Calculo Integral 01 - Bernardo Acevedo Frias

8/22/2019 Calculo Integral 01 - Bernardo Acevedo Frias

1/60

C I O I J I O X IVI r E B R A L

B E R N A R D O A C E V E D O F R I A S

U N I V E R S I D A DS E C C IS E P T I

N A C I O N A L D E C O L O M B I AO N A L M A N I Z A L E SE M B R E D E 1 9 9 0


2/60

O f t I O l i I O J i vi J EE e F t

B E R N A R D O A C E V E D O F R I A S

T r a ba j o p r e s e nt a od o c o n el f i n d edar c umpl i mi e nt o al l i t er a l " d"del a r t i c u l o 21 d el a c ue r d o 7 2d e 1 97 8, pa r a l a p r o mo c i n a l aca t egor i a de PROFESOR ASOC I ADO.

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E C O L O M B I AS E C C I O N A L M A N I Z A L E SS E P T I E M B R E D E 1 9 9 0


3/60

r f \ B r t D CE C O M I El |N :i o o

INTRODUCCION

CAP I TULO 1CALCULO INTEGRAL1 . 1 P a r t i c i n d e [ a , b ] 11. 2 Fun c i n e s c a l o n ad a 21. 3 E j e r c c i os 41 - 4 P r op i e da de s d e. f u n c i n e s c a l o n a d a 41. 5 E j e r c i c i o s 6 '1 . 6 I nt e gr a l d e u na f u nc i n a c o t a da 71. 7 P r o p i e d ad es d e l a i n t e gr a 1 d e u na f u nc i n

e s c a l o n a da 1 21. 7. 1 P r o pi e da d ad i t i v a 121 . 7 . 2 P r op i edad homog ene a i 41 . 7 . 3 I nv ar i anc l a f r e nt e a t r as l a c i n 161 . 7 . 4 Ad i t i v i da d r e s pe c t o al i n t e r v a l o de i n t e gr a c i n 171 . 7 . 5 Di l a t a c i n del i nt e r v a l o de i nt egr a c i n 201 . 7 . 6 T e o r e ma de c o mpa r a c i n 2 21. 8 E j e r c i c i o s 23


4/60

1. 9 I n t e gr a l e s de f u nc i o ne s g en er a l e s 2 41 . 1 8 I n t e gr a l d e u na f u nc i n a c o t a da 3 11. 18. 1 I nt egr a l s upe r i o r e i n f e r i o r 311. 11 E j e r c i c i o s 3 91. 1 2 I nt e gr abi 1 . i dad d e f u n c i o n e s monet ar i as a c o t a d a s 4 81 . 13 P r o pi e da de s f u nd ame nt a l e s de l as i n t e gr a l e s de

f u n c i o n es mo n t o n a s a c o t a d a s 4 31 . 14 E j e r c i c i o s 5 51 . 1 5 - T e o r e ma f u nd ame nt a l de l c l c u l o 5 71. 16 E j e r c i c i o s 621 . 17 P r i mi t i v a de una f unc i n ( i nt egr a l i nd ef i n i d a) 641 . 18 E j e r c i c i o s 681. 19 _ Al g un as p r o p i e da de s de l a i nt egr a l i n de f i n i d a 7 81. 28 Ej er e i c i o s 721. 21 M t o do s d e i n t egr ac i n 731 . 21 . 1 Su s t i t uc i n 7 3'1 . 21 . 1 . 1 I n t e gr a l e s de f unc i o ne s t r i go no m t r i c as 791 . 21 . 1 . 2 S u s t i t u c i o nes t r i. go no m t r i c a s 8 91 . 21 . 2 I n t e g r a c i n por p ar t e s 1001. 21 . 3 I n t egr ac i n por f r a c c i o ne s pa r c i a l e s 1101. 22 I nt egr ac i n de a l g una s f unc i o nes i r r a c i o na l e s 1231. 23 I nt e gr a c i n de f u nc i o ne s h i p er b l i c a s 1251. 24 Ej e r e i c i o s 1291. 25 I nt e gr a l e s de f unc i o ne s r a c i o na l e s de Sen: ; , Cos x 1311. 26 E j e r c i c o s 1341. 27 Al g un as r e gl a s par a a pr o x i ma r i n t e gr a l e s


5/60

de f i n i d as 136.1. 27 . 1 Re g l a d e l os t r a p ec i o s , 1361 . 27 . 2 Re gl a d e l os r e c t ng ul o s 1391. 27 . 3 Reg I a de 5. i mpson 1401. 28 I n t eg r a 1 e s i mpr o p .i. as . 1541. 28. 1 I n t e gr a l e s i mp r o pi a s d e p r i me r a e s p e c i e 1561. 28. 2 I n t e gr a l e s i mp r o p i a s d e s e g un da e s p e c i e 1851. 28. 3 I n t e gr a l e s i mp r o p i a s de t e r c e r a e s pe c i e 1981 . 29 Func i n Gama ' 1991 . 3 0 F u n c i n Be t a 2 0 21. 31 E e r c i c .i. o s 2 0 8CAP I TULO 2APL I CAC I ONES DE L AS I NTEGRALES2 . 1 Ar e a s 2 152 . 2 Co o r d e n ad a s p o l a r e s 2 282 . 2 . 1 A r e a s e n c o o r de nadas po1a r es 2372. 2. 2 E j e r c i. c i o s 2442 . 3 L o n g i t u d d e a r c a 7 2 4 62 . 3 . 1 Pa r ame t r i 2 ac i n de a 1 gun as c u r v a s 2!492. 3 . 2 Di f e r e n c i a l de l ongi t ud de a r c o 2512. 3 . 3 L o n g .i. t u d d e u n a r c o e n c o a r de na da s p ol a r e s 2 5212 . 4 Ar e a d e u na s u p e r f i c i e d e r e vo l u c i n / 2 532. 5 Vo l me ne s de c i e r t o s s l i d os 2592 . 5 . 1 M t o d o d e l a s e c c i n 2 592 5 2 S 1 i d o s d e r e vo l u c i n 1/ 2652 . 5 . 3 ^ M t. o d o d e 1 a s c a p a s c i 1 i n d r i. c a s


6/60

2- 6 E j e r c i c i o s 2752 . 7 Cent r o de mas a 2762. 8 Ce nt r o i d e de LA n a r e gi n p l a na 2 792 . 9 Ce n t r o g e o m t r i c o d e u n a r c o 2 8 42. 1( 3 Ar c o d e u na s u p e r f i c i e g e ne r a d a al r o t a r un

a r c o en c o o r d e na d a s p o l a r e s 2 842 . 1 1 T r a ba j o 2E 52. 12 De t e r mi n ac i n d e l a c o n s t a nt e de i n t e gr a c i n 2 882. 13 E j e r c i c i o s 290

Re s pue s t a a l os e j e r c i c i o s 29 3Bi b l i o g r a f i a 296


7/60

I N T R O D U C C I O I M

El pr e s e nt e t r a ba j o , q ue t i e ne c o mo c o nt e ni d o el d es a r r o l l o d el os t e ma s que c o r r e s po nde n al c u r s o del c l c u l o i n t e gr a l , d i r i j ob s i c a me nt e a e s t u di a nt e s d e i n ge ni e r a ; c o mp r e n de d os c a p i t u l a s .El p r i me r o s e r e f i e r e a t o do el c l c u l o i nt e gr a l y el s e g un do alde s u s ap l i c a c i o ne s .S e ha p r e f e r i d o h ac e r u na e x po s i c i n q ue p on ga d e ma n i f i e s t o eld es a r r o l l o c onc ept ua l del c l c u l o i n t egr a l , mo s t r a r s u s a s pe c t o st e r i c o s , ap l i c a do s y s a t i s f a ce r a de m s l as e x i g enc i a s dec l a r i dad y r i go r .En l a e x po s i c i n t e r i c a s e o mi t i dar d emo s t r a c i o ne s d e a l g u no st e or e ma s o p r o pi e da de s ; en c o mp en s a c i n f u er o n i n c l u i d ase xp l i c a c i o ne s ba s ada s en f i gu r a s y r e pr e s en t a c i o ne s g r f i c a s ,pa r a ha c er c o mp r e ns i b l e s di c h o s t e or e ma s .P ar a un a me j o r i l u s t r a c i n de l os t e ma s t r a t a do s s e ha i n c l u i d ouna s e r i e de e j e r c i c i o s r e s ue l t o s y p r o pue s t o s d i r i g i do sp r i n c i p al me nt e a c o mp r e nd er me j o r el c o n t e n i d o del t e xt o ya c l a r a r d ud a s y c o n c ep t o s .


8/60

A l g u n o s t e m a s s o n d e n a t u r a l e z a o p t a t i v a y n o e s n e c e s a r i o. i n cl u i r lo s e n c l a s e , s i n o q u e d e b e n s e r c o n s i d e r a d o s c o m ol ec t u r a t a d i c i o n a le s .C o n e l p r e s e n t e t e x t o s e p r e t e n d e o f r e c e r u n a g u i a d e e s t u d i o q u ef a c i l i t e u n a m a y o r c o m p r e n s i n d e l o s t e m a s t r a t a d o s ; a d e m sc o n t r i b u i r al d e s a r r o l l o d e l a t c n i c a d e l c l c u l o y d e s p e r t a r e li n t e r s p a r a el r i g o r y c o n o c i m i e n t o d e l p r o c e s o c r e a t i v o ,m e d i a n t e e l c u a l l a s i d e a s v a g a s y p ar ti .c u. il ar es se v a n r e t i n a n d o

y t r a n s o r m a n d o e n p r o d u c t i v o s c o n c e p t o s .


9/60

: i - C A P ! F U L OI I M T El O Fe O- I O M

1 .1 P A R T I C I O N D E L I N T E R V A L O C E R R A D O [ a , b 3 .Sea an ; ] y n s u bi n t e r v a


10/60

abi er t os . Al i n t e r v al o c e r r a do [ >: k- t , >: k] s e l l ama el s u bi n t e r v a l ok - s i mo c e r r a do de P y al i n t e r v a l o a bi e r t o ( x k - i , x k ) el k - s i mos u b i n t e r v a l o a b i e r t o d e P . Co n a y ud a d e e s t o s c o n c e p t o s s e p ue d edar una de f i n i c i n a na l t i c a de f unc i n e s c a l o na da .1 .2 F U N C I O N E S C A L O N A D AUna f unc i n y =S ( x ) , c u yo d omi n i o e s el i n t e r v a l o c e r r a do [ a , b] , s edi c e que e s una f unc i n e s c a l o na da , s i e x i s t e una p ar t i c i nP = {xa i Mi x n } d e [ a , b ] t al q u e y =S ( x ) e s c o n s t a n t e e n c a d as u bi n t e r v a l o a bi e r t o de P . E s de c i r , par a k =l , 2 , 3 n e x i s t e unnme r o r e al S * , t a l que y =S ( x ) =Sn par a x k - i


11/60

S ( x ) = 3

IIJ- r r 1 - i 1 4 - f

Ob s r v e s e q u e s i u n a f u nc i n e s c a l o n a da e s c o n s t a n t e e n . l oss u b i n t e r v a l o s a bi e r t o s d e P , e s t a mbi n c o n s t a nt e en c ad asi .i b.i n t e r v a 1 o a bi e r t o de P x ; s i e nd o P un a f i n a mi e n t o d e P .Ejemplo 2. Sea s(;;) =[> ] =p ar t e e n t e r a d e x .Se r e c u er d a q ue l a p ar t e e n t e r a d e x , no t a d a po r Cx ] , s e de f i n ecomo e l mayor ent e r o menor o i gual que x.L a Ex ] s e a na l i z a de l a f o r ma s i g ui e nt e1. s i x >0 e n t o n c e s 2 s i x


12/60

l uego s ( x ) = [ x ] e s u na f un c i n e s c a l o na da en [ - 3 , 3 ] .

1. 3 E J E R C I C I O S .Hac er l as g r a f i c a s y mo s t r a r que l a s i g ui e nt e s f u nc i o ne s s o nt odas e s c a l o na da s en el i nt e r v a l o i nd i c ad o.1. f ( x ) =[ 2x ] s i - 11 x1 33. q( x) =[(x) i ' "- 23 s i 0 1x 1 255. r ( x ) = [ x ] 2 s i - 11 xl 67. i ( x ) =[ - >: ] s i - 3 1x 14 ,

1 s i - l l x


13/60

P ar a mo s t r a r q ue h( >: ) e s u na f u nc i n e s c a l o n ad a e n [ a , b ] , s ee nc o nt r a r una pa r t i c i n P de [ a , b] , t al qu e h ( x ) e s c o n s t a nt e enc a da s u b i n t e r v a 1 o a bi e r t o d e P y p ar a e l l o s e t o ma n t o do s l o sp un t o s d e Px, j u n t o c o n t o do s l o s p un t o s d e Ps>Es t a pa r t i c i n, r eun i n de P i y P 2 s e l l a ma a f i n a mi e n t o c o m n d ePi y P 2 .P ue s t o q ue t a nt o s ( x ) c o mo t ( x ) s o n c o n s t a nt e s en l o ss u bi n t e r v a l o s a bi e r t o s del a f i n ami e nt o c o m n, t a mbi n l o e s h ( x )y as i h ( x ) e s u na f u nc i n e s c a l o na da en [ a , b] .En f o r ma a n l o g a s e h ar el pr o du c t o d e f u nc i o n es e s c a l o n a da s .E j e m p l o . 1 Mo s t r a r q u e h( x ) = [ x/ 2] +[ x] p ar a 0 1 x 1 6 e s u na f u nc i n

e s c a l o na da en [ 0 , 6 ] .S o l u c i n .Se s a b e q ue [ x / 2 ] y [ x ] s o n f u nc i o ne s e s c a l o na d as y [ x / 2 ] s ede f i ne en el i n t e r v al o [ 0 , 6 ] as i :

