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E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo
colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el
acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor
cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros
que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en
bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.
Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto
asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y
aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El
nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin
decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.
Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad
deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la
siguientedireccin de correo electrnico:
[email protected] http:// eduktodos. dyndns. org
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Calculus
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TOIIl M. Apostol
CALCULUSVOLUMEN 11
Clculo con funciones de varias variablesy lgebra lineal, con
aplicaciones a las
ecuaciones diferenciales y a las probabilidades
Segunda edicin
EDITORIAL REVERT, S. A.Barcelona-Bogot-Buenos Ai res-Caraca
s-Mxico
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Ttulo de la obra original:CALCULUS, Multi-Variable Calculus and
Linear Algebra,With Applications to DitTerential Equations and
Probability
Edicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell
Publishing Company, Waltham, Massachusetts
Copyright by Blaisdell Publishing Company
Versin espaola por:Dr. D. Francisco Vlez CantarellProfesor de la
Universitat de Barcelona
Revisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad
de Ciencias de la Universidad de Madrid
Propiedad de:EDITORIAL REVERT, S.A. yLoreto, 13-15, Local B08029
BarcelonaTel: (34) 934193336Fax: (34) 934195189E-mail:
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Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de
esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografa y el tratamiento in-formtico, y la distribucin de
ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo p-blicos, queda
rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares
delcopyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.
2". EDICIN
REVERT EDICIONES, S.A. DE CVRo Pnuco 141 Col. Cuauhtmocc.r.
06500 Mxico, D.F.Tel: 55-33-56-58 al 60Fax: 55-14-67-99E-mail:
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Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1985 REVERT EDICIONES,
S.A. DE C.V., 2001
78 REIMPRESIN: MARZO DE 2002
ISBN: 84-291-5001-3 (Obra completa) EspaaISBN: 84-291-5003-X
(Tomo 2)
ISBN: 698-6708-12-X (Obra completa) MxicoISBN: 698-6708-11-1
(Tomo 2)Depsito legal: B-13143-2002
Impreso por DomingrafImpressorsPoI. Ind. Can MagarolaPje.
Autopista, Nave 1208100 Mollet del Valls (Barcelona)
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aJane y Stephen
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PRLOGO
Este libro es una continuacin de mi Ca1culus, volumen 1, segunda
edicin.El presente volumen fue escrito con el mismo plan
fundamental que inspir alprimero. Un adecuado enfoque hacia la
tcnica se combina con un rigurosodesarrollo terico. Se ha procurado
hacer llegar al estudiante el espritu de lamatemtica moderna sin
exagerar el formalismo. Como en el volumen 1, se hanincluido
comentarios de tipo histrico para hacer vivir al lector la evolucin
delas ideas.
El segundo volumen est dividido en tres partes, tituladas;
Anlisis lineal,Anlisis no lineal, y Temas especiales. Los dos
ltimos captulos del volumen 1han sido repetidos y son los dos
primeros captulos del volumen Il, de modo quetoda la materia
relativa al lgebra lineal est completa en cada volumen.
La parte 1 contiene una introduccin al lgebra lineal, incluyendo
transfor-maciones lineales, matrices, determinantes, autovalores y
formas cuadrticas.Se dan aplicaciones al anlisis, en particular al
estudio de las ecuaciones diferen-ciales lineales. Se estudian los
sistemas de ecuaciones diferenciales con la ayudadel clculo
matricial. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad
pormedio del mtodo de Picard de aproximaciones sucesivas, que
tambin se tratautilizando los operadores de contraccin.
En la parte 2 se discute el clculo de funciones de varias
variables. El clculodiferencial se unifica y simplifica con la
ayuda del lgebra lineal. Se incluyenreglas de la cadena para campos
escalares y vectoriales, y aplicaciones a lasecuaciones
diferenciales en derivadas parciales y a problemas de extremos.
Enclculo integral se incluyen integrales de lnea, integrales
mltiples y de superficie,con aplicaciones al anlisis vectorial. En
esto la exposicin sigue ms o menos lalnea clsica y no incluye un
desarrollo formal de las formas diferenciales.
Los temas especiales tratados en la parte 3 son Probabilidades y
Anlisisnumrico. El de probabilidades est dividido en dos captulos,
uno que trata delos espacios muestrales finitos o infinitos
numerables; el otro de espacios mues-trales no numerables,
variables aleatorias, y funciones de distribucin. Las apli-caciones
se ilustran en el estudio de variables aleatorias uni- y
bi-dimensionales.
El ltimo captulo contiene una introduccin al anlisis numrico,
poniendoespecial atencin en los distintos tipos de polinomios de
aproximacin. Terminael libro con un estudio de las frmulas de
integracin aproximada, tales como laregla de Simpson y una discusin
de la frmula de sumacin de Euler.
VII
-
VIII Prlogo
En este volumen hay materia suficiente para un curso anual
completo contres o cuatro sesiones semanales. Presupone un
conocimiento del clculo con unavariable como se desarrolla en la
mayora de los cursos del primer ao de clculo.El autor ha imaginado
el curso con cuatro sesiones semanales, dos de exposicinpor parte
del profesor y dos para preguntar a los alumnos, empleando
aproxima-damente diez semanas en cada parte y omitiendo las
secciones sealadas conasterisco.
Este segundo volumen ha sido planeado de modo que muchos
captulospueden omitirse en cursos abreviados. Por ejemplo, el ltimo
captulo de cadaparte puede suprimirse sin romper la continuidad de
la exposicin. La parteprimera proporciona material para un curso
combinado de lgebra lineal y deecuaciones diferenciales ordinarias.
Cada profesor puede elegir los temas adecua-dos a sus necesidades y
preferencias consultando el diagrama de la pgina si-guiente que
muestra la interdependencia lgica de los captulos.
Una vez ms reconozco con agrado el asesoramiento de numerosos
amigos ycolegas. Al preparar la segunda edicin recib valiosa ayuda
de los profesoresHerbert s. Zuckerman de la Universidad de
Washington, y Basil Gordon de laUniversidad de California, Los
Angeles, cada uno de los cuales sugiri variasmejoras. Agradezco
tambin al personal de la Blaisdell Publishing Company sucooperacin
y ayuda.
Como en otras ocasiones me da especial satisfaccin expresar mi
gratituda mi esposa por su valiosa y variada contribucin. En
reconocimiento le dedicogustosamente este libro.
T. M. A.Pasadena, California
-
Interdependencia lgica de los captulos IX
1
ESPACIOSLINEALES
I
2 15
TRANSFORMACIONESINTRODUCCINAL ANLISIS
LINEALESNUMRICO
Y MATRICES
3DETERM INANTES
68 10 13
CLCULO DIFEREN INTEGRALES FUNCIONES DEECUACIONES CIAL EN CAMPOS
DE LNEA CONJUNTO Y
DIFERENCIALES ESCALARES Y....
PROBABILIDADESLINEALES VECTORIALES ELEMENTALES
4
I r- AUTOVALORES Iy7 AUTOVECTORES
11SISTEMAS
I IDE ECUACIONES INTEGRALESDIFERENCIALES MLTIPLES5
14AUTOV ALORES DE
"1 I CLCULO DEOPERADORES QUE PROBABILIDADESACTAN EN
ESPACIOSEUCLDEOS 9 12
APLICACIONES INTEGRALES
DEL CLCULO DE
DIFERENCIAL SUPERFICIE
-
NDICE ANALTICO
Parte 1. Anlisis lineal
1. ESPACIOS LINEALES
1.1 Introduccin 31.2 Definicin de espacio lineal 31.3 Ejemplos
de espacios lineales 51.4 Consecuencias elementales de los axiomas
71.5 Ejercicios 81.6 Subespacios de un espacio lineal 91.7
Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 111.8
Bases y dimensin 141.9 Componentes 151.10 Ejercicios 161.11
Productos interiores, espacios eucldeos. Normas 171.12
Ortogonalidad en un esp-acio eucldeo 211.13 Ejercicios 241.14
Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 261.15
Complementos ortogonales. Proyecciones 311.16 Aproximacin ptima de
elementos de un espacio eucldeo por
elementos de un subespacio de dimensin finita 341.17 Ejercicios
36
2. TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICES
2.1 Transformaciones lineales2.2 Ncleo y recorrido2.3 Dimensin
del ncleo y rango de la transformacin
394142
XI
-
XII
3.13.2
3.33.43.53.63.73.83.93.103.113.123.133.143.153.163.17
Indice analtico
2.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.202.21
EjerciciosOperaciones algebraicas con transformaciones
linealesInversasTransformaciones lineales uno a
unoEjerciciosTransformaciones lineales con valores
asignadosRepresentacin matricial de las transformaciones
linealesConstruccin de una representacin matricial en forma
diagonalEjerciciosEspacios lineales de matricesIsomorfismo entre
transformaciones lineales y matricesMultiplicacin de
matricesEjerciciosSistemas de ecuaciones linealesTcnicas de
clculoInversas de matrices cuadradasEjerciciosEjercicios varios
sobre matrices
3. DETERMINANTES
IntroduccinJustificacin de la eleccin de los axiomas para una
funcindeterminanteConjunto de axiomas que definen una funcin
determinanteClculo de determinantesEl teorema de
unicidadEjerciciosProducto de determinantesDeterminante de la
matriz inversa de una matriz no singularDeterminantes e
independencia de vectoresDeterminante de una matriz diagonal en
bloquesEjerciciosFrmulas para desarrollar determinantes. Menoresy
cofactoresExistencia de la funcin determinanteDeterminante de una
matriz transpuestaLa matriz cofactorRegla de CramerEjercicios
444648515355566062636566707275808384
87
889093969799
101102102104
105110112113115116
-
lndice analtico
4. AUr'OVALORES y AUTOVECTORES
XIII
4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices
dia-gonales 119
4.2 Autovectores y autovalores de una transformacin lineal
1204.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a
auto-
valores distintos 1234.4 Ejercicios 1254.5 Caso de dimensin
finita. Polinomios caractersticos 1264.6 Clculo de autovalores y
autovectores en el caso de dimensin
finita 1284.7 Traza de una matriz 1314.8 Ejercicios 1324.9
Matrices que representan la misma transformacin lineal.
Matrices lineales 1344.10 Ejercicios 139
5. AUTOVALORES DE OPERADORESEN ESP ACrOS EUCLDEOS
5.15.25.3
Autovalores y productos interiores o escalaresTransformaciones
hermitianas y hemi-hermitianasAutovalores y autovectores de los
operadores hermitianos yhemi-hermitianosOrtogonalidad de los
autovectores correspondientes a autova-lores
distintosEjerciciosExistencia de un conjunto ortonormal de
autovectores paraoperadores hermitianos y hemi-hermitianos que
actan en es-pacios de dimensin finitaRepresentacin matricial para
operadores hermitianos y hemi-hermitianosMatrices hermitianas y
hemi-hermitianas. Matriz adjunta deuna matrizDiagonalizacin de una
matriz hermitiana o hemi-hermitianaMatrices unitarias. Matrices
ortogonalesEjerciciosFormas cuadrticasReduccin de una forma
cuadrtica real a forma diagonalAplicaciones a la Geometra
AnalticaEjercicios
5.4
5.55.6
5.7
5.8
5.95.105.115.125.135.145.15
141142
145
145146
148
149
150151152154156159161166
-
XIV
* 5.16
* 5.17
* 5.185.195.20
Indice analtico
Autovalores de una transformacin simtrica obtenidos comovalores
de su forma cuadrticaPropiedades relativas a extremos de los
autovalores de unatransformacin simtricaCaso de dimensin
finitaTransformaciones unitariasEjercicios
6. ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES
6.16.2
Introduccin histricaRevisin de los resultados relativos a las
ecuaciones de primery segundo ordenEjerciciosEcuaciones
diferenciales lineales de orden nTeorema de existencia y
unicidadDimensin del espacio solucin de una ecuacin lineal
ho-mognealgebra de operadores de coeficientes
constantesDeterminacin de una base de soluciones para ecuaciones
li-neales con coeficientes constantes por factorizacin de
ope-radoresEjerciciosRelacin entre las ecuaciones homogneas y no
homogneasDeterminacin de una solucin particular de la ecuacin
nohomognea. Mtodo de variacin de constantesNo singularidad de la
matriz wronskiana de n soluciones inde-pendientes de una ecuacin
lineal homogneaMtodos especiales para determinar una solucin
particularde la ecuacin no homognea. Reduccin a un sistema de
ecua-ciones lineales de primer ordenMtodo del anulador para
determinar una solucin particularde la ecuacin no
homogneaEjerciciosEjercicios varios sobre ecuaciones diferenciales
linealesEcuaciones lineales de segundo orden con coeficientes
analticosLa ecuacin de LegendrePolinomios de LegendreFrmula de
Rodrigues para los polinomios de LegendreEjercicios
6.36.46.56.6
6.76.8
6.96.106.11
6.12
6.13
6.14
6.156.166.176.186.196.206.21
166
168170170174
175
176178179181
181182
185190192
193
198
200
201204206207211215217218
-
lndice analtico
6.22 Mtodo de Frobenius6.23 Ecuacin de Bessel6.24 Ejercicios
7.24* 7.25* 7.26* 7.27
7. SISTEMAH DE ECUACIONESDIFERENCIALES
7.17.27.37.47.57.67.7
IntroduccinClculo con funciones matricialesSeries de matrices.
