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Calcolo delle probabilit per le scuole superiori Laboratorio
Convegno "Il piacere di insegnare - il piacere di imparare la
matematica" Alberto [email protected] Appunti completi
disponibili su http://bb.math.unifi.it/~gandolfi/didindex.html
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Eventi casuali Il calcolo delle probabilit e la statistica
costituiscono quella parte della matematica e, pi in generale,
della scienza che si occupa di fenomeni casuali. Partiamo da due
problemi. Problema 1: lanciando 1000 volte una moneta, quale
sarebbe la vostra reazione di fronte a 510 teste? E a 492, 459,
423, 397, 354, 299, 212, 154, 22?Problema 2: cercando la porta
vincente tra 3, ne scegliamo una e poi ci viene mostrata una porta
non vincente tra le altre: conviene cambiare la nostra scelta? O
preferiremmo che la porta fosse aperta prima di fare la scelta?
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Probabilit
In questi problemi non si riesce a determinare con
certezzal'esito tra varie possibili alternative.
Due cause possibili:- mancanza di informazioni -
l'indeterminatezza connaturata.Ma non ci interessa:
perl'indeterminatezza chiameremo talieventi "casuali".Per fare
comunque previsioni introduciamo una nuova quantit: la
probabilit.
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Caratteristiche della probabilit - Non importa la sua vera
natura: basta che sia misurabileed utile in casi interessanti.- Si
determina attraverso processi logici.- E' un numero puro e si
esprime in genere in frazioni di100 (tipo 30%) o con un numero in
[0,1].Quest'ultimo metodo conveniente per le moltiplicazioni: il 3%
del 40% l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.
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Interpretazioni della probabilit Esistono varie scuole su come
definire la probabilit:- Frequentista- Soggettiva- Bayesiana-
Convenzionalismo
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Obiettivi didattici nell'insegnamento della probabilit:deduzione
logica di una teoria da alcune ipotesi
fornitura di alcuni elementi per l'interpretazione del mondo
reale, inclusi giochi, dati, sondaggi
esemplificazione delluso di alcuni strumenti matematici
presentati nel corso
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Prima formalizzazioneIniziamo da una formulazione elementare,
che pu rimanere lunica se si intende esporre una parte limitata
della teoria.
Con qualche esempio si vede la naturalezza delluso della
terminologia insiemistica per descrivere le probabilit: Tutte le
realizzazioni possibili sono un insieme SUn evento un sottoinsieme
di SLa probabilit una funzione P sui sottoinsiemi di S
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Probabilit uniformi
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Alcune propriet elementarida derivare (o far derivare)
rigorosamente
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Calcolo combinatorio
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Probabilit finitePer poter fare modelli di situazioni pi
generali si considerano casi in cui probabilit non sono tutte
uguali.Si prendono come punti di partenza le prime tre propriet
dimostrate nel caso uniforme:
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Costruzione delle probabilit finiteLa teoria molto elementare e
tutti gli esempi di spazi di probabilit finiti si costruiscono come
segue:
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Probabilit dellunione di eventiTalvolta utile dedurre la
probabilit da quella di eventi pi semplici.
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Probabilit del complementoNello stesso spirito di prima:
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Indipendenza
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Due direzioni dellindipendenzaLindipendenza naturalmente utile
quandosi usa senza verificarla. Questo ponequalche problema di
consistenza condefinizione precedente.
Per i corsi elementari accontentiamoci di dire che omettiamo la
verifica.
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Indipendenza dei complementiUn risultato elementare che verifica
che la teoria si sta sviluppando coerentemente riguarda
lindipendenza dei complementi:
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Riepilogo primi calcoli delle probabilit
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Distribuzione di BernoulliCon i metodi appena riassunti si
ricava la distribuzione di Bernoulli o Binomiale (n,p):
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Foglio di calcoloUsando le funzioni di un foglio elettronico di
calcolo si possono calcolare alcune probabilit. Ad esempio il
valore della distribuzione Binomiale(n, p). Qui di fianco i valori
di p(k,2k,1/2).
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Osservazioni sulle moneteAnche il numero di teste che ci
aspettiamo (n/2 su n) ha probabilit che tende a 0. Quindi queste
espressioni non servono per il problema 1.
E chiaro per che la probabilit di un numero di successi minore o
uguale a k pu non tendere a 0.
Riprenderemo la questione quando avremo pi strumenti.
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Interpretazioni della probabilitVediamo i progressi fatti: sui
problemi(1) sappiamo scrivere le varie probabilit (2) nessun
progresso
Come interpretare le probabilit?
A priori ci si aspetta che specifici eventi di probabilit
piccola non si realizzino
A posteriori: si sar realizzato qualche evento di probabilit
piccola, ma non era prevedibile quale.
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Probabilit condizionateTalvolta interessa la probabilit di un
evento sapendo che un altro si realizzato.Anche in questo caso ci
sono due direzioni: a volte si ricava P(A|B) dalla situazione
concreta e lo si usa per ottenere uno degli altri termini.
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Probabilit totali o composte
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Dimostrazione del teorema
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Il problema del premio dietro alla portaFinalmente abbiamo gli
strumenti per rispondere al problema 2:
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Formula di BayesFormula di Bayes e probabilit condizionate sono
usate ampiamente nei calcoli di genetica.
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Variabili aleatorie
Una funzione X definita su un insieme S su cui sia definita una
probabilit P detta variabile aleatoria
La sua distribuzione linsieme dei valori x che assume e delle
relative probabilit P(X=x).
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Valore attesoCon qualche esempio si vede che il valore atteso o
valor medio emerge sia come risultato medio dopo molte prove che
come valutazione equa di un esperimento aleatorio.
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Significato del valore atteso
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Linearit del valore attesoIl valore atteso lineare. Questa
dimostrazione si pu cominciare ad omettere.
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Indipendenza di variabili aleatorieLa verifica che questa
definizione generalizza lindipendenza di eventi un po laboriosa
dovendo considerare sottofamiglie di eventi e si omette.
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Misure della deviazione dal valor medioPer valutare quanto in
media una variabile aleatoria si discosta dal suo valore atteso si
introduce la deviazione standard SD:
per valutare la quale il primo passo la varianza:
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Additivit della varianzaSorprendentemente, la varianza additiva
per variabili aleatorie indipendenti.(volendo si pu presentare agli
studenti una dimostrazione)
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Deviazione standard per il numero di testePer cui per n lanci di
una moneta, essendo p=1/2, la deviazione standard
Questo suggerisce gi qualcosa sul problema delle monete, ma
prima di completare lanalisi introduciamo le variabili
continue.
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Variabili continueFinora si sono viste variabili aleatorie con
un numero finito di valori. Vari esempi suggeriscono che a volte
utile considerare variabili che assumono valori sul continuo. Ad
esempio se si spezza un bastoncino a caso o si considera lorario di
un arrivo.
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Densit delle variabili continueLe variabili aleatorie continue
sono ben descritte prendendo una densit di probabilit f, analoga
alla densit di massa, che soddