Enero – Julio 2012 NOTAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Comisión de Cálculo Diferencial e Integral Violeta Mena Cervantes Aurelio Hernández Ignacio Elizalde Rogelio Deheza Cruz Silverio Mera Luna Moisés Salas de los Santos Esaú Emanuel Jesús García Flores
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1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad ............................................................................. 57
1.4.2. Definición de la derivada .......................................................................................................... 61
2. La derivada y sus aplicaciones .................................................................................................................... 1
2.1. Teoremas de derivación ..................................................................................................................... 2
2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas ............................................................................................... 3
2.1.2. Derivadas de polinomios ................................................................................................................ 5
2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas ........................................................................................ 7
2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales ........................................................................................ 8
2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas ........................................................................ 13
Teorema 2.11 Derivadas de funciones trigonométricas inversas ................................................................ 13
2.2. La regla de la cadena ........................................................................................................................ 17
2.3.2. Problemas de razón de cambio ..................................................................................................... 34
Razones de cambio relacionadas .............................................................................................................. 37
2.3.3. Problemas de optimización ........................................................................................................... 43
2.3.4. Regla de L´hôpital .......................................................................................................................... 53
2.3.5. Análisis de función ........................................................................................................................ 58
2.3.6. Método de Newton –Raphson ...................................................................................................... 75
2.4. Definición de anti derivada o primitiva ............................................................................................. 78
3. La integral y sus aplicaciones ...................................................................................................................... 1
3.1. Teorema fundamental del cálculo ...................................................................................................... 1
Teorema 3.1 Primer teorema fundamental del cálculo. ................................................................................. 1
Teorema 3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo. .............................................................................. 1
3.1.1. Reglas básicas de integración.................................................................................................... 3
Integración por sustitución ......................................................................................................................... 3
3.1.2. Definición de la integral definida ................................................................................................ 4
3.4.2. Regla del trapecio y de Newton – Cotes ................................................................................ 82
5.1.1. Área entre curvas, longitud de curva ....................................................................................... 88
5.1.2. Volúmenes de revolución .......................................................................................................... 99
3.5.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, calor o la cinética. ..................... 105
Apéndice A .................................................................................................................................................. 107
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1. Limites Introducción
Suponga que desea dibujar la gráfica de la función dada por
( )
Para todos los valores distintos de , es posible emplear las técnicas comunes para la
representación de curvas. No obstante, en no está claro qué valor obtenemos. Para obtener
una idea del comportamiento de la gráfica de ceca de , se pueden usar dos conjuntos de
valores de , uno que se aproxime a 2 por la izquierda y otro que se aproxime a 2 por la derecha,
2 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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1.1. Definición informal del límite
La función tiende hacia el límite cerca de , si se puede hacer que ( ) este tan cerca cómo
queramos de haciendo que este suficientemente cerca de , pero siendo distinto de
1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del límite de una función
Para tener una idea más clara de una definición formal del límite primero veamos algunos
ejemplos numéricos:
Ejemplo 1.1. Estimación numérica de un límite
Evaluar la función ( ) (√ ) en varios puntos cercanos a y usar el resultado
para estimar el límite:
( )
√
Solución En la siguiente tabla se registran los valores de ( ) para diversos valores de
cercanos a .
Figura 1.2
f no esta definidaen x 0
f xx
x 4 2
4 2 2 4
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
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Comportamiento asociados a la no existencia de un límite
1. ( ) se aproxima a números diferentes por la derecha de que por la izquierda
2. ( ) aumenta o disminuye sin límite a medida que se aproxime a . 3. ( ) oscila entre dos valores fijos a medida que se aproxime a
1.2. Límite de una función
La función tiende hacia el límite cerca de , si para todo número podemos hacer | ( ) | haciendo que | | sea suficientemente pequeño y .
A simple vista, la descripción anterior parece ser muy técnica, Sin embargo, es informal porque aún hay que conferir un significado más preciso de la frase:
“ ( ) se acerca arbitrariamente a ”
Y más aun
“ se aproxima”
Sea (minúscula de la letra griega épsilon) la representación de un número positivo (muy pequeño). Entonces, la frase “ ( ) se acerca arbitrariamente a ” significa que ( ) pertenece al
intervalo ( ). Al usar la noción de valor absoluto, esto lo podemos escribir de la siguiente forma
| ( ) |
De la misma manera para el caso de la frase “ se aproxima a ” significa que existe un número
positivo tal que pertenece al intervalo ( ) o bien al intervalo ( ). Por lo tanto, se puede expresar de manera concisa mediante la doble desigualdad
| |
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4 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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1.2.1. Definición formal del límite
Examinando nuevamente la descripción informal del límite. Si ( ) se acerca de manera arbitraria
a un número a medida que se aproxima a por cualquiera de sus lados, se dice que el límite
de ( ) cuando se aproxima a es , y se escribe
( )
Nota: La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue
Agustin-Louis Cauchy. Su definición de límite es la que se usa en la actualidad
Definición de limite
La función tiende hacia el límite en significa: para todo existe algún tal
que, que para todo , si | | , entonces | ( ) | .
Esta es una de las definiciones de mayor importancia, el alumno debe de razonar esta definición ya que posteriormente les será de mucha utilidad sobre todo si desea entender con más facilidad la demostración de teoremas importantes en el cálculo diferencial, ecuaciones diferenciales, etc.
Ejemplo 1.3. Determinar para un dado
Dado el límite 3
lim (2 5) 1
x
x , encontrar delta tal que |( )| , siempre que
| | .
Solución En este problema se trabaja con un valor de . Para encontrara un apropiado,
se observa que
|( ) | | | | |
Como la desigualdad |( ) | es equivalente a | | , podemos escoger
( ) , la cual funciona porque
| |
lo que implica que
|( ) | | | ( )
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Ejemplo 1.4. Aplicación de la definición de límite.
Utilizando la definición de límite para demostrar que
l m
( )
Solución Debemos mostrar que para todo , existe un tal que |( ) |
siempre que | | . Puesto que la elección de depende de , es necesario establecer
una relación entre los valores absolutos |( ) | y | |.
|( ) | | | | |
De tal manera, que para cada dado, se puede tomar . Esta opción funciona porque
| |
Lo que implica que
|( ) | | | .
/
Ejercicios 1.2.1 En los ejercicios 1 a 5, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite
1
( )
2
√ √
( )
3
√ √
( )
4
( )
5
√
( )
6
( )
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6 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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En los ejercicios 7 a 12, elabore una tabla de valores para la función y utilizar el resultado para estimar el límite. Trate de esbozar la gráfica a mano o utilice alguna herramienta computacional para confirmar el resultado
7
8
9
10
11
12
En los ejercicios 13 a 18, encontrar el límite . Luego utilice la definición de límite para
demostrar que el límite es .
13
( ) 14
(
*
15
( ) 16
√
17
(
* 18
| |
1.2.2. Leyes de los límites
Teorema 1.1 Límites básicos.
Si y son números reales y un número entero positivo
1.
2.
3.
Ejemplo 1.5. Evaluación de límites básicos
a) 2
lim5 5
x
b) 4
lim 4
x
x c) 2 2
2lim 2
x
x
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Teorema 1.2 Propiedades de los Límites.
Si y son números reales y un número entero positivo, y son funciones con los límites
siguientes:
( )
( )
1. Múltiplo escalar:
, ( )-
, ( )-
2. Suma o diferencia:
, ( ) ( )-
( )
( )
3. Producto:
, ( ) ( )-
( )
( )
4. Cociente:
* ( )
( )+
( )
( )
siempre que
5. Potencias:
, ( )-
Ejemplo 1.6. Límite de un polinomio
( )
ropiedad
.
/
ropiedad
( ) Ejemplo 5
En el ejemplo anterior se observa que el límite (cuando ) de la función polinomial ( )
es simplemente el valor de en en .
( ) ( ) ( )
Nota: Esta última propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales cuyos denominadores no se anulen en el punto a considerar.
Teorema 1.3. Límites de las funciones polinomiales y racionales.
Si es una función polinomial y un número real, entonces:
( ) ( )
Si es una función racional dada por ( ) ( )
( ) y un número real, tal que ( ) , entonces:
( ) ( ) ( )
( )
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8 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Ejemplo 1.7. Límite de una función racional
Encontrar el límite: 3
1
2lim
2x
x x
x
Solución Puesto que el denominador no es cuando , se puede aplicar el teorema 1.3
para obtener
Las funciones polinomiales y racionales son consideradas dos de los tres tipos básicos de
funciones algebraicas.
Teorema 1.4. Límites de una función radical.
Si es un entero positivo. El siguiente teorema es válido para todo si es impar y para todo
si es par:
√
√
El siguiente teorema muestra cómo tratar el límite de una función compuesta. Para su
demostración ver el apéndice A.
Teorema 1.5. Límites de una función compuesta.
Si y son funciones tales que limx a
g x L
y limx L
f x f L
entonces:
lim limx a x a
f g x f g x f L
Ejercicios 1.2.21.2.3 Calcular los siguientes límites
1
2
3
( )
4
( ) 5
( ) 6
( )
7
( ) 8
( ) 9
√
10
√
11
12
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13.
( ) 19
√ √ √ √
14
20
( )( )( )( )
( )( )( )( )
15
( ) 21
( ( ( ( ) ) ) )
16
( )( )( )
( )( )( ) 22
( )( )( )( )
( )( )( )( )
17
√
23
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
18
24
25 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que
( )
( )
a) ¿Qué se puede decir de ( ) y de ( ) ?
b) Calcule el límite de
( )( )
c) Calcule el límite de
( )( )
d) Calcule el límite de .
/ ( )
26 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que
( )
( )
Calcule el límite
( )( )
( )
27 Considere las funciones
( ) {
y ( )
{
a) alcule ( )( ) b) alcule
( )( )
c) alcule ( )( ) d) alcule
( )( )
e) alcule
.
/ ( )
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10 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Ejercicios 1.2.2 En los ejercicios 1 a 14, calcular el límite
En los ejercicios 28 a 31, encontrara los límites
28
( ) , ( )
)
( ) )
( ) )
( ( ))
29
( ) , ( )
)
( ) )
( ) )
( ( ))
30
( ) , ( ) √
)
( ) )
( ) )
( ( ))
31
( ) , ( ) √
)
( ) )
( ) )
( ( ))
En los ejercicios 32 y 33 Utilizar la información expuesta para evaluar los límites
32
( )
( )
, ( )-
, ( ) ( )-
, ( ) ( )-
* ( )
( )+
33
( )
√ ( )
( )
, ( )-
, ( )-
Límites trigonométricos
Teorema 1.6. Propiedades de los Límites trigonométricos.
Si es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada se cumplen las siguientes propiedades:
1.
2.
2.
4.
5.
6.
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Una herramienta que le será de gran utilidad en el cálculo de límites conocer algunas propiedades
o características importantes, dos de ellas se mencionan a continuación.
Dos límites trigonométricos especiales.
1.
2.
Usar el límite fundamental
0lim 1x
sen x
x y algunos artificios para hallar el límite de las siguientes
expresiones:
Ejemplo 1.8. 0
limsenx
x
x , forma indeterminada de la forma
0
0
0 0
0
1 1 1lim lim 1
sen sensen 1lim
x x
x
x
x xx
x x
Ejemplo 1.9.
0
sen 4limx
x
x , forma indeterminada de la forma
0
0
Primero hagamos , lo que implica que si entonces
Nota: “el alumno debe tener atención en este tipo de situaciones”
0 0 0
sen 4 sen 4 senlim lim4 4 lim 4
4x x y
x x y
x x y
Ejemplo 1.10.
0
sen 5lim
2x
x
x, forma indeterminada
0
0.
Al igual que el ejercicio 9, .
0 0
sen 5 sen5 5 5 5lim lim 1
2 5 2 2 2x y
x y
x y
Ejemplo 1.11.
0
senlimx
mx
nx , forma indeterminada
0
0, cambio de variable
0 0
sen senlim lim 1x y
mx ym m m m
n mx n y n n
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12 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Ejemplo 1.12.
0
sen 3lim
sen 2x
x
x , forma indeterminada
0
0, cambios de variables
3 ; 0, 0, 2 ; 0, 0y x x y z x x z
0
0 0 0
0
sensen 3 sen 3lim3sen 3 3 3 1 33lim lim lim
sen 2 sen 2 sensen 2 2 2 1 22 lim
2
y
x x x
z
yx x
x x yx xx x zx x
x x z
Ejemplo 1.13.
0
senlim
senx
mx
nx , cambios de variables ; 0, 0, ; 0, 0y mx x y z nx x z
0
0 0 0
0
sensen senlim
sen 1lim lim lim
sen sen sensen 1lim
y
x x x
z
ymx mxmmx x m m myx mx
nx nx znx x n n nn
x nx z
Ejemplo 1.14.
0
tanlimx
x
x
0 0 0 0 0 0
sen
tan cos sen sen1 1lim lim lim lim lim lim 1 1 1
cos cos cosx x x x x x
x
x x x x sen x
x x x x x x x x
Por lo tanto
0
tanlim 1x
x
x
Ejemplo 1.15.
2
21
tan 1lim
1a
a
a
2 1, 1, 0;w a a w
2
21 0
tan 1 tanlim lim 1
1a w
a w
wa, por lo tanto
2
21
tan 1lim 1
1a
a
a
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Ejercicios 1.2.2 Encontrar el límite de la función trigonométrica.
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
Determine el límite (si existe) de la función trigonométrica
11
16
( )
12
17
13
18
14
19
15
20
1.2.3. Determinación algebraica del límite
En el caso de algunas estrategias para el cálculo de límites se deben tener en cuenta algunas
situaciones especiales, tales como racionalización, factorización en el caso de ser necesario y
sobre todo si se detecta indeterminaciones en la función sobre todo en las funciones racionales.
Teorema 1.7. Funciones que coinciden en todo salvo en un punto
Sea un número real y ( ) ( ) para todo en un intervalo abierto que contiene a . Si existe el límite de ( ) cuando se aproxima a , entonces también existe el límite de ( ) y
( )
( )
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Calculo del límite de una función
Ejemplo 1.16. Determinar el límite de la siguiente función:
3
2
8lim .
2x
x
x
Solución sea ( ) ( ) ( ). Factorizando y cancelando términos, se puede reescribir
de la siguiente manera
( ) ( )( )
( ) ( )
Aquí podemos observar que para rodos los valores de distintos de , las funciones y
coinciden, como se muestra en la siguiente figura, puesto que el límite 2
lim ( )x
g x
existe, se puede
aplicar el teorema anterior y concluir que y tienen el mismo límite en .
( )( )
( ) Factori ar.
( )( )
( ) ancelando factores identicos o factores comunes.
plicando el teorema anterior.
ustituci n directa.
implificando.
Figura 1.3 a)
Figura 1.4 b)
f xx3 8
x 2
2 1 0 1 2 3
4
6
8
10
12
g x x2 x 4
2 1 0 1 2 3
4
6
8
10
12
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Estrategias para el cálculo de límites
i. Aprender a reconocer cuales límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa.
ii. Si el límite de ( ) cuando se aproxima a no se puede evaluar por sustitución
directa, tratar de encontrar una función que coincida con para todo distinto de . [Seleccionar una tal que el límite de ( ) se puede evaluar por medio de la sustitución directa.]
iii. Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica
( )
( ) ( )
iv. Utilizar un gráfico o una tabla para respaldar la conclusión
Técnica de cancelación y racionalización
En los siguientes dos ejemplos veremos dos de las técnicas más usuales para el cálculo de
límites.
Ejemplo 1.17. técnica de cancelación.
Encontrar el límite
2
3
12lim
3x
x x
x
.
Solución Aunque es una función racional, no se puede aplicar el teorema anterior debido a que el
límite del denominador es .
( )
a sustituci n directa falla en este caso.
( )
Aquí el límite del numerador también es , numerador y denominador tienen un factor común:
( ). Por lo tanto, para todo , se cancela este factor y por lo tanto podemos obtener el
límite de la siguiente manera
( )
( )( )
( ) ( )
Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera
( )
Este resultado lo podemos ver con más claridad en el siguiente gráfico, observe que la función
coincide con la de la función ( ) , solo que la gráfica de la función tiene un hueco en el
punto ( ).
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Figura 1.5
Ejemplo 1.18. Técnica de racionalización.
Encontrar el límite: 0
9 3limx
x
x
.
Solución al utilizar la sustitución directa
√
√
a sustituci n directa falla en este caso.
En este caso, podemos reescribir la fracción racional del siguiente modo
√
(
√
) (
√
√ )
(√ )
(√ )
√
Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera
√
√
f xx2 x 12
x 3
6 4 2 2 4 6
2
2
4
6
8
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Figura 1.6
Ejercicios 1.2.3 Indeterminaciones
16
27
17
28
√
18
29
√ √
19
30
√ √
√
20
31
√ √
√ √
21
32
√
√
22
33
√
23
34
√
√
24
( ) ( )
35
√
√
25
36
√
√
√ √
26
√
37
√
√
√
En base a los últimos ejercicios los siguientes limites calcular los siguientes límites, comentar con su profesor que herramienta utilizo para llegar al resultado.
38 a)
√
)
√
41
√ √
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39
√
42
√ √
√ √
√
40
(
√
)
43
√ √
√
1.2.4. Límites unilaterales
En ocasiones nos interesa conocer el comportamiento de una función f x cuando x se
encuentra cerca de un valor a por un lado en concreto a ese punto (pensando como si los puntos
de la recta de números reales tuvieran dos lados: el derecho y el izquierdo)
Por la izquierda los valores menores que a
Por la derecha los valores mayores que a
Se dice que el límite de la función f x cuando x tiende a a por la derecha es L , lo cual se
escribe:
lim
x a
f x L
De manera rigurosa:
lim si dado 0 existe 0 tal que
0
x af x L
x a f x L
Se dice que el límite de la función f x cuando x tiende a a por la izquierda es L , lo cual se
escribe:
lim
x a
f x L
De manera rigurosa:
lim si dado 0 existe 0 tal que
0
x af x L
a x f x L
Los valores de f x se pueden acercar a un mismo valor L cuando x tiende a a por ambos lados
(izquierda y derecha), o sea los limites unilaterales lim
x a
f x L y lim
x a
f x L sean iguales, le
llamaremos limite bilateral a lim
x a
f x L
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El límite bilateral lim
x a
f x L existe, si y solamente si los dos limites unilaterales lim
x a
f x L y
lim
x a
f x L existen y son iguales.
Ejemplo 1.19. Considere la función 2
1
3 1
x si xf x
x si x
Figura 1.7
Determine los límites unilaterales lim
x a
f x L y lim
x a
f x L y el límite bilateral lim
x a
f x L si es
que existe
1 1 , 1 1 , 1
lim lim lim 1 1
x x x x x
f x f x x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3
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20 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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22
1 1 , 1 1 , 1lim lim lim 3 1 3 2
x x x x xf x f x x
Ya que los límites unilaterales son diferentes, el límite bilateral 1
limx
f x no existe.
Ejemplo 1.20. Considere la función
21 2
3 2
x si xf x
x si x
Figura 1.8
Determine los límites unilaterales lim
x a
f x L y lim
x a
f x L y el límite bilateral lim
x a
f x L si es
que existe
2 2 , 2 2 , 2
lim lim lim 3 3 2 1
x x x x x
f x f x x
2 2
2 2 , 2 2 , 2lim lim lim 1 2 1 1
x x x x xf x f x x
Ya que los limites unilaterales son iguales, concluimos que el límite bilateral existe y 2
lim 1
x
f x
Ejercicios 1.2.4. Para las siguientes funciones, calcula los límites unilaterales
-5-4-3-2-10123456789
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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lim
x a
f x L , lim
x a
f x L
Y el límite bilateral lim
x a
f x L si es que existe
1. 2 3
en 33 1 3
x si xf x a
x si x
2.
2 0 en 0
3 0
x si xf x a
x si x
3. 2
2
2 3 1 en 1
1 1
x x si xf x a
x si x
4.
4 2 1 en 1
2 1
x si xf x a
si x
5.
2 2
5 2 en 2
4 2
x si x
f x si x a
x si x
6.
4
2
11
1
3 1 en 1
9 1
xsi x
x
f x si x a
si x
1.2.5. Límites infinitos y asíntotas verticales
Consideremos la función 2
1f x
x e investiguemos que sucede con sus imágenes con f x
cuando la " "x se encuentra cerca del cero.
La grafica siguiente puede ayudar a entender el comportamiento
x
2
1( ) f x
x
1 1
0.5 4
0.1 100
0.01 10000
0.001 1000000
x
2
1( ) f x
x
-1 1
-0.5 4
-0.1 100
-0.01 10000
-0.001 1000000
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
22 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Figura 1.9
Para referirse al comportamiento anterior, diremos que esta función tiende al infinito cuando x
tiende a cero y lo escribimos
20
1lim
x x
En general diremos que la función ( )f x tiende a infinito cuando x tiende a a lo cual se escribe
como: lim ( )
x a
f x el cual diremos que es un “l mite infinito”
De manera rigurosa, esta idea queda escrita como: la función f x tiende a infinito cuando x
tiende a a , lo cual se escribe como: lim ( )
x a
f x , si dado cualquier 0M existe un 0 tal
que 0 x a f x M
¿En qué tipos de funciones podemos encontrar límites infinitos?
La situación más común que se presenta está dada por el siguiente resultado de carácter general.
una función tal que
lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces limx a x a x a
Sea g x
g xg x k h x h x
h x
-10
10
30
50
70
90
110
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 23
Enero – Julio 2012
Ejemplos 1.21. Sea 1
f xx
0
0 0
0
lim11 1lim lim
lim 0
x
x x
x
f xx x
El numerador 1 tiende a 1 cuando x tiende a 0 , mientras que el denominador tiende a cero
cuando x tiende a 0
El ejemplo anterior nos o liga a ser más precisos con “el signo” del infinito, se indica con el
resultado de un límite infinito cuando f x toma valores cada vez más grandes (positivos) cuando
x tiende a a y se indica con el resultado de un límite infinito cuando f x toma valores
negativos cada vez más grandes en valor absoluto. Observemos en una tabla el comportamiento
del ejemplo anterior cuando x tiende a 0 por el lado de los números negativos ó 0x
x
Numerador
1
Denominador
x
1f x
x
-2 1 -2 -0.5
-1 1 -1 -1
-0.5 1 -0.5 -2
-0.1 1 -0.1 -10
-0.01 1 -0.01 -100
-0.001 1 -0.001 -1000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende acero, por la izquierda, el numerador es 1 , el
denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos, por lo anterior el signo del cociente
es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por
la izquierda es lo cual queda escrito.
0
1limx x
Observemos en una tabla el comportamiento del ejemplo anterior cuando x tiende a 0 por el lado
de los números positivos ó 0x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
24 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
x
Numerador
1
Denominador
x
1f x
x
2 1 2 0.5
1 1 1 1
0.5 1 0.5 2
0.1 1 0.1 10
0.01 1 0.01 100
0.001 1 0.001 1000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende a cero, por la derecha, el numerador es 1 , el
denominador tiende a cero, pero lo hace tomando valores positivos, por lo anterior el signo del
cociente es positivo y la función tiende a . Para el presente ejemplo diríamos que el límite
unilateral por la derecha es lo cual queda escrito
0
1limx x
La grafica de 1
f xx
ayuda a entender el comportamiento
Figura 1.10
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-1 -0.5 0 0.5 1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 25
Enero – Julio 2012
Ejemplos 1.22. Sea 2
2
4
xf x
x
2
limx
f x
2
2 22
2
lim 22 4lim
4 0lim 4
x
x
x
xx
x x
Por que
El numerador 2x tiende a 4 cuando x tiende a 2 , mientras que el denominador tiende a cero
cuando x tiende a 2
Pero ¿será ó ?
El ejemplo anterior nos o liga a anali ar “el signo” del infinito, como se reali en el ejemplo
anterior.
x
Numerador
2x
Denominador
2 4x
2
2
4
xf x
x
-4 -6 12 -0.5
-3 -5 5 -1
-2.5 -4.5 2.25 -2
-2.1 -4.1 0.41 -10
-2.01 -4.01 0.0401 -100
-2.001 -4.001 0.004001 -1000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la izquierda, el numerador tiende a
4 Pero tomando valores negativos. Mientras el denominador tiende a cero, pero tomando valores
positivos, por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente
ejemplo diríamos que el límite unilateral por la izquierda es lo cual queda escrito
22
2lim
4x
x
x
Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando x tiende a 2 por el lado de los
números positivos.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
26 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
x
Numerador
2x
Denominador 2 4x
2
2
4
xf x
x
0 -2 -4 0.5
-1 -3 -3 1
-1.5 -3.5 -1.75 2
-1.9 -3.9 -0.39 10
-1.99 -3.99 -0.0399 100
-1.999 -3.999 -0.003999 1000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la derecha, el numerador tiende a 4
, pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos,
por lo cual es signo del cociente es positivo y la función tiende a . Para el presente ejemplo
diríamos que el límite unilateral por la derecha es lo cual queda escrito
22
2lim
4x
x
x
La grafica de 2
2
4
xf x
x
nos puede ayudar a entender el comportamiento recordemos que hay
una discontinuidad de hueco en 2x
Figura 1.11
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 27
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.23. Sea
2
4
2
xf x
x
2
limx
f x
22
4lim , pero ó
2x
x
x
nalicemos “el signo” del infinito, como se ha reali ado
x Numerador
4x
Denominador
2
2x
2
4
2
xf x
x
0 -4 4 -1
1 -3 1 -3
1.5 -2.5 0.25 -10
1.9 -2.1 0.01 -210
1.99 -2.01 0.0001 -20100
1.999 -2.001 1E-06 -2001000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la izquierda, el numerador tiende a 2 ,
pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos,
por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo
diríamos que el límite unilateral por la izquierda es lo cual queda escrito
2
2
4lim
2x
x
x
Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando x tiende a 2 por el lado de los
números positivos.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
28 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
x Numerador
4x
Denominador
2
2x
2
4
2
xf x
x
4 0 4 0
3 -1 1 -1
2.5 -1.5 0.25 -6
2.1 -1.9 0.01 -190
2.01 -1.99 1E-04 -19900
2.001 -1.999 1E-06 -1999000
Según la tabla anterior se observa que si x tiende a 2 , por la derecha, el numerador tiende a 2 ,
pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos,
por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a . Para el presente ejemplo
diríamos que el límite unilateral por la derecha también es lo cual queda escrito
2
2
4lim
2x
x
x
En este caso podemos concluir que:
22
4lim
2x
x
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 29
Enero – Julio 2012
Figura 1.12
Figura 1.13
-50
-40
-30
-20
-10
0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Gráfica
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Acercamiento Será importante mas adelante en asintotas horizontales
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
30 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 1.2.5. Determina el límite
1.
42
1lim
2x x 2.
2
21
8 9lim
2 1x
x x
x x
3. 3 2
20
3 2 9limx
x x x
x
4.
3 2
3 21
3 2 2lim
3 3 1x
x x x
x x x
5. 5 4 2
3 22
2 3 7 2lim
3 11 8 4x
x x x x
x x x
Asíntotas verticales
Una asíntota vertical es una recta x a para la cual se cumple
lim limx a x a
f x ó f x
Recordando que
una función tal que
lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces limx a x a x a
Sea g x
g xg x k h x h x
h x
Ejemplo 1.24. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función 2
2
5 6
1
xf x
x
Se trata de una función racional que puede ser vista como
2
2
2 2
5 6
1
5 6 y 1
g xxf x
x h x
Donde g x x h x x
Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva
2
1
2
0
1 0
1
2
h x
x
x
x
Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con
lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces limx a x a x a
g xg x k h x h x
h x
Primero 1 1x
2
1 1lim lim 5 6 11 0x x
g x x
y
2
1 1 1lim lim 1 0 limx x x
g xh x x
h x
Por lo que 1 1x es una asíntota vertical
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 31
Enero – Julio 2012
Segundo 2 1x
2
1 1lim lim 5 6 11 0x x
g x x
y
2
1 1 1lim lim 1 0 limx x x
g xh x x
h x
Por lo que 2 1x es una asíntota vertical
Grafica de 2
2
5 6
1
xf x
x
Figura 1.14
Ejemplo 1.25. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función 2
2
2 12 16
5 6
x xf x
x x
Se trata de una función racional que puede ser vista como
2
2
2 2
2 12 16
5 6
2 12 16 y 5 6
g xx xf x
x x h x
Donde g x x x h x x x
Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva
2
1
2
0
5 6 0
2
3
h x
x x
x
x
Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
32 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces limx a x a x a
g xg x k h x h x
h x
Primero 1 2x
2
2 2lim lim 2 12 16 0x x
g x x x
y 2
2 2lim lim 5 6 0 x x
h x x x
Por lo que 1 2x NO es una asíntota vertical
Segundo 2 3x
2
3 3lim lim 2 12 16 20 0x x
g x x x
y
2
3 3 1lim lim 5 6 0 limx x x
g xh x x x
h x
Por lo que 2 3x SI es una asíntota vertical
La gráfica de 2
2
2 12 16
5 6
x xf x
x x
Figura 1.15
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 33
Enero – Julio 2012
Ejercicios (Asíntotas verticales) Determine de existir, las asíntotas verticales de las siguientes funciones, sino existen indique porque:
1. 2 1
xf x
x
2.
2 5 6
xf x
x x
3. 2 1
xf x
x
4.
2
2
3 1
2 2
x xf x
x x
5. 3
3 1
xf x
x
6.
4 2
3
1
1
x xf x
x
1.2.6. Límites en el infinito y asíntotas horizontales
Consideremos la función 1
f xx
. Ahora estamos interesados en el comportamiento de f x
cuando x toma valores muy grandes, ya sea en sentido positivo, como en sentido negativo.
Observemos la siguiente tabla
Se observa que a medida que los valores de aumentan, los valores de ( ) se acercan a cero.
Este hecho lo referimos diciendo: si tiende a , entonces la función 1
f xx
tiende a cero, y lo
escribimos como:
1lim 0x x
En general, decimos que la función f x tiende al límite L cuando x tiende a infinito, si a medida
que el valore de x se hace más grande, el valor de f x se encuentra más próximo a L . Lo cual
se escribe:
x
1f x
x
-1 -1
-10 -0.1
-100 -0.01
-1000 -0.001
-1000000 -0.000001
-1E+12 -1E-12
x
1f x
x
1 1
10 0.1
100 0.01
10000 0.0001
100000000 0.00000001
1E+16 1E-16
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
34 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
lim
dado cualquier 0 existe un M>0 Tal que:
xf x L
Si
x M ó x M f x L
Teorema
Sea un número natural y sea una constante.
Entonces la función = tiende a cero cuando tiende a infinito. Es decir:n
n k
kf x x
x
lim 0nx
k
x
El hecho establecido en el teorema anterior lo podemos entender fácilmente si pensamos que en
el cociente n
k
x el numerador es una constante mientras, mientras que el denominador es una
cantidad que está volviéndose cada vez más grande, el resultado de la división es cada vez más
cercano a cero
Ejemplo 1.26. Calcule el límite 2
3 2
4 8lim
2 7 11 12x
x x
x x x
Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la x , que
este ejemplo es 3x
2
2 3 2 3 2 3
3 23 2
2 23
2 3
4 8 1 4 8 1 4 8 lim
4 8lim lim lim
7 11 12 7 11 122 7 11 122 7 11 122 lim 2
1 4 8lim
Por el teorema anterior
x
x x x
x
x
x x
x x x x x x x x x
x x xx x x
x x x x x xx
x x x
2
0 0 0 0= =0
7 11 12 2 0 0 0 2lim 2x x x x
Ejemplo 1.27. Calcule el límite 6 3 2
6 5
2 5 2 4lim
8 20 7x
x x x x
x x x
Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la x , que
este ejemplo es 6x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 35
Enero – Julio 2012
6 3 2
6 3 2 6 3 4 5 6
6 56 5
5 66
3 4 5 6
5 6
2 5 2 4 2 5 2 4 1+
2 5 2 4lim lim lim
1 20 78 20 78 20 78
2 5 2 4lim 1+
Por el teorema ant1 20 7
lim 8
x x x
x
x
x x x x
x x x x x x x x x
x x xx x x
x x xx
x x x x
x x x
3 4 5 6
5 6
2 5 2 4lim 1+
1 0 0 0 0 1erior =
1 20 7 8 0 0 0 8lim 8
x
x
x x x x
x x x
En resumen los resultados de los casos vistos de los límites al infinito de funciones racionales
son:
1
1 1 0
1
1 1 0
0...
lim ; para 0, 0...
n n
n n
nm mxm m
m
si n ma x a x a x a
a basi n mb x b x b x b
b
Ejercicios 1.2.6. Determine los siguientes límites
1. 3
2
2 2lim
3 1x
x x
x x
5.
8 4
8 4
4 5 7lim
3 5 9x
x x x
x x
2. 3 2
4
2 3 2 1lim
3 1x
x x x
x x
6.
3 2
6 7 3
6 2 8 1lim
8 2x
x x x
x x x
3. 3
3 2
2 2lim
3 1x
x x
x x x
7.
2
3 4 2
1 3lim
1 1x
x x
x x x x
4. 5 4
3
9 7 8 3lim
1x
x x x
x
8.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
36 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Asíntotas horizontales
Cuando se tiene una función racional y se quiere calcular el límite de la función, debemos
considerar algunas situaciones que nos puede ser de utilidad en el cálculo de límites para el caso
de las asíntotas horizontales se deben considerar dos casos especiales, sea ( ) una función
racional
( )
1
1 1 0...n n
n na x a x a x a
1
1 1 0...m m
m mb x b x b x b
Casos
I) Cuando el grado del polinomio numerador es menor que la del polinomio cociente, es decir .
II) Cuando ambos polinomios tienen el mismo grado, es decir .
Caso I)
Una asíntota horizontal es una recta talque,para todoy L L para la cual se cumple:
lim limx x
f x L ó f x L
Retomemos lo escrito anteriormente
1
1 1 0
1
1 1 0
...lim 0 0 la asíntota horizontal sería 0
...
0
n n
n n
m mxm m
a x a x a x asi n m L y
b x b x b x b
ó f x
Ejemplo 1.28. Determine la asíntota horizontal de existir para:
4 2
8 4
4 2
4 2 4 6 88
8 48 4
4 88
3 6 7
5 7 7
3 6 73 6 7 lim 3 6 7 0 0 0 0
lim lim lim 07 75 7 75 7 7 5 0 0 5
lim 5
lim 0 0, la asíntota horizontal
x
x x x
x
x
x xf x
x x
x xx x x x xxf x
x xx x
x xx
f x L
es 0 =0, el eje de las absisas es la asíntota.y ó f x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 37
Enero – Julio 2012
Figura 1.16
Figura 1.17
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0 1 2 3 4 5
Acercamiento
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
38 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Caso II)
1
1 1 0
1
1 1 0
...lim la asíntota horizontal sería
...
n n
n n n n n
m mxm m m m m
a x a x a x a a a asi n m L y
b x b x b x b b b b
Veamos un ejemplo de esta situación
Ejemplo 1.29. Determine la asíntota horizontal de existir para: 2
2
2 12 16
5 6
x xf x
x x
2
2 22
22
22
12 162 12 16 lim 2 2 12 16 2 0 0 2
lim lim lim 25 65 65 6 1 0 0 1
lim 1
lim 2 2, la asíntota horizontal es 2 2
x
x x x
x
x
x x
x x x xxf xx xx x
x xx
f x L y ó f x
Figura 1.18
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 39
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.30. Determine la asíntota horizontal de existir para: 2
2
5 10 1
3 4 5
x xf x
x x
3
2 2 33
32
2 33
10 15 10 1 lim 5 5 10 1 5 0 0 5
lim lim lim4 53 4 53 4 5 3 0 0 3
lim 3
5 5 5 5lim , la asíntota horizontal es
3 3 3 3
x
x x x
x
x
x x
x x x xxf xx xx x
x xx
f x L y ó f x
Figura 1.19
Ejercicios (asíntotas horizontales) Determine de existir la asíntota horizontal para las siguientes funciones:
1. 3
3
7
5
x x xf x
x x
2.
3
8
1
xf x
x
3. 2
2
7 9 3
5 8
x xf x
x x
4.
3
3 2
6 3 5
3 8 6 2
x xf x
x x x
5. 2
5 3
7 9
4 6 8 5
x xf x
x x x
6.
7
7 3
4 3
9 6
xf x
x x x
-1
0
1
2
3
4
5
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
40 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
1.2.7. Límites infinitos en el infinito
Antes vimos lo que sucede en el caso de que el grado del polinomio en la posición del numerador
es menor que el grado del polinomio en la posición del numerador y también cuando el grado de
ambos son iguales. Ahora veremos lo que sucede cuando el grado del polinomio en la posición de
numerador es mayor que el grado del polinomio en la posición del denominador.
Ejemplo 1.31. Determine el límite de f x cuando x tiende a infinito:
7 3 2
4 3
5 4 5 9 2
4 3 2
x x x xf x
x x x
Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la x , que
este ejemplo es 7x
7 3 2
7 3 2 7 4 5 6 7
4 34 3
3 4 6 77
4 5 6 6
3 4 6 7
5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+
5 4 5 9 2lim lim lim
1 4 3 24 3 24 3 2
4 5 9 2lim 5+
Por el teorema1 4 3 2
lim
x x x
x
x
x x x x
x x x x x x x x x
x x xx x x
x x x xx
x x x x
x x x x
lim 5+0 0 0 0 5 anterior =
lim 0 0 0 0 0
El limite no es un numero al cual tiende
x
x
L f x
Por lo tanto, lo llamamos límite infinito en el infinito.
Ejemplo 1.32. Determine el límite de f x cuando x tiende a infinito:
7 3 2
4 3
5 4 5 9 2
4 3 2
x x x xf x
x x x
Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la x , que
este ejemplo es 7x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 41
Enero – Julio 2012
7 3 2
7 3 2 7 4 5 6 7
4 34 3
3 4 6 77
4 5 6 6
3 4 6 7
5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+
5 4 5 9 2lim lim lim
1 4 3 24 3 24 3 2
4 5 9 2lim 5+
Por el teorema1 4 3 2
lim
x x x
x
x
x x x x
x x x x x x x x x
x x xx x x
x x x xx
x x x x
x x x x
lim 5+0 0 0 0 5 anterior =
lim 0 0 0 0 0
El limite no es un numero al cual tiende
x
x
L f x
Ahora podemos plantear que
1
1 1 0
1
1 1 0
...lim , para 0 y b 0.
...
n n
n nn mm mx
m m
a x a x a x asi n m a
b x b x b x b
Ejercicios 1.2.7. Determina los siguientes límites
1. 3 1
1
xf x
x
2.
6 3
2
7 8
5
x x xf x
x
3. 3
4
1
9 5
xf x
x x
4.
2 7
8
xf x
5. 7 6 2
3
6 8 3
7
x x xf x
x x
1.2.8. Asíntotas oblicuas
Una situación de carácter especial en el caso de las funciones racionales, es cuando el grado del
polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, pero solo en una unidad,
como ejemplo tenemos la siguiente función que se analizará en el siguiente ejemplo con más
detalle
( )
En este ejemplo podemos observar que el polinomio numerador tiene grado dos y el polinomio
denominador tiene grado uno, lo cual cumple con las condiciones que tratamos de analizar,
siempre que tengamos una situación de este tipo, se encuentra lo que se conoce como asíntota
oblicua.
Una asíntota oblicua es la recta con 0mx b m para la cual la diferencia entre y f x mx b
tiende a cero conforme x se aleja del origen, escrito sería:
lim 0x
f x mx b
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
42 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Son un caso particular de límites infinitos en el infinito, cuando el grado del polinomio en el
numerador es mayor en la unidad, que el grado del polinomio en el denominador.
Ejemplo 1.33. Determinar de existir la asíntota oblicua para: 2 1
4
xf x
x
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en la unidad, sí existe
asíntota oblicua.
Para determinarla procedemos:
Realizamos la división de los polinomios quedando
2 1 17
44 4
xf x x
x x
Si x entonces 17
04x
y por lo tanto 4f x x
La recta 4x satisface la condición
2 1
lim 04x
xmx b
x
Verifiquemos
2 2 2 2 2 24 41 1 1 16 1 16
lim 4 lim lim lim4 4 4 4 4 4
17lim 0
4
x x x x
x
x xx x x x x xx
x x x x x x
x
Figura 1.20
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 43
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.34. Determinar de existir la asíntota oblicua para: 3
2
1
1
x xf x
x
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en la unidad, sí existe
46 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Para la función 2
1
1
x si xf x
x si x
Figura 1.24
La grafica presenta un salto en 1x , porque no existe el limite bilateral pues 11
lim 1
x
f x ,
mientras que 1
lim 1
x
f x
Para la función
2
2
2 1
7 1
2 1
x si x
f x si x
x si x
-15
-13
-11
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 47
Enero – Julio 2012
Figura 1.25
La gráfica no presenta ninguna de las dos situaciones anteriores ya que la gráfica existe en 1x y
existe el límite bilateral cuando cuando 1f x x
Una función es continua sino se presenta ninguna de las tres situaciones anteriores
matemáticamente sería:
Una función es continua en x a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1) existe.
2) lim existe.
3) lim
x a
x a
f a
f x
f x f a
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
48 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.36. Analicemos la continuidad de 2
1
1
f x
x
El dominio de la función es el conjunto de los números reales excepto los valores de x que anulen
el denominador. Pero como 2 1 0 x no tiene raíces reales, el dominio de f x en este ejemplo
es el conjunto de los números reales. Concluimos que la esta función es continua en todo punto
x a
Figura 1.26
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 49
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.37. Analicemos la continuidad de 2
1
5 6
xf x
x x
El denominador se anula para 1 22 y 3 x x por lo que el dominio de esta función es 2,3 .
Concluimos que la función es continua para todos los puntos de 2,3 . Observe que la función
no existe en 2 y 3 x x por lo que esta función es discontinua en 2 y 3 x x
Figura 1.27
Ejemplo 1.38. Dada 24 1 0
2 3 0
x si xf x
x si x ¿Será continua en 0x ?
0
0
0 0
1) 4
cumple con la primer condición
2) lim 4
lim 3
lim lim
No cumple con la segunda condición, no es continua en 0
x
x
x x
f a
f x
f x
f x f x
x
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-1 0 1 2 3 4 5 6
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
50 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Figura 1.28
Ejemplo 1.39. Para
2 42
2
2
xsi x
f x x
A si x
¿Existe un número A que haga a f x continua en 2x
1)
exista
2 existe
f a
f A
Cumple con la primer condición
2)
2 2
2 2
2 2
2
lim lim
4 4lim lim
2 2
4 4
lim 4
x x
x x
x
f x f x
x x
x x
f x
El límite bilateral existe
Cumple con la segunda condición
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-3 -2 -1 0 1 2 3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 51
Enero – Julio 2012
3)
2
2
lim 2
lim 2
4
x
x
f x f
f x f
A
Cumple con la tercera condición si 4A
Para que la función sea continua en 2x , A debe de ser igual a cuatro
Ejemplo 1.40. Para 1
11
1
si xf x x
A si x
¿Existe un número A que haga a f x continua en 1x
1)
exista
1
f a
f A
2)
1 1
1 1
1 1
lim lim
1 1lim lim
1 1
lim lim
x x
x x
x x
f x f x
x x
f x f x
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Gráfica
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
52 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
El límite bilateral no existe
No cumple con la segunda condición
No es posible asignar un número a A para que la función sea continua en 1x
Figura 1.29
Ejemplo 1.41. Para 2 3 0
0
x si xf x
A x si x
¿Existe un número A que haga a f x continua en 0x
1)
exista
0 3 existe
f a
f
Se cumple la primer condición
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2 3 4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 53
Enero – Julio 2012
2)
0 0
2
0 0
0
lim lim
lim 3 lim
3 0
3
lim 3
x x
x x
x
f x f x
x A x
A
A
f x
Si 3A el limite bilateral existe
3) 0
lim
3 3
xf x f a
Se cumple la tercera condición
Para que la función sea continua en 0x , A debe ser igual a 3
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
54 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.41. Para
2
2
2 1
1 1
2 3 1
x si x
f x Ax B si x
x x si x
¿Cuánto debe valer y A B para que esta función sea continua en 1 y 1 x x ?
Para continuidad en 1 x Para continuidad en 1x
1)
exista
1
f a
f A B
exista
1
f a
f A B
2)
1 1
2
1 1
lim lim
lim 2 lim
1
x x
x x
f x f x
x Ax B
A B
1 1
2
1 1
lim lim
lim lim 2 3
6
x x
x x
f x f x
Ax B x x
A B
Resolviendo el sistema de ecuaciones
5 7 y B=
2 2A
1 1
2
1 1
lim lim
5 7lim 2 lim
2 2
1 1
x x
x x
f x f x
x x
El límite bilateral 1
limx
f x existe si
5 7 y B=
2 2A
1 1
2
1 1
lim lim
5 7lim lim 2 3
2 2
6 6
x x
x x
f x f x
x x x
El límite bilateral 1
limx
f x existe si
5 7 y B=
2 2A
3)
1
2
1
lim 1
lim 2
5 71
2 2
21
2
1 1
x
x
f x f
x A B
Se cumple con la tercer condición si
5 7 y B=
2 2A
1
1
lim 1
5 7lim
2 2
5 76
2 2
126
2
6 6
x
x
f x f
x A B
Se cumple con la tercer condición si
5 7 y B=
2 2A
Hay continuidad para f x
en 1 y 1 x x si
5 7 y B=
2 2A
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 55
Enero – Julio 2012
Figura 1.30
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
56 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 1.3.2. Determine si f x es continua en el punto indicado
1. 2
1 1 en 1
1
x si xf x x
x x si x
2. 2
1 1 en 1
1
x si xf x x
x x si x
3. 2
0 en 0
0
x si xf x x
x si x
4. 2
0 en 0
1 0
x si xf x x
x si x
5.
2 11
en 11
1 1
xsi x
f x xx
si x
6.
3
4
11
en 11
1 1
xsi x
f x xx
si x
Ejercicios complementarios Determine el valor de y/o A B para que la función sea continua
en los puntos indicados
1. 1
1 en 11
1
xsi x
f x xx
x A si x
2. 2
1 0 en 0
0
si xf x x
x A si x
3. 3 2 0
en 00
x si xf x x
x A si x
4. 2
2 0 en 0
1 0
x A si xf x x
x x si x
5.
4 2 11
en 11
1
x x xsi x
f x xx
A si x
6.
3 1 1
1 2 en 1,2
2 2
x si x
f x Ax B si x x
x si x
7. 2
1
1 3 en 1,3
3
x A si x
f x x si x x
x B si x
8.
12
2 1 en 2,1
ln 1
si xx
f x Ax B si x x
x si x
9. 6
4
1
11 1 en 1
1
1
A si x
xf x si x x
x
B x si x
10.
2 1 1
1 1 en 1
2 4 1
x x si x
f x Ax B si x x
x si x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 57
Enero – Julio 2012
1.4. Derivada
Los fundamentos del cálculo tienen sus raíces en el análisis de muchos problemas geométricos y
físicos. En ésta parte se estudiarán los problemas de determinar una recta tangente a una gráfica y
de evaluar la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas aparentemente distintos
en realidad son uno mismo. Las soluciones de ambos dan lugar a la noción de razón de cambio
instantánea (o tasa de variación instantánea) de una función. Esto es a lo que se refiere el Cálculo
diferencial.
1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad
Suponer que ( ) es una función continua cuya gráfica se muestra en la ¡Error! No se
encuentra el origen de la referencia.. Si la gráfica de posee una recta tangente en un punto
, como se ilustra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., el problema es
determinar su ecuación. Para hacerlo se necesita: a) las coordenadas de y b) la pendiente
de . Las coordenadas de no presentan dificultad, puesto que en un punto de la gráfica se
obtiene especificado un valor de , por ejemplo, , en el dominio de . Las coordenadas del
punto de tangencia son ( ( )).
Figura 1.31
Figura 1.32
Una manera de aproximar la pendiente consiste en determinar las pendientes de rectas
secantes que pasen por el punto fijo y cualquier otro punto de la gráfica. Si tiene
coordenadas ( ( )) y se hace por coordenadas ( ( )), entonces, como se
muestra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., la pendiente de la recta
secante que pasa por y es
( ) ( )
( )
y = f(x)
y
x
y = f(x)
y
x
P
a
recta tangente L en P
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
58 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Si ( ) ( )
Entonces
Cuando el valor de es pequeño, ya sea positivo o negativo, se obtienen puntos y de la
gráfica de a cada lado del punto , pero cercanos a él. Es de esperar que, a su vez, las
pendientes y estén cerca de la pendiente de la recta tangente . Esto se puede observar
en la Figura 1.33.
Figura 1.33
Figura 1.34
Ejemplo 1.43. Obtener la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ( ) en ( ).
Solución Como inicio, se elige y se encuentra la pendiente de la recta secante que pasa
por ( ) y ( ( ) ):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
y
x
tangente
P
Q
L
secante
y = f(a+x)-f(a)
a a+x
x
y
x
tangente
P
Q
Q
Q'
L
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 59
Enero – Julio 2012
La tabla siguiente sugiere que la pendiente de la recta tangente que se muestra en la ¡Error! No
se encuentra el origen de la referencia. es .
Tabla 1
( ) ( )
Figura 1.35
La pendiente
de una recta secante que pasa por ( ( )) se llama también razón media de
cambio ( o tasa media de variación) de en .
Casi cualquier persona tiene una noción intuitiva de velocidad como una rapidez con la cual se
recorre una distancia en cierto intervalo de tiempo. Cuando un autobús recorre, por ejemplo, 60
kilómetros en una hora, su velocidad media (o promedio) debe haber sido de 60 km/h. Por
supuesto, es difícil mantener la razón o tasa de 60 km/h durante todo el viaje, porque el autobús
reduce la velocidad al pasar por poblaciones, y la aumenta al rebasar vehículos. En otras palabras,
la velocidad varía con el tiempo.
y
x
y = x2 mtan= 2
(1,1)
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
60 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
En general, la velocidad media o rapidez media de un objeto móvil es la razón de cambio de la
posición con respecto al tiempo, definida mediante
Para explicar lo anterior se tiene el siguiente ejemplo. Considérese ahora a un corredor que realiza
una carrera de 10 km en un tiempo de 1h 15min (1.25 h). La velocidad media del corredor durante
la carrera fue
Pero ahora suponga que se desea determinar la velocidad exacta del corredor en el instante en
el que se ha cumplido media hora de carrera. Si la distancia recorrida en el intervalo de tiempo de
0 h a 0.5 h es de 5 km, entonces
De nuevo, éste número no es una medida, o tal vez ni siquiera un buen indicador, de la rapidez
instantánea a la cual el corredor se mueve al cabo de 0.5 h de carrera. Si se determina que en
0.6 h el corredor está a 5.7 km de la línea de salida, entonces la velocidad media de 0 h a 0.6 h es
. Sin embargo, durante el intervalo de tiempo de 0.5 h a 0.6 h.
Éste número es una medida más realista de la razón .
Otro concepto que se deriva de la pendiente es la velocidad instantánea, en la cual se supone que
( ), una función que da la posición de un objeto en movimiento en línea recta. La velocidad
instantánea en el tiempo está dada por
( )
( ) ( )
Siempre que el límite exista.
En base a la problemática que existe con la tangente y la velocidad, es necesario emplear una
definición más concreta para encontrar cada uno de estos conceptos.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 61
Enero – Julio 2012
1.4.2. Definición de la derivada
Sea ( ) una función continua. La recta tangente a la gráfica en el punto ( ( )) es única,
puesto que un punto y una pendiente determinan una sola recta. Lo anterior lleva a la definición de
la derivada, comúnmente llamada “regla de los cuatro pasos”.
Primeramente se obtienen
( ) ( ) y ( )
Después se calcula el incremento en
( ) ( ) ( )
Se calcula la pendiente
( )
( ) ( )
Finalmente se determina el límite
( )
donde
( )
( ) ( )
siempre que el límite exista. La expresión anterior se puede generalizar como:
( )
( ) ( )
Para tener una mejor idea de lo que estamos hablando veamos un ejemplo.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
62 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 1.44. Encontrar la derivada de ( )
olución. Como se mencionó anteriormente, el procedimiento consta de cuatro pasos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , ( ) - , -
( )
, -
( ) ( )
, -
Ejemplo 1.45. Encontrar la derivada de ( )
Solución. Empleando la definición de derivada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
, -
Ejemplo 1.46. Calcular la derivada de ( )
Solución. Siguiendo la regla de los cuatro pasos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
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Enero – Julio 2012
( ) ( )
[
( )( )]
( )( )
( )
Ejemplo 1.47. Encontrar la derivada de ( ) √
( ) ( ) √
( ) ( ) ( ) √ √
( )
√ √
√ √
√ √
√ √
( ) ( )
[√ √ ]
[√ √ ]
[√ √ ]
( ) ( )
(
[√ √ ])
√
Ejercicios 1.4.2. Determine la derivada de las funciones siguientes utilizando la definición de la derivada
1 ( ) √ 5 ( )
2 ( )
6 ( )
3 ( )
√ 7 ( ) √
4 ( ) ( ) 8 ( )
El alumno debe
observar cómo se está
aplicando la técnica de
racionalización.
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2. La derivada y sus aplicaciones En el capítulo anterior se dio una definición previa de la derivada de una función a través de lo que se
conoce como regla de los cuatro pasos: ahora se estudiará un poco de el cálculo (note el uso del argumento
“el”; de cualquier manera, se puede emplear el término “cálculo”). Es innecesario enfatizar que el cálculo
forma parte tan común y es un recurso tan bueno de las ciencias físicas que ningún estudiante se puede
permitir el lujo de no ser eficiente en este campo. El enfoque de este y el siguiente capítulo es encontrar un
punto intermedio entre un tratamiento completamente formal en que se proporcionan algunas
demostraciones a algunos de los enunciados de mayor importancia al final de estas notas, para
proporcionar este grado de comprensión es necesario que el lenguaje se haga más preciso que el que se usó
en el capítulo anterior; principalmente, significa que usted se familiarice nuevamente con el concepto de
límite.
Una situación en las que se puede ver el uso de esta herramienta.
Encontrar el radio de la órbita de Bohr para el estado más estable de un átomo de hidrogeno.
Respuesta
Un electrón que se mueve alrededor de un núcleo de carga en una órbita circular tiene momento angular
De acuerdo con la hipótesis de cuantización de Bohr. En consecuencia y
(
*
Ahora se minimiza la energía total haciendo su primera derivada igual a cero.
Y como consecuencia, tenemos
Es fácil comprobar que es realmente un mínimo
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( ) (
)
Lo que demuestra que es un mínimo, este tipo de análisis se verá con más detalle más adelante.
Esta como muchas otras situaciones que podrían motivo de uso de el cálculo diferencial. Ahora veamos algunos de los teoremas más importantes para el cálculo de derivadas.
2.1. Teoremas de derivación
Los siguientes teoremas se utilizan para derivar cualquier tipo de funciones.
Teoremas 2.1. Derivación básica
Si ( ) y ( ) son derivables en y si es cualquier constante, entonces
1.
, ( ) ( )-
( )
( )
Suma
2.
, ( ) ( )-
( )
( )
Diferencia
3.
, ( )-
( )
Producto de una constante por una función
4.
, ( ) ( )- ( )
( )
( )
( )
Producto de funciones
5.
* ( )
( )+
( ) ( )
( ) ( )
, ( )- Cociente de funciones
Ejemplo 2.1 Derivar las siguientes funciones utilizando el teorema anterior
1. ( ) 2. ( ) √ 3. ( )
√
Solución
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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) ( ) ( ( ) ) . ( ) √ /
( ) ( )
.√ / ( )
( )
( ) ( )
.√ / ( )
( )
( ) ( )
√ √ ( )
( )
√ √
) ( )
√
( ) ( )
( ) √
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ( ))
( )
√ ( )
√
(√ )
( )
√
√
( )
√
(√ )
( )
√( )
2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas
Las fórmulas de derivación más sencillas son las que se utilizan para las funciones algebraicas.
Teorema 2.2. Derivadas de funciones algebraicas
Para cualquier número
Derivada de una constante
Derivada de la función identidad
Derivada de la función potencia
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Ejemplo 2.2 Derive: ( )
Solución. Usando la derivada de la función potencia: ( )
Utilizando los teoremas de derivación de suma-resta, multiplicación y división así como del
producto de una constante por una función y las fórmulas de derivación de funciones algebraicas
derive:
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( ) √
Solución 1 En este caso, se observa que ( ) es en realidad una función compuesta formada por
una constante y una función potencia
Para derivarla entonces se aplica la regla del producto de una constante por una función:
Solución 2 Se trata de la suma de tres funciones. Entonces, usando el teorema de la derivada de
una suma:
( )
Solución 3 Se aplica la fórmula para la derivada de un cociente, para lo cual se calculan por
separado las derivadas del numerador y denominador.
( )
( )
Sustituyendo:
[
]
( )
, -
, -
Solución 4 Se puede usar la fórmula de la función potencia:
; derivando:
Solución 5 En lugar de utilizar la fórmula del producto es mejor realizar la multiplicación antes de
efectuar la derivación: ( ) √ = . Entonces usando la fórmula de la derivada de la
potencia:
( )
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Con base en los ejercicios anteriores es fácil deducir que la derivada de un polinomio se obtiene
derivando de cada uno de sus términos.
2.1.2. Derivadas de polinomios Teorema 2.3. Sea : ( ) un polinomio definido por:
( )
∑
Entonces
( )
( )
∑
Ejemplo 2.3 Derive: ( )
Derivando término a término:
( )
Ejemplo 2.4 Derive: ( ) ∑
( )
∑
∑
Derivada de funciones compuestas: para derivar funciones compuestas es necesario efectuar un
cambio de variable y emplear las fórmulas conocidas:
Teorema 2.4. Derivadas de funciones compuestas
Sea ( ) una función derivable de y ( ) una función que depende de y por lo tanto
derivable respecto a esta variable, entonces la derivada de con respecto a viene dada por:
( ( ))
( )
( )
Por ejemplo sea con como una función de entonces la derivada de con respecto a
usando la regla de derivación de una función potencia y la de derivada de una función compuesta
es:
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Ejercicios 2.1.2
Funcion Respuesta
1 ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) ( ) ( ) ( )
4 1
xf x
x
2
1'
1f x
x
5 2
2
1
1
xf x
x
2
2
4'
1
xf x
x
6 1
1
xf x
x
' 0f x
7
1
1 2 3f x
x x x
2
2
3 7'
1 2 3
xf x
x x x
8 1 1 1
1 2 3f x x
x x x
2 3
2 2 2
2 3 3'
1 2 3
x xf x
x x x
9 1
1f x
x
3
1'
2 1f x
x
10 1
xf x
x
2
1'
2 11
f xx
xx
11 10
62 2f x x x
96 5
' 10 2 2 1 12 2f x x x x
12 2
1 2f x x 2 1
'2
xf x
x
13
12
4410 1
xf x
x
11
4
4 54 4
1 3 10' 12
10 1 10 1
x xf x
x x
14 1 1 1f x x 4
1 1 1 1 1'
2 11 11 1 1
f xxxxx
15
2
3
1
33
2
x xxf x
xx
3 4 3 2 2 1/2
3 23 3/2
24 33
23 4 3 2
3 6 3 / 2
1 4 91 12
33
' 2
3 6
x x x x x
x xx x x
x xf x
x x x
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2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas
En las siguientes fórmulas se supone que es una función compuesta.
Teorema 2.5. Derivadas de funciones trigonométricas
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Ejercicios
1 4 2f x sen x ' 4cos 4 2f x x
2 1
cos 2f xx
2
1 1' 2f x sen
x x
3 tan 100 /f x x
2 2
100'
100cos
f x
xx
4 1
tan1
f xx x
2
32
2 3 1' sec
12 1
xf x
x xx x
5 2sec 2f x x 2 2' 2 sec 2 tan 2f x x x x
6 csc 7f x x ' 7csc 7 cot 7f x x x
7 cscf x x csc cot
'2
x xf x
x
8 cot 4 4f x x 2' 4csc 4 4f x x
9 2sen 2f x x ' 4sen 2 cos 2f x x x
10 3cos 1f x x 2' 3cos 1 1f x x sen x
11 5tan 5f x x 2 4 2' 5 tan 5 sec 5f x x x
12 2sec tanf x x x 4 2 2' sec 2 tan secf x x x x
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2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales
Dos funciones que están estrechamente relacionadas son la función logaritmo natural y la función
exponencial, veamos un gráfico para tener una idea más clara de la relación entre estas dos funciones.
Figura 2.1
La función logaritmo natural
Aunque en el siguiente capítulo se estudiara el tema de integrales damos la siguiente definición de
logaritmo natural de la siguiente manera, a manera de introducción a lo que será el cálculo integral.
Definición de la función logaritmo natural
La función logaritmo natural se define como
∫
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de todos los números reales positivos.
A partir de la definición podemos deducir que es positiva para y negativa para ver la
Figura 2.1. Además ( ) , ya que los limites inferior y superior de integración son iguales cuando .
Teorema 2.6 Propiedades de la función logaritmo natural.
La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades. 1. El dominio es ( ) y el recorrido(o rango, contradominio, codominio) es ( ). 2. La función es continua, creciente e inyectiva. 3. La grafica es cóncava hacia abajo.
f 1 x x
f x Ln x
10 5 5 10
10
5
5
10
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Teorema 2.7. Propiedades de los logaritmos
Si y son números positivos y es racional, se satisfacen las siguientes propiedades.
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. .
/
Teorema 2.8. Derivada de la función logaritmo natural
ln 1 ', 0
du ud u
dxu
u dx u
,
ln0
1d x
dx xx
log 1 1
ln
ad u
dx a u
du
dx
Con los siguientes ejemplos veamos cómo usar estas propiedades.
Ejemplo Derivación de funciones logarítmicas
1
, -
2
, ( )-
3
, - (
, -* (
, -*
(
* ( ) ( )
( )
Regla del producto
4
,( ) - ( )
, -
( ) (
*
( )
Regla de la cadena
Nota: Recuerde que ( )
Ejemplo Derivación con ayuda de logaritmo
Derivar la siguiente función.
( )
√
Antes de derivar no debe de olvidar algunas características, como que , para todo . Así, está
definido. Iniciamos aplicando el logaritmo natural en ambas miembros de la igualdad. (Ecuación). Y
aplicamos las propiedades de los logaritmos y de derivación implícita. Y por ultimo, despejamos a .
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( )
√
( )
√
( )
( )
(
( )
( ) )
(
)
( ) ( )
( )( )
(
( )( ))
( )
√ (
( )( ))
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )√
( )
Ejercicios
1 2 22ln 4 42
xf x x x x
2
2'
4
xf x
x
2 2 24 2ln 4
2
xf x x x x
2
2'
4
xf x
x
3
3/22 2 2ln 1 1 1
8 4 8
x x x x x xf x
2 2' 1f x x x
4 2
24 9 22ln 4 9
xf x x
x
24 9
'x
f xx
5 3/2 2
2
2 21
5 5 1
xf x x x dx
x
2' 1f x x x
6 2
1 1n
i
i
i n
f x x b x
1' 1 2 1 1n
i i
i
i n
f x b x i x
7
1
11
11
1
f x
x
2
1'
3 2f x
x
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8 ln 1f x x 1
'1
f xx
9 lnf x x x ' 1 lnf x x
10 lnf x x x x ' lnf x x
11 23 lnf x x x
22 2' 2 ln 3 lnf x x x x x
12 3
ln 1f x x 3
'1
f xx
13 3
ln 2f x x
3'
2 2f x
x
14 2log 2f x x
2log'
ef x
x
La función exponencial natural
La función exponencial natural
Definición de la función exponencial natural
La función inversa de la función logaritmo natural ( ) se llama función exponencial natural y se denota por
( )
Esto es,
si y sólo si
Una relación entre la función logaritmo natural y exponencial natural lo podemos expresar de la siguiente
manera:
( ) ( )
Teorema 2.9 Operaciones con funciones exponenciales
Sean
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Propiedades de la función exponencial
1. El dominio de ( ) es ( ), y el rango es ( ).
2. La función ( ) es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
3. La gráfica de ( ) es cóncava hacia arriba en todo su dominio
4.
Derivadas de la funciones exponenciales.
Una característica muy particular de la función exponencial natural es que su derivada es ella misma. En
otras palabras es solución de la ecuación diferencial . Lo que se resume en el siguiente teorema
Teorema 2.10 Derivada de la función exponencial natural
Si es una función derivable de .
1.
x
xd e
edx
2.
u
ud e
edx
du
dx
3. ln
u
ud a
ax
adx
du
d
Ejemplo Derivación de funciones exponenciales
a)
( )
b)
( )
(
*
Ejercicios
1 2xf x e 2' 2 xf x e
2 21 xf x e
21' 2 xf x xe
3 22
4
xf x e dx
21
'2
xf x e
4 24 4x
xf x
e
22' 1 8 xf x x e
5 2
2xf x 22' ln 2 2x xf x
6 110 xf x 1' 10 ln 1/10xf x
7 ln xf x b ln1/' ln
xxf x b b
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8 xf x x ' ln 1xf x x x
9 1/x
f x e x
1/
2
1 1' ln
xf x e x e x
x x e x
2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Teorema 2.11 Derivadas de funciones trigonométricas inversas
2
arcsen 1, arcsen
2 21
du
dx
d uu
dx u
2
arccot 1, 0 arccot
1
dd uu
dx u
u
dx
2
arccos 1, 0 arccos
1
dd uu
dx u
u
dx
2
arcsec 1
1
d u
dx u u
du
dx
2
arctan 1, arctan
1 2 2
du
dx
d uu
dx u
2
arccsc 1
1
d u
dx u u
du
dx
Teorema 2.12 Derivadas de funciones hiperbólicas
senhcosh
d uu
dx
du
dx
2
cothcsch
d uu
dx
du
dx
coshsenh
d uu
dx
du
dx
sechsech tanh
d uu u
d xx
du
d
2
tanhsech
d uu
dx
du
dx
cschcsch coth
d uu u
d xx
du
d
Teorema 2.13 Derivadas de funciones hiperbólicas inversas
1
2
senh 1
1
d u
dx dxu
du
1
2
csc 1
1
d h u
dx xu
u
du
d
1 1
12
cosh si cosh 0, 11
si cosh 0, 11
d u u u
u udx u
1
2
sec 1
1
d h u
dx xu
u
du
d
1
2
tanh 1, 1 1
1
d uu
dx u
1
2
coth 1, 1 1
1
d uu o u
dx u
du
dx
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14 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Ejercicios
1 1
arcsen1
f xx
1 1'
12f x
xx x
2 2arccosf x x x
2
2
2 1'
1
xf x
x x
3 2arctan 4 4f x x x
24
5 41'
11 16 1
x xf x
xx x
4 3arccot 1f xx
2 2
3 3
1 1'
31 1 1
f x
xx x
5 2arccscf x ax bx c
2
2 2
2'
1
ax bf x
ax bx c ax bx c
6 ar csec 100 0.01f x x
2
100'
100 0.01 100 0.01 1f x
x x
7
ar c tan
ln
xf x
x
22
arctan1'
ln1 ln
xf x
x xx x
8 senhf x ax ' coshf x a ax
9 coshb
f xx
2
' senhb b
f xx x
10 tanhf x x a 2' sechf x x a
11 4tanhf x ax 3 2' 4 tanh sechf x a ax ax
12 cotha
f xx
2
2' csch
a af x
x x
13 cschbx
f xa
' csch coth
b bx bxf x
a a a
14 3sech 1f x x 2 3 3
' 3 1 sech 1 tanh 1f x x x x
15 cosh
x
xf x
e 2' xf x e
16
senh
ln
xf x
x
2
cosh senh'
ln ln
x xf x
x x x
17 21 1
2
x xe x e xf x
' coshf x x x
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 15
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18
2 2
2
x xe edx dx
x xf x
2
senh'
xf x
x
19 -1tanh 2f x a x
2
2'
1 2f x
a x
20 -1 2cothf x x 4
2
1
xf x
x
21 -1 2senhf x x
22
2'
1
xf x
x
22 -1cothb
f xx
2 2
'b
f xx b
23 -1cscha
f xbx
2 2
-'
bf x
bx a
24 2-1sechf x ax b
4
2'
1
af x
ax b ax b
25 -1cosh 1 1f x x x x x 1' coshf x x
26
1 1ln 1 ln 1
2
x xx x
f x
1' tanhf x x
27 cos
senx
f x x
2
2
cos 1
sen
cos
' sen
ln sen
x
x
x
f x x
x
Ejercicios 2.1.5. Derivar las siguientes expresiones empleando las fórmulas anteriormente vistas:
1 senxf x e x ' sen cosxf x e x x
2 2 cos 2xf x e x 2' 2 sen 2 cos 2xf x e x x
3 3/2
cosxf x e x
3/2
3/2sen 3
' cos22
x
xe x
f x x x ex
4 xf x e '2
xef x
x
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16 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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5 3/2senf x x x 1 3' cos sen
2 2f x x x x x
6 8
2f x x x 7
2 1' 8 2
2f x x x x
x
7 5 4
3 22f x x x x x
2
3
5 43 2
2
15 3
2
' 2
14 4
2
2
xx
x x
f x x x x x
xx
x x
8
12 4ln 1
4 1 1
xf x
x x
11
4
2
ln1
1 4 1ln4
4 111 4 4 ln3
4 1
x
x xx
f xxx
x x x
xx
9
4
6
4
lnsen
x
xf x x
e
4
5
4
3
6
44
ln' 6sen cos
ln 14sen 4ln
2
x
x
xf x x x
e
xx x
xe
10
3
10
ln
xx xf x e
x
3
10
2
10
2
' 10ln
3ln 1
23ln ln
x
x
x xf x e
x
xx x
e xx x
11
4
3 6ln 4 16 256f x x x x
1/16
' ln 8 48ln 2x
f x x xx
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2.2. La regla de la cadena
Teorema 2.14 (Derivación de funciones compuestas)
: , ( ),
: , (
, | , ) .
: ,
Sea I una función derivableen x I es decir x existe
y sea J una función definida en el conjunto J quecontiene
al rango de es decir que I y y x x I J derivable en y x
Entonces la función compuesta I
, .
x x
es derivableen x I y su derivada en x es x x x
Al utilizar la notación de LEIBNIZ adquiere gran sencillez si y x entonces dy
dx es igual
al producto de la derivada de la función y u que escribimos dy
du, por la derivada de la
función u x , que escribimos du
dx. Con lo anterior la regla de la cadena se escribe:
dy dy du
dx du dx
Las formulas anteriores son conocidas como REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVACIÓN: lo que en ellas se establece es que la derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se están componiendo.
Se sugiere que el alumno desarrolle los ejemplos siguientes empleando también la notación de LEIBNIZ., ya que en cursos posteriores será muy recurrida.
Ejemplo 2.5 Calcular la derivada de 2 6 10f x x x
Solución.
Sea 2 6 10x x con x x x es decir f x x . Las derivadas de
cada una de las funciones son:
1
2 62
x y x xx
Entonces
2
1 12 6 2 6
2 2 6 10f x x x x x x
x x x
2
3
6 10
xf x
x x
Ejemplo 2.6 Calcule la derivada de la función 2
1
1f x sen
x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
18 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Sea 2
1y
1x sen x x
x
2 22 2
1 2cos 2
1 1
xx x y x x
x x
2 222 2
2 1 2cos cos
11 1
x xf x x x x x
xx x
Ejemplo 2.7 Calcular la derivada de 23ln 1xf x e x
Solución. Sea 23ln 1xx x y x e x
3
2xx y x e xx
2
3 232
1
x
x
x
e xf x x x x e x
x e x
La regla de la cadena se puede generalizar para la composición de más de dos funciones
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2 3 3
:
f x x x
Su derivada es
f x x x x x
Más general, Si 1 2 3, , ... k son k
Funciones derivables, entonces la composición
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2 3 3
... ... ...
:
... ... ... ... ... ... ... ...
k k
k k k k k
f x x x es derivable y
Su derivada es
f x x x x x x
Ejemplo 2.8 Calcular la derivada de 3sen cos 2 9f x x
Solución. Planteamos
3
1 2 2 3 3
2
1 2 2 3 3
sen , cos 2 9
cos , sen 6
x x x x y x x
x x x x y x x
1 2 3 1 2 3 2 3 3f x x x x x
3 3 3cos cos 1 sen 1 6f x x x x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 19
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.9 Calcular la derivada de 2 3sen cos 1f x x
Solución. Planteamos
23
1 2 2 3 3 4 4
2
31 2 2 3 3 4 4
, sen , cos 1
12 , cos , sen
3
x x x x x x y x x
x x x x x x y x x
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4f x x x x x x
2
3 3 31
2sen cos 1 cos cos 1 cos 1 sen3
f x x x x x
3 3
23
2sen cos 1 cos cos 1 sen
3 cos 1
x x xf x
x
Ejercicios 2.2
1. 2 1f x x 6. ln ln 2f x x x
2. 1 1f x x 7. ln ln lnf x x x
3. cos sen cosf x x 8. 21 ln 5f x x
4. 2 3 3 2sen cos sen cosf x x x 9. cosln
xf x x e
5. 2 3 4 5sen sen senf x x
10. sen cos 2 sen 2 cos2 2cosx x x x
f x x e e
2.2.1. Derivación implícita
Las funciones en cuales aparece despejada y las llamamos funciones explícitas ejemplos de ellas
son:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
20 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
2 2
1 1
1 1
1 1
sen sen
f x x si y f x entonces y x
x xf x si y f x entonces y
x x
f x x si y f x entonces y x
Etc.
Hay funciones en las cuales la y no está despejada como:
2 5xy x
3 4 3 1x y y x x y
cos 4ysen y x e
Etc.
Y en ocasiones no se puede despejar y o es muy complicado de realizarlo, por lo que es
conveniente derivar la expresión de forma implícita. Cuyo procedimiento es:
Derivar la función término a término, considerando a y como función de x y de la expresión
resultante despejar dy
ó ydx
según la notación empleada. También cabe mencionar que pueden
utilizase otras literales como variables dependiente e independiente respectivamente pero si sucede
lo anterior se debe especificar a qué literal se deriva, con respecto de que otra literal.
Sí no se especifica de forma diferente en este tema vary es la iable dependiente y
x la variable independiente
En la derivación implícita debemos aplicar regla de la cadena o derivación de función de función.
Ejemplo 2.10 Hallar dy
dx en la función 6 3 72 10ax x y y x , Cualquier literal diferente a y y x
será considerada una constante
Derivamos ambos lados con respecto de x
6 3 72 10d d
ax x y y xdx dx
6 3 72 0d d d
ax x y y xdx dx dx
En la expresión anterior quedan planteadas varias derivadas de productos de funciones hay que
derivarlas con el teorema respectivo [ uv uv vu ] y considerar el signo que afecta a todo el
resultado de derivar el producto.
5 3 2 7 66 2 6 7 0dy dy
ax x x y y xydx dx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 21
Enero – Julio 2012
Los términos que contengan dy
dx se dejan de un lado de la igualdad y los términos que NO
contengandy
dx se mueven al otro lado de la igualdad
3 6 5 2 72 7 6 6dy dy
x xy ax x y ydx dx
Se factoriza dy
dx y se deja solo de un lado de la igualdad que es lo que queríamos encontrar
3 6 5 2 7
5 2 7
3 6
2 7 6 6
6 6
2 7
dyx xy ax x y y
dx
dy ax x y y
dx x xy
Obsérvese que en la derivación implícita del lado izquierdo de la igualdad quedan las dos variables.
Ejemplo 2.11 Halle la pendiente de la gráfica de la función 2
2 23 100x y xy en el punto 3,1
Hallar dy
dx en la función
22 2
2 2
3 100
6 2 2 100
d dx y xy
dx dx
dy dyx y x y x y
dx dx
Hacemos las multiplicaciones
2 2 2 212 12 100 100dy dy
x x y y x y x ydx dx
Dejamos a los términos que contienen dy
dx del lado izquierdo y los que no lo contienen del lado
derecho de la igualdad
2 2 2 212 100 100 12dy dy
y x y x y x x ydx dx
Factorizando y despejando dy
dx
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
22 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
12 100 100 12
100 12
12 100
25 3
3 25
dyy x y x y x x y
dx
y x x ydy
dx y x y x
Simplificamos
y x x ydy
dx y x y x
Para obtener la pendiente en el punto 3,1 sustituimos los valores de x y y en la derivada que
obtuvimos
2 2
2 2
25 1 3 3 3 1 13
93 1 3 1 25 3
dy
dx
Ejemplo 2.12 Hallar dy
dx en la función
x
ysen x y e
Solución Derivamos ambos lados con respecto de x
x
yd dsen x y e
dx dx
Aplicando regla de la cadena
2
cos
1
cos 1
x
y
x
y
d d xx y x y e
dx dx y
dyy x
dy dxx y edx y
Hacemos las multiplicaciones del lado izquierdo
2
1
cos cos
x
y
dyy x
dy dxx y x y edx y
Multiplicamos todo por 2y
2 2cos cos
x
ydy dyy x y y x y e y x
dx dx
Hacemos las multiplicaciones del lado derecho de la igualdad
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 23
Enero – Julio 2012
2 2cos cos
x x
y ydy dyy x y y x y ye xe
dx dx
Juntamos dy
dx de un lado y la despejamos
2 2
2 2
2
2
cos cos
cos cos
cos
cos
x x
y y
x x
y y
x
y
x
y
dy dyy x y xe ye y x y
dx dx
dyy x y xe ye y x y
dx
ye y x ydy
dxy x y xe
Ejemplo 2.13 Hallar dy
dx en la función
2
2
2
2 2 2
2 2
2
tan ln arcsen
tan ln arcsen
1tan ln
1
1 1sec ln ln 1
21
11 1 1
sec 2 ln
21
xy x y
y
d d xy x y
dx dx y
d d d xy x y
dx dx dx yx
y
d d d xy y x y y
dx dx dx yxx
yy
dyy x
dy dxy y x ydx y yxx
yy
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
24 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Multiplicamos por 2y ambos lados
2 2 2 2 1 1sec 2 ln
21
dy dyy y y xy y y y x
dx dxxx
yy
Hacemos las multiplicaciones de lado derecho
2 2 2 2 1 1 1 1sec 2 ln
2 21 1
dy dyy y y xy y y y x
dx dxx xx x
y yy y
Juntamos del lado derecho a los términos que contienen dy
dx
2 2 2 21 1 1 1sec 2 ln
2 21 1
dy dyy y y x y xy y y
dx dxx xx x
y yy y
Multiplicamos por 1 2x x
y y
2 2 2 21 2 sec 2 1 2 1 2 lnx x dy dy x x x x
y y y x y xy y yy y dx dx y y y y
Despejamos dy
dx
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
1 2 sec 2 1 2 1 2 ln
1 2 sec 2 1 2 1 2 ln
1 2 1 2 ln
1 2 sec 2
x x dy dy x x x xy y y x y xy y y
y y dx dx y y y y
x x dy x x x xy y y x y xy y y
y y dx y y y y
x x x xy xy y y
y y y ydy
dx x xy y y x
y y
Acomodado
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 25
Enero – Julio 2012
2
2 2 2
2 1 2 1 ln
4 1 sec
x x x xy xy y y
y y y ydy
dx x xy y y x
y y
Ejercicios 2.2.1
De las siguientes funciones determina dy
dx
De las siguientes funciones determina dy
dx y evaluar
en el punto dado.
1. 3 2 3 3 33x x y y c
2. 2x a xy y b
3. 3 2 33 1ax b xy cy
4. x y a
5. 6y x
x y
6. 3 3 0,0x y y x en
7. 2 4,1xy x y en
8. 3 2 22 3 38 2,3x x y xy en
9. 2 3 5 2,3x y en
10. 3 2 33 3 ,x axy ay a en a a
De las siguientes funciones determina dy
dx
1. 2 3 10x ye
2. 2 3 2 3sen cos 1x y x y
3. 3 2 3 5sen ln 3x
y x y x yy
4.
2 2 3sec ln
sen xy xe xy x y
y
5. 2 4 3 3sen ln cosx yx y y x
e x y xy x xyy x x y
2.2.2. Derivadas de orden superior
Las derivadas anteriormente obtenidas se conocen con el nombre de primera derivada. Si la primera
derivada existe y es diferente de cero, es posible derivar a su vez este resultado en cuyo caso se obtiene la
segunda derivada y si dicha solución aun es una función derivable este proceso puede seguirse de manera
indefinida. Por ejemplo:
Sea
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26 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
( )
Entonces la primera derivada es:
( )
La segunda derivada es entonces:
(
* ( )
Y la tercera derivada queda como:
(
) ( )
Y la última derivada que puede obtenerse es la cuarta:
(
) ( )
En el caso que la función tenga derivadas la derivada es:
(
) ( )
Ejemplos de funciones con derivadas son:
( ) ∑
Ejemplo 2.14 Halle la derivada de la función siguiente
( )
Derivando sucesivamente:
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 27
Enero – Julio 2012
( )
De donde en general:
( ) ( )
Halle la derivada de la función siguiente
( ) ( )
Derivando sucesivamente obtenemos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
En general
( ) ( )
( )
Obtenga de derivada de:
Función k-esima derivada
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
/
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28 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Sea ( ) un polinomio de Legendre de grado , donde éste se define como:
( )
( )
Halle los polinomios de Legendre hasta de grado 5.
Sol. , ( )
2.2.3. Teorema del valor medio
Teorema 2.15 Teorema del valor medio
Si ( ) es una función continua en el intervalo cerrado , - y derivable en el intervalo abierto
( ), entonces existe un número contenido en el intervalo anterior tal que ( ) ( ) ( )
con ( ) ( ).
En otras palabras, el teorema del valor medio dice que la pendiente de la secante que corta la función en
( ( )) y ( ( )) es igual a la recta tangente de la función en el punto ( ( )). Gráficamente esto se
puede visualizar como:
,c f c
a bc
Pendiente de la línea tangente 'm f c
,b f b
x
y
,a f a
Figura 2.2
Usando el teorema del valor medio es posible encontrar el valor a través del álgebra.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 29
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.14 Calcule el número para la función ( ) en el intervalo cerrado , -.
La pendiente de la secante es:
( )
( )
Por otro lado:
( )
Igualando la derivada de la función con la pendiente de la secante se obtiene:
Entonces
Ejemplo 2.15 Calcule el número para la función ( ) en el intervalo cerrado , -
La pendiente de la secante es:
( )
( ) ( )
Mientras que la derivada de la función es:
( )
Igualando la derivada de la función con la pendiente de la secante se obtiene:
Ya que es uno de los extremos del intervalo se descarta, por lo cual se concluye que:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
30 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 2.2.3
Halle el número para las siguientes funciones en los intervalos indicados:
Función Intervalo Respuesta ( )
( ) , - √
( ) , - {
√
√ }
( ) √ , -
( ) , - √
( ) , - , ( )-
2.3. Aplicaciones de la derivada
La derivada es una razón de cambio; la cual desde el punto de vista geométrico es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función, utilizando este concepto se pueden encontrar diferentes aplicaciones de la derivada como por ejemplo:
a) La resolución de problemas de razón de cambio y de optimización (problemas de máximos y mínimos), estos muy útiles para el análisis de variables desde el punto de vista ingenieril o en su caso de la vida cotidiana.
b) La determinación de límites, en los cuales, su complejidad impida que sean resueltos por medios algebraicos. La solución de los limites puede llevarse a cabo mediante la regla de ’Hôpital
c) En combinación con conceptos como límites en el infinito; límites finitos, dominio, contradominio (rango), intersecciones con los ejes y simetría, se puede trazar (graficar) y analizar funciones.
d) Finalmente usando su concepto geométrico, es posible determinar las raíces de funciones (ceros de funciones), en las cuales mediante algebra sean difíciles de determinar. El método que utiliza el concepto mencionado es el de Newton-Raphson.
2.3.1. Diferenciales
Sea ( ) una función derivable en su dominio, entonces
( )
Con ( ) ( ).
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 31
Enero – Julio 2012
De la ecuación anterior podemos concluir que cuando se aproxima a cero,
se aproxima a
( ). O si se designa por la diferencia entre
y ( ), o sea,
( )
Entonces cuando . Multiplicando ambos miembros de la igualdad por obtenemos
( ) Por lo que, si se aproxima a cero, y se aproxima a cero. Es decir, ( ) .
Definición. Si ( ) es una función derivable en su dominio, entonces
a) se llama diferencial de , y se define por la relación . b) se llama diferencial de , y se define por la relación ( ) o
( ) ( )
Nota: De y ( ) , al dividir las ecuaciones entre sí obtenemos
( )
( )
La igualdad en la nota expresa la derivada como cociente de dos diferenciales. La mayoría de las veces se usa la notación para designar la derivada de con respecto de , este simbolismo no debemos de confundirlo con el que acabamos de definir. Sin embargo, a veces es conveniente que se considere la derivada como cociente de dos diferenciales. Ejemplo 2.16 Sea , hallar y .
a) Para cualquier b) Para c) Para d) Para
Solución
a) , entonces tenemos lo siguiente ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
También tenemos
( )
( )
( )
Y como resumen tenemos los resultados de los incisos b), c) y d) con lo siguiente ( ) ( ) , ( ) y
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32 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
2 0.1 0.11 0.1 0.01
2 0.01 0.0101 0.01 0.0001
2 0.001 0.001001 0.001 0.000001
En la tabla podemos observar que a medida que se acerca a cero la diferencia se hace más pequeña. Por lo tanto, es una aproximación de cuando es más pequeño. Ejemplo 2.17 Hallar el volumen aproxima de un recipiente esférico, cuyo radio exterior es de y su
espesor de .
Solución. Primero tenemos , el volumen de una esfera dado en centímetros cúbicos y
numero de centímetros cúbicos en el volumen del recipiente esférico.
Al sustituir y , en la ecuación anterior obtenemos la siguiente expresión
( ) (
*
Así concluimos que el volumen de recipiente esférico es de aproximadamente
Ejemplo 2.18 Un error de se comete al medir el radio de una esfera de . ¿Qué error se
produce al calcular el volumen de la esfera?. Obtener una respuesta exacta y una aproximación empleando
diferenciales.
Solución. Exacta. Volumen calculado
( )
( ) .
Así y el volumen y radio verdadero y y son los errores del volumen y radio.
Volumen verdadero,
.
Error en el volumen, .
Aproximada. es una aproximación de y de
tenemos
( ) ( )
La diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado, calculado empleando diferenciales, es de
.
Ejemplo 2.19 ¿Para qué valores de se puede usar √
en vez de √
si el error permitido debe ser
menor de ?
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 33
Enero – Julio 2012
Solución. Tenemos que ⁄ y ,
.
Así
√
Ejemplo 2.20 Hallar el volumen de bolas de acero, suponiendo que son esferas perfectas, midiendo su
diámetro en una producción en serie.
Solución. La máquina que se emplea para medir el diámetro no da el valor exacto de , sino un valor
aproximado . El error relativo en esta medida es . El volumen de la esfera es ( )
. Por lo
tanto, ( )
. Asi el error relativo en el volumen es:
( )
( )
( )
( )
Este resultado nos dice que el error relativo en la medida del volumen es tres veces el error relativo en la
medida original del diámetro.
Ejemplo 2.21 Hallar el incremento y la diferencial de la función para , ver
Figura 2.3. ¿Cuál es el porcentaje de error de la aproximación de ?
Solución.
Figura 2.3
( ) ( )
( ) . Entonces tenemos que
( ) ( )
( ) , como y .
El porcentaje de error en la aproximación es:
|
| |
|
Al reemplazar por es equivalente a reemplazar el área rayada por el área de los rectángulos y despreciar la del
cuadrado pequeño ( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
34 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 2.3.1
1) 1.- Si es el área de un cuadrado de lado , halle . Construya la figura que muestre el cuadrado, y
.
Resp.: 2) Halle un valor aproximado del error que puede cometerse al calcular el volumen y el área de un cubo
de arista 6 cm si se comete un error de 0.02 cm al medir la arista.
3) Usando diferenciales halle un valor aproximado de cada una de las siguientes expresiones:
) √ ) √
)
) √
) √
) √
)
√ ) √
4) Halle el valor aproximado de
5) Se desea construir una caja en forma de cubo, de de capacidad, ¿con que precisión debe
construir la arista interior para que el error en el volumen no sea mayor de de más o de menos?
2.3.2. Problemas de razón de cambio
En esta sección queremos estudiar a las partículas que se cambian de posición sobre un eje x y
cuya ley de movimiento conocemos como x x t que establece la correspondencia de la
distancia recorrida por la partícula, en términos del tiempo t . Muchas veces ocurrirá que la función
x x t tiene sentido para toda t real (es decir que su dominio es ), sin embargo por lo que
representa físicamente, sólo consideraremos valores de t no negativos, es más el valor de la
función x x t para 0t , 0 0x x es la posición inicial del cuerpo.
Recordemos que la derivada x t representa la velocidad instantánea del cuerpo a los t
segundos de haber comenzado su movimiento (las unidades pueden variar según el problema, lo más común son los segundos). Esta derivada mide la rapidez de variación de la distancia x
respecto al tiempo t . Para 0t tenemos 0x , que es la velocidad inicial del cuerpo denotada
comúnmente 0v . Si 0x t , entonces la función x t es una función creciente, lo cual significa
que los valores de x x t aumentan con el tiempo, es decir 1 20 t t , se tiene
1 1 2 2x x t x x t , lo cual se interpreta en términos de la dirección del movimiento, es decir
está ganando distancia, según su punto de partida conforme aumenta el tiempo, en forma grafica,
que se recorre a la derecha. De la misma manera, si 0x t , entonces la función x x t es
decreciente, es decir para 1 20 t t , se tiene
1 1 2 2x x t x x t lo cual significa que los
valores de x x t
disminuyen si el tiempo transcurre (aumenta), o bien que la partícula está perdiendo distancia con respecto a su punto de partida, en forma grafica se está moviendo a la izquierda.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 35
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.22 La función del movimiento de una partícula es 2 6x x t t t , en donde x se
mide en metros y t en segundos. Determine:
a) La posición inicial. b) La velocidad inicial. c) La velocidad a los dos segundos de haber comenzado el movimiento. d) La velocidad a los cinco segundos de haber comenzado el movimiento. e) El tiempo durante el cual se está moviendo a la derecha. f) El tiempo durante el cual se está moviendo a la izquierda.
Solución
a) La posición inicial de la partícula es 2
0 0 0 6 0 0x x . Es decir su movimiento
comienza en el origen
b) La velocidad inicial es 0 0 2 0 6 6m
v xs
como 0 0v . La partícula comienza a
moverse a la izquierda de punto de origen.
c) A los dos segundos la velocidad es de 2 2 2 6 2m
v xs
. El cuerpo continua
moviéndose a la izquierda.
d) A los cinco segundos la velocidad es de 5 2 5 6 4m
v xs
. El cuerpo ahora está
moviéndose a la derecha.
e) Mientras 0v x el cuerpo se moverá a la derecha. Es decir si 2 6 0t y lo anterior
ocurre si 3t . Solo después de tres segundos, el movimiento de la partícula es hacia la
derecha.
f) Mientras 0v x el cuerpo se moverá a la izquierda. Es decir si 0 3t
Figura 2.4
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
36 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.23 Una partícula se mueve sobre el eje x y su movimiento se describe por la
función 3 6x x t t t donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar los
momentos en que el cuerpo se mueve a la derecha, hacia la izquierda, con aceleración positiva y con aceleración negativa. Solución
La velocidad del cuerpo es 23 6v x t t . El cuerpo se moverá hacia la derecha cuando
23 6 0v x t t , lo cual sucede para 2t (tiempo que carece de sentido físico) y
también para 2t , entonces después de 2 minutos el cuerpo se mueve a la derecha.
Análogamente para 0 2t , el movimiento de la partícula es hacia la izquierda.
En el instante 2t en que la partícula cambia la dirección de su movimiento, su posición
esta es 3
2 2 6 2 4 2x x m a la izquierda del origen.
La aceleración es 6a x t t la cual es positiva para 0t y negativa para 0t
(tiempos negativos carecen de sentido físico). Es decir la velocidad del cuerpo siempre es creciente. Veamos un gráfico para entender mejor esta situación.
Figura 2.5
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 37
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Ejercicios 2.3.2
Las funciones que describen el movimiento de unas partículas se da a continuación, calcular a) La velocidad y posición inicial b) El intervalo del tiempo en que la partícula se mueve a la derecha. c) El intervalo del tiempo en que la partícula se mueve a la izquierda. d) Para que intervalo del tiempo la velocidad aumenta.
e) Para que intervalo del tiempo la velocidad disminuye.
1. 2x f t 6. ln 1x f t t
2. 1 4x f t t t 7. 1tx f t e
3. 2 1x f t t 8. 21x f t t
4. 1 4 6x f t t t t 9. 3x f t sen t
5. 3 3x f t t t 10. 2 2tx f t t e
Razones de cambio relacionadas El esquema general de los problemas que ahora abordaremos es el siguiente: se tienen dos
variables que están cambiando con el tiempo, digamos x x t y y y t . Estas pueden ser
distancia, aéreas, volúmenes, etc. Ambas variables están relacionadas entre sí por una función
que designaremos como , 0F x y . Ya se conoce la velocidad a la que está cambiando una de
ellas con respecto al tiempo y se quiere conocer la velocidad a la que está cambiando la otra
variable es decir al conocer x t ó y t , se quiere conocer x t ó y t respectivamente. La
manera de tomar estos problemas es considerar la función , 0F x y que conecta a ambas
variables y derivarla con respecto al tiempo, aplicando correctamente la regla de la cadena,
después sustituimos los datos del problema en la derivada con respecto del tiempo de , 0F x y
. Una de las mayores dificultades en este tema es plantear , 0F x y , la función que relaciona a
las dos variables x y y
Ejemplo 2.24 Se lanza una piedra a un estanque de aguas tranquilas y se genera una serie de
ondas circulares concéntricas. El radio de la primera onda aumenta a razón de 0.5cm
s ¿A qué
rapidez está cambiando el área del círculo que encierra esta onda, cuando el radio del círculo es
1r m ?
Solución El radio es función del tiempo r r t
El área es función del tiempo A A t
A su vez, estas dos variables están relacionadas entre sí 2A r . Esta es la expresión
importante.
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Si derivamos con respecto al tiempo tendremos 2dA dr
rdt dt
El problema nos da la velocidad a la que varía el radio del círculo, esta velocidad es la derivada del
radio del círculo con respecto al tiempo 0.5dr cm
dt s .
Sustituimos en la expresión 2dA dr
rdt dt
Junto con el dato del radio 1 100r m cm CUIDADO HAY QUE HOMOGENIZAR UNIDADES
2
2 2 100 0.5 100dA dr cm cm
r cmdt dt s s
En el momento que el radio es de un metro el área del círculo está cambiando a una rapidez de
100 centímetros cuadrados cada segundo.
Ejemplo 2.25 Una escalera de 7 metros de longitud está recargada sobre una pared. En su
extremo superior se encuentra una persona, en ese momento la parte inferior de la escalera
comienza a resbalar alejándose de la base de la pared a una velocidad constante de 2min
m ¿A
qué velocidad está cayendo la persona cuando está a 1 m del suelo
Figura 2.6
Las variables que están cambiando con respecto del tiempo son: la distancia respecto a la pared
llamémosla x x t y la distancia medida con respecto al suelo llamémosla y y t .
Obsérvese que x x t aumenta conforme aumenta el tiempo y que y y t disminuye con
forme el tiempo aumenta. Estas dos variables que a su vez son funciones del tiempo están
relacionadas entre sí mediante el teorema de Pitágoras en el que x x t y y y t son
catetos y la longitud de la escalera es la hipotenusa, entonces podemos plantear:
2 2 2 2 27 49x y x y
Al derivar la expresión con respecto al tiempo y simplificar
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2 2 0dx dy
x ydt dt
Dividimos ambos lados entre 2 quedando 0dx dy
x ydt dt
Debemos tener claro que la pregunta es la velocidad con la que está cayendo la persona con el
extremo superior, o sea dy
dx, medida con respecto del suelo, por lo que despejamos:
...................dy x dx
dx y dt
De la expresión anterior tenemos la velocidad con que se aleja a base de la escalera de la base de
la pared 2min
dx m
dt y el quieren
dy
dx cuando 1y m calculamos x para ese instante mediante
el teorema de Pitágoras 2 2 2 2 2 2 27 7 7 1 49x y x y x x m
Sustituimos los datos anteriores en
482 2 48 8 3
1 min min min
dy x dx dy m m dy m m
dx y dt dx m dx
Obsérvese que el signo menos indica que la función y y t es decreciente.
Ejemplo 2.26 Un punto se mueve sobre la parábola 2y x de modo que su abscisa x aumenta
a una velocidad constante de 2m
s. Calcular la velocidad a la que varia la ordenada de ese punto
cuando pasa por 1,1
Solución Tanto la abscisa como la ordenada se mueven sobre 2y x y ambas están variando
con respecto al tiempo, el enunciado nos da la información 2dx m
dt s , el dato cuando pasa por
1,1 nos da el valor de 1x y se nos pregunta dy
dt.
Al derivar con respecto al tiempo la función 2 2 ...............dy dx
y x xdt dt
Sustituimos la información que se requiere en
2 2 1 2 4dy dx m m
xdt dt s s
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Ejemplo 2.27 En un recipiente en forma de cono invertido con radio 30R cm y altura
50H cm , como se puede observar en la Figura 2.7, se vierte agua a razón de dos litros cada
minuto. Si en 0t el recipiente está vacío, Calcular la velocidad a la que está aumentando el nivel
del agua en el recipiente después de 5 minutos de haber comenzado a llenarse.
Figura 2.7
Solución Llamemos h a la altura del agua medida en cm respecto a la base que descansa en el
piso en un instante 0t hay un cono de agua dentro del recipiente cónico el cual tiene altura h y
base r tanto h como r son funciones del tiempo digamos h h t y r r t . El volumen V
de este cono de agua también es función del tiempo:
21..........
3V r h Observemos que en la expresión anterior hay dos variables h y r
pongamos al volumen en términos de una sola variable. De la tercera figura vemos que hay un
triángulo dentro de otro y las bases son paralelas, por lo que se debe cumplir:
50 3
30 5
H h hr h
R r r
Con esta expresión podemos plantear al volumen en términos de la altura quedando
2
31 3 3
3 5 25V h h h
Derivamos con respecto al tiempo
29
25
dV dhh
dt dt De aquí queremos
dh
dt
2
25..........
9
dh dV
dt h dt
El dato dV
dt lo tenemos pero nos hace falta la altura h cuando el tiempo es de 5 min para lo
cual usamos la información de que se vierten 2 lt cada minuto, por lo tanto a los 5 min habrá 10 lt
o sea 310,000 cm , recordemos que el volumen en términos de la altura es 33
25V h de aquí
calculamos h , cuando han pasado 5 minutos que es cuando hay 310 10,000lt ó cm
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3
3325 10,00025
29.8233 3
cmVh cm
Ahora ya tenemos todos los datos para sustituir en
3
22
25 252000 1.988
9 min min9 29.823
dh dV cm cm
dt h dt cm
El nivel del líquido está subiendo a una rapidez de 1.988min
cm a los 5 min de haber comenzado a
llenarse.
Ejemplo 2.28 Un faro está situado en una isla pequeña a 2 mi de la costa. La baliza del faro gira
a razón constante de 6grados
segundo ver Figura 2.8 ¿Qué tan rápido se mueve el haz del faro a lo
largo de la costa en un punto a 3 mi del punto sobre la costa, más cercano al faro?
Figura 2.8
Solución Primero vamos a convertir los grados a radianes
º
º6
180 30
rad
s
Que es la rapidez con que está girando la baliza o sea
d
dt
en radianes
Y calculamos el ángulo en el instante en que 3x mi con 23 9tan tan tan
2 2 4
x
el resultado anterior lo sustituimos en la identidad 2 2 9 13sec 1 tan 1
4 4 este resultado lo
ocuparemos en la función que derivemos con respecto al tiempo y que más adelante llamaremos
Lo que nos piden encontrar es dx
dt . De trigonometría y de observar la figura podemos plantear
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tan2
x Despejando 2tanx y al derivar con respecto al tiempo
2 22sec sec ........15
dx d
dt dt
sustituimos el resultado que previamente habíamos calculado
para 2 13sec
4
2 13 132sec
15 4 60
dx d
dt dt
.
Ejercicios 2.3.2
1. La diagonal de un cuadrado está aumentando a una razón de 4min
cm. Calcule la razón a la
que está aumentando el área del cuadrado en el momento en que la diagonal es de 5 cm .
2. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y su hipotenusa está aumentando a razón
de 4min
cm. Calcule la rapidez a la que está aumentando el área del triángulo, cuando la
hipotenusa es de 15cm
3. Un cono circular recto tiene una altura 15H cm mientras el radio de su base está
aumentando a razón de 1min
cm. Calcula la rapidez a la que está aumentando el volumen
del cono cuando el radio de su base sea de 3 cm .
4. Se tiene un depósito cónico de altura de 15 m y radio de la base 5m , el cual está lleno de
agua. En 0t comienza a bombearse agua hacia fuera del depósito a una razón de 3
8m
h. Determine la razón a la que está disminuyendo el nivel del líquido en el depósito
después de 10 horas de haber comenzado a llenarse.
5. Una persona que mide 1.80 m camina, alejándose de un farol que se encuentra a una
altura de 3.5 m del piso, con una rapidez de 6km
h. Determine la rapidez a la que está
creciendo la sombra que el hombre proyecta sobre el piso.
6. Al instante 0t se cruzan perpendicularmente la rutas de dos aviones, uno de los cuales
vuela en una línea a 500 m por encima de la línea de vuelo del otro. Las velocidades de
los aviones son de 750km
h y 850
km
h. Determine la velocidad a la que los aviones se
alejan el uno del otro después de dos minutos de 0t . (considere que los aviones vuelan en
el mismo plano).
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7. Una cámara de rastreo, ubicada a 1200 pies del punto de lanzamiento de un globo el cual se elevara verticalmente por el aire caliente que contiene. El instante en el que el ángulo de
elevación de la cámara es 6
, el ángulo crece a razón de 0.1
min
rad. ¿A qué razón sube
el globo en ese instante?
8. Un punto se mueve sobre la hipérbola 1
yx
de tal modo que su abscisa x aumenta a
una velocidad constante de 2cm
s. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de ese
punto cuando pasa por 1,1 .
2.3.3. Problemas de optimización
Ejemplo 2.29 Se desea construir un cono cuya altura sesgada sea de unidades ver Figura 2.9.
¿Cuáles son las dimensiones (radio y altura) que maximizan el volumen de dicho cuerpo?
Figura 2.9
De la Figura 2.9 se deduce que:
21
3V r h …( ); 2 2 2L h r …( ), sustituyendo (2) en (1)
2 31
3V L h h …(3); tomando la primera y segunda derivada,
2 213
3
dVL h
dh …(4);
2
22
d Vh
dh …(5)
Para cualquier valor real y positivo de h, la segunda derivada será negativa, por lo cual se produce
un máximo. Resolviendo (4) para encontrar los puntos críticos:
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2 210 3
3L h ;
1
3h L ;
22
3
Lr L
2
3r L , y 21 2 1
3 3 3Vmáx L L
, 32 1
9 3Vmáx L
Ejemplo 2.30 Se pretende diseñar una caja sin tapa con base cuadrada con un área superficial
, ver Figura 2.10. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que su volumen sea máximo?
Solución El área superficial es:
2 4*sA x xy …( ), de donde al despejar la altura 2
4sA x
yx
…( )
Por otro lado, el volumen de la caja está dado por:
2V x y …(3), sustituyendo (2) en (3), 2
2 31
4 4s
s
A xV x A x x
x
…(4), derivando (4)
3 21 13
4 4s s
dV dA x x A x
dx dx …(5) la segunda derivada es:
2
2
2
1 1 33 6
4 4 2s
d V dA x x x
dx dx …(6). Resolviendo (5) para encontrar los puntos críticos:
210 3
4s
dVA x
dx
3sAx
Sustituyendo el punto crítico con significado físico,
Figura 2.10
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2 2
2 2
3 33, 0
2 3
s s
s
A Ad V d V
A
dx dx
, por lo tanto el volumen es máximo y la dimensión altura
es:
2
23
3 3
4 4 4 63 3 3 3
ss ss
ss
s s s s
AA AA
AA
yA A A A
, 12sAy
Y el volumen máximo está dado por:
2
3 6 36
3
s s s s
s
A A A AV
A
, 3
max108sAV
Ejemplo 2.31 Se desea elaborar un recipiente cilíndrico que tenga un volumen V. Hallar las
dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal sea mínima, considerando:
a) Recipiente abierto
b) Recipiente cerrado
Solución a) El volumen del cilindro es 2V r h …( ) mientras que el área superficial se o tiene
con:
22TA rh r …( ) para el cilindro con una sola tapa.
De la ecuación (2) se despeja h:
2
Vh
r y se sustituye en la ecuación del área total (2)
2
22T
VA r r
r
, 22
T
VA r
r …(3), derivando (3)
22TdA d Vr
dr dr r
,
2
22TdA Vr
dr r …(4). Derivando de nuevo:
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2
2 3
62Td A V
dr r …(5)
Igualando a cero la primera derivada para hallar los puntos críticos:
2
22
Vr
r ; 3 V
r
, 3V
r
, por lo tanto 2/3
2 2/3
3
V Vh
VV
, 3V
h
Sustituyendo r en (5):
2
2 33
62 8Td A V
dr V
, con lo cual se verifica que con los valores de r y h hallados se obtiene el
área mínima. Por lo tanto el área mínima es:
2
3 3 32T
V V VA
, 3 2
min 3A V
Solución b) considera que el recipiente es cerrado.
2
22 2T
VA r r
r
…(6);
2
24TdA Vr
dr r ; 3
2
Vr
2/3
2 2/3
3
2
2
VVh
VV
; 34V
h
; y la segunda derivada es 2
2 3
64Td A V
dr r , sustituyendo r
2
2 33
6 114
24
Td A V
dr V
, lo cual garantiza el mínimo.
2 22
3 3 3 3 32
4 22 2
2 2 2T
V V V V VA
2
3min 5 2A V
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Ejemplo 2.32 Se desea elaborar un recipiente cilíndrico abierto que tenga un volumen V. El costo
del material usado para la ase cuesta “n” veces más que el que se emplea en el cuerpo del
cilindro. Suponiendo que no hay desperdicio de material, calcular las dimensiones que permitan
que el costo del recipiente sea mínimo. El costo es P.
Solución 2V r h …( ) de donde 2
Vh
r …( ). or otro lado el área es:
22TA rh r …(3), sustituyendo la altura en función del radio y el volumen
22T
VA r
r …(4)
El costo total está dado por
Costototal áreade la base costobase áreadel cuerpo costo del cuerpo
22T
VC P nP r
r …(5), derivando respecto a “r”,
2
22TdC V
P nP rdr r
…(6), se iguala a cero la primera derivada para obtener el radio óptimo
2
22
VP nP r
r ; 3
Vr
n ;
2
3
Vh
V
n
; 2
3n V
h
Se calcula la segunda derivada:
2
2 3
62Td C V
P nPdr r
…(7); 2
2 3
3
62Td C V
P nPdr V
n
2
26 2 8Td Cn P n P n P
dr , por lo que el costo es mínimo.
2
3
3
2Tmín
V VC P nP
nV
n
, 1/3 1/32/3 2/32TC n V P n V P ; 3 23TmínC n V P
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Ejemplo 2.33 Se desea construir una caja a partir de un rectángulo de cierto material con
dimensiones largo “ ” ancho “ ”, recortando un cuadrado de lado de cada esquina para tal
efecto y doblando los lados de tal manera que se forme dicha caja. Calcular las dimensiones del
volumen máximo que se produce recortando el cuadrado óptimo.
2 2 *V L x a x x …( ). i se desarrolla para derivar el polinomio en lugar de un producto:
2 32 4V aLx a L x x …( ). Derivando con respecto a x
212 4dV
x a L x aLdx
…(3).
, igualando a cero:
20 12 4x a L x aL . Resolviendo:
2 22 24 4 4 12 4 4 4 12
2 12 2 12
a L a L aL a L a L aLx
2 2 2 24 4
64 6
a L a aL L a L a aL Lx
2 2
6
a L a aL Lx
. La segunda derivada es:
2
224 4
d Vx a L
dx ; sustituyendo
2 2
6
a L a aL Lx
Figura 2.11
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 49
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2 22
224 4
6x xop
a L a aL Ld Va L
dx
;
2
2 2 2 2
24 4 4 4
x xop
d Va L a aL L a L a aL L
dx
, lo cual produce un mínimo.
Sustituyendo la otra raíz:
2 22
2 2
224 4 4
6x xop
a L a aL Ld Va L a aL L
dx
, que produce un máximo por lo tanto
la raíz elegida es 2 2
6óp
a L a aL Lx
Y el volumen máximo es: 2 32 4V aLx a L x x
2 2
2 2
22 2
26
6
46
a L a aL LaL a L
a L a aL LVmáx
a L a aL L
, desarrollando y factorizando
términos
2 2
2 2 2 2454
a L a aL LVmáx aL a L a L a aL L
Ejemplo 2.34 Hallar el volumen máximo de un cono que se puede inscribir dentro de una esfera
de radio R.
Figura 2.12
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Solución El volumen del cono es:
2 21
3Vc R a R a
…( ). Desarrollando el polinomio
3 2 2 31
3Vc R aR a R a
…( ). Derivando la funci n
3 2 2 31
3
d dVc R aR a R a
da da
, e igualando a cero 2 21
2 3 03
dVc R aR a
da
2 23 2 0a aR R , resolviendo: 2 22 4 4 3
6
R Ra
;
1 2
3
Ra
1
3
3
Ra R
; 2 3 3
R Ra
; 2 3
Ra
Derivando para verificar el máximo:
2
2 2
2
1 12 3 2 6
3 3
d dVc R aR a R a
dada
…(3)
2
2
1 42 6
3 3 3
d RVc R R
da
, por lo cual se garantiza el resultado esperado.
Sustituyendo el valor de “a” para encontrar las otras dimensiones:
2
2 8
3 9
Rr R R
;
2 2
3r R ;
4
3 3
Rh R R ;
4
3h R
Y el volumen máximo está dado por:
2 3
3 21
3 3 3 3
R R RVc R R R
, realizando las operaciones pertinentes
3 3 33 3
2 3
1 32
3 3 813 3
R R RVc R R
;
332
81Vcmáx R
Ejemplo 2.34 a) Suponiendo que el radio de la esfera es de 3 pulgadas, hallar las dimensiones y
el volumen que lo hacen máximo.
2 2
3 2 23
r u ; 4
3 43
h u ;
3 332 32
381 3
Vmáx u
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Ejemplo 2.35 Hallar el volumen máximo de un cilindro recto que se puede inscribir dentro de una
esfera de radio R.
Figura 2.13
Solución A partir de las ecuaciones del volumen y del teorema de Pitágoras:
2 32 2
4 4
h hVc R h R h
…( ) Derivando ( )
32 2 23
4 4
d d hVc R h R h
dh dh
…( ). Igualando a cero resolviendo
2 230
4C
dV R h
dh ; 2 24
3R h ;
2
3
Rh ;
2 3
3
Rh
. Cálculo de la segunda derivada:
2
2
3
2
dVc h
dh
…(3); Utilizando el valor de h hallado anteriormente:
2
2
3 2 33
2 3
d RVc R
dh
que produce un máximo.
Utilizando el valor de h se calcula la dimensi n “r”
2
2 2
2 3
Rr R
,
1 21
3 3r R R ;
2
3r R
y el volumen es:
3
2 2 3 1 2 3
3 4 3
R RVcmáx R
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Enero – Julio 2012
Simplificando
34 3
9Vcmáx R
Ejemplo 2.35 a) Suponiendo que el radio de la esfera es de 3 pulgadas, hallar las dimensiones y
el volumen que hacen máximo al cilindro.
2
3 63
r u ; 2 3
3 2 33
h u ,
3 34 3
3 12 39
Vcmáx u
Ejemplo 2.36 Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el
sector de parábola formado por la curva 2y
xP
y la recta 0x x
Solución Si se denota como a y b a la base y altura del rectángulo, respectivamente, se tiene que
los puntos:
0 ,2
bx a
, 0 ,
2
bx a
deben de pertenecer a la parábola, por tanto satisfacen su ecuación y se
tendrá que cumplir que:
2
0
2
b
x aP
; 2
0 4
ba x
P
Y como el área del rectángulo es A=ab, expresándola sólo en función de b sustituyendo el valor
anterior, se tiene:
A
Figura 2.14
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2
0 4
bA ab x b
P
,
3
0 4
bA x b
P , derivando esta última ecuación:
2
0 34
dA bx
db P ;
2
2
3
2
d A b
Pdb , igualando a cero la primera derivada,
20
00 3 24 3
Pxbx b
P , sustituyendo la raíz positiva en la segunda derivada,
20 0
2
3 32
2 3 3
Px Pxd A
P Pdb , que resulta en un número negativo por lo cual el área es máxima.
0
00 0
4
3
4 3
Px
xa x x
P
,
0
2
3a x ; 2b Pa
0 00 0
2 42
3 3 3 3
Px PxA x x
; 3
max 2A Pa
2.3.4. Regla de L´hôpital
Formas indeterminadas
Recordemos que las formas y son llamadas indeterminadas por que no garantizan la existencia
del límite, tampoco nos indican cual es el límite, en caso de que exista. Cuando nos encontremos este tipo
de indeterminaciones podríamos intentar reescribir la expresión usando algunas técnicas algebraicas.
Ocasionalmente, podremos usar el desarrollo de estas técnicas algebraicas para encontrar el limite sobre
todo de las funciones trascendentes. Por ejemplo, calcular el límite
En este caso se produce una forma indeterminada de la forma . Ahora Factorizando y dividiendo
tenemos que
( ) ( )
( )
A pesar de ello, no todas las formas indeterminadas pueden ser evaluadas de esta manera o utilizando
algún técnica algebraica. Cuando las funciones algebraicas y trascendentes están mezcladas. Un ejemplo de
esta situación lo podemos ver en la siguiente función
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
54 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Aquí se produce la forma indeterminada . Reescribiendo obtenemos lo siguiente
(
)
Lo que produce la forma indeterminada , lo cual es obvio que no podemos evualar directamente para
obtener el límite de la función.
Teorema 2.16 Regla de L’Hôpital
Supóngase que ( ) y ( ) son diferenciables y ( ) en las cercanías de excepto tal vez
en . Además si se supone que:
( )
( )
O bien
( )
( )
Entonces
( )
( )
( )
( )
La aplicación de este teorema no se limita a la primera derivada sino que se puede extender a la segunda,
tercera o -ésima derivada, siempre y cuando la función continue siendo diferenciable.
Ejemplos de la aplicación de la regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.37 Calcule el siguiente límite
Solución La evaluación directa de la función conduce a una forma indeterminada
. Utilizando los métodos
antes vistos se concluye que el límite existe y es igual a 4. En efecto:
( )
Usando la regla de L’Hôpital se obtiene un resultado equivalente:
Nota: Es útil señalar que se debe derivar tanto el numerador como el denominador como funciones separadas y no aplicar la regla del cociente, es decir:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( )
( )*
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 55
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.38 Halle el límite indicado
√ √
Solución La evaluación directa de la función conduce a la forma indeterminada
, por lo cual usando la regla
de L’Hôpital:
( ) √ √
( )
√
( ) ( )
√ √
√
√
Ejemplo 2.39
( )
Solución Derivando por separado el numerador y el denominador:
( )
Ejemplo 2.40
x
y x 1/
1
1/
0 0lim lim 1
x
x xy x ;
0 0
1 0limln lim ln 1 ?
0x xy x
x
1
0 0 0
1limln lim 1 lim
1x x xy y e e
x
Ejemplo 2.41 Indeterminación de la forma
,
( )
Solución La evaluación directa conduce a un absurdo.
Re arreglando la expresión anterior:
( )
Usando la regla de L’Hôpital:
( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
56 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Observe que se podría derivar
de la misma forma que en los casos anteriores el valor del cociente sería
cero. Sin embargo la expresión
no produce una forma indeterminada
por lo cual no es
correcto continuar con la derivación indiscriminada.
Ejemplo 2.42 Resolver
2
1
1 0lim ?
ln 0x
x
x
,
Solución
2
1 1 1
1 2 1lim lim lim 2 1 0
1lnx x x
x xx x
x
x
Ejemplo 2.43 Halle 0
0lim ?;
0
x x
x
e e
x
Solución
0 0
lim lim 2x x
x x
x x
e ee e
x
Uso iterado de la regla de L’Hôpital. A continuación se verán ejercicios donde es preciso utilizar derivadas de
orden superior para encontrar el límite de una función.
Ejemplo 2.44
20
cos coslim ?x
ax bx
x
Solución
20
cos cos 0lim ?
0x
ax bx
x
,
20 0
cos cos sen sen 0lim lim ?
2 0x x
ax bx a ax b bx
x x
2 2 2 2
0 0
sen sen cos coslim lim
2 2 2x x
a ax b bx a ax b bx b a
x
Ejemplo 2.45
30
tan 3 3lim ?x
x x
x
s
Solución
30
tan 3 3 0lim ?
0x
x x
x
, derivando,
2
3 20 0
tan 3 3 3sec 2 3 0lim lim ?
3 0x x
x x x
x x
2 2
20 0 0
3sec 2 3 12sec 2 sec 2 tan 2 12sec 2 tan 2 0lim lim lim ?
6 6 03x x x
x x x x x x
x xx
4 2 22
0 0
12 2sec 2 4tan 2 sec 212sec 2 tan 2 24lim lim 4
6 6 6x x
x x xx x
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 57
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.46
30
senlim ?x
ax ax
x
x
Solución
30
sen 0lim ?
0x
ax ax
x
3 20 0
sen cos 0lim lim ?
3 0x x
ax ax a ax a
x x
,
2
20 0
cos sen 0lim lim ?
3 6 0x x
a ax a a ax
x x
,
2 3 3
0 0
sen coslim lim
6 6 6x x
a ax a ax a
x
Ejemplo 2.47 senx
y x
0
0 0lim lim sen 0 ?
x
x xy x
0 0 0
ln senlimln lim ln sen lim ?
1x x x
xy x x
x
2
0 0 0 0
2
cosln sen sen 0
limln lim lim lim ?11 tan 0x x x x
xdx x xdxy
d x
xdx x
2
2
20 0 0 0
2limln lim lim lim 2 sec 0
sectan
x x x x
dx
xdxy x xd x
xdx
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
58 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 2.3.4 Usando la regla de L’Hôpital halle los siguientes límites
√ √
√
(
*
0
coth 13lim
tanhlim
Si
N
i
CNN
k C
1/
0 1 Demostrar que 01lim lnix
CN
k C
Sea
R C R C
k R C
01
ln1
, muestre que 01
limR
C C
k C
2.3.5. Análisis de función
Procedimiento para el análisis de funciones
1) Dominio de la función. 2) Rango de la función*. 3) Paridad. 4) Intersecciones con los ejes.
a) Intersección con el eje de las ordenadas (hacer cero la variable independiente). b) Intersección con el eje de las abscisas, raíces o ceros de la función (intersección con
el eje de las abscisas, hacer cero la variable dependiente). 5) Puntos críticos (Derivar la función, igualarla a cero y determinar las raíces; obtener los pares
ordenados de las raíces evaluando la función con estas abscisas). 6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento): dividir el dominio en
tantos intervalos más uno del número de puntos críticos. Excluir de los intervalos los puntos singulares. Si no hay puntos críticos tomar un solo valor de prueba en la primera derivada y con ello determinar si la función es creciente o decreciente. El recorrido se efectúa de izquierda a derecha.
Nota: es posible investigar la naturaleza de los puntos críticos (máximo o mínimo) con la primera derivada evaluando antes y después del punto crítico y si presenta decrecimiento y luego crecimiento se trata de un mínimo local, en caso contrario se trata de un máximo local.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 59
Enero – Julio 2012
Si ( ) la función crece, en caso contrario la función decrece.
7) Puntos de inflexión. Se obtienen a través de la segunda derivada de la función, la cual se iguala a cero y las raíces son los valores de la variable independiente de las coordenadas de los puntos de inflexión. Para hallar el par ordenado de dichos puntos es necesario sustituirlos en la regla de correspondencia de la función.
8) Intervalos de concavidad. Dividir el dominio en tantos intervalos de concavidad como puntos de inflexión más uno. Si no existen puntos de inflexión utilizar los intervalos en los cuales la función es continua y ahí tomar los valores de prueba.
Si '' 0pf x la función es cóncava hacia arriba, en caso contrario la función lo es hacia
abajo. Si '' 0cf x , donde xc es la abscisa de un punto crítico entonces el punto crítico es
un mínimo, en caso contrario es un máximo. 9) Asíntotas:
a) Horizontales: es una asíntota horizontal si
xLim f x a
b) Verticales: es una asíntota vertical si
ox a x a
Lim f x Lim f x o si ocurren ambas cosas
c) Oblicuas: La recta es una asíntota oblicua si
y
x x
f xLim a Lim f x a x b
x
Adicionalmente la recta se puede obtener efectuando la división algebraica
P x R x
f x C xQ x Q x
con ( ) como la regla de correspondencia de la asíntota.
10) Bosquejo de la función: trazo empleando el análisis anterior. * El rango algunas veces puede obtenerse al final del análisis. Si se trata de polinomios enteros ya se sabe que el rango de los impares son todos los reales, mientras que si se trata de pares es posible determinar su máximo o mínimo absoluto comparando las ordenadas de los puntos críticos entre sí. A partir del coeficiente término dominante (el que tenga la variable elevada al mayor exponente) se deduce si la función crece o decrece sin límite a medida que la variable independiente toma valores negativos grandes. Entonces con esta información y el máximo o mínimo absoluto se determina el rango.
Ejemplo 2.48 Analizar 3 26 9f x x x x
1) Dominio de la función , por ser un polinomio.
2) Rango de la función , por ser un polinomio de grado impar.
3) Paridad
3 2 3 26 9 6 9f x x x x x x x , f x f x y f x f x
No es par ni impar.
4) Intersecciones con los ejes
a) Intersección con el eje de las ordenadas
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
60 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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0x , 230 0 6 0 9 0 0f
b) Intersección con el eje de las abscisas
0y ; 3 20 6 9x x x , factorizando
20 6 9 3 3x x x x x x , resolviendo 3 0, 0x x 3 0x y x
0 0,1 0,2(0,0); (0,0); (3,0)x y yP P P
5) Puntos críticos
3 2 26 9 3 12* 9
df x dx x x x x
dx dx; igualando a cero la derivada
20 3 4* 3x x ; 0 3 1x x ; 3; 1x x , sustituyendo este valor en la función
6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)
Intervalo ( ) Comentario
,1x -2 2
'( 2) 3 2 12* 2 9 45; '( 2) 0f f Crece
1,3x 2 2
'(2) 3 2 12* 2 9 3; '(2) 0f f Decrece
3,x 4 2
'(4) 3 4 12* 4 9 9; '(4) 0f f Crece
7) Puntos de inflexión.
Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo la ecuación resultante:
'' 6 12 0; 2f x x x , por lo tanto existe solo un punto de inflexión y su par ordenado es:
3 2
2 2 6 2 9 2 2f , 2,2IP
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 61
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8) Concavidad de la función
Intervalo ( ) Comentario
,2x 0 ''(0) 6 0 12 12; ''(0) 0f f cóncava hacia abajo
2,x 3 ''(3) 6 3 12 6; ''(3) 0f f cóncava hacia arriba
9) Asíntotas:
a) Horizontales:
3 26 9x xLím f x Lím x x x
Por lo tanto, no existen asíntotas horizontales
b) Verticales: No existen asíntotas verticales
c) Oblicuas: No existen asíntotas oblicuas
10) Bosquejo de la función
Figura 2.15
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4 5
x2=x3=3
Cóncava hacia abajo
Mínimo (3, 0)
x1
Cóncava hacia arriba
Máximo (1,4)
Punto de inflexion (2,2)
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62 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.49 Analizar
2
2 1
xf x
x
1) Dominio de la función 1/2fD
2) Rango de la función* 2 2 2 22 2xy y x y x xy y y ;
2
1 1y y x y x y y y
1 21 0, 0,1 ; 1 0: 0 1 1,y y S y y y y S , 30 1 ,0y y S , por lo tanto el
rango es:
,0 1, 0,1 0,1R R
3) Paridad
22
1 22 1
f xx xf x f x
xx f x, por lo tanto no es par ni impar.
4) Intersecciones con los ejes
a) Intersección con el eje de las ordenadas
200 0
2 0 1f
b) Intersección con el eje de las abscisas
0 0 0 1 0x
0 0(0,0); (0,0)x yP P
5) Puntos críticos
2 2
2 2
2 1 ' 2 1 ' 2 1'
2 1 2 1
x x x x x xf x
x x;
2 22 2
4 3
2 1 ' 2 1 ' 2'' 2
2 1 2 1
x x x x x xf x
x x
Igualando la primera derivada a cero y resolviendo,
1 20, 1x x , sustituyendo estos valores en la función para encontrar su par ordenado,
0 0; 1 1f f
Si se evalúa la segunda derivada con estos puntos críticos para saber su naturaleza:
'' 0 2; '' 1 1f f , por lo cual 1 20,0 , 1,1Pc máximo Pc mínimo
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 63
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6) Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)
Intervalo xp f’(xp) Comentario
,0 -1 4/9 Crece
0,1 1/2 ¼ -3/2 Decrece
1, 2 4/9 Crece
7) Puntos de inflexión. Igualando la segunda derivada a cero,
3
20 2 0
2 1x, no existen puntos de inflexión
8) Concavidad de la función
Tomando el dominio para analizar las concavidades de la función
Intervalo xp f’’(xp) Comentario
,1/2 0 -2 c. abajo
1/2, 1 2 c. arriba
9) Asíntotas:
a) Horizontales:
;x xLim f x Lim f x , por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales
b) Verticales:
1 1
2 2
1/2; ;x x
x Lim f x Lim f x
c) Oblicuas:
2
2
2
/ 2 1 / 4
2 1
/ 2
/ 2 1 / 4
1/ 4
x
x x
x x
x x
, entonces
2 1/ 4/2 1/ 4
2 1 2 1
xx
x x, la asíntota oblicua es
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
64 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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1
2 14
z x ; 0, 1/ 4; 0, 1/2si x z si z x , o también
2
/ 1/22 1 2 1x x
x xLim x Lim
x x;
2 2 21 /21/ 4
2 1 2 2 1x x
x x x xLim x Lim
x x
10) Bosquejo de la función
Figura 2.16
Ejemplo 2.50 Analizar 4 28 16y x x
[1] Dominio de la función fD
[2] Rango de la función* 2
4 2 28 16 4y x x y x ; 2 4 0x y y ; ,0fR
[3] Paridad 4 2 4 28 16 8 16f x y x x x x f x f x , la función es par.
[4] Intersecciones con los ejes
(i) Intersección con el eje de las ordenadas
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
-2 -1 0 1 2
max
min
x=0.5
z=x/2+1/4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 65
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si x=0, 4 2
0 0 8 0 16 0 16f f
(ii) Intersección con el eje de las abscisas
si y=0, 2 4 4x y x y
1 4 0 2x ; 2 4 0 2x ; lo cual se confirma porque es una función par,
ordenando las raíces, 1 22; 2x x .
0 1 0 2 0(0, 16); (0, 2); (0, 2)x y yP P P
[5] Puntos críticos
3 21 2 3' 4 16 4 16 4; 0; 4y x x x x x x x ; evaluando en la función para obtener los
pares ordenados: 4 2
2 2 8 2 16 0f , 0 16f y 2 0f , por ser par. Los pares
ordenados de los puntos críticos son: 1 2 32,0 , 0, 16 2,0Pc Pc y Pc
Clasificación de los puntos críticos:
2
'' 2 '' 2 12 2 16 32y y , PC1 y PC3 máximos
'' 0 12 0 16 16y , PC2 mínimo.
[6] Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)
Intervalo ( ) Comportamiento
, 2 -3 60 crece
2,0 -1 -12 decrece
0,2 1 12 crece
2, 3 -60 decrece
[7] Puntos de inflexión. 2'' 12 16 4/3y x x , con los pares ordenados:
4 2
4/3 4/3 4/3 8 4/3 16 64/ 9f f ; los pares ordenados de los puntos de
inflexión son por lo tanto: 1 24/3, 64/9 , 4/3, 64/9I IP P
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
66 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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[8] Concavidad de la función
Intervalo ( ) Comportamiento
, 4 /3 -2 -32 c. abajo
4 /3, 4 /3 0 16 c. arriba
4 /3, 2 -32 c. abajo
[9] Asíntotas:
(iii) Horizontales: No tiene
(iv) Verticales: No tiene
(V) Oblicuas: No tiene
[10] Bosquejo de la función
Figura 2.17
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3 -2 -1 0 1 2 3
PI1 PI2
r1
r2
Pc1=máx
Pc2=mín
Pc3=máx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 67
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Ejemplo 2.51 Analizar
2
21
xf x
x
[1] Dominio de la función
21 0, 1x x , 1,1fD
[2] Rango de la función*
2
21
xf x
x, despejando x,
22 2 2 2
21 , ;
1
xf x y x y x x y yx
x
2 2 2; 1 ,1
yx yx y x y y x
y
10; 0, 1 0, 1 0,
1
yy y y S
y
20, 1 0, 1 , 1y y y S la solución completa es entonces:
, 1 0,Ry
1,0Ry R
[3] Paridad
22
2 211
x xf x f x
xx, f x f x , la función es par, es decir, es simétrica respecto al
eje de las ordenadas.
[4] Intersecciones con los ejes
(i) Intersección con el eje de las ordenadas
00, 0 0
1 0x f
(ii) Intersección con el eje de las abscisas
22
20, 0, 0
1
xf x x x
x
0 0(0,0); (0,0)x yP P
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
68 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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[5] Puntos críticos
2
2 2 2 222
2 22
1 11
; , '1 1
x d dd x x x xdf x xx dx dxf x f xdx dxx x
2 33 3
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 2 2
1 1 1
x x x x x x x
x x x,
2
2
2'
1
xf x
x
2
2
2' 0 ; 2 0, 0
1
xf x x x
x, sustituyendo en la función
2
12
00 0, 0,0
1 0cf P
Derivando de nuevo
22
22 22
22
2
2 121 21
''
1
x d xd d xx xx
dx dxf xdx
x
22 22 2 2 2 2
4 42 2
12 1 4 1 2 1 8 1
''1 1
d xx x x x x x
dxf xx x
2 22 2 2
3 3 32 2 2
2 1 8 2 2 8 2 6''
1 1 1
x x x x xf x
x x x,
2
32
2 6''
1
xf x
x
Sustituyendo en la segunda derivada el PC
2
32
2 6 0 2'' 0 2
11 0
f , mínimo, y 1 0,0cP mín
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 69
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[6] Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)
Intervalo ( ) comentario
,0 1 2
22
2 2 4' 2
91 2
f decrece
0, 1 2
22
2 2 4' 2
91 2
f crece
[7] Puntos de inflexión.
Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo,
22
32
2 6 1'' 0; 2 6 0;
31
xf x x x
x, por lo tanto NO existen puntos de inflexión.
[8] Concavidad de la función
Intervalo xp f’’(xp) comentario
, 1x -2
2
32
2 6 2 26'' 2 0
271 2
f cóncava hacia abajo
1,1x 0
2
32
2 6 0 2'' 0 0
11 0
f cóncava hacia arriba
1,x 2
2
32
2 6 2 26'' 2 0
271 2
f cóncava hacia abajo
[9] Asíntotas:
(iii) Horizontales:
2
2 2
22
22 2
1lim lim lim lim 1
1111
x x x x
x
x xf xxx
xx x
lim 1 1x
f x y
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70 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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(iv) Verticales: 2
21
xf x
x
,
21 0, 1x x
1 21; 1x x
Comportamiento de la curva cerca de las asíntotas verticales
limx a
f x
2
21
lim1x
x
x
2
21
lim1x
x
x
2
21
lim1x
x
x
2
21
lim1x
x
x
Por lo tanto ambos ceros del denominador son asíntotas
(V) Oblicuas: No tiene
[10] Bosquejo de la función
Figura 2.18
-6
-4
-2
0
2
4
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Mínimo
Cóncava hacia
Cóncava hacia
Cóncava hacia
y=-1
x1=+1 x1=-1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 71
Enero – Julio 2012
Ejemplo 2.52 Analizar
2
2 4
xf x
x
[1] Dominio de la función 2 4 0, 2x x , 2,2fD
[2] Rango de la función*
2
2 4
xf x
x, despejando x,
22 2 2 2
24 , 4 ;
4
xf x y x y x x yx y
x
2 2 2 44 ; 1 4 ,
1
yx yx y x y y x
y
1
40; 0, 1 0, 1 1,
1
yy y y S
y
20, 1 0, 1 ,0y y y S la solución completa es entonces:
,0 1,Ry o bien 0,1Ry R
[3] Paridad
22
2 2 44
x xf x f x
xx, f x f x , la función es par
[4] Intersecciones con los ejes
(i) Intersección con el eje de las ordenadas
00, 0 0
0 4x f
(ii) Intersección con el eje de las abscisas
22
20, 0, 0
4
xf x x x
x
0 0(0,0); (0,0)x yP P
[5] Puntos críticos
2
2 2 2 222
2 22
4 44
; , '4 4
x d dd x x x xdf x xx dx dxf x f xdx dxx x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
72 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
2 33 3
2 2 22 2 2
2 4 2 2 8 2 8
4 4 4
x x x x x x x
x x x,
2
2
8'
4
xf x
x
2
2
8' 0 ; 8 0, 0
4
xf x x x
x, sustituyendo en la función
2
12
00 0, 0,0
0 4cf P
Derivando de nuevo
22
22 22
22
2
8 484 84
''
4
x d xd d xx xx
dx dxf xdx
x
2 2 2 22 2 2
2 2 32 2 2
2 2
8 4 4 28 4 8 4 2 8 4''
44 4
x x xx x x x xf x
xx x
Sustituyendo en la segunda derivada el punto crítico:
2
32
2* 4 4 0 1'' 0
20 4f , máximo
1 0,0cP máx
[6] Intervalos de monotonía (intervalos de crecimiento/decrecimiento)
Intervalo ( ) comentario
,0 2
1
2
2
8 1 8' 1 0
91 4
f
crece
0, 2
1
2
2
8 1 8' 1 0
91 4
f
decrece
[7] Puntos de inflexión.
