compendio del curso de Clculo I
[compendio del curso de Clculo I]2 de diciembre de 2014
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniera
de Sistemas e Informtica E.A.P. Ingeniera de Software
Clculo I
Integrantes del Grupo:Carhuaricra Rivera, Luciano
ErnestoCastillo Chvez, Luigi JairCornejo Herrera, talo NeilIllesca
vila, AaronJaimes Arteaga, Angello Victor
Ciclo acadmico 2014-II
LIMA, PER 2014
ndice
Introduccin21.Los nmeros reales32.funciones103.Lmites de
Funciones204.la Derivada265. Aplicaciones de la derivada34
Introduccin
En el presente trabajo escrito se pretende recopilar las
definiciones, observaciones y ejemplos expuestos en clase durante
el desarrollo del curso de Calculo I impartido por el profesor
Teodoro Alfredo Llerena Lucero.En l se exponen en forma terica los
conceptos de sistemas de nmeros reales, relaciones, funciones,
lmites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones.Su desarrollo
fue realizado de manera grupal por alumnos del curso.Para completar
dicha labor fue necesario transcribir los apuntes escritos
realizados por los mismos durante el trascurso del ciclo
2014-II.Durante su realizacin se procur mantener el rigor matemtico
de las definiciones, pero a la vez de que resultara fcil de
entender para los dems estudiantes.La digitacin fue realizada
utilizando ntegramente el conocido procesador de texto Microsoft
Word 2010.Sin embargo, algunas grficas de funciones se realizaron
utilizando las herramientas de trazo de grficas del buscador web de
Google.
1. Sistema de los nmeros realesEl sistema de los nmeros reales
es denotado por R y es el conjunto donde provisto de dos
operaciones, una operacin de orden y el axioma supremo (axioma de
completitud).
SUMA: +: y (a,b) +(a,b) := a+bPRODUCTO: y (a,b) (a,b) := a.bQue
verifican los siguientes axiomas:
1.- Cerradura:
2.- Conmutativa: A+b=b+a A.b=b.A
3.- Asociatividad: a+(b+c)=(a+b)+c a(b.c)=(a.b).c
4.- Neutro:
Existe un nmero llamado cero 0 tal que a+0=a (neutro aditivo)
Existe un nmero llamado uno 1 tal que a.1=1.a=a (neutro
multiplicativo)
5.- Inverso Opuesto:
*Inverso Aditivo b es llamado opuesto de a (o inverso aditivo de
a) y denotamos b=-a
*Inverso Multiplicativo b es llamado inverso multiplicativo de a
y denotamos b=
6.- Distributiva:
7.- Ley de la Tricotoma
se verifica:A IR una funcin tal que x,-y Df, entonces
decimos: f es una funcin par sif(-x)= f(x)f es una funcin impar
sif(-x)= -f(x)f es una funcin peridica si existe t IR, t0 tal
que:x+t Df; x Dff(x+t)= f(x); x DfNota: Al menor t entero positico
se denomina perido de fFunciones inversaSe llama funcin inversa o
reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que:Si f(a) = b,
entonces f1(b) = a.Funciones BiyectivasSea f: A->B, una funcin
diremos que :1. f es una funcin inyectiva(uno a uno):i. Sia,bson
elementos deA tales quef(a)=f(b), necesariamente se cumplea=b.ii.
Sia,bson elementosdiferentesdeA, necesariamente se
cumplef(a)f(b).1. f es una funcin sobreyectiva, si:yB xA:
f(x)=yFunciones trigonomtricasFuncin senof(x) = sen
xDominio:IRRango: [1, 1]Perodo:2 radContinuidad: Continua
enxIRImpar: sen(x) = sen xFuncin cosenof(x) = cos xDominio:IRRango:
[1, 1]Perodo:2 radContinuidad: Continua enxIRPar: cos(x) = cos
xFuncin tangentef(x) = tg xDominio:IR-{(2k+1). /2, k
Z}Rango:IRContinuidad: Continua enxIR-{( /2+ .k)}Perodo: radImpar:
tg(x) = tg xFuncin cotangentef(x) = cotg xDominio: IR-{( .k,
kIR)}Recorrido:IRContinuidad: Continua enxIR-{(.k, kIR)}Perodo:
radImpar: cotg(x) = cotg xFuncin secantef(x) = sec
xDominio:IR-{(2k+1). /2, k Z}Recorrido: ( , 1]U[1, )Perodo:2
radContinuidad: Continua enxIR-{( /2+ .k)}Par: sec(x) = sec xFuncin
cosecantef(x) = cosec xDominio:IR-{( .k, kIR)} Recorrido: ( ,
1]U[1, )Perodo:2 radContinuidad: Continua enImpar: cosec(x) = cosec
x3. Lmites de funcionesSea f una funcin definida en un intervalo
abierto que contiene a a y sea L un nmero real, la afirmacin:
Significa que para E>0 existe un >0 tal qu:| f(x)-L| < E,
siempre que 0