Calculo Integral 05 - Bernardo Acevedo Frias

8/22/2019 Calculo Integral 05 - Bernardo Acevedo Frias

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Y

x / V, "7\

E C U A C I O N P O L A R .E s u na e c u a c i n e n r y en 8 ( f ( r , 8 ) =0 ) .Un a s o l u c i n d e u na e c u ac i n p ol a r e s u na p ar e j a o r d e na d a ( a , b )t al q ue al s u s t i t u i r e n l a e c u ac i n a en l u ga r d e r y b e n l ug arde 8 s e o b t i e n e u na i g ua l d ad .L a g r f i c a de u na e c ua c i n f ( r , 8 ) =0 c o ns t a d e t o do s a que l l osp un t o s c u y a s c o o r d e na d as ( e n a l g un a de s u s f o r ma s ) s a t i s f a c e n l ae c ua c i n. F r e c u e nt e me n t e l a e c ua c i n s e p ue de e s c r i b i r c o mo u naf unc i n ex pl i e i t a d e 8 ; e s de c i r r f CO) .E s u na b u en a a y u d a p ar a g r a f i c a r u na e c u a c i n e n c o o r d e n a d a sp ol a r e s c o no c er s u s i me t r a .L a g r f i c a d e u na e c ua c i n en c o o r d en ad as p ol a r e s e s s i m t r i c ac on r e s p e c t o a1. Ej e de 90 ; ( e j e y ) ; l a e cua c i n no cambi a* al s u s t i t u i r porTT - 0, e 1 par ( r , 6 ) por ( r , - 8 ) .2. Ej e? po l a r ( ej e x ) ; s i l a e c ua c i n no c a mb i a al s u s t i t u i r 8 por- 8 el par ( r , 8) por ( - r , n - 8 ) .3. Al po l o ( o r i gen) ; s i l a e cua c i n no c ambi a al s u s t i t u i r r por- r o 8 p o r T C+8 .Hay a l g un a s g r f i c a s e n c o or d en a da s p ol a r e s q ue r e c i b en eln omb r e s e s p e c i a l e s , por e j e mp l o

2 3 4


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1. L a s g r f i c a s d e r =a b Co s 6 , r =a b S e n6 , a y b r e a l e s s e l l a ma ni un a s o n e s o c a r a eo 1e s .2 L a s g r f i c a s d e r =a a Co s 6 , r =a a S en 6, s o n un c a s o p a r t i c u l a rd e l os c a r a c o l e s y s e l l ama c ar d i o i d e.3. L a s g r f i c a s d e r =a S en nO, r =a Co s n 9 , n >2 , s e l l a ma n r o s a s .S i n e s i mpa r e l nme r o de r o s a s e s n ; y s i n e s par el nme r o der o s a s e s 2n .4. L a s g r f i c a s de r =aSenr i 6, r =a Co s n ; n =l , s o n c i r c u n f e r e n c i a sq ue p as a n po r el o r i g en .5. L a s g r f i c a s d e r 2=aCos2>; r =+aSen2 son c ur va s en f or ma de8, l l a ma da s L e mn i s c a t a s .6. L a g r f i c a d e l a e c ua c i n * =c, c c u al q ui e r c o ns t a n t e , e s u nal i n ea r e c t a q ue p as a po r el p ol o y f o r ma un n gu l o d e c r a d i a n esc on el e j e p ol a r . L a mi s ma c u r v a e s t a e s c r i t a po r l a e c ua c i nH- c Mr u , n Z.7 L a g r f i c a de r =c , c c u al q ui e r c on s t a nt e , e s u na c i r c u nf e r e nc i ac u y o c e n t r o e s t a en el p ol o .E j e m p l o 1. T r a z a r l a g r f i c a de r =2Co s 2 ( r os a d e 4 p et a l o s ) .So l uc i n.L a g r f i c a e s s i m t r i c a con r e s p ec t o al e j e po l a r y al e j e de 90;ya que r =2Cos ( ~20 - 2Cos26 y r =2Cos 2* =2Cos2 ( n - 6 ) , l ue go s e pue dehac er e l g r f i c o c on v al o r e s de e nt r e 0 y TI/ 2 y a p l i c a r l oa n t e r i o r8 0 t t / 12 T C / 6 T I / 4 TC / 3 5 T I / 12 T I / 2r 2 1. 7 1 0 - 1 - 1 . 7 - 2

2 3 5


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Y

Ejemplo 2 . Ha c e r e l g r f i c o d e r =4 Se n .So l uc i n .L a g r f i c a e s s i m t r i c a c on r e s p ec t o al e j e de 9 0 ni c a me n t e , ypa r a h ac e r s u g r f i c o e s s u f i c i e nt e t o ma r s o l u c i n es d e r =4S en e nt r e 0 y TI/ 2, y u t i l i z a r l a s i me t r i a .8 0 ix/ 6 u/ 4 TI/ 3 i x /2r 0 2 2 * 2 i / ' 2 2#31 ' a ! 4Y)

/f1\\ J r -\

- 0Si . no s e u t i l i z a l a s i me t r i a , l a g r f i c a c ompl e t a r es u l t a det o ma r s o l u c i n e s de l a e c u a c i n r =4 S en 6 p ar a 0 6 TIE 0 TI / 6 TI / 4 T I / 3 TC / 2 2T I / 3 3TX / 4 5T I / 6 TIr 0 2 2 # 2A ' 2 2* 3 x - 2 4 2*3* - 2 2 * 2 * - 2 2 0

2 3 6


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C2 ^ , ZT/ i )

(z,*v< U.ir/o)

S e p u ed e ve r q u e p a r 6>n emp i ez a a r e pe t i r s e l a g r f i c a pore j e mp l o ( - 2 , 7i t / ) c o r r e s p on de al p u nt o ( 2, TI/ 6 ) ; y al p un t o< - 2 * 2 4 ' A , 5 T T / 4 ) c o r r e s p o n d e al p un t o ( 2*2x':s, T I /4 ) y asis u c e s i v a me n t e .E j e m p l o 3 . S r a f i c a r r =2+2Co s 6 ( Ca r d i o i de ) .S o l u c i n .L a g r f i c a ess i m t r i c a ni c a me nt e c on r e s pe c t o al e j e po l a r yaq u e r =2+2Cos 6=2+2Cos ( ~6 ) . La t a bl a s i g u i e nt e e xh i b e a l g u na ss o l u c i o n e s de r =2+2Cos 6 .e 0 TC/6 TI/ 4 Tt / 3 Tt / 2 2 I T / 3 3 T I / 4 5TI : / 6 nr 4 2 +3 x ' 2 2 + 2 ^ 3 2 1 2~- 2J Lx' = 0Y ,

T - 2 + 2 C DS

Ejemplo 4. H a c e r el g r f i c o de r = i = 8 C o s 2 8 .

Solucin

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L a gr f i c a e s s i m t r i c a c on r e s p ec t o a l os d os e j e s y alpo l o ( e j e r c i c i o ) . Al g una s de l as s o l u c i o ne s de l a e c ua c i n s emu es t r a n en l a t a bl a s i g ui e nt e .8 r n / 12 T I / 6 T I / 4r 2.8 2.6 2 0 Y

2 . 2 . 1 A R E A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S .

Se r e c u er d a q ue r e a d e un s e c t o r c i r c u l a r c uy o ng ul o

a c o t a d a p or l a s g r f i c a s de? l as s e mi r e c t a s q ue p as a n p or o yc uya s ec uac i one s son =a y 0=| 3; donde 0a


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Se a P una p a r t i c i n de[ ct , ( 3] d e t e r mi n a d a p o r=, g ( ) en[ a , 13] .Se a R l ar e gi n a c ot a da po r l as g r f i c a s der =f ( ) y r =g( ) c omos e i l us t r a en l af i gu r a s i g u i e n t e

Evidentemente el rea de la regin R se puede calcular como la

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d i f e r e n c i a de l as r e a s , de do s r e gi one s del t i po c o ns i de r a doa nt e r i o r me nt e ; por l o t ant o

13 (3 13A- .1[ f ( 9 ) ] 2d6 [ g ( 9 ) ] 2d9 [ f 2 ( e ) - g 2 ( e ) ] d e .

a a aEjemplo 1. Ha l l a r el r ea de l a r egi n l i m t ada por r =662: 0, en t r e 6=0 y 6=7TI/ 4 .Solucin.