[ x / 2 ] = ! ) :

Pa={0, . 1, 2, 3, 4, 5, 6} e s una pa r t i c i n de [ 0, 6] , pa r a t ( x ) = . X ]l uego un a par t i c i n d e [ 0 , 6 ] pa r a h ( x ) = s ( x ) + t ( x ) eP ={0, 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6} que e s l a r e uni n de Pa. c o n P s ; a s i que h( >; ) ec o ns t a nt e en c a da s u b i n t e r v a l o a bi e r t o d e P , pu es

rS ! +t i =0 +0 =0 s i x e [ 0 , l )S a +t 2 =0 +1 =1 s i x e [ l , 2 )s 3 +t 3 =1 +2 =3 s i x [ 2 , 3 )s +t . =1 +3 =4 s i x [ 3 , 4 )s 3 +t ==2 +4 =6 s i x [ 4 , 5 )s. +t , =2+5=7 si x = [ 5, 6) .

l uego h ( x ) e s e s c a l o na da en [ 0, 6] .Su g r f i c o s e p ue de a pr e c i a r en l a f i gur a s i g ui e nt e .

\ *1 4 5 '

1 . 5 E J E R C I C I O S .Mo s t r a r q ue l as s i g ui e n t e s f u nc i o ne s s on e s c a l o n ad a s en el. i nt e r val o i nd i c ado1. h ( x ) =[ x / 2 ] +[ ~x ] s i - 2


15/60

5. r ( K) =t x ] +[ - x ] s i - 5 1 x 15 6. m( x ) =[ x ] . [ x / 2 ] s i - 2 1 x 157. m( x ) =[ 2 x ] [ x - 1 ] s i 21x l 3 8. f ( x ) =3 [ x ] s i 0 1x 159. f ( x) =Cx] +Cx+vj +|:-


16/60

k - s i mo , f o r ma nd o el p r o d uc t o s k ( x k - x k - i ) y s e s u ma n l u eg o t o da sl os pr o du c t o s as i o bt e ni d os .0 bs e r v e s e q u e l o s v al o r e s d e l a f u n c i. n e n l os ex t r e mo s d e 1 1 o si n t e r v a l o s no s e t o ma n e n c u n t a , y a que no a pa r e c e n e n e ls egundo mi enbr o de * . bSi s ( >; ) >0 pa r a t o do > e [ a , b ] , l a i n t e g r a l , s ( x ) d x r e pr e s e nt a el

ar ea l i m t a da por l as g r f i c a s de x =a , x =b , s ( x ) y el e j e x.En o t r a s p a l a b r a s el n me r o q u e e v e n t u a l me n t e s e a s i g n a c o mo r e ar ec i bi r el n omb r e de l a i nt egr a l s ( x ) s o br e [ a , b] s is( x) i l 3 pa r a c ad a x e [ a , b ] .En r e al i da d, l a i nt egr a l s e de f i n i pa r a c ua l qu i e r f unc i n, bi ensea mayor o menor que c e r o en [ a , b ] .Si s ( x ) e s un a f unc i n c uy a g r f i c a s e o bs e r v a e n l a f i gu r as i gui en t e :

B *> b

l a i nt egr a l s ( x ) d x, r e pr e s ent a r l a d i f e r e nc i a e nt r e l a r e as Aa

y B, e s de c i r , l a s ( x ) dx = A- B.a

B


17/60

L a l e t r a x q ue a p ar e c e en el s mb o l o s ( x ) d x no j u eg o n i n g n

papel es e nc i a l en l a de f i n i c i n d e i n t e gr a l . Cu al q ui e r o t r os mb ol o a d ec u a d o s e r v i r e x a c t a me n t e i g ua l ; s e u s a nf r e cue nt eme nt e pa r a e l l o l as l e t r as t , u, v , 2 , . . . . en v ez de x ;

b b be s de ci r ! s ( t ) d t ; s ( z ) d z s ( u ) d u . . . Son c o ns i d er a da s t o da s

a bc o mo n o t a c i o n e s d i v e r s a s p a r a u na m s ma c o s a .Al gno s a ut o r e s de l i br os de c l c u l o t i ene n t e nd en c i a a s u pr i mi rs i mu l t a me ame nt e l a v a r i a bl e a pa r e nt e y el s mb ol o d y e s c r i b i r

bs i mp l e me nt e l a i n t e gr a l

aUn a r a z n e s , q u e e x p r e s a a n c o n m s f u e r z a , q u e l a i n t e g r a lde pe nde s o l a me n t e d e l a f u nc i n s y del i n t e gr a nd o [ a , b ] . S i ne mb ar g o e n a l g n o s c a s o s s e c o n s i d e r a n c o mp l e t a s .

6

Ej e mpl o 1. Ca l c u l a r [ x / 2 ] d;Solucin.Se s a be q ue [ x / 2] , pa r a x en el i n t e r v a l o [ 0 , 6] , s e d ef i n e as i

0 s i 0


18/60

s u gr f i c a s e pue de o bs e r v ar en l a f i gur a s i g ui e nt e :r

2' ' R P

1 - . f1 1

>i > 4 6

as i P[ 0 , 2 y 4 n 6 } = { Xca j X x , Xa ? X 3 } y x / 2 ] d x0

Ss,,. ( xi xi c s. ) = S i ( Xa . - Xc ) + 5 a ( x - x 4 ) +s 3 ( x 3 - x 3 ) =0 ( 2 - 0 ) +1 ( 4 - 2 ) +2 ( 6 - 1 )k=l

l uego II x / 2 ] d x =60

4Ejemplo .2 Ca l c u l a r C x ] d;

Solucin.Su g r f i c o s e o bs e r v a en l a f i g ur a s i g ui e nt e ;

Y

l u eg o P : 1, 0, 4 ] x < j y 3 d x

1 0


19/60

E s * ( Xk - Xk_ i . ) =5i ( X 1 - X b ) +S 2 ( Xa - Xi ) +S 3 ( X 3 - X a ) + S 4 ( X 4 - X 3 ) +S b ( X 8 - X 4 ) +k=lS


20/60

1 . 7 A L G U N A S P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E U N A F U N C I O NE S C A L O N A D A .

En e s t a s e c c i n , s e da n u na s p r o p i e d a de s f u n da me n t a l e s q ues a t i s f a c e l a i n t e gr a l de una f unc i n e s c a l o na da . T o da s e s t a s s o nv l i d as pa r a i n t e g r a l e s de f u nc i o ne s m s g e ne r a l e s . S e d ar n c o mot e or e ma s y e n c a d a c a s o s e i l u s t r a r c o n un e j e mp l o .1 . 7 . 1 T E O R E M A ( P R O P I E D A D A D I T I V A ) .

