
HmHm
HmHm
(5.4.3)
H Hm= 2
0 0cos cosα β (5.4.4)
De forma análoga también se determina el coseno director m3 y por tanto el BIAS.
141
5.4.3 Incertidumbres de medida
Se procede en este apartado de forma análoga al 4.3, es decir, se calculan los
coeficientes de sensibilidad de la expresión utilizada para determinar el factor de
escala y se aplican los principios de la “Guía ISO para la Expresión de la
Incertidumbre” (ISO, 1995). En primer lugar se trata el procedimiento simplificado y
depués al completo. A diferencia del acelerómetro piezoeléctico y dada su
importancia en las aplicaciones de microgravedad, los errores de alineamiento y
sensibilidad transversal no se tratan en este caso de forma estocástica, sino
determinista.
Incertidumbres en el procedimiento simplificado
En la expresión (5.4.2), las magnitudes sometidas a incertidumbre son las mismas
que para la expresión equivalente del acelerómetro piezoeléctrico, (4.3.1), pero
además entra el ángulo de inclinación del péndulo, α. De esta manera, la
incertidumbre viene dada por la expresión:
u C uHm i i2
2 2 2=∑ ,
siendo:
C Hm Lg L
a
aω
ωα ω
=−
22
2sin
, C Hmg LLa
a
=−
22
2
ωα ωsin
, C Hm gg La
αα
α ω=
−2
2
cossin
,
C HmVa
a
= 2 , C HmVos
os
= 2 , C HmHH
osos
= 2 , C HmLLos
os
= 2 .
142
Se ha utilizado L b aa = + / 2 por semejanza con el piezoeléctrico. En este método se
podría introducir el alineamiento y la sensibilidad transversal como incertidumbres,
pero es algo que se reserva para determinarlos por el procedimiento completo. Se
tiene por tanto:
uHm
Lg L
u gg L
u Lg L
uL
uV
uV
uL
uH
Hm a
a a
a
a
La
a
a
a
os
os
Los
os
H
os
os
2
2
22
2
2
2 2
2 2
22
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2=−
FHG
IKJ +
−FHG
IKJ +
−FHG
IKJ
+ + + +
ωα ω ω
αα ω
ωα ω
ωαsin
cossin sin
(5.4.5)
En la tabla 5.1 se resume la estimación de los términos de incertidumbre de tipo B en
la ecuación anterior. Como se puede apreciar domina la incertidumbre del ángulo de
inclinación, resultando la incertidumbre total en torno al 1%.
Incertidumbres en la calibración completa
Las expresiones (5.4.3) y (5.4.4) permiten deducir la siguiente expresión de la
incertidumbre de H:
uH
uHm
u uH Hm2
20 0
2 2
22 0
2 202 21 2 2 2≈ + +
FHG
IKJ + +α
αββ
α βα β∆ ∆ ∆ ∆ , (5.4.6)
luego, al ser despreciables los coeficientes de los giros, la incertidumbre en la
calibración completa está gobernada por la del procedimiento simplificado y por
tanto todo esfuerzo de análisis y mejora debe centrarse en él.
143
Tabla 5.1. Incertidumbres de tipo B típicas que entran en la ecuación (5.4.5)
Denominación y aclaraciones Coeficiente de
influencia
Incertidumbre Contribución
a
u HmHm2 2
2/d i
Resolución en acel.= 10-3 V
Va = 0.10 V
1
uV V
a
a a
= ≈resolution12
3⋅10-3
8⋅10-6
Res. en oscilación = 10-3 V
Vos =0.10 V
1
uV V
os
os os
= ≈resolution12
3⋅10-3
8⋅10-6
Res. en frecuencia= 10 mrad/s
ω = 6 rad / s 2 22
2
ωα ωg
La
sin −≈
uω
ω ω= ≈resolution
125⋅10-4
10-6
Radio de rotación del acel.
La = 705 mm, uLa ≤ 5 mm ωα ω
2
21g
La
sin −≈
uL
La
a
≈ ⋅ −7 10 3
5⋅10-5
Longitud óptica
Los = 870 mm, res. mm≈ 5
1
uL L
Los
os os
= ≈resolución/ 12
2⋅10-3
3⋅10-6
Sensibilidad óptica
Hos ≈ 4 V/mm, uH ≈ 0.02
V/mm
1
uH
H
os
≈ 5⋅10-3
2⋅10-6
Ángulo de inclinación
α ≈ 0 2. rad , uα ≈ 0.005 rad
gg La
cossin
αα ω−
≈2 0.4
uα
α≈ 0.025
10-4
144
La determinación precisa de los ángulos es más delicada, como se deduce de:
u uu
HmHm
α αα α0
222
22
2
22
2 2≈ +∆ ∆∆b g b g b g
u uu
HmHm
β ββ β0
222
22
2
22
2 2≈ +∆ ∆∆b g b g b g
donde se ha considerado que los ensayos para la determinación de Hm2 son
estadísticamente independientes. Se observa que la incertidumbre de los ángulos está
mal condicionada, al contrario de lo que ocurre con H.
Compensación de la sensibilidad transversal
Una vez determinado el factor de escala H o su aproximación Hm2, se obtiene el
factor de escala interno del acelerómetro, SF, siempre que sean conocidos todos los
factores de transferencia de la electrónica y su dependencia con la frecuencia y la
temperatura. Basta aplicar entonces:
SF T H TR T G TL
( , ) ( , )( ) ( , )
ω ωω
= .
Aún más, por aplicación del modelo ideal de 5.2.1, se puede compensar el efecto de
sensibilidad transversal, es decir, se obteniene el factor de escala en ausencia de
aceleración y gravedad transversales. Mediante las expresiones (5.2.2) y (5.2.6) del
modelo ideal, se deduce:
145
SF SF x T x
x xa go
a
C n n= ⋅ + −
− +⋅ −
L
NMM
O
QPP( , )
( )1 1
1
2
2 2 2c hb g
γδ (5.4.7)
donde x = ω / Ω y δ C es el factor de sensibilidad cruzada, que suele proporcionar el
fabricante, así como la frecuencia propia Ω y el amortiguamiento γ a .
5.5 Resultados experimentales y discusión
A continuación se representan gráficamente los resultados de una calibración típica
por el procedimiento simplificado. En primer lugar se calibran el sensor óptico y el
excitador, dada la necesidad de obtener estimaciones correctas de las incertidumbres
de medida descritas en el apartado 5.4.
