)ESENVOLVIMENTO i TECNOLOGIA CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONT~NUA Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo. Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in- versão da matriz de flexibilidade ou de ri- gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação. A aplicação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes- mo inconveniente, pois normalmente são I 2 n-i n , < A0 AI A2 '. An-2 An-1 An Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2. FIG. 2 iterativos. Neste trabalho é apresentado um pro- ... .. . cedimento de cálculo. que, tirando provei- t o do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artificio algébrico simples. Para um dado vão, digamos i, define-se Para evidenciar essa vantagem ssoapre- as seguintes grandezas: sentadas uma rotina para aplicação detal ar- tiffcio e uma listagem do programa para a a) Fator de forma de la espécie (a) I 2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em Seja uma viga contínua, como a da fi- uma extremidade da viga, no sentido dessa gura 1, sujeita a um carregamento externo. carga. '.iilitar de CiBncia e Tecnoloqia, Rio de Janeiro. 2 111: 83-88, janlrnar 1985 83 )ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA 1. INTRODUçAO Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo. Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in- versão da matriz de flexibilidade ou de ri- gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação. A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes- mo inconveniente, pois normalmente são iterativos. Neste trabalho é apresentado um pro- cedimento de cálculo, que, tirando provei- to do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples. Para evidenciar essa vantagem são apre- sentadas uma rotina para aplicação de tal ar- tif(cio e uma I istagem do programa para a HP41. 2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA Seja uma viga cont(nua, como a da fi- gura 1, sujeita a um carregamento externo . Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza FIG.1 2 n- I n U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln I L j' L lo J , 1 L"J, Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2. FIG . 2 X. XI x, XII.I x"., -----+--(" , ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A) x. Co. Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas: a) Fator de forma de I'! espécie (o,) Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga. ".hl itar de Cienci<J e T eclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83 )ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA 1. INTRODUçAO Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo. Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in- versão da matriz de flexibilidade ou de ri- gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação. A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes- mo inconveniente, pois normalmente são iterativos. Neste trabalho é apresentado um pro- cedimento de cálculo, que, tirando provei- to do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples. Para evidenciar essa vantagem são apre- sentadas uma rotina para aplicação de tal ar- tif(cio e uma I istagem do programa para a HP41. 2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA Seja uma viga cont(nua, como a da fi- gura 1, sujeita a um carregamento externo . Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza FIG.1 2 n- I n U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln I L j' L lo J , 1 L"J, Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2. FIG . 2 X. XI x, XII.I x"., -----+--(" , ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A) x. Co. Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas: a) Fator de forma de I'! espécie (o,) Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga. ".hl itar de Cienci<J e T eclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83
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)ESENVOLVIMENTO i TECNOLOGIA
CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONT~NUA
Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza
Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.
Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in- versão da matriz de flexibilidade ou de ri- gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.
A aplicação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes- mo inconveniente, pois normalmente são
I 2 n - i n , <
A0 A I A2 '. A n - 2 An-1 An
Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.
FIG. 2
iterativos. Neste trabalho é apresentado um pro- ... .. .
cedimento de cálculo. que, tirando provei- t o do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artificio algébrico simples. Para um dado vão, digamos i, define-se
Para evidenciar essa vantagem ssoapre- as seguintes grandezas: sentadas uma rotina para aplicação detal ar- tiffcio e uma listagem do programa para a
a) Fator de forma de l a espécie (a) I 2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA Como sendo a rotação produzida por
uma carga momento unitário, aplicada em Seja uma viga contínua, como a da fi- uma extremidade da viga, no sentido dessa
gura 1, sujeita a um carregamento externo. carga.
'.iilitar d e CiBncia e Tecnoloqia, Rio de Janeiro. 2 111: 83-88, janlrnar 1985 83
)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA
CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA
1. INTRODUçAO
Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.
Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na inversão da matriz de flexibilidade ou de rigidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.
A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mesmo inconveniente, pois normalmente são iterativos .
Neste trabalho é apresentado um procedimento de cálculo, que, tirando proveito do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples.
Para evidenciar essa vantagem são apresentadas uma rotina para aplicação de tal artif(cio e uma I istagem do programa para a HP41.
2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA
Seja uma viga cont(nua, como a da figura 1, sujeita a um carregamento externo.
Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza
FIG.1
2 n- I n ~A----~A -, --~-A~S~I~A~~--~A~-A~ U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln
I L j' Llo J , 1 L"J,
Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.
FIG . 2
X. XI x, XII. I x"., ~rt) -----+--(" , ~.rl-) ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A)
x.
Co.
Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas:
a) Fator de forma de I'! espécie (o,)
Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga.
".hl itar de Cienci<J e Teclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83
)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA
CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA
1. INTRODUçAO
Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.
Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na inversão da matriz de flexibilidade ou de rigidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.
A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mesmo inconveniente, pois normalmente são iterativos .
Neste trabalho é apresentado um procedimento de cálculo, que, tirando proveito do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples.
Para evidenciar essa vantagem são apresentadas uma rotina para aplicação de tal artif(cio e uma I istagem do programa para a HP41.
2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA
Seja uma viga cont(nua, como a da figura 1, sujeita a um carregamento externo.
Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza
FIG.1
2 n- I n ~A----~A -, --~-A~S~I~A~~--~A~-A~ U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln
I L j' Llo J , 1 L"J,
Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.
FIG . 2
X. XI x, XII. I x"., ~rt) -----+--(" , ~.rl-) ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A)
x.
Co.
Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas:
a) Fator de forma de I'! espécie (o,)
Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga.
".hl itar de Cienci<J e Teclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
FIG. 3
Para Ji constante, então: ai,, i = - Li - "i = -
3EJi
b) Fator de forma de 2a espécie (0)
Como sendo a rotação produzida em umaextremidadedaviga, em face da aplica- ção de uma carga momento unitário, na ou- tra extremidade da viga:
FIG. 4
Para Ji constante, então: = = p. = "i
I - *
C) Fatores de carga
Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carre- gamento externo:
FIG. 5
I Para os casos comuns, teremos:
84
FIG. 6
Para o cálculo dos fatores de carga, no caso de várias cargas aplicadas, evidente- mente vale o princípio da superposição de efeitos.
Assim, aplicando o método hiperestá- tico, podemos escrever:
FIG. 7
Portanto:
p i . Xi_, +(ai + x i+P i+1 . Xi+, que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.
Aplicando essa equacão em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitase (n-1 ) equações da forma:
A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
84
FIG.3
15. - I
M ' I Ji, Li ~
Para Ji constante, então: 0<,,; 0<,,; 0<; = -..1L .
3EJi
b) Fator de forma de 2'! espécie (/3)
Como sendo a rotação produzida em uma extremidade da viga, em face da aplicação de uma carga momento unitário, na ou tra extremidade da viga:
FIG . 4
o J' L' M .. 1 t'1 .1 " I Sp
- ---16~ 2
Para Ji constante, então: ", . = /32 : P ,I ,I
/3i 0<;
2
c) Fatores de carga
Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carregamento externo:
FIG.5
P, p.
I I Q
! ! J I I I I I I
'~ ~' $I,, ! ---- - - ------ -- - ~1. 1
Para os casos comuns, teremos:
FIG.6
~p 6 1-~,; ,7j; -----?62
>'1 .1 ~ --éx,,''cP -- (Li·XI (2U·X)
6LiEJi
P' ,I ~ -c'x""-cP -- !Li ·Xl ILi ~ Xl
6LiEJ,
Para o cálcu lo dos fatores de carga, no caso de várias cargas apl icadas, evidentemente vale o principio da superposição de efeitos.
Assim, aplicando o método hiperestático, podemos escrever:
FIG.7
Xi. ) Xi
ItA~, .~~+ 1~xb,. 2 "" , I . 1
'I"'i = - 'I"'i+' . .. . .... .. ..... (1)
Portanto:
/3i . X i_, +(O<j + O<i +,)' Xi +/3i+, . X i+,
que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.
Aplicando essa equação em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitas e (n-l) equações da forma:
A, .Xo+B , .X, +C, ,X2 o, A, . X I + B2 . X 2 + C2 . X 3 O2
A n-,·Xn-2+Bn-,· Xn- ,+ Cn-,·Xn=Dn- ,
A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
84
FIG.3
15. - I
M ' I Ji, Li ~
Para Ji constante, então: 0<,,; 0<,,; 0<; = -..1L .
3EJi
b) Fator de forma de 2'! espécie (/3)
Como sendo a rotação produzida em uma extremidade da viga, em face da aplicação de uma carga momento unitário, na ou tra extremidade da viga:
FIG . 4
o J' L' M .. 1 t'1 .1 " I Sp
- ---16~ 2
Para Ji constante, então: ", . = /32 : P ,I ,I
/3i 0<;
2
c) Fatores de carga
Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carregamento externo:
FIG.5
P, p.
I I Q
! ! J I I I I I I
'~ ~' $I,, ! ---- - - ------ -- - ~1. 1
Para os casos comuns, teremos:
FIG.6
~p 6 1-~,; ,7j; -----?62
>'1 .1 ~ --éx,,''cP -- (Li·XI (2U·X)
6LiEJi
P' ,I ~ -c'x""-cP -- !Li ·Xl ILi ~ Xl
6LiEJ,
Para o cálcu lo dos fatores de carga, no caso de várias cargas apl icadas, evidentemente vale o principio da superposição de efeitos.
Assim, aplicando o método hiperestático, podemos escrever:
FIG.7
Xi. ) Xi
ItA~, .~~+ 1~xb,. 2 "" , I . 1
'I"'i = - 'I"'i+' . .. . .... .. ..... (1)
Portanto:
/3i . X i_, +(O<j + O<i +,)' Xi +/3i+, . X i+,
que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.
Aplicando essa equação em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitas e (n-l) equações da forma:
A, .Xo+B , .X, +C, ,X2 o, A, . X I + B2 . X 2 + C2 . X 3 O2
A n-,·Xn-2+Bn-,· Xn- ,+ Cn-,·Xn=Dn- ,
A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso
)ESENVOLVIMENTO ( TECNOLOGIA
de apoio do 2? gênero, são:
X,, = o
Xn = o .
Xo = O - - - - - - - - - - B 1 X 1 + C 1 X 2 = D1
DeA,X! + B,X, +C2X3 = D2, substituindo, vem:
A2K,-TlX2A~+B2X2+C2X3 = D2
A2 Kl + (B2-TIA2) X2+ C2X3 = D2
Para o caso de engaste na extremidade pode-se fazer:
FIG. 8 I
L , = O 1 ; 2 3 A A A n f
Portanto: V2,1 = O e pela fórmula ( I ) então
V,,,= 0, que é condição de engaste perfeito desejado.
3. EXEMPLO NUMERICO
Seja a estrutura representada na figura 9
FIG. 9
ou
x2 = K ~ - T ; x ~
ou seja, da forma geral:
com
10KN ZOKN Irn 2m
(11) As grandezas definidas anteriormente,
calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:
tomando-se Ko = O e To = o.
Para Xn = O então de (I I ) vem:
- -Xn.l , - K,., , e os demais hiperestáti- cos sao facilmente determinados pela fórmu- la ( 1 1 ) .
)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA
de apoio do 20 gênero, são:
Xo = o
Xn = o
Xo O----- - ----B1Xl+C1X2 Dl
, _ D, C, "X, - - -- ,X 2 0uX,= K,-T,X2
B, B,
De A2X, + B2X2 + C2X3 = D" substituindo, vem:
A2K,-T,X2A,+B2X,+C2X3 = D,
A2K,+(B2 - T,A2)X2+C2X3 = D2
:, X2 = D2 -A 2 K,
B2 - A 2 T,
ou
X2 K2 - T;X 3
ou seja, da forma geral:
com
D, -A K'_l K, = ) ) ) ) e
B, -A T, 1 ) ) J-
C2
B2 -A2 T,
(li)
C. T,= )
) B, -A T'l ) ) J-
tomando-se Ko = O e To = o,
Para Xn = O então de (11) vem: ,
Xn _l = Kn_l' e os demais hiperestáticos são facilmente determinados pela fórmula (11).
Para o caso de engaste na ex trem idade pode-se fazer:
FIG,8
t [o,
LI =0 1 ; 2 6 2S IS
L, = O => «, = O e {3, = O;
Portanto:
2S
3 IS
<(>2" = O e pela fórmula (I) então <{>" 2 = O, que é condição de engaste perfeito desejado,
3, EXEMPLO NUMERICO
Seja a ,estrutura representada na figura 9
FIG,9
I 10 KN/m 20 KN/m 10 KNlm
As grandezas definidas anteriormente, calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:
VÃO 1 2 3
ai 2,222 2,222 2,667
{3i 1 ,111 1,111 1,333
I' 1, i - 617,21 213,33
1'2, i 416,67 630,55 -
65
)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA
de apoio do 20 gênero, são:
Xo = o
Xn = o
Xo O----- - ----B1Xl+C1X2 Dl
, _ D, C, "X, - - -- ,X 2 0uX,= K,-T,X2
B, B,
De A2X, + B2X2 + C2X3 = D" substituindo, vem:
A2K,-T,X2A,+B2X,+C2X3 = D,
A2K,+(B2 - T,A2)X2+C2X3 = D2
:, X2 = D2 -A 2 K,
B2 - A 2 T,
ou
X2 K2 - T;X 3
ou seja, da forma geral:
com
D, -A K'_l K, = ) ) ) ) e
B, -A T, 1 ) ) J-
C2
B2 -A2 T,
(li)
C. T,= )
) B, -A T'l ) ) J-
tomando-se Ko = O e To = o,
Para Xn = O então de (11) vem: ,
Xn _l = Kn_l' e os demais hiperestáticos são facilmente determinados pela fórmula (11).
Para o caso de engaste na ex trem idade pode-se fazer:
FIG,8
t [o,
LI =0 1 ; 2 6 2S IS
L, = O => «, = O e {3, = O;
Portanto:
2S
3 IS
<(>2" = O e pela fórmula (I) então <{>" 2 = O, que é condição de engaste perfeito desejado,
3, EXEMPLO NUMERICO
Seja a ,estrutura representada na figura 9
FIG,9
I 10 KN/m 20 KN/m 10 KNlm
As grandezas definidas anteriormente, calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:
VÃO 1 2 3
ai 2,222 2,222 2,667
{3i 1 ,111 1,111 1,333
I' 1, i - 617,21 213,33
1'2, i 416,67 630,55 -
65
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
As equações são:
Então:
4. FLUXO PARA PROGRAMAÇAO Convenções adotadas:
O fluxo aoresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar cal- Cargas - - - - - - - - - - 4 4 4 positivo culadoras pequenas, com o uso mínimo de memória; para computadores maiores esse Momentos no Balanço - - - - fh positivo fluxo merece algumas modificações. Hiperestático fn'f Negativo (FLETOR)
\ ,
O - - - - - - - - - - n ã o tem balanço
5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2 ) 1 - - - - - - - - - - tem balanço
A calculadora deve ter pelo menos 3 0 registros na área de memória (SIZE 030).
O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com II = O, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
86
As equações são :
1,111 Xo+ 4,444 Xl + 1,111 Xl = - 1033,88
1,111 Xl + 4,889 X2 + 1,333 X3 = - 843,88
Dl 1033,88 - 232,63 Kl - - =
Bl 4,444
Cl 1 ,111 = 0,250 Tl =--
Bl 4,444
K2 D2 - A2 Kl
B2-A2Tl
C2 T2 = ---
B2 -A2 Tl
Então:
- 843,88 - 1,111 (- 232,63)
4,889 - 1,111 .0,250
= ___ 1'--,3_33 ____ = 0,289 4,889 - 1.111 .0,250
X2 = K2 - T2.X3=>X2 = -126,96KNxm
- 126,96
X l = Kl - T1X2 = -232,63-0,250. (- ·126,96) -200,89KNxm
4. F LUXO PARA PROGRAMAÇAO
O fluxo apresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar ca lculadoras pequenas, com o uso m (nimo de memória; para computadores maiores esse fluxo merece algumas modificações.
5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2)
A ca lculadora deve ter pelo menos 30 registros na área de memória (SIZE 030).
O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com Q = 0, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.
Convenções adotadas:
Cargas - - - - - - - - - - t t t positivo
Momentos no Balanço - - - - ----fzs:- positivo
Hiperestático M Negativo (FLETOR) ° ----------não tem balanço
1 - - - - - - - - - - tem balanço
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
86
As equações são :
1,111 Xo+ 4,444 Xl + 1,111 Xl = - 1033,88
1,111 Xl + 4,889 X2 + 1,333 X3 = - 843,88
Dl 1033,88 - 232,63 Kl - - =
Bl 4,444
Cl 1 ,111 = 0,250 Tl =--
Bl 4,444
K2 D2 - A2 Kl
B2-A2Tl
C2 T2 = ---
B2 -A2 Tl
Então:
- 843,88 - 1,111 (- 232,63)
4,889 - 1,111 .0,250
= ___ 1'--,3_33 ____ = 0,289 4,889 - 1.111 .0,250
X2 = K2 - T2.X3=>X2 = -126,96KNxm
- 126,96
X l = Kl - T1X2 = -232,63-0,250. (- ·126,96) -200,89KNxm
4. F LUXO PARA PROGRAMAÇAO
O fluxo apresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar ca lculadoras pequenas, com o uso m (nimo de memória; para computadores maiores esse fluxo merece algumas modificações.
5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2)
A ca lculadora deve ter pelo menos 30 registros na área de memória (SIZE 030).
O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com Q = 0, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.
