Calcolo di velocità angolari ed energie - UniTrentosiboni/Maple/Laboratorio 5/Energie cinetiche.pdf · Calcolo di velocità angolari ed energie cinetiche di corpi rigidi. > restart:

Calcolo di velocità angolari ed energie cinetiche di corpi rigidi.

> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

(1) Disco circolare omogeneo che rotola con possibilità di strisciamento su una retta orizzontaleIl disco ha centro C, raggio R e massa m e rotola sulla retta orizzontale Ox di una terna di riferimento Oxyz.Le coordinate utilizzate per descrivere il sistema sono l'ascissa s del centro C e l'angolo phi che il raggio CP fissato sul disco e la verticale condotta da C verso il basso (fissata rispetto alla terna assoluta Oxyz).

Momento d'inerzia del disco rispetto all'asse Cz:> ICz:= int( int( rho^2 *

m/(Pi*R^2) * rho ,rho=0..R) ,th=0..2*Pi);

:= ICz12

m R2

Velocità angolare del disco:> omega:=map(diff,[0,0,phi(t)],t)

;

Page 1

:= ω

, ,0 0 ∂

∂t

( )φ t

Coordinate del baricentro:> C:= [s(t),R,0];

:= C [ ], ,( )s t R 0Velocità del baricentro:> vC:=map(diff,C,t);

:= vC

, ,∂

∂t

( )s t 0 0

Energia cinetica per mezzo del teorema di Koenig:> T:= 1/2*m*innerprod(vC,vC)

+1/2*ICz*innerprod(omega,omega);

:= T + 12

m

∂

∂t

( )s t2 1

4m R2

∂

∂t

( )φ t2

(2) Disco circolare omogeneo che rotola senza strisciare su una retta orizzontaleLo stesso problema precedente con la condizione di puro rotolamento.

Diversamente dal caso precedente, i parametri phi e s non sono indipendenti. La condizione di rotolamento senza strisciamento impone infatti che il punto di contatto Q fra disco e retta orizzontale abbia velocità nulla:

Page 2

> Q:= [s(t),0,0]; := Q [ ], ,( )s t 0 0

> rotola:= evalm( vC + crossprod(omega,Q-C) );

:= rotola

, , +

∂

∂t

( )s t

∂

∂t

( )φ t R 0 0

Condizione del puro rotolamento e suo impiego:> term1 := solve( rotola[1]=0 ,

diff(phi(t),t) );

:= term1 −∂∂t

( )s t

REnergia cinetica del disco in moto di puro rotolamento:> T_puro_rotolamento :=

subs(diff(phi(t),t)=term1, T);

:= T_puro_rotolamento34

m

∂

∂t

( )s t2

(3) Disco circolare che rotola senza strisciare sull'interno di una circonferenza fissaCalcolo della velocità angolare istantanea in termini dell'angolo al centro theta.> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

Page 3

Coordinate del centro C del disco:> C:= [(R-r)*sin(theta(t)),

-(R-r)*cos(theta(t)), 0]; := C [ ], ,( ) − R r ( )sin ( )θ t −( ) − R r ( )cos ( )θ t 0

Coordinate del punto P di contatto fra disco e guida circolare fissa:> P:= [R*sin(theta(t)),

-R*cos(theta(t)), 0]; := P [ ], ,R ( )sin ( )θ t −R ( )cos ( )θ t 0

Velocità del punto P di contatto fra disco e guida circolare fissa:> vC := map(diff,C,t);

vC ( ) − R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t , :=

( ) − R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t 0,

Forma della velocità angolare istantanea (il moto è piano, la sola componente eventualmente non nulla di omega è quella ortogonale a Oxy):> omega:= w*[0,0,1];

:= ω w [ ], ,0 0 1

Velocità del punto P del disco nella posizione di contatto con la guida circolare (si usa il teorema di Poisson):> vP:= evalm( vC

+crossprod(omega,(P-C)) );

Page 4

vP ( ) − R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( ) − ( ) − R r ( )cos ( )θ t R ( )cos ( )θ t − ,