Igualando a cero la segunda derivada y resolviendo,
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 73
Enero – Julio 2012
2
2
32
8 4'' 0; 4 0; 4
4
xf x x x
x, por lo tanto NO existen puntos de inflexión.
[8] Concavidad de la función
Intervalo ( ) comentario
, 2x -3
2
32
8 4 3 104'' 3 0
1253 4
f
cóncava hacia arriba
2,2x 0
2
32
8 4 0 1'' 0 0
20 4f
cóncava hacia abajo
2,x 3
2
32
8 4 3 104'' 2 0
1253 4f
cóncava hacia arriba
[9] Asíntotas:
(iii) Horizontales:
2
2 2
22
22 2
1lim lim lim lim 1
4441
x x x x
x
x xf xxx
xx x
lim 1 1x
f x y
(iv) Verticales:
2
2 4
xf x
x
,
2 4 0, 4x x
1 22; 2x x
Comportamiento de la curva cerca de las asíntotas verticales
limx a
f x
2
22
lim4x
x
x
2
22
lim4x
x
x
2
22
lim4x
x
x
2
22
lim4x
x
x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
74 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Por lo tanto ambos ceros del denominador son asíntotas
(V) Oblicuas:
No tiene.
[10] Bosquejo de la función
Figura 2.19
Ejercicios 2.3.5
Analizar las siguientes funciones
1.4 25 4y x x
4.2 4 2x xy e
2.
3
2 1
xy
x
5.
2
2
1
1
xf x
x
3. 2xf x e 6.
-4
-2
0
2
4
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Máximo (0.0)
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
y=-1 x1=-2 x1=+2
Cóncava hacia arriba
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 75
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2.3.6. Método de Newton –Raphson
El método de Newton permite resolver ecuaciones no lineales mediante aproximaciones sucesivas o
iteraciones.
Si ( ) , donde es derivable en un intervalo abierto que contiene , entonces para aproximar se puede seguir la metodología descrita a continuación:
i. Se propone un valor inicial de la raíz la cual puede obtenerse a partir de un bosquejo o bien de las consideraciones físicas del problema ( ).
ii. Se calcula una nueva aproximación con la siguiente fórmula:
( )
( )
Donde es el valor inicial o supuesto y es el valor calculado. Dichos valores se actualizan con cada iteración. Este método permite estimar las raíces de ecuaciones con suficiente exactitud. En los problemas no lineales donde no es posible encontrar de manera exacta el valor de la raíz es necesario un criterio para que se detenga el algoritmo de Newton. Dicho criterio es:
| |
Donde es un valor suficientemente pequeño y se elige con base en el tipo de problema a resolver. El valor de inicio ( ) debe elegirse juiciosamente, ya que de lo contrario no se podría obtenerse la solución.
Ejemplo 2.53 Sea la ecuación
Cuyas raíces son * +
Solución Al aplicar el método de Newton fijando como valor inicial y un criterio de paro :
Se deriva la función:
( )
La actualización de valores se obtiene con la siguiente fórmula:
Entonces, se comienza el algoritmo como sigue:
( )
( )( )
Se calcula la diferencia absoluta entre el valor inicial y el calculado:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
76 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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| |
Puesto que
Se continúa entonces con las aproximaciones tomando ahora el valor inicial como :
( )( )
De nueva cuenta se calcula la diferencia entre el valor nuevo y el propuesto:
| |
Estas iteraciones se muestran en la siguiente figura:
Figura 2.20 Ilustración del método de Newton para determinar la raíz de un polinomio.
Como aún esta diferencia es mayor que la tolerancia ( ) se actualiza el valor inicial y se calcula uno nuevo:
( )( )
El proceso continuo hasta alcanzar la convergencia deseada, y los resultados se resumen en la siguiente
tabla:
( ) ( ) | |
1.0000 -2.0000 1.0000 3.0000 2.0000
3.0000 4.0000 5.0000 2.2000 0.8000
2.2000 0.6400 3.4000 2.0118 0.1882
2.0118 0.0354 3.0235 2.0000 0.0117
2.0000 0.0001 3.0001 2.0000 0.0000
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 77
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Por lo cual se concluye que la solución con una tolerancia de 0.0001 es:
Ejemplo 2.54 Sea la ecuación
Solución Al aplicar el método de Newton comenzando con un valor inicial y un criterio de paro
para encontrar una raíz.
Usando el método se obtiene la siguiente tabla de iteraciones:
( ) ( ) | |
1.0000 -1.0000 3.2000 1.3125 -0.3125
1.3125 0.3874 5.8206 1.2460 0.0665
1.2460 0.0212 5.1910 1.2419 0.0041
1.2419 0.0001 5.1537 1.2419 0.0000
Lo cual coincide con la solución analítica hasta la tercera cifra decimal.
Resuelva la ecuación , para comenzando con
Solución
( ) ( ) | |
1.0000 1.7183 2.7183 0.3679 0.6321
0.3679 0.4447 1.4447 0.0601 0.3078
0.0601 0.0619 1.0619 0.0018 0.0583
0.0018 0.0018 1.0018 0.0000 0.0018
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 La solución es comparable al resultado analítico, .
Resuelva la ecuación ( )
con y
Las iteraciones se muestran en la siguiente tabla:
( ) ( )
( ) ( ) | |
1.0000 0.3415 0.5403 0.3680 0.6320
0.3680 -0.1402 0.9330 0.5183 0.1503
0.5183 -0.0046 0.8687 0.5236 0.0053
0.5236 0.0000 0.8660 0.5236 0.0000
Y la solución analítica es:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
78 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
( )
{
}
En la cual una raíz es
Ejercicios 2.3.6
Usando el método de Newton-Raphson halle una raíz de las ecuaciones utilizando como valor inicial el sugerido y el criterio de convergencia señalado.
Ecuaciones Valor de inicio
( )
Criterio
| |
Solución
Valor final Núm. iteraciones
1. 1 2.0000 5
2. 1 0.2000 6 3. √ 1 0.4804 3
4. ( ) 100 255.0000 5 5. ( ) √ 1 1.0472 3
2.4. Definición de anti derivada o primitiva El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y
por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función ( ) cuya derivada
sea ( ),
( ) ( )
Entonces decimos ( ) es una primitiva (o antiderivada) de ( ).
Definición Antiderivada o primitiva
Una antiderivada o primitiva de la función es una función F tal que ( ) ( )
Siempre y cuando ( ) esté definida
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 79
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En la figura anterior se ilustran las operaciones de derivación y antiderivación,
comenzando con la misma función ( ) y siguiendo en direcciones opuestas.
En la figura anterior se ilustra que la derivaci n “anula” el resultado de la antiderivaci n, la
derivada de la primitiva de ( ) es la función original ( )
Ejemplos de funciones, cada una con sus primitivas
Función ( ) Primitiva ( )
Se tiene la función ( ) , observamos que la antiderivada general de es
. Al
asignar valores específicos a la constante CV, obtenemos una familia de funciones cuyas
gráficas son traslaciones verticales de una a otra.
𝑓(𝑥) 𝐶
Teorema 2.17 si 𝐹 es una antiderivada en un intervalo 𝐼, entonces la antiderivada más general de 𝑓 en 𝐼 es
donde 𝐶 es una constante arbitraria.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
80 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 2 4 6
1
2
3
4
-6 -4 -2 2 4 6
-1
1
2
3
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-1
1
2
-6 -4 -2 2 4 6
-3
-2
-1
1-6 -4 -2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
Miembros de la familia de Antiderivadas ( )
Figura 2.21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 81
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Tabla de fórmulas de antiderivación.
Función Antiderivada
particular Función
Antiderivada particular
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
| |
√
Para obtener la antiderivada más general (en un intervalo) a partir de las particulares de la
tabla anterior, tenemos que sumar una constante.
Ejemplos 2.55 Encuentre la antiderivada de cada una de las siguientes funciones
a) ( )
b) ( )
c) ( ) √
d) ( ) ( )
a) Aplicando
Tenemos ( )
–
( )
( )
b) Aplicando
Tenemos ( )
( )
c) Aplicando
( ) ( )
( ) ( )
( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
82 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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d) Aplicando
( ) ( )
( )
Ejercicios 2.4
Determine la antiderivada de las siguientes funciones
1. ( ) 6. ( )
2. ( ) 7. ( )
3. ( ) 8. ( )
4. ( ) √
√ 9. ( )
√
5. ( )
10. ( ) √
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Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 1
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3. La integral y sus aplicaciones
3.1. Teorema fundamental del cálculo
Teorema 3.1 Primer teorema fundamental del cálculo.
Si es una función continua en el intervalo cerrado y acotado , - y la aplicación
( ) ∫ ( )
, entonces ( ) es derivable en , -. Además, para todo de , -,
se tiene ( ) ( ).
Definición: Sea una función real definida sobre un intervalo cualquiera , -( ). Se dice que la función real definida y derivable sobre , - es primitiva de si para todo tal que se tiene que
( ) ( ).
Teorema 3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo. Si es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado , - y si
( ) ( ) ( )
Entonces
∫ ( )
( ) ( )
Ejemplo 3.1 Calculo de una integral indefinida.
a) ∫ ( )
[
]
(
* (
*
b) ∫ √
∫
0
1
( ) ( )
c) ∫
| ( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
2 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Como utilizar el teorema fundamental del cálculo. 1. Suponiendo que se conozca una antiderivada o primitiva , se dispone de una forma de calcular una
integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma. 2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo, la siguiente notación resulta conveniente
∫ ( )
( )| ( ) ( )
3. No es necesario incluir una constante de integración en la antiderivada o primitiva ya que
∫ ( )
( ) | , ( ) - , ( ) -
Ejercicios 3.1.
1. ∫ ( )
2. ∫ (
*
3. ∫
√
4. ∫
5. ∫ (√
)
6. ∫ √
7. ∫ | |
8. ∫ ( | |)
9. ∫ ( )
10. ∫
11. ∫
12. ∫ ( )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 3
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3.1.1. Reglas básicas de integración
Tabla 3-1Regla basicas de integración
∫
∫
∫ ( ) ∫ ( )
∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )
∫
∫
| |
∫
∫ ( )
Integrales con la forma
∫
∫
∫ | |
∫ | |
∫ | |
∫ | |
∫
∫
∫
∫
∫
∫
|
|
Integración por sustitución
Una forma de ver los problemas del cálculo de integrales es a través de una sustitución para identificar que
formula podríamos aplicar, de las formulas conocidas ejemplo ∫ , ∫ , ∫ , etc.
Ejemplo 3.2 Con la siguiente sustitución y , podemos hacer lo siguiente
∫( )
∫
Pero en muchas ocasiones este tipo de susticiones no es posible llevarla a una formula conocida, veamos
que ∫ √ no se puede ajustar directamente a ninguna de las formulas de la Tabla 3-1.
Ejemplos para usar la sustitución
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
4 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Ejemplo 3.3. Evaluar la siguiente integral ∫ √ .
Solución Primero hacemos entonces la integral la podemos replantear en términos de la
variable , de la siguiente manera
( )
( )
( ) √
Sustituyendo se obtiene la siguiente expresión
∫ √
∫( )
∫( )
(
*
( )
( )
( )
Derivando √ podemos verificar que el resultado es correcto el lector podría comprobar este
resultado como un ejercicio.
La sustitución de cual sustitución podemos usar en caso de haber alguna, recuerde que no siempre es
evidente.
3.1.2. Definición de la integral definida Diferencial del área bajo la curva.
Sea la función continua y x y sea, la ecuación de la curva AB . Si CD es una ordenada fija,
MP una ordenada variable y la medida del área CMPD . Cuando x toma un incremento
pequeño x , toma un incremento (=área MNPQ ). Completando los rectángulos MNRP
y MNQS , vemos que:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 5
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Figura 3.1
Area MNRP área MNQP área MNQS
O sea ; Y dividiendo entre ;
Ahora hágase tender x a cero entonces NQ tiene como límite a MP y puesto que y x es
una función continua de x , tenemos:
d
y xdx
En forma diferencial d y x dx
El diferencial del área es igual al producto del la función que describe la curva por el
diferencial de la variable independiente.
Integrando y resolviendo:
d y x dx
y x dx
Si y x dx f x c f x c
Para determinar c , sabemos que 0 si x a .
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
6 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Sustituyendo 0 f a c c f a f x f a
La diferencia de valores de la integral y x dx , para x a y x b da el área limitada por
la curva cuya ordenada es " "y x , el eje de las " "x y las ordenadas correspondientes a
" "x a y " "x b . La cual representamos por el símbolo:
b
a
bb
aa
y x dx
y x dx f x c f b c f a c f b c
f a c
b
a
y x dx f b f a
Ejemplo 3.4. Resolver
4
2
1
x dx
44 32
1 1
64 121
3 3 3
xx dx
Ejemplo 3.5. Resolver 0
sen x dx
0
0
cos 1 1 2sen x dx x
Ejemplo 3.6. Resolver 2 2
0
adx
a x
2 2
0 0
1 1 1arctan arctan 1 arctan 0
4
aadx x
a x a a a a a
Ejemplo 3.7. Resolver
00 0
2 2
11 1
1 3 2ln 0.134119826
4 9 9 4 12 3 2
dx dx x
x x x
Nota: Cuando el resultado sea negativo será porque el área está por debajo del eje " "x .
Ejercicios 3.1.2. Verifica las siguientes integrales definidas:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 7
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1. 4
2 3
04
aa
a x x dx 2. 1
1
edx
x
3.
1
0
3 13 2
dx
x
4.
3
2
2
2ln 2
1
zdz
z
5. 2 3
0
8ln 3
1 3
x dx
x
6. 2 2
02
rrdx r
r x
7. 2
2
06
aa
a x dx 8.
4 2
0
5.60941
x dx
x
9.
1
3
0
0.3167x
dx
e 10.
2
0
cos 1d
11. 0
2 2cos 4d
12. ∫
3.2. Integrales impropias
Limites infinitos:
Hasta aquí se ha supuesto que los límites de la integral son finitos y en algunos casos no se tiene esa restricción y debemos considerar integrales con límites infinitos para lo cual emplearemos las siguientes definiciones:
Cuando el límite superior es infinito lim
b
ba a
g x dx g x dx
Y cuando el límite inferior es infinito lim
b b
aa
g x dx g x dx
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
8 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.8. 2
1
dx
x
Figura 3.2
2 2
11 1
1 1lim lim lim 1 1
bb
b b b
dx dx
x x x b
Ejemplo 3.9. 3
2 2
0
8
4
a dx
x a
Figura 3.3
Nota: la gráfica se realizó con 3a
3 32 2 2 2
2 2 2 2
00 0
8 8lim lim 4 arctan lim 4 arctan 4 2
4 4 2 2 2
bb
b b b
a dx a dx x ba a a a
x a x a a a
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 9
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.10.
1
dx
x
Figura 3.4
1
1 1
lim lim ln lim ln 0 lim ln El límite NO existe.
bb
b b b b
dx dxx b b
x x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
10 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Integrales Impropias.
Cuando y g x es discontinua, Consideremos ahora casos donde la función a integrar
es discontinua para valores aislados de la variable dentro de los límites de integración. Primero, el caso en el que la función que vamos a integrar es continua para todos los valores de x entre los
límites a y b , excepto en x a .
Si a b y es positivo, empleamos la siguiente definición:
0
lim
b b
a a
g x dx g x dx
Ahora cuando g x es continua excepto en x b
0
lim
b b
a a
g x dx g x dx
Siempre y cuando los limites existan.
Ejemplo 3.11. Calcular 2 2
0
adx
a x se vuelve infinito cuando x a
2 2 2 20 0 0
00 0
lim lim lim 1 12
aa adx dx x
arcsen arcsen arcsena aa x a x
Ejemplo 3.12. Calcular
1
2
0
dx
x se vuelve infinito cuando 0x
11 1
2 20 0 0 00 0
1 1 1 1lim lim lim lim 1 El límite NO existe.
1
dx dx
x x x
Si c es un valor que está entre a y b y g x es continua excepto en x c y siendo
'y números positivos, la integral entre a y b se define por:
0 ' 0
'
lim lim
b c b
a a c
g x dx g x dx g x dx
Siempre y cuando existan ambos límites.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 11
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Calcular
3
22 2 3
0
2
a
xdx
x a La función es discontinua para x a , el cual es un valor en el
intervalo 0,3a , por lo cual emplearemos la definición anterior
3 3
2 2 20 ' 02 2 2 2 2 23 3 3
0 0 '
31 1
2 2 2 23 3
0 ' 00 '
2 2 2 22 232 2 23 33 3 3 3
0 ' 0
2 2 2lim lim
lim 3 lim 3
lim 3 3 lim 3 8 3 ' 3 6 9
a a a
a
a a
a
x x xdx dx dx
x a x a x a
x a x a
a a a a a a a a a
Ejemplo 3.13. Calcular
2
2
0
a
dx
x a esta función se vuelve infinito para x a un valor en el
intervalo 0,2a
2 2
2 2 20 ' 0
0 0 '
2
0 ' 00 '
0 ' 0
lim lim
1 1lim lim
1 1 1 1lim lim
'
a a a
a
a a
a
dx dx dx
x a x a x a
x a x a
a a
Los limites anteriores no existe, por lo que la integral anterior no tiene significado.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
12 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 3.2. Comprueba los resultados propuestos:
1) 2
01 2
dx
x
2) 2
142 1
dx
x x
3)
5
1
44
35
xdx
x
4) 2 2 2
02
dx
a b x ab
5)
2
2 2
1
13
44
dx
x x
6) 2
0
1
2
xxe dx
7)
0
1axe dxa
8)
3
21
2
1
dx
x
9) 2
2
2 2
0
1
4
a
x dxa
a x
10) 2 2 2
dx
x x
11)
2
2
1
1
41
xdx
x
12)
22
2 2
a
a
x dx
x a
3.2.1. Integración por sustitución y cambio de variable
El método de integración por susti tución o cambio de var iable se basa en la der ivada de la función compuesta
∫ ( ) ( ) Para cambiar de var iable ident i f icamos una par te de lo que se va a in tegrar con una nueva variable t , de modo que se obtenga una integral más senci l la .
Pasos para integrar por cambio de variable
∫ ( )
Primero: Se hace el cambio de var iable y se d iferencia en los dos términos:
Se despeja y , sust i tuyendo en la in tegral :
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 13
Enero – Julio 2012
∫ ( ) ∫ ( )
Segundo: Si la integral resul tante es más senci l la , in tegramos:
∫ ( ) ( )
Tercero: Se vuelve a la variable inicial :
( ) ( )
Ejemplo 3.14. ∫
√
∫
, -
∫*
+
∫ ( )
*
+
√
∫
√
(√
)
(√
)
(√
)
Cambios de var iables usuales
1. ∫ . √ /
2 . ∫ . √ /
3 . ∫ . √ /
4 . ∫ 0 √
1
5 . En las funciones racionales de radicales con dist intos índices , de
un mismo radicando l ineal , e l cambio de var iable es e levado a l mínimo común múl t ip lo de los índices.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
14 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
6. Si ( ) es par:
Cambio
√
√
√
7. Si ( ) es impar:
Cambio
.
/
Ejemplos 3.15. ∫
√( )
Primero hacemos el cambio de variable , sustituyendo obtenemos
∫
√( ) ∫
√( )
∫( )
∫
∫
∫ ∫
Tomando en cuenta que
( ) ( )
√
( ) √ , -2 √
∫
√( ) ( ) √
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 15
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.16. ∫
Pr imero hacemos el cambio de var iable
sust i tuyendo
obtenemos
∫
∫
∫
∫
* (
√ *
+
√
∫
√
[
√ ]( )
√
√
√
[
√ ]
Ejemplo 3.17. ∫
√
Pr imero hacemos el cambio de var iable
, sust i tuyendo
obtenemos
∫
√
[
]
∫
√( )( ) ( )
( )
∫
√
√ ∫
√
√ 0
1
Ejemplo 3.18. ∫ √
√
Pr imero hacemos el cambio de var iable , sust i tuyendo obtenemos
∫
∫( )
√
∫
√
√
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
16 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.19. ∫
√
Pr imero hacemos el cambio de var iable , sust i tuyendo obtenemos
∫
√ ∫
∫
√ .
/
√
√
Ejemplo 3.20. ∫
√
Pr imero hacemos el cambio de var iable , sust i tuyendo obtenemos
∫
√
∫
√ ( )
∫
( )
∫
∫
∫ ( )
0
1
0 0 11
3.2.2. Integración de funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas
Función exponencial
Teorema 3.3 Reglas de integración para funciones exponenciales
Si es una función derivable de .
∫ ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 17
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.21. Integración de funciones exponenciales
Encontrar ∫
Solución Si , entonces .
∫
∫ ( )
∫
Ejemplo 3.22. Encontrar ∫
Solución Si se tiene , entonces o .
∫ ∫
( )
∫ (
*
∫
Ejemplo 3.23.
a) ∫
⁄
∫ ⁄ (
*
b) ∫ ∫ ( )
Ejercicios 3.2.2. Exponenciales
1. ∫ 2. ∫
3. ∫ ( ) 4. ∫ √
√
5. ∫
6. ∫
7. ∫
( ) 8. ∫ √
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
18 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
9. ∫ ( ) 10. ∫ ( )
11. ∫
12. ∫ ( ) √
13. ∫
14. ∫
Trate de desarrollar los siguientes conceptos
15. Con sus propias palabras, enunciar las propiedades de la función exponencial natural.
16. ¿Existe una función tal que ( ) ( )?, Si es así, ¿cuál es?
17. Sin integrar, enunciar la fórmula que podría utilizarse para efectuar las integrales siguientes:
) ∫
) ∫
18. Considere la función ( )
a) Usar una herramienta de graficación para graficar . b) Escribir un párrafo corto explicando por qué la gráfica tiene una asíntota horizontal
en y por qué la función tiene una discontinuidad no desmontable en
19. Al ser para , se tiene que ∫
∫
. Efectuar esta integración para
deducir la desigualdad para
20. Discuta con su profesor la relación entre las gráficas de ( ) y ( ) .
Función logaritmo natural
Teorema 3.4 Reglas de integración para la función logaritmo natural
Si es una función derivable de .
∫
| | ∫
| |
Ejemplo 3.24. Uso de la regla logaritmo para integración
∫
∫
( )
Como no puede ser negativa, el valor absoluto no es necesario en la forma final de la primitiva o
antiderivada.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 19
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.25.
Hallar ∫
Solución Si tomamos a , entonces .
∫
∫(
*
∫
| |
| |
Ejemplo 3.26. Cálculo de áreas con la regla de logaritmo
Encontrar el área de la región limitada por la gráfica de
Solución si tomamos a , entonces . Para aplicar la regla de logaritmo, se debe multiplicar
y dividir por 2, de la siguiente manera
∫
∫
[
( )]
∫
| |
( )
Ejemplo 3.27.
a) ∫
| |
b) ∫
| |
c) ∫
∫
| |
d) ∫
∫
| |
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
20 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.28. División larga antes de integrar
Encontrar ∫
Solución
∫
∫.
/
∫
∫
( )
Ejemplo 3.29. Cambio de variable con regla de logaritmo
Encontrar ∫
( )
Solución Tomando como , entonces y .
∫
( ) ∫
( )
∫(
*
∫
∫
| | (
)
| |
| |
Ejemplo 3.30. Obtención de la fórmula de la secante
hallar ∫
Solución
∫ ∫ (
*
∫
Ahora el alumno podrá observar que el denominador de este cociente se puede obtener de la siguiente
manera
.
Por lo que podemos proceder como sigue:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 21
Enero – Julio 2012
∫ ∫
∫
| |
| |
Ejercicios 3.2.2. Función logaritmo natural
1. ∫
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
( )
√
7. ∫
( )
8. ∫
9. ∫
10. ∫
3.2.3. Integración de funciones trigonométricas e inversas trigonométricas
Como ya se ha dicho antes, de cada fórmula de derivación se deduce una fórmula correspondiente de integración. De las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, obtenemos el siguiente teorema que da algunas fórmulas de integrales indefinidas:
Teorema:
I. ∫
√
II. ∫
III. ∫
√
Ejercicios resueltos
Ejemplo 3.31. ∫
Solución.
∫
∫
( ) ( ) ( ( ) )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
22 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.32. ∫
Solución.
∫
∫
∫
0 1
∫
0 1
*√
+
∫
(
√
) (
√
) ( ( ) )
∫
√
√ ( )
Ejemplo 3.33. ∫
Solución.
∫
∫
(√ )
√
√ ( ( ) )
∫
√
√
Ejemplo 3.34. ∫
Solución.
∫
∫
( ) ∫
( )
∫
(
* (
* ( ( ) )
Ejemplo 3.35. ∫
Solución.
∫
∫
( ( ) )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 23
Enero – Julio 2012
3.2.4. Integración al completar el TCP.
En las formulas
2 2
2
2
2 2
2 2
1
ln
1ln
2
g xdgarctg c
a ag x a
dgg x g x a c
g x a
a g xdgc si g x a
a a g xg x a
2
2
Involucran expresiones de Segundo grado con solo dos términos, en el primer caso en el denominador y en el segundo caso dentro del radical. Si en una integral del tipo anterior con solo diferencia en el número de términos, que ahora sean tres, esta última se puede reducir a las formulas mencionadas con tan solo completar el trinomio cuadrado perfecto:
Ejemplo 3.36. 2 2 5
dx
x x
Sumamos y restamos 1 en el denominador 2 2 51 1
dx
x x ahora los tres primeros forman
un trinomio cuadrado perfecto. El cual factorizamos y los últimos dos términos se reducen quedando
2 2 21 4 1 2
dx dx
x x
para la cual emplearemos la primera formula SIEMPRE
DEBEMOS CUIDAR EL DIFERENCIAL
2 2 2
1 21 4 1 2
dx dxg x x dg dx a
x x
2 2
1 1
2 21 2
dx xarctg c
x
Ejemplo 3.37. 2
2
2
dx
x x
Trabajamos con el trinomio que está en el interior del radical 22 x x , acomodando
2 2x x factorizamos el signo 2 2x x completamos el TCP en el interior del corchete
2 1 1
42
4x x
los tres primeros dentro del corchete son un trinomio cuadrado perfecto y
los factorizamos como tal y los últimos dos términos se reducen. 2
1 9
2 4x
Ahora introducimos el signo
21 9
2 4x
acomodando
29 1
4 2x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
24 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Regresamos a la integral con la última expresión dentro del radical
2
2
9 1
4 2
dx
x
En la que podemos aplicar la segunda fórmula teniendo extremo cuidado
en encontrar todos los elementos 1 3
;2 2
g x x dg dx y a
2 2
1 2 12 2 12 22 2 2 2
3 3 39 1 9 12 2
4 2 4 2
xx
dx dx xarcsen c arcsen c arcsen c
x x
Ejemplo 3.38. 23 4 7
dx
x x Trabajamos con el denominador
Factorizamos el tres en el denominador 2 4 7
33 3
x x
Completamos el TCP en el interior del corchete 2 4 4
9 9
4 73
3 3x x
Factorizamos los tres primeros en el interior del corchete y reducimos los dos últimos 2
2 253
3 9x
Regresamos a la integral con la última expresión en el denominador
22 25
33 9
dx
x
El tres sale de la integral en el denominador 2
1
3 2 25
3 9
dx
x
para
la cual podemos aplicar la tercer formula con los elementos: 2 5
;3 3
g x x dg dx y a
2
2 5
1 1 1 3 2 53 3ln ln2 53 10 10 3 2 52 253 33 9
xdx x
c cx
xx
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 25
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.39. 2
3 1
4 9
xdx
x
Estas integrales se deben separar en dos integrales que serán
dos casos ya vistos
2 2 2
3 1 3 1
4 9 4 9 4 9
x xdx dx dx
x x x
La primera integral es un simple cambio de variable o cambio de función
12 2
2
1
122 22
3 3 3 34 9 8
4 9
3 3 34 9 4 9
18 4 4
8
8 8 8
2
x x dx dhdx si h x x dh x dx h x dh
h x h xx
h xc x c x c
La segunda integral
2
1
4 9dx
x
se resuelve con la segunda fórmula vista en este tema solo hay que tener cuidado con encontrar el diferencial adecuado y completarlo en la integral:
2 ; 2 3g x x dg dx y a
2
2 2 2 2
1 1 2 1 1ln 2 4 9
2 2 24 9 2 9 3
dx dgdx x x c
x x g x
Unimos ambas soluciones
2 2
2
3 1 3 14 9 ln 2 4 9
4 24 9
xdx x x x c
x
Ejemplo 3.40. 2
2 3
3 4 7
xdx
x x
Trabajamos con el denominador completando el TCP como
lo vimos anteriormente
2
2 24 7 4 7 2 253 3 3
3 3 3 3 3 9
4 4
9 9x x x x x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
26 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
De aquí realizamos un cambio de variable, siendo 2 2
3 3u x x u y du dx
Y realizamos las sustituciones en la integral como se muestra enseguida:
22 2 2 2
22
2 4 13 6 132 3 2 3 22 3 3 3 3 3
25 25 25 252 25 3 3 3 339 9 9 93 9
6 13 1 6 13
2525 99
99
uu u ux
dx du du du du
u u u ux
u udu du
uu
La última integral se puede realizar como la vista anteriormente separando en dos integrales
2 2 2
1 6 13 1 6 1 13
25 25 259 9 9
9 9 9
u udu du du
u u u
Resolvemos primera integral
2
1 6
259
9
udu
u
Realizamos un cambio de variable o función 2 25
29
g x u dg udu
2
2
2 2
2
1 3 2 3 2 1 1 1 25 1 2 25ln ln ln
25 259 9 3 3 3 9 3 3 9
9 9
1 4 7ln
3 3 3
udu udu dgg x c u c x c
g xu u
x x c
Resolvemos la segunda integral aplicando directamente la formula correspondiente
2 2
1 13 13 13 3 3ln
25 259 9 30 3 7
9 9
du xdu c
xu u
Unimos las dos respuestas parciales para resolver la integral original
2
2
2 3 1 4 7 13 3 3ln ln
3 4 7 3 3 3 30 3 7
x xdx x x c
x x x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 27
Enero – Julio 2012
Ejercicios 3.2.4. comprueba los resultados propuestos
1) 2
1 1ln
4 3 2 3
dx xc
x x x
2) 2
1 1
2 10 3 3
dx xarctg c
x x
3) 2
3 4
8 25 3
dx xarctg c
x x
4) 2
2 33 2
dxarcsen x c
x x
5) 2
1 5ln
6 5 4 1
dv vc
v v v
6) 22 1
2 2 1
dxarctg x c
x x
7)
2
2
1 2ln 1
1
x dxarctg x x c
x
8) 2 2
2
2 12 1 ln 1
1
x dxx x x c
x
9)
2
2
11
1
x dxx arcsen x c
x
10)
2
2
3 1 3 1ln 9
9 2 3 3
x dx xx arctg c
x
11) 2
2
3 23 9 2
39
r dr rr arcsen c
r
12) 2 2
2
34 3ln 4
4
x dxx x x c
x
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
28 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
3.3. Técnicas de integración
El cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la
diferencial. El cálculo integral no da una regla general correspondiente, que pueda
aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. Cada caso
necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por
medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación. Cada método de
integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se
forman tablas de integrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Para
efectuar una integración cualquiera, comparamos le expresión diferencial dada con las
tablas. Si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral, si no está registrada,
miraremos, por varios métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Como
muchos de los métodos se sirven de artificios que sólo la práctica puede sugerir, una gran
parte de nuestro texto se consagrará a la explicación de métodos para integrar las
funciones que se encuentran frecuentemente en la resolución de problemas prácticos.
Figura 3.5
3.3.1. Integración por partes
Sean ( ) ( ) dos funciones variables en un intervalo [a, b] o en todo R.
Es decir: ( )
De donde: ( )
Integrando los dos miembros de la igualdad
∫ ∫ ( ) ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 29
Enero – Julio 2012
La expresión obtenida, se denomina fórmula de integración por partes, se utiliza para
transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de integración
cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos más sencilla que la
primer integral.
Las integrales que podemos resolver con este método son:
a) Integrales de la forma: ∫ ∫
b) Integrales de la forma: ∫ ∫ ∫
c) Integrales de la forma: ∫
d) Integrales de la forma: ∫ ∫
e) Integrales de la forma: ∫ ∫
f) Integrales de la forma: ∫ ∫
Normalmente se recomienda tomar como u = funciones logarítmicas, arco seno, arco
coseno, arco tangente, y polinómicas, dv = funciones trigonométricas y funciones
exponenciales.
Caso I. integrales en las cuales al aplicar la fórmula de integración por partes
∫ ∫ la integral del segundo miembro ∫ es inmediata.
Ejemplo 3.41. ∫
∫ ∫
∫ ( )
| |
Ejemplo 3.42. ∫
∫ ∫ ∫
( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
30 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.43. ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Ejemplo 3.44. ∫
∫ ∫ | ∫
Ejemplo 3.45. ∫ √
( ) ⁄
( )
∫ √
∫
( )
∫
( )
( )
( )
( )
( )
Ejemplo 3.46. ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 31
Enero – Julio 2012
∫ ∫
∫
∫
Ejemplo 3.47. ∫
∫ ∫
∫
∫
Al resolver
∫
Recordar
∫ [
]
∫
∫
∫
Ejemplo 3.48. ∫
( )
Multiplicamos el numerador y el denominador por
∫
( ) ∫
( )
( )
Al resolver ∫
( ) , Si
Entonces ∫
∫
y Finalmente podemos obtener lo siguiente
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
32 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫
( ) ∫
∫
( ) ∫
( ) ∫
( ) ∫
( )
Ejemplo 3.49. ∫
( ) Sabemos que ( )
∫
( ) ∫
( )
( )
∫ ( ) ( )
( )
∫ ( )
( ) ∫
( )
( )
∫ ∫
( )
∫ ( )
( )
( )
( )
∫
( ) ∫ ( )
* ∫
∫
( ) +
*
∫
( ) +
*
∫ +
(
)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 33
Enero – Julio 2012
Caso II. En este caso, al aplicar la fórmula de integración por partes, la integral del
segundo miembro ∫ aún no es inmediata, por lo que es necesario volver a aplicar
nuevamente el método a dicha integral.
Ejemplo 3.50.
∫
∫ ∫ ∫
∫
Observamos que la integral ∫ no tiene solución inmediata. Sin embargo es más
fácil de resolver que la inicial. Esta nueva integral la resolvemos utilizando de nuevo la
técnica de integración por partes.
[ ∫ ∫ ]
Finalmente se tiene la siguiente solución
∫ ( )
Ejemplo 3.51. ∫
∫ ∫
∫
Al resolver la nueva integral ∫ tenemos:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
34 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫ ∫
[ ∫
]
∫
Ejemplo 3.52.
∫
∫ ∫
∫
∫
Al integrar ∫ por partes
∫
[∫
∫
]
∫
Ejemplo 3.53. ∫
∫ ∫ ∫
∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 35
Enero – Julio 2012
Al integrar por partes ∫
∫ ∫ ∫
Ejemplo 3.54. ∫
∫
∫
∫
∫
Al integrar por partes ∫
tenemos:
∫
( ∫
∫
*
∫
Al integrar: ∫
nuevamente por partes se tiene:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
36 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫
( ∫
∫
*
.
/
Caso III. En este caso, al aplicar la fórmula de integración, la integral del segundo
miembro∫ no es inmediata, pero es la misma que se esta buscando inicialmente, por
lo que las agrupamos en el primer miembro para despejar la integral a resolver
inicialmente.
Ejemplo 3.55. ∫
( )
∫ ∫ ∫ ( )
( ∫ ∫ *
( ∫ ∫ *
( ∫( ) ∫ *
( ∫ ∫ ∫ *
∫ ∫ ∫
∫
Nos damos cuenta que la última integral es la que inicialmente queremos resolver por lo
tanto para facilitar la solución podemos decir que proceder de la siguiente manera
∫
∫
∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 37
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.56. ∫
∫ ∫ ∫
∫
Al resolver por partes la nueva integral tenemos:
∫ ∫ ∫
∫
Se puede observar que vuelve a aparecer la misma integral del lado derecho por lo que
∫ ∫
∫
∫
Ejemplo 3.57. ∫
∫
∫
( )
∫
∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
38 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
(∫
∫
)
(
∫ )
∫
Si ∫
( )
∫
Ejercicios 3.3.1.
∫ R.
∫ R.
∫ R. ( )
∫ R. ( )
∫ R.
∫ R. ( )
√ ( )
∫ R. (
∫ R. .
/ .
/
∫ R.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 39
Enero – Julio 2012
∫ R.
∫ R.
∫ R.
∫ √ R.
( )
( )
( )
∫
R. –
∫ R.
∫ R. ( )
∫ R.
∫ R.
√
√
3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas
Ahora se considerara la integración de diferenciales trigonométricas que se presentan con
frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales inmediatas
por medio de reducciones trigonométricas sencillas.
Figura 3.6
Integrales de la forma ∫
I. Si es impar:
Dado que es par, el primer término del segundo miembro será una potencia de
y se podrá expresar en potencias de sustituyendo
(despeje de (a)).
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
40 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
II. Si es impar
Dado que es par, el primer término del segundo miembro será una potencia de
y se podrá expresar en potencias de sustituyendo
(despeje de (a)).
Ejemplo 3.58.
∫ ∫
∫ ( )
∫ ∫
Ejemplo 3.59.
∫ ∫ ∫( )
∫( ) ∫( )
∫ ∫ ∫
Ejemplo 3.60.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 41
Enero – Julio 2012
∫ ∫ ∫( )
∫( )
∫, -
∫ ∫ ∫ ∫
Integrales de la forma ∫
En el caso de que sean un número entero positivo par, esta integración puede
practicarse por medio de las transformaciones sencillas utilizando las relaciones (b) y (c).
Ejemplo 3.61.
∫ ∫( ) ∫(
*
∫( )
∫( )
∫
∫
∫
(
*
∫
∫
Ejemplo 3.62.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
42 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫ ( ) ∫(
*
∫
∫ ( )
Ejemplo 3.63.
∫.
/
∫.
/
.
/
∫(
*
∫(
*
∫
∫
∫
∫.
/
∫
∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 43
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.64.
∫ ∫( ) ∫(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫(
*
∫
∫
∫
∫( )
∫
∫
Integrales de la forma ∫
En el caso de que sean un número entero positivo impar, no importa lo que sea el
otro, esa integración puede practicarse por medio de transformaciones trigonométricas.
Ejemplo 3.65.
∫ ∫ ∫
∫ ( )
∫ ∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
44 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.66.
∫ ∫ ∫
∫ ( )
∫ ∫
Ejemplo 3.67.
∫( )√ ∫
∫
∫ ( )
∫ ∫
∫ ∫
(
*
(
)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 45
Enero – Julio 2012
Integrales de la forma ∫
Cuando y son ambos números pares, enteros y positivos, la expresión diferencial
dada puede transformarse, por sustituciones trigonométricas, en una expresión que
contiene los senos y cosenos de ángulos múltiplos (b) y (c).
Ejemplo 3.68.
∫ ∫( ) ( )
∫(
) (
)
∫( ) ( )
∫( ) ( )
∫( )
[∫ ∫ ∫ ]
*∫ ∫
∫(
*
+
[∫ ∫ ∫
∫( ) ]
[ ∫
∫
∫
∫
]
[ ∫
∫
∫
∫
∫ ]
[
]
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
46 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.69.
∫ ∫( )
∫(
) (
*
∫(
) (
*
∫( )( )
∫( )
∫
∫
∫
∫
∫( )
∫( )
∫( )
∫(
*
∫( )
∫(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫(
*
∫
∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 47
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.70.
∫
∫(
)
∫(
) (
*
∫(
) (
*
∫(
)(
*
∫( )( )
∫( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫( )
∫
∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
48 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Integrales de la forma ∫ ∫
Figura 3.7
“si , realizamos la descomposición:
Utilizamos las identidades trigonométricas de la Figura 3.7, sustituimos y resolvemos
Ejemplo 3.71.
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
∫ ∫
∫( ) ∫
∫ ∫ ∫
( )
Ejemplo 3.72.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 49
Enero – Julio 2012
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
( )
Ejemplo 3.73.
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
∫ ∫( )
∫( )
∫( )
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫( )
∫ ∫
Ejemplo 3.74.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
50 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫ ∫
∫( )
∫( )
∫( )
∫ ∫ ∫ ∫
Resolviendo I.
∫ ∫ ∫( )
∫( )
∫( )
∫ ∫ ∫
Resolviendo II.
∫ ∫
∫( )
(∫ ∫ *
[
]
Resolviendo III.
∫ ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 51
Enero – Julio 2012
Resolviendo IV.
∫ ∫( )
∫ ∫
Finalmente tenemos el siguiente resultado
∫
Integrales de la forma ∫ ∫
es par, se realiza la descomposición:
Se utilizan las identidades:
Ejemplo 3.75.
∫ ∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
52 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫( )
∫ ∫
Si es impar. Se realiza la descomposición y se integra por partes. Ejemplo 3.76.
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
∫ ∫ (Este tipo de integrales ya es conocida (caso III, por partes))
Finalmente tenemos: ∫
( ( )
Integrales de la forma ∫ ∫
Si la potencia de la tangente es impar y positiva, se conserva un factor secante-
tangente y el resto de los factores se convierte en secantes y para el caso de la
cotangente se conserva un factor cosecante-cotangente y el resto se convierte en
cosecantes. Después se desarrolla y se integra.
Ejemplo 3.77.
∫ ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 53
Enero – Julio 2012
∫( )
∫ ∫
Ejemplo 3.78.
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
Ejemplo 3.79.
∫ ∫
∫
∫( )
∫ ∫
Ejemplo 3.80.
∫ ∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
54 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫
∫( )
∫ ∫
Ejemplo 3.81.
∫ ∫
∫
∫( )
∫( )
∫( )
∫
∫ ∫ ∫
+c
Ejemplo 3.82.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 55
Enero – Julio 2012
∫ ∫
∫( )
∫ ∫
Integrales de la forma ∫ ∫
Si la potencia de la secante es par y positiva, se conserva un factor secante cuadrada y
el resto de los factores se convierte en tangentes, para el caso de la cosecante se
conserva el factor secante cuadrada y el resto se convierte en cotangentes. Después se
desarrolla y se integra.
Ejemplo 3.83.
∫ ∫
∫
∫( )
∫ ∫
( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
56 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.84.
∫
∫
∫
.
/
∫
∫
Ejemplo 3.85.
∫
∫
∫
(
)
∫
∫
Ejemplo 3.86.
∫ ∫
∫
( )
∫
( )
∫
( )
∫
∫ ∫
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 57
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.87.
∫ ∫
∫ ( )
∫ ∫
Ejemplo 3.88.
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( )
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Ejemplo 3.89.
∫√ ∫√
∫ ( )
∫ ∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
58 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios
∫ R.
∫ R.
∫
R.
∫ R.
+
∫ R.
+
∫
∫
Ejercicios propuestos
∫ R.
∫
∫ R.
∫ R.
∫
∫
Ejercicios propuestos
∫ R.
( )
∫ R.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 59
Enero – Julio 2012
∫ R.
∫ R.
∫
R.
(
)
∫ R.
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
60 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. Existen 3 casos diferentes, y por lo tanto 3 cambios de variable distintos.
Sustitución trigonométrica ( )
I. Para las integrales que contienen √ , sea
Entonces √ ,
Donde
II. Para las integrales que contienen √ , sea
Entonces √ ,
Donde
III. Para las integrales que contienen √ , sea
Entonces
√ {
Donde
Nota: La restricción sobre nos asegura que la función que define la sustitución sea una función inyectiva.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 61
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.90. Sustitución trigonométrica:
Encontrar ∫
√
Solución Primero, debemos notar que no hay regla básica de integrales la cual podamos aplicar.
Para poder usar la sustitución trigonométrica, veamos que √ es de la forma √ . Asi que se
puede utilizar la sustitución
Derivando y utilizando el triángulo de la figura, se obtiene
√
Sustituyendo los términos trigonométricos obtenemos lo siguiente:
∫
√ ∫
( )( )
∫
∫
(√
)
√
Ejemplo 3.91. Sustitución trigonométrica:
Encontrar ∫
√
Solución Sea , como se muestra en la figura, Entonces tenemos que:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
62 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
√
Sustituyendo los términos trigonométricos obtenemos lo siguiente:
Sustituyendo los términos trigonométricos obtenemos lo siguiente:
∫
( ) ∫
(√ )
∫
∫
∫
√
Algunas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración pero esto se debe realizar con cierto
cuidado el alumno deberá checar estas situaciones cuando sea el caso, el siguiente ejemplo nos muestra tal
situación
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 63
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.93 Transformación de los límites de integración
Evaluar ∫√
√
Solución Primero veamos que √ tiene la
forma √ entonces podemos considerar
√ √ √
Ahora para determinar los límites superiores e inferiores de la integral, usemos la situación √ de
la siguiente manera:
Límite inferior Límite superior
Cuando √
Cuando
√
Así tenemos lo siguiente
∫√
√
∫(√ )(√ )
√
∫ √
√ ∫ ( )
√ , -
√ (
√
*
Algunas sustituciones trigonométricas pueden usarse completando el cuadrado. Por ejemplo, al evaluar la
siguiente integral: (primero podemos hacer lo siguiente)
∫√ ∫√( )
Ahora veamos algunas reglas de integración para estos casos
Teorema 3.5 Formulas de integración especiales ( )
1. ∫√
.
√ /
2. ∫√
. √ | √ |/
3. ∫√
. √ | √ |/
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
64 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Ejercicios 3.3.3
1. ∫
√ 2. ∫
√
3. ∫
√ 4. ∫
( )
5. ∫√ 6. ∫ √
7. ∫( )√ 8. ∫ √
9. ∫
10. ∫
11. ∫
12. ∫
3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de Polinomios) A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:
∫
Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:
√
Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:
( )( ) Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, Dividimos en ambos lados entre ( )
( )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 65
Enero – Julio 2012
Descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.
∫
∫( ) ∫
| |
En general si queremos integrar un cociente de polinomios ( )
( )en el que el grado de ( )es mayor
o igual al grado de ( )procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división
( )
( )
√ ( )
( )
Donde ( ) = 0 ó grado ( ) grad Q(x) ( ) ( ) ( ) ( ) Dividiendo entre Q(x), obtenemos:
( )
( ) ( )
( )
( )
En donde la integral buscada,
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ∫
( )
( ) ( ) ( )
Se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerado tiene grado menos que el denominador. A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
66 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Primer caso. [Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas] Cuando la factorización del polinomio ( ) es en factores lineales y distintos, es decir: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( n) Hacemos la siguiente descomposición: ( )
( )
Donde An son constantes reales. Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:
∫
| |
Y por lo tanto:
∫ ( )
( ) ∫
∫
∫
∫
∫ ( )
( ) | | | | | | | |
Ejemplo 3.94. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo ( ) ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 67
Enero – Julio 2012
En la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral. Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo Denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir: ( ) ( ) O bien ( ) ( ) De donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Que resolviéndolo nos queda
Por lo que ⁄ y sustituyendo en la primera ecuación ⁄ . Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición Inicial, obteniendo:
⁄
⁄
Quedando finalmente la integración:
∫
∫
⁄
∫
⁄
| |
| |
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
68 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
O bien, utilizando las propiedades de los logaritmos:
∫
|
|
Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostración en el método de cambio de variable
∫
|
|
La cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio.
Ejemplo 3.95. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:
Y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
Igualando coeficientes, obtenemos el sistema:
Que al resolverlo nos da:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 69
Enero – Julio 2012
Obteniendo el valor de ⁄ Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación ⁄⁄ Así pues, la descomposición en fracciones parciales es:
⁄
⁄
Y nuestra integral:
∫
∫
⁄
∫
⁄
| |
| |
Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar una Descomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lo Tanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estas descomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí la demostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posible encontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución. Otro método para determinar las constantes: Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada: Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por ( )
( )( )
Obteniendo:
( )
Despejamos a la constante A
( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
70 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Evaluamos en x = 5 y obtenemos ⁄ Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo: Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer en Fracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.
Es decir
evaluado en , resultando ⁄
Similarmente para obtener el valor de , multiplicamos en ambos lados de la ecuación Original por ( ), despejamos B y evaluamos en , obteniendo:
Evaluado en
⁄
Ejemplo 3.96. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo ( ) ( )( ). La descomposición en fracciones parciales sería:
( )( )
Siendo los valores de las constantes:
( )( ) Evaluado en x = 0 A = 1/8
( ) Evaluado en x = 4 B = 21/8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 71
Enero – Julio 2012
( ) Evaluado en x = 2 C = -3/4
Así pues
∫
∫
∫
∫
Es decir:
∫
| |
| |
| |
Segundo caso. [Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente Distintos, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este ( )
habrá fracciones parciales:
(
( )
( )
Donde son constantes reales. De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:
∫
( )
Las cuales, para , se resuelven por un sencillo cambio de variable.
Ejemplo 3.97. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) . La descomposición en fracciones parciales sería:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
72 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
( )
( )
Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores, Obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B no puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de tres por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuaciones en que aparezca B la despejamos.
( ) Evaluado en x = 0 nos da A = 2
Evaluado en x = 2 nos da C = 7
Efectuando las operaciones y factor izando x2 y x, tenemos:
( )
( )
( ) ( )
( )
Igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema de Ecuaciones:
Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación, Obteniendo B = -2. Sustituyendo e integrando:
∫
( ) ∫
∫
∫
( )
∫
( ) | | | |
( )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 73
Enero – Julio 2012
Ejemplo 3.98. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La descomposición en fracciones parciales sería:
( ) ( )
( )
( )
Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4. Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:
( )
( ) ( ) (
( )
( ( ) (
( )
Conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnita A + C + E = 0 B - C + D + E + F = 0 -2A - C + 2D - E + 2F = 0 -2B + C + D - E + F = 0 A = 1 B = 8 Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en las Primeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema:
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
74 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
C + E = -1 -C + E = -12 Cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2. El valor de la integral, entonces será:
∫
| |
| |
| |
( )
Tercer caso. [Q(x) tiene raíces complejas distintas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma
A cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma
Donde A y B son constantes reales.
Ejemplo 3.99. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo, ( ) ( )
con La descomposición en fracciones parciales sería:
( )
( ) ( )
( )
el sistema a resolver: A + B = 0 2A + C = 3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 75
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5A = 1
Y la solución:
∫
∫
∫
∫( )
| |
∫
( )
∫
| |
| |
∫
( )
| |
| |
,
{
}-
Cuarto caso. [Q(x) tiene raíces complejas repetidas] Cuando en la factorización del polinomio ( ) aparecen factores cuadráticos repetidos de la forma
( ) , con A cada uno de estos factores le corresponderán fracciones parciales de la forma
( )
( )
Donde y son constantes reales para .
Ejemplo 3.100. Calcular ∫
Solución: En este ejemplo, ( ) ( )
Con
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La descomposición en fracciones parciales sería:
( )
( )
( )
( )
planteándose el sistema de ecuaciones: A = 0 B = 1 A + C = 0 B + D = 0 Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1 Así pues la integral
∫
∫
∫
( )
Donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el segundo caso de sustitución trigonométrica.
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3.4. Aplicaciones de la integral
La integral definida es útil para resolver una amplia variedad de problemas. En este capítulo se estudiarán su aplicación a problemas de cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de curva y sobre otros campos de la ciencia básica así como de la ingeniería.
3.4.1. Integración numérica
Cuando se busca calcular la integral definida de una función no posee una antiderivada, o ésta es muy difícil de calcular, así como en el caso en que no se posee la ecuación de la función (cuando se obtienen datos a partir de un experimento y estos no se ajustan a un modelo simple), se recurre a métodos numéricos para tal fin. El método básico para ello se denomina cuadratura numérica, y en este se aproxima la integral definida de una función ( ) en un intervalo [a, b] evaluando ( ) en un número finito de puntos (nodos). Estas aproximaciones pueden ser de distinto tipo y cada una de ellas conlleva un error de aproximación, de manera tal que el valor de la integral buscado es de la siguiente forma:
∫ ( ) ( ) ( )
(1)
En donde la cuadratura ( ) está dada por: ( ) ( ) ( ) ( )
Donde los puntos del intervalo(o nodos) son:
Y ( ) es error de la aproximación o error de truncamiento, el cual está referido al valor de la integral analítica (I), de forma tal que:
( ) ( ) (2)
La notación anterior indica que los coeficientes y los nodos son conocidos; y que es la función f la variable de la fórmula.
Existe una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar ( ) por
otra función ( ) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se
encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Típicamente estas funciones son polinomios.
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Aproxime el valor de con la fórmula de cuadratura
( )
[ ( ) (
* ( )]
Calcule el valor exacto de la integral y el valor del error.
Solución:
a) Valor aproximado.
Se tiene:
( )
Ahora sustituyendo los datos proporcionados en la fórmula de cuadratura dada:
( )
, ( ) ( ) ( )-
b) Valor exacto y error.
Calculando una primitiva de ( ), utilizando el método de integración por partes
∫ =
Calculando la integral definida
∫ , -
( ) ( )
Determinando el Error de la aproximación
| ( )| | ( )| | |
El resultado indica que la fórmula de cuadratura dada, ha producido una aproximación del valor de la integral con una exactitud de 2 decimales.
3.3.1 Regla del trapecio y de Newton-Cotes Las fórmulas de cuadratura que se obtienen a partir del polinomio de interpolación de Lagrange reciben el nombre de fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales hay dos tipos: cerradas y abiertas. Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen cuando la función a integrar se interpola sobre puntos igualmente espaciados, de manera que, dados los límites de integración y :
( )
La regla del trapecio es una de las reglas de Newton-Cotes cerradas más simples, y aproxima la
integral de una función ( ), en el intervalo [a, b] a la integral un polinomio de primer grado (línea
recta, ) ( ) el cual tiene por ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) y cuya integral
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definida en el intervalo , - es ( )
( ( ) ( )). Esta integral es equivalente al área
mostrada en la siguiente figura que como se observa corresponde al área de un trapecio.
Figura 3.8. Representación gráfica de la aproximación lineal o regla del trapecio
Él error de la aproximación es igual al área entre ( ) y ( ), es decir | |. De tal manera que:
Teorema 3.6
El valor aproximado de la integral de ( ) en el intervalo , - con , es aproximadamente
igual a la integral de la función lineal ( ) que corresponde al área de un trapecio, dada por:
∫ ( )
( )
( ( ) ( ))
(3)
La ecuación (3) se conoce como regla del trapecio, el signo aproximadamente igual quiere decir
que al tratase de una aproximación tiene un error de truncamiento asociado ( ), el cual se discutirá posteriormente.
La regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo , - en subintervalos,
todos de la misma longitud ( )
y se aplica el método del trapecio en cada uno de ellos,
tal como se ilustra en la siguiente figura:
Figura 3.9. Representación gráfica de la regla compuesta del trapecio aplicada sobre 3 subintervalos.
Teorema 3.7
Así la regla extendida o regla compuesta del trapecio, para la función , continua en el intervalo
, -, donde este se divide en subintervalos con y , está dada por:
∫ ( )
( )
,( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)
Es importante hacer notar que conforme se aumenta n, el error de la aproximación disminuye, sin embargo también aumenta el número de términos por calcular, por lo cual convendría desarrollar fórmulas de aproximación o polinomios de grado superior (recordar que la regla del trapecio es un polinomio de grado 1) para obtener un error menor con una mínima cantidad de términos, ejemplos de esto son la regla de Simpson, regla de 3/8 Simpson y Regla de Boole, las cuales están fuera del alcance de este material.
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Por otro lado, al usar una técnica de aproximación, es importante conocer la precisión del resultado. En general, cuando se realiza una aproximación se define en el error |E| como la
diferencia entre ∫ ( )
y la aproximación. El siguiente teorema, proporciona la expresión
para estimar el error máximo o cota de error que implica el uso de la regla del trapecio.
Teorema 3.8
Si f tiene una segunda derivada ( ) continua en , -, entonces el error máximo al aproximar
∫ ( )
por medio de la regla de los trapecios es:
| | ( )
(5)
Donde K es el máximo valor de ( ) en el intervalo [a, b], es decir | ( )| .
Esta fórmula permite determinar el número de subintervalos necesarios para aproximar la integral con un error menor que una cota o l mite prefijado.
Ejemplo 3.102.
a) Usar la regla del trapecio para calcular una aproximación al valor de ∫
, con n=5 y con
n=10.
b) Calcule el error máximo asociado a cada una de las aproximaciones.
Solución
a) Se tiene:
( )
Para n=5, ( )
, por lo que x0=1, x1=1.8, x2=2.6, x3=3.4, x4=4.2 y x5=5
La regla del trapecio establece:
∫ ( )
( )
,( ( ) ( ) ( ) ( ) (
Por lo tanto∫
( )
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
Evaluando resulta: ∫
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Luego para n=10 ( )
, Por lo que x0=1, x1=1.4, x2=1.8, x3=2.2, x4=2.6, x5=3, x6=3.4,
x7=3.8, x8=4.2, x9=4.6, x10=5
Evaluando resulta: ∫
Mientras que la integral exacta tiene un valor de 1.6094. Por lo que se demuestra que al aumentar el números de subintervalos para la regla del trapecio se disminuye el error de la aproximación.
Ejemplo 3.103. Determinar un valor de n tal que la regla de los trapecios se aproximará al valor
de ∫ √
con un error menor que 0.01.
Solución.
Se halla la segunda derivada de f.
( ) ( )
⁄ y ( ) ( )
⁄
El valor máximo de | ( )| en el intervalo [0, 1] es | ( )| De tal modo que por el teorema 3.3.2.1, se tiene:
| | ( )
( )
=
√
Así, basta tomar n=3 y aplicar la regla del trapecio para obtener un error máximo de 0.001.
Ejercicios adicionales 3.4.1.
1. Durante un experimento se descubre que las variables físicas y están relacionadas como se muestra en la siguiente tabla:
x 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
y 3.1 4.0 4.2 3.8 2.9 2.8 2.7
Si se considera a y como una función de x, es decir, ( ) con continua, entonces la
integral definida de ( ) en el intervalo [1,4] podría representar una cantidad física.
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Estime el valor de ∫ ( )
utilizando la regla del trapecio.
Respuesta: I=10.3
2. Para registrar la contaminación térmica de un río, un ingeniero ambiental toma lecturas de la temperatura (°F) cada hora entre las 9 A.M. y las 5 P.M. Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
Hora del día 9 10 11 12 1 2 3 4 5
( ) 75.3 77.0 83.1 84.8 86.5 86.4 81.1 78.6 75.1
Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación de la temperatura media del agua entre las 9 A.M. y las 5 P.M.
Respuesta: T=81.625°F
3. Determinar de modo que la regla compuesta del trapecio de el valor de:
∫
Con seis dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que se puede calcular de manera exacta.
Respuesta: n=129.09
3.4.2. Regla del trapecio y de Newton – Cotes
Las fórmulas de cuadratura que se obtienen a partir del polinomio de interpolación de Lagrange reciben el nombre de fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales hay dos tipos: cerradas y abiertas. Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen cuando la función a integrar se interpola sobre puntos igualmente espaciados, de manera que, dados los límites de integración a y b:
( )
La regla del trapecio es una de las reglas de Newton-Cotes cerradas más simples, y aproxima la
integral de una función ( ), en el intervalo [a, b] a la integral un polinomio de primer grado (línea
recta, n=1) ( ) el cual tiene por ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
y cuya integral definida en el intervalo [a, b] es
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( )
( ( ) ( ))
Esta integral es equivalente al área A1 mostrada en la siguiente figura que como se observa corresponde al área de un trapecio.
Figura 3.10. Representación gráfica de la aproximación lineal o regla del trapecio
Él error de la aproximación es igual al área entre ( ) y ( ), es decir | |. De tal manera que:
Teorema 3.9
El valor aproximado de la integral de ( ) en el intervalo [a, b] con n=1, es aproximadamente igual
a la integral de la función lineal ( ) que corresponde al área de un trapecio, dada por:
∫ ( )
( )
( ( ) ( ))
(3)
La ecuación (3) se conoce como regla del trapecio, el signo aproximadamente igual quiere decir que al tratarse de una aproximación tiene un error de truncamiento asociado (E), el cual se discutirá posteriormente.
La regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a,b] en n subintervalos, todos
de la misma longitud ( )
y se aplica el método del trapecio en cada uno de ellos, tal
como se ilustra en la siguiente figura:
Figura 3.11. Representación gráfica de la regla compuesta del trapecio aplicada sobre 3 subintervalos.
Teorema 3.10
Así la regla extendida o regla compuesta del trapecio, para la función , continua en el intervalo [a,
b], donde este se divide en subintervalos con y está dada por:
∫ ( )
( )
,( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)
Es importante hacer notar que conforme se aumenta n, el error de la aproximación disminuye, sin embargo también aumenta el número de términos por calcular, por lo cual convendría desarrollar fórmulas de aproximación o polinomios de grado superior (recordar que la regla del trapecio es un
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polinomio de grado 1) para obtener un error menor con una mínima cantidad de términos, ejemplos de esto son la regla de Simpson, regla de 3/8 Simpson y Regla de Boole, las cuales están fuera del alcance de este material.
Por otro lado, al usar una técnica de aproximación, es importante conocer la precisión del resultado. En general, cuando se realiza una aproximación se define en el error |E| como la
diferencia entre ∫ ( )
y la aproximación. El siguiente teorema, proporciona la expresión
para estimar el error máximo o cota de error que implica el uso de la regla del trapecio.
Teorema 3.11
Si f tiene una segunda derivada f´´(x) continua en [a, b], entonces el error máximo ET al aproximar
∫ ( )
por medio de la regla de los trapecios es:
| | ( )
(5)
Donde K es el máximo valor de ( ) en el intervalo [a, b], es decir | ( )| .
Esta fórmula permite determinar el número de subintervalos necesarios para aproximar la integral con un error menor que una cota o l mite prefijado.
Ejemplos
Ejemplo 3.104.
a) Usar la regla del trapecio para calcular una aproximación al valor de ∫
, con n=5 y
con n=10.
b) Calcule el error máximo asociado a cada una de las aproximaciones.
Solución
b) Se tiene:
( )
Para n=5, ( )
, por lo que
La regla del trapecio establece:
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∫ ( )
( )
,( ( ) ( ) ( ) ( ) (
Por lo tanto∫
( )
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-
Evaluando resulta: ∫
Luego para =10 ( )
,
Por lo que
Evaluando resulta: ∫
Mientras que la integral exacta tiene un valor de 1.6094. Por lo que se demuestra que al aumentar el número de subintervalos para la regla del trapecio se disminuye el error de la aproximación.
Ejemplo 3.105. Determinar un valor de n tal que la regla de los trapecios se aproximará al
valor de∫ √
con un error menor que 0.01.
Solución.
1) Se encuentra la segunda derivada de .
( ) ( )
⁄ y ( ) ( )
⁄
El valor máximo de | ( )| en el intervalo [0, 1] es | ( )| De tal modo que por el teorema 3.3.2.1, se tiene:
| | ( )
( )
=
√
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Así, basta tomar n=3 y aplicar la regla del trapecio para obtener un error máximo de 0.01.
Ejercicios adicionales
4. Durante un experimento se descubre que las variables físicas y están relacionadas como se muestra en la siguiente tabla:
x 1 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
y 3.1 4.0 4.2 3.8 2.9 2.8 2.7
Si se considera a y como una función de x, es decir, ( ) con continua, entonces la
integral definida de ( ) en el intervalo [1,4] podría representar una cantidad física.
Estime el valor de ∫ ( )
utilizando la regla del trapecio.
Respuesta: I=10.3
5. Para registrar la contaminación térmica de un río, un ingeniero ambiental toma lecturas de la temperatura (°F) cada hora entre las 9 A.M. y las 5 P.M. Los resultados se muestran en la tabla siguiente: 6.
Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación de la temperatura media del agua entre las 9 A.M. y las 5 P.M.
Respuesta: T=81.625°F
7. Determinar n de modo que la regla compuesta del trapecio dé el valor de
∫
Con seis dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que se puede calcular de manera exacta.
Respuesta: n=129.09
4. Utilice la regla del trapecio para calcular una aproximación del valor de la integral
∫ √
⁄
con
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5. Determine n de modo que para la integral del ejercicio anterior se obtenga un valor
con 4 dígitos correctos después del punto decimal, suponiendo que √
se puede calcular de manera exacta.
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x
y=(x)
a b
Ag(x)
f(x)
1)
x
y=(x)
Rectángulo representativo
Altura: f(xi)- g(xi)
Anchura: ∆x
g(x)
f(x)
a bxi
f(xi)
g(xi)
∆x
2)
3.4.3. Área entre curvas, longitud de curva De la misma forma que en el caso del cálculo de áreas de regiones que están bajo las gráficas de funciones, para calcular el área A comprendida entre las gráficas de dos funciones y en el
intervalo [a, b], se divide A en n franjas de igual anchura , para luego calcular el valor
aproximado de la i-ésima franja mediante un rectángulo con base y altura ( ) ( ).
Por lo que la suma de Rienmann
∑, ( ) ( ) -
Equivale al total de las áreas de n rectángulos de aproximación definidos, por lo que el valor límite de esta suma (cuando n tiende a infinito) equivale al valor del área A.
∑, ( ) ( )-
Aplicando el teorema fundamental del cálculo se tiene que
∑, ( ) ( )-
∫ , ( ) ( )-
Por tanto:
Teorema 3.12
Si y son funciones continuas y ( ) ( ) para todo x en [a, b], entonces el área A de la
región acotada por las gráficas de f, g, x=a y x=b, es:
∫ , ( ) ( )-
(1)
Figura 3.12
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Observe que en el caso especial donde ( ) , A es la región bajo la gráfica de f y la definición general del área se reduce a la definición del área bajo la curva de la función f.
Ejemplo 3.106. Determinar el área de la región acotada por las gráficas de y
.
Solución. Sean ( ) y ( ) . Entonces ( ) ( ) para todo x en [0, 1], como se muestra en la figura x.
Así el área de la región es:
∫ , ( ) ( )-
∫ ,( ) ( )-
*
+
Área de una región entre curvas que se intersecan
En las definiciones anteriores no se establece si las curvas y se intersecan, simplemente se define un intervalo de estudio [a, b]. Un problema particular y común involucra el área de una región comprendida entre dos gráficas que se intersecan, donde los valores de a y b han de calcularse.
Figura 3.13
x
y=(x)
a b
g(x)
f(x)
A
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Ejercicios resueltos
Ejemplo 3.107. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones: y √
Solución
1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones dadas
√
Resultan soluciones los valores de y . Por lo que los límites de integración quedan como a=0 y b=1.
2) Calcular el área entre curvas en el intervalo definido por la intersección de las gráficas.
Con ( ) √ y ( ) se cumple que ( ) ( ) en el intervalo , -. Por lo tanto el área buscada está dada por el teorema 3.3.3.1 de la siguiente forma:
∫ (√ )
∫ ( ⁄ )
[
⁄
⁄
]
Figura 3.14
Región comprendida por la gráfica de f y g.
1
10
y=(x)
x
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Ejemplo 3.108. El seno y el coseno de las curvas se intersecan infinitas veces, acotando
regiones de áreas iguales, como se muestra en la figura. Encontrar el área de una de esas
regiones.
Figura 3.15
Solución
1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración).
Resolviendo simultáneamente:
Así,
y
. Con ( ) y ( ) se cumple que ( ) ( ) en el intervalo
,
-. Por lo tanto el área buscada está dada por el teorema 3.3.3.1 de la siguiente forma:
y=(x)
x
-
f(x)= sen (x)
g(x)= cos (x)
a b
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∫ , -
⁄
⁄
, - ⁄
⁄
√
Curvas que se intersecan en más de dos puntos
Si dos curvas se intersecan en más de dos puntos, entonces para encontrar el área de la región comprendida entre las curvas, se deben encontrar todos los puntos de intersección y verificar en cada uno de los intervalos determinados por esos puntos, cuál de las gráficas está encima de la otra.
Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de ( ) y ( ) .
Ejemplo 3.109. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de y
1) Determinar los puntos donde se intersectan las gráficas (límites de integración).
( )( )
Así las gráficas se cortan cuando . En la figura se observa que ( ) ( ) en el
intervalo , -. Sin embargo, las dos gráficas cambian en el origen, y ( ) ( )en el intervalo , -. Así, se requieren dos integrales, una para el intervalo , - y otra para el intervalo , -.
Figura 3.16. Región comprendida entre las gráficas de las funciones y .
2) Calcular el área entre curvas en el intervalo definido por la intersección de las gráficas
-12
-8
-4
0
4
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=(x)
xA1
A2
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∫ , ( ) ( )- ∫ , ( ) ( )-
∫ ( ) ∫ ( )
*
+
*
+
( ) ( )
Longitud de curva
Para la solución de algunos problemas de aplicación, se requiere calcular la longitud de algunas gráficas (o curvas).
Por ejemplo, puede ser de interés determinar la distancia que un cohete recorre durante un intervalo de tiempo dado, o bien la longitud de un segmento de alambre doblado. Si el alambre fuera flexible, se podría enderezar y medir su longitud con una regla. Sin embargo, si el alambre no es flexible, se requiere usar otro método.
Para resolver este problema, se utiliza una aproximación, al igual que en el caso de la determinación de integrales numéricas, tal como se muestra en la figura. En este caso la solución consiste en dividir la gráfica o curva en cuestión en muchas partes pequeñas y aproximar cada parte por medio de un segmento recto, para luego tomar el límite de la suma de las longitudes de todos los segmentos rectilíneos dando lugar a una integral definida. Para garantizar la existencia de la integral, ( ) deberá ser continua en el intervalo estudiado.
Figura 3.17
Analíticamente, partiendo de la expresión para calcular un segmento de recta entre dos puntos:
x
y=(x)
x0=a xn=bx1 x2 xi-1 xi
y0
y1
y2
yi-1
yi
yn=b
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√( ) ( )
Considerando una función ( ) con derivada continua en el intervalo , - se puede aproximar la gráfica de f por n segmentos de recta cuyos puntos terminales son determinados por la partición
Como se muestra en la figura anterior.
Si la longitud un segmento de recta cualquiera en el intervalo , - se define como
(con ≤i≤n) , se puede aproximar la longitud de la gráfica por
∑√( ) ( )
lo que es igual a
∑√( ) ( )
Simplificando la expresión anterior queda
∑√ (
*
( )
Tomando el límite de la suma anterior para la aproximación optima con y | |
| |
∑√ (
*
( )
Dado que ( ) existe para todo x en (), el teorema del valor medio garantiza la existencia de en de tal forma que
( ) ( ) ( )( )
( )
Debido a que ( ) es continua en , -, se tiene que √ , ( )- también es continua en , - lo que implica que
| |
∑√ , ( )-
( ) ∫ √ , ( )-
Donde L es llamada la longitud de arco L de entre y .
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Definición 3.2
Sea la función dada por ( ) que representa una curva suave en el intervalo , -.
La longitud de arco de entre y es
∫ √ , ( )-
(1)
Similarmente, para una curva dada por ( ), la longitud de arco de entre y es
∫ √ , ( )-
(2)
Ejemplos
Ejemplo 3.110. Encontrar la longitud de arco de
. En el intervalo [1/2, 2].
Solución
1) Calculando ( )
( )
(
)
2) Aplicando la definición 3.3.2 (ecuación 1)
∫ √ , ( )-
∫ √ [
(
)]
⁄
∫ √
(
)
⁄
∫
(
)
⁄
*
+
(
*
Ejemplo 3.111. Encuentre la longitud de arco de la parábola de ( ) ( )
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Solución
1) Calculando ( )
( )
2) Aplicando la definición 3.3.2 (ecuación 2)
∫ √ , ( )-
∫ √
Resolviendo la integral planteada por el método de sustitución trigonométrica con
√ √
Ahora cambiando los límites de integración para la función de . Cuando ,
por lo tanto ; cuando , por lo que ( )
De manera que
∫
∫
, | |-
( | |)
Puesto que se tiene que , de modo que √
Por lo que
√
(√ )
Ejemplo 3.113. Sea ( )
⁄ . Calcular la longitud de arco de la gráfica de f del punto
A(8,2) al punto B(27,17).
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1) Calculando ( )
( )
⁄
2) Aplicando la definición 3.3.2 (ecuación 1)
∫ √ , ( )-
∫ √ (
⁄)
∫ √
⁄
∫ √
⁄
⁄
∫ √
⁄ (
⁄)
Para evaluar esta integral, se sustituye
⁄
⁄
Cambiando los límites de integración para la función u. Para , entonces ( )
⁄
. Para , entonces ( )
⁄
Así se tiene
∫
⁄
[
⁄
⁄]
0
⁄ 1
⁄
⁄
Ejemplo 3.114.
Halle la longitud de la curva de la función ( .
/* en el intervalo
1) Calculando ( )
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
98 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
( )
.
/
2) Aplicando la definición 3.3.2 (ecuación 1)
∫ √ , ( )-
∫ √ ( .
/)
⁄
∫ √ ( .
/)
⁄
∫ √ .
/
⁄
∫ .
/
⁄
* ( .
/ .
/)+
⁄
( .
/ .
/) ( .
/ .
/)
( )
Ejercicios adicionales
En los siguientes ejercicios, calcule el área entre curvas que se indican
1.
2.
3. √
4. y
5. y
6. y
En los siguientes ejercicios, calcule la longitud de arco que se indica.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 99
Enero – Julio 2012
1. ( )
2.
( ) en el intervalo , -
4. Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están a 200 pies de distancia. El cable
toma la forma de una catenaria, cuya ecuación es
.
⁄ ⁄ /
Encontrar la longitud de arco del cable entre las dos torres.
5. Calcule la longitud de arco entre A .
/ y B .
/ de la gráfica de la ecuación
6. Determine la longitud de arco de la curva ( ) ⁄
⁄
7. La trayectoria de un prototipo de cohete construido a escala está dada por la ecuación
Con dado en minutos y en metros.
Si al viajar desde el su despegue hasta el momento de estrellarse gasto 10 L de
combustible. Determinar el consumo promedio de combustible del prototipo en
.
3.4.4. Volúmenes de revolución
Otra aplicación básica del cálculo integral es su aplicación para determinar el volumen de un sólido tridimensional con sección trasversal característica.
Esta aplicación se basa en el hecho de que si una región de un plano gira alrededor de una recta o eje, el sólido resultante es un sólido de revolución y la recta es su eje de revolución.
Un sólido de revolución es una región del espacio generada por la rotación de una región plana en torno a una recta.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
100 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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Método de los discos
El sólido más simple es un cilindro circular recto o disco que se forma al hacer girar un rectángulo alrededor
(360°) de uno de sus lados, tal como se ilustra a continuación.
Figura 3.18
De donde el volumen de tal disco es
Esta definición es útil para aproximar el volumen de un sólido tridimensional cualquiera, el cual es dividido
en discos de igual anchura , cuyo volumen es
Eje de revolución
Rectángulo
R
w
w
R
Disco
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 101
Enero – Julio 2012
Tal como se muestra en la Figura 3.19.
Figura 3.19
Cabe aclarar que para fines de esta definición se ha ubicado al sólido de revolución en un sistema de
coordenadas cartesiano y se ha seleccionado como eje de rotación al eje x, la misma aproximación es válida
cuando del eje de rotación es el eje y.
Por lo que el volumen aproximado del sólido con discos es
∑ , ( )-
Así cuando ( ), por el teorema fundamental del cálculo
∑, ( )- ∫ , ( )-
Donde R es una función de la variable independiente x, en los ejercicios que se resuelven a continuación, la
forma en que R varía con respecto a la variable independiente está dado por la ecuación de ( ).
Por tanto si
El eje de revolución es horizontal
Eje de
revolución
Sólido de
revolución
∆x
Disco
representativo
∆x
R
Rectángulo
representativo
Región
plana
x=a x=bx
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
102 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
∫ , ( )-
O si, el eje de revolución es vertical (R varía con respecto a la variable y).
∫ , ( )-
Ejemplos
Ejemplo 3.115. Determinar el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva √
con respecto al eje x, desde 0 hasta 1.
Figura 3.20
∫ , ( )-
Con ( ) ( ) √
∫ (√ ) ∫ ( )
*
+
*
+ [
]
Ejemplo 3.116. Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por la
gráfica de ( ) √ y el eje ( ) alrededor del eje x.
Solución.
x
y=(x)
0
1
1
∆x
R
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 103
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Figura 3.21
Con ( ) ( ) √
∫ , ( )-
( ) ( ) √
∫ (√ )
∫
, -| ( )
Ejemplo 3.117. Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región definida por y
con respecto al eje .
Solución
Figura 3.22
1
∆x
R
y=(x)
y=8
x=0
o
R
∆x
2
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
104 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
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∫ , ( )-
La rotación es alrededor del eje y, por lo que la expresión del radio requiere una función ( ) a partir de
( ) se tiene ( ) √
Así
∫ (√ )
∫
⁄
[
⁄ ]
Ejemplos adicionales
1. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por la parábola y la ordenada correspondiente a con respecto al eje x.
R
2. Calcule el volumen generado al rotar la región acotada por ( )
y el eje
.
/
R
3. Hallar el volumen del sólido que se origina al girar alrededor del eje y, la superficie
limitada por .
R
4. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región acotada por
el semicírculo √ alrededor del eje x, para .
R
5. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola
y la recta alrededor de dicha recta.
6. Hallar el volumen del sólido producido al rotar alrededor del eje y, la superficie delimitada por .
7. Calcular el volumen de la trompeta de Torrichelli cuya sección transversal está dada
por ( )
al girar ésta en torno al eje x para .
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ESIQIE -IPN
Comisión de cálculo diferencial e integral ESIQIE - IPN 105
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3.5.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, calor o la
cinética.
Ejemplo 3.118. Cálculo de trabajo de compresión o expansión en sistemas ideales
Considere un pistón cilíndrico como el que se muestra en la siguiente Figura 3.23.
Figura 3.23
Este cilindro posee un área trasversal A, y contiene en su interior un gas con comportamiento ideal, que es comprimido a través de una distancia z, manteniendo la temperatura constante. El trabajo que hay que efectuar sobre el sistema para comprimir el gas un cierto volumen ( ) que se encuentra a una presión P está dado por la ecuación:
Para obtener el trabajo total efectuado se requiere integrar la ecuación anterior utilizando como límites el volumen inicial y el volumen final.
∫
Ahora asumiendo comportamiento ideal, determine el trabajo necesario en joules para comprimir 3
kg de nitrógeno de 3 a 1.5 L, sometidos a una presión de 3 bar.
ESIQIE –IPN CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
106 ESIQIE – IPN Comisión de cálculo diferencial e integral
Enero – Julio 2012
Solución
Resolviendo la integral definida
∫
, -
, -
, -
Transformando las unidades
Problemas adicionales
Se dispone de un recipiente cilíndrico que contiene 10 kg de nitrógeno a una presión de 50 lb/in2.
Asumiendo un comportamiento ideal, determine el trabajo necesario para comprimir el gas desde
un volumen de 7 hasta 1 L.
Respuesta.
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Apéndice A Demostración de algunos teoremas
Teorema 2.14. Límites de una función compuesta.
Si y son funciones tales que ( ) y ( ) ( ), entonces:
( ( )) .
( )/ ( )
Demostración Para todo dado hay que encontrar un tal que:
| ( ( )) ( )| siempre que | | .
Como el límite de ( ) cuando es ( ), sabemos que existe tal que
| ( ) ( )| siempre que | | .
Además, como el límite de ( ) cuando es , sabemos que existe un tal que