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Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico
Departamento de Informtica e Estatstica
LIVITEC Laboratrio de Informtica
para Vigilncia Tecnolgica
CLCULO NUMRICOEM COMPUTADORES
-Provas e Projetos-
Volume 2
Bernardo Gonalves RisoMirela Sechi Moretti Annoni Notare
Florianpolis, SC, 2011
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SUMRIO
VOLUME 1
Apresentao 3
PARTE I PROVAS
PROVA 1 - Sistemas de Numerao 6PROVA 2 - Representao em Ponto
Flutuante 12PROVA 3 Erros 20PROVA 4 - Introduo s Equaes Algbricas e
Transcendentes 24PROVA 5 - Mtodo da Bisseo 32PROVA 6 - Mtodo da
Falsa-Posio 39PROVA 7 - Mtodo de Newton-Raphson 46PROVA 8 -
Introduo s Equaes Polinomiais 53
PROVA 9 - Mtodo de Birge-Vieta 62PROVA 10 - Mtodo de Mller
74PROVA 11 - Introduo aos Sistemas de Equaes Lineares 84PROVA 12 -
Mtodo de Eliminao Gaussiana 89PROVA 13 - Mtodo de Fatorao LU
97PROVA 14 - Mtodo Iterativo de Gauss-Seidel 109PROVA 15 - Introduo
aos Sistemas No-Lineares 116PROVA 16 - Mtodo de Newton 121
PARTE II PROJETOS
PROJETO 1 - Programa Mudana de Base 131PROJETO 2 Programa
Leitura de Registro 133PROJETO 3 Programa Clculo de Erros
137PROJETO 4 Programa Valores Funcionais 139PROJETO 5 - Programa
Bisseo 142PROJETO 6 Programa Falsa_Posio 144PROJETO 7 Programa
Newton_Raphson 146PROJETO 8 Programa Descartes 148PROJETO 9
Programa Birge_Vieta 150PROJETO 10 Programa Mller 153
VOLUME 2
Sumrio 158Agradecimentos 160Apresentao 161
PARTE I PROVAS 174
PROVA 17 - Mtodo da Secante 175PROVA 18 - Mtodo Quase Newton
184
PROVA 19 - Introduo ao Ajustamento de Curvas 191
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PROVA 20 - Ajuste Polinomial 200PROVA 21 - Ajuste No Polinomial
209PROVA 22 - Interpolao Lagrangeana 217PROVA 23 - Interpolao de
Gregory-Newton 225PROVA 24 - Integrao de Newton-Ctes 232
PROVA 25 - Integrao de Simpson 241
PARTE II PROJETOS 250
PROJETO 11 - Programa Sistema Linear 251PROJETO 12 - Programa
Gauss 255PROJETO 13 - Programa LU 257PROJETO 14 - Programa
Gauss-Seidel 260PROJETO 15 - Programa No Linear 263PROJETO 16 -
Programa Newton 266
PROJETO 17 - Programa Quase_Newton 270PROJETO 18 - Programa
Tabela 273PROJETO 19 - Programa Ajuste_de_Parbola 277PROJETO 20 -
Programa Ajuste_Exponencial 281PROJETO 21 - Programa
Interpolao_Linear 285PROJETO 22 - Programa Lagrange 287PROJETO 23 -
Programa Trapzios 290PROJETO 24 - Programa Simpson_1/3 293PROJETO
25 - Programa Gauss_Dois_Pontos 296PROJETO 26 - Programa
Runge_Kutta_4 297PROJETO 27 - Programa Relaxao 298
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AGRADECIMENTOS
Os autores desejam agradecer ao senhorItamar Annoni
Notarepelo
empenho na organizao dos captulos deste segundo volume de
ClculoNumrico em Computadores. Sem sua contribuio o texto ora
apresentadono poderia ter o mesmo bom gosto na distribuio das
matrias quecompem esta monografia.
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APRESENTAO
Nesta apresentao do segundo volume do livro Clculo Numrico
emComputadores Provas e Projetosdiscorremos sobre um conjunto de
resultados deuma pesquisa de natureza cientfica e educacional sobre
aspectos relacionados investigao de metodologiaspara:(a) o
estabelecimento de um modelo deprovasde avaliao de conhecimento;
e(b) a elaborao deprojetoscomputacionais na rea de clculo
numrico.
Em tal contexto, estudamos as propostas nesse sentido j
apresentadas naliteratura, fazemos a crtica dessas propostas e
desenvolvemos o que acreditamos seruma nova concepo metodolgicapara
a abordagem dessa rea de conhecimento. Essanova concepo determina
uma estrutura original para as provas de domnio de
contedo de clculo numrico computacional (que so submetidas a
alunos degraduao das reas tcnicas e cientficas), alm de
umprocedimento sistemtico para acriao de algoritmos estruturados.
As provas, os algoritmos e os correspondentes
programas computacionais devem constituir um livro que apresente
caractersticasoriginais se comparado aos textos disponveis
atualmente. Para melhor estruturar estaapresentao, dividimos os
assuntos em sees numeradas e tituladas.
Naseo 1desta apresentao preparamos uma introduo. Naseo
2,fazemosuma rpida reviso de cinco livros didticos da rea de clculo
numrico, em busca deindicaes de modelos de provas e projetos. Na
seo seguinte, a seo 3,desenvolvemos uma metodologia para a definio
da estrutura e confeco de questesde provas para disciplinas de
Clculo Numrico em Computadores, assim como para aforma de
apresentao das respostas a essas questes. Na ltima seo, a seo
4,definimos uma metodologia para a realizao de projetos que
resultem em programascomputacionais didticos do clculo numrico.
Seguem concluses preliminares desseesforo, naseo 5,e algumas
referncias bibliogrficas, naseo 6.
1. Introduo.A disciplina Clculo Numrico em Computadoresrene, em
seucontedo programtico, uma srie de mtodos numricos adequados
resoluo de
problemas oriundos da modelagem matemtica de fenmenos que so de
interesse emvrias reas da cincia e da tcnica. Em sala de aula, uma
vez estudado um mtodo
numrico, e discutidas as principais caractersticas desse mtodo,
realizam-se exemplosde sua utilizao em casos simples e
ilustrativos. O passo seguinte do procedimentodidtico, ainda em
sala de aula, consiste no desenvolvimento de algoritmos
quegeneralizam e automatizam o emprego de tal mtodo.
Aps uma srie de aulas com o estudo de vrios mtodos numricos,
estudo esserelizado de acordo com a sistemtica apresentada no
pargrafo anterior, aplica-se uma
prova parcial para avaliar o conhecimento dos alunos. Essa prova
tem as seguintescaractersticas gerais:
(a) trata-se de uma prova com consulta livre ao material que o
aluno traz decasa; e
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(b) apresenta quatro questes de igual valor, sendo a primeira de
naturezadissertativa, a segunda e a terceira de natureza numrica,
e, na ltima, pede-se para oaluno construir um algoritmo.
A investigao de natureza cientfica sobre procedimentos
sistemticos
convenientes elaborao e resoluo de provas como as descritas
acima, e aodesenvolvimento de projetos computacionais que programem
algoritmos, envolve adefinio de metodologiasque dem a essa
investigao um suporte terico. No que serefere s provas, preciso,
portanto, que haja uma metodologia para a sua elaboraoque atenda s
necessidades de clareza na redao das questes, de objetividade e
devarredura dos temas submetidos avaliao. J, no que se refere aos
algoritmos, indispensvel que se tenha uma metodologia para a sua
construo, de modo que atendaa, pelo menos, trs requisitos:
simplicidade, eficincia e sistematicidade.
No livro Provas e Projetos de Clculo Numrico em Computadores,em
fasede desenvolvimento e que, uma vez pronto, se pretende submeter
Editora
Universitria, apresenta-se uma proposta resultante de um
trabalho de pesquisacientfica sobre a melhor maneira de:
(a) confeccionar e resolver provas de clculo numrico
computacional; e(b) de desenvolver projetos para a construo e
execuo de programas
numricos de modo que se obtenha, no final do processo de
desenvolvimento, umproduto de natureza didtica, legvel e facilmente
analisvel.
Os livros didticos, normalmente encontrveis no contexto
universitrio doensino de disciplinas da rea de clculo numrico, no
costumam trazer modelos de
provas nem projetos de implementao de programas computacionais
que sigam umametodologia de refinamentos sucessivos. No h, de nosso
conhecimento, nenhum livrodessa rea que proponha modelos de provas.
Alguns livros apresentam algoritmos, massomente uns poucos
apresentam programas computacionais correspondentes aosmtodos
numricos.
2. Reviso Bibliogrfica. Nesta seo fazemos uma anlise preliminar
de cincolivros didticos, devotados rea de clculo numrico, em busca
de sugestes demodelos de provas e de modos de confeco de projetos
de programas computacionais.Os livros considerados so os
seguintes:
[1] Clculo Numrico Caractersticas Matemticas e Computacionais
dos
Mtodos Numricos, cujos autores so: Dcio Sperandio, Joo Teixeira
Mendes eLuiz Henry Monken e Silva;
[2] Programao e Mtodos Computacionais, em dois volumes, de
autoria deTrcio Pacitti e Cyril P. Atkinson;
[3] Clculo Numrico com Estudos de Casos em Fortran IV, de
William S. Dorne Daniel D. McCracken, traduzido do ingls por Jos
Abel Royo dos Santos e AnaLcia Serio dos Santos;
[4] Algoritmos Numricos Seqenciais e Paralelos, que tem a
autoria de
Bernardo Gonalves Riso, Christianne Marie Schweitzer e Gastn
Pedro AlauzetHeerdt; e
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[5] Clculo Numrico em Computadores Provas e Projetos, de autoria
deBernardo Gonalves Riso e Mirela Sechi Moretti Annoni Notare.
No primeiro livro relacionado, o livro [1], temos um excelente
texto didtico,moderno, bem organizado e que apresenta
interessantssimas discusses sobre aaplicabilidade dos mtodos
numricos. um livro muitssimo bem confeccionado. Soaspectos
positivos desse livro a qualidade do texto, dos exemplos, das
figuras, dastabelas, e a preocupao com o rigor matemtico das
expresses e das dedues, almda apresentao de teoremas e suas
demonstraes. Ao final de cada captulo, sugere aoleitor uma grande
quantidade de exerccios. Na pgina 3, esse livro apresenta a
seguintedefinio de algoritmo:
a descrio seqencial dos passos que caracterizam um mtodo
numrico. Oalgoritmo fornece uma descrio completa de operaes bem
definidas por meio das
quais o conjunto de dados de entrada transformado em dados de
sada. Por operaesbem definidas entendem-se as aritmticas e lgicas
que um computador pode realizar.Dessa forma, um algoritmo consiste
de uma seqncia de npassos, o algoritmo devefornecer valores ao
menos prximos daqueles que so procurados. O nmero npodeno ser
conhecido a priori. o caso de algoritmos iterativos cuja idia ser
enfocada aseguir. Nesse caso, em geral tem-se para napenas uma cota
superior.
No h, contudo, nesse extraordinrio livro, modelos de provas para
a verificao doconhecimento adquirido pelos estudantes. Tambm no h
projetos de algoritmos ou de
programas computacionais.
J, no livro [2] encontramos, no primeiro volume, uma bem
desenvolvidaapresentao das caractersticas da linguagem FORTRAN, e
dos modos de utiliz-la.Trata-se, portanto, podemos dizer, de um
excelente manual de programao FORTRANde aplicao geral, no
especificamente de mtodos numricos. O segundo volume,entretanto,
volta-se para a apresentao de mtodos numricos. Nesse
volumeapresentam-se numerosos algoritmos e os programas
computacionais em FORTRANque lhes so correspondentes. Os algoritmos
tm a forma de fluxogramas, e seguem umsumrio computacional que
indica as principais etapas da resoluo de problemas. Emseguida
apresentao de um algoritmo, exibe-se o programa FORTRAN associado
aoalgoritmo, assim como o relatrio de uma execuo desse programa
para um particular
conjunto de dados. A nosso ver, os programas so excessivamente
complexos para uminiciante, pois utilizam recursos avanados de
programao, alm de sub-rotinas, eelaborados formatos para a
apresentao de resultados.
Pelo que podemos observar, no h nesse livro (pioneiro da
computao numricano Brasil), apesar de todos os mritos de que
merecedor, nenhuma sugesto sobre aelaborao de provas para avaliar o
conhecimento dos leitores. Faz-se, contudo, arealizao de projetos
computacionais, mas com o emprego de um estilo criticvel sob o
ponto de vista da evoluo do processo de desenvolvimento. Pois no
se tem,propriamente, um procedimento gradual, estruturado e
progressivo, de refinamentossucessivos de uma idia inicial, que
permita acompanhar o longo e difcil raciocnio que
culmina com o detalhamento de um algoritmo e a realizao do seu
programa.