( ) − R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t

w ( )− + ( ) − R r ( )sin ( )θ t R ( )sin ( )θ t + 0,

Equazioni scalari ottenute ponendo a zero la velocità del punto precedente (condizione di puro rotolamento del disco sulla guida fissa):> equa1:= vP[1]=0;

equa1 ( ) − R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( ) − ( ) − R r ( )cos ( )θ t R ( )cos ( )θ t − 0 = > equa2:= vP[2]=0;

equa2 ( ) − R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( )− + ( ) − R r ( )sin ( )θ t R ( )sin ( )θ t + 0 = Le soluzioni in w delle due equazioni coincidono:> w1:= solve(equa1,w);

Page 5

:= w1

∂

∂t

( )θ t ( )− + R r

r> w2:= solve(equa2,w);

:= w2

∂

∂t

( )θ t ( )− + R r

rVelocità angolare istantanea del disco (notare il segno negativo!):> omega:= subs(w=w1,omega);

:= ω

∂

∂t

( )θ t ( )− + R r [ ], ,0 0 1

r> omega:= evalm(%);

:= ω

, ,0 0

∂

∂t

( )θ t ( )− + R r

r

(4) Disco circolare che rotola senza strisciare sull'esterno di una circonferenza fissaCalcolo della velocità angolare istantanea in termini dell'angolo al centro theta.> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

Page 6

Coordinate del centro C del disco:> C:= [(R+r)*sin(theta(t)),

-(R+r)*cos(theta(t)), 0]; := C [ ], ,( ) + R r ( )sin ( )θ t −( ) + R r ( )cos ( )θ t 0

Coordinate del punto P di contatto fra disco e guida circolare fissa:> P:= [R*sin(theta(t)),

-R*cos(theta(t)), 0]; := P [ ], ,R ( )sin ( )θ t −R ( )cos ( )θ t 0

Velocità del punto P di contatto fra disco e guida circolare fissa:> vC := map(diff,C,t);

vC ( ) + R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t , :=

( ) + R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t 0,

Forma della velocità angolare istantanea (il moto è piano, la sola componente eventualmente non nulla di omega è quella ortogonale a Oxy):> omega:= w*[0,0,1];

:= ω w [ ], ,0 0 1

Velocità del punto P del disco nella posizione di contatto con la guida circolare (si usa il teorema di Poisson):> vP:= evalm( vC

+crossprod(omega,(P-C)) );

Page 7

vP ( ) + R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( ) − ( ) + R r ( )cos ( )θ t R ( )cos ( )θ t − ,

( ) + R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t

w ( )− + ( ) + R r ( )sin ( )θ t R ( )sin ( )θ t + 0,

Equazioni scalari ottenute ponendo a zero la velocità del punto precedente (condizione di puro rotolamento del disco sulla guida fissa):> equa1:= vP[1]=0;

equa1 ( ) + R r ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( ) − ( ) + R r ( )cos ( )θ t R ( )cos ( )θ t − 0 = > equa2:= vP[2]=0;

equa2 ( ) + R r ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t :=

w ( )− + ( ) + R r ( )sin ( )θ t R ( )sin ( )θ t + 0 = Le soluzioni in w delle due equazioni coincidono:> w1:= solve(equa1,w);

Page 8

:= w1

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

r> w2:= solve(equa2,w);

:= w2

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

rVelocità angolare istantanea del disco (notare il segno positivo, rispetto all'espressione del caso precedente):> omega:= evalm(

subs(w=w1,omega) );

:= ω

, ,0 0

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

r> evalm(omega);

, ,0 0

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

r

(5) Disco circolare rigido che rotola senza strisciare sull'esterno(interno) di circonferenza in grado di ruotare attorno ad un asse ad essa ortogonale e passante per un suo punto Q .

Page 9

Si vuole determinare la velocità angolare istantanea del disco circolare.E' sufficiente applicare il teorema di composizione delle velocità angolari, notando che la velocità angolare di trascinamento di una terna solidale alla guida circolare rispetto alla terna fissa vale:> omega1 :=

map(diff,[0,0,phi(t)],t);

:= ω1

, ,0 0 ∂

∂t

( )φ t

e che la velocità angolare del disco rispetto alla terna fissa è la somma di omega1 con la velocità angolare del disco rispetto alla terna solidale alla guida, la stessa calcolata nell'esempio (5):> omega_totale:= array(1..3);

:= omega_totale ( )array , .. 1 3 [ ]> omega_totale:= evalm( omega1 +

omega );omega_totale :=

, ,0 0 +

∂

∂t

( )φ t

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

r> omega_totale[3];

Page 10

+

∂

∂t

( )φ t

∂

∂t

( )θ t ( ) + R r

r

(6) Asta rigida non omogenea vincolata a manetere i propri estremi A e B sugli assi Oy ed Ox di una terna fissa.

> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for traceDensità dell'asta:> lambda:= m*xi/L^2*(1-xi/L);

:= λm ξ

− 1

ξL

L2

Coordinate degli estremi A e B dell'asta:> A:= [0,L*cos(theta(t)),0];

B:= [L*sin(theta(t)),0,0]; := A [ ], ,0 L ( )cos ( )θ t 0 := B [ ], ,L ( )sin ( )θ t 0 0

Calcolo dell'energia cinetica mediante l'uso diretto della definizione

Coordinate del generico punto P dell'asta:> P:= evalm( A +xi/L*(B-A) );

Page 11

:= P [ ], ,ξ ( )sin ( )θ t − L ( )cos ( )θ t ξ ( )cos ( )θ t 0Velocità del punto P:> vP:= map(diff,P,t);

vP ξ ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t , :=

− + L ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t ξ ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t 0,

Energia cinetica dell'asta:> T:= simplify( 1/2*int(

innerprod(vP,vP)*lambda , xi=0..L) );

:= T140

∂

∂t

( )θ t2

m L2

Calcolo dell'energia cinetica con il metodo standard

Massa del sistema:> M:= int( lambda , xi=0..L);

:= M16

m

Baricentro del sistema:> G1:= 1/M * int( lambda*P[1] ,

xi=0..L);

Page 12

:= G112

L ( )sin ( )θ t

> G2:= 1/M * int( lambda*P[2] , xi=0..L);

:= G212

L ( )cos ( )θ t

> G3:= 1/M * int( lambda*P[3] , xi=0..L);

:= G3 0> G:= [G1,G2,G3];

:= G

, ,

12

L ( )sin ( )θ t12

L ( )cos ( )θ t 0

Ascissa ''curvilinea'' del baricentro G:> assume(L>0,theta(t), real);> xi_G:= simplify( norm(G-A,2) );

:= xi_G12

L~

Momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrale Gz:> I_Gz:= int( lambda*(xi-xi_G)^2

, xi=0..L);

:= I_Gz1

120m L~2

Velocità angolare dell'asta:> omega:=

map(diff,[0,0,theta(t)],t);

Page 13

:= ω

, ,0 0 ∂

∂t~

( )θ t~

Velocità del baricentro G:> vG:= map(diff,G,t);

vG12

L~ ( )cos ( )θ t~

∂

∂t~

( )θ t~ , :=

−12

L~ ( )sin ( )θ t~

∂

∂t~

( )θ t~ 0,

Energia cinetica calcolata usando il teorema di Koenig:(1) energia cinetica ''del baricentro''> T_G:= M/2*innerprod(vG,vG);

T_G112

m14

L~2 ( )cos ( )θ t~ 2

∂

∂t~

( )θ t~2

:=

14

L~2 ( )sin ( )θ t~ 2

∂

∂t~

( )θ t~2

+

(2) energia cinetica del moto ''attorno al baricentro'' (ossia relativo ad una terna baricentrale. Si tratta di un moto con asse fisso Gz):> TA:=

1/2*I_Gz*innerprod(omega,omega);

:= TA1

240m L~2

∂

∂t~

( )θ t~2

totale:Page 14

> T_totale:= simplify( T_G +TA );

:= T_totale140

m L~2

∂

∂t~

( )θ t~2

Il risultato coincide con quello già ottenuto direttamente.

(7) Rettangolo omogeneo in moto nel piano Oxy, con due vertici (appartenenti allo stesso lato) vincolati a scorrere sugli assi coordinati Ox e Oy. La terna Oxy ruota con velocità angolare costante w[0,0,1] rispetto ad una terna fissa. Si vogliono calcolare velocità angolare ed energia cinetica rispetto alla terna fissa.> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

Coordinate dei vertici vincolati rispetto alla terna Oxyz:> A:=[0,L*cos(theta(t)),0];

B:=[L*sin(theta(t)),0,0]; := A [ ], ,0 L ( )cos ( )θ t 0 := B [ ], ,L ( )sin ( )θ t 0 0

Vettore posizione del vertice C rispetto al vertice B:> BC:=

Page 15

[H*cos(theta(t)),H*sin(theta(t)),0];

:= BC [ ], ,H ( )cos ( )θ t H ( )sin ( )θ t 0Vertice C:> C:= B + BC;

:= C [ ], , + H ( )cos ( )θ t L ( )sin ( )θ t H ( )sin ( )θ t 0

Coordinate del baricentro rispetto alla terna Oxyz (centro del rettangolo omogeneo):> G := (A+C)/2;

G + 12

H ( )cos ( )θ t12

L ( )sin ( )θ t , :=

+ 12

H ( )sin ( )θ t12

L ( )cos ( )θ t 0,

Per determinare le coordinate del baricentro rispetto alla terna fissa occorre considerare la matrice ortogonale che descrive la rotazione di Oxyz attorno all'asse Oy,che cioè fornisce le coordinate rispetto alla terna fissa note che siano quelle rispetto alla terna Oxyz. La matrice di rotazione è la seguente:

> R:=matrix(3,3,[cos(w*t),0,-sin(w*t), 0,1,0, sin(w*t),0,cos(w*t)]);

Page 16

:= R

( )cos w t 0 − ( )sin w t0 1 0( )sin w t 0 ( )cos w t

Coordinate del baricentro rispetto alla terna fissa:> G_f:=multiply(R,G);

G_f :=

( )cos w t

+

12

H ( )cos ( )θ t12

L ( )sin ( )θ t ,

+ 12

H ( )sin ( )θ t12

L ( )cos ( )θ t ,

( )sin w t

+

12

H ( )cos ( )θ t12

L ( )sin ( )θ t

Velocità del baricentro rispetto alla terna fissa:> vG:= map(diff,G_f,t);

vG :=

( )sin w t w

+

12

H ( )cos ( )θ t12

L ( )sin ( )θ t− +

( )cos w t12

H ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t−

12

L ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t + ,

Page 17

12

H ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t

12

L ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t − ,

( )cos w t w

+

12

H ( )cos ( )θ t12

L ( )sin ( )θ t +

( )sin w t12

H ( )sin ( )θ t

∂

∂t

( )θ t−

12

L ( )cos ( )θ t

∂

∂t

( )θ t +

Energia cinetica ''del baricentro'':> assume(theta(t), real, H>0,

L>0);> TG:= simplify(

M/2*innerprod(vG,vG) );

TG18

M H~2

∂

∂t~

( )θ t~2

:=

18

M w2 H~2 ( )cos ( )θ t~ 2 +

18

M w2 L~2 ( )cos ( )θ t~ 2 −

18

M L~2

∂

∂t~

( )θ t~2 1

2 + −

Page 18

M H~ ( )cos ( )θ t~

∂

∂t~

( )θ t~2

L~ ( )sin ( )θ t~

14

M w2 H~ ( )cos ( )θ t~ L~ ( )sin ( )θ t~ +

18

M w2 L~2 +

Moto attorno al baricentroE' determinato rispetto alla terna baricentrale ottenuta dalla terna fissa per traslazione in G dell'origine. Si tratta di un moto rigido con punto fisso in G.

Matrice d'inerzia rispetto alla terna solidale Ox'y'z':> LG:= array(1..3,1..3);

:= LG ( )array , , .. 1 3 .. 1 3 [ ]> LG[1,1]:= int(int(

eta^2*M/(L*H) ,xi=-L/2..L/2) ,eta=-H/2..H/2);

:= LG ,1 1112

M H~2

> LG[2,2]:= int(int( xi^2*M/(L*H) ,xi=-L/2..L/2) ,eta=-H/2..H/2);

:= LG ,2 2112

M L~2

Page 19

> LG[3,3]:= int(int( (xi^2+eta^2)*M/(L*H) ,xi=-L/2..L/2) ,eta=-H/2..H/2);

:= LG ,3 3 + 112

M L~2 112

M H~2

> LG[1,2]:= -int(int( xi*eta*M/(L*H) ,xi=-L/2..L/2) ,eta=-H/2..H/2);

:= LG ,1 2 0> LG[2,1]:= LG[1,2]; LG[1,3]:=0;

LG[2,3]:=0; LG[3,1]:=0; LG[3,2]:=0;

:= LG ,2 1 0 := LG ,1 3 0 := LG ,2 3 0 := LG ,3 1 0 := LG ,3 2 0

> evalm(LG);

112

M H~2 0 0

0112

M L~2 0

0 0 + 112

M L~2 112

M H~2

Page 20

Componenti della velocità angolare relativa alla terna fissa, calcolate rispetto alla terna solidale Ox'y'z':> omega_p := [

-sin(Pi/2-theta(t))*w , cos(Pi/2-theta(t))*w , diff(theta(t),t) ];

omega_p :=

, ,− ( )cos ( )θ t~ w ( )sin ( )θ t~ w ∂

∂t~

( )θ t~

Energia cinetica del moto attorno al baricentro:> TR:=

1/2*multiply(transpose(omega_p),LG,omega_p);

TR124

M w2 H~2 ( )cos ( )θ t~ 2 :=

124

( )sin ( )θ t~ 2 w2 M L~2 +

12

∂

∂t~

( )θ t~2

+

112

M L~2 112

M H~2 +

Energia cinetica totale relativa alla terna fissa:> T := simplify( TG + TR );

T16

M H~2

∂

∂t~

( )θ t~2

:=

Page 21

16

M w2 H~2 ( )cos ( )θ t~ 2 +

16

M w2 L~2 ( )cos ( )θ t~ 2 −

16

M L~2

∂

∂t~

( )θ t~2 1

2 + −

M H~ ( )cos ( )θ t~

∂

∂t~

( )θ t~2

L~ ( )sin ( )θ t~

14

M w2 H~ ( )cos ( )θ t~ L~ ( )sin ( )θ t~ +

16

M w2 L~2 +

(8) Lamina quadrata ABCE, costituita da due triangoli omogenei ABE e BCE di densità rispettive sigma1 e sigma2, in moto nel piano coordinato OxySi vuole determinare l'energia cinetica del sistema in termini delle coordinate xG e yG del baricentro G e dell'angolo di rotazione theta.> restart: with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for traceCoordinate dei vertici nel piano Mx'y' della terna solidale:> A:=[-L/sqrt(2),0]; B:=

Page 22

[0,-L/sqrt(2)]; C:= [L/sqrt(2),0]; E:= [0,L/sqrt(2)];

:= A

,−

12

L 2 0

:= B

,0 −

12

L 2

:= C

,

12

L 2 0

:= E

,0

12

L 2

Rappresentazione grafica del quadrato rispetto alla terna solidale.> with(plots): with(plottools):> ABE:=polygon(subs(L=1,[A,B,E]),

color=green): BCE:=polygon(subs(L=1,[B,C,E]),color=red):

> display({ABE,BCE}, scaling=constrained, labels=[x,y]);

Baricentri dei triangoli omogenei:> G1:=(A+B+E)/3; G2:=(B+C+E)/3;