L a i n t e gr a l d e u na s u ma d e d o s f u nc i o n e s e s c a l o n a d as e s i gu all a s u ma de l as i n t e gr a l e s ; e s d e c i r s i s ( x ) y t ( x ) =f unc i one s e s c a l o na da s en [ a , b ] e n t o nc e sb b b

( s ( x ) +t ( x ) ) d x s ( x ) d x + t ( x ) d x .a

Ejemplo .1 Mo s t r a r q ue10 10 . 10

[ ( x ) 1 / , a ] d x +[ ( >; ) 1/ 2] +[ x/ 2] )dx-0 0 0S o l u c i n .Sea s ( x ) = [ ( x ) i X =! 3 y t ( x ) =[ x/ 2] e nt o nc e s

0 s i 0< ( x ' ) J - " a


21/60

Y

SOOaCV* ]s U W [m]

' r i ii iI 'q |0 8 i o

1(3

hf vl = M + Of c]

r r - r 8 "I 1a) ( s (;;) +1 ( x ) ) d x ; S ea P =[ 0 , 1 , 2 , 4 , 6 8, 9 , 10}={ x , x* x , } un

0

par t i c i n de l i n t e r v al o [ 0. . 0] ent onc e;10

( s ( x ) +t ( x ) ) d :072 s * ( Xk - Xk - i ) = 0 ( 1 - 0 ) +1 ( 2 - 1 ) +2 ( 4 - 2 ) +4 ( 6 - 4 ) +5 ( 8 - 6 ) +6 ( 9 - 8 ) +k=l

7 ( 1 0- 9 ) =3 6 .10

b) s ( x ) dx ; Sea Pa. ={0, 1, 4 , 9 , 10>={ Xn> x* , . . . } u na pa r t i c i n del0

.1 0i nt e r v al o [ 0 , 10 ] e n t o n c es s ( x ) d;0

Z s k ( x t - Xk - i ) =0 ( 1 - 0 ) +1 ( 4 - 1 ) +2 ( 9 - 4 ) +3 ( 1 0- 9 ) =1 6.k= t1 3


22/60

10c ) t ( x ) d x ; S e a P 2= 0 , 2, 4, 6, 8, 10 ]=[ x, xx , - . , x B } u na p ar t i c i n de

0 10i nt er v al o [ 0 , 10] e nt o nc es t ( x ) d :

02 Su ( X R X K JL ) =0 ( 20 ) +1 ( 42 ) +2 ( 6 4 ) +3 ( 86 ) +4 ( 108 ) =20 ; a s i q uk = l ^ v -

.10 10 10s ( x ) d x + t. ( x ) d x = 16 + 20,s ( x ) +t ( x ) ) d x = 3 6 =0 0 0

D e m o s t r a c i n d e la p r o p i e d a d a d i t i v a .

S ea P = x B , X i ) . . . x n } una pa r t i c i n de [ a , b ] t al q ue h ( x ) =s ( x ) +t ( x )es c o ns t a nt e en c a da s u b i n t e r v a l o a bi e r t o de P ; l u eg o

n nh ( x ) dx = E hk ( x k - x k - i ) = 2 ( Sk +t k ) ( x k- x k - i ) :k = 1 k=lbn nZ s k. ( x k x k x ) + 2 t u ( x k.x k i ) :k=l k=1 s ( x ) d x + t. ( x ) d xa a

1 . 7. 2 T E O R E M A ( P R O P I E D A D H O M O G E N E A ) .

P ar a t o do n me r o r eal c y s ( x ) f u nc i n e s c a l o na da en [ a , b j s et i e ne q ueb b

c . s ( x ) d x = c . ( x ) d ;

1 4


23/60

Ejemplo .1 Mo s t r a r q ueSolucin.

3. [ x / 2 ] d :

*(*) = C */*]i i i :

'l 2

[ x / 2] dx .

c . 11 P111 1: t cvii

i 1iIiIf11111 ,

1: t cvii

i l * &Sea s ( x ) =[ x / 2 ] y s e a P ={ 1, 2 , 4 , 6 }={ x , . , x 3 } un a p ar t i c i n de [ 1 , 6 ]

6

e nt o nc e s 3 . s ( x ) d x = Z s * ( K k - x f c _ A ) =0 ( 2 - 1 ) +3 ( 4 - 2 ) +6 ( 6 - 4 ) = 18; yk=ls ea P i - [ 1 , 2 , 4, 6} = { x b, . . . x 3 } una pa r t i c i n de [ 1 , 6 ] en t o nc e s

6 6s ( x ) dx = 3 [ 0 ( 2 1 ) +1 ( 4 - 2 ) +2 ( 6 - 4 ) ] = 18; l ue go 3. s ( x ) d :

s ( x ) d x .

D e m o s t r a c i n ( p r o p i e d a d h o m o g e n e a )Sea F' = {Xa, , Xt , . . - x n } u na pa r t i c i n d e [ a , b ] t al q ue s ( x ) e sc o ns t a nt e en l os i n t e r v a l o s a bi e r t o s de P . Se a s ( x ) = s *s i x k _ i


24/60

b bn nc . s ( x ) d x = 2 c s k ( >! k-Xi , - i )=c S s k ( x k - x k - i ) =c . s ( x ) d x .k = l k = ia a1 . 7 . 3 T E O R E M A ( I N V A R I A N C I A F R E N T E A U NA T R A S L A C I O N ) .Sea s ( x) una f unc i n esca l onada en [ a , b ] y c un nmer o r ealc ua l qui e r a e nt o nc e sb b+c

s (>) d: s ( x - c ) d x .a+cD e m o s t r a c i n .Sea P = xa , x t x n ) una par t i c i n del i nt er v al o c er r a do L a, b]t al que s ( x ) es c o ns t a nt e en c ada s u bi nt e r v al o a bi e r t o deP; es dec i r s ( x ) =s k s i x k_ . i


25/60

5Ejemplo 1. Mo s t r a r q u eSolucin.

[ x ] d : [ x - 23d: C x - 2 ] d xi + :

Y Cx) - C^

1 2 3

Cxi - L*-J

T * 3 4 S

[ x- 23 =< 1 s i 11x- 2


26/60

De mo s t r a c i n .Sea P ={ x ( , , x i , . . . x q , . . . x n } una pa r t i c i n de [ a , b ] t a l qu e s ( x ) e sc o ns t a nt e en c a d a s u b i n t e r v a l o a b i e r t o d e P . S ea c=Xc, e n t o n c e sb

s ( x ) d ; q nk =l ( X k ~ X k. x ) 2 S k ( x k. ~ x k. x ) + S s k.. k. Xk =l k - q + 1b

s ( x ) d x + s ( x ) d x6

Ejemplo .1 Mo s t r a r q u e [


27/60

r O O ^ J d ; ( 9- 6) =6 ; e nt o nc e s [ ( x ) 1 / a ] d x 130

6[

0

0

9[ ( x ) 1/ 2" J dx +

6C( K ) * ' - a3dx - 7 + 6 - 13.

bHas t a ahor a , al u t i l i z a r el s i mbo l o s ( x ) d x s e ha en t en d . i do, q ue

ael l i m t e i nf e r i o r a es menor q ue el l i m t e s uper i o r b.Es c o n ve ni e nt e e x t e nd er un p oc o l os c o n c e pt o s y c o n s i d e r a ri nt egr a l es c on l i m t e i nf e r i o r may or que el l i m t e s uper i o r ; e s t os e l ogr a s i s e de f i n e:b a a

s ( x ) d x s i a


28/60

Solucin, y su) = C*]i ?

5 1 2 3 4

[ x ] d x = 1 ( 2 - 1) +2 ( 3 - 2 ) +3 ( 4 - 3 ) =1+2+3=61.1

I44

[ x ] d x = 3 ( 3 - 4 ) +2 ( 2 - 3 ) +1 ( 1 - 2 ) = - 6 ; y a s i

[ x ] dx l x ] d x = 6.

1 . 7 . 5 T E O R E M A ( D I L A T A C I O N D E L I N T E R V A L O D EI N T E G R A C I O N ) .

Se a s ( x ) u n f u n c i n e s c a l o n a d a e n [ a, t a ] y k u n n me r o r e al 0kb b

e n t o n c e s S( J ) dx = kkkas ( x ) d x

De mo s t r a c i n .i ) k >0. S ea P=i y,a u na p ar t i c i n de [ a , b ] t al q ue s ( x )e s c o n s t a n t e en c a d a s u b i n t e r v a l o a b i e r t o d e P .S u p n ga s e qu e s ( x ) =s * s i x k_ i


29/60

por l o t a n t o F' 1={k; - ! BI , kx1, . . . ' k x n J e s una pa r t i c i n de [ k a , k b]y t ( x ) e s c o ns t a nt e en c a da s u bi n t e r v al o a bi e r t o d e P x y as it ( x) es e s c a l o na da ykb kb bx n nS( - ) dx = E s k ( k x r - k x i< _ i. ) = k . S s k ( x k - x k _ 1 ) =k .k k=l k=ikat ( x ) d x

kaSi k


30/60

1 .7 .6 T E O R E M A ( C O M P A R A C I O N ) .

Sean s ( x ) y t. ( x) do s f u nc i o ne s e s c a l o na da s en [ a , b ] t a l e s qu es ( x ) l t ( x ) p ar a t o do x e[ a , b] e n t o nc e sb b

s ( x ) d : t ( x ) d xa

D e m o s t r a c i n ( e j e r c i c i o ) .

Ejemplo .1 Se a s ( x ) =1 s i 01 x


31/60

5 ( x ) d x 7 i t(x)dx = 13,0 0

1 .8 E J E R C I C I O S .Verificar las sigui entes i gualdad es :

1. ( 12 x ] + [ x / 2 ] ) d ; [ 2 x ] d x + [ x / 2 3 d x

3.[x3d; C x 3 d x .

C 2 x 3 d x

4. C-x3dx

[2(x-2)]dx00[ - x 3 d x +

i. 1

[-x 3dx + [ - x 3 d x .0

05. [ (x)*' a]dx C (x-2)*' a]ds [(:


32/60

6 / 3 12/ 37. [ 2x / 3] dx = [ 2 x ] d x = C x ] d x .

O / "T

8 . 1[ 2x+4] dx =

4/ 312 14> p

[ x +2 ] dx = '4. C x ] dx .4 8 10

9. Ve r i f i c a r l as s i g ui e nt e s pr o pi e da de s c on un e j e mp l o ,b c - a b+c b

a ) . s ( c - x ) d xakb

s ( x ) d x . b )c - b

s ( x ) d x s ( x +c ) d x .a+c

O . s ( k x ) d ;( x ) d x = kka ab 1

d) s ( x ) d x = ( b~a ) ( a +( b - a ) x ) d x0

1.9 I N T E G R A L E S D E F U N C I O N E S M A S G E N E R A L E S .

L a i nt e gr a l s ( x ) d x , s e ha d ef i n i d o pa r a un a f unc i n e s c a l o na da

En e s t e a pa r t a do s e d ar u na d ef i n i c i n ap l i c a b l e a f u nc i o ne s m sge ne r a l e s .L a d ef i n i c i n s e c o ns t r u i r de t a l ma ne r a q ue l a i nt e gr a lr e s u l t a nt e g oc e d e t o da s l as p r o pi e d ad es d a da s p ar a l as f u nc i o ne s

2 4


33/60

e s c a 1 o na da s .L a i de a e s s i mp l e me n t e a s i : s e e mp i e z a a p r o x i ma n do po r d e f e c t o ypor e x c es o , l a f unc i n f ( x ) me di a nt e f u nc i o ne s e s c a l o na da s , c o mos e s ugi e r e en l a f i gur a s i g ui e nt ea* 1 .f

Vx)

a

T^Cx)

bP ar a e l l o s e s u po ne q ue s e e l i g e u na f u nc i n e s c a l o n ad aar bi t r ar i a s ( x ) , c u y a g r f i c a e s t a por de ba j o de l a y =f ( x ) y u naf unc i n e s c a l o na da a r b i t r a r i a t ( x ) c uy a g r f i c a e s t a por enc i made y =f ( x ) .

bSi a h or a s e c o n s i d e r a el c o n j u nt o d e t o do s l o s n me r o s s ( x ) d x y

t ( x) d x o bt e ni d os e l i g i e nd o s ( x ) y t ( x ) de t o da s l as ma ne r a s

p os i b l e s , s e t i e ne e n v i r t u d de l t e o r e ma d e c o mp a r a c i n q u eb b

s ( x ) d x i t ( x ) d x .a

Si l a i n t e gr a l d e f ( x ) ha c u mp l i r t a mb i n el t e or e ma2 5


34/60

c o mpa r a c i n, a de s e r un nme r o c o mpr e nd i do e n t r e s ( x ) d a

t ( x) dx pi r a c a d a p ar d e f u nc i o n es s ( x ) y t ( x ) d e a p r o x i ma c i n

Si e x i s t e un n me r o n i c o c o n e s t a p r o pi e da d pa r e c e l gi c o t o ma res t e n me r o c o mo d e f i n i c i n d e l a i n t e gr a l d e y =f ( x ) .Nat ur a l ment e hay d i f i c u l t a de s , por e j e mp l o l a f unc i n f ( x ) =l / x s i>4=0 ; y f ( 0 ) =0 de f i n i da pa r a t o do nme r o r e al x E n n i ngni nt e r v al o q ue c o n t e n ga el o r i g e n, s e p ue de a p r o x i ma r p orf unc i ones e s c a l o na da s ; p ue s c e r c a al o r i g en f ( x ) t o ma v a l o r e sa r b i t r a r i a me nt e g r a n de s o d i c h o d e o t r o mo do f ( x ) n o e s a c o t a d aen ni ngn i n t e r v a l o q ue c o n t e ng a al o r i g en .Por e l l o , al t r a t a r de de f i n i r l a i n t e gr a l , es p r ec i s or es t r i ngi r s e a l as f u nc i o ne s q ue s on a c ot a da s en [ a , b] ; e s d ec i ra qu el l a s f u nc i o n es f ( x ) p ar a l as c u a l e s e x i s t e un n me r o r e a1 M>0t al q ue - M f ( x ) l M p ar a c a d a x = [ a , b ] Ge om t r i c a me nt e l as g r a f i c a s de t a l e s f u nc i o ne s , e s t n s i t u ad asent r e l as a r a f i c a s de d os f u nc i o ne s e s c a l o na da s s ( x ) y t ( x ) q uet o man l o s v a l o r e s - M y M r e s p e c t i v a me n t e .