3 "A( \ \7 i l / 4 "r- e

A= 6 2 d 6 343384 TT "0Ejemplo 2. Ha l l a r e l r e a d e r =2 +2 Co s G ( Ca r d i o i d e) .Solucin. x

* xr - 2 4 Zse

C'TT TI1 1A~ _ [ f ( 6 ) Il 2 y as i A= - ( 2+2Cos ) 2d9 ( 4+8Cos 6+4Cos 26 ) d 6=0 0 TI

( 6+8Cos +2Cos 26) d6 = 66+8Se n6+Se n260

0= 6 T ( 2+2Cso6) 2d6.

0

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Ejemplo 3. Ob t e ne r el r e a del r i z o i n t e r i o r d el c a r a c o lr =. l +2Cos6 .S o l u c i n .L a g r f i c a e s s i m t r i c a c on r e s pe c t o al e j e po l a r . Co mo e j e r c i c i omo s t r a r qu e l a g r f i c a c o r r e s p on de a l a f i gu r a s i g ui e nt e y

4 TITmo s t r a r q ue el r i z o s e e nc u e nt r a e nt r eY

4 T I / 3A= ( l +2Cos ) 2 d 6 = TT- ( Ej e r e i c i o )

2 T I / 3Ejemplo 4. Ha l l a r el r e a en el p r i me r c u a dr a n t e q ue ese xt e r i o r a l a c i r c u nf e nc i a r =l e i nt e r i o r a l a r os a r =2Se n29 .So l uc i n .Co mo e j e r c i c i o mo s t r a r q ue l a g r f i c a , e s l a q ue s e o bs e r v a en l af i gur a s i gu i e nt e .

2 4 1


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Se bus c a n l os p un t o s de i n t e r s e c c i n, i g ua l a nd o l as d os c u r v a sTte s d e c i r ; 2Sen2 =l s i y s o l o s i Sen26=


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AA - [ 3 Se n 2 e - ( l +Co s e ) a ] ^e . S e n ec e s i t a n l a s c o o r d e na d as d e l o sp un t o s de i n t e r s e c c i n y pa r a e l l o s e r e s ue l v e l a e c ua c i nl +Cos =3 x ' =S en .l +2Cos +Cos a ! = S Se n 2 = 3 ( 1 - 0 05=6) ;4 C o s 2 +2Co s ~2 = 0 ;

Tt( 2 Co s - L ) ( Cos +l ) =0 , Cos=' Cos 6 = - L , y as i = - , TI , l ue go3Tt TtA= - [ 3 S e n 2 - ( 1+Cos ) 2 ] d = ( 2 Co s - 2 Co s 2 ) d =

T I / 3 T I / 3

L" - 2Sen- Sen2] TIT I / 3

WZ.*-'"-*4

E j e m p l o 6 . Ha l l a r el r e a e nc e r r a da por ( x 2 +y 2 ) a = ; - : a- y2.

S o l u c i n .

L a c u r v a s e p as a a p o l a r e s , > = r Cos y =r S e n, a s i ( x =+y ) ==( r =) 2 = = r 2 ( Co s 2 6 - S en 2 e ) =r =Co s 2 6 ; a s i l a c u r v a en p ol a r e s e sr =i Cos 2 y el r e a s e pu ed e c a l c u l a r a s i :

AT I / 4

( Co s 2 ) d 0

T I / 4


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Ejemplo 7. Da da s l as c u r v a s e n c a r t e s i a na s x 2 +y 2 - x , x 2 +y^- ya ) Pa s ar l a s a po l ar es .b ) Ha l l a r al r e a c o m n a r =S en 6, r - Co s 8 .c ) Ha l l a r el r e a e xt e r i o r a r =S en 6 e i nt e r i o r a r =Co s 8.d ) Ha l l a r el r ea e xt e r i o r a r =Co s 8 e i nt er i or a r : =Sen8.Solucin.

a ) x a +y 2 =r 2 =r C o s 8 ; l u eg o r =Co s 8X3+ya=r 2 =r S e n 6 ; l u eg o r =S en 8. S us g r f i c a s s e o bs e r v a n en l af i gur a s i gu i ent e .

r - 6 e a @"A

r -CO50

TCL a s c u r v a s s e c o r t a n n i c a me nt e en 6= ( Co s 8=S en )4

T t / 4 IX'b) E l r ea comn B= ( Sen 3) d8 + Co s 3 8 d 8 ( e j e r c i c i o )

0 u/ 4u / 2

c ) El r e a C ( Co s 38 ) d 8 - Ar e a c o m n E(. ( e j e r c i c i o )- i t / 2

Hd ) El r e a A ( S e n38) d8 - r ea comn B.

02 4 4


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2 . 2 . 2 E J E R C I C I O S .

I . Di bu j a r l os s i gu i e nt e s punt os , dado s enf o r ma po l a r con l os ng ul o s eng r a d o s , y ha l l a r t o da s l as c o or d en ad as po l a r e s dec a d auno de l os pu nt o s .I . ( 2 , 90 ) 2. ( 2, 0 ) 3. ( - 2 , 9 0 ) 4. ( - 2 , 0 ) .I I . Re pr e s en t a r el c on j unt o de p un t o s p ( r , 6 ) c u y a s c o o r d en a da spo l a r e s s at i s f a c en l ae c u ac i n, de s i g ua l d ad da da s ..1) r =2 2) r >1 3) 0 o


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5. Ha l l a r el r ea e xt e r i o r a r =2 e i nt e r i o r a r 2 =8Cas28 .6 . Ha l l a r e l r e a d e u n p t a l o d e r =4 Se n 36 .7. Ha l l a r el r e a d e l a r e gi n q u e s e e n c ue nt r a d en t r o der =2+2Cos 6 y f uer a de r =3.8 . Ha l l a r el r ea l i m t ada por r =l , r =l +Co s e, 8 =T I / 4 e n el p r i me rc u ad r a nt e .VI . Ha l l a r el r e a d e l a r e gi n q ue s e e nc u en t r a f u er a de l ag r f i c a d e l a p r i me r a e c u ac i n y d e nt r o d e l a s e g u nd a .1. r =2 +2 Co s 6 ; r =3 . 2. r =2 ; r 2 =BSen28.3. Ha l l a r el r e a c o mp r e nd i d a d e nt r o d e r =i +S en 6, f u er a d er =l - Cos6 y enc i ma de 8=0 .4. Ha l l a r e l r e a i n t e r i o r a r =3 +3 Co s 8 y r =- 3Co s 6.5. Ha l l a r el r e a de l a r e gi n i nt e r i o r al c a r a c ol r =l +2 Se n6

2 T1( i nd i c a c i n : el r e a no e s ( l +2Se n8) a d 8 . )o

02 iri r6 . E xp l i c a r por q ue 9 Co s 28d 6 no e s el r e a de l a r e gi n9 0l i m t ada por r 3 =9Cos28 .VI I . Ha l l a r el r e a de l a i nt e r s e cc i n de l as g r f i c a s en ce r r a da spor l as g r f i c a s1. r =2 ; r =3 - 2 Co s 8 . 2 . r =3 S en 26 ; r =3 Co s 2 6 . 3. r =S e n6 ;r =3 1 / a C o s 6 .4 . r =l +S e n 6; r =5 Se n 6. 5. r =2 S en 2 6: r =2 Co s 2 6 .

2 4 6


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VI I I . Ha l l a r el r e a s u b r a ya da en l a f i gur a s i g u i e nt e .y

r-.-W

2 . 3 L O N G I T U D D E A R C O .

S e a y =f ( x ) una f unc i n c o nt i n u a en [ a , b ] , s e c o ns i d e r a l a g r f i c ade y =f ( x ) , l a c ua l s e o bs e r v a en l a f i gur a s i g ui e nt e

V- f l x)

L a po r c i n de l a g r f i c a d e s de ( a , f ( a ) ) has t a ( b , f ( b ) ) , s e l l amaa r c o y s e d e s e a a s i g na r un n me r o a l o q ue i n t u i t i v a me n t e s ep i e n s a c o mo l a l o ng i t u d de? e s t e a r e o. Si el a r c o e s u n s e g me n t o d er e c t a de l punt o ( x , y ) al punt o ( x i , y i ) , s e s a be po r l a f r mu l a del a d i s t a n c i a e n t r e d os p un t o s , q ue s u l o ngi t ud e s t a d ad a po r[ ( x i - x ) 2 +( y i - y ) 2 ] 1 / a . Se u s a r e s t a f r mu l a pa r a d ef i n i rl al o ng i t ud d e un a r c o c u al q ui e r a .En e f e c t o , s e a y =f ( x ) una f unc i n c o nt i n u a c on f ' ( x ) c o nt i n u apa r a t o do x e n L a , b ] , s e h al l a r l a l o ng i t ud de l a r c o AB q ue s eo bs e r v a en l a f i g u r a s i g u i e nt e .

2 4 7


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Y- tv

Sea P =C t a; t i , . . . , t n 3 una pa r t i c i n de[ a , b ] , en n s ub i n t e r v al o sde l ongi t ud i gua l e s , esdec i r t * = t*"- t,


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L o n g i t u d d e u n a c u r v a .

Un a c u r v a C e s un c o n j u nt o d e p un t o s P ( x , y ) c u y a s c o o d e n a da se s t n d a da s por x =f ( t ) , y =g ( t ) , d o nd e f y g s o n c o n t i n ua s en unmi s mo i n t e r v a l o I .A x =f ( t ) , y ^g ( t ) s e c o n o c e c o mo u na e c u ac i n p a r a m t r i c a p ar a l ac u r v a y , t e s s i mp l e me n t e un p a r me t r o , q ue en a l g un o s c a s o se s el t i e mp o .S u p ng a s e q ue C e s u n a c u r v a p a r a me t r i z a d a p or x =f ( t ) , y =g (t . ) ,a i t l b ; C e s u na c u r v a s u a ve o l i z a s i f y g' s o n c o n t i n ua s en[ a , b ] , y n o s o n s i mu l t a me a me n t e c e r o e n ( a , b ) ; u n a c u r v a C p ue det e ne r ma s d e u na p a r a me t r i z a c i n , y u na c u r v a C d e s c r i t a p or u naf u nc i n c o nt i n ua y =f ( x ) s i e mp r e s e p ue de p ar a me t r i z a r , h ac i e nd ox = t . Un c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s p a r a m t r i c a s p ar a C s o n x =t ;y =f ( t ) .L a l o ng i t u d d e u n a c u r v a p a r a me t r i z a d a p or x =f ( t . ) , y=g ( t ) a


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2 . 3 . 1 P A R A M E T R I Z A C I G N D E A L G U N A S C U R V A S .

1. x 2 +y 2 =a 2 , s e pu ed e p a r a me t r i z a r a s i : x =a Co s t ; y =a S en t 01t


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1 3[ 1 +( 12 / 5 ) a ] x ' a d x dx = 1 3, l a c u r v a s e pue de par a me t . r i z a r0 0a s i : A+t ( B- A) = ( 0, 1) + t [ ( 5 , 13 ) , ( 0 , 1 ) ] = ( 0 , 1) +t ( 5 , 12) =

1C( 5 a +( 1 4 4 ) a ] 1 / 2 d t

0( 5 1, 1 +121) = ( x ( t ) , y ( t ) ) 0


19/59

dyy= ?at - l xS 2 , l uego 2x y a s i L C l +4 x3] t / , 2d>; ( e j e r c i c i o ) .1E j e m p l o 4 .Ha l l a r l a l ongi t ud del c i r c u l o x : 2+y a : =a 2.S o l u c i n . x =a Co s t , y =a S e nt , 0


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2 . 3 . 3 L O N G I T U D D E U N A R C O E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S .

S e ha v i s t o q u e r - f ( 8 ) c


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2u -Tt T[ 2 Co s a ( 6 / 2 ) ] 1 / 2 d 6 = 2 I Cos ( 6 / 2 ) I d = 2 Co s ( 6 / 2 ) d 6 -

0 0 0..Tt

Co s ( 6 / 2 ) d = 4S e n( 6 / 2 ) - 4 S e n( 6 / 2 )02 ITTt 4+4=8.ii

E j e m p l o 3 . . Ha l l a r l a l o ngi t ud de r =e : 2 0 d e s d e 6 = 0 , ha s t a 6=2TI ,S o l u c i n .

d r d r = 2eS , i , y ( j - ' +r 2 = 4e* ' +e* e* = 5e 4 e y a s id6 d6lu Tt

S= 51 ' == [ e * " - l ] .5 t ' " - ' ) 1/ 2d9 = 5a-

0 02 . 4 A R E A D E R E V O L U C I O N .Se a y =f ( x ) una f unc i n no n eg at i v a y c u y a d er i v a da f ' ( x ) e sc o n t i n ua en [ a, b' j . S i s e ha c e g i r a r l a g r f i c a de y =f ( x ) de s d ex =a h a s t a x =b a l r e d e do r del . ej e x , s e n e u na s u p e r f i c i e d er e v ol u c i n. E l r e a de e s t a s u pe r f i c i e v x &n e d ad a por l a f r mu l a

b b b nf ( x ) ds

a

7 x

2 5 4


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D e m o s t r a c i n .P a r a d ed uc i r l a f r mu l a s e r e c ue r d a p r i me r o q ue el r e a l a t e r a l( s. i n b a s es s u pe r i o r e i n f e r i o r ) de un c o no c i r c u l a r r e c t ot r u n c a d o c o mo s e mu e s t r a c?n l a g r f i c a , v i e n e d a da po r n ( r +R ) L ;d on de r , R, L s on l os r a di o s de l a ba s e s u pe r i o r , i n f e r i o r y L l ag e n e r a t r i z .

S e a P ={ Xa , Xi , . . . Xr.3 una pa r t i c i n del i n t e r v a l o [ a , b ](*. f Mr

aI M- f r J 4

HaSi s e u ne n l o s p un t o s ( x k - i , f ( x k - i ) ) c o n ( x k ! f ( x k ) ) por u nac u e r d a , s e f o r ma un t r a pe c i o . Cu a nd o e s t e t r a pe c i o s e h ac e g i r a re n t o r n o al e j e x , s e g e ne r a un c o n o t r u nc a d o c o n r a d i a s f ( Xi - i . ) ,f ( x * ) . L_a g e ne r a t r i z p ue de o b t e ne r s e de l t e or e ma d e P i t g or a s :[ ( x k - x k - i ) 2 +( f ( x k ) - f ( x k - i ) ) 2 ] 1 / 2 , as i qu e el r e a l a t e r a l de lc o n o t r u nc a d o s i n t a pa s esS * - r t[ f ( x k ) +f ( x k _ i ) ] [ ( x k - x k - 1 ) a +( f ( x k ) - f ( x k - 3. ) =

f ( x k ) - f ( i )Tt[ f


23/59

l i r n 2 Tt[f ( x k ) +f ( x k _ i ) ] [ ! +( f ' ( xk ) =n - > k = 1b

.TI f ( x ) [ l +( f ' ( x ) ): 'x/ 'Sid)

S e p ue de d e mo s t r a r q ue s i l a g r f i c a d e u na f u nc i n c o n t i n u ay =f ( x ) en [ a, b; ] 0


24/59

D e m o s t r a c i n ( e j e r c i c i o )

El r e a d e l a s u p e r f i c i e g en er a da en l a r o t a c i n del a r c o d e l ac u r v a r =f ( 6 ) a 6i p a l r r e de do r del e j e po l a r e s

(3 [ iS M = 2n y ds = 2T I r S e nOd s y a l r r e de d or d el e j e 9 0 e s

a a

n : ds = 2 TI r Co s S d s .a a

D e m o s t r a c i n ( e j e r c i c i o ) .

E j e m p l o 1. Ha l l ar el r ea de l a s u pe r f i c i e de r ev ol uc i ng e ne r a da en l a r o t a c i n a l r r e de do r del e j e x , del a r c o d e l ap ar bo l a y a s =12x 0


25/59

d2 4 ( 2 * 2 * y a p l i c a n d o l a o t r a f r mul a S=2TI dxy ( 1 +( ) 2 ) 1 / 2 d y =dy

Zn y ( 3 6 +y 2) dy dx y dx 36+y a= 24 ( 2* 2 J - ' 2~1 )TT. = l +( ) = =6 dy 6 dy 60

E j e m p l o 2 . Ha l l a r el r e a de l a s up e r f i c i e de r e v o l u c i ng e ne r a d a en l ar o t a c i n a l r r e de do r del e j e y , el a r c o de l ac u r v ax =y 3 0 y l .S o l u c i n .

dti "TI dxx [ l +( ) a ] 1 / 2 d ydy = ZTC y

3[ l +9y * ] 1- ' =: dy = (10* 10 a )270E j e m p l o 3. De duc i r l af r mu l a p ar a el r e a de l a s up e r f i c i ee s f r i c a .S o l u c i n .

S e p ue d e g e ne r a r u na e s f e r a der a di o a , h a c i e ndo g i r a r el a r c ox =a Co s t , y =a Se nt B i t n , a l r r e de do r del e j e x , l uego

d IX TLS=Z"n: y d s =2TC a ^S e n t d tS e n t . [ a 2 ( Co s 2 t +S e n 2 t ) ] 1 / 2 d t =2TV

c 0 02 r t a : 2* 2=4Tta S. T a mb i n sep ue de o bt e ne r e s t e r e s u l t a do , si ser o t a;{=(a2-y2)1/2; --ai y* a alrrededor del eje y. En efecto,

258


26/59

aA=2it x d s Mi ( a 2 - y2) . ( 1+ y -a 2 - y a = 2f t ady = 4na a .- a - aE j e m p l o 4 . Ha l l a r el r e a d e l a s u p e r f i c i e g en e r a da e n l ar o t a c i n de r a =Co s 2 e a l r r e de do r de l e j e po l a r .S o l u c i n .

El r e a p ed i d a e s i gua l al do b l e d e l a g e ne r a d a e n l a r o t a c i nde l a r c o de l p r i me r c u a dr a nt e .

Co s a 26+Sen=2e 1r S e n 2 6r 2 +( ) = = Cos 26+ ( - ) std 6 r l ue goT I / 4

S=2#2n r Sen d = 4r tri t / 4

Se n6 d=4 IT ( - Co s 6)0 0

T I / 4= 4 T ( 1- ) .0 2

2 . 5 V O L U M E N E S D E C I E R T O S S O L I D O S .

E n e s t a s e c c i n y e n l a s s i g u i e n t e s s e d e mo s t r a r c o mo s e p ue deu t i l i z a r 1* i n t e gr a l d ef i n i d a pa r a e va l u a r l o s v o l me ne s dec i e r t o s s l i d o s .2 . 5 . 1 M E T O D O D E L A S E C C I O N ( A r e a c o n o c i d a ) .

S e s u p o n e q ue V e s el v o l u me n de l s l i d o mo s t r a d o e n l a f i g ur a A,l i mi t a do por l os p l a no s p e r p en d i c u l a r e s al e j e > , ; - : =a, y X =b.S u p n g a s e a d e m s q u e s e c o n o c e u na f u nc i n c o n t i n u a A( ; - ; ) , q ue d a

2 5 9


27/59

el r e a de l a s e c c i n t r a ns v e r s a l , e l e me nt o de s e c c i n, que s eo bt i e ne c o r t a nd o el s l i d o c on un p l a no p er p en di c u l a r al e j e x .P o r e j e mp l o p ar a a < x i


28/59

A( X) =( 2 y ) K ; d v =( 2 y ) 2 . d x ; d v=( 2 y) 2 . dx = 4ydil u ego

4 ( 4Xs* ) d

V- 4 ( 4 Xa ) d X = 8 ( 4 - x B) dx ( e j e r c i c i o ;13

2 6 1


29/59

2 y . y 3 A ' a !A( x ) = = dv=y=*3J " ' =! *dx = ( 4 - x a ) 3 a ' * dx . Y as i

i ' ( 4 - x 2) d x ( e j e r c i c i o )

E j e mp l o 2 . Ha l l a r el v ol u me n del S l i d o mo s t r a do en l a f i g ur at

r ^ ^

5idv =A( x ) dx = 4* 5dx = 20dx V= 20d x = 20 * 6 = 120.

0E j e m p l o 3 . Se t i e ne un co >o c o mo s e mue s t r a e n l a f i gu r a , dea l t u r a h y r a di o de l a b as e a , h al l a r s u v o l u me n.Solucin, 2

r M a

hdv=nr a ( x ) d x ; -Tt a x3 r. Tt a3h

r ( x ) a a__ = _ ; r ( x ) = - . x y a s i V-x h h n ( .2 ) d;h 2

0

2 6 2


30/59

Ejemplo 4. Ha l l a r el v o l ume n del s l i d oa , a, c > 0.S o l u c i n .

2 y2 z2b= ca 11 con

S i z =0 ; : 1; una e l i ps e en el p l a no x y.b 2Si y F 0; = 1 ; Una e l i p s e en el pl ano

S i x=0 ; y -b 2 c'-2 1 u na e l i p s e en el pl ano yz Como seo b s e r v a en1\ f i gu r a s i gu i e nt e ,|Z

-*>Y

\- ~ ~ \

- -

y i' \ XH /-7 Y

i .. 1. Si l as s e c c i o ne s s on pe r p en di c u l a r e s al ej e y, se t i eneB=x =a ( l - ( y =* / b a ) C =z =c ( i - ( y ' / b2 ) ) ; l uego dv=BCndy =

bt t ( ac) ( l - y ^/ b 2 ' ) dy y as i V= y

2 4na c ( l - ) d y =Ttabc.b 2 3- b2 . Si l as s e c c i o ne s s on p er p en di c u l a r e s al e j e x;

y = b a ( l - ( x a / a 2 ) )dv=nABdx; y=--B=b (1-( x2/aa ) ) ; A=Z=c(l-(x2/a2))1/2 luego

263


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ad v =n b c ( 1- ( x 2 / a 2 ) ) d -: y a s i V n b c ( l - ( x 2 / a 2 ) ) d x = _ n a bc .

- a3. S ec c i n pe r p en di c u l a r e s al e j e 2; dv=r t ABdz ;A=x =a ( l - ( z 2 . c 2 ) ) y s t ;

B=y =b ( l - ( z 2 / c 2 ) ) l uego V = t ABdz- c - c

Ejemplo 5. Ha l l a r el v ol me n de l s l i d o l i mi t a do por

Tt ab( l - ( z ^/ c 3 ) ) dz =na bc

a 3 b a y z=4,

S o l u c i n .

yb -2

^ T

x - 0 ; z = ; y =0 ; dv =nAB dz ; x =a z 1 / 2 =A y=bz 1 / 2 =B, e n t o n c e sa 3

V- i i ABdz Tt abzdz ( e j e r c i c i o )0 0

E j e r e i c i o s .1. L a b as e d e un s l i d o t i e ne l a f o r ma d e u na e l i p s e c o n e j emayo r de 20 Cms y e j e menor de 10 Cms ; ha l l ar e l vo l men de l

2 6 4


32/59

s l i d o s i c ada s e c c i n p er p en di c u l a r al e j e ma yo r e s1 . un cuad r ado . 2 . un t r i ng u 1 o t qui 1 t e r o .3. un t r i ng ul o i s s c e l e s d e 10 Cms d e a l t u r a .2 L a b as e d e un s l i d o e s el s e g me n t o p a r a b l i c o o b t e n i d oc o r t a n do l a c u r v a po r u na c u er d a p er p en di c u l a r a s u e j e . L ac u e r d a t i e ne 1 0 Cms d e l a r g o y d i s t a 8 Cms t de l v r t i c e d e l ap ar bo l a ; ha l l a r el v ol me n del s l i d o s i c a da s e c c i np er p en di c u l a r a l e j e d e l a b as e e s :1. un c u ad r a d o. 2. un t r i a ng ul o e qu i l t e r o .3. un t r i ng ul o i s s c e l e s d e 10 Cms t de a l t u r a .3. Ha l l a r l os v ol me ne s l i m t ados por l as s u pe r f i c i e s de s e gu ndog r a d o y l o s p l a n os d a do s .1. z =x a +4y=; 2 = 1. 2 . 4 x a +9 z a +y =0 ; y +l =0 . 3 . x a +4y =! +9z a =l

4. : 2 =k 2 +9 y a ; 2+1=02 . 5 . 2 S O L I D O S D E R E V O L U C I O N

ya a b a +1 y l o s p l a no s x =0 , x =9 .

S ea f c o n t i n ua en [ a , b ] y f >0, s i s e g i r a l a r e gi n q ue s eo bs e r v a en l a f i g ur a , s e o bt i e ne un s l i d o c u y o v ol me n v i e nedado po r ^

--> x

2 6 5


33/59

v= TI f 2 ( x ) d xa

D e m o s t r a c i n .L a s e c c i n t r a ns v e r s a l c o n c o o r d en ad a x e s un d i s c o c i r c u l a r c onr a di o f ( x ) , s u r e a e s e nt o nc e s TI [ f ( x ) ] 2 y as i por el r e s ul t a do

ba n t e r i o r s u v o l u me n v i e n e d a do po r V- ri f 2 ( x ) d x

aM t o d o d e a r a n d e l a s o r o d a j a s .S up n ga s e que l a r eg i n R l i m t a da por l as g r f i c a s de l asf u n c i o n e s c o n t i n u a s y =f ( x ) y =g ( x ) x =b , x =a ( c o mo s e o b s e r v a e nl a f i gu r a ) s e hac e g i r a r a l r r e de do r del e j e x , e nt o nc e s elvo l men de l b b bs o l i d o g e n er a d o e s V= r t f 2( x ) d x ng 2 ( x ) d x T [ f 2 ( x ) - g 2 ( x ) ] d ;

D e m o s t r a c i n (ej

2 . 5 . 3 M E T O D O DE L A S C A P A S C I L I N D R I C A S 0 C A S C A R O N E S 0C O R T E Z A .

2 6 6


34/59

Un c as c a r o n c i l i nd r i c o es uns l i do l i m t a do por dos c i l i ndr o sc i r c u l a r e s r e c t o s c onc nt r i c os . Si el r a di o i nt e r i o r es r i , elr a d i o e x t e r i o r es y l aa l t u r a esh , e n t o n c e s e l v o l u me n es t a'dado po r V=( rea - de l ab a s e ) #al t u r a .

= ( T t r 2 ah - n r i ah ) =( i t r 22- ' i t r i 2) h =n ( r 2 2 - r i 2 ) hr 2 +r i=2TC ( ) ( r 2 - r i ) h, por l ot a n t o

V=2r t * r *di o med i o * a l t u r a * g r o s o r .E s t e e s unbuen mo do der e c or da r e s t a f r mul a : Si el c a s c a r o nf ue r a muy de l ga do y he c ho dep ape l , se po dr c o r t a r un l ado ,a br i r l o par a f o r ma r una ho j a r e c t a ng ul a r y c a l c u l a r de s pu es suv o l ume n enf o r ma u s u a l .

znr

Se a R, una r egi n p l ana l i m t ada a r r i ba por una c u r v ac o nt i n ua , a b aj o por el e j e x , a i z qui e r d a y d er e c h a por l asr e c t a s x =a , . x =b .Se a S el s l i d o g en er a do al ha ce r gi r a r l ar eg i n Ra l r e de do r del

be j e y , e n t o nc e s suvo l umen v i ene dado po r V =2TI I f ( x ) d x .

aDemostracin

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35/59

Sea P= > f Xi , . . . Xr> 3 una pa r t i c i n de [ a , b ] , y s e v e r l o q ues u c e de en el i n t e r v a l o i - s i mo [ x t - i , x i ]Se a Sx . el s l i d o g en er a do por e s t e i n t e r v a l o y V A s u v o l u me n . S Ac o nt i e ne una c a pa c i l i n d r i c a de a l t u r a mi ( f ) y r a d i o e xt e r i o rX , r a d i o i n t e r i o r X A _ i . P or ot r a pa r t e Si e s t c o nt e ni d o en unac a p a c i l i n d r i c a de a l t u r a M*. ( f ) , r a d i o e x t e r i o r Mi ( f ) y r a di oi n t e r i o r X4. - 1. S e d e du c e de l v o l u me n d e l a c a p a c i l i n d r i c a Tt R h-rr r h que Ttx t ani i ( f ) - Ttxx-i 2( i i i ( i ) < V A Ttx S H X ( f ) - nx i - i a Mi ( f ) ;n n i i f X x ^- X t - i 2 ) i Vi < TI M ( f ) II x t a - x i - i 2 ] ;i i m ( f ) ( X i - X i - i ) ( Xi + Xi - i ) 1 Vi i Tt M ( f ) ( X i - X i - i ) ( X +X _ X ) .Ob s r v e s e q u e 2 x A - x x t +x i - i i 2 x A 5 a s i q uertmi ( f ) 2 X - I X I < V t < 11M1 ( f ) 2 X X y

n n nE rtmi ( f ) 2 x i - X < Z Vi < Z TI MI ( f ) 2 x i x 1 yi =.1 i = 1 i =1n n nl i m Z 2nx i _ 1 m ( f ) x 1 < l i m Z Vi < l i m Z 2Tt Xi Mi ( f ) j xA , l ue gon - > i = 1 n - > .i = 1

- T X "f ( x ) d X

O b s e r v a c i n . Da do q ue e s i mp os i b l e a na l i z a r c a da c a s o p os i b l e ,

268


36/59

s e r e c omi e nd a n o me mo r i z a r l a a nt e r i o r f r mu l a ( f r mu l a s ) , e si mp or t a n t e poder p l a nt e ar l a i nt e gr a l p ar a un p r o bl e ma d ad o s i nn ec e s i d ad de pa s a r por un a n l i s i s p r o l o ng ad o, i ma g n es e l ac o r t e z a y s u v o l u me n , c o n e s t o p ue d e h ac e r t o do c o mo s e mo s t r a r c on a l g un o s e j e mp l o s .Ejemplo 1. Hal l ar el v ol u me n del s l i d o o bt e ni d o al ha ce r gi r a rl a r e gi n e n c e r r a d a po r y =x 2+ 4 , x=0 , x=2 , y=2 en e l e j e y .S o l u c i n .

dv =2nxhdx ; dv=2r cx ( x 2 +4 - 2 ) dx ; dv=2t t x ( x a+2) dx y as i

V=2TC x ( x a +2 ) d x =1 6 TI .0

Ejemplo 2. Ha l l a r el vo l u me n del s l i d o g en er a do al r o t ar l a/ - egi n l i m t a d a p or y =x ; x =0 ; y =3 en el e j e x.S o l u c i n .

-

6 9


37/59

dv=2Tt yxdy = 2f t y . y 1 / 2 d y y a s i V=3 6 ir 3 ^

2 u y y / : 2 d y = 2i t y 3 / 2 d y0 0

E j e m p l o 3 . P l a nt e a r un a i n t e gr a l pa r a el v ol me n de l s l i d o q uer e s u l t a c u a nd o l a r e gi n R q ue p ar e c e en l a f i g ur a gi r aa l r r e de do r d e:1. e j e x . 2. e j e y . 3 . L a r e ct a y =- l . 4. L a r e ct a x =4.

3 + 2X-*

1. P or el m t o d o d e d i s c o s s e t i e neY

II -7 Vd v =ii f 2 ( x ) d x , 1 u e g o V=i ( 3+2x- x as ) 2 d x ( e j er e i c i o )

0

2. P o r el m t o d o d e c a s c a r o n e s s e t i e ne :

2 7 0


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d v =2 nx f ( x ) d x , l u eg o V= 2 n x ( 3 +2 x - x a ) d x ( ejx ( e j e r c i c i o )

^ . 3 z x- or

* XP o r e l m t o d o d e a r a n de l a s s e t i e ne :

1 +5 tZx' - X

dv=Tt [ ( 9 +2 x - x a ) 3- f ] d:


39/59

dv=2u ( 4 - x ) ydx=2r t ( 4 - x ) ( 3+:( e j er e i c i o )

: ) dx , l uego V=2i t ( 4 - x ) ( 3+2x - x a ) dx0

E j e m p l o 3 . P or me d i o del m t o d o d el d i s c o y d e l a c o r t e z a ,mo s t r a r q u e el v ol me n q ue s e o b t i e ne al g i r a r l a r e gi n i n di c a daen l a f i g ur a s i g ui e nt e e s el q ue s e i n di c a .

. 1. Ro t a r AB e n el e j eS o l u c i n .

Di s c o( A . J )

d V=TC f a ( x ) d x , 1 ueqo4

Tt x3dx = 64 TI; ,0

(4. B

d v =2 ny ( 4 - x ) d y =2 - r t y ( 4 - y 2' 3) dy y as i

8V=2 t y ( 4 - y 2 ' 3) dy =6 4r c .

0

2 7 2


40/59

2 . OAB g i r a en ABd i s c o x corteza

dv= t ( 4~> ) r 2dy =TI ( ) =* DY, l uego

8 1 0 2 4 T I35

0

d v=2rt ( 4x) ydx=2TE ( 4- x ) x 3 / 2 d x , as i

E ( 4~x ) x 3 / 2 d x =1024t i3503. Rot ar OAB en CADi s c o

S

o Bd v =6 4i d x - T U ( 8 - - y ) 2 d x =64n: dK i ( S- y , 3 ' 2 ) 2 d x ;

4V=TE 704TE[ ( 6 4- ( 8- x 3 ' =* ) 2) ] dx

c o r t ez a

-7 Xdv=2t ( 8 - y ) ( 4- x ) dy=2TI ( 8 - y ) ( 4 - y3 - ' 3)dy ;

0

8

0

704nITE ( 8- y) ( ) dy=

2 7 3


41/59

4. Rot ar OAB en ej e yDi sco

4 , e l

dv- i t 16 dy - n xa d y=T I L6DY - T TY * ' ' 3DY,

8V TI (16--y*' 3) dy- 512I I705. Rot ar OAC en ej e yDi sco

dv=Ti x: ; 2dy=Ti y*/ ' 3dy,8

Tty*/ ' 3dy= 384TI70

Corteza

dv=2Ti xydx =2nxx3/ ' adx

V=2TI 512n; d x0

Cor t eza,

dv=2i r ( 8y ) xdx=2TI ( B- x3' ' 2 ) xdx ;

384-n:TI CB- X3 ' 2) xdx7

0

27 4


42/59

6 . Ro t a r QAC en CADi s c o C o r t e z a

dv=Tt ( 8 - y ) zd>! :re ( - x 3 ' 2 ) d>i

4V- 57 6 rii t ( 8~>; 3/ 2) =d;

07 . OAC r o t a en ABDi s c o

t>dv=Ti [ 4=t dy - ( 4 - x ) 2 d y ] =K ( 4 2 dy( 4 - y 2 ' 3 ) 2 d y ) ;

d V=2TI : ( 8 - y ) xdy=2TI ( 8 - y ) y 2 ' 3 d y ;

8V=2i i ( 8 - y ) y ^ dy= 576u5

d v =2 n( 4 x ) ( 8 - y ) dx =2ft ( 4x ) ( 8 - x 3 ' 2 ) d x :

8V=n 3456TT[ 16- ( 4 - y 2 ' 3 ) 2 ] d y

0V= 2 n ( 4 - x ) ( 8 - x 3 ' 2 ) d x = 34 56 n

3 50

C o r t e z aYc

2 7 5


43/59

8 . Rot ar OAC en ejeD i s e o

d v=Tt 8=dx- ny: i ! d>:64 nd x nx 3 d x ;

4Tt( 6 4 - ; ; 3) dx = 192 n

Corteza

8V=2TC

dv=2nxydy=2n: y: 2' ' 3ydy;

ys ' 3dy=192Tl0 0

2 . 6 E J E R C I C I O S .

1. Co ns i d er e l a g r f i c a s i g ui e nt e , par a ha l l a r el v ol ume n dels l i do de r e v ol uc i n

O Aq u e s e f o r ma al g i r a r l a r e gi n da da .I . R o t a r OB A e n e j e y . 2 . R ot a r OCB e n BC, OAB en AB,I I . Ha l l a r el v o l me n del S l i d o de r e vo l u c i n que s e f or maha c i e ndo g i r a r l a r eg i n l i mi t ada por l as g r f i c a s de l as

2 7 6


44/59

e c u a c i o n es da da s en t o r n o al e j e i n di c a do .1. y =x a , x^ f l , y =3 , e n el e j e x .2 . y =x a , x=l , y=-0, en x=3 .3 . y =x a +4, x=0, x =2 , y =2 , e n e l e j e y.4. y=( >: - l ) at , y=l en e l ej e? x .5. x = l , y 0 , e n y = . l . .6 . y - ; ; 3, y =x , en e j e y .7 . y ; : 3, y=x+ , x0 , en e j e y .8 . x=y S2 ~5 y , x =0 , e j e x.9. y- ( x ~l ) x y s , x- - 0, y =0 , y =3 , e n e j e y =3 .10. y =4 x - x 3 , e j e x en l a r ec t a y==6.11. x =+y =4 en x=3.12 . x=9- y2 ! , x - y - 7 =0 , e n x =4 .1 3. 4 x=a+9y =i =3 6, e j e y.

2 . 7 C E N T R O DE MA S A DE U NA V A R I L L A .

MOME NT O Y MAS A.Si x d en ot a l a d i s t a nc i a d i r i g i d a del o r i g en o a u na ma s a m ( c omos e o bs e r v a en l a f i g ur a s i g ui e nt e ) , s e d i c e q ue el p r o du c t o mx ese l mo me nt o de ma s a c o n r e s pe c t o al o r i ge n .

0 ^ * rrflPa r a n mas as m* , m , . . . m0 a l as d i s t a nc i a s d i r i g i da s x i , x 2, . . . , x ,d e 0 ( c o mo s e o b s e r v a en l a f i g ur a s i g u i e n t e )

2 7 7


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mi. ^J,


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( 11=4+2+6+7= 19Kg .Me 49

Ma=3#4+1* 2+2 #6+4 #7=42, as i x = =m 19 es el punt o de e qu i l i b r i oSe c o ns i de r a a ho r a un s e gme nt o de r e c t a de un a l a mbr e de l ga do ded e ns i d a d v a r i a b l e ( ma s a p or u ni d ad d e l o n gi t u d) p ar a el q ue s ed e s e a h al l a r el p un t o d e q ui l i b r i o . S e i mp on e un e j e c o o r d e na do al o l a r g o de l c a b l e y s e s u p o n e q ue l a d e ns i d ad e n x e s p ( x ) .S i g ui e n do el p r o c e di mi e nt o us u al ( r e ba ne , a pr o x i me e i n t e gr a )s e t i e ne el o bj e t i v o , l a ma s a t ot a l d el a l a mb r e m y d es p u s elmo me n t o t o t a l M c o n r e s p e c t o al o r i g en ( v er f i g ur a )

b bm ~ p ( x )x ; m= p ( x ) dx . M xp ( x ) x ; M=x p( x ) d x y e s t o c o nd uc e

a

x p ( x ) d ; Va Mm

a

p ( x ) d x0 b 7

a

E j e m p l o 2 . L a de n s i d a d p ( x ) d e un c a b l e en e l p u nt o a x Cmt s d eu n o d e s u s e x t r e mo s e s t a d a da p or p ( x ) =3 x a gr amos por Cmt ;Ha l l a r e l c e n t r o d e ma s a d el p e da z o c o mp r e n d i c o e nt r e x =0 y x = .10Solucin.

2 7 9


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10f\ U

010

75001000

7, 5 Cms ,

0E j e m p l o 3 . Lad en s i d ad enc ua l qu i e r punt o de u n a b a r r a de 4me t r o s de l a r go , v as r i a d i r e c t a me nt e c on l a d i s t a nc i a del punt o aun p un t o e x t e r i o r en l ar e c t a de l a b a r r a y a 2 me t r o s dele x t r e mo , d o nd e l ad en s i d ad es de 5 Kgpor me t r o . Ha l l a r l a ma s at o t a l de l ab a r r a .S o l u c i n . i - *

p ( x ) - c ( 6 ~x ) ; p ( 4 ) =5, l ue go p ( 4 ) =c ( 6 - 4 ) =5; c =5 / 2 y as i

p ( x ) =5 / 2 ( 6 x ) , 1u eg o M ( 6 - x ) d; 40Kg .0

2 . S C E N T R O I D E DE U N A R E G I O N P L A N A .

Se c o ns i d er a n ma s a s p u n t u a l e s m* , m2 , . . . , mn , s i t ua da s en( x . i . , ya. ) ,( xa, y2) , . . . , ( x, - , , y 0 ) del p l a no ( c o mo se o b s e r v a en l afigura siguiente), entonces los momentos totales Mv, M

280


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/

rv* +

, m,rvw $

- > *. rm

Co n r e s p e c t o al e j e y y y, r e s p e c t i v a me n t e e s t a r n ci adas p orn nMv = E mk x k ; M = E mK y k y l as c o o r d e na da s ( x , y ) del c e nt r o dek = 1 k 1 My _ Mma s a ( punt o de e qu i l i b r i o ) son x= ; y = .

M ME j e m p l o 1. Ha l l a r el c e nt r o de ma s a de l as c u at r o p ar t c u l a squ e t i enen ma s as 2 , 6 , 4 , 1 Kg u bi c a da s en ( 5 , - 2 ) , ( - 2 , 1 ) , ( 0 , 3 ) y( 4 , - 1) .So lu ci n.

4Mv = E mkx f c = 2 * 5 +6 * ( - 2 ) +4 * 0 +1 * 4 =2k = .l4M = E mk y k = 2* ( - 2 ) +6* 1+4* 3+1* 1=13k = l

4 My 2 Mk 13M = E ni kj = 2+6+4+1 = 13, l ue go x = = ; y = = =1. y as ik=l M 13 M 13el c e n t r o d e ma s a ( T; , y) e s t en ( 2 / 1 3, 1 ) .S e c o n s i d e r a ah o r a el p r o bl e ma d e h al l a r e l c e n t r o d e ma s a de u nal m n a ( ho j a p l a na d el g ad a) . P or s i mp l i c i d ad s e s u po ne q ue l al m n a e s h omo ge ne a ( t i ene d en s i d ad c o n s t a nt e ) . P ar a u na hoj ar e c t a n gu l a r h o mo g en e a, el c e n t r o d e ma s a e s t a e n el c e nt r og eo m t r i c o .S e c o n s i d e r a a h or a u na l m n a h omo g en e a l i m t a da p or x =a , x =b;

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l a r g o d e u na r e c t a mi e nt r a s e s t a s u j e t o a u na f u er z a c o ns t a nt e fen l a d i r e c c i n de l mo vi mi e nt o , el t r aba j o W r e a l i z ado por es af u er z a e s t a r d a do po r W=F . d = f u e r z a #d i s t a n c i a .Si l a f u er z a s e mi d e en l i br a s y l a d i s t a nc i a en p i e s , el t r a ba j or e s u 1 t a e n p i es- -1 i br a s .Si 1. a f u er z a e s t a en d i n a s y l a d i s t a nc i a en Cmt s , el t r a ba j oe s t a r e n d i ma - Cmt .Por ejemplo. Un ho mbr e e mpu j a un c a r r o c o n una f ue r z a c o ns t a n t ed e 150 l i b r a s a l o l a r g o - d e u na d i s t a n c i a d e 2 0 p i u es , l ue go elt r a ba j o r e al i z a d o e s W=1 50 * 2 0 = 3 00 0 pi e s - l i b r a .En s i t u ac i o ne s m s p r c t i c a s , l a f ue r z a no e s c o ns t a nt e , s i no quev a r i a c u a n do el o b j e t o s e mu e ve s d br e l a l i n ea .S u p n g a s e , e n e f e c t o , qu e el o b j e t o s e e s t mo v i e n do a l o l a r g ode l e j e d e l as > de? a , a b, s u j e t o a f u er z a v ar i a b l e d e ma gn i t u df ( x ) e n el p un t o x , do n de f e s u na f u nc i n c o n t i n u a, e n t o n c e s elt r a ba j o r e al i z a do por l a f ue r z a al mo ve r el o bj e t o de a , a b

bv i e ne da do po r ; W -

De mo s t r a c i n

f ( x ) d ;a

Sea P-~[ Xu, x i , . . . , Xr } una pa r t i c i n d e [ a, t a] . El k - s i mo i nt e r v al oe s [ Xf c- i , x* ] y s i xk- i . e s t a c e r c a no a x k , l a f u er z a e s c as ic o n s t a n t e en e s t e s u b i n t e r v a 1o . Si s e s u p on e q ue l a f u er z a esc o ns t a nt e en el k - s i mo s u bi n t e r v a l o y s i E * e s c u al q i e r punt ot al q ue x k - t i E k x k , e n t o n c e s s i e s el n me r o d e u ni d ad es

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d e t r a b a j o r e a l i z a d o s ot a r e el o b j e t o c u a n d o s e mu e v e d e s d e elp un t o Xk - i al p un t o e n t o n c e s W* = f ( Ek ) ( x k - x k - t ) = f ( Ek. ) x * y

n na s i , el t r a ba j o t ot a l es 2 W* = Z f ( E k ) X k y a s k=l k = ln1 .im Z f ( Ekn >; )d; Wa

Ejemplo 1. Un a p a r t c u l a s e mu e ve a l o l a r g o de l e j e x po ra c c i n de u na f u e r z a de f ( x) l i br as , c u an do l a pa r t i c u l a e s t a xp i es del o r i ge n. Si f ( x) = x +1, ha l l a r el t r a ba j o r e al i z a domi e n t r a s l a p ar t i c u l a s e mu e ve d el p un t o x =2 al p un t o x=4.S o l u c i n .

W= f ( x ) d x ( x +1) dx = 8 p i e s - l i b r a s ,

En el s i g ui e nt e e j e mp l o s e u s a l a l ey d e Ho ok e , l a c ua l e s t a bl e c eq ue s i u n r e s o r t e e s e s t i r a d o x u n i d a de s ma s d e s u l o ngi t udn a t u r a l , s e c o n t r a e c on u na f u er z a i gual a kx u ni d a de s , d on de ke s u na c o n s t a n t e q u e d e p e n de d el ma t e r i a l y d el t a ma o delr e s o r t e .E j e m p l o 2 . Un r e s o r t e t i e ne u na l o ngi t ud n at u r a l d e 14 pi es .Si s e q ui e r e u na f ue r z a d e 50 l i b r a s p ar a ma n t e ne r el r es or t ee s t i r a do 2 p i es ; c u and o t r aba j o s e r ea l i z a al e s t i r a r el r es or t e ,d e s d e s u l o ng i t u d n at u r a l h as t a u na l o ng i t u d d e 18 p i e s ? .

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4 4Solucin.

Co l o c a r el r e s o r t e a l o l a r g o del e j e x , c on el o r i g en en elp un t o d on de e mp i e z a el e s t i r a mi e nt o ( ver f i g ur a )S ea el n me r o d e p i e s q ue s e e s t i r a el r e s o r t e y f ( x) el nme r od e l i b r a s d e l a f u er z a q ue a c t a s o b r e el r e s o r t e en x p i e s ma sa l l d e l a l ongi t ud n a t u r a l ; e nt o nc e s por l a l ey de Ho ok ef ( x ) =K x ; y c o mo f ( 2 ) =5 0=2 k , s e t i e n e q u e k =2 5 y p or l o t a n t of ( x ) =25x . Si W e s el t r a ba j o r e a l i z a do al a l a r ga r el r e s o r t ed e s d e s u l o ngi t ud n at u r a l e s 14 p i e s ( x =0) a u na l o ng i t u d d e 18

4 4p i e s ( x =4) s e t i e n e q ue W f ( x ) d x 25x = 2 00 p i e s - 1 i b r a s .

0 0

2 . 1 2 D E T E R M I N A C I O N D E L A C O N S T A N T E D E I N T E G R A C I O N .

Ejemplo 1. L a v e l o c i d a d e n el i n s t a n t e t d e un c u e r p o endsmo v i mi e n t o e s t a d a da p or dt = t , S e s l a p os i c i n de l c u e r p o en

el i n s t a nt e t ; s i S =1 0 c u a nd o t =0, h al l a r S en f u nc i n d e t .S o l u c i n .

S e t r a t a de r e s o l v er = t s i S ( 0 ) =10 , l uego i n t e gr a mo s amb osdtmi e mb r o s d e l a e c u a c i n c o n r e s p e c t o a t y a s iS ( t ) = t *t dt - +c y l a c o n s t a n t e s e d e t e r mi n a p or S ( 0 ) =1 0,

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es d ec i r S ( 0) =0 +c =1 0 , l ue go c = .1.0, por l o t a nt o S( t ) : 1. 0,Ejemplo 2. Ha l l a r l a e c u a c i n d e u na c u r v a c u y a p en di e nt e e n elp un t o ( x , y) e s 3 x 2 s i a d e m s l a c u r v a p as a po r ( 1, - 1) .S o l u c i n .

