- 1. E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo
colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el
acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor
cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros
que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en
bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.Invitamos a
todos los interesados en participar en este proyecto asugerir
ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos
en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es
un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona
y todas las colaboraciones son bienvenidas.Nos encuentras en los
Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte
en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo
electrnico:[email protected] http:// eduktodos. dyndns. org
2. Calculus 3. TOIIl M. Apostol CALCULUS VOLUMEN 11 Clculo con
funciones de varias variablesy lgebra lineal, con aplicaciones a
lasecuaciones diferenciales y a las probabilidadesSegunda edicin
EDITORIAL REVERT, S. A. Barcelona-Bogot-Buenos Ai res-Caraca
s-Mxico 4. Ttulo de la obra original:CALCULUS,
Multi-VariableCalculus and Linear Algebra,With Applications to
DitTerential Equations and ProbabilityEdicin original en lengua
inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham,
MassachusettsCopyright by Blaisdell Publishing CompanyVersin
espaola por:Dr. D. Francisco V lez CantarellProfesor de la
Universitat de BarcelonaRevisada por:Dr. D. Enrique Lins
EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de
MadridPropiedad de:EDITORIAL REVERT, S.A. yREVERT EDICIONES, S.A.
DE CVLoreto, 13-15, Local B Ro Pnuco 141 Col. Cuauhtmoc08029
Barcelonac.r. 06500 Mxico, D.F.Tel: (34) 934193336Tel: 55-33-56-58
al 60Fax: (34) 934195189Fax: 55-14-67-99E-mail:
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http://www.reverte.comReservados todos los derechos. La reproduccin
total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento,
comprendidos la reprografa y el tratamiento in-formtico, y la
distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o
prstamop-blicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin
escrita de los titulares delcopyright, bajo las sanciones
establecidas por las leyes.2". EDICINEdicin en espaol EDITORIAL
REVERT, S. A., 1985 REVERT EDICIONES, S.A. DE C.V., 200178
REIMPRESIN: MARZO DE 2002ISBN: 84-291-5001-3 (Obra completa)
EspaaISBN: 84-291-5003-X(Tomo 2)ISBN: 698-6708-12-X(Obra
completa)MxicoISBN: 698-6708-11-1 (Tomo 2)Depsito legal:
B-13143-2002Impreso por DomingrafImpressorsPoI. Ind. Can
MagarolaPje. Autopista, Nave 1208100 Mollet del Valls (Barcelona)
5. aJane y Stephen 6. PRLOGOEste libro es una continuacin de mi
Ca1culus, volumen 1, segunda edicin.El presente volumen fue escrito
con el mismo plan fundamental que inspir alprimero. Un adecuado
enfoque hacia la tcnica se combina con un rigurosodesarrollo
terico. Se ha procurado hacer llegar al estudiante el espritu de
lamatemtica moderna sin exagerar el formalismo. Como en el volumen
1, se hanincluido comentarios de tipo histrico para hacer vivir al
lector la evolucin delas ideas.El segundo volumen est dividido en
tres partes, tituladas; Anlisis lineal,Anlisis no lineal, y Temas
especiales. Los dos ltimos captulos del volumen 1han sido repetidos
y son los dos primeros captulos del volumen Il, de modo quetoda la
materia relativa al lgebra lineal est completa en cada volumen.La
parte 1 contiene una introduccin al lgebra lineal, incluyendo
transfor-maciones lineales, matrices, determinantes, autovalores y
formas cuadrticas.Se dan aplicaciones al anlisis, en particular al
estudio de las ecuaciones diferen-ciales lineales. Se estudian los
sistemas de ecuaciones diferenciales con la ayudadel clculo
matricial. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad
pormedio del mtodo de Picard de aproximaciones sucesivas, que
tambin se tratautilizando los operadores de contraccin.En la parte
2 se discute el clculo de funciones de varias variables. El
clculodiferencial se unifica y simplifica con la ayuda del lgebra
lineal. Se incluyenreglas de la cadena para campos escalares y
vectoriales, y aplicaciones a lasecuaciones diferenciales en
derivadas parciales y a problemas de extremos. Enclculo integral se
incluyen integrales de lnea, integrales mltiples y de
superficie,con aplicaciones al anlisis vectorial. En esto la
exposicin sigue ms o menos lalnea clsica y no incluye un desarrollo
formal de las formas diferenciales.Los temas especiales tratados en
la parte 3 son Probabilidades y Anlisisnumrico. El de
probabilidades est dividido en dos captulos, uno que trata delos
espacios muestrales finitos o infinitos numerables; el otro de
espacios mues-trales no numerables, variables aleatorias, y
funciones de distribucin. Las apli-caciones se ilustran en el
estudio de variables aleatorias uni- y bi-dimensionales.El ltimo
captulo contiene una introduccin al anlisis numrico,
poniendoespecial atencin en los distintos tipos de polinomios de
aproximacin. Terminael libro con un estudio de las frmulas de
integracin aproximada, tales como laregla de Simpson y una discusin
de la frmula de sumacin de Euler. VII 7. VIIIPrlogo En este volumen
hay materia suficiente para un curso anual completo contres o
cuatro sesiones semanales. Presupone un conocimiento del clculo con
unavariable como se desarrolla en la mayora de los cursos del
primer ao de clculo.El autor ha imaginado el curso con cuatro
sesiones semanales, dos de exposicinpor parte del profesor y dos
para preguntar a los alumnos, empleando aproxima-damente diez
semanas en cada parte y omitiendo las secciones sealadas
conasterisco.Este segundo volumen ha sido planeado de modo que
muchos captulospueden omitirse en cursos abreviados. Por ejemplo,
el ltimo captulo de cadaparte puede suprimirse sin romper la
continuidad de la exposicin. La parteprimera proporciona material
para un curso combinado de lgebra lineal y deecuaciones
diferenciales ordinarias. Cada profesor puede elegir los temas
adecua-dos a sus necesidades y preferencias consultando el diagrama
de la pgina si-guiente que muestra la interdependencia lgica de los
captulos.Una vez ms reconozco con agrado el asesoramiento de
numerosos amigos ycolegas. Al preparar la segunda edicin recib
valiosa ayuda de los profesoresHerbert s. Zuckerman de la
Universidad de Washington, y Basil Gordon de laUniversidad de
California, Los Angeles, cada uno de los cuales sugiri
variasmejoras. Agradezco tambin al personal de la Blaisdell
Publishing Company sucooperacin y ayuda.Como en otras ocasiones me
da especial satisfaccin expresar mi gratituda mi esposa por su
valiosa y variada contribucin. En reconocimiento le
dedicogustosamente este libro. T. M. A.Pasadena, California 8.
Interdependencia lgica de los captulosIX1ESPACIOSLINEALES
I215INTRODUCCINTRANSFORMACIONESAL ANLISISLINEALES NUMRICO Y
MATRICES3 DETERM INANTES 8 10136CLCULO DIFERENINTEGRALESFUNCIONES
DEECUACIONESDIFERENCIALES CIAL EN CAMPOS ESCALARES Y .... DE LNEA
CONJUNTO YPROBABILIDADES LINEALESVECTORIALES ELEMENTALES4 I r-
AUTOVALORES yIAUTOVECTORES 7 11 SISTEMAS IDE
ECUACIONESDIFERENCIALES5 INTEGRALESMLTIPLES I14AUTOV ALORES DE
OPERADORES QUEACTAN EN ESPACIOS "1 I CLCULO DEPROBABILIDADES
EUCLDEOS 9 12APLICACIONES INTEGRALESDEL CLCULO
DEDIFERENCIALSUPERFICIE 9. NDICE ANALTICOParte 1. Anlisis lineal1.
ESPACIOSLINEALES1.1Introduccin 31.2Definicin de espacio lineal
31.3Ejemplos de espacios lineales51.4Consecuencias elementales de
los axiomas 71.5Ejercicios 81.6Subespacios de un espacio lineal
91.7Conjuntos dependientes e independientes en un espacio
lineal111.8Bases y dimensin 141.9Componentes 151.10
Ejercicios161.11 Productos interiores, espacios eucldeos.
Normas171.12 Ortogonalidad en un esp-acio eucldeo 211.13
Ejercicios241.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de
Gram-Schmidt 261.15 Complementos ortogonales. Proyecciones311.16
Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementos
de un subespacio de dimensin finita341.17 Ejercicios362.
TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICES2.1Transformaciones lineales
392.2Ncleo y recorrido412.3Dimensin del ncleo y rango de la
transformacin 42XI 10. XII In dice
analtico2.4Ejercicios442.5Operaciones algebraicas con
transformaciones lineales 462.6Inversas482.7Transformaciones
lineales uno a uno 512.8Ejercicios532.9Transformaciones lineales
con valores asignados 552.10 Representacin matricial de las
transformaciones lineales 562.11 Construccin de una representacin
matricial en forma diagonal602.12 Ejercicios622.13 Espacios
lineales de matrices 632.14 Isomorfismo entre transformaciones
lineales y matrices652.15 Multiplicacin de matrices662.16
Ejercicios702.17 Sistemas de ecuaciones lineales 722.18 Tcnicas de
clculo 752.19 Inversas de matrices cuadradas802.20 Ejercicios832.21
Ejercicios varios sobre matrices843.
DETERMINANTES3.1Introduccin873.2Justificacin de la eleccin de los
axiomas para una funcin determinante883.3Conjunto de axiomas que
definen una funcin determinante903.4Clculo de determinantes933.5El
teorema de unicidad963.6Ejercicios97 3.7 Producto de determinantes
99 3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no
singular101 3.9 Determinantes e independencia de vectores102
3.10Determinante de una matriz diagonal en bloques 102
3.11Ejercicios 104 3.12Frmulas para desarrollar determinantes.
Menores y cofactores 105 3.13Existencia de la funcin
determinante110 3.14Determinante de una matriz transpuesta 112
3.15La matriz cofactor 113 3.16Regla de Cramer115 3.17Ejercicios
116 11. lndice analticoXIII 4. AUrOVALORES y
AUTOVECTORES4.1Transformaciones lineales representadas mediante
matrices dia- gonales1194.2Autovectores y autovalores de una
transformacin lineal1204.3Independencia lineal de autovectores
correspondientes a auto- valores distintos1234.4Ejercicios
1254.5Caso de dimensin finita. Polinomios caractersticos
1264.6Clculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensin
finita1284.7Traza de una matriz 1314.8Ejercicios1324.9Matrices que
representan la misma transformacin lineal. Matrices lineales
1344.10 Ejercicios1395. AUTOVALORES DE OPERADORES EN ESP ACrOS
EUCLDEOS5.1Autovalores y productos interiores o
escalares1415.2Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas
1425.3Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y
hemi-hermitianos1455.4Ortogonalidad de los autovectores
correspondientes a autova- lores distintos
1455.5Ejercicios1465.6Existencia de un conjunto ortonormal de
autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que
actan en es- pacios de dimensin finita1485.7Representacin matricial
para operadores hermitianos y hemi- hermitianos 1495.8Matrices
hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una
matriz1505.9Diagonalizacin de una matriz hermitiana o
hemi-hermitiana1515.10 Matrices unitarias. Matrices
ortogonales1525.11 Ejercicios1545.12 Formas cuadrticas1565.13
Reduccin de una forma cuadrtica real a forma diagonal 1595.14
Aplicaciones a la Geometra Analtica 1615.15 Ejercicios166 12.
XIVIndice analtico* 5.16 Autovalores de una transformacin simtrica
obtenidos como valores de su forma cuadrtica 166* 5.17 Propiedades
relativas a extremos de los autovalores de una transformacin
simtrica 168* 5.18 Caso de dimensin finita 1705.19 Transformaciones
unitarias 1705.20 Ejercicios 1746. ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES
6.1 Introduccin histrica 175 6.2 Revisin de los resultados
relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden176 6.3
Ejercicios 178 6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 179
6.5 Teorema de existencia y unicidad 181 6.6 Dimensin del espacio
solucin de una ecuacin lineal ho- mognea181 6.7 lgebra de
operadores de coeficientes constantes 182 6.8 Determinacin de una
base de soluciones para ecuaciones li- neales con coeficientes
constantes por factorizacin de ope- radores185 6.9 Ejercicios 190
6.10Relacin entre las ecuaciones homogneas y no homogneas 192
6.11Determinacin de una solucin particular de la ecuacin no
homognea. Mtodo de variacin de constantes 193 6.12No singularidad
de la matriz wronskiana de n soluciones inde- pendientes de una
ecuacin lineal homognea198 6.13Mtodos especiales para determinar
una solucin particular de la ecuacin no homognea. Reduccin a un
sistema de ecua- ciones lineales de primer orden200 6.14Mtodo del
anulador para determinar una solucin particular de la ecuacin no
homognea201 6.15Ejercicios 204 6.16Ejercicios varios sobre
ecuaciones diferenciales lineales206 6.17Ecuaciones lineales de
segundo orden con coeficientes analticos 207 6.18La ecuacin de
Legendre211 6.19Polinomios de Legendre 215 6.20Frmula de Rodrigues
para los polinomios de Legendre 217 6.21Ejercicios 218 13. lndice
analticoxv 6.22Mtodo de Frobenius 222 6.23Ecuacin de Bessel224
6.24Ejercicios2317. SISTEMAH DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7.1
Introduccin235 7.2 Clculo con funciones matriciales 238 7.3 Series
de matrices. Normas de matrices239 7.4 Ejercicios241 7.5
Exponencial de una matriz 242 7.6 Ecuacin diferencial que se
satisface por etA 243 7.7 Teorema de unicidad para la ecuacin
diferencial matricial F(t) = AF(t) 244 7.8 Ley de exponentes para
exponenciales de matrices245 7.9 Teoremas de existencia y unicidad
para sistemas lineales ho- mogneos con coeficientes constantes246
7.10El problema de calcular erA 247 7.11Teorema de
Cayley-Hamilton249 7.12Ejercicios251 7.13Mtodo de Putzer para
calcular etA253 7.14Otros mtodos para calcular etA en casos
especiales 256 7.15Ejercicios260 7.16Sistemas lineales no homogneos
con coeficientes constantes 261 7.17Ejercicios264 7.18Sistema
lineal general Y(t) = P(t)Y(t) + O(t)266 7.19Resolucin de sistemas
lineales homogneos mediante series de potencias 271
7.20Ejercicios272 7.21Demostracin del teorema de existencia por el
mtodo de las aproximaciones sucesivas273 7.22Aplicacin del mtodo de
aproximaciones sucesivas a los sis- temas no lineales de primer
orden 279 7.23Demostracin de un teorema de existencia y unicidad
para sis- temas no lineales de primer orden 2817.24 Ejercicios283*
7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fjos de operadores 285* 7.26
Espacios lineales normados286* 7.27 Operadores de contraccin 287
14. XVI lndice analtico* 7.28 Teorema del punto fijo para
operadores de contraccin289* 7.29 Aplicaciones del teorema del
punto fijo291Parte 2.Anlisis no lineal8. CALCULO DIFERENCIAL EN
CAMPOSESCALARES Y VECrrORIALES8.1Funciones de R" en R". Campos
escalares y vectoriales 2978.2Bolas abiertas y conjuntos
abiertos2988.3Ejercicios 3008.4Lmites y continuidad3028.5Ejercicios
3068.6La derivada de un campo escalar respecto a un vector
3088.7Derivadas direccionales y derivadas parciales3108.8Derivadas
parciales de orden superior3118.9Ejercicios 3128.10 Derivadas
direccionales y continuidad3138.11 La diferencial 3148.12 Gradiente
de un campo escalar3168.13 Condicin suficiente de
diferenciabilidad3188.14 Ejercicios 3208.15 Regla de la cadena para
derivadas de campos escalares3218.16 Aplicaciones geomtricas.
Conjuntos de nivel. Planos tangentes3248.17 Ejercicios 3278.18
Diferenciales de campos vectoriales3288.19 La
diferenciabilidadimplica la continuidad 3308.20 La regla de la
cadena para diferenciales de campos vectoriales3318.21 Forma
matricial de la regla de la cadena 3328.22 Ejercicios 336* 8.23
Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas par-
ciales mixtas3378.24 Ejercicios varios342 15. In dice analticoXVII
9. APLICACIONES DE CLCULO DIFERENCIAL 9.1Ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales345 9.2Ecuacin en derivadas parciales de
primer orden con coe-ficientes constantes346 9.3Ejercicios349 9.4La
ecuacin de ondas uni-dimensional351 9.5Ejercicios356 9.6Derivacin
de funciones definidas implcitamente359 9.7Ejemplos resueltos363
9.8Ejercicios368 9.9Mximos, mnimos y puntos de ensilladura369 9.10
Frmula de Taylor de segundo orden para campos escalares375 9.11
Determinacinde la naturaleza de un punto estacionario pormedio de
los autovalores de la matriz hessiana378 9.12 Criterio de las
derivadas segundas para determinar extremosde funciones de dos
variables 380 9.13 Ejercicios381 9.14 Extremos condicionados.
Multiplicadores de Lagrange 383 9.15 Ejercicios387 9.16 Teorema del
valor extremo para campos escalares continuos 388 9.17 Teorema de
la continuidad uniforme para campos escalarescontinuos 391 10.
INTEGRALES DE LNEA10.1Introduccin39310.2Caminos e integrales de
lnea 39310.3Otras notaciones para las integrales de lnea
39410.4Propiedades fundamentalesde las integrales de lnea
39610.5Ejercicios39910.6El concepto de trabajo como integral de
lnea 39910.7Integrales de lnea con respecto a la longitud de
arco40110.8Otras aplicaciones de las integrales de lnea
40210.9Ejercicios40310.10 Conjuntos conexos abiertos.
Independientes del camino 40510.11 Segundo teorema fundamental del
clculo para integralesde lnea40610.12 Aplicaciones a la
Mecnica40810.13 Ejercicios409 16. XVIII lndice analtico 10.14 El
primer teorema fundamental del clculo para integrales de lnea 411
10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vec-
torial sea un gradiente413 10.16 Condiciones necesarias para que un
campo vectorial sea un gradiente415 10.17 Mtodos especiales para
construir funciones potenciales417 10.18 Ejercicios 420 10.19
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer
orden422 10.20 Ejercicios 425 10.21 Funciones de potencial en
conjuntos convexos 426 11. INTEGRALES MLTIPLES 11.1Introduccin 431
11.2Particiones de rectngulos. Funciones escalonadas432
11.3Integral doble de una funcin escalonada 433 11.4Definicin de
integral doble de una funcin definida y acotada en un rectngulo 436
11.5Integrales dobles superior e inferior436 11.6Clculo de una
integral doble por integracin uni-dimensio- nal reiterada438
11.7Interpretacin geomtrica de la integral doble como un volumen
439 11.8Ejemplos resueltos 440 11.9Ejercicios 442 11.10
Integrabilidad de funciones continuas443 11.11 Integrabilidad de
funciones acotadas con discontinuidades445 11.12 Integrales dobles
extendidas a regiones ms generales446 11.13 Aplicaciones a reas y
volmenes.450 11.14 Ejemplos resueltos 451 11.15 Ejercicios 453
11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles455 11.17 Dos
teoremas de Pappus 459 11.18 Ejercicios 461 11.19 Teorema de Green
en el plano 462 11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green467
11.21 Condicin necesaria y suficiente para que un campo vectorial
bi-dimensional sea un gradiente468 11.22 Ejercicios 471 17. lndice
analtico XIX* 11.23 Teorema de Green para regiones mltiplemente
conexas 473* 11.24 El nmero de giros 475* 11.25 Ejercicios 47811.26
Cambio de variables en una integral doble47911.27 Casos
particulares de la frmula de transformacin 48411.28 Ejercicios
48811.29 Demostracin de la frmula de transformacin en un
casoparticular 49011.30 Demostracin de la frmula de transformacin
en el casogeneral49211.31 Extensiones a un nmero mayor de
dimensiones 49411.32 Cambio de variables en una integral n-mltiple
49711.33 Ejemplos resueltos 50011.34 Ejercicios 50412. INTEGRALES
DE SUPERFICIE 12.1 Representacin paramtrica de una superficie 509
12.2 Producto vectoriak fundamental 513 12.3 El producto vectorial
fundamental, considerado como una nor-mal a la superficie516 12.4
Ejercicios 517 12.5 rea de una superficie paramtrica
51812.6Ejercicios 52412.7Integrales de superficie 52512.8Cambio de
representacin paramtrica 52712.9Otras notaciones para las
integrales de superficie 53012.10 Ejercicios 53212.11 Teorema de
Stokes53412.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial
53712.13 Ejercicios 53912.14 Otras propiedades del rotacional y de
la divergencia 54012.15 Ejercicios 545* 12.16 Reconstruccin de un
campo vectorial a partir de surotacional 546* 12.17 Ejercicios 551
12.18Extensiones del teorema de Stokes552 12.19Teorema de la
divergencia (teorema de Gauss) 557 12.20Aplicaciones del teorema de
la divergencia 561 12.21Ejercicios 563 18. xxlndice analtico Parte
3. Temas especiales13. FUNCIONES DE CONJUNTOY PROBABILIDAD
ELEMENTAL13.1 Introduccin histrica 57113.2 Funciones de conjunto
con aditividad finita57213.3Medidas con aditividad finita 57413.4
Ejercicios 57513.5Definicin de probabilidad para espacios
muestrales finitos 57713.6Terminologa propia del clculo de
probabilidades 57913.7Ejercicios58113.8Ejemplos
resueltos58113.9Ejercicios58413.10 Algunos principios bsicos de
anlisis combinatorio 58613.11 Ejercicios59113.12 Probabilidades
condicionadas59213.13 Independencia 59513.14 Ejercicios59713.15
Experimentos o pruebas compuestas 59813.16 Pruebas de
Bernoulli60313.17 Nmero ms probable de xitos en n pruebas de
Bernoulli 60513.18 Ejercicios60813.19 Conjuntos numerables y no
numerables61013.20 Ejercicios61413.21 Definicin de probabilidad
para espacios muestrales infini-tos numerables61513.22
Ejercicios61713.23 Ejercicios variados sobre probabilidades618 14.
CLCULO DE PROBABILIDADES14.1Definicin de probabilidad para espacios
muestrales no nu-merables62114.2Numerabilidad del conjunto de
puntos con probabilidad po-sitiva62214.3Variables
aleatorias62314.4Ejercicios625 19. Indice analticoXXI14.5Funciones
de distribucin 62614.6Discontinuidad de las funciones de
distribucin 63014.7Distribuciones discretas. Funciones de masa de
probabilidad 63414.8Ejercicios63714.9Distribuciones continuas.
Funciones de densidad 63914.10 Distribucin uniforme sobre un
intervalo64114.11 Distribucin de Cauchy64614.12 Ejercicios64714.13
Distribuciones exponenciales64914.14 Distribuciones normales
65214.15 Observaciones sobre distribuciones ms generales65614.16
Ejercicios65714.17 Distribuciones de funciones de variables
aleatorias 65814.18 Ejercicios66014.19 Distribucin de variables
aleatorias bidimensionales66014.20 Distribuciones discretas
bidimensionales66314.21 Distribuciones continuas
bidimensionales.Funciones dedensidad66414.22 Ejercicios66614.23
Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias 66814.24
Ejercicios67314.25 Esperanza y varianza67614.26 Esperanza de una
funcin de una variable aleatoria68014.27 Ejercicios68114.28
Desigualdad de Chebyshev68314.29 Leyes de los grandes
nmeros68514.30 El teorema central del lmite 68914.31
Ejercicios691Referencias citadas 692 15. INTRODUCCIN AL ANLISIS
NUMRICO15.1Introduccin histrica69515.2Aproximaciones por polinomios
69715.3Aproximaciones polinmicas y espacios lineales normados
69815.4Problemas fundamentales en la aproximacin por polinomios
70015.5Ejercicios70315.6Polinomios de interpolacin 70515.7Puntos de
interpolacin igualmente separados70815.8Anlisis del error de la
interpolacin por polinomios 709 20. XXIIlndice analtico
15.9Ejercicios 713 15.10 Frmula de interpolacin de Newton 716 15.11
Puntos de interpolacinigualmente separados. El operador de las
diferencias sucesivas 718 15.12 Polinomios factoriales 720 15.13
Ejercicios 721 15.14 Problema de mnimo relativo a la norma del
mximo724 15.15 Polinomios de Chebyshev725 15.16 Propiedad de mnimo
de los polinomios de Chebyshev 728 15.17 Aplicacin a la frmula del
error en la interpolacin730 15.18 Ejercicios 730 15.19 Integracin
aproximada. Regla de los trapecios 733 15.20 Regla de Simpson 736
15.21 Ejercicios 742 15.22 Frmula de sumacin de Euler 745 15.23
Ejercicios 752 Referencias citadas755 Soluciones a los
ejercicios757 Indice 805 21. PARTE 1Anlisis lineal 22. 1 ESPACIOS
LINEALES1.1 IntroduccinA 10 largo de la Matemtica se encuentran
muchos ejemplos de objetos mate-mticos que pueden sumarse unos con
otros y multiplicarse por nmeros reales.Ante todo, los nmeros
reales son objetos de tal naturaleza, Otros ejemplos sonlas
funciones vectoriales, los nmeros complejos, las series y los
vectores en elespacio n-dimensional. En este captulo tratamos un
concepto matemtico general,llamado espacio lineal, que incluye
todos esos ejemplos y muchos otros comocasos
particulares.Brevemente, un espacio lineal es un conjunto de
elementos de naturalezacualquiera sobre el que pueden realizarse
ciertas operaciones llamadas adicin ymultiplicacin por nmeros. Al
definir un espacio lineal no especificamos lanaturaleza de los
elementos ni decinios cmo se realizan las operaciones entreellos.
