1 Universidad Nacional de San Juan Facultad de Ingeniería MATEMATICA APLICADA Ingeniería Mecanica Ingeniería Electromecanica Equipo de Cátedra Profesor Titular Ing. Carlos A. Calvo Profesor Titular Dra Beatriz Morales Jefe de Trabajos Prácticos Dr. Javier Gimenez AÑO 2020
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Universidad Nacional de San Juan
Facultad de Ingenierí a
MATEMA TICA APLICADA
Ingenierí a Meca nica Ingenierí a Electromeca nica
Equipo de Cátedra
Profesor Titular Ing. Carlos A. Calvo
Profesor Titular Dra Beatriz Morales
Jefe de Trabajos Prácticos Dr. Javier Gimenez
AÑO 2020
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Primer Semana de Clase
CÁLCULO DE VARIACIONES
INTRODUCCIÓN
Problema del cable suspendido:
Encontrar la forma que adopta un cable sometido a la acción de la gravedad (única fuerza
que actúa sobre el cable), amarrado en sus extremos. Se supone que el cable es flexible,
uniforme con densidad (𝜆 =𝑑𝑚
𝑑𝑠) constante. Además es inextensible.
La pregunta es ¿Cuál será la forma que adopta el cable ? Las condiciones son:
Se considera que actúa sobre el cable solamente la fuerza de la gravedad
El cable es flexible
Uniforme con densidad constante
Inextensible
Amarrados en sus extremos
La forma que adopta es la que corresponde a la de mínima energía potencial acumulada
en el cable, dicho de otro modo el cable adopta la forma que minimiza su Energía
Potencial
La energía potencial tenderá a un mínimo, lo que es equivalente a que el centro de
gravedad sea mínimo o sea más cercano a la tierra.
𝑃0 𝑃1
𝑥
𝑦
𝑃0 𝑥0, 𝑦0 = 0,0 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 = 𝑥1, 0
Figura 1
3
Solución
Consideremos un elemento de cable de masa 𝑑𝑚 . Recordar que un elemento de masa
se calcula como la densidad (consideraremos densidad lineal) por elemento de cuerda,
como el cable es uniforme la densidad es constante, luego
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑠
Recordando que si tomamos un pequeño elemento de cable Δ𝑠 se puede aproximar por
un Δ𝑟 (incremento de cuerda) la cual por Pitágora se puede expresar
Δ𝑟 = √Δ𝑥2 + Δ𝑦2
Δ𝑆 ≅ Δ𝑟 = √1 +Δ𝑦2
Δ𝑥2Δ𝑥
Para un elemento muy pequeño Δ𝑆 → 𝑑𝑠 Δ𝑦 → 𝑑𝑦 Δ𝑥 → 𝑑𝑥 luego tenemos que
𝑑𝑠 = √1 + (d𝑦
d𝑥)2
d𝑥
𝑑𝑠 = √1 + 𝑦′2d𝑥
Esta expresión del 𝑑𝑠 se utilizará en todos los ejercicios
Luego
𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑠 = 𝜆√1 + 𝑦′2d𝑥
Recordando la expresión de la Energía Potencial y tomando como referencia cero la
energía del piso .
∆𝑥
∆𝑦
Figura 2
4
𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 𝑦
Si consideramos la Energía Potencial Elemental tenemos
𝑑𝐸𝑝 = 𝑔𝑦𝑑𝑚
𝑑𝐸𝑝 = 𝑔𝑦𝜆𝑑𝑠
𝐸𝑝 = 𝑔𝜆⏟𝐾
∫ 𝑦𝑑𝑠𝑥1
𝑥0
Siendo 𝐾 una constante. O sea el problema consiste en encontrar la expresión matemática
de 𝑦 = 𝑦 𝑥 tal que al resolver la integral el número resultante sea mínimo
Expresando todo en términos de x e y
𝐸𝑝 𝑦 = 𝐾∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Si se considera el centro de gravedad en lugar de la energía potencial (según lo visto en
Cálculo II) como estamos integrando sobre un curva será
𝑦𝐺 =∫ 𝑦 𝑑𝑚𝑠
∫ 𝑑𝑚𝑠
𝑦𝐺 =𝜆∫ 𝑦 𝑑𝑠
𝑠
𝜆 ∫ 𝑑𝑠𝑠⏟
𝐿
=
𝑦𝐺 =1
𝐿∫ 𝑦√1 + 𝑦′2
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Como las constantes 𝐾 o 1
𝐿 no influyen en el mínimo, es equivalente buscar el mínimo
de la Energía Potencial o buscar el mínimo de la ordenada del centro de gravedad y que
matemáticamente corresponde encontrar el mínimo de la integral
∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
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La energía potencial depende de la forma que adopte el cable. A cada curva le corresponde
un valor de energía potencial. Debemos hallar la curva 𝑦 = 𝑦 𝑥 que haga mínimo a la
Ep ó la ordenada y del centro de gravedad.