0 ~ / / 1/ k1 /\v l ( * :

. K r


35/60

De f i n i c i n . Se s u po ne f ( x ) a co t a da en C a, b ] y f : [ a , b ] > R.Sea P={xa, Xi , . . . , x n } u na p ar t i c i n d e [ a , b ] y s e aim = i. n f f ( x ) / x c [ x . i - i , xi ] } y M.i =Su p f ( x ) / x e [ x i . - * , x ] } .Se d ef i ne l a s u ma s u p er i o r d e y =f ( x ) p ar a l a p ar t i c i n P ;no t a da p or U( f , P ) c o mo :

U( f , P) = 2 MR ( XR - XR _ X ) :k = l t ( x ) dx 5 t ( x ) f ( x ) ; s i e ndo ( Xr - Xr - a ) l a

l ongi t ud del k - s i mo s u bi n t e r v al o ab i e r t o de P .Se def i ne l a s u ma i n f e r i o r de y =f ( x ) par a l a pa r t i c i n P , n ot a da

bnpor L ( f , P) c o mo L ( f , P ) = 2 mk ( x k - x k - i ) = s ( x ) dx ; s ( x ) f ( x ) .k = lEl he cho d e q ue f ( x ) e s t e a c o t a da en [ a , b ] g ar a nt i z a l ae xi s t e nc i a de Mk y m.-Ejemplo .1 f ( x ) x 0


36/60

- f ( x ) = vt U ) y

i /IMi1

HJh>

U( f , P a) S Pa{0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} = { x , x 4 , . . . x* > . U ( f , P a ) =2MR ( x * - x *k = l6SM k=M 1+M s,+lvl3+lvl^+M=>+tvl,=l+2+3+4+5+6=22=rea subrayada en la figurak=l

s i gui ent e t ( x ) d x0

i b )V /

/

Z, 3 4 5 fe

/ -fx) = X

nU(f , P, , ) = 21 Mk ( x k - x k - i ) .k = lEn g ene r a l s i s e t i e ne u na p ar t i c i n P = x 0 , x i x n } de [ a , b ] ys e q ui e r e q ue l os . i nt er val os a bi e r t o s de P t e nga n t o do s i gua ll ongi t ud; s e t o ma l a l ongi t ud de c ada s u bi n t e r v a l o a s i : ( b~a ) / n ,y as i s e h al l a n s u bi n t e r v a l o s de i gual

b--a 6-0 61 on g .i t ud , e s de c i r , x k = x * - xk . n n n2 8


37/60

n 6 6 npar a k =l , 2 , 3 , . . . , n ; l uego U( f , P n ) = 2 Mk . - = 2 f ( >; k ) y s ek=l n n k=lm r ar c ua nt o v al e f ( x * ) a s i :X = 0 = a;x i = Xx = 6/ n;Xa = 2*1 = 2 . 6 / n = 1 2/ n ;riiXk- 1 = ( k - l ) Xi = ( 6/ n) . ( k - 1 ) ;Xk = kx k = 6k/n;Xr> ~ nx i = n6/ n = 6; l uego

n n nU( f , P n) = 6/ n. 2 f ( x k ) = 6/ n . 2 f ( 6k / n ) = 6 / n . 2 6k / n =k=i k=l k=l' 36 n 36 n ( n +1 ) n ( n +l ) . 2 k = . = 18. As i s e t i ene una s uc es i nn12 k = l 2 n n 2de r e a s d ec r e c i e n t e y a c ot a da i n t e r i o r me nt e , l u ego c o n ve r g e; e sdec i rTn = { J x . T a , . . . , T . . . } = {36, 27 1 8. n ( n +1 ) / n a , . . . } = { 1 8 . n ( n +1 ) / n 2 }y as i el l i m T - I nf {Tr , 3= l i m 1 8 . n ( n+l ) / n a = 1 8. A e s t e v a l o rn>( n>s e l a l l a ma r m s a de l a nt e l a i n t e g r a l s u p er i o r d e f ( x ) =x en[ 0, 6] y s e no t a r por ( f ) ( ( f ) =18) .i i ) P x 0 , 2 , 4 , 6 J = [ X ca , X x , X a , X 3 } .L ( f , P* ) = 2 mk . ( X K - X k - 1 ) = 2. 2 m* = 2. ( m1+ma! +m3) = 2 . ( 0+2+4) =12=r eak = 1 k=l

6

s ubr ay ada en l a f i g ur a s i g ui e nt e s ( x ) d x .4 8


38/60

f { M - - %

6 6L ( f , P 3) = E mk ( x k - x k - 1 ) = E mK =0+1+2+3+4+5=15=k=l k=l s ( x ) d x = r ea0s ubr ayada en l a f i g ur a s i g ui e nt e ,

Y y;5d

f;1

/ f; sM i X . f.nL ( f , P r , ) = E mk ( x kk.=l

Ji h I, y, v-j ycn n k - i ) =( 6/ n) E mk = ( 6/ n) E f ( x k - i )k=1 k=ln n n( 6/ n) E f ( 6 . ( k - 1 ) / n ) = ( 6/ n) E 6 ( k - l ) / n = ( 3 6/ n=) E k- 1k- 1 k=l k=ln n- 1 36 n( n- l ) n( n- l )(36/rV2) E k - 1 = (36/ n2) E k = _ = 18. Asik=2 k=l n n-

se; fx.i ede f ormar una suseci n cr eci ent e de r eas, acot ada, l uego esconver gent e y s i sr, }- ={sa, s3 s, - J = [ 9, 12, . . , 18. n( n- l ) / n=, . . . . }

n( n- l )ent onces l i m = Sup s r, }= l i m .18 = . 18.n- > n- > n aA st e val or se 11 amar ms adel ant e l a i nt egr al i nf er i or de

3 0


39/60

f (>)=* en [ 0, 6] y se not ar por I ( f ) ( I ( f ) =18)1 .1 0 I N T E G R A L D E U N A F U N C I O N A C O T A D A .Sea f ( x ) u na f u nc i n d ef i n i d a y a c ot a da en [ a , b] . Y s e an s ( x ) ,t ( x) f unc i o ne s e s c al o na da s a r b i t r a r i a s de f i n i da s en [ a , b ] t a l e sque s ( x ) f ( x ) t ( x ) pa r a c a da x = [ a , b ] .Si e x i s t e un n n er o I y s o l o u no , t al q ue

b bmK ( k " K X ) =k=l s ( x ) d x I

nt ( X ) d x = E M K ( X K ~ X I < ~ I ) P a r a c a d ak = la a

par de f u nc i o ne s es c a l o na da s s ( x ) , t ( x ) q ue v er i f i q ue n q ueis( x ) f ( x ) i t ( x ) pa r a c a da x e [ a , b ] ; es t e? nme r o I s e de no mi nal a i n t e g r a l d e f d es d e a h as t a b y s e i n di c a por el s mb o l ob b

f ( x ) d x a aCuando I e x i s t e s e d i c e qu e f ( x ) e s i n t e gr a bl e en [ a , b] . L af unc i n f s e l l a ma . i nt egr a ndo, l os n me r o s a y b, l os l i mi t e s dei nt egr a c i n y el i n t e r v al o [ a , b ] el i n t e r v al o de i n t e gr a c i n.