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O livro [3] , provavelmente, um caso nico de texto de clculo
numrico em que semostra a aplicao de mtodos numricos em situaes
prticas do mundo real, oumuito prximo dele. Os mtodos numricos so
apresentados em detalhe e suascaractersticas so bem discutidas. Alm
disso, apresenta grafos de processos para aaplicao desses mtodos e
algoritmos na forma de fluxogramas. As listagens dos
programas FORTRAN so ento exibidas, assim como os relatrios de
suas execues.Infelizmente, tambm aqui no h sugestes sobre a
elaborao de provas paraaveriguar o aprendizado dos estudantes. Mas
h, podemos dizer, o desenvolvimento denumerosos projetos
computacionais com a realizao de algoritmos e de programasnumricos,
embora esses algoritmos e programas sejam apresentados sem um
desejvel
processo de desenvolvimento progressivo que venha facilitar o
entendimento por partede iniciantes no assunto.
Diferentemente dos livros mencionados anteriormente, o livro [4]
preocupa-se emestabelecer uma metodologia de refinamentos
sucessivos para a criao de algoritmosnumricos didticos. Nesse livro
prope-se conceber um algoritmo em basicamente trs
etapas de refinamentos sucessivos. Cada etapa apresenta duas
verses para o algoritmo:uma verso grfica; e uma verso literal.
Naprimeira etapa, faz-se uma representaogrfica do algoritmo na
forma de uma caixa preta com aberturas para o recebimento dedados e
para a emisso de resultados, e uma representao literal, em
pseudo-linguagemde programao, na qual se definem os tipos de
algumas variveis e j se esboa o corpodo algoritmo. Nasegunda
etapaconsideram-se aspectos internos da caixa preta definidana
etapa anterior e faz-se a representao literal correspondente.
Finalmente, na ltimaetapa a metodologia faz estabelecer a
representao grfica e a correspondenterepresentao literal do
algoritmo completamente detalhado. Nesse livro no se
propem modelos para a realizao de provas de conhecimento, mas
sugere-se, dealgum modo, um procedimento sistemtico para o projeto
computacional de mtodosnumricos.
O livro [5], por sua vez, o resultado de uma investigao que visa
oestabelecimento de um modelo de provas e de projetos
computacionais na rea declculo numrico, apresentando nvel de
complexidade supostamente compatvel comum primeiro estudo
universitrio nessa rea. Sugere a submisso de provas comconsulta ao
material selecionado livremente pelo aluno, aproximando esse aluno
desituaes que poder encontrar durante sua vida profissional. Alm
disso, prope que as
provas devam ter quatro questes de igual valor, sendo uma
dissertativa, duasnumricas e um algoritmo. Essas questes precisam
ser respondidas de modo detalhado
e a adequao dos resultados deve ser brevemente comentada para
que o alunodemonstre conscincia do que se passa. Os algoritmos
necessitam ser construdospaulatinamente, seguindo uma sistemtica
baseada em refinamentos sucessivos.
Um aspecto importante a levar em conta que os textos
tradicionais, isto , os livrosdidticos de clculo numrico so
elaborados por professores - de altssimo gabaritotcnico, que
escrevem para seus leitores, estudantes universitrios. Os livros
[5] eaquele que estamos agora escrevendo tm uma caracterstica
diferente. Eles se colocamnaposio do estudante que respondea um
conjunto de questes de prova (estas, sim,elaboradas por um
professor) e desenvolve projetos computacionais (tambm
propostos
pelo mestre). Mas a perspectiva diferente daquela dos textos
didticos clssicos:
enquanto l se escreve do professor para o estudante, em [5] e no
livro que agora se
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escreve em continuao a [5], supostamente o estudante quem
escreve textos para serlidos e avaliados pelo professor.
Em resumo, podemos dizer que o livro que estamos atualmente
escrevendo procuradar continuidade ao livro [5], respeitando todas
as suas consideradas boas
caractersticas. A contribuio que esses livros trazem - o livro
[5] e o livro que oraescrevemos - a de apresentar uma nova
abordagempara o estudo, para a avaliao epara a criao de projetos
que envolvem o desenvolvimento de programas do clculonumrico.
3. Metodologia para a confeco de provas. O sistema de avaliao
prev arealizao de quatro provasdistribudas ao longo de um perodo
letivo. Cada prova valedez pontos e a nota final a mdia aritmtica
das notas dessas quatro provas. Ocabealho de cada prova anuncia o
tema especfico que avaliado. Oferecem-se quatroquestes ao
estudante.
Aprimeiraquesto de natureza dissertativa, pois pede a descrio
resumida deum determinado assunto ligado ao tema da prova; a
segunda e a terceira pedem aaplicao de algum mtodo numrico (com o
auxlio, possivelmente, de umacalculadora cientfica) para a resoluo
de problemas, e so, por esse motivo,qualificadas como questes
numricas; e, finalmente, a quartaquesto, caracterizadacomo
algoritmo, procura verificar a desenvoltura do estudante no que diz
respeito elaborao de algoritmos numricos simples e de carter
didtico, descritos comutilizao de uma pseudolinguagem de programao,
e referente a um mtodo numricoincludo no mbito da prova. Como
exemplo de uma prova com as caractersticasdescritas acima,
tem-se:
PROVA 17 Mtodo Quase-Newton
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (descritiva) Por favor, considere o problema da resoluo
numricade Sistemas de Equaes No-Lineares. Apresente um Mtodo Quase
Newtonadequado resoluo desse tipo de sistema. Compare as
caractersticas desse mtodocom as do Mtodo de Newton. No deixe de
escrever, pelo menos, uma pgina. Seachar conveniente, use frmulas,
grficos e tabelas para ilustrar a sua exposio.
Questo 2 (numrica)Use um Mtodo Quase-Newtonpara tentar resolver
osistema dado a seguir:
x + 2y 2,1 = 03x2+ y2 6,9 = 0
Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema.
Faa duasiteraes, indicando sempre todas as operaes efetuadas. Para
apresentar os resultados
organizadamente, preencha uma tabela com o cabealho:
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i xi yi desvioi= abs(xi+1- xi) + abs(yi+1- yi)
Por favor, no final, escreva um comentrio que avalie a evoluo do
processoiterativo.
Questo 3 (numrica) Tente resolver o sistema de equaes no
lineares dadoabaixo com a aplicao de umMtodo Quase Newton:
F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0
Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema.
Faa trsiteraes sempre indicando as operaes efetuadas. Preencha uma
tabela que apresenteos resultados organizadamente. Por favor, no
deixe de escrever um comentrio que
avalie o processo iterativo.
Questo 4 (algoritmo) Por favor, construa um algoritmo
estruturado em trsblocos funcionais de instrues (Entrada dos Dados,
Processamento dos Clculos eSada dos Resultados) que permita a
aplicao de umMtodo Quase-Newtonno caso daresoluo do sistema de
equaes no lineares dado a seguir:
F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0
G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0
Boa Prova!
4. Metodologia para a criao de algoritmos. No desenvolvimento
dealgoritmos didticos do Clculo Numrico em Computadores, a
simplicidade importante porque se pretendem obter, antes de tudo,
algoritmos simples. Eles apenasfixam, de modo claro e fcil de
assimilar, a lgica de cada mtodo numrico
programado. Esses algoritmos no precisam ter recursos muito
sofisticados para arepresentao dos dados ou dos resultados. Por
isso, a formatao das informaes no uma preocupao tpica desses
algoritmos. Alm disso, aspectos de robustez (para que
dados mal escolhidos sejam denunciados e rejeitados logo, isto ,
antes que se percamuito tempo com o seu processamento) e eficincia
computacional (de modo a evitardesperdcio de memria e de tempo de
processamento) no precisam ser consideradoscom muito empenho.
A eficincia da metodologia permite que ela seja empregada com
sucesso namaioria dos casos, resultando em um produto com boas
caractersticas: estruturao,legibilidade, facilidade de anlise e de
implementao, alm de facilidade para extensodas funcionalidades.
A estruturao contribui para a boa e rpida compreenso do
algoritmo. Para
obt-la, considera-se a diviso do algoritmo em trs grandes blocos
funcionais, a saber:Entrada dos Dados (caracterizado,
principalmente, pelo emprego de comandos de
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leitura, do tipo LEIA...); Processamento dos Clculos(este bloco,
que caracterizadopelas instrues que constituem o mtodo
implementado, contm, sobretudo, comandosde atribuio, expresses
matemticas e estruturas lgicas de repetio e seleo; ele ,quase
sempre, o bloco mais complexo de todo o algoritmo); e Sada dos
Resultados(bloco caracterizado por instrues que mandam escrever
resultados numricos tanto
intermedirios como finais, assim como imprimir anlises e
comentrios que avaliam aqualidade dos resultados, o sucesso ou o
insucesso da aplicao do mtodo; a maioria deseus comandos do tipo
ESCREVA...).
A sistematicidade do processo de desenvolvimento, garantida pelo
uso dametodologia para a construo de algoritmos, estabelece certo
nmero de etapas quedevem ser observadas pelos criadores de
algoritmos. De acordo com uma concepo dedesenvolvimento
passo-a-passo, partindo dos aspectos mais abstratos e de alto
nvel,
pode-se incluir refinamentos progressivamente (abordagem
top-down). Desse modo, averso final obtida com o mnimo de esforo e,
talvez, o que mais importante:apresenta um formato padronizado.
4.1. Etapas de refinamento sucessivo. Na primeira etapa,
utiliza-se um recursogrfico (caro aos engenheiros e tcnicos) na
forma de uma caixa preta com duasaberturas: uma, para a aquisio dos
dados; a outra, para a emisso dos resultados. Essesfluxos de
entrada e sada de informaes so representados por setas. Sob a seta
deentrada dos dados, escrevem-se os nomes das variveis portadoras
dos dados. Sob a setade sada dos resultados, escrevem-se os
identificadores das variveis portadores dosresultados esperados com
a execuo do algoritmo.
A caixa preta deve ser identificada com o nome escolhido para o
algoritmo, porexemplo, BISSEO. Ainda na primeira etapa do
desenvolvimento do algoritmo, a suarepresentao grfica traduzida
para uma concepo literalem que aparece o nome doalgoritmo, e tambm
os tipos (REAL, INTEIRO, etc.) de algumas das variveis. Dessemodo,
produz-se um texto todo escrito com letras maisculas cujo emprego
visa
padronizao e ao melhor entendimento do algoritmo. A equao
algbrica outranscendente f(x) = 0, que se deseja resolver, fornece
a funo F(X) = ... que definidainicialmente no interior da caixa
preta e, depois, na verso literal (logo aps adeclarao dos tipos das
variveis).
Alm disso, j que a concepo inicial um mero esboo do
algoritmopretendido, destina-se um espao (indicado,
preliminarmente, por reticncias e que ser
DADOS RESULTADOSBISSEO
F(X) = ...
A, B,PARTMAX
RAIZ =, XM
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mais tarde preenchido com blocos de instrues) para o corpo do
algoritmo, o qual estsituado entre as palavras reservadas INCIO e
FIM DO ALGORITMO. Veja a figura aseguir. Nela se considera, como
exemplo de aplicao da metodologia proposta, odesenvolvimento de um
algoritmo para oMtodo da Bisseo. Observe que as palavrasreservadas
da pseudolinguagem de programao so realadas com tipos em
negrito:
Na segunda etapa do desenvolvimento do algoritmo, abre-se a
caixa pretainicial, isto , faz-se o primeiro conjunto de
refinamentos. Tal se consegue considerandoa caixa preta constituda
de trs outras caixas pretas:
(1) ENTRADA DOS DADOS;(2) PROCESSAMENTO DOS CLCULOS; e(3) SADA
DOS RESULTADOS.Elas representam os principais blocos de instrues de
um algoritmo numrico.
Cada bloco correspondente a um tipo de funcionalidade, sugerido
pelo nome do bloco.Esses blocos de instrues so executados em
seqncia. Veja a figura a seguir:
A essa representao grfica com trs caixas pretas corresponde uma
outra, com trsblocos de instrues, que so as suas verses literais.
No caso do Mtodo da Bisseo(concebido de modo extremamente simples),
pode-se ter:
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIAA, B, PARTMAX
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
BISSEO
ENTRADADOSDADOS
PROCESSAMENTODOSCLCULOS
SADADOSRESULTADOS
ALGORITMOBISSEOREALA, B, XMINTEIROPART, PARTMAXF(X) = ...
INCIO.........
FIM DO ALGORITMOBISSEO.
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(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)PART = 1ENQUANTO(PART
MENORPARTMAX) FAA
XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SE
SE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART
= PARTMAX FIM SEPART = PART + 1
FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVARAIZ = , XM
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
No presente caso, por se adotar uma concepo extremamente
simples, o
refinamento realizado na segunda etapa j permite escrever o
algoritmo completo(exclusivamente com letras maisculas, para
facilitar a inspeo visual). Para obter essaverso completa, basta
introduzir os trs blocos no corpo do algoritmo, indicando a
suaexecuo em seqncia, e declarar os tipos de todas as variveis
empregadas noalgoritmo. Em outras circunstncias, contudo, pode ser
necessrio considerar que umaou mais das caixas pretas so
susceptveis de mais refinamento progressivo. Nesse caso,cada caixa
preta pode ser aberta e compreendida como a composio de uma ou
maisdessas caixas. E assim por diante, conforme seja necessrio para
a construo passo-a-
passo do algoritmo, at a sua verso final. A seguir apresenta-se
uma viso doalgoritmocompletamente desenvolvido.
ALGORITMOBISSEOREALA, B, XM; INTEIROPART, PARTMAXF(X) = ...
INCIO(* ENTRADA DOS DADOS: *)
LEIAA, B, PARTMAX(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)(* PROCESSAMENTO
DOS CLCULOS: *)
PART = 1ENQUANTO(PART MENORPARTMAX) FAA
XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM
SESE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART
= PARTMAX FIM SEPART = PART + 1
FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)(* SADA DOS
RESULTADOS: *)
ESCREVARAIZ = , XM(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
FIM DO ALGORITMOBISSEO.
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4.2. Ampliao da funcionalidade de algoritmos. A funcionalidade
doalgoritmo BISSEO pode ser estendida introduzindo-se, por exemplo,
um controlemais apurado do particionamento do intervalo [A; B] que
contm a raiz XM da equaof(x) = 0. Assim, a cada particionamento
pode-se calcular:
(1) a amplitude do intervalo: DIF = B A que deve ser comparado
com umvalor de referncia DIFMAX, lido na entrada dos dados; e
(2) o valor da funo calculado no ponto mdio, XM, e tomado em
valorabsoluto: FM = ABS(F(XM)), a ser comparado com um valor de
referncia lido naentrada de dados: FMAX.
Introduzindo essas duas extenses de funcionalidade, o algoritmo
pode assumiragora o seguinte aspecto:
ALGORITMOBISSEO
REALA, B, XM, DIF, DIFMAX, FM, FMAXINTEIROPART, PARTMAXF(X) =
...
INCIO
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIAA, B, PARTMAX, DIFMAX, FMAX
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)PART = 1; DIFMAX = 0.0001; FM =
100ENQUANTO((PART MENORPARTMAX ) E(DIF MAIORDIFMAX) E(FM
MAIORFMAX)) FAA
XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM
SESE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART
= PARTMAX FIM SEDIF = B A; FM = ABS(F(XM)); PART = PART + 1
FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVARAIZ = , XMESCREVAVALOR
FUNCIONAL CORRESPONDENTE = , FM
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
FIM DO ALGORITMOBISSEO.
4.3. Implementao de algoritmos. A verso final do algoritmo deve
estarpronta para ser implementada. Assim, o algoritmo BISSEO, por
exemplo, que jincorpora a funcionalidade estendida, pode ser
implementado imediatamente em
linguagem Pascal ou outra linguagem de programao. Para obter
essa implementao
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5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
171
em Pascal, as estruturas lgicas do algoritmo podem ser mapeadas
em estruturas Pascalcorrespondentes.
O quadro dado a seguir constitui uma proposta inicial a ser
considerada em umprojeto de pesquisa que visa definir
possibilidades de mapeamento de estruturas
algortmicas (construdas em pseudolinguagem de programao) para
construes deprogramas (em Pascal e, possivelmente, em outras
linguagens de programao):
Mapeamento de Estruturas LgicasN. Estruturas algortmicas
Estruturas PASCAL1 ALGORITMOBISSEO program bissecao; uses crt;
var
2REAL A,B,XM,DIF,DIFMAX,FM,FMAX
a,b,xm,dif,difmax,fm,fmax: real;
3 INTEIROPART, PARTMAX part,partmax: integer;
4 F(X) = ((9 * X + 0) * X) 3function f(x:real):real;
beginf:=((9*x + 0)*x) 3;end;{function}
5 INCIO begin6 (* ENTRADA DOS DADOS: *) { Entrada dos Dados: }
clrs;
7LEIAA, B, PARTMAX, DIFMAX,FMAX
readln(a,b,partmax,difmax,fmax);
8 (*FIM DA ENTRADA DOS DADOS.*) { Fim da Entrada dos Dados.
}
9(* PROCESSAMENTO DOSCLCULOS: *)
{ Processamento dos Clculos: }
10 PART = 1; DIFMAX = 0.0001; FM =100 part:=1;
difmax:=0.0001;fm:=100;
11ENQUANTO((PART MENORPARTMAX ) E
while((partdifmax)and13 (FM MAIORFMAX)) FAA (fm>fmax))do
begin14 XM = (A + B)/2 xm:=(a + b)/2;
15
SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SE
SE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SE
SE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART = PARTMAX FIM SE
if(f(a)*f(xm)
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172
22(* FIM DA SADA DOSRESULTADOS. *)
{ Fim da Sada dos Resultados. }
23 FIM DO ALGORITMOBISSEO.{ Fim do Algoritmo Bisseo.}end.
O programa obtido pode agora ser digitado em um arquivo da
ferramentaBorland Pascal, ou de outra ferramenta, para ser
compilado e executado para fins deteste. Caso se deseje, a verso
final do algoritmo (muito simples, no exemploapresentado) pode ser
ainda mais estendida com a incluso de recursos mais
sofisticados(incluindo, possivelmente, a formatao de dados e
resultados).
5. Concluses Preliminares. Inicialmente, podemos fazer uma
discusso sobreas metodologias expostas. Nesta seo empreendemos uma
investigao preliminarsobre as caractersticas principais da
metodologia para a elaborao de provas (expostana seo 3) e para o
desenvolvimento de projetos computacionais (exposta na seo 4).
No que se refere metodologia para a confeco de provas, temos
vantagens edesvantagens.
Vantagens -trata-se de uma metodologia simples que leva,
sistematicamente, aresultados padronizados e bem estruturados na
maioria dos casos. Considerando essasqualidades, podemos dizer que
ela uma metodologia adequadapara os fins aos quaisse destina.
Desvantagens: ela no uma metodologia conveniente para a confeco
de
provas de altssimo nvel de complexidade. O desenvolvimento de
algoritmos muitocomplexos pode exigir uma quantidade de tempo bem
superior aos cem minutosprevistos para aquelas provas que temos em
vista, alm, evidentemente, de tcnicassofisticadas de engenharia de
software.
J, no que se refere realizao de projetos computacionais, neste
trabalhoapresentamos uma metodologiapara a construo de algoritmos
do Clculo Numricoem Computadores e, alm disso, para a implementao
desses algoritmos na forma de
programas didticos. Essa metodologia ilustrada com um exemplo de
implementaosimples doMtodo da Bisseo. A concluso a que podemos
chegar a de que, no casode sistemas muito simples, a metodologia
leva a um bom resultado. Contudo, se os
sistemas so mais complexos, a metodologia proposta exige
complementao derecursos, notadamente no caso de haver necessidade
de formatao de dados e deresultados.
6. Referncias Bibliogrficas Relacionadas com esta
Apresentao:
[1] Sperandio, D.; Mendes, J. D.; Monken e Silva, L. H.: Clculo
Numrico Caractersticas Matemticas e Computacionais dos Mtodos
Numricos. EditoraPearson Prentice Hall. So Paulo. 2003.
[2] Pacitti, T.; Atkinson, C. P.: Programao e Mtodos
Computacionais,em
dois volumes. Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A. Rio de
Janeiro. 1976.
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173
[3] Dorn, W. S.; McCracken, D. D.: Clculo Numrico com Estudos de
Casosem Fortran IV, traduzido do ingls por Jos Abel Royo dos Santos
e Ana Lcia Seriodos Santos. Editora da Universidade de So Paulo e
Editora Campus. So Paulo. 1978.
[4] Riso, B. G.; Schweitzer, C. M.; Heerdt, G. P. A.: Algoritmos
Numricos
Seqenciais e Paralelos. Florianpolis, SC, Editora da UFSC,
1996.
[5] Riso, B. G.; Notare, M. S. M. A.: Clculo Numrico em
Computadores Provas e Projetos, Volume 1. Florianpolis, SC, UFSC,
2010.
[6] Riso, B. G.; Notare, M. S. M. A.: Clculo Numrico em
Computadores Provas e Projetos. Florianpolis, SC, UFSC, 2011.
(Livro em preparao).
[7] Riso, B. G.; Oliveira, C. A. de: Ensino de Clculo Numrico
emComputadores. Painel em forma de artigo apresentado na SEPEX
2009, Florianpolis,SC, UFSC.
Bernardo Gonalves RisoMirela Sechi Moretti Annoni Notare
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Parte I - PROVAS
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PROVA 17 Mtodo da Secante
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (dissertativa) Apresente oMtodo da Secante. Por favor,
ao apresent-lo,diga em que situaes esse mtodo pode ser aplicado e o
que se deve esperar comoresultado de sua utilizao. Sua resposta
precisa ocupar, pelo menos, uma pgina. Sedesejar, ilustre a descrio
desse mtodo com figuras, frmulas e esquemas grficos quecomplementem
e enriqueam o texto.
Questo 2 (numrica)Por favor, considere a equao
f(x) = 4x3+ 3x -1 = 0.
Tente obter uma raiz real dessa equao com o emprego do Mtodo da
Secante. Adote
x1= 0 e x2= 1 como estimativas iniciais da raiz procurada. Faa
cinco iteraes, sempreindicando as operaes que vier a efetuar. Por
favor, escreva um comentrio sobre aevoluo dos clculos, e armazene
os principais resultados em uma tabela com oseguinte cabealho:
i xi xi+1 xi+2 yi yi+1 yi+2 xi+1 - xi
Questo 3 (numrica) Por favor, use oMtodo da Secantepara tentar
obter uma raiz
real da equao dada a seguir:f(x) = 2x4+ 3x2-10 = 0.
Faa trs iteraes a partir das estimativasx1= 0,5 e x2= 1,2.
Analise a evoluo doprocesso iterativo, buscando indcios de
convergncia. Indique todas as operaesefetuadas e no deixe de
armazenar os resultados dos clculos em uma tabela com
ocabealho:
i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) xi+1 - xi
No final, escreva um comentrio sobre a evoluo dos clculos.
Questo 4 (algoritmo) Por favor, escreva um algoritmo estruturado
em trs blocosfuncionais (Entrada dos Dados, Processamento dos
Clculos e Sada dos Resultados)
para automatizar a aplicao do Mtodo da Secante no caso da
determinao de umaraiz real da equao polinomialp(x) = 4x3+ 3x -1 =
0.
Boa Prova!
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176
RESPOSTAS:
Resposta Questo 1 O Mtodo da Secante um mtodo iterativo que se
aplicatanto s equaes algbricas (entre estas se situam as equaes
polinomiais) quanto sequaes transcendentes. Ele permite determinar
razes reais, e tambm razes
complexas, desses dois tipos de equaes. Assim, dada a equao f(x)
= 0 e duasestimativas iniciais x1 e x2 de uma raiz dessa equao,
podem-se obter novasaproximaes de com o emprego da expresso
xi+1= [xip(xi-1) xi-1p(xi)] / [ (xi-1) p(xi)]
em que i pode assumir os valores 1, 2, 3, ...
Sendo que a seqncia de valores x1, x2, x3, ... pode, ou no,
convergir para o valor daraiz procurada, .