Convenções adotadas:
Cargas - - - - - - - - - - t t t positivo
Momentos no Balanço - - - - ----fzs:- positivo
Hiperestático M Negativo (FLETOR) ° ----------não tem balanço
1 - - - - - - - - - - tem balanço
DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
6. EXEMPLO DE UTILIZAÇAO - DO PROGRAMA
Será resolvida a viga do exemplo apre- sentado anteriormente.
TECLA VISOR ENTRADA
XEQ "VIGA" R /S R /S R iS R /S RIS R /S R /S R /S RIS R /S R /S R /S R /S R /S RIS R /S R /S R /S R /S RIS RIS
N? 3 BALANÇO? 1 ,'vAo 1'' L = ? 1 o
Jc = ? 1.5 a = ? 20 P = ? o
M B A L 1 = ? 125 ,,vAo 2" L = ? 10
Jc = ? 1.5 Q = ? 20 P = ? 1 o X = ? 1 P = ? 20 X = ? 8 P = ? o
"VÃO 3" L = 7 8 Jc = ? 1 Q = ? 1 o P = ? o
MBAL 2 = 7 O X1 = - 200,886 X2 = - 126,958
BIBLIOGRAFIA
. BELLUZZI, O.: "Ciencia de Ia construccion" - Editora Aguilar - Madri - Vol 1 . 1970.
DARKOV A,, ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.
. FREITAS NETO J. A,: "Processo da equação dos tr& momentos". Universidade Federal do Paraná. 1976.
I f bbl.*iãhinedi XL --.*,o X, * l"di"$,liO X., - U1.6%,,bD 6 A T I - "ti SAT* - P2.i X X 2 = *i ""2 - 08 X X I - a i , r s i - 8 ' - ' UBIL, - L < ~ n ~ ~ ~ ~ * n . . . l a *
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CURRICULUM VITAE
- Cap QEM Luiz Dutra de Souza
' rxr Oficial da Avma de Engenharia da AMAN, turma de 1973. Engenheiro de .. , , Fortificacão e Constru~ãa do Instituto
Militar de Engenharia em 1980. Atual- mente 6 Professor no Instituto Militar de Engenharia, r s cadeira de Concreto Ar- mado, e aluno do curso de rnertrado em estruturas na Pantificia universidade Ca- tólica do Rio de Janeiro.
DESE NVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
6. EXEMPLO DE UTI LlZAÇAO DO PROGRAMA
Será resolvida a v iga do exemplo apre· sentado anteriormente.
TECLA VISOR ENTRADA
XEQ "V IGA " N? 3 RIS BALANÇOI 1 RIS "VÃO 1" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q I 20 RIS P ? O RIS MBAL 1 ? 125 RIS " VÃO 2" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q ? 20 RIS P ? 10 RIS X ? 1 RIS P ? 20 RIS X I 8 RIS P I O RIS "VÃO 3" L ? 8 RIS Jc I 1 RIS Q ? 10 RIS P I O RIS MBAL 2 I O RIS Xl = - 200,886 RIS X2 = - 126,958
BIBLIOGRAFIA
SE LLUZZI, 0 ,: "Ciencia de la construccion" -Editora Aguilar - Madri - Voll . 1970.
DARKOV A. , ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.
FREITAS NETO J. A.: "Processo da equação dos três momentos", Universidade Federal do Paraná. 1976 .
ANEX:-:=:O==' =:-l PIlOOIIAv.A VIGA
~AT7 • fATJ. UBAl . '1''1'1
I -1;'.do • • cJ.>.50dor,nt>do Xl -. C_p.do . lo XI -,f>#" ..... '.h XO - Co,~ d. ••• t.. fd.! rAT I • 1'\1 FATl • ,,1. 1 XXl • "I YYl • ~I ),,(1 • QII VV I • IH .'
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1,19 ... .. 1 • 'OO"' .... ""'.,. ••• I.~ XKIII • K •• )t, XHII • n
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CURRICULUM VITAE
Cap QEM Luiz Dutra de Souza
Oficial da Arma de Engenharia da AMAN. turma de 1973, Engenhei ro de Fortificação e Construção do Instituto Militar de Engenharia em 1980. Atua lmente é Professor no Instituto Militar de Engenharia, na cadeira de Concreto Armado, e aluno do curso de mestrado em estruturas na Pontifícia Universidade Ca· tólica do Rio de Janeiro .
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DESE NVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
6. EXEMPLO DE UTI LlZAÇAO DO PROGRAMA
Será resolvida a v iga do exemplo apre· sentado anteriormente.
