Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso
Climtico"
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFACULTAD DE ECONOMA
CURSO:CALCULO INFINITESIMAL II.DOCENTE:MARIA HIDALGO TINEDO
MSC.
TEMA: VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO ( APLICACIN DE LA INTEGRAL
DEFINIDA) INTEGRANTES:- CASTILLO ALVARADO JUAN - HERNANDEZ CHIROQUE
LUIS - JIRON CARME DELBA- RUIZ ROSALES LENIN- . YARLEQUE ADRIANZEN
KEVIN
DEDICATORIA:
El presente trabajo de investigacin lo dedicamos con mucho cario
a nuestros padres y a todos quienes aportaron positivamente a lo
largo de nuestra formacin acadmica dndonos el apoyo e incentivacin
que necesitamos para trabajar da con da ya que son los testigos del
trabajo perseverante para lograr un nuevo xito en nuestras vidas
profesionales. Por eso y por mucho ms les dedicamos este proceso de
formacin que constituir el cimiento fundamental en nuestra vida
profesional y a travs del cual forjaremos un nuevo presente en las
labores que desempeemos todos los das como futuros economistas.
NDICE:Justificacin--------------------------------------------------------------------------------4Presentacin-------------------------------------------------------------------------------5Objetivos
especficos--------------------------------------------------------------------6Marco
Terico-----------------------------------------------------------------------------7
Captulo
I:-------------------------------------------------------------------------71.1.
Concepto de flujo de
ingresos--------------------------------------71.2. Concepto de
anualidades--------------------------------------------9 Captulo
II:-----------------------------------------------------------------------152.1.
Frmulas para el cculo de valor futuro y valor presente--162.2.
Ejercicios-------------------------------------------------------------------21Conclusiones----------------------------------------------------------------------------25Recomendaciones---------------------------------------------------------------------26Bibliografa
y
Linkografa-------------------------------------------------------------27
Justificacin:
Este trabajo pretende demostrar la importancia de las matemticas
en la economa, donde las matemticas juegan un papel muy importante
dentro de la ciencia econmica, puesto que constituye una
herramienta para el anlisis la cuantificacin y la modelacin de
fenmenos, la economa trata de conceptos principalmente
cuantitativos, las matemticas proporcionan una estructura
sistemtica lgica en el cual pueden estudiarse modelos
cuantitativos.
Por esto es importante como economista dominar diversas
herramientas matemticas. El clculo para el estudio de funciones que
les permitan buscar buenos modelos de ajustes de datos, estudiar
cualitativa y cuantitavamente modelos que surjan de la teora
econmica, y para resolver problemas de optimizacin que les permita
asignar eficientemente recursos escasos.
Presentacin:
El presente trabajo nos habla de la importancia de la matemtica
a la economa en la cual se tratan dos puntos importantes siendo el
primero el valor del dinero en el tiempo es clave en Finanzas, en
el sentido que siempre un peso hoy vale ms que un peso maana. Para
efectos de calcular en forma homognea los flujos que ocurren en
distinto momento en el tiempo, debemos llevar todos estos a un
valor presente o a un valor futuro. Siendo el segundo punto el
valor y monto de una anualidades que son muy importante en
lasmatemticas financierasya que su utilizacin es muy frecuente en
las diversas transacciones comerciales que implican una serie de
pagos peridicos en intervalos iguales de tiempo, un lugar de unpago
nicoal finalizar el plazo del mismo. Y gracias a su clculo de valor
y monto la rama de economa puede hacer ms certeras sus decisiones
en proyectos de inversin, capital, entre otros; logrando as un buen
desempeo y una gran satisfaccin en los resultados y ganancias de
los mismos.
Objetivos especficos:
Identificar los diversos tipos de anualidades, sus
caractersticas y frmulas correspondientes para poder obtener el
monto futuro de una anualidad, su valor presente o actual, su tasa
de inters nominal y efectivo, por periodo y anual, as como el nmero
de periodos y plazo de las operaciones. Interpretar resultados y
comparar con otras situaciones financieras para la toma de
decisiones.
MARCO TERICO:
CAPTULO I: Conceptos de flujo de ingreso y de anualidades1.1.
Concepto de flujo de ingresos:Estadoctrina sefundamentaenel
conceptoderenta determinado porla ciencia econmica, y por
comprenderse dentro del anlisis aspectos tomados dediversas
doctrinasque,coincidiendo enlo principal,difieren cuantoalo
particular,no sedara unconceptoderenta, sinoque se analizarn los
elementos que deben concurrir para poder considerar un ingreso como
tal. Existencia de un
Ingreso.-Esterequisitoesparalosautoresconcebido como "existencia de
un riqueza nueva" o "realizacin de la renta". En el fondo se trata
dediferenciar la rentadel capital; haciendo hincapi en la ideade
quela rentadebe aparecer como unariqueza autnoma ysepa-rada de la
fuente productiva.
El ingreso debe ser determinable en dinero.-La exigencia de este
requisito excluye del concepto de renta lasllamadasrentas
inmateriales o de goce, lo cualimplicaque no podra afectarse con
impuesto, por ejemplo, el placerque provoca la contemplacin de una
escultura, ola comodidad de una habitacin confortable.- En este
aspecto esta doctrina se distancia de la teora econmica, para cual
tambin constituyen renta la riqueza inmaterial.
Que losingresosprovengande unatransaccindel contribuyente con
terceros.Por laexigencia de esterequisito quedaran excluidos del
concepto de renta losincrementos de valor de los bienes (o aumentos
de capital), es decir, las ganancias de capital no realizadas y las
llamadas rentas psquicas o rditospresuntos, que derivan del uso o
gocede ciertos bienes (casa habitada por su propietario); aun
cuando debo hacer presente que algunos autores, esgrimiendorazones
de equidad yen la medida en que ese usodenota unasustitucin
derenta, aceptan sugravamen(estiman que el propietario economiza
una renta al no pagar arriendo).
Que exista una fuente productora ms o menos estable.-La
existencia de unafuente productora durable, quesubsistaalacto
deproduccin dela riquezanueva,eselrasgomsdistintivodeestateora.
Estafuente productora est constituidapor elcapital,que asu vezpuede
estarformado por bienes materiales o inmateriales.
Que sean peridicos.-Lanocindeperiodicidadoregularidaddel ingreso
es tambin relativa,como ladurabilidad. En estesentido la doctrina
exigequeelingresoseaperidicoo susceptibledeperiodicidad, es
decir,la sola potencialidadde tal.
FLUJO DE CAJA:Enfinanzasy eneconomase entiende porflujo de caja
o flujo de fondos(en inglscash flow) los flujos de entradas y
salidas de caja o efectivo, en un perodo dado.El flujo de caja es
la acumulacin neta de activos lquidos en un periodo determinado y,
por lo tanto, constituye un indicador importante de la liquidez de
una empresa.El estudio de los flujos de caja dentro de una empresa
puede ser utilizado para determinar: Problemas de liquidez. El ser
rentable no significa necesariamente poseer liquidez. Una compaa
puede tener problemas de efectivo, aun siendo rentable. Por lo
tanto, permite anticipar los saldos en dinero. Para analizar la
viabilidad de proyectos de inversin, los flujos de fondos son la
base de clculo delValor actual netoy de laTasa interna de retorno.
Para medir la rentabilidad o crecimiento de un negocio cuando se
entienda que las normas contables no representan adecuadamente la
realidad econmica.Los flujos de liquidez se pueden clasificar en:1.
Flujos de caja operacionales: efectivo recibido o expendido como
resultado de las actividades econmicas de base de la compaa.2.
Flujos de caja de inversin: efectivo recibido o expendido
considerando los gastos en inversin de capital que beneficiarn el
negocio a futuro. (Ej: la compra de maquinaria nueva, inversiones o
adquisiciones.)3. Flujos de caja de financiamiento: efectivo
recibido o expendido como resultado de actividades financieras,
tales como recepcin o pago de prstamos, emisiones o recompra de
acciones y/o pago de dividendos.