O processo iterativo no deve continuar indefinidamente. Ele
precisa serinterrompido quando se obtiver:
(a) uma boa preciso para representar do valor da raiz , de
acordo com algumcritrio de preciso previamente estabelecido, tal
como, por exemplo, o valor funcionalf(xk) < fmin, e em que fmin
um valor arbitrariamente pequeno, estabelecido de acordocom o
interesse do usurio do mtodo e xk um valor da seqncia obtida com
aaplicao da frmula que resume o Mtodo da Secante;
(b) um estreitamento suficiente do intervalo que contm a raiz,
isto , de modoque xi+1 xi< dmin, em que dmin um valor arbitrrio,
suficientemente pequeno, eque relaciona-se ao objetivo da utilizao
prtica da raiz procurada; e
(c) uma quantidade de iteraes que iguale o nmero mximo permitido
e
previamente fixado. Por exemplo, definindo-se itmax = 100
iteraes. Assim, impede-seque, no caso de divergncia, no se tenha um
prolongamento intil do esforo de buscade uma representao precisa da
raiz .
Pode-se fazer uma interpretao grfica do Mtodo da Secante com uma
figuracomo segue:
retasecante
f(x)
x1x2x3 X
Y
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177
A deduo da frmula empregada no Mtodo da Secante para
calcularem-se as novasestimativas da raiz pode partir da considerao
de tringulos semelhantes:
Base do tringulo maior / Base do menor = Altura do maior /
Altura do menor.Isto
(x1 x3) /(x2 x3) = f(x1) / f(x2)
Como, em uma proporo, o produto dos extremos igual ao produto
dos meios, tem-se
(x1 x3) f(x2) = (x2 x3) f(x1)
Efetuando os produtos indicados,
[x1f(x
2) x
3f(x
2)] = [x
2f(x
1) x
3f(x
1)]
Isolando os termos que contm x3no primeiro membro,
x3 f(x1) x3 f(x2) = x2f(x1) x1f(x2)
Deixando x3em evidncia,
x3 = [x2f(x1) x1f(x2)] / [f(x1) f(x2)]
Que a formula qual desejvamos chegar.
Resposta Questo 2 Em cada iterao usaremos a frmula:
x i+2 = (xiyi+1 xi+1yi)/(yi+1 yi), i = 1, 2, 3
sendo: yi = f(xi) = 4xi3+ 3xi -1, com i = 1, 2, 3, 4, 5.
x1x2x3
f(x1)f(x2)
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i xi xi+1 xi+2 yi yi+1 yi+2 abs(xi+1-xi)1 0 1 0,1428 - 1 + 6 -
0,560 12 0 0,1428 0,3245 - 1 - 0,560 + 0,110 0,14283 0,1428 0,3245
0,2947 - 0,560 + 0,110 - 0,0135 0,18174 0,3245 0,2947 0,2980 +
0,110 - 0,0135 - 0,0001 0,0298
5 02947 0,2980 0,2970 - 0,0135 - 0,0001 - 0,0042 0,0033
Linha i = 1:
Tem-se x1 = 0,com y1 = f(x1) = f(0) = 4(0)
3+ 3(0) 1 = 1; ex2= 1,com y2 = f(x2) = f(1) = 4(1)
3+ 3(1) 1 = 6.
Clculo de x3:x 3 = (x2y1 x1y2)/(y1 y2)x 3 = [(1)(- 1)
(0)(6)]/[(- 1) (6)] = - 1/ - 7 x 3 = 0,1428
Clculo de y3:y3= f(x3) = f(0,1428) = 4(0,1428)
3+ 3(0,1428) -1y3= - 0,560
Clculo do intervalo que contm a raiz:x2 x1= 1 0= 1
.........................................................................................................................................
Linha i = 2:
Tem-se x2 = 0, com y2 = 1; ex3= 0,1428, com y3= - 0,560
Clculo de x4:x4 = (x3y2 x2y3)/(y2 y3)x4 = [(0,1428)(- 1)
(0)(0,560)]/[(- 1) (0,560)]x4 = 0,3245
Clculo de y4:y4= f(x4) = f(0,3245) = 4(0,3245)
3+ 3(0,3245) -1y4 = 0,1102
Clculo do intervalo que contm a raiz:x3 x2= 0,1428 0= 0,1428
............................................................................................................................................
Linha i = 3:
Tem-se x3 = 0,1428, com y3 = - 0,560; e
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x4= 0,3245, com y4 = 0,1102.Clculo de x5:
x5 = (x4y3 x3y4)/(y3 y4)x5 = [(0,3245)(- 0,5601)
(0,1428)(0,1102)]/[(-0,560) (0,1102)]x5 = - 0,1974/- 0,67
x5 = 0,2947
Clculo de y5:y5= f(x5) = f(0,2947) = 4(0,2947)
3+ 3(0,2947) -1y5= - 0,01352
Clculo do intervalo que contm a raiz:x4 x3= 0,3245 0,1428=
0,1817
...........................................................................................................................................
Linha i = 4:
Tem-se x4 = 0,3245, com y4 = 0,1102; ex5= 0,2947, com y5 = -
0,01352.
Clculo de x6:x6 = (x5y4 x4y5)/(y4 y5)x6 = [(0,2947)(0,1102)
(0,3245)(- 0,01352)]/[(0,1102) (- 0,01352)]x6 = 0,03680/0,1235x6 =
0,2980
Clculo de y6:y6= f(x6) = f(0,2980) = 4(0,2980)
3+ 3(0,2980) -1y5= - 0,0001456
Clculo do intervalo que contm a raiz:x5 x4= 0,2947 0,3245=
0,0298
............................................................................................................................................
Linha i = 5:
Tem-se x5 = 0,2947, com y5 = - 0,0135; ex6= 0,2980, com y6 = -
0,000146.
Clculo de x6:x7 = (x6y5 x5y6)/(y5 y6)x7 = [(0,2980)(- 0,0135)
(0,2947)(- 0,000146)]/[(- 0,0135) (- 0,000146)]x7 = - 0,00398 / -
0,0134x7 = 0,2970
Clculo de y7:y7= f(x7) = f(0,2970) = 4(0,2970)
3+ 3(0,2970) -1
y7= - 0,00421
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Clculo do intervalo que contm a raiz:x6 x5= 0,2980 0,2947=
0,0033
Comentrio: o processo iterativo resultante da aplicao do Mtodo
da Secanteapresenta uma seqncia de valores que se aproxima cada vez
mais da raiz procurada. A
melhor representao obtida para essa raiz 0,2980.
Resposta Questo 3 Nesta questo, tem-se f(x) = 2x4+ 3x2 10. As
estimativasiniciais da raiz procurada, , so: x1= 0,5 e x2= 1,2.
i = 1:x1= 0,5f(x1) = 2(0,5)
4+ 3(0,5)2-10 = -9,125
x2= 1,2
f(x2) = 2(1,2)4+ 3(1,2)2-10 = -1,5328
x2 x1= 1,2 0,5 = 0,7.
i = 2:x2= 1,2; f(x2) = -1,5328
x3 = [x2f(x1) x1f(x2)]/[f(x1) f(x2)]x3 = [(1,2)(-9,125) (0,5)
(-1,5328)]/[(-9,125) (-1,5328)]x3= 1,34f(x
3) = 2(1,34)4+ 3(1,34)2-10 = 1,87
x3 x2= 1,34 1,2 = 0,14.
i = 3:x3= 1,34; f(x3) = 1,87
x4 = [x3f(x2) x2f(x3)]/[f(x2) f(x3)]x4 = [(1,34)(-2,5328)
(1,2)(1,34)]/[(-1,5328) (1,87)]x4= 1,26f(x4) = 2(1,26)
4+ 3(1,26)2-10 = -0,123
x4 x3= 1,26 1,34 = -0,08.
i = 4:x4= 1,26; f(x4) = -0,123
x5 = [x4f(x3) x3f(x4)]/[f(x3) f(x4)]x5 = [(1,26)(1,87)
(1,34)(-0,123)]/[(1,87) (-0,123)]x5= 1,2679f(x5) = 2(1,2679)
4+ 3(1,2679)2-10 = -8,72*10-3
x5 x4= 1,2679 1,26 = 0,0079.
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Resumindo, em uma tabela, os clculos efetuados:
i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) xi+1 -xi1 0,5 1,2 -9,125 -1,5328 +0,72
1,2 1,34 -1,5328 1,87 +0,14
3 1,34 1,26 1,87 -0,123 -0,084 1,26 1,2679 -0,123 -8,72*10-3
+0,0079
Comentrio: neste caso de aplicao do Mtodo da Secante, observa-se
que o processoiterativo produz uma seqncia de valores que
convergente para a raiz da equaodada. Essa convergncia fica
evidente quando se considera que a diferena x i+1 - xidiminui
progressivamente, em valor absoluto, a cada iterao. Aps realizar-se
o
processo pode-se apresentar:
1,2679 com f(1,2679) = -8,72*10-3.
Resposta Questo 4 O algoritmo pode ser visualizado, em altssimo
nvel deabstrao, como uma caixa preta identificada com a denominao
Secante. Tal caixatem duas aberturas: na primeira, a da esquerda,
d-se a entrada dos dados; e na segunda,a da direita, a sada dos
resultados.
Neste caso, os dados so: as estimativas iniciais da raiz
(variveis x1 e x2), aquantidade mxima de iteraes permitidas
(varivel itmax) e o desvio mximo
permitido (varivel dmin) que deve ser um valor pequeno, para
assegurar a apresentaode um valor preciso da raiz ao final das
iteraes.
A execuo do algoritmo precisa fornecer um valor que represente a
raiz compreciso (varivel raiz) no caso em que o processo iterativo
produza uma seqncia devalores convergente. De qualquer modo, mesmo
que no se verifique a convergncia,um comentrio sobre a qualidade do
resultado pode ser impresso.
Deve-se prever a definio da funo f(x).
O esquema grfico da caixa preta corresponde a um trecho escrito
em
pseudolinguagem de programao que j considera os tipos das
variveis mencionadas ede outras variveis: IT para a contagem de
iteraes; X1 e X2 para guardar as
Secante
f(x) =
Dados Resultados
x1, x1, itmax,dmin
raiz e/ou comentrio
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aproximaes obtidas em duas iteraes sucessivas; e D, para guardar
o valor dadiferena entre duas aproximaes, calculado a cada
iterao.
ALGORITMO SECANTEINTEIRO IT, ITMAXREAL X1, X2, D, DMINF(X) =
INCIO...
FIM DO ALGORITMO SECANTE
Segunda etapa: abre-se a caixa preta para visualizar sua
composio interna. Ascaixas pretasEntrada dos Dados,Processamento
dos Clculose Sada dos Resultados,agora visveis, definem as
principais partes (cada parte com sua funcionalidadeespecfica) do
algoritmo que se est construindo.
AEntrada dos Dadospode, ento, ser detalhada, assim como
oProcessamentodos Clculose a Sada dos Resultados. Os tipos das
novas variveis so declarados. Oalgoritmo toma a seguinte feio:
ALGORITMO SECANTE
(* CALCULA UMA RAIZ REAL DE UMA EQUAO ALGBRICA
OU TRANSCENDENTE PELO MTODO DA SECANTE. *)REAL X1, X2, X3, Y1,
Y2, Y3
Resul-tados
SECANTE
F(X) = ((4*X + 0)*X + 3)*X - 1
ENTRADADOSDADOS
PROCES-SAMENTODOSCLCULOS
SADADOSRESUL-TADOS
RAIZe/oucomen-trio
Dados
X1, X2,ITMAX,DMIN
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REAL DIF, DIFMININTEIRO I, IMAXF(X) = ((4*X + 0)*X + 3)*X -
1
INCIO
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA X1, X2, IMAX, DIFMIN
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)I = 1; DIF = 100ENQUANTO ((I
MENOR IMAX) E (DIF MAIOR DIFMIN)) FAA
Y1 = F(X1); Y2 = F(X2)X3 = (X1*Y2 X2*Y1)/(Y2 Y1)(* CLCULO DO
DESVIO: *)
DIF = ABS(X2 X1)(* FIM DO CLCULO DO DESVIO: *)SE (ABS(Y2) MENOR
ABS(Y1) ENTO
X1 = X2FIM SEX2 = X3(* INCREMENTO DO CONTADOR DE ITERAES: *)
I = I + 1(* FIM DO INCREMENTO DO CONTADOR DE ITERAES: *)
FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)SE (DIF MENOR OU IGUAL DIFMIN)
ENTO
ESCREVA PRECISO OBTIDAESCREVA RAIZ = , X3
FIM SESE (DIF MAIOR DIFMIN) ENTO
ESCREVA PRECISO NO OBTIDAFIM SE
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
FIM DO ALGORITMO SECANTE.
