1 Cap. 1 - Alguns Modelos Matemáticos; Campos direcionais A queda de um objeto Primeiramente queremos achar uma equação diferencial de um objeto caindo na superfície da terra próximo ao nível do mar. De acordo com a lei de Newton temos ma F onde dt dv a Logo dt dv m F Considerando a força de arrasto (ou força de resistência do ar) temos v mg F F F arrasto g Onde = coeficiente de arrasto (depende do material) Temos, então, que a equação diferencial que descreve a queda de um corpo sobre a superfície da terra é dada por v mg dt dv m Para achar a solução dessa equação devemos achar uma função que satisfaça t v v Fazendo, por exemplo, kg m 10 2 / 2 s kgm Temos v dt dv 2 98 10 5 8 , 9 v dt dv
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Cap. 1 - Alguns Modelos Matemáticos; Campos direcionais
A queda de um objeto
Primeiramente queremos achar uma equação diferencial de um objeto caindo na
superfície da terra próximo ao nível do mar. De acordo com a lei de Newton temos
maF
onde
dt
dva
Logo
dt
dvmF
Considerando a força de arrasto (ou força de resistência do ar) temos
vmgFFF arrastog
Onde
= coeficiente de arrasto (depende do material)
Temos, então, que a equação diferencial que descreve a queda de um corpo
sobre a superfície da terra é dada por
vmgdt
dvm
Para achar a solução dessa equação devemos achar uma função que satisfaça
tvv
Fazendo, por exemplo,
kgm 10
2/2 skgm
Temos
vdt
dv29810
5
8,9v
dt
dv
Cálculo IV – Equações Diferenciais 2
A equação diferencial acima é chamada campo de direção ou algumas vezes
campo de encosta.
Solução de Equilíbrio
Para achar a solução de equilíbrio da equação diferencial fazemos
0dt
dv
E a partir disso achamos o valor de v para o qual a velocidade de queda do
objeto não varia, ou seja, a velocidade torna-se constante
58,90
v
8,95
v
smv /49
Então, quando a velocidade do objeto atinge a velocidade de smv /49 o
equilíbrio é atingido e a velocidade é constante.
Da mesma forma, podemos fazer
vmg 0
vmg
mgv
Onde
mgv
representa a solução de equilíbrio.
Campos Direcionais
Campos direcionais são equações diferenciais da forma
ytfdt
dy,
Onde f é uma função de duas variáveis. Esse tipo de equação também é chamado
de campo de taxa.
Campos dos ratos e corujas
Considere uma população de ratos em uma fazenda onde tp
expressa a
população de ratos e onde o crescimento da população é dado por
rpdt
dp
Cálculo IV – Equações Diferenciais 3
Onde r é chamado constante de taxa ou crescimento de taxa.
Por exemplo, suponha que o crescimento da população seja dado por 0,5/mês.
Então, cada termo terá unidade ratos/mês.
Agora, suponhamos que várias corujas vivam nas vizinhanças dessa fazenda e
que uma coruja mata 15 ratos por dia. Para incorporar esta informação a equação
diferencial devemos fazer
mrpdt
dp
Onde m é a taxa de mortalidade, ou seja, a taxa com a qual uma coruja mata os ratos.
3015/5,0 xratospmêsratosdt
dp
ratospmêsratosdt
dp450/5,0
Ou, simplificado
4505,0 pdt
dp
Para encontrarmos o valor de equilíbrio, fazemos
4505,00 p
4505,0 p
900p
Ou, de forma literal, temos
mrp 0
mrp
r
mp
Construindo Modelos Matemáticos
1 – Identificar as variáveis dependente e independente e atribuir letras para
representá-las. A variável independente é frequentemente o tempo.
2 – Escolher as unidades de medidas para cada variável. O sentido da escolha
das unidades é arbitrário, mas algumas escolhas são muito mais convenientes que
outras.
3 – Articular o princípio básico subjacente que baseia ou governa o problema
que você está investigando.
4 – Expressar o princípio ou lei no passo 3 em termos das variáveis que você
escolheu no passo 1.
Cálculo IV – Equações Diferenciais 4
5 – Tenha certeza que cada termo na sua equação tem a mesma unidade. Se não
for o caso, então sua equação está errada e você deverá procurar para consertá-la.
6 – Nos problemas considerados aqui o resultado do passo 4 é uma única
equação diferencial, que constitui o modelo matemático desejado.
Cálculo IV – Equações Diferenciais 5
Soluções de algumas equações diferenciais
vmgdt
dvm mrp
dt
dp
Ambas as equações diferenciais acima são da forma
baydt
dy
Onde a e b são constantes.
Considere a equação
4505,0 pdt
dp
2
900
p
dt
dp
900p
2
1
900
/
p
dtdp
A equação acima pode ser vista mais facilmente da forma
dtdpp 2
1
900
1
E integrando ambos os lados temos
dtdpp 2
1
900
1
Ctp
2
1900ln
Ctep 2/900
Ct eep 2/900
Ct eep 2/900
Onde podemos chamar fazer
Cec 2/900 Tcep
Para uma condição inicial de
8500 p
Temos
c 900850
50c
2/50900 tep
Agora, vamos fazer o mesmo procedimento para um caso geral
Cálculo IV – Equações Diferenciais 6
baydt
dy
a
bya
dt
dy
00 yy
a
aby
dtdy
/
/
adtdyaby /
1
Cataby /ln
Cateeaby /
Solução Geral
atceaby /
A representação geométrica da solução geral é uma família infinta de curvas, chamada
integral de curvas.
Fazendo 00 yy
Temos
caby /0 abyc /0 ateabyaby // 0
Agora analisando o caso do crecimento populacional de ratos, temos:
rtermprmy // 0
Para um objeto caindo na superfície da terra, temos:
ttemgvmgv // 0
Suponha que tenhamos a equação diferencial
58,9
v
dt
dv
E desejamos saber o quão rápido o objeto se move ao atingir o solo, quando este é
liberado de uma altura de 300 m, e quanto tempo dura essa queda.