El sensor óptico FASOP no tiene un respuesta lineal, como se deduce de la figura
5.11. Obsérvese que la escala vertical es logarítmica. La curva de ajuste utilizada es
cuadrática, aunque la respuesta real es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Se usa este procedimiento para obtener un factor de escala fiable al aplicar
el método de mínimos cuadrados. De la curva de residuos se deduce la conveniencia
de trabajar en el entorno de 4.3 mm como punto central, resultando así una
sensibilidad de 1.8 V/mm, aproximadamente. En la práctica habitual sobre el
péndulo, sin embargo, se han relizado calibraciones más finas en torno al punto
central.
146
Calibración de FASOP
1
10
3 4 5 6 7 8 9 10
X (mm)
Vsalida exp. (V)
F(x)=10,14751-1,83374·x+0,094096·x 2
Residuos de cal. FASOP
-0.1
0
0.1
3 4 5 6 7 8 9 10
x (mm)
V
Fig. 5.11. Calibración del sensor óptico FASOP, curva de regresión y residuos.
Tensión de salida V en función de la distancia x.
La Fig. 5.12 representa la curva de respuesta del mecanismo de excitación,
demostrando su excelente linealidad y precisión.
147
Calibración del sistema de excitación
V = 0,3948 w + 0,0017R2 = 0,9999
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7
(rad/s)
V
ω
Fig. 5.12. Calibración del sistema de excitación. Tensión aplicada frente a
frecuencia de respuesta, recta de regresión y coeficiente de
correlación.
La respuesta del péndulo construido comparada con la teórica se representa en la Fig.
5.13, habiendo calculado los parámetros desconocidos por ajuste. Se ha seguido un
procedimiento semejante al capítulo 4 en el ensayo de barrido en frecuencia. La
diferencia entre el modelo y la respuesta medida, fuera de la resonancia y la
antirresonancia, se debe a la dificultad de estimar los coeficientes adimensionales.
Sin embargo, desde el punto de vista de la calibración de acelerómetros, como ya se
estudió en el capítulo 4, dichos parámetros no son esenciales más que para el control
del péndulo y no intervienen en el proceso de calibración.
148
Respuesta del péndulo
0 1 2 3 4 5 6 7(rad/s)
(rad) exp.modelo
10
10
-5
-4
ω
Fig. 5.13. Amplitud de las respuestas teórica y experimental del péndulo en
función de la frecuencia angular de excitación para α = 0.172 y
M = 35 kg. Parámetros adimensionales: A = 1.8, B = 5⋅10-5, γ = 0.1.
Por aplicación del método simplificado, se obtiene la calibración del acelerómetro
Q-Flex del tipo Sundstrand QA-700, representada en la figura 5.14. Especialmente
destacable es la corrección por gravedad. La curva de aceleración tangencial, que no
incluye la proyección de la gravedad durante la oscilación del péndulo, no reproduce
bien la respuesta del acelerómetro, mientras que la aceleración neta sí se ajusta
fielmente a la aceleración medida.
Como variante de la técnica, se ha calculado un factor de escala Hm H2 ≈ ajustado
por mínimos cuadrados en todo el rango de frecuencias. Este procedimiento es
obviamente impreciso, pero permite obtener un valor único para H cuyo error
cuadrático es mínimo. Se ha comprobado que las variaciones del factor de escala así
calculado son despreciables por encima de la resonancia, aunque no tanto a
θ
149
frecuencias bajas, como se observa en la Fig. 5.15. Se puede comprobar que a bajas
frecuencias el factor de escala global parece ser ligeramente mayor, si bien las
incertidumbres de medida están influyendo en las cercanías de la antirresonancia.
Calibración del acelerómetro Q-Flex
0 2 4 6(rad/s)
aceleración neta en gaceleración medida H=1542,6 V/gaceleracion tangencial en g
100
200
µg
ω
Fig. 5.14. Calibración del acelerómetro Sundstrand QA-700 sobre el péndulo
de microgravedad. Se compara la aceleración tangencial sin
corregir por gravedad, la aceleración neta y la señal medida por el
acelerómetro.
150
Calibración del acelerómetro Q-Flex
0 1 2(rad/s)
aceleración neta en gaceleración medida H=1542,6 V/gaceleracion tangencial en g
µ g
0.1
10
1000
ω
Fig. 5.15. Detalle de la Fig. 5.14 en las bajas frecuencias.
En la Fig. 5.16 se ve que el residuo de calibración al aplicar este método de
calibración puede ser aceptable, sobre todo si se tiene en cuenta que está en torno a
las incertidumbres de medida, excepto quizá cerca de la antirresonancia. Sin
embargo, se detecta una cierta tendencia del residuo a un valor constante por debajo
de la antirresonancia, lo cual implica un peor ajuste de la sensibilidad global en el
rango de bajas frecuencias.
Calibración: residuos
0 2 4 6
µg
(rad/s)
0
4
-4
-8
w
Fig. 5.16. Residuos en g de la calibración de la figura 5.14.
151
Obviamente, la aproximación del factor de escala constante en todo el rango de
frecuencias no es un procedemiento ideal. Se debería calcular el factor de escala H
de la misma manera que en el capítulo 4 para cada frecuencia. Además, en todo
rigor, se debería expresar un incertidumbre asociada a cada medida, que debe estar
en torno al 1%, en lugar de un residuo de calibración. Sin embargo, se ha mostrado
aquí este procedimiento para comprobar la necesidad de medir independientemente a
cada frecuencia y de esta manera incluir las variaciones del comportamiento del
propio acelerómetro y de los circuitos asociados en todo el rango de frecuencias.
152
153
6. CONCLUSIONES
El trabajo presentado en esta Tesis ha consistido en el desarrollo de técnicas de
calibración de acelerómetros específicas para los ambientes microgravitatorio y
microvibratorio. Las técnicas tradicionales, como la calibración sobre vibradores, no
permiten alcanzar los niveles de aceleración ni los rangos de frecuencias requeridos
sin la utilización de costosos sistemas de excitación y medida, además de no
incorporar adecuadamente la gravedad local en los modelos de respuesta de
acelerómetros e instrumentos de referencia.
Las aportaciones originales se centran en el instrumento generador de señales de
referencia y en la inclusión de la gravedad local en los modelos, además de efectos
colaterales como son la sensibilidad transversal y los errores de alineamiento. Sobre
todo se trata de calibraciones en tierra, basadas en procedimientos sencillos e
instrumental estándar, capaces de alcanzar niveles del orden de 1 µg en el intervalo
de frecuencias entre 0 y 100 Hz con una incertidumbre en torno al 2%.
El instrumento que permite realizar las calibraciones es un péndulo. Las técnicas de
calibración existentes anteriormente están basadas en otros dispositivos, como
vibradores, mecanismos giratorios o plataformas inclinables. La dinámica y el
control de estos otros dispositivos son bastante más complejos y se ha comprobado
que los resultados que ofrecen no son satisfactorios en las aplicaciones mencionadas.