-
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PROVA 18 Mtodo Quase-Newton
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (dissertativa) Por favor, considere a resoluo numrica
deSistemas de Equaes No-Lineares. Apresente um Mtodo Quase-Newton
adequado resoluo desse tipo de sistema. Compare as caractersticas
desse mtodo com as doMtodo de Newton. No deixe de escrever, pelo
menos, uma pgina. Se acharconveniente, use frmulas, grficos e
tabelas para ilustrar a sua exposio.
Questo 2 (numrica)Use um Mtodo Quase-Newtonpara tentar resolver
osistema dado a seguir:
x + 2y 2,1 = 03x2+ y2 6,9 = 0
Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema.
Faa duas iteraes,indicando sempre todas as operaes efetuadas. Para
apresentar os resultadosorganizadamente, preencha uma tabela com o
cabealho:
i xi yi desvioi= abs(xi+1- xi) + abs(yi+1- yi)
Por favor, no final, escreva um comentrio que avalie a evoluo do
processo iterativo.
Questo 3 (numrica) Tente resolver o sistema de equaes no
lineares dadoabaixo com a aplicao de umMtodo Quase Newton:
F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0
Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema.
Faa trsiteraes. Preencha uma tabela que apresente os resultados
organizadamente. Por favor,no deixe de escrever um comentrio que
avalie o processo iterativo.
Questo 4 (algoritmo) Por favor, construa um algoritmo
estruturado em trsblocos funcionais de instrues (Entrada dos Dados,
Processamento dos Clculos eSada dos Resultados) que permita a
aplicao de umMtodo Quase-Newtonno caso daresoluo do sistema de
equaes no lineares dado a seguir:
F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0
G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0
Boa Prova!
-
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II
185
RESPOSTAS:
Resposta Questo 1 Para os sistemas de equaes no lineares, no
existemmtodos analticos gerais de soluo, isto , mtodos analticos
que se apliquem a todo equalquer desses sistemas. Por esse motivo,
em muitos casos, a resoluo de tais
sistemas precisa ser efetuada com o emprego de um mtodo numrico.
Mesmo que setrate de um tipo particular de sistema no linear para o
qual tenha sido desenvolvido ummtodo analtico, ainda assim pode ser
conveniente a utilizao de um mtodonumrico. Esse o caso, por
exemplo, em que se dispe de uma eficienteimplementao computacional
de tal mtodo.
Esses fatos ilustram bem a importncia da aplicao de mtodos
numricos nocontexto de sistemas de equaes no lineares e justificam
o seu estudo. Ainda mais quesabemos que esse tipo de sistema ocorre
com muita freqncia na modelagemmatemtica de muitos fenmenos
estudados nas diversas cincias exatas e natecnologia.
Para resolver numericamente um sistema de equaes no lineares
pode-selanar mo, por exemplo, do Mtodo de Newton e de mtodos
denominados Quase
Newton.
No caso do Mtodo de Newton, as frmulas a utilizar iterativamente
podem serobtidas realizando-se uma analogia com o Mtodo de
Newton-Raphson, que empregado na resoluo de equaes algbricas e
transcendentes isoladas. Agora,trabalha-se com matrizes e, em vez
de uma derivada total, tem-se uma matriz dederivadas parciais: a
jacobiana do sistema.
Assim, dado o sistema de equaes no lineares, F(X) = 0, em uma
notaovetorial; e uma estimativa preliminar da soluo, X1; em cada
iterao resolve-se osistema linear
J D = F
em que J a matriz jacobiana calculada para essa iterao, e F o
vetor dos valoresfuncionais calculados com a ltima estimativa. O
vetor D tem como seus elementos asincgnitas do sistema linear. Ele
representa a correo que se deve aplicar estimativaobtida na iterao
anterior para se obter a nova estimativa:
Xi+1 = Xi+ Di
O processo iterativo resultante da aplicao do Mtodo de Newton
podeapresentar uma seqncia de valores que se aproxima mais ou menos
rapidamente dasoluo exata. Nesses casos, diz-se que h convergncia.
Em alguns casos, entretanto, aseqncia no convergente. Convm, ento,
reescrever o sistema ou adotar umaestimativa inicial mais prxima da
soluo exata. Ou empregar outro mtodo.
Os mtodos numricos ditos Quase Newton assemelham-se ao Mtodo
deNewton. Um desses mtodos calcula a jacobiana uma nica vez e a
emprega em todas
as iteraes. Outra variante adapta a frmula do Mtodo de
Newton-Raphson de modo
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
186
que, em lugar da derivada total, emprega a derivada parcial. Por
exemplo, dado osistema de equaes no lineares:
F1(x, y) = x + 2y 1,9 = 0
F2(x, y) = 3x2
+ y2
7,11 = 0
em cada iterao (i = 1, 2, 3...) faz-se o clculo de nova
estimativa:
xi+1 = xi F1(xi, yi)/DXF1(xi, yi)yi+1 = yi F2(xi, yi)/DYF2(xi,
yi)
Nessas expresses, DXF1(xi, yi) representa a derivada parcial de
F1(x, y) emrelao a x, calculada para x = xi e y = yi; e, de modo
semelhante, DYF2(xi, yi)corresponde derivada parcial de F2(x, y) em
relao a y, calculada para x = xie y = yi.
Resposta Questo 2 Nessa questo, tem-se
f(x, y) = x + 2y 2,1 = 0g(x, y) = 3x2+ y2 6,9 = 0
Assim, f/x = 1; e g/y = 2y
Primeira iterao(i = 1).
Tem-se a estimativa inicial: x1= y1= 0,5; deseja-se obter x2e
y2.
x2 = x1 f(x1, y1) / f/x calculada para x = x1e y = y1y2 = y1
g(x1, y1) / g/y calculada para x = x1e y = y1
x2 = 0,5 [0,5 + 2(0,5) 2,1] / [1] = 0,5 0,5 -1 + 2,1 = 1,1y2 =
0,5 [3(0,5)
2+ (0,5)2 6,9] / [2(0,5)] = 0,5 [-5,9] / [1] = 6,4
desvio1= 1,1 0,5+ 6,4 0,5= 6,5
Segunda iterao(i = 2).
Tem-se a estimativa: x2= 1,1 e y2= 6,4; deseja-se obter x3e
y3.
x3 = x2 f(x2, y2) / f/x calculada para x = x2e y = y2y3 = y2
g(x2, y2) / g/y calculada para x = x2e y = y2
x3 = 1,1 [1,1 +2(6,4) 2,1] / [1] = 1,1 1,1 12,8 + 2,1 = -10,7y3
= 6,4 [3(1,1)
2+ (6,4)2 6,9] / [2(6,4)] = 6,4 [37,69] / [12,8] = 3,455
desvio2= -10,7 1,1+ 3,455 6,4= 14,745
-
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187
i xi yidesvioi=
(xi+1-xi) +(yi+1-yi)
1 0,5 0,5 6,52 1,1 6,4 14,745
3 -10,7 3,455 -
Comentrio: o aumento do desvio da primeira iterao para a segunda
(de 6,5para 14,745) indica divergncia. Nesse caso, torna-se
conveniente adotar outraestimativa inicial, ou reescrever as
frmulas empregadas ou, ainda, buscar outro mtodo
para resolver o sistema dado.
Resposta Questo 3 Tem-se o sistema no linear:
F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0
e x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo. As derivadas
parciais das funesenvolvidas que interessam ao Mtodo Quase Newton
so: F/x = 2; e G/y = 6y.
Primeira iterao(i = 1).Tem-se a estimativa inicial: x1= y1= 0,5;
deseja-se obter x2e y2.x2 = x1 {F(x1, y1) / F/x calculada para x =
x1e y = y1}y2 = y1 {G(x1, y1) / G/y calculada para x = x1e y =
y1}x2 = 0,5 {[2(0,5) 2(0,5) 2,1] / [2]} = 0,5 {[ 2,1] / [2]} =
1,55
y2 = 0,5 {[(0,5)
3
+ 3(0,5)
2
6,9] / [6(0,5)]} = 0,5 {[ 6,025] / [3]} = 2,508desvio1= 1,55
0,5+ 2,508 0,5= 1,05 + 2,008 = 3,058
Segunda iterao(i = 2).Tem-se a estimativa: x2= 1,55 e y2= 2,508;
deseja-se obter x3e y3.x3 = x2 {F(x2, y2) / F/x calculada para x =
x2e y = y2}y3 = y2 {G(x2, y2) / G/y calculada para x = x2e y =
y2}x3 = 1,55 {[2(1,55) - 2(2,508) 2,1] / [2]} = 1,55 {[- 4,016] /
[2]} = 3,558y3 = 2,508 {[ (1,55)
3+ 3(2,508)2 6,9] / [6(2,508)]} =y3= 2,508 {[15,69] / [15,048]}
= 1,465desvio2= 3,558 1,55+ 2,508 1,465= 2,008 + 1,043 = 3,051
Terceira iterao(i = 3).Tem-se a estimativa: x3= 3,558 e y3=
1,465; deseja-se obter x4e y4.x4 = x3 {F(x3, y3) / F/x calculada
para x = x3e y = y3}y4 = y3 {G(x3, y3) / G/y calculada para x = x3e
y = y3}x4 = 3,558 {[2(3,558) 2(1,465) 2,1] / [2]}x4 = 3,558 {[-
4,016] / [2]} = 5,566y4 = 1,465 {[(3,558)
3+ 3(1,465)2 6,9] / [6(1,465)]}y4= 1,465 {[44,58] / [8,79]}=
3,607desvio3= 5,566 3,558+ 3,607 1,465= 2,008 + 5,072 = 7,080
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i xi yidesvioi=
(xi+1-xi) +(yi+1-yi)
1 0,5 0,5 3,0582 1,55 2,508 3,051
3 3,558 1,465 7,0804 5,566 3,607 -
Comentrio: como se pode observar na tabela, embora tenha havido
umapequena diminuio do desvio da primeira para a segunda iterao, de
3,058 para 3,051,em seguida o desvio aumentou consideravelmente, de
3,051 para 7,080. Pode-seinterpretar esse fato como uma oscilao que
no garante que haja convergncia naseqncia dos valores que
constituem as estimativas da soluo do sistema. Nesse caso,
pode ser conveniente realizarem-se mais iteraes para verificar
como o processoiterativo passa se comporta.
Resposta Questo 4 Constri-se um algoritmo estruturado para
aplicar o MtodoQuase Newton ao sistema dado no enunciado da
questo:
F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0
G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0
O algoritmo pode, inicialmente, ser representado por uma caixa
preta
identificada como QUASE_NEWTON. Ela dispe de duas aberturas de
cada lado. Nada esquerda, d-se a entrada dos dados. E na da
direita, a sada dos resultados:
Esse esquema grfico inicial corresponde a um esboo do algoritmo
escrito em
pseudolinguagem de programao. Tal esquema contempla j os tipos
das variveismencionadas:
QUASE_NEWTON
Dados Resultados
x1, y1, itmax,dminn Soluo do
sistema
-
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ALGORITMO QUASE_NEWTON
REAL X(100), Y(100), D(100), DMIN
INTEIRO IT, ITMAXF(X, Y) = X+2*Y1.9; G(X, Y) =
3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1; DGY(X, Y) = 2*Y
INCIO...
FIM DO ALGORITMO QUASE_NEWTON.
Abrindo-se a caixa preta para visualizao de sua composio
interna,
distinguem-se as trs caixas que correspondem aos blocos de
instrues com asprincipais funcionalidades de um algoritmo numrico.
As caixas pretas so: Entradados Dados,Processamento dos Clculose
Sada dos Resultados.
Em seguida, detalhando cada um dos trs blocos de instrues:
ALGORITMO QUASE_NEWTON
(* ESTE ALGORITMO RESOLVE UM SISTEMA NOLINEAR DE DUAS EQUAES
PELO MTODO
QUASE-NEWTON. *)
Resul-tados
QUASE_NEWTON
F(X, Y) = X+2*Y1.9G(X, Y) = 3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1DGY(X, Y)
= 2*Y
ENTRADADOS
DADOS
PROCES-SAMENTO
DOSCLCULOS
SADADOS
RESUL-TADOS X(IT)
Y(IT)
D(IT)
X(1)Y(1)ITMAXDMIN
Dados
-
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190
REAL X(100), Y(100), D(100), DMININTEIRO IT, ITMAXF(X, Y) =
X+2*Y1.9G(X, Y) = 3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1
DGY(X, Y) = 2*Y
INCIO
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA X(1), Y(1), ITMAX, DMIN
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)IT = 1; D(1) = 100ENQUANTO ((IT
MENOR ITMAX) E (D(IT) MAIOR DMIN)) FAA
X(IT+1) = X(IT) (F(X(IT), Y(IT)) / DFX(X(IT, Y(IT)))Y(IT+1)
=Y(IT) (G(X(IT), Y(IT)) / DGY(X(IT, Y(IT)))D(IT+1) = ABS(X(IT+1)
X(IT)) + ABS(Y(IT+1) Y(IT))IT = IT + 1
FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)SE (D(IT) MENOR OU IGUAL DMIN)
ENTO
ESCREVA O PROCESSO RESULTOU EM CONVERGNCIAESCREVA VALORES
APROXIMADOS:ESCREVA X = , X(IT),Y =,Y(IT),DESVIO =,D(IT)
FIM SESE (D(IT) MAIOR DMIN) ENTO
ESCREVA NO SE OBTEVE RESULTADO PRECISOFIM SE
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS.*)
FIM DO ALGORITMO QUASE_NEWTON.
