Cálculo III – Resumos e exercícios -Profª Roselene Nunes de Lima

Cálculo III – Resumos e exercícios - Profª Roselene Nunes de Lima

Profª Roselene Nunes de Lima

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A REVISÃO É IMPORTANTE Aproveite para revisar, concomitantemente com as aulas:

Trigonometria: razões e relações;

Potenciação e radiciação: propriedades;

Funções: exponencial, logarítmica, par, ímpar, trigonométricas e polinomiais;

Derivada: técnicas de derivação.

É muito importante ter habilidades com calculadora científica, durante o curso todo iremos precisar dela. Sugiro que se faça a leitura sobre quaisquer textos científicos, além de vocês procurarem responder problemas de raciocínio lógico combinatório, analítico e sintético, pois engenheiros e engenheiras precisam saber ler e escrever muito bem, a leitura subsidia a boa escrita. Muito sucesso! Contem comigo, sempre. Rose O QUE É MODELO MATEMÁTICO?

Na área das ciências aplicadas, um modelo matemático é um tipo de modelo científico que utiliza algum formulismo matemático para expressar relações, predições, variáveis, parâmetros, entidades e relações entre variáveis e/ou entidades ou operações.

Estes modelos são usados para analisar os comportamentos de sistemas complexos em situações geralmente difíceis de observar na realidade.

Fonte: http://conceito.de/modelo-matematico Indicação de livros

Dicas e sugestões sobre os livros:

1. Cálculo, vol. 2: é ótimo, tem muita leitura boa e tem muitas questões contextualizadas. Também indico para equações diferenciais (1º livro) Tem na biblioteca.

2. Cálculo de várias variáveis: é o melhor para se estudar neste semestre, leitura muito didática. Tem muitas questões contextualizadas (2º livro)

3. O guia completo para quem não é CDF – cálculo: é o melhor livro para se obter dicas e sugestões dos três cálculos e de equações diferenciais. Numa linguagem clara e divertida,

http://conceito.de/modelo-matematico


quem estuda com ele fica mais ligado (a). Digamos que ele seja o “manual do James Stwart”. Sugiro que comprem e leiam todo. Média de preço R$65,00. Se comprarem nos sebos on-line fica mais barato. (3º livro)

4. Cálculo B: as autoras têm uma linguagem clara e objetiva, não tem muitas questões contextualizadas. (4º livro) Tem na biblioteca.

Para estudar um curso universitário, os alunos não podem depender apenas de um livro. EMENTA A SER ESTUDADA DURANTE ESTE PERÍODO

Função de várias variáveis: problemas e gráficos;

Curvas parametrizadas e superfícies de nível;

Limites;

Derivadas parciais de 1ª ordem;

Derivadas parciais de 2ª ordem, mistas e de ordem superior;

Matriz jacobiana;

Derivada direcional;

Gradiente de uma função e propriedades;

Pontos críticos. Estudo de máximos e mínimos de funções de várias variáveis;

Multiplicadores de Lagrange: aplicação e problemas de máximos e mínimos. FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Função de duas variáveis

Seja D um subconjunto (região) do espaço 𝑅2 (plano). Chama-se função 𝑓 de 𝐷 toda relação que associa, a cada par (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐷, um único número real, representado por 𝑓(𝑥, 𝑦). O conjunto 𝐷 é o domínio da função.

Assim, 𝐷 é o domínio da função em 𝑅2, 𝑓 é a função 𝑓(𝑥, 𝑦) é o valor da função calculado em (𝑥, 𝑦). Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente por curvas de nível, numericamente por uma tabela de valores, ou algebricamente por uma fórmula.

Domínio: obter o domínio da função 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2

√3𝑥−𝑦; 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ⊂ 𝑅2/3𝑥 − 𝑦 > 0}

Questões de funções de uma variável: 1. O táxi cobra R$0,60 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$4,75. Qual função descreve

o texto? 2. Suponha que uma pessoa percorreu 30 km no táxi da questão (1), qual será o valor da viagem? 3. Suponha que uma pessoa viajou uma determinada distância no táxi da questão (1) e pagou

R$45,55. Qual foi a distância?


4. Suponha que um quarto esteja sendo resfriado de acordo com o modelo 𝑇(𝑡) = √576 − 𝑡, onde t (horas) e T (graus Celsius). Se iniciarmos o processo de resfriamento em 𝑡 = 0, quando esse modelo deixará de ser válido? Por quê?

NOTAÇÃO DE FUNÇÃO: Um exemplo

Suponha que você queira comprar uma televisão que é muito cara e você não comprará a vista. Se você for pagar em parcelas deverá saber o valor da taxa de juros e quanto pagará, sabendo que você determinará em quantas parcelas comprará a TV. Vou chamar de 𝑃, o pagamento mensal da TV, de 𝑉 o valor da TV e 𝑖 a taxa de juros, então:

𝑃 = 𝑓(𝑉, 𝑖) 𝑃 é a variável dependente, 𝑉 e 𝑖 são variáveis independentes, ou seja, 𝑃 depende de 2 valores para existir, do valor da TV e da taxa de juros. Questões de funções de várias variáveis: 1. Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é

de R$2,50 para fabricar uma caixa pequena, R$4,00 para uma caixa média e R$4,50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de R$8.000,00. a) Expresse o custo da fabricação de 𝑝 caixas pequenas, 𝑚 caixas médias e 𝑔 caixas grandes como uma função de três variáveis, respectivamente. b) Encontre 𝑓(3000, 5000, 4000) e interprete-a. c) Qual é o domínio de 𝑓?

2. Um fabricante estima que sua produção (medida em unidades de um produto) pode ser

modelada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100𝑥0,6𝑦0,4, em que a mão de obra x é medida em pessoas-hora e o capital y, em milhares de dólares. a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500? b) Qual é o nível de produção quando x = 2000 e y = 1000?

c) Quando dobrar a quantidade de mão de obra e capital dos itens (a) e (b) como afeta a produção? a) ≅75.786 unidades b) ≅151.572 unidades


3. O pagamento mensal M de um empréstimo parcelado de P reais tomado por t anos a uma taxa de juros anual de r é dada por

𝑀 = 𝑓(𝑃, 𝑟, 𝑡) =

𝑃𝑟12

1 − [1

1 +𝑟

12

]

12𝑡

a) Determine o pagamento mensal de uma hipoteca residencial de R$100.000,00, tomada por trinta anos a uma taxa anual de juros de 7%.

b) Determine o pagamento mensal do financiamento de um automóvel no valor de R$22.000,00, tomado por cinco anos a uma taxa anual de juros de 8%.a) ≅R$665,30 b) ≅R$446, 08

4. Um população que cresce exponencialmente satisfaz a equação 𝑃(𝐴, 𝑘, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑘𝑡, onde P é a população no instante t, A é a população inicial (para t = 0) e k é a taxa de crescimento relativo (per capita). A população de um certo país é atualmente de 5 milhões de habitantes e está crescendo a taxa de 3% ao ano. Qual será a população daqui a 7 anos?

6.200.000 habitantes CONSUMO DIÁRIO DE ENERGIA 5. Suponha que uma pessoa com I anos de idade tenha p quilogramas de peso e a centímetros de

altura. Nesse caso, de acordo com as equações de Harris-Benedict, o consumo basal de energia, em quilocalorias, será dado por:

𝐵ℎ = 66,47 + 13,75𝑝 + 5,00𝑎 − 6,77𝐼 No caso de um homem 𝐵𝑚 = 655,10 + 9,60𝑝 + 1,85𝑎 − 4,68𝐼 No caso de uma mulher

a) Determine o consumo basal de energia de um homem de 22 anos de idade com 90 kg de peso

e 1 m e 90 cm de altura. 2.105,03 kcal b) Determine o consumo basal de energia de uma mulher de 27 anos de idade com 61 kg de

peso e 1 m e 70 cm de altura. 1.428,84 kcal c) Um homem mantem um peso de 85 kg e uma altura de 1 m e 93 cm durante toda vida adulta.

Em que idade seu consumo basal de energia é de 2018 quilocalorias? 27 anos

d) Uma mulher mantem um peso de 67 kg e uma altura de 173 cm durante toda vida adulta. Em que idade seu consumo basal de energia é de 1504 quilocalorias?

24,4 anos e) Calcule o seu consumo basal. Você me diz


6. Calcule o domínio de cada função:

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1

√𝑥2+𝑦2−5

b) 𝑔(𝑤, 𝑡) = √9 − 𝑤2 − 𝑡2 c) 𝑧 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2 − 25)

d) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 1

−𝑥+𝑦

7. Exprima:

a) O volume 𝑉 de um cone circular reto em função do raio da base 𝑟 e de altura ℎ.

b) A área A de um trapézio em função dos lados paralelos 𝑥 e 𝑦, e da altura ℎ. 8. Para um mol de gás ideal, a Equação de Clayperon estabelece que 𝑃𝑉 = 𝑅𝑇, onde 𝑝 é a pressão,

𝑉 é o volume ocupado, 𝑇 a temperatura absoluta e 𝑅 uma constante universal. a) Exprima o volume como função da pressão e da temperatura.

b) Exprima a pressão em função do volume e da temperatura.

c) Exprima a temperatura em função da pressão e do volume.


Texto para as questões de 9 a 13 A onda

Suponha que você está num estádio onde a audiência está fazendo a onda. Este é um ritual em que membros da audiência se levantam de modo a criar uma onda que se desloca à volta do estádio. Normalmente uma única onda viaja a toda volta do estádio, mas podemos supor que há uma sequência contínua de ondas. Que espécie de função descreveria o movimento da audiência? Para conservar simples as coisas, olhamos só uma fileira de espectadores. Consideramos a função que descreve o movimento de cada indivíduo na fileira. Este é função de duas variáveis: 𝑥 (número do lugar) e 𝑡 (tempo em segundos). Para cada valor de 𝑥 e 𝑡 escrevemos ℎ(𝑥, 𝑡) para a altura (em centímetros) acima do solo da cabeça do espectador no lugar de número 𝑥 ao tempo de 𝑡 segundos.

Suponhamos que nos dizem que ℎ(𝑥, 𝑡) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠(0,5𝑥 − 𝑡) 9. Explique o sentido de ℎ(𝑥, 5) em termos da onda. Ache o período de ℎ(𝑥, 5). O que representa

esse período? 10. Mostre que o gráfico de ℎ(7, 𝑡) tem a mesma forma que o gráfico de ℎ(2, 𝑡). 11. Use o resultado da questão (10) para achar a velocidade da onda. 12. Use as funções ℎ(𝑥, 5) e ℎ(𝑥, 6) para mostrar que a velocidade da onda é de 2 lugares por

segundo.


13. Suponhamos que função onda no estádio fosse ℎ(𝑥, 𝑡) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 2𝑡). Como essa onda se compara com a onda original? Qual é a velocidade dessa onda (em lugares por segundo)?

14. Você está planejando uma longa viagem de carro e sua despesa principal será com gasolina.

a) Faça uma tabela mostrando como o custo diário de combustível varia como função do preço da gasolina (em reais por litro) e do número de litros que você compra cada dia.

b) Se seu carro faz 9 km para cada litro de gasolina, faça uma tabela mostrando como varia o custo diário de combustível como função da distância percorrida cada dia e do preço da gasolina.


15. A temperatura ajustada para o fator vento é uma temperatura que diz quanto frio se percebe como combinação de vento e temperatura. A tabela abaixo mostra a temperatura ajustada para o fator vento como função de velocidade do vento e da temperatura.

Velocidade do vento

Temperatura (°F)

(mph) 35 30 25 20 15 10 5 0

5 33 27 21 16 12 7 0 - 5

10 22 16 10 3 - 3 - 9 - 15 - 22

15 16 9 2 - 5 - 11 - 18 - 25 - 31

20 12 4 - 3 - 10 17 - 24 - 31 - 39

25 8 1 - 7 - 15 - 22 - 29 - 36 - 44

a) Se a temperatura é de 0°F e a velocidade do vento é 15 mph, quão frio parece? b) Se a temperatura é de 35°F que velocidade do vento faz parecer 22°F? c) Se a temperatura é de 25°F que velocidade do vento faz parecer 20°F? d) Se o vento soprar a 15 mph que temperatura parece ser de 0°F?

GRÁFICOS

Para funções de uma variável faremos o gráfico no plano cartesiano bidimensional, 𝑅2. Na função de duas variáveis faremos o gráfico no plano cartesiano tridimensional, 𝑅3. CURVA DE NÍVEL: observe o parabolóide, as curvas de nível são as circunferências da figura ao lado. Se o parabolóide tivesse na posição invertida, ou seja, de cabeça para baixo, então os valores nas curvas seriam maiores onde estão os menores e vice-versa. Veja figura abaixo (azul)

22 yxz

Para uma função qualquer 𝑧 = (𝑥, 𝑦) obteremos informações importantes a respeito de f observando apenas pontos do domínio, no plano 𝑥𝑦:

Procuramos os pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem à equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, onde 𝑐 e uma constante.

Esses pontos determinam uma curva em 0𝑥𝑦 que é chamada curva de nível c de 𝑓(𝑥, 𝑦).

Ao longo de uma curva de nível c a função 𝑓(𝑥, 𝑦) assume sempre o mesmo valor que é 𝑐.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y


Então, atribuímos sucessivamente a 𝑐 os valores 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 …. E representando as curvas correspondentes obtemos um “mapa topográfico” para 𝑓, que pode inclusive ajudar no esboço do gráfico de 𝑓.

GRANDEZAS FÍSICAS No caso de 𝑓(𝑥, 𝑦) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham uma particular importância, recebendo inclusive denominações especiais.

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é a temperatura no ponto (𝑥, 𝑦) de uma chapa plana, as curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são chamadas ISOTERMAS.

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é pressão de um gás de volume 𝑥 e temperatura 𝑦, as curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são chamadas ISÓBARAS.

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região 𝐷 do plano 0𝑥𝑦, as curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são chamadas EQUIPOTENCIAIS.

CURVAS DE NÍVEL – MAPAS TOPOGRÁFICOS O mapa topográfico dá a elevação na região e é uma boa maneira de obter uma visão geral do terreno; onde estão as montanhas e onde estão as planícies. As curvas num mapa topográfico que separam as elevações mais baixas das mais altas são chamadas de curvas de contorno.

Quanto mais próximas, as curvas de contorno, tiverem umas das outras, mais íngreme será o terreno; quanto mais espaçadas, mais plano será o terreno. EXERCÍCIO 1) Represente, no plano 𝑥𝑦, as curvas de nível c = 0, c = 1 e c = 4 das funções indicadas: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 9

b) 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − 9

c) 𝑧 = √19 − 𝑥2 − 𝑦2 DERIVADA PARCIAL A derivada parcial de uma função mede sua taxa de variação. Com as derivadas parciais obteremos taxas de variações quando uma variável varia e as outras se mantem constantes. Derivadas parciais de 𝑓 com relação a 𝑥 e a 𝑦.


Para todos os pontos em que existe o limite definimos as derivadas parciais no ponto (𝒂, 𝒃) por

𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = Taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑥 no ponto (𝑎, 𝑏)

= limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏)

ℎ

𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = Taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑦 no ponto (𝑎, 𝑏)

= limℎ→0

𝑓(𝑎, 𝑏 + ℎ) − 𝑓(𝑎, 𝑏)

ℎ

Se variarmos 𝑎 e 𝑏, teremos as funções derivadas parciais 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)

Notação alternativa para as derivadas parciais

Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) podemos escrever 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑧

𝜕𝑥 e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑧

𝜕𝑦, ou

𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) =𝜕𝑧

𝜕𝑥|

(𝑎,𝑏) e 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) =

𝜕𝑧

𝜕𝑦|

(𝑎,𝑏)

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA PARCIAL

Considere a função com duas variáveis reais 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Para 𝑦 = 𝑦0 temos que 𝑓(𝑥, 𝑦0) é uma função de uma variável cujo gráfico planar é uma

curva 𝐶1 resultante da interseção do gráfico 3D da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑦 = 𝑦0. A inclinação ou o coeficiente angular da reta tangente à curva 𝐶1 no ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) é

dado por 𝑡𝑔𝛼 =𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0) onde 𝛼 é o ângulo formado entre o plano 𝒙𝒚 e a reta tangente. Veja

a figura 1:

Figura 1 Figura 2 De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva 𝐶2, resultante da

interseção do gráfico 3D da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑥 = 𝑥0 é dado por 𝑡𝑔𝛽 =𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)


onde 𝛽 é o ângulo formado entre o plano 𝒙𝒚 e a reta tangente. Veja a figura 2: Observações: 1. Quando for solicitado que se calcule o coeficiente angular a curva com o plano 𝑥 = 𝑥0 no ponto

𝑦 = 𝑦0, quer dizer calcular a derivada parcial de 𝑦 no ponto particular, ou seja, 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0);

2. Quando for solicitado que se calcule o coeficiente angular a curva com o plano 𝑦 = 𝑦0 no ponto 𝑥 = 𝑥0, quer dizer calcular a derivada parcial de 𝑥 no ponto particular, ou seja, 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0).

DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS

Se 𝑓 é uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦, suas derivadas parciais são

𝑓𝑥 =𝜕𝑓

𝜕𝑥 e 𝑓𝑦 =

𝜕𝑓

𝜕𝑦

Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por

𝑓𝑥𝑥 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥2 , 𝑓𝑦𝑥 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦 , 𝑓𝑥𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas (derivadas mistas)

são iguais, ou seja, 𝑓𝑥𝑦 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑓𝑦𝑥 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥.

Derivadas parciais de ordem superior: quando são calculadas a partir das suas primeiras derivadas. REGRA DA CADEIA

A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis.

Suponha que a função 𝑃 = 𝑝(𝑥, 𝑦) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas 𝑥 e 𝑦, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑦 = 𝑦(𝑡).

A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão:

𝑃 = 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑃(𝑡) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:

dt

dy

x

p

dt

dx

x

ptP ..)('

EXERCÍCIOS 1. A concentração de bactérias, 𝐶, no sangue (em milhões de bactérias/mL), em seguida à injeção

de um antibiótico, é uma função da dose 𝒙 (em gm) injetada e do tempo 𝒕 (em horas) desde a injeção. Suponha que nos dizem que

𝑪 = 𝒇(𝒙, 𝒕) = 𝒕𝒆−𝒙𝒕. Calcule as seguintes quantidades e explique o que significa cada uma em termos práticos:

a) 𝒇𝒙(𝟏, 𝟐) b) 𝒇𝒕(𝟏, 𝟐)


2. Suponha que uma pessoa em uma festa beba 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 0,8𝑡 litros de refrigerante e coma 𝑦 = 𝑦(𝑡) = 0,2𝑡 quilogramas de bolo de chocolate após 𝑡 horas. Com isso ele produz

𝐸(𝑥, 𝑦) =1

2𝑥 + 3𝑦 calorias de energia ao beber 𝑥 litros de refrigerante e comer 𝑦 quilogramas

de bolo. Quanta energia ele produziu após 5 horas de festa? Qual a taxa de produção de energia em 𝑡 = 5?

3. A altura de um cone circular é 100 cm e decresce a uma razão de 10cm/s. O raio da base é 50cm

e cresce à razão de 5cm/s. Determine a velocidade da variação do volume deste cone. 4. Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, marca A e marca B. As

pesquisas de mercado mostram, que se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será 𝑄(𝑥, 𝑦) = 300 − 20𝑥2 + 30𝑦 vidros por mês. Estima-se que daqui a 𝑡 meses o preço de um vidro da marca A será

𝑥 = 2 + 0,05𝑡 reais e o preço de um vidro da marca B será 𝑦 = 2 + 0,1√𝑡 reais. Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca A daqui a 4 meses?

VETOR GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL

Vetor gradiente

O vetor gradiente ou gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) é o vetor

∇𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑗

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0). O vetor gradiente por ser denotado por: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) ou ∇𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) ou ainda,

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) (𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0),

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥0, 𝑦0)) usualmente é denotado por:

∇𝑓 = (𝜕𝑓

𝜕𝑥,

𝜕𝑓

𝜕𝑦) para z = f(x, y) e, ∇𝑓 = (

𝜕𝑓

𝜕𝑥,

𝜕𝑓

𝜕𝑦,

𝜕𝑓

𝜕𝑧) para w = f(x, y, z)

O vetor gradiente na curva de nível indica o maior nível da curva.


EXERCÍCIOS 1. Calcule o gradiente de cada função:

a) 𝑧 = 5𝑥2 + 𝑦2 +1

𝑥𝑦2

b) W = xyz

5. Determine o vetor gradiente da função 𝑔(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 em P(0, 0)

6. Para cada campo escalar obtenha ∇𝑓(𝑥, 𝑦):

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠𝑥

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−𝑦2

2

d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 5. Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos:

a) 𝑧 = 𝑥√𝑥2 + 𝑦2; P(1, 1) b) 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2; P(0, 3)

c) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦); 𝑃 (0,𝜋

2)

d) 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑤2 + 𝑢𝑣𝑤; P(0, 1, 0) Respostas:

a b c d

(𝟑√𝟐

𝟐,√𝟐

𝟐 )

(9, 6) (0, 0) (0, 2, 0)

Cálculo III – Resumos e exercícios -Profª Roselene Nunes de Lima

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