1.2. Concepto de anualidades:Unaanualidades una sucesin de
pagos, depsitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en
perodos regulares de tiempo, con inters compuesto. El trmino
anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino
que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los
casos, a intervalos regulares de tiempo, independientemente que
tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o
mensuales.Cuando en un pas hay relativa estabilidad econmica, es
frecuente que se efecten operaciones mercantiles a travs de pagos
peridicos, sea a inters simple o compuesto, como en las
anualidades.Cuando las cuotas que se entregan se destinan para
formar uncapital, reciben el nombre de imposiciones o fondos; y si
son entregadas para cancelar unadeuda, se llaman amortizaciones.Las
anualidades nos son familiares en la vida diaria, como: las rentas,
sueldos, pagos de seguro social, pagos a plazos y de hipotecas,
primas de seguros de vida, pensiones, pagos para fondos de
amortizacin, alquileres, jubilaciones y otros, aunque entre unas y
otras existen distintas modalidades y muchas diferencias. Sin
embargo, el tipo de anualidad al que se hace referencia es el
deanualidad de inversin, que incluye inters compuesto, ya que en
otras clases de anualidad no se involucra el
inters.PAAAAAA5321n4
1.2.1. Los principales elementos que conforman la anualidad:
Renta: Es el pago, depsito o retiro, que se hace peridicamente.
Renta Anual: Suma de los pagos hechos en un ao. Plazo: Es la
duracin de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el
fin de la anualidad. Periodo De Pago: Es el tiempo que transcurre
entre un pago y otro. Tasa: Es el tipo de inters que se fija en la
operacin. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el ao; o
bien, nominal, si se capitaliza ms de una vez en el ao. C0 Pago
Peridico: llamado tambin trmino. Es el importe cobrado o pagado,
segn sea el caso, en cada perodo y que no cambia en el transcurso
de la anualidad. VF, el valor futuro: viene a ser la suma de todos
los pagos peridicos (C), capitalizados al final del ensimo perodo.
VA, el valor actual: viene a ser la suma de todos los pagos
peridicos (C), descontados o actualizados a una tasa de inters. La
tasa de inters por perodo () : tiene la caracterstica de ser
simultneamente nominal y efectiva. Tambin representa la tasa anual
de efectivo (TEA). n: obtenemos el nmero de perodos multiplicando
el tiempo por la frecuencia de capitalizacin de los intereses
(n=t*m).
1.2.2. LAS ANUALIDADES CUMPLEN CON LAS SIGUIENTES
CONDICIONES:Los pagos o cuotas que conforman el sistema, deben
cumplir las siguientes condiciones: Son uniformes, es decir, todas
son iguales. Son peridicas, es decir, que se dan perodo tras perodo
sin interrupcin alguna. El nmero de cuotas es igual al nmero de
perodos. La tasa de inters permanece constante durante los n
periodos.
1.2.3. CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADESLafrecuenciade pagos
coincide con la frecuencia de capitalizacion de intereses pero es
posible que no coincida. Puede ser tambien que la renta se haga al
inicio de cada periodo o que se haga al final: Que la primera se
realice en el primer periodo o algunos despues. Por tanto se puede
clasificar las anualidades segun los siguientes criterios:1.2.3.1.
SEGUN LAS FECHAS INICIALES YTERMINALDEL PLAZO:
A) Anualidad Cierta: Son anualidades ciertas aquellas
anualidades cuyas fechas, inicial y terminal, se conocen por estar
estipuladas en forma concreta.
Ejemplo.- En una compra a crdito, tanto la fecha que corresponde
al primer y ltimo pago son conocidos.
B) Anualidad Eventual o Contingente: Cuandono seconoce al menos
una fecha extrema del plazo es decir son aquellas en las que el
primer pago o el ltimo, es decir, la fecha inicial y/o la fecha
final dependen de algn suceso previsible, pero cuya fecha de
realizacin no puede fijarse.Ejemplo.- Una renta vitalicia o
perpetua que tiene que abonar un cnyuge a la muerte del otro. Al
morir el cnyuge se inicia la renta y sta fecha es desconocida.
1.2.3.2. SEGUN LOS PAGOS:A) Anualidad Anticipada: Cuando los
pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo.
Cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente
estaformula general ya que si se tiene valor nico equivalente
atodas lasrentas, al trmino del plazo este se traslada a cualquier
otra fecha con la frmula del inters
compuesto.PAAAAAA5321N4ANUALIDAD ANTICIPADAN-1A
Ejemplo.- el pago mensual por arriendo de una casa, primero es
el pago, luego el uso del inmueble.
B) Anualidad Ordinaria o Vencida: Cuando los pagos se realizan
al fin de cada periodo. Esta anualidad se caracteriza porque los
pagos se realizan al fin de cada periodo, razn por la que se
conocen tambin como anualidades vencidas.Lo ms comn como dijo antes
es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo
es decir con su valor presente C que se obtiene con la formula.
Las anualidades ms comunes de estas anualidades se refieren a la
amortizacin dedeudascomocrditos hipotecarios, automotrices o
cualquier otro que se liquida con pagos peridicos y cargos de
inters compuesto.PAAAAAA5321N4ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDAN-1A
Ejemplo.- El pago de salarios a los empleados, el trabajo es
primero, luego el pago.
1.2.3.3. DE ACUERDO CON LA PRIMERA RENTA:A) Anualidad Inmediata:
Cuando los pagos sae hacen desde el primer periodo.
Ejemplo.- Hoy adquirimos un producto a crdito, a pagar
mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes
siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o
vencidas (post-pagables).
B) Anualidad Diferida: Una anualidad diferida es aquella cuyo
plazo no comienza sino hasta despus de haber transcurrido cierto
nmero de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede
estar dado en aos, semestres, etc. Las anualidades diferidas pueden
ser vencidas o anticipadas, dependiendo del momento en que tiene
lugar el pago.
1.2.3.4. SEGUN LOS INTERVALOS DE PAGO:A) Anualidad Simple:
Cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se
capitalizan los intervalos de pago.Ejemplo.- El pago de una renta
mensual con intereses al 32% de capitalizacin mensual.B) Anualidad
General:Una anualidad es general si los pagos se realizan en
periodos distintos a la frecuencia con que los intereses se
capitalizan. A diferencia de la anterior, el periodo de pago
nocoincide con el periodo de capitalizacinEjemplo.- El pago de una
renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable
trimestralmente.
CAPTULO II: FRMULAS PARA EVALUAR VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE
EJERCICIOS2.1. Frmulas para evaluar valor futuro y valor
presente:2.1.1. Valor futuro:El valor futuro es la cantidad total
(dinero trasferido a la cuenta ms los intereses) que se acumula de
esta forma durante el plazo especifico.El clculo del monto de un
flujo de ingresos es aproximar el flujo continuo de ingresos
mediante una secuencia de depsitos discretos llamados anualidad. El
monto de la anualidad aproximante es una cierta suma, cuyo lmite
(una integral definida) es el valor del flujo de ingresos.Ejemplo.-
Se transfiere dinero continuamente a una cuenta a una tasa
constante de $1200 por ao. La cuenta gana intereses a una tasa
anual de 8% capitalizado continuamente. Cunto habr al cabo de 2
aos? Solucin.-P dlares invertidos a 8% capitalizados continuamente
sern dlares t aos despus.Para aproximar el valor futuro del flujo
de ingresos, se divide el intervalo de 2 aos 0 t 2 en n
subintervalos iguales con longitud t aos, y se denota por el inicio
del j-simo subintervalo. Entonces, durante el j- ensimo
subintervalo (de longitud t aos).Dinero depositado= (dlares por
ao)(nmero de aos)= 1200 tSi se depositara todo este dinero al
inicio del subintervalo (en el momento ), permanecera en la cuenta
durante 2- aos y por lo tanto crecera hasta (1200t) dlares.
As,Valor futuro del dinero depositado durante el j-ensimo
subintervalo
1200t 1200 0 2
El valor futuro de todo el flujo de ingresos es la suma de los
valores futuros del dinero depositado durante cada uno de los n
subintervalos. Por tanto, Valor futuro de flujo de ingresos
(observe que esta es solo una aproximacin, porque se basa en la
suposicin de que todos los dlares se depositaron en el momento , en
lugar de continuamente durante todo el subintervalo.)Cuando crece
ilimitadamente, la longitud de cada subintervalo tiende a cero y la
aproximacin tiende al valor futuro del flujo de ingresos. De aqu,
Valor futuro del flujo de ingresos = Generalizando el razonamiento
ilustrado en el ejemplo anterior, se llega a la frmula de
integracin para el valor futuro de un flujo de ingresos dado por ,
durante un plazo de aos:
A continuacin se dan las formas primera y ltima de la frnula
para el valor futuro de futuras referencias.Valor futuro de un
flujo de ingresos, suponga que se transfiere dinero continuamente a
una cuenta durante un perodo 0 , a una tasa dada por la funcin y
que la cuenta gana inters a una tasa anual , capitalizada
continuamente. Entonces el valor futuro, VF, del flujo de ingresos
despus de aos dado por la integral definida
En el ejemplo anterior se tena , as que
2.1.2. Valor presente:Valor presente de un flujo de ingresos
generado a una tasa continua , durante un plazo especfico de T aos,
es la cantidad de dinero A que se debe depositar hoy, a la tasa de
inters prevaleciente, para generar el mismo ingreso que el flujo de
ingresos durante el mismo periodo de T aos. Puesto que A dlares
invertidos a una tasa de inters anual r capitalizado continuamente
valdrn dlares en T aos, se debe tener:
Dividiendo ambos miembros entre
En resumen:Valor presente de un flujo de ingresos, que se
deposita continuamente, durante un plazo de aos, esta dado por
Ejemplo.-Jane trata de decidir entre dos inversiones. La primera
cuesta $1000 y se espera que genere un flujo de ingresos continuo a
una tasa de dlares por ao. La segunda inversin cuesta $4000 y se
estima que genere ingreso a una tasa constante de dlares por ao. Si
la tasa de inters anual permanece fija a 5% capitalizado
continuamente durante los prximos 5 aos, Cul inversin generara ms
ingreso neto durante este periodo?Solucin.El ingreso neto generado
por cada inversin durante el periodo de 5 aos es el valor presente
de la inversin menos el costo inicial. Para cada inversin se tiene
y .Para la primera inversin:
Para la segunda inversin
Entonces, el ingreso neto generado por la primera inversin es de
$13274.39, mientras que la segunda inversin genera un ingreso neto
de $13695.94. La segunda inversin es ligeramente mejor.VALOR
PRESENTE DE FLUJO PERPETUO:Si un flujo de efectivo fuera a
persistir para siempre, una situacin ejemplificada por el inters
proveniente de un ttulo perpetuo o de la renta de un bien de
capital indestructible tal como un terreno, el valor presente flujo
sera:
Lo cual es una integral impropia.Ejemplo:Encuentre el valor
presente de un flujo perpetuo de ingreso a uan tasa uniforme de D
dlares por ao, si la tasa continua de descuento es . Como al
evaluar una integral impropia, simplemente tomamos el lmite de una
integral propia; especficamente podemos escribir
Observe que el parmetro y ( nmero de aos ) ha desaparecido de la
respuesta final. Esto es como debe ser, ya que aqu manejamos un
flujo permanente. Tambin puede observar que nuestro resultado (
valor presente = tasa de flujo de ingresos tasa de descuento )
corresponde precisamente a la frmula conocida para la llamada
capitalizacin de un bien con un rendimiento perpetuo.2.2.
Ejercicios:2.2.1. Ejercicios de anualidades.a) Use una integral
definida para estimar el valor actual de una anualidad que paga 100
dlares por mes en los prximos 2 aos. Si el tipo de inters que
prevalece permanece fijo a un 8 por 100 anual compuesto
continuamente.
Valor actual de la anualidad:
b) Javier recibe una anualidad de 450 dlares al ao pagados
continuamente. La anualidad se extiende a lo largo de 20 aos con un
tipo de inters fijo anual del 6 por ciento capitalizado
continuamente. Calcule el valor presente de dicha anualidad.
Valor actual de la anualidad:
c) A Walter Maxwell un estudiante de 2do grado de la maestra de
administracin de empresas le acaban de ofrecer un empleo en el que
ganar 50000 dlares mensuales. Despus de 3 aos, cul es el valor
actual de su sueldo a una tasa del 20 por ciento anual capitalizado
continuamente?
Valor actual de la anualidad:
d) Daniela recibir una anualidad de 4 aos a razn de 600 dlares
anuales pagos a recibiendo un primer pago de forma inmediata por lo
cual seran 5 los pagos recibidos. Cul es el valor actual de la
anualidad a una tasa de 10 por ciento anual capitalizado
continuamente?*Cuando se usa la integracin en los problemas de
flujos se descuenta la fecha 0 por ser una fecha previa al inicio
del primer pago pero en este caso el primer pago ocurre de
inmediato con lo cual se debe contabilizar el pago de esa fecha.
Aeste tipo de anualidades se les denomina anualidades
anticipadas.
Valor actual de la anualidad:
d) Charles Harris acaba de ganar la lotera estatal recibiendo
continuamente 6000 dlares por ao durante 4 aos a una tasa de 15 por
ciento anual. Cul es el valor actual del pago que recibir?