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PROVA 19 Introduo ao Ajustamento de Curvas
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (dissertativa) Apresente o problema do ajustamento de
curvas. Diga comoesse problema pode ser resolvido com o Mtodo dos
Mnimos Quadrados. Por favor,ocupe pelo menos uma pgina.
Questo 2 (numrica)Use oMtodo dos Mnimos Quadradospara ajustar
uma retaaos dados tabelados apresentados a seguir. Por favor,
estenda a tabela dada para oclculo dos somatrios. Indique todas as
operaes efetuadas.
x 0,0 1,0 0,5 0,3 0,3 0,5 0,7 0,8
y 5,1 5,5 5,1 5,3 5,2 5,0 5,4 5,5
Questo 3 (numrica) Empregue oMtodo dos Mnimos Quadradospara
ajustar umaparbolaaos dados da tabela apresentada a seguir. Estenda
essa tabela para o clculodos somatrios. Por favor, indique todas as
operaes efetuadas.
x 0,0 1,0 0,5 0,3 0,3 0,5 0,7 0,8y 5,1 5,5 5,1 5,3 5,2 5,0 5,4
5,5
Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para ler e imprimir
uma tabela devalores (xi, yi), i = 1, n..
Boa Prova!
-
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192
RESPOSTAS:
Resposta Questo 1 O problema do ajustamento de uma curva f(x) a
um conjuntode m pares de dados (xi, yi), i = 1, 2, 3,...m, consiste
em determinar a funo f(x), de umtipo previamente escolhido (uma
funo polinomial, por exemplo) que traduz, de modo
suficientemente bom, a tendncia revelada pela disposio dos
pontos (xi, yi), i = 1, 2,3,...m, que representam graficamente tais
pares de dados.Essa tendncia pode ser observada convenientemente ao
se marcar os pontos em
uma folha de papel. Ela pode ser crescente, decrescente, estvel,
pode cresceraceleradamente ou decrescer aceleradamente, apresentar
sinuosidade e assim por diante.Cabe ao observador do comportamento
dos dados escolher um tipo de curva(polinomial, exponencial,
logartmica,...) para ajustar aos pontos.
O ajuste de curvas pode ser realizado mo, com o emprego de
recursosgrficos. Entretanto, mais adequado, muitas vezes, obter uma
soluo numrica. Talsoluo deve resultar em uma expresso algbrica
associada curva de ajustamento.
Assim, no caso de se desejar ajustar uma reta, ento p(x) = a1+
a2x e tem-se que
determinar o valor de a1e de a2, que so os dois coeficientes do
polinmio do primeirograu que correspondem reta. No caso de se
ajustar uma parbola, preciso determinaros trs coeficientes a1, a2e
a3de p(x) = a1+ a2x + a3 x
2 .Uma teoria muito empregada em situaes prticas, e que orienta
o
procedimento para a definio de tais expresses algbricas no
ajustamento de curvas, a do Mtodo dos Mnimos Quadrados. A idia
bsica dessa teoria a de que, uma vezescolhido o tipo que essa curva
deve ter (por exemplo, uma reta), a melhor curva deajustamento,
p(x), dever resultar no mnimo da soma dos quadrados dos desvios.
Issoquer dizer que qualquer outra reta que viesse a ser escolhida
resultaria em um valormaior para a soma dos quadrados dos
desvios.
De acordo com essa concepo, e considerando como desvio a
diferena
desvioi = [yi p(xi)]
em que yi uma ordenada de um par de dados (xi, yi), i = 1, 2,
3,...m, e p(xi) o valordo polinmio de ajustamento
p(x) = a1+ a2 x + ... + anxn-1+ an+1 x
n
calculado para o valor da abscissa xicorrespondente quela
ordenada yi.
[desvioi ]2
= [yi p(xi)]2
A considerao do ponto de mnimo da funo
Q(a1, a2, a3, ..., an+1) = [yi p(xi)]2, i = 1, 2, 3,...m
denominada soma dos quadrados dos desvios, cujos argumentos so
os n+1 coeficientesa1, a2, a3, ... an+1 de um polinmio de
ajustamento p(x) de grau n, conduz s derivadas
parciais dessa funo (funo Q) em relao a cada um dos
argumentos.No ponto de mnimo de Q, todas essas derivadas parciais
so nulas.
Q/ai = 0, i = 1, 2, 3,...n+1
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5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
193
Tais equaes, consideradas simultaneamente, constituem um sistema
de n+1equaes lineares com n+1 incgnitas. A resoluo desse sistema
permite obter osvalores dos n+1 coeficientes: a1, a2, a3, ..., an+1
do polinmio de ajustamento p(x).
Como se v, os coeficientes so obtidos pela resoluo de um sistema
deequaes lineares. Tem-se que resolver um sistema de duas equaes e
duas incgnitas
para o caso da reta, um sistema de trs equaes e trs incgnitas
para o caso daparbola, e assim por diante.O Mtodo dos Mnimos
Quadrados pode ser estendido de maneira a permitir que
outros tipos de curvas, alm de polinmios, possam vir a ser
utilizados em casos deajustamento. Vrios livros de Clculo Numrico,
assim como livros de tabelas efrmulas matemticas trazem listas de
funes que podem ser utilizadas para oajustamento com o Mtodo dos
Mnimos Quadrados.
Resposta Questo 2 So dados oito pares (xi, yi), i = 1, 2, 3, ...
8 que representamoito pontos aos quais precisamos ajustar uma reta:
p(x) = a1+ a2x. Os coeficientes a1e
a2 da reta de ajustamento podem ser obtidos ao se resolver o
sistema de equaeslineares:
n xi a1 yi
= i = 1, 2, 3, ..., 8
xi xi2 a2 yixi
Clculo dos somatrios:
De modo que o sistema linear pode ser escrito como:
i xi yi xi2 xiyi
1 0,0 5,1 0,0 0,02 1,0 5,5 1,0 5,53 0,5 5,1 0,25 2,554 0,3 5,3
0,09 1,595 0,3 5,2 0,09 1,566 0,5 5,0 0,25 2,57 0,7 5,4 0,49 3,788
0,8 5,5 0,64 4,4
4,1 42,1 2,81 21,88
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
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8 4,1 a1 42,1
=
4,1 2,81 a2 21,88
Resoluo do sistema linear pela Regra de Cramer:
Determinante principal da matriz dos coeficientes:det =
(8)(2,81) (4,1)(4,1) = 5,67
Primeiro determinante caracterstico:det1 = (42,1)(2,81)
(4,1)(21,88) = 28,593
Segundo determinante caracterstico:det2 = (8)(21,88) (42,1)(4,1)
= 2,43
a1 = det1/det = 28,593/5,67 = 5,043a2 = det2/det = 2,43/5,67 =
0,429
Donde a reta de ajustamento: p(x) = 5,043 + 0,429 x, cuja
utilizao conduz tabela:
k xk p(xk)1 0,0 0,4292 0,3 1,9423 0,5 2,9514 0,7 3,9595 0,8
4,4636 1,0 5,472
Resposta Questo 3 Nesta outra questo, pede-se para ajustar uma
parbola:
p(x) = a1+ a2x + a3x2
a um conjunto de oito pontos. A determinao dos trs coeficientes
a1, a2 e a3 daparbola envolve a resoluo de um sistema de trs equaes
lineares com trsincgnitas.
na1 + a2x + a3x2 = y
a1x + a2x2 + a3x3= xy
a1x2+ a2x3 + a3x4 = x2y
-
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em que n representa a quantidade de pontos (no presente caso,
oito) e o ndice i, que fazvariar os valores de xi e yi nos
somatrios tal que i = 1, 2, 3, ...,n. Clculo dossomatrios:
De modo que se tem o seguinte sistema de equaes lineares:
n a1 + x a2+ x2a3= y 8a1 + 4,1 a2 + 2,81 a3 = 42,1
xa1 +x2 a2+ x3a3= xy 4,1a1+2,81a2 + 2,159 a3= 21,88
x2 a1 +x3a2 +x4a3= x2y2,81a1 + 2,159 a2 + 1,7909 a3 =
14,0096
Em que n = 8 a quantidade de pontos, e i = 1, 2, 3, ... , 8.
Resolvendo o sistema com o auxlio da Regra de Cramer, calculamos
odeterminante principal, det, da matriz dos coeficientes e os
determinantescaractersticos: det1; det2; e det3, correspondentes a
cada incgnita:
Determinante principal: det =
8 4,1 2,814,1 2,81 2,1592,81 2,159 1,7909
det = (8)(2,81)(1,7909) + (4,1)(2,159)(2,81) +
(2,81)(2,159)(4,1)
(2,81)(2,81)(2,81) (2,159)(2,159)(8) (1,7909)(4,1)(4,1)
det = 90,00711 89,583318
det = 0,423792
Primeiro determinante caracterstico: det1 =
i xi yi xi2
xiyi xi3
xi4
xi2
yi1 0,0 5,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,02 1,0 5,5 1,0 5,5 1,0 1,0 5,53
0,5 5,1 0,25 2,55 0,125 0,0625 1,2754 0,3 5,3 0,09 1,59 0,027
0,0081 0,4775 0,3 5,2 0,09 1,56 0,027 0,0081 0,4686 0,5 5,0 0,25
2,5 0,125 0,0625 0,1257 0,7 5,4 0,49 3,78 0,343 0,2401 2,64468 0,8
5,5 0,64 4,4 0,512 0,4096 3,52
4,1 42,1 2,81 21,88 2,159 1,7909 14,0096
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42,1 4,1 2,8121,88 2,81 2,15914,0096 2,159 1,7909
det1 = (42,1)(2,81)(1,7909) + (4,1)(2,159)(14,0096) +
(2,81)(2,159)(21,88)
(2,81)(2,81)(14,0096) (2,159)(2,159)(42,1)
(1,7909)(21,88)(4,1)
det1 = (211,865) + (124,012) + (132,741) (110,621) (196,240)
(160,658)
det1 = 468,618 467,519
det1 = 1,0099
Segundo determinante caracterstico: det2 =
8 42,1 2,814,1 21,88 2,1592,81 14,0096 1,7909
det2 = (8)(21,88)(1,7909) + (42,1)(2,159)(2,81) +
(2,81)(14,0096)(4,1) (2,81)(21,88)(2,81) (2,159)(14,0096)(8)
(1,7909)(4,1)(42,1)
det2 = (313,479) + (118,362) + (161,405) (172,767) (241,974)
(309,127)
det2 = (593,245) (481,894)
det2 = 111,351
Terceiro determinante caracterstico: det3 =
8 4,1 42,14,1 2,81 21,882,81 2,159 14,0096
det3 = (8)(2,81)(14,0096) + (4,1)(21,88)(2,81) +
(42,1)(2,159)(4,1)
(42,1)(2,81)(2,81) (21,88)(2,159)(8) (14,0096)(4,1)(4,1)
det3 = (314,935) + (252,079) + (372,664) (332,426) (377,911)
(235,501)
det3 = 939,678 945,836
det3 = 6,158
Clculo dos coeficientes da parbola:
a1= det1/det = 1,0099/0,423792 = 2,3830
a2= det2/det = 111,351/0,423792 = 262,75
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
197
a3= det3/det = 6,158/0,423792 = 14,531
Concluso: a parbola de ajustamento
p(x) = 2,3830 + 262,75 x 14,531 x2
Resposta Questo 4 Construiremos um algoritmo para:(1) na Entrada
de Dados ler n, a quantidade de pontos, e as coordenadas [x i, y
i]
desses pontos;(2) no Processamento dos Clculos, no h clculos a
realizar; e(3) na Sada dos Resultados, imprimir os valores das
coordenadas lidas.