TECLA VISOR ENTRADA
XEQ "V IGA " N? 3 RIS BALANÇOI 1 RIS "VÃO 1" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q I 20 RIS P ? O RIS MBAL 1 ? 125 RIS " VÃO 2" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q ? 20 RIS P ? 10 RIS X ? 1 RIS P ? 20 RIS X I 8 RIS P I O RIS "VÃO 3" L ? 8 RIS Jc I 1 RIS Q ? 10 RIS P I O RIS MBAL 2 I O RIS Xl = - 200,886 RIS X2 = - 126,958
BIBLIOGRAFIA
SE LLUZZI, 0 ,: "Ciencia de la construccion" -Editora Aguilar - Madri - Voll . 1970.
DARKOV A. , ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.
FREITAS NETO J. A.: "Processo da equação dos três momentos", Universidade Federal do Paraná. 1976 .
ANEX:-:=:O==' =:-l PIlOOIIAv.A VIGA
~AT7 • fATJ. UBAl . '1''1'1
I -1;'.do • • cJ.>.50dor,nt>do Xl -. C_p.do . lo XI -,f>#" ..... '.h XO - Co,~ d. ••• t.. fd.! rAT I • 1'\1 FATl • ,,1. 1 XXl • "I YYl • ~I ),,(1 • QII VV I • IH .'
}--_"oc',,-o(, _ ,
l.!aAl1 • ....... .... lO wic;_ •.••• ~ ..... ""'" dobol><'ço t .. ,.. .. 41
1,19 ... .. 1 • 'OO"' .... ""'.,. ••• I.~ XKIII • K •• )t, XHII • n
'-_-''''00°,< ' - ,
CURRICULUM VITAE
Cap QEM Luiz Dutra de Souza
Oficial da Arma de Engenharia da AMAN. turma de 1973, Engenhei ro de Fortificação e Construção do Instituto Militar de Engenharia em 1980. Atua lmente é Professor no Instituto Militar de Engenharia, na cadeira de Concreto Armado, e aluno do curso de mestrado em estruturas na Pontifícia Universidade Ca· tólica do Rio de Janeiro .
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DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA
ANEXO 2
1 'LBL VIGA" 46 PROMPT 6 2 CLRG 47 ISG 459 @ 3 S F @ 1 48 GTO@3 6 4 "N = ?" 49 ' L B L A $ 5 PROMPT 6 6 S T 0 2 6
5 @ STO 4 9 51 G T O 6 3
4 7 ,IIALANÇO?,, 52 * L B L ' @ ~ 4 8 PROMPT 53 F I X @ ($9 X = @ ? 54 "VAO" 1 s F @ @ 55 ARCL 21 11 ~ f h ? 56 AVIEW 12 C F @ & 57 STO 23 13 .9 58 @ 14 ST0 6 9 59 STO 24 15 M.9 6@ STO25
17 * L B L @ @ 18 ISG 21 19 BEEP 2 4 XEQ@4 21 FS?@l 22 GTO $4 23 ISG 69 24 + ~ s i @ i 25 RCL I N D 4 9 26 RCLIND 19 27 28 1
3 i X<>Y 32 ST - INO $9 33 RCL@9 34 1 3 5 X < = Y ? 36 G T O @ l 37 .3 38 ST + 4 9 39 'LBLh3 4@ F I X ~ ' 41 "X" 42 ARCL@9 43 "k = "
44 F I X 3 45 ARCL IND@9
61 " L = ? " 62 PROMPT 63 STO 22 64 X = 67
69 PROMPT 76 STO 23 7 i I 72 24 73 I 74 =
75 PROMPT 76 77 STO 24 78 STO 25 79 * L B L @ 6 86 "P = ?" s i PROMPT 82 X = @ ? 83 GTO h 7 - -
84 "X = ?" 85 PROMPT 86 STO 26 87 " 88 RCL22 89 I 9 @ 6
91 1 92 RCL23 93 1 94 RCL22 95 RCL 26 96 - 97 * 98 STO 27 99 2 i@@ RCL22 161 1@2 RCL 26 143 - 1@4 1 5 5 S T + 24 146 RCL22 107 RCL26 148 + 149 RCL 27 li@ * 111 ST+ 25 112 G T 0 @ 6 113 * L B L @ 7 114 RCL 22 115 3 116 1 117 RCL 23 118 I 119 STO26 126 2 121 I 122 STO 27 123 1 124 RCL21 125 X # Y ?