Integral Indefinida M´ etodos de integraci´on Integrales Definidas C´ alculo Integral Eduardo Mena Caravaca Grado de Administraci´on y Direcci´on de Empresa 3 de diciembre de 2015 Departamento de Matem´ aticas EPSA Eduardo Mena Caravaca C´ alculo Integral
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
PRIMITIVA DE UNA FUNCION
Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral
Integral IndefinidaMetodos de integracion
Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Definicion
Sea f : R −→ R se dice que una funcion F es una primitiva de fsi se verifica F ′(x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )
Una definicion que equivale a resolver la siguiente ecuacion(ecuacion diferencial)
F ′(x) = f (x)⇒ dF (x)
dx= f (x)⇒ dF (x) = f (x) · dx
dF (x) = f (x) · dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Si la ecuacion F ′(x) = f (x) tiene solucion, entonces, tieneinfinitas soluciones.
En efecto:La funcion F + C donde C ∈ R tambien es solucion, ya que:
(F + C )′ (x) = F ′(x) + C ′ = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f (x)
(F + C )′ (x) = f (x)
Por tanto, F + C es una primitiva de f
A las infinitas primitivas de f se le llama integral indefinida y larepresentamos por: ∫
f (x) dx = F (x) + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
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Definicion
Si F : R −→ R es una primitiva de la funcion f : R −→ R a laexpresion F (x) + C se le llama integral indefinida de la funcionf y se representa por el sımbolo:∫Sımbolo de la operacion inversa de la derivada, por ello, a laintegral indefinida tambien se le llama antiderivada y tiene la formade una S (suma)
dF (x) = f (x) · dx ⇒∫
dF (x) =
∫f (x) dx = F (x) + C
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:
Signo de la integral, una S deformada
f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫
f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫Integrando
f (x) · dx∫f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
Elemento de integracion
∫f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx
∫f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dxExpresion completa
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)
f (x) · dx∫f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx
)′
= (F (x) + C )′ = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion
d
(∫f (x) dx
)=
(∫f (x) dx
)′
dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫
df (x) =
∫f ′(x) dx = f (x) + C
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales∫(f (x) + g(x)) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2 La integral de una constante por una funcion es igual, a laconstante por la integral de la funcion∫
k · f (x) dx = k ·∫
f (x) dx
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales∫(f (x) + g(x)) dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx
2 La integral de una constante por una funcion es igual, a laconstante por la integral de la funcion∫
k · f (x) dx = k ·∫
f (x) dx
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Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
INTEGRALES INMEDIATAS
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Integrales Definidas
Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫sin x dx = − cos x + C
∫1
cos2 xdx = tan x + C
∫1√
1− x2dx = arcsin x + C
∫1
xdx = ln x + C
∫ex dx = ex + C
∫cos x dx = sin x + C
∫−1
sin2 xdx = cot x + C
∫1
1 + x2dx = arctan x + C
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
METODOS DE INTEGRACION
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Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Cambio de variable
∫f (x) dx
Hacemos el cambio x = g(t)⇒ dx = g ′(t) dt
∫f (x) dx =
∫f (g(t)) g ′(t) dt
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Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Ejemplo
Calcular
∫ln x
xdx
Hacemos el cambio ln x = t ⇒ 1x dx = dt
∫ln x
xdx =
∫t dt =
1
2t2 =
1
2ln2 x + C
O bien, sin cambio, si observa que:∫ln x
xdx =
∫ln x d(ln x) =
1
2ln2 x + C
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Integrales Definidas
Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIOSi f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/f (a) < α < f (b)entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Corolario
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/m < α < Msiendo m = mın {f }[a,b] y M = max {f }[a,b] entonces∃c ∈ (a, b)/f (c) = α
DemostracionPor el teorema de Weierstrass f alcanza elmaximo y el mınimo en [a, b]. Sea A(x1, f (x1))donde alcanza el mınimo y M(x2, f (x2)) dondealcanza el maximo. Tomamos el intervalo[x1, x2] ⊂ [a, b] y definimos en el la funciong(x) = f (x)− α.g cumple Bolzano en el intervalo [x1, x2] yaque es contınua y se verifica:g(x1) = f (x1)−α < 0 y g(x2) = f (x2)−α > 0,por tanto ∃c ∈ (a, b)/g(c) = 0⇒ f (c) = α
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
EL AREA COMO PRIMITIVA DEUNA FUNCION
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
Cosideremos el area plana delimitada por la grafica de la funcion f ,el eje OX y las ordenadas correspondiente a los valores x = a yx = b
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Integrales Definidas
Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S ≤ M(b − a)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S ≤ M(b − a)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
m ≤ S
b − a≤ M
Y por el teorema del valor intermedio ir al teorema
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
∃c ∈ [a, b] /S
b − a= f (c)⇒ S = f (c)(b − a)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x)
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S(x + ∆x)
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S(x + ∆x)− S(x)
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Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x)− S(x) = f (c) ·∆x con c ∈ (x , x + ∆x)
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Teorema Fundamental del Calculo Integral
lım∆x→0
S(x + ∆x)− S(x)
∆x= lım
c→xf (c) = f (x)
S ′(x) = f (x)⇒ S(x) =
∫ x
af (x) dx
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Regla de Barrow
Si F : [a, b] −→ R es una primitiva de f : [a, b] −→ R se verifica:∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
DemostracionSi F (x) es una primitiva de f (x), sabemos que
S(x) =
∫ x
af (x) dx tambien es una primitiva de f (x).
Pero dos primitivas cualesquiera se diferencian en unaconstante C .Por tanto, podemos escribir: S(x)− F (x) = CHaciendox = a⇒ S(a)− F (a) = C ⇒ 0− F (a) = Cx = b ⇒ S(b)− F (b) = C ⇒ S(b) = F (b)− F (a)⇒∫ b