Conclusión
La curva que hace mínimo la Energía Potencial de un cable suspendido
amarrado en sus extremos se llama catenaria y matemáticamente es la
curva 𝑦 = 𝑦 𝑥 que hace mínima la integral
𝒱 𝑦 = ∫ 𝑦√1 + 𝑦′2𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Nota:
Hallar la curva que hace mínima la 𝐸𝑝 , en general, no interesa el valor
mínimo de la energía sino de la curva que hace mínimo la integral
Definición 1
“Se llaman funcionales a la correspondencia entre funciones y números reales”
𝑣: 𝑦 𝑥 → 𝑅
Funcional: es una correspondencia entre funciones y números reales
𝑣: ℱ → 𝑅
Problema Variacional
Un problema Variacional es aquel en el que se busca el máximo o el mínimo de un
funcional
elipses
rectas
círculos
𝑢1
𝑢2
𝑢3
Funciones 𝑅
Figura 3
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Cálculo Variacional
Es la disciplina de la Física y de la Matemática que estudia los problemas variacionales
𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑑𝑥𝑥1
𝑥0
Historia:
En 1696 Iohanis Bernoulli publicó una carta en la que propuso, a la comunidad de los
matemáticos, el problema de las líneas de desplazamiento más rápido, o braquistócronas.
La solución del problema fue dada por I. Bernoulli, J. Bernoulli, G. Leibnitz, I. Newton
y G. L’Hospital. Este problema junto (al de las líneas geodesias y al isoperimétrico)
ejerció gran influencia en el desarrollo del cálculo de variaciones, que llegó a ser una
disciplina matemática independiente, gracias a los trabajos de Leonard Euler (1707-
1783), quien puede considerarse el fundador del cálculo de variaciones.
Problema de la braquistócrona:
Encontrar la curva que une dos puntos P0 y P1 que sigue una cuenta (perlita de un collar)
desde P0 hasta P1 en tiempo mínimo. Se desprecia el rozamiento, sólo actúa la gravedad.
Planteo Matemático
Si consideramos la velocidad que lleva la cuenta al desplazarse desde 𝑃0 𝑎 𝑃1
𝑉 =𝑑𝑠
𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑠
𝑉 ⇒ 𝑡 = ∫
√1 + 𝑦′2𝑑𝑥
𝑉
La expresión de la velocidad la deducimos usando la ley de la conservación de la energía
mecánica.
𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0
𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1
𝑃 = 𝑥, 𝑦
Figura 4
7
Energía cinética + Energía potencial = cte
En 𝑃0: Ep = 0; Ec =0 En 𝑃: 𝐸𝑝 = −𝑚𝑔𝑦 𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑉2
Igualando
0 = −𝑚𝑔𝑦 +1
2𝑚𝑉2 ⇒ 𝑉 = √2𝑔𝑦
Remplazando en la expresión de t
𝑡 = ∫√1 + 𝑦′2𝑑𝑥
√2𝑔𝑦=
1
√2𝑔∫
√1 + 𝑦′2𝑑𝑥
√𝑦
Debemos hallara la curva “y” que haga mínimo a la funcional 𝑡 𝑦
𝑡 𝑦 = 𝑘∫√1 + 𝑦′2𝑑𝑥
√𝑦
Observación:
Dada la expresión 𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1
𝑥0𝑑𝑥
Nos interesa la y = y(x) (curva, trayectoria) que haga mínimo( ó máximo) “ 𝑣”
No nos interesa el valor de “ 𝑣 ”
En general que el valor de “ 𝑣 ” sera mínimo o máximo, ello surge del planteo del
problema.
“k” no afecta la curva solución.
FUNCIONALES DE LA FORMA
𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Dado 𝑣 𝑦 = ∫ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑥1
𝑥0𝑑𝑥 la función 𝑦 𝑥 que minimice (o maximice) a 𝑣 𝑦
debe cumplir la Ecuación de Euler (EE) , es decir debe ser solución de la Ecuación de
Euler dada por 1
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𝐸. 𝐸: 𝜕𝐹
𝜕𝑦−
𝑑
𝑑𝑥(𝜕𝐹
𝜕𝑦 ′) = 0 1
También usamos la notación
𝐹𝑦 −𝑑
𝑑𝑥(𝐹𝑦′) = 0
Aclaración: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ es la función integrando de 𝑣 𝑦 y se considera función de 3
variables x, y, y’ como si fuesen independientes
𝜕𝐹
𝜕𝑦= 𝐹𝑦 se deriva respecto a “ 𝑦 ” ( x = cte, 𝑦′ = cte)
𝜕𝐹
𝜕𝑦′= 𝐹𝑦′ se deriva respecto a y' (x = cte, y = cte)
𝑑
𝑑𝑥(𝜕𝐹
𝜕𝑦′) es derivada total, se considera 𝑦 𝑥 , 𝑦′ (x)
Nota:
Cuando calculo 𝑑
𝑑𝑥(𝜕𝐹
𝜕𝑦′) debo recordar que 𝑦′ es función de x
Ejemplo 1: Hallar la Ecuación de Euler correspondiente a
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 𝑥𝑦2 − 𝑦2𝑦′2
𝜕𝐹
𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 − 2𝑦𝑦′
𝜕𝐹
𝜕𝑦′= −2𝑦2𝑦′
𝑑
𝑑𝑥(𝜕𝐹
𝜕𝑦′) = −2 2𝑦𝑦′2 + 𝑦2𝑦′′
}
⟹ 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 1
2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑦′2 + 𝑦2𝑦 ′′ = 0 𝐸. 𝐸.
F
𝑥
𝑦 𝑥 = 𝑦′ 𝑥
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Ejemplo 2: Hallar la E.E. de
𝐹 = 𝑥𝑦′− 𝑦′2𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑦= −𝑦′2
𝜕𝐹
𝜕𝑦′= 𝑥 − 2𝑦𝑦′
𝑑
𝑑𝑥(𝜕𝐹
𝜕𝑦′) = 1 − 2𝑦′′𝑦 − 2𝑦′2
}
⟹ 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 1
1 − 2𝑦 ′′𝑦 − 2𝑦′2 + 𝑦′2 = 0
La Ecuación de Euler (1) conduce a una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) de
segundo orden que hay que resolver en cada caso.
La solución de E.D.O. se llama extremal, solamente entre las extremales existe la
solución “ que hace mínimo o máximo al funcional 𝑣”
Aquellas extremales que cumplan las condiciones de contorno se llaman solución única
del problema
Observación:
En Cálculo I y Cálculo II se estudiaron problemas de máximos y mínimos pero la solución
eran puntos. O sea los valores (números reales) del Dominio de la función que hacen
mínimo o máxima la función.
