Calcolo Differenziale - Dipartimento di Matematica e ...paolo.baiti/corsi/AA2010-11/Radio... · Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc...A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33

Calcolo Differenziale

Esempio introduttivo

Velocità istantanea

Definizione di derivata

Interpretazione geometrica

Derivate delle funzioni elementari

Operazioni con le derivate

Derivate di ordine superiore

Crescita delle funzioni derivabili

Funzioni concave e convesse

Problemi di massimo e minimo

Studio di funzioni



Percorriamo il tratto di strada tra Udine eTrieste

Udine Trieste

75km











Studio di funzioni




Udine Trieste

75km

Tempo impiegato: 1h











Studio di funzioni




Udine Trieste

75km

Tempo impiegato: 1h

velocità media=spazio percorsotempo impiegato

= 75 km/h











Studio di funzioni




Udine Trieste

75km

Tempo impiegato: 1h

velocità media=spazio percorsotempo impiegato

= 75 km/h

Questo non vuol dire che abbiamo avuto unavelocità costante!











Studio di funzioni


Dividendo il tratto di strada in due parti

30km45km

Udine Trieste











Studio di funzioni



30km45km

Udine Trieste

Tempo impiegato primo tratto:0.7hTempo impiegato secondo tratto:0.3h











Studio di funzioni



30km45km

Udine Trieste


velocità media primo tratto= 64.28 km/hvelocità media secondo tratto= 100 km/h











Studio di funzioni



30km45km

Udine Trieste


velocità media primo tratto= 64.28 km/hvelocità media secondo tratto= 100 km/h

Si può dividere la strada in intervalli semprepiù piccoli su cui calcolare la velocità media











Studio di funzioni


s(t) = la distanza percorsa al tempot











Studio di funzioni



La velocità media nell’intervallo di tempo[t0, t0 + h] è

s(t0 + h)− s(t0)

h











Studio di funzioni




s(t0 + h)− s(t0)

h

Piùh è vicino a0, più è precisa l’informazionesull’andamento della velocità.











Studio di funzioni




s(t0 + h)− s(t0)

h

Piùh è vicino a0, più è precisa l’informazionesull’andamento della velocità. Il limite

limh→0

s(t0 + h)− s(t0)

h

rappresenta lavelocità istantanea al tempot0



Derivabilità e derivata








Studio di funzioni













Studio di funzioni



Siaf :]a, b[→ R una funzione ex0 ∈]a, b[

f èderivabile nel puntox0 se esiste finito

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

detto derivata dif nel puntox0, indicatousualmente con uno dei simboli

f ′(x0)df

dx(x0) Df(x0)











Studio di funzioni



Siaf :]a, b[→ R una funzione ex0 ∈]a, b[

f èderivabile nel puntox0 se esiste finito

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

hrapporto

incrementale

detto derivata dif nel puntox0, indicatousualmente con uno dei simboli

f ′(x0)df

dx(x0) Df(x0)











Studio di funzioni


Si dice chef è derivabile in un sottoinsie-meA del suo dominio se è derivabile in ognipunto diA











Studio di funzioni


Si dice chef è derivabile in un sottoinsie-meA del suo dominio se è derivabile in ognipunto diA

Operando il cambiamento di variabilex = x0 + h si ottiene

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

che è un altro modo di definire la derivata




Retta tangente

Significato geometrico







Studio di funzioni


Retta tangenteSiaf :]a, b[→ R ex0 ∈]a, b[

x0

P0

f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni



Tracciamo la retta secan-

te passante per i punti di

ascissax0 ex0 + h

x0

P0

f(x0)

x0 + h

Phf(x0 + h)

Equazione della secante: y = (x− x0)f(x0 + h)− f(x0)

h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni





ascissax0 ex0 + h

Facciamo tendereh a zero,

quindix0 + h tenderà ax0

x0

P0

f(x0)

x0 + h

Phf(x0 + h)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni





ascissax0 ex0 + h



Corrispondentemente il

punto Ph tenderà a P0

lungo la curva x0

P0

f(x0)

x0 + h

Phf(x0 + h)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni





ascissax0 ex0 + h





lungo la curva x0

P0

f(x0)

x0 + h

Phf(x0 + h)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni





ascissax0 ex0 + h





lungo la curva x0

P0

f(x0)

x0 + h

Phf(x0 + h)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni



Perh → 0, la retta secante

tende alla

retta tangente al grafico

nel punto(

x0, f(x0))

x0

P0

f(x0)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni




tende alla


nel punto(

x0, f(x0))

Sef è derivabile inx0, pas-

sando al limiteh → 0 nel-

l’equazione della retta se-

cante si trova l’equazione

della retta tangentex0

P0

f(x0)


h+ f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni




tende alla


nel punto(

x0, f(x0))






P0

f(x0)


h+ f(x0)

y = (x− x0)f′(x0) + f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni




tende alla


nel punto(

x0, f(x0))






P0

f(x0)


h+ f(x0)

Equazione della tangente inP0: y = (x− x0)f′(x0) + f(x0)




Retta tangente








Studio di funzioni



Dall’equazione

y = (x− x0)f′(x0) + f(x0)

si ottiene l’interpretazione geometrica della derivata:

La derivata della funzionef nel puntox0 è il coefficiente angolare della ret-ta tangente al grafico della funzione nelpunto(x0, f(x0))





Tabella di derivate






Studio di funzioni


Derivate delle funzionielementari


Tabella di derivateFunzione Derivata

costante 0

xα αxα−1

senx cosx

cos x − sen x

tg x1

cos2 x= 1 + tg2 x

arcsenx1√

1− x2

arccosx − 1√1− x2

arctg x1

1 + x2

Funzione Derivata

ax ax log a

logax

1

x log a

senh x cosh x

cosh x senh x

tghx1

cosh2 x

setsenh x1√

1 + x2

setcoshx1√

x2 − 1

settghx1

1− x2










Studio di funzioni












Studio di funzioni


Operazioni con le derivateSe f e g sono derivabili in un puntox allora sonoderivabili in x ancheαf , f + g, fg e f/g (purchég(x) 6= 0), e valgono

(αf)′(x) = αf ′(x)

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(

f

g

)

′

(x) =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)seg(x) 6= 0










Studio di funzioni


Operazioni con le derivateSe f e g sono derivabili in un puntox allora sonoderivabili in x ancheαf , f + g, fg e f/g (purchég(x) 6= 0), e valgono

(αf)′(x) = αf ′(x)

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

(

f

g

)

′

(x) =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x)seg(x) 6= 0

Seg è derivabile inx edf è derivabile ing(x) allorala funzione compostaf ◦ g è derivabile inx e vale

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)







Derivata n-esima




Studio di funzioni









Derivata n-esima




Studio di funzioni


Derivata n-esima

Sef : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,allora si può considerare lafunzione derivata

f ′ : ]a, b[ → R

x 7→ f ′(x)







Derivata n-esima




Studio di funzioni


Derivata n-esima


f ′ : ]a, b[ → R

x 7→ f ′(x)

Sef ′ è derivabile inx0 ∈ ]a, b[ diremo che lasua derivata(f ′)′(x0) è laderivata secondadif nel puntox0, denotata con uno dei simboli

f ′′(x0)d2f

dx2(x0) D2f(x0)







Derivata n-esima




Studio di funzioni


Derivata n-esima


f ′ : ]a, b[ → R

x 7→ f ′(x)

Sef ′ è derivabile inx0 ∈ ]a, b[ diremo che lasua derivata(f ′)′(x0) è laderivata secondadif nel puntox0, denotata con uno dei simboli

f ′′(x0)d2f

dx2(x0) D2f(x0)

Procedendo oltre, potremo parlare di derivataterza e così via. Useremo il simbolof (n) oDnf per denotare laderivatan-esima








Monotonia delle funzioni derivabili

Criterio di monotonia



Studio di funzioni


Andamento di crescita dellefunzioni derivabili












Studio di funzioni



Consideriamo il gra-fico di una funzionecrescente e derivabile.