A diferencia de ellos, los péndulos de calibración aquí desarrollados son fácilmente
controlables y responden a leyes dinámicas simples, alcanzando los requisitos con un
coste muy reducido. Conviene destacar las siguientes características:
154
• Los péndulos construidos responden todos a un modelo adimensional unificado,
el denominado péndulo elemental. A partir de él se pueden materializar los
péndulos de microgravedad y microvibraciones, que corresponden en realidad a
límites opuestos en el rango de frecuencias y tienen parámetros dimensionales
muy diferentes.
• La función de transferencia entre la excitación del péndulo y la amplitud de
oscilación se caracteriza principalmente por la asíntota horizontal a altas
frecuencias, lejos de la resonancia. El valor constante y finito al que tiende la
amplitud de oscilación es su principal virtud, ya que permite obtener niveles de
aceleración controlables a cada frecuencia y sin bajar necesariamente de la
resolución en la medida de la oscilación. Otros dispositivos presentan respuestas
de oscilación que caen con la frecuencia hasta niveles casi indetectables.
• La antirresonancia, que es la respuesta nula del péndulo a una frecuencia
determianada, obedece a un comportamiento muy particular. La ley dinámica a la
frecuencia de antirresonancia es semejante a la ecuación de Mathieu, dando lugar
a un estudio acerca de la estabilidad del péndulo elemental. La solución analítica
se ha obtenido por el método de perturbaciones (escalas múltiples), reteniendo
correctamente los efectos de modulación (beating) y perturbación de la pulsación.
Los límites de estabilidad se han obtenido aplicando la teoría de Floquet y el
método de coordenadas dilatadas, mientras que la solución numérica ha permitido
complementar la solución analítica en el rango no lineal. El resultado de este
análisis de la antirresonancia en cuanto a la dinámica es la posibilidad que
presentan los péndulos de microgravedad y microvibraciones de responder con
oscilaciones no acotadas y entrar en el régimen no lineal. Este fenómeno,
155
conocido por resonancia paramétrica, sólo es posible para ciertas combinaciones
de los parámetros definidas por los límites de estabilidad. En la práctica, sin
embargo, se ha comprobado que los péndulos construidos están dentro de la
región estable del plano de los parámetros.
• Otro hecho importante es el enorme aumento de la incertidumbre de medida en
las antirresonancias, lo cual inhabilita estos puntos para los procedimientos de
calibración.
El fundamento de la calibración es la determinación de la función de transferencia
del acelerómetro a la oscilación del péndulo. A partir de la oscilación medida se
deduce la aceleración neta, diferencia entre la aceleración cinemática captada por la
masa sísmica y la aceleración de la gravedad local, proyectada en el eje sensible. Las
características de mayor importancia son las siguientes:
• Uno de los principios de la calibración es la independencia del procedimiento
respecto a los parámetros del péndulo (A, B y γ), siempre que su diseño permita el
control dentro del rango de interés.
• El límite tecnológico más importante viene dado por el sensor óptico, que define
la resolución en la medida de oscilaciones. Típicamente se han obtenido
resoluciones en oscilación de 0.1 µm. Sin embargo, en la práctica se presentan
fuentes de incertidumbre adicionales, como ocurre por ejemplo con el radio de
giro del acelerómetro.
156
• Se ha prestado especial atención al aislamiento de vibraciones exteriores, de
origen sísmico fundamentalmente. Esto se ha llevado a cabo por análisis,
obteniendo la función de transmisibilidad, y por medios experimentales,
ajustando convenientemente las frecuencias propias de los mecanismos de
suspensión.
La calibración de acelerómetros piezoeléctricos para la medida de microvibraciones
se ha llevado a cabo en el intervalo entre 1 y 100 Hz y a niveles comprendidos entre
1 µg y 1 mg, aproximadamente. Como resultados se tiene:
• La incertidumbre en estas calibraciones es del orden del 4%, asociada al
mecanismo de suspensión. Una mejora de dicho dispositivo podría conducir a una
incertidumbre del 2%, que representa el límite del sensor óptico.
• En cuanto a la medida de la resolución de los acelerómetros, se ha podido bajar
hasta el nivel de 0.1 µg, pero con incertidumbres superiores al 10%.
• La principal virtud de esta técnica de calibración es la eliminación de la influencia
de sensibilidad transversal y desalineamientos. Ambos se han tratado como
incertidumbres de medida y se ha demostrado que su coeficiente de sensibilidad
se puede hacer tan pequeño como sea necesario controlando un parámetro
geométrico, el descentramiento del acelerómetro, de manera que su contribución a
la incertidumbre se vuelve irrelevante.
157
Al contrario que en el caso de microvibraciones, la calibración sobre el péndulo de
microgravedad incluye la determinación de la sensibilidad transversal y el
desalineamiento del eje sensible. Se obtienen ambos, además del factor de escala y el
error del cero (BIAS), mediante la técnica llamada calibración completa. Los
resultados experimentales hasta la fecha, sin embargo, se limitan a un procedimiento
simplificado que contempla el factor de escala únicamente. En resumen:
• Se ha determinado por el método simplificado el factor de escala de varios
acelerómetros Q-Flex a frecuencias entre 0 y 1 Hz y a niveles entre 10 µg y 10
mg, aproximadamente, con una incertidumbre del 1%.
• Nuevamente se debe esta incertidumbre a parámetros geométricos cuya
determinación es poco fiable, si bien una mejora de la instalación proporcionaría
un 0.5% de incertidumbre, en el mejor de los casos.
• La calibración completa, que permite la determinación de todos los parámetros
del modelo, no se ha llevado a cabo por el grado de complicación técnica respecto
al método simplificado.
Los trabajos futuros, como ya se ha venido indicando, deben centrarse
necesariamente en:
• Mejora del mecanismo de suspensión para reducir la incertidumbre en la
calibración para microvibraciones.
158
• Aplicación de la calibración completa para el entorno microgravitatorio.
• Continuación del análisis no lineal del péndulo elemental respecto a la
antirresonancia.
El segundo punto es de especial relevancia, ya que permitiría calibrar completamente
en tierra los acelerómetros necesarios en la aplicaciones típicas de las tecnologías
espaciales. De esta manera se podría reducir en gran medida el coste de desarrollo y
operación de instrumentos y sistemas espaciales.
159
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167
8. ANEXO: DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES
DE LOS MODELOS
Este anexo contiene el desarrollo de las ecuaciones de los modelos físicos utilizados en
la exposición de los capítulos previos. Se han separado los desarrollos matemáticos
involucrados en la dedución de las ecuaciones con el objeto de facilitar la exposición del
contenido y la discusión de los argumentos.