O algoritmo pode, inicialmente, e no nvel mais alto de abstrao,
serrepresentado por uma caixa preta identificada como TABELA. A
caixa tem duasaberturas de cada lado: na da esquerda, d-se a
entrada dos dados; e na da direita, a
sada dos resultados:
Esse esquema grfico inicial corresponde a um trecho escrito
empseudolinguagem de programao. Tal esquema contempla j os tipos
das variveismencionadas:
ALGORITMO TABELAINTEIRO I, NREAL X(50), Y(50)
INCIO...
FIM DO ALGORITMO TABELA.
Em uma segunda etapa, agora abrindo-se a caixa preta para
visualizao de suacomposio interna, distinguem-se as caixas que
correspondem s principaisfuncionalidades de um algoritmo numrico.
As caixas pretas Entrada dos Dados,
Processamento dos Clculose Sada dos Resultados.
TABELA
Dados Resultados
n, xi, yii = 1,2,...,n
n, xi, yi
-
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II
198
AEntrada dos Dadospode ser detalhada como segue:
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA NPARA (I DE 1 AT N) FAA
LEIA X(I), Y(I)FIM PARA
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
NoProcessamento dos Clculos, no h contas a fazer:
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* NO H CONTAS A FAZER *)
(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
NA Sada dos Resultados, manda-se escrever o valor de cada
coordenada, naordem em que foram lidas:
(* SADA DOS RESULTADOS: *)PARA (I DE 1 AT N) FAA
ESCREVA X(,I,) = ,X(I)ESCREVA Y(,I,) = ,Y(I)
FIM PARA(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
Agora, reunindo os trs blocos de detalhamentos, apresenta-se o
algoritmocompleto:
ALGORITMO TABELA
(* ESTE ALGORITMO L E IMPRIMEUM CONJUNTO DE PARES DE DADOS.
*)
REAL X(50), Y(50)
Resul-tados
TABELA
ENTRADADOS
DADOS
PROCES-SAMENTO
DOSCLCULOS
SADADOS
RESUL-TADOS N,
X(I),Y(I)I = 1, 2,..., N
N,X(I),Y(I)I = 1,2,...,N
Dados
-
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199
INTEIRO N, IINCIO
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA N
PARA (I DE 1 AT N) FAALEIA X(I), Y(I)FIM PARA
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* NO H CLCULOS A FAZER*)
(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)PARA (I DE 1 AT N) FAA
ESCREVA X(,I,) = ,X(I)ESCREVA Y(,I,) = ,Y(I)
FIM PARA(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
FIM DO ALGORITMO TABELA.
-
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200
PROVA 20 Ajuste Polinomial
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (dissertativa) Estabelea o problema do ajuste
polinomial com o empregodo Mtodo dos Mnimos Quadrados. Descreva
brevemente o ajuste linear, o ajuste
parablico e o ajuste cbico. Por favor, ocupe, com a sua descrio,
pelo menos, umapgina.
Questo 2 (numrica) Considere os dados apresentados na tabela
dada abaixo.
x 0,5 0,6 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
y -4 -3 -2 0 -1 -3 -5 -7
Por favor, ajuste uma retap(x) = a + b x
a esses dados com a utilizao do Mtodo dos Mnimos Quadrados.
Agora, para cadavalor de x, calcule o correspondente valor p(x).
Finalmente, responda: qual o valor de
p(0,4)?
Questo 3 (numrica) Ajuste uma parbola p(x) = a1+ a2x + a3x2ao
conjunto de
pares de valores apresentados na tabela dada a seguir. Use o
Mtodo dos MnimosQuadrados. Por favor, no deixe de indicar todas as
operaes efetuadas. No final,apresente a expresso da parbola com
destaque.
x 0,1 0,30,5
0,7
0,9
0,9
1,0
1,3
y 4 8 10 0 -1 -2 -2 -3
Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo estruturado que
programe o ajusteparablico com o auxlio do Mtodo dos Mnimos
Quadrados. Por favor, faa-o em trsetapas de refinamento sucessivo.
A estrutura do algoritmo deve apresentar trs blocos
principais de instrues para; (a) entrada dos dados; (b)
processamento dos clculos; e(c) sada dos resultados.
Boa Prova!
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
201
RESPOSTAS:
Resposta Questo 1 Pode-se dizer que o problema do ajustamento
polinomialconsiste, basicamente, em determinar um polinmio p(x) do
grau m,
p(x) = a1+ a2x + a3x2
+ a4x3
+ ... + am+1xm
que represente, de modo formal, a tendncia de um fenmeno
descrito por um conjuntode n pares de valores [xi, yi], i = 1, 2,
3, ..., n.
Os pares de valores podem ter sido obtidos, por exemplo, em uma
experincia delaboratrio com uso de instrumentos de medio, seguindo
uma metodologia especficade coleta de valores numricos, ou em um
levantamento de dados em campo.
O resultado obtido nesses casos constitui uma tabela de pares de
valores [xi, yi],i = 1, 2, 3, ... , n que podem ser interpretados
como coordenadas de n pontos marcados
em um plano cartesiano.
Conforme a disposio desses pontos no plano, pode-se escolher um
ajustamentolinear; nesse caso, m = 1, e
p(x) = a1+ a2xou um ajuste parablico, caso em que m = 2 e
p(x) = a1+ a2x + a3x2
ou, ainda, m = 3, para se ajustar uma cbica:p(x) = a1+ a2x +
a3x
2+ a4x3
e assim por diante.
Usando-se a teoria que d embasamento ao Mtodo dos Mnimos
Quadrados,obtm-se o polinmio que fornece o mnimo da soma dos
quadrados dos desvios.
Esses desvios podem ser definidos como
di= p(xi) yi,i = 1, 2, 3, ... , n.
A soma dos quadrados dos desvios pode ser representada como uma
funo Q devrias variveis:
Q(a1, a2, a3, ... , am+1) = (di)2= [p(xi) yi]
2i = 1, 2, 3, ... , n.
No ponto de mnimo, todas as derivadas parciais de Q, em relao s
variveis,so nulas:
Q/a1 = 0Q/a2 = 0Q/a3 = 0
...Q/am+1 = 0
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
202
Assim, substituindo Q pela expresso que a define e derivando-se
em relao acada uma das variveis, obtm-se um sistema de m+1 equaes
lineares com m+1incgnitas.
n a1 + a2xi+ ... + am+1xim= yi
a1xi+a2xi2 + ... + am+1xim+1= xiyi...........a1xim +a2xim+1+...
+ am+1xi2m= ximyi
i = 1, 2, 3, ... n.
A resoluo desse sistema linear fornece os m+1 valores dos
coeficientes dopolinmio p(x), do grau m, escolhido para o
ajustamento.
Resposta Questo 2 Nesta questo, o valor de n, que representa a
quantidade depontos da tabela, 8. Como o ajuste linear, o valor de
m, que representa o grau dopolinmio de ajustamento, 1. Para se
obter a reta de ajustamento p(x) = a + bx,resolve-se o sistema de
duas equaes lineares com duas incgnitas:
n a + bxi=yi
a xi+ bxi2= xiyi
i = 1, 2, 3, ... n.
A obteno dos somatrios pode ser realizada com o auxlio de uma
tabela:
i xi yi xi2 xiyi
1 0,5 -4 0,25 - 2,02 0,6 -3 0,36 - 1,83 0,6 -2 0,36 - 1,24 0,7 0
0,49 0,05 0,8 -1 0,64 - 0,86 0,9 -3 0,81 - 2,77 1,0 -5 1,00 -5,08
1,1 -7 1,21 - 7,7
- xi= 6,2 yi = - 25 xi2 = 5,12 xiyi = - 21,2
Introduzindo os valores dos somatrios tem-se, ento, o
sistema:
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
203
(8) a + (6,2) b = - 25(6,2) a + (5,12) b = - 21,2
Resolvendo o sistema com a Regra de Cramer,
Det = (8)(5,12) (6,2)(6,2) = 40,96 38,44 = 2,52DetA =
(-25)(5,12) (6,2)(- 21,2) = -128 (-131,44) = 3,44DetB = (8)(- 21,2)
(-25)(6,2) = - 169,6 (- 155) = - 14,6
a = DetA/Det = 3,44 / 2,52 = 1,365b = DetB / Det = - 14,6 / 2,52
= - 5,794
O polinmio de ajustamento nesse caso
p(x) = 1,365 5,794 x
Clculo dos valores de p(xk), considerando que, na tabela
originalmente dada,havia repetio de abscissas, agora eliminada.
k = 1, 2, 3, ... 7
k 1 2 3 4 5 6 7xk 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
p(xk) -1,532 -2,111 -2,691 -3,270 -3,850 -4,429 -5,008
Para completar a respsta, p(0,4) = 1,365 5,794(0,4) =
-0,9526
Resposta Questo 3 Pede-se, nesta questo, para utilizar o Mtodo
dos MnimosQuadrados no ajuste de uma parbola p(x) = a1+ a2x +
a3x
2a um conjunto de oitopares de valores apresentados em uma
tabela. Para determinar os coeficientes a1, a2e a3da parbola, vamos
resolver o sistema de trs equaes lineares com trs incgnitas:
n a1 + a2xi+ a3xi2= yi
a1xi+a2xi2 + a3xi3= xiyi
a1xi2 +a2xi3+a3xi4= xi2yi
Para obter os valores dos somatrios, construiremos uma
tabela.
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
204
i xi yi xi
2 xi3 xi
4 xiyi xi2yi
1 0,1 4 0,01 0,001 0,0001 0,4 0,042 0,3 8 0,09 0,027 0,0081 2,4
0,72
3 0,5 10 0,25 0,125 0,0625 5,0 2,504 0,7 0 0,49 0,343 0,2401 0,0
0,005 0,9 -1 0,81 0,729 0,6561 -0,9 -0,816 0,9 -2 0,81 0,729 0,6561
-1,8 -1,627 1,0 -2 1,00 1,000 1,0000 -2,0 -2,008 1,3 -3 1,69 2,197
2,8561 -3,9 -5,07
5,7 14 5,15
5,151
5,4791
-0,8
-6,24
Agora, construindo o sistema de equaes lineares que permite
obter os valores doscoeficientes do polinmio de segundo grau que
corresponde parbola de ajustamento:
8 a1 + 5,7 a2+ 5,15 a3= 14
5,7a1 +5,15 a2+ 5,151 a3= - 0,8
5,15 a1 +5,151 a2 +5,4791 a3= - 6,24
Resoluo do sistema com o emprego da Regra de Cramer:
Det = (8)(5,15)(5,4791) + (5,7)(5,151)(5,15) +
(5,15)(5,151)(5,7) (5,15)(5,15)(5,15) (5,151)(5,151)(8)
(5,4791)(5,7)(5,7)
Det = 225,73892 + 151,2076 + 151,2076 136,59087 212,2624
178,01595Det = 528,15413 526,86924 = 1,284888
Det1 = (14)(5,15)(5,4791) + (5,7)(5,151)(-6,24) +
(5,15)(5,151)(-0,8)- (5,15)(5,15)(-6,24) (5,151)(5,151)(14)
(5,4791)(-0,8)(5,7)
Det1 = 190,61022 180,97411 = 9,636102
Det2 = (8)(-0,8)(5,4791) + (14)(5,151)(5,15) +
(5,15)(-6,24)(5,7)- (5,15)(-0,8)(5,15) (5,151)(-6,24)(8)
(5,4791)(5,7)(14)
Det2 = 153,14566 158,87626 = - 5,7306
Det3 = (8)(5,15)(-6,24) + (5,7)(-0,8)(5,15) + (14)(5,151)(5,7)-
(14)(5,15)(5,15) (-0,8)(5,151)(8) (-6,24)(5,7)(5,7)
Det3 = 130,4778 135,611 = - 5,1332
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
205
Ento:
a1= Det1/Det = 9,636102/ 1,284888 = 7,4995657 7,5a2= Det2/Det =
- 5,7306/ 1,284888 = - 4,4599996 - 4,5a3= Det3/Det = - 5,1332/
1,284888 = - 3,9950563 - 4,0
E a parbola de ajustamento p(x) = 7,5 4,5 x 4,0 x2
Resposta Questo 4 Vamos construir um algoritmo para:
(1) na Entrada de Dados ler n (a quantidade de pontos aos quais
ajustaremosuma parbola), e as coordenadas [xi, yi] desses
pontos;
(2) no Processamento dos Clculos, obtm-se os somatrios, depois
osdeterminantes e, finalmente, os coeficientes da parbola; e
(3) na Sada dos Resultados, mandam-se imprimir os valores dos
coeficientescalculados.