Normas de matricesEjerciciosExponencial de una matrizEcuacin
diferencial que se satisface por etATeorema de unicidad para la
ecuacin diferencial matricialF'(t) = AF(t)Ley de exponentes para
exponenciales de matricesTeoremas de existencia y unicidad para
sistemas lineales ho-mogneos con coeficientes constantesEl problema
de calcular erATeorema de Cayley-HamiltonEjerciciosMtodo de Putzer
para calcular etAOtros mtodos para calcular etA en casos
especialesEjerciciosSistemas lineales no homogneos con coeficientes
constantesEjerciciosSistema lineal general Y'(t) = P(t)Y(t) +
O(t)Resolucin de sistemas lineales homogneos mediante series
depotenciasEjerciciosDemostracin del teorema de existencia por el
mtodo delas aproximaciones sucesivasAplicacin del mtodo de
aproximaciones sucesivas a los sis-temas no lineales de primer
ordenDemostracin de un teorema de existencia y unicidad para
sis-temas no lineales de primer ordenEjerciciosAproximaciones
sucesivas y puntos fjos de operadoresEspacios lineales
normadosOperadores de contraccin
7.87.9
7.107.117.127.137.147.157.167.177.187.19
7.207.21
7.22
7.23
xv
222224231
235238239241242243
244245
246247249251253256260261264266
271272
273
279
281283285286287
-
XVI lndice analtico
* 7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contraccin*
7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo
8.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.138.148.158.16
8.218.22
* 8.23
Parte 2. Anlisis no lineal
8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOSESCALARES Y VECrrORIALES
8.178.188.198.20
Funciones de R" en R'". Campos escalares y vectorialesBolas
abiertas y conjuntos abiertosEjerciciosLmites y
continuidadEjerciciosLa derivada de un campo escalar respecto a un
vectorDerivadas direccionales y derivadas parcialesDerivadas
parciales de orden superiorEjerciciosDerivadas direccionales y
continuidadLa diferencialGradiente de un campo escalarCondicin
suficiente de diferenciabilidadEjerciciosRegla de la cadena para
derivadas de campos escalaresAplicaciones geomtricas. Conjuntos de
nivel. PlanostangentesEjerciciosDiferenciales de campos
vectorialesLa diferenciabilidad implica la continuidadLa regla de
la cadena para diferenciales de camposvectorialesForma matricial de
la regla de la cadenaEjerciciosCondiciones suficientes para la
igualdad de las derivadas par-ciales mixtasEjercicios
varios8.24
289291
297298300302306308310311312313314316318320321
324327328330
331332336
337342
-
10.110.210.310.410.510.610.710.810.910.1010.11
10.1210.13
Indice analtico
9. APLICACIONES DE CLCULODIFERENCIAL
9.19.2
Ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesEcuacin en
derivadas parciales de primer orden con coe-ficientes
constantesEjerciciosLa ecuacin de ondas
uni-dimensionalEjerciciosDerivacin de funciones definidas
implcitamenteEjemplos resueltosEjerciciosMximos, mnimos y puntos de
ensilladuraFrmula de Taylor de segundo orden para campos
escalaresDeterminacin de la naturaleza de un punto estacionario
pormedio de los autovalores de la matriz hessianaCriterio de las
derivadas segundas para determinar extremosde funciones de dos
variablesEjerciciosExtremos condicionados. Multiplicadores de
LagrangeEjerciciosTeorema del valor extremo para campos escalares
continuosTeorema de la continuidad uniforme para campos
escalarescontinuos
9.39.49.59.69.79.89.99.109.11
9.12
9.139.149.159.169.17
10. INTEGRALES DE LNEA
IntroduccinCaminos e integrales de lneaOtras notaciones para las
integrales de lneaPropiedades fundamentales de las integrales de
lneaEjerciciosEl concepto de trabajo como integral de
lneaIntegrales de lnea con respecto a la longitud de arcoOtras
aplicaciones de las integrales de lneaEjerciciosConjuntos conexos
abiertos. Independientes del caminoSegundo teorema fundamental del
clculo para integralesde lneaAplicaciones a la
MecnicaEjercicios
XVII
345
346349351356359363368369375
378
380381383387388
391
393393394396399399401402403405
406408409
-
XVIII
10.14
10.15
10.16
10.1710.1810.19
10.2010.21
11.111.211.311.4
11.511.6
11.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.1511.1611.1711.1811.1911.2011.21
11.22
lndice analtico
El primer teorema fundamental del clculo para integralesde
lneaCondiciones necesarias y suficientes para que un campo
vec-torial sea un gradienteCondiciones necesarias para que un campo
vectorial sea ungradienteMtodos especiales para construir funciones
potencialesEjerciciosAplicaciones a las ecuaciones diferenciales
exactas de primerordenEjerciciosFunciones de potencial en conjuntos
convexos
11. INTEGRALES MLTIPLES
IntroduccinParticiones de rectngulos. Funciones
escalonadasIntegral doble de una funcin escalonadaDefinicin de
integral doble de una funcin definida y acotadaen un
rectnguloIntegrales dobles superior e inferiorClculo de una
integral doble por integracin uni-dimensio-nal
reiteradaInterpretacin geomtrica de la integral doble como un
volumenEjemplos resueltosEjerciciosIntegrabilidad de funciones
continuasIntegrabilidad de funciones acotadas con
discontinuidadesIntegrales dobles extendidas a regiones ms
generalesAplicaciones a reas y volmenes .Ejemplos
resueltosEjerciciosOtras aplicaciones de las integrales doblesDos
teoremas de PappusEjerciciosTeorema de Green en el planoAlgunas
aplicaciones del teorema de GreenCondicin necesaria y suficiente
para que un campo vectorialbi-dimensional sea un
gradienteEjercicios
411
413
415417420
422425426
431432433
436436
438439440442443445446450451453455459461462467
468471
-
* 11.23* 11.24* 11.2511.2611.2711.2811.29
11.30
11.3111.3211.3311.34
12.112.212.3
12.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.15
* 12.16
* 12.1712.1812.1912.2012.21
lndice analtico
Teorema de Green para regiones mltiplemente conexasEl nmero de
girosEjerciciosCambio de variables en una integral dobleCasos
particulares de la frmula de transformacinEjerciciosDemostracin de
la frmula de transformacin en un casoparticularDemostracin de la
frmula de transformacin en el casogeneralExtensiones a un nmero
mayor de dimensionesCambio de variables en una integral
n-mltipleEjemplos resueltosEjercicios
12. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Representacin paramtrica de una superficieProducto vectoriak
fundamentalEl producto vectorial fundamental, considerado como una
nor-mal a la superficieEjerciciosrea de una superficie
paramtricaEjerciciosIntegrales de superficieCambio de representacin
paramtricaOtras notaciones para las integrales de
superficieEjerciciosTeorema de StokesEl rotacional y la divergencia
de un campo vectorialEjerciciosOtras propiedades del rotacional y
de la divergenciaEjerciciosReconstruccin de un campo vectorial a
partir de surotacionalEjerciciosExtensiones del teorema de
StokesTeorema de la divergencia (teorema de Gauss)Aplicaciones del
teorema de la divergenciaEjercicios
XIX
473475478479484488
490
492494497500504
509513
516517518524525527530532534537539540545
546551552557561563
-
xx lndice analtico
13.113.213.313.413.513.613.713.813.913.1013.1113.1213.1313.1413.1513.1613.1713.1813.1913.2013.21
13.2213.23
Parte 3. Temas especiales
13. FUNCIONES DE CONJUNTOY PROBABILIDAD ELEMENTAL
Introduccin histricaFunciones de conjunto con aditividad
finitaMedidas con aditividad finitaEjerciciosDefinicin de
probabilidad para espacios muestrales finitosTerminologa propia del
clculo de probabilidadesEjerciciosEjemplos
resueltosEjerciciosAlgunos principios bsicos de anlisis
combinatorioEjerciciosProbabilidades
condicionadasIndependenciaEjerciciosExperimentos o pruebas
compuestasPruebas de BernoulliNmero ms probable de xitos en n
pruebas de BernoulliEjerciciosConjuntos numerables y no
numerablesEjerciciosDefinicin de probabilidad para espacios
muestrales infini-tos numerablesEjerciciosEjercicios variados sobre
probabilidades
14. CLCULO DE PROBABILIDADES
571572574575577579581581584586591592595597598603605608610614
615617618
14.1 Definicin de probabilidad para espacios muestrales no
nu-merables 621
14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad
po-sitiva 622
14.3 Variables aleatorias 62314.4 Ejercicios 625
-
14.514.614.714.814.914.1014.1114.1214.1314.1414.1514.1614.1714.1814.1914.2014.21
14.2214.2314.2414.2514.2614.2714.2814.2914.3014.31
Indice analtico
Funciones de distribucinDiscontinuidad de las funciones de
distribucinDistribuciones discretas. Funciones de masa de
probabilidadEjerciciosDistribuciones continuas. Funciones de
densidadDistribucin uniforme sobre un intervaloDistribucin de
CauchyEjerciciosDistribuciones exponencialesDistribuciones
normalesObservaciones sobre distribuciones ms
generalesEjerciciosDistribuciones de funciones de variables
aleatoriasEjerciciosDistribucin de variables aleatorias
bidimensionalesDistribuciones discretas
bidimensionalesDistribuciones continuas bidimensionales. Funciones
dedensidadEjerciciosDistribuciones de funciones de dos variables
aleatoriasEjerciciosEsperanza y varianzaEsperanza de una funcin de
una variable aleatoriaEjerciciosDesigualdad de ChebyshevLeyes de
los grandes nmerosEl teorema central del lmiteEjerciciosReferencias
citadas
15. INTRODUCCIN AL ANLISISNUMRICO
XXI
626630634637639641646647649652656657658660660663
664666668673676680681683685689691692
15.1 Introduccin histrica 69515.2 Aproximaciones por polinomios
69715.3 Aproximaciones polinmicas y espacios lineales normados
69815.4 Problemas fundamentales en la aproximacin por polinomios
70015.5 Ejercicios 70315.6 Polinomios de interpolacin 70515.7
Puntos de interpolacin igualmente separados 70815.8 Anlisis del
error de la interpolacin por polinomios 709
-
XXII
15.915.1015.11
15.1215.1315.1415.1515.1615.1715.1815.1915.2015.2115.2215.23
lndice analtico
EjerciciosFrmula de interpolacin de NewtonPuntos de interpolacin
igualmente separados. El operadorde las diferencias
sucesivasPolinomios factorialesEjerciciosProblema de mnimo relativo
a la norma del mximoPolinomios de ChebyshevPropiedad de mnimo de
los polinomios de ChebyshevAplicacin a la frmula del error en la
interpolacinEjerciciosIntegracin aproximada. Regla de los
trapeciosRegla de SimpsonEjerciciosFrmula de sumacin de
EulerEjerciciosReferencias citadasSoluciones a los
ejerciciosIndice
713716
718720721724725728730730733736742745752755757805
-
PARTE 1
Anlisis lineal
-
1ESPACIOS LINEALES
1.1 Introduccin
A 10 largo de la Matemtica se encuentran muchos ejemplos de
objetos mate-mticos que pueden sumarse unos con otros y
multiplicarse por nmeros reales.Ante todo, los nmeros reales son
objetos de tal naturaleza, Otros ejemplos sonlas funciones
vectoriales, los nmeros complejos, las series y los vectores en
elespacio n-dimensional. En este captulo tratamos un concepto
matemtico general,llamado espacio lineal, que incluye todos esos
ejemplos y muchos otros comocasos particulares.