A.I El péndulo elemental
Este péndulo, descrito en el apartado 3.1 mediante la figura 3.1.1, se utiliza como punto
de partida en la descripción dinámica de los péndulos de calibración. En él se sintetizan
todas las propiedades de los péndulos de calibración en un único modelo de gran
simplicidad. Aquí se expone la deducción de los modelos matemáticos, utilizando la
notación del apartado 3.1.
A partir de las expresiones de la energía cinética T y potencial V, dadas por las
expresiones:
T M L m L u uM e= + + +LNM
OQP
12
12
2 2 2θ θ θd i d i d i ,
V MgL mg L u k uM e m= − − − + −cos cos sin ( )θ θ θ δb g 12
2 ,
se obtiene la función Lagrangiana L = T - V. En principio L depende de u y θ . También
se puede analizar la respuesta a una excitación senoidal en u:
168
u t u tm( ) sin= +δ ω1 ,
y en este caso la dinámica queda descrita por la ecuación de Lagrange:
ddt
L L∂∂ θ
∂∂ θ
FHGIKJ − = 0 ,
donde ya se puede anticipar que al introducir la ligadura geométrica en la variable u,
ésta deja de intervenir en la dinámica más que por su dependencia temporal y la
constante elástica del muelle desaparece.
En estas condiciones se obtiene la ley dinámica:
ML m L u t mu t u t ML mL g mgu t mL u tM e M e e2 2 2 2+ + + + + = − −( ) ( ) ( ) sin ( ) cos ( )d i b gθ θ θ θ ,
(A.I.1)
que resulta ser no lineal en θ por el término sinθ . En este modelo no se ha incluido
disipación. Se puede introducir en la ecuación de la dinámica sustituyendo el coeficiente
de θ por un amortiguamiento viscoso cuyo coeficiente va a ser de orden mayor al que
aparece en (A.I.1). Por tanto, con los siguientes coeficientes adimensionales y
frecuencias características:
ς δ0 = m
eL, ς 1
1= uLe
, λ22
2 2=+
mLmL ML
e
e M
,
169
Ω02
2 2= ++
mL MLmL ML
ge M
e M
, Ωee
gL
2 = ,
reemplazando 22 2
muumL MLe M+
por 2 0γ Ω y linealizando para θ << 1, se obtiene:
1 220 1
20 0
2 21
2 2 2 20+ + + + = − −λ ς ς ω θ γ θ θ λ ς ω ω λ ςsin sint te eb g d iΩ Ω Ω Ω .
(A.I.2)
Esta ecuación representa el modelo lineal con coeficientes periódicos. Nótese que la
ecuación es casi adimensional a falta de fijar una escala de tiempos. Si se adopta como
tal la frecuencia propia, es decir, introduciendo el tiempo adimensional τ = Ω0 t , queda
la misma ecuación en forma totalmente adimensional:
1 220 1
2 21
2 2 20
2+ + ′′ + ′ + = − −λ ς ς ω θ γ θ θ λ ς τ λ ςsin sin( )t x x x xe eb g d i
(A.I.2a)
donde las primas representan las derivadas respecto al tiempo adimensional y
x = ω / Ω0 .
En general, los péndulos de interés práctico están débilmente excitados, es decir
ς ς0 1 1, << . Además, en cualquier caso λ2 1< , luego no es una mala aproximación
despreciar los términos periódicos de los coeficientes. La ecuación:
sinθ γ θ θ λ ς ω ω λ ς+ + = − −2 0 02 2
12 2 2 2
0Ω Ω Ω Ωe etd i (A.I.3)
170
es el modelo linealizado con coeficientes constantes, que se puede escribir también en
forma totalmente adimensional:
′′ + ′ + = − −θ γ θ θ λ ς τ λ ς2 21
2 2 20
2x x x xe ed isin( ) (A.I.3a)
Estas dos ecuaciones, (A.I.3) y (A.I.3a), representan el punto de partida del análisis de la
dinámica del péndulo elemental. Los términos periódicos de las ecuaciones (A.I.2) y
(A.I.2a) pueden tener importancia en ciertos casos en los que, aunque la respuesta sea
linealizable, haya que considerar la resonancia paramétrica. La respuesta no lineal
descrita mediante (A.I.1) no se considera de utilidad en las aplicaciones
microacelerométricas.
A.II El péndulo elemental sometido a vibración en los apoyos
Siguiendo nuevamente la notación del apartado 3.1, ahora se introduce el movimiento
del punto de charnela (H), mediante una ligadura cinemática de la forma:
r i jH = +x t y tH H( ) ( ) .
Resultan así las energías cinética y potencial:
T T M m x y m L u ML x y
mu x y
r H H e M H H
H H
H= + + + + + + + −
− −
=02 21
2( ) cos sin
sin cos
c h d i b gb g
θ θ θ θ
θ θ θ
171
V V M m g yr HH= + +=0 ( )
donde TrH =0 y VrH =0 son las energías cinética y potencial sin movimiento del punto de
charnela.
Se procede igual que en el apartado A.I introduciendo la ligadura cinemática u u t= ( ) ,
con lo que el sistema queda reducido a uno de un único grado de libertad y el muelle
deja de intervenir en la dinámica, se podría eliminar del modelo. Para pequeños
movimientos, es decir:
θ << 1, uLe
<< 1, xL
H
e
<< 1, yL
H
e
<< 1,
se obtiene la ley dinámica:
ML mL mu t u t ML mL g
m g u t L u t ML mL x t mu t y tM e M e
e M e H H
2 2 2+ + + + =
= − + − + −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
θ θ θb gb g b g (A.II.1)
que es la forma dimensional en la que se deben introducir x tH ( ) , y tH ( ) y u(t) como
ligaduras. El último término de esta ecuación no es consistente en orden de magnitud
con el resto, pero se ha retenido con el objeto de mostrar que las perturbaciones
verticales no tienen influencia al compararlas con las horizontales. Esta conclusión sería
distinta si la masa M no estuviera centrada o si δ m no fuera tan despreciable, como
realmente ocurre en la práctica. Se podría mostrar, sin embargo, que el efecto de un
172
descentramiento pequeño sigue siendo despreciable. En lo que sigue, el término ( )y tH
se va a seguir reteniendo acoplado sólo con el término u m= δ .
Teniendo en cuenta los parámetros adimensionales de A.I y dos adicionales:
ξ HH
e
xL
= , ηHH
e
yL
= ,
ambos dependientes del tiempo, y considerando además un amortiguamiento viscoso
global, se obtiene la ecuación:
sinθ γ θ θ λ ς ω ω ς η ξ+ + = − − + −2 0 02 2
12 2
02 0
2
2Ω Ω Ω Ω ΩΩe e H
eHtd i d i
(A.II.2)
Recuérdese que la gravedad local entra en la ley dinámica a través de Ωe eg L2 = / . En
forma adimensional tendríamos:
′′ + ′ + = − − + ′′ − ′′θ γ θ θ λ ς τ ς η ξ2 121
2 20
22x x x x
xe e He
Hd i d isin (A.II.2a)
Obsérvese que para analizar las perturbaciones que se infiltran por los apoyos se han
despreciado de partida los términos periódicos de los coeficientes.
