UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE CIENCIAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN TEXTO UNIVERSITARIO AUTORES Mo. Benigno Walter Moreno Mantilla Mo. Cristián Iván Escurra Estrada Lic. Stalein Jackson Tamara Tamariz HUACHO – PERÚ 2013 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión Autores: Benigno Walter Moreno Mantilla, Cristián Iván Escurra Estrada, Stalein Jackson Tamara Tamariz
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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
TEXTO UNIVERSITARIO
AUTORES
Mo. Benigno Walter Moreno Mantilla
Mo. Cristián Iván Escurra Estrada
Lic. Stalein Jackson Tamara Tamariz
HUACHO – PERÚ
2013
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Autores
Mo. Benigno Walter Moreno Mantilla Docente Principal
Adscrito al Departamento Académico de Matemática y
Estadística de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión
1) Si un punto crítico se repite dos veces, entonces el signo del intervalo que le antecede es
igual al signo del intervalo que le precede
2) En forma general si un punto crítico tiene una multiplicidad par, entonces se procede
como si se repitiera dos veces
3) Si un punto crítico tiene una multiplicida impar , entonces se procede como si no se
reìtiera ninguna vez
3
+
- - +
8
+
- - +
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4) Si el discriminante de una inecuación cuadrática es negativo ( ), entonces,
el intervalo solución general de la inecuación está dado por todos los
números reales ( ) cuando no se encuentra acompañada de otros factores, en
caso contrario este factor cuadrático con discriminante negativo se elimina
5) Si el discriminante de una inecuación cuadrática es negativo ( ), entonces,
el intervalo solución general de la inecuación es el conjunto vacío
( ) cuando no se encuentra acompañada de otros factores, en caso contrario
este factor cuadrático con discriminante negativo se elimina
Ejemplos:
Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones:
a) d)
b) e) ( )( )
c) f)
Solución a)
Si ( )( )
es un punto crítico que se repite dos veces
Por lo tanto: * + Solución b)
La inecuación tiene discriminante negativo, ( )( ) - y no
está acompañada con más factores y además como , entonces el conjunto solución
es todos los números reales
Por lo tanto: ( )
3
+
-
+
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Solución c)
Si ( )( ) , como la expresión cuadrática
tiene discriminante negativo, ( )( ) - y esta acompañada de
otro factor, se desprecia o elimina y solamente se procede a solucionar la inecuación con el factor restante
Entonces ( ) ( )( ) son los puntos críticos
Por lo tanto: ( ) Solución d)
Si ( )( ) es un punto crítico que se repite
dos veces
Por lo tanto: ( ) Solución e)
Si ( )( ) ( )( )
( )( )( ) , como la expresión cuadrática ( ) tiene
discriminante negativo, ( ) ( )( ) - y esta acompañada de otro
factor, se desprecia o elimina y solamente se procede a solucionar la inecuación con el factor
restante Entonces ( )( ) son los puntos críticos
Por lo tanto: ( - , ) Solución f)
A la lo factorizamos aplicando Ruffinni
( )( )( ) .
/
son los
puntos críticos
1
+
- - +
-1
+
-
+
2
+
- - +
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Por lo tanto: .
/ ( )
Ejercicios de aplicación Nº 02
I.- Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones y graficar dicho intervalo solución
1) 2)
3) 4)
( ) ( )
( )
5)
( )
( ) 6)
7) 8)
9) 10)
11)
12)
13)
14)
15) 16)
17) 18) ( )
19) ( )( ) 20) ( )( )( )
21)
22)
23) ( )( ) 24) ( )( )
25) 26)
27) 28) ( ) ( )
II.-Aplicando las propiedades de valor absoluto, resolver las siguientes Ecuaciones e inecuaciones:
-
+
-
- -
+ +
4 -1 2
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29) | | 30) | |
31) | | 32) | |
33) | |
34) | |
35) |
| 36) |
|
37) | | |
| 38) | |
39) || | | 40) | |
41) | | | | 42) | | | |
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UNIDAD II
RELACIONES Y FUNCIONES Nociones Preliminares 1.- Par ordenado.- Es un conjunto ordenado que consta de dos elementos y es denotado por
( ); donde es el primer elemento (o primera componente) y es el segundo elemento
(o segunda componente).
Un par ordenado no solo depende de los elementos a y b; sino también del orden en que
ambos son tomados.
Propiedades: a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
Ejemplo: Determinar el valor de e tal que:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
Solución a) Aplicando la definición de igualdad de pares ordenados se tiene que:
( ) ( )
{
Solución b) Aplicando el mismo argumento de la parte a) se tiene que
( ) ( )
{
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Par ordenado real.- Es un conjunto ordenado que consta de dos elementos y es
denotado por ( ); donde es el primer elemento (o primera componente) y es el
segundo elemento (o segunda componente).
Un par ordenado real se caracteriza porque sus componentes son números reales
Nota.- La representación gráfica de un par ordenado de valor real se hace en el sistema
cartesiano Birrectangular (o plano)
2.- Terna ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de tres elementos denotado por
( ) donde es el primer elemento, es el segundo elemento y es el tercer elemento.
Terna ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de tres elementos denotado por
( ) donde es el primer elemento, es el segundo elemento y es el tercer elemento,
pero sus componentes son números reales
.La representación gráfica de una terna ordenada de valor real se hace en el sistema
cartesiano Trirrectangular (o espacio)
(x, y)
Y
X
Y
Z
X
(x, y,z)
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3.- N-ada ordenada.- Es un conjunto ordenado que consta de n.elementos y es denotado
por ( ) 4.- Producto cartesiano.- Sean y dos conjuntos cualesquiera diferentes del vacío,
llamaremos producto cartesiano de los conjuntos y al conjunto formado por todos los
pares ordenados ( ) , denotado por
Simbólicamente: *( ) +
Nota.- El concepto de producto cartesiano se puede extender a más de dos conjuntos no
vacíos Propiedades:
1) Si al menos uno de los conjuntos es vacío, entonces el producto cartesiano de estos
conjuntos se definen como vacíos; es decir
2) Si
. 3) Si
4) ( ) ( ) ( )
5) ( ) ( ) ( )
6) Si
7) ( ) ( ) ( )
8) Si ( ) ( ) ( )
Ejemplos de aplicación:
1) Hallar el producto cartesiano * + * + Solución: Se sabe que ( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
2) Hallar el producto cartesiano * + * + * + Solución: Se sabe que
( ) ( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
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Observación.- Existe un diagrama que nos permite visualizar el conjunto de pares
ordenados del producto cartesiano, conocido con el nombre de diagrama del árbol
Así, el diagrama del árbol correspondiente al ejemplo 1) es el siguiente:
A B A X B a ( 1 , a ) 1 b ( 1 , b ) a ( 2 , a ) 2 b ( 2 , b ) a ( 3 , a ) 3 b ( 3 , b ) El diagrama del árbol correspondiente al ejemplo 2) es el siguiente:
A B C A X B x C n ( c, 2, n ) 2 m ( c, 2, m ) c n ( c, 4, n ) 4 m ( c, 4, m ) n ( d, 2, n ) 2 m ( c, 2, m ) d n ( d, 4, n ) 4 m ( d, 4, m ) Representación gráfica del producto cartesiano
Para la representación gráfica del producto cartesiano, se tiene en cuenta dos criterios:
a) Cuando los conjuntos son finitos y sus elementos discretos
b) Cuando los conjuntos son infinitos con elementos no discretos
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Para la representación gráfica del producto cartesiano cuando los conjuntos son finitos existen
tres tipos de diagramas:
1) Diagrama Sagital o de flechas
2) Diagrama Tabular o de doble entrada
3) Diagrama cartesiano
Ejemplo Sean los conjuntos * + * +, ilustrar gráficamente el producto
cartesiano mediante los tres tipos de diagramas
Diagrama Sagital o de flechas:
Este diagrama consiste en ubicar o representar a los conjuntos mediante un diagrama de
Venn Euler y trazar las flechas según el diagrama del árbol
A B
Diagrama Tabular o de doble entrada
Como su nombre lo indica se construye una tabla de doble entrada
B A
2 4
1
( 1, 2 )
( 1, 4 )
2
( 2, 2 )
( 2, 4 )
3
( 3, 2 )
( 3, 4 )
1
2
3
2
4
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Diagrama Cartesiano Se trazan dos rectas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical; en la recta horizontal se
ubican los elementos del primer conjunto (en este caso del conjunto A) y en la recta vertical se
ubican los elementos del segundo conjunto (en este caso del conjunto B), luego se trazan
rectas paralelas imaginarias a las trazadas inicialmente por los puntos y se resaltan las
intersecciones que constituyen los puntos del producto cartesiano.
B 4 º º º 2 º º º A 1 2 3 . Para la representación gráfica del producto cartesiano cuando los conjuntos son infinitos y sus
elementos no son discretos, se procede de la siguiente manera:
a) Se traza un plano bidimensional ( )
b) Se ubica el primer conjunto en la recta horizontal
c) Se ubica el segundo conjunto en la recta vertical
d) La intersección de estos segmentos representan el producto cartesiano
Ejemplo
Sean los conjuntos:
* + * +
( - , )
Ilustrar gráficamente el producto cartesiano indicado
a) b)
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Solución a)
Se conoce que: , - , - Gráfica
Solución b)
Se conoce que: ( - , )
XxY
Y
X
5 4 3 2 1
1
2
3
4
AxB
Y
X
5 4 3 2 1
1
2
3
4
-1 -2
o
-5
-2
-3
-4
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Ejercicios de aplicación Nº 03 Representar gráficamente, los siguientes productos cartesianos
a) b) c) d) e) Donde:
* + * +
* + * +
* + * +
* + * +
* + * +
Relación Binaria Sean y dos conjuntos cualesquiera, diferentes del conjunto vacío, entonces se
denomina relación binaria de en (o relación entre elementos del conjunto con
elementos del conjunto ) a todo conjunto
El conjunto puede obtenerse de acuerdo a algún criterio o en forma arbitraria
En otras palabras:
Ejemplos Sean los conjuntos:
* + * +
Encontrar los elementos de las siguientes relaciones:
a) *( ) +
b) *( ) +
c) *( ) +
d) *( ) +
e) *( ) +
f) *( ) +
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Solución Se sabe que una relación es un subconjunto de un producto cartesiano, entonces
encontramos primeramente el producto cartesiano de
encontrar sus elementos se debe tener en cuenta lo siguiente:
Si
Si * + ( )
Si * + ( ) ( ) ( )
Si * + ( ) ( ) ( )
Luego: *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Observaciones:
1.- Si tiene elementos, entonces tiene subconjuntos, en
consecuencia existen relaciones de en .
2.- Se dice que a está relacionado con si y solo si ( )
3.- Si ( ) ( )
4.- Se dice que es una relación en un conjunto si
5.- Son de especial interés en la matemática, las relaciones de , cuyas proposiciones
están dadas por ecuaciones o inecuaciones de dos variables.
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Propiedades de las relaciones
Sea una relación en el conjunto , entonces se verifican las siguientes condiciones:
a) Relación Reflexiva
Se dice que es una relación reflexiva en si ( )
Es decir es reflexiva en si todo elemento de está relacionado consigo mismo.
Ejemplo
Sea * + y sean las relaciones:
*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si son o no reflexivas:
Analizamos Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que es reflexiva por que ( )
Analizamos Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que no es reflexiva por que ( )
b) Relación Simétrica
Se dice que es una relación simétrica en si ( ) ( )
Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:
*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si son o no simétricas:
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Analizamos
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Se concluye que es una relación simétrica en
Analizamos
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Si ( ) ( ) no cumple
Se concluye que no es una relación simétrica en
c) Relación Transitiva
Se dice que es una relación transitiva en si ( ) ( ) ( )
Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:
*( ) ( )( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si son o no transitivas:
Analizamos
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Se concluye que es una relación transitiva en
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Analizamos
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( ) no cumple
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( ) no cumple
Si ( ) ( ) ( ) no cumple
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Se concluye que no es una relación transitiva en
d) Relación de Equivalencia
Una relación en se dice que es de equivalencia, si es simultáneamente reflexiva,
simétrica y transitiva. Ejemplo Sea * + y sean las relaciones:
*( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si son o no relaciones de equivalencia
Analizamos Debemos averiguar si es reflexiva, simétrica y transitiva
Analizamos si es reflexiva
Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que es reflexiva en Analizamos si simétrica
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Se concluye que es una relación simétrica en
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Analizamos es una relación transitiva
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Se concluye que es una relación transitiva en
Por lo tanto es una relación reflexiva, simétrica y transitiva en , en consecuencia es
una relación de equivalencia en
Analizamos
Debemos averiguar si es reflexiva, simétrica y transitiva
Analizamos si es reflexiva
Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( ) Se concluye que no es reflexiva en
Analizamos si es simétrica
Si ( ) ( ) no cumple
Si ( ) ( ) no cumple
Si ( ) ( )
Si ( ) ( )
Se concluye que no es una relación simétrica en
Analizamos es una relación transitiva
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
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Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( ))
Si ( ) ( ) ( ))
Se concluye que no es una relación transitiva en
Por lo tanto no es una relación reflexiva, simétrica y transitiva en , en consecuencia
no es una relación de equivalencia en
e) Relación Antisimétrica
Se dice que es una relación antisimétrica en si ( ) ( )
Es decir si ( ) esta en y ( ) también está en , entonces debe ser igual
que
Ejemplo
Sea *( ) +, demostrar que es antisimétrica Demostración
Si ( ) ( ) , - , -
)()(),(),( xyxyyxyxxyyxRxyRyxSi
Tomando intersecciones se concluye que
Por lo tanto es una relación Antisimétrica en
f) Relación Conexa
Se dice que es una relación conexa en si dado dos elementos diferentes
cualesquiera de , estos están relacionados
Es decir: ( ) ( ) Ejemplo 1 Sea * + y sea la relación:
*( ) ( )( )+
Analizar si es o no conexa en
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Solución
( ) ( ) ( )
Por lo tanto se concluye que es una relación conexa en
Ejemplo 2
Sea *( ) +
Se dice que es una relación conexa en el conjunto de los números reales ( ), ya que,
dado por la ley de la tricotomía
g) Relación de Orden Parcial
Una relación , se dice que es de orden parcial en , si es simultabeamente reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
h) Relación de Orden Total
Una relación , se dice que es de orden total en , si además de ser de orden parcial es
conexa
Ejemplo 1 Sea * + * + y sea la relación:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si es una relación de orden parcial o total en
Solución
Analizamos si es reflexiva en
Si ( )
Si ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( )
Se concluye que es una relación reflexiva
Analizamos si es una relación Antisimétrica en
Si ( ) ( ) Si ( ) ( ) Si ( ) ( ) Si ( ) ( )
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Si ( ) ( ) Se concluye que es una relación antisimétrica en
Analizamos si es una relación transitiva en Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Se concluye que es una relación transitiva en
Por lo tanto es una relación de Orden Parcial en
Analizamos si es una relación conexa en ( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
( ) ( ) , no cumple
Se concluye que no es una relación conexa en
Por lo tanto , no es una relación de Orden Total en
Ejemplo 2 Sea * + y sea la relación:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Analizar si es una relación de orden parcial o total en
Solución
Analizamos si es reflexiva en
Si ( ) Si ( ) Si ( )
Se concluye que es una relación reflexiva
Analizamos si es una relación Antisimétrica en
Si ( ) ( ) Si ( ) ( )
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Si ( ) ( ) Se concluye que es una relación antisimétrica en
Analizamos si es una relación transitiva en Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Si ( ) ( ) ( ) Se concluye que es una relación transitiva en
Por lo tanto es una relación de Orden Parcial en
Analizamos si es una relación conexa en
( ) ( ) ( ) Se concluye que no es una relación conexa en
Por lo tanto , es una relación de Orden Total en
Dominio e imagen de una relación Dominio de una Relación Sea , se llama dominio de la relación , al conjunto de todos los elementos
, tales que exista por lo menos un tal que ( )
Es decir, el dominio de una relación es un subconjunto de , cuyos elementos son las
primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a y es denotado por
( )
Simbólicamente
( ) * ( ) + Imagen de una relación Sea , se llama imagen de la relación , al conjunto de todos los elementos
, tales que exista por lo menos un tal que ( )
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Es decir, la imagen de una relación es un subconjunto de , cuyos elementos son las
segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a y es denotado por
( )
Simbólicamente ( ) * ( ) + Observaciones: 1.- Al dominio de una relación también se le llama: conjunto de partida
2.- A la imagen de una relación también se le llama rango o conjunto de llegada
3.- Si es una relación de en , entonces el dominio de es un subconjunto de y
la imagen de es un subconjunto de
4.- Si es una relación de valor real (es decir de en ), entonces el dominio e imagen
de las relaciones son subconjuntos de los números reales ( )
5.- Para encontrar el dominio de una relación de valor real se debe tener despejada la
variable dependiente y analizar para que valores de está bien definida la
variable dependiente.
6.- Para encontrar la imagen de una relación de valor real se debe tener despejada la
variable independiente y analizar para que valores de está bien definida la
variable independiente.
Ejemplos Hallar el dominio e imagen de las siguientes relaciones
a) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
b) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
c) *( ) +
d) *( ) +
Solución a)
Por definición se tiene que:
( ) * + ( ) * +
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Solución b)
Por definición se tiene que:
( ) * + ( ) * +
Solución c)
De acuerdo a la observación 4) dada anteriormente, como se trata de relaciones de valor
real, entonces para hallar el dominio de la relación se despeja la variable dependiente
( ) en función de la variable independiente ( ) y se analiza para que valores de
reales está bien definida la variable dependiente; así .está bien
definida , por lo tanto el ( ) ( )
De acuerdo a la observación 5) dada anteriormente, como se trata de relaciones de valor
real, entonces para hallar la imagen de la relación se despeja la variable
independiente ( ) en función de la variable dependiente y se analiza para que valores de
reales está bien definida la variable independiente; así en nuestro ejemplo despejando
la variable independiente de la ecuación se tiene que:
√ , esta expresión está bien definida , resolviendo esta
inecuación se tiene que , )
Por lo tanto la ( ) , )
Solución d) Procedemos en forma idéntica al ejercicio anterior
Para hallar el ( ), despejamos la variable de la ecuación
en efecto √
, esta expresión está bien definida
, Resolviendo esta
inecuación cuadrática utilizando el método de los puntos críticos y recordando que en el
intervalo solución general se le debe despreciar los valores de que hacen cero al
denominador tenemos que: ( ) ( ) ( ) * +
Para hallar el ( ), despejamos la variable de la ecuación
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en efecto √
, esta expresión está bien definida
, Resolviendo esta
inecuación cuadrática utilizando el método de los puntos críticos y recordando que en el
intervalo solución general se le debe despreciar los valores de que hacen cero al
denominador tenemos que: ( ) ( ) ( ) * +
Gráfica de Relaciones Para graficar cualquier tipo de relaciones, se consideran los valores de su dominio en el
eje y los valores de su imagen en el eje , ubicándose los puntos en el plano (cuando
son relaciones de valor discreto)
Si son relaciones de valor real se emplea el proceso denominado tabulación que consiste
en dar algunos valores arbitrarios a la variable independiente del dominio de la relación y
obtener valores para la variable dependiente
Estos valores encontrados para las dos variables constituyen pares ordenados que
representan puntos en el plano cartesiano birrectangular, los cuales son unidos por una
líea continua que se prolonga infinitamente desde el hasta el , pero siguiendo el
compòrtamiento de la ubicación de los puntos.
Ejemplos
Graficar en las siguientes relaciones:
a) *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
b) *( ) +
c) *( ) +
d) *( ) +
e) *( ) ( )( ) +
Solución a) Se sabe que:
( ) * + ( ) * +
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Gráfica: Solución b) Se sabe que:
( ) ( ) ( ) ( )
Para que un par ordenado se encuentre en , sus dos componentes deben ser iguales;
algunos pares de son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Gráfica
Y
X
1 2 3 4 5
3
2
1 º
º º
º
º
º
º
Y
X
1 2 3 -2 -1
2
1
-2
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Solución c) Se sabe que:
( ) * + ( ) ( )
Algunos elementos son los pares ordenados:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , es decir la primera componente es
constante en y la segunda componente no tiene restricción en
Gráfica: Solución d) Análogamente al ejercicio anterior, se puede observar que la gráfica de la relación ,
corresponde a una recta horizontal, que pasa a la altura de ; es decir la primera
componente de no tiene restricción en y la segunda componente es constante:
Entonces ( ) ( ) ( ) * +
Gráfica:
Y
X 1 3 -1 -2
-1
2
1
-2
3
2
4
y = 3
Y
X 1 3 -1 -2 -1
2
1
-2
x = 2
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Solución e) Recordamos que en el conjunto de los números reales se cumple
Entonces en nuestro ejemplo particular:
( )( )
luego por tener el conectivo de la disyunción incluyente, la gráfica consistirá de la unión de
ambas rectas:
Gráfica
Discusión de la gráfica de una ecuación La discusión de la gráfica de una ecuación consiste en realizar un previo análisis antes de
diseñar su gráfica
Es decir se debe encontrar las intersecciones con los ejes cartesianos, las simetrias, la
extensión, las asíntotas y por último algunos puntos mediante la tabulación
I.- Intersección con los ejes cartesianos
a) Con el eje .- Se llama intersección de una curva con el eje a la abscisa del
punto de intersección de la curva con el eje
Para encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje se reemplaza a
en la ecuación y se resuelve para
Y
X 1 -1 -2
-1
2
1
-2
3
2
4
x =3
y =2
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b) Con el eje .- Se llama intersección de una curva con el eje a la ordenada del
punto de intersección de la curva con el eje
Para encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje se reemplaza a
en la ecuación y se resuelve para
Ejemplo
Hallar los puntos de intersección con los ejes de la curva cuya ecuación es
( )
Solución
a) Hallamos intersección con el eje
Si ( )
Por lo tanto los puntos de intersección de la curva con el eje son:
( ) ( )
b) Hallamos intersección con el eje
Si ( )
Por lo tanto los puntos de intersección de la curva con el eje son:
( ) ( )
II.- Extensión
La extensión indica los intervalos maximales en los cuales las variables toman
valores permisibles para la ecuación dada; es decir es el rectámgulo dentro del cual se
encuentra ubucada la gráfica de la ecuación
El intervalo de extensión sobre el eje constituye el dominio de la relación y el intervalo
de extensión sobre el eje consituye la imagen de la relación
Para encontrar la extensión sobre el eje , se despeja la variable en función de la
variable , luego se analiza para que valores de estábien definida la variable
Para encontrar la extensión sobre el eje , se despeja la variable en función de la
variable , luego se analiza para que valores de estábien definida la variable
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Luego se gradican estos dos intervalos en los ejes cartesianos correspondientes,
formándose un rectángulo, dentro del cual debe estar ubicada la gráfica de la curva.
Ejemplo Hallar el rectángulo de extensión de la curva cuya ecuación es
( )
Solución
a) Hallamos el intervalo del dominio de la ecuación, Para ello despejamos la variable
dependiente en función de la variable independiente
Si ( ) ( ) √ ( )
Se observa que esta última expresión está bien definida para todo
( ) , luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que
, -
b) Hallamos el intervalo de la imagen de la ecuación, Para ello despejamos la variable
independiente en función de la variable dependiente
Si ( ) ( ) √
Se observa que esta última expresión está bien definida para todo
, luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que
, -
Gráfica del rectángulo dentro del cual debe estar ubicada la curva
Y
X 8
5
-2
-5
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68
III.- Simetrias
1) Simetría con relación a un punto.- Se dice que dos puntos son
simétricos entre si con respecto a un punto , si es el punto medio del
segmento .- El punto se denomina punto de simetría
2) Simetría con relación a una recta.- Si es una recta y un punto
cualquiera, entonces se dice que es simétrico a con respecto a , si
i) es perpendicular al segmento
ii) intersecta al segmento en su punto medio
La recta es llamada eje de simetría de los puntos y actúa como un espejo.
Gráfica
a) Simetría con respecto al eje
Si la ecuación de la curva no se altera cuando la variable es reemplazada por ( ) ,
entonces se dice que es simétrica con respecto al eje
Ejemplo
b) Simetría con respecto al eje
Si la ecuación de la curva no se altera cuando la variable es reemplazada por ( ) ,
entonces se dice que es simétrica con respecto al eje
Ejemplo
M
P Q
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69
c) Simetría con respecto al origen
Si la ecuación de la curva no se altera cuando las variables son reemplazadas
por (– ) ( ) , entonces se dice que la curva es simétrica con respecto al origen
Ejemplo
Nota
Si una curva es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados, entonces es también
simétrica con respecto al origen; pero lo recíproco no necesariamente se cumple.
III.- Asíntotas
Si la distancia de un punto de una curva a una recta fija , va disminuyendo (tendiendo
a cero) conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen, entonces dicha recta es
denominada Asíntota de la curva.
Siendo las asíntptas líneas rectas, entonces pueden tener cyalquiera de las tres
posiciones siguientes:
Si es paralela o coincide con el eje , se denomina asíntota horizontal y es
representada `pr la ecuación:
Si es paralela o coincide con el eje , se denomina asíntota vertical y es
representada `pr la ecuación:
Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados , sedenomina asíntota oblicua y
es representada por la ecuación:
Observaciones:
1) En este estudio analizaremos unicamente el caso de las asíntoyas horizintales y
verticales
2) Una curva puede tener más de una asíntota o también no poseer asíntotas
a) Asíntotas horizontales
Para obtener las asíntotas horizontales se despeja la variable independiente en función
de la variable dependiente , se hallan los valores de que hacen cero al denominador
(si los ubiera), estos valores coincidirán con las ecuaciones de las rectas o asíntptas
horizontales de la forma: .
b) Asíntotas verticales
Para obtener las asíntotas verticales se despeja la variable dependiente en función de
la variable independiente , se hallan los valores de que hacen cero al denominador (si
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70
los ubiera), estos valores coincidirán con las ecuaciones de las rectas o asíntptas
verticales de la forma: .
Ejemplo
Encontrar las asíntotas de la curva cuya ecuación está dada por:
Solución
Para calcular las asíntotas horizontales, despejamos la variable independiente en
función de la variable dependiente ,
En efecto:
en esta expresión se observa que el denominador se anula para el
valor de esto implica que la ecuación de la asíntota horizontal es que es
una recta horizontal coincidente con el eje
Para calcular las asíntotas verticales, despejamos la variable dependiente en función de
la variable independiente ,
En efecto: ( )
en esta expresión se observa que el
denominador se anula para el valor de esto implica que la ecuación de la asíntota
vertical es que es una recta vertical paralela al eje
IV.- Tabulación
El proceso de tabulación consiste en construir una tabla de valores, dando valores
arbitrarios a la variable independiente y obteniendo valores para la variable dependiente,
es decir se encuentran algunos otros puntos de la gráfica de la ecuación.
Ejemplos de aplicación
Discutir y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )
b)
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71
Solució a)
Para la discusión de la gráfica de la ecuación ( ) ( ) debemos
analizar los cinco casos
I. Intersecciones
a) Hallamos intersección con el eje
Si ( ) √ √
Por lo tanto los puntos de intersección de la curva con el eje son:
( ) ( )
b) Hallamos intersección con el eje
Si ( ) ( ) ( )
Por lo tanto el punto de intersección de la curva con el eje es: ( )
II. Extensión
a) Hallamos el intervalo del dominio de la ecuación, Para ello despejamos la variable
dependiente en función de la variable independiente
Si ( ) ( ) ( ) ( )
√ ( ) √ ( )
Se observa que esta última expresión está bien definida para todo
( ) , luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que
, -, que representa el dominio de la ecuación, representado por
( ) , -
b) Hallamos el intervalo de la imagen de la ecuación, Para ello despejamos la variable
independiente en función de la variable dependiente
Si ( ) ( ) ( ) ( )
√ ( ) √ ( )
Se observa que esta última expresión está bien definida para todo
( ) , luego resolviendo esta inecuación cuadrática se tiene que
, -, que representa la imagen de la ecuación, representado por
( ) , -
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72
III. Simetrías
a) Simetría con respecto al eje
Reemplazos a la variable por ( )
En efecto: ( ) ( ) , se observa que la ecuación varía por lo
tanto no existe simétrica con respecto al eje
b) Simetría con respecto al eje
Reemplazos a la variable por ( )
En efecto: ( ) ( ) , se observa que la ecuación varía por lo
tanto no existe simétrica con respecto al eje
c) Simetría con respecto al origen
Reemplazos a la variable por ( ) y a la variable por ( )
En efecto: ( ) ( ) , se observa que la ecuación varía por lo
tanto no existe simétrica con respecto al origen
IV. Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales
Despejando la variable independiente en función de la variable dependiente
tenemos
√ ( ) , en donde se observa que no existe denominador, por lo
que no existen asíntotas horizontales
b) Asíntotas Verticales
Despejando la variable dependiente en función de la variable independiente
tenemos √ ( ) , en donde se observa que no existe
denominador, por lo que no existen asíntotas verticales
V. Tabulación
Construimos una tabla , dando valores arbitrarios a la variable independiente y obteniendo
valores para la variable dependiente
X 0 1 2 3 4 5 6
y 1 1,2
-3,2
1,8
-3,8
2
-4
1,8
-3,8
1,2
-3,2
-1
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73
Gráfica
Solució b)
Para la ecuación procedemos en forma similar al caso anterior
I.- Intersecciones
a) Hallamos intersección con el eje
Si ( ) ( ) es un absurdo, por lo tanto no existe
intersección con eje
b) Hallamos intersección con el eje
Si ( )
Por lo tanto el punto de intersección de la curva con el eje es: ( )
II.- Extensión
a) Hallamos el intervalo del dominio de la ecuación, Para ello despejamos la variable
dependiente en función de la variable independiente
Si ( )
( )( )
Se observa en esta última expresión que está bien definida para todo
Por lo tanto el ( ) * + ( ) ( ) ( )
b) Hallamos el intervalo de la imagen de la ecuación, Para ello despejamos la variable
independiente en función de la variable dependiente
-4
2
6
Y
X
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74
Si ( )
√
, se observa que esta última expresión está bien definida para todo
, luego resolviendo esta inecuación tenemos
( - ( ) por lo tanto ( ) ( - ( )
III.- Simetrías
a) Simetría con respecto al eje
Reemplazos a la variable por ( )
En efecto, si ( ) ( )
se observa que la ecuación varía por lo tanto no existe
simétrica con respecto al eje
b) Simetría con respecto al eje
Reemplazos a la variable por ( )
En efecto, si ( )
se observa que la ecuación no varía por lo tanto si existe
simétrica con respecto al eje
c) Simetría con respecto al origen
Como no existe simetría con respecto al eje se concluye que no existe simetría con
respecto al origen
IV.- Asíntotas
a) Asíntotas Horizontales
Despejando la variable independiente en función de la variable dependiente
tenemos
√
, en donde se observa que existe denominador, por lo que existe
asíntota horizontal cuya ecuación es recta horizontal que coincide con el eje
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75
b) Asíntotas Verticales
Despejando la variable dependiente en función de la variable independiente
tenemos
( )( ), en donde se observa que si existe denominador, por lo que
Construimos una tabla , dando valores arbitrarios a la variable independiente y obteniendo
valores para la variable dependiente
Gráfica
Ejercicos de aplicación Nº 04 Discutir y trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:
1)
2)
3) ( )
4)
5) ( )( )
-1
x=-1
Y
X
x=1
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76
Función
Sean y dos conjuntos cualesquiera, diferentes del conjunto vacío y una relación
, entonces se dice que es una función de de en si para cada existe un
único elemento tal que ( )
Simbólicamente:
( )
En general si es una función que tiene como conjunto de partida a y como conjunto de
llegada a , esta es denotada por:
tal que
( )
Gráfica
Nota.- Toda función es una relación; pero lo recíproco no se cumple.
Generalmente trabajaremos con funciones de valor real; es decir que su dominio e imagen
serán los números reales o un subconjunto de el y están denotadas por:
tal que
( )
Donde se denomina la variable dependiente y a la variable independiente
Dominio e Imagen de una Función El dominio de una función
es el conjunto de partida denotado por ( )
Para calcular el dominio de una función se sigue el mismo procedimiento que para las
relaciones
1
2
3
2
4
función
A B
1
2
3
2
4
relación
A B
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77
La imagen de una función es el conjunto de llegada, denotada por ( ), también se le llama
Rango
Para calcular la imagen de una función se sigue el mismo procedimiento que para las
relaciones
Pero también se puede deducir el dominio e imagen de una función trazando la gráfica y
observando los valores que toma la variable independiente y la variable dependiente.
Nota.- Se dice que es una función de valor real si y solo si toda recta vertical corta a su
gráfica a lo más en un punto.
Gráfica de una función Para graficar funciones de valor real se emplea en primera instancia el proceso denominado
tabulación, que se discutión en la gráfica de relaciones
Ejemplos
Graficar las siguientes funciones
a)
b)
c)
d)
Gráfica de a)
Como el ( ) ( ) es decir no tiene restricción, entonces construimos una tabla
de valores para cercanos al origen
x -2 -1 0 1 2
y -2 -1 0 1 2
Y
X
1 2 3 -2 -1
2
1
-2
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78
Gráfica de b)
Como el ( ) ( ) es decir no tiene restricción, entonces construimos una tabla
de valores para cercanos al origen
Gráfica de c)
Como el ( ) ( ) es decir no tiene restricción, entonces construimos una tabla
de valores para cercanos al origen
x -2 -1
0
1 2
y 4 1
0
1 4
x -2 -1
0
1 2
y 3 0
-1
0 3
Y
X
1 2 -1
-2 -1
2
1
-2
Y
X
1 2 3 -2 -1
2
1
-2
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79
Gráfica de d)
Como el ( ) ( ) * + es decir tiene la restricción para , entonces
construimos una tabla de valores para cercanos al origen
Modelos básicos para gráfica de funciones
Estos modelos sirven para diseñar la gráfica de la función sin la necesidad de realizar el
proceso de tabulación, simplemente teniendo en cuenta las reglas establecidas y son los
siguientes:
Modelo 1.- La función Identidad definida por , cuya gráfica es es una línea recta que
pasa por el origen con una inclinación de 45º y cuyo ( ) ( )
x -2 -1
1 2
y
-1 -2 2 1
Y
X
1 2 -1
-2 -1
2
1
-2
Y
X
1 2 -2 -1
2
1
-2
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80
Modelo 2- La función cuadrática canónica definida por , cuya gráfica es la curva
conocida como parábola que se abre hacia arriba y su vértice está en el origen, donde
( ) ( ) ( ) , )
Modelo 3- La función valor absoluto definida por | |, cuya gráfica son dos rectas
convergente en el origen, donde ( ) ( ) ( ) , )
Y
X
1 2 3 -2 -1
2
1
-2
Y
X
1 2 -2 -1
2
1
-2
-1
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81
Modelo 4- La función raíz cuadrada definida por |√ |, cuyo ( )
, ) ( ) , )
Reglas para graficar funciones usando los modelos básicos
Son tres regla fundamentales:
a) Cuando a una función se suma una constante interiormente, su gráfica se traslada
sobre el eje , hacia la derecha del origen si la constante es negativa y
hacia la izquierda si la constante es positiva
b) Cuando a una función se le cambia de signo, su gráfica se invierte o rota 180º sobre el
eje ,
c) Cuando a una función se suma una constante exteriormente, su gráfica se traslada
sobre el eje o en su dirección, hacia arriba del del origen si la
constante es positiva y hacia la abajo si la constante es negativa.
Ejemplos
Usando los modelos básicos graficar las siguientes funciones:
a)
b) ( )
c) | |
d) √
Y
X
1 2 -1
2
1
-1
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82
Gráfica de a)
Gráfica de b)
Gráfica de c)
Y
X
Y
X
Y
X
+2
Y
X
Y
X
( )
1
Y
X
( )
1
1
| |
Y
X
| |
Y
X
| |
Y
X
| |
Y
X
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83
Gráfica de d)
Ejercicos de aplicación Nº 05 Usando los modelos básicos graficar las siguientes funciones:
1)
2) ( )
3) | |
4) √
Gráfica de funciones con diferentes reglas de correspondencia
Para graficar funciones con diferentes reglas de correspondencia , se procede a graficar regla
por regla utilizando los criterios ya conocidos.
Ejemplos de aplicación
Graficar las siguientes funciones utilizando cualquier criterio e indicar su dominio e imagen
a) ( ) 2
b) ( ) {
Y
X
√ Y
X
√
-3
Y
X
√
-3
-1
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84
Gráfica de a)
Gráfica de b)
Ejercicios de aplicación Nº 06
Graficar las siguientes funciones utilizando cualquier criterio e indicar su dominio e imagen
1) ( ) {
4) ( ) {
2) ( ) 2
5) ( ) {
3) ( ) {
6) ( ) {
Y
X
2
1
-2
-1 o
o
-2
2
( )
( ) , - * +
Y
X
2
1
-2
-1
1
o
o
( ) * + ( ) ( )
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85
Funciones Especiales
1.- Función Identidad
La función identidad está denotada y definida por:
Gráfica:
2.- Función Constante
La función cuyo dominio es el conjunto de los números ( ), y cuya imagen consiste de un
solo elemento y es denotada y definida por:
Gráfica:
y
x
IRIDm )(
IRI )(Im
Dm (c) = R
Im (c) = C
y
x
C
( )
( )
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86
3.- Función Escalón Unitario
Esta función está denotada y definida por:
2
Gráfica
Nota: Si ( ) ( ) {
{
Gráfica
4.- Función Signo
Esta denotado y definida por:
0,1
0,0
0,1
)(
xsi
xsi
xsi
xsig
1
y
x
o 0
( )
( ) * +
1
y
x
o
a
( )
( ) * +
1
-1
y
x
o
o
( )
( ) * +
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87
5.- Función Valor Absoluto
La función valor absoluto esta denotado y definido por:
| | 2
6.- Función Raíz Cuadrada
Esta denotada y definida por:
xxf )(
Gráfica
7.- Función Cuadrática
Esta definida y denotada por:
Donde: son constantes con
Análisis del Discriminante ( )
a) Si el discriminante , entonces la función cuadrática tiene dos raíces reales
diferentes ( ), lo que permite factorizar la función cuadrática
y
x
(| |)
(| |)
y
x
( )
( )
( )
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88
( ) ( )( )
b) Si el discriminante , entonces la función cuadrática tiene dos raíces reales
iguales ( ), lo que permite factorizar la función cuadrática
( ) ( )
c) Si el discriminante , entonces la función cuadrática no tiene raíces reales y
no admite factorización en por lo que se debe completar cuadrados
En forma general, la gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyo eje de simetría es
paralelo al eje , su vértice es el punto .
/
Si ( ) , completando cuadrados tenemos:
( ) .
/
donde:
Formas básicas de la gráfica una función cuadrática:
Caso 1: Donde 0 , corta al eje X
a) Si 0a 0a
a
D
a
b
4,
2
1x
2x
X
Y
a
D
a
b
4,
2
1x
2x X
Y
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89
Caso 2: 0 , toca en un punto al eje X
a) Si 0a b) Si 0a
Caso 3: 0 no corta al eje x
a) Si 0a b) Si 0a
Ejemplos Graficar las siguientes funciones cuadráticas:
a) 263)( xxxf
b) 12)( 2 xxxf
c) 106)( 2 xxxf
0,
2a
b
X
Y
0,
2a
b
X
Y
X
Y
m
a
D
a
b
4,
2
X
Y
m
a
D
a
b
4,
2
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90
Solución a):
263)( 2 xxxf , entonces
060)2)(3(4)6(4,03 22 acba ,
503624)6()2()3(44 22 bacD
5,1)3(4
60,
)3(2
6
4,
2VV
a
D
a
bV
Luego 5)1(3)( 2 xxf , en consecuencia la gráfica de la función es una parábola que
corta al eje X en dos puntos, se abre hacia abajo y tiene como vértice el punto )5,1(V
Gráfica
Solución b): 12)( 2 xxxf
)0,1(,)1()(,0,0
044)1)(1(4)2(4
2
22
Vvérticexxfa
acb
Entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba, corta al eje X en un
solo punto, cuyo vértice es el punto )0,1(V
X
Y
1
5
( 1, 5 )
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91
Gráfica
Solución c): 106)( 2 xxxf
)1,3(:
1)3()(,0,0
044036)10)(1(4)6(4
2
22
VVertice
xxfa
acb
Entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba y no corta al eje X,
cuyo vértice es el punto )1,3(V
Gráfica 8.- Función Mayor Entero
Esta función está denotada y definida por:
( ) ⟦ ⟧
X
Y
-1 (-1, 0 )
X
Y
3
1
( 3, 1 )
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92
Esto significa que: ⟦ ⟧ es el mayor entero que no supera a x , por esta razón esta
función ( ) ⟦ ⟧, es llamada también Función Máximo Entero, su dominio es el conjunto
de los números reales y su imagen es el conjunto de los números enteros
Para poder diseñar su gráfica damos algunos valores:
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Si , ) ( ) ⟦ ⟧
Gráfica Ejemplos de aplicación Graficar las siguientes funciones:
a) ( ) ⟦√ ⟧ b) ( ) ⟦ ⟧ c) ( ) ⟦ ⟧
Solución a)
( ) ⟦√ ⟧ √ ( )
o
o
o
o
o
o
o
X
Y
1
2
3
-1
-2
-3
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93
Encontramos algunos valores para observar el comportamiento de la gráfica de la función
Si √ √ √ √
( ) , )
Si √ √ √ √
( ) , )
Si √ √ √ √
( ) , )
Si √ √ √ √
( ) , )
Solución b)
( ) ⟦ ⟧
Encontramos algunos valores para observar el comportamiento de la gráfica de la función
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
4 9 16 1
2
3
o
1 o
o
o
Y
X
( )
I ( )
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94
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
Si
( ) ⟦ ⟧ [
)
Solución c)
( ) ⟦ ⟧ hacemos ( ) ⟦ ⟧
Encontramos algunos valores para observar el comportamiento de la gráfica de la función
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Y
X
-2
2 -1
-2
1
-3
2
1
3
( )
I ( )
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95
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Si ( ) ⟦ ⟧ ( )
Ejercicios de aplicación Nº 07
Graficar las siguientes funciones indicando su dominio y su imagen
1) ( ) ⟦ ⟧ 6) ( ) ( )
2) ( ) ⟦ ⟧ 7) ( ) . /
3) ( ) ⟦ ⟧ 8) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ( ) 9) f( ) ( )
5) ( ) | | 10) ( ) | |
Algebra de funciones Igualdad de funciones Se dice que dos funciones son iguales si y solo si se cumple lo siguiente:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
Y
X
( )
I ( ) ( -
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96
Operaciones con funciones
Sean dos funciones cualesquiera, entonces las operaciones con funciones son
denotadas y definidas de la siguiente manera
a) Suma o adición de funciones
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b) Resta o diferencia de funciones
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c) Multiplicación o producto de funciones
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d) División o cociente de funciones
(
) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplo 1 Hallar si las funciones son
*( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( )+
Solución
Se conoce que ( ) * + y ( ) * +
Entonces: ( ) ( ) ( ) * +
Luego
Si ( )( ) ( ) ( )
Si ( )( ) ( ) ( )
Por lo tanto *( ) ( )+
Ejemplo 2 Hallar si las funciones son
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97
( ) { , -
, - ( ) {
| | ( ) ( )
Solución
Se conoce que ( ) , - , - y ( ) ( ) ( ) * +
Entonces: ( ) ( ) ( ) , ) ( ) * +
Luego su regla de correspondencia será
( )( ) { | | , )
( )
Observación
Para realizar operaciones con funciones, con diferentes reglas de correspondencia, se puede
realizar directamente regla por regla, teniendo presente que cuando la intersección de sus
dominios es el conjunto vacío, entonces no existe la operación indicada
Composición de funciones
Sean conjuntos cualesquiera diferentes del vacío y sean las funciones tales
que: donde ( ) ( )
Entonces la composición de la función con la función se denota y define por:
( )( ) , ( )- para todo ( ) ( ) ( ) ( )
Gráfica
C
B A
x
, ( )-
( )
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98
Dominio de la función Composición Sean las funciones donde ( ) ( )
Entonces el dominio de la función compuesto con la función se denota y define por:
Ilustración gráfica Ejemplo 1 Sean las funciones definidas en forma discreta por los siguientes pares ordenados
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
f
)( fmI
)(gmD
)()( gDmfmI
g fog
)( fDm
)( fogmI )(gmI
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
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99
Hallar la función ( ) Solución
Como ambas funciones son conjuntos finitos, se puede trabajar con cada elemento del dominio de
la función
Se conoce que ( ) * + , ( ) * +
y ( ) * +
Entonces ( ) ( ) * +
Luego:
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Por lo tanto:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
( ) * +
( ) * +
Ejemplo 2 Sean las funciones definidas en forma discreta por los siguientes pares ordenados
*( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( )+
Hallar la función ( ) Solución
Procedemos en forma similar al caso anterior
Se conoce que ( ) * + , ( ) * +
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100
y ( ) * +
Entonces ( ) ( ) * +
Luego:
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( )
Si ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )
Entonces el par ( )
Por lo tanto:
*( )+
( ) * +
( ) * +
Ilustración Gráfica
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101
Observaciones 1.- Cuando las funciones están definidas por conjuntos discretos finitos de pares ordenados, hallar
su composición es inmediata ya que sus dominios e imágenes son conjuntos finitos
2.- Cuando las funciones son de valor real, sus dominios son intervalos o unión de intervalos o
aún más las funciones tienen varias reglas de correspondencia, entonces no es fácil calcular su
dominio y su regla de correspondencia de la función composición.
Ejemplo 3 Hallar el dominio y la regla de correspondencia de definidas por
( )
, - ( ) √ , -
Solución
Encontramos en primer lugar el dominio de la función composición
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
Se conoce: ( ) , -, ( ) , -
Falta calcular ( ), lo calculamos partiendo del ( )
Si ( )
√ √ ( ) √ ( ) [ √ ]
Entonces ( ) ( ) [ √ ] , - [ √ ] lo que implica que si existe
composición
Luego:
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
{ , - ( ) [ √ ]}
* , - , -+
* , -+ , -
Entonces: ( ) , -
Luego la regla de correspondencia será:
( )( ) , ( )- 0√ 1
√
Por lo tanto ( )( )
√ , -
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102
Ejemplo 4 Hallar el dominio y la regla de correspondencia de definidas por
( ) { , )
, ) ( )
Solución
Se observa que la función tiene dos reglas de correspondencia
( ) { ( ) , )
( ) , )
Entonces
( )( ) { ( )( ) ( )( )
Hallamos
Calculamos en primer lugar su dominio
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
Encontramos ( ) ( )
Se conoce que ( ) , )
Calculamos ( )
Como ( ) √ ( )
( ) , )
Luego ( ) ( ) , ) , ) , )
Entonces
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
* ( ) ( ) , )+
Por otro lado si ( ) , ) ( )
√ [ √ )
Luego
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
* ( ) ( ) , )+
{ ( ) [ √ )}
{ [ √ )}
Por lo tanto
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103
( ) [ √ )
Su regla de correspondencia será:
( )( ) , ( )- , - ( )
Procedemos en forma similar para hallar
Calculamos en primer lugar su dominio
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
Encontramos ( ) ( )
Se conoce que ( ) , ) ( ) , )
Luego ( ) ( ) , ) , ) , )
Entonces
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
* ( ) ( ) , )+
Por otro lado si ( ) , ) ( )
√ √ [√ √ )
Luego
( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+
* ( ) ( ) , )+
{ ( ) [√ √ )}
{ [√ √ )}
Por lo tanto
( ) [√ √ )
Su regla de correspondencia será:
( )( ) , ( )- , -
Por lo tanto la solución general será la unión de las dos soluciones:
( )( ) { ( )( )
[ √ )
( )( ) [√ √ )
Ejercicios de aplicación Nº 08
1) Sean las funciones:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Hallar: a) b)
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104
2) Sean las funciones:
*( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( )+
Hallar: a) b)
3) Sean las funciones:
( ) , -
( )
Hallar: a) b)
4) Sean las funciones:
( ) √
( )
Hallar: a) b)
5) Sean las funciones:
( ) {
( ) {
Hallar:
6) Sean las funciones:
( ) { , -
( -
( ) √ , -
Hallar:
Gráfica de regiones definidas por inecuaciones
Para graficar regiones definidas por inecuaciones se debe tener presente la manera como está
expresada la inecuación:
a)
b)
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105
Entonces la gráfica de la región siempre tendrá como frontera la ecuación definida por la igualdad
, además la gráfica de la región definida en la parte a) corresponde a
todos los puntos debajo de la frontera o sobre la frontera sin incluir la frontera y la gráfica de la
región definida en la parte b) corresponde a todos los puntos debajo o sobre la frontera incluyendo
la frontera
Observaciones
1) Cuando una región está definida por dos o más inecuaciones, entonces se trata de
sistemas de inecuaciones y su gráfica estará constituida por uniones o intersecciones de
regiones
2) Cuando se tiene el signo entre dos inecuaciones, entonces la gráfica general de la
región está constituida por la intersección de las dos regiones
3) Cuando se tiene el signo entre dos inecuaciones, entonces la gráfica general de la
región está constituida por la unión de las dos regiones
4) Para graficar una región, en primer lugar se debe arreglar la desigualdad, teniendo
presente que la variable independiente siempre debe de estar en el primer miembro y
además de signo positivo
Ejemplos de aplicación
Graficar las siguientes regiones definidas por:
1) 5)
2) 6)
3) 7) | | | | | |
4) | | 8)
Solución 1)
La región estará constituida por todos los puntos debajo de la frontera o borde definido por
X
Y
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106
Solución 2)
La región estará constituida por todos los puntos sobre la frontera o borde definido por
incluido la frontera
Solución 3)
Para diseñar la gráfica de la región definida por , en primer lugar se
descompone a las desigualdades usando las propiedades correspondientes y teniendo en cuenta
las observaciones anteriores:
Usamos la propiedad siguiente: Si , en este caso se tendrá:
luego ordenando según las observaciones tenemos:
En consecuencia la región solución estará constituida por la intersección de las tres regiones
cuyas fronteras están definidas por:
X
Y
X
Y
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107
Solución 4)
Para diseñar la gráfica de la región definida por | | , en primer
lugar se descompone a las desigualdades usando las propiedades correspondientes y teniendo
en cuenta las observaciones anteriores:
Usamos la propiedad: Si y también la propiedad del valor
absoluto | | , en este caso se tendrá:
{ } * +
{ } * +
{ } * +
En consecuencia la región solución estará constituida por la intersección de las cuatro regiones
incluido sus fronteras, cuyas fronteras están definidas por:
{ } * +
Ejercicios de aplicación Nº 09
Graficar las siguientes regiones definidas por:
1) 6)
2) 7)
3) 8) | | | | | |
4) 9)
5) 10)
Y
X
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108
Aplicación en el contexto empresarial la gráfica de regiones de sistemas de
desigualdades
Un área muy importante en donde se usa la gráfica de regiones de sistemas de desigualdades
con dos variables es la rama de las matemáticas denominada Programación Lineal.
Este aspecto se utiliza ampliamente en la industria, los negocios, la economía, la tecnología y el
análisis de muchos problemas sociales.
La programación lineal se usa para analizar problemas tales como el de maximizar las ganancias,
minimizar los costos o el uso de materiales con ciertas restricciones en la producción.
Problema práctico
Una empresa fabrica dos tipos de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos: los de
buena calidad y los de óptima calidad
La producción de los sistemas requiere el armado de los altoparlantes y la producción de las cajas
en las cuales se los instala.
El sistema completo de buena calidad requiere de 3 horas hombre para el armado de los
altoparlantes y de 2 horas hombre para la producción de las cajas.
El sistema completo de óptima calidad requiere de 4 horas hombre para el armado de los
altoparlantes y de 6 horas hombre para la producción de las cajas.
El máximo de mano de obra disponible es de 480 horas hombre por semana para el armado de
los altoparlantes y de 540 horas hombre por semana para la producción de las cajas.
Se anticipa que todos los sistemas serán vendidos y que se obtendrá una ganancia de 10 dólares
por cada sistema de buena calidad y 25 dólares por cada sistema de óptima calidad.
¿Cuántos sistemas de cada tipo debe fabricar la empresa para obtener la máxima ganancia?
Solución del problema
La solución de este problema consiste en aplicar los conocimientos de la teoría de inecuaciones y
la gráfica de regiones definidas por sistemas de inecuaciones sujetas a las restricciones
planteadas por la empresa.
La gráfica resultante será un polígono dentro del cual estarán las diferentes posibilidades del
número de tipos de sistemas de altoparlantes que puede fabricar la empresa; sin embargo el
punto que maximice la ganancia de la empresa será uno de los vértices del polígono, lo que
significa que existe la posibilidad de que solo se pueden fabricar un solo tipo de producto.
Procedimiento
Construimos el modelo matemático
Sean:
Número de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos de buena calidad
fabricados por la empresa en una semana
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109
Número de sistemas de altoparlantes para equipos estereofónicos de óptima calidad
fabricados por la empresa en una semana
Ganancia de la empresa, donde
En consecuencia el problema se solucionará maximizando la ganancia sujeta a las siguientes
restricciones:
estas variables no pueden tomar valores negativos
restricción del armado de los altoparlantes
restricción de la producción de las cajas
Gráfica
Conclusión
Todos los puntos del gráfico sombreado (polígono), es un punto factible, sin embargo los puntos
que pueden maximizar la ganancia es uno de los vértices de dicho polígono, descartando el
origen.
Al realizar la comprobación se demuestra que el punto factible que maximiza la ganancia de la
empresa es el ( )
Por lo tanto para que la empresa maximice su ganancia debe fabricar 72 sistemas de
altoparlantes para equipos estereofónicos de buena calidad y 66 sistemas de altoparlantes para
equipos estereofónicos de óptima calidad
150
25
50
75
X
100
125
100 50 150 200 250 300
Y
( )
( )
( )
( )
( )
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110
Ejercicio complementario
Analizar el problema de la máxima ganancia de la empresa, si por cada sistema de altoparlante
para equipos estereofónicos de de buena calidad su ganancia es de 20 dólares, los demás datos
se mantienen similares.
Ejercicios de aplicación Nº 10
1) La compañía “Pinocho” produce dos modelos de licuadoras:
El modelo A requiere de 10 horas de trabajo en la línea de ensamblaje I y 2 horas en la línea
de ensamblaje II por semana
El modelo B requiere de 3 horas de trabajo en la línea de ensamblaje I y 3 horas en la línea
de ensamblaje II por semana
La línea de ensamblaje I tiene hasta 150 horas por semana y la línea de ensamblaje II hasta
54 horas por semana, para dedicarlas a la producción de licuadoras. ¿Qué cantidad de cada
modelo de licuadoras debe producir la empresa para maximizar su utilidad, si el modelo A
proporciona una utilidad de S/ 80,00 por licuadora y el modelo B tiene una utilidad de S/ 60,00
por licuadora?
2) Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T:
La unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas
La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas
La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas diarias
Si el precio de cada unidad de alimento S es de S/.400,00 y el precio de cada unidad de
alimento T es de S/. 300,00
¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo
3) Un elaborador de helados pone a la venta dos sabores de helados, pero desea maximizar la
ganancia de la venta de estos productos:
El primero produce una ganancia de 1,50 nuevos soles por unidad y el segundo una ganancia
de 2,00 nuevos soles por unidad
Pruebas de mercado y recursos disponibles han indicado las siguientes restricciones
El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 unidades mensuales, la demanda
del segundo sabor de helados es menor o igual que la mitad de la demanda del primer sabor
y el nivel de producción de helados del primer sabor es menor o igual que 600 unidades más
tres veces el nivel de producción del segundo sabor.
111
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UNIDAD II
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VALOR REAL Introducción Los problemas que se pueden resolver con los métodos del Algebra y la Trigonometría son muy
numerosos; sin embargo hay muchos otros problemas que se presentan en los diversos campos
de la Tecnología, cuya solución requiere de métodos más avanzados.
Los temas tratados en los cursos básicos son parte de lo que se llama pre-cálculo, es decir
proporcionan los fundamentos del Cálculo, pero no son Cálculo.
La idea de Límite es la noción más importante del Cálculo, este concepto se encuentra
prácticamente en todo el análisis matemático.
Idea de Límite
Sea la función 1)( xxf , una función de valor real, con variable independiente y variable
dependiente , es decir )(xfy .
Luego analicemos el comportamiento de la función en una vecindad de 3x , es decir para
valores cercanos a 3 tanto al aproximarse por la derecho como por la izquierda, para ello
construimos una tabla de valores tabulando:
Valores de )(xf cuando x se acerca o aproxima a 3x por la izquierda
Valores de )(xf cuando x se acerca o aproxima a 3x por la derecha
Se observa en las tablas anteriores que a medida que x se acerca o aproxima cada vez más a 3,
)(xf se aproxima cada vez más a 4 y cuanto más cerca esté x de 3, más cerca estará )(xf de
4 Además: 4)( xf se puede hacer tan pequeño como se quiera haciendo | |
suficientemente pequeño
x 2 2.25 2.5 2.75 2.9 2.99 2.999
)(xf 3 3.25 3.5 3.75 3.9 3.99 3.999
x 3.001 3.01 3.10 3.25 3.5 3.75 4
)(xf 4.001 4.01 4.10 4.25 4.5 4.75 5
112
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Se acostumbra a usar los símbolos y para estas pequeñas diferencias; entonces diremos
que 4)(xf , siempre que 3x , donde 03 x ya que 3x
En otras palabras:
Dado cualquier número positivo 0 tan pequeño como se quiera, debe existir 0)(
tal que 4)(xf siempre que | |
Cuando esto ocurre se dice que 4 es el límite de )(xf cuando x tiende a 3
Simbólicamente se representa por: 4)1(3
xLimx
Definición de Límite
Sea f una función de valor real, denotada por , y sea un punto que no
necesariamente pertenece al Dm(f); pero que toda vecindad de contiene puntos del Dm(f);
entonces el Límite de )(xf cuando x se aproxima (tiende o se acerca) a 0x , es L y se denota
como: LxfLimxx
)(
0
; si para cualquier >0 tan pequeño como se quiera, existe un
0)( tal que Lxf )( , siempre que | |
Simbólicamente:
Ilustración gráfica
LxfLimxx
)(
0
, si dado 0 existe un 0)( tal que | ( ) | ,
siempre que | |
X
Y
( )
•
113
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Observaciones:
1) No es necesario de que la función esté o no definida en el punto para que exista el
límite
2) La explicación geométrica de la definición de límite expresa que dado épsilon ( ) , debe
ser posible encontrar un delta ( ), tal que la gráfica de la función se encuentre en el
rectángulo limitado por las rectas:
3) Surge la siguiente interrogante: ¿Qué tan cerca de se debe tomar el valor de para
que ( ) diste del valor de en un número muy pequeño prefijado?
Ejemplo
Si ( )
. ¿Qué tan cerca de debe de estar para que | ( ) | ?
Solución
Dado debemos encontrar un ( ) tal que | ( ) | , siempre
que | |
En efecto
| ( ) | |( ) | | | | || | | |
⇒| | ⇒
Este resultado significa que si dista de en menos de , entonces ( ) dista de
en menos de
Recomendaciones para la demostración de límites
Para la demostración del límite de cualquier función de valor real dada por ( ) , se
debe tener presente las siguientes recomendaciones:
1) Según la definición de límite, es necesario probar que dado cualquier , es posible
encontrar un tal que si | | entonces | ( ) | , inicialmente se
debe descomponer | ( ) | en dos factores, teniendo cuidado de que uno de estos
factores debe ser necesariamente | | y el otro factor restante una función denotada
por ( ), es decir | ( ) | | || ( )| ( ) , en este caso el problema se
reduce a acotar a la función ( ) , para ello se elige un delta particular, el cual debe ser un
valor pequeño, se acostumbra a elegir a este delta particular igual a la unidad ( ), sin
embargo este valor puede resultar inadecuado (muy grande) en algunos casos, por lo que
se debe tomar otro valor más pequeño, así se tendrá que | | | ( )| ,
donde es la cota de la función ( ), reemplazando en la expresión (*) se tendrá:
| | ⇒ | |
, luego tomando a * + se concluye
que ( )
114
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2) Se debe recordar también algunas propiedades de desigualdades y de valor absoluto:
a) Si | | ⇒
b) Si ⇒ | | *| | | |+
c) Si ⇒ *| | | |+
d) | |
e) Si ⇒
Ejemplos de aplicación
Demuestre los siguientes límites
1) ( ) 4) .
/
2) ( ) 5) .
/
3) ( ) 6) .
√ /
Demostración 1)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|( ) | , siempre que | |
En efecto: |( ) | | | | ( )| | | ⇒ | |
⇒ | |
, siempre que | |
Por lo tanto: ( )
Demostración 2)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|( ) | , siempre que | |
En efecto:
|( ) | | | |( )( )| | || | (*)
En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor
| ( )| | | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el
número tal que | |
Entonces: si ⇒ | | ⇒ ⇒
⇒ | |
Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos, siempre que
115
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
|( ) | | || | | | ⇒ | |
,
siempre que | |
Luego tomando a 2
3 , se concluye que ( )
Demostración 3)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|( ) | , siempre que | |
En efecto:
| | |( )( )| | || | (*)
En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor
| ( )| | | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el
número tal que | |
Entonces: si ⇒ | | ⇒ ⇒
⇒ | |
Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos que:
|( ) | | || | | | ⇒ | |
, siempre que
| |
Luego tomando a 2
3 , se concluye que ( )
Demostración 4)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|.
/
| , siempre que | |
En efecto:
|
| |
( )| |
( )
( )| |
| |
| | |
|
| | | (*)
En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor
| ( )| |
| falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el
número tal que |
|
Entonces: si ⇒ | | ⇒ ⇒
⇒
⇒ |
|
Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos que:
116
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
|
|
|
| | | .
/ .
/ | | ⇒ | | , siempre que
| |
Luego tomando a * + , se concluye que .
/
Demostración 5)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|.
/ | , siempre que | |
En efecto:
|
| |
( )
)| | | |
| | | |
| | | (*)
En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor
| ( )| |
| falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el
número tal que |
|
Entonces:
si ⇒ | | ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ |
|
Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos que:
|
| |
| | | ( ) .
/ | | ⇒ | |
, siempre que
| |
Luego tomando a 2
3 , se concluye que .
/
Demostración 6)
Dado cualquier , debemos ser capaces de encontrar un ( ) tal que
|.
√ /
| , siempre que | |
En efecto:
|
√
| |
√
√ | |
( √ )( √
( √ )( √ )| |
( )
( √ ) ( )| |
( √ )|
|
| | | |
√ |
| | |
√ | (*)
En esta última expresión se observa que | | , está acotada; pero el factor
117
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| ( )| |
√ | falta acotar, para ello elegimos un delta particular ( ) y buscamos el
número tal que |
√ |
Entonces:
si ⇒ | | ⇒ ⇒ ⇒
Luego por un lado tenemos: (▲)
Por otro lado tenemos: √ √ √ ⇒ √ √ √ (▲▲)
Sumando (▲) y (▲▲) tenemos: √ √ √
⇒
√
√
√ ⇒ |
√ |
√
Luego reemplazando en (*) y sacando extremos tenemos que:
|
√
|
| | |
√ | .
√ / | | ⇒ | | ( √ ) ,
siempre que | |
Luego tomando a { ( √ ) } , se concluye que .
√ /
Ejercicios de aplicación Nº 11
Demuestre los siguientes límites
1) ( ) 4) .
√
/
2) ( ) 5) .
/
3) ( ) 6) (√ )
Límites Laterales (derecha e izquierda)
Cuando se definió el límite de una función, no se hizo ninguna restricción sobre la manera como
debe acercarse o tender x a , solamente x se consideró móvil y fijo:
Entonces:
a) Cuando x tiende o se acerca a por la derecha, el límite se llama, límite a la derecha de la
función )(xf en el punto y es denotado por LxfLimxx
)(
0
b) Cuando x tiende o se acerca a por la izquierda, el límite se llama, límite a la izquierda de la
función )(xf en el punto y es denotado por LxfLimxx
)(
0
Observaciones:
118
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1.- Se dice que: LxfLimxx
)(
0
)(
0
xfLimxx
= )(
0
xfLimxx
; es decir existe el
límite de una función si y solo si existen los límites laterales y son iguales.
2.- Generalmente cuando la función tiene diferentes reglas de correspondencia para
, es necesario calcular los límites laterales de la función.
Ejemplos:
1.- Hallar los límites laterales de la función signo cuando x tiende a 0 y trazar la gráfica
correspondiente.
2.- Calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, si existe y trazar su gráfica de:
11
11
13
)(
2
xsix
xsi
xsix
xg
Solución 1)
La función signo es definida por:
0,1
0,0
0,1
)(
xsi
xsi
xsi
xsig
gráfica
Los límites laterales izquierdo y derecho son:
, ( )- , ( )-
Como estos límites laterales son diferentes se concluye que no existe el límite de la función signo
cuando se acerca a cero, es decir , ( )- no existe
Solución 2)
Graficamos a la función: ( ) {
1
-1
y
x
o
o
( )
( ) * +
119
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Los límites laterales izquierdo y derecho son:
, - , -
Como estos límites laterales son iguales se concluye que si existe el límite de la función cuando
se acerca o tiende a 1, es decir , ( )-
Ejercicios de aplicación Nº 12
En las siguientes funciones encontrar el límite si existe en el punto indicado: y trazar la gráfica
correspondiente:
a)
21
212)(
xsi
xsixxf ?)(
2
xfLim
x
b)
12
14)(
2
2
xsix
xsixxg ?)(
1
xgLim
x
c)
127
12
132
)(
xsix
xsi
xsix
xh ?)(1
xhLimx
Límites al infinito
Definición 1.- Sea una función que está definida en todos los números reales de algún
intervalo ( ) , entonces el límite de )(xf cuando x crece sin límite
(x ) es L y se denota como: LxfLimx
)( , si para cualquier 0 tan
pequeño como se quiera, existe un N > 0 tal que: Lxf )( siempre que x > N
X
Y
-3
1
-2
-1
o
-2 2
•
120
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Definición 2.- Sea una función que está definida en todos los números reales de algún
intervalo ),( a : entonces el límite de )(xf cuando x decrece sin límite (x
) es L y se denota como: LxfLimx
)( , si para cualquier 0 tan
pequeño como se quiera, existe un N > 0 tal que: Lxf )( siempre que x
< N
Definición 3.- Generalizando se dice que:
LxfLimx
)( Si y solo si dado 0 existe N > 0 tal que:
NxxLxf ,)(
Ejemplo:
11 2
2
x
xLim
x
gráfica
En la gráfica se observa que cuando decre sin limite, La función se acerca a ; lo mismo
sucede cuando crece sin limite
LIMITES INFINITOS
En los límites infinitos se observa que cuando 0xx , f(x) crece o decrece sin límite y se
escribe:
)(
0
xfLimxx
o
)(
0
xfLimxx
Definición 1.- Sea una función que está definida en algún intervalo , que contenga a ,
excepto posiblemente el mismo , entonces a medida que se aproxima a
, ( ) crece sin límite, lo cual es denotado por: ( ) (*)
121
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Si para cualquier número , existe un tal que ( ) , siempre que
| |
Definición 2.- Sea una función que está definida en algún intervalo , que contenga a ,
excepto posiblemente el mismo , entonces a medida que se aproxima a ,
( ) decrece sin límite, lo cual es denotado por: ( ) (**)
Si para cualquier número , existe un tal que ( ) ,siempre que
| |
Observaciones:
1) La ecuación (*) se puede leer como el límite de ( ) cuando se aproxima a es infinito
positivo; en tal caso el límite de la función no existe, pero el símbolo indica el
comportamiento de los valores de la función ( ) a medida que se acerca cada vez más a
2) La ecuación (**) se puede leer como el límite de ( ) cuando se aproxima a es infinito
negativo; en tal caso el límite de la función no existe, pero el símbolo indica el
comportamiento de los valores de la función ( ) a medida que se acerca cada vez más a
Ejemplo:
Sea la función: 2)2(
3)(
xxf , una función de valor real 2x
Luego averigüemos los valores de )(xf cuando x se acerca a 2 tanto por la derecha como por la
izquierda
Si hacemos que x se aproxime a 2 por la derecha, )(xf crece rápidamente sin límite, por lo que
podemos escribir
22 )2(
3
xLim
x
En forma similar si hacemos que x se aproxime a 2 por la izquierda, f(x) crece rápidamente sin
límite, por lo que podemos escribir
22 )2(
3
xLim
x
Y
122
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Por lo tanto como los límites laterales son iguales se concluye que:
2
2 )2(
3
xLim
x
gráfica:
Ejercicios de aplicación Nº 13
Graficar y calcular el límite de las siguientes funciones:
a) 3)3(
1)(
2
xcuando
xxf
b) 2)2(
3)(
2
xcuando
xxf
c) 11
2)(
xcuando
x
xxf
Propiedades de Límites
En la teoría de límites se cumplen las siguientes propiedades:
1) Si C es una constante cualquiera, entonces CCLimxx
0
2) Si m y b son constantes cualesquiera, entonces CbxmCbxmLim oxx
)(
0
3) Si LxfLimxx
)(
0
y MxgLimxx
)(
0
, entonces se verifican que:
a) Si K es una constante, entonces LKxfLimKxfKLimxxxx
.)(..)(.
00
b) MLxgLimxfxfLimxgxfLimxxxxxx
)()()()()(
000
c) MLxgLimxfxfLimxgxfLimxxxxxx
.)(.)()()(.)(
000
2
Y
X
123
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
d) 0)(
)(
)(
)(
0
0
0
M
M
L
xgLim
xfLim
xg
xfLim
xx
xx
xx
Nota.- El caso b) y c) se pueden generalizar para n-funciones
4) Si LxfLimxx
)(
0
y n es cualquier entero positivo, entonces se verifica lo siguiente:
a) nn
xx
n
xxLxfLimxfLim
)()(
00
b) nn
xx
n
xxLxfLimxfLim
)()(
00
5) Si LxfLimxx
)(
0
, donde: L >0 y 00 x , entonces
)()()(
00
LLogxfLimLogxfLogLim axx
aaxx
Operaciones con el Infinito
El infinito no es un número real, pero si es posible operar con el infinito y los números reales de
acuerdo a las siguientes reglas:
a) b) c)
d) ( ) e) f) ( )
g) h) ( ) i) ( )
j) ( ) k)
l)
m)
n)
Expresiones indeterminadas
Son aquellas que no se les pueden asignar valores únicos, entre ellas tenemos:
a)
b)
c) ( ) d)
e) f) ( ) g) ( ) h)
124
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Límites de expresiones indeterminadas
Para el cálculo del límite de expresiones de formas indeterminadas, es necesario levantar la
indeterminación, lo que se consigue por lo general, transformando la expresión propuesta por otra
equivalente.
Observaciones:
1.- En nuestro estudio inicialmente solamente calcularemos límites de expresiones
indeterminadas de la forma:
,
, ( ) , , más adelante cuando se estudie la
derivada y apliquemos la regla de L.Hospital completaremos las demás formas
indeterminadas.
2.- Para calcular los límites de funciones racionales, cuando al reemplazar directamente se
presenta la forma indeterminada
, se trasforma la expresión dada factorizando tanto al
denominador como al numerador y reduciendo
.
3.- Para calcular los límites al infinito de funciones racionales cuando al reemplazar directamente
se presenta la forma indeterminada
, se levanta la indeterminación, dividiendo tanto al
numerador como al denominador entre la máxima potencia de la variable de la función
racional y posteriormente se resuelve aplicando las propiedades de límites ya conocidas.
4.- Para calcular los límites al infinito de funciones cuando al reemplazar directamente se
presenta la forma indeterminada , se levanta la indeterminación, multiplicando tanto al
numerador como al denominador por la respectiva conjugada
5.- Debemos mencionar el caso del cálculo de límites de función, de función o de la forma:
, ( )- ( )
Para calcular este tipo de límites se debe tener presente los siguientes casos:
Caso 1.- Si existen los límites y son finitos de las funciones:
, ( )-
y , ( )-
Entonces: , ( )- ( ) ( )
Caso 2.- Si , ( )- y , ( )-
,
Entonces:
a) Si A > 1 se tiene que
125
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
, ( )- ( ) ( ) ∨ , ( )- ( )
( )
b) Si 0< A < 1, se tiene que
, ( )- ( ) ( ) ∨ , ( )- ( )
( )
Caso 3.- Si , ( )-
y , ( )-
Entonces:
, ( )- ( ) ( ) , ( ) -, ( )-
Límites Notables
Los límites notables son resultados que se pueden utilizar en la solución de límites más
elaborados, entre ellos tenemos los siguientes:
a) exx
xLim
1
01 b) ex
k
x k
xLim
1
0
c) ex
xxLim
1
01 d) 1
)(
0
x
xSenLim
x
e) 0)(1
0
x
xCosLim
x f) 1
1
0
xLim
xe
x
g) 01
0
nx xLim h) 1
)(
0
x
xTgLim
x
i) 2
1)(1
20
x
xCosLim
x j) 1
)(1
0
x
xSenLim
x
k) 1)(1
0
x
xTgLim
x l) 1,0()(
1
0
aaaLn
xLim
x
x
a
m) ex
x xLim
11 n)
kx
xe
x
kLim
1
126
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
o) ex
x xLim
11 p) 0
1
1
x
xSen
Limx
q) 01
nx xLim r) 0
1
nx xLim
s) 2
)(1
xTgLim
x t)
2)(1
xTgLim
x
u) 1)(
1
1
xLn
xLim
x v) 1
)(0
xSen
xLimx
Ejemplos de aplicación
1.- Calcular los siguientes límites:
a) )57( 2
3
xxLim
x b) )12( 2
2
xxLim
x
c)
12
65
2
2
3 xx
xxLim
x d)
3
273
3 x
xLim
x
e)
2
83
2 x
xLim
x f)
5
32
2
3
2 x
xxLim
x
g)
x
xLim
x
22
0 h)
11
11
30 x
xLim
x
i)
2
2
1 x
xLim
x j)
1
432
4
2
x
xxLimx
k)
13
)64)(53)(32(
3 xx
xxxLim
x l)
xxLimx
45
m)
)2(2
4 4
16
x
x x
xLim n)
x
x x
xLim
3
12
o) xx
xLim2
031
p)
3
)2(
3 x
xLnLim
x
127
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución a)
( ) ( )
Solución b)
( ) ( )
Solución c)
0
1 ( ) ( )
( ) ( )
forma indeterminada, entonces
levantamos la indeterminación factorizando tanto al numerador como al denominador
6
7
6( )( )
( )( )7
(
)
Solución d)
También es uma forma indeterminada
, entonces factorizamos al numerador como una diferencia
de cubos
6
7
6( )( )
7
( )
( ) ( )
Solución e)
También es una forma indeterminada
, entonces factorizamos al numerador como una suma de
cubos
6
7
6( )( )
7
( )
( ) ( )
Solución f)
*√
+ *√
( ) ( )
( ) + √
√
128
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución g)
0
√ √
1 √ √
es una forma indeterminada, para levantarla aplicamos el
artificio matemático de multiplicar y dividir por el conjugado del numerador
6
√ √
7
6√ √
7 6√ √
√ √ 7
[
√ √ ]
√ √
√ √
Solución h)
0
√
√
1
es una forma indeterminada, para levantarla en primer lugar aplicamos el
artificio matemático de multiplicar y dividir por el conjugado del numerador
6
√
√
7
6√
√
7 6√
√ 7
6
. √
/(√ )7
0
(√ )1 6
. √
/7
, se observa que el segundo limite sigue siendo una forma indeterminada para levantarla
aplicamos la diferencia de cubos al denominador
6
( √
)7 * .( √
) √
/
( √
) √
+
*
.( √
) √
/
+
0 ( √
) √
1
Entonces:
6
( √
)(√ )7
6
(√ )7 [ . √
/ √
]
6
(√ )7 [ . √
/ √
] ( )
Solución i)
.
/
forma indeterminada que se levanta dividiendo término a
término tanto al numerador como al denominador entre la máxima potencia , en este caso por
129
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
4
5
Solución j)
(
√ )
( )
√
forma indeterminada, se procede en forma similar
al caso anterior
(
√
)
(
√
)
√
Solución k)
0
( )( )(
1
procedemos en forma similar al caso anterior
[
. / .
/ .
/
] *
. / .
/ .
/
+
Solución l)
(√ √ ) √ ( ) √ √ √ forma indeterminada
que se levanta aplicando el artificio matemático de multiplicar y dividir en este caso por el
conjugado del numerador
(√ √ )4
√ √
√ √ 5
4
√ √ 5
.
√ √ / , se observa que este
último limite sigue siendo una forma indeterminada para levantarla dividimos tanto al numerador
como al denominador entre la máxima potencia en este caso
4
√ √ 5
(
√ √ )
(
√ √ )
Solución m)
Como se trato de límites de la forma , ( )- ( ) , procedemos a realizar el análisis
correspondiente de la función base y de la función exponente
.
/
( ) ( )
130
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces 0
1( )
( )
Solución n)
Procedemos en forma similar al caso anterior
.
/
( )
Entonces 0
1( )
( )
Solución o)
Procedemos en forma similar al caso anterior
( )
.
/
Entonces , -.
/ ( )
( ).
/ ( )
( ) ( )
Solución p)
.
(
/
(
( )
, es una forma indeterminada, para levantarla en
primer lugar aplicamos las propiedades de logaritmo para transformar la función
(
(
)
[ ( ) ] [
( ) ]
Ahora como la expresión dentro del corchete es un límite de la forma , ( )- ( ) ,
procedemos a calcularlo
( )
.
/
Luego: , -.
/ ( )
( ).
/ ( )
( ) ( )
Entonces .
(
/ 0
( )
1 ,( ) -
Ejercicios de aplicación Nº14
Calcular los siguientes límites
1.- ( ) 16.-
.
/( )
2.- ( ) 17.-
.
/
3.- ( ) 18.-
( ).
/
131
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4.- .
√ / 19.-
. (
/
5.- .
/ 20.-
.
/
6.-
.
/ 21.-
.
/
7.- .
√
/ 22.-
4√
5
8.- .
/ 23.-
.√
√
/
9.- .
/ 24.-
.
√ /
10.- .
/ 25.-
.
/
11.- 4√
5 26.-
.
√ /
12.- .
√ √
/ 27.-
.
/
13.- .
√ / 28.-
.( )( )( )
/
14.- .
/ 29.-
( )
15.- (√ √ ) 30.- .
( ) ( )
( ) ( )/
( )
Ejercicios de aplicación Nº 15 (límites trigonométricos)
Calcular los siguientes límites
1.- 0
( )
1 14.-
[√ ( ) √ ( )
]
2.- 6
.
/
7 15.-
0 ( ) ( )
1
3.- 0
( )
1 16.-
0 ( ) ( )
1
4.- 0
( )
√ 1 17.-
0 ( )
1
132
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5.- 0
( )
1 18.-
0 ( )
( )1
6.-
0 ( )
( ) ( )1 19.-
0 ( )
1
7.- 0
( ) ( )
1 20.-
0 ( )
( )1
8.-
6 .
/
( )7 21.-
0 ( )
1
9.- 0
( ) ( )
1 22.-
0 ( )
( )1
10.- 0
( )
( )1 23.-
0
( )
( ) 1
11.- 0
( )
1 24.-
0 ( )
1
12.- 0
( )
( )1 25.-
0 ( )
( )1
13.- 0
( )
( )1 26.-
0 ( ) ( )
( ), ( )-1
Continuidad de una función de valor real
La continuidad se ocupa del estudio de de la gráfica de una función que tiene un buen
comportamiento.
Las funciones que tienen un buen comportamiento, son las funciones derivables.
Una función derivable es aquella que, en cada punto de su gráfica se puede trazar una recta
tangente o también se dice que la gráfica tiene una dirección definida en todo punto.
Continuidad de una función en un punto
Motivación
Sea ( ) ( )( )
, cuya gráfica es:
X
Y
3
4 o
-3
1
133
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
En esta gráfica se observa que está definida para todos los valores de ,excepto para ,
la gráfica lo constituye todos los puntos de la curva excepto el punto ( ) ; es decir existe un
salto, por lo que se afirma que la función es discontinua en
Si redefinimos a ( ) , entonces la función está definida para todo , pero existe un salto
en la gráfica y la función sigue siendo discontinua en
Pero si aún más volvemos a redefinir a ( ) , entonces no existe salto en la gráfica de la
función, por lo tanto se dice que la función es continua para todos los valores de
Definición
Se dice que la función es continua en el número si y solo si se cumple las siguientes tres
condiciones:
a) ( )
b) , ( )-
c) , ( )- ( )
Observación
Si una o más de las condiciones anteriores no se cumplen para se dice que la función es
discontinua en
Clases de discontinuidad
Discontinuidad Evitable o removible
Si es una función discontinua en el número ; pero existe el , ( )- , se dice que la
discontinuidad es evitable y se puede redefinir a la función para convertirla en continua
Discontinuidad Esencial
Si es una función discontinua en el número ; en donde no existe el , ( )- , se dice
que esta discontinuidad es esencial, es decir no se puede evitar
Ejemplos de aplicación
Dadas las siguientes funciones:
Trazar su gráfica
Determinar los puntos donde existe un salto en la gráfica
Mostrar cual de las condiciones de la definición no se cumplen
Si la discontinuidad es evitable redefinir a la función para convertirla en continua
134
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
a) ( ) 8( )( )
c) ( ) 2
b) ( ) 8
d) ( ) {
| |
Solución a)
( ) {( )( )
Gráfica
La gráfica muestra que existe un salto en
Averiguamos que condición de continuidad no se cumple en
a) ( ) existe, entonces cumple
b) 0
( )( )
1
( ) existe, entonces cumple
c) , ( )- ( ) no cumple
Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en
Pero como existe el límite se puede redefinir a la función en para convertirla en continua
( ) {( )( )
Solución b)
( ) {
X
Y
3
4 o
-3 1
• 2
135
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Gráfica
La gráfica muestra que existe un salto en
Averiguamos que condición de continuidad no se cumple en
a) ( ) existe, entonces cumple
b) Para calcular el límite de la función aplicamos límites laterales 0
1 y
0
1 como los límites laterales son diferentes se concluye que no existe el
límite de la función, entonces no cumple
c) Tampoco cumple
Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en
Y como no existe el límite la discontinuidad es esencial en
Solución c)
( ) 2
Gráfica
X
Y
3 •
2
X
Y
3
4
o
-3 1
2
•
3
136
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
La gráfica muestra que existe un salto en
Averiguamos que condición de continuidad no se cumple en
a) ( ) existe, entonces cumple
b) , - y
, - , como los límites laterales son
diferentes, se concluye que , ( )- ( ) no existe, no cumple esta
condición
c) Como no existe el límite tampoco cumple esta condición
Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en , con una discontinuidad esencial
Solución d)
( ) {| |
Gráfica
La gráfica muestra que existe un salto en
Averiguamos que condición de continuidad no se cumple en
a) ( ) existe, entonces cumple
b) Para calcular el límite de la función , calculamos los límites laterales
, ( )-
, ( )-
Como estos límites laterales son iguales se concluye que
, ( )- existe, cumple
c) , ( )- ( ) no cumple
Por lo tanto se concluye que la función es discontinua en y tiene una discontinuidad
evitable
Redefinimos a la función para convertirla en continua en
( ) 2| |
1 3 2 X
Y
• 3 --
2 --
1 --
137
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ejercicios de Aplicación Nº 16
Dadas las siguientes funciones:
i) Trazar su gráfica
ii) Mostrar cual de las tres condiciones de la definición no se cumple en el punto
indicado
iii) Si la discontinuidad es evitable redefinir a la función para convertirla en continua
1. ( )
2. ( ) {
3. ( ) 8
4. ( ) 2| |
5. ( ) 8
6. ( ) 8
| |
Continuidad de una función en un intervalo
Se dice que una función es continua en un intervalo si y solo si es continua en todo punto del
intervalo abierto.
Ejemplo:
( )
¿En que intervalo abierto es continua?
Solución
La función es cointinua en todo punto excepto en el punto
Por lo tanto es continua en todo intervalo que contenga al número 3; es decir es continua en
todo punto del intervalo ( ) ( )
Continuidad a derecha e izquierda de funciones
Definición 1
Se dice que la función es continua por la derecha del número si y solo si las siguientes tres
condiciones se cumplen
a) ( )
b)
, ( )-
138
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
c)
, ( )- ( )
Definición 2
Se dice que la función es continua por la izquierda del número si y solo si las siguientes tres
condiciones se cumplen:
a) ( )
b)
, ( )-
c)
, ( )- ( )
Definición 3
Un función cuyo dominio incluye el intervalo semi abierto por la derecha , ), se dice que es
continua en , ) si solo si es continua en el intervalo abierto ( ) y continua por la derecha de
Definición 4
Una función cuyo dominio incluye el intervalo semi abierto por la izquierda ( -, se dice que es
continua ( - si y solo si es continua en el intervalo abierto ( ) y continua por al izquierda de
Definición 5
Una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado , -, se dice que es continua , - si y
solo si es continua en el intervalo abierto ( ) así como también continua por la derecha de y
continua por la izquierda de
Ejemplos de aplicación
1.- Sea la función definida por ( ) √
Determinar si es continua o discontinua en cada uno de los siguientes intervalos: ( ) ;
( -; , ) , -
Solución
En primer lugar determinamos el dominio de la función
estará bien definida
Resolviendo esta inecuación se tiene que ( - ( )
139
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
i) Luego por definición se puede afirmar que la función es continua en el intervalo abierto
( )
ii) Averiguamos si la función es continua en el intervalo semi abierto por la izquierda
( -
Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo semi abierto ( - si y
solo si es continua en ( ) y continua por la izquierda de 2.
Lo primero cumple, falta probar la continuidad por la izquierda de 2
a) ( )
b) 6√
7
c) 6√
7 ( )
Por lo tanto se concluye que es continua en el intervalo ( -
iii) Averiguamos si la función es continua en el intervalo semi abierto por la derecha
, )
Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo semi abierto , ) si y
solo si es continua en ( ) y continua por la derecha de
Lo primero cumple, falta probar la continuidad por la derecha de
a) ( )
b)
6√
7
c)
6√
7 ( )
Por lo tanto se concluye que no es continua en el intervalo , )
iv) Averiguamos si la función es continua en el intervalo cerrado , -
Por definición, se dice que la función es continua en el intervalo cerrado , - si y solo si
es continua en ( ) , que cumple por i) ; además debe ser continua por la izquierda de
de que cumple por ii) y debe ser continua por la derecha de de que no cumple por
iii)
Por lo tanto se concluye que no es continua en el intervalo cerrado , -
2.- Demuestre que la función ( ) √ es continua en el intervalo cerrado , -
Solución
En primer lugar determinamos el dominio de la función
140
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
La función está bien definida resolviendo esta inecuación cuadratica se tiene que
, -, es decir ( ) , -
Entonces por definición se dice que es continua en el intervalo cerrado , - si solo si es
continua en el intervalo abierto ( ) y además continua por la derecha de y continua por la
izquierda de
i) Averiguamos si la función es continua por la derecha
a) ( )
b)
[√ ]
c)
[√ ] ( )
Por lo tanto se concluye que es continua por la derecha de
ii) Averiguamos si la función es continua por la izquierda de
a) ( )
b) [√ ]
c) [√ ] ( )
Por lo tanto se concluye que es continua por la izquierda de
En conclusión se ha demostrado que es continua en el intervalo cerrado -
Ejercicios de Aplicación Nº 17
Dadas las siguientes funciones, determinar si dichas funciones son continuas o discontinuas en los
intervalos indicados:
1) ( )
( ) , - , )
2) ( ) √ ( - , - , )
3) ( ) √
( ) , ) , -
4) ( ) √
( ) , ) ( - , -
141
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
UNIDAD IV
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE VALOR REAL
Introducción
La definición de derivada es uno de los conceptos básicos del Cálculo Diferencial e Integral
Los dos problemas importantes que propiciaron el concepto de derivada y que dio un gran
impulso al desarrollo de de la ciencia fueron:
Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto dado
(Arquímedes 287-212 A.C)
Determinación de la velocidad de una partícula que se mueve sobre una recta en cada
instante (Kepler, Galileo; Newton 1564-1727)
Estos dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico a simple vista parecen no tener
mucha relación sin embargo ambos son problemas son gemelos idénticos.
Actualmente los problemas importantes que se presentan se refieren a la razón de variación de
una cantidad con respecto a otra
Entre algunos ejemplos de estas razones de variaciones tenemos:
La razón de variación de la distancia con respecto al tiempo
La razón de variación de una barra metálica con respecto a la temperatura
La razón de variación de la intensidad de la luz con respecto a la fuente luminosa
La razón de variación de la corriente eléctrica con respecto al tiempo
La razón de variación de la utilidad con respecto al precio de un producto
La razón de variación del precio de un producto con respecto al tiempo
La razón de variación del volumen de una esfera con respecto a su radio
El índice de crecimiento de un microorganismo (biología)
La utilidad marginal (economía)
La densidad de un cable (física)
Los índices de solución (química), etc.
El buen sentido matemático sugiere que inicialmente estudiemos este concepto en forma
independiente de estos vocabularios especializados y de sus diversas aplicaciones
Por lo tanto la derivada se puede interpretar como la razón de variación instantánea de la
variable dependiente con respecto a la variable independiente
142
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Motivación
Veamos primeramente la manera como definir la recta tangente a una curva en un punto dado
Inicialmente se definió a la recta tangente como una línea recta que toca a una curva en un
solo punto; definición que es insatisfactoria para la mayoría de las demás curvas
Posteriormente a ello se definió a la recta tangente a una curva en un punto , como la recta
que mejor se aproxima a ella en las cercanías de ; pero aún esta definición es muy vaga,
para la presición matemática
El concepto de límite proporcionará la mejor manera de definir a la recta tangente.
Interpretación Geométrica
Sea )( xf una función continua definida en un intervalo abierto ),( ba y sean
21 xyx puntos dentro de este intervalo, entonces se desea definir la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de )( xf en el punto )(, 11 xfxP
X
Y
3
4
o
-3 1
2
•
3
P P
•
143
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Para ello consideremos otro punto )(, 22 xfxQ , cercano al punto
Tracemos una recta que pase por los puntos QyP , la cual será una recta secante, ya que
corta a la curva en dos puntos
Denotemos la diferencia de las abscisas de QyP por x , que puede ser positivo o
negativo: xxxxxx 1212
Se sabe que la pendiente de esta recta secante que pasa por los puntos QyP esta dada por
la ecuación
x
xfxxf
xx
xfxfm
)()()()( 11
12
12sec
Por lo tanto
x
xfxxfm
)()( 11sec es la pendiente de la recta secante
Ahora mantengamos al punto como un punto fijo y acerquemos el punto a través de la
curva hacia , esto es equivalente a establecer que x tiende a cero )0( x
Entonces se observa que a medida que esto sucede, la recta secante gira sobre el punto ,
hasta tomar una posición límite; esta posición límite corresponde a la posición de la recta
tangente a la gráfica en el punto
Es decir que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función )( xf en el punto
es el límite de la pendiente de la recta secante cuando x se acerca o tiende a cero
)0( x , si este límite existe y si
.0
Secx
mLim , entonces la recta tangente a
la gráfica de )( xf en el punto es paralela al eje Y cuya ecuación esta dada por 1xx
Ilustración gráfica
144
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Definición
Si la función f es continua en 1x , entonces la recta tangente a la gráfica en el punto
)(, 11 xfxP es:
a) La recta a través de P , que tiene pendiente )( 1xm definida por
x
xfxxfxm Lim
x
)()()( 11
0
1 , si existe el límite
b) La recta 1xx , si
x
xfxxfLim
x
)()( 11
0
Observación
Si no se cumple ninguna de estas dos condiciones, entonces diremos que no existe recta
tangente a la gráfica de f en el punto )(, 11 xfxP
Ejemplo
Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva 342 xxy en el punto
),( 11 yxP
X
Y
Secante
Tangent
e
, ( )-
, ( )-
145
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Solución
Se sabe que
x
xfxxfxm Lim
x
)()()( 11
0
1
Entonces: Si 34)( 2 xxxf 34)( 1211 xxxf
3)(4)()( 12
11 xxxxxxf
344)(2)( 12
1211 xxxxxxxxf
Luego: x
xfxxfxm Lim
x
)()()( 11
0
1
=
x
xxxxxxxxLim
x
34()344)(2( 1211
21
21
0
= 42)42(
11
0
xx
xxxLim
x
Por lo tanto 42)( 11 xxm
Para graficar la función y algunas rectas tangentes construimos una tabla tabulando
Tabla:
-1 0 1 2 3 4
( ) 8 3 0 -1 0 3
( ) -6 -4 -2 0 2 4
146
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Gráfica
Observación
Se hace notar que la gráfica tiene una tangente horizontal paralela al eje X, cuando la
pendiente es igual a cero
En el ejemplo anterior en el punto que tiene como abscisa 2x la pendiente 0)2( m y
por lo tanto la recta tangente es paralela al eje X
Definición de la derivada de una función de valor real
Sea: una función de valor real definida en el punto , se dice que f es derivable
en , y es denotada por )(! xf si
x
xfxxfLim
x
)()(
0
existe y es finito.
Es decir: x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Observaciones:
1.- Si la función f es derivable en , )(! xf se llama derivada de f en
Y
X
)( xfy
0)( 1 xm
2)( 1 xm2)( 1 xm
147
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x
xfxxfxf Lim
x
)()()( 11
0
1!
2.- La notación )(! xf es debido a Lagrange; pero también se usan otras notaciones tales
como:
dx
xfd )(, )(xf x , )( xf
, )(xfD
3.- Si )()( ! xfxfy es la derivada de con respecto a , se usa la notación
dx
dyy !
4.- Si 1x es un número particular en el dominio de f , entonces
, si existe el límite
5.- La definición de la pendiente de la recta tangente a una curva en el
Punto )(, 11 xfxP es dado por
, si , si existe el límite
Nota: Comparando , se observa que la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la curva definida por )( xfy en el punto )(, 11 xfxP es
precisamente la derivada de f evaluada en 1x .
Ejemplos de aplicación
Utilizando la definición de derivada, calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) 123)( 2 xxf b) 0)( xxxf
c) IRxexf x )( d) IRxaxf x )(
e) 0)()( xxLnxf f) 0)()( xxLogxf a
x
xfxxfxm Lim
x
)()()( 11
0
1
148
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g) )()( xSenxf h) )()( xCosxf
Solución de a)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si 123)( 2 xxf , entonces
12)(3)( 2 xxxxf 12)(3)(63 22 xxxx
Reemplazando
x
xxxxxxf Lim
x
12312)(3)(63)(
222
0
!
xxxLimx
6)36(0
Por lo tanto xxf 6)(!
Solución de b)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si xxf )( , entonces xxxxf )(
Reemplazando
)(
)()()(
00
!
xxxx
xxxxxx
x
xxxxf LimLim
xx
xxxxxxxx
xxxLimLimxx 2
11
)(
)(
00
149
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Por lo tanto
xxf
2
1)(!
Solución de c)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si xexf )( , entonces
xxexxf )(
Reemplazando
xx
x
xx
x
x
xxx
x
ex
ee
x
ee
x
eexf LimLimLim
11)(
000
!
Por lo tanto xexf )(!
Solución de d)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si xaxf )( , entonces
xxaxxf )(
Reemplazando
x
aa
x
aaxf
xx
x
xxx
x
LimLim1
)(00
!
aLnax
aa x
x
x
x Lim .1
0
Por lo tanto )()(! aLnaxf x
150
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Solución de e)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si )()( xLnxf , entonces )()( xxLnxxf
Reemplazando
x
xxx x
xxLn
x
x
xxLn
x
xLnxxLnxf LimLimLim
1
000
! )()()(
xeLn
xeLn
x
xLn x
xx
x
x
Lim1
)(1
1
1
1
0
Por lo tanto 01
)(! xx
xf
Solución de f)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si 0)()( xxLogxf a ,entonces
)()( xxLogxxf a
Reemplazando
xa
x
a
x
aa
x x
xxLog
x
x
xxLog
x
xLogxxLogxf LimLimLim
1
000
! )()()(
151
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)(
1.
1)(
11
1
1
0 aLnxeLog
xeLog
x
xLog a
xa
xx
x
x
a Lim
Por lo tanto 0)(.
1)(! x
aLnxxf
Solución de g)
Según la definición x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si )()( xSenxf , entonces )()( xxSenxxf
Reemplazando
x
xSenxxSenxf Lim
x
)()()(
0
!
x
xSenxSenxCosxCosxSenLim
x
)()()()()(
0
x
xSenxCosxCosxSenLim
x
)()(1)()(
0
x
xSenxCos
x
xCosxSen LimLim
xx
)()(
)(1)(
00
x
xSenxCos
x
xCosxSen LimLim
xx
)()(
)(1)(
00
)()1()()0()( xCosxCosxSen
Por lo tanto )()(! xCosxf
152
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución de h)
Según la definición
x
xfxxfxf Lim
x
)()()(
0
!
Luego: Si )()( xCosxf , entonces )()( xxCosxxf
Reemplazando
x
xCosxxCosxf Lim
x
)()()(
0
!
x
xCosxSenxSenxCosxCosLim
x
)()()()()(
0
x
xSenxSenxCosxCosLim
x
)()(1)()(
0
x
xSenxSen
x
xCosxCos LimLim
xx
)()(
)(1)(
00
x
xSenxSen
x
xCosxCos LimLim
xx
)()(
)(1)(
00
)()1()()0()( xSenxSenxCos
Por lo tanto )()(! xSenxf
Derivadas Laterales
Sea: una función de valor real y sea un punto que pertenece al dominio de la
función ( ( ))
153
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Definición 1
La derivada por la izquierda de f en el punto a , es denotada y definida por:
ax
afxf
x
afxafaf LimLim
axx
)()()()()(
0
!
Es decir si este límite existe y es finito, se dice que f es derivable por la izquierda en a
Definición 2
La derivada por la derecha de f en el punto a , es denotada y definida por:
ax
afxf
x
afxafaf LimLim
axx
)()()()()(
0
!
Es decir si este límite existe y es finito, se dice que f es derivable por la derecha en a
Definición 3
Se dice que f es derivable en a si y solo si existen y son iguales las derivadas laterales por
izquierda y derecha ))()(( !! afaf , cuya equivalencia es dada por:
ax
afxfaf Lim
ax
)()()(!
Teorema.- Si existe )(! af , entonces f es continua en a
Demostración:
Para la demostración de este teorema necesitamos demostrar que
)()( afxfLimax
En efecto:
154
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Por un artificio matemático axaxax
afxfafxf
)(.
)()()()(
Entonces tomando límite cuando ax
)(.
)()()()( ax
ax
afxfafLimxfLim
axax
)(.)()(
)( axLimax
afxfLimafLim
axaxax
)()0()()( ! afafaf
Por lo tanto: )()( afxfLimax
Observación
El recíproco de este teorema es falso; es decir si una función f es continua en a , no implica
que f tenga derivada en a
Para mejor comprensión examinemos la función xxf )( en el origen (es decir en
0a
La función
0
0)(
xsix
xsixxxf
gráfica
Y
X
155
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Esta función es continua en 0a , pero no tiene derivada en este punto ( ya que es un punto
anguloso)
Demostraremos que xxf )( no es derivable en 0a
En efecto:
x
x
x
x
x
fxff LimLimLim
xxx 000
! 0
0
)0()()0(
Pero este límite no existe puesto que sus límites laterales son diferentes
1)1(
000
LimLimLimxxx
x
x
x
x
1)1(
000
LimLimLimxxx
x
x
x
x
Por lo tanto f no es derivable en 0a , sin embargo f si es continua en 0a
Ejemplo
Analizar la derivada de la función definida por:
2224
22)(
2
2
xen
xsixx
xsixxf
Gráfica
(2, -2)
Y
X
-2
2
156
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En el gráfico se observa que f es continua en 2x ; pero no es derivable en este punto
porque no existe )2(!f ya que sus derivadas laterales no son iguales
2
)2(2
2
)2()()2(
2
22
!
x
x
x
fxff LimLim
xx
4)2(2
)2()2(
2
4
22
2
2
xx
xx
x
xLimLimLimxxx
2
)2(24
2
)2()()2(
2
22
!
x
xx
x
fxff LimLim
xx
0)2(2
)2()2(
2
44
22
2
2
xx
xx
x
xxLimLimLimxxx
Nota
En general en cualquier punto en el que la gráfica de una función presenta una esquina aguda,
es continua pero no diferenciable
Propiedades de las derivadas
1.- Si kxf )( , donde k es una constante, entonces 0)(! xf
2.- Si xxf )( , entonces 1)(! xf
3.- Si )(.)( xfkxg , donde k es una constante y )(! xf existe, entonces
)(.)( !! xfkxg
4.- Si nxxf )( , donde Qn , entonces
1! .)( nxnxf
5.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables y si )()()( xgxfxh
Entonces )()()( !!! xgxfxh
157
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Generalización:
Si )(,...,)(,)(,)( 321 xfxfxfxf n , son funciones derivables y si
)(...)()()()( 321 xfxfxfxfxh n
Entonces xfxfxfxfxh n (...)()()()(!!
3!
2!
1!
6.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables y si )(.)()( xgxfxh
Entonces )(.)()(.)()( !!! xfxgxgxfxh
7.- Si )( xf y )( xg son funciones derivables con 0)( xg y si
)(
)()(
xg
xfxh
Entonces
2
!!!
)(
)(.)()(.)()(
xg
xgxfxfxgxh
Ejemplos de aplicación
Calcular la derivada de las siguientes funciones, aplicando las propiedades
a) 10)( xf b)
2)(
xxf
c) 3)( xxf d) 3242)( 23 xxxxf
e) )4()32()( 2523 xxxxxf f) 5
12)(
2
x
xxf
Solución a) Como 10 es una constante, entonces 0)(! xf
Solución b) 2
1)1(
2
1)(
2
1)( !! xxf
158
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Solución c) 213! 3)(3)( xxxf
Solución d) !!!2!3! )3()2()4()2()( xxxxf
02)2(4)3(2 2 xx
286 2 xx
Por lo tanto: 286)( 2! xxxf
Solución e)
!2325!2523! )32.()4()4().32()( xxxxxxxxxf
)66.()4()220().32( 225423 xxxxxxxx
3467 12108464 xxxx
Por lo tanto: 3467! 12108464)( xxxxxf
Solución f) 2
!2!2!
)5(
)5().12()12().5()(
x
xxxxxf
2
22
2
2
)5(
12204
)5(
)1().12()4().5(
x
xxx
x
xxx
Por lo tanto 2
2!
)5(
1202)(
x
xxxf
Ejercicios de aplicación Nº 18
Calcular la derivada de las siguientes funciones, aplicando las propiedades
a) 32
35)(2
345 x
xxxxf b) 33 ).132()( xxxxf
159
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c)
x
xxf
2
3)( d)
222
42
)(cba
abxcxxf
e) 12)( 2 xxxf f) 32 )32()( xxf
Tabla de las derivadas más usuales
1) 0cdx
d
2) dx
duu
dx
d.1
3) dx
ducuc
dx
d..
4) dx
duunu
dx
d nn .. 1
5) dx
dv
dx
duvu
dx
d
6) dx
duv
dx
dvuvu
dx
d...
7) dx
duwv
dx
dvwu
dx
dwvuwvu
dx
d........
8) 2
..
v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
9) dx
du
du
dy
dx
dy.
10)
dy
dxdx
dy 1
11)
du
dxdu
dy
dx
dy
160
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12) dx
duuCosuSen
dx
d.
13) dx
duuSenuCos
dx
d.
14) dx
duuSecuTg
dx
d.2
15) dx
duuCouCotg
dx
d.sec 2
16 dx
duuTguSecuSec
dx
d..
17) dx
duuCotaguCouCo
dx
d..secsec
18) dx
du
uuSen
dx
d.
1
1)(
2
1
19) dx
du
uuCos
dx
d.
1
1)(
2
1
20) dx
du
uuTg
dx
d.
1
1)(
2
1
21) dx
du
uuCotg
dx
d.
1
1)(
2
1
22) dx
du
uuuSec
dx
d.
1.
1)(
2
1
23) dx
du
uu
uCodx
d.
1.
1)(sec
2
1
24) dx
duee
dx
d uu .
25) dx
duaLnaa
dx
d uu ..
26) dx
du
uuLn
dx
d.
.
1
161
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
27) dx
du
aLnuuLog
dx
da .
.
1
28) dx
duuCoshuSenh
dx
d.
29) dx
duuSenhuhCos
dx
d.
30) dx
duuSechuTgh
dx
d.2
31) dx
duuhCouCotgh
dx
d.sec 2
32) dx
duuTghuSechuSech
dx
d..
33) dx
duuCotghuhCouhCo
dx
d..secsec
Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)
Motivación
Supongamos que deseamos calcular la derivada de la función f definida por:
602 )142()( xxxf
Para empezar tendríamos que multiplicar 60 veces entre si al trinomio 142 2 xx ,
obteniéndose un polinomio de grado 120 y posteriormente derivar a cada término del
polinomio.
Afortunadamente existe otra manera de proceder a derivar esta función (Regla de la Cadena).
Después de definir esta regla se observará que la derivada de la función propuesta es
inmediata y está dada por: )44()142(60)( 592! xxxxf
Definición
162
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Sean las funciones: )(ufy una función de u , donde
du
dy existe y )( xgu una
función de x , donde
dx
du existe, entonces decimos que:
)()()( xgfxgfy es la función compuesta en x cuya derivada está
definida por: )()()(.)( !!!! xgfxgxgfy , o equivalentemente
también por la siguiente expresión:
dx
du
du
dy
dx
dy. denominada la derivada de la función
compuesta o regla de la cadena
Ejemplos de aplicación
1) Si 602 )142()( xxxfy , calcular
dx
dy
Solución: 142 260 xxuuy , donde 5960udu
dy y 44 x
dx
du,
entonces )44(60. 59 xudx
du
du
dy
dx
dy
Por lo tanto: )44(.)142(60 592 xxxdx
dy
Nota.- La Regla de la cadena ha permitido calcular la derivada del ejemplo de la motivación
en forma inmediata
2) Si 523 )452( xxy , calcular
dx
dy
Solución: Sea 452 235 xxuuy , donde 45u
du
dy y ,
xxdx
du106 2 , entonces )106(5. 24 xxu
dx
du
du
dy
dx
dy
163
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Por lo tanto: )106(.)452(5 2423 xxxxdx
dy
3) Si 35 )72(
1
xy , calcular
dx
dy
Solución: Sea 721 53
3 xuu
uy , donde
43 udu
dy y,
410 xdx
du , entonces )10(3. 44 xu
dx
du
du
dy
dx
dy
Por lo tanto: 45
4445
)72(
30)10(.)72(3
x
xxx
dx
dy
4) Calcular
13
4
3
3
12
t
tt
dt
d
Solución: Se debe calcular dt
du
du
dy
dt
dy.
3
124
313
t
ttuuy ,
donde 1213u
du
dy y
24
3324
)3(
)4()12()23()3(
t
tttttt
dt
du, entonces
24
234612
4
3
)3(
6946
3
1231.
t
tttt
t
tt
dt
du
du
dy
dt
dy
Por lo tanto:
24
234612
4
3
)3(
6946
3
1231
t
tttt
t
tt
dt
dy
Regla de la cadena Compuesta
Si )(ufy una función de u , donde du
dy existe
164
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
)(vgu una función de v , donde
dv
du existe
)( xhv una función de x , donde
dx
dv existe
Entonces:
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy..
Observaciones
1.- En forma similar la regla de la cadena compuesta se puede generalizar para n-funciones
2.- En la práctica se harán mentalmente estas sustituciones, procediendo a eliminar los signos
de colección de afuera hacia adentro
Ejemplos de aplicación
Calcular
dx
dy de las siguientes funciones:
a) )3( xCosy b) )4(3 xSeny
c) , ( )- d) , ( )-
Solución a)
)3(.3)3(.)3()3(! xSenxdx
dxSenxCos
dx
d
dx
dyy
Por lo tanto: )3(.3 xSendx
dy
Solución b)
33! )4()4( xSendx
dxSen
dx
d
dx
dyy
)4(.)4(.)4(3)4(.)4(3 22 xdx
dxCosxSenxSen
dx
dxSen
165
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)4(.)4(.12)4(.)4(.)4(3 22 xCosxSenxCosxSen
Por lo tanto: )4(.)3(.12 2 xCosxSendx
dy
Solución c)
2
222! )3()3( xCosSendx
dxCosSen
dx
d
dx
dyy
2222 )3(.)3( xCos
dx
dxCosCos
)3(.)3(2.)3( 222
2 xCosdx
dxCosxCosCos
)3(.)3(.)3(.)3(.2 2222
2 xdx
dxSenxCosxCosCos
)6(.)3(.)3(.)3(.2 222
2 xxSenxCosxCosCos
Por lo tanto: )3(.)3(.)3(.12 2222 xSenxCosxCosCosxdx
dy
Solución d)
2332! )2()2( xCosLndx
dxCosLn
dx
d
dx
dyy
, ( )-
*, ( )- +
, ( )- ( )
, ( )-
( ) , ( )-
( )
, ( )-( ) ( )
166
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Por lo tanto: )2(.12 32 xTgxdx
dy
Ejercicios de aplicación Nº 19
Calcular la derivada de las siguientes funciones
a)
3
)2(
)(
xCos
xSeny b) )2( 32 xSenLny
c) 223 )3()12( xxy d)
32 )235( xxy
e)
21.
x
xTgArcy f)
)()(
)()(
xTgxSec
xTgxSecy
Derivada de una función implícita
Una función se dice que está expresada en forma Explícita si tiene la forma de )( xfy ,
es decir está despejada la variable dependiente )(y en función de la variable independiente
)( x , por ejemplo 153 2 xxy
Una función se dice que está expresada en forma Implícita si tiene la forma de
0),( yxf , es decir la variable dependiente )(y no está despejada en función de la
variable independiente )( x , por ejemplo 012 xy , sin embargo en este caso si es
posible expresarlo en forma explícita mediante las funciones: √ o √
Ahora si tenemos la ecuación
No podemos expresarlo explícitamente; pero puede existir una o más funciones f tales que si
)( xfy , entonces la ecuación lo podemos transformar en
2566 32 yyyxx
167
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
2566 )()()(32 xfxfxfxx lo cual es cierto para todos los
valores de x en el dominio de f .- En este caso se dice que y está definida Implícitamente
como una función de x .
Es necesario recalcar que no toda función dada implícitamente puede ser representada en
forma explícita, es decir en la forma )( xfy , tal es el caso de la función implícita dada
por: 04)(27 xSenxyy
Finalmente diremos que no toda ecuación define una función implícita, por ejemplo la ecuación
0422 yx no define ninguna función
Para calcular la derivada implícita de una función existen dos procedimientos:
Primero
Se deriva a la función dada tanto con respecto a x como con respecto a y ; pero cada vez
que se derive con respecto a y se debe multiplicar por su respectivo operador de la derivada
)( !y , 0
dx
dy
Ejemplos
Hallar
dx
dy de las siguientes ecuaciones
a) 22 34 xxy
b) 2566 32 yyyxx
c) 0422 yx
Solución a) 22 34 xdx
dxy
dx
d x
dx
dyy 61.2
168
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
y
x
dx
dy
2
61
Solución b) 2566 32 yyydx
dxx
dx
d
dx
dyy
dx
dyy
dx
dyyx .2.5.1826 455
262518 545 xyyydx
dy
yyy
x
dx
dy
2518
2645
5
Solución c) 0422
dx
dyx
dx
d 0.22
dx
dyyx
xdx
dyy 2.2
y
x
y
x
dx
dy
2
2
Segundo
Si la ecuación 0),( yxE define implícitamente una función, entonces la
dx
dyestá
definida por la siguiente fórmula !
!
y
x
E
E
dx
dy , donde
!xE es la derivada de ),( yxE con
respecto a x , considerando a la variable y como constante y !yE es la derivada de
),( yxE con respecto a y , considerando a la variable x como constante
Ejemplos
Hallar
dx
dy de las siguientes ecuaciones
169
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
a) 22 34 xxy
b) 3694 22 yx
c) 486
2
532
x
yyyxx
Solución a)
En primer lugar a la ecuación dada lo expresamos en la forma 0),( yxE
Entonces: 043 22 xxy , luego: !
!
y
x
E
E
dx
dy
Donde: yExE yx 261 !!
Reemplazando en la fórmula: y
x
y
x
dx
dy
2
61
2
61
Solución b)
En primer lugar a la ecuación dada lo expresamos en la forma 0),( yxE
Entonces: 03694 22 yx , luego: !
!
y
x
E
E
dx
dy
Donde: yExE yx 188 !!
Reemplazando en la fórmula: y
x
y
x
dx
dy
9
4
18
8
Solución c)
En primer lugar a la ecuación dada lo expresamos en la forma 0),( yxE
170
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces: 0486486 25322532 xyyyxxxyyyxx
luego: !
!
y
x
E
E
dx
dy
Donde: 422!! 5388166 yyxExyxE yx
Reemplazando en la fórmula: 422422 538
6168
538
8166
yyx
yxx
yyx
xyx
dx
dy
Derivada de orden superior
Sea: Sea: una función de valor real y
xenderivableesffDmxB /)(
Entonces se dice que existe la derivada de f respecto a x o la primera derivada !f
Admitiendo que existe un subconjunto no vacío de B en la cual !f es derivable, se dice que
existe la segunda derivada de f y es denotada por cualquiera de las siguientes expresiones:
)(!! xf , )2
xfDx
, )( xf
, yDx
2,
2
2 )(
dx
xfd,
2
2
dx
yd
Si )( 0!! xf existe, se dice que f es dos veces derivable en 0x y el número )( 0
!! xf se
denomina segunda derivada de f en 0x
Si )(!! xf es una función derivable, su derivada !
!! )( xf , se denomina tercera
derivada de f y es denotada por cualquiera de las siguientes expresiones:
)(!!! xf , )3 xfDx
, )( xf
, yDx
3,
3
3 )(
dx
xfd,
3
3
dx
yd
171
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Generalización
Derivando sucesivamente la función f (siempre que sea posible), se obtiene la n-ésima
derivada o derivada de orden n de f , denotada por cualquiera de las siguientes
expresiones:
)()( xf n, )xfDn
x, , yDn
x,
n
n
dx
xfd )(,
n
n
dx
yd
Ejemplos de aplicación
1.- Si 12
12
3
5
5
4
3
3
,,,:),2(dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
ydcalcularxSeny
2.- Si 6
6
3
323 ,:,8742
dx
yd
dx
ydcalcularxxxy
3- Si )(2
1
12
)( xfcalcularxx
xy n
Solución 1
)2(2)2( xCosxSendx
d
dx
dy
)2()2()2(2 2
2
2
xSenxCosdx
d
dx
yd
dx
dy
dx
d
)2()2()2(4 3
3
3
2
2
xCosxSendx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
)2()2()2(8 4
4
4
3
3
xSenxCosdx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
172
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
)2()2()2(16 5
5
5
4
4
xCosxSendx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d
Generalizando: )2()2()2()2( 1211
12
12
xSenxCosdx
d
dx
yd
Solución de 3)
202
2
! )12(2)12()12(
1)(
xx
xxf
31!! )12(.2.2)( xxf
42!!! )12(.3.2.2)( xxf
53! )12(.4.3.2.2)( xxf V
64 )12(.5.4.3.2.2)( xxf V
Generalizando
)1(
11)1(11)(
)12(
!.2.)1()12(.!.2.)1()(
n
nnnnnn
x
nxnxf
Ejercicios de aplicación Nº 20
Calcular la derivada de las siguientes expresiones
1) Hallar 2
2
dx
yd de la ecuación 632 22 yx
2) Hallar 2
2
dx
yd de la ecuación 4
x
y
y
x
3) Si )(32
52)( )(
2
2
xfcalcularxx
xxxf n
173
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
UNIDAD V
APLICACIONES DE LA DERIVADA
La teoría de la derivación tiene una infinidad de aplicaciones, mencionaremos algunas de ellas:
Regla de L’ Hospital
Si en el cálculo de límites de funciones, cuando se presentan las formas indeterminadas
o
Es decir
)(
)(
0
0
)(
)(
xg
xfLim
xg
xfLim
oo xxxx , para levantar la indeterminación
se aplica la Regla de HospitalL !.
Entonces:
)(
)(
)(
)(!
!
xg
xfLim
xg
xfLim
oo xxxxsiempre que exista este último límite;
en caso de que este segundo límite también sean formas indeterminadas, la regla de
HospitalL !, se puede generalizar hasta la derivada n-ésima; es decir que
)(
)(
)(
)()(
)(
xg
xfLim
xg
xfLim
n
n
xxxx oo
Ejemplos:
Calcular los siguientes límites
a)
30
)(
x
xSenxLimx
b)
23
21
x
xLimx
c)
)()2(2)3(
122
0 xCosxCosxCos
eeLim
xx
x d) x
xexLim 23 .
174
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución a)
0
0
)0(
)0(0)(330
Sen
x
xSenxLimx
forma indeterminada, entonces
0
0
3
)(1
][
)]([)(20!3
!
030
x
xCosLim
x
xSenxLim
x
xSenxLim
xxx
Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)
0
0
6
)(
]3[
])(1[)(
0!2
!
030
x
xSenLim
x
xCosLim
x
xSenxLim
xxx
Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la tercera derivada)
6
1
6
)0(
6
)(
]6[
])([)(
0!
!
030
CosxCosLim
x
xSenLim
x
xSenxLim
xxx
Por lo tanto : 6
1)(30
x
xSenxLimx
Solución b)
22 )(3
)(21
3
21
x
xLimx
forma indeterminada, entonces
02
)(6
2
6
2
]3[
]21[
3
21!2
!
2
xLim
x
xLim
x
xLim
xxx
Por lo tanto: 03
212
x
xLimx
Solución c)
])0(3[])0(3[2])0(3[
12
)()2(2)3(
12 0)0(22
0 CosCosCos
ee
xCosxCosxCos
eeLim
xx
x
)0()0(2)0(
121
CosCosCos
0
0
121
0
forma indeterminada,
175
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
entonces aplicando límite a la primera derivada
0
0
)0()0(4)0(3
22
)()2(4)3(3
22 0)0(22
0
SenSenSen
ee
xSenxSenxSen
eeLim
xx
xVolvemos a
aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)
12
2
)0()0(8)0(9
24
)()2(8)3(9
24 0)0(22
0
CosCosCos
ee
xCosxCosxCos
eeLim
xx
x
Por lo tanto 1)()2(2)3(
122
0
xCosxCosxCos
eeLim
xx
x
Solución d)
)(2
3
2
323 )(
.ee
xLimexLim
xx
x
x forma indeterminada, entonces
)(22
2
!2
!3
2
3
2
)2(3
2
3
][
][
ee
xLim
e
xLim
e
xLim
xxxxxx
Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la segunda derivada)
)(22!2
!2
2
3
4
)(6
4
6
]2[
]3[
ee
xLim
e
xLim
e
xLim
xxxxxx
Volvemos a aplicar la Regla de HospitalL ! ( para la tercera derivada)
06
8
6
8
6
]4[
]6[)(22!2
!
2
3
ee
Lime
xLim
e
xLim
xxxxxx
Por lo tanto: 0.2
323
xx
x
x e
xLimexLim
Ejercicios de Aplicación Nº 21
Utilizando la Regla de HospitalL !, calcular los siguientes límites:
a) 1
0
x
xCosLimx
b) 35
52
233
0
xax
xaxxaLimx
176
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
c) 2
8y3
2
yLnLim
y
d) 1
123x2
2
xx
xLimx
e) )1(
x
eLnLim
x
x f)
xTg
xSenLimx 3
2
0
g)
x
xSen
Limx 3
2
0 h)
xCosx
xSenxTgLimx 0
Recta tangente y normal
Sea: , una función de valor real, definida por )( xfy y sea ),( 00 yxP un
punto de . Entonces )( 0! xf es la pendiente de la recta tangente a la curva )( xfy
en el punto 0x .
Ecuación de la recta tangente
La ecuación de la recta tangente está dada por la siguiente expresión:
Ecuación de la recta normal
La recta normal a una curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta tangente en
ese punto, cuya ecuación está dada por:
00!
0 )( xxxfyy
0
0!0
)(
1xx
xfyy
177
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ejemplos de aplicación
1) Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 3 xy , en el punto
)3,6(P
Solución
Para la solución, en primer lugar se debe encontrar )( 0! xf
Como 3)( xxfy , entonces: 32
1)(!
xxf , luego
6
1
92
1
362
1)( 0
!
xf
Ahora:
La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P estará dada por
0126618666
13 yxxyxy
La ecuación de la recta normal a la curva en el punto P estará dada por
3663)6(636
6
1
13 xyxyxy
0396 xy
2) Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 0255 xyyx , en
el punto )1,1(P
Solución
Para la solución, en primer lugar se debe encontrar )(
00!
,),(
oo yxdx
dyyxf , por
que la ecuación de la curva está dada en forma implícita
178
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces: )(
!
!
)(00
!
,,),(
oooo yxy
x
yx E
E
dx
dyyxf , donde:
xyEyxE yx 2525 4!4! ,Luego:
125
52
25
25)1,1( )1,1(4
4
)1,1(4
4
)1,1(!
!
)1,1(!
xy
xy
xy
yx
E
E
dx
dyf
y
x
Ahora:
La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P estará dada por
0211111 yxxyxy
La ecuación de la recta normal a la curva en el punto P estará dada por
011111 yxxyxy
La Diferencial
La diferencial de una función f es igual al producto de su derivada por el incremento de la
variable independiente denotado por:
0,)(! xdxdondexxfdyy
Por lo tanto
dx
dyxf )(!
, es la diferencial expresada como el cociente de dos funciones.
Interpretación Geométrica
Sea. , una función de valor real y sea PQ el arco de la gráfica de la función f ,
entonces:
y es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos QyP
dy es la elevación (o caída) de la tangente en el punto P al variar x desde xxax
(incremento de la ordenada de la tangente)
179
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Gráfica
Donde:
PT = Tangente en el punto )(, xfxP
xdeldiferenciaxdeincrementodxxNM
dyAT incremento de la ordenada de la tangente (o cambio a lo largo de la tangente)
)(! xfdx
dy
x
ATpendiente de la tangente en P
Observaciones:
1) dxxfdy )(! es una muy buena aproximación al valor del incremento de y ,
donde 0),()( xcuandoxfxxfy
Por esta razón se puede establecer la siguiente relación:
Esta relación se denomina: “Propiedad de aproximación del valor de una función por
diferenciales”
2) Los diferenciales nos permiten calcular las estimaciones de errores.- Es decir: Si un
investigador mide cierta variable x , para obtener un valor 0x , con un posible error de
M
xx
N
x
N
=
x2
Tangente
X
Y
dy
y
x
)(xf
)( xxf
P
Q
A
T
dydxxfxfxdxfy )()()( !
180
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
magnitud de x y si el valor de 0x se usa para calcular un valor 0y de otra variable
y , que depende de x , entonces el valor de 0y queda superditado al error de x que se
cometió al medir 0x .
Equivalentemente: Cuando una cantidad )( 00 xfy se aproxima mediante la
cantidad )( 0 xxf con un error )()( 00 xfxxfy
Entonces:
Se llama error relativo al valor denotado y definido por:
)( 00 xf
y
y
yrelativoErrorEr
Se llama error porcentual al valor denotado y definido por:
)%100()(
%10000
xf
y
y
yporcentualErrorEp
Además como )( 0xfddyy
Entonces:
)(
)(
0
0
xf
xfdaproximadorelativoErrorEr
%100
)(
)(
0
0
xf
xfdaproximadoporcentualErrorEp
181
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ejemplos de aplicación
1) Usando diferenciales, encuentre una buena aproximación para calcular 6,4
Solución:
Una buena aproximación se obtendrá aplicando la relación de diferenciales
)()()(! xfxdxfdxxfdy , para ello establecemos la función
xxfy )( , ahora
Si 46,06,44 xdxxdondeadecambiax , entonces
6,44 adecambiax
Hallamos: 25,04
1
42
1)4(
2
1)( !! f
xxf
Entonces 15,0)6,0()25,0()(! dydxxfdy
Luego: 15,2415,06,415,0)()( xfxxf
Por lo tanto 15,26,4
2) El lado de un cubo mide 11, 4 Cm. Con un posible error de .05,0 Cm ¿Evalué el
volumen del cubo e indique una estimación del error de este volumen?
Solución
Se conoce que el volumen de un cubo de lado x está dado por 3xV
Entonces 33 1482)4,11( CmV
Por otro lado si dxxdVxV 23 3 , donde se conoce que
.05,0.4,11 CmdxCmx , luego32 19)05,0()4,11(3 CmdV
Por lo tanto se podrá reportar el volumen del cubo como 3191482 Cm
3) En cuanto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado, si su área aumenta de
22 1,99 mam
182
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución
Si y es el lado de un cuadrado de área x , se tiene que xy , luego por las
condiciones del problema se tiene que 22 1,09 mdxmx
Además .016,0)1,0(92
1
2
1)(! mdydx
xdydxxfdy
Por lo tanto, el lado del cuadrado aumentará aproximadamente en 0, 016 m.
4) Se mide el radio de un cilindro de 25 pulgadas de altura, encontrándose que es de 20
pulgadas, con un posible error de 0,05 pulgadas. Encontrar el porcentaje de error
aproximado al calcular:
a) El volumen
b) La superficie lateral
c) El área de la base
Solución
Para la solución de este problema, en primer lugar debemos recordar las fórmulas que
permiten calcular el volumen de un cilindro, la superficie lateral de un cilindro, el área de la
base de un cilindro y las formulas del error porcentual aproximado aplicado a cada caso
Entonces
hrVVolumen 2
%100)(
)()(
0
0
rV
rVdVEp
hrSlateralSuperficie 2
%100)(
)()(
0
0
rS
rSdSEp
2rBbaseladeArea
%100)(
)()(
0
0
rB
rBdBEp
Por las condiciones del problema se tiene que:
adaspuh lg25 , adaspur lg200 , adaspudr lg05,0
Solución de a)
Si 00010)25()20()( 20
2 rVhrV
Luego 50)05,0()25()20(2)(2 0 rdVdrhrdV
183
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces:
%5,0)%100(00010
50%100
)(
)()(
0
0
rV
rVdVEp
Por lo tanto el error porcentual aproximado del volumen es de 0, 5 %
Solución de b)
Si 1000)25()20(2)(2 0 rShrS
Luego 50,2)05,0()25(2)(2 0 rdSdrhdS
Entonces:
%25,0)%100(0001
50,2%100
)(
)()(
0
0
rS
rSdSEp
Por lo tanto el error porcentual aproximado de la superficie lateral es de 0, 25 %
Solución de c)
Si 400)20()( 20
2 rBrB
Luego 2)05,0()20(2)(2 0 rdBdrrdB
Entonces:
%5,0)%100(400
2%100
)(
)()(
0
0
rB
rBdBEp
Por lo tanto el error porcentual aproximado del área de la base es de 0, 5 %
Ejercicios de aplicación Nº 22
1) Usando diferenciales, encuentre una buena aproximación para calcular
a) 005,9 b) 3 1002
2) Al medir el radio de un círculo de 6 pulgadas, es posible que se haya cometido el error de
adaspu lg3,0 ¿Cuál será el error aproximado que se cometa al calcular el área del
círculo?
3) Un globo esférico tiene un diámetro de 10 pies.- ¿En cuanto aumentará aproximadamente
el volumen, si su diámetro aumenta en una pulgada?
4) Si el radio de una pompa de jabón aumenta de 3 pulgadas a 3, 025 pulgadas.- ¿En cuanto
aumentará el área aproximadamente de la pompa de jabón?
184
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
5) Calcule el volumen de material usado en la construcción de una cáscara esférica cuyo
radio interior es de 5 Cm. y el exterior de 5, 125 Cm.
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Si la variable s mide la distancia y la variable t mide el tiempo, entonces la razón de cambio
de la distancia con respecto al tiempo se llama velocidad
Velocidad Promedio
Si s es la función de posición de un punto móvil P sobre una recta, entonces la velocidad
promedio de P entre el tiempo t y el tiempo tt , es denotada y definida por:
t
tsttstv
)()()(
Velocidad Instantánea
Si s es la función de posición de un punto móvil P sobre una recta, entonces la velocidad
instantánea de P en el tiempo t , es denotada y definida por:
t
tsttsLimtvt
)()()(
0
Observaciones:
1) No necesitamos precisar que este límite exista, puesto que trabajamos en el reino del
mundo físico, debe suponerse que cualquier punto P en movimiento, tiene velocidad en
cualquier instante t dado.
2) Si se define una función f en un intervalo ba, , entonces:
a)
ab
afbf
)()(, es la razón de cambio promedio de baenf ,
b)
x
xfxxfLimbaxx
)()(,,
0, es la razón de cambio
instantáneo de xenf , si existe límite, observándose que este límite es la derivada de
185
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
xenf .- Por lo tanto )(! xf puede considerarse como la razón de cambio
instantánea de xenf
3) En la función de posición s de un punto P , la velocidad instantánea es equivalente a la
derivada de la función s .- Es decir )()( ! tstv , observándose que:
a) Si Ptv 0)( se mueve hacia la derecha
b) Si Ptv 0)( se mueve hacia la izquierda
c) Si Ptv 0)( se encuentra en reposo
d) Los únicos puntos críticos de la función s son aquellos en que 0)(! ts
e) Además diremos que un punto que está en movimiento sobre una recta, no puede
cambiar su dirección sin pasar por el reposo
4) Existe un distinción técnica entre las palabras velocidad y rapidez:
La velocidad tiene un signo asociado a ella, puede ser positiva o negativa
La rapidez, se define como el valor absoluto de la velocidad )( tv ; pero no nos indica
cual es la dirección del movimiento.
Aceleración Promedio
La aceleración promedio se define como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo.
Por lo tanto, si v es la función de velocidad del punto móvil P , la aceleración promedio de P
del tiempo tttiempoalt es dada por: t
tvttvt
)()()(
Aceleración
Si v es la función de velocidad de un punto móvil P , entonces la aceleración de P en el
tiempo t , se denota y define como: )()()()(
)( !!!
0tstv
t
tvttvLimtt
186
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ejemplos de Aplicación
1) Un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su posición en el instante
t está dado por 206)( 23 ttts , donde s se mide en centímetros y t en
segundos.- Discutir el movimiento del objeto:
a) Cuando la velocidad es cero ( 0 )
b) Cuando la velocidad es positiva
c) Cuando se mueve hacia atrás el objeto (es decir hacia la izquierda)
d) Cuando la aceleración es positiva
Solución
Se sabe que: 126)()(123)(2
2!2 t
td
sdtvttt
dt
dstv
a) Si 400)4(301230)( 2 tttttttv
Es decir la velocidad es cero cuando 40 tt
b) Si ),4()0,(0)4(301230)( 2 ttttttv
Es decir la velocidad es positiva ),4()0,( t
c) El objeto se mueve hacia la izquierda cuando 0)( tv
Si )4,0(0)4(301230)( 2 ttttttv
Es decir la velocidad es negativa )4,0(t
d) La aceleración es positiva cuando 0)( t
Si ),2(20)2(601260)( ttttt
Es decir la aceleración es positiva ),2( t
2) En una cisterna cónica fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto.- Si la altura de la
cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies.- ¿Con qué rapidez sube
el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies de profundidad?
187
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Solución
Denotemos con h la profundidad del agua en la cisterna en un momento t y sea r el radio
correspondiente de la superficie del agua
Gráfica
Se conoce que el volumen V del agua en la cisterna aumenta a razón de 8 pies cúbicos por
minuto, es decir: 8dt
dV; se quiere saber que tan rápido sube el agua en el momento en
que 4h ; es decir la variación de la altura con respecto al tiempo (
dt
dh )
Entonces necesitamos encontrar una ecuación que relacione a el volumen (V) y la altura (h)
La fórmula del volumen del agua en la cisterna está dada por hrV 2
3
1 , pero como
necesitamos encontrar
dt
dh, expresamos el volumen solamente en función de h, entonces por
semejanza de triángulos en el gráfico se tiene que
212
6 hr
h
r , luego reemplazando
en el volumen se tiene que: 1223
1 32h
hh
V
, ahora calculamos la
dt
dV,
derivando implícitamente ya que h depende de t
En efecto
dt
dhh
dt
dv
12
3 2, pero como se conoce que 8
dt
dV y 4h
Entonces: 637,02
12
)4(38
2
dt
dh
dt
dh
12
h
6
188
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Por lo tanto cuando la profundidad del agua es de 4 pies su nivel sube a razón de 0, 637 pies
por minuto.
Si analizamos un momento, nos daremos cuenta de que el nivel del agua sube cada vez
despacio a medida que pasa el tiempo
Así si 102,0100
3210
dt
dhh , es decir cuando la profundidad del agua es de
10 pies su nivel sube a razón de 0, 102 pies por minuto.
El análisis anterior nos conduce a decir que la aceleración 2
2
dt
hdes negativa
Para calcular una fórmula de esta aceleración en cualquier instante de t , derivamos en forma
explicita la expresión
32
48 2
2
dt
dhh
dt
dhh
En efecto: 0202
2
2
22
2
22
dt
dhh
dt
hdh
dt
dhh
dt
dh
dt
hdh
2
2
22 2
dt
dhh
dt
hdh
2
2
2 2
dt
dh
hdt
hd
Por lo tanto la fórmula de la aceleración está dada por
2
2
2 2
dt
dh
hdt
hd
3) En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 pies y está
aumentando a razón de 1 pie por minuto; y el otro cateto es de 12 pies y está
disminuyendo a razón de 2 pies por minuto.- Hallar la razón de cambio respecto al tiempo
del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies.
Solución
Como se desea encontrar la razón de cambio del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese
instante mide 12 pies, con respecto al tiempo, nuestra incógnita será
dt
d
189
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Gráfica
Se conoce que: piesy 120 , piesx 100 , 2dt
dy , 1
dt
dx, además
x
yTg )( , luego hallamos
dt
d, derivando en forma implícita a
x
yTg )(
En efecto: 2
2_
)(x
dt
dxy
dt
dyx
dt
dSec
, luego por una identidad trigonométrica se
conoce que )(1)( 22 TgSec , además reemplazando en el instante 0t se tiene
que:
100
244
10
121)(
22
Sec
Luego reemplazando los otros datos se tiene que:
61
8
)10(
)1(12_)2(10
100
2442
dt
d
dt
d
Por lo tanto el ángulo está disminuyendo a razón de
61
8 pies por minuto (por que
61
8
dt
d)
Ejercicios de aplicación Nº 23
1) Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal forma que su posición
en el momento t , está especificado mediante la ecuación
303612)( 23 tttts , donde s se mide en centímetros y t en segundos
Analizar el movimiento del objeto.
x
y
190
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a) Cuando la velocidad es cero ( 0 )
b) Cuando la velocidad es positiva
c) Cuando se mueve hacia atrás el objeto (es decir hacia la izquierda)
d) Cuando la aceleración es positiva
2) Supongamos que se arroja una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 160 pies
de altura, con una velocidad inicial de 64 pies por segundo.
a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima?
c) ¿Cuándo llega al piso?
d) ¿Con qué velocidad llega al piso?
e) ¿Cuál es la aceleración en el momento en que 2t ?
3) Dentro de un tan que cónico está entrando agua a razón constante de ./3 3 Segm , el
radio del cono es de 5m. y su altura es de 4m.
Encontrar:
a) La velocidad con que asciende la superficie libre del agua
b) La razón de cambio (o variación) respecto al tiempo de la velocidad de subida cuando
la profundidad del agua es de 2m.
4) Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60º .- Una locomotora dista
160 m del cruce, y se aleja de él a la velocidad de 100Km por hora.- Un automóvil dista del
cruce 160 m. y se acerca a él a la velocidad de 50 Km. Por hora.- ¿A qué razón varía la
distancia entre ellos?
MAXIMOS Y MINIMOS
Definición
Sea , una función de valor real y sea c un punto del dominio de f , entonces:
a) )(cf es el valor máximo de f si )()()( fDmxxfcf (llamado
máximo global o absoluto)
b) )(cf es el valor mínimo de f si )()()( fDmxxfcf (llamado
mínimo global o absoluto)
c) )(cf es llamado un valor extremo de f si es un valor máximo o un valor mínimo
191
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Teorema de la existencia del máximo y mínimo
Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces f tiene un valor máximo y un
valor mínimo
Gráfica
Teorema del punto crítico
Sea ,una función de valor real, definida en un intervalo I , que contiene a un puntoc
Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico, es decir puede tomar
los siguientes nombres:
a) Un punto frontera en I
b) Un punto estacionario de f (Si 0)(! xf )
c) Un punto singular de f (Si existenoxf )(!)
Gráfica
X
Y
máximo
mínimo
a b
máximo
mínimo
a
b
X
Y
X
Y
máximo
mínimo
a
b Puntos frontera
máximo
mínimo
a
b
X
Y
Puntos estacionarios
192
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Observaciones:
1) En un punto estacionario la tangente a la gráfica es una recta horizontal
2) Los valores extremos con frecuencia se presentan en los puntos estacionarios
3) Un punto singular es un punto en el que la gráfica tiene un vértice agudo, una tangente
vertical o existe un salto
Ejemplos de aplicación
1) Hallar los valores máximos y mínimos de las funciones definidas por
a) IRxxxxf 4)( 2
b) 2,1)( 3 2 xxxf
c) 16,83)( 3
2
xxxxf
Solución a)
Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función, lo igualamos a
cero y resolvemos para x
Punto singular
máximo
mínimo
a
b
X
Y
193
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204242)(! xxxxf
Hallamos el valor mínimo de la función ya que se trata de una parábola que se abre hacia
arriba
Si 484)2(4)2()2(2 2 fx
Por lo tanto el mínimo de la función es 4 , tomado en 2x
Solución b)
Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función
3
!
3
2)(
xxf , se observa que )(! xf no existe para 0x , en consecuencia
los posibles puntos críticos de 2,1enf son: 2,0,1 xxx
Calculamos los valores máximos y mínimos
Si 0x , entonces 0)0( f
Si 1x , entonces 1)1()1( 3 2 f
Si 2x , entonces 6,14)2()2( 33 2 f
Por lo tanto el valor máximo de la función es 6,143 , tomado en 0x y su valor
mínimo de la función es 0 , tomado en 0x
4
2
X
Y
mínimo
xxxf 4)( 2
194
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Gráfica
Solución c)
Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos la derivada de la función, lo igualamos a
cero y resolvemos para x
3
3!
3
3
3
3
1
! 2)(
22121)(
x
xxf
x
x
xxxf
Ahora si 0x , entonces )(! xf no existe, luego los posibles puntos críticos son:
168,8,0 xxxx
Calculamos los puntos máximos y mínimos
Si 0x , entonces 0)0(30)0( 3
2
f
Si 8x , entonces 20128)8(38)8( 3
2
f
Si 8x , entonces 4128)8(38)8( 3
2
f
Si 16x , entonces
2,32,1916)6,1(121641216)16(316)16( 33
2
f
Por lo tanto el valor máximo de la función es 0 , tomado en 0x y el valor mínimo de la
función es 20 , tomado en 8x
1 2
X
Y
máximo
1
mínimo
195
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2) Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo
por 9 pulgadas de ancho, cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando
los lados.- Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen y calcule dicho
volumen
Solución
Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar y V el volumen de la caja resultante
Gráfica
Entonces: 32 466216)224()29( xxxxxxV
Pero además podemos afirmar que 5,40 x , por lo tanto nuestro problema consiste
en maximizar el Volumen sobre 5,4;0
Hallamos los puntos críticos, para ello encontramos
dx
dV, lo igualamos a cero y resolvemos
para x
212132216 xxdx
dV 012132216 2 xx 021613212 2 xx
0)1811(1221613212 22 xxxx
0)2()9()1811( 2 xxxx 29 xx , pero como 9 no
está en el intervalo 5,4;0 , se desprecia y solamente se pueden considerar tres puntos
críticos 5,42,0 xxx
Pero en los puntos frontera del intervalo el volumen es nulo (0)
Ahora si 200)20()5(2)2(224)2(29(22 Vx
x
x
24
9
196
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Por lo tanto concluimos que la caja tiene volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas cuando
sus dimensiones son: 20 pulgadas de largo, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de altura o
profundidad.
Monotonía y Concavidad
Definición
Sea , una función de valor real definida sobre un intervalo I , entonces se dice que:
a) f es una función creciente sobre I , si para cada par de números Ixx 21 , , con
21 xx , entonces )()( 21 xfxf
b) f es una función decreciente sobre I , si para cada par de números Ixx 21 , , con
21 xx , entonces )()( 21 xfxf
c) f es una función estrictamente monótona sobre I , si es creciente o decreciente sobre I
Teorema de Monotonía
Sea f una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto interior de I ,
entonces se verifica que:
a) Si 0)(! xf para todo x interior a I , se dice que f es creciente
b) Si 0)(! xf para todo x interior a I , se dice que f es decreciente
Este teorema nos permite conocer los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
Teorema de Concavidad
Sea f una función dos veces diferenciable sobre un intervalo abierto ba, , entonces se
verifica que:
a) Si arribahaciacóncavaesfbaxxf ),(0)(!!
b) Si abajohaciacóncavaesfbaxxf ),(0)(!!
197
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Punto de inflexión
Sea f una función continua en c , decimos que el punto )(, cfcP es un punto de
inflexión de la gráfica de f si la función es cóncava hacia arriba, hacia un lado de c y
cóncava hacia abajo, hacia el otro lado de c
Es decir el punto de inflexión, es el punto límite en donde termina la concavidad hacia un lado y
comienza la concavidad hacia el otro lado
Observación.- Se puede suponer que los puntos de inflexión son aquellos en
existenoxfxf )(0)( !!!!
Ejemplos de Aplicación
En las siguientes funciones:
a) 71232)( 23 xxxxf b) 433
)( 23
xxx
xf
Determinar:
i) Los puntos críticos
ii) Los puntos de inflexión
iii) Los valores máximos y mínimos
iv) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
v) Los intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo)
vi) Diseñar la gráfica de la función
Solución a)
Para la solución en primer lugar calculamos )()( !!! xfxf
612)(1266)( !!2! xxfxxxf
i) Para encontrar los puntos críticos igualamos la primera derivada a cero y resolvemos para
x , entonces 01266 2 xx
Luego 120)1()2(022 xxxxxx
198
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Por lo tanto 12 xx son los puntos críticos
ii) Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero y resolvemos
para x , entonces 0612 x
Luego
2
1012 xx 7
2
112
2
13
2
12
2
123
f
2
11
4
3
4
176
4
13
8
12
2
1
f
Por lo tanto el punto de inflexión es
2
1,
2
1P
iii) Para encontrar los valores máximos reemplazamos en la función los valores de los puntos
críticos
Si 2x 7)2(12)2(3)2(2)2( 23 f
137241216)2( f
Si 1x 7)1(12)1(3)1(2)1( 23 f
1371233)1( f
Por lo tanto: El valor máximo es 13 dado en el punto 13,1P
El valor mínimo es -13 dado en el punto 13,2 P
iv) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento desigualamos a cero la primera
derivada y encontramos los intervalos solución
Es decir si 0)(! xf , la función es creciente y si 0)(! xf , la función es
decreciente
Solucionamos la inecuación cuadrática aplicando puntos críticos
120)1()2(022 xxxxxx
+ + -
-1 2
199
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Por lo tanto:
La función crece ),2()1,( x
La función decrece )2,1( x
v) Para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo desigualamos a cero la
segunda derivada y encontramos los intervalos solución
Es decir si 0)(!! xf , la función es cóncava hacia arriba y si 0)(!! xf , la
función es cóncava hacia abajo
En efecto:
,
2
1
2
10120)(!! xxxxfSi
2
1;
2
10120)(!! xxxxfSi
Por lo tanto:
La función es cóncava hacia arriba para todo
,
2
1x
La función es cóncava hacia abajo para todo
2
1,x
vi) Gráfica
Y máximo
mínimo
2
1
X
10
5
5
10
2
1,
2
1
200
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución b)
Para la solución en primer lugar calculamos )()( !!! xfxf
22)(32)( !!2! xxfxxxf
i) Para encontrar los puntos críticos igualamos la primera derivada a cero y resolvemos para
x Entonces: 130)1()3(0322 xxxxxx
Por lo tanto 13 xx son los puntos críticos
ii) Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero y resolvemos
para x , entonces 1022 xx
Luego 4)1(3)1(3
)1()1( 2
3
f
3
1431
3
1)1( f
Por lo tanto el punto de inflexión es
3
1,1P
iii) Para encontrar los valores máximos reemplazamos en la función los valores de los puntos
críticos
Si 3x 54)3(3)3(3
)3()3( 2
3
f
Si 1x3
174)1(3)1(
3
)1()1( 2
3
f
Por lo tanto:
El valor máximo es
3
17 dado en el punto
3
17,1P
El valor mínimo es 5 dado en el punto 5,3 P
iv) Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento desigualamos a cero la primera
derivada y encontramos los intervalos solución
Es decir si 0)(! xf , la función es creciente y si 0)(! xf , la función es
decreciente
201
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solucionamos la inecuación cuadrática aplicando puntos críticos
130)1()3(0322 xxxxxx
Por lo tanto:
La función crece ),3()1,( x
La función decrece )3,1( x
v) Para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo desigualamos a cero la
segunda derivada y encontramos los intervalos solución
Es decir si 0)(!! xf , la función es cóncava hacia arriba y si 0)(!! xf , la
función es cóncava hacia abajo
En efecto: ,110220)(!! xxxxfSi
1;10220)(!! xxxxfSi
Por lo tanto:
La función es cóncava hacia arriba para todo ,1x
La función es cóncava hacia abajo para todo 1,x
+ + -
-1 3
202
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vi) Gráfica
Ejercicios de aplicación nº 24
En las siguientes funciones:
a) 21
)(x
xxf
b) x
xxf 2
6)(
3
c) 652)( 23 xxxxf d)
32
203)(
35 xxxf
Determinar:
ii) Los puntos críticos
ii) Los puntos de inflexión
iii) Los valores máximos y mínimos
iv) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
v) Los intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo)
vi) Diseñar la gráfica de la función
Y máximo
mínimo
3
1
X
5
5
3
1,1
203
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
UNIDAD VI
LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA
Definición de antiderivada
La función se llama una antiderivada de la función , en un intervalo , si o
⌈ ⌉ para todo valor de en
Ejemplo:
Encuentre una antiderivada de la función en el intervalo
Solución:
Tratemos de encontrar una función que satisfaga la igualdad
Por nuestra experiencia en derivación sabemos que es una de tales funciones; si
analizamos nuestro resultado podemos observar que la función
también satisface la igualdad , por lo tanto también es una
antiderivada de ; de hecho que la función , donde es cualquier
constante, es una antiderivada de la función en
Por lo tanto podemos concluir que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces dichas
funciones deben diferir en una constante.
Teniendo en cuenta la conclusión anterior podemos afirmar que si una función tiene una
antiderivada, tendrá una familia completa de ellas.
Llamaremos a esta familia de funciones “ La antiderivada general de f ”
Conclusión
Si es una antiderivada de ; entonces
Es decir [ ]
[ ] ( )
Por lo tanto la antidiferenciación es el proceso inverso de encontrar la antiderivada más general de
una función dada, cuyo símbolo es ∫ que se conoce con el nombre de integral y que denota la
antidiferenciación
Entonces aplicando el operador de integración a la expresión ( ) se tiene que:
∫ [ ] ∫ ( )
∫
204
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Observaciones:
1.- La ecuación ( ) nos dice que cuando antidiferenciemos la diferencial de una función, se
obtiene la función más una constante arbitraria.
2.- A ) se le llama la antiderivada o primitiva o integral indefinida.
Ejemplos:
Encontrar la antiderivada de las siguientes funciones y graficar algunas curvas de dicha familia de
funciones: a) b)
Solución a)
Si se tiene la función , entonces la primitiva o antiderivada más general será
ya que
Gráfica:
Solución b)
Si se tiene la función , entonces la primitiva o antiderivada más general será
ya que
Y
X
205
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Gráfica:
Propiedades
Se cumplen las siguientes propiedades:
1.- ∫
2.- ∫ ∫ , donde es una constante cualquiera
3.- ∫[ ] ∫ ∫
4.- ∫[ ] ∫ ∫
∫ ∫
5.- ∫
6.- ∫ ∫
7- ∫[ ] [ ]
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales indefinidas aplicando las propiedades anteriores.
Y
X
206
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a) ∫ b) ∫
c) ∫[ √ ] d) ∫[
√ ]
e) ∫[ √
√ ] f) ∫[
]
g) ∫ h) ∫ [ ]
i) ∫ √
Solución a)
∫ ∫ ∫
Solución b)
∫ ∫ ∫
Solución c)
∫* √ + ∫[ ]
√
Solución d)
∫[
√ ] ∫ ∫
=
√
Solución e)
∫[ √
√ ] ∫[
] ∫[
]
∫ *
+ ∫ *
+
∫ *
+ ∫
√
207
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Solución f)
∫[
] ∫[
]
∫ ∫ ∫
∫
Solución g)
∫
Solución h)
∫ [ ] [ ]
[ ]
Solución i)
Para solucionar este ejemplo es necesario emplear un artificio matemático (hacer un cambio de
variable, usando ) por lo tanto explicaremos la solución de este ejercicio más adelante
cuando estudiemos la técnica de integración por sustitución por el momento aceptaremos como
resultado el siguiente:
∫ √
√
Tabla de integrales indefinidas más usuales
1.- ∫
,
2.- ∫
, el valor absoluto del logaritmo es para garantizar de que sea positivo.
3.- ∫ ∫
4.- ∫
,
5.- ∫
6.- ∫
7.- ∫
8.- ∫
9.- ∫
10.- ∫
208
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11.- ∫
12.- ∫
13.- ∫
14.- ∫
15.- ∫
16.- ∫
17.- ∫
18.- ∫
|
|
19.- ∫
(
)
20.- ∫
|
|
21.- ∫
,
∫
- ,
22.- ∫
√ (
) ,
23.- ∫
√ | √ |
24.- ∫
√ | √ |
25.- ∫√
√
| √ |
26.- ∫√
√
(
)
27.- ∫√
√ |
√
|
28.- ∫√
√ (
)
29.- ∫ √
30.- ∫ √
31.- ∫
32.- ∫
33.- ∫ | √ |
34.- ∫ | √ |
35.- ∫
36.- ∫
37.- ∫
209
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38.- ∫
39.- ∫ [ ]
40.- ∫ | (
) |
41.- ∫
[ ⌊ ⌋]
Técnicas de integración
Son procedimientos que permiten calcular la integral indefinida con facilidad
Entre ellas tenemos las siguientes:
A.- Integración por sustitución
Esta técnica consiste en sustituir el integrando por otra función de tal manera que no altere el valor
de esta y se convierta en una integral más simple de calcularla
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales por sustitución
a) ∫ √ d) ∫ √
b) ∫ e) ∫[ ]
c) ∫ √ f) ∫
Solución a)
Para calcular ∫ √ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego
diferenciando con respecto a se tiene que:
, luego reemplazando
estos nuevos valores en la integral dada se tiene que:
∫ √ ∫ √
∫ √ ∫
√
√
Por lo tanto: ∫ √
√
Solución b)
Para calcular∫ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego
diferenciando con respecto a se tiene que:
, luego reemplazando
estos nuevos valores en la integral dada se tiene que:
210
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∫ ∫
∫
Por lo tanto: ∫
Solución c)
Para calcular ∫ √ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego
diferenciando con respecto a x se tiene que:
, luego reemplazando estos
nuevos valores en la integral dada se tiene que:
∫ √ ∫√
∫ √
∫
=
0
1
0
1
*
+
√
Por lo tanto: ∫ √
√
Solución d)
Para calcular ∫ √ , hacemos el cambio de variable siguiente: , luego
diferenciando con respecto a x se tiene que:
, luego reemplazando
estos nuevos valores en la integral dada se tiene que:
∫ √ ∫ √
∫ √
∫
[
] [
] [
]
√
Por lo tanto: ∫ √
√
Solución e)
Para calcular ∫[ ] , hacemos el cambio de variable siguiente: ,
luego diferenciando con respecto a se tiene que:
, luego reemplazando estos nuevos valores en la integral
dada se tiene que:
∫[ ] ∫
∫
Por lo tanto: ∫[ ]
[ ]
Solución f)
Para calcular ∫
, hacemos el cambio de variable siguiente:
211
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
, luego diferenciando con respecto a se tiene que:
, luego reemplazando estos nuevos valores en la integral
dada se tiene que:
∫
∫
∫
Por lo tanto: ∫
Ejercicios propuestos N° 25
Calcular las siguientes integrales por sustitución
1) ∫ 5) ∫ √
2) ∫ 6) ∫ √
3) ∫
7) ∫
4) ∫
√ 8) ∫
B.- Integración por partes
Esta técnica o método se basa en la inversión de la fórmula para la diferencial del producto de
funciones
Recordamos que si son funciones derivables, entonces:
[ ]
Para deducir la fórmula de integración por partes se procede de la siguiente manera:
Se multiplica a los dos miembros de la expresión por obteniéndose
, haciendo trasposición de términos se obtiene:
, ahora aplicando a ambos miembros el operador de integración se
tiene la fórmula de integración por partes
Esta fórmula nos permite cambiar el problema de integrar la forma ∫ a la forma ∫ , la
cual debe ser más fácil de operar
Observaciones:
1.- El éxito de esta técnica depende generalmente de la elección tanto de y
2.- Es mejor incluir en nuestra selección para la parte más complicada del integrando, pero que
seamos capaces de poderlo integrar.
∫ ∫
212
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3.- Algunas veces hay que aplicar la técnica de integración por partes varias veces.
Ejemplos de aplicación
Empleando la técnica de integración por partes calcular las siguientes integrales:
a) ∫ d) ∫
b) ∫ e) ∫
c) ∫ f) ∫
√
Soluciones
Para Calcular integrales empleando la técnica de integración por partes se utiliza la fórmula
∫ ∫ y nuestra primera tarea es decidir que parte del integrando hará las
veces de y , es obvio que debe ser incluido en
Solución a)
Para calcular∫ , elegimos: y
y ∫ ∫
Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula tenemos:
∫ ∫
Por lo tanto: ∫
Solución b)
Para calcular ∫ , elegimos: y
y ∫ ∫
Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula se tiene que:
∫ ∫
, a esta última integral lo integramos por
sustitución: ∫
Por lo tanto: ∫
Solución c)
Para calcular ∫ , elegimos: y
y ∫ ∫
Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula se tiene que:
∫ ∫ , a esta última integral lo integramos nuevamente
por partes, eligiendo: y
y ∫ ∫ , entonces:
213
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∫ ∫
Luego ∫ [ ]+C
Por lo tanto: ∫
Solución d)
Para calcular ∫ , expresamos el integrando de la siguiente manera:
∫ ∫ , ahora elegimos: y
y ∫ ∫
Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula tenemos:
∫ ∫
∫
∫[ ]
∫ ∫
Sacando extremos tenemos:
∫ ∫ ∫
∫
[ ∫ ]
Por lo tanto:
∫
[ ]
Solución e)
Para calcular ∫ , elegimos: y
y ∫ ∫
Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula se tiene que:
∫ ∫ , a esta última integral lo integramos nuevamente
por partes, eligiendo: y
y ∫ ∫ , entonces:
∫ ∫
Luego ∫ [ ]+C
Por lo tanto: ∫
Solución f)
Para calcular ∫
√ , elegimos: y
√
y ∫ ∫
√
214
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Luego reemplazando estos nuevos valores en la fórmula tenemos:
∫
√ ∫ , a esta última integral lo integramos
nuevamente por partes, eligiendo: y
y ∫ ∫ √ ,entonces:
∫ * √ + ∫ * √ +
√ ∫ ∫ √
Sacando extremos y simplificando se tiene que:
∫
* √ +
[∫ √ ]
A esta última integral ∫ √ , lo integramos por sustitución, haciendo
, luego diferenciando se tiene que:
Entonces: ∫ √ *
+
∫
Luego reemplazando todos los valores tenemos que:
∫
√ {
* √ +
[
]}
√
Por lo tanto: ∫
√ * √
√ +
Ejercicios de aplicación Nº 26
Calcular las siguientes integrales por partes
1) ∫ 4) ∫√
2) ∫ 5) ∫ √
3) ∫ 6) ∫
C.- Integración de potencias de senos y cosenos
Esta técnica es utilizada para calcular integrales de la forma:
∫ , ∫ o ∫
Se presentan cuatro casos diferentes:
CASO 1.- Calcular integrales de la forma: ∫ o ∫ , cuando n es un
entero IMPAR
Para la solución de este tipo de integrales se debe tener en cuenta la primera identidad
trigonométrica pitagórica: de donde se deducen lo siguiente:
y
215
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Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales:
a) ∫ b) ∫
Solución a)
Se descompone al y se reemplaza al por su
equivalente, entonces:
∫ ∫ ∫[ ]
∫ ∫
La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por
sustitución, haciendo , luego diferenciando se tiene que:
, entonces:
∫ ∫
∫
Por lo tanto: ∫
Solución b)
Se descompone al [ ] y se reemplaza al por su
equivalente, entonces:
∫ ∫[ ]
∫[ ]
∫ ∫ ∫
La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por
sustitución, haciendo , luego diferenciando
, entonces:
∫ ∫
∫
Y a la tercera integral también lo integramos por sustitución, haciendo , luego
diferenciando
, entonces:
∫ ∫
∫
216
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Por lo tanto: ∫
CASO 2.- Calcular integrales de la forma: ∫ o ∫ , cuando n es un
entero PAR
Para la solución de este tipo de integrales se debe tener en cuenta las funciones trigonométricas
del seno y coseno del ángulo mitad, expresados de la siguiente manera:
y
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales:
a) ∫ b) ∫
Solución a)
Se reemplaza al integrando por el equivalente de
∫ ∫
∫
∫
La primera integral es inmediata ∫ , la segunda integral se integra por sustitución, haciendo
, luego diferenciando
, entonces:
∫
∫
Por lo tanto: ∫
Solución b)
Se descompone al [ ] y se reemplaza al por su equivalente,
entonces:
∫ ∫ *
+
{∫[ ] }
{∫ ∫ ∫ }
,∫ ∫ ∫ *
+ -
,∫ ∫
∫
∫ -
La primera y tercera integral son inmediatas ∫ , la segunda y cuarta integral se integra por
sustitución, haciendo y , entonces:
∫
y ∫
Por lo tanto:
217
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∫
{ [
]
[
]}
,
-
CASO 3.- Calcular integrales de la forma: ∫ donde al menos una de los
exponentes es entero IMPAR
La solución de este tipo de integrales se similar al caso 1
Ejemplo de aplicación
Calcular la siguiente integral ∫
Solución:
∫ ∫
∫[ ]
∫ ∫
Luego integrando a la primera y segunda integral por sustitución tenemos
∫
∫
Por lo tanto: ∫
CASO 4.- Calcular integrales de la forma: ∫ donde ambos n y m son
enteros PARES
La solución de este tipo de integrales se similar al caso 2
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales
a) ∫
b) ∫
c) ∫
Solución a)
∫ ∫ [ ] , luego reemplazando al y
por su equivalente tenemos:
218
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∫ ∫ [
] [
]
{∫[ ][ ] }
{∫[ ] }
{∫ ∫ ∫ ∫ }
2∫ ∫ ∫ 0
1 ∫[ ] 3
{
∫
∫ ∫ }
La primera integral es inmediata ∫
La segunda integral lo integramos por sustitución ∫
La tercera integral también lo integramos por sustitución
∫
Por lo tanto:
∫
{
}
Solución b)
Primero recordamos que:
Entonces *
+
Luego ∫ ∫ *
+
∫
∫ [ ]
∫ [
]
∫
[ ]
[∫ ∫ ∫ ]
{∫ ∫ ∫ [
] }
{
∫ ∫
∫ }
La primera integral es inmediata ∫
La segunda integral lo integramos por sustitución ∫
La tercera integral también lo integramos por sustitución
219
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
∫
Por lo tanto:
∫
{
[
] }
∫
Solución c)
Primero recordamos que:
Entonces:
Luego: ∫ ∫ *
+
∫
∫
La primera integral es inmediata ∫
La segunda integral lo integramos por sustitución ∫
Entonces: ∫
[ ]
*
+
Por lo tanto: ∫
Ejercicios de aplicación N° 27
Calcular las siguientes integrales que incluyen potencias de senos y cosenos
1) ∫ 6) ∫
2) ∫ 7) ∫
3) ∫ 8) ∫
4) ∫ 9) ∫
5) ∫ 10) ∫ (
)
D.- Integración por sustituciones trigonométricas
Esta técnica consiste en transformar expresiones con radicales de la forma:
√ , √ , √ , , a funciones trigonométricas, mediante
Pitágoras e integrar estas nuevas funciones
Se presentan tres casos fundamentales:
Caso1.- Cuando se presenta una expresión de la forma √ , se hace la sustitución
, de donde se obtiene que:
(
) , ,
220
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Además de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales
a) ∫√ b) ∫√
Solución a)
Para calcular la ∫√ ∫ √ , hacemos la sustitución:
Además: (
) ,
Luego de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Ahora remplazando en la integral dada se tiene que:
∫√ ∫ ∫
∫ *
+ [∫ ∫ ]
√
x
√
a
x
√
2
√
221
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La primera integral es inmediata: ∫
La segunda integral lo integramos por sustitución
∫
Luego: ∫√ *
+
Además
Reemplazando por sus equivalentes tenemos
∫√ (
) *
+ 0
√
1
(
)
(√ )
Por lo tanto:
∫√ (
)
(√ )
Solución b)
Para calcular la ∫ [√
] ∫ [√
] , hacemos la sustitución:
Además: (
) ,
,
Luego de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Ahora remplazando en la integral dada se tiene que:
∫0√
1 ∫ [
]
∫ *
+ ∫ ∫[ ]
∫ ∫
Estas últimas integrales son inmediatas:
∫ , ∫
x
√
3
√
222
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Entonces: ∫ [√
] – , además:
√
√
Por lo tanto, reemplazando por sus equivalentes tenemos
∫0√
1
√
(
)
Caso2.- Cuando se presenta una expresión de la forma √ , se hace la sustitución
, de donde se obtiene que:
(
) , ,
Además de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales
a) ∫√ b) ∫ √
Solución a)
Para calcular la ∫√ ∫ 0 √(√ ) 1 , hacemos la sustitución: √ ,
de donde se obtiene que:
(
√ ) , √ ,
√
Además de la expresión
√ , mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
√ , de donde
√
√ √
x
√
√
x
√
a
223
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Ahora remplazando en la integral dada tenemos
∫√ ∫√ √ ∫
Esta última integral ya ha sido calculada anteriormente
∫
[ ]
Luego, reemplazando por sus equivalentes
∫√
0.
√
√ / (
√ ) |
√
√
√ | 1
Por lo tanto:
∫√
√
|
√
√ |
Solución b)
Para calcular la ∫ √ ∫ 0 √(√ ) 1 , hacemos la sustitución:
√ , de donde se obtiene que:
(
√ ) , √ ,
√ , √
Además de la expresión
√ , mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
√ , de donde
Ahora remplazando en la integral dada tenemos:
∫ √ ∫ √ √ √
√ ∫
√ {∫ [ ] }
√ {∫ [ ] [ ] }
√ {∫ ∫ [ ] }
A la primera integral lo integramos por sustitución, haciendo
√ √
x
√
√
224
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Luego:
∫ ∫
∫
=
A la segunda integral también lo integramos por sustitución, haciendo
Luego:
∫ ∫
∫
=
Entonces reemplazando en la integral inicial por sus equivalentes se tiene que:
∫ √ √ {
}
√ 2
[
√
√ ]
[
√
√ ]
3
Por lo tanto: ∫ √
[ ]
[ ]
Caso3.- Cuando se presenta una expresión de la forma √ , se hace la sustitución
, de donde se obtiene que:
(
) , ,
Además de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales
a) ∫√
b) ∫
[ ]
√
x
√
a
225
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Solución a)
Para calcular ∫√
∫ √ , se hace la sustitución
, de donde se obtiene que:
(
) , ,
Además de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Luego reemplazando se tiene que:
∫√
∫√
∫
∫ ∫[ ]
[∫ ∫ ]
La primera integral ya ha sido integrada anteriormente y la segunda integral esta expresada a
través de una fórmula
∫
[ ]
∫
Entonces:
∫√
{
[ ] }
Luego reemplazando por sus equivalentes tenemos
∫√
√
|
√
|
√ |
√
|
Por lo tanto: ∫√
√ |
√
|
√
x
√
2
226
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Solución b)
Para calcular ∫
[ ]
, se hace la sustitución , de donde se obtiene:
(
) , ,
Además de la expresión
, mediante Pitágoras y según el triángulo rectángulo
siguiente:
Se obtiene que: √
, de donde
Luego reemplazando se tiene que:
∫
[ ]
∫
[ ]
∫
[ ]
∫
∫
La expresión
puede ser reemplazada por su equivalencia que se obtiene por identidades
trigonométricas recíprocas
Así:
y
Entonces:
*
+ *
+
Luego:∫
∫
Por lo tanto reemplazando se tiene que: ∫
[ ]
√
Ejercicios de aplicación Nº 28
Calcular las siguientes integrales por sustituciones trigonométricas
a) ∫
√ f) ∫
[ ]
[ ]
b) ∫
√ g) ∫
[ ]
√
x
√
1
227
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c) ∫
√ h) ∫
√
d) ∫
[ ]
i) ∫ √
e) ∫
[ ]
j) ∫ √
E.- Integración de funciones racionales por descomposición en
fracciones parciales
Definición.- Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinomiales
Así: si es una función racional, entonces
, donde y son
polinomios
Además se sabe que existen funciones racionales propias e impropias
Una función racional se dice propia cuando el grado del polinomio del denominador es mayor que
el grado del polinomio del numerador
Una función racional se dice impropia cuando el grado del polinomio del denominador es menor
que el grado del polinomio del numerador
Ejemplo
Convertir la función racional impropia
a propia
Solución
Para convertir una función racional impropia a propia se divide el numerador por el denominador
Entonces:
Ahora si se desea integrar la función racional , se tendría que integrar a su equivalente
Es decir:∫ ∫
∫ *
+
∫ ∫ ∫
Las dos primeras integrales son inmediatas, el problema está en calcular la integral de la tercera
que es una función racional propia.
En conclusión se desea integrar funciones racionales de la forma:
∫ ∫
, donde el grado del polinomio del denominador sea mayor que el grado
del polinomio del numerador
Para ello frecuentemente es necesario escribir la función racional propia como una suma de
fracciones parciales
228
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando como un producto
de factores lineales y cuadráticos
A veces es muy difícil encontrar los factores de , si embargo por un teorema de algebra
avanzada afirma que teóricamente esto se puede realizar
Teorema.- Cualquier polinomio con coeficientes reales puede ser expresado como un producto
de factores lineales y cuadráticos de tal forma que cada uno de los factores tiene
coeficientes reales
Después de que haya sido factorizado en producto de factores lineales y cuadráticos; el
método de determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de estos factores.
Se presentan cuatro casos típicos.
Caso 1.- Cuando los factores de son todos lineales y ninguno se repite.
En este caso la descomposición en fracciones parciales es la siguiente:
, donde:
Son las constantes que se van a determinar.
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales:
a) ∫ *
+ b) ∫ *
+
Solución a)
En primer lugar observamos que la función racional es propia ya que el grado del polinomio del
denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador.
Luego factorizamos el denominador y lo descomponemos en fracciones parciales
En efecto:
Posteriormente determinamos los valores de las constantes A, B y C
Dando mínimo Común múltiplo tenemos:
Entonces:
Si
229
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Si
Si
Por ultimo sustituyendo los valores de las constantes tenemos:
∫[
] ∫[
] ∫
∫
∫
= ∫
∫
∫
∫
∫
∫
[ ]
[ ]
0
1
Por lo tanto ∫ *
+
*
+
Nota.- Existe otra manera de encontrar los valores de las constantes A, B y C
Este método consiste en operar el segundo miembro, agrupando términos semejantes y
ordenando el polinomio en forma descendente.
Así:
Luego para que sea una identidad, los coeficientes del polinomio de la izquierda deben ser
iguales a los coeficientes del polinomio de la derecha.
Por lo tanto se forma un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son A, B y C
Es decir se tiene:
Luego este sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por cualquier método conocido,
inclusive por trasformaciones elementales de fila de matrices
Así:
,
,
230
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución b)
En primer lugar observamos que la función racional que se desea integrar es impropia ya que el
grado del polinomio del denominador es igual al grado del polinomio del numerador.
Convertimos esta función racional impropia a propia dividiendo el numerador por el denominador,
obteniéndose la siguiente integral equivalente
∫0
1 ∫ [
] ∫ ∫ [
]
Luego nuestro problema se convierte en integrar la función racional propia
Para ello factorizamos el denominador y lo descomponemos en fracciones parciales
En efecto:
Posteriormente determinamos los valores de las constantes A y B
Dando mínimo común múltiplo tenemos:
Entonces:
Si
Si
Sustituyendo los valores de las constantes tenemos:
∫[
] ∫[
] ∫
∫
= ∫
∫
∫
∫
0
1
Entonces: ∫ *
+
*
+
Por lo tanto: ∫ *
+
*
+
Caso 2.- Cuando los factores de son todos lineales y algunos se repiten.
Supongamos que el factor se repite p-veces; entonces la descomposición en
fracciones parciales correspondiente a este factor es la siguiente:
231
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
, donde:
Son las constantes que van a ser determinadas.
Nota. A partir de este caso para hallar el valor de las constantes se emplearán solución de
sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo de aplicación
Calcular la siguiente integral: ∫ *
+
Solución:
Observamos que el integrando es una función racional propia, además el factor lineal se
repite dos veces y el factor lineal se repite tres veces
Entonces la descomposición de la función racional en fracciones parciales será la siguiente:
, Luego procedemos a calcular el valor de
las constantes: A, B, C, D y E
Eliminamos denominadores y agrupamos términos semejantes
Luego del hecho en que: dos polinomios son iguales si y solo si tienen los mismos coeficientes, se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Es un sistema lineal de 5 ecuaciones con 5 incógnitas, por lo que tiene solución única
Resolviendo se tiene:
,
,
,
y
Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales se
tiene.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
232
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Integrando tenemos:
∫0
1
∫
∫
∫
∫
∫
|
|
Por lo tanto: ∫ *
+
|
|
Caso 3.- Cuando los factores de son lineales y cuadráticos y ninguno de los factores
cuadráticos se repiten
Entonces correspondiente al factor cuadrático del denominador, le corresponde la
siguiente descomposición parcial
Ejemplos de aplicación
Calcular las siguientes integrales
a) ∫ *
+ b) ∫ *
+
Solución a)
Se observa que el integrando es una función racional propia, por lo tanto su descomposición en
fracciones parciales será la siguiente
, Luego eliminado denominadores y agrupando
términos tenemos:
De estos polinomios iguales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver por cualquier método
Resolvemos el sistema utilizando transformaciones elementales de de tipo H (de filas)
En efecto la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales será:
[
]
[
]
233
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[
]
(
)
[
]
[
⁄
⁄]
[
⁄
⁄
⁄]
Entonces los valores de las copnstantes son:
,
,
Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales se
tiene.
(
)
(
)
(
)
Integrando:
∫0
1
∫
∫
∫
En la integral
∫
observamos que el diferencial del denominador es ,
entonces sumamos y restamos 1 al numerador
∫
∫
∫
∫
Entonces:
∫0
1
∫
∫
∫
Luego por sustitución: ∫
y ∫
La integral ∫
lo adecuamos a la forma general ∫
(
)
Entonces: ∫
∫
234
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Por lo tanto:
∫ *
+
Solución b)
∫ 0
1
Se observa que el integrando es una función racional impropia, por lo tanto en primer lugar lo
convertimos en función racional propia, Así:
Luego ∫ *
+ ∫ *
+
∫ ∫ ∫
Las dos primeras integrales son inmediatas. ∫
y ∫
Luego el integrando de la integral ∫
es una función racional propia, cuya
descomposición en fracciones parciales será:
Ahora eliminando denominadores y agrupando términos semejantes tenemos:
De estos polinomios iguales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Resolvemos el sistema utilizando transformaciones elementales de de tipo H (de filas)
En efecto la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales será:
[
]
[
]
[
]
(
)
[
⁄]
235
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[
⁄
⁄
]
[
⁄
⁄
⁄]
Entonces los valores de las constantes son:
,
,
Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales se
tiene.
(
)
(
)
(
)
Integrando:
∫0
1
∫
∫
∫
Luego por sustitución: ∫
y ∫
La integral ∫
lo adecuamos a la forma general ∫
(
)
Entonces: ∫
Luego:
∫0
1
Por lo tanto:
∫ 0
1
Caso 4.- Cuando los factores de son lineales y cuadráticos y algunos de los factores
cuadráticos se repiten
236
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Si el factor es un factor cuadrático que se repite n-veces, entonces
correspondiente es este factor cuadrático se tendrá la siguiente descomposición en fracciones
parciales
Así por ejemplo si el denominador contiene el factor cuadrático
Su descomposición en fracciones parciales será la siguiente:
Ejemplo de aplicación
Calcular la siguiente integral: ∫ *
+
Solución
Como el integrando es una función racional propia y el denominador tiene un factor lineal y un
cuadrático repetido, su descomposición en fracciones parciales será la siguiente:
Ahora eliminando denominadores y agrupando términos semejantes tenemos:
De estos polinomios iguales obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Resolviendo este sistema se tiene:
,
,
,
,
Reemplazando los valores de las constantes en la descomposición de fracciones parciales.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
237
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Luego aplicando el operador de integración tenemos:
∫
( )
∫(
)
∫(
)
∫(
)
∫(
)
∫
Ahora buscamos la equivalencia de las integrales y ya que en ambas se observa que
el diferencial del denominador es , entonces sumando y restandao 2 al numerador
tenemos:
* = ∫ (
) ∫ (
)
∫.
/ ∫(
)
** = ∫ (
) ∫ (
)
∫.
/ ∫(
)
Reemplazando las equivalencias en la integral original tenemos:
∫
( )
∫(
)
∫(
)
∫(
)
∫(
)
∫
La primera integral lo calculamos por sustititución, haciendo
*
**
238
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Luego: ∫(
)
La segunda integral ∫ (
) ∫ (
[ ] ) lo integramos por sustituciones
trigonométricas, utilizando la forma √ , en donde la sustitución trigonométrica es:
Para este caso particular la sustitución trigonométrica será:
y
Luego por Pitágoras se tendrá las siguientes equivalencias:
√
√
Ahora reemplazando en la integral tenemos:
∫(
) ∫(
[ ] ) ∫(
( ) ) ∫(
)
∫ ∫
[ ∫ ∫ ]
Luego: ∫ (
)
A la tercera integral también lo calculamos por sustitución haciendo
1
√
239
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Entonces: ∫ (
)
Para calcular la cuarta integral lo edecuamos a la forma: ∫
(
)
Entonces: ∫ (
) ∫ (
) =
Por último reemplazando todos los recultados de las cuatro integrales tenemos:
∫
( )
[
]
[
]
*
+
[ ]
[ ] +C
*
+
[ ]
*
+
[ ]
[ ]
[ ] +C
[
]
[ ]
[
]
0 |
| 1
Por lo tanto:
∫
[
]
[ ]
[
]
0 |
| 1
Ejercicios de aplicación Nº 29
Calcular las siguientes integrales por descomposición en fracciones parciales
1) ∫
7) ∫
2) ∫
8) ∫
240
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3) ∫
9) ∫
4) ∫
10) ∫
5) ∫
11) ∫
6) ∫
12) ∫
241
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UNIDAD VII
LA INTEGRAL DEFINIDA
Conceptos Preliminares
Sumatoria
Una sumatoria es una indicación de una suma abreviada, cuya representación simbólica se hace
mediante la letra griega sigma mayúscula denotada por , que corresponde a la letra de
nuestro alfabeto
Toda sumatoria consta de los sumandos y los índices superior e inferior.
Es decir, una sumatoria sugiere recorrer los enteros positivos, empezando en el índice inferior y
terminando en el índice superior
Ejemplos
∑
∑
∑
∑
Propiedades de linealidad de las sumatorias
∑ ∑
∑( ∑
∑
Ejemplos
∑
∑
242
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∑(
∑(
Solución a)
∑(
∑
∑ ∑
( ( (
∑(
Solución b)
∑(
∑
∑ ∑
( (
∑(
Sumatorias Especiales
Se denominan sumatorias especiales porque están representadas equivalentemente por fórmulas
especiales, las cuales serán utilizadas en los tópicos que desarrollaremos más adelante.
Entre estas sumatorias especiales tenemos las siguientes:
∑
∑
(
∑
( (
243
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∑
[ (
]
∑
( (
Ejemplos
Calcular las siguientes sumatorias
∑
∑
∑
∑ (
Solución a)
∑
(
(
Solución b)
∑
( (
( (
Solución c)
∑
( (
( (
Solución d)
∑ (
∑
∑
* ( (
+ *
(
+
* ( (
+ *
(
+
244
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Introducción a Áreas
Existen dos problemas fundamentales, ambos geométricos, los cuales motivaron las dos más
grandes ideas del Cálculo Diferencial e Integral
El problema de la tangente, nos condujo a la derivada y el problema del área nos llevará a la
integral definida
Consideremos una región R en el plano cartesiano que está acotada por el eje de las , las
rectas y la curva que tiene como ecuación ( , donde es una
función continua en el intervalo cerrado [ ] y además por simplicidad tomemos a
( [ ]
Gráfica:
Nuestro problema consiste en asignar un número A , a la medida del área de la región R
Para resolver este problema haremos uso de un proceso límite similar al empleado por
Arquímedes, en la definición del área del círculo
El área del círculo se define como el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos,
cuando el número de lados aumenta sin límite
Definiremos una región poligonal continua en R (es decir rectángulos inscritos en la región R )
y dividiremos al intervalo [ ] en n-subintervalos; por simplicidad, tomamos cada uno de estos
intervalos de igual longitud, denotándolo por
Entonces:
, así mismo, los puntos extremos de estos subintervalos estarán dados
por , donde:
Y
X
b a
R
(
R
245
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
(
(
En consecuencia el i-ésimo subintervalo es denotado por [ ]
Además se sabe que: si es una función continua en el intervalo cerrado [ ] , es también
continua en cada subintervalo cerrado
El teorema del valor extremo, asegura que si existe un número en cada subintervalo para el cual
tiene un valor mínimo absoluto
Sea entonces un número en el i-ésimo subintervalo tal que ( y por lo tanto
( es el valor mínimo absoluto de en el intervalo cerrado [ ]
Consideremos entonces n-rectángulos, cada uno con unidades de ancho y una altura o largo
de ( unidades
La suma de las áreas de los n-rectángulos está dada por: unidades
Donde: ( ( ( (
∑ (
Gráfica
Y
(
X
(
246
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Luego observamos que, si multiplicamos a por dos, entonces el número de rectángulos se
duplican y el ancho de cada rectángulo se reduce a la mitad, en consecuencia el área sombreada
se aproxima más al área real de la región R
Por lo tanto mientras crece sin límite, el valor de se aproxima a un límite y este límite se
toma como la medida real de la región R
∑ (
Definición
Supongamos que es una función continua en el intervalo cerrado [ ] , con
( [ ] y que R es la región acotada por la curva ( , el eje y
las rectas:
Dividamos al intervalo [ ] en n-subintervalos cada uno de longitud
y sea un punto del i-ésimo subintervalo, entonces la medida del área de la región R está dad
por:
∑ (
Y
(
X
(
247
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Y
X
(
Observación
Análogamente se puede tomar rectángulos circunscritos y en este caso tomamos como altura de
los rectángulos el valor máximo absoluto de en cada subintervalo
Por lo tanto:
∑ (
Donde ( es el valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [ ]
Ejemplos de Aplicación
1.- Encontrar el área de la región R acotada por la curva , el eje y la recta ,
tomando rectángulos inscritos
Solución
El área de la región estará dada por:
∑ (
Gráfica
Dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud , entonces:
248
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Donde: , , , , , ( ,
, , ( ,
Además como es una función creciente en [ ] , entonces el valor mínimo absoluto de en
el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia:
∑ (
Ahora como ( ( ( donde
Luego:
∑ (
∑ [( (
)] (
)
(
) ∑(
(
) [∑
∑
]
(
) *
+
[
]
Por lo tanto: El área de la región R es:
2.- Encontrar el área de la región acotada por la curva , el eje y la recta ,
tomando rectángulos inscritos
Solución
En primer lugar ilustramos la gráfica de la región con el i-ésimo rectángulo característico
Gráfica
Y
X
249
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El área de la región estará dada por:
∑ (
Entonces dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud ,
entonces:
Donde: , , , , , ( ,
, , ( ,
Además como es una función creciente en [ ] , entonces el valor mínimo absoluto de en
el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia:
∑ (
Ahora como ( ( ( [( ] donde
Entonces: ( *( (
)+
(
Luego:
∑ (
∑
( (
)
(
) ∑(
(
) [∑
∑ ∑
]
(
) *
( (
(
+ *
+
(
) *
+
*
+
Por lo tanto: El área de la región R es:
3.- Encontrar el área del trapezoide, acotado por la ecuación , el eje y las rectas
, tomando los rectángulos circunscritos
Solución
En forma similar al caso anterior ilustraremos gráficamente la región con el i-ésimo rectángulo
característico
250
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
X
Gráfica
Entonces dividimos al intervalo cerrado [ ] en n-subintervalos, cada uno de longitud ,
entonces:
Como la ecuación es una función decreciente en [ ] y además se está tomando rectángulos
circunscritos, entonces el valor máximo absoluto de
En el i-ésimo subintervalo [ ] es ( , en consecuencia el área del trapecio estará
dada por:
∑ (
Donde:
, , , , ,
, , ( , , , (
y como ( , entonces:
( ( [ ( (
)] [ ( (
)]
(
Luego
∑ [
( ] (
)
(
) [ ∑
∑
∑
]
(
) (
(
)
Por lo tanto: El área de la región R es:
Y
251
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Ejercicios de aplicación N° 30
En los siguientes problemas utilizando límites y sumatorias calcular el área de las regiones
indicadas
1) La región limitada por la curva , tomando rectángulos
inscritos
2) La región limitada por la curva , tomando
rectángulos circunscritos
3) La región limitada por la curva ,
tomando rectángulos inscritos
4) La región limitada por la curva , tomando
rectángulos circunscritos
5) La región limitada por la curva ,
tomando cualquier tipo de rectángulos
6) La región limitada por la curva , tomando
rectángulos inscritos
7) La región limitada por la curva
, tomando
rectángulos circunscritos
Suma de Riemann o Suma Integral
Para precisar el concepto de integral definida, debemos considerar un nuevo proceso de limitación
(lo anterior sería un caso particular)
Sea una función en el intervalo cerrado [ ] , dividamos este intervalo en n-subintervalos,
escogiendo cualquier ( puntos intermedios entre
Sean: , donde los puntos
No son necesariamente equidistantes
Sean:
Y así sucesivamente tal que
El conjunto de todos estos subintervalos del intervalo [ ] se llama una partición de dicho
intervalo y es denotada por: (delta)
252
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
La partición contiene n-subintervalos; uno de estos subintervalos es el mayor longitud, sin
embargo puede haber más de uno
La longitud del subintervalo más largo de la partición , se llama la norma de la partición y
denotado por: ‖ ‖
Escojamos un punto muestra en cada subintervalo de la partición
Así:
[ ]
[ ]
[ ]
Y así sucesivamente tal que
[ ]
Luego formamos la siguiente suma
∑ (
( ) (
) (
) (
∑ (
Observación
Además como a ( no se restringe a valores negativos, algunos ( podrian ser
negativos, entonces la suma de Riemann sería la suma de las áreas de los rectángulos que están
sobre el eje , más las áreas de los rectángulos que están debajo del eje
Ahora si tomamos ‖ ‖ de todas las particiones del intervalo [ ] suficientemente
pequeñas, para todas las posibles elecciones de los números donde
,
entonces el área de la región R estará dada por:
Esta última expresión es equivalente a la integral definida
Ejemplos de aplicación
1,- Evalúe la suma Riemanniana de ( ( ( (
sobre el intervalo [ ] , usando la partición con puntos de separación en:
⟦ ⟧
∑ (
253
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y los correspondientes puntos muestras son:
Solución
La suma Riemanniana estará denota por:
∑ (
( ) (
) (
) (
) (
)
Gráfica:
Entonces:
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( (
∑ (
Observación:
El signo negativo de las ( indican que la sección poligonal se encuentra debajo del eje
En consecuencia la suma Riemanniana es el área de las secciones poligonales sobre el eje ,
más el área de las secciones poligonales debajo del eje
Y
2,5 3,6
0,5 1,5
5 X
254
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2.- Evalúe la suma Riemanniana de ( sobre el intervalo [ ] , usando los
puntos de separación equidistantes: , con el
punto muestra que se encuentra en la mitad del n-ésimo subintervalo.
