PROBLEMAS: 1.-Calcular los esfuerzos a profundidades de 5, 10, 20 y 30 metros bajo la carga de la zapata mostrada en la figura, suponiendo: a) Carga concentrada de 40 toneladas. b) Carga uniforme de 10 ton/m³. Graficar los resultados obtenidos bajo el centro del área cargada. Solución: a) Carga concentrada de 40 ton Boussinesuq σ z = 3 p 2 πz 2 [ 1 1 + ( r z ) ² ] 5 2 Para 5 m σ z = 3 ( 40 ) 2 π ( 5) 2 [ 1 1 + ( 0 5 ) ² ] 5 2 = 0.764 ton m 2 = 764 kg m 2 Para 10 m σ z = 3 (40 ) 2 π ( 10 ) 2 [ 1 1 + ( 0 10 ) ² ] 5 2 = 0.191 ton m 2 = 191 kg m 2 Para 20 m
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PROBLEMAS:
1.-Calcular los esfuerzos a profundidades de 5, 10, 20 y 30 metros bajo la carga de la zapata mostrada en la figura, suponiendo:
a) Carga concentrada de 40 toneladas.b) Carga uniforme de 10 ton/m³.Graficar los resultados obtenidos bajo el centro del área cargada.
Solución:
a) Carga concentrada de 40 ton
Boussinesuq
σ z= 3 p
2π z2 [ 1
1+( rz ) ² ]52
Para 5 m
σ z= 3 (40)2π (5)2 [ 1
1+( 05 ) ² ]52
= 0.764 ton
m2 = 764
kg
m2
Para 10 m
σ z= 3 (40)2π (10)2 [ 1
1+( 010 ) ² ]52
= 0.191 ton
m2 = 191
kg
m2
Para 20 m
σ z= 3(40)2π (20)2 [ 1
1+( 020 ) ² ]52
= 0.048 ton
m2 = 48
kg
m2
Para 30 m
σ z= 3 (40)2π (5)2 [ 1
1+( 05 ) ² ]52
= 0.0212 ton
m2 = 21.2
kg
m2
Gráfica de los esfuerzos a diferentes profundidades
Por Westergaard
σ z =
Q
π z2[1+2( rz )² ]32
A 5 m
σ z =
Q
π z2[1+2( rz )² ]32 =
40
π (5)2[1+2( 05 )² ]32 = 0.509
ton
m2 = 509
kg
m2
A 10 m
σ z =
40
π (10)2[1+2( 010 ) ² ]32 = 0.127
ton
m2 = 127
kg
m2
A 20 m
σ z =
40
π (20)2[1+2( 020 )² ]32 = 0.031
ton
m2 = 31
kg
m2
A 30 m
σ z =
40
π (30)2[1+2( 030 ) ² ]32 = 0.014
ton
m2 = 14
kg
m2
Gráfica de los esfuerzos a diferentes profundidades
Por tablas
σ z =p
z2 * po
rz = 05 por lo tanto para todas las profundidades po = 0.4775
A 5 m
σ z =40
52 * 0.4775 = 0.764
ton
m2 = 764
kg
m2
Para 10 m
σ z= 40
102 * 0.4775 = 0.191
ton
m2 = 191
kg
m2
Para 20 m
σ z= 40
202 * 0.4775 = 0.048
ton
m2 = 48
kg
m2
Para 30 m
σ z= 40
302 * 0.4775 = 0.0212
ton
m2 = 21.2
kg
m2
Gráfica de los esfuerzos a diferentes profundidades
b) Carga uniforme de 10 ton/m³.
W ¿PA
= 4010
= 10 ton/m³
Gráfica de los esfuerzos a diferentes profundidades
σ z = w∗wo
z x y m n wo w σ z4σ z
(t/m²)4σ z
(kg/ m²)5 1 1 0.2 0.2 0.018 10 0.18 0.72 72010 1 1 0.1 0.1 0.006 10 0.06 0.24 24020 1 1 0.05 0.05 0.002 10 0.02 0.08 8030 1 1 0.033 0.033 0.001 10 0.01 0.04 40
2.- Calcular los esfuerzos a un profundidad de 3 metros y a 2.4 metros del centro de la zapata cuadra de 3 metros de lado y que transmite una presión de 1.5 kg/cm².
a) Usando la ecuación de Westergaard.
La ecuación de Westergaard es para cargas concentrada, se tiene que convertir la carga distribuida a carga concentrada.
P = w * A = 15 ton/m² * 9 m² = 135 ton
σ z =
Q
π z2[1+2( rz )² ]32
Z = 3 m r = 2.4 m
σ z =
Q
π z2[1+2( rz )² ]32 =
135
π (2.4)2[1+2( 2.43.0 ) ²]32 = 1.387 ton/ m²
3.- Para los puntos mostrados en la figura, calcular las presiones transmitidas a las profundidades de 10,20 y 30 m, empleando:
a) Empleando la gráfica de fadum.b) Utilizando la Carta de Newmark.c) Aplicando la teoría de Westergaard para el punto 3.
Empleando la gráfica de fadum. Calcular el esfuerzo en el punto 1 a 10, 20 y 30 m.
Se hacer tres divisiones del terreno tenemos.
División l
z x y m n wo w σ z10 10 10 1 1 0.177 10 1.7720 10 10 0.5 0.5 0.084 10 0.8430 10 10 0.333 0.333 0.042 10 0.42
División ll
z x y m n wo w σ z10 30 20 3 2 0.239 10 2.3920 30 20 1.5 1 0.195 10 1.9530 30 20 1.000 0.67 0.148 10 1.48
División lll
z x y m n wo w σ z10 30 10 3 1 0.204 10 2.0420 30 10 1.5 0.5 0.128 10 1.2830 30 10 1.000 0.33 0.086 10 0.86
Esfuerzo real en el punto 1 a 10, 20 y 30 m.
σ z = σ zl+ σ zll - σ zlll σ z10 =1.77 +2.39 -2.04 = 2.12 ton/m²
σ z20 =0.84 +1.95 -1.28 = 1.51 ton/m²σ z30 =0.42 +1.48 -0.86 = 1.04 ton/m²
Utilizando la Carta de Newmark.
AB = 4 cm ----- z = 10 m
Wo = 90.5 (0.005) = 0.452 σ z10 = 0.452 (10) = 4.52 ton/m²
AB = 4 cm ----- z = 20 m
Wo = 29 (0.005) = 0.145 σ z10 = 0.145 (10) = 1.45 ton/m²
AB = 4 cm ----- z = 30 m
Wo = 15 (0.005) = 0.075σ z10 = 0.075 (10) = 0.75 ton/m²
4.- si la excavación para un edificio rectangular de 60 x 40 se hace a una profundidad de 6 m y el material excavado es arena húmeda, cuyo peso
volumétrico es ωm = 1.8 ton/m³. ¿Cuál será la presión vertical reducida al remover el peso de la arena, en un punto a 20 m debajo de la superficie original del terreno, en los puntos 1,2 y 3?. Aplique la teoría de Boussinesq para el cálculo del esfuerzo vertical.
Solución:
W = 1.8 ( 6) = 10.8 ton
m2
Para el punto 1
z x y m n wo w σ z 4 σ z20 20 30 1 1.5 0.191 10.8 2.0628 8.2512
Para el punto 2z x y m n wo w σ z 2σ z
20 40 30 2 1.5 0.221 10.8 2.3868 4.7736
Para el punto 3z x y m n wo w σ z
20 40 60 2 3 0.238 10.8 2.5704
5- Un edificio de 5 pisos va a ser cimentado una losa corrida de 10 x 20 m de planta. Hallar los esfuerzos verticales en el centro (punto A) y en un extremo medio (punto B) a 4 y 8 metros de profundidad. Para los fines prácticos, considérese la presión de contacto entre losa y suelo de 6 ton/m².
Calculo de esfuerzos en el punto A
z x y m n wo w σ z 4σ z4 10 5 2.5 1.25 0.215 6 1.29 5.168 10 5 1.25 0.625 0.151 6 0.906 3.624
Calculo de esfuerzos en el punto B
z x y m n wo w σ z 24 20 5 5 1.25 0.216 6 1.296 2.5928 20 5 2.5 0.625 0.161 6 0.966 1.932
6.- En la figura se presenta el terraplén de una carretera. Encontrar el esfuerzo vertical en el centro del terraplén y en uno de los extremos, a profundidades de 10, 20 y 30 metros. Dibuje las gráficas de presión-profundidad.
Solución:
W = 1.8 (6) = ton/m²
σ z = Ip
z a c a/z c/z I p σ z 2σ z10 1.5 5 0.15 0.5 0.308 3.6 1.1088 2.217620 1.5 5 0.075 0.25 0.175 3.6 0.63 1.2630 1.5 5 0.050 0.167 0.12 3.6 0.432 0.864
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