x

f(x)












Studio di funzioni



Consideriamo il gra-fico di una funzionecrescente e derivabile.Ogni retta tangenteal grafico “punta ver-so l’alto”

x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni



Consideriamo il gra-fico di una funzionecrescente e derivabile.Ogni retta tangenteal grafico “punta ver-so l’alto”, ovvero haun coefficiente ango-lare positivo.

x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni



Analogamente accadeper le funzioni de-crescenti e derivabi-li.

x

f(x)












Studio di funzioni



Analogamente accadeper le funzioni de-crescenti e derivabi-li. Ogni retta tangen-te al grafico “puntaverso il basso”, ovve-ro ha un coefficienteangolare negativo.

x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)












Studio di funzioni




x

f(x)

x0

f(x0)

Poiché la pendenza della tangente al grafico dif nel punto(x0, f(x0)) è data daf ′(x0), ci sipuò aspettare che il segno della derivata primasia legato all’andamento di monotonia dellafunzione.












Studio di funzioni


Criterio di monotoniaTeorema (criterio di monotonia). Siaf una funzionederivabile in]a, b[. Allora

f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è crescente in]a, b[

f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è decrescente in]a, b[












Studio di funzioni





Riguardo la monotonia in senso stretto:

f ′(x) > 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è strettamentecrescente in ]a,b[

f ′(x) < 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è strettamentedecrescente in ]a,b[












Studio di funzioni





Riguardo la monotonia in senso stretto:

f ′(x) > 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è strettamentecrescente in ]a,b[

f ′(x) < 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è strettamentedecrescente in ]a,b[

Non vale il viceversa (ad esempiof(x) = x3)









Curvatura del grafico

Funzioni convesse e concave

Convessità e derivata seconda


Studio di funzioni















Studio di funzioni



Talvolta è utile conoscere non solo dove lafunzione cresce/decresce ma anche come lo fa.













Studio di funzioni



Talvolta è utile conoscere non solo dove lafunzione cresce/decresce ma anche come lo fa.Ad esempio le tre funzioni

x

f(x)

f(x) = x

x

g(x)

g(x) = x2

x

h(x)

h(x) =√x













Studio di funzioni




x

f(x)

f(x) = x

x

g(x)

g(x) = x2

x

h(x)

h(x) =√x

sono tutte crescenti in[0,+∞[, ma i grafici si“curvano” in maniera differente:













Studio di funzioni




x

f(x)

f(x) = x

x

g(x)

g(x) = x2

x

h(x)

h(x) =√x

sono tutte crescenti in[0,+∞[, ma i grafici si“curvano” in maniera differente:■ il grafico dif è un retta













Studio di funzioni




x

f(x)

f(x) = x

x

g(x)

g(x) = x2

x

h(x)

h(x) =√x

sono tutte crescenti in[0,+∞[, ma i grafici si“curvano” in maniera differente:■ il grafico dif è un retta■ il grafico dig “si curva verso l’alto”













Studio di funzioni




x

f(x)

f(x) = x

x

g(x)

g(x) = x2

x

h(x)

h(x) =√x

sono tutte crescenti in[0,+∞[, ma i grafici si“curvano” in maniera differente:■ il grafico dif è un retta■ il grafico dig “si curva verso l’alto”■ il grafico dih “si curva verso il basso”













Studio di funzioni



Si può dire che una funzioneè convessase il grafico si flet-te verso l’alto, assumendo unaforma del tipo













Studio di funzioni




Più precisamente, dataf: ]a, b[→ R













Studio di funzioni




x y


f si diceconvessa in]a, b[, se, comunque pre-si due punti del grafico dif , il segmento cheli congiunge sta sopra il grafico













Studio di funzioni




x y


f si diceconvessa in]a, b[, se, comunque pre-si due punti del grafico dif , il segmento cheli congiunge sta sopra il grafico, cioè se

f(

λx+ (1− λ)y)

≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

per ognix, y ∈]a, b[ e per ogniλ ∈ [0, 1]