:= G1

,−

16

L 2 0

Page 23

:= G2

,

16

L 2 0

Baricentro del quadrato rispetto a Mx'y':> G:= ( sigma1*L^2/2*G1

+sigma2*L^2/2*G2 ) / ( sigma1*L^2/2 +sigma2*L^2/2 );

G :=

+ 12

σ1 L2

,−

16

L 2 012

σ2 L2

,

16

L 2 0

+ 12

σ1 L2 12

σ2 L2

> G:= simplify(evalm(G));

:= G

,

16

L 2 ( )− + σ1 σ2 + σ1 σ2 0

Matrice d'inerzia rispetto a Mx'y'z':> LM:=array(1..3,1..3);

:= LM ( )array , , .. 1 3 .. 1 3 [ ]> LM[1,1]:=2*(sigma1+sigma2)*int(

int( yp^2 ,yp=0..(L/sqrt(2)-xp)) ,xp=0..L/sqrt(2));

:= LM ,1 1124

( ) + σ1 σ2 L4

> LM[2,2]:=2*(sigma1+sigma2)*int( int( xp^2

Page 24

,yp=0..(L/sqrt(2)-xp)) ,xp=0..L/sqrt(2));

:= LM ,2 2124

( ) + σ1 σ2 L4

> LM[3,3]:=2*(sigma1+sigma2)*int( int( (xp^2+yp^2) ,yp=0..(L/sqrt(2)-xp)) ,xp=0..L/sqrt(2));

:= LM ,3 3112

( ) + σ1 σ2 L4

L'asse Mx' è un asse di simmetria per la lamina quadrata:> LM[1,2]:=0; LM[2,1]:=0;

:= LM ,1 2 0 := LM ,2 1 0

La lamina giace nel piano Mx'y':> LM[1,3]:=0; LM[3,1]:=0;

LM[2,3]:=0; LM[3,2]:=0; := LM ,1 3 0 := LM ,3 1 0 := LM ,2 3 0 := LM ,3 2 0

> evalm(LM);

Page 25

, ,124

( ) + σ1 σ2 L4 0 0

, ,0124

( ) + σ1 σ2 L4 0

, ,0 0112

( ) + σ1 σ2 L4

Momento d'inerzia rispetto all'asse Gz':Massa della lamina quadrata:> m:= sigma1*L^2/2 +

sigma2*L^2/2;

:= m + 12

σ1 L2 12

σ2 L2

Momento d'inerzia rispetto all'asse Gz' (Huygens-Steiner):> I_Gzp:= LM[3,3] -m*G[1]^2;

I_Gzp112

( ) + σ1 σ2 L4 :=

118

+

12

σ1 L2 12

σ2 L2 L2 ( )− + σ1 σ2 2

( ) + σ1 σ2 2 −

> I_Gzp:= simplify(%);

:= I_Gzp118

L4 ( ) + + σ12 4 σ1 σ2 σ22

+ σ1 σ2

Page 26

Energia cinetica rispetto alla terna fissa Oxyz:Coordinate del baricentro rispetto a Oxyz:> G:=[x(t),y(t)];

:= G [ ],( )x t ( )y tVelocità del baricentro rispetto a Oxyz:> vG:= map(diff,G,t);

:= vG

,∂

∂t

( )x t ∂∂t

( )y t

Energia cinetica ''del baricentro'':> TG:= m/2*innerprod(vG,vG);

TG := 12

+

12

σ1 L2 12

σ2 L2

+

∂

∂t

( )x t2

∂

∂t

( )y t2

Energia cinetica del moto attorno al baricentro:> TR:=1/2*I_Gzp*diff(theta(t),t)^

2;

:= TR136

L4 ( ) + + σ12 4 σ1 σ2 σ22

∂

∂t

( )θ t2

+ σ1 σ2Energia cinetica totale relativa a Oxyz:> T := TG +TR;

T := 12

+

12

σ1 L2 12

σ2 L2

+

∂

∂t

( )x t2

∂

∂t

( )y t2

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L4 ( ) + + σ12 4 σ1 σ2 σ22

∂

∂t

( )θ t2

+ σ1 σ2 +

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