Inicialmente, representa-se o algoritmo, graficamente, e no nvel
mais alto deabstrao, como uma caixa preta identificada como
PARBOLA. A caixa tem duasaberturas: na da esquerda, d-se a entrada
dos dados; e, na da direita, a sada dosresultados:
O esquema grfico inicial corresponde a um trecho escrito em
pseudolinguagemde programao. Tal esquema j define os tipos das
variveis relacionadas na entradados dados e na sada dos
resultados:
ALGORITMO PARBOLAINTEIRO I, NREAL X(50), Y(50)REAL A1, A2,
A3
INCIO...
FIM DO ALGORITMO PARBOLA.
Em uma segunda etapa, abre-se a caixa preta para visualizao de
suacomposio interna, ainda usando um esquema grfico. Distinguem-se
ento trs caixas
pretas. Elas correspondem aos blocos de instrues das principais
funcionalidades de
PARBOLA
Dados Resultados
n, xi, yii = 1,2,...,n
a1a2a3
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
206
um algoritmo numrico. As caixas pretas so:Entrada dos Dados,
Processamento dosClculose Sada dos Resultados.
AEntrada dos Dadospode ser detalhada como segue:
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA NPARA (I DE 1 AT N) FAA
LEIA X(I), Y(I)FIM PARA
(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)
NoProcessamento dos Clculos,
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* CLCULO DOS SOMATRIOS: *)
SX = 0; SX2 = 0; SX3 = 0; SX4 = 0SY = 0; SXY = 0; SX2Y = 0PARA
(I DE 1 AT N) FAA
SX = SX + X(I)SX2 = SX2 + X(I)*X(I)SX3 = SX3 + X(I)*X(I)*X(I)SX4
= SX4 + X(I)*X(I)*X(I)*X(I)SY = SY + Y(I)SXY = SXY + X(I)*Y(I)SX2Y
= SX2Y + X(I)*X(I)*Y(I)
FIM PARA(* FIM DO CLCULO DOS SOMATRIOS. *)(* CLCULO DOS
DETERMINANTES: *)
DET = N*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2 + SX2*SX3*SX- SX2*SX2*SX2 SX3*SX3*N
SX4*SX*SX
DET1 = SY*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2Y + SX2*SX3*SXY- SX2*SX2*SX2Y
SX3*SX3*SY SX4*SXY*SX
DET2 = N*SXY*SX4 + SY*SX3*SX2 + SX2*SX2Y*SX- SX2*SXY*SX2
SX3*SX2Y*N SX4*SX*SY
DET3 = N*SX2*SX2Y + SX*SXY*SX2 + SY*SX3*SX- SY*SX2*SX2 SXY*SX3*N
SX2Y*SX*SX
(* FIM DO CLCULO DOS DETERMINANTES. *)(* USO DA REGRA DE CRAMER:
*)
Resultados
PARBOLA
ENTRADADOSDADOS
PROCES-SAMENTODOSCLCULOS
SADADOSRESUL-TADOS A1, A2, A3
Dados
N, X(I),Y(I)I = 1, 2,...,N
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
207
A1 = DET1/DET; A2 = DET2/DET; A3 = DET3/DET(* FIM DO USO DA
REGRA DE CRAMER. *)
(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
Na Sada dos Resultados, manda-se escrever o valor de cada
coordenada, naordem em que foram lidas:
(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVA P(X) = A1 + A2 *X + A3
*X*XESCREVA A1 = , A1ESCREVA A2 = , A2ESCREVA A3 = , A3
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
Reunindo os trs blocos de detalhamentos, e definindo-se os tipos
das variveis
utilizadas para os somatrios e determinantes, tem-se o algoritmo
completo:
ALGORITMO PARBOLA
(* AJUSTA UMA PARBOLA A UM CONJUNTODE PARES DE DADOS COM O
EMPREGO DOMTODO DOS MNIMOS QUADRADOS. *)
REAL X(50), Y(50)REAL A1, A2, A3REAL SX, SX2, SX3, SX4REAL SY,
SXY, SX2YINTEIRO I, N
INCIO
(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA NPARA (I DE 1 AT N) FAA
LEIA X(I), Y(I)FIM PARA
(* FIM DA DENTRADA DOS DADOS. *)
(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* CLCULO DOS SOMATRIOS: *)
SX = 0; SX2 = 0; SX3 = 0; SX4 = 0SY = 0; SXY = 0; SX2Y = 0PARA
(I DE 1 AT N) FAA
SX = SX + X(I)SX2 = SX2 + X(I)*X(I)SX3 = SX3 + X(I)*X(I)*X(I)SX4
= SX4 + X(I)*X(I)*X(I)*X(I)SY = SY + Y(I)
SXY = SXY + X(I)*Y(I)SX2Y = SX2Y + X(I)*X(I)*Y(I)
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
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208
FIM PARA(* FIM DO CLCULO DOS SOMATRIOS. *)(* CLCULO DOS
DETERMINANTES: *)
DET = N*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2 + SX2*SX3*SX- SX2*SX2*SX2 SX3*SX3*N
SX4*SX*SX
DET1 = SY*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2Y + SX2*SX3*SXY- SX2*SX2*SX2Y
SX3*SX3*SY SX4*SXY*SXDET2 = N*SXY*SX4 + SY*SX3*SX2 +
SX2*SX2Y*SX
- SX2*SXY*SX2 SX3*SX2Y*N SX4*SX*SYDET3 = N*SX2*SX2Y + SX*SXY*SX2
+ SY*SX3*SX
- SY*SX2*SX2 SXY*SX3*N SX2Y*SX*SX(* FIM DO CLCULO DOS
DETERMINANTES. *)(* USO DA REGRA DE CRAMER: *)
A1 = DET1/DET; A2 = DET2/DET; A3 = DET3/DET(* FIM DO USO DA
REGRA DE CRAMER. *)
(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)
(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVA P(X) = A1 + A2 *X + A3
*X*XESCREVA A1 = , A1ESCREVA A2 = , A2ESCREVA A3 = , A3
(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)
FIM DO ALGORITMO PARBOLA.
-
5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos
II
209
PROVA 21 Ajuste No-Polinomial
FOLHA DE QUESTES:
Questo 1 (dissertativa) Apresente o problema do ajuste
no-polinomial. Como esseproblema pode ser resolvido com a utilizao
do Mtodo dos Mnimos Quadrados? Porfavor, no escreva menos do que
uma pgina.
Questo 2(numrica)Ajuste a curva exponencial Y = ABxaos dados
apresentados natabela dada a seguir. Aps obter os valores de A e B,
use esses valores para calcular asordenadas correspondentes aos
valores das abscissas. Por favor, no deixe de indicartodas as
operaes efetuadas.
x 1,3 2,8 5,9 7,8y 1,2 5,9 15,9 30,4
Questo 3 (numrica) Faa o ajustamento da curva Y = AeBxaos dados
apresentadosna tabela abaixo. Use a curva de ajustamento para obter
a ordenada correspondente a x= 4,5. Por favor, indique todas as
operaes efetuadas.
x 2,2 3,9 4,6 5,8 6,6 7,8 8,1 9,0 10,0y 4,0 9,8 11,5 32,7 55,0
70,3 90,8 100,0 99,0
Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para ajustar a curva
Y = ABx a umconjunto de dados. Desenvolva o seu algoritmo em trs
fases de refinamento sucessivo.A verso final do algoritmo deve
reunir todas as partes que tenham sido elaboradas emseparado.
Boa Prova!
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RESPOSTAS:
Resposta Questo 1 O problema do ajustamento no polinomial pode
serapresentado como aquele de se definir uma determinada curva de
natureza algbrica outranscendente, por exemplo, exponencial, ou
logartmica ou outra, mas no polinomial,
que se pode ajustar a um conjunto de n pontos dados pelas suas
coordenadascartesianas: [xi, yi], com i assumindo os valores
1,2,3,...,n.
Vrias curvas podem ser utilizadas para o fim do ajustamento no
polinomialcom o auxlio do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Muitos livros
de Clculo Numrico,de Estatstica e de frmulas e tabelas matemticas
oferecem uma coleo bastanteextensa de tais funes.
Algumas dessas funes so, por exemplo:
Y = ABx (neste caso, tem-se uma funo exponencial); e
Y = AeBX (neste outro caso, e a base dos logaritmos naturais: e
=2,718281828...).
Para ajustar a primeira dessas funes podem-se aplicar logaritmos
decimais noseguinte sentido:
log Y = log (ABx )
log Y = log A + (log B)x
Agora, p(x) pode ser associado a log Y; j, log A (uma constante)
associado aa1e log B (outra constante), a a2.
Tem-se, ento, p(x) = a1+ a2x, recaindo-se no caso de ajustamento
polinomial,neste caso, de uma reta. Usa-se, ento, o Mtodo dos
Mnimos Quadrados para oclculo de a1e a2.
Para ajustar a segunda funo, podem-se aplicar logaritmos
naturais (ouneperianos):
ln Y = ln (AeBX
)
ln Y = ln A + (ln e) Bx, como ln e = 1,
ln Y = ln A + Bx
De modo semelhante ao que foi feito para o primeiro exemplo,
novamente, p(x)pode ser associado a ln Y; ln A associado a a1e B, a
a2.
Tem-se, ento, p(x) = a1+ a2x, recaindo-se, tambm neste caso, no
ajustamentopolinomial de uma reta em que o Mtodo dos Mnimos
Quadrados empregado para a
obteno dos valores de a1e a2.
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Resposta Questo 2 Deseja-se ajustar a curva exponencial Y =
ABxaos dados databela
x 1,3 2,8 5,9 7,8
y 1,2 5,9 15,9 30,4
Aplicando logaritmos decimais expresso Y = ABx, tem-se
log Y = log A + x log B
ou
p(x) = a1 + a2x
Ento A = 10a1 e B = 10a2
Para obter a1e a2, resolvemos o sistema de duas equaes lineares
com duas incgnitas:
n a1+ a2x = log y
a1x + a2x2 = x log y
em que n = 4, corresponde quantidade de pontos definidos na
tabela. Para calcular os
somatrios, construmos uma tabela.
i xi yi log yi x log yi xi2
1 1,3 1,20 0,079181 0,102935 1,6902 2,8 5,90 0,770852 2,158386
7,8403 5,9 15,9 1,201397 7,088242 34,814 7,8 30,4 1,482874 11,56642
60,84
17,8 - 3,534304
20,91598
105,18
Temos ento o sistema:
4 a1+ 17,8 a2= 3,534304
17,8 a1+ 105,18a2= 20,91598
Cuja resoluo pela regra de Cramer apresentada em seguida:
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Det = (4) (105,18) (17,8)(17,8) = 420,72 316,84 = 103,88
Det1 = (3,534304)( 105,18) (17,8)( 20,91598) = 371,738 372,304 =
- 0,5663
Det2 = (4)( 20,91598) (3,534304)(17,8) = 83,6639 62,9106 =
20,753
De modo que
a1= Det1 / Det = - 0,5663/103,88 = - 0,0054515
a2= Det2 / Det = 20,753/103,88 = 0,19978
A = 10a1 = 10-0,0054515= 0,9875 e
B = 10a2 =100,19978 = 1,5841
Concluso: Y = (0,9875)(1,5841)x
Resposta Questo 3 Nesta questo, pede-se para fazer o ajustamento
da curva
Y = AeBx
aos dados da tabela abaixo. Alm disso, pede-se para usar a curva
de ajustamento eobter a ordenada correspondente a x = 4,5.
x 2,2 3,9 4,6 5,8 6,6 7,8 8,1 9,0 10,0y 4,0 9,8 11,5 32,7 55,0
70,3 90,8 100,0 99,0
Empregando logaritmos naturais expresso Y = AeBx, obtemos
ln Y = ln A + Bx,
isto , podemos proceder como se fizssemos o ajustamento da reta
p(x) = a1+ a2x, emque a1 = ln A e a2 = B. Resolvemos o sistema de
duas equaes lineares com duas
incgnitas descrito abaixo:
n a1+ a2x = ln y
a1x + a2x2 = x ln y
em que n = 9 a quantidade de pontos a considerar. Para obter os
somatrios,construmos uma tabela.
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i xi yi ln yi x ln yi xi
2
1 2,20 4,0 1,386 3,0492 4,842 3,90 9,8 2,282 8,8998 15,21
3 4,60 11,5 2,442 11,2332 21,164 5,80 32,7 3,487 20,2246 33,645
6,60 55,0 4,007 26,4462 43,566 7,80 70,3 4,253 33,1734 60,847 8,10
90,8 4,509 36,5229 65,618 9,