Studio di funzioni




x y



f(

λx+ (1− λ)y)

≤ λf(x) + (1− λ)f(y)














Studio di funzioni




x y



f(

λx+ (1− λ)y)

≤ λf(x) + (1− λ)f(y)














Studio di funzioni


Analogamente, una funzione èconcavase il grafico si fletteverso il basso, assumendo unaforma del tipo













Studio di funzioni
















Studio di funzioni



x y


f si diceconcava in]a, b[, se, comunque presidue punti del grafico dif , il segmento che licongiunge sta sotto il grafico













Studio di funzioni



x y


f si diceconcava in]a, b[, se, comunque presidue punti del grafico dif , il segmento che licongiunge sta sotto il grafico, cioè se

f(

λx+ (1− λ)y)

≥ λf(x) + (1− λ)f(y)














Studio di funzioni



x y



f(

λx+ (1− λ)y)

≥ λf(x) + (1− λ)f(y)














Studio di funzioni



x y



f(

λx+ (1− λ)y)

≥ λf(x) + (1− λ)f(y)














Studio di funzioni



Il seguente teorema caratterizza la convessitàdi una funzione derivabile due volte:













Studio di funzioni



Il seguente teorema caratterizza la convessitàdi una funzione derivabile due volte:

Teorema. Sia f : ]a, b[→ R una funzione derivabiledue volte in]a, b[. Allora

f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è convessa in]a, b[

f ′′(x) ≤ 0 ∀x ∈]a, b[ =⇒ f è concava in]a, b[










Punti di massimo e minimo

Massimo e minimo

Teorema di Weierstrass

Massimi e minimi relativi

Punti critici o stazionari

Criterio della derivata seconda

Ricerca dei massimi e minimi

Studio di funzioni


Problemi di massimo eminimo











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : A → R, x0 ∈ A











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x0 ∈ A si dicepunto di massimo dif se

f(x0) ≥ f(x) per ognix ∈ A

cioè sef(x0) è il più grande valore chefassume











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x0 ∈ A si dicepunto di massimo dif se

f(x0) ≥ f(x) per ognix ∈ A

cioè sef(x0) è il più grande valore chefassume

x0 ∈ A si dicepunto di minimo dif se

f(x0) ≤ f(x) per ognix ∈ A

cioè sef(x0) è il più piccolo valore chefassume











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo

I valori assunti nei punti di massimo e minimosono rispettivamente ilmassimoeminimo dif











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo


x0 punto di massimo=⇒ f(x0) = maxx∈A

f(x)











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo



f(x)

x1 punto di minimo =⇒ f(x1) = minx∈A

f(x)











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo



f(x)


f(x)

x

y











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo



f(x)


f(x)

x

y

x0

max f











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimo e minimo



f(x)


f(x)

x

y

x0

max f

x1

min f











Massimo e minimo






Studio di funzioni



In generale massimo e minimo di una funzionenon esistono











Massimo e minimo






Studio di funzioni



In generale massimo e minimo di una funzionenon esistono, ma per le funzioni continue valeil seguente teorema:











Massimo e minimo






Studio di funzioni




Teorema (di Weierstrass)Sef è una funzione definita su un intervallochiuso e limitato[a, b] ed è ivi continua alloraesistono il massimo e il minimo dif in [a, b]











Massimo e minimo






Studio di funzioni





Problema:Come trovare il massimo e ilminimo dif (nel caso in cui esistono)?











Massimo e minimo






Studio di funzioni





Problema:Come trovare il massimo e ilminimo dif (nel caso in cui esistono)?E i punti di massimo e minimo?