I N T E G R A L S U P E R I O R E I N T E G R A L I N F E R I O R .

S up n ga s e q ue f ( x ) e s a c ot a da en [ a , b ] y q ue s ( x ) , t ( x ) s o nf unc i one s e s c a l o na da s q ue s at i s f a c en s ( x ) f ( x ) t ( x ) pa r a c adax [ a , b ] . En e s t e c a s o s e d i c e q ue s e s i n f e r i o r a f y q ue t. e ss upe r i o r a f .

3 1


40/60

(x ) d ) / s f 3 y T == C t ( x ) dx / f i t }, es dec i ra

S e s el c o n j u n t o d e t o d os l o s n me r o s s ( x ) d x o bt e n i d os al t o ma ra

c omo s ( x ) t o da s l as f u nc i o ne s e s c a l o na da s i n f e r i o r e s a f y T e sb

el c o n j u nt o d e t o d os l o n me r o s t ( x ) d x o b t e n i d a s al t o ma r c o mo

l ( x ) t odas l as f unc i o ne s e s c al o na da s s upe r i o r e s a f .S y T , s o n c o n j u n t o s n o v a c o s d e n me r o s r e a l e s , y a q ue f e sa co t a da , as i el S up S } y el I n f T } e xi s t e n y s e d ef i n e l ai nt egr a l s u pe r i o r de f , por el I n f [ T } y s e r e pr e s en t a por

bI ( f ) ; e s de c i r , I nf [ T} = I ( f ) = I nf ( x ) d x / f t } y l a i nt e gr a l

ai nf er i or s e d ef i n e por S up S } = I ( f ) = SupC s ( x ) d x / s i f }

T E O R E M A . T oda f unc i n a c ot a da f en [ a , b] , t i e ne una i nt e gr a li nf e r i or ( I ( f ) ) y t i ene una i nt egr a l s upe r i o r ( ( f ) ) queb bs a t i s f a c e l as de s i gua l de da s s ( x ) dx < I ( f ) i I ( f ) 1 t ( x ) dx

a apar a t o d as l as f u nc i n es e s c a l o na da s s y t t a l e s qu e

3 2


41/60

s ( x ) f ( x ) t ( x ) pa r a c ada x e [ a , b ] .La f unc i n f ( x ) e s i n t e gr a bl e en [ a , b ] s i y s o l o s i s u si nt e gr a l es s u pe r i o r e i n f e r i o r s on i g ua l e s y en c u yo c a s o s et i ene qu ebf o ( f ) = I ( f ) .

D e m o s t r a c i n .b

Sea S = s ( x) dx / s


42/60

s ( x ) dx 1 I nf {T} .i t ( ) dx p ar a c a d a pa r d e f u nc i o n es

es c al onadas s , t que s a t i s f ac en s i f i t .Por l o t a nt o f e s i nt e gr a bl e en [ a , b ] s i y s o l o si . Su p S }

bI nf T } y en c u y o c a s o s e t i e ne q ue f = Su pCS} = I n f { T}.

aEjemplo .1 S e a f ( x ) =x = 0


43/60

4 n 4 n 64 n- 2 f ( ( 4 / n) . ( k - 1 ) ) = - 2 ( ( k - 1 ) . ( 4 / n ) ) a = 2 ( k - l ) a ' =n k=l n k=l n 3 k=l64 n 6 4 n - 1 6 4 ( n - 1 ) ( n ) ( 2 n - . t )n 3 k=2 n 3 k = l n 3 664 ( n- 1) n( 2n- l ) 64 n ( n - l ) ( 2n - l ) . : y as i l a s uc es i n [ s r , } = . }6 n 3 6 n 3s e puede d e mo s t r a r q ue e s c r e c i e n t e y a c o t a d a s u p e r i o r me n t e l u eg o

64 n (n- . l ) ( 2 n- l ) 6 4. 2es c onver g ent e y l i m . = = S up {s n ) = I ( f ) .n > a> 6 n3 3n 4 n 4 nb) U( f , P ) = 2 Mk ( x h - x k - i ) = - 2 f ( x * ) = - 2 f ( 4k / n ) =k = 1 n k = l n k =l

4 n 16 6 4 n 6 4 n ( n+l ) ( 2 n+l )2 k5* = 2 k52 = . Se pu ede v er q uen k=l n 2 n 3 k=l 6 n 364 n ( n + .1) ( 2n +1)[ t n> = [ } e s u na s u c e c i n d ec r e c i e n t e yo n

ac ot ada i n f e r i o r me nt e , l ue go Ct r >} e s c o r v e r g en t e yb4 n ( n +1 ) ( 2 n+l ) 6 4. 2l i m . = = I nf { t } = I ( f ) ; l uego I ( f ) = I ( f )

|-> 6 n 3 6y como f ( x ) =xa! 01 x1 4 e s a c ot a da , e nt o nc e s f ( x ) e s i n t e gr a bl e en

4[ 0 , 4 ] y

64 64x a d x = . 2 = = I ( f ) = I ( f )6 30Ej empl o 2 . De mo s t r a r q ue f ( x ) =x es i n t e gr a bl e en [ - 1 , 1 ] y h al l a rsu v al o r .Como; f ( x ) e s a c ot a da en [ - 1 , 1 ] ; s e v er qu e I ( f ) =I ( f ) -

3 5


44/60

1; dx . En ef ec: t.o s S ea P = x } u na par t i . ci . n d e - 1 , 1 ]

"I l - ( - l ) 2t al que x k~x k_ i . = = _ ; pa r a k =l , 2 , 3 , . . . . , n . Aho r an n>' x = - 1+x * = - 1 +( 2 / n ) ;

Xk- i = - 1 +( k - 1 ) x K = - l +( k - l ) . ( 2 / n ) ;Kk = - l +kxk = - 1 + k . ( 2 / n ) ;

nx = - 1 +n x = 1 +n . ( 2 / n ) = 1; y as i L ( f , P ) = E m x ^- x k - i ) -k=i2 n 2 n 2 n- 2 mk - E f ( ! c o n v e r g e y l i m - 2 + = 0 - Sup s , - , }n - > oo n2*

= I ( f ) . n 2 n 2 nAh or a U( f , P ) = E Mk ( x k - x k - t ) = E M* = - E f ( x k ) =k = l n k= l n k = l2 n 2 n 4 n- E f ( 1 +( 2 k / n ) ) = - E ( - 1+( 2 k/ n) ) = - 2 + E k =n k = .1 n k = 1 n | < = .1

3 6


45/60

4 2n ( n+1 )- 2 + . ( n ) ( n +l ) = - 2 + y s e p ue de v e r i f i c a r q ue.. n n-*-2 n ( n +1) t n) = - 2 + } e s d ec r e c i e nt e y a c ot a da i n f e r i o r me nt e ,n a

2 n ( n+1 )l uego c o nv er g e y l i m t 0 = l i m ~2 + = 0 = I ( f ) =I ( f ) , l uegon - > o n - > a) n38.1

I ( f ) = I ( f ) = 0 ; d

Ejemplo .3 De mo s t r a r q u e l a f u nc i n f ( x) = ( 2x a - 8 ) - l


46/60

4 n 32 16- S C ( k ~ l ) ( k - 1) - 6]n k=l n 2 n128 n 64 n ___24 nS ( k - J L) a - _ _ 2 ( k - 1) - _ _ S In 3 k=1 n k- 1 n k=l128 n 64 n 24 nZ( k- 1) = - - E ( k - 1) - E ln 3 k=2 n 2 k =2 n k =l128 n- 1 6 4 n - 1 128 n ( n +l ) ( 2 n+l ) 6 4 n ( n - l )

E k. a E k - 2 4 = . . - 2 4ri * k=l n a k 1 n- 640Sn, as i que Supi s, - , } = l i m s n = - = 1( f ) .n> a 3

b) U ( f , F' ) = E Mk ( x k - x k - i )k = l4 n- E M.n k = l f (!:*) =

4 n 4 n- E f [ ( 4k / n ) ~l ] = _ E 2 C ( 4k / n ) 1 3=s8n k=l n k =14 n 16 k 2 8kn k = 1 n12 + 1 ) 8 = _n n k = l rv

4 n 32 k38 16k_ E ( 6 )n4 n 32 k a 4 n ,1.6k

n k = l n4 n- E 6 =n k=lk=l n a

32. 4 n ( n +l ) ( 2 n+l ) 4 . 16 n( n +l )n 3 6 n a 2

24 = t n ; 1 ueqc1 28 n ( n +1 ) ( 2 n+l )l i m tr, = l i m n- > n > 6 n 3

64 n ( n+1)l i m l i m 24n ~a> 2 n- n - o o3 8


47/60

128. 2 - 4 0 4 024 = ; as i q ue I n f { t } = l i m t = - = I ( f )3 n - >


48/60

2. S up ue s t o q ue u na f u nc i n e s i n t e g r a b l e ; c o mo s e c a l c u l a l ai nt egr a l ? .

En l a p r i me r a p r e g un t a , s e l i m t a r a da r r e s pu es t a s p ar c i a l e sque s o l o r e qu i e r e n i d ea s e l e me n t a l e s ; po r e j e mp l o s e mo s t r a r q uet odas l as f u nc i o ne s mo n t o na s a c o t a da s y c o n t i n ua s d ef i n i d as en[ a, b] s on i n t e gr a bl e s ; l uego s e de s ar r o l l a r n l as p r o pi e da de sg en er a l e s d e l a i n t e gr a l y s e h a c e v e r e n qu e f o r ma e s a sp r o pi e da de s n o s a y ud a n a a mp l i a r mu c h o s c o n o c i mi e n t o s e n l ai nt e gr a l de f un c i o ne s es p ec f i c a s .El n ume r a l 2 . Se d es a r r a l l a r m s a de l a nt e ; e n el c ua l s emos t r ar , c o mo c a l c u l a r i n t e gr a l e s par a d i v e r s a s f u nc i o ne s .1.12 I N T E G R A B I L I D A D D E F U N C I O N E S M O N O T O N A S A C O T A D A S .T E OR E MA . Si f ( x ) e s mo no t o na en un i n t e r v a l o c e r r a do [ a , b ] ;ent onc es f e s i n t e gr a bl e en [ a , b] .d e mo s t r a c i n .Se de mo s t r a r el t e or e ma p ar a f u nc i o ne s c r e c i e n t e s ; elr a z onam ent o e s a n l o go par a f u nc i o ne s d e c r e c i e nt e s .Sean I ( f ) , I ( f ) s us i n t e gr a l e s s upe r i o r e i n f e r i o rr e s pe ct i v ame nt e; s e d emo s t r a r q ue ( f ) = I ( f ) .Sea n un e nt e r o p os i t i v o y s e c o n s t r u ye n d o s f u nc i o ne se s c a l o na da s s n ( x ) y t 0 ( x ) del mo do s i g ui e nt e :Sea P =[ Xa, Xa. , . . . . , x n > una pa r t i c i n de [ a , b ] en n s ub i n t e r v a l oi gual es , e s t o es s u b i n t e r v al o s [ x k - i , x k ] t a l e s que Xk - X k - 1 =( b- a) / n pa r a c a d a v a l o r d e k.

4 0


49/60

Se d ef i n e a h or a s n ( x) yt ( x ) por l a f o r mu l a s s i gu i e nt e s :s n ( x ) =f ( x k - i ) ; t r, ( x ) = f ( x k ) s i x k _ t


50/60

b b bt 1 I ( f ) - I ( f ) < y as i

a a a

K f ) - J ( f ) | 1 s n = par a t o do nl , y de aqu s enac onc l uy e q ue I ( f ) = I ( ) y asi . f e s i n t e gr a bl e en [ a , b ] .T E O R E M A . Se a f a c o t a da en [ a , b ] y c o n t i n ua en [ a , b ]con e x ec p c i n . de un n me r o f i n i t o d e p un t o s , e n t o n c e s f e si nt ear abl e en [ a . b] .En pa r t i c ul a r s i f e s c o nt i n ua en [ a , b ] , f es i n t e gr a bl e enEa, b] .D e m o s t r a c i n , ( e j e r c i c i o ) .El t e or e ma a nt e r i o r s u mi n i s t r a b ue na i n f o r ma c i n a c e r c a d e l af unc i o nes q ue s o n i n t e gr a bl e s .Ejemplo .1 f ( x ) =l / x pa r a - 1 1x 11 ; no e s c o nt i n ua ; n o e s a c ot a day t a mp oc o e s . i nt e gr a bl e .Ejemplo .2 f ( x ) =[ x ] - 11x 12 ; es a co t a da en [ - 1 , 2 ] ; no e sc ont i nua en un n me r o f i n i t o d e p un t o s y e s i n t e gr a bl e en [ - 1 , 2 ] .

' l s i x O - l i x ! 2 ; f e s a c ot a da en [ - 1 , 2 ] ;0 si . xIno e s c o n t i n u a en un n me r o i n f i n i t o de pu n t o s y n o e s

i nt egr abl e .Ejemplo .5 f ( x ) =x 2 - 8 pa r a - 1 1x 13 ; f e s a c ot a da , e s c o nt i n ua ,es mo nn ot o na y e s i n t e gr a bl e en [ - 1 , 3 ] .

Ejemplo .3 f ( x ) =

Calculo Integral 01 - Bernardo Acevedo Frias

Documents