CálculodeFunçõesdeVáriasVariáveis

7/30/2019 ClculodeFunesdeVriasVariveis

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notas de aula

de

funes de vrias variveis

cincias uema

Elaborada por :

Raimundo Merval Morais GonalvesLicenciado em Matemtica/UFMAProfessor Assistente/UEMAEspecialista em Ensino de Cincias/UEMA

So Lus MaAGOSTO / 2011


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NDICE

p.1. Funes de vrias variveis ......................................................... 03

2. Limites e Continuidade ................................................................. 07

3. Derivadas Parciais ....................................................................... 10

4. Regra da Cadeia ............................................................................ 15

5. Derivadas Parciais Direcionais ..................................................... 20

6. Plano Tangente e Reta Normal ..................................................... 24

7. Pontos Extremos Mximos e Mnimos ....................................... 26

8. Mximos e Mnimos Restritos ....................................................... 29

9. Integrais Duplas ........................................................................... 32

10. Integrais Triplas ............................................................................ 46

11. Coordenadas Polares .................................................................. 44

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FUNES DE VRIAS VARIVEIS

1. INTRODUOVamos estender o conceito de funo a funes de mais de uma varivel independente.

Tais funes ocorrem frequentemente em situaes prticas. Por exemplo, a rea aproximada da su-perfcie do corpo de uma pessoa depende do seu peso e altura. O volume de um cilindro circular retodepende de seu raio e a altura. De acordo com a lei do gs ideal, o volume ocupado por um gs confi-nado diretamente proporcional sua temperatura e inversamente proporcional sua presso. O custode um determinado produto pode depender do custo do trabalho, preo de materiais e despesas gerais.

Para ampliar o conceito de funo a funes de um nmero qualquer de variveis, precisa-mos primeiro considerar pontos num espao numrico n-dimensional. Da mesma forma que denota-mos um ponto em R por um nmero real x, um ponto em R 2 por um par ordenado de nmeros reais( x, y ) e um ponto em R 3 por um tripla ordenada de nmeros reais ( x, y, z ), um ponto do espao n-dimensional, R n , representado por uma nupla de nmeros reais, sendo comumente denotado porP = ( x 1, x 2, x 3, . . . , x n )

2. FUNES DE DUAS VARIVEISDEFINIO : Uma funo de duas variveis reais a valores reais uma funo : A B, onde A

R2. Uma tal funo associa a cada par ( x, y ) A, um nico nmero ( x, y ) R. Odomnio todo o plano xy ou parte dele.

EXEMPLOS :a) ( x, y ) = x2 2xy b) g( x, y ) = x y2 c) z = x2 + y2

OBSERVAO : Quando os valores de uma funo so dados por uma frmula e no descrevemos ex-

plicitamente o Domnio da funo, admitimos que o domnio consista de todos ospontos ( x, y ) para os quais a frmula definida.

2. 1 GRFICOO grfico de uma funo ( x, y ) uma superfcie que representa o conjunto de pontos

( x, y, z ) R 3 para os quais ( x, y) R 2 ( domnio) e z = ( x, y ).

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2.2 CURVAS DE NVELA representao geomtrica de uma funo de duas variveis no tarefa fcil. Ento

quando se pretende ter viso geomtrica da funo, utiliza-se as suas curvas de nvel, por ser mais fcilde se obter a sua representao geomtrica.

Uma curva de nvel de uma funo ( x, y ) a curva ( x, y ) = c ( c = cte ) no plano xy,logo a curva de nvel consiste dos pontos ( x, y ) R 2 onde a funo tem valor c .

3. FUNES DE TRS VARIVEISDEFINIO : Uma funo de trs variveis reais, definida em A R 3, uma funo que associa, a

cada terno ( x, y, z ) A, um nico nmero real w = ( x, y, z ) R. O domnio todo o R 3 ou parte dele.

EXEMPLOS :

a) ( x, y, z ) = x2 + 2xy z b) g( x, y, z ) = 2x2 + y2 z3 c) w = x2 3z2 + y

3. 1 SUPERFCIES DE NVELO grfico de uma funo de trs variveis um subconjunto do espao de quatro di -

menses e, como tal, no temos a possibilidade de represent-lo em um desenho. Dizemos que se tratade uma hipersuperfcie de R 4 .

De modo geral, o grfico de uma funo : A R , onde A R n uma hipersuperf-cie do espoco R n + 1 .

Como j foi dito no possvel visualizar o grfico de uma funo de trs variveis, pois o

grfico em 4 dimenses. Em vez disso, consideramos suas Superfcies de Nvel. Uma superfcie denvel de ( x, y, z ) uma superfcie ( x, y, z ) = c no R 3, onde a funo tem valor constante.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Seja a funo definida por( x , y ) = 1 + 3x2 y . Determine :

a) Domnio de ; b) ( 1, 4 ) c) ( 0, 9 ) d) ( 1, 1 )

2. Determinar as superfcies de nvel da funo w =2 2 2

x y z+ + . Dar exemplos de trs pontos per-tencentes ao grfico de w .

3. Determinar o domnio e descrever o mesmo das funes :

a) ( x, y ) = ln( x 2 y ) b) ( x, y ) =2 2x y 4+

c) ( x, y, z ) = ln( 16 4x 2 4y 2 z 2 ) d) ( x, y ) =2

2

y x

1 x

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Encontrar uma funo de vrias variveis que nos d :

a) O volume de gua necessrio para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros dealtura.

b) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, numericamente igual a distn-cia do ponto ao centro da esfera .

2. Seja a funo g(x, y) = yx 2 . Calcule a imagem dos pontos abaixo .

a) P( 3, 5 ) b) M( 4 , 9 ) c) T( x + 2 , 4x + 4 )R. 2 ; 5

3. Esboce o grfico das funes abaixo :

a) ( x, y ) = x + y 4 b) g( x, y ) = x2 + y 2

c) h( x, y ) = 22 yx25 d) ( x, y ) = 1 x 2 y

4. Encontre o domnio e conjunto imagem das funes de duas variveis abaixo .

a) ( x, y) =yx

1

b) g( x, y) = ln( xy 1) c) z =yx +

d) g( x, y ) = x2 + y2 2 e) ( x, y ) =22 yxe + g) h( x, y ) = 2 29 x y

5. Trace algumas curvas de nvel das funes abaixo:

a) ( x, y ) = x 2y b) g( x, y ) = x 2 + y c) ( x, y ) = y . sen x

d) z = x . y e) h( x, y ) = x 2 + y 2 9

6. Encontre o domnio das funes abaixo :

a) ( x, y, z ) = 2x + y + z 2 b) g( x, y, z ) = ln(x2 + y2 4)

c) ( x, y, z ) =x

1+ y . z d) ( r, s, v, p ) = rs 2 + tg v + 4sv

e) h( x, y ) = 9yx 22 + f) h( x, y, z ) = 2x5

1

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7. Dada a funo h(x, y) = 22 yx25 .

a) Determine o seu domnio e o represente no plano xy;

b) Escreva a equao da curva de nvel c = 4 e a represente no plano xy.

8. A temperatura do ponto P( x, y) de uma chapa dada por T( x, y) = 2x 2 + y2 6. Determine a equa-o da isoterma que passa pelo ponto A( 1, 4 ) e a represente no plano xy.

9. O potencial eltrico em uma regio do plano xy dado por V( x, y ) = 22 yx

120

+(V medido em

volts) .

a) Qual o lugar geomtrico dos pontos cujo potencial 30 volts?

b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto P( 1, 1 ).

10. Seja R(x, y) = 2x + 3y a receita de vendas de dois produtos de qualidades x e y. Esboce o grficodos (x, y) para os quais R = 120, tal curva chamada em Economia de isoreceita.

11. Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preos unitrios so R$ 10,00 eR$ 30,00 respectivamente.

a) Determine a funo receita R( x, y ) ; b) Calcule R( 20, 40 ) ;

c) Represente graficamente os pares para os quais R = R$ 1200,00.R. b) R$ 1400,00

12. Seja ( x, y ) = 3x + 2y. Calcule:

a) ( 1, 1 ) b)h

)y,x(f)y,hx(f +

R . a ) 1 e b) 3

13. Considere a funo dada por ( x, y ) = 1xy

.

a) Determine o conjunto domnio e o conjunto imagem da funo ;

b) Esboce algumas curvas de nvel da funo.

14. Hughes 299. A temperatura ajustada pelo fator vento( sensao trmica ) a temperatura quevoc sente como resultado da combinao do vento e da temperatura , conforme tabela 2 .

a) Se a temperatura de 0 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?

b) Se a temperatura de 35 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?

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15. Hughes 306 . Esboce um diagrama de curvas de nvel correspondente funo C ( d, m ) = 40d+ 0,15m. Inclua curvas de nvel com os valores C = 50, C = 100, C = 150 e C =200.

16. Hughes 306 . A figura abaixo representa as curvas de nvel da funo z = ( x, y ). A funo z crescente ou decrescente em relao varivel x ? E em relao varivel y ?

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LIMITES E CONTINUIDADE

1. INTRODUOEnquanto um ponto varivel x num eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo

x o por apenas dois sentidos, um ponto varivel ( x, y ) num plano coordenado pode se aproximar deum ponto fixo P( xo , y o ) por um nmero infinito de caminhos.

DEFINIO : Dizemos, que o limite de ( x, y ) o nmero L e escrevemos LyxfPyx=

),(lim

),(

, desde que o valor de ( x, y ) da funo em ( x, y ) tende a L, quando ( x, y ) tendea ( x o , y o ) sobre todos os caminhos que esto no domnio de ou seja :

L)y,x(flimP)y,x(

= para todo > 0, existe > 0 tal que, para todo ( x, y ) D,


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2. CONTINUIDADEDEFINIO : Uma funo ( x, y ) Contnua em um P( x o, y o) D , se e somente se ,

P)y,x(lim

( x, y ) = ( x o, y o), ou seja:

a) definida em ( x o, y o) ;

b) P)y,x(lim

( x, y ) existe e

c) P)y,x(lim

( x, y ) = ( x o, y o)

EXERCCIO PROPOSTO : Verifique se a funo ( x, y ) =1xy2

2xy3x2

23

+ contnua no ponto P( 1, 2 ).

Se for contnua em todos os pontos de um subconjunto A de D, ento contnua em A.

Se e g forem funes contnuas em um ponto P( x o, y o) que pertencem a seus domni-os, ento + g , g , . g e

g

f, com g 0, tambm sero contnuas nesse ponto

Se z = ( x, y ) for uma funo contnua de x e y e w = g( z ) for uma funo contnuade z, ento a composta w = g(( x, y ) contnua.

Se funo pode possui uma descontinuidade evitvel ( ou no essencial ), ento possvelredefinir a funo, obtendo assim uma funo contnua

EXERCCIO PROPOSTO : As funes, so descontnuas na origem. Determine se a descontinuidade removvel ou no. Se a descontinuidade for removvel, redefina ( 0, 0 ),de tal modo que a nova funo seja contnua na origem.

a) G( x, y ) = 22 yxyxxy

++b) ( x, y ) =

yx

xyx23

+

c) g( x, y ) =x

x4x 2

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Determine os limites, caso existam.

a) )1,2(p lim ( x2 4xy ) b) yx

yxlim 2

3

)3,5(P c) yx

lim )4,1(p

d)y2x3

)0,0(Pelim

e)yx

)2ln,0(Pelim

f)1zyxlim 222

)4,3,1(P++

g)x

senxelim

x

)0,0(Ph)

yx

yxlim

)0,0(P +

i) 22)0,0(P

yx

xlim

+

j)1xy

1yxlim

33

)1,1(P

l) 3

)0,0(P1y.xlim

m)

5y4x2yx

2yx2xylim

22)2,1(P ++

+

2. Mostre pela definio que 1)y4x3(lim)2,3(P

= .

3. Determine o conjunto no qual a funo contnua.

a) ( x, y ) = ln(x + y 1 ) b) g( x, y ) = 22 yx25 c) ( x, y, z ) = xy . tg z

d) ( x, y ) =1y

x2

e) h( x, y ) = senx

yf) F( x, y ) = arc sec ( x . y )

4. Para cada item abaixo = g o , determine o conjunto de pontos para os quais a funo resultante contnua.

a) ( x, y ) = z = x + tg y e g( z ) = z + 1

b) ( x, y ) = w = y .lnx e g( w ) = e w

5. Dada a funo ( x, y ) =

=

)2,2()y,x(se,k

)2,2()y,x(se,y2x10

, determine o valor de k, para que

seja contnua em P ( 2, 2 ).R. k = 8

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DERIVADAS PARCIAIS

1. INTRODUOPodemos aplicar o clculo de derivadas de Funo a uma varivel para uma Funo de

duas variveis. Podemos, por exemplo, tomar x ou y constante e considerar ( x, y ) como umafuno da outra varivel. As derivadas das funes resultantes so denominadas Derivadas Parciais.

DEFINIO 1 : A derivada parcial de ( x, y ) em relao a x obtida, tomando-se y comocons-tante e derivando-se em relao a x , ou seja:

x

)y,x(f)y,xx(flim

x

f

0x +

=

.

DEFINIO 2 : A derivada parcial de ( x, y ) em relao a y obtida, tomando-se x comocons-tante e derivando-se em relao a y , ou seja :

y

)y,x(f)yy,x(flim

y

f

0y +=

.

Na maioria dos casos, no temos que calcular os limites acima, para determinar as deriva -das parciais da funo. Ao invs disso, utilizamos as regras de derivao de funes de uma varivel.

EXERCCIO PROPOSTO : Calcule as derivadas parciais das funes abaixo:

a) ( x, y ) = x3 y y 2 x 2 + x b) ( x, y) = sen( 2x + y )

OBSERVAO : Se a funo possui trs variveisou mais variveis o procedimento para clculo dasDerivadas Parciais anlogo ao clculo para funes de duas variveis.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Encontrar as derivadas parciais das seguintes funes

a) ( x, y, z ) = x2 y + xz2 + xyz b) g( x, y, z, r, t ) = xy r + yz t + yr t + zrt

2. Seja a funo abaixo, calcule as derivadas parciais.

( x, y ) =

=

+

)0,0()y,x(se,0

)0,0()y,x(se,yx

y.x

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2. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIORSe uma funo de duas variveis, ento, em geral, suas derivadas parciais de 1 ordem

so, tambm, funes de duas variveis. Se as derivadas dessas funes existem, elas so chamadasderivadas parciais de 2 ordem de .

Para uma funo z = (x, y) temos quatro derivadas parciais de 2 ordem. J vimos como

encontrar as funesxf

e y

f , ento utilizando o mesmo procedimento, podemos encontrar as

funes:

=

2

2

x

f

x

x

f = x xxy

f2

=y

x

f = xy

2

2

y

f

=y

y

f= y y =

xyx

f3

x

xy

f2

= x y x

=

yx

f2

x

y

f = y x

EXERCCIOS PROPOSTOS :

1. Seja ( x, y ) = xy 2 + x3 y 5. Encontre as derivadas parciais at a 2 ordem.

2. Seja a funo G( x, y, z ) =x y 2yz + xy 4 z 5 . Encontre as seguintes derivadas parciais de 3ordem : g x x y , g y y z , g y z x , g z z x .

2.1 IGUALDADE DAS DERIVADAS PARCIAISTEOREMA : Se ( x, y ) e suas derivadas parciais x , y , x y e y x forem definidas numa regio

que contenha o ponto ( x o, y o) e forem contnuas nesse ponto, ento :

x y ( x o, y o) = y x( x o, y o).

3. DIFERENCIABILIDADEDEFINIO : Uma funo diferencivel em um ponto ( x o, y o) D se as derivadas parciais

x e y existirem e forem contnuas neste ponto.

EXERCCIO PROPOSTO : Verifique se a funo ( x, y ) = 2x y diferencivel nos pontos do seudomnio. Se for diferencivel, calcule o diferencial no ponto P( 1, 2 ), utili-zando a frmula :

dz = a . x + b . y, onde a = x ( P ) e b = y ( P ) .

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Stewart. 917 O ndice de sensao trmica W a temperatura que se sente quando a temperaturareal for T e a rapidez do vento( v ) e portanto podemos escrever W = ( T, v ) . Baseandose nos dadosda tabela abaixo, Estime os valores de W r ( 15, 30 ) e W v ( 15, 30 ) e d uma interpretao paraos resultados .

2. Aplique a definio para encontrar as derivadas parciais de 1 ordem das funes abaixo :

a) ( x, y ) = 3x 2xy + y b) g( x, y ) = 6x + 3y 7

3. Determine as derivadas parciais das funes abaixo :

a) ( x, y ) = 2x4y 3 xy 2 + 3y + 1 b) ( x, y ) = ( x3 y2 )2

c) ( x, y ) = sen 3x . cos y d) ( x, y ) = x . e y + y . sen x

e) ( u, v ) = vu2

e f) ( x, y ) = ex.ln| y |

g) ( x, y ) = x . cos( y x ) h) ( r, s, t ) = r2 . e2s . cos t

i)( x, y, z ) = xez yex + ze y j) ( x, y, z ) = x . y . z . e xyz

l) ( x, y ) = sec (x + y) m) ( u, v, w, x ) = ln(u . v . w . x)

4. Seja ( x, y ) =

=

)0,0()y,x(se,0

)0,0()y,x(se,y

x

, encontre as derivadas parciais da funo em relao a

x e a y .

5. Considere a funo ( x, y ) = x2 + 3y2. Calcule :

a) x ( 3, 2 ) b) y ( 3, 2 )R. 6 ; 12

6. O volume de cone circular reto de altura h com raio r V( r, h ) = hr3

1 2 . Qual a taxa de vari-

ao do volume em relao ao raio quando r = 2m e h = 6m?R. 8 m

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7. Uma placa de metal aquecida em um plano xy de modo tal que a temperatura T no ponto ( x, y) dada por T( x, y) = 10(x 2 + y 2 ) 2. Determine a taxa de variao de T em relao distncia no pontoP( 1, 2 ) na direo do eixo dos xx e na direo do eixo dos yy.

R. 200 ; 400

8. Encontre a inclinao da reta tangente curva z = 6 x 2 y 2 , resultante da interseo dez = ( x, y ) com x = 2 , no ponto P( 2, 1, 1 ).

R. 2

9. Encontre a inclinao da reta tangente curva z = 2x 2 + 5xy 2 12x , resultante da interseo dez = ( x, y ) com y = 1 , no ponto P( 2, 1, 6 ).

R. 1

10. Seja C o trao do parabolide z = 9 x2

y2

no plano x = 1. Determine a equao da tangente a Cno ponto P( 1, 2, 4 ).

R. z = 4y + 12

11. Suponha que, em um dia, quando x operrios constituem a fora de trabalho e so usadas y m-quinas, um fabricante produza ( x, y ) mesas onde :

( x, y ) = x2 + 4xy + 3y2 ; 4 x 25 e 3 y 10 .

a) Ache o nmero de mesas produzidas em 1 dia que compareceram 10 operrios e foram usadas 5mquinas.

b) Determine x ( 10, 5 ) ; c) Determine y ( 10, 5 ) ;

d) Interprete os resultados dos itens b e c ;R. 375 ; 40 ; 70

12. A temperatura de um ponto qualquer de uma chapa de ao dada por T( x, y ) = x2 + 4y2 ( T emCelsius, x e y em metros ).

a) Determine a equao da isoterma que passa no ponto P( 0, 1 ) ;

b) Determine as taxas de variao na direo dos eixos coordenados x e y, no ponto P( 2, 1 ) ;

c) Com relao ao item anterior, em qual direo a temperatura da chapa aumenta mais rapidamente .

R. 4 C ; 8 C ; eixo y

13. Anton 957. De acordo com a lei dos gases ideais, a presso, a temperatura e o volume de um gs

esto relacionados por P =k.T

V, onde k a constante de proporcionalidade. Suponha que V seja me-

dido em polegadas cbicas( pol 3 ), T seja medido em kelvins( K ), e que para um certo gs a constante

de proporcionalidade( k = 10 pol/K ).

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a) Determine a taxa de variao instantnea da presso em relao temperatura se a temperatura for80 K e o volume permanecer constante em 50 pol 3 .

b) Determine a taxa de variao instantnea do volume em relao presso se a presso for 16 lb/pol 2 ea temperatura permanecer constante em 80 K.

14. Calcule as derivadas de 2 ordem das funes abaixo:

a) ( x, y ) = x 4 y 5 b) ( x, y ) = 3xy 2y +5x y c) ( x, y ) = ln( 2x 3y )

15. Seja ( x, y ) = x3 y 4, encontre:

a) x( 2, 1 ) b) y( 2, 1 ) c) x y( 2, 1 )R. 12 ; 32 ; 48

16. Seja g( x, y ) = y3 e- 4x, encontre g x y y ( 0, 2 ).R. 48

17. Calcule x y, y z e x z para ( x, y, z ) = x2 e 3y. sen( 4z )

18. Seja um tanque cilndrico a ser construdo em chapa galvanizada. Encontre o aumento aproximadode seu volume quando o raio aumenta de 3m para 3,05 e sua altura de 10 m para 10,1 m.

R. 3,9 m

19. Sabe-se que certa funo z = ( x, y ) = tal que ( 1, 2 ) = 3 e suas derivadas satisfazemx ( 1, 2) = 2 e y( 1, 2) = 5, faa uma estimativa razovel para

10

18,

10

11.

20. A energia consumida num resistor eltrico dada por P =R

U2 watts . Se U = 120 volts e R =

12 ohms, calcular um valor aproximado para a variao de energia quando V decresce de 0,001 voltse R aumenta de 0,002 ohms

R. 0,22w

21. Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem sua altura interna de6cm, um raio interno de 2cm, e uma espessura de 0,1 cm. Se o custo do material a ser usado deR$ 1,50 por centmetro cbico. Ache por diferenciais o custo aproximado do metal que ser emprega-do na produo do recipiente.

R. R$ 15,07

22. Stewart. 924 Utilizando a tabela do exerccio 1 , da pgina 12 , determine a aproximao linearpara a sensao trmica W = ( T, v ) quando T est prximo de 15 C e v est prximo de 30km/h. Use essa estimativa do ndice de calor quando T = 17 C e v = 33 km/h .

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REGRA DA CADEIA

1. INTRODUONo estudo de funes de uma varivel utilizamos a regra da cadeia para calcular a deriva-

da de uma funo composta. Vamos, tambm utilizar a regra da cadeia para o caso de funes de vri-as variveis.

Inicialmente vamos trabalhar com funes de duas variveis.

2. FUNES DE DUAS VARIVEIS

2.1 1 CASO : Se w = ( x, y ) tem derivadas parciais x e y contnuas e se, x = x( t ) e y = y( t )so funes diferenciveis em t, ento a funo composta w = ( x( t ), y( t ) ) umafuno diferencial de t e :

dt

dw= x [ x( t ), y( t ) ) ] . x' ( t ) + y [ x( t ),y( t ) ] . y' ( t ) ou

dt

dy.

y

f

dt

dx.

x

f

dt

dw

+

=


1. Sejam as funes ( x, y ) = y + x 2 , x ( t ) = t + 1 e y( t ) = t + 4 . Encontredt

df, utilizando a re-

gra da cadeia.

2. Qual a derivada de G( t ) = H( t 3 , 5t ) em t = 1, se H( x, y ) tem derivadas de 1 ordem contnuas eH x( 1, 5) = 4, H y( 1, 5) = 2 ?

3. Seja a lei do gs ideal PV = k. T . Encontre a taxa segundo a qual a temperatura est variando noinstante em que o volume do gs 120m3 e o gs est sob uma presso de 8N/m2 se o volume estaumentando a uma taxa de 2 m3 /s e a presso est decrescendo a uma taxa de 0,1 N/m 2 por segun-do. Considere k = 10 .

2.2 2 CASO : Sejam w = ( x, y ), x = x( u, v ), y = y( u, v ) e w possui derivadas parciais de 1 or -dem contnuas ento:

u

y.

y

f

u

x.

x

f

u

w

+

=

ev

y.

y

f

v

x.

x

f

v

w

+

=


1. Sejam as funes ( u, v ) = u2 v + 4, u( x, y ) = x + y e v( x, y ) = x . y . Encontre as derivadasx e y em funo de x e y .

2. Sejam as funes ( x, y ) = x2 y 2 , x( r, s ) = 3r s e y( r, s ) = r + s . Encontre as derivadas re s em funo de r e s .

16


17/47

3. REGRA DA CADEIA PARA FUNES DE TRS VARIVEIS

3.1 1 CASO : Suponhamos que ( x, y, z ) tem derivadas de 1 ordem contnuas e que x = x( t ),y = y( t ), z = z( t ) so funes diferenciveis em t, ento :

dtdf = x[x( t ), y( t ), z( t )].x'( t ) + y[x( t ), y( t ), z( t )].y'( t ) + z[x( t ), y( t ), z( t )].z'( t )

dt

dz.

z

f

dt

dy.

y

f

dt

dx.

x

f

t

f

+

+

=

.

EXERCCIO PROPOSTO : Suponhamos que as derivadas parciais de ( x, y, z ) sejam contnuas eque x ( 1, 1, 1 ) = 4 , y ( 1, 1, 1 ) = 5 , z ( 1, 1, 1 ) = 6 . Qual a derivada

dt

dfem t = 1 , se x = t , y = t3 e z = t 2 ?

3.2 2 CASO : Se G = ( x, y, z ), x = x( u, v, w ), y = y( u, v, w ) e z = z( u, v, w ), ento possuem de-rivadas de 1 ordem contnuas, ento:

u

z.

z

f

u

y.

y

f

u

x.

x

f

u

G

+

+

=

v

z.

z

f

v

f.

y

f

v

x.

x

f

v

G

+

+

=

w

z.

z

f

w

y.

y

f

w

x.

x

f

w

G

+

+

=


1. Sejam as funes G( x, y, z ) = x 2 + xy + z , x( r, s ) = r2 , y( r, s ) = 3r 2s e z = z( r, s ) = s2. En-contre as derivadas G r e G s .

2. Calcule F ( 0, 0, 0 ), F x( 0, 0, 0 ), F y( 0, 0, 0 ) e F z( 0, 0, 0 ), sendo F( x, y, z ) = )z,y,x(L e

L( 0, 0, 0 ) = 9, L x ( 0, 0, 0 ) = 5, L y ( 0, 0, 0 ) = 4 e L z ( 0, 0, 0 ) = 3 .

R. 3;6

5;3

2;

2

1

4. DERIVAO IMPLCITANo estudo das funes de uma varivel, vimos que uma funo y = ( x, y ) definida im-

plicitamente pela equao F( x, y ) = 0 se ao substituirmos y por ( x ), essa equao se transformanuma identidade.

17


18/47

EXERCCIO PROPOSTO : A equao x 2 + y = 1, define implicitamente a funo y = 1 x , logoF( x, y ) = 0 uma identidade.

Do mesmo modo, dizemos que uma funo z = ( x, y ) definida implicitamente pela

equao F( x, y, z ) = 0 se, ao substituirmos z por( x, y ), essa equao se reduz a uma identidade.

4.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNO IMPLCITA z = ( x, y )Seja a equao F( x, y, z ) = 0, onde F uma funo implcita de duas variveis

( x e y ), tal que z = ( x, y ), para todo ( x, y ) D , ento :

)z,y,x(F

)z,y,x(F

x

z

z

x=

)z,y,x(F

)z,y,x(F

y

z

z

y=

EXERCCIO PROPOSTO : Encontre as derivadas parciais da funo F( x, y, z ) = xz 2 + 2x2y 4y2z +3y 2 = 0, onde z = ( x, y ) .

4.2 DERIVADA DAS FUNES y = y( x ) e z = z( x ) DEFINIDAS IMPLICITAMENTE POR

==0)z,y,x(G

0)z,y,x(F

Suponhamos que as funes diferenciveis y = y( x ) e z = z( x ) sejam definidas impli -

citamente pelo sistema == 0)z,y,x(G

0)z,y,x(F , onde F e G so funes diferenciveis.

Para obter as derivadasdx

dye

dx

dz, basta derivarmos as equaes F e G em relao a

x , utilizando-se para isto a Regra da Cadeia, ou seja :

=

+

+

=

+

+

0

dx

dz.

z

G

dx

dy.

y

G

dx

dx.

x

G

0dx

dz.

z

F

dx

dy.

y

F

dx

dx.

x

F

EXERCCIO PROPOSTO : Sejam as funes y = y( x ) e z = z( x ) definidas pelo sistema

=+

=+

2yx

zyx222

, com z > 0, encontredx

dyedx

dz.

18


19/47

LISTA DE EXERCCIOS

1. Seja ( x, y ) = x . sen(x . y) , x( t ) = t5 e y( t ) = t 3 , encontredt

df.

2. Seja ( x, y ) = x .ln( xy ), x( u, v ) = u . ev e y( u, v ) = u2. v3, encontre u e v .

3. Calcule g( 2 ) edt

dg( 2 ), para g( t ) = ( t 3, t 4 ), onde ( 8, 16 ) = 3 , x( 8, 16 ) = 5 e

y( 8, 16 ) = 7.R. 3; 164

4. Encontre

dt

dw, quando w = x 2 + y 2 + z 2 , x = e t . cos t , y = e t . sen t, z = e t.

5. Determine W u, se W = x 2 + y 2 , x = u v , y = v . e 2u e d a resposta em funo de x e y .

6.Determine W v , quando u = 0, v = 0, se W = ( x 2 + y 2 ) 4 + ( x y + 2 ) 3, x = u 2v + 1 ey = 2u v 2.

7. As dimenses de um slido com forma de paraleleppedo, num determinado instante t o , so :L( to ) = 13cm ( comprimento ), W( t o ) = 9cm ( largura ) e H( to ) = 5cm( altura ). Se L e H crescerem

razo de 2cm/s e W decrescer 4cm/s. Determine as taxas de variao do volume e da rea total noinstante to .R. 64 ; Zero

8. Uma funo z = z( x, y ) definida pela equao xyz + 5x 2y2z2 = 6 e pela condio z( 1,1 ) = 1.Calcule z x( 1, 1 ) e z y( 1, 1 ).

R. 1 ; 1

9. Seja g( t ) = ( 3t, 2t2 1 ).

a) Encontre g'( t ) b) Calcule g'( 0 ), admitindo x( 0, 1 ) =3

1

R. b) 1

10. Mostre que z u + z v = 0, se z = ( u v, v u ).

11. Se z = x2 + 2y2 e x = sen t, y = cos t, achardt

dz, utilizando a regra da cadeia. Verificar o resulta-

do substituindo x e y pelos seus valores antes de derivar.

12. Se u = t . x . y . z e x = 1 + t2

, y = 1 + t3

, z = 1 + t4

, achar dt

du

.

19


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13. Um ponto mvel se desloca sobre a curva interseo da superfcie z2 = x 2 + x . y + y 2 com o pla-no x y + 2 = 0. Achar as velocidades com que crescem y e z no instante em que x = 3. Sabendoque neste instante x cresce com uma velocidade de duas unidades por segundo. Qual a velocidade domvel ?

R. y' = 2 ; z' = 7

24; v = 4,44

14. Em um cilindro o raio da base decresce razo de 0,1 dm/s e a altura de 0,2 dm/s. com que velo-cidade decresce o volume no momento em que o raio igual a 4dm e a altura igual a 6dm ?

R. 8 dm / s

15. Num instante genrico t, as coordenadas de um ponto mvel P, so : x = 3 + 2t 2 , y = 2 3t2.

Achar a velocidade angular do raio vetor

OPquando t = 1s.

R . 1 rad / s

16. Sejam ( x, y ) = x 2. y3 , x = 3t e y = 2t + 1. Calcule g''( t ), utilizando a regra da cadeia, sendog( t ) = ( x, y ).

17. Supondo que as funes diferenciveis y = y( x ) e z = z( x ) , z > 0 , sejam definidas implicita-

mente pelo sistema dado, determinar as derivadasdx

dyedx

dz.

=++

=++

2zyx

4zyx222

18. Sejam ( x, y ) = x 2. y3 , x = 3t e y = 2t + 1. Calcule g''( t ), utilizando a regra da cadeia, sendog( t ) = ( x, y ).

19. Seja z = ( u 2v , v + 2u ) onde ( x, y ) de classe C num aberto de R . Expresse z u u em ter-mos de derivadas parciais de , utilizando regra da cadeia.

20. Stewart.931 A presso P ( Kpa ), o volume V( litros ) e a temperatura T( K ) de um mol de umgs ideal esto relacionados por meio da frmula PV = 8,31T. Determine a taxa de variao da presso

quando a temperatura de 300K est aumentando com a taxa de 0,1 K/s e o volume de 100 lest au-

mentando com a taxa de 0,2 l/s .

20


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DERIVADAS DIRECIONAIS

1. INTRODUOA derivada em relao a x( x ) e a derivada em relao a y( y ), s nos dizem as taxas

de variao de ( x, y ), quando ( x, y ) se desloca paralelamente aos eixos dos x ou dos y. Para seter um completo conhecimento da funo, precisamos saber suas taxas de variao, quando ( x, y ) sedesloca em outras direes. Tais taxas de variao so chamadas Derivadas Direcionais .

A derivada direcional de , a partir de um ponto P( x o , y o ) determinada pela reta ori-entada ( r ) que forma com o eixo-x um ngulo .

1.1 DEFINIO : Se ( x, y ) diferencivel no ponto P( x o , y o ) ento ( x, y ) tem derivadas dire-cionais neste ponto em qualquer direo e vale :

( x o , y o ) = x( x o , y o ) . cos + y( x o , y o ) . sen .

Podemos determinar a direo de uma reta r atravs do seu vetor diretoru ou ento do

seu versor (v ) , portanto podemos escrever que :

u ( x o , y o ) = D u ( x o , y o ) = x ( x o , y o ) . a + y ( x o , y o ) . b , onde

+= jbi.av

EXERCCIO PROPOSTO : Encontre a derivada direcional da funo ( x, y ) = 4 x y em P( 1, 2 ),sendo = 60 .

2. VETOR GRADIENTEDEFINIO : Chama-se Gradiente de ( x, y ) no ponto ( x o , y o ) e representado todo por

grad ( x o , y o ) ou

( x o , y o ) , o vetor :

( x o , y o ) = x ( x o , y o ) .

i + y ( x o , y o ) .j

EXERCCIO PROPOSTO : Seja a funo g( x, y ) = 4x y . Encontre o vetor gradiente da funo noponto A( 2, 3 ).

21


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A frmula para encontrar uma derivada direcional pode ser escrita em funo do Vetor

Gradiente e do versor(v ) do vetor diretor da reta, ou seja :

u ( x o , y o ) = ( x o , y o ) .

v .

2.1 PROPRIEDADES DO GRADIENTESeja diferencivel no ponto ( x, y ).

1 : Se grad. ( x, y ) = 0, ento D u( x, y ) = 0, para todo u ;2 : A direo de crescimento mximo de dada por

( x, y ). O valor mximo de

D u( x, y ) || ( x, y ) || .3 : A direo de crescimento mnimo de dada por

( x, y ). O valor mnimo de

D u( x, y ) || ( x, y ) || .

3. DERIVADA DIRECIONAL E VETOR GRADIENTE PARA FUNES DE TRS VARIVEISPara as funes de trs variveis temos que a derivada direcional dada por :

u ( x o, y o, z o ) = x( x o, y o, z o ) . cos + y( x o, y o, z o ) . cos + z( x o, y o, z o ) . cos , onde :cos , cos e cos so os cossenos diretores da reta r .

Utilizando as coordenadas do vetor diretor da reta temos :

u ( x o, y o, z o ) = x( x o, y o, z o ) . a + y( x o, y o, z o ) . b + z( x o, y o, z o ) . c, ondev = ( a, b, c ) ou

:

u ( x o, y o, z o ) = ( x o, y o, z o ) .

v , onde

v o versor de

u .

O vetor gradiente para funo de trs variveis calculado atravs da expresso :

= x.

i + y.j + z.

k

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Seja a funo ( x, y, z ) = x + y 4z , encontre a derivada direcional e o vetor gradiente de no

ponto B( 2, 1, 1 ).

2. Stewart 949 . A temperatura T em uma bola de metal inversamente proporcional distncia docentro da bola, que tomamos como sendo a origem. A temperatura no ponto P( 1, 2, 2 ) de 120.

a) Determine a taxa de variao de T em P( 1, 2, 2 ) em direo ao ponto T( 2, 1, 3 ) .

b) Qual a direo de maior crescimento da temperatura na bola ?

22


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LISTA DE EXERCCIOS

1. Qual a derivada de ( x, y ) = x 2 y 3 no ponto P( 2, 1 ) na direo do vetor AB

, onde A( 3, 1)e B( 4, 3 ) ?

2. Calcule o gradiente da funo e a derivada direcional no ponto, na direo e no sentido indicados :

a) ( x, y ) = sen( x . y ) , em P

,4

3,

+= j5

2i

5

1u .

b) ( x, y ) = x2 . e2 y , em P (4, 3 ) ,

= j3i2u

c) ( x, y, z ) = x . sen y + y . sen z + z . sen x , em P

2,

3,

6,

= kiu

3. Se D u( 1, 2 ) =2

7para

= j

2

1i

2

1u e D v( 1,2 ) = 0 para

+= j

5

3i

5

4v , ento , quan-

to valem x( 1, 2 ) e y( 1, 2 ) ?R. 3 ; 4

4. Determine a direo segundo a qual decresce mais rapidamente a partir de P( 1, 1 ) e a razo devariao de nessa direo sendo ( x, y ) = x2 + xy + y2.

5 . Quais as duas direes em que a derivada de ( x, y ) = xy + y 2, no ponto P( 2, 5 ), nula ?

6. Calcule a derivada direcional de ( x, y ) = 2x 3y no ponto P( 1, 1 ) e na direo da reta tangente curva y = x2 no ponto P , no sentido dos x crescentes.

R.5

4

7. Achar as derivadas direcionais das seguintes funes no ponto dado e segundo a direo indicada.Achar ainda o mdulo e a direo do gradiente no mesmo ponto.

a) z = x2 + y2 ; P( 2, 1 ) e = 60 b) z = ln22 yx + ; P( 2, 1 ) e = 30

c) w = 2x2 y2 + z2 ; P( 1, 2, 3 ) na direo da reta determinada pelos pontos P( 1, 2, 3, ) e Q( 3, 5, 0 )

d) w = xy + yz + xz ; P( 1, 1, 1 ) e = 60 , = 45 e = 60

e) z = 2x 3y ; P( 1, 1 ) na direo da tangente parbola y = x2, no sentido positivo.

23


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8. Seja T = 22 yx

1

+a expresso da temperatura de um disco metlico, no ponto ( x, y ) relativamen-

te a um sistema cartesiano com a origem no centro do disco. Achar a razo de variao da temperaturano ponto P( 2, 1 ), na direo que faz um ngulo de 30 o eixo dos x . Achar o gradiente da tempe-ratura no mesmo ponto.

R. 0,18

9. Um potencial eltrico dado pela frmula V = 22 yx

10

+. Achar a intensidade do campo eltrico

(E =

V ) no ponto P( 2, 3 ).

R. 0,43

10. Calcule a derivada direcional da funo ( x, y ) = x . sen( x . y ) no ponto P

2,1 e na direo :

a) do eixo dos x b) do vetor

+ ji2 c) em que ela mxima

R. 2 ;5

4; 2

11. Uma partcula que procura o calor est localizada no ponto P( 2, 3 ) de uma placa lisa de metal,cuja temperatura em um ponto ( x, y ) :

T( x, y ) = 10 8x 2 2y 2.

Determine uma equao para a trajetria da partcula se ela se moverse continuamente na direo

do aumento mximo da temperatura.

24


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PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

1. PLANO TANGENTE E RETA NORMALAs retas normais so muito importantes na anlise de superfcies e slidos. Por exemplo,

considere a coliso de duas bolas de bilhar. Quando uma bola em repouso atingida em um ponto Pde sua superfcie, ela se movimenta ao longo da reta de impacto determinada pelo ponto P e pelo cen-tro da bola. Essa reta de impacto a reta normal superfcie da bola no ponto P.

No processo de achar uma reta normal a uma superfcie, seremos capazes, tambm, de re -solver o problema de encontrar um plano tangente superfcie

DEFINIO : Seja F diferencivel no ponto P = ( x o, y o, z o ) de uma superfcie S dada por

F( x, y, z ) = 0, onde F( x o, y o, z o ) 0.

1. O plano contendo P e perpendicular a F( x o, y o, z o ) chamado de plano tangente de S

em P ;

2. A reta contendo P e contendo a mesma direo que

F( x o, y o, z o ) chamada de reta nor-

mal ou perpendicular a S em P ;

1.1 EQUAO DO PLANO TANGENTESeja F diferencivel no ponto P = ( x o, y o, z o ) ento a equao do plano tangente su-

perfcie S dada por F( x, y, z ) = 0, em ( x o, y o, z o ) :

F x( P ) . ( x x o ) + F y( P ) . ( y y o ) + F z( P ) . ( z z o ) = 0 .

EXERCCIO PROPOSTO : Seja ( x, y ) = 3x2y x . Determine as equaes do plano tangente no pontoP( 1, 2, 5 ).

1.2 EQUAES DA RETA NORMALSeja F diferencivel no ponto P = ( x o, y o, z o ) ento as equaes da reta normal ao plano

tangente da superfcie S dada por F( x, y, z ) = 0, em ( x o, y o, z o ) so :

+=

+=

+=

)P(F.zz

)P(F.yy

)P(F.xx

zo

yo

xo

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Encontre a equao da reta normal ao grfico de ( x, y ) = 4x2 xy, no ponto P( 1, 2 ).

2. Determine as equaes do plano tangente e a reta normal superfcie G( x, y, z ) = 2x2y 3xyz +4xy2 no ponto P( 1, 2, 1 ).

OBSERVAES : 1. O plano tangente normal

F em P.

2. A reta normal paralela a F em P.

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Para cada funo abaixo, encontre a equao do plano tangente e da reta normal no ponto indicado :

a) ( x, y, z ) = x3y 2 + y 3z 2 76 em P( 1, 2, 3 ) b) ( x, y ) = x2y 3, em P( 2, 1 )

c) xyz + x3 + z3 = 3z, em P( 1, 1, 2 ) d) g( x, y ) = x2 y, em P( 2, 2 )

e) 9x 2 + 36y 2 + 4z 2 = 108 , em P( 2, 1, 3 )

2. Determine os pontos da hiperbolide x2 2y2 4z2 = 16 em que o plano tangente paralelo ao pla-no 4x 2y + 4z = 5.

3. Para cada uma das superfcies abaixo, encontre a equao de um vetor perpendicular superfcie noponto P indicado.

a) x2 + y2 +z2 = 9 ; P( 1, 2, 2 ) b) x + y2 + z = 2 ; P

2

1,1,

2

1

c) z xy = 0 ; P( 2, 3, 6 )

4. Encontre a equao das retas que passam pela origem e so normais superfcie xy + z = 2.

R. x = y = 0 e z = 1

5. Achar a equao do plano tangente e as equaes da reta normal do cone z 2 = x 2 + y 2 no pontoP( 3, 4, 5 ).

6. Achar a equao do plano tangente e as equaes da reta normal para a parabolide z = x . y noponto P( 2, 3, 6 ).

7. Achar os pontos da superfcie z = x2 + y 2 4x 6y + 9, em que o plano tangente paralelo ao pla-no xOy.

R. P( 2, 3, 4 )

8. Obtenha as equaes paramtricas da reta tangente curva de interseo do parabolide z = x 2 + y 2

e o elipside 3x2 +2y2 + z2 = 9 no ponto P( 1, 1, 2 ).

Respostas :

5. r : x = 3 6 ; y = 4 8 ; z = 5 10 e : 3x + 4y + 5z 50 = 0

6. : 3x + 2y z 6 = 0 e r : x = 2 + 3 ; y = 3 + 2 ; z = 6

8. r : x = 1 + 6 ; y = 1 7 ; z = 2 2

26


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PONTOS EXTREMOS

1. INTRODUOAs funes de duas variveis podem ter valores Mximose Mnimos ( Absolutos e Rela-

tivos ), exatamente como as funes de uma varivel. Os pontos extremos de uma funo de duas va-riveis pode ocorrer na fronteira de uma regio ou no seu interior. O modo de obter tais valorespara funes de vrias variveis em tudo anlogo ao do das funes de uma varivel, a no ser pelofato de agora termos mais derivadas a efetuar.

Consideremos uma funo de duas variveis : A R, onde A R2 .

DEFINIO 1 : Seja P( x o, y o ) A. Diremos que ( x o, y o ) o Mximo da funo em A se e so-mente se, ( x, y ) ( x o, y o ) para todo ponto do domnio da funo .

DEFINIO 2 : Seja P( x 1, y 1 ) A. Diremos que ( x 1, y 1 ) o Mnimo da funo em A se e so-

mente se, ( x, y ) ( x 1, y 1 ) para todo ponto do domnio da funo .

2. PONTO CRTICO DE UMA FUNO DE DUAS VARIVEISSeja z = ( x, y ) definida em um conjunto D R 2 . Um ponto ( x o, y o ) D um ponto

crtico de se as derivadas parciais so iguais a zero ou se no diferencivel em( x o, y o ) D .

Todo ponto extremo de uma funo um ponto crtico, mas nem todo ponto crtico ex -tremo. O ponto crtico que no extremante chamado Ponto de Sela.

3. CONDIES NECESSRIAS PARA A EXISTNCIA DE PONTOS EXTREMOSSeja z = ( x, y ) uma funo contnua, ento os valores extremos de podero ocorrer

somente em :

a) pontos de fronteira do domnio de ;b) pontos interiores onde x = y = 0 ;c) pontos onde x e y no existem.

EXERCCIO PROPOSTO : Determinar os pontos crticos da funo ( x, y ) = 3xy2 + x3 3x .

4. CONDIO SUFICIENTE PARA UM PONTO CRTICO SER EXTREMO LOCAL

Seja uma funo que possui derivadas parciais de 1 e 2 ordem em qualquer regio cir-cular aberta que contenha ( x o, y o ) e se x ( x o, y o ) = y ( x o, y o ) = 0, ou seja, ( x o, y o ) um pontocrtico de . Seja o determinante :

H( x, y ) =yyxy

yxxx

ff

ff H( x, y ) = x x . y y 2 x y .

27


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Ento temos que :

1 : Se H( x, y ) > 0 ento :a) se x x < 0 ou y y < 0 em ( x o, y o ), a funo possui Mximo Local ;

b) se x x > 0 ou y y > 0 em ( x o, y o ), a funo possui Mnimo Local ;2 : Se H(x, y ) < 0 em ( x o, y o ), a funo possui Ponto de Sela ;

3 : Se H( x, y ) = 0 em ( x o, y o ), nada se pode concluir, sobre o ponto crtico.

EXERCCIO PROPOSTO : Seja a funo ( x, y ) = 3xy2 + x 3 3x . Classifique os pontos crticos de .

5. PONTOS CRTICOS PARA FUNES DE TRS VARIVEIS

Os conceitos de mximo e de mnimo de uma funo de mais de duas variveis em umdomnio D R n podem ser definidos de modo anlogo ao j apresentado no caso de duas variveis.

Consideremos uma funo de trs variveis w = ( x, y, z ) de classe C2 em uma regioA R3 . Os pontos crticos da funo ocorrem em pontos nos quais se anulam todas as derivadas de1 ordem da funo, ou seja, se P uma ponto crtico de ento :

x ( P ) = 0 , y ( P ) = 0 e z ( P ) = 0.

As condies acima nos dizem que P deve ser um ponto crtico da funo. Elas no bas-tam para que exista mximo local ou mnimo local em P. Vamos ento utilizar um teste semelhanteao utilizado para funes de duas variveis. Com as derivadas de 2 ordem da funo formamos a ma-

triz hessiana de e suas submatrizes principais, ou seja :

H 1 =

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

H 2 =

yyyx

xyxx

ff

ffe H 3 = [ xx ] .

Calculamos os determinantes das matrizes acima no ponto P, ento podemos afirmar que :

1 : se det. H 1 > 0 , det. H 2 > 0 e H 3 > 0 , ento P ponto de mnimo local ;

2 : se det. H 1 < 0 , det. H 2 > 0 e H 3 < 0 , ento P ponto de mximo local

EXERCCIO PROPOSTO : Seja a funo h( x, y, z ) = x + y + z xy + 3x 2z . Encontre os poss-veis pontos crticos e classifique-os.

OBSERVAO : Podemos utilizar a teoria desenvolvida para pesquisar pontos extremos tambm parafunes definidas implicitamente.

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Determine os extremos das funes abaixo:

a) ( x, y) = x2 4xy + y3 4y b) ( x, y) = x2 + 2xy + 3y2

c) ( x, y ) = 55 y5

1xx

5

1+ 16y d) z = x2 + xy + y2 5x 4y + 10

e) z = x2 + y2 4x 6y + 5 f) z = x2y(a x y)

g) x y 3x + 4y + z + z 8 = 0 h) w = x + ( y 3 ) + ( z + 1 )

2. Encontre os extremos da funo g( x, y ) = x + y 2x 2y , na superfcie triangular situada no 1

quadrante de vrtices A( 0, 0 ) ; B( 3, 0 ) e C( 0, 3 ).

3. Deve-se construir uma caixa retangular sem tampa de 12m3 de volume, O custo do material a serutilizado de R$ 0,40 por metro quadrado para o fundo, R$ 0,30 por metro quadrado para um par delados opostos e R$ 0,20 para o outro par de lados opostos. Determine as dimenses da caixa que mini-mizem o custo.

4. Determine a menor distncia do ponto P( 2, 1, 1 ) ao plano 4x 3y + z = 5.

5. Encontre o mximo e mnimo absoluto de ( x, y ) = 2 + 2x + 2y x 2 y2 na superfcie triangularsituada no primeiro quadrante e delimitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = 9 x.

R. 4 e 61

6. Uma empresa produz dois tipos de tnis : calados de corrida e calados de basquete. A receita totalde x unidades de calados de corrida e y unidades de calados de basquete :

R = 5 x 2 8y 2 2 x y + 42 x + 102 y em que x e y esto em milhares de unidades.

Determine x e y de modo a maximizar a receita .

7. Suponha que para a produo de lingotes de alumnio em uma determinada fbrica requer x m-quinas-hora e y homens-hora, o custo de produo seja dado por ( x, y ) = 2x3 6xy + y2 + 500.Determine o nmeros de mquinas-hora e o nmero de homens hora necessrios para que a produotenha custo mnimo ?

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MXIMOS E MNIMOS RESTRITOS

1. INTRODUOConsideremos uma funo de duas variveis, com domnio D. Se restringirmos o do-

mnio aos pontos ( x, y ) que satisfazem uma dada relao g( x, y ) = 0 e procurarmos entre essespontos os de Mximo e de Mnimo, dizemos que este um problema de mximos e mnimos de condicionados restrio g( x, y ) = 0.

importante observar que o ponto de Mximo ( ou de Mnimo) condicionado no coinci-de necessariamente com o ponto de Mximo (ou Mnimo) da funo definida em D.

Para resolver problemas desse tipo podemos utilizar o Mtodo dos Multiplicadores deLagrange.

2. MTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGEO mtodo dos multiplicadores de Lagrange considera que os valores extremos de uma

funo ( x, y ), cujas variveis esto sujeitas a restries do tipo g( x, y ) = 0 ou h( x, y ) = 0, etc.,

devem situar-se sobre uma superfcie g = 0 ou h = 0, nos pontos em que

= . g ou

= . h, para escalares ou quaisquer denominados Multiplicadores de Lagrange.

Ento supondo que ( x, y), g( x, y ) e h( x, y ) possuem derivadas contnuas para achar osvalores Mximos e Mnimos locais de , sujeitos s restries g( x, y ) = 0 e h( x, y ) = 0, basta deter-minarmos x , y, e capazes de satisfazer simultaneamente as equaes :

= . g , g( x, y ) = 0, h( x, y ) = 0 e

= . h.

As condies acima podem ser reescritas de um modo mais simples, ou seja :

L = ( x, y ) . g( x, y ), pois as equaes do sistema acima equivalente

L = 0 ou

L x = 0 , L y = 0 e L = 0 .

EXERCCIOS PROPOSTOS1. Encontre os pontos crticos da funo ( x, y ) = 25 x2 y2 , sujeita restrio x2 + y2 4y = 0 .

R. ( 0, 0 ) e ( 0, 4 )

2. Um galpo retangular deve ser construdo num terreno com a forma de um tringulo retngulo cu-

jos catetos medem 10m e 20m . Determinar a rea mxima possvel para o galpo.R. 50 m

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Determinar os pontos de mximo e/ou mnimo da funo dada sujeita s restries indicadas.

a) z = 2x + y ; s.a : x2 + y2 = 4 b) z = 4 2x 3y ; s.a : x2 + y2 = 1

c) g( x, y, z ) = x2 + y2 + z2 ; s.a : 3x 2y + z 4 = 0

d) H( x, y z ) = x2 + y2 + z2 ; s.a : x + 2y + 3z = 6 e x y z = 1

2. Se ( x, y , z ) = 4x2 + y2 + 5z2, determine o ponto do plano 2x + 3y + 4z = 12 em que ( x, y, z )tem mnimo.

R. ( 5/11, 30/11, 8/11 )

3. Denotemos por C o arco, no primeiro octante, da curva em que o parabolide 2z = 16 x2

y2

in-tercepta o plano x + y = 4. Determine os pontos de C mais prximos e mais afastados da origem. De-termine a maior e a menor distncia da origem a C.

R. 2 6 ; 15

4. A reta t dada pela interseo dos planos x + y + z = 1 e 2x + 3y + z = 6 . Determinar o pontode t cuja distncia at a origem seja mnima.

5. Determine o ponto da esfera x2 + y2 +z2 = 9 mais prximo do ponto P( 2, 3, 4 ).

6. O departamento de Estradas de Rodagem deseja uma rea de recreao ao longo de uma estrada.A rea, retangular, ter 5000m2 e ser cercada nos trs lados no adjacentes estrada. Qual o mni-mo de cerca necessrio para a tarefa ?

R. 200 metros

7. Quais sero as medidas de uma lata cilndrica de 54cm3 de volume que pode ser construda usando-se o mnimo possvel de metal.

R. 3cm ; 2cm

8. De todos os tringulos que tem o mesmo permetro, achar aquele que possui rea mxima.

9. Uma bia deve ter a forma de um cilindro terminado em dois cones iguais e de mesmas base queo cilindro. Achar as dimenses do cilindro e dos cones para que o material encontrado seja mnimo.

10. Achar a distncia mnima da origem ao plano x + y + z = a .

11. Achar a equao do plano que passa pelo ponto P(1, 2, 1) e determina com os planos coordena-dos o tetraedro de volume mnimo.

R. 2x + y + 2z = 0

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12. Encontre trs nmeros cuja soma seja 9 e a soma de seus quadrados seja a menor possvel.R. x = y = z = 3

13. Uma sonda espacial com a forma do elipside 4x2 + y2 + 4z2 = 16 penetra na atmosfera terrestre esua superfcie comea a aquecer. Aps uma hora, a temperatura em um ponto P( x, y, z ) da superfcieda sonda T( x, y, z ) = 8x2 + 4yx 16z + 600. Determine o ponto mais quente da superfcie da sonda.

14. Utilize os multiplicadores de Lagrange para encontra a menor distncia entre o ponto P( 1, 3, 0 ) eo plano 4x + 2y z = 5 .

15. Um disco circular a regio limitada pela circunferncia x2 + y2 = 1 . Se T graus for a tempera-tura em qualquer ponto do disco e T = 2x2 + y2 y , encontre o ponto mais que e mais frio do disco.

16. A temperatura T em um ponto qualquer do espao T = 400xyz2

. Determine a temperaturamais alta sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 1 .R. 50

17. Um recipiente cilndrico dever ter um volume de 4 cm3 . O custo( por cm2 ) de fabricao datampa e da base de metal o dobro do custo do restante do recipiente, feito de cartolina grossa. Quaisso as dimenses do recipiente mais barato ?

R. 1cm ; 4 cm

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INTEGRAIS DUPLAS

1. DEFINIOAdmitamos que ( x, y ) seja definida em uma regio retangular R definida por

R: a x b , c y d.Imaginamos R coberta por uma rede formada por retas paralelas aos eixos x e y. Tais

retas dividem R em pequenos retngulos de rea A = x .y .Ordenamos estes elementos segundo determinada ordem A 1, A 2 , A 3 , . . ., A n , es-

colhemos um ponto ( x k, y k) de cada retngulo A k e formamos a soma

S n = ( x k, y k) .A k

Se for contnua em R, ento a medida que estreitamos a malha de modo que x e y

tendam a zero, os somatrios S n tendem para um limite denominado Integral Dupla de sobre aregio R designado por :

R

f x y dA( , ) ouR

f x y dxdy( , ) ouR

f x y dydx( , )

Assim temos que :

R

f x y dA( , ) =0

limA ( x, y ) Ak

2. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLAAs integrais duplas possuem as mesmas propriedades que as integrais simples, ou seja :

1 :R

k f x y dA. ( , ) = k.R

f x y dA( , ) , onde k uma constante.

2 : [ ]R

f x y g x y dA( , ) ( , )+ =R

f x y dA( , ) +R

g x y dA( , )

3 :R

f x y dA( , ) 0 , se ( x, y ) 0 em R

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4 :R

f x y dA( , ) R

g x y dA( , ) dA , se ( x, y ) g( x, y ) em R.

5 : Rf x y dA( , )

= 1R

f x y dA( , ) + 2R

f x y dA( , ) , onde R = R1 + R2, onde R1 e R2 so retngulo no

superpostos.

Quando ( x, y ) > 0 , podemos interpretarR

f x y dA( , ) como volume do slido contidopor R, os planos x = a, x = b, y = c e y = d e a superfcie z = ( x, y )

3. CLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS

O clculo das integrais duplas feito atravs de duas integraes sucessivas, dependendodo tipo da regio de integrao, para isto utiliza-se o seguinte teorema( Teorema de Fubini ) :

3.1 TEOREMA : Seja ( x, y ) contnua em uma regio R.

a) Se R for definida por a x b, g 1( x ) y g 2( x ), com g1 e g 2 contnuas em ( a, b ), ento :

R

f x y dA( , ) = )x(g

)x(g

b

a

2

1

dydx)y,x(f

b) Se R for definida por c y d, g 1( y ) x g 2( y ), com g 1 e g 2 contnuas em ( c, d ), ento :

R

f x y dA( , ) = )y(g

)y(g

d

c

2

1

dxdy)y,x(f

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. CalculeR

4 x y dydx( ) e R : 0 x 2 , 0 y 1.R. 5

2. CalculeR

f x y dA( , ) para ( x, y ) = 1 6x 2 y e R : 0 x 2 , 1 y 1R. 4

3.2 DETERMINAO DOS LIMITES DE INTEGRAOA parte mais difcil do clculo de uma integral dupla pode ser a determinao dos limites

de integrao, ento podemos utilizar o seguinte mtodo. Suponhamos, que a primeira integrao sejaem relao a y e, depois em relao a x , seguimos os seguintes passos :

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1 : Imaginamos uma reta vertical ( L ) que cruze toda a regio R no sentido dos y crescentes ;

2 : Integramos a partir do valor de y correspondente ao ponto em que a reta ( L ) penetra em R, ato valor de y correspondente ao ponto em que L abandona a regio R ;

3 Escolhemos os limites de x que incluam todas as retas verticais que passem por R .

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Encontre o volume do prisma cuja base o tringulo no plano xy , limitado pelo eixo-x e as retasy = x e x = 1. Na parte superior, o slido limitado pelo plano z = 3 x y.