173
A.III El péndulo elemental con dos grados de libertad
Mediante la misma función Lagrangiana que en el apartado A.I, pero sin imponer
ligadura alguna a la variable u, el sistema requiere dos leyes dinámicas de la forma:
ddt
L L∂∂ θ
∂∂ θ
FHGIKJ − = 0
ddt
Lu
Lu
∂∂
∂∂
FHGIKJ − = 0 .
La primera ecuación ya se obtuvo en A.I y la segunda se deduce de manera análoga.
Linealizando ambas para pequeños movimientos, tanto de oscilación del péndulo como
de desplazamiento de la masa m, y utilizando los parámetros adimensionales y las
frecuencias características de A.I, resulta el sistema:
( )θ θ λ ς ς+ + + =Ω Ω02 2 2 0e
ς θ θ ς+ + + =Ω Ωe k2 2 0 ,
siendo ς = u Le/ . En forma matricial:
1 1
1 10
202 2 2
2 2
/ /λ θς
λ θς
LNM
OQPRSTUVW
+LNM
OQPRSTUVW
=Ω Ω
Ω Ωe
e k
, (A.III.1)
donde Ωk k m2 = / . En este caso sí interviene la constante elástica del muelle, como era
de esperar.
174
A.IV Ecuación de coeficientes periódicos del péndulo elemental.
Método de Hill
Sea la ecuación (A.I.2) con ς ς= ( )t periódica. Llamando ξ λς= se tiene:
1 220 0
2 2 2+ + + = −ξ θ γ θ θ ω λξΩ Ω Ωed i . (A.IV.1)
Esta ecuación se emplea para estudiar la respuesta del péndulo elemental en el entorno
de la antirresonancia. Considerando excitación senoidal, ξ ξ ω= 1 sin t , tomando el
tiempo adimensional T te= Ω y con la notación de los apartados previos:
1 2 1 112 2
2
2 2
2
1+FHGIKJ
LNM
OQP
+ + =FHGIKJ −
FHG
IKJ
FHGIKJξ θ γ θ θ λξsin sinx
xT d
dT xddT x
xx
xx
Te e e e e
. (A.IV.2)
Adoptando la variable ϕ θ= d dT/ , se puede escribir esta ecuación en el plano de las
fases para amortiguamiento nulo:
′
′
RS|T|UV|W|
= −+
LNMM
OQPPRS|T|UV|W|
+−
FHGIKJ +
RS|T|
UV|W|
θ
ϕ ξ
θ
ϕλξ
ξ
0 11
10
0
11
2
2
2 2xxe
. (A.IV.3)
En ambas formas de la ecuación el término:
ξ ξ ξ212 2
121 2 2= = −sin / cos / /xT x xT xe eb g b g ,
175
tiene periodo mínimo π x xe / en la escala de tiempos de T. En lo que sigue se aplica la
teoría de Floquet de los sistemas linales con coeficientes periódicos, utilizando
resultados conocidos como el método de Hill (Jordan y Smith, 1987; Coddington y
Levinson, 1955). La fórmula de Jacobi proporciona:
λ λ φ1 20
= = zdet ( ) exp ( ( ))P A T dTP
tr , (A.IV.4)
siendo λ i los multiplicadores de Floquet, es decir, los autovalores de la matriz
fundamental φ( )T que verifica φ(0) = I , particularizada en el periodo mínimo
P x xe= π / . En nuestro caso la traza de la matriz del sistema es nula, tr( ( ))A T = 0 ,
luego λ λ1 2 1= y se verifica la ecuación:
λ λ2 1 0− + =B , (A.IV.5)
donde B P= tr( ( ))φ . No se conoce a priori la matriz fundamental, pero se pueden
extraer conclusiones relevantes a partir de la ecuación característica anterior. Las raíces
son:
λ1 221
24, = ± −B Be j
• En caso de ser B > 2 , λ1 y λ 2 son reales, uno de ellos excede la unidad en valor
absoluto y por tanto la solución es no acotada.
176
• Para B < 2 , λ1 y λ 2 son complejos conjugados, luego la solución es acotada.
• Si B = 2, λ λ1 2 1= = . Hay una solución de periodo π x xe / y la otra es no acotada.
• Si B = -2, λ λ1 2 1= = − . Hay una solución de periodo 2π x xe / y la otra es no
acotada.
Las curvas B = 2 representan límites de estabilidad. Este proceso de transición se
conoce como resonancia paramétrica.
A.V El péndulo de microvibraciones
Sin más que reemplazar en la ecuación del péndulo elemental el término MLM2 por el
momento de inercia del péndulo respecto el punto de charnela 0I se obtiene:
I m L u muu mL u ML mL g M mu ge e M e M02 2 2 0+ + + + + + + + =d i b g b gsin cosθ θ θ δ θ .
(A.V.1)
Para pequeñas amplitudes de oscilación e imponiendo la ligadura u u tm= +δ ω1 sin( ) :
I m L u t mu u t t MgL mgL
L g mu t M m g
e m m M e
e M m
02
12
1 1
21
2+ + + + + + + =
− − +
δ ω θ ω δ ω ω θ θ
ω ω δ δ
sin( ) sin( ) cos( )
sin( )
b g b gc h
177
Simplificando mediante u Le<< y usando un amortiguamiento viscoso global en lugar
del término periódico, que es despreciable frente al amortiguamiento real, resulta un
sistema lineal de segundo orden con la frecuencia propia no amortiguada:
Ω00
2 2=+
+ +ML mL g
I m LM e
e m
b g( )δ
. (A.V.2)
Esta frecuencia propia se ve alterada por la rigidez parásita debida a los cables de
conexión y al mecanismo de suspensión. Por tanto, Ω0 se sustituye por ′Ω0 , a
determinar por ensayo. En realidad, la rigidez parásita se puede modelar mediante un
muelle ficticio introduciendo la frecuencia propia Ω p y por tanto ′ = +Ω Ω Ω02 2
02
p .
El término M mM mδ δ+ procede del error de equilibrado, ya que el centro de masas del
sistema está localizado en ML mL M m M mM e r M m+ + + +b g b gc h b gu uδ δ θ / y tiene su
posición de equilibrio en reposo sobre la vertical local del punto de charnela. Se produce
así un ángulo de desequilibrio ε δ δ= − + +M m ML mLM m M eb g b g/ , supuesto pequeño.
Este error ε aparece en la respuesta temporal como un desplazamiento constante, luego
no tiene relevancia si se miden amplitudes.
Finalmente, resulta la siguiente ecuación a emplear en los modelos dinámicos:
( )sin( )θ γ θ θ
ωδ
ω ε+ ′ + ′ =−
+ ++ ′2 0 0
22
02 2 1 0
2Ω Ω ΩL g
I m Lmu te
e m
c h. (A.V.3)
178
La respuesta en frecuencia se puede expresar en términos de los parámetros
adimensionales:
, A Lg
B m u gI m L
e
e m
= ′ =+ + ′
ΩΩ
02 1
02 2
02δd i
,
y del coeficiente de amortiguemiento, γ, resultando la ecuación (4.1.2).
El efecto de un amortiguamiento moderado no modifica significativamente la respuesta.
Dado que los coeficientes A y B no dependen de γ, sólo se aprecia efecto en el entorno
de la resonancia. La frecuencia de máxima amplitud, obtenida maximizando la amplitud
responde a:
ΩΩ
max2
′= − −
− +02
2
2
1 21 2
AA A
γγ
. (A.V.4)
Dependiendo de si A > 1 o A < 1, Ωmax crecerá o decrecerá con el amortiguamiento,
respecto a la frecuencia propia no amortiguada.
A.VI El acelerómetro piezoeléctrico sobre el péndulo
de microvibraciones
La producción de carga eléctrica en el material del acelerómetro ideal es proporcional a
la proyección sobre el eje sensible de la aceleración neta experimentada por la masa
179
sísmica. Esta aceleración neta se debe a la suma de las contribuciones de los elementos
de masa, es decir:
A a g a g= − = −zzz zzz1 1m
dmV
dVs
ss
sb g b g
Considérese la figura A.VI.1, donde se definen los sistemas de referencia apropiados. En
el caso ideal el eje sensible está alineado con la dirección tangencial t.
Fig. A.VI.1. Cinemática de la masa sísmica del acelerómetro sobre el péndulo.
Un elemento diferencial de masa, dms, queda localizado mediante coordenadas
Cartesianas o polares, relacionadas por:
r ϕu
ru
2θr−
θr
dms
g
La
aδ
θ
dms ϕ
r
n
t
y
x
180
r x L ya a2 2 2= + + −δb g b g
cos /
sin /
ϕϕ δ
= −
= +
L y r
x ra
a
b gb g
(A.VI.1a)
y los ejes locales del elemento están definidos por:
u t nu t n
r = −= +
sin coscos sin
ϕ ϕϕ ϕϕ
(A.VI.1b)
El elemento diferencial experimenta la aceleración:
a u u t n= − = − + +r r r r r rr cos sin sin cosθ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕϕ2 2 2d i d i
(A.VI.2a)
Suponiendo el movimiento armónico, θ θ ω ω= ( ) sin t y despreciando los efectos del
error de equilibrado del péndulo ε, se puede reescribir (A.VI.2a):
a t n= − + + −r t t t tω θ ω ϕ ω θ ω ϕ ω ϕ ω θ ω ϕ ω2 2 2b g b gc h b gc hcos sin sin cos sin sin cos cos
(A.VI.2b)
La aceleración tangencial a t⋅ es la única que realmente se necesita para evaluar la
sensibilidad del acelerómetro, mientras que la normal sólo se requiere para estimar el
efecto del desalineamiento y la sensibilidad transversal.
181
Para oscilaciones de pequeña amplitud, θ ω( ) << 1, y por consideraciones prácticas
acerca del montaje del acelerómetro sobre el péndulo que permiten suponer
δ a ax L y+ ≈ − , y por tanto sin cosϕ ϕ≈ , se pueden eliminar términos de segundo
orden. La tangencial resulta:
a t⋅ = −r tω θ ω ϕ ω2 b gcos sin (A.VI.3)
que también es válida para el caso ϕ << 1. El término despreciado debería retenerse para
estudiar oscilaciones no pequeñas, ya que contiene una constante de rectificación y un
término de frecuencia 2ω :
cos cos2 12
1 2ω ωt t= +b g
El término de rectificación no puede ser medido por acelerómetros piezoeléctricos
debido a su insensibilidad a componentes de baja frecuencia, pero el término 2ω
aparecerá sin duda en la salida.
Debido al movimiento, la gravedad se proyecta en el eje sensible según:
g t n t n= − − = − − − +g g g g Osin cos ( / ) ( )θ θ θ θ θ1 22 3 , (A.VI.4)
donde ya se han supuesto pequeñas amplitudes. Usando (A.VI.3) y (A.VI.4), la
aceleración neta total en dirección tangencial es:
182
AV
t g r dV g tt
Vr dVt
ss
ss= − = −zzz zzz1 2
2
θ ω ω ϕ θ ωω θ ω
ϕsin cos sinsin
cosc h
(A.VI.5)
La última integral, usando (A.VI.1), es:
r dV L y dV L Vs a s a scos ( )ϕ = − =zzzzzz
si suponemos simetría de la masa sísmica respecto al plano y = 0. Este resultado
implica que la distribución lineal de la aceleración tangencial contribuye sólo con su
valor medio sobre la masa, es decir:
A g L tt a= − ω θ ω ω2c h b gsin (A.VI.6)
Evidentemente, otra consecuencia relevante de este resultado es que no interviene, en la
primera aproximación, el parámetro δ a . La técnica experimental, es en consecuencia
más simple de lo esperado, ya que sólo se necesita un parámetro La para determinar la
entrada de aceleración.
En lo que concierne a la componente normal, necesaria para estimar errores debidos a
desalineamiento o sensibilidad transversal, se puede obtener, bajo las mismas
condiciones que en el caso anterior ( θ ω( ) << 1, sin cosϕ ϕ≈ ):
AV
g r t dVns
s= −zzz1 2sin sinϕ ω θ ωc h .
183
Dado que el sensor piezoeléctrico no responde a entradas estacionarias y suponiendo
además simetría respecto x = 0 :
A tn a= −δ ω θ ω ω2 b gsin (A.VI.7)
El cociente de ambas aceleraciones:
AA g L
n
t
a
a
=−δ ω
ω
2
2, (A.VI.8)
es el parámetro que sirve para controlar las contribuciones de desalineamiento y
sensibilidad transversal a la incertidumbre de la calibración. Para frecuencias altas
A A Ln t a a/ /≈ δ y para bajas A A gn t a/ /≈ δ ω 2 . En la antiresonancia ω = g La/ ,
dicho cociente es no acotado, igual que los errores de medida, luego un valor lo más
pequeño posible para δ a es muy recomendable.
A.VII El péndulo de microgravedad
Las energías cinética y potencial del péndulo descrito en el apartado 5.1 son:
T m r u u r u IP P= + + + +12
2 12
2 2 2 20
2c hθ θ θ (A.VII.1)
V g q mg u k uo= − + +sin( ) ( cos ) sin sin2 1 12
2α θ α θ , (A.VII.2)
184
donde:
r b a dP = + +FHG
IKJ2
cosα (A.VII.3)
es el radio de giro de la partícula de masa m respecto al eje del péndulo y
q b a M m mdo = +FHGIKJ + +L
NMOQP
12 2
( ) (A.VII.4)
es un momento estático que se introduce para hacer más compacta la notación. El
término k u2 2/ es la energía elástica de un muelle ficticio que liga la masa móvil, igual
al utilizado para el péndulo elemental. Al reducir el sistema a un único grado de libertad,
el ángulo θ , introduciendo la ligadura cinemática u u t= 1 sin ω , dicho muelle deja de
contribuir a la dinámica del sistema.
Mediante la ecuación de Lagrange, procediendo igual que en los anexos previos, resulta
la ecuación no lineal:
I m r u t g q mgu t
mr u tP o
P
02
12 2
1
12
2+ + + + =
=
sin sin( ) sin sin sin cos
sin
ω θ α θ ω α θ
ω ω
c h
(A.VII.5)
Análogamente, esta ecuación se puede linealizar en θ , quedando:
185
I m r u t g q
r g mu t
P o
P
02
12 2
21
2+ + + =
= −
sin sin( )
sin sin
ω θ α θ
ω α ω
c h
(A.VII.6)
Nuevamente, la simplificación lógica es despreciar u1 frente (b+a/2+d)cosα y la
ecuación queda de coeficientes constantes. Obtenemos así la frecuencia propia no
amortiguada y la de antirresonancia:
Ω02
02
2=+
g qI mr
o
P
sin( )α , Ωep
gr
2 = sinα . (A.VII.7)
La respuesta estacionaria del modelo linealizado con coeficientes constantes se puede
escribir de la forma:
θ
ω
ωα
αω=
FHGIKJ −
−FHGIKJ
Ω
Ω
e
o
o
m uq
t
2
21
1
12
sinsin( )
sin , (A.VII.8)
que, obviamente, conduce a la forma adimensional de la ecuación (5.1.1), en la que se
ha incluido además un amortiguamiento viscoso.
A.VIII El acelerómetro pendular sobre el péndulo de microgravedad
En este anexo se deduce de forma rigurosa la respuesta dinámica del servoacelerómetro
pendular ideal, incluyendo el efecto de la sensibilidad transversal en el factor de escala y
186
la rotación. A continuación se describe el modelo generalizado, más práctico y realista,
así como la respuesta esperada sobre el péndulo de microgravedad.
Modelo dinámico ideal
Considérese el acelerómetro pendular ideal descrito en el apartado 1.1 y representado en
la figura 1.3. En él, a diferencia del caso del piezoeléctrico sobre el péndulo de
microvibraciones, la masa sísmica se considera puntual. Véase la figura A.VIII.1 para
una descripción del servo y los sistemas de referencia. El péndulo sísmico puede girar
según el eje X ligado al encapsulado y permanece en todo momento en el plano YZ. Se
supone que la articulación es perfecta y la posición de equilibrio para aceleración nula es
θ = 0 . Se introduce la gravedad con el objeto de analizar sus efectos longitudinal y
transversal.
y1
x1
z1
o1
y
x
z
o
PKG
P
Fig. A.VIII.1. Sistemas de referencia y esquema del servoacelerómetro pendular
ideal. El detector de posición proporciona la entrada al amplificador
que alimenta al dispositivo electromagnético, de manera que la fuerza
restauradora es proporcional a la corriente inyectada.
θ
187
Teniendo en cuenta que el punto O no está fijo ni coincide con el centro de masas del
acelerómetro, la ecuación del momento cinético de P respecto O proyectada en el eje X
es:
ddt
mOP
eO
PPH i OP F v v i⋅ = ∧ − ∧ ⋅∑ 01 1d i
Supóngase en primer lugar que la referencia (0; X, Y, Z) no gira respecto a la inercial, es
decir, ωωωω 01 0= . Como el versor i no cambia con el tiempo, podemos escribir:
ddt
ddt
OP
OPΗΗΗΗ ΗΗΗΗ⋅ = ⋅i i( ) .
La suma de fuerzas exteriores Fe que actúan sobre la masa sísmica P viene dada por el
peso m m g g gx y zg = ( , , ) , la fuerza magnética restauradora F jr kl= − θ y la fricción
−blθ θu . Dentro de la constante K de la fuerza restauradora está la ganancia del
amplificador KG y la función de transferencia electromagnética (Merhav, 1996).
Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad,
v v v u i j kPP
PP P
x y zl v v v1 0 01= + = + + +θ θ , el momento cinético es
H i OP v iOP
PP
z ym ml l v v⋅ = ∧ ⋅ = + +( ) ( sin cos )1 θ θ θ , luego:
ddt
ml l v v a aOP
z y z y( ) ( cos sin ) sin cosH i⋅ = + − + +θ θ θ θ θ θ
188
El término corrector debido al movimiento de O es
( ) ( sin cos )v v i01 1o
PP
y zm ml v v∧ ⋅ = −θ θ θ , y después de introducir la ecuación del
servomecanismo, la ecuación linealizada resultante es:
l blm
a g klm
a gz z y y( )θ θ θ+ + − +FHG
IKJ = − − , (A.VIII.1)
idéntica a la deducida en 1.1 por otro camino y poniendo de manifiesto el efecto de la
aceleración de la gravedad y la aceleración transversal.
Supóngase ahora que la referencia (O; X, Y, Z), ligada al acelerómetro, gira respecto a
la inercial con velocidad angular ωωωω 01 = + +P Q Ri j k . Repitiendo el proceso de
operaciones con la precauciones debidas, tenemos la ecuación buscada:
l blm
a g Q R l Pv Qv klm
a g Pv Rv QRlz z y x y y z x( ) ( )θ θ θ+ + − + − + − +LNM
OQP = − − + + −2 2 ,
(A.VIII.2)
que describe la respuesta completa del servoacelerómetro pendular ideal.
Evidentemente, los términos debidos a la rotación son, en general, despreciables y por
tanto la ecuación a considerar es la (A.VIII.1) para la mayoría de las aplicaciones.
189
Modelo generalizado
En general, la salida del acelerómetro es una corriente de intensidad I, función de la
aceleración absoluta a y la gravedad local g, de la orientación real del eje sensible
respecto al eje geométrico de montaje (ψ,ϕ) y de la temperatura de funcionamiento T:
I f T= −( , , , , )a g ω ψ ϕ
Los ángulos ψ y ϕ definen la posición de eje sensible y eje del péndulo sísmico,
perpendiculares entre sí, respecto al sistema de referencia geométrico ligado al
encapsulado o al montaje. Por otra parte, la respuesta del acelerómetro presenta simetría
axial respecto al eje sensible iac cuando la aceleración axial es nula, es decir, cualquier
aceleración contenida en el plano jac kac produce salida constante e igual al BIAS.
Como consecuencia, no tiene sentido hablar de un tercer ángulo de desalineamiento. Lo
que sí es importante considerar es la dependencia con la temperatura de estos dos
ángulos. La siguiente relación geométrica va a ser de utilidad:
ijk
ijk
ac
ac
ac
b
b
b
RS|T|UV|W|
=−
−L
NMMM
O
QPPP
RS|T|UV|W|
cos cos cos sin sinsin cos
sin cos sin sin cos
ϕ ψ ϕ ψ ϕψ ψ
ϕ ψ ϕ ψ ϕ0
i
i j
j
kkac b
ac
bac
b
Fig. A.VIII.2. Relación geométrica entre ejes.
190
El instrumento está diseñado para detectar aceleraciones según su eje iac. Sean Ax, Ay,
Az las componentes de la aceleración neta A = a - g según la referencia geométrica, que
coincide con la (O; X, Y, Z). La proyección sobre iac es:
A s⋅ = = + −A T A T T A T T A Tx y z( , , , ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) sin ( )ω ψ ϕ ω ϕ ψ ω ϕ ψ ω ϕ
En esta expresión se han detallado las dependencias funcionales. La frecuencia
interviene a través de la frecuencia de la aceleración absoluta y la temperatura a través
de la orientación del eje sensible. A partir de la aceleración que el instrumento ve por su
eje sensible, se genera una salida proporcional a la misma. El factor de escala es una
función de la frecuencia y la temperatura exclusivamente. Su linealidad para ω / Ω <<1
se justifica fácilmente mediante la ecuación (A.VIII.1), que describe la respuesta de un
sistema de segundo orden. Se tendrá en cuenta, sin embargo, la respuesta en frecuencia
del factor de escala. Por otra parte, ningún sensor es perfecto, la salida para aceleración
proyectada nula no tiene por qué ser nula. Se define así el error de cero o BIAS, que es
dependiente de la temperatura. Llegamos por tanto a una respuesta de la forma:
I SF T A T BIAS T= +( , ) ( , ) ( )ω ω (A.VIII.3)
Calibrar significa determinar SF(ω,T), BIAS(T), ψ(T) y ϕ(T). Es necesario además
conectar a la salida del acelerómetro una resistencia de carga RL y dispositivos de
tratamiento de señal, en cuyo caso el factor de escala se ve afectado por una ganancia G(
ω,T) y lo que interesa determinar es el factor de escala global
H T G T R SF TL( , ) = ( , ) ( , )ω ω ω⋅ ⋅ . Además, los circuitos de tratamiento introducirán
191
una tensión de offset, 0V , que habrá que diferenciar claramente del BIAS y que se
determinará por separado.
Modelo de la respuesta sobre el péndulo de microgravedad
Es necesario prever la respuesta del acelerómetro sobre el péndulo con el objeto de
calibrarlo correctamente, analizando cuáles son los términos de aceleración y gravedad
que se deben tener en cuenta en cada circunstancia. El péndulo de calibración tiene un
defecto inevitable: está sometido a la gravedad terrestre y la transmite al acelerómetro en
su movimiento. Así, la gravedad local se proyecta en el eje sensible por inclinación de la
plataforma, acoplándose con la propia aceleración del péndulo.
La orientación de la placa del péndulo y por tanto la del eje geométrico del acelerómetro
viene determinada por los versores e y uθ, según se puede ver en la figura 5.4. Los
siguientes vectores serán de utilidad en el desarrollo:
u i jr = +cos sinθ θ , u i jθ θ θ= − +sin cos ,
e OG u k= + = +0 2/ ( ) cos sinb a
rα α ,
k e u u kθ θ α α= ∧ = − +sin cosr .
Considerando el punto O fijo, determinamos la aceleración de P derivando dos veces su
vector posición OP OG G P u u ko o= + = + +r r rr1 2 3θ , siendo:
r b a x z1 0 02= + + −( ) cos sinα α , r y2 0= , r b a x z3 0 02
= + + +( ) sin cosα α .
192
El efecto de la gravedad es una aceleración de valor g y dirección opuesta al peso,
g g g grk u u k1 = − + +sin cos sin sin cosα θ α θ αθ .
La aceleración del punto P y la de la gravedad se proyectan en el eje sensible, cuya
dirección se considera fija a la placa del péndulo y es una incógnita de la calibración.
Sea dicha dirección:
s e u k u u k= + + = + +m m m s s sr1 2 3 1 2 3θ θ θ
donde:
s m m1 1 3= −cos sinα α , s m2 2= , s m m3 3 1= +cos sinα α ,
m s s1 1 3= +cos sinα α , m s2 2= , m s s3 3 1= −cos sinα α .
Se verifica s s s m m m12
22
32
12
22
32 1+ + = + + = . Mediante las expresiones previas,
se puede calcular la proyección de la aceleración neta sobre el eje sensible, que hemos
llamado A:
A ddt
r r g s r r g s g s= ⋅ − = − + + + − + +s OP g( ) ( sin cos ) ( sin sin ) cos2
2 2 12
1 1 22
2 3θ θ α θ θ θ α θ α
(A.VIII.4)
La amplitud de oscilación del péndulo θ es extremadamente pequeña, del orden de
microrradianes a milirradianes, con lo que podemos desarrollar en serie el seno y el
coseno, y reteniendo términos de segundo orden:
193
sin , cosθ θ θ θ≈ ≈ −12
2
,
tenemos para A la expresión desarrollada:
A r s r s r s r s g s
g s g s s
= − − + + +
+ + −
( ) ( ) ( sin )
( sin ) (cos sin )
θ θ θ α
θ α α α
1 2 2 12
1 1 2 22
1
2 3 1
12
(A.VIII.5)
en la que:
r s r s b a x mz m b a x m z m y m
1 1 2 2 0 12
0 32
0 3 0 1 0 2
22
+ = + + +
+ − + + − +
( / ) cossin ( / ) cos sin
αα α α
r s r s b a x z m y m m1 2 2 1 0 0 2 0 1 32− = + + − − −/ cos sin cos sinb g b gα α α α
La discusión acerca de los diferentes casos, la interpretación de los términos y su
importancia relativa se exponen en el apartado 5.2.3.