Massimo e minimo






Studio di funzioni


Massimi e minimi relativiData f : A → R diremo chex0 ∈ A è punto dimassimo locale(o relativo) per f sef(x0) è il valoremassimo dif(x) per glix “vicini” a x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Diremo chex0 ∈ A èpunto di minimo locale(o relati-vo) perf sef(x0) è il valore minimo dif(x) per glix“vicini” a x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y

x2

x2 è punto di massimo relativo











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y

x2 x3

anchex3 è punto di massimo relativo











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y

x0

max f

x2 x3

purex0 è punto di massimo relativo











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y

x4

x4 è punto di minimo relativo











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

y

x1

min f

x4

purex1 è punto di minimo relativo











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : [a, b] → R derivabile.

x

f(x)











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : [a, b] → R derivabile.Se x0 è punto di massimorelativo interno ad [a, b]

x

f(x)

x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : [a, b] → R derivabile.Se x0 è punto di massimorelativo interno ad [a, b], larelativa tangente è orizzonta-le x

f(x)

x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : [a, b] → R derivabile.Se x0 è punto di massimorelativo interno ad [a, b], larelativa tangente è orizzonta-le, quindi la derivata primaè nulla

x

f(x)

x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Analogamente sex0 è puntodi minimo relativo interno ad[a, b]

x

f(x)

x0











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

f(x)

x0

Teorema (dei punti critici).Siaf : [a, b] → R e siax0 un punto di massi-mo o di minimo locale. Sex0 ∈]a, b[ e sef èderivabile inx0 alloraf ′(x0) = 0











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

f(x)

x0


Non vale il viceversa del teorema (ad esempiof(x) = x3, conx0 = 0)











Massimo e minimo






Studio di funzioni




x

f(x)

x0


I punti x0 per cui f ′(x0) = 0 si diconopunti critici di f











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Il seguente criterio permette di identificare imassimi e minimi relativi tra i punti critici,grazie alla derivata seconda:

Criterio della derivata seconda.Sia f : ]a, b[→ R derivabile due volte, ex0 unpunto critico dif , cioèf ′(x0) = 0. Allora

f ′(x0) = 0

f ′′(x0) > 0=⇒ x0 è pt. di minimo locale

f ′(x0) = 0

f ′′(x0) < 0=⇒ x0 è pt. di massimo locale











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : A → R una funzione che ammettemassimo e minimo.











Massimo e minimo






Studio di funzioni



Siaf : A → R una funzione che ammettemassimo e minimo. Allora i punti di massimoe minimo vanno ricercati tra:











Massimo e minimo






Studio di funzioni




■ gli eventuali punti in cuif non è derivabile











Massimo e minimo






Studio di funzioni




■ gli eventuali punti in cuif non è derivabile■ gli estremi diA











Massimo e minimo






Studio di funzioni




■ gli eventuali punti in cuif non è derivabile■ gli estremi diA■ i punti critici di f











Massimo e minimo






Studio di funzioni




■ gli eventuali punti in cuif non è derivabile■ gli estremi diA■ i punti critici di f

a x 2x 3x x 4

y

xb1

a pt. di massimo

x1 pt. di min. relativo

(senza tangente)

x2, x4 pt. di max. relativo con

tangente orizzontale

x3 pt. di minimo con

tangente orizzontale

b pt. di min. relativo










Studio di funzioni

Schema


Studio di funzioni










Studio di funzioni

Schema


Schema

■ determinare il dominio D della funzionef










Studio di funzioni

Schema


Schema

■ determinare il dominio D della funzionef■ studio della continuità della funzione inD










Studio di funzioni

Schema


Schema

■ determinare il dominio D della funzionef■ studio della continuità della funzione inD■ studio del segno dif , in particolare dovef

interseca l’asse delle ascisse










Studio di funzioni

Schema


Schema


interseca l’asse delle ascisse■ studio dei limiti della funzione agli estremi

di D e negli eventuali punti di discontinuità










Studio di funzioni

Schema


Schema



di D e negli eventuali punti di discontinuità■ studio della derivata; per determinare gli

intervalli di crescenza/decrescenza dif edeventuali punti di massimo/minimo relativo










Studio di funzioni

Schema


Schema





■ studio della derivata seconda; per deter. gliintervalli di convessità/concavità










Studio di funzioni

Schema


Schema





■ studio della derivata seconda; per deter. gliintervalli di convessità/concavità

■ disegno di un grafico qualitativocheraccolga e sintetizzi gli elementi determinati

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