En Cálculo de Variaciones lo que se busca son funciones que hacen mínimo o máximo
un funcional (que es una integral) que es un número
Ejemplo 3: Hallar la extremal solución de
{
𝑣 𝑦 = ∫ (𝑥𝑦 − 𝑦′2)
1
0
𝑑𝑥
𝑦 0 = 0
𝑦 1 = 1
𝐹 = 𝑥𝑦 − 𝑦′2
𝐹𝑦 = 𝑥
𝐹𝑦′ = −2 𝑦 ′ 𝑑
𝑑𝑥𝐹𝑦′ = −2𝑦 ′′
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luego la E.E. es
𝑥 + 2𝑦 ′′ = 0 𝐸. 𝐷. 𝑂. 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑦 ′′ = −𝑥
2
Integramos miembro a miembro dos veces:
𝑦 ′ = −𝑥2
4+ 𝐶1
𝑦 = −𝑥3
12+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Obtenemos una familia de extremales. Aplicando las condiciones de contorno
𝑦 0 = 0 ⟹ 𝐶2 = 0
𝑦 1 = −1
12+ 𝐶1 = 1 ⟹ 𝐶1 =
13
12
Luego la solución es :
𝑦 = −𝑥3
12+
13
12𝑥 =
𝑥
12 13 − 𝑥2
Casos particulares de la fórmula de Euler
a) 𝐹 = 𝐹 𝑥, 𝑦 ′ F no depende explícitamente de y
si aplicamos directamente la fórmula de Euler original 1 se debe calcular
𝐹𝑦 = 0
luego la ecuación de Euler queda
𝑑
𝑑𝑥(𝐹𝑦′) = 0
integrando a ambos miembros
𝐹𝑦′ = 𝐶1 2
La Ecuación de Euler en este caso está semi-integrada (o sea de primer orden )
incluyendo una constante.
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b) 𝐹 = 𝐹 𝑦, 𝑦′ F no depende explícitamente de x
En este caso la EE que se recomienda es:
𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶 3
Es una Ecuación Diferencial de Primer orden
Observación 1:Tanto (2), como (3) son EDO de primer orden. O ecuaciones de segundo
grado semintegrada, que incluyen una cte.
Observación 2: La fórmula (3) es una alternativa a (1), no siempre es más conveniente,
pero si 𝐹 = 𝐹 𝑦, 𝑦′ contiene al factor √1 + 𝑦 ′ 2 (caso común), la ecuación (3) nos
permite aplicar un método de resolución a explicarse en los siguientes ejemplos:
1. Cable Suspendido
El funcional correspondiente es
𝐹 = 𝑦√1 + 𝑦′ 2
Como 𝐹 𝑦, 𝑦′ usamos la Ecuación de Euler (3)
𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶
𝐹𝑦′ = 𝑦𝑦 ′
√1 + 𝑦 ′ 2
Luego reemplazando en la E.E.
𝑦√1 + 𝑦 ′2 − 𝑦 ′ (𝑦𝑦 ′
√1 + 𝑦 ′ 2) =
𝑦 1 + 𝑦 ′2 − 𝑦𝑦 ′2
√1 + 𝑦 ′ 2=
𝑦
√1 + 𝑦 ′ 2= 𝐶1
Luego la EDO a resolver es
𝑦
√1 + 𝑦 ′ 2= 𝐶1 ∗
Para las ecuaciones diferenciales de la forma en que falta una de las variables, existen
métodos de resolución que consisten en la sustitución de 𝒙 , 𝒚 o 𝒚′ por una expresión
paramétrica.
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Para el caso de que aparezca el factor √1 + 𝑦 ′ 2 es conveniente recordar las identidades:
1 + 𝑡𝑔2 𝑡 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑡
1 + 𝑐𝑜𝑡 𝑔2 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑡
1 + sinh2 𝑡 = cosh2 𝑡
Sustituimos en (*)
𝑦 ′ = sinh 𝑡 ⇒ √1 + 𝑦 ′ 2 = cosh 𝑡
𝑦 = 𝐶1 cosh 𝑡 𝑎
Ya tenemos la expresión de 𝑦 = 𝑌 𝑡 ahora debemos encontrar 𝑥 = 𝑋 𝑡 Teniendo en
cuenta que 𝑦 ′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥 entonces despejando de esta expresión 𝑑𝑥 y reemplazando 𝑦′ por
la sustitución elegida se obtiene
𝑑𝑥 =𝑑𝑦
𝑦 ′
Luego 𝑑𝑦 se obtiene de la expresión obtenida para 𝑦 𝑡 𝑒𝑛 𝑎 obteniendo
𝑑𝑥 =𝐶1 sinh 𝑡 𝑑𝑡
sinh 𝑡= 𝐶1𝑑𝑡
Integrando miembro a miembro
𝑥 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2
{𝑥 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2 𝑦 = 𝐶1 cosh 𝑡
Solución paramétrica del problema planteado.