R. 1

2. Seja R a regio do plano xy delimitada pelos grficos y = x2

e y =2x . Calcule o volume do sli-do limitado superiormente, pela funo F( x, y ) = x 3 + 4y .

4. REASe fizermos ( x, y ) = 1 na definio de integral dupla sobre uma regio R, ento a inte-

gral representar a rea da regio, ou seja :

A =R

f x y dA( , ) .

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Determine a rea da regio R limitada por y = x e y = x2, no primeiro quadrante.R. 1/6

2. Determine a rea da regio R limitada pela parbola y = x2 e pela reta y = x + 2.R. 9/2

3. Seja G( x, y ) = 100( y + 1 ) que representa a densidade populacional de uma regio plana da Terra.Calcule a populao dessa regio, onde x e y so medidos e,m quilmetros e a regio limitada pe-las curvas x = y 2 e x = 2y y 2 .

5. MUDANA DE VARIVEIS EM INTEGRAIS DUPLASNa integrao de funes de uma varivel, a frmula de mudana de varivel ou substitui -

o utilizada para transformar uma integral dada em outra mais simples.

Suponhamos que desejamos fazer a mudana de variveis, da integral dupla da funo( x, y ), onde x = x( u, v ) e y = y( u, v ) sobre uma regio R do plano xy, para uma regio R' doplano uv , onde u = u( x, y ) e v = v( x, y ).

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Considerando que as funes x, y, u e v so contnuas, com derivadas parciais contnuasem R1 e R respectivamente, temos :

R

dxdy)y,x(f =1R

(x,y)f [x(u, v), y(u, v)] dudv

(u,v)

, onde :

)v,u(

)y,x(

=

v

y

u

y

v

x

u

x

ojacobiano de x e y em relao a u e v .

EXERCCIO PROPOSTO : Calcular a integral dupla da funo ( x, y ) = x y , sendo R o paralelo-gramo limitado pelas retas x y = 0 , x y = 1, y =2x e y = 2x 4 .

R. 2

6. INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARESA regra para converso de uma integral em coordenadas cartesianas em uma integral em

coordenadas polares :

a) Substituir x = r. cos , y = r. sen e dydx = r. dr. d .b) Estabelecer os limites polares de integrao do seguinte modo :

I Mantemos constante e permitimos que r cresa, de forma a traar um raio a partir da ori-gem.

II Integramos em relao a r, a partir do valor de ( r ) correspondente ao ponto em que o raiopenetra na regio R , at o ponto em que ele a abandonaIII Escolhemos limites de que incluam todos os raios com plo na origem e que interceptam R.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Calcule a integral +R

22yx dx dy , sendo R o crculo de centro na origem e raio 2 .

R.3

16

2. Calcule a integral +R

yx 22e dx dy , sendo R a regio do plano xy delimitada por x2 + y2 = 4 e

x2 + y2 = 9 .R. ( e 9 e 4 )

3. Calcule a R

dxdy)y,x(f onde ( x, y ) = ( x 2 )2 + ( y 2 )2 , onde R a regio delimitada

pela circunferncia ( x 2 )2 + ( y 2 )2 = 4R. 8

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7. APLICAES FSICASAssim como utilizamos a integral definida para calcular a massa, centro de massa e o

momento de inrcia de uma barra horizontal no homognea com densidade linear = ( x ), pode-mos utilizar as integrais duplas, de modo bastante semelhante para encontrarmassa, centro de massae o momento de inrcia de uma lmina plana no homognea, com a forma de uma regio R e com

densidade de rea em um ponto P( x, y ) de R dada pela funo contnua = ( x, y ) .

7.1 MASSA TOTAL DE UMA LMINA

Para encontrarmos a massa total de uma lmina podemos utilizar a integral :

M = R

)y,x( dA .

7.2 MOMENTO DE MASSA EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOSPara calcularmos os momentos de massa em relao aos eixos coordenados utilizamos as

integrais :

M x = R

)y,x(y dA e M y = R

)y,x(x dA

Ento as coordenadas do centro de massa da lmina dado por :

_

x=

M

My e_

y =M

M x

7.3 MOMENTO DE INRCIAPodemos dizer que o momento de inrcia de um corpo a capacidade do corpo resistir acelerao angular em torno de um eixo L .

Para encontrarmos os momentos de inrcia utilizamos as integrais :

I x = R

2)y,x(y Momento de inrcia em relao ao eixo x ;

I y = R

2 )y,x(x Momento de inrcia em relao ao eixo y ;

I o = +R

22 )y,x()yx( Momento de inrcia polar ;

EXERCCIO PROPOSTO : Determinar o centro de massa de uma chapa homognea formada por umquadrado de lado 2a, encimado por um tringulo issceles que tem porbase o lado 2a do quadrado e por altura a .

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Calcule as integrais duplas abaixo :

a)2

R

4 y dA( ) , onde R : 0 x 3 e 0 y 2.R. 16

b )R

(senx cos y)dA+ , onde R : 0 x e 0 y 2 .R. 4

c)R

y dA, onde R : 0 x e 0 y sen x .

R. / 4

d)R

dx dy , onde R : y x y2 e 1 y 2 .R. 5/6

2. Calcular R

dxdy)y,x(f , onde :

a) ( x, y ) = x e xy ; R o retngulo 1 x 3 e 0 y 1 .

R. e e 2

b) ( x, y ) = x . cos xy ; R o retngulo 0 x 2 e 0 y /2 .R. 4 /

3. Resolva os problemas abaixo :

a) xy dA , sobre a regio do 1 quadrante limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2.R. 45/8

b) Encontre o volume do slido cuja base a regio do plano xy formada pela parbola y = 4 x 2 epela reta y = 3x , sendo a parte superior do slido limitado pelo plano z = x + 4.

R. 625/2

c) Determine a rea determinada pela parbola x = y y2 e pela reta x + y = 0.R. 4/3

d) dA , onde R : a x a e 2222 xayxa R. a

e) Calcule a rea da superfcie da parte do parabolide hiperblico z = xy no crculo x2 + y2 = 1.R. /2

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4. Achar o volume do tronco de um prisma limitado pelos planos : 3x + 2y + z = 18, x = 3, y = 4 e ostrs planos coordenados.

R. 114

5. Calcular a rea da superfcie compreendida entre as curvas : x 2 + y2 = 25 e 9y = 4x2 .

6. Calcule as integrais abaixo :

a) dxdy)6y3x2(2

1

3

2

++

b) +a

0

b

0

dxdy)yx( c)

0

x

2

0

dxdye

d) e

1

e

1y.x

dxdye)

+2

0

2

0

dyd)2bsencos.a(

R.2

87;2

1ab( a + b ) ; 2 ; 1 ;

2

1 b

7. Calcular2 2

R

x y dxdy , onde R o crculo x2 + y2 1.R. /24

8. Calcular2 2

R

(x y )dxdy+ , onde R o setor x = 0, y = 0, x2 + y2 = a 2 .R. a / 8

9. Calcular a rea da regio compreendida entre a parbola x2 + 8y = 16 e a reta 4y = 3x.

R. 125/6

10. Calcular2 2

R

(x y )dxdy+ , onde R o crculo x2 + y2 4 .R. 4

11. Determine o valor mdio da funo ( x , y ) = 3y, sobre o tringulo cujos vrtices so : A( 0, 0 ) ;B( 4, 0 ) e C( 2,2 ).

R. 2

12. Supondo que a funo densidade de probabilidade conjunta para as variveis no negativas x e yseja h( x, y ) = x . e x. e y , determine a probabilidade de 0 x 1 e 0 y 2 .

R. 0,2285

13. Calcular o volume do slido no 1 octante delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro que contorna aregio delimitada por y = x e x = y .

R. 31/60

39


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14. Calcular o momento de inrcia em relao ao eixo dos y de uma chapa que possui a forma dada pelafuno y = x , no intervalo [ 0, 4 ] e sabendo que a sua densidade de massa igual a x . y kg / m2 .

15. Uma lmina tem a forma do tringulo de vrtices ( 1, 0 ) , ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ) . Determinar a

massa e o centro de massa da lmina se a sua densidade de massa constante .

16. Uma lmina tem a forma de uma regio plana R delimitada pelas curvas x = y2 e x = 4 . Suadensidade de massa constante .

a) Determinar o momento de inrcia da lmina em relao ao eixo dos x ;

b) O momento de inrcia da lmina em relao ao eixo dos y .

17. Calcular o centro de massa de uma lmina plana quadrada de 4 cm de lado, com densidade de

massa constante .

18. Uma lmina plana tem a forma da regio delimitada pelas curvas y = x2 + 1 e y = x + 3 . Sua densi-dade de massa no ponto P( x, y ) proporcional distncia desse ponto ao eixo dos x . Calcular :

a) a massa da lmina ;

b) o centro de massa

c) o momento de inrcia em relao ao eixo x

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INTEGRAIS TRIPLAS

1. INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS RETANGULARESSe F( x, y, z ) for uma funo definida em uma regio fechada D do espao ( p.ex. numa

esfera macia, num tronco de cone , etc. ), ento a integral de F sobre D pode ser dividida do mododescrito a seguir. Subdividimos uma regio retangular de D em clulas retangulares elementares me-diante planos paralelos aos coordenados. As clulas tm dimenses x . y . z. Numeramos tais ele-mentos de volume segundo uma determinada ordem :

V 1 , V 2 , . . . , V n , escolhemos um ponto ( x k, y k, z k)em cada V ke formamos a soma :

S n = F( x k, y k, z k) .V k.

Se F for contnua e a superfcie envolvente de D for constituda de trechos suaves de su-perfcies, unidos ao longo de curvas contnuas, ento quando x , y , z aproximam-se de Zero, osomatrio S n tende para um limite :

lim S n = k k k k D

F(x , y , z ) . V dV

Denominamos tal limite Integral Tripla de F sobre D. Esse limite existir, igualmente,para algumas funes descontnuas.

2. PROPRIEDADESAs integrais triplas possuem as seguintes propriedades :

1 :D

k.FdV = k. D FdV , onde k = constante 2 : D (F G ) dV+ = D FdV + D G dV

3 :D

FdV 0, se F 0 em D 4 :D

FdV D

G dV , se F G em D

5 :D

FdV =1D

FdV +2D

FdV +3D

FdV + . . . +nD

FdV .

3. VOLUME

Podemos utilizar uma integral tripla para calcular o volume de um slido, para isto bastafazer F( x, y, z ) = 1, ento a integral dV representar o volume de D. D

3. 1 CLCULOPara calcular uma integral tripla, utiliza-se uma verso tridimensional do teorema utiliza -

do para calcular as integrais duplas, ou seja, calculamos trs sucessivas integrais simples.

EXERCCIO PROPOSTO : Calcular o volume do slido delimitado inferiormente por z = 3 2

y, su-

periormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorno a

regio R delimitada por y = x

2

e y = 4 . R. 224/5

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4. APLICAES FSICASDe maneira semelhante ao que foi feito com integrais duplas, podemos utilizar as integrais

triplas para determinar a massa de um corpo, as coordenadas de seu centro de massa e o momento deinrcia em relao a um eixo L .

4.1 MASSA TOTAL DE UMA LMINA

Para encontrarmos a massa total de um corpo podemos utilizar a integral :

M = T

)z,y,x( dV .

4.2 MOMENTO DE MASSA EM RELAO AOS EIXOS COORDENADOSPara calcularmos os momentos de massa em relao aos eixos coordenados utilizamos as

integrais :

M x y = .)z,y,x(.zT

dV , M xz = .)z,y,x(.yT

d V e M y z =.)z,y,x(.x

T

dV

Ento as coordenadas do centro de massa da lmina dado por :

_

x = M

Myz ,_

y =M

M xz e _z

=M

M xy .

4.3 MOMENTO DE INRCIAPodemos dizer que o momento de inrcia de um corpo a capacidade do corpo resistir

acelerao angular em torno de um eixo L .

Para encontrarmos os momentos de inrcia utilizamos as integrais :

I x = +T

22)z,y,x()zy( dV Momento de inrcia em relao ao eixo x ;

I y = +T

22)z,y,x()zx( Momento de inrcia em relao ao eixo y ;

I z = +T

22)z,y,x()yx( Momento de inrcia em relao ao eixo z ;

EXERCCIOS PROPOSTO

1. Calcular a massa e o centro de massa do slido T , delimitado por 2x + y + z = 1 e os planos coor-denados, sabendo que a densidade de massa em P( x, y, z ) proporcional a distncia at o plano xy .

2. Encontrar o momento de inrcia em relao ao eixo z do slido delimitado pelo cilindro x 2 + y2 = 9

e pelos planos z = 2 e z = 4, sabendo que a densidade de massa igual a ( x

2

+ y

2

) kg/m

3

.

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Calcule as seguintes integrais triplas :

a)D

FdV , onde F( x, y, z ) = xy2z 3 e D : 0 x 2 , 0 y 3 , 0 z 1.R. 9/2

b)D

( 5x yz ) dV+ , onde D : 0 x 1 , 0 y x , 0 z x2 + y2

R. 17/12

c)D

(x 2y 3z) dV+ + , onde D : 0 x 2 , 1 y 3 , 0 z 3.

R. 120

2. CalculeD

z dV , onde D um prisma reto de base triangular e altura igual a 7, sendo

A( 1, 0, 0 ), B( 3, 2, 0 ) e C( 1, 2, 0 ).R. 49

3. CalculeD

xyzdV , onde D : x2 + y2 + z2 4 , y > 0 e z > 0.

R.

4. CalculeD

z . . sen dV , onde D a regio do espao ( , , z ) determinada pelas desigualdades0 z 3 , 0 2 e 0 .

R. 18

5. Calcule as integrais abaixo :

a) ++2

1

1

0

3

3

dxdyd)zyx( b) ++c

0

222

b

0

a

0

dxdydz)zyx( c) x1

0

1

y

1

0

xdzdydx2

R. 12 ;3

1abc( a + b + c ) ;

35

4

6. Achar o volume do slido compreendido entre as superfcies y2 + z2 = x e x = y, z > 0.

R.32

7. Achar o volume do slido limitado pelos cilindros x2 + y2 = a2 e y2 + z2 = a 2 no 1 octante.

R. 3

2

a

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8. Achar o volume do slido limitado pela superfcie 32

32

32

32

azyx =++ .

R.

35

4 a

9. Calcular o volume do slido delimitado por x2 + y2 = 4 , z = 0 e 4x + 2y + z = 16 .

R. 64

10. Calcular o volume da parte do tetraedro 3x + 6y + 2z = 6 .

a) entre os planos z = 1 e z = 2 b) acima do plano z = 1

R.27

2;27

8

11. Calcule o volume do slido delimitado pelas superfcies x2 + y2 = 16 ; z = 2 e x + z = 9 .

R. 112

12. CalculeD

x dV , onde D : 0 x 1 ; 0 y x e 0 z x + y.

R. 3/8

13. Calcular a massa dos slidos limitados pelas superfcies dadas considerando a densidade de massa

iguala a 4 kg / m3

.

a) z = 22 yx + b) z = 4 x2 y2

14. Calcular o momento de inrcia em relao aos eixos coordenados do slido delimitado por z = 4 x2 y2 e z = 0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P proporcional a distncia de Pao plano xy .

15. Um slido no primeiro octante limitado abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelos planos y = 0e pela superfcie x = y2 e , acima, pela superfcie z = 4 x2 . A densidade ( x, y, z ) = kxy , ondek uma constante.

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COORDENADAS POLARES

1. INTRODUOAt agora, sempre que foi preciso representamos curvas planas como colees de pontos

( x, y ) em um sistema de coordenadas cartesianas, onde x e y representam as distncias orientadasdos eixos coordenados ao ponto ( x, y ) . As equaes correspondentes para essas curvas podem serdadas nas formas cartesianas e paramtrica. Nesta unidade vamos conhecer um outro sistema de co-ordenadas, o Sistema de Coordenadas Polar.

2. SISTEMA DE COORDENADAS POLARESPara formar o sistema de coordenadas polares no plano, fixamos um ponto ( O ), chamado

de plo( origem ) e construmos a partir do plo um raio inicial, denominado eixo polar.

DEFINIO : As coordenadas de um ponto P diferente da origem( plo ), num plano xy, so( r, ), onde r a distncia de P origem e um ngulo formado pelo eixodos x positivos com a reta entre a origem e P.

Para marcar um ponto em coordenadas polares, utilizaremos as seguintes convenes :

a) Se o ngulo AOP for descrito no sentido anti-horrio, ento > 0. Caso contrrio, temos < 0.

b) Se r < 0, o ponto estar localizado na extenso do lado terminal do ngulo AOP.

EXERCCIOS PROPOSTOS : Representar num sistema cartesiano de coordenadas polares os seguintespontos :

a) P 1( 3, / 6 ) b) P 2( 3, / 6 ) c) P 3( 3, / 6 ) d) P 4( 3, / 6 )

3. RELAO ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS E COORDENADAS POLARES

As definies de Seno e Cosseno em um tringulo retngulo cujos catetos medem( x e y )e a hipotenusa( r ) nos do as equaes :

x = r . cos e y = r . sen , que exprimem as coordenadas retangulares ( x, y ) de umponto em termos de suas coordenadas polares ( r , ). A equao que exprime r em funo de x ey :

22 yxr += .

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LISTA DE EXERCCIOS

1. Supondo 0 2, encontre as coordenadas polares dos pontos abaixo :

a) A( 3, 3 ) b) B( 7, 0 ) c) C( 1, 3 ) d) D( 3, 4 )

2. Escreva as equaes abaixo, em coordenadas polares :

a) x = 2 b) x = 3y c) x2 y2 = 1 d) 2x2 + y2 = 1

3. Escreva as equaes abaixo, em coordenadas retangulares :

a) r = sec b) r = 3cossec

c) r2 = cos . sen d) r = cos26

4. Faa o grfico das equaes dadas em coordenadas polares.

a) r = 2 b) =3

c) r = sec d) r = 4 . sen

Respostas :

2. a) r = 2 . sec b) cotg = 3

c) r = sec 2 d) 1 r = r . tg

3. a ) x = 1 b) y + 3 = 0

c) ( x + y ) = x . y d) 3x + 4y + 12x 36 = 0

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

EDWARDS, C. Henry e PENNEY, David E. CLCULO COM GEOMETRIA ANALTICA . 4 Edio.Rio de Janeiro . Editora Prentice Hall do Brasil Ltda . 1997 . volumes 02 e 03

GONALVES, Mriam Buss e FLEMMING, Diva Marlia CLCULO B : Funes de Vrias Variveis.1 Edio. So Paulo . Editora Makron . 1999

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz UM CURSO DE CLCULO . 1 Edio . Rio de Janeiro . Editora LTC .1986 . volumes 02 e 03

HOFFMANN, Laurence D. CLCULO : UM CURSO MODERNO E SUAS APLICAES . 2 Edio .Rio de Janeiro . Editora LTC . 1990 . volume 02

JUDICE, Edson Duro FUNES DE VRIAS VARIVEIS . 1 Edio . Belo Horizonte . PUC/M.G .1987

KAPLAN, Wilfred CLCULO AVANADO . 1 Edio . 7 Reimpresso . So Paulo . Editora Edgard Blu-cher Ltda . 1999 . volume 01

SWOKOWSKI, Earl W. CLCULO COM GEOMETRIA ANALTICA. 1 Edio. So Paulo, EditoraMAKRON, 1983, v. 2

THOMAS, George ; FINNEY, Ross L. CLCULO E GEOMETRIA ANALTICA . 6 Edio. So Paulo,Editora LTC ,1988, So Paulo, volume 03

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CálculodeFunçõesdeVáriasVariáveis

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