Co mo l a p e n d i e n t e d e l a c u r v a e n ( x , y) es 3X36 , s e t i e ne qu edy = 3 x a y c o mo l a c u r v a pas a por ( 1, - 1) , e nt o nc e s y ( l ) =- l , y as idxp ar a h al l a r y ( x ) i n t e gr a mo s a mb os l a do s d e l a e c ua c i n c on

f dyr e s pe c t o a x , es de c i r y ( x ) = dx =dx 3 x a dx = x 3 +c .Co mo y ( l ) =l 3 +c = - 1 ; c =- 2 , y a s i l a c u r v a p ed i d a e s y ( x ) =x 3 - 2 .E j e m p l o 3 . Si el n me r o d e e s t u di a n t e s de l a U.N s e d up l i c a en50 a o s ; En c u a nt o s a os s e r el t r i p e s u p on i e nd o qu e l av e l o c i d a d d e a u me n t o s e a p r o p or c i o n al al n me r o d e e s t u d i a n t e s ? .S o l u c i n .

Se a y el nme r o de e s t ud i a n t e s a l o s t a o s y y.ent onc es 2y=yeeMa,


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l n 3 3B_ 2 f c i t = = 79 aos .1 n 22 . 1 3 E J E R C I C I O S .

I . Ha l l a r l a l o ngi t ud de l a g r f i c a de l a e c ua c i n d ad a en eli n t e r v a l o i n d i c ad o .1. y =x ; [ - 1 , 1 ] .

Y - * 1/\ .JL

y =x 3 / 2 +4 ; ( 0 , 4) h a s t a ( 1 , 5) .

4 8 x 4 . x =S e na t ; y =Ca s a t ; 011< TE/ 2,

S . y= ( C o s 2 t ) 1 / 2 d t ; x =0 y x =n / 4 ,0

6 . x =t - S en t ; y =l - Co s t 0


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I . y =2 x +4 ; y =0 ; x =0 ; x =2 . 2 . y =x 3 ; y=0; x=3.3. y =x =; y - x =2 . 4. y =4 - 4 x a ; y =l - x 2 .5. r ~a ( l +Co s 6 ) . 6. i r c u ad r a nt e x =a Co s 319 ; y =a Se n 3 6 .7. i r c ua dr a nt e 9x a! +16y= =144. 8 . x=y 3 ; x a =- 8 y .9. r =S en 28 , I r c u a dr a nt e .10. Ha l l a r el c e nt r o g eo m t r i c o del a r c o de l a c e nt r o i d er =a ( l - Co s ) .I I . Ha l l a r e l c e n t r o g eo m t r i c o de l a c u r v a r =2 Se n+4 Co s 8de s de 6=0 has t a 8=11/ 2.12. Ha l l a r el c e nt r o g eo m t r i c o del a r c o del I r c u ad r a n t ede x a +y a =25.

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RESP UEST A A LOS EJERC ICIOS

C AP I T UL O I1 . 1 4 4. A) 5. B) 13. C) 5. D) - 9 E

6. A) f . B) f . C) v . D) f .7 . A ) b , d ..8. A) 9n/2. B) n/2, C) 9n/2.9. A) 6. B) 0 .

- 2. F) - 1

1 . 1 6 1. 2X ( u a +l ) 1 / 2d u- x =( x 2+l ) * ' ( 3#2J " ' = )5. A) 16. 6 ) 1+ C) 3 /.. a 3 D ) 1 / 5 ,

6. A) f ( t ) =Se nt ; c =n/ 3. B) f ( t ) =Se nt - l ; c=0,1 . 2 0 I V) i ) c = ' 4; ' 41n ( 5/ 4 ) . i i ) c =' ; ' 41n( 8/ 3) .

i 1 i ) c = l n2.

CAP I T UL O I I

2 . 1. 1 I ) . 1)I I ) . 1)

8. 14

27

9O ^

2)

114)

114

815)

116

104 ) 4 . 5 )6 ) 2. 7)

1286 )

9 3


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64 9 11 8 87) . 8 ) 8 * 2 * ^ . 9 ) 1 0) 1 1) 1 2) 8.32 71 7 12 5 711 3) . 1 4) . 1 5) 1 6) 1 7) .3 3 15 2 4 6

37 8TI 518) 18. 19) 4 . 2 0 ) 21 ) - 2 2 ) - .96 3 22 3 ) 3TI . 24 ) 4TI .

I . 1 ) ( 2 , 90+n 360) ; ( - 2 , - 9 0+n 36 0) .2 ) ( 2 , n360) ; ( - 2 , 1 80 +n 36 0) .3 ) ( - 2 > 90+n360 ) ; ( 2, - 90+r i 360) .4 ) ( 2 , 180+n360) ; ( - 2 , n 36 0) .

I I I . 1) x =2. 2 ) x +y =l ; 3 ) x 2 +y a =l ; 4 ) y =e " 5 ) y - 2 x =5 ,6 ) x ==4 y . 7 ) ( x a +y a ) a =x a - y a . 8 ) ( x a +y a ) 2 = 8 x y .9 ) ( ' ; 2+y 2 ) 3 - x z .

I V. 1) n a 2 . 2 ) ( 19ti ) / 2. 3 ) 24r e. 4 ) ( 3r i ) / 2.5 ) 4 . 8 ) TI . 9 ) 3r e / 2. 1 0) TI / 2.

V . 1 ) 4 Tt ~6 ( 3 * ' ) . 2 ) 8TI +6 ( 3 X ) . 3 ) 4 T . 4 ) 5 1 u .5) 4 ( 3 ) x ' s s- ( 4n/ 3 ) . 6 ) 4TI / 3. 7 ) ( 9 ( 3 * ) / 2 ) RI .

( ) 5VI . 1) 2n+ 2) 4 ( l - x y s ) - ( 4n / 3 ) (, 3 ) 2* ' + - .2 # 42 ITI 14 ) - 5) - ( 4n+3 ( x A /"a ) ) .4 2 5 TI 3 1 / aVI I . 1 ) ( 19n / 3 ) - ( l l * 3A^a ! ) / 2 . 2 ) ( 9TI / 2 ) ~9. 3 ) -24 43 i r 15i / , a s4 ) l l S e n - 1 ( 1/ 4) + - 5) 2n~4 .4 4


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2. 6. 1 I . 1) 4 it. / 5 . 2) u/ 6. 3 ) ' 8u / 15.36 3u

I I . 1) 3 * ' a n . 2) 3 ) 16u . 4 ) 8 u/ 5 . 5) 210U/ 10.6) u/ 6. 7) 248n 625u 45u. 8 ) . 9 )

15 6 2 1 0 )2 4 0 8 U

1 51 5 3 TI11) 24ua! . 1 2) 1 3) 2 4u .

1 46852. 13 I . 1 ) 2#2i y , s e. 2) . 3 ) 4 ) 2xyi27 288 6 ) 8 .a7) 4. 8 ) 2a. 9) _ ( 4 n - 3 #3 1 ) .8

08uI I . 1 ) u u2) ( 1 0 3 / 3 - l ) . 3) - ( 3 7 3 " a - l )27 64) T t* 2A' a . 5) 4 u a 2 ( 2 X ' S ) . 6 ) 4 u a ( 2 - ;'?! /SS

4#3 i y' = 12Tt a=7 ) 8 u ( 1+ u. 8)9 510 28I I I . 1) ( x , y ) = ( , ) , 2) (9 9

12 54 1 8 , ) . 3) ( - , )5 7 2 155a4) ( 0, 2) . 5) ( , 0) . 6) (6

256a 256a31 5tc 315u

16 4 9 97) ( , _ ) . 8) ( - , - ) . 9 ) ( 3 1 1 U 10

128 128105u 105u

4 a 2u+2 u+4 .1.0 1010) ( - , 0 ) . i l ) ( , ) . 12) ( , )u n: Tt u

2 9 5


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j e X B L X D 6 R A F X A

AP OS TOL . T OM. c a l c u l a s , E di t o r i a l Re ve r t , S e gun da edi c i n.DE MI DOVI CH. B. P r o bl e ma s y E j e r c i c i o s d e a n l i s i s ma t e m t i c o ,Ed i t o r i a l Mi r , S ex t a E d i c i n , 1977.L E I T HOL D. L OUI S , C l c u l o c on ge ome t r a a na l t i c a , Har a , cua r t ae d i c i n , M x i c o 1982.MASANI . P . R, C l c u l o Di f e r e nc i a l e I nt egr a l , publ i c ac i o ne s

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Calculo Integral 05 - Bernardo Acevedo Frias

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