Es posible eliminar “ t” quedando
𝑦 = 𝐶1 cosh (𝑥 − 𝐶2
𝐶1)
Solución conocida como catenaria (de cadena).
𝐶1 𝐶2 se determinan de las condiciones de contorno del problema. Un punto importante
es 𝑥 = 𝐶2 𝑦 = 𝐶1 (vértice de la catenaria)
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Braquistócrona (Curva de tiempo mínimo)
Ya vimos que el Funcional para la Braquistócrona es
𝐹 =√1 + 𝑦 ′2
√𝑦= 𝐹 𝑦, 𝑦 ′
La ecuación de Euler a utilizar es la (3) :
𝐹 − 𝑦 ′𝐹𝑦′ = 𝐶
La parcial respecto de y’ es
𝐹𝑦′ =1
√𝑦
𝑦 ′
√1 + 𝑦 ′ 2
Reemplazando en la Ecuación de Euler (3)
√1 + 𝑦 ′ 2
√𝑦− (
𝑦 ′ 2
√𝑦√1+ 𝑦 ′2)
1 + 𝑦 ′ 2 − 𝑦 ′ 2
√𝑦√1 + 𝑦 ′2=
1
√𝑦√1 + 𝑦 ′2= 𝐶1
Luego la EDO a resolver es
𝑦 =𝑐𝑡𝑒
1 + 𝑦′2
Sustituimos 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑡 𝑔 𝑡 resulta
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑑𝑥 =𝑑𝑦
𝑦′=
2𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑥 = 2𝐶1𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝐶1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡
Integrando
𝑥 = 𝐶1 (𝑡 −𝑠𝑒𝑛 2𝑡
2+ 𝐶2)
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𝑥 =𝐶1
2 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2
La solución expresada en forma paramétrica es
{𝑥 =
𝐶1
2 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶2
𝑦 =𝐶1
2 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
Usando una de las condiciones de contorno
a) ( x = 0, y = 0 ) se obtiene
𝑦 = 0 ⇒ 𝑡 = 0
𝑥 = 0 ⇒ 𝐶2 = 0
Llamando 2𝑡 = 𝜃 𝑦 𝐶1
2= 𝑅
Queda finalmente la ecuación paramétrica de la Cicloide
{𝑥 = 𝑅 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 = 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃
La otra condición (que pase por 𝑃1) nos permite calcular 𝑅
Aunque es posible eliminar 𝜃 no es conveniente, pues es más fácil de interpretar en forma
paramétrica.
Geodésicas: Curvas de longitud mínima
Se llaman Geodésicas a las curvas de longitud mínima.
Si recordamos la definición de longitud de arco tenemos
𝑙 𝑦 = ∫ √1 + 𝑦′2𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Luego
𝐹 = √1 + 𝑦′2
La EE que conviene utilizar , como no depende de y es
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𝐹𝑦′ = 𝑐𝑡𝑒
𝐹𝑦′ =𝑦 ′
√1 + 𝑦′2= 𝑐𝑡𝑒
Inviertiendo a ambos miembros y elevando al cuadrado se tiene
1 + 𝑦′2
𝑦′2=
1
𝑐𝑡𝑒2
1
𝑦′2+ 1 =
1
𝑐𝑡𝑒2
1
𝑦′2= 𝐾
Inviertiendo y sacando raíz cuadrada a ambos miembro se llega a la expresión
𝑦′ = 𝐶1
Integrando a ambos miembros se tiene una familia de rectas
𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Lo cual era lógico porque ya sabemos que las curvas de menor longitud son las rectas
Principio de Fermat “La luz tiene prisa por llegar”
La luz se propaga de un punto 𝑃0 𝑥0, 𝑦0 a otro 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 siguiendo el camino del
mínimo tiempo (braquistócronas)
Para obtener el tiempo lo despejamos de la velocidad
𝑉 =𝑑𝑠
𝑑𝑡⇒ 𝑡 = ∫
√1 + 𝑦′ 2
𝑉 𝑥, 𝑦
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥
Debemos encontrar la trayectoria que recorre en el tiempo mínimo
Para el caso de medio isotrópico 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 la trayectoria coincide
con la geodésica, es decir se propaga según líneas rectas.
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Ejercicio: encontrar la trayectoria de un rayo de luz para los siguientes casos:
a) v = x b) v = y c) v =√𝑦 d) v =1
√𝑦 e) v =
1
𝑦 f) v = v(y)
Solución:
a) 𝑉 = 𝑥 reemplazando la velocidad en el Funcional
𝐹 =√1 + 𝑦 ′ 2
𝑥
(𝑦 ′
𝑥√1 + 𝑦 ′2) = 𝐶𝑡𝑒
Sustituimos 𝑦′ = 𝑡𝑔 𝑡 resulta
𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑎
Para obtener 𝑦 se despeja 𝑑𝑦 de la derivada, se reemplaza 𝑑𝑥 diferenciando la
expresión de 𝑥 obtenida en 𝑎
𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥
𝑑𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡
Integrando miembro a miembro
𝑦 = −𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2
Luego la solución en forma paramétrica es
{𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 = −𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶2
Ecuación paramétrica de la circunferencia que se obtiene eliminando “t” de ambas
ecuaciones
𝑥2 + 𝑦 − 𝐶2 2 = 𝐶1
2
Respuestas para los otros valores de la velocidad
b) Familia de circunferencias
c) Familia de cicloides
d) Familia de parábolas
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e) Familia de catenarias
f) Solución
Problema:
Se acelera una masa m que está en reposo, hasta llevarla a velocidad 𝑉𝑓 en un tiempo T.
Se quiere minimizar la cantidad de combustible consumido por la maquina impulsora,
cuyo gasto (𝑔𝑟
𝑠𝑒𝑔⁄ ) es proporcional al cuadrado de la fuerza 𝑓 𝑡 ejercida sobre la
masa. Suponer que la resistencia (𝛽, cte de frotamiento) es proporcional a la velocidad.
Encontrar la expresión de la 𝑣 𝑡 .
Solución se debe aplicar la Ecuación de Newton
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 ∶ 𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡+ 𝛽𝑣 = 𝑓 𝑡
𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 =𝑑𝑀
𝑑𝑡= 𝑘𝑓2 𝑡
𝑀 = ∫𝑑𝑀 = ∫ 𝑘𝑓2 𝑡 𝑇
0
𝑑𝑡
Donde (M masa de combustible) La funcional queda
𝑀 𝑣 = ∫ 𝑘 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 2𝑇
0
𝑑𝑡
Podemos usar la ecuación (3) de Euler, sin embargo como no está el factor √1 + 𝑦′ 2 la
ecuación de Euler (1) es más conveniente. En este caso el funcional depende de 𝐹 𝑣, 𝑣′, 𝑡
𝐹 𝑣, 𝑣′, 𝑡 = 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 2
𝜕𝐹
𝜕𝑣= 2𝛽 𝑚�̇� + 𝛽𝑣
𝜕𝐹
𝜕𝑣′= 2𝑚 𝑚�̇� + 𝛽𝑣
𝑑
𝑑𝑡(𝜕𝐹
𝜕𝑣′) = 2𝑚 𝑚�̈� + 𝛽�̇�
Reemplazando en la E.E.
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2 𝑚�̇� + 𝛽𝑣 𝛽 − 2 𝑚�̈� + 𝛽�̇� 𝑚 = 0
𝑚2�̈� − 𝛽2𝑣 = 0
Se debe resolver la E.D.O. homogénea
𝑚2�̈� − 𝛽2𝑣 = 0
Sabiendo que las condiciones iniciales son
𝑣 0 = 0𝑣 𝑇 = 𝑣𝑓
Resolviendo la ecuación característica asociada a la E.D.O. como tiene raíces reales y