Valor actual de la anualidad:
2.2.2. Ejercicios de monto o valor futuro de una anualidad:a.
Cul ser el monto de un depsito de 500 dlares al ao a una tasa de
o.5 por ciento anual capitalizados continuamente al cabo de 10
aos?
b. Hallar el monto de una anualidad con pagos continuos de 180
soles cada ao al 36 por ciento de inters compuesto anual durante 2
aos
c. Una empresa azucarera reserva al final de cada ao 15600 soles
durante tres aos en un fondo que gana 12 por ciento de inters
compuesto anualmente. Cul ser el valor del fondo al final del
tercer ao?
d. La Ca. San Andrs contrae una deuda con el banco por 3600
dlares por ao pagaderos en 10 aos a una tasa de inters de 18 por
ciento anual con capitalizacin continua. Al finalizar los 10 aos, a
cunto ascender el monto de la deuda?
e. Una inversin producir 2400 dlares al ao a perpetuidad, si el
dinero se dispensa continuamente a lo largo del ao y el tipo de
inters anual predominante permanece fijo al 12 por 100 compuestos
continuamente. Cul es el valor actual de la inversin?Valoractual de
la inversin =2400V.A=V.A. = V.A=0 +20000=20000El valor actual de la
inversin ser de 20000 dlares con una tasa de inters de 12%.
Conclusiones:1. La integracin es fundamental para la toma de
decisiones en la Administracin, debido a que permite realizar
clculos de las funciones a partir de su dinmica o sus cambios
generados por otras variables.
2. Lamodelacin de problemas econmicosse sustenta de las
matemticas, por lo que se han considerado en este artculo, algunos
contenidos esencialmente de la prctica contable que se nutren de la
misma para ser resueltos, en especial de la integral definida y con
ello mantener el antiguo status de la matemtica, esto es:el de ser
la herramienta cuantitativa ms importante de la prctica
econmica.
3. En este presente trabajo podemos concluir que a travs de la
integral definida se puede calcular varias de las variables
econmicas que estn presentes en nuestro mundo real y que en nuestra
carrera siempre van a estar presentes.
4. Enfinanzasy eneconomase entiende porflujo de caja o flujo de
fondos(en inglscash flow) los flujos de entradas y salidas de caja
o efectivo, en un perodo dado.
5. La aplicacin de la integral en este tipo de ejercicios solo
es posible cuando se introduce el concepto de capitalizacin
continua.
Recomendaciones:
El curso de calculo infinitesimal tanto I.II y III deben estar
orientados desde un principio a las aplicaciones con la economa ya
que estos son base para la carrera.
El desarrollo del curso debe iniciarse con una introduccin base
del curso anterior de modo de recordatorio
Durante el desarrollo del curso se den ms oportunidades de
participacin a los alumnos ya que esto contribuyen al aprendizaje
del curso y a un mayor entendimiento
Las evaluaciones deben desarrollarse con respecto a la
bibliografa recomendada.
Se deben generar ms trabajos de investigacin
Los alumnos puedan tener un mayor acceso al docente para as
resolver sus dudas fuera del horario de clase
Bibliografa y linkografa:
http://www.geocities.ws/victor_anaya64/mfin/apuntes_anualidades.pdf
(2 de marzo)
http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/economico_administrativo/Matematicas_financieras_II.pdf
(2 de marzo)
http://www.eduni.uni.edu.pe/1er_concurso_6_mate_financiera.pdf (3
de marzo)
http://www.javossa.50webs.com/PDF/Ejercicios%20resueltos/Ejercicios%20resueltos%20%20sobre%20valor%20presente%20y%20valor%20futuro.pdf
(3 de marzo)
http://www.slideshare.net/JuanKasaid/matematicas-financieras-14595975#
(3 de marzo)
http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/huejutla/administracion/ingenieria%20financiera/valor_del_dinero.pdf
(4 de marzo) Matemtica Financiera. Conceptos, problemas y
aplicaciones. Rafael Valera Moreno-Brenda Silupu Garces. Cuarta
edicin Capitulo III anualidades. Mtodos fundamentales de economa
matemtica: Alpha C Chiang- Kevin Wainwright. Cuarta edicin Capitulo
14: La dinmica econmica y el clculo integral .
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