Brevemente, un espacio lineal es un conjunto de elementos de
naturalezacualquiera sobre el que pueden realizarse ciertas
operaciones llamadas adicin ymultiplicacin por nmeros. Al definir
un espacio lineal no especificamos lanaturaleza de los elementos ni
decinios cmo se realizan las operaciones entreellos. En cambio,
exigimos que las operaciones tengan ciertas propiedades quetomamos
como axiomas de un espacio lineal. Vamos ahora a hacer con detalle
unadescripcin de esos axiomas.
1.2 Definicinde espacio lineal
Sea V un conjunto no vaco de objetos, llamados elementos. El
conjunto Vse llama espacio lineal si satisface los diez axiomas
siguientes que se enuncianen tres grupos.
Axiomas de clausuraAXIOMA 1. CLAUSURA RESPECTO DE LA ADICIN. A
todo par ae elementos
~ e y de V corresponde un elemento nico de V llamado suma de x e
y, designadopor x + y.
3
-
4 Espacios lineales
AXIOMA 2. CLAUSURA RESPECTO DE LA MULTIPLICACIN POR NMEROS
REA-LES. A todo x de V y todo nmero real a corresponde un elemento
de V llamadoproducto de a por x, designado por ax.
Axiomas para la adicin
AXIOMA 3. LEY CONMUTATIVA. Para todo x y todo y de V, tenemosx +
y = y + x.
AXIOMA 4. LEY ASOCIATIVA. Cualesquiera que sean x, y, z de V,
tenemos(x + y) + z = x + (y + z).
AXIOMA 5. EXISTENCIA DE ELEMENTO CERO. Existe un elemento en V,
de-signado con el smbolo O, tal que
x+O=x para toao x de V:
AXIOMA 6. EXISTENCIA DE OPUESTOS. Para todo x de V, el elemento
( -1)xtiene la propiedad
x + (-l)x = O.
Axiomas para la multiplicacin por nmeros
AXIOMA 7. LEY ASOCIATIVA. Para todo x di! V Y todo par de
nmerosreales a y b, tenemos
a(bx) = (ab)x .
AXIOMA 8. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIN EN V. Para todo x y
todoy de V y todo nmero real a, tenemos
a(x + y) = ax + ay.
AXIOMA 9. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIN DE NMEROS. Para todox
de V y todo par de nmeros reales a y b, tenemos
(a + b)x = ax + bx .
AXIOMA 10. EXISTENCIA DE ELEMENTO IDNTICO. Para todo x de V,
tene-mos Ix = x.
-
Ejemplos de espacios lineales 5
Los espacios lineales as definidos, se llaman, a veces, espacios
Ineales realespara resaltar el hecho de que se multiplican los
elementos de V por nmerosreales, Si en los axiomas 2, 7, 8 Y 9 se
reemplaza nmero real por nmero com-plejo, la estructura que resulta
se llama espacio lineal complejo. Algunas vecesun espacio lineal se
llama tambin espacio vectorial lineal o simplemente
espaciovectorial; los nmeros utilizados como multiplicadores se
llaman escalares. Unespacio lineal real tiene nmeros reales como
escalares; un espacio lineal com-plejo tiene como escalares nmeros
complejos. Si bien consideraremos principal-mente ejemplos de
espacios lineales reales, todos los teoremas son vlidos
paraespacios lineales complejos. Cuando digamos espacio lineal sin
ms, se sobrenten-der que el espacio puede ser real o complejo.
1.3 Ejemplos de espacios lineales
Si precisamos el conjunto V y decimos cmo se suman sus elementos
y cmose multiplican por nmeros, obtenemos un ejemplo concreto de
espacio lineal.El lector fcilmente puede comprobar que cada uno de
los ejemplos siguientessatisface todos los axiomas para un espacio
lineal real.
EJEMPLO 1. Sea V = R, el conjunto de todos los nmeros reales, y
seanx + y y ax la adicin y la multiplicacin ordinarias de nmeros
reales.
EJEMPLO 2. Sea V = e el conjunto de todos los nmeros complejos,
defi-nimos x + y como la adicin ordinaria de nmeros complejos, y ax
como la mul-tiplicacin del nmero complejo x por el nmero real a.
Aunque los elementos deV sean nmeros complejos, ste es un espacio
lineal real porque los escalaresson reales.
EJEMPLO 3. Sea V = V, el espacio vectorial de todas las n-plas
de nme-ros reales, con la adicin y la multiplicacin por escalares
definidas en la formaordinaria en funcin de los componentes.
EJEMPLO 4. Sea V el conjunto de todos lof.-vectores Vn
ortogonales a unvector no nulo dado N. Si n = 2, este espacio
lineal es una recta que pasa por Ocon N como vector normal. Si n =
3, es un plano que pasa por O con N comovector normal.
Los siguientes ejemplos se llaman espacios funcionales. Los
elementos de Vson funciones vectoriales, con la suma de dos
funciones f y g definidas en la.forma ordinaria:
(f + g)(x) = (x) + g(x)
-
6 Espacios lineales
para todo real x en la interseccin de los dominios de I "y g. La
multiplicacin deuna funcin I por un escalar real a se define as: al
es aquella funcin cuyo valoren cada x del dominio de I es al(x). El
elemento cero es la funcin cuyos valoresson nulos para todo x. El
lector puede comprobar fcilmente que cada uno delos conjuntos
siguientes es un espacio funcional.
EJEMPLO 5. El conjunto de todas las funciones definidas en un
intervalodado.
EJEMPLO 6. El conjunto de todos los polinomios.
EJEMPLO 7. El conjunto de' todos los polinomios de grado ~ n,
siendo nfijo. (Siempre que consideremos este conjunto, se
sobrentender que siempre estincluido el polinomio nulo.) El
conjunto de todos los polinomios de grado iguala n no es una
espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura.
Porejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de
grado n.
EJEMPLO 8. El conjunto de todas las funciones continuas en un
intervalodado. Si el intervalo es [a, b]. designamos este espacio
con C(a, b).
EJEMPLO 9. El conjunto de todas las funciones derivables en un
punto dado.
EJEMPLO 10. El conjunto de todas las funciones integrables en un
intervalodado.
EJEMPLO 11. El conjunto de todas las funciones I definidas en el
punto 1siendo I( 1) = O. El nmero O es esencial en este ejemplo. Si
reemplazamos O porun nmero no nulo e, violamos el axioma de
clausura.
EJEMPLO 12. El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin
diferenciallineal homognea y" + ay' + by = O, donde a y b son
constantes dadas. Tambinaqu es esencial el O. El conjunto de
soluciones de una ecuacin diferencial nohomognea no satisface los
axiomas de clausura.
Estos ejemplos y muchos otros hacen patente cmo el concepto de
espaciolineal est extendido por el lgebra, la Geometra y el
Anlisis. Cuando se deduceun teorema de los axiomas de un espacio
lineal, obtenemos un resultado vlidopara cada ejemplo concreto.
Unificando varios ejemplos de este modo, consegui-mos un
conocimiento ms profundo en cada uno. En ocasiones el
conocimientode un determinado ejemplo ayuda para anticipar o
interpretar resultados vlidospara otros ejemplos y pone en
evidencia relaciones que de otro modo podranpasar inadvertidas.
-
Consecuencias elementales de los axiomas 7
1.4 Consecuencias elementales de los axiomas
Los teoremas que siguen se deducen fcilmente de los axiomas de
un espaciolineal.
TEOREMA 1.1. UNICIDAD DEL ELEMENTO CERO. En cualquier espacio
linealexiste un elemento cero y slo uno.
Demostracin. El axioma 5 nos asegura que existe por lo menos un
elementocero. Supongamos que existan dos, sean 01 y O2, Haciendo x
= 01 YO = O2 enel axioma 5, obtenemos 01 + O2 = 01, Anlogamente,
haciendo x = O2 YO = O" encontramos O2 + 01 = O2, Pero 01 + O2 = O2
+ 01 por la ley con-mutativa, as que 01 = O2,
TEOREMA 1.2. UNICIDAD DE ELEMENTOS OPUESTOS. En cualquier
espaciolineal todo elemento tiene exactamente un opuesto. Esto es,
para todo x existeun y, y slo uno tal que x + y = O.
Demostracin. El axioma 6 nos dice que cada x tiene por lo menos
unopuesto, a saber (-1)x. Supongamos que x tenga dos opuestos, sean
Y1 e Y2' En-tonces x + Y1 = O Y x + Y2 = O. Sumando Y2 a los dos
miembros de la primeraigualdad y aplicando los axiomas 5, 4 y 3,
obtenemos que
y
Y2 + (x + Yl) = (Y2 + x) + Yt = O + Yl = Yl + O = Yl .
Por consiguiente Y1 = Y2, con lo que x tiene exactamente un
opuesto, el elemen-to (-l)x.
Notacin. El opuesto de x se designa por -x. La diferencia y - x
se definecomo la suma y + (- x).
El teorema siguiente muestra un conjunto de propiedades que
rigen losclculos algebraicos elementales en un espacio lineal.
TEOREMA 1.3. En un espacio lineal, designemos con x e y dos
elementoscualesquiera y con a y b dos escalares cualesquier ..
Tenemos entonces las pro-piedades siguientes:
a) Ox = O.b) aO = O.
-
8 Espacios lineales
e) (~a)x = - (ax) = a( - x).d) Si ax = O, entonces a = O' o x =
O, o los dos.e) Si ax = ay y a =1=O entonces x = y.f) Si ax = bx y
x =1=O, entonces a = b.g) - (x + y) = ( - x) + ( - y) = - x-y.h) x
+ x = 2x, x+ x +x = 3x, y en general, L~=l x = nx.
Demostraremos a). b) y e) y dejamos como ejercicios las
demostraciones de lasotras propiedades.
Demostracin de a). Sea z = Ox. Deseamos demostrar que z = O.
Su-mando z a s mismo y aplicando el axioma 9, encontramos que
z + z = Ox + Ox = (O + O)x = Ox = z .
Sumemos ahora - z a ambos miembros y obtenemos z = O.
Demostracin de b). Sea z = aO, sumar z a s mismo, y aplicar el
axioma 8.
Demostracin de e), Sea z = (-a)x. Sumando z a ax y aplicando el
axio-ma 9, encontramos que
z + ax = (-a)x + ax = (-a + a)x = Ox = O ,
as que z es el opuesto de ax, z = -(ax). Anlogamente, si sumamos
a( -x) aax y aplicamos el axioma 8 y la propiedad b), encontramos
que a( -x) = -(ax).
1.5 Ejercicios
En los ejercicios del 1 al 28, determinar si cada uno de los
conjuntos dados es unespacio lineal real, si la adicin y
multiplicacin por escalares reales est definida enla forma usual.
Para aquellos en los que no es as, decir cules son los axiomas que
no secumplen. Las funciones de los ejercicios 1 al 17 son reales.
En los ejercicios 3, 4 Y 5, cadafuncin tiene un dominio que
contiene O y 1. En los ejercicios 7 al 12, cada dominio con-tiene
todos los nmeros reales.1. Todas las funciones racionales.2. Todas
las funciones racionales tte. con el grado de 15 que el grado de g
(incluyen-
do 1=0).3. Todas las I con 1(0) = 1(1).4. Todas las I con 2/(0)
=1'(1).5. Todas las I con 1(1) = 1 + 1(0).6. Todas las funciones
escalonadas definidas en [O, 1].7. Todas las I en las que I(x).~ O
cuando x ~ + cc .8. Todas las funciones pares.9. Todas las
funciones impares.
-
Subespacios de un espacio lineal 9
10. Todas las funciones acotadas.11. Todas las funciones
crecientes.12. Todas las funciones con perodo 2'lT.13. Todas las I
integrables en [0,1] con n I(x)dx = O.14. Todas las I integrables
en [0,1] connl(x)dx ~ O.15. Todas las I que satisfacen I(x) = l(l -
x) para todo x,16. Todos los polinomios de Taylor de grado S;; n
para un n fijo (incluyendo el polino-
mio cero).17. Todas las soluciones de una ecuacin diferencial
lineal homognea de segundo orden
y" + P(x)y' + Q(x)y = O, siendo P y Q funciones dadas, continuas
para todo x.18. Todas las sucesiones reales acotadas.19. Todas las
sucesiones reales convergentes.20. Todas las series reales
convergentes.21. Todas las series reales absolutamente
convergentes.22. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con z = O.23.
Todos los vectores (x, y, z) de V~ con x = O o y = O.24. Todos los
vectores (x, y, z) de V~ con y = 5x.25. Todos los vectores (x,y,z)
de Va con 3x+4y= 1, z=O.26. Todos los vectores (x, y, z) de V~ que
son productos de (l, 2, 3) por escalares.27. Todos los vectores (x,
y, z) de Va cuyos componentes satisfacen un sistema de tres
ecua-
ciones lineales de la forma
28. Todos los vectores de Vn que son combinaciones lineales de
dos vectores dados A y B.29. Sea V = R+, el conjunto de los nmeros
reales positivos. Definamos la suma de dos
elementos x e y de V como su producto x ..y (en el sentido
ordinario), y definamos lamultiplicacin de un elemento x de V por
un escalar e poniendo x. Demostrar queV es un espacio lineal real
con el elemento cero.
30. a) Demostrar que el axioma 10 puede deducirse de los otros
axiomas.b) Demostrar que el axioma 10 no puede deducirse de los
otros axiomas si el axioma6 es reemplazado por el axioma 6': Para
todo x de -V y todo y de V tenemos quex+y=O.
3. Sea S el conjunto de todos los pares ordenados (x, ,x?) de
nmeros reales. En cada casedeterminar si S es o no un espacio
lineal con las operaciones de adicin y multiplica-cin por escalares
definidas como se indica. Si el conjunto no es un espacio
lineal,indicar cules son los axiomas que no se cumplen.a) (Xl' X2)
+ (Yl, Y2) = (Xl + Yl , X2 + Y2), a(Xl, X2) = (aXl' O).b) (Xl' X2)
+ (Yl , Y2) = (Xl + Yl , O), a(Xl , X2) = (aXl , ax2)c) (Xl' X2) +
(Yl , Y2) = (Xl' X2 + Y2), a(Xl' X2) = (aXl, ax2)d) (Xl' X2) + (Yl
,Y2) = (Ixl + x21, Iy +Y21), a(Xl' X2) = (Jaxll, !ax21)
32. Demostrar las partes de la d) a la h) del teorema 11.3.
1.6 Subespacios de un espacio lineal
Dado un espacio lineal V sea S un subconjunto no vaco de V. Si S
es tam-bin un espacio lineal, entonces S se llama subespacio de V.
El teorema que sigue
-
10 Espacios lineales
da un sencillo criterio para determinar si un subconjunto de un
espacio lineales o no un subespacio.
TEOREMA 1.4. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal
V.Tal subconjunto S es un subespacio si y s610 si satisface los
axiomas de clausura.
Demostracin. Si S es un subespacio, satisface todos los axiomas
de unespacio lineal, y por tanto, en particular, los axiomas de
clausura.
Demostremos ahora que si S satisface los axiomas de clausura,
satisfacetambin los otros. Las leyes conmutativa y asociativa para
la adicin (axiomas3 y 4) y los axiomas para la multiplicacin por
escalares (axiomas del 7 al 10)se satisfacen automticamente en S
porque son vlidos para todos los elementosde V. Falta comprobar los
axiomas 5 y 6, la existencia del elemento cero en S,y la existencia
de un opuesto para cada elemento de S.
Sea x un elemento cualquiera de S. (S tiene por lo menos un
elemento ya queno es vaco.) Segn el axioma 2, ax est en S para todo
escalar a. Tomando a = O,resulta que Ox est en S. Pero Ox = O, en
virtud del teorema 1.3 a), con locual O E S, y se satisface el
axioma 5. Tomando a = - 1, vemos que (-1)xest en S. Pero x + (- l)x
= O ya que x y (- l)x estn ambos en V, as que elaxioma 6 se
satisface en S. Por consiguiente S es un subespacio de V.
DEFINICIN. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V.
Unelemento x de V de la forma
k
X =2 CiXi,i~l
en donde Xl' , x, pertenecen todos a S y cl, , ci son escalares,
se denominacombinacin lineal de elementos de S. El conjunto- de
todas las combinacioneslineales finitas de elementos de S satisface
los axiomas de clausura y por tantoes un subespacio de V. Decimos
de ese subespacio que est generado por S, otambin le llamamos la
envolvente lineal de S, y lo designamos por L(S). Si Ses vaco,
definimos L(S) como {a}, el conjunto consta s610 del elemento
cero.
Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio. Por
ejemplo, el es-pacio V2 est generado por cada uno de los siguientes
conjuntos de vectores:{i, j}, {i, j, i + j}, {a, i, - i, j, - j, i
+ j}. El espacio de todos los polinomios n p(t)de grado :5n est
generado por el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t", ... ,
tn}.
Tambin est generado por el conjunto { 1, t/2, t2/3, ... , t" /(n
+ 1)} y por{ 1, (1 + t) , (1 + t)2, ... , (1 + t)n}. El espacio de
todos los polinomios est ge-nerado por el conjunto infinito de los
polinomios { 1, t, t", ... }.
Al llegar aqu surgen de modo natural numerosas preguntas. Por
ejemplo,qu espacios pueden generarse porun nmero finito de
elementos? Si un espacioest generado por un nmero finito de
elementos, cul es el menor nmero deelementos necesarios? Para
discutir estas cuestiones y otras con ellas relacionadas
-
Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal
11
introducimos los conceptos de dependencia, independencia, bases
y dimensin.Ya en el volumen I. encontramos esas ideas al estudiar
el espacio vectorial VnAhora vamos a extenderlas a espacios
lineales de tipo general.
1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio
lineal
DEFINICIN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se
llamadependiente si existe un conjunto finito de elementos
distintos de S, Xl> , xi,y un correspondiente conjunto d
escalares c1, , es, no todos cero, tales que
k
I c.x = O.i=l
El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En
tal caso, cuales-quiera que sean los elementos distintos X, . , x
de S y los escalares c., ... , ci,
implica C1 = C2 = ... = Ck = O.
Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los
conjuntosde elementos, podemos tambin aplicar esas denominaciones a
los elementosmismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto
independiente se llaman ele-mentos independientes.
Si S es un conjunto finito, la definicin anterior est de acuerdo
con la dadaen el Volumen 1 para el espacio Vn No obstante, la
definicin dada aqu no estrestringida a conjuntos finitos.
EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente,
el mismoS es dependiente. Esto es lgicamente equivalente a la
afirmacin de que todosubconjunto de un conjunto independiente es
independiente.
EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un
escalar, Ses dependiente.
EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente
EJEMPLO 4. El conjunto vaco es independiente.
En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos
dependien-tes e independientes. Los ejemplos que a continuacin se
comentan, ilustran esosconceptos en espacios funcionales. En cada
caso el espacio lineal fundamental Ves el conjunto de todas las
funciones reales definidas en la recta real.
-
i2 Espacios lineales
EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) = sen" t, u,,(t) = 1 para
todo nme-ro real t. La identidad pitagrica prueba que u, + U2 - U3
= O, as que las tresfunciones u,, U2, u" son dependientes.
EJEMPLO 6. Sea Uk(t) = tI. para k = O, 1, 2, ... , y t real. El
conjuntoS = {un, U,, U2, } es independiente. Para demostrar esto,
basta demostrar quepara cada n los n + 1 polinomios Un, U,, , Un
son independientes. Una rela-cin de la forma I CkUk = O significa
que
(1.1)n
Icktk = O
k~O
para todo real t. Cuando t = O, encontramos que Co = O.
Repitiendo el proceso,encontramos que cada coeficiente Ck es
cero.
EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son nmeros reales distintos, las n
funcionesexponenciales
son independientes. Podemos demostrar esto por induccin sobre n.
El resultadoes trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos
que es vlida para n - 1funciones exponenciales y consideremos los
escalares c., ... , CIl tales que
(1.2)n
I'ckeakx = O.
k~l'
Sea aM el mayor de los n nmeros a" ... , ano Multiplicando ambos
miembros de(1.2) por ra.;:, obtenemos
(1.3)nI cke(ak-aM)x = O.
1.=1
Si k =1=M, el nmero ai - aM es negativo. Por consiguiente,
cuando x ~ + 00 enla ecuacin (1.3), cada trmino con k =1=M tiende a
cero y encontramos que CM = O.Suprimiendo el trmino M-simo de (1.2)
Y aplicando la hiptesis de induccin,encontramos que cada uno de los
n - 1 restantes coeficientes ci es cero.
TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ... , xd un conjunto independiente que
constade k elementos de un espacio lineal V y sea L(S) el
subespacio generado por S.Entonces todo conjunto de k+ 1 elementos
rl US) es dependiente.
-
Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal
13
Demostracin. La demostracin es por induccin sobre k, nmero de
ele-mentos de S. Supongamos primero que k= 1. Entonces, por
hiptesis, S contieneun solo elemento XI siendo Xl =1= O puesto que
S es independiente. Ahora tome-mos en L(S) dos elementos distintos
JI e J2' Entonces, cada uno de estos elementoses un escalar
multiplicado por Xl, sea JI = CIXI e J2= C2Xl, en donde CI Y C2
noson ambos cero. Multiplicando Jl por C2 e J2 por CI Y restando,
obtenemos
Por 10 tanto J'l e J2 son dependientes, quedando as demostrado
el teoremacuando k= 1.
Supongamos ahora que el teorema es cierto para k - 1 Y
demostremos quetambin 10 es para k. Tomemos un conjunto de k+ 1
elementos en L(S), seaT = {YI , Y2 , . , Yk + 1 }. Queremos probar
que T es dependiente. Puesto que cadaelemento Yiest contenido en
L(S), podemos escribir
(1.4)k
Yi = 'LaijXjj=1
para cada i= 1,2, , ... , k + 1. Examinemos todos los escalares
ail que multipli-can a Xl y, para ello, consideremos dos casos en
la demostracin.
CASO 1. ail=O para todo i=1,2, ... ,k+1. En este caso la suma
(l.4)no incluye a x,; as cada Ji en T est en la envolvente lineal
del conjuntoS'= {x2, ,xd. Pero S' es independiente y contiene k-1
elementos. Por induc-cin y para k-1, el teorema es cierto, siendo
por 10 tanto, T dependiente. Estodemuestra el Caso 1.
CASO 2. No son cero todos los escalares a. Suponemos que a., =1=
O.Tomando i= 1 en la ecuacin (l.4) Y mu1tiplicando los dos miembros
por ci,siendo ci=aifall, obtenemos:
k
CiY1= ai1x1 + 'L cia1jxj.j~2
Si de esta ecuacin restamos la (l.4), resulta:
k
CiY1 - Yi = 'L(cia1j - aij)xj,j~2
para i=2, ... , k+ 1. Esta ecuacion expresa cada uno de los
elementos CiYI - Yicomo una combinacin lineal de los k - 1
elementos independientes X2, , xi.
-
14 Espacios lineales
Por induccin,los k elementos CYl -Yi deben ser dependientes. En
consecuencia,para cualquier eleccin de escalares t. ... , tk+l, no
todos cero, tenemos
k+l
~ t;(CYl - Yi) = O,i~2
y de aqu deducimos
Esta es una combinacin de Yl, ... , Yk+l, que representa el
vector cero, de estamanera los elementos Yl," . , Yk+l deben ser
dependientes, completando as lademostracin.
1 ,8 Bases y dimensin
DEFINICIN. Un conjunto finito S de elementos de un espacio
lineal V sellama base finita de V si S es independiente y genera V.
El espacio V es dedimensin finita si tiene una base finita. De otro
modo, V es de infinitas dimen-siones.
TEOREMA 1 .6. Sea V un espacio lineal de dimensin finita.
Entonces todabase finita de V tiene el mismo nmero de
elementos.
Demostracin. Sean S y T dos bases finitas de V. Supongamos que S
y Tconstan respectivamente de k y m elementos. Puesto que S es
independiente y en-gendra V, el teorema 1.5 nos dice que todo
conjunto de k + 1 elementos de Ves dependiente. Por consiguiente,
todo conjunto de ms de k elementos de V esdependiente. Ya que T es
un conjunto independiente, debe ser m :::;;k. El mismorazonamiento
con S y T intercambiadas prueba que k :::;;m. Por lo tanto k =
m.
DEFINICIN. Si un espacio lineal V tiene una base de n elementos,
el en-tero n se llama dimensin de V. Escribimos n = dim V.
EJEMPLO 1. El espacio V" tiene dimensin n. Una base es el
conjunto delos n vectores coordenados unitarios.
EJEMPLO 2. El espacio de todos los polinomios p(t) de grado
:::;; n tienedimensin n + 1. Una base es el conjunto de n + 1
polinomios { 1, t, t", ... , t"}.Todo polinomio de grado :::;;ti es
una combinacin lineal de esos n + 1 poli-nomios.
EJE MPLO 3. El espacio de las soluciones de la ecuacion
diferencialy" - 2y' - 3y = O tiene dimensin 2. Una base est formada
por las dos fun-ciones u(x) = >. u:z(x) = e", Toda solucin es
una combinacin lineal deesas dos.
-
Componentes 15
EJEMPLO 4. El espacio de todos los polinomios p(t) es de
infinitas dimen-siones. El conjunto infinito {1, t, t", ... }
genera este espacio y ningn conjuntofinito de polinomios genera el
espacio.
TEOREMA 1.7. Sea V un espacio lineal de dimensin finita con dim
V = n.Se tiene:
a) Cualquier conjunto de elementos independiente de V es un
subconjuntode una cierta base para V.
b) Cualquier conjunto de n elementos independientes es una base
para V.
Demostracin. Para demostrar (a), consideremos el conjunto
independienteS={Xl' ... , Xk} constituido por elementos en V. Si
L(S) =V, entonces S es unabase. Si no, entonces hay algn elemento y
en V que no est en L(S). Aadamosese elemento a S y consideremos el
nuevo conjunto S'={Xl' ... , x , y}. Si en esteconjunto dependiente
multiplicamos sus elementos por escalares cI, , Ck+lsiendo alguno
diferente de cero, estableceremos que
k.2 c.x + Ck+lY = O .i~l
Pero Ck+l=l= O puesto que Xl , ,Xk son independientes. De aqu
que podamosresolver esta ecuacin respecto a y llegando a la
conclusin que yE L(S), lo quecontradice el supuesto de que y no
pertenece a L(S). Por lo tanto el conjunto S' esindependiente y
contiene k+ 1 elementos. Si L(S')=V, entonces S' es una base
y,siendo S un subconjunto de S', la parte (a) queda demostrada. Si
S' no es una base,entonces podemos proceder con S' de igual manera
que procedimos con S y consi-derar otro nuevo conjunto S" que
contiene k+2 elementos y es independiente.Si S" es una base, (a)
queda demostrado. Si no, repetimos el proceso. Debemosllegar a una
base despus de un nmero finito de etapas, ya que de otra
maneraobtendramos un conjunto independiente con n+ 1 elementos,
contradiciendo elteorema (1.5). Por eso, la parte (a) del teorema
(1.7) queda demostrada.
Para demostrar la parte (b) consideremos un conjunto
independiente S conn elementos. Por la parte (a), S es un
subconjunto de base B. Pero por el teore-ma 1.6, la base B tiene
exactamente n elementos, por tanto, S=B.
1.9 Componentes
Sea V un espacio lineal de dimensin n y consideremos una base
cuyoselementos e, ... , en se toman en un cierto orden. Una tal
base ordenada la con-sideramos como una n-pla (e" ... en). Si X E
V, podemos expresar X como unacombinacin lineal de esos elementos
base:
(l.S)n
X = L c.e.,i~l
-
16 Espacios lineales
Los coeficientes en esta ecuacin determinan una n-pla de nmeros
(e, ... , cn)que est unvocamente determinada por x. En efecto, si
tenemos otra represen-tacin de x como combinacin lineal de e" ... ,
en, por ejemplo x =L;~ldiei,restando de ( 1 ,5) encontramos que
L~lCCi- di)ei = O. Pero ya que los ele-mentos base son
independientes, eso implica que ci=di para cada i, con lo cual(e"
... , cn) = (di,'" ,dn).
Los componentes de la n-pla ordenada (c., ... , Cn) determinada
por (1'.5)se llaman componentes de x respecto a la base ordenada
(e" ... , en).
l.t O EjerciciosEn cada uno de los ejerCICIOS del 1 al 10, S es
el conjunto de todos los vectores
(x, y, z) de Vo cuyos componentes satisfacen la condicin que se
da. Determinar si S esun subespacio de Vo' Si lo es, calcular dim
S.1. x = O.2. x + y = O.3. x + y + z = O.4. x =y.5. x = y = z,
6. x = yo x = z.7. x2 - y2 = O.8. x + y = 1.9. Y = 2x y z =
3x.
10. x + V + z = O y x - y - z = O.
Sea P, el espacio lineal de todos los polinomios de grado
:::;;n, siendo n fijo. En cadaejercicio del 11 al 20, sea S el
conjunto de todos los polinomios I de P. que satisfacen lacondicin
dada. Determinar si S es un subespacio de P. Si lo es, calcular dim
S.11. 1(0) = O.12. /'(0) = O.13. /"(0) = O.14. 1(0) + /'(0) = O.15.
1(0) = 10).16. 1(0) = 1(2).17. I es par.18. I es impar.19. I es de
grado s; k, siendo k < n, o I = O.20. I es de grado k, siendo k
< n, o I = O.21. En el espacio lineal de todos los polinomios
reales p(t), describir el subespacio engen-
drado por cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios y
determinar su dimensin.a) {l, t2, t4}; b) {t, t3, t5}; e) {t, t2};
d) {l + t, (1 + t)2}.
22. En este ejercicio, L(S) es el subespacio generado por un
subconjunto S de un espaciolineal V. Demostrar las proposiciones de
la a) a la f).a) S S; L(S).b) Si S S; TS; Vy si T es un subespacio
de V. entonces L(S) S; T. Esta propiedad seexpresa diciendo que
L(S) es el menor subespacio de V que contiene S.e) Un subconjunto S
de V es un subespacio de V si y slo si L(S) = S.d) Si S S; T S; V,
entonces L(S) S; L(T).e) Si S Y T son subespacios de V, tambin lo
es S \ T.f) Si S Y T son subconjuntos de V. entonces L(S n T)
S;L(S) \ L(T).g) Dar un ejemplo en el que L(S \ T) #- L(S) \
L(T).
23. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales
definidas en la recta real. Deter-minar si cada uno de los
siguientes subconjuntos de V es dependiente o independiente .
. Calcular la dimensin del subespacio generado por cada
conjunto.
-
Productos interiores, espacios eucldeos. Normas 17
a) {I, e"'x, ebX}, a ; b. f) reos x, senx}.b) {e"'x, xe"'X}. g)
{cos" X,sen 2 x}.e) {I, eax, xeax}. h) {I, eos 2x,sen2 x}.d) {e"'x,
xe'", x2eaX}. i) {sen x, sen 2x}.e) {eX, e-x, eoshx}. j) {eX eos x,
e-X senx}.
24. Sean V un espacio lineal de dimensin finita, y S un
subespacio de V. Demostrar cadauna de las proposiciones
siguientes.a) S es de dimensin finita y dim S ~ dim V.b) dim S =
dim V si y slo si S = V.e) Toda base de S es parte de una base de
V.d) Una base de V no contiene necesariamente una base de S.
1.11 Productos interiores, espacios eucldeos. Normas
En la Geometra eucldea ordinaria, aquellas propiedades que
cuentan conla posibilidad de medir longitudes de segmentos
rectilneos y ngulos formados porrectas se llaman propiedades
mtricas. En nuestro estudio de Vn, definimos laslongitudes y los
ngulos en funcin del producto escalar. Queremos ahora exten-der
esas ideas a espacios lineales ms generales. Primero introduciremos
una ge-neralizacin del producto escalar, que llamaremos producto
interior, y luegodefiniremos la longitud y el Anguloen funcin de
este producto interior.
El producto escalar x . y de dos vectores x = (Xl' .. , xn) e y
= (Yl, . " Yn)de Vn se defini en el Volumen 1 por la frmula
(1.6) nx Y = IXiYi'i~l
En un espacio lineal general, escribimos (x, y) en lugar de X' y
para los productosinteriores, y definimos el producto
axiomticamente y no mediante una frmula.Esto es, establecemos unas
ciertas propiedades que queremos que satisfagan losproductos
interiores y las consideramos como axiomas.
DEFINICIN. Un espacio lineal real V tiene un producto interior
si a cadapar de elementos x e y de V corresponde un nmero real nico
(x, y) que satis-face los siguientes axiomas cualesquiera que sean
x, y, z de V y para todos losescalares reales c.
1) (x, y) = (y, x)2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z)3) e(x,y) =
(ex, y)4) (x, x) > O si x rf O
tconmutatividad, o simetra).tdistributividad, o
linealidad).(asociatividad, u homogeneidad).(positividad).
Un espacio lineal con un producto interior se llama espacio real
eucldeo.
-
18 Espacios lineales
Observacin: Haciendo e = O en (3), encontramos que (O, y) = O
para todo y.
En un espacio lineal complejo, un producto interior (x, y) es un
nmerocomplejo que satisface los mismos axiomas que los del producto
interior real,excepto el de la simetra que se reemplaza por la
relacin
(1/) (x, y) = (y, x) , (Sitnetra hermitianat'
siendo (y, x) el complejo conjugado de (y, x). En el axioma de
homogeneidad, elmultiplicador escalar e puede ser cualquier nmero
complejo. Del axioma de lahomogeneidad y (1'), llegamos a la
relacin
(3/) (x, ey) = (ey, x) = (y, x) = (x, y) .
Un espacio lineal complejo con un producto interior se llama
espacio eucldeocomplejo. (A veces se usa tambin la denominacin de
espacio unitario.) Unejemplo es el espacio vectorial complejo vnCC)
brevemente discutido en la sec-cin 12.16 del Volumen I.
Aunque nos interesan principalmente los ejemplos de espacios
eucldeos rea-les, los teoremas de este captulo son vlidos para
espacios eucldeos complejos.Cuando decimos espacio eucldeo, sin ms,
entenderemos que puede ser real ocomplejo.
El lector debiera comprobar que cada ejemplo que sigue satisface
todos losaxiomas del producto interior.
EJEMPLO l. En Vn sea (x, y) = x . y, el producto escalar
ordinario de x e y.
EJEMPLO 2. Si x = (x, , x2) e Y = (y, , Y2) son dos vectores de
V2, defini-mos (x, y) mediante la frmula
Este ejemplo pone de manifiesto que pueden existir ms de un
producto interioren un espacio lineal dado.
EJEMPLO 3. Sea C(a, b) el espacio lineal de todas las funciones
reales con-
t En honor de Charles Hermite (1822-1901) matemtico francs que
contribuy muchoal desarrollo del lgebra y del anlisis.
-
Productos interiores, espacios eucldeos. Normas. 19
tinuas en un intervalo [a, b]. Definamos un producto interior de
dos funcionesf y g con la frmula
(j, g) = J: f(t)g(t) dt .Esta frmula es anloga a la ecuacin
(1.6). que define el producto escalar de dosvectores en V n. Los
valores de las funciones f(t) y g(t) desempean el papel delos
componentes x, e y-; y la integracin el de la suma.
EJEMPLO 4. En el espacio C(a, b), definimos
(j, g) = J: w(t)f(t)g(t) dt ,donde w es una funcin positiva fija
de C(a, b.). Tal funcin se llama funcin peso.En el ejemplo 3
tenemos w(t) = 1 para todo t.
EJEMPLO 5. En el espacio lineal de todos los polinomios reales,
definimos
(j, g) = fo'X) e-t(t)g(t) dt .
Debido al factor exponencial, esta integral impropia converge
para todo par depolinomios f y g.
TEOREMA 1.8. En un espacio eucldeo V, todo producto interior
satisfacela desigualdad de Cauchy-Schwarz:
I(x, y)12 ~ (x, x)(y, y) para todo x y (todo yen V.
Adems, el signo de igualdad es vlido si y slo si x e y SOn
dependientes.
Demostracin. Si ocurre que o bien x=O o y=O la demostracin
estrivial. Supongamos que x e y no son ambas cero. Sea z=ax+by en
donde a y bson escalares que especificaremos despus. Tenemos la
desigualdad (z,z) ~ O paratodo a y b. Cuando expresamos esta
desigualdad en funcin de x e y con unaeleccin apropiada de a y b,
obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Para expresar (z,z) en funcin de x e y usaremos las propiedades
(I"), (2)Y (3'), obteniendo
(z; z) = (al- + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) +
(by, by)= aii(x, x) + ah(x,y) + bii(y, x) + bb(y,y) 2 o.
-
20. Espacios lineales
Tomando a=(y,y) y suprimiendo en la desigualdad el factor
positivo (y,y),resulta
(y, y)(x, x)' + bix, y) + b(y, x) + bb ~ O.Ahora, hagamos b=
-(x,y). Entonces, b= -(y,x) y la ltima desigualdad,
una vez simplificada, toma la forma
(y,y)(x, x) ~ (x,y)(y, x) = l(x,y)12.
Esto demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz. El signo de
igualdad es vlidosi y slo si z=O. Esto ocurre si y slo si x e y son
dependientes.
EJEMPLO. Aplicando el teorema 1.8 al espacio C(a, b) con el
productointerior (j, g) = f~f(t)g(t) dt, encontramos que la
desigualdad de Cauchy-Schwarzse transforma en
El producto interior puede utilizarse para introducir el
concepto mtrico delongitud en cualquier espacio eucldeo.
DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, el nmero no negativo Ilxll
definidopor la ecuacin
Ilxll = (x, X)1/2
se denomina norma del elemento x.
Cuando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa en funcin de
las nor-mas, toma la forma
I(x,y)/ ~ [x] IIyll .
Puesto que es posible definir un producto interior de muchas
maneras, lanorma de un elemento depender del producto interior
elegido. Esta falta de uni-cidad era de esperar. Este hecho es
anlogo al de que podemos asignar nmerosdistintos a la medida de la
longitud de un segmento rectilneo dado, segn laeleccin de escala o
unidad de medida. El teorema que sigue da las
propiedadesfundamentales de las normas que no dependen de la
eleccin de producto interior.
-
Ortogonalidad en un espacio eucldeo 21
TEOREMA 1.9. En un espacio eucldeo, toda norma tiene las
propiedadessiguientes para todos los elementos x e y, y todos los
escalares c:
a) [x] = O si x = O.b) [x] > O si x o O (positividad).e) [ex]
= [e] Ilxll (homogeneidad).d) IIx + yll ~ [x] + I/yll (desigualdad
triangular).
El signo de igualdad es vlido en la desigualdad triangular si y
slo si x e y sondependientes.
Demostracin. Las propiedades a), b) y e) se deducen
inmediatamente delos axiomas del producto interior. Para demostrar
d) observemos que
[x + yl12 = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x)
== IIxl12+ IIyl12+ (x,y) + (x, y) .
La suma (x, y) + (x, y) es real. La desigualdad de
Cauchy-Schwarz prueba que(x, y)1 ~ Ilxll Ilyll y que l(x,y)1 ~
Ilxll lbll. as que tenemos
[x + yll2 ~ IIxl12+ IIyl12+ 211xll Ilyll = (11xll + lIy11)2.Esto
demuestra d). El signo de igualdad en d) es vlido siempre que lo
sea en ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando y = ex, siendo e
> O, tenemos
Ilx + yll = [x + ex] = (1 + c) !Ixll = I[xll + [ex] = Ilxll +
Ilyl!.
DEFINICIN. En un espacio eucldeo real V, el ngulo formado por
dos ele-mentos no nulos x e y se define como el nmero e del
intervalo O ~ e ~ tr quesatisface la ecuacin
(1. 7) ros e = (x, y) .Ilxllllyll
Observacin: La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que el
cociente del se-gundo miembro de (1.7) est en el intervalo [-1, 1],
as que existe slo un () en[O, 7T] cuyo coseno es igual al de este
cociente.
L.12 Ortogonalidad en un espacio eucldeo
DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, dos elementos x e y se
llaman orto-gonales si su producto interior es cero. Un subconjunto
S de V es un conjuntoortogonal si (x, y) = O para todo par de
elementos distintos x e y de S. Un con-junto ortogonal se llama
ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma 1.
-
22 Espacios lineales
El elemento cero es ortogonal a todo elemento de V; es el nico
elementoortogonal a s mismo. El siguiente teorema demuestra una
relacin entre ortogona-lidad y dependencia.
TEOREMA 1 .10. En un espacio eucldeo V, todo conjunto ortogonal
deelementos no nulos es independiente. En particular, en un espacio
eucldeo dedisnensin finita con dim V = n, todo conjunto ortogonal
que conste de n ele-mentos no nulos es una base para V.
Demostracin. Sea S un conjunto ortogonal de elementos no nulos
de V,y supongamos que una cierta combinacin lineal finita de
elementos de S es cero,'Sea
k
!CiXi = O,i=l
donde cada x, E S. Formando el producto escalar de cada miembro
por Xl yteniendo en cuenta que (Xl' Xi) = O si i =1= 1, encontramos
que c, (Xl' Xl) = O.Pero (XI' Xl) =1= O ya que Xl =1= O con lo cual
c, = O. Repitiendo el razonamientocambiando x, por x., encontramos
que cada e = O.Esto prueba que S es indepen-diente. Si dim V = n y
si S consta de n elementos, el teorema 1.7 b) demuestraque S es una
base para V.
EJEMPLO. En el espacio lineal real C(O, 277") con el producto
interior(f, g) = J~lTj(x)g(x) dx, sea S el conjunto de las
funciones trigonomtricas {uo,ul, U2, .. } dadas por
uo(X) = 1, U2n_1(X) = cos nx, U2n(X) = sen nx , para n = 1,2,
....
Si m =1= n, tenemos las relaciones de ortogonalidad
as que S es un conjunto ortogonal. Puesto que ningn elemento de
S es el ele-mento cero, S es independiente. La norma de cada
elemento de S se calcula fcil-mente. Tenemos (uo , uo) = f~lT dx =
277" y, para n ~ 1, tenemos
I" 2(U2n-l' U2n-1) = o cos nx dx = 7T, . {2lT 2(U2n, U2n) =Jo
sen nx dx = 7T.
-
Ortogonalidad en un espacio eucldeo 23
Por consiguiente, Iluoll =Vl; y /1 Un 11 = y:;;: para n ~ 1.
Dividiendo cada Un porsu norma, obtenemos un conjunto ortonormal
{9'!O,9'!l,9'!2, .,. } donde e.=un/llunll.As pues, tenemos
19'!o(x) = . /- ,
'V 217
sennx9'!2(X) = V; , para n ~ 1.
En la seccin 1.14 demostraremos que todo espacio eucldeo de
dimensinfinita tiene una base ortogonal. El teorema que sigue
muestra cmo se calculanlos componentes de un elemento relativos a
una tal base.
TEOREMA 1 .11. Sea V un espacio eucldeo de dimensin finita n, y
supon-gamos que S = {el' ... , e} es una base ortogonal para V. Si
un elemento x estexpresado como una combinacin lineal de los
elementos de la base, sea sta
(1.8) x = 2ciei'i=l
entonces sus componentes relativos a la base ordenada (el>
... , en) vienen dadospor las frmulas
(1.9) (x, ej)Cj = -(--) para j = 1, 2, ... , n.e., ejEn
particular, si S es una base ortonormal, cada e viene dada por
(1.10)
Demostracin. Formando el producto interior de cada miembro de
(1,8)con ej, obtenemos
n
(x, ej) = 2c;(ei, e) = cj(ej, e)i=l
puesto que (e, ej) = O si i =1=j. Esto implica (1.9), y cuando
(e , e) = 1, obte-nemos (1.10).
Si {el' ... , en} es una base ortonormal, la ecuacin (1 .9)
puede escribirseen la forma .
(1.11)n
X = 2(x, ei)eii=l
-
24 Espacios lineales
El siguiente teorema prueba que en un espacio eucldeo real de
dimensinfinita con una base ortonormal el producto interior de dos
elementos es igual a lasuma de los productos de sus
componentes.
TEOREMA 1.12. Sea V un espacio eucldeo real de dimensin finita
n,y supongamos lJue {el> ... , en} es una base ortonormal para
V. Para todo par deelementos x e y de V, tenemos
(1.12)n
(x, y) = L (x, ei)(y, ei) (Frmula de Parseval).i=l
En particular, cuando x = y, tenemos
(1.13)n
IIxl12 = L I(x, e)12i=l
Demostracin. Formando. el producto interior de ambos miembros de
laecuacin (1.11) con y, y aplicando la propiedad de linealidad del
producto inte-rior, obtenemos (1.12). Cuando x = y, la ecuacin
(1.12) se reduce a (1.13).
Observacin: La ecuacion (1.12) se denomina como se indica en
honor' deM. A. Parseval (aproximadamente 1776-1836), que obtuvo
este tipo de frmula en UDespacio funcional especial. La ecuacin
(1.13) es una generalizacin del teorema dePitgoras.
1.13 Ejercicios
1. Sean x = (XI"'" xn) e y = (YI"'" Yn) vectores arbitrarios de
Vn. Determinar en cadacaso, si (x, y) es un producto interior en
Vn, si (x, y) est definido por la frmula que seda. En el caso en
que (x, y) no sea un producto interior, decir cules son los
axiomasque no se satisfacen.
n
a) (x, y) =LXi /Yi/'i=l (
n )1/2d) (x, y) = i~1 xy
n n ne) (x,y) = L(xi + Yi)2 - LX~ - LY'
i=l i=l i=ln n
e) (X,y) =LXi LYi .i~1 i~1
2. Supongamos que mantenemos los tres primeros axiomas del
producto interior real(simetra, linealidad y homogeneidad) pero
reemplazamos el cuarto axioma por uno nue-vo (4'): (x, x) = O si y
slo si x = O. Demostrar que o (x, x) > O para todo x; Oo bien
(x, x) < O para todo x ; O.
-
Ejercicios 25
[Indicacin' Suponer (x, x) > O para un cierto x , O Y (y, y)
< O para un ciertoy , O. En el espacio generado por {x, y},
hallar un elemento z , O eon (z, z) = O.]
Demostrar que en los ejercicios del 3 al 7 cada una de las
proposiciones es vlida paratodo par de elementos x e y de un
espacio eucldeo real.3. (x,y) = O si y slo si [x + yll = [x -
yll.4. (x,y) = O si y slo si Ilx + yl12 = IIxl12 + Ily112.5. (x,y)
= O si y slo si [x + cyll :2 [x] para todo e real6. (x + y,x - y)=
Osi y slo si [x] = Ilyll.7. Si x e y son elementos no nulos que
forman un ngulo (), entonces
Ilx - yl12 = IIxl12 + lIyl12 - 2 Ilxll lIyll cos ().
8. En el espacio lineal real C(l, e), definimos un producto
interior por
(f,g) =f: (log x)f(x)g(x) dx.a) Si I(x) = V.;, calcular 11/11.b)
Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a + bx que sea ortogonal
a la funcinconstante I(x) = 1.
9. En el espacio lineal real C( -\, 1), sea (J, g) =f=-l
f(t)g(t)dt. Considerar las tres fun-ciones U" u2 u3 dadas por
U3(t) = 1 + t .
Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos forman entre s
un ngulo 'lT/3, y dosforman entre s un ngulo 'lT /6.
10. En el espacio lineal P. de todos los polinomios reales de
grado ~ n, definimos
a) Demostrar que (J, g) es un producto interior para P.b)
Calcular (J, g) cuando l(t) = t Y g(t) = at + b.e) Si I(t) = t,
hallar todos los polinomios g ortogonales a l.
11. En el espacio lineal de todos los polinomios reales,
definimos (J, g) = S;; e-t(t)g(t) dt.a) Demostrar que esa integral
impropia converge absolutamente para todos los polino-mios I y g.b)
Si x.(t) = t" para n = O, 1, 2, ... , demostrar que (X., xm) = (m +
n)! .e) Calcular (J, g) cuando l(t) = (t + 1)2 y g(t) = t2 + 1.d)
Hallar \ todos los polinomios de primer grado g(t) = a + bt
ortogonales a I(t) = 1+ t.
12. En el espacio lineal de todos los polinomios reales,
determinar si (/, g) es o no ur;producto interior cuando se define
(J, g) con la frmula que se da. En el caso en que(J, g) no es un
producto interior, indicar qu axiomas no son respetados. En e), f'
yg' indican derivadas.
-
26 Espacios lineales
a) (f,g) = I(l)g(l)
b) (f,g) = IJ: I(t)g(t) dt le) (l.g) =J: f'(t)g'(t) dt,d) (f,g)
= U:I(t) dt)U:g(t) dt).
13. V est formado con todas las sucesiones indefinidas de nmeros
reales {x.} para loscuales las series 1:X2 convergen. Si x = {x.} e
y = {y.} son dos elementos de V,definimos "
QO
(x,,,) = 1:x,.y" ."=1
a) Demostrar que esta serie converge absolutamente.[Indicacin:
Usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para aproximar la suma
1:~=1 Ix,.y"I.l;b) Demostrar que V es un espacio lineal con (x,
y) como producto interior.e) Calcular (x, y) si x; = l/n e y. =
l/(n + 1) para n ~ 1.d) Calcular (x,Y) si x; = 2" e y. =l/n! para n
~ 1.
14. Sea V el conjunto de todas las funciones reales I continuas
en [O, + 00) y tales que laintegral S:' e-tI2(t)dt converge.
Definamos (J, g) = S:' e-tl(t)g(t)dt.a) Demostrar que la integral
que da (/, g) converge absolutamente para cada par defunciones I y
g de V.
[Indicacin: Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
aproximar la inte-gral Jf e-tl/(t)g(t)ldt.]
b) Demostrar que V es un espacio lineal con (j, g) como producto
interior.e) Calcular (j, g) si I(t) = e-t y g(t) =t', donde n = 0,
1, 2, ....
15. En un espacio eucldeo complejo, demostrar que el producto
interior tiene las siguientespropiedades para todos los elementos
x, y, z y todos los complejos a y b.a) (ax, by) = a(x, y). b) (x,
ay + bz) = a(x, y) + (x, z).
16. Demostrar que en todo espacio eucldeo son vlidas las
identidades siguientes.a) Ilx + ylll = IIxl12 + lIy/l2 + (x,y) +
(y. x).b) [x + yll2 - /Ix - yl12 = 2(x, y) + 2(y, x).e) Ilx + yl12
+ Ilx - ylll = 2 Ilxlll + 2 Ily112.
17. Demostrar que el espacio de todas las funciones complejas
continuas en un intervalo[a, b] se transforma en un espacio
unitario si definimos un producto interior por lafrmula
(f, g) =J:w(t)/(t)g(t) dt ,donde w es una funcin positiva fija,
continua en [a, b].
1.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de
Gram-Schmidt
Todo espacio lineal de dimensin finita tiene una base finita. Si
el espacio eseucldeo, podemos construir siempre una base ortogonal.
Este resultado se dedu-
-
Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt
27
cir como consecuencia de un teorema cuya demostracin ensea a
construirconjuntos ortogonales en cualquier espacio eucldeo. de
dimensin finita o deinfinitas dimensiones. La construccin se llama
mtodo de Gram-Schmidt, en me-moria de J. P. Gram (1850-1916) y E.
Schmidt (1845-1921).
TEOREMA 1.13. TEOREMA DE ORTOGONALIZACIN. Sea X, X2, ... , una
su-cesin finita o indefinida de elementos de un espacio eucldeo V,
y designemoscon L(xl, , Xk) el subespacio generado por los k
primeros de esos elementos.Existe una sucesin correspondiente de
elementos YI> Y2... , de V que tiene lassiguientes propiedades
para cada entero k:
a) El elemento Yk es ortogonal a todo elemento del sub espacio
L(YI> ... Yk-~).b) El sub espacio generado por YI> , Yk es el
mismo que el generado
por Xl' . xi:
e) La suceston YI. Y2... es nica, salvo factores escalares. Esto
es, siy; , Y2,' .. , es otra sucesin de elementos de V que
satisfacen las propiedades a)y b), entonces para cada k existe un
escalar Ck tal que Y~ = cltYlt
Demostracin. Construyamos los elementos Y1> Y2, ... , por
induccin. Parainiciar el proceso, tomamos YI = Xl' Supongamos ahora
que hemos construidoYI, , Yr de modo que a) y b) se satisfacen
cuando k = r. Definamos Yr+1 me-diante la ecuacin
(1.14)r
Yr+l= xr+1 - !aiYi ,i=l
donde los escalares al' ... , a- tienen que determinarse. Para j
::;;r, el productointerior de Yr+l con Yi viene dado por
,(Y"'-1, Yi) = (X,+!, Yi) - !a(yi , Yi) = (X,+!, Yi) - a(Yi '
Yi)'
, i=1
puesto que (Yi, Yi) = O si i# j. Si Yi.=I=O, podemos hacer Yr+l
ortogonal a Yitomando
(1.15) ai = (x,+!, Yi) .(Yi'Y;)
Si Yi = O, entonces Yr+l es ortogonal a Yi para cualquier a que
se elija, en estecaso elegimos a = O. As pues, el elemento Yr+l est
bien definido y es ortogonal
-
28 Espacios lineales
a cada uno de los anteriores elementos y" ... , Yr' Por
consiguiente, es ortogonala todo elemento del subespacio '
Esto demuestra a) cuando k = r + 1.Para demostrar b) cuando k =
r + 1 , tenemos que probar que
L(Y1,'" ,Yr+l) = L(x1,, xr+1), dado que L(Y1,'" ,Yr) = L(x1,,
x.).Los r primeros elementos YH . , y, pertenecen a
y por tanto estn en el subespacio ms amplio L(x1, ... , xr+l)'
El nuevo elemen-to Y'+1 dado por (1.14) es una diferencia de dos
elementos de L(x1, X'+1)as que tambin est en L(X1 ... ' xr+l)' Esto
demuestra que
La ecuacin (1 .14) prueba que xr+1 es la suma de dos elementos
deL(Y1 , ... , Yr+1)con lo que un razonamiento anlogo da la
inclusin en el otro sentido:
Esto demuestra b) cuando k = r + l. Por lo tanto a) y b) han
sido demostradospor induccin respecto de k.
Finalmente demostramos e) por induccin respecto de k. El caso ic
= 1 estrivial. Por consiguiente, supongamos que e) es cierto para k
= r y consideremosel elemento Y;+l . En virtud de b), este elemento
pertenece a
L(Y1,'" ,Yr+l)'
as que podemos escribir
r+1Y;+l = ! CiYi = z; + Cr+lYr+l '
i=1
donde Z, E L(y, ... y,). Queremos demostrar que z, = O. Por la
propiedada), Y;+l y cr+lYr+l son ambos ortogonales a z-. Por
consiguiente, su diferencia, z.,es ortogonal a z.. Dicho de otro
modo, z; es ortogonal a s mismo, as quez; = O. Esto completa la
demostracin del teorema de ortogonalidad.
En la construccin anterior, puede suceder que Yr+l = O para algn
r. Enton-ces (1 .14) prueba que Xr+1 es una combinacin lineal de Y1
y" y por tanto
-
Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt
29
de X" , x" as que los elementos X1J , Xr+l son dependientes. En
otras pa-labras, si los Ti primeros elementos X1J , Xk son
independientes, los elementoscorrespondientes Y1J , Yk son no
nulos. En este caso los coeficientes ai de (1.14)vienen dados por
(1.15), y las frmulas que definen Y" ... , Yk se convierten en
(1.16) Yl = Xl ,{' (x,+!, Yi) 1 2 k 1
Yr+l = xr+! - L (. .)Yi para r = , , ... , - .i~l y" y,
Estas frmulas constituyen el mtodo de Gram-Schmidt para
construir un conjuntoortogonal de elementos no nulos Y1J , Yk que
generan el mismo subespacio queel conjunto independiente dado X" '"
xs. En particular, si X" , x es unabase para un espacio eucldeo de
dimensin finita, entonces Y" ... , Yk es una baseortogonal para el
mismo espacio. Tambin podemos convertir sta en una baseortonormal
normalizando cada uno de los elementos Yi, esto es, dividindolo
porsu norma. Por consiguiente, como corolario del teorema 1.13
tenemos el si-guiente.
TEOREMA 1.14. Todo conjunto eucldeo de dimensin finita tiene una
baseortonormal.
Si X e y son elementos en un espacio eucldeo, con y =1= O, el
elemento
(X, y) y(y, y)
Y3 = X3 - QtY, - Q Y Q. - ~2 2' I - (y, Y)
FIGURA 1.1 El mtodo de Gram-Schmidt en Va' Un conjunto ortogonal
{Y" Y2' Y3}se construye a partir de un conjunto independiente {x.,
x2' xa}.
-
30 Espacios lineales
se llama la proyeccin de x sobre y. En el mtodo de Gram-Schmidt
(1.16),construimos el elemento Yr+l restando de Xr+l la proyeccin
de Xr+l sobre cadauno de los anteriores elementos YI> .. , Yr.
La figura 1.1 representa la construc-cin geomtrica en el espacio
vectorial V3
EJEMPLO 1. En V., hallar una base ortonormal para el subespacio
generadopor los tres vectores Xl = (1, -1, 1, -1), X2 = (5, 1, 1,
1,),Y X3 = (-3, -3,1, -3).
Solucin. Aplicando el mtodo de Gram-Schmidt, encontramos
Yi= Xl = (1, -1, 1, -1) ,
(X2, YI) (4 2 O 2)Y2 = X2 - YI = X2 - YI = , " ,(YI, y)
(xa, YI) (xa, Y2) + (O O O O)Ya = Xa - --- YI - Y2 = X3 - YI Y2
= , " .(y , YI) (Y2, Y2)
Puesto que Y3 = O, los tres vectores X, X2, X3 deben ser
dependientes. Pero yaque Yl e Y2 son no nulos, los vectores Xl y ~2
son independientes. Por consiguienteL(xl, X2, x3) es un subespacio
de dimensin 2. El conjunto {YI> Y2} es una baseortogonal para
ese subespacio. Dividiendo YI e Y2 cada uno por su norma llegamosa
una base ortonormal que consta de dos vectores
YI 1 )---- = -(1 -1 1 -1IIYIII 2' "
y Y2 1 1 )---- = .17(2, ,0,1 .IIY211 v 6
EJEMPLO 2. Polinomios de Legendre. En el espacio lineal de todos
los po-linomios, con el producto interior (x, y) =f=-l x(t) y(t)
dt, consideramos la sucesinindefinida x", XI> x2, , donde xn(t)
= t". Cuando se aplica a esa sucesin elteorema de ortogonalizacin
se transforma en otra sucesin de polinomiosYo, YI> Y2' ... , que
el matemtico francs A. M. Legendre (1752-1833) fue elprimero en
encontrar en su trabajo sobre la teora del potencial. Los primeros
deesos polinomios se calculan fcilmente con el mtodo de
Gram-Schmidt. Antetodo, tenemos yo(t) = x,,(t) = 1. Puesto que
(Yo, Yo) =fl dt = 2-1
y (Xl ,Yo) =fl tdt = O,-1
encontramos que
-
Complementos ortogonales. Proyecciones 31
A continuacin, utilizamos las relaciones
JI 2 2(x2 , Yo) = t dt = - ,-1 3 (x2 , Yl) =Jl t3 dt = O,-1 JI 2
2(y , Y) = t dt = --1 3para obtener
Y2(t) = x2(t) - (x2 , Yo) Yo(t) _ (x2 , Yl) y(t) = t2 _ !.(Yo ,
Yo) (Yl , Yl) 3
Del mismo modo, encontramos que
3 3Y3(t) = t - 5 t , 4 6 2 3Y4(t) = t - - t + - ,
. 7 35. . 5 10 3 5
Ys(t) = t - - t + - t .9 21
En el captulo 6 encontraremos de nuevo esos polinomios en el
estudio de lasecuaciones diferenciales, y probaremos que
n! dn(2 lnY (t) = - - t - ) .n (2n)! dt"
Los polinomios P; dados por
(2n)! 1 a: ( 2 )nPnCt) = 2n(n !)2 Yn(t) = 2nn! dtn t - 1
se conocen con el nombre de polinomios de Legendre. Los
polinomios de la su-cesin ortonormal correspondiente rpo, ({!i,
rp2" . , dados por rpn= Yn/IIYnll sellaman polinomios de Legendre
normalizados. De las frmulas para Yo, ... , Y5dadas antes,
encontramos que
J-I 3({!o(t) = vi' ({!(t) = 2 t ,1m
({!s(t) = 8~ 2" (63t5 - 70t3 + 15t) .