En cambio, exigimos que las operaciones tengan ciertas propiedades
quetomamos como axiomas de un espacio lineal. Vamos ahora a hacer
con detalle unadescripcin de esos axiomas.1.2 Definicin de espacio
linealSea V un conjunto no vaco de objetos, llamados elementos. El
conjunto Vse llama espacio lineal si satisface los diez axiomas
siguientes que se enuncianen tres grupos.Axiomas de clausuraAXIOMA
1. CLAUSURA RESPECTO DE LA ADICIN.A todo par ae elementos~ e y de V
corresponde un elemento nico de V llamado suma de x e y,
designadopor x + y.3 23. 4Espacios lineales
AXIOMA2.CLAUSURARESPECTODE LA MULTIPLICACINPOR NMEROS REA-LES.A
todo x de V y todo nmero real a corresponde un elemento de V
llamadoproducto de a por x, designado por ax. Axiomas para la
adicin AXIOMA 3.LEY CONMUTATIVA.Para todo x y todo y de V,
tenemosx+y =y+ x. AXIOMA4. LEY ASOCIATIVA. Cualesquiera que sean x,
y, z de V, tenemos(x + y) + z= x + (y + z). AXIOMA5.EXISTENCIA DE
ELEMENTO CERO.Existe un elemento en V, de-signado con el smbolo O,
tal quex+O=xpara toao x de V: AXIOMA 6. EXISTENCIADE OPUESTOS. Para
todo x de V, el elemento ( -1)xtiene la propiedadx + (-l)x = O.
Axiomas para la multiplicacin por nmeros AXIOMA 7. LEYASOCIATIVA.
Para todo x di! V Y todo par de nmerosreales a y b, tenemos a(bx) =
(ab)x . AXIOMA8.LEY DISTRIBUTIVAPARA LA ADICINEN V. Para todo x y
todoy de V y todo nmero real a, tenemosa(x + y) = ax + ay.
AXIOMA9.LEYDISTRIBUTIVAPARALA ADICIN DE NMEROS. Para todox de V y
todo par de nmeros reales a y b, tenemos(a + b)x = ax + bx .
AXIOMA10.EXISTENCIA DE ELEMENTOIDNTICO.Para todo x de V, tene-mos
Ix = x. 24. Ejemplos de espacios lineales5Los espacios lineales as
definidos, se llaman, a veces, espacios Ineales realespara resaltar
el hecho de que se multiplican los elementos de V por nmerosreales,
Si en los axiomas 2, 7, 8 Y 9 se reemplaza nmero real por nmero
com-plejo, la estructura que resulta se llama espacio lineal
complejo. Algunas vecesun espacio lineal se llama tambin espacio
vectorial lineal o simplemente espaciovectorial; los nmeros
utilizados como multiplicadores se llaman escalares. Unespacio
lineal real tiene nmeros reales como escalares; un espacio lineal
com-plejo tiene como escalares nmeros complejos. Si bien
consideraremos principal-mente ejemplos de espacios lineales
reales, todos los teoremas son vlidos paraespacios lineales
complejos. Cuando digamos espacio lineal sin ms, se sobrenten-der
que el espacio puede ser real o complejo.1.3Ejemplos de espacios
linealesSi precisamos el conjunto V y decimos cmo se suman sus
elementos y cmose multiplican por nmeros, obtenemos un ejemplo
concreto de espacio lineal.El lector fcilmente puede comprobar que
cada uno de los ejemplos siguientessatisface todos los axiomas para
un espacio lineal real.EJEMPLO1. Sea V = R, el conjunto de todos
los nmeros reales, y seanx +y y ax la adicin y la multiplicacin
ordinarias de nmeros reales.EJEMPLO 2. Sea V = e el conjunto de
todos los nmeros complejos, defi-nimos x + y como la adicin
ordinaria de nmeros complejos, y ax como la mul-tiplicacin del
nmero complejo x por el nmero real a. Aunque los elementos deV sean
nmeros complejos, ste es un espacio lineal real porque los
escalaresson reales. EJEMPLO 3. Sea V = V el espacio vectorial de
todas las n-plas de nme-,ros reales, con la adicin y la
multiplicacin por escalares definidas en la formaordinaria en
funcin de los componentes. EJEMPLO 4. Sea V el conjunto de todos
lof.-vectores Vn ortogonales a unvector no nulo dado N. Si n = 2,
este espacio lineal es una recta que pasa por Ocon N como vector
normal. Si n = 3, es un plano que pasa por O con N comovector
normal.Los siguientes ejemplos se llaman espacios funcionales. Los
elementos de Vson funciones vectoriales, con la suma de dos
funciones f y g definidas en la.forma ordinaria: (f + g)(x) = (x) +
g(x) 25. 6Espacios linealespara todo real x en la interseccin de
los dominios de I "y g. La multiplicacin deuna funcin I por un
escalar real a se define as: al es aquella funcin cuyo valoren cada
x del dominio de I es al(x). El elemento cero es la funcin cuyos
valoresson nulos para todo x. El lector puede comprobar fcilmente
que cada uno delos conjuntos siguientes es un espacio funcional.
EJEMPLO5.El conjunto de todas las funciones definidas en un
intervalodado. EJEMPLO6.El conjunto de todos los
polinomios.EJEMPLO7. El conjunto de todos los polinomios de grado ~
n, siendo nfijo. (Siempre que consideremos este conjunto, se
sobrentender que siempre estincluido el polinomio nulo.) El
conjunto de todos los polinomios de grado iguala n no es una
espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura.
Porejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de
grado n. EJEMPLO 8. El conjunto de todas las funciones continuas en
un intervalodado. Si el intervalo es [a, b]. designamos este
espacio con C(a, b).EJEMPLO 9.El conjunto de todas las funciones
derivables en un punto dado.EJEMPLO 10.El conjunto de todas las
funciones integrables en un intervalodado. EJEMPLO 11. El conjunto
de todas las funciones I definidas en el punto 1siendo I( 1) = O.
El nmero O es esencial en este ejemplo. Si reemplazamos O porun
nmero no nulo e, violamos el axioma de clausura.EJEMPLO 12. El
conjunto de todas las soluciones de una ecuacin diferenciallineal
homognea y" + ay + by = O, donde a y b son constantes dadas.
Tambinaqu es esencial el O. El conjunto de soluciones de una
ecuacin diferencial nohomognea no satisface los axiomas de
clausura. Estos ejemplos y muchos otros hacen patente cmo el
concepto de espaciolineal est extendido por el lgebra, la Geometra
y el Anlisis. Cuando se deduceun teorema de los axiomas de un
espacio lineal, obtenemos un resultado vlidopara cada ejemplo
concreto. Unificando varios ejemplos de este modo, consegui-mos un
conocimiento ms profundo en cada uno. En ocasiones el
conocimientode un determinado ejemplo ayuda para anticipar o
interpretar resultados vlidospara otros ejemplos y pone en
evidencia relaciones que de otro modo podranpasar inadvertidas. 26.
Consecuencias elementales de los axiomas 71.4 Consecuencias
elementales de los axiomasLos teoremas que siguen se deducen
fcilmente de los axiomas de un espaciolineal.TEOREMA1.1. UNICIDAD
DELELEMENTO CERO. En cualquier espacio linealexiste un elemento
cero y slo uno. Demostracin. El axioma 5 nos asegura que existe por
lo menos un elementocero. Supongamos que existan dos, sean 01 y O2,
Haciendo x = 01 Y O = O2 enel axioma 5, obtenemos 01 + O2 = 0
Anlogamente, haciendo x = O2 Y 1,O = O" encontramos O2 + 01=O2,
Pero 01 + O2 = O2 + 01 por la ley con-mutativa, as que 01 = O2,
TEOREMA1.2. UNICIDAD DE ELEMENTOS OPUESTOS. En cualquier
espaciolineal todo elemento tiene exactamente un opuesto. Esto es,
para todo x existeun y, y slo uno tal que x + y = O. Demostracin.
El axioma 6 nos dice que cada x tiene por lo menos unopuesto, a
saber (-1)x. Supongamos que x tenga dos opuestos, sean Y1 e Y2
En-tonces x + Y1 = O Y x + Y2 = O. Sumando Y2 a los dos miembros de
la primeraigualdad y aplicando los axiomas 5, 4 y 3, obtenemos quey
Y2 + (x + Yl) = (Y2 + x) + Yt=O + Yl = Yl + O = Yl .Por
consiguiente Y1 = Y2, con lo que x tiene exactamente un opuesto, el
elemen-to (-l)x.Notacin. El opuesto de x se designa por -x. La
diferencia y - x se definecomo la suma y + (- x). El teorema
siguiente muestra un conjunto de propiedades que rigen losclculos
algebraicos elementales en un espacio lineal. TEOREMA1.3. En un
espacio lineal, designemos con x e y dos elementoscualesquiera y
con a y b dos escalares cualesquier .. Tenemos entonces las
pro-piedades siguientes:a) Ox = O.b) aO = O. 27. 8 Espacios
linealese) (~a)x =- (ax) =a( - x).d) Si ax = O, entonces a = O o x
= O, o los dos.e) Si ax=ay y a =1= entonces xO y.=f) Si ax = bx y x
=1= entonces a = b. O,g) - (x + y) = ( - x) + ( - y) = - x-y.h) x +
x = 2x, x+ x +x = 3x, y en general, L~=l x = nx.Demostraremos a).
b) y e) y dejamos como ejercicios las demostraciones de lasotras
propiedades.Demostracin de a). Sea z = Ox. Deseamos demostrar que z
= O. Su-mando z a s mismo y aplicando el axioma 9, encontramos quez
+z=Ox + Ox = (O+ O)x = Ox = z.Sumemos ahora - z a ambos miembros y
obtenemos z = O.Demostracin de b). Sea z = aO, sumar z a s mismo, y
aplicar el axioma 8.Demostracin de e), Sea z = (-a)x.Sumando z a ax
y aplicando el axio-ma 9, encontramos que z + ax = (-a)x + ax =
(-a+ a)x = Ox=O ,as que z es el opuesto de ax, z = -(ax).
Anlogamente, si sumamos a( -x) aax y aplicamos el axioma 8 y la
propiedad b), encontramos que a( -x) = -(ax).1.5Ejercicios En los
ejercicios del 1 al 28, determinar si cada uno de los conjuntos
dados es unespacio lineal real, si la adicin y multiplicacinpor
escalares reales est definida enla forma usual. Para aquellos en
los que no es as, decir cules son los axiomas que no secumplen. Las
funciones de los ejercicios 1 al 17 son reales. En los ejercicios
3, 4 Y 5, cadafuncin tiene un dominio que contiene O y 1. En los
ejercicios 7 al 12, cada dominio con-tiene todos los nmeros
reales.1. Todas las funciones racionales.2. Todas las funciones
racionales tte. con el grado de 15 que el grado de g (incluyen- do
1=0).3. Todas las I con 1(0) = 1(1). 4. Todas las I con 2/(0)
=1(1). 5. Todas las I con 1(1) = 1 + 1(0). 6. Todas las funciones
escalonadas definidas en [O, 1].7. Todas las I en las que I(x).~ O
cuando x ~ + cc . 8. Todas las funciones pares. 9. Todas las
funciones impares. 28. Subespacios de un espacio lineal910. Todas
las funciones acotadas.11. Todas las funciones crecientes.12. Todas
las funciones con perodo 2lT.13. Todas las I integrables en [0,1]
con n I(x)dx = O.14. Todas las I integrables en [0,1] connl(x)dx~
O.15. Todas las I que satisfacen I(x) = l(l - x) para todo x,16.
Todos los polinomios de Taylor de grado S;; n para un n fijo
(incluyendo el polino-mio cero).17. Todas las soluciones de una
ecuacin diferencial lineal homognea de segundo ordeny" + P(x)y +
Q(x)y = O, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x.18.
Todas las sucesiones reales acotadas.19. Todas las sucesiones
reales convergentes.20. Todas las series reales convergentes.21.
Todas las series reales absolutamente convergentes.22. Todos los
vectores (x, y, z) de V~ con z = O.23. Todos los vectores (x, y, z)
de V~ con x = O o y = O.24. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con
y = 5x.25. Todos los vectores (x,y,z) de Va con 3x+4y=1, z=O.26.
Todos los vectores (x, y, z) de V~ que son productos de (l, 2, 3)
por escalares.27. Todos los vectores (x, y, z) de Va cuyos
componentes satisfacen un sistema de tres ecua-ciones lineales de
la forma28. Todos los vectores de Vn que son combinaciones lineales
de dos vectores dados A y B.29. Sea V = R+, el conjunto de los
nmeros reales positivos. Definamos la suma de dos elementos x e y
de V como su producto x ..y (en el sentido ordinario), y definamos
la multiplicacinde un elemento x de V por un escalar e poniendo x.
Demostrar que V es un espacio lineal real con el elemento cero.30.
a) Demostrar que el axioma 10 puede deducirse de los otros axiomas.
b) Demostrar que el axioma 10 no puede deducirse de los otros
axiomas si el axioma 6 es reemplazado por el axioma 6: Para todo x
de -V y todo y de V tenemos quex+y=O.3. Sea S el conjunto de todos
los pares ordenados (x, ,x?) de nmeros reales. En cada case
determinar si S es o no un espacio lineal con las operaciones de
adicin y multiplica- cin por escalares definidas como se indica. Si
el conjunto no es un espacio lineal, indicar cules son los axiomas
que no se cumplen.a) (Xl X2) + (Yl, Y2) = (Xl + Yl , X2 + Y2),a(Xl,
X2) = (aXl O).b) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl + Yl , O), a(Xl , X2) =
(aXl , ax2)c) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl X2 + Y2), a(Xl X2) = (aXl,
ax2)d) (Xl X2) + (Yl ,Y2) = (Ixl + x21, Iy + Y21), a(Xl X2) =
(Jaxll, !ax21) 32. Demostrar las partes de la d) a la h) del
teorema 11.3.1.6Subespacios de un espacio lineal Dado un espacio
lineal V sea S un subconjunto no vaco de V. Si S es tam-bin un
espacio lineal, entonces S se llama subespacio de V. El teorema que
sigue 29. 10Espacios linealesda un sencillo criterio para
determinar si un subconjunto de un espacio lineales o no un
subespacio. TEOREMA1.4. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio
lineal V.Tal subconjunto S es un subespacio si y s610 si satisface
los axiomas de clausura.Demostracin. Si S es un subespacio,
satisface todos los axiomas de unespacio lineal, y por tanto, en
particular, los axiomas de clausura.Demostremos ahora que si S
satisface los axiomas de clausura, satisfacetambin los otros. Las
leyes conmutativa y asociativa para la adicin (axiomas3 y 4) y los
axiomas para la multiplicacin por escalares (axiomas del 7 al 10)se
satisfacen automticamente en S porque son vlidos para todos los
elementosde V. Falta comprobar los axiomas 5 y 6, la existencia del
elemento cero en S,y la existencia de un opuesto para cada elemento
de S.Sea x un elemento cualquiera de S. (S tiene por lo menos un
elemento ya queno es vaco.) Segn el axioma 2, ax est en S para todo
escalar a. Tomando a = O,resulta que Ox est en S. Pero Ox = O, en
virtud del teorema 1.3 a), con locual O E S, y se satisface el
axioma 5. Tomando a = - 1, vemos que (-1)xest en S. Pero x + (- l)x
= O ya que x y (- l)x estn ambos en V, as que elaxioma 6 se
satisface en S. Por consiguiente S es un subespacio de V.
DEFINICIN. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V.
Unelemento x de V de la formak X =2CiXi, i~len donde Xl , x,
pertenecen todos a S y cl, , ci son escalares, se
denominacombinacin lineal de elementos de S. El conjunto- de todas
las combinacioneslineales finitas de elementos de S satisface los
axiomas de clausura y por tantoes un subespacio de V. Decimos de
ese subespacio que est generado por S, otambin le llamamos la
envolvente lineal de S, y lo designamos por L(S). Si Ses vaco,
definimos L(S) como {a}, el conjunto consta s610 del elemento
cero.Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio. Por
ejemplo, el es-pacio V est generado por cada uno de los siguientes
conjuntos de vectores:2{i, j}, {i, j, i + j}, {a, i, - i, j, - j, i
+ j}. El espacio de todos los polinomios n p(t)de grado :5n est
generado por el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t", ... ,
tn}.Tambin est generado por el conjunto { 1, t/2, t /3, ... , t"
/(n + 1)} y por2{ 1, (1 + t) , (1 + t)2, ... , (1 + t)n}. El
espacio de todos los polinomios est ge-nerado por el conjunto
infinito de los polinomios { 1, t, t", ... }. Al llegar aqu surgen
de modo natural numerosas preguntas. Por ejemplo,qu espacios pueden
generarse porun nmero finito de elementos? Si un espacioest
generado por un nmero finito de elementos, cul es el menor nmero
deelementos necesarios? Para discutir estas cuestiones y otras con
ellas relacionadas 30. Conjuntosdependientes e independientes en un
espacio lineal 11introducimos los conceptos de dependencia,
independencia, bases y dimensin.Ya en el volumen I. encontramos
esas ideas al estudiar el espacio vectorial VnAhora vamos a
extenderlas a espacios lineales de tipo general.1.7Conjuntos
dependientes e independientes en un espacio lineal DEFINICIN.Un
conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llamadependiente
si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> ,
xi,y un correspondiente conjunto d escalares c1, , es, no todos
cero, tales que k I c.x =O.i=lEl conjunto S se llama independiente
si no es dependiente. En tal caso, cuales-quiera que sean los
elementos distintos X, . , x de S y los escalares c., ... ,
ci,implica C1 = C2 = ... = Ck = O.Si bien la dependencia y la
independencia son propiedades de los conjuntosde elementos, podemos
tambin aplicar esas denominaciones a los elementosmismos. Por
ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman
ele-mentos independientes.Si S es un conjunto finito, la definicin
anterior est de acuerdo con la dadaen el Volumen 1 para el espacio
Vn No obstante, la definicin dada aqu no estrestringida a conjuntos
finitos. EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es
dependiente, el mismoS es dependiente. Esto es lgicamente
equivalente a la afirmacin de que todosubconjunto de un conjunto
independiente es independiente. EJEMPLO 2. Si un elemento de S es
el producto de otro por un escalar, Ses dependiente.EJEMPLO 3.Si O
E S. entonces S es dependienteEJEMPLO 4.El conjunto vaco es
independiente. En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de
conjuntos dependien-tes e independientes. Los ejemplos que a
continuacin se comentan, ilustran esosconceptos en espacios
funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental Ves el
conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.
31. i2 Espacioslineales EJEMPLO5. Sean u,(t)=ces" t , u2(t) sen" t,
u,,(t)=1 para todo nme- =ro real t. La identidad pitagrica prueba
que u, + U2 - U3 = O, as que las tresfunciones u,, U2, u" son
dependientes. EJEMPLO 6. Sea Uk(t)= tI. para k= O, 1, 2, ... , y t
real. El conjuntoS = {un, U,, U2, } es independiente.Para demostrar
esto, basta demostrar quepara cada n los n + 1 polinomios Un, U,, ,
Un son independientes. Una rela-cin de la forma I CkUk=O significa
que n(1.1) Ickt k =O k~Opara todo real t. Cuando t = O,
encontramosque Co = O. Repitiendoel proceso,encontramos que cada
coeficiente Ck es cero.EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son
nmerosrealesdistintos, las n funcionesexponencialesson
independientes.Podemos demostrar esto por induccin sobre n. El
resultadoes trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos que
es vlida para n - 1funciones exponenciales y consideremos los
escalares c., ... , CIl tales que n(1.2)Icke akx = O. k~lSea aM el
mayor de los n nmerosa" ... , ano Multiplicandoambos
miembrosde(1.2) por ra.;:, obtenemos n(1.3)I cke(ak-aM)x = O.1.=1Si
k =1= M, el nmero ai - aM es negativo. Por consiguiente, cuando x ~
+ 00 enla ecuacin (1.3), cada trmino con k =1=M tiende a cero y
encontramos que CM = O.Suprimiendo el trmino M-simo de (1.2) Y
aplicando la hiptesis de induccin,encontramos que cada uno de los n
- 1 restantes coeficientes ci es cero. TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ...
, xd un conjunto independienteque constade k elementos de un
espacio lineal V y sea L(S) el subespacio generado por S.Entonces
todo conjunto de k+ 1 elementos rl US) es dependiente. 32.
Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 13
Demostracin. La demostracin es por induccin sobre k, nmero de
ele-mentos de S. Supongamos primero que k= 1. Entonces, por
hiptesis, S contieneun solo elemento XI siendo Xl =1= O puesto que
S es independiente. Ahora tome-mos en L(S) dos elementos distintos
JI e J2 Entonces, cada uno de estos elementoses un escalar
multiplicado por Xl, sea JI = CIX e J2 = C2Xl, en donde CI Y C2 no
Ison ambos cero. Multiplicando Jl por C2 e J2 por CI Y restando,
obtenemosPor 10 tanto Jl e J2 son dependientes, quedando as
demostrado el teoremacuando k= 1. Supongamos ahora que el teorema
es cierto para k - 1 Y demostremos quetambin 10 es para k. Tomemos
un conjunto de k+ 1 elementos en L(S), seaT = {YI , Y2 , . , Yk +
Queremos probar que T es dependiente. Puesto que cada 1 }.elemento
Yi est contenido en L(S), podemos escribirk(1.4) Yi= LaijXj j=1para
cada i = 1,2, , ... , k + 1. Examinemos todos los escalares ail que
multipli-can a Xl y, para ello, consideremos dos casos en la
demostracin.CASO 1. ail=O para todo i=1,2, ... ,k+1. En este caso
la suma (l.4)no incluye a x,; as cada Ji en T est en la envolvente
lineal del conjuntoS = {x 2,,xd. Pero S es independiente y contiene
k-1 elementos. Por induc- cin y para k-1, el teorema es cierto,
siendo por 10 tanto, T dependiente. Estodemuestra el Caso 1. CASO
2. No son cero todos los escalares a. Suponemos que a., =1=
O.Tomando i = 1 en la ecuacin (l.4) Y mu 1tiplicando los dos
miembros por ci,siendo ci=aifa obtenemos:ll, k CiY1 = ai1x1+ L
cia1jxj. j~2Si de esta ecuacin restamos la (l.4), resulta: kCiY1 -
Yi = L(cia1j - aij)xj, j~2para i = 2, ... , k + 1. Esta ecuacion
expresa cada uno de los elementos CiYI - Yicomo una combinacin
lineal de los k - 1 elementos independientes X2, , xi. 33.
14Espacios linealesPor induccin,los k elementos CYl -Yi deben ser
dependientes. En consecuencia,para cualquier eleccin de escalares
t. ... , tk+l, no todos cero, tenemosk+l ~ t;(CYl - Yi) = O,i~2y de
aqu deducimosEsta es una combinacin de Yl, ... , Yk+l, que
representa el vector cero, de estamanera los elementos Yl," . ,
Yk+l deben ser dependientes, completando as lademostracin.1 ,8Bases
y dimensinDEFINICIN.Un conjunto finito S de elementos de un espacio
lineal V sellama base finita de V si S es independientey genera V.
El espacio V es dedimensin finita si tiene una base finita. De otro
modo, V es de infinitas dimen-siones. TEOREMA1 .6. Sea V un espacio
lineal de dimensinfinita. Entoncestodabase finita de V tiene el
mismo nmero de elementos. Demostracin. Sean S y T dos bases finitas
de V. Supongamos que S y Tconstan respectivamente de k y m
elementos. Puesto que S es independiente y en-gendra V, el teorema
1.5 nos dice que todo conjunto de k + 1 elementos de Ves
dependiente. Por consiguiente, todo conjunto de ms de k elementos
de V esdependiente. Ya que T es un conjunto independiente, debe ser
m :::;; . El mismo krazonamiento con S y T intercambiadas prueba
que k :::;; . Por lo tanto k = m.m DEFINICIN.Si un espacio lineal V
tiene una base de n elementos,el en-tero n se llama dimensin de V.
Escribimos n = dim V. EJEMPLO 1. El espacio V" tiene dimensin n.
Una base es el conjunto delos n vectores coordenados
unitarios.EJEMPLO2. El espacio de todos los polinomios p(t) de
grado :::;; n tienedimensin n + 1. Una base es el conjunto de n + 1
polinomios { 1, t, t", ... , t"}.Todo polinomio de grado :::;;ti es
una combinacin lineal de esos n + 1 poli-nomios. EJE M PLO 3. El
espacio de las soluciones de la ecuacion diferencialy" - 2y - 3y= O
tiene dimensin 2. Una base est formada por las dos fun-ciones u(x)
= >. u:z(x) = e", Toda solucin es una combinacin lineal deesas
dos. 34. Componentes 15EJEMPLO4. El espacio de todos los polinomios
p(t) es de infinitas dimen-siones. El conjunto infinito {1, t, t",
... } genera este espacio y ningn conjuntofinito de polinomios
genera el espacio.TEOREMA 1.7. Sea V un espacio lineal de dimensin
finita con dim V = n.Se tiene:a) Cualquier conjunto de elementos
independiente de V es un subconjuntode una cierta base para V.b)
Cualquier conjunto de n elementos independientes es una base para
V. Demostracin. Para demostrar (a), consideremos el conjunto
independienteS ={Xl ... , Xk} constituido por elementos en V. Si
L(S) = V, entonces S es unabase. Si no, entonces hay algn elemento
y en V que no est en L(S). Aadamosese elemento a S y consideremos
el nuevo conjunto S = {Xl ... , x , y}. Si en esteconjunto
dependiente multiplicamos sus elementos por escalares c I,
Ck+l,siendo alguno diferente de cero, estableceremos que k.2 c.x +
Ck+lY = O.i~lPero Ck+l=l= O puesto que Xl , ,Xk son independientes.
De aqu que podamosresolver esta ecuacin respecto a y llegando a la
conclusin que yE L(S), lo quecontradice el supuesto de que y no
pertenece a L(S). Por lo tanto el conjunto S esindependiente y
contiene k+ 1 elementos. Si L(S) = V, entonces S es una base
y,siendo S un subconjunto de S, la parte (a) queda demostrada. Si S
no es una base,entonces podemos proceder con S de igual manera que
procedimos con S y consi-derar otro nuevo conjunto S" que contiene
k+2 elementos y es independiente.Si S" es una base, (a) queda
demostrado. Si no, repetimos el proceso. Debemosllegar a una base
despus de un nmero finito de etapas, ya que de otra
maneraobtendramos un conjunto independiente con n+ 1 elementos,
contradiciendo elteorema (1.5). Por eso, la parte (a) del teorema
(1.7) queda demostrada.Para demostrar la parte (b) consideremos un
conjunto independiente S conn elementos. Por la parte (a), S es un
subconjunto de base B. Pero por el teore-ma 1.6, la base B tiene
exactamente n elementos, por tanto, S =B.1.9 Componentes Sea V un
espacio lineal de dimensin n y consideremos una base cuyoselementos
e, ... , en se toman en un cierto orden. Una tal base ordenada la
con-sideramos como una n-pla (e" ... en). Si X E V, podemos
expresar X como unacombinacin lineal de esos elementos base: n(l.S)
X = L c.e.,i~l 35. 16Espacios linealesLos coeficientes en esta
ecuacin determinan una n-pla de nmeros (e, ... , cn)que est
unvocamente determinada por x. En efecto, si tenemos otra
represen-tacin de x como combinacin lineal de e" ... , en, por
ejemplo x = L;~l i, dierestando de ( 1 ,5) encontramos que L~lCCi-
di)ei = O. Pero ya que los ele-mentos base son independientes, eso
implica que ci=di para cada i, con lo cual(e" ... , cn)= (di,"
,dn).Los componentes de la n-pla ordenada (c., ... , Cn)
determinada por (1.5)se llaman componentes de x respecto a la base
ordenada (e" ... , en).l.t OEjercicios En cada uno de los
ejerCICIOS del 1 al 10, S es el conjunto de todos los vectores(x,
y, z) de Vo cuyos componentes satisfacen la condicin que se da.
Determinar si S esunsubespacio de Vo Si lo es, calcular dim S.1.x =
O. 6. x = yo x = z.2.x + y = O. 7. x2 - y2 = O. 3. x + y + z = O.
8. x + y = 1.4.x =y.9. Y = 2x y z = 3x.5.x = y = z,10. x + V + z =
O y x - y - z = O.Sea P, el espacio lineal de todos los polinomios
de grado :::;; , siendo n fijo. En cadanejercicio del 11 al 20, sea
S el conjunto de todos los polinomios I de P. que satisfacen
lacondicin dada. Determinar si S es un subespacio de P. Si lo es,
calcular dim S.11. 1(0) = O.12. /(0) = O.13. /"(0) = O.14. 1(0) +
/(0) = O.15. 1(0) = 10).16. 1(0) = 1(2).17. Ies par.18. Ies
impar.19. Ies de grado s; k, siendo k < n, o I = O.20. Ies de
grado k, siendo k < n, o I = O.21. En el espacio lineal de todos
los polinomios reales p(t), describir el subespacio engen-drado por
cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios y determinar su
dimensin.a) {l, t2, t4};b) {t, t3, t5};e) {t, t2};d) {l + t, (1 +
t)2}.22. En este ejercicio, L(S) es el subespacio generado por un
subconjunto S de un espaciolineal V. Demostrar las proposiciones de
la a) a la f).a) S S; L(S).b) Si S S; TS; Vy si T es un subespacio
de V. entonces L(S) S; T. Esta propiedad seexpresa diciendo que
L(S) es el menor subespacio de V que contiene S.e) Un subconjunto S
de V es un subespacio de V si y slo si L(S) = S.d) Si S S; T S; V,
entonces L(S) S; L(T).e) Si S Y T son subespacios de V, tambin lo
es S T.f) Si S Y T son subconjuntos de V. entonces L(S n T) S;L(S)
L(T).g) Dar un ejemplo en el que L(S T) #- L(S) L(T).23. Sea V el
espacio lineal de todas las funciones reales definidas en la recta
real. Deter-minar si cada uno de los siguientes subconjuntos de V
es dependiente o independiente .. Calcular la dimensin del
subespacio generado por cada conjunto. 36. Productosinteriores,
espacios eucldeos.Normas 17a) {I, e"x, ebX}, a ; b. f) reos x,
senx}.b) {e"x, xe"X}.g) {cos" X,sen 2 x}.e) {I, eax, xeax}. h) {I,
eos 2x,sen2 x}.d) {e"x, xe", x2eaX}.i) {sen x, sen 2x}.e) {eX, e-x,
eoshx}. j) {eX eos x, e-X sen x}.24. Sean V un espacio lineal de
dimensin finita, y S un subespacio de V. Demostrarcadauna de las
proposiciones siguientes.a) S es de dimensin finita y dim S ~ dim
V.b) dim S = dim V si y slo si S = V.e) Toda base de S es parte de
una base de V.d) Una base de V no contiene necesariamente una base
de S.1.11Productos interiores, espacios eucldeos. Normas En la
Geometra eucldea ordinaria, aquellas propiedades que cuentan conla
posibilidad de medir longitudes de segmentos rectilneos y ngulos
formados porrectas se llaman propiedades mtricas. En nuestro
estudio de Vn, definimos laslongitudes y los ngulos en funcin del
producto escalar. Queremos ahora exten-der esas ideas a espacios
lineales ms generales. Primero introduciremos una ge-neralizacin
del producto escalar, que llamaremos producto interior, y
luegodefiniremos la longitud y el Anguloen funcin de este producto
interior.El producto escalar x . y de dos vectores x = (Xl .. , xn)
e y = (Yl, . " Yn)de Vn se defini en el Volumen 1 por la
frmulan(1.6) x Y = IXiYi i~lEn un espacio lineal general,
escribimos (x, y) en lugar de X y para los productosinteriores, y
definimos el producto axiomticamente y no mediante una frmula.Esto
es, establecemos unas ciertas propiedades que queremos que
satisfagan losproductos interiores y las consideramos como
axiomas.DEFINICIN.Un espacio lineal real V tiene un producto
interior si a cadapar de elementos x e y de V corresponde un nmero
real nico (x, y) que satis-face los siguientes axiomas cualesquiera
que sean x, y, z de V y para todos losescalares reales c.1) (x, y)
= (y, x)tconmutatividad, o simetra).2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z)
tdistributividad, o linealidad).3) e(x,y) = (ex, y) (asociatividad,
u homogeneidad).4) (x, x) > Osi x rf O(positividad).Un espacio
lineal con un producto interior se llama espacio real eucldeo. 37.
18Espacioslineales Observacin: Haciendoe =O en (3), encontramosque
(O, y) =Opara todo y. En un espacio lineal complejo, un producto
interior (x, y) es un nmerocomplejo que satisface los mismos
axiomas que los del producto interior real,excepto el de la simetra
que se reemplaza por la relacin(1/) (x, y) = (y, x) , (Sitnetra
hermitianatsiendo (y, x) el complejo conjugado de (y, x). En el
axioma de homogeneidad, elmultiplicador escalar e puede ser
cualquier nmero complejo. Del axioma de lahomogeneidad y (1),
llegamos a la relacin(3/)(x, ey) = (ey, x) = (y, x) = (x, y) .Un
espacio lineal complejo con un producto interior se llama espacio
eucldeocomplejo. (A veces se usa tambin la denominacin de espacio
unitario.) Unejemplo es el espacio vectorial complejo vnCC)
brevemente discutido en la sec-cin 12.16 del Volumen I.Aunque nos
interesan principalmente los ejemplos de espacios eucldeos rea-les,
los teoremas de este captulo son vlidos para espacios eucldeos
complejos.Cuando decimos espacio eucldeo, sin ms, entenderemos que
puede ser real ocomplejo.El lector debiera comprobar que cada
ejemplo que sigue satisface todos losaxiomas del producto interior.
EJEMPLO l. En Vn sea (x, y) = x . y, el producto escalar ordinario
de x e y.EJEMPLO2. Si x =(x, , x2) e Y = (y, , Y2) son dos vectores
de V2, defini-mos (x, y) mediante la frmulaEste ejemplo pone de
manifiesto que pueden existir ms de un producto interioren un
espacio lineal dado. EJEMPLO 3. Sea C(a, b) el espacio lineal de
todas las funciones reales con-t En honor de Charles Hermite
(1822-1901) matemtico francs que contribuy muchoal desarrollo del
lgebra y del anlisis. 38. Productosinteriores, espacios eucldeos.
Normas.19tinuas en un intervalo [a, b]. Definamos un
productointeriorde dos funcionesf y g con la frmula (j, g)= J:
f(t)g(t)dt .Esta frmula es anloga a la ecuacin (1.6). que define el
producto escalar de dosvectores en V n. Los valores de las
funciones f(t) y g(t) desempean el papel delos componentes x, e y-;
y la integracin el de la suma. EJEMPLO 4. En el espacio C(a, b),
definimos (j, g) = J: w(t)f(t)g(t)dt ,donde w es una funcin
positiva fija de C(a, b.). Tal funcin se llama funcin peso.En el
ejemplo 3 tenemos w(t) = 1 para todo t. EJEMPLO 5. En el espacio
lineal de todos los polinomios reales, definimos (j, g) = foX)
e-t(t)g(t)dt .Debido al factor exponencial,esta
integralimpropiaconvergepara todo par depolinomios f y g.
TEOREMA1.8.En un espacio eucldeo V, todo productointerior
satisfacela desigualdad de Cauchy-Schwarz: I(x, y)12 ~(x, x)(y, y)
para todo xy (todo yen V.Adems, el signo de igualdad es vlido si y
slo si x e ySOn dependientes. Demostracin. Si ocurre que o bien x=O
o y=O la demostracinestrivial. Supongamos que x e y no son ambas
cero. Sea z=ax+byen donde a y bson escalares que especificaremos
despus. Tenemos la desigualdad (z,z) ~ O paratodo a y b. Cuando
expresamos esta desigualdad en funcin de x e y con unaeleccin
apropiada de a y b, obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Para expresar (z,z) en funcin de x e y usaremos las propiedades
(I"), (2)Y (3), obteniendo(z; z) = (al-+ by,ax + by) = (ax, ax) +
(ax, by) + (by,ax) + (by, by)= aii(x, x) + ah(x,y) + bii(y, x) +
bb(y,y) 2 o. 39. 20. Espacios lineales Tomando a=(y,y)y suprimiendo
en la desigualdad el factor positivo (y,y),resulta(y, y)(x, x) +
bix, y) + b(y, x) + bb ~ O.Ahora, hagamos b= -(x,y). Entonces, b=
-(y,x) y la ltima desigualdad,una vez simplificada, toma la forma
(y,y)(x, x) ~ (x,y)(y, x) = l(x,y)12.Esto demuestra la desigualdad
de Cauchy-Schwarz. El signo de igualdad es vlidosi y slo si z = O.
Esto ocurre si y slo si x e y son dependientes.EJEMPLO.Aplicando el
teorema 1.8 al espacio C(a, b) con el productointerior (j, g) =
f~f(t)g(t) dt, encontramos que la desigualdad de Cauchy-Schwarzse
transforma en El producto interior puede utilizarse para introducir
el concepto mtrico delongitud en cualquier espacio
eucldeo.DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, el nmero no negativo
Ilxll definidopor la ecuacin Ilxll = (x, X)1/2se denomina norma del
elemento x. Cuando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa en
funcin de las nor-mas, toma la formaI(x,y)/~ [x] IIyll .Puesto que
es posible definir un producto interior de muchas maneras, lanorma
de un elemento depender del producto interior elegido. Esta falta
de uni-cidad era de esperar. Este hecho es anlogo al de que podemos
asignar nmerosdistintos a la medida de la longitud de un segmento
rectilneo dado, segn laeleccin de escala o unidad de medida. El
teorema que sigue da las propiedadesfundamentales de las normas que
no dependen de la eleccin de producto interior. 40. Ortogonalidaden
un espacio eucldeo 21TEOREMA1.9. En un espacio eucldeo, toda norma
tiene las propiedadessiguientes para todos los elementos x e y, y
todos los escalares c:a) [x] = O si x = O.b) [x] > O si x o
O(positividad).e) [ex] = [e] Ilxll(homogeneidad).d) IIx + yll ~ [x]
+ I/yll (desigualdad triangular).El signo de igualdad es vlido en
la desigualdad triangular si y slo si x e y sondependientes.
Demostracin. Las propiedades a), b) y e) se deducen
inmediatamentedelos axiomas del producto interior. Para demostrar
d) observemos que[x + yl12 = (x + y, x + y)= (x, x) + (y, y) + (x,
y) + (y, x) == IIxl12 + IIyl12 + (x,y) + (x, y) .La suma (x, y)+
(x, y) es real. La desigualdad de Cauchy-Schwarz pruebaque (x,y)1 ~
Ilxll Ilyll y que l(x,y)1~Ilxll lbll. as que tenemos [x + yll2~
IIxl12 + IIyl12 + 211xll Ilyll = (11xll + lIy11)2.Esto demuestra
d). El signo de igualdad en d) es vlido siempre que lo sea en
ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando y = ex, siendo e > O,
tenemos Ilx+ yll= [x+ ex] = (1 + c) !Ixll = I[xll + [ex] = Ilxll +
Ilyl!. DEFINICIN. En un espacio eucldeo real V, el ngulo formado
por dos ele-mentos no nulos x e y se define como el nmero e del
intervalo O ~ e ~ tr quesatisface la ecuacin(1. 7)ros e= (x, y)
.Ilxllllyll Observacin: La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que
el cociente del se-gundo miembro de (1.7) est en el intervalo [-1,
1], as que existe slo un () en[O, 7T] cuyo coseno es igual al de
este cociente.L.12Ortogonalidad en un espacio eucldeo DEFINICIN.En
un espacio eucldeo V, dos elementos x e y se llaman orto-gonales si
su producto interior es cero. Un subconjunto S de V es un
conjuntoortogonal si (x, y) = O para todo par de elementos
distintos x e y de S. Un con-junto ortogonal se llama ortonormal si
cada uno de sus elementos tiene norma 1. 41. 22Espacios lineales El
elemento cero es ortogonal a todo elemento de V; es el nico
elementoortogonal a s mismo. El siguiente teorema demuestra una
relacin entre ortogona-lidad y dependencia.TEOREMA1 .10. En un
espacio eucldeo V, todo conjunto ortogonal deelementos no nulos es
independiente. En particular, en un espacio eucldeo dedisnensin
finita con dim V = n, todo conjunto ortogonal que conste de n
ele-mentos no nulos es una base para V. Demostracin. Sea S un
conjunto ortogonal de elementos no nulos de V,y supongamos que una
cierta combinacin lineal finita de elementos de S es
cero,Seak!CiXi= O,i=ldonde cada x, E S. Formando el producto
escalar de cada miembro por Xl yteniendo en cuenta que (Xl Xi) = O
si i =1= 1, encontramos que c, (Xl Xl) = O.Pero (XI Xl) =1= O ya
que Xl =1= O con lo cual c, = O. Repitiendo el
razonamientocambiando x, por x., encontramos que cada e = O. Esto
prueba que S es indepen-diente. Si dim V = n y si S consta de n
elementos, el teorema 1.7 b) demuestraque S es una base para
V.EJEMPLO. En el espacio lineal real C(O, 277") con el producto
interior(f, g) = J~lTj(x)g(x) dx, sea S el conjunto de las
funciones trigonomtricas {uo,u U2, .. } dadas por l,uo(X) = 1,
U2n_1(X) = cos nx, U2n(X) = sen nx ,para n = 1,2, ....Si m =1= n,
tenemos las relaciones de ortogonalidadas que S es un conjunto
ortogonal. Puesto que ningn elemento de S es el ele-mento cero, S
es independiente. La norma de cada elemento de S se calcula
fcil-mente. Tenemos (uo , uo)f~lT dx = = 277" y, para n ~ 1,
tenemos(U2n-l U2n-1) = I"cos nx dx = o2 7T, (U2n,.U2n) {2lT 2 = Jo
sen nx dx = 7T. 42. Ortogonalidad en un espacio eucldeo23Por
consiguiente, Iluoll = Vl; y /1 Un 11 = y:;;: para n ~ 1.
Dividiendo cada Un porsu norma, obtenemos un conjunto ortonormal
{9!O,9!l,9!2, .,. } donde e. n/llunll.=uAs pues, tenemos
1sennx9!o(x) = . /- , V 2179!2(X) = V; ,para n ~ 1.En la seccin
1.14 demostraremos que todo espacio eucldeo de dimensinfinita tiene
una base ortogonal. El teorema que sigue muestra cmo se calculanlos
componentes de un elemento relativos a una tal base. TEOREMA 1 .11.
Sea V un espacio eucldeo de dimensin finita n, y supon-gamos que S
= {el ... , e} es una base ortogonal para V. Si un elemento x
estexpresado como una combinacin lineal de los elementos de la
base, sea sta(1.8) x =2cieii=lentonces sus componentes relativos a
la base ordenada (el> ... , en) vienen dadospor las frmulas(x,
ej)(1.9)Cj = -(--)e e.,para j=1, 2, ... , n.jEn particular, si S es
una base ortonormal, cada e viene dada
por(1.10)Demostracin.Formando el producto interior de cada miembro
de(1,8)con ej, obtenemos n (x, ej) = 2c;(ei, e) = cj(ej, e)
i=lpuesto que (e, ej) = O si i =1= Esto implica (1.9), y cuando (e
, e) = 1, obte- j.nemos (1.10). Si {el ... , en} es una base
ortonormal, la ecuacin (1 .9) puede escribirseen la forma .n(1.11)X
= 2(x,ei)eii=l 43. 24Espacios linealesEl siguiente teorema prueba
que en un espacio eucldeo real de dimensinfinita con una base orto
normal el producto interior de dos elementos es igual a lasuma de
los productos de sus componentes. TEOREMA 1.12.Sea V un espacio
eucldeo real de dimensin finita n,y supongamos lJue {el> ... ,
en} es una base ortonormal para V. Para todo par deelementos x e y
de V, tenemos n(1.12) (x, y) = L (x, ei)(y, ei)(Frmula de
Parseval).i=lEn particular, cuando x = y, tenemosn(1.13) IIxl12 =L
I(x, i=le)12Demostracin. Formando. el producto interior de ambos
miembros de laecuacin (1.11) con y, y aplicando la propiedad de
linealidad del producto inte-rior, obtenemos (1.12). Cuando x = y,
la ecuacin (1.12) se reduce a (1.13).Observacin:La ecuacion(1.12)
se denomina como se indica en honor de M. A. Parseval
(aproximadamente1776-1836), que obtuvo este tipo de frmula en UD
espacio funcional especial. La ecuacin (1.13) es una generalizacin
del teorema de Pitgoras.1.13 Ejercicios1. Sean x =(XI"" xn) e y =
(YI"" Yn) vectores arbitrarios de Vn. Determinar en cada caso, si
(x, y) es un producto interior en Vn, si (x, y) est definido por la
frmula que se da. En el caso en que (x, y) no sea un producto
interior, decir cules son los axiomas que no se satisfacen. n a)
(x, y) = LXi/Yi/n )1/2 d) (x, y) = ( i~1 xyi=lnn n e) (x,y) = L(xi+
Yi)2 - LX~ - LY i=li=l i=l nn e) (X,y) = LXi LYi .i~1i~12.
Supongamos que mantenemos los tres primeros axiomas del producto
interior real (simetra, linealidad y homogeneidad) pero
reemplazamos el cuarto axioma por uno nue- vo (4): (x, x) = O si y
slo si x = O. Demostrar que o (x, x) > O para todo x; O o bien
(x, x) < O para todo x ; O. 44. Ejercicios25[IndicacinSuponer
(x, x) > O para un cierto x , O Y (y, y) < O para un ciertoy
, O. En el espacio generado por {x, y}, hallar un elemento z , O
eon (z, z) = O.]Demostrar que en los ejercicios del 3 al 7 cada una
de las proposiciones es vlida paratodo par de elementos x e y de un
espacio eucldeo real. 3. (x,y) = Osi y slo si [x + yll = [x - yll.
4. (x,y) = Osi y slo si Ilx + yl12 = IIxl12 + Ily112. 5. (x,y) =
Osi y slo si [x + cyll :2 [x] para todo e real 6. (x + y,x - y)= O
si y slo si [x] = Ilyll. 7. Si x e y son elementos no nulos que
forman un ngulo (), entonces Ilx - yl12 = IIxl12 + lIyl12 - 2 Ilxll
lIyll cos (). 8. En el espacio lineal real C(l, e), definimos un
productointerior por(f,g) = f: (log x)f(x)g(x)dx.a) Si I(x) = V.;,
calcular 11/11.b) Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a+ bx
que sea ortogonala la funcinconstante I(x) = 1. 9. En el espacio
lineal real C( -,1), sea (J, g)=f=-l f(t)g(t)dt.Considerar las tres
fun-ciones U" u2 u3 dadas porU3(t) = 1 +t .Demostrar que dos de
ellas son ortogonales, dos forman entre s un ngulo lT/3, y
dosforman entre s un ngulo lT /6.10. En el espacio lineal P. de
todos los polinomios reales de grado ~ n, definimosa) Demostrar que
(J, g) es un producto interior para P.b) Calcular (J, g) cuando
l(t) = t Y g(t) = at + b.e) Si I(t) = t, hallar todos los
polinomios g ortogonales a l.11. En el espacio lineal de todos los
polinomios reales, definimos (J, g) =e-t(t)g(t) dt. S;;a) Demostrar
que esa integral impropia converge absolutamente para todos los
polino-mios I y g.b) Si x.(t) = t" para n = O, 1, 2, ... ,
demostrar que (X., xm) = (m + n)! .e) Calcular (J, g) cuando l(t) =
(t + 1)2 y g(t) = t2 + 1.d) Hallartodos los polinomios de primer
grado g(t) = a + bt ortogonales a I(t) = 1 + t.12. En el espacio
lineal de todos los polinomios reales, determinar si (/, g) es o no
ur;producto interior cuando se define (J, g) con la frmula que se
da. En el caso en que(J, g) no es un producto interior, indicar qu
axiomas no son respetados. En e), f yg indican derivadas. 45.
26Espacios lineales a) (f,g)= I(l)g(l) e)(l. g)= J: f(t)g(t) dt, b)
(f,g)=I J: I(t)g(t) dt ld) (f,g) =U:I(t) dt)U:g(t)dt).13. V est
formado con todas las sucesiones indefinidas de nmeros reales {x.}
para loscuales las series1:X2convergen. Si x = {x.} e y = {y.} son
dos elementos deV,definimos"QO (x,,,) = 1: x,.y" . "=1a) Demostrar
que esta serie converge absolutamente.[Indicacin: Usar la
desigualdad de Cauchy-Schwarzpara aproximar la suma1:~=1
Ix,.y"I.l;b) Demostrar que V es un espacio lineal con (x, y) como
producto interior.e) Calcular (x, y) si x; = l/n e y. = l/(n + 1)
para n ~ 1.d) Calcular (x,Y) si x; = 2" e y. =l/n! para n ~ 1.14.
Sea V el conjunto de todas las funciones reales I continuas en [O,
+ 00) y tales que laintegralS:e-tI2(t)dt converge. Definamos (J, g)
= S:e-tl(t)g(t)dt.a) Demostrar que la integral que da (/, g)
converge absolutamente para cada par defunciones I y g de
V.[Indicacin: Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
aproximar la inte-gral Jf e-tl/(t)g(t)ldt.]b) Demostrar que V es un
espacio lineal con (j, g) como producto interior.e) Calcular (j, g)
si I(t) = e-t y g(t) =t, donde n=0, 1, 2, ....15. En un espacio
eucldeo complejo, demostrar que el producto interior tiene las
siguientespropiedades para todos los elementos x, y, z y todos los
complejos a y b.a) (ax, by) = a(x, y).b) (x, ay + bz) = a(x, y) +
(x, z).16.Demostrar que en todo espacio eucldeo son vlidas las
identidades siguientes. a) Ilx + ylll = IIxl12 + lIy/l2 + (x,y) +
(y. x).b) [x + yll2 - /Ix - yl12 = 2(x, y) + 2(y, x). e) Ilx + yl12
+ Ilx - ylll = 2 Ilxlll + 2 Ily112.17. Demostrar que el espacio de
todas las funciones complejas continuas en un intervalo[a, b] se
transforma en un espacio unitario si definimos un producto interior
por lafrmula(f, g) = J:w(t)/(t)g(t) dt ,donde w es una funcin
positiva fija, continuaen [a, b].1.14 Construccin de conjuntos
ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt Todo espacio lineal de dimensin
finita tiene una base finita. Si el espacio eseucldeo, podemos
construir siempre una base ortogonal. Este resultado se dedu- 46.
Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 27cir
como consecuencia de un teorema cuya demostracin ensea a
construirconjuntos ortogonales en cualquier espacio eucldeo. de
dimensin finita o deinfinitas dimensiones. La construccin se llama
mtodo de Gram-Schmidt, en me-moria de J. P. Gram (1850-1916) y E.
Schmidt (1845-1921).TEOREMA 1.13.TEOREMA DE ORTOGONALIZACIN.Sea X,
X2, ... , una su-cesin finita o indefinida de elementos de un
espacio eucldeo V, y designemoscon L(x l, Xk) el subespacio
generado por los k primeros de esos elementos. ,Existe una sucesin
correspondiente de elementos YI> Y2... , de V que tiene
lassiguientes propiedades para cada entero k:a) El elemento Yk es
ortogonal a todo elemento del sub espacio L(YI> ... Yk-~).b) El
sub espacio generado por YI> , Yk es el mismo que el generadopor
Xl . xi: e)La suceston YI. Y2... es nica, salvo factores escalares.
Esto es, siy; , Y2,.. , es otra sucesin de elementos de V que
satisfacen las propiedades a)y b), entonces para cada k existe un
escalar Ck tal que Y~ = cltYltDemostracin. Construyamos los
elementos Y1> Y2, ... , por induccin. Parainiciar el proceso,
tomamos YI = Xl Supongamos ahora que hemos construidoYI, , Yr de
modo que a) y b) se satisfacen cuando k = r. Definamos Yr+1
me-diante la ecuacinr(1.14)Yr+l = xr+1 -!aiYi , i=ldonde los
escalares al ... , a- tienen que determinarse. Para j ::;;r, el
productointerior de Yr+l con Yi viene dado por , (Y"-1 Yi) = (X,+!,
Yi) - , ,! a(yi , Yi)i=1= (X,+!, Yi) - a(YiYi)puesto que (Yi, Yi) =
O si i # j. Si Yi.=I= podemos hacer Yr+l ortogonal a
YiO,tomando(1.15)a = (x,+!, Yi) . i (YiY;)Si Yi = O, entonces Yr+l
es ortogonal a Yi para cualquier a que se elija, en estecaso
elegimos a = O. As pues, el elemento Yr+l est bien definido y es
ortogonal 47. 28Espacios linealesa cada uno de los anteriores
elementos y" ... , Yr Por consiguiente, es ortogonala todo elemento
del subespacio Esto demuestra a) cuando k = r + 1. Para demostrar
b) cuando k = r + 1 , tenemos que probar queL(Y1," ,Yr+l) = L(x1,,
xr+1), dado que L(Y1," ,Yr) = L(x1,, x.).Los r primeros elementos
YH . , y, pertenecen a y por tanto estn en el subespacio ms amplio
L(x1, ... , xr+l) El nuevo elemen-to Y+1 dado por (1.14) es una
diferencia de dos elementos de L(x1, X+1) as que tambin est en L(X1
...xr+l) Esto demuestra queLa ecuacin (1 .14) prueba que xr+1 es la
suma de dos elementos deL(Y1 , ... , Yr+1)con lo que un
razonamiento anlogo da la inclusin en el otro sentido:Esto
demuestra b) cuando k = r + l. Por lo tanto a) y b) han sido
demostradospor induccin respecto de k.Finalmente demostramos e) por
induccin respecto de k. El caso ic = 1 estrivial. Por consiguiente,
supongamos que e) es cierto para k = r y consideremosel elemento
Y;+l . En virtud de b), este elemento pertenece aL(Y1," ,Yr+l)as
que podemos escribirr+1 Y;+l =! CiYi = z; + Cr+lYr+li=1donde Z, E
L(y, ... y,). Queremos demostrar que z, = O. Por la propiedada),
Y;+l y cr+lYr+l son ambos ortogonales a z-. Por consiguiente, su
diferencia, z.,es ortogonal a z.. Dicho de otro modo, z; es
ortogonal a s mismo, as quez; = O. Esto completa la demostracin del
teorema de ortogonalidad.En la construccin anterior, puede suceder
que Yr+l = O para algn r. Enton-ces (1 .14) prueba que Xr+1 es una
combinacin lineal de Y1 y" y por tanto 48. Construccin de conjuntos
ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 29de X" , x" as que los
elementos X1J , Xr+l son dependientes. En otras pa-labras, si los
Ti primeros elementos X1J , Xk son independientes, los
elementoscorrespondientes Y1J , Yk son no nulos. En este caso los
coeficientes ai de (1.14)vienen dados por (1.15), y las frmulas que
definen Y" ... , Yk se convierten en1 2 L (x,+!, Yi) Yi { k 1(1.16)
Yl = Xl ,Yr+l= xr+! -(. .)para r = , , ... , - . i~l y" y,Estas
frmulas constituyen el mtodo de Gram-Schmidt para construir un
conjuntoortogonal de elementos no nulos Y1J , Yk que generan el
mismo subespacio queel conjunto independiente dado X" "xs. En
particular, si X" , x es unabase para un espacio eucldeo de
dimensin finita, entonces Y" ... , Yk es una baseortogonal para el
mismo espacio. Tambin podemos convertir sta en una baseortonormal
normalizando cada uno de los elementos Yi, esto es, dividindolo
porsu norma. Por consiguiente, como corolario del teorema 1.13
tenemos el si-guiente. TEOREMA1.14. Todo conjunto eucldeo de
dimensin finita tiene una baseortonormal. SiX e y son elementos en
un espacio eucldeo, con y =1= O, el elemento(X, y) y(y, y) Y3 = X3
- QtY,- Q Y Q. - ~2 2I - (y, Y)FIGURA 1.1 El mtodo de Gram-Schmidt
en Va Un conjunto ortogonal {Y" Y2 Y3} se construye a partir de un
conjunto independiente {x., x2 xa}. 49. 30Espacios linealesse llama
la proyeccin de x sobre y. En el mtodo de Gram-Schmidt
(1.16),construimos el elemento Yr+l restando de Xr+l la proyeccin
de Xr+l sobre cadauno de los anteriores elementos YI> .. , Yr.
La figura 1.1 representa la construc-cin geomtrica en el espacio
vectorial V3 EJEMPLO 1. En V., hallar una base ortonormal para el
subespacio generadopor los tres vectores Xl = (1, -1, 1, -1), X2 =
(5, 1, 1, 1,),Y X3 = (-3, -3,1, -3). Solucin. Aplicandoel mtodo de
Gram-Schmidt,encontramos Yi = Xl =(1, -1, 1, -1) , Y2 = X2 - (X2,
YI) YI = X2 - YI = (4 , 2 " O 2) , (YI, y) Ya = Xa -(xa, YI)--- YI
- (xa, Y2)Y2 = X3 - YI + Y2= (O , O" O O) .(y , YI)(Y2, Y2)Puesto
que Y3 = O, los tres vectores X, X2, X3 deben ser dependientes.
Pero yaque Yl e Y2 son no nulos, los vectores Xl y ~2 son
independientes. Por consiguienteL(xl, X2, x3) es un subespacio de
dimensin 2. El conjunto {YI> Y2} es una baseortogonal para ese
subespacio. Dividiendo YI e Y2 cada uno por su norma llegamosa una
base ortonormal que consta de dos vectores YI1---- = -(1 -1 1 -1 )
y ---- = .17(2, 1,0,1 ) .Y2 1IIYIII 2 "IIY211v6EJEMPLO 2.Polinomios
de Legendre. En el espacio lineal de todos los po-linomios, con el
producto interior (x, y) =f=-l x(t) y(t) dt, consideramos la
sucesinindefinida x", XI> x2, , donde xn(t) = t". Cuando se
aplica a esa sucesin elteorema de ortogonalizacinse transforma en
otra sucesin de polinomiosYo, YI> Y2 ... , que el matemtico
francs A. M. Legendre (1752-1833) fue elprimero en encontrar en su
trabajo sobre la teora del potencial. Los primeros deesos
polinomios se calculan fcilmente con el mtodo de Gram-Schmidt.
Antetodo, tenemos yo(t) = x,,(t) = 1. Puesto que (Yo, Yo) =fl -1dt
= 2 y(Xl ,Yo) =fl tdt = O,-1encontramosque 50. Complementos
ortogonales. Proyecciones31A continuacin, utilizamos las relaciones
22JJI 2 I 2 (x2 , Yo)= t dt = -,(x2 , Yl) =Jlt3 dt = O, (y , Y) = t
dt = --1 3 -1 -1 3para obtenerY2(t) = x2(t) - (x2 , Yo) Yo(t) _ (x2
, Yl) y(t) = t2 _ !.(Yo , Yo) (Yl , Yl)3Del mismo modo, encontramos
que36 2Y3(t) = t3- 5t ,4 Y4(t) = t - - t . 7 + -3 , 35 . . Ys(t) =
5 t - 10 3 - t+ -5 t .9 21En el captulo 6 encontraremos de nuevo
esos polinomios en el estudio de lasecuaciones diferenciales, y
probaremos que n Y (t) = - n! - (2 t -dln) .n(2n)! dt"Los
polinomios P; dados por(2n)!1a: ( 2)n PnCt) = 2n(n !)2 Yn(t)=2nn!
dtn t - 1se conocen con el nombre de polinomios de Legendre. Los
polinomios de la su-cesin ortonormal correspondiente rpo, ({!i,
rp2" . , dados por rpn= Yn/IIYnll sellaman polinomios de Legendre
normalizados. De las frmulas para Yo, ... , Y5dadas antes,
encontramos que -({!o(t) = viI({!(t)= J23 t ,({!s(t) 1m= 8~ 2"
(63t5- 70t3 + 15t) .1.15 Complementos ortogonales. ProyeccionesSean
V un espacio eucldeo y S un subespacio de dimensin finita. Vamosa
considerar el siguiente problema de aproximacin: Dado un elemento x
de 51. 32 EspacioslinealesV, determinar un elemento en S cuya
distancia a x sea lo ms pequea posible.La distancia entre dos
elementos x e y se define como la norma Ilx - Y,.Antes de discutir
este problema en su forma general, consideremos un casoparticular,
representado en la figura 1.2. Aqu V es el espacio vectorial V" y S
esun subespacio de dimensin dos, un plano que pasa por el origen.
Dado x de V,el problema consiste en encontrar, en el plano S, el
punto s ms prximo a x.Si x E S, evidentemente la solucin es s = x.
Si x no pertenece a S, el puntoms prximo s se obtiene trazando una
perpendicular desde x al plano. Este sen-cillo ejemplo sugiere una
introduccin al problema general de aproximacin y daorigen a la
discusin que sigue. DEFINICIN. Sea S un subconjunto de un espacio
eucldeo V. Se dice que unelemento de V es ortogonal a S si es
ortogonal a todo elemento de S. El conjuntode todos los elementos
ortogonales a S se designa con Si- y es el perpendiculara S.Es un
ejerCICIOsencillo comprobar que Si- es un subespacio de V, tanto,si
S lo es como si no loes. En el caso en que S sea un subespacio,
entonces Si- sellama complemento ortogonal de S. EJEMPLO. Si S es
un plano que pasa por el origen, como se ve en la figu- ra 1.2.
entonces Si- es una recta por el origen perpendicular a ese plano.
Esteejemplo da tambin una interpretacin geomtrica para el teorema
siguiente.sJ.. FIGURA 1.2 Interpretacin geomtrica del teorema de
descomposicin ortogonal en V3 52. Complementos ortogonales.
Proyecciones 33 TEOREMA1.15. TEOREMA DE LA DESCOMPOSICION
ORTOGONAL. Sean V unespacio eucldeo y S un subespacio de V de
dimensin finita. Todo elemento xde V puede representarse en forma
nica como una suma de dos elementos, unode S y otro de S.l-. Esto
es, tenemos(1.17) x = s + s.l-,donde sESAdems, la norma de x viene
dada por la frmula pitagrica(1.18) Demostracin. Demostremos primero
que existe en realidad una descom-posicin ortogonal (1.17). Puesto
que S es de dimensin finita, tiene una baseortonormal finita, sea
sta {el ... , en}. Dado x, definimos los elementos s y s.l-as:
n.L(1.19)S = L (x, ei)ei~li , S=x-s.Observemos que cada trmino (x,
ei)ei es la proyeccin de x sobre et. El elemen-to s es la suma de
las proyeccciones de x sobre cada elemento de la base. Puestoque s
es una combinacin lineal de los elementos de la base, s est en S.
La defi-nicin de sol prueba que la ecuacin (1 .17) es vlida. Para
demostrar que solest en S.1, consideremos el producto interior de
s.1. y cualquier elemento e de labase. TenemosPero de (1.19;),
encontramos que (s, e) = (x, e), as que s.1.es ortogonal a ej.Por
consiguiente si es ortogonal a todo elemento de S, lo cual
significa ques.1. E S.1..Probamos a continuacin que la
descomposicin ortogonal (1.17) es nica.Supongamos que x tuviera dos
descomposiciones, sean stas(1.20) I x=s+sl y x= (+ (.l.,donde s y t
estn en S, y sI Y (1 estn en S1o. Queremos demostrar que s = t
Ys-L-= (l.. De (1.2.0),tenemos s - t = (1. - s.L, as que slo
necesitamos demos-trar que s - t = O. Pero s - t E S Y (1. - s-L E
S1.. con lo que s - t es orto-gonal a (1.. - s.L e igual a t..l..-
sl-. Puesto que el elemento cero es el nico ele-mento ortogonal a s
mismo, debe ser s - t = O. Esto demuestra que la descom-posicin es
nica. 53. 34 EspacioslinealesFinalmente, demostremos que la norma
de x viene dada por la frmulapita-grica. Tenemos IIxl12 =(x, x)=(s
+ s~, s + SL) = (s, s) + (S~, SJ),siendo nulos los restantestrminos
ya que s y s~ son ortogonales. Esto demues-tra (1.18).
DEFINICIN.Sea S un sub espacio de dimensin finita de un espacio
eucldeoV, y sea {el> ... , en} una base ortonormal para S. Si x
E V, el elemento s defi-nido por la ecuacinn S =2 (x, ei)ei i=lse
denomina proyeccinde x sobre el subespacio S. Demostramos
seguidamente que la proyeccin de x sobre S es la solucindel
problema de aproximacin establecido al comienzo de esta seccin.1.16
Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por
elementosde un subespacio de dimensin finitaTEOREMA1.16.TEOREMASea
S ,un subespacio de di- DE APROXIMACIN.mensin finita de un espacio
eucldeo V, y sea x un elemento de V. La proyeccinde x sobre S es ms
prxima a x que cualquier otro elemento de S. Esto es, si ses la
proyeccin de x sobre S, tenemos [x - sil ~ [x - tjlpara todo t de
S; es vlido el signo de igualdad si y slo si t = s. Demostracin.En
virtud del teorema 1.15 podemos escribir x = s + s~,donde s E S Y
s~E S~. Entonces, para cualquier t de S, tenemosx -t = (x - s)+ (s
- t) .Puesto que s - t E S Y x - s = s~ E S~, sta es una
descomposicin ortogonalde x - t, as que su norma viene dada por la
frmula pitagricaIlx - tl12 = IIx -,sI12 + lis - t112. 54.
Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo35Pero lis -
tl12 0, con lo que Ilx - tW Ilx- sW,valiendoel signo igual siy slo
si s = t. Esto completa la demostracin.EJEMPLO 1. Aproximacin de
funciones continuas en [O, 217],por polino-mios trigonomtricos. Sea
V = C(O, 217), el espacio lineal de todas las funcionesreales
continuas en el intervalo [0,277], y definamos un producto interior
mediantela ecuacin (1, g) =n"f(x)g(x) dX.En la seccin 1.12 vimos un
conjunto orto-normal de funciones trigonomtricas CFo, CFI, CF2, ,
donde1cos kx sen kx(1.21) CFo(X) = _/-, CF2k-l(X)= y; , CP2k(X) =y;
para k 1.V 217 Los 2n + 1 elementos epo, epI ... , ep2n generan un
subespacio S de dimensin2n+ 1. Los elementos de S se llaman
polinomios trigonomtricos.Si f E C(0,27T), sea l la proyeccin de f
sobre el sub espacio S. Tenemosentonces2n(1.22) I; = l:O r. Los
elementos T(ek+l),... , T(ek+.) son dependientesya que nr. Utilizar
>este hecho para obtener una contradiccin.] 64.
46Transformaciones lineales y matrices2.5 Operaciones algebraicas
con transformaciones lineales Las funciones cuyos valores
pertenecen a un espacio lineal dado W puedensumarse unas con otras
y pueden multiplicarse por escalares de W de acuerdocon la
definicin siguiente. DEFINICIN. Sean S: V ~ W y T: V ~ W dos
funciones con un dominiocomn V y con valores pertenecientes a un
espacio lineal W. Si e es un escalarcualquiera de W, definimos la
suma S + T y el producto cT por las ecuaciones(2.4) (S + T)(x) =
S(x) + T(x) , (cT)(x) = cT(x)para todo x de V.Nos interesa
especialmente el caso en el que V es tambin un espacio linealcon
los mismos escalares que W. En este caso designamos con 2( V, W) el
con-junto de todas las transformaciones lineales de V en W.Si S Y T
son dos transformacioneslineales de 2( V, W), es un sencillo
ejerci-cio comprobar que S + T y cT tambin son
transformacioneslineales de 2( V, W).An ms. Con las operaciones que
acabamos de definir, el mismo conjunto2( V, W) se transforma en un
nuevo espacio lineal. La transformacincero sirvede elemento cero en
ese espacio, y la transformacin (-l)T es la opuesta de T.Se
comprueba que se satisfacen los diez axiomas de un espacio lineal.
Por con-siguiente, tenemos el siguiente. TEOREMA2.4. El conjunto
2(V, W) de todas las transformaciones linea-les de V en W es un
espacio lineal con las operaciones de adicin y multiplica-cin por
escalares definidas en (2.4). Una operacin algebraica ms
interesante que se efecta con las transfor-maciones lineales es la
composicin o multiplicacin de transformaciones.Estaoperacinno
utiliza la estructura algebraica de un espacio lineal y puede
definirsecon entera generalidad del siguiente modo.DEFINICIN. Dados
los conjuntos U, V, W. Sean T: U ~ V una funcin condominio U y
valores en V, y S: V ~ W otra funcin con dominio V y valores enW.
La composicin ST es la funcin ST: U ~ W definida por(ST)(x) =
S[T(x)]para todo x en U. As pues, para aplicar x mediante la
composicin ST, aplicamosprimero xmediante T y luego aplicamos T(x)
por medio de S. Esto se representa en la figu-ra 2.1. 65.
Operacionesalgebraicas con transformaciones lineales47ST:U.W
FIGURA2.1 Grfico de la composicinde dos transformaciones.La
composicin de funciones reales se ha encontrado repetidas veces
ennuestro estudio del Clculo, y hemos visto que la operacin, en
general, no esconmutativa. No obstante, como en el caso de las
funciones reales, la composi-cin satisface la ley asociativa.
TEOREMA2.5. Si T: U ~ V, S: V ~ W, y R: W ~X son tres funciones,
te-nemos R(ST) = (RS)T.Demostracin.Las funciones R(ST) y (RS)T
tienenambas dominio U yvalores en X. Para cada x de U,
tenemos[R(ST)J(x) = R[(ST)(x)]= R[S[T(x)]] y [(RS)TJ(x)= (RS)[T(x)]
= R[S[T(x)]],10 que demuestraque R(ST)= (RS)T. DEFINICIN. Sea T: V
~ V una funcin que aplica V en s mismo. Defini-mos .inductivamente
las potencias enteras de T como sigue: TO= l.T" = TT> para n;;::
l.Aqu 1 representa la transformacin idntica. El lector puede
comprobar quela ley asociativa implica la ley de exponentes 1""Tn =
1""+70 para todos los ente-ros no negativos m y n.El teorema que
sigue prueba que la composicin de transformaciones linealeses
lineal. 66. 48Transformacioneslineales y matricesTEOREMA2.6. Si U,
V, W son espacios lineales con los mismos escalares,y si T: U ~ V Y
S: V ~ W son transformacioneslineales, la composicin ST: U ~ Wes
lineal.Demostracin.Para todo x y todo y de U y todos los escalares
a y b, te-nemos(ST)(ax + by) = S[T(ax+ by)] = S[aT(x) + bT(y)] =
aST(x)+ bST(y) .La composicin puede combinarse con las operaciones
algebraicas de adiciny multiplicacin por escalares en 2( V, W)
llegando al siguiente TEOREMA 2.7. Sean U, V, W espacios lineales
con los mismos escalares,supongamos que S y T pertenecen a 2"( V,
W), y sea e un escalar cualquiera. a) Para cualquier funcin R con
valores en V, tenemos(S + T)R = SR + TR y (cS)R= c(SR) . b)Para
cualquiertransformacin lineal R: W ~ U, tenemosR(S + T) = RS + RT y
R(cS) = c(RS) . La demostracin es una consecuencia inmediata de la
definicin de compo-sicin y se deja como ejercicio.2.6Inversas Al
estudiar las funciones reales aprendimos cmo construir nuevas
funcionesmediante la inversin de funciones montonas. Queremos ahora
extender el m-todo de inversin a una clase ms general de funciones.
Dada una funcin T, nuestro objetivo es encontrar, si es posible,
otra funcinS cuya composicin con T sea la transformacin idntica.
Puesto que la compo-sicin, en general, no es conmutativa, tenemos
que distinguir ST de TS. Por lotanto introducimos dos tipos de
inversas que llamamos inversa por la derecha einversa por la
izquierda. DEFINICIN.Dados dos conjuntos V y W y una funcin T: V ~
W. Se diceque una funcin S:T(V) ~ V es inversa de T por la
izquierda si S[T(x)] = xpara todo x de V, esto es, si ST= Iv, 67.
Inversas 49donde I es la transformacinidntica sobre V. Una funcin
R: T(V) ~ V sellama inversa de T por la derecha si T[R(y)] =Y para
todo y de T(V), esto es, si TR= ITw),donde Ir(V) es la
transformacin idntica sobre T(V). EJEMPLO. Una funcin sin inversa
por la izquierda pero con dos inversaspor la derecha. Sean V = {1,
2} Y W = {O}. Definimos T: V ~ W como sigue:T( 1) = T(2) = O. Esta
funcin tiene dos inversas por la derecha R: W ~ V YR: W ~ V dadas
porR(O) =1, R(O) = 2.No puede tener inversa por la izquierda S ya
que ello exigira 1 = S[T(I)] = SeO)y 2 = S[T(2)] = SeO) .Este
sencillo ejemplo pone de manifiesto que no tiene que existir
necesariamenteinversa por la izquierda y que la inversa por la
derecha no tiene que ser necesa-riamente nica. Toda funcin T: V ~ W
tiene por lo menos una inversa a la derecha. En efec-to, cada y de
T(V) tiene la forma y = T(x) para al menos un x de V. Si
elegimosuno de esos valores x y definimos R(y) = x, entonces
T[R(y)] =T(x) = y paracada y de T(V), as que R es una inversa por
la derecha. La no unicidad puede pre-sentarse debido a que puede
haber ms de un x de V que se aplique en un y deT(V). Dentro de poco
demostraremos (teorema 2.9) que si cada y de T(V) esla imagen de un
slo x de V, la inversa por la derecha es nica.Antes demostraremos
que si existe inversa por la izquierda es nica y, al mismotiempo,
es inversa a la derecha. TEOREMA 2.8. Una T: V ~ W puede tener a lo
ms una inversa por laizquierda. Si T tiene inversa por la izquierda
S, entoncesS es tambin inversapor la derecha.Demostracin.Supongamos
que T tenga dos inversas por la izquierda,S: T(V) ~ V Y S: T(V) ~
V. Elijamos cualquier y en T(V). Demostraremos queS(y) = S(y). Como
y = T(x) para un cierto x de V, tenemosS[T(x)] =x yS/[T(x)] = x,
68. so Transformaciones lineales y matricespuesto que S y S son
ambas inversas por la izquierda. Por consiguienteS(y) = xy S(y) =
x, con lo que S(y) = S(y) para todo y de T(V). Por lo tanto S = S10
que demuestra que las inversas por la izquierda coinciden.
Demostremos ahora que toda inversa por la izquierda S es tambin
inversapor la derecha. Elijamos un elemento cualquiera y en T(V).
Demostraremos queT[S(y)] = y. Puesto que y E T(V), tenemos y = T(x)
para un cierto x de V. PeroS es inversa por la izquierda, as que x
= S[T(x)] = S(y).Aplicando T, llegamos a T(x) = T[S(y)]. Pero
y=T(x), con 10 que yT[S(y)], =lo cual completa la demostracin. El
teorema que sigue caracteriza todas las funciones que tienen
inversa porla izquierda. TEOREMA2.9. Una funcin T: V ~ W tiene
inversa por la izquierda si yslo si T aplica elementos distintos de
V en elementos distintos de W; esto es,si y slo si, para
cualesquiera x e y de V,(2.5) x:;tyimplicaT(x) :;t T(y). Nota: La
condicin (2.5) es equivalente a la afirmacin (2.6) T(x) = T(y)
rnplica x= y . Una funcin T que satisface (2.5) o (2.6) para
cualesquierax e y de V se denomina uno a uno en V. Demostracin.
Supongamos que S es la inversa por la izquierda de T, y
queT(x)=T(y). Queremos demostrar que x=y. Aplicando S, encontramos
S[T(x)] =S[T(y)]. Puesto que S[T(x)] = x y S[T(y)] = y, esto
implica x = y. Con elloqueda demostrado que una funcin con inversa
por la izquierda es uno a uno ensu dominio. Demostremos ahora el
recproco. Supongamos que T es uno a uno en V.Encontraremos una
funcin S: T(V) ~ V que es inversa de T por la izquierda.Si y E
T(V), entonces y = T(x) para un cierto x de V. En virtud de (2.6),
exis-te exactamente un x en V para el cual y = T(x). Definamos S(y)
como ese x. Estoes, definamos S en T(V) como sigue:S(y)=x implica
queT(x) = y.Tenemos entonces S[T(x)] = x para cada x de V, as que
ST = Iv. Por consi-guiente, la funcin S as definida es inversa de T
por la izquierda. 69. Transformaciones lineales uno a uno 51
DEFI