Solución
La suma Riemanniana estará denota por:
∑ (
( ) (
) (
) (
) (
) (
)
Gráfica:
Entonces:
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
[ ](
∑ (
Ejercicios de aplicación N° 31
En los siguientes problemas evaluar las sumas Riemannianas indicadas
Y
0, 5 1 1,5 2 - 0,5 X
255
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1) Para ( sobre el intervalo [ ], usando la partición , con los puntos de
separación en : y los correspondientes puntos muestras en:
2) Para ( sobre el intervalo [ ], usando la partición , con los puntos
de separación en: y los correspondientes puntos muestras en:
3) Para (
sobre el intervalo [ ] , dividiéndolo en 6 subintervalos iguales y
tomando los puntos muestras en la mitad de cada subintervalo
4) Para ( sobre el intervalo [ ] , dividiéndolo en 8 subintervalos iguales y
tomando los puntos muestras en la mitad de cada subintervalo
Definición de la Integral Definida
Si es una función definida en el intervalo [ ] , entonces la integral definida de la función
desde hasta está denotada y definida por:
Si el límite existe, donde:
(
Observación
No toda función es integrable, por ejemplo la función no acotada ( ,
no es
integrable en [ ]
Esto se debe a que cualquier suma Riemanniana del subintervalo que contenga a puede
hacerse arbitrariamente grande, al escoger el punto muestra con la suficiente proximidad a
cero
∫ ( ‖ ‖
∑ (
256
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Gráfica
El razonamiento anterior demuestra que cualquier función que sea integrable en [ ] , debe ser
acotada.- Es decir debe existir una constante tal que: | ( | [ ]
Teorema de Integrabilidad
Si está acotada en [ ] y si es continua en ese intervalo, con excepción de un número finito
de puntos, entonces es integrable en [ ]
En particular, si es continua en todo el intervalo [ ], es integrable sobre [ ]
Consecuencia
Como consecuencia de este teorema, son integrables las siguientes funciones en el intervalo
cerrado [ ]
a) Las funciones polinomiales
b) Las funciones seno y coseno
c) Las funciones racionales, toda vez que el intervalo [ ] no contenga puntos en los que
el denominador sea cero
Teoremas Fundamentales
En las Carreas Profesionales de Ciencias, nos encontramos con varios Teoremas
Fundamentales.- Así tenemos:
Y
2 X
257
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
El Teorema Fundamental de la Aritmética que dice: “Un número entero compuesto
puede factorizarse de manera única como producto de números primos”
El Teorema Fundamental del Algebra afirma que: “Una ecuación polinomial de grado n
tiene exactamente n soluciones, si se cuentan las multiplicidades”
Entonces cualquier Teorema que tenga este título debe ser estudiado con cuidado y depositado
permanentemente en la memoria
Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
Sea una función continua (y por lo tanto integrable) en [ ] y sea su antiderivada
cualquiera de en dicho intervalo, entonces:
Demostración
Sea una partición del intervalo [ ] donde:
Entonces mediante el artificio matemático de sumar y restar se tiene:
( ( ( ( ( ( ( (
∑[ ( ( ]
Luego recordando el Teorema del Valor Medio para derivadas que dice: “Si es continua en
[ ] y diferenciable en su interior ( , entonces existe al menos un número tal que:
( – (
( ( – ( ( ( ”
Entonces aplicando este teorema al intervalo [ ] se tiene:
( – ( ( )( (
) , para algún
del intervalo (
Por lo tanto sacando extremos tenemos:
( ( ∑ ( )
Observamos en esta última expresión que la parte izquierda es una constante y la derecha es una
suma Rienmanniana para sobre el intervalo [ ]
Luego tomando límite a ambos miembros cuando ‖ ‖ se tiene:
∫ ( ( (
258
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
‖ ‖
[ ( ( ] ‖ ‖
[∑ (
] ∫ (
Sacando extremos y ordenando tenemos: ∫ ( ( (
Ejemplos de aplicación
1.- Demuestre que: ∫ [ ]
En efecto:
( ( (
∫ ( ( ( (
(
Por lo tanto: ∫ (
2.- Demuestre que: ∫
En efecto:
(
(
(
∫ ( (
(
)
Por lo tanto: ∫
3.- Demuestre que: ∫
En efecto:
(
(
(
∫ ( (
(
)
Por lo tanto: ∫
259
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Observación
Una conclusión del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es que:
∫ ( [ ∫ ( ]
Es decir, encontramos primero la integral indefinida, aplicando cualquier técnica ya conocida y
luego reemplazamos los límites de integración (límite superior menos límite inferior)
Observamos además que la constante de integral indefinida, se cancela siempre en la integral
definida.- Eta es la razón por la cual en el Teorema Fundamental del Cálculo se haya usada la
frase: “Una antiderivada cualquiera”
En particular podemos escoger siempre a en la aplicación del Teorema Fundamental del
Cálculo
Ejemplos de aplicación
Evaluar las siguientes integrales definidas
a) ∫
b) ∫ (
c) ∫ √ (
Solución a)
∫
*
+
Por lo tanto: ∫
Solución b)
∫ (
[ ( ]
[ ( ]
[ ( ( ] ( (
Por lo tanto: ∫ (
Solución c)
∫ √ (
* (
⁄ +
*(
⁄ +
(
⁄
Por lo tanto: ∫ √ (
260
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Propiedades de la Integral Definida
1.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y sea k una constante también integrable
en [ ], entonces: ∫ (
∫ (
2.- Sean y funciones integrables en [ ] , entonces:
∫[ ( ( ]
∫ (
∫ (
3.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y si y son números tales que
( [ ] , entonces: ( ∫ ( (
,
llamada la propiedad de acotamiento
Gráfica
Obsérvese en el gráfico que ( es el área del rectángulo pequeño que se encuentra en la
parte inferior y que ( es el área del rectángulo grande y que ∫ (
es el área
bajo la curva ( 4.- Sean y funciones integrables en [ ] y si ( ( [ ], entonces:
∫ (
∫ (
llamada la propiedad de comparación
m
b a
M
Y
X
(
261
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Gráfica:
Observamos en el gráfico que el área bajo la curva ( es más pequeña que el área bajo la
curva (
5.- Sea una función integrable en el intervalo [ ] y si un punto tal que ,
entonces: ∫ ( ∫ ( ∫ (
, llamada la propiedad aditiva
de intervalos
Gráfica
6.- Sea es una función continua en el intervalo [ ] y si es un punto variable de (
entonces: [∫ (
] (
7.- Si ( [ ], entonces: ∫ (
∫ (
b a
Y
X
(
(
b a
Y
X
(
c
262
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
8.- Si es una función integrable en el intervalo [ ] entonces:
∫ (
∫ (
9.- Si es una función par en el intervalo [ ] entonces: ∫ (
∫ (
llamada la propiedad de simetría
Gráfica
Se observa que el área de la izquierda del eje de las ordenadas es igual al área de la derecha del
eje de las ordenadas
10.- Si es una función impar en el intervalo [ ] entonces: ∫ (
también
llamada la propiedad de simetría
Gráfica
(
Se observa que el área de la parte inferior del eje de las abscisas neutraliza al área de la parte
superior del eje de las abscisas
a -a
Y
X
(
+ -a
Y
X
(
a
+
- -
-
263
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
11.- Si es una función periódica de periodo integrable en el intervalo [ ] entonces:
∫ ( ∫ (
Teorema del Valor Intermedio
Si la función es continua en el intervalo [ ] y si ( ( , entonces para cualquier
número entre ( y ( , existe un número entre y tal que (
Gráfica
Teorema del Valor Intermedio para Integrales
Si la función es continua en el intervalo cerrado [ ], entonces existe un número entre y
( tal que: ( ∫ (
, que es llamado el valor medio o valor
promedio de en el intervalo [ ]
Ejemplos de aplicación
Evalué las siguientes integrales definidas utilizando las propiedades
∫(
∫[ ( ]
∫ (
)
∫ *
+
[∫(
] [∫(
⁄
√ )
]
b a c
( k
f ( a )
f ( b )
Y
X
264
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[∫(
] [ ∫( √ )
]
[∫ (
]
Solución a)
∫(
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
*
(
+ *
(
+ *
(
+
[
] [ ] [
]
∫(
Solución b)
∫[ ( ]
∫
∫(
∫
(
)
((
)
[
] [
]
∫[ ( ]
Solución c)
∫ (
)
∫
∫
∫
265
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Para la solución de esta integral, en primer lugar observamos que el intervalo de integración es
simétrico, entonces debemos averiguar si la función ( (
) es Par o Impar
En efecto: ( (
) (
) ( , lo que demuestra que la función
( (
) es una función Par, luego por una propiedad 9) se tiene:
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
⁄
( ( )
⁄ ( (
) ( )
⁄
*√
+ √
∫ (
)
√
Solución d)
∫ *
+
También observamos que el intervalo de integración es simétrico, entonces debemos averiguar si
la función ( *
+ es Par o Impar
En efecto: ( *(
( + *
+ ( , lo que demuestra que la función
( *
+ es una función Impar, luego por propiedad 10) se tiene: ∫ *
+
∫ *
+
Solución e)
Para la solución de este tipo de ejercicios [∫ (
] , existen dos procedimientos
La forma más fácil es aplicando la siguiente propiedad: [∫ (
] (
Entonces: [∫ (
]
La otra forma más elaborada consiste en evaluar la integral y derivar después
266
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[∫(
] *
+
*
+
(
[∫(
]
Solución f)
Utilizando la misma propiedad anterior tenemos:
[∫(
⁄
√ )
]
⁄
√
Solución g)
Utilizando las propiedades [∫ (
] ( ∫ (
∫ (
tenemos
[∫(
] [ ∫(
]
[∫(
] (
[∫(
] (
Solución h)
Para poder resolver el ejercicio *∫ ( √ )
+ aplicamos las propiedades 6) y 8) y
además la regla de la cadena
[ ∫ ( √ )
] [∫ ( √ )
]
Haciendo: ∫ √
Luego:
[∫ ( √ )
] [∫√
] ( (√ ) ( √
267
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[ ∫( √ )
] √
Solución i)
Para poder resolver el ejercicio *∫ (
+ aplicamos las propiedades 6) , pero
además como el límite superior es aplicamos la regla de la cadena
Haciendo: ∫ (
Luego:
[∫ (
] [∫(
] ( ( ( (
[ ∫( √ )
]
Ejercicios de aplicación N° 32
I.- Use las propiedades de la integral definida para calcular las siguientes integrales donde
∫ (
, ∫ (
, ∫ (
, ∫ (
1) ∫ (
6) ∫ (
2) ∫ [ ( ( ]
7) ∫ [ ( ( ]
3) ∫ (
8) ∫ [ ( ( ]
4) ∫ (
9) ∫ ( ∫ (
5) ∫ (
10) ∫ ( ∫ (
II.- Calcular el equivalente de las siguientes integrales
11) [∫ (
] 16) *∫ √
+
12) [∫ (
] 17) *∫ ( (
+
13) [∫ √
] 18) *∫ √ (
+
14) *∫ ( (
+ 19) *∫ √
+
268
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
15) *∫ (
⁄
+ 20) *∫ (
+
III.- Evaluar las siguientes integrales definidas
1) ∫ (
6) ∫ [
(
⁄]
2) ∫ (√ )
7) ∫ ( (
⁄
3) ∫ *
( +
8) ∫ *
(
( +
⁄
4) ∫ (√ ) √
9) ∫ [ ( ]
5) ∫ *
+
10) ∫ [ ( ( ]
⁄
IV.- Evaluar las siguientes integrales usando como ayuda la simetría y la periodicidad
1) ∫ (
6) ∫ {( ( }
√
√
2) ∫ (
7) ∫ (
3) ∫ *
+
⁄
⁄
8) ∫ | ( |
4) ∫ | |
10) ∫ [| | ]
269
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UNIDAD VIII
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Existe una gama de aplicaciones de la integral definida, abordaremos algunas de ellas
Interpretación Geométrica de la Integral Definida
Se presentan tres casos típicos de interpretación geométrica que corresponden al cálculo de
aéreas de regiones:
Caso 1.- Si ( ) ∫ ( )
Ilustración gráfica
Caso 2.- Si ( ) ∫ ( )
Ilustración gráfica
b a
Y
X
( ) A A
b a
Y
X
( )
A
270
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Caso 3.- Si ( ) , tiene parte positiva y negativa
∫ ( )
∫ ( )
Ilustración gráfica
Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas de regiones planas
I.- Cálculo de áreas bajo una curva
Para el cálculo de áreas limitadas por una curva plana se presentan dos casos:
Caso 1.- El área de la región R comprendida entre el eje o abscisas y las ordenadas
correspondientes a , está dada por la siguiente fórmula:
∫ ( )
Ilustración gráfica
c b
a
Y
X
( )
dx b a
Y
X
( )
R
271
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Caso 2.- El área de la región R comprendida entre el eje u ordenadas y las abscisas
correspondientes a , está dada por la siguiente fórmula:
∫ ( )
Ilustración gráfica
Ejemplos de aplicación
1.- Calcular el área de la región acotada por por la curva , el eje y las rectas
Solución
Se observa por las condiciones del problema que el área de la región estará dad por la fórmula:
∫ ( )
Gráfica
dy
d
c
Y
X
( )
R
dx 3 1
Y
X
y
R
272
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
El gráfico muestra además que la región se encuentra debajo del eje , en consecuencia:
∫( )
6
7
64
( ) 5 4
( ) 57
.
/ .
/
Por lo tanto:
2.- Calcular el área de la región acotada por la curva , el eje y
las rectas
Solución
En primer lugar se construye la gráfica de la curva para observar la región de la cual se desea
calcular el área, para ello se deben realizar algunos cálculos previos
Calculamos los puntos donde la gráfica corta a los ejes
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
Hallamos los puntos críticos, para determinar donde la función toma sus valores máximos y
mínimos relativos
( )
En consecuencia
La función toma su valor máximo en ( ) y su valor mínimo en ( )
273
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Gráfica
De acuerdo al esquema gráfico se observa que existe porciones de área tanto sobre el eje
como debajo del eje , en consecuencia el área estará dada por: Donde:
∫ ( )
∫( ) 6
7
∫ ( )
∫( ) 6
7
Entonces:
Por lo tanto:
3.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva , el eje y las
rectas
Solución
En primer lugar construimos la gráfica de la región
-2 1 -1 dx dx
Y
dx 2
X
274
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
De acuerdo al gráfico se observa que el área de la región estará dada por:
∫ ( )
∫( )
6
7
( ) (
)
Por lo tanto:
II.- Cálculo de áreas entre dos curvas
Para calcular el área entre dos curvas también se presentan dos casos:
CASO I.- Sean y dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado , - con
( ) ( ) ( ) ( ) , entonces el área de la
región estará dada por:
∫ ( )
∫ ( )
∫, ( ) ( )-
∫ ( )
Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal vertical
R
dy
3
-1
Y
X
275
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Ilustración gráfica
CASO II.- Sean y dos funciones continuas definidas en el intervalo cerrado , - con
( ) ( ) , - , entonces el área de la región estará
dada por:
∫ ( )
[ ∫ ( )
] ∫, ( ) ( )-
∫ ( )
Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal vertical
Ilustración gráfica
Observación.- Análogamente se podrán tomar secciones transversales horizontales y el
área estará dada por:
a b X
Y ( )
( )
( )
a
b X
Y ( )
( )
( )
276
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∫ ( )
∫, ( ) ( )-
Donde: ( ) ( ) ( ) es llamada la sección transversal horizontal
Ejemplos de Aplicación
1.- Encontrar el área de la región acotada por las curvas:
Solución
En primer lugar encontramos los puntos de intersección de las dos curvas, para ello
resolvemos las ecuaciones simultáneamente.
En efecto:
( )
Ahora: si ( )
( )
Por lo tanto los puntos de intersección de las curvas son: ( ) y ( )
Gráfica
En el gráfico se observa que: ( ) ( ) , entonces
( ) ( ) ( ) ,( ) ( )-
Luego:
( ) ( ) ( ) ( )
(0,0)
(2, 4)
Y
X
( )
( )
277
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∫ ( )
∫, ( ) ( )-
∫,( ) ( )-
∫( )
[
]
Por lo tanto:
2.- Encontrar el área de la región acotada entre las curvas:
Solución:
En primer lugar calculamos los puntos de intersección de las curvas resolviendo las ecuaciones
en forma simultánea
( )( )
Entonces los puntos de intersección son: ( ) ( ) ( )
Gráfica de la región
Según la gráfica, el área de la región está dada por: , donde
∫ ( )
∫ ( )
6
7
( ) (0,0)
(1, 1)
Y
X
(-1,-1)
( )
( )
278
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
∫ ( )
∫ ( )
6
7
Luego:
Por lo tanto el área de la región es:
3.- Encontrar el área de la región limitada por las curvas:
Solución
En primer lugar construimos la gráfica, que muestra la región que se desea calcular el área
Gráfica
Luego se puede calcular el área de esta región de dos maneras diferentes:
a) Tomando la sección transversal vertical
b) Tomando la sección transversal horizontal
(0,0)
(4, 2)
Y
X
( ) √ ( √ )
√
√
279
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Tomando la sección transversal vertical se tiene el siguiente gráfico
Entonces:
∫ ( )
∫ ( √ )
[
( )
]
[
√ ]
Tomando la sección transversal horizontal se tiene el siguiente gráfico
Entonces:
Y
( )
( )
(0,0)
(4, 2)
Y
X
(0,0)
(4, 2)
X
( ) √ ( √ )
√
√
280
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
∫ ( )
∫ ( )
6
7
.
/ .
/
Por lo tanto el área de la región es
Ejercicios de aplicación N° 33
En los siguientes problemas dibuje la región limitada por las ecuaciones y calcule el área de
dicha región:
a) ,
b) ,
c)
, ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) √
,
h) √ ,
i) ,
j) ,
k) ,
l) √ ,
281
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Aplicaciones de la integral definida al cálculo de volúmenes de sólidos de
revolución
Sólido de revolución
Un sólido de revolución, es aquel cuerpo que se obtiene al hacer rotar una región plana
alrededor de una recta en el mismo plano, esta recta es llamada eje de revolución
Ejemplos de sólidos de revolución
1) Rotamos una región cualquiera cuya base descansa sobre el eje , y tomamos como eje
de revolución el eje
El sólido revolución resultante es parecido a un tonel
Región
Eje de revolución
( )
Región plana cualquiera
282
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
2) Rotamos la región definida por un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor descansa sobre
el eje , tomando como eje de revolución el eje
El sólido revolución resultante es el
cono de revolución
( )
Sólido de revolución
( )
( )
283
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
3) Rotamos la región definida por un rectángulo cuyo lado mayor descansa sobre el eje ,
tomando como eje de revolución el eje
El sólido generado es el cilindro de revolución o cilindro recto
4) Rotamos la región acotada por un semi círculo, tomando como eje de revolución su
diámetro
( )
( )
a b
( )
284
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
El sólido generado es la esfera
5) Rotamos el círculo con centro en el punto ( ) y radio , alrededor del eje
El sólido generado se denomina Toro de revolución o Dona
( )
a
( )
a
( )
285
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
6) Rotamos la región acotada por la parábola en el intervalo , - , alrededor del
eje
El sólido generado se denomina paraboloide ( que tiene la forma de una vasija)
Volumen de un sólido de revolución
Según las aplicaciones anteriores, en adelante se puede decir que casi toda cantidad que
puede ser pensada como resultado de descomponer en pequeños trozos, calcular el valor
aproximado de cada pieza, sumar todos los valores y tomando el límite cuando las piezas
disminuyen de tamaño; puede ser interpretado como una Integral Definida
En particular esto es cierto con los volúmenes de ciertos sólidos que son generados por la
rotación de regiones planas sobre un eje
Existen dos casos para el cálculo de estos volúmenes:
Caso 1.- Cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se va a rotar
3 0
3 0
286
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
En este caso para calcular el volumen del sólido de revolución se emplea el denominado
método del disco
Método del disco
Para deducir la fórmula que permita calcular el volumen del sólido de revolución generado
recordamos la fórmula que usamos para calcular el volumen de un cilindro recto
Se sabe por geometría, que el volumen de un cilindro recto es denotado y definido por:
Donde y son respectivamente el número de unidades en el radio de la base y la altura
Proceso de deducir el volumen de un sólido macizo usando el método del
disco
Definimos en primer lugar el sólido de revolución del cual deseamos calcular su volumen
Sea una función continua en el intervalo cerrado , - y supongamos que
( ) , -
Sea entonces la región R, acotada por la curva ( ) , el eje y las rectas
Sea en consecuencia , el sólido de revolución obtenido al hacer rotar la región R,
alrededor del eje
h
r
287
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ilustración gráfica
El proceso de encontrar el volumen es similar al empleado en el cálculo de áreas
Particionamos el intervalo cerrado , - en n-subintervalos ( ) tal que:
Donde , - es el i-ésimo subintervalo cuya longitud es , luego
se escoge un punto muestra tal que
y luego trazamos el i-ésimo
rectángulo que tiene un ancho de unidades y una altura de ( ) unidades
Ahora hacemos rotar este i-ésimo rectángulo alrededor del eje , obteniéndose un disco
circular en forma de un cilindro recto circular, cuyo radio de su base es ( ) unidades y
cuya altura es unidades
Gráfico del disco circular
x=b
x=a
X
S
( )
Y
( )
288
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces la medida del volumen de este disco circular (o cilindro recto achatado) es denotado
y definido por: [ ( )]
o también [ (
)]
Pero como existen n-rectángulos, se obtienen n-discos circulares, entonces la suma de las
medidas de los volúmenes de estos n-discos circulares estará dado por la fórmula:
∑
∑ 0 ( )1
La cual es una suma Riemanniana
Entonces mientras más pequeña se tome la partición (‖ ‖) , mayor será la aproximación del
volumen del sólido
Por lo tanto definiremos el volumen de este sólido de revolución como el límite de la Suma
Riemanniana cuando ‖ ‖
Definición del volumen de un sólido de revolución empleando el método
del disco
Sea una función continua en el intervalo cerrado , - y supongamos que
( ) , -
Si , es el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje , la región R, acotada
por la curva ( ) , el eje y las rectas y si
es el volumen del sólido en unidades cúbicas, entonces:
‖ ‖
∑ [ ( )]
∫, ( )-
Observación
Una definición similar se aplica cuando el eje de revolución es el eje
289
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Ejemplos de aplicación
1) Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje ,
la región acotada por la curva , el eje X y las rectas
Solución
En primer lugar graficamos el sólido de revolución
Luego el volumen de este sólido estará dado por:
∫, ( )-
∫, -
∫, -
6
7
[
]
Por lo tanto:
2) Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje ,
la región acotada por la curva √ , el eje y la recta
x=2
x=1
290
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Solución
En primer lugar graficamos el sólido de revolución
Luego el volumen de este sólido estará dado por:
∫, ( )-
∫[√ ]
∫
6
7
[
]
Por lo tanto:
3) Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje ,
la región acotada por la recta
, el eje X y la recta
Solución
En primer lugar graficamos el sólido de revolución del que se desea calcular su volumen
√
x=3
291
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Luego el volumen de este sólido estará dado por:
∫, ( )-
∫0
1
∫6
7
∫
6
7
[
]
Por lo tanto:
4) Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje ,
la región acotada por el arco de la curva ( ) y el eje
Solución
Graficamos el sólido de revolución
x=3
( )
( ,0)
(0,0)
292
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Luego el volumen de este sólido estará dado por:
∫, ( )-
∫, ( )-
∫, ( )-
∫ [ ( )
]
[
( )
]
[(
( )
) (
( )
)]
( )
Por lo tanto:
Ejercicios de aplicación Nº 34
En los siguientes problemas, calcular el volumen de los sólidos de revolución generados por la
rotación alrededor del eje X, la región indicada:
1)
2)
3)
4)
5) √
6)
Caso 2.- Cuando el eje de revolución no es una frontera de la región que va a rotar
En este caso para calcular el volumen del sólido de revolución se emplea el denominado
método del anillo
Se sabe por geometría, que un anillo cilíndrico, es el sólido contenido entre dos cilindros
oncéntricos.
El volumen de un anillo cilindro de radio interior , radio exterior y altura , está
determinado por la fórmula:
(
)
293
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Gráfica de un anillo cilíndrico
Metodo del anillo
Definamos en primer lugar el sólido de revolución del cual deseamos calcular su volumen
Sean y dos funciones continua definidas en el intervalo cerrado , - y supongamos
que ( ) ( ) , -
Sea entonces la región R, acotada por las curvas ( ) , ( ) y las rectas
Sea en consecuencia , el sólido de revolución generado al hacer rotar la región R,
alrededor del eje
Ilustración gráfica
h
X
Y
x=b
x=a
S
( )
( )
( ) ( )
294
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Proceso de encontrar el volumen
El proceso de encontrar el volumen es similar al caso anterior
Particionamos el intervalo cerrado , - en n-subintervalos ( ) tal que:
Donde , - es el i-ésimo subintervalo cuya longitud es , luego se
escoge un punto muestra tal que
y luego trazamos el i-ésimo rectángulo
que tiene un ancho de unidades y una altura de [ ( ) (
)] unidades
Ahora hacemos rotar este i-ésimo rectángulo alrededor del eje , obteniéndose un anillo
circular cuya altura unidades, su radio interior es ( ) y su radio exterior es
( ) unidades
Gráfico del anillo circular
Entonces la medida del volumen de este anillo circular es denotado y definido por:
2[ ( )]
[ (
)]
3
Pero como existen n-rectángulos, se obtienen n-anillos circulares, entonces la suma de las
medidas de los volúmenes de estos n-anillos circulares estará dado por la fórmula:
∑
∑ 2[ ( )]
[ (
)]
3
La cual es una suma Riemanniana
( )
( )
295
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces mientras más pequeña se tome la partición (‖ ‖) , mayor será la aproximación del
volumen del sólido
En consecuencia definiremos el volumen de este sólido de revolución como el límite de la
Suma Riemanniana cuando ‖ ‖ y tal límite existe ya que son funciones
continuas en , - , puesto y son continua en , -
Definición del volumen de un sólido de revolución empleando el método
del anillo
Sean y dos funciones continua definidas en el intervalo cerrado , - y supongamos
que ( ) ( ) , -
Si , es el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje , la región R, acotada
por las curvas ( ) , ( ) y las rectas y si
es el volumen del sólido en unidades cúbicas, entonces:
‖ ‖
∑ 2[ ( )]
[ (
)]
3
∫*, ( )- , ( )- +
Observación
Una definición similar se aplica cuando el eje de revolución es el eje , y cualquier recta
paralela al eje o al eje
Ejemplos de aplicación
1) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje , la región acotada
por la parábola y la recta
Solución
Para graficar el sólido y la región, en primer lugar encontramos los puntos de intersección,
para ello resolvemos en forma simultanea las ecuaciones dadas
296
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
( )( )
Ahora: Si ( )
y si ( )
Gráfica
Entonces el volumen esta dado por la fórmula:
∫*, ( )- , ( )- +
∫*, - , - +
∫( )
6
7
( )
( )
( )
( )
297
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
[(
) (
)]
Por lo tanto
2) Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje , la región
acotada por las parábolas y
Solución
Procedemos en forma similar al caso anterior, encontramos los puntos de intersección de
las curvas dadas
√ ( )
Ahora: Si ( )
y si ( )
Gráfica
( )
√ ( )
( )
( )
298
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
Entonces el volumen esta dado por la fórmula:
∫*, ( )- , ( )- +
∫2[√ ] , - 3
∫( )
6
7
[(
)]
Por lo tanto
3) Encontrar el volumen del sólido generado al rotar sobre la recta , la región
semicircular, limitada por la curva √ y el eje
Solución
Procedemos en primer lugar a graficar el sólido
En segundo lugar, como la región es rotada alrededor de una recta paralela al eje
( )
( )
( ) √
( )
299
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
( ) , entonces:
Por un lado: ( ) √ ( )
y por otro lado: ( ) ( )
Luego para calcular el volumen usamos la fórmula:
∫*, ( )- , ( )- +
∫{0 √ 1
, - }
∫2 √ 3
{ ∫√ ∫
∫
}
6 .
/
√
7
(
)
( )
Por lo tanto
( )
Ejercicios de aplicación Nº 35
I.- En los siguientes problemas, calcular el volumen de los sólidos de revolución generados por
la rotación alrededor del eje X, la región acotada por las siguientes curvas:
1) √
2) √
3) ( )
4)
5)
6)
7) √
8)
II.- En el volumen de los sólidos de revolución generados por la rotación alrededor del eje
indicado, la región acotada por las siguientes curvas:
1)
2) √
300
Benigno Moreno Mantilla Cristian Escurra Estrada Miguel Aguilar Luna Victoria
3)
4)
5)
Aplicaciones del cálculo integral a la longitud de arco
Introducción
Supongamos que se desea medir la longitud de la curva espiral siguiente
Si fuese un trozo de cuerda, lo estiraríamos para poderla medir, pero si es la gráfica de una
ecuación, resulta difícil realizarlo
Por otro lado debemos precisar también que es una curva plana
Hasta ahora hemos usado el término curva de manera informal y es el momento de ser más
precisos
Citaremos algunos ejemplos para realizar tal precisión: