Cálculo vectorial
Feb 23, 2016
Cálculo vectorial. Temario de cálculo vectorial. La geometría del espacio euclidiano Funciones vectoriales Diferenciación Integrales múltiples Integrales de línea Integrales de superficie Los teoremas integrales. 4. Integrales múltiples 4.1 Integrales dobles sobre rectángulos - PowerPoint PPT Presentation
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Transcript
1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales
4. Integrales múltiples4.1 Integrales dobles sobre rectángulos
4.2 Integrales iteradas
4.3 Integrales dobles sobre regiones arbitrarias
4.4 Integrales dobles en coordenadas polares
4.5 Integrales triples
4.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas
4.7 Integrales triples en coordenadas esféricas
4.8 Cambio de variables en las integrales múltiples
:f R R
x
f x
x
f x
b
a
f x dx
x
f x
b
a
f x dx
a
x
f x
b
a
f x dx
a b
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
2 32 3f x x x x
2 32 3f x x x x
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.52.5 2 3 41.0
1.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 12 32 3 4
1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.02 4
12 1.5 6.25 12
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
1.0 15.625 1.0 39.063 1.04
1 13.0 5.25 14.625 38.0632 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
2 32 3f x x x x
Valor aproximado 6.1172Valor exacto 5.4844
1n
5.4844 exactoValor 5.6426aproximadoValor
2n
Valor aproximado 5.5239Valor exacto 5.4844
4n
Valor aproximado 5.4907Valor exacto 5.4844
10n
Valor aproximado 5.4846Valor exacto 5.4844
50n
Valor aproximado 5.4844Valor exacto 5.4844
100n
if x
i if x x
0
N
i ii
f x x
0 0
limi
N
i ix i
f x x
0 0
limi
bN
i ix i a
f x x f x dx
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx
0a
a
f x dx
: n R R
:
A cada elemento de ,es decir, a cada vector,se le asocia un número real,
n
n
x x
R RR
X
Y
2
3
2, : , 2x y x y D R R
X
Y
2
3
2, : , 2x y x y D R R
2, : , 2x y x y D R R
, 3 2 2 12x y dxdy D
X
Y
X
Y
X
Y
,k k
kA
X
Y
,k k
kA
Z
2, : , 2x y x y D R R
, 3 2 2 12x y dxdy D
2
1 10 0
10
, :
,
, lim lim
lim
k k
k
n n
i i i in nk kA A
n
i in kA
x y
x y h
x y dA h x y h x y
h x y h a b
D
D R R
2 2
Calcula el volumen del sólidoque está arriba del cuadrado 0,2 0,2
y abajo del paraboloide
elíptico 16 2 .z x y
X
Y
2 0,2P
1 2,0P
2
2 2
:
, 16 2
f
f x y z x y
R R
2 2
Calcula el volumen del sólido que está arriba del cuadrado
0,2 0,2 y abajo del paraboloide elíptico 16 2 .z x y
2
2 2
:
, 16 2
f
f x y z x y
R R
2 2 2: , 16 2f f x y z x y R R
0,2 0,2
,f x y dxdy
2 2
1 1
,
1,1 1,2 2,1 2,2
13 1 7 1 10 1 4 1 34
i ji j
V f x y A
f A f A f A f A
4 4
1 1
1 1 1, ahora 2 2 4i j
i j
V f x y A A
16 prismas
8 8
1 1
1 1 1, ahora 4 4 16i j
i j
V f x y A A
64 prismas
16 16
1 1
1 1 1, ahora 8 8 64i j
i j
V f x y A A
256 prismas
, 1 10
lim ,
48
m n
i jm n i jA
V f x y A
V
, 1 10
Calcular el límite
lim ,
para evaluar la integral de cadafunción es excesivamente complejo.Sin embargo, existe el siguiente teorema:
m n
i jm n i jA
V f x y A
Si la función es continua en el rectángulo
, , ,
entonces
, , ,b d d b
R a c c a
R x y a x b c y d
x y dA x y dy dx x y dx dy
Más generalmente, este teorema es cierto sise supone que es acotada en , es discontinuasolamente en un número finito de curvas suaves,y las integrales iteradas existen.
R
Si la función es continua en el rectángulo
, , , entonces
, , ,b d d b
R a c c a
R x y a x b c y d
x y dA x y dy dx x y dx dy
2
Encontrar el volumen del sólido acotado por
la superficie y los planos 0,1, 0, 1, y 0.
z x x y xx y y z
2
1 1 1 12 2 2
0 0 0 0
0,1 0,1 ,
R
R f x y z x x y
x x ydxdy x x ydydx dx x x ydy
112
0
2
0R
x x ydxdy dx x x ydy
3
2 2
2
2 2
1/ 2 3
/2 2
/ 2
2
2
23
3
x x ydy x x ydy
u x ydu dy
x x ydy x x ydy x u
xx x ydy x y
du
x u du x u
112
0
2
0R
x x ydxdy dx x x ydy
1 13/ 22 2
0
3/ 22
0
3/ 2 3/2
3
2 2
23
21 0
23
13
xx x ydy x y
xx
xx x
x
1
3/22 3
2
1 1 1 12 2
0
2
0 0 0 0
0,1 0,1 ,
21
3
R
R f x y z x x y
x x ydxdy x x ydy
xx x dx
dx dx x x ydy
1 1 1
3/ 2 3/ 22 3 2 4
0 0 0
2 2 21 13 3 3x x x dx x x dx x dx
1
3/ 22 3
0
2 13x x x dx
1 1
3/1
3/ 222 3 4
0
2
0 0
2 21
3 31
23
x xx
dxx x dx x dx
3/ 22
2
3/ 2 3/ 2 5/ 21/21/ 2
3/ 2 5/ 22 2
1
21 1 1 21 1 1
2 2 2 511 15
x x dx
u xdu xdx
u u du u du uu
x x dx x
1 1
3/1
3/ 222 3 4
0
2
0 0
2 21
3 31
23
x xx
dxx x dx x dx
3/ 2 5/ 22 2
113/ 2 5/ 22 2
00
5/ 2 5/ 22 2
11 1511 15
1 11 1 0 1
1 4 2 15
5 5
4 2 15 5
x x dx x
x x dx x
1 1
3/ 2 3/ 22 3
00 0
4212 2 2
1 13 3 3x
x x dx x x xx dxd
11
4 5 5 5
00
1 1 1 05 5
15
x dx x
1 1 1
3/ 2 3/ 22 3 2 4
0 0 0
2 2 21 1
3 3 3x
x x dx x x dx x dx
1
3/ 22
0
14
0
11 4 2 15
15
x x dx
x dx
1 1 1
3/ 2 3/ 22 3 2 4
0 0 0
2 2 21 1
3 3 3x
x x dx x x dx x dx
13/ 22
0
14
0
11 4 2 15
15
2 1 2 1 8 44 2 1 2
3 5 3 5 15 15
x x dx
x dx
2
2
1 1 1 12 2 2
0 0 0 0
0,1 0,1 ,
8 42 0.4915 15
R
R
R f x y z x x y
x x ydxdy x x ydydx
x
dx x x
x ydxd
y
y
dy
2
Encontrar el volumen del sólido acotado por
la superficie y los planos 0,1, 0, 1, y 0.
z x x y xx y y z
2
8 42 0.4915 15
R
x x ydxdy
2, :x y D R R
,k k
kA
X
Y
2
10
, :
, lim ,
El límite existe si , es continua
en
k
n
k k kn kA
x y
x y dA A
x y
D
D R R
D
2, :x y D R R
X
Y
X
Y
1y f x
a b
X
Y
1y f x
a b
2y f x
X
Y
1y f x
a b
2y f x
x
1 2:y f x f x
2
1
2
1
2, :
, ,
,
b f x
a f x
b f x
a f x
x y
x y dxdy x y dydx
x y dy dx
D
D R R
2 2
2 2
Encontrar el volumen del sólidoque queda abajo del paraboloide
y arriba de la región acotada por
y .
z x y
y x x y
2y x
2y x
2y x
2x y
2
12 2 2 2
0
x
x
x y dA dx dy x y D
2 2
2 2
Encontrar el volumen del sólidoque queda abajo del paraboloide
y arriba de la región acotada por
y .
z x y
y x x y
2
12 2
0
2 2x
x
dy xx y dA dx y D
2 2 2 2 2 2
32
32
2 2
3
3
x y dy x dy y dy x dy y dy
yx y
yx y dy x y
2
12 2
0
2 2x
x
dy xx y dA dx y D
22
32 2
32 2
2
3 322 2 2
3/ 25/ 2
2
64
3 3
3
3 3
3xx
xx
yx y dy x y
x
yx y dy x
x xx x
x
y
x x x x
1 3/ 2 6
2 2 5/ 2 4
0 3 3x xx y dA x x dx
D
7/ 2 5/ 2 5
3/ 2 65/ 2 4
3/2 65/ 2 4
5/ 2 3/ 2 4 6
72 1 2 1 1 17 3
3 3
5 5 3
3 31 1
3
7
3
x xx x dx
x xx dx dx x dx dx
x dx x dx x dx x
x x x
d
x
x
1 3/ 2 6
2 2 5/ 2 4
0 3 3x xx y dA x x dx
D
1 3/ 2 65/ 2 4
0
17/ 2 5/ 2 5 7
0
3 3
2 1 2 1 1 17 3 5 5 3 7
2 2 1 1 30 14 21 5 187 15 5 21 105 105
635
x xx x dx
x x x x
2 2 635
x y dA D
2, :x y D R R
X
Y
X
Y 1g y
2g y
c
dy
2
1
2
1
2, :
, ,
,
d g y
c g yD
d g y
c g y
x y D R R
x y dxdy x y dxdy
x y dx dy
2
10
, :
, lim ,
El límite existe si , es continua
en
k
n
k k kn kA
x y
x y dA A
x y
D
D R R
D
Círculo
dxdy
R
2 2
2 2
Círculo
La integral múltiple se calculamediante una integral iterada:
R R x
R R xdxdy dy dx
2
2
2 2
2
2 2
2
Círculo
2 22
R xR
R
R x
R x
R xdxdy dx
dy x
y
R
d
2 2
2 2
2 2
2 2
Círculo
2 2
Cír
2 2
culo
2
2
R x
R x
R x
R x
R
R
R
R
dxdy dx
d
dy
xdy R x dx
dy R x
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Cír
Cír
cul
2 2
c o
o
ul
2
2
R x
R x
R x
R x
R
R
R
Rdxdy
dd y
d
R x d
y R
x
xdy dx
x
2 2R
RR x dx
2 2 2 2
0
2 2 2 2
0
/ 2 2 2 2
0
2 2
2
Cambio de variable: sinTenemos: cosSi 0, tenemos sin 0, o sea =0Si , tenemos sin 1, o sea = /2
2
2 sin cos
2 1 sin c
R R
R
R R
R
R x dx R x dx
x Rdx R d
xx R
R x dx R x dx
R R R d
R
/ 2 / 22 2
0 0os 2 cosd R d
2cos d
2
2 2
2 2
2
2
sin coscos cos cos sin sin
cos sin sin cos sin 1 cos
cos sin cos cos sin cos
2 cos cos sin
cos sincos2
d dd d dd dd d
d d d
d
d
/ 2 2
0cos d
2
/ 2 2
0
/ 2 2
0
cos sincos2
cos / 2 sin / 2 / 2 cos 0 sin 0cos
2 2
cos4
d
d
d
2 2R
RR x dx
/ 22 2 2 2
0
/ 2 2
0
2 2 2
2 cos
cos4
24
R
R
R
R
R x dx R d
d
R x dx R
2 2
2 2
2 2
2 2
Círculo
2 2
2 2
Círculo
2
Círcu
2
l
22
o
2
2
2
R R x
R R x
R x
R x
R
R
R
R
dxdy dy dx
dy R
d
x
dxdy R x dx
R
x y
x x
d R
R d
R
2
Círculo
dxdy R
1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales
Una función :
es par sif
f x f x
D R R
Una función : es par si f f x f x D R R
f x co s x
4 2 2 4
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
f x e x 2
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1 .0
4 x 2
2 1 1 2
5
1 0
1 5 x 6
1 0 0 1 0 x 4 1 0 x 2
1
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0
3
2
1
1
2
Una función :
es impar sif
f x f x
D R R
Una función : es impar si f f x f x D R R
x 3
2 1 1 2
5
5 x 5 x 3
1 .5 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0 1 .5
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
sin x
4 2 2 4
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
tan x
3 2 1 1 2 3
6
4
2
2
4
6
0
Si :
es una función par
2
f
a a
a
f
f x dx f x dx
D R R
0
2a a
a
f x dx f x dx
f x co s x
4 2 2 4
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
f x e x 2
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1 .0
4 x 2
2 1 1 2
5
1 0
1 5 x 6
1 0 0 1 0 x 4 1 0 x 2
1
1 .0 0 .5 0 .5 1 .0
3
2
1
1
2
Si :
es una función impar
0
f
a
a
f
f x dx
D R R
x 3
2 1 1 2
5
5 x 5 x 3
1 .5 1 .0 0 .5 0 .5 1 .0 1 .5
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
sin x
4 2 2 4
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
tan x
3 2 1 1 2 3
6
4
2
2
4
6
0a
a
f x dx
Si : y :
entoncesf gf g
dg x df xd f x g x f x g xdx dx dx
D R R D R R
dg x df xd f x g x dx f x g x dxdx dx dx
dg x df xf x g x f x dx g x dx
dx dx
dg x df xd f x g x f x g xdx dx dx
dg x df xf x dx f x g x g x dx
dx dx
4. Integrales múltiples4.1 Integrales dobles sobre rectángulos
4.2 Integrales iteradas
4.3 Integrales dobles sobre regiones arbitrarias
4.4 Integrales dobles en coordenadas polares
4.5 Integrales triples
4.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas
4.7 Integrales triples en coordenadas esféricas
4.8 Cambio de variables en las integrales múltiples
, ,
x uy v
x f u v y g u v
cos 0sin 0 2
xy
x
y
Círculo
dxdyR
2 2 2 2
0 0 2
R x R R x y R x
R
, ,
x uy v
x f u v y g u v
´
,
,
,, , , ,
,
donde
,y
,
D D
T x f u vx uy g u vy v
x yx y dxdy f u v g u v dudv
u v
x xTx y u v D D
y yu vu v
2 2
, cos
, sin
Determinante jacobiano:
cos sin,sin cos,
cos sin
T x fxy gy
x xx y
y y
2 2 2 2
, cos
, sin
Modificación del círculo:
, ,
´ , 0 ,0 2
T x fxy gy
D x y R x R R x y R x
D R
Círculo
dxdyR
0 0 2R
2
0 0Círculo
Rdxdy d d
2
00Círcul
2
o
2
002
Rdx dd
d
y d
2
0 0Círculo
2
0
2
0Círculo 0
2
2 22
R
RR
dxdy d d
d
dxdy d
2
0 0
2
Círculo
0
2 2
0
2
2 22 2
R
R
R
dxdy d d
d
R R
,
,
Jacobian
¿Qué es lo que representa fisicamente el jacobian
o:
,
o?
,
T x f u vx uy g u vy v
x xx y u v
y yu vu v
2, :x y D R R
X
Y
,
,
T x f u vx uy g u vy v
T
´
,
,
, , , ,
donde
,y
,
,
,
D D
T x f u vx uy g u vy v
x yx y
dxdy dudvu v
f u v g u v
x xTx y u v D D
y yu vu v
3, , :x y z D R R
kx
ky
kz
, ,k k k
k k k kV x y z
3
10
, , :
, , lim , ,
El límite existe si , , es continua en .
k
n
k k k kn kV V
x y z
x y z dV V
x y z V
D R R
2 2
1 1
3
,
,
, , :
, ,
, ,
V
b g x f x y
x a y g x z f x y
x y z
x y z dxdydz
x y z dz dy dx
D R R
3: , , 1
, , 0 ,0 ,0
V V
x y z
V x y z x a y b z c
dV dxdydz
R R
0 0 0
Es el volumen del cubo
a b c
V
dV dx dy dz a b c
3 2: , , 2 3 2
, , 0 2, 1 1,0 1
, ,V V
x y z x y z
V x y z x y z
dV x y z dxdydz
R R
2 1 1
2
0 1 0
, , 2 3 2V
x y z dxdydz dx dy x y z dz
3 2: , , 2 3 2
, , 0 2, 1 1,0 1
x y z x y z
V x y z x y z
R R
22 1
0 1
1
0
2 3 2, ,V
x yx y z dxd zy dx y dzdz d
2 2
2 2 2
2 2 212 3
2 3 2 2 3 2
12 3 2 2 3 2
2 2 3 22
2
x y z dz x dz ydz zdz dz
x dz y dz zd
x
z dz x z y
y z dz x
z z
z yz z z
z
22 1
0 1
1
0
2 3 2, ,V
x yx y z dxd zy dx y dzdz d
2 2 2
12 2
112 2 2
00
2 22 2
2
0
12 3 2 2 3 2
32 3 2 2 3
2
1 12 1 3 1 1 2 1 2 0 3 0 0 2 02 2
12 3 2
12 3 2 2 3 22
2
2
x y z dz x z yz z z
x y x
x y z
y
x y z dz x z yz
dz
z z
y
x
x
y
1
2
1
2
0
, , 32 32V
x y z dxdydz dx x y dy
2
2
2
2
2
2
2 2
3 32 3 2 32 2
3
3 3
3 32 3 22
32 3 22 2
2 2
2
x y dy x dy ydy dy
x d
x y dy x
y ydy dy x y y
y y
y
y
1
2
1
2
0
, , 32 32V
x y z dxdydz dx x y dy
112 2 2
11
2
2 2 2
22
1
2
2
2 2
2
1
3 3 32 3 22 2 2
3 3 3 32 1 1 1 2 1 1 12 2 2 2
3 3 3 32
3 3 32 3 22 2 2
32 3
22
4
2 2
3
2
4
x y dy x y y y
x
x y
x
x
dy x y y
y
x
x dy x
y
2
2
0
4 3, ,V
x y z dxdydz x dx
2 2 2
2
3
33 42 34 3
4 3 4 3 4 3
14 33
x dx x dx dx x dx
x dx
dx
x
x x
x
2
2
0
4 3, ,V
x y z dxdydz x dx
222 3
0
3
3
3
2
0
44 3 33
4 42 3 2 0 3 03 34 32 148 6 63
3 42 34
3
3
3
x dx x x
x dx x x
3 2: , , 2 3 2
, , 0 2, 1 1, 1
14, ,3
0
V V
dV x y z dxd
x y z x y z
V x y z x y z
ydz
R R
2, , 45
Volumen limitado por los planos 4 2 8, 0, 0, 0
x y z x y
V x y z x y z
2, , 45
Volumen limitado por los planos 4 2 8, 0, 0, 0
, , 0 2,0 4 2 ,0 8 4 2
, ,V
x y z x y
V x y z x y z
V x y z x y x z x y
x y z dxdydz
2
8 4 22 4 22
0 0 0
, , 45
Volumen limitado por los planos 4 2 8, 0, 0, 0
, , 0 2,0 4 2 ,0 8 4 2
, , 45x yx
V
x y z x y
V x y z x y z
V x y z x y x z x y
x y z dxdydz dx dy x ydz
8 4 22 4 2
2
0 0 0
, , 45x yx
V
x y z dxdydz x dx ydy dz
8 4 22 4 2
2
0 0 0
, , 45x yx
V
x y z dxdydz dx dy x ydz
2 4 2
22
00 0
8 4
, , 45x
V
x y
x y z dxdydz x dx y y zd d
8 4 2
0
8 4 2x y
dz x y
42
22
0 0
, , 45 8 4 2V
x
x y z dxdydz x d x yx y yd
2
3
2
2 3
2 28 4 2 4
8 4 2 8 4 2 8 4 2
1 24
2
82 3
3
x y ydy y xy y dy x ydy y dy
x y yd
x y
y x y
y
y
4 24 22 3
00
2
2
3 2 3
4 23
3
0
3 3
28 4 2 4 23
2 24 2 4 2 4 2 4 2 0 03 3
24
28 4
18 4 2 4 23
2
4 23
4 23
2
x
x
x
x y ydy x y y
x x
x y ydy
x y ydy x y y
x
x
x
x x
42
22
0 0
, , 45 8 4 2V
x
x y z dxdydz x d x yx y yd
2
3 2
0
, 4 2, 15V
x y z dx x x ddydz x
3 2
3 2 2 3 2
2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5 6
3 4 5 6
4 2 64 96 48 8
64 96 48 8
64 96 48 8
64 96 48 83 4 5
64 48 44 2 23 3
6
45
x x dx x x x x dx
x x x x dx
x dx x dx x dx x d
x x dx x
x
x x x
x x
x
x
223 2 3 4 5 6
00
3 4 5 6 3 4 5
2
6
3 2
0
64 48 44 2 243 5 3
64 48 4 64 48 42 24 2 2 2 0 24 0 0 03 5 3 3 5 3
64 48 4 1288 24 16 32 643 5 3
1284 215
15
x x dx
x x d
x x x x
x
2
3 2
0
, 4 2, 15V
x y z dx x x ddydz x
2, , 45
Volumen limitado por los planos 4 2 8, 0, 0, 0
, , 0 2,0 4 2 ,0 8 4 2
, , 128V
x y z x y
V x y z x y z
V x y z x y x z x y
x y z dxdydz
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) , ,V x y z R x R R x y R x R x y z R x z R
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 0 0 0
8R x y R x yR R x R R x
R R x R x y
dx dy dz dx dy dz
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( , , ) , ,
8R x y R x yR R x R R x
R R x R x y
V x y z R x R R x y R x R x y z R x z
dx dy dz dx dy dz
R
2 2 2
2 2 2
0
R x y
dz R x y
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2
0
( , , ) , ,
8R x y R x yR R x R R x
R R x R x y
R x y
V x y z R x R R x y R x R x y z R x z
dx dy dz dx dy dz
dz R x y
R
2 2
2 2 2
0
R x
R x y dy
2 2 2 2 2I R x y dy a y dy 2 2
2
2 2
sincos
1 sin cos
cos
I a y dy
y ady a d
I a a d
a d
2
2
2 2
2
sincos cos
coscos sin sin
cos sin sin
cos sin 1 cos cos sin cos
sin coscos2
dd dd
d dd
d
d d
d
2cos d
2 2
2
2
22
22 2
cos
sin cos2
sin arcsin
arcsin 1
21arcsin
2 2
I a d
I a
yy aa
y y ya a aI a
a yI y a ya
2 2 2 2 2I R x y dy a y dy
2 2
2 2 2
0
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2
( ) 1arcsin2 2
R x
R x y dy
R x yR x y dy y R x yR x
2 2
2 2
0
2 22 1 ( )4
R x
R x y R xdy
2 2 22 2
2 2
32 2
0
0 0
3
1 ( )4
1 ( )4 6
43
R x yR x
R
R x
RR
dy dz
x
R
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( , , ) , ,
8R x y R x yR R x R R x
R R x R x y
V x y z R x R R x y R x R x y z R x z
dx dy dz dx dy dz
R
, , , , , ,
x uy vz w
x f u v w y g u v w z h u v w
cos 0sin 0 2
xyz z z
cos sin
0 0 2
xyz z
x y z z
z
r
sin cos sin sin cos
0 0 0 2
x ryz
x r y r z r
r
, , , , ´
, ,
, ,, , , ,
, ,D D
x u x f u v wT Ty v y g u v w D D
z w z h u v w
x y zx y z dxdydz u v w dudvdw
u v w
, ,, , , ,
, ,
, ,, ,
, , , , , , , , , ,
D D
x y zx y z dxdydz u v w dudvdw
u v w
x x xu v w
x y z y y yu v w u v w
z z zu v w
u v w f u v w g u v w h u v w
TD D
cos sin0 0 2
cos sin 0sin cos 0
0 0 1
xyz z
x y z zz
x x xz
y y yz
z z zz
2 2 2
sin cos 0sin sin 0cos 0 2
sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos
cos sin 0
cos sin cos cos sin c
x r x r ry y rz z r
x x xr r ry y y r rr
rz z zr
r r
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 3 2 2 2 2
os sin sin sin cos sin sin
cos sin cos cos sin sin sin cos sin
cos sin cos sin sin
sin cos sin sin cos sin sin
r r r
r r r
r r r
r r r r
2
sin cos 0sin sin 0cos 0 2
sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos sin
cos sin 0
x r x r ry y rz z r
x x xr r ry y y r r rr
rz z zr
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) , ,V x y z R x R R x y R x R x y z R x z R
3( , , ) 0 ,0 ,0 2V R R
22 2
0 0 0 0 0
2 3
0
sin 2 sin
443
R R
R
d d d d d
d R
R
h
R
h
3 2 2 2 2, , , ,0V x y z R R x R R x y R x z h
2 2
2 2 0
R R x h
R R xcilindro
dxdydz dx dy dz
2 2
2 2
2 2
2 2
0
R R x
R R xcilindro
R R
h
x
R R x
dxdydz dx dy
dx dy
dz
h
2 2
2
2 2
2
2
2
2
0
22
R R x
R R xcilindro
R
R
R
R
x
R
h
R
xdy
dxdydz dx dy
d
dz
h
h R dxx
x
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
arcsin2 2
arcsin2 2
arcsin2 2 2
R
R
R
R
R x dx
x R x R xR
R R R R RR
R R R R R RR
2 2
2 2
2 2
2 2
0
2 2
2 2 2
22
2
2 arcsin2 2
22
R R x h
R R xcilindro
R R x
R R x
R
R
R
R
dxdydz dx dy dz
h dx dy
h R x dx
x R x R xhR
Rh R h
2
cilindro
dxdydz R h
, , , , ´
, ,
, ,, , , ,
, ,V V
x u x f u v wT Ty v y g u v w V V
z w z h u v w
x y zx y z dxdydz u v w dudvdw
u v w
, ,, , , ,
, ,
, ,, ,
, , , , , , , , , ,
V V
x y zx y z dxdydz u v w dudvdw
u v w
x x xu v w
x y z y y yu v w u v w
z z zu v w
u v w f u v w g u v w h u v w
TV V
R
h
3, , 0 ,0 2 ,0V z R R z h
cos 0sin 0 2
x xy yz z z z z
cos 0sin 0 2
cos sin 0sin cos 0
0 0 1
x xy yz z z z z
x x xz
y y yz
z z zz
2
0 0 0cilindro
R hdxdydz d d dz
2
0 0 0cilindro
0
0
2
2
2
2
122
R h
R
R
dxdydz d d dz
d h
h d
h R
R h
3
2 2 2
:
, ,x y z x y z
R R
2 2 2
2 2
, ,
Volumen encerrado por 3 y
V V
x y z dxdydz x y z dxdydz
z z x y
3 2 2 2 2
3
, , 3 3, ,0 3
, , 0 ,0 2 ,0 3
V x y z R x z x y z x z
V z R z z
2 2 2 2 2
V V
x y z dxdydz z d d dz
2 2 2
2 2
3 2 2 2
0 0 0
V
V
z
x y z dxdydz
z d d dz
z d d dz
3 2 2 2
0 0 0
3 2 2 2
0 0 0
z
z
z d d dz
d z d dz
2
0
3 2 2 2
0 0 0
3 2 2
0 0
Como 2 tenemos
2
z
z
d
z d d dz
z d dz
3 2 2 2
0 0 0
3 2 2 2
0 0 0
z
z
z d d dz
d z d dz
22
2
2 2
0
2
2
3 / 22 2 2 2
0 00
33 / 2 3 / 22 2 2
0
2
0 0
1 1 22 2 3
1 1 2 2 13 3 3
z
zz z
z
z d
u du d
u u z z
z d u z du u z
zz z z
3 2 32 2 2 2
0 0 0 0 02
z zz d d dz z d dz
3 2 32 2 3
0 0 0 0
2 2 2 1
3z
z d d dz z dz
34 4 43 3
00
3 0 814 4 4 4zz dz
3 2 2 2
0 0 0
3 2 2 2
0 0 0
3 2 2
0 0
3 3
0
2
2 2 2 1
32 2 2 1 81 27 2 2 1
3 4 2
z
z
z
z d d dz
d z d dz
z d dz
z dz
2 2 2
3 2 2 2 2
27 2 2 12
, , 3 3, ,0 3
V
x y z dxdydz
V x y z R x z x y z x z
3 3:
, , , , , , , , , ,x y z
F U
x y z F x y z F x y z F x y z
R R
3
Todas y cada una de las componentesde un campo vectorial es un campoescalar; es decir, una función de
R R.
3 3:
, , , , , , , , , ,x y z
F U
x y z F x y z F x y z F x y z
R R
, , , , , , , , , ,x y zV V V V
F x y z dxdydz F x y z dxdydz F x y z dxdydz F x y z dxdydz
2
2
, , 2 , ,
Volumen limitado por 0, 0, 6, 4,
F x y z xz x y
V x y y z z x
2Volumen limitado por 0, 0, 6, 4,V x y y z z x
2
2
, , 2 , ,
Volumen limitado por 0, 0, 6, 4,
F x y z xz x y
V x y y z z x
2
2
2
6 2 4
0 0
6 2 4
0 0
6 2 4 2
0 0
2 128
24
384
x
x
x
xzdzdxdy
xdzdxdy
y dzdxdy
2
2
, , 2 , ,
Volumen limitado por 0, 0, 6, 4,
F x y z xz x y
V x y y z z x
22 , , = 128, 24,384V
xz x y dxdydz
2 2
22
2
6 2 4 6 2 4
0 0 0 0
42 44
22 24 5 62
0 0 0
6 2 4
0 0
2 2
82 2
16 32(8 ) (8 ) 4 162 2 12 3 3
322 2 6 1283
x x
xx
x
xzdzdxdy dy xdx zdz
z xzdz
x x xx dx x dx x
xzdzdxdy
2 2
2
2
6 2 4 6 2 4
0 0 0 0
4 2
22 2 42 3 2
0 0 0
6
0
6 2 4
0 0
4
4 4 2 8 4 44
6
6 4 24
x x
x
x
I xdzdxdy dy xdx dz
dz x
xx x dx x x dx x
dy
I xdzdxdy
2 2
2
2
6 2 4 6 2 42 2
0 0 0 0
4 2
22 32
0 0
66 32
0 0
6 2 4 2
0 0
4
8 164 4 83 3 3
723
1672 3843
x x
x
x
y dzdxdy y dy dx dz
dz x
xx dx x
yy dy
y dzdxdy
2 2 2
2
6
za
z a
2 2 22
6z aa
z
42 2
2
4 2 2 2
2 2 2 2
6
6 0
( 3 )( 2 ) 0
2
aaa a
a a
a
22 2{0 2 ,0 2 , 6 }V a z a
a
2 2
2
62 23 5
0 0
8 (18 6 41)15
aa
a
dzd d a
2 2
2
6 22 2
2
0
2 23 2 2
0
6
2
( 6 )
a
a
a
dz aa
d
a da
2 2 2 2
2 2
6 62 2 2 23 3
0 0 0 0
a aa a
a a
dzd d d d dz
2 2 223 2 2 3 2 2 5
0 0 0
1( 6 ) 6a a a
a d a d da a
3 2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 1/2 3/2
2 5/23/2 5/2 2 3/2
2 5/2 2 2 5/22 2 3/2 2 2 2 3/2
16 6 22
21 626
1 16 62 2
1 6 1 22 3 / 2 5 / 2 5
(6 ) (6 )2 (6 ) 2 (6 )5 5
I a d a d
u du d
I u a udu
a u d du
I a d a d
a a
a u aa a u a a
2 2 2
2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 26 4 1(6 ) 2 (6 ) (6 ) 45 5 5 5
aa a a a a a
23 2 2 5
0
246 ( 6 2)5
a
a d a
2 2 223 2 2 3 2 2 5
0 0 0
1( 6 ) 6a a a
a d a d da a
3 2 2 2 2 3/2 2 216 (6 ) 45
a d a a
2 2 223 2 2 3 2 2 5
0 0 0
1( 6 ) 6a a a
a d a d da a
2 65
0
43
a ad
2 2
2
62 23 5
0 0
8 (18 6 41)15
aa
a
dzd d a
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