1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones
Sean V un espacio eucldeo y S un subespacio de dimensin finita.
Vamosa considerar el siguiente problema de aproximacin: Dado un
elemento x de
-
32 Espacios lineales
V, determinar un elemento en S cuya distancia a x sea lo ms
pequea posible.La distancia entre dos elementos x e y se define
como la norma Ilx - Y,.
Antes de discutir este problema en su forma general,
consideremos un casoparticular, representado en la figura 1.2. Aqu
V es el espacio vectorial V" y S esun subespacio de dimensin dos,
un plano que pasa por el origen. Dado x de V,el problema consiste
en encontrar, en el plano S, el punto s ms prximo a x.
Si x E S, evidentemente la solucin es s = x. Si x no pertenece a
S, el puntoms prximo s se obtiene trazando una perpendicular desde
x al plano. Este sen-cillo ejemplo sugiere una introduccin al
problema general de aproximacin y daorigen a la discusin que
sigue.
DEFINICIN. Sea S un subconjunto de un espacio eucldeo V. Se dice
que unelemento de V es ortogonal a S si es ortogonal a todo
elemento de S. El conjuntode todos los elementos ortogonales a S se
designa con Si- y es el perpendiculara S.
Es un ejerCICIOsencillo comprobar que Si- es un subespacio de V,
tanto,si S lo es como si no loes. En el caso en que S sea un
subespacio, entonces Si- sellama complemento ortogonal de S.
EJEMPLO. Si S es un plano que pasa por el origen, como se ve en
la figu-ra 1.2. entonces Si- es una recta por el origen
perpendicular a ese plano. Esteejemplo da tambin una interpretacin
geomtrica para el teorema siguiente.
sJ..
FIGURA 1.2 Interpretacin geomtrica del teorema de descomposicin
ortogonal en V3
-
Complementos ortogonales. Proyecciones 33TEOREMA 1.15. TEOREMA
DE LA DESCOMPOSICION ORTOGONAL. Sean V un
espacio eucldeo y S un subespacio de V de dimensin finita. Todo
elemento xde V puede representarse en forma nica como una suma de
dos elementos, unode S y otro de S.l-. Esto es, tenemos
(1.17) x = s + s.l-, donde s E S
Adems, la norma de x viene dada por la frmula pitagrica
(1.18)
Demostracin. Demostremos primero que existe en realidad una
descom-posicin ortogonal (1.17). Puesto que S es de dimensin
finita, tiene una baseortonormal finita, sea sta {el' ... , en}.
Dado x, definimos los elementos s y s.l-as:
(1.19)n
S = L (x, ei)ei ,i~l
.LS =x-s.
Observemos que cada trmino (x, ei)ei es la proyeccin de x sobre
et. El elemen-to s es la suma de las proyeccciones de x sobre cada
elemento de la base. Puestoque s es una combinacin lineal de los
elementos de la base, s est en S. La defi-nicin de sol prueba que
la ecuacin (1 .17) es vlida. Para demostrar que solest en S.1,
consideremos el producto interior de s.1.y cualquier elemento e de
labase. Tenemos
Pero de (1.19;), encontramos que (s, e) = (x, e), as que s.1.es
ortogonal a ej.Por consiguiente si es ortogonal a todo elemento de
S, lo cual significa ques.1. E S.1..
Probamos a continuacin que la descomposicin ortogonal (1.17) es
nica.Supongamos que x tuviera dos descomposiciones, sean stas
(1.20) I x=s+sl y x = (+ (.l.,
donde s y t estn en S, y sI Y (1 estn en S1o. Queremos demostrar
que s = t Ys-L-= (l.. De (1.2.0), tenemos s - t = (1. - s.L, as que
slo necesitamos demos-trar que s - t = O. Pero s - t E S Y (1. -
s-L E S1.. con lo que s - t es orto-gonal a (1.. - s.L e igual a
t..l..- sl-. Puesto que el elemento cero es el nico ele-mento
ortogonal a s mismo, debe ser s - t = O. Esto demuestra que la
descom-posicin es nica.
-
34 Espacios lineales
Finalmente, demostremos que la norma de x viene dada por la
frmula pita-grica. Tenemos
IIxl12 = (x, x) = (s + s~, s + SL) = (s, s) + (S~, SJ),
siendo nulos los restantes trminos ya que s y s~ son
ortogonales. Esto demues-tra (1.18).
DEFINICIN. Sea S un sub espacio de dimensin finita de un espacio
eucldeoV, y sea {el> ... , en} una base ortonormal para S. Si x
E V, el elemento s defi-nido por la ecuacin
n
S = 2 (x, ei)eii=l
se denomina proyeccin de x sobre el subespacio S.
Demostramos seguidamente que la proyeccin de x sobre S es la
solucindel problema de aproximacin establecido al comienzo de esta
seccin.
1.16' Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por
elementosde un subespacio de dimensin finita
\
TEOREMA 1.16. TEOREMA DE APROXIMACIN. Sea S ,un subespacio de
di-mensin finita de un espacio eucldeo V, y sea x un elemento de V.
La proyeccinde x sobre S es ms prxima a x que cualquier otro
elemento de S. Esto es, si ses la proyeccin de x sobre S,
tenemos
[x - sil ~ [x - tjl
para todo t de S; es vlido el signo de igualdad si y slo si t =
s.
Demostracin. En virtud del teorema 1.15 podemos escribir x = s +
s~,donde s E S Y s~ E S~. Entonces, para cualquier t de S,
tenemos
x - t = (x - s) + (s - t) .Puesto que s - t E S Y x - s = s~ E
S~, sta es una descomposicin ortogonalde x - t, as que su norma
viene dada por la frmula pitagrica
Ilx - tl12 = IIx -,sI12 + lis - t112.
-
Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo 35
Pero lis - tl12 0, con lo que Ilx - tW Ilx - sW, valiendo el
signo igual siy slo si s = t. Esto completa la demostracin.
EJEMPLO 1. Aproximacin de funciones continuas en [O, 217],por
polino-mios trigonomtricos. Sea V = C(O, 217), el espacio lineal de
todas las funcionesreales continuas en el intervalo [0,277], y
definamos un producto interior mediantela ecuacin (1,g) = n"
f(x)g(x) dX.En la seccin 1.12 vimos un conjunto orto-normal de
funciones trigonomtricas CFo, CFI, CF2, , donde
(1.21) 1CFo(X) = _/- ,V 217
cos kxCF2k-l(X) = y; , sen kxCP2k(X) = y;' para k 1 .
Los 2n + 1 elementos epo, epI' ... , ep2n generan un subespacio
S de dimensin2n + 1. Los elementos de S se llaman polinomios
trigonomtricos.
Si f E C(0,27T), sea l la proyeccin de f sobre el sub espacio S.
Tenemosentonces
(1.22)2n
I; = l:O
-
36 Espacios lineales
~ n. Si I E C( -1, 1), designemos con In la proyeccin de I sobre
S. Tenemosentonces
n
I,=I (J, f(!k)f(!k ,k~O
donde (J, f(!k) =L: f(t)f(!it) dt .Este es el polinomio de grado
~ n para el que la norma 1II - Inll es la menor.Por ejemplo, cuando
I(x) = sen nx, los coeficientes
-
Ejercicios 37
4. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, con
producto interior (x, y) =fAx(t)y(t)dt, sea x.(t) = t" para n = 0,
1, 2, '" . Demostrar que las funciones
Yo(t) = 1 , YI(t) =V3 (2t - 1) , 12(1) = v5 (6t2 - 6t + 1)forman
un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio que {XO' Xl'
X2}.
5. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales 1
continuas en [O, + '!J) y talesque la integral J~ e-tf2(t)dt
converge. Definamos (f, g) = J~ e-tl(t)g(t)dt, y sea Yo, YI'Y2' ,
el conjunto obtenido aplicando el mtodo de Gram-Schmidt a XO' Xl'
x2' ,donde x.(t) = t" para n ;:: O. Demostrar que yo(t) = 1, YI(t)
= t - 1, y2(t) = t2 - 4t + 2,Y (t) = t3 - 9t2 + 18t - 6.
6. E~ el espacio lineal real C(1, 3) con producto interior (f,
g) =H I(x)g(x)dx, seaI(x) = l/x y demostrar que el polinomio
constante g ms prximo a 1 es g = i log 3.Calcular lls - fl12para
este g.
7. En el espacio lineal real C(O, 2) con producto interior (f,
g) = H I(x)g(x)dx, seaI(x) = e" y demostrar que el polinomio
constante g ms prximo a 1 es g = i(e2 - 1).Calcular IIg - 1112 para
este g.
8. En el espacio' lineal real C( -1, 1) con producto interior
(f, g) =J~l/(x)g(x)dx, seaI(x) = e" y hallar el polinomio g ms
prximo a l. Calcular Ilg - 11/2 para este g.
9. En el espacio lineal real C(O, 2'1T) con producto interior
(f, g) = Hu I(x)g(x)dx, seaI(x) = x. En el subespacio generado por
uo(x) = 1, ul(x) = cos x, u
2(x) = sen x, hallar
el polinomio trigonomtrico ms prximo a f.10. En el espacio
lineal V del ejercicio 5, poner I(x) = e-X y hallar el polinomio de
primer
grado ms prximo a f.
-
2TRANSfORMACIONESLINEALES Y MATRICES
2.1 Transfonnaciones lineales
Uno de los modernos objetivos del Anlisis es un estudio amplio
de funcio-nes cuyos dominios y recorridos son subconjuntos de
espacios lineales. Tales fun-ciones se llaman transformaciones,
aplicaciones, u operadores. Este captulo tratade los ejemplos ms
sencillos, llamados transformaciones lineales, que se presen-tan en
todas las ramas de la Matemtica. Las propiedades de
transformacionesms generales se obtienen a menudo aproximndolas
mediante transformacio-nes lineales.
Introducimos primero la notacin y la terminologa ms corriente
relativa afunciones cualesquiera. Sean V y W dos conjuntos. El
smbolo
T: V-- W
se usar para indicar que T es una funcin cuyo dominio es V y
cuyos valoresestn en W. Para cada x de V, el elemento T(x) de W se
llama imagen de xa travs de T, y decimos que T aplica x en T(x). Si
A es un subconjunto cual-quiera de V, el conjunto de todas las
imgenes T(x) para x de A se llama la ima-gen de A a travs de T y se
representa por T(A). La imagen del dominio V, T(V),es el recorrido
de T.
Supongamos ahora que V y W son espacios lineales que tienen el
mismo con-junto de escalares, y definamos una transformacin lineal
como sigue.
DEFINICIN. Si V Y W son dos espacios lineales, una funcin T: V ~
W sellama transformacin lineal de V en W, si tiene las propiedades
siguientes:
a) T(x + y) = T(x) + T(y)b) T(cx) = cT(x)
cualesquiera que sean x e y de V,para todo x de V y cualquier
escalar c.
39
-
40 Transformaciones lineales y matrices
Esto significa que T conserva la adicin y la multiplicacin por
escalares.Las dos propiedades pueden combinarse en una frmula que
establece que
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)para todo x y todo y de V y todos los
escalares a y b. Por induccin, tenemostambin la relacin ms
general
para n elementos cualesquiera Xl"'" x de V, y n escalar