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CALCULO VECTORIAL
JERROLD E. MARSDEN CORNELL UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF
CALIFORNIA, BERKELEY
ANTHONY J. TROMBA UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA CRUZ
Versin en espaol de Manuel Lpez Mateos
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A u t n o m a d e
Mxico
Con la colaboracin de Sergio Adarve D.
U n i v e r s i d a d d e los Andes Bogot, Colombia
A vv ADDISON-WESLEY IBEROAMEKICAP L
Argentina 0 Brasil o Chile o Colombia o Ecuador o Ejpaa Estados
Unidos 0 Mxico o Per 0 Puerto Rico o Venezuela
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Versin en espaiol de l a obra titulada Vector calculus, Third
edition, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba, publicada
originalmente en ingls por W. H. Freeman and Company, Nueva York @
1976, 1981 y 1988 por W. H. Freeman and Company
Esta edicin en espaol es la nica autorizada.
@ 1991 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Wilmington,
Delaware, E.U.A.
Impreso en los Estados Unidos de Amrica. Printed in U.S.A.
ISBN 0-201-62935-6
6 7 X 9 10 11 12 13 14-CRS-00 99 9X 97 96
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L a poltica es para el momento. Una ecuacin es para la
eternidad.
A. EINSTEIN
Algunos trucos de. clculo son bastante fciles, otros son muy
difciles. Los tontos que escriben los libros de matemticas
avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cun fciles
son los clculos fciles.
SILVANUS P. THOMPSON Calculus Made Easy, Macmillan (1910)
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NDICE GENERAL
PREFACIO ix
1 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1 ~~
1.1 Vectores en el espacio tridimensional 1 1.2 El producto
interno 2 1 1.3 El producto cruz 30 1.4 Coordenadas esfricas y
cilndricas 47 1.5 Espacio euclidiano n-dimensional 57
Ejercicios de repaso del captulo 1 68
2 DIFERENCIACI~N 75
2.1 Geometra de las funciones con valores reales 76 2.2 Limites
y continuidad 95 2.3 Diferenciacin 118 2.4 Propiedades de la
derivada 13 1 2.5 Gradientes y derivadas direccionales 145 2.6
Derivadas parciales iteradas 157
*2.7 Algunos teoremas tcnicos de diferenciacin 168 Ejercicios de
repaso del capltulo 2 180
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vi iNDlCE GENERAL
3 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES 189
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Trayectorias y velocidad 189 Longitud de arco 201 Campos
vectoriales 2 1 1 Divergencia y rotacional de un campo
vectorial
Clculo diferencial vectorial 23 1 Ejercicios de repaso del
capltulo 3 238
220
4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MXIMOS Y MNIMOS 241
4.1 4.2 4.3
*4.4 4.5
Teorema de Taylor 242 Extremos de funciones con valores reales
248 Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange Teorema de
la funcin implcita 280 Algunas aplicaciones 291 Ejercicios de
repaso del captulo 4 298
265
~~ ~ ~
5 INTEGRALES DOBLES 303 ~~
5.1 5.2 5.3 5.4
*5.5
Introduccin 303 Integral doble sobre un rectngulo 314 Integral
doble sobre regiones ms generales 329 Cambio en el orden de
integracin 336 Algunos teoremas tcnicos de integracin 342
Ejercicios de repaso del capitulo 5 352
6 INTEGRAL TRIPLE, FRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES
355
6.1 Integral triple 355 6.2 Geometra de las funciones de R2 a R2
364 6.3 Teorema del cgmbio de variables 371 6.4 Aplicaciones de las
integrales dobles y triples 389
*6.5 Integrales impropias 401 Ejercicios de repaso del captulo 6
408
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iNDlCE GENERAL Vii
7 INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES 413
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5 7.6
La integral de trayectoria 414 Integrales de lnea 419
Superficies parametrizadas 440 rea de una superficie 449 Integrales
de funciones escalares sobre superficies 463 Integrales de
superficie de funciones vectoriales 472 Ejercicios de repaso del
captulo 7 486
8 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANLISIS VECTORIAL 490
8.1 Teorema de Green 490 8.2 Teorema de Stokes 504 8.3 Campos
conservativos 517 8.4 Teorema de Gauss 528
*8.5 Aplicaciones a la flsica y ecuaciones diferenciales 544
*8.6 Formas diferenciales 566
Ejercicios de repaso del captulo 8 582
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON N U M E R A C I ~ N IMPAR
585
TABLAS 647
NDICE DE MATERIAS 655
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PREFACIO
Este texto se ide para un curso de un semestre de clculo de
funciones de varias variables y anlisis vectorial, en el nivel de
segundo ao de universidad. En ciertas ocasiones el curso es
precedido por un curso introductorio de lgebra lineal, pero esto no
es un requisito esencial. Slo se requieren de los rudimientos ms
simples del lgebra matricial, y los conceptos necesarios son
presentados en el libro. Sin embargo, suponemos que se conocen los
principios.de1 clculo de una variable -diferenciacin e integracin
de las funciones comunes.
En el libro se incluye la mayor parte de la teora bsica, as como
muchos ejemplos concretos y problemas. La experiencia docente en
este nivel indica que es deseable omitir la mayora de las
demostraciones tcnicas; son difciles para los principiantes y se
incluyen ms bien como referencia o lectura suplementaria. En
particular, algunas de las demostraciones tcnicas de los teoremas
en los captulos 2 y 5 se presentan en las secciones optativas 2.7 y
5.5. La seccin 2.2 sobre lmites y continuidad ha sido diseada para
estudiarse superficialmente y es deliberadamente breve. Se han
omitido temas tericos ms sofisticados, como compacidad y
demostraciones delicadas de teora de integracin, pues en general
pertenecen a cursos ms avanzados, y son mejor explicados en
stos.
En este nivel es importante tener habilidad para calcular y
comprensin in- tuitiva; hemos procurado satisfacer esta necesidad
haciendo el libro tan concreto y orientado al estudiante como nos
fue posible. Por ejemplo, aunque hemos for- mulado correctamente la
definicin de derivada, lo hicimos usando matrices de derivadas
parciales en lugar de transformaciones lineales. Este recurso por s
solo puede ahorrar una o dos semanas de lecciones y evitar dolores
de cabeza a los estudiantes cuyos conocimientos de lgebra lineal no
estn en su mejor forma. Adems incluimos un gran nmero de
ilustraciones fsicas. En particular, hemos incluido ejemplos de
reas de la fsica como mecnica de fluidos, gravitacin y teora
electromagntica, y tambin de economa, aunque no se supone un cono-
cimiento previo de dichos temas.
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x PREFACIO
Una caracterstica especial del libro es la pronta introduccin de
campos vec- toriales, divergencia y rotacional en el captulo 3,
antes de integracin. En un curso de este tipo el anlisis vectorial
se resiente; el presente arreglo fue diseado para compensar esta
tendencia. Avanzando en esta direccin, podra considerarse exponer
el captulo 4 (teorema de Taylor, mximos y mnimos, multiplicadores
de Lagrange) despus del captulo 8 (anlisis vectorial).
Esta tercera edicin conserva el balance entre teora,
aplicaciones, material optativo y notas histricas presente en la
segunda edicin. Los cambios en esta tercera edicin son los
siguientes: Fred Soon y Karen Pao han revisado los ejer- cicios y
han publicado una Gua de estudio (S tudy Guide). Esta gu a cont
iene soluciones completas a ejercicios seleccionados del libro (los
nmeros o letras de estos ejercicios han sido encuadrados para su
fcil identificacin) as como sugerencias para estudio y ejemplos de
exmenes.
Los ejercicios se han colocado en una progresin ms adecuada, de
acuerdo con su nivel de dificultad y cubren una mayor amplitud de
temas. Los teore- mas tcnicos optativos sobre diferenciacin y los
teoremas sobre integracin se han cambiado de los apndices a los
captulos 2 y 5, y estn impresos en t ipo ms pequeo. El largo
captulo sobre teora de integracin ha sido dividido en dos aadindose
una nueva seccin sobre aplicaciones de integrales mltiples. Se ha
incluido material adicional sobre coordenadas cil ndricas y
esfricas y se ha simplificado la seccin sobre el significado
geomtrico de l a divergencia y el rotacional . A lo largo del libro
se han hecho otros cambios y correcciones que mejoran l a
exposicin. Muchos de &tos han sido sugeridos por lectores de la
segunda edicin y estamos en deuda con todos ellos por haber
mejorado el l ibro para beneficio del estudiante.
REQUISITOS PREVIOS Y NOTACIN
Suponemos que los alumnos han estudiado clculo de funciones de
una varia- ble real, incluida l a geometra analtica en el plano.
Algunos estudiantes quiz tambin hayan estudiado matrices, aunque lo
que vamos a necesitar se presenta en las secciones 1.3 y 1.5.
Tambin suponemos que los alumnas estn familiarizados con
funciones del clculo elemental, como sena:, cos a:, e" y logz (escr
ibimos logz para el loga- r i tmo na tura l , que a veces se denota
por In 2 o log, z). Se espera que los alumnos conozcan, o repasen
conforme transcurre el curso, las reglas bsicas de diferen- ciacin
e integracin para funciones de una variable, como l a regla de la
cadena, la regla del cociente, integracin por partes y dems.
Ahora resumiremos las notaciones que se van a usar, a veces sin
mencin explcita. Los alumnos pueden leerlas rpidamente y despus
recurrir a ellas, si fuese necesario.
La coleccin de los nmeros reales se denota por R. As, R incluye
los enteros, . . . , -3, -2, -1, O , I , 2, 3, . . . ; los nmeros
racionales p / q , donde p y q son
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PREFACIO Xi
Figura 0.1 Representacin geomtrica de puntos sobre la recta
numrica real.
enteros (q # O); y los nmeros irracionales, como a, T y e. Los
elementos de R se pueden visualizar como puntos sobre la recta
numrica real, segn se muestra en la figura 0.1.
Cuando escribimos a E R queremos decir que a es un elemento del
conjunto R; en otras palabras, que a es un nmero real. Dados dos
nmeros reales a y b con a < b (esto es, con a menor que b),
podemos formar el intervalo cerrado [a,b] formado por todos los z
tales que a 5 z 5 6 , y el intervalo abierto ( a , b ) formado por
todos los 2 tales que a < x < 6. De manera anloga, podemos
formar intervalos semiabiertos ( a , b] y [a, b ) (figura 0.2).
Figura 0.2 Representacin geomtrica de los intervalos [a, b ] ,
(c, d) y [ e , f],
El valor absoluto de un nmero a E R se escribe la1 y se define
como
Por ejemplo, 131 = 3, 1-31 = 3 , 101 = 0 y 1-61 = 6. La
desigualdad la+b1 5 lal+lbl siempre se cumple. La distancia de a a
b est dada por la - bl. As, la distancia de 6 a 10 es 4 y de -6 a 3
es 9.
Si escribimos A c R, queremos decir que A es un subconjunto de
R. Por ejem- plo, A podra ser igual al conjunto de los enteros {. .
. , -3, -2, -1, O , 1 , 2 , 3 , . . .}. Otro ejemplo de subconjunto
de R es el conjunto Q de nmeros racionales. En general, para dos
colecciones de objetos (esto es, conjuntos) A y B , A c B sig-
nifica que A es un subconjunto de B ; esto es, todo elemento de A
tambin es un elemento de B.
El smbolo A U B significa la unin de A y B , la coleccin cuyos
elementos son elementos de A o B . As
{. . . , -3, -2, - 1 , O ) u { - l , O , 1 , 2 , . . .} = {. . .
, - 3 , -2, - l , O , 1 , 2 , . . .}.
De manera anloga, AflB significa la interseccin de A y B ; esto
es, este conjunto est formado por aquellos elementos de A y B que
estn tanto en A como en B . As, la interseccin de los dos conjuntos
anteriores es {-1, O}.
Escribiremos A \ B para denotar los elementos de A que no estn
en B . As, {. . . , -3, -2, -1, O} \ {-1, o, 1 , 2 , . . .} = {. .
I , -3, -2)
-
x i PREFACIO
Tan1bii.n podemos especificar conjuntos como en los ejemplos
siguientes:
{ u E RI a es un entero} = { . . . , - 3 , -2, -1. O , 1 , 2 , .
. .} { a E R.1 u es u n entero par} = { . . . , -2, O , 2 , 4 , . .
.)
{ X E R.la 5 T 5 b } = [u, b ] . Una funcin f : ,4 - B es una
regla que asigna a cada a E A un elemento especfico f ( a ) de B.
E1 hecho de que la funcin f mande a a f ( a ) se denota
simblicamente por a H f ( a ) . Por ejemplo f ( z ) = x3/(l - x)
asigna el nmero z3/( 1 - x) a cada z # 1 en R. Podemos especificar
una funcin f dando la regla para f(z). As, l a funcin f arlt,erior
se puede definir por la regla 2 H z3/( 1 -x).
Si A c R, f: A c R + R significa que f asigna un valor en R., f
( x ) , a cada x E A. El conjunto il se llama dominio de f , y
decimos que f tiene contradominio R, pues es ah donde se tornan los
valores de f . La grfica de f consiste de los punt,os (x1 f(2)) en
el plano (figura 0.3). Generalmente una asociacin (= funcin =
transformacin = asociacin) f : A - B, donde il y B son conjuntos,
es una regla que asigna a cada z E A un punto especfico f (z ) E
B.
\ O - - x
.I = dorrtinio
Figura 0.3 Grfica de una funcin con el intervalo semiabierto A
como dominio.
La notacin Cy=l ui significa a l + . . . + a, donde a l , . . .
~ a, son nmeros dados. La suma de los primeros 7 1 enteros cs
,=I
La derivada de una funcin f(z) se denota por f(z) o
!.f dx
-
PREFACIO xiii
y la integral indefinida se escribe
Jab f (x) dx. Si hacemos y = f ( x ) , la derivada tambin se
denota por
- dY d x '
Se supone que los lectores conocen la regla de la cadena, la
integracin por partes y otras reglas que gobiernan al clculo de
funciones de una variable. En particular, debern saber cmo
diferenciar e integrar funciones exponenciales, logaritmicas y
trigonomtricas. AI final del libro hay una breve tabla de derivadas
e integrales, adecuadas para las necesidades de este libro.
Las siguientes notaciones se usan como sinnimos: ez = exp x, In
x = log x y sen-' x = arcsen x.
El final de una demostracin se denota por el smbolo U, mientras
que el final de un 'ejemplo u observacin se denota por el smbolo A
El material opcional ms terico o los ejercicios ms difciles estn
precedidos por una estrella: *.
AGRADECIMIENTOS
Multitud de colegas y estudiantes de la comunidad matemitica han
hecho valio- sas aportaciones y sugerencias desde que se inici este
libro. Un primer borrador se escribi en colaboracin con Ralph
Abraham. Le agradecemos que nos permi- tiera usar su trabajo. Es
imposible nombrar a todos los que han ayudado en este libro, pero
queremos agradecer de manera especial a Michael Hoffman y Joanne
Seitz por su ayuda en las ediciones anteriores. Tambin recibimos
comentarios valiosos de Mary Anderson, John Ball, Frank Gerrish,
Jenny Harrison, David Knudson, Richard Koch, Andrew Lenard, Gordon
McLean, David Merriell, Jea- nette Nelson, Dan Norman, Keith
Phillips, Anne Perleman, Kenneth Ross, Ray Sachs, Diane Sauvageot,
Joel Smoller, Melvyn Tews, Ralph y Bob Tromba, Steve Wan, Alan
Weinstein y John Wilker.
Agradecemos a los siguientes instructores sus revisiones
detalladas del ma- nuscrito de esta edicin: David Bao, de la
University of Houston; Stanley M. Lukawecki, de la Clemson
University; John F. Pierce, de la West Virginia Uni- versity y Herb
Walum, de The Ohio State University.
Una palabra final de agradecimiento para quienes ayudaron a la
preparacin del manuscrito y la produccin del libro en ingls.
Agradecemos en forma espe- cial a Connie Calica, Nora Lee, Marnie
McElhiney, Rosemarie Stampful, Ruth Suzuki, Ikuko Workman y Esther
Zack por su excelente mecanografiado de di- ferentes versiones y
revisiones del manuscrito; Herb Holden de la Gonzaga Uni- versity y
Jerry Kazdan de la University of Pennsylvania por sugerir y
preparar la figuras generadas por computadora; Jerry Lyons por su
trabajo como nuestro editor en matemticas; Richard K. Mickey por su
magnfica correccin de estilo y Philip McCaffrey por su supervisin
editorial.
-
xiv PREFACIO
Mantendremos una lista actualizada de correcciones y sugerencias
acerca de esta tercera edicin. Con gusto enviaremos dicha lista a
cualquier usuario del texto. Favor de solicitarla a Jerrold
Marsden, Department of Mathematics, Cor- ne11 Universit,y, Ithaca,
NY 148537901, o a Anthony Tromba, Department of Mathematics,
liniversity of California, Santa Cruz, CA 95064.
Jerrold E. Marsden
Anthony J. Tkomba
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1 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Los cuaterniones vienen de Hamilton . . . y han sido maldicin
pura para quien, de alguna forma, los ha tocado. El vector es un
sobreviviente i n t i l , . . y jams ha sido de la ms mnima
utilidad para ningn ser viviente.
Lord Kelvin
En este captulo consideramos las operaciones bsicas de los
vectores en el es- pacio tridimensional: la suma vectorial, la
multiplicacin por un escaIar y los productos punto y cruz. En la
seccin 1.5 generalizamos algunos de estos cow ceptos al n-espacio y
revisamos las propiedades de las matrices que necesitaremos en los
captulos 2 y 3.
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Los puntos P en el plano se representan mediante pares ordenados
de nmeros reales ( a , b ) ; los nmeros a y b se llaman coordenadas
cartesianas de P. Tracemos dos rectas perpendiculares, llammosles
ejes z y y, y bajemos perpendiculares de P a los ejes, como en la
figura 1.1.1. Despus de designar la interseccin de los ejes x y y
como origen, y de escoger unidades en estos ejes, producimos dos
distancias dirigidas a y b , como se muestra en la figura; a se
llama la componente z de P, y b se llama la componente y.
Los puntos en el espacio se pueden representar de manera anloga
mediante ternas ordenadas de nmeros reales. Para construir dicha
representacin escoge- mos tres rectas perpendiculares entre s que
se crucen en un punto en el espacio.
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2 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
b
U
Figura 1 .1.1 Coordenadas cartesianas en el plano.
Estas rectas se llaman: eje z, eje y y eje z , y el punto en el
que se cruzan se llama origen (es nuestro punto de referencia).
Escogemos una escala sobre estos ejes. Es comn referirse al
conjunto de ejes como sistema de coordenadas, y se trazan como se
muestra en la figura 1.1.2.
Figura 1.1.2 Coordenadas cartesianas en el espacio.
Podemos asignar a cada punto P en el espacio una terna
(ordenada) nica de nmeros reales (a, b , c ) ; y, recprocamente, a
cada terna podemos asignar un punto nico en el espacio, tal y como
lo hicimos para los puntos en el plano. Al origen del sistema de
coordenadas le corresponde la terna (O, O , O ) , y las flechas en
los ejes indican las direcciones positivas. As, por ejemplo, la
terna (2,4,4) representa un punto a 2 unidades del origen en
direccin positiva a lo largo del eje z, a 4 unidades en direccin
positiva a lo largo del eje y , y a 4 unidades en direccin positiva
a lo largo del eje z (figura 1.1.3).
Debido a la posibilidad de asociar de esta manera los puntos del
espacio con las ternas ordenadas, es comn usar la expresin "punto (
a , b , c)" en lugar de la
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1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3
Z
L
Y
Figura 1.1.3 Representacin geomtrica del punto ( 2 , 4 , 4 ) en
coordenadas cartesianas.
frase ms larga punto P que corresponde a la terna (a, b, e). Si
la terna (a , b , c ) corresponde a PI decimos que a es la
coordenada x (o la primera coordenada), b es Ia coordenada y (o
segunda coordenada), y c es la coordenada z ( o tercera coordenada)
de P. Teniendo en mente este mtodo para representar puntos, vemos
que el eje t est formado por los puntos de la forma (a,O,O), donde
a es cualquier nmero real; el eje y est formado por los puntos (O,
a , O); y el eje z est formado por los puntos (O, O , u ) . Tambin
se suele denotar a los puntos en el espacio con las letras x, y y z
en lugar de a , b y c . As, la terna (x, y, 2) representa un punto
cuya primera coordenada es x, la segunda coordenada es y, y la
tercera coordenada es z .
Empleamos la notacin siguiente para la recta, el plano y el
espacio tridimen- sional.
(i) La recta real se denota por R1 (as, es lo mismo R que R1).
(ii) El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de nmeros
reales se denota
(iii) El conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) de
nmeros reales se por R2.
denota por R3.
Cuando se habla en conjunto de R1, R2 y R3, se escribe Rn, n. =
1, 2 o 3; o R, m = 1, 2, 3.
L a operacin de suma se puede extender de R a R2 y R3. Para R3
se procede de la manera siguiente. Dadas dos ternas (t, y, z ) y
(d, y, z), definimos su Suma mediante
( 2 , Y, 2) + (z, Y, z ) = (z + z, Y + Y, 2 + z ) .
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4 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
EJEMPLO 1 (1,1,1) + (2 , - 3 , 4 ) = (3 , - 2 , 5 ) (x, Y, .) +
( O , o , 0) = (2, Y, 2 ) ( 1 , 7 , 3 ) + ( 2 , 0 , 6 ) = ( 3 , 7 ,
9 ) . A
El elemento ( O , O , O) se llama elemento cero (o slo cero) de
R3. El elemen- to (-x,-y,-z) se llama inverso aditivo (o negativo)
de (.,y, z ) , y se escribe ( x , y, z ) - ( d l y, z) en lugar de
(z, y, z ) + ( - -x / , -y, - 2 ) .
Hay operaciones de producto que son importantes en R3. Una de
ellas, llamada producto interno, asigna un nmero real a cada pareja
de elementos de R3. En la seccin 1.2. estudiaremos con detalle el
producto interno. Otra operacin de producto para R3 se llama
producto por un escalar (la palabra escalar es sinnimo de nmero
real). Este producto combina escalares (nmeros reales) y elementos
de R3 (ternas ordenadas) para producir elementos de R3 de la manera
siguiente: dado un escalar a y una terna ( x , y,z), definimos el
mltiplo escalar o producto por un escalar mediante
Como consecuencia de las definiciones, la suma y el producto por
un escalar para R3 satisfacen las siguientes identidades:
(i) (aP)(z , Y1 2) = .M.> Y, .>I (asociatividad)
(propiedades del elemento cero)
(propiedad del elemento identidad)
Para R2 se define la suma de la misma manera que para R3,
mediante (z, Y) + (z, Y) = (x + z, Y + Y),
-
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 5
y el producto por un escalar se define como
a ( z , Y ) = ( a z , ay).
Volvamos a la geometra de nuestro modelo. Una de las
herramientas ms poderosas de las matemticas y sus aplicaciones ha
sido el concepto de vector. Se define (geomtricamente) un vector
como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto
es, un segmento de recta con magnitud y direccin especificados, con
punto inicial en el origen. Han odo decir a los pilotos Esta- mos
en el radio vector de la pista de aterrizaje? Se refieren al vector
que da la direccin y la distancia a que se encuentra el aeroplano
de la pista de aterrizaje. Es intil sealar lo importantes que son
en este caso la direccin y la distan- cia. La figura 1.1.4 muestra
varios vectores. As, los vectores se pueden concebir como flechas
que comienzan en el origen. Generalmente se imprimen en letras
negritas: v.
Figura 1.1.4 Los vectores se pueden concebir, geomtricamente,
como flechas saliendo del origen.
Usando esta definicin de vector, podemos asociar con cada vector
v el punto (x, y, z) en el espacio, donde termina v, y,
recprocamente, a cada punto (x, y, z ) en el espacio podemos
asociar un vector v. As, identificaremos v con (x, y , z ) y
escribiremos v = (z ,y , z ) . Por esta razn, los elementos de R3
no son slo ternas ordenadas de nmeros reales, sino que tambin se
llaman vectores. La terna ( O , O , O ) se denota por O .
Decimos que dos vectores son iguales si, y slo si, tienen la
misma direccin y la misma magnitud. Esta condicin se puede expresar
de manera algebraica diciendo que si v1 = (x, y, z ) y va = ( d ,
yz), entonces
v1 = v2 si, y slo si, z = z, y = y, z = z. Geomtricamente
definimos el vector suma como sigue. En el plano que con-
tiene a los vectores v1 y v2 (ver la figura 1.1.5), formemos el
paralelogramo que
-
6 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN3
Figura 1.1 .S Geometra de la suma de vectores.
tiene como un lado a VI, y como lado adyacente a v2. Entonces la
suma V I + v2 es el segmento de recta dirigido a lo largo de la
diagonal del paralelogramo. Esta consideracin geomtrica de la suma
de vectores es til en muchas situaciones fsicas, como veremos ms
adelante. Para visualizar fcilmente esto mediante un ejemplo,
consideren un ave o un aeroplano volando con velocidad VI, con un
viento con velocidad v2. Lo que se ve es la velocidad resultante VI
+ va.
Para mostrar que la definicin geomtrica de la suma es
consistente con la definicin algebraica, debemos demostrar que v1 +
va = (z + z, y + y, I + 7 ) . Probaremos este resultado en el plano
y dejaremos que el lector enuncie la proposicin para el espacio
tridimensional. As, queremos mostrar que si VI = ( x , y) y v2 =
(z,y), entonces v1 + v2 = (z + x/, y + y).
En la figura 1.1.6, sea v1 = (.,y) el vector que termina en el
punto A, y sea v2 = (z, y) el vector que termina en el punto B. Por
definicin, el vector v1 +va termina en el vrtice C del
paralelogramo OBCA. Entonces, para verificar que
Y
O D E
Figura 1.1.6 Construccin para la demostracin de que (x, y) +(.I,
y) = (z+z, y+y).
-
1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 7
v1 + v2 = (x + x', y + y'), es suficiente mostrar que las
coordenadas de C son En la figura 1.1.6, los lados de los tringulos
OAD y BCG son paralelos y los
lados OA y BC tienen igual longitud, lo cual escribiremos como
OA = BC. Por lo tanto, BG = OD; y como BGFE es un rectngulo,
tenemos que EF = BG. Ms an, OD = 2 y OE = x'. De aqu que EF = BG =
OD = x. Como OF = EF + OE, se sigue que OF = 2 + 2'. Esto muestra
que la coordenada x de C es 2 + d . La demostracin para la
coordenada y es anloga. Con un argumento similar para los otros
cuadrantes, vemos que la definicin geomtrica de la suma de vectores
es equivalente a la definicin algebraica en trminos de
coordenadas.
En la figura 1.1.7(a) se ilustra otra manera de considerar la
suma vectorial: en trminos de tringulos, en lugar de
paralelogramos. Esto es, trasladamos (sin rotacin) el segmento de
recta dirigido que representa al vector va, de modo que comience al
final del vector vl. El punto final del segmento dirigido
resultante es el punto final del vector V I + v2. Notamos que
cuando VI y v2 son colineales, el tringulo se colapsa. Se ilustra
esta situacin en la figura 1.1.7(b).
(z -t z', y + y').
Figura 1.1.7 (a) Se puede visualizar la suma vectorial en
trminos de tringulos as como de paralelogramos. Sin embargo, el
tringulo se colapsa cuando v1 y v2 son colineales (b).
Los mltiplos escalares de los vectores tienen interpretaciones
geomtricas si- milares. Si a es una escalar y v es un vector,
definimos a v como el vector que tiene a veces la longitud de v ,
con la misma direccin que v si a > O , pero con direccin opuesta
si a < O . La figura 1.1.8 ilustra varios ejemplos.
Al usar un razonamiento que depende de tringulos semejantes,
podemos pro- bar que si v = (x, y, z), entonces
Lyv = (fYz,Lyy, CYZ). Esto es, la definicin geomtrica coincide
con la algebraica.
Cmo representamos geomtricamente al vector b - a? Como a+ (b -
a) = b, b - a es el vector que al sumarlo a a da b. En vista de
esto, podemos concluir
-
8 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Y Y
Y
/ * X
Y
/ * x
f tv
Y
[ Y
X
Figura 1.1.8 Algunos mltiples escalares de un vector v.
que b - a es el vector paralelo a, y con la misma magnitud que,
el segmento de recta dirigido que comienza en el punto final de a y
termina en el punto final de b (ver la figura 1.1.9).
Denotemos por i al vector que termina en (1, O , O ) , por j al
vector que termina en ( O , 1, O) y por k al vector que termina en
( O , O , 1). Por la definicin de suma
Figura 1.1.9 Geometra de la resta vectorial.
-
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 9
vectorial y la multiplicacin por un escalar, hallamos que si v =
(x, y, z ) , entonces
v = z(1,0, O) + y(O,1 , O) + z(O, O , 1) = zi + y j + zk. Por lo
tanto, podemos representar cualquier vector en el espacio
tridimensional en trminos de los vectores i , j y k. Es por esto
que a los vectores i , j y k se les llama vectores de la base
cannica para R3.
EJEMPLO 3 El vector que termina en (2,3,2) es 2i + 3j + 2k, y el
vector que termina en ( O , -1,4) es -j +4k. La figura 1.1.10
muestra a 2i+ 3j+ 2k; el lector deber trazar el vector -j + 4k.
A
Figura 1.1.10 Representacin de ( 2 , 3 , 2 ) en trminos de los
vectores de la base cannica, i , j y k.
L a suma y la multiplicacin por un escalar se pueden escribir en
trminos de los vectores de la base cannica como sigue:
Y a (z i + y j + zk) = (ax); + (ay) j + (az)k.
Debido a la correspondencia entre puntos y vectores, a veces nos
referimos al punto a en circunstancias en que se defini a como
vector. El lector sobreenten- der que nos referimos al punto final
del vector a.
-
10 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
EJEMPLO 4 Describir los puntos que estn dentro del paralelogramo
cuyos lados adyacentes son los vectores a y b.
SOLUCIN Considerar la figura 1.1.11. Supongamos que P es
cualquier punto dentro del paralelogranlo dado y construimos las
rectas l1 y l 2 que pasan por P y son parale1a.s a los vectores a y
b, respectivamente; vemos que 11 interseca el lado del
paralelogramo determinado por el vector b en algn punto tb, donde O
5 t 5 1. Asimismo, 12 interseca al lado determinado por el vector a
en algn punto sa , donde O 5 S 5 1.
Figura 1.1.11 Descripcin de los puntos dentro del paralelogramo
formado por los vec- tores a y b.
Notar que P es el punto final de la diagonal de un paralelogramo
con lados adyacentes sa y tb; por lo tanto, si v denota al vector
que termina en P, vemas que v = sa + tb. As, todos los puntos en el
paralelogramo dado son puntas finales de vectores de la forma sa +
tb para O 5 S 5 1 y O 5 t 5 1. Regresando sobre nuestros pasos
vemos que todos los vectores de esta forma terminan dentro del
paralelogramo. A
Y
Figura 1.1.12 Descripcin de los puntos P en el plano formado por
los vectores v y w.
-
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 11
Como dos rectas que pasan por el origen determinan un plano que
pasa por el origen, lo mismo sucede con dos vectores no paralelos.
Si aplicamos el mismo razonamiento del ejemplo 4, vetnm que el
plano formado por dos vectores no paralelos v y w consta de todos
los puntos de la forma QV + pw, donde (Y y /? varan sobre los
nmeros reales. Not.en que cualquier punto P en el plano formado por
los dos vectores ser el vrtice opuesto del paralelogramo
determinado por CYV y pw, donde Q y /3 son algunos escalares, como
en la figura 1.1.12.
E1 plano determinado por v y w se llama plano generado por v y w
. Cuando v es un mltiplo escalar de w y w # O , entonces v y w son
paralelos y el plano degenera en una recta. Cuando v = w = O (esto
es, cuando ambos son el vector cero), obtenemos un solo punt.0.
Hay tres planos particulares que surgen de manera natural en un
sistema coordenado y que usaremos ms adelante. Al plano generado
por los vectores i y j se le llama plano .cy, al plano generado por
j y k , plano yz, y al plano generado por i y k , plano s z . Se
ilustran estos planos en la figura 1.1.13.
Z
V
Figura 1 .I .I 3 Los tres planos coordenados.
Los planos y las rectas son objet,os geombtricos que se pueden
representar mediante ecuaciones. Pospondremos hasta la seccin 1.3
el estudio de las ecua- ciones que representan planos. Sin embargo,
usalldo la interpretacidn geomtrica de la suma vectorial y de la
multiplicacin por u n escalar, podemos hallar la ecuacin de una
recta 1 que pase por el punto final o extremo del vector a, con la
direccin de un vector Y (ver la figura l . l . 14). Conforme t vara
por todos los nmeros reales, los puntos de la forma Iv son t.odos
los rnltiplos escalares del vector v , y por lo tant,o, agotan los
puntos de l a recta que pasa por el origen en la direccin de v.
Corno todo punto sobre d cs el extremo de la diagonal de un
paralelogramo con lados a y tv para algn valor real de 2 , vemos
que todos los punt>os sobre 1 son de la forma a + t v . As, la
recta 1 se puede expresar mediante la ecuacin l ( t ) = a + tv.
Decimos que d est, expresada de manera paramtrica, con el parmetro
t . En t = O , l ( t) = a. Cuando t crece, el punto l ( t ) se
mueve
-
12 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Figura 1.1.14 La recta 1, dada en forma paramtrica por l(t) = a
+ tv, estd en direccin de v y pasa por la punta de a.
alejndose de a en la direccin de v. Conforme t decrece desde t =
O por los valores negativos, l ( t ) se mueve alejndose de a en la
direccin de " v .
Puede haber varias parametrizaciones de la misma recta. Se
pueden obtener escogiendo, en lugar de a, un punto diferente sobre
la recta dada, y formando la ecuacin paramtrica de la recta
comenzando en ese punto y en direccin de v. Por ejemplo, el extremo
de a + v est6 sobre la recta l(t) = a + Iv, y as, l l ( t ) = (a +
v) + tv representa la misma recta. Incluso se pueden obtener otras
parametrizaciones observando que si CY # O , el vector CYV tiene la
misma direccin que v ( o l a opuesta). As, lz( t ) = a+tcuv es otra
parametrizacin de l( t) = a+tv .
EJEMPLO 5 Determinar la ecuacin de la recta que pasa por (1, O ,
O ) en direccin de j.
x
Figura 1.1.15 La recta 1 pasa por la punta de i en la direccin j
.
-
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 13
SOLUCIN La recta deseada se puede expresar en forma paramtrica
como l(t) = i + t j (figura 1.1.15). En trminos de coordena.das
knemos
l(t) = (1 ,0 ,0 ) + t(O,1, O ) = ( I , t , O ) . A Vamos a
deducir la ecuacin de una recta que pasa por los puntos finales
de
dos vectores dados a y b. Como el vector b - a es paralelo al
segmento de recta dirigido que va de a a b, lo que deseamos es
calcular la ecuacibrl paranttrica de la recta que pasa por a en
direccin de b - a (figura 1.1.16). As,
l(t) = a + t (b - a); esto es, l(t) = (1 - t)a + tb. Conforme 1
crece de O a 1, sucede que t(b - a) comienza como el vector cero y
crece en longitud (mantenindose en la direccin de b - a) hasta que
en t = 1 es el vector b - a. As, para I(t) = a + t (b - a),
conforme t crece de O a 1, el vector l(t) s mueve de la punta de a
a la punta de b a lo largo del segment,o de recta dirigido de a a
b.
Figura 1.1.16 La recta I, dada en forma paramtrica por l( t) = a
+ t (b - a), pasa por las puntas de a y b.
EJEMPLO 6 Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (-1, 1, o)
y (o, o, 1) (ver la figura 1.1.1 7).
SOLUCIN Representemos los puntos dados por a = -i + j y b = k;
tenemos 1(t) = (1 - t ) ( - i + j) + tk
= - ( 1 - t ) i + ( l - t ) j + t k .
La ecuacin de esta recta se puede escribir entonces como
l(t) = ( t - l ) i + ( 1 - t ) j + tk,
-
14 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Y
Figura 1.1.17 Caso especial de l a figura anterior, donde a =
(-1,1, O) y b = ( O , O , 1)
o, de manera equivalente, si l(t) = zi + yj + zk,
En trminos de componentes, la ecuacin de la recta que pasa por
los dos puntos (21, Y1, tl) Y (z2, Y21 22 ) es
z = 21 + t ( 2 2 - m ) , y = y1 + t ( y 2 - y]), 2 = 21 + t ( 2
2 - 2 1 ) Eliminando t es posible escribir esto como
z - z ] y - y 1 2 - 2 1 z2 - z1 y2 - y1 22 - 21 - -
Notamos que cualquier vector de la forma c = Xa + pb, donde X +
p = 1, est sobre la recta que pasa por los extremos de a y b. Para
verlo, observar que c = (1 - p)a + pb = a + p(b - a).
EJEMPLO 7 Usar mtodos vectoriales para probar que las diagonales
de un paralelogramo se bisecan entre si.
SOLUCIN Representemos los lados adyacentes del paralelogramo por
los vec- tores a y b, como se muestra en la figura 1.1.18. Primero
calculamos el vector que va al punto medio del segmento de recta
PQ. Como b - a es paralelo e igual en longitud al segmento dirigido
de P a Q, (b - a)/2 es paralelo e igual en longitud al segmento de
recta dirigido de P al punto medio de PQ. As, el vector a + (b -
a)/2 = (a + b)/2 termina en el punto medio de PQ.
-
1.1 VECTORES EN EL ESPAUO TRIDIMENSIONAL 15
P
R
Figura 1.1.18 Construcciones usadas para demostrar que las
diagonales de un paralelo- gramo se bisecan entre s.
A continuacin calculamos el vector que va al punto medio de OR.
Sabemos que a + b termina en R, de modo que (a + b)/2 termina en el
punto medio de OR. En vista de que ya probamos que el vector (a +
b)/2 termina en el punto medio de OR y en el punto medio de PQ, se
sigue que OR y PQ se bisecan entre s. A
Consideremos ahora algunas aplicaciones fsicas de los vectores.
Un ejemplo sencillo de cantidad fsica que se representa mediante un
vector es un desplaza- miento. Suponer que en una parte de la
superficie terrestre lo suficientemente pequea para considerarse
plana, introducimos coordenadas de modo que el eje 2 apunte al
este, el eje y apunte al norte, y la unidad de longitud sea el
kilmetro. Si estamos en un punto P y queremos ir a un punto Q, el
vector de desplaza- miento d que une a P. con Q nos indica la
direccin y la distancia que tenemos que viajar. Si 2 y y son las
componentes de este vector, el desplazamiento de P a Q es 2
kilmetros al este, y kilmetros al norte.
EJEMPLO 8 Supongan que dos navegantes que no se pueden ver entre
si, pero que se pueden comunicar por radio, quieren determinar la
posicin relativa de sus barcos. Explicar cmo pueden hacerlo si cada
uno tiene la capacidad de deter- minar s u vector de desplazamiento
al mismo faro.
SOLUCIN Sean PI y P2 las posiciones de los barcos, y sea Q la
posicin del faro. El desplazamiento del i-simo barco al faro es el
vector di que une a Pi con Q. El desplazamiento del primer barco al
segundo es el vector d que une a PI con Pa. Tenemos que d + dz = dl
(figura 1.1.19), de modo que d = dl - da. Esto es, el
desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los
desplazamientos desde los barcos hasta el faro. A
Tambin podemos representar como vector la velocidad de un objeto
en mo- vimiento. Por el momento, slo consideraremos objetos
movindose con ra.pidez
-
16 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
"
bruma
"- - Figura 1.1.1 9 Se pueden usar mtodos vectoriales para
localizar objetos.
uniforme a lo largo de rectas. Supongan, por ejemplo, que un
bote de vapor cruza un lago navegando a 10 kilmetros por hora
(km/h) en direccin noreste. Despus de 1 hora de viaje, el
desplazamiento es ( 1 O / f i , l O / f i ) E (7.07,7.07); ver la
figura 1.1.20.
posicin despus de 1 h
Figura 1.1.20 Si un objeto se mueve hacia el nordeste a 10 km/h,
su vector velocidad tiene componentes (IO/&, 1 0 / J z ) .
El vector cuyas componentes son ( l O / f i , l O / f i ) se
llama vector velocidad del bote. En general, si un objet80 se mueve
uniformemente a lo largo de una recta, s u vector velocidad es el
vector desplazamiento desde la posicin en cual- quier momento hasta
la posicin en el momento 1 unidad de tiempo despus. Si aparece una
corriente en el lago movindose hacia el este a 2 km/h, y el bote
con- tina apuntando hacia la misma direccin con el motor
funcionando a la misma razn, su desplazamient,o despus de 1 hora
tendr las componentes dadas por
desplazamiento debido a la corriente
debido al motor
Figura 1.1.21 El desplazamiento total es la. sunla de los
desplazamientos debidos al motor y a la corriente.
-
1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 17
(IO/& + 2, lO/JZ) ; ver la figura 1.1.21. Por lo tanto el
nuevo vector velocidad tiene componentes (lo/& + 2,10/&).
Notamos que sta es la suma del vec- tor velocidad original
(lo/&, lo/&) del bote y el vector velocidad (2, O) de la
corriente.
Si un objeto tiene vector velocidad (constante) v, entonces en t
segundos su vector desplazamiento resultante es d = tv; ver la
figura 1.1.22.
/ desplazamiento en el tiempo t Figura 1 .1.22 Desplazamiento =
tiempo x velocidad.
EJEMPLO 9 Un ave va volando en lnea recta con vector velocidad
10i + 6 j + k (en kilmetros por hora). Suponer que (x, y) son sus
coordenadas en tierra y que t es su altura.
(a) Si en cierto momento el ave est en la posicin ( l , 2 , 3)1
dnde estar una
(b) Cuntos segundos tarda el ave en subir 10 metros? hora
despus? Y un minuto despus?
SOLUCIN (a) El vector desplazamiento desde (1,2,3) despus de 1
hora es 1Oi + 6j + k , de modo que la nueva posicin es (1 ,2 ,3) +
( lO,6, 1) = (11,8,4) . Despus de 1 minuto, el vector
desplazamiento desde ( l , 2 , 3 ) es &(lOi+6j+k) = i i + hj +
& k , de modo que la nueva posicin es (1 ,2 ,3) + ( h , &,
&) =
(b) Despus de t segundos (= t /3600 h) , el vector
desplazamiento desde (1, 2,3) es (t/3600)(10i + 6j + k) = (t/360)i
+ (t /600)j + (t/3600)k. El incre- mento en altura es la componente
z t/3600. Esto es igual a 10m (=&km) cuando t/3600 = & esto
es, cuando t = 36s. A
( & - E ) . 7 21 181
EJEMPLO 10 Las fuerzas fisicas tienen magnitud y direccinl de
modo que pue- den representarse mediante vectores. Si actan
simultneamente varias fuerzas sobre un objeto, la fuerza resultante
est representada por la suma de los vec- tores de fuerza
individuales. Suponer que las fuerzas i + k y j + k actan sobre un
cuerpo. Qu tercera fuerza debemos imponer para contrarrestar a las
dos -esto es, para hacer que la fuerza total sea igual a cero?
SOLUCIN La fuerza F deber escogerse de manera que ( i + k ) +
(j+ k) + v = O; esto es, v = -(i + k) - (j + k) = -i - j - 2k.
(Recordar que O es el vector cero, el vector cuyas componentes son
todas cero.) A
-
18 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
NOTA HIST~RICA
Aproximadamente hasta el ao de 1900 muchos cientficos se
resistieron a usar vectores, en favor de l a teora ms complicada de
los cuaterniones. E1 libro que populariz los mtodos vectoriales fue
Vector Analysis, de E. R. Wilson (reimpreso por Dover en 1960),
basado en los cursos impartidos por J. W. Gibbs cw Yale en 1899 y
1900. Wiison se resista a tomar el curso de Gibbs, pnes haba
llevado en Harvard un curso de un ao con J . M. Pierce, campen en
mtodos con cuaterniones, pero u11 jefe de departamento lo oblig a
aadir el curso a su programa. (Para ms detalles ver A History of
Vector Analysis, de M. J. Crowe, University of Notre Dame Press.
Not,rc Dame, Ind., 1967.)
EJERCICIOS
(Los ejercicios que tienen nmeros , y letras dentro de n n
cuadro estn resueltos en l a Gua d e rLstndio.)
Completar los clculos en los ejercicios del 1 al 6.
m ( -21 ,23) - (?, 6) = ( "25 ,? ) 2. 3(133, -0.33, 0) + (-399,
O.99,O) = (?.?,?) 3. ( sa , -26, 13c) = (52, 1 2 , l l ) +
$('.',?,?)
( 2 , 3 , 5 ) - 4 i + 3 j = ( ? , ? , ? )
5. 800(0.03, O , O ) = ?i + ?j + ?k 6. ( 3 , 4 , 5 ) + ( 6 , 2 ,
-6) = (?, ? , ?)
Qu restricciones se deben tener sobre z. y y z de modo que l a
terna (z , y , z ) represente u11 punt,o sobre el ejr y ? Y sobrr
el eje z? ;,En el plano xz? En el plano yz?
8. Trazar los vcctores v = ( 2 , 3 , -6) y w = (-1,1, 1). En esa
figura, trazar " v , V + W . 2v, y v - w.
9. (a) Generalizar la construccin geomtrica en la figura 1.1.6
para mostrar que si
(b) Usando un argnnlento basado en tringulos semejantes, probar
que (YV = V I = (x, y, z) y v2 = (z', y', z') entonces v1 + v2 = (x
+ x', y +y' , z + 2'). (ax, cuy, N Z ) cuando v = (T, y, z).
10. Repetir el ejercicio 8 usando v = ( 2 , 1,3) y w = (-2, O ,
-1).
-
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 19
En los ejercicios del 11 al 17, usar notacin de conjuntos o
vectorial, o ambas, para describir los puntos que estn en las
configuraciones dadas, como lo hicimos en los ejemplos 4, 5 y
6.
11. El plano generado por VI = ( 2 , 7 , O ) y v2 = ( O , 2 , 7
) .
El plano generado por v1 = ( 3 , - 1 , l j y v2 = ( 0 , 3 , 4 )
. 13. La recta que pasa por [-1, -1, -1) en la direccin de j.
14. La recta que pasa por ( O , 2 , l ) en la direccin de 2i -
k.
r;;l La recta que pasa por (-1, -1, -1) y (1 , -1 ,2) . 16. La
recta que pasa por ( -5 ,0 ,4 ) y (6, -3 ,2 ) .
17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores i +
3k y -2j. 18. Hallar los puntos de interseccin de la recta 3: = 3 +
21, y = 7 + at, z = -2 + 1, esto es, l(1) = (3 + 2t , 7 + at, -2 +
t ) , con los planos coordenados.
Mostrar que no hay puntos (x, y, z) que satisfagan 2 2 - 3y + z
- 2 = O y que estn sobre la recta v = (2, -2, -1) + t ( l , l , 1 )
. 20. Mostrar que todo punto sobre la recta v = (1, -1 ,2) + t ( 2
, 3 , 1 ) satisface 5a - 3y - ~ - 6 = 0 .
1?;1 Mostrar que las medianas de un tringulo se intersecan en un
punto, y que este punto divide a cada mediana con una razn 2 :
1.
En los ejercicios del 22 al 24, usar mtodos vectoriales para
describir las configu- raciones dadas.
El paraleleppedo que tiene como aristas a los vectores a, b y c
. (La regin que tenemos en mente est en la figura 1.3.5.)
23. Los puntos dentro del paralelogramo con una esquina en (zo,
yo, ZO) tal que los lados que salen de esa esquina son iguales en
magnitud y direccin a los vectores a y b.
24. El plano determinado por los tres puntos (ZO, ya, zo), (51,
yl, Z I ) y ( 2 2 , yz, 2 2 ) . 25. Un barco situado en la posicin
( 1 , O ) en una carta de navegacin (con el norte en la direccin y
positiva) divisa una roca en la posicin (2 ,4 ) . Cul es el vector
que une al barco con la roca? Qu ngulo 0 forma este vector con la
direccin norte? (Se le llama la orientacin de la roca desde el
barco.)
26. Supongan que el barco del ejercicio 25 apunta al rumbo norte
y viaja con una rapidez de 4 nudos respecto al agua. Hay una
corriente que fluye con direccin este a 1 nudo; las unidades de la
carta son millas nuticas; 1 nudo = 1 milla nutica por hora.
-
20 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
(a) Si no hubiera corriente, qu vector u representara la
velocidad del barco
(b) Si el barco siguiera la corriente, qu vector v representara
su velocidad
(c) Qu vector w representa la velocidad total del barco? (d)
LDnde estar el barco despus de una hora? (e) Deber cambiar el rumbo
el capitn? (f) Qu pasara si la roca fuera un iceberg?
respecto al fondo del mar?
respecto al fondo del mar?
Un aeroplano est situado en la posicin ( 3 , 4 , 5 ) al medioda,
y viaja con velocidad 4OOi + 5OOj - k kilmetros por hora. El piloto
sabe que hay un aeropuerto en la posicin (23, 29, O ) .
(a) A qu hora pasar el avin directamente sobre el aeropuerto?
(Suponer que la Tierra es plana y yue el vector k apunta hacia
arriba.)
(b) Cul ser l a altura del avin cuando pase?
28. La velocidad V I del viento es de 40 millas por hora (mi/h)
de este a oeste, mientras que un aeroplano viaja con velocidad en
el aire v 2 de lOOmi/h con rumbo norte. La rapidez del aeroplano
respecto a la Tierra es el vector suma VI + v 2 .
(a) Hallar v1 + v 2 . (b) Trazar una figura a escala.
29. Una fuerza de 501b se dirige a 50' sobre la horizontal,
apuntando a la derecha. Determinar sus componentes horizontal y
vertical. Mostrar los resultados en una figura.
Dos personas jalan horizontalmente de cuerdas atadas a un poste;
el ngulo entre las cuerdas es de 60'. A jala con una fuerza de
1501b, mientras que B jala con una fuerza de 1101b.
(a) La fuerza resultante es la suma vectorial de las dos fuerzas
en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Trazar una
figura a escala que represente grficamente a las tres fuerzas.
(b) Usando trigonometra, determinar frmulas para las componentes
vectoriales de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de
manera conveniente. Efectuar la suma algebraica y hallar el ngulo
que la fuerza resultante hace con A.
31. 1 kilogramo (kg) masa situado en el origen se cuelga de
cuerdas fijadas en los puntos ( I , 1, I) y (-1, -1,l). Si la
fuerza de gravedad apunta en la direcccin del vector -k, cul es el
vector que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [IDEA:
Usar la simetra del problema. 1 kg masa pesa 9.8 newtons (N).]
32. Escribir la ecuacin qumica CO + Hz O = H2 + COZ como una
ecuacin en ternas ordenadas (C, O, H), e ilustrarla mediante un
diagrama vectorial en el espacio.
(a) Escribir la ecuacin qumica p C ~ H 4 0 3 + q 0 2 = r C 0 2 +
sHzO como una ecuacin en ternas ordenadas con coeficientes
desconocidos p , q, T y s.
(b) Hallar la menor solucin entera positiva posible para p , q,
7 y S, (c) Ilustrar la solucin mediante un diagrama vectorial en el
espacio.
*34. Hallar una recta que est en el conjunto definido por la
ecuacin 2' + y' - zz = 1.
-
1.2 EL PRODUCTO INTERNO 21
1.2 EL PRODUCTO INTERNO
En sta y en la seccin siguiente estudiaremos dos productos de
vectores: el pro- ducto interno y el producto cruz. Son muy tiles
en aplicaciones fsicas y tienen interpretaciones geomtricas
interesantes. El primer producto que vamos a con- siderar se llama
producto interno. Con frecuencia se le llama tambin producto
punto.
Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R3 (figura 1.2.1) y
queremos determinar el ngulo entre ellos, esto es, el menor ngulo
subtendido por a y b en el plano que generan. El producto interno
nos permite hacerlo. Primero desarrollamos formalmente el concepto
y despus probamos que este producto hace lo que aseguramos. Sea a =
a l i + ad + a3k y b = b l i + b j + b3k. Definimos el producto
interno de a y b, que se escribe como a b, como el nmero real
a - b = alb l + a2b2 + a3b3. Noten que el producto interno de
dos vectores es una cantidad escalar. A ve- ces se denota al
producto interno por (a, b). Es frecuente hacerlo por razones
tipogrficas. As, (a, b) y a . b significan exactamente lo
mismo.
Z
X
Figura 1.2.1 0 es el ngulo entre los vectores a y b.
A partir de la definicin se siguen ciertas propiedades del
producto interno. Si a, b y c son vectores en R3 y a y p son nmeros
reales, entonces
(i) ama? O; a - a = O si, y slo si, a = O.
(ii) aa b = a(a b) y a - ,f?b = P(a - b). (iii) a - ( b + c ) =
a - b + a - c y ( a + b ) . c = a . c + b - c . (iv) a . b = b - a
.
-
22 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Para probar la primera de estas propiedades, observen que si a =
al i + a2j + a3k, entonces ama = a: +a; + a i . Como a l , a2 y a3
son nilmeros reales, sabemos que a; 2 O , a$ 2 O , u: >_ O . As,
a - a 2 O . Ms an, si a: +u; +a: = O , entonces al = a2 = a3 = O,
por lo tanto a = O (el vector cero). Las demostraciones de las
otras propiedades del producto interno tambin se obtienen
fcilmente.
Se si ue del teorema de Pitgoras que la longitud del vector a =
a l i + a ~ j + a 3 k es P-" u: + u; + u; (ver la figura 1.2.2). La
longitud del vector a se denota por I l a l l . Es frecuente llamar
a esta cantidad la norma de a. Corno ama = uf+a;+aj , se sigue
que
llall = (a
Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios.
Por ejemplo, los vectores i , j y k son vectores unitarios.
Observar que para cualquier vector dis- tinto de cero a, a/llall es
un vector unitario; cuando dividirnos a entre I l a l l , decimos
que hemos normalizado a.
Figura 1.2.2 La longitud del vector a = (al, u2, u3 1 est dada
por la frmula pitagrica: d m .
En el plano, definir el vector i d = (cos 0)i + (sen O ) j , que
es el vector unitario que forma un dngulo 6' con el eje 2 (ver la
figura 1.2.3). Claramente,
Iliell = (sen' O + cos2 O)'/' = 1.
Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b - a es
paralelo a, y tiene la misma magnitud que el segmento de recta
dirigido que va del extrenlo de a al extremo de b. Se sigue que la
distancia del extremo de a al extremo de b es Ilb - all (ver la
figura 1.2.4).
-
1.2 K PRODUCTO INTERNO
Y
23
cos B
Figura 1.2.3 Las coordenadas de i o son cos 0 y sen 8.
Y
Figura 1.2.4 La distancia entre las puntas de a y b es ]lb -
all.
EJEMPLO 1 Hallar la distancia del extremo del vector i, esto es,
del punto (1, O , O) al extremo del vector j , ( O , 1, O) .
Mostremos ahora que el producto interno en efecto mide el ngulo
entre dos vectores.
TEOREMA 1 Sean a y b dos vectores en R3 y sea 8, 0 5 8 5 R , el
ngulo entre ellos (figura 1.2.5). En tomes
a b = llall llbll cos 8.
-
24 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Y
Figura 1.2.5 Los vectores a, b y el ngulo 8 entre ellos;
geometra del teorema 1 y su demostracin.
De modo que podemos expresar el ngulo entre a y b como
si a y b son vectores distintos de cero.
DEMOSTFIACI~N Si aplicamos la ley de los cosenos, aprendida en
trigonometra, a,l tringulo con un vrtice en el origen y lados
adyacentes determinados por los vectores a y b, se sigue que
llb - all2 = IIalY + llbl12 - 2llall llbll cos 6. Como llb-a1I2
= (b-a).(b-a), lla1I2 = asa, y llb1I2 = b-b , podemos reescribir la
ecuacin anterior como
(b - a) . (b - a) = a a + b - b - 211all llbll cos 8. Ahora,
( b - a ) . ( b - a ) = b . ( b - a ) - a - ( b - a )
= b . b - b - a - a - b + a - a
= a . a + b - b - 2 a - b .
As, a - a + b b - 2a b = a a + b b - 211all llbll cos B.
Esto es, a b = llall llbll cos8.
-
1.2 EL PRODUCTO INTERNO 25
Este resultado muestra que el producto interno de dos vectores
es el producto de sus longitudes por el coseno del ngulo entre
ellos. Esta relacin es til con frecuencia en problemas de
naturaleza geomtrica.
COROLARIO (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ) Para cualesquiera dos
vedo- res a y b, tenemos
la - bl i llall llbll con la igualdad si y slo si a es un
mltiplo escalar de b, o uno de ellos es O .
DEMOSTRACI~N Si a no es un mltiplo escalar de b, entonces I cos
81 < 1 y se cumple la desigualdad. Cuando a es un mltiplo
escalar de b, entonces 8 = O o ?r y IcoseI = 1. m
EJEMPLO 2 Hallar el ngulo entre los vectores i + j + k e i + j -
k (figura 1.2.6).
Figura 1.2.6 Bsqueda del ngulo entre a = i + j + k y b = i + j -
k.
SOLUCI~N Usando el teorema 1, tenemos
( i + j + k ) . ( i + j - k ) = I l i + j + k l I I l i + j - k
l l c o s O
de modo que 1 + I - 1 = (&)(&I cos e.
cose = 5 . De donde
-
26 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Esto es, O = cos"(^) z 1.23 radianes (71'). A
Si a y b son vectores distintos de cero en R3 y H es el ngulo
entre ellos, vemos que a. b = O si y slo si cos 6' = O. As, el
producto interno de dos vectores distintos de cero es cero si y slo
si los vectores son perpendiculares. Por lo tanto el producto
interno nos proporciona un buen mtodo para determinar si dos
vectores son perpendiculares. Se suele decir que los vectores
perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base cannica, i
, j y k son ortogonales entre s, y tienen longitud 1; dichos
sistemas se llaman ortonormales. Adopt,aremos la convencin de que
el vector cero es ortogonal a todos los vectores.
EJEMPLO 3 Los vectores io = (cos 6)); + (sen H ) j y j o = -(sen
6)); + (cos H ) j son ortogonales, pues
i ~ . j e = - c o s O s e n O + s e n O c o s O = O
(ver la figura 1.2.7). A
Figura 1.2.7 Los vectores ie y j e son ortogonales.
EJEMPLO 4 Sean a y b dos vectores ortogonales distintos de cero.
Si c es un vector en el plano generado por a y b, entonces hay
escalares (Y y ,B tales que c = cua+,Bb. Usar el producto interno
para determinar (Y y p (ver la figura 1.2.8).
SOLUCI~N Tomando el producto interno de a y c , tenemos
a . c = a . ( c r a + / 3 b ) = a a - a + / 3 a . b . '
Como a y b son ortogonales, a * b = O, de modo que,
*= -= - a - c a - c a - a [la112 '
-
1.2 EL PRODUCTO INTERNO 27
L E
X
Figura 1.2.8 La geometra para la bsqueda de (Y y p donde c = aa
+ pb, como en el ejemplo 4.
De manera anloga,
En este ejemplo, el vector cra se llama la proyeccin de c a lo
largo de a, y /3b es su proyeccin a lo largo de b.
El resultado del ejemplo 4 tambin se puede obtener usando la
interpretacin geomtrica del producto interno. Sea 1 la distancia
medida a lo largo de la recta determinada al extender a, del origen
al punto donde la perpendicular desde c interseca a la extensin de
a. Se sigue que
donde 6' es el ngulo entre a y c. Ms an, I = allall. Juntando
estos resultados tenemos
As, la proyeccin de c sobre a est dada por
c - a c - a G (la112 a. a = -
-
28 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Notar que la longitud de la propccitin de u n vector c sobre un
vector a, donde B es el ngulo entre a y c , est dada por
(ver l a figura 1.2.9)
proyecci6n de c
\
Figura 1.2.9 La proyeccin de c sobre a es (a - c/11a11')a
EJERCICIOS
1. (a) Probar las propiedades (ii) y (iii) del producto interno
(b) Probar que a b = b a.
2. Calcular a b donde a = 2i + lOj - 12k y b = -3i + 4k. Hallar
el ngulo entre 7j + 19k y -2i - j (al grado ms cercano).
4. Calcular u - v, donde u = Ai - 315j + 22k y v = u/llull 5. Es
igual a cero 118i - 12kll 1/63 + kll - I(8i - 12k) (6 j + k)]?
Explicar.
En los ejercicios del 6 al 11, calcular llull, llvll y u v para
los vectores dados en R3
6. u = 15i - 2j + 4k, v = xi + 3j - k
-
1.3
9.
11.
1 3.
14.
1;;1
29 EL PRODUCTO CRUZ
u = -i + 3j + k, v = -2i - 3j - 7k u = - i + 3 k , v =4j
u = -i + 2j - 3k, v = -i - 3j + 4k Normalizar los vectores en
los ejercicios del 6 al 8.
Hallar el ngulo entre los vectores en los ejercicios del 9 al
11. De ser necesario, expresar la respuesta en trminos de
cos-'.
Hallar la proyeccin de u = -i + j + k sobre v = 2i + j - 3k.
Hallar la proyeccin de v = 2i + j - 3k sobre u = -i + j + k. Qu
restricciones se deben tener sobre b para que el vector 2i + b j
sea ortogonal
a (a) -3i + 2j + k y (b) k? 17. Hallar dos vectores no
paralelos, ambos ortogonales a ( 1 , 1 , 1 ) .
18. Hallar la recta que pasa por ( 3 , 1 , - 2 ) que interseca y
es perpendicular a la recta z = -1 + t , y = -2 + t , z = -1 + t .
[IDEA: Si (zo,yo, 20) es el punto de interseccin, hallar sus
coordenadas.]
19. Suponer que una fuerza F (por ejemplo, la gravedad) acta
verticalmente hacia abajo sobre un objeto situado en un plano
inclinado en un ngulo de 45' respecto a la horizontal. Expresar
esta fuerza como suma de una fuerza que acte paralela al plano y
una que acte perpendicular a l.
20. Suponer que un objeto movindose en la direccin de i + j est
bajo la accin de una fuerza dada por el vector 2i + j. Expresar
esta fuerza como una suma de una fuerza en la direccin del
movimiento y una fuerza perpendicular a la direccin del
movimiento.
Una fuerza de 6 N (newtons) forma un ngulo de x / 4 radianes con
el eje y , apun- tando a la derecha. La fuerza acta en contra del
movimiento de un objeto a lo largo de la recta que une ( 1 , 2 )
con (5,4).
(a) Hallar una frmula para el vector de fuerza F. (b) Hallar el
ngulo 0 entre la direccin del desplazamiento D = (5 - l ) i + ( 4 -
2 ) j
(c) El trabajo realizado es F-D, o de manera equivalente, IlFll
IlDll cos B. Calcular y la direccin de la fuerza F.
el trabajo con ambas frmulas y comparar los resultados.
*22. Un fluido fluye a travs de una superficie plana con vector
de velocidad uniforme v. Sea n una normal unitaria a la superficie
del plano. Mostrar que v n es el volumen del fluido que pasa por
una unidad de rea del plano en una unidad de tiempo.
-
30 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
1.3 EL PRODUCTO CRUZ
En la seccin 1.2 hemos definido un producto de vectores que daba
como re- sultado un escalar. En esta seccin definiremos un producto
de vectores que da como resultado un vector; esto es, mostraremos
cmo dados dos vectores a y b, podemos producir un tercer vector a x
b, llamado el producto cruz de a y b. Este nuevo vector tendr la
muy agradable propiedad geomtrica de ser perpendicu- lar al plano
generado (determinado) por a y b. La definicin del producto cruz
est basada en los conceptos de matriz y determinante que
desarrollamos pri- mero. Una vez hecho esto podremos estudiar las
implicaciones geomtricas de la estructura matemtica construida.
Definimos una matriz de 2 x 2 como un arreglo
donde a l l , a12, a21 y a22 son cuatro escalares. Por
ejemplo,
son matrices de 2 X 2. El determinante
de dicha matriz es el nmero real definido por la ecuacin
EJEMPLO 1
Una matriz de 3 X 3 es un arreglo
all a12 a13 [ ::: ::: :::I donde, de nuevo, cada aij es un
escalar; aij denota el registro o posicin en el arreglo que est en
el i-simo rengln y la j-sima columna. Definimos el
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ
1 7 5 8 7 4 31
determinante de una matriz de 3 x 3 por la regla
Sera difcil memorizar la frmula (2) sin algn recurso
mnemotcnico. La regla que hay que aprender es que nos movemos a lo
largo del primer rengln, multipli- cando a l j por el determinante
de la matriz de 2 X 2 obtenida al eliminar el primer rengln y la
j-sima columna, y despus sumando todo esto, pero recordando poner
un signo de resta antes del trmino a12. Por ejemplo, el
determinante multiplicado por el trmino de enmedio en la frmula (a)
, a saber
se obtiene al eliminar el primer rengln y la segunda columna de
la matriz dada de 3 x 3:
EJEMPLO 2
Una importante propiedad de los determinantes es que al
intercambiar dos renglones o dos columnas se cambia su signo. Para
determinantes de 2 x 2, esto es una consecuencia de la definicin.
Para renglones tenemos
y para columnas,
-
32 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Dejamos al lector verificar esta propiedad para el caso de 3 x
3. (Ver el ejercicio 1 al final de la seccin.)
Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que
podemos sacar como factor comn a escalares de cualquier rengln o
columna. Para de- terminantes de 2 x 2 esto significa
aal l a12 a l l a12 aall m 1 2
De manera anloga, para determinantes de 3 x 3 tenemos
Ball (ya12 m 1 3 a l l a12 a13 a l l aa12 a13
a31 a32 a33 a31 ma32 a33
y as sucesivamente. Estos resultados se siguen de las
definiciones. En particular, si cualquier rengln o columna est6
formado(a) por ceros, entonces el valor del determinante es
cero.
Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el
siguiente: si cambiamos un rengln ( o columna) mediante la suma de
otro rengln (o , respec- tivamente, columna), no cambia el valor
del determinante. Para el caso de 2 X 2 esto significa que
Para el caso de 3 x 3, est,o significa que
I = y as sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad
usando la defi- nicin de determinante (ver el ejercicio 35).
EJEMPLO 3 Suponer
a = ab + PC; i.e., a = ( a l , a2 ,a3 ) = a ( b 1 , b 2 , b 3 )
+ P(c1, c2, c3) Mostrar que
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 33
SOLUCIN Probaremos el caso a # O, ,8 # O. El caso (Y = O = ,f3
es trivial, y el caso en que exactamente uno de a, p es cero, es
una modificacin sencilla del caso que probamos. Usando las
propiedades fundamentales de los determinantes, el determinante en
cuestin es
ab1 + PCI ab2 + Pc2 ab3 + P C B =- 11 -cubl
(Y -ab2 -ab3 I
c1 c2 C?,
(factorizando - l / a en el segundo rengln)
ab1 + P C I ab2 + Pc2 ab3 + Pc3 -ab2 -ab3 1 " P C 2 - PC3
(factorizando -l/p en el tercer rengln)
(sumando el segundo rengln al primero)
O (sumando el tercer rengln al primero)
=O. A
NOTA HIST~RICA
Parece que en 1693 Leibniz invent y us los determinantes por
primera vez, en relacin con soluciones de ecuaciones lineales.
Maclaurin y Cramer desarrollaron sus propiedades entre 1729 y 1750;
en particular, mostraron que la solucin del sistema de
ecuaciones
es
1 21 = - A
-
34 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
Y
donde
hecho conocido como la regla de Crarner. Posteriormente,
Vanderrnonde (1772) y Can- chy (Isla), al tratar los determinant,es
como 1111 tema aparte que mereca atencin especial, desarrollaron el
campo de manera ms sistemtica, con contribuciones de Laplace,
Jacobi, y otros. A Lagrange (1775) se drben frmulas para vohmenes
de pa- raleleppedos en trminos de determinantes. Las estudiaremos
ms adelante en esta seccin. No obstante que durante el siglo
diecinueve los matemticos estudiaron ma- trices y determinantes,
los ternas se consideraban por separado. Para conocer toda la
historia hasta 1900, ver T. Mnir, The Theory of Determinants in the
Historical Order of Development, reimpreso por Dover, Few York,
1960.
Ahora que hernos enunciado las propiedades necesarias de los de
terminantes y estudiado su historia, est,arrlos list,os para
proceder con el producto cruz dc vectores. Sean a = c l l i + a'j +
q k y tl = h l i + b2j + h3k vect,ows en R3. E l producto cruz de a
y b, dcnot,ado por a x b , (;st# definido como el vector
o, simblicamente, a x b = i i ; ;; j a i l .
Aunque slo definimos los determinantes para arreglos de nmeros
reales, e s t a expresin formal que incluye vectores es una ayuda
til para recordar el p roducto cruz.
Notar que el producto cruz de dos vectores es otro vector; a
veces se le llama producto vectorial.
EJEMPLO 4 Hallar (3i - j + k) x (i + 2j - k ) . SOLUCIN
( 3 i - j + k ) x ( i + 2 j - k ) = = -i + 4j + 7k. A
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 35
Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de
la definicin. Si a, b y c son vectores y (Y, /3 y y son escalares,
entonces
(i) a x b = -(b x a)
(ii) a x (pb + yc) = @(a x b) + y(a X c ) ( a a + p b ) x c = c
y ( a x c ) + @ ( b x c )
Notar que a x a = -(a X a), por la propiedad (i). As, a X a = O
. En particular,
i x i = O , j x j = O , k x k = O .
Adems i x j = k , j x k = i , k x i = j ,
lo cual se puede recordar al permutar cclicamente i, j y k
as:
Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretacin
geomtrica del producto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el
triple producto. Dados tres vectores a, b y c , el nmero real
a . (b x c )
Esto se puede escribir de manera ms concisa como
al a2 a3
Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los
vectores b y c . Esto significa que el primer rengln en la expresin
como determinante de a . (b x c) es de l a forma a = ab + PC, y por
lo tanto a - (b x c ) = O, por el
-
36 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
ejemplo 3. En otras palabras, el vector b x c es ortogonal a
cualquier vector en el plano generado por b y c , en part,icular
tanto a b con10 a c .
A continuacin calculamos la magnitud de b x c. Noten que
(b: + + b;) (c : + C: + c:) - ( b l c l + b 2 ~ 2 + b 3 ~ 3 ) ~
= ( l b l l z l/c11* - (b * c) = l/b11 llc// - llb11* 1 1 0 1 1 ~
cos2 0 = ((b/( l(c(I2 sen 0
donde 6 es el ngulo entre b y c , O 5 8 5 T . Combinando
nuest,ros resultados concluimos que b x c es un vector perpen-
dicular al plano generado por b y c , con longitud J/bll llcll I
sen 8). Sin embargo, hay dos vectores que pueden satisfacer estas
condiciones, pues se pueden escoger dos direcciones que sean
perpendiculares ( o normales) al plano P generado por b y c . Esto
se ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades
111 y n l perpendiculares a P , con llnlll = 1 1 - nl 1 1 = llbll
llcll I sen 01.
Figura 1.3.1 nl y n2 son los dos posibles vectores ortogonales a
b y a c , ambos con norma \lb11 (lcll Isenel.
Cul es el vector que represenh a b X c?, in1 o -nl? La respuesta
es nl = b x c . Resuelvan algunos casos, como k = i x j , para
verificarlo. L a siguiente regla de la mano derecha determina la
direccin de b x c: Si colocan la palma de su mano derecha de manera
que sus dedos se curven desde b en la direccin de c en un ngulo 8,
el dedo pulgar apuntar en la direccin de b x c (figura 1.3.2).
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 37
Figura 1.3.2 Regla de la mano derecha para determinar en cul de
las dos direcciones posibles apunta b x c.
Si b y c son colineales, sen 0 = O, de modo que b x c = O. Si b
y c no son colineales, entonces generan un plano y b x c es un
vector perpendicular a este plan;. La longitud de b x c , llbll
llcll I sen 81, es simplemente el k e a del paralelogramo que tiene
como lados adyacentes a los vectores b y c (figura 1.3.3).
'
X
Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al rea del
paralelogramo formado por b y c .
-
38 LA GEOMETR~A DEL ESPACIO EUCLIDIANO
EJEMPLO 5 Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores i +
j y j + k .
SOLUCI~N Un vector perpendicular a i + j y a j + k es el
vector
( i + j ) x ( j + k ) =
Como Ili - j + kll = A, el vector
es un vector unitario perpendicular a i + j y j + k . A
Usando el producto cruz podemos obtener la interpretacin
geomtrica bsica de los determinantes de 2 X 2 y, ms adelante, de 3
X 3. Sean b = b l i + b j y c = q i + czj dos vectores en el plano.
Si 6 denota el ngulo entre b y c , hemos visto que ]lb x c I I =
llbll llcll Isenel. Como ya se dijo, llbll llcll )sen61 es el rea
del paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver la figura 1.3.3).
Usando la definicin del producto cruz,
As, Ilb X cIJ es el valor absoluto del determinante
De aqu se sigue que el valor absoluto del determinante anterior
es el rea del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los
vectores b = bli + b j y c = cli + czj.
EJEMPLO 6 Hallar el rea del tringulo con vrtices en los puntos
(1, I), (o, a), y (3,2) (figura 1.3.4).
SOLUCI~N Sean a = i + j, b = 2j y c = 3i + 2j. Es claro que el
tringulo cuyos vrtices son los extremos de los vectores a, b y c
tiene la misma rea que el tringulo con vrtices en O , b - a y c - a
(figura 1.3.4). En efecto, este ltimo es slo una traslacin del
tringulo anterior. Como el rea de este tringulo trasladado es la
mitad del rea del paralelogramo con lados adyacentes b - a = -i + j
y c - a = 2i + j , hallamos que el rea del tringulo con vrtices (1
, l ) ,
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 39
i
0 1 1 2 3
( 4
Flgura 1.3.4 Problema (a): Hallar el rea A del tringulo
sombreado. Solucin: Expresar los lados como diferencias de vectores
(b) para obtener A = $ll(b - a) X (c - .)]I.
(O, 2) y (3,2) es el valor absoluto de
1 -1 1 3 - 2 1 2 1 ( = - 2 .
esto es, s. A Hay una interpretacin de los determinantes de
matrices de 3 X 3 como vol-
menes, que es anloga a la interpretacin de los determinantes de
matrices de 2 x 2 como reas. Sean a = ul i + u2j + ugk, b = b l i +
b2j + b3k y c = cli + c2j + cgk, vectores en R3. Mostraremos que el
volumen del paralelepipedo con aristas adyacentes a, b y c (figura
1.3.5) es el valor absoluto del determinante
al a2 a3 D = bl bz b3 . I c1 c2 c3 I
Sabemos que ((a x bll es el rea del paralelogramo con lados
adyacentes a y b. Ms an, I(a X b) cJ = 1 1 ~ 1 1 Ila x bll cos$,
donde II, es el ngulo agudo que forma c con la normal al plano
generado por a y b. Como el volumen del paraleleppedo con aristas
adyacentes a, b y c es el producto del rea de la base [la x bll por
la altura IIcIIcosII,, se sigue que el volumen es I(a x b) cI.
Vimos en la pg. 35 que D = a - (b x e). Al intercambiar renglones
vemos que D = c (b x a) = c (a X b) = (a x b) c; por lo tanto, el
valor absoluto de 13 es el volumen del paraleleppedo con aristas
adyacentes a, b y c .
Para concluir esta seccin, usaremos mtodos vectoriales para
determinar la ecuacin de un plano en el espacio. Sean P un plano en
el espacio, a un vector que termina en el plano, y n un vector
normal al plano (ver la figura 1.3.6).
-
Figura 1.3.5 El volumen del paraleleppedo formado por a, b, c es
el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 x 3 con
renglones a, b y c .
X
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 41
Si r es un vector en R3, entonces el extremo de r est en el
plano P si, y slo si, r-a es paralelo a P y, por lo tanto, si, y
slo si, (r-a).n = O (n es perpendicular a cualquier vector paralelo
a P ver la figura 1.3.6). Como el producto interno es distributivo,
esta ltima condicin es equivalente a r n = a - n. Por lo tanto, si
hacemos a = ali + azj + ask, n = Ai + Bj + Ck y r = zi + yj + zk,
se sigue que el extremo de r est en P si, y slo si,
A z : + B y + C z = r . n = a . n = A a l + B a z + C a s .
(3)
Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuacin (3)
es una constante, digamos, -D. Entonces una ecuacin que determina
el plano P es
A z : + B y + C z + D = O . (4)
donde Ai + Bj + Ck es normal a P ; recprocamente, si A , B y C
no son cero simultneamente, el conjunto de puntos (x, y, z ) que
satisface la ecuacin (4) es un plano con normal Ai+ Bj+ Ck. La
ecuacin (4) es lineal en las tres variables z, y, z y as
corresponde geomtricamente a una superficie lineal, esto es, un
plano, en R3.
Los cuatro nmeros A, B , C, D no estn determinados de manera
nica por P. Para verlo, noten que (2, y, z ) satisface la ecuacin
(4) si, y slo si, adems satisface la relacin
(AA)z: + (AB)?/ + (AC)z + ( A D ) = O para cualquier constante A
# O. Si A, B , C, D y A, B, C, D determinan el mismo plano P ,
entonces A = AA, B = AB, C = AC, D = A D para un escalar A. Decimos
que A, B , C , D estn determinadas por P salvo un mltiplo escalar.
Recprocamente, dados A, B, C , D y A, B, C, D, determinan el mismo
plano si A = AA, B = AB, C = AC, D = AD para algn escalar X. Este
hecho se aclarar en el ejemplo 8.
El plano con normal Ai + Bj + Ck, que pasa por un punto R = (20,
yo, zo) es A ( . - 20) + B ( y - yo) + C(Z - Z O ) = 0 (5)
(notar que 2 = 2 0 , y = yo, z = zo satisface la ecuacin (S), y
entonces, en este caso, D = -(Azo + Byo + Czo).
EJEMPLO 7 Determinar la ecuacin del plano perpendicular al
vector i + j + k, que contiene al punto (1, O, O).
SOLUCIN De la ecuacin (5), el plano es 1(z - 1) + l ( y - O) +
1(z - O) = O; esto es, x + y + z = 1. A
-
42 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
SOLUCIN Mtodo 1. Cualquier ecuacin del plano es de la forma Az +
B y + C z + D = O . Como los puntos (1,1,1) y (2,O,O) y (I , l ,O)
estn en el plano, tenemos
A + B + C + D = O
2A + D = O
A + B + D = O Mediante eliminacin, reducirnos este sistema de
ecuaciones a la forma
2A + D = O (segunda ecuacin) 2B + D = O ( 2 x
tercera-segunda)
C = 0 (primera-tercera)
Como los nmeros A, B C y D estn determinados salvo un mltiplo
escalar, podemos fijar el valor de uno y as los otros quedarn
determinados de manera nica. Si hacemos D = -2, entonces A = $1, B
= $1, C = O . As, la ecuacin del plano que contiene a los puntos
dados es x + y - 2 = O .
Mtodo 2. Sean a = i + j + k, b = 2i y c = i + j . Cualquier
vector normal al plano debe ser ortogonal a los vectores a - b y c
- b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos estn en el
plano. As, n = (a - b) X ( c - b) es normal al plano. Al calcular
el producto cruz tenemos,
n = -1 1 1 = - i - j . P 1 - 1 I li As, cualquier ecuacin del
plano es tie la forma -z - y + D = O (salvo u11 rnltiplo escalar).
Como (2, O , O ) est en el plano, D = +2. Despus de sustituir,
obtenemos 2 + y - 2 = O . A
EJEMPLO 9 Determinar la distancia del punto E = ( 2 1 , y 1 , z
l ) al plano COR ecuacibn A(z - zo) + B ( y - yo) + C ( z - zo ) =
Az + B y + C z + D = O .
SOLUCIN Considerar al vector
Ai+ Bj + Ck J A 2 + B2 + C2 I1 =
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 43
X
Figura 1.3.7 La geometra para determinar la distancia del punto
E al plano P.
que es un vector unitario normal al plano. Bajar una
perpendicular de E al plano y construir el tringulo REQ mostrado en
la figura 1.3.7. La distancia d = IEQI es la longitud de la
proyeccin de v = RE (el vector de R a E) sobre n; as, -+
distancia = Iv - nl = I [ ( z ~ - z0)i + (y1 - y0)j + (zl -
zo)k] nl - - IA(z1 - 20) + B(YI - Y O ) + C(z1 - Z O ) ~
dA2 + BZ + C2 Si el plano est dado en la forma Ax + B y + Cz + D
= O, escogemos un punto (20, yo, 20) sobre I y notamos que D =
-(Ax, + By0 + Czo). AI sustituir en la frmula anterior da
EJERCICIOS
1. Verificar que al intercambiar dos renglones o dos columnas
del determinante de 3 x 3 1: : ;I
2 0 2
se cambia el signo del determinante (escoger cualesquiera dos
renglones o cualesquiera dos columnas).
-
44 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
2. Evaluar 36 18 17 45 24 20
3 5 -2
17 19 23
3: Calcular a x b, donde a = i - 2 j + k , b = 2i + j + k .
4. Calcular a (b x c ) , donde a y b son corno en el ejerticio 3
y c = 3i - j + 2k.
Hallar el rea del paralelogramo que tiene como lados a los
vectores'a y b dados en el ejercicio 3.
6. Un triingulo tiene vrtices ( O , O , O ) , (1,1, 1) y ( O ,
-2,3). Hallar sn rea.
7. Cui1 es el volumen del paraleleppedo con aristas 2i + j - k,
5i - 3k e i - 2 j + k ? iCul es el volumen del paraleleppedo con
aristas i , 3j - k y 4i + 2 j - k?
En los ejercicios del 9 al 12, describir todos los vectores
unitarios ortogonales a los vectores dados.
9. i, j
10. -5i + 9j - 4k, 7i + 8j + 9k
-Si - 9j - 4k, 7i + 8j + 9k, O 12. 2i - 4j + 3k, -4i + 8j - Gk
13. Calcular u + v, u - v, llull, llvll y u x v donde u = i - 2 j +
k, v = 2i - j + 2k. 14. Repetir el ejercicio 1.3 para u = 3i + j -
k, v = -6i - 2 j - 2k. 15. Hallar una ecuacin para el plano que
m e s perpendicular a v = ( I , ] , 1) y pasa por ( l , O , O )
. (b) es perpendicular a v = (1 ,2 ,3) y pasa por (1,1, 1). (c) es
perpendicular a la recta 1(t) = ( 5 , o , 2 ) t + ( 3 , - 1 , l ) y
pasa por (5, -1, O ) .
es perpcndicular a la rect,a l(t) = (-1, -2, 3)1 + ( O , 7 ,1 )
y pasa por (2,4, - I ) .
-
1.3 EL PRODUCTO CRUZ 45
17. (a) Probar las identidades del triple producto vectorial (A
X B) X C = (A-C)B- - (B C)A y A X (B X C) = (A C)B - (A * B)C.
(b) Probar (u X v) X w = u X (V X W) si, y slo si (U X W ) x v =
O. (c) Probar (u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v = O (la
identidad de Jacobi).
18. k.,l Probar sin recursos geomtricos, que
u . ( v x w ) = v . ( w x u ) = w . ( u x v ) = - u . ( w x v
)
= w (v x u) = -v - ( u x w)
(b) Probar
(u x v) * (u x v) = (u - u)(v - V) - ( u . v))(u/ . v) = [IDEA:
Usar la parte (a) y el ejercicio 17(a).]
19. Verificar la regla de Cramer presentada en la nota histrica
de la pgina 33.
20. Hallar una ecuacin para el plano que pasa por (2 , -1 ,3) y
es perpendicular a v = (1 , -2 ,2 ) + t ( 3 , -2 ,4) .
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (1, -2, -3) y es.
perpendicular al plano 3 ~ - - - 2 ~ + 4 = 0 .
24. Hallar la distancia de ( 2 , 1 , -1) al plano 2: - 2y + 22 +
5 = O.
Hallar una ecuacin del plano que pasa por ( 3 , 2 , -1) y (1 ,
-1 ,2) y es paralelo a la recta v.= (1, -1, O) + t ( 3 , 2 , -2).
27. Rehacer los ejercicios 19 y 20 de la seccin 1.1 usando el
producto punto y los conocimientos adquiridos acerca de normales y
planos.
2@. Dados los vectores a y b, Les cierto que las ecuaciones x X
a = b y X a = l lal l determinan slo un vector x? Dar argumentos
geomtricos y analticos.
-
46 LA GEOMETRiA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
29. Determinar la distancia del plano 1'22 + 13y + 5 2 + 2 = O
al punto (1, 1, -5).
Hallar la distancia al punto (6, 1, O ) del plano que pasa por
el origen y es perpen- dicular a i - 2j + k. 31. En mecnica se
define el momento M de una fuerza F alrededor de un pun to O como l
a magnitud de F por la distancia perpendicular d de U a l a linea
de accin de F. (Recordemos del ejemplo 10, seccin 1.1, que las
fuerzas se pueden considerar vectores.) El momento vector M es el
vector de magnitud M cuya direccin es perpendicular al plano de O y
F, determinado por l a regla de l a mano derecha. Mostrar que M = R
X F, donde R es cualquier vector que va de O a la lnea de accin de
F (ver la figura 1.3.8.).
O
de accin
Figura 1.3.8 Momento de una fuerza
32. La velocidad angular de rotacin w , de un cuerpo rgido tiene
la misma direccin qne el eje de rotacin y magnitud igual a la tasa
de giro en radianes por segundo. El sentido de w se determina por
la regla de la mano derecha.
(a) Sea r un vector que va del eje a un punto P del cuerpo
rgido. Mostrar que el
(b) Interpretar el resultado para la rotacin de un carrusel
alrededor de su eje, vector v = w x r es la velocidad de P, como en
la figura 1.3.9, con w = VI y r = v2.
donde P es u11 punto en la circunferencia.
Figura 1.3.9 E1 punto P tiene vector velocidad v.
-
1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CI~NDRICAS 47
Dos medios fisicos con indices de refraccin n1 y h2 estn
separados por una superficie plana perpendicular al vector unitario
N. Sean a y b vectores unitarios a lo largo de los rayos incidente
y refractado, respectivamente, sus direcciones son las de dichos
rayos de luz. Mostrar que n l ( N x a) = nz(N x b), usando la l e y
de Snell, sen O1 /sen 8 2 = n2/n1, donde 81 y 8 2 son los ngulos de
incidencia y refraccin, repectivamente (ver la figura 1.3.10.)
N rayo de luz
Figura 1.3.10 Ley de Snell.
*a Justificar los pasos en los siguientes clculos: l 1 1; ' 1 1
' ' 1 1-3 -61 4 5 6 = O - 3 - 6 1 0 - 3 -6 = = 33 - 36 = -3. 7 8 10
EC 10 -6 -11 O -6 -11
*35. Mostrar que, en una matriz, al sumar un mltiplo del primer
rengln el segundo no se altera el determinmte, esto es,
h i c1 al 51 c1
b3 c3 ! 1 a3 b3 c3 1 uz + Xu1 b2 + Ab1 ~2 + X C ~ = ~2 b2 ~2 .
[De hecho, al sumar en una matriz un mltiplo de cualquier rengln
(columna) a otro rengln (columna), no se altera el
determinante.]
1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CILNDRICAS
La manera usual de representar un punto en el plano R2 es
mediante las coor- denadas rectangulares ( 2 , y). Sin embargo,
como ya seguramente lo aprendi el lector en clculo elemental, las
coordenadas polares en el plano pueden ser muy tiles. Como se
muestra en la figura 1.4.1, las coordenadas (.,e) estn relacio-
nadas con (z, y) mediante las frmulas
x = r cost9 y y = r sen O ,
donde usualmente tomamos T 2 O y O 5 B < 27r.
-
48 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0
.
Figura 1.4.1 Las coordenadas polares de (.,y) son ( r , o )
A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se
les recomienda estudiar las secciones respectivas en su libro de
clculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de representar puntos en
el espacio, adems de las coordenadas cartesianas rectangulares (x,
y , z ) . Estos sistemas coordenados alternativos son
particu1arment.e adecuados para ciertos tipos de problemas, como
por ejemplo, la evaluacin de integrales (ver la seccin 6.3).
DEFINICI~N (ver la figura 1.4.2) . Las coordenadas cilndricas (r
,B, 2) de un punto (z, y, z ) estn definidas por
x = T C O S ~ , y = r seno, z = z (1)
Y
\
Figura 1.4.2 Representacin de un punto (z, y, z j en trminos de
sus coordenadas ciln- dricas r , 8 y z.
-
1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CI~NDRICAS 49
o, explcitamente,
tan"(y/z) si z > O y y 2 O 2x + tan-'(y/z) s i z > O y y
< O
T = J Z , Z = Z , % = { ?r + tan"(y/z) si z < O
donde tan-?(y/x) est entre - ~ / 2 y ~ 1 2 . Si 2 = O, entonces
8 = ~ 1 2 para y > O y 3 ~ / 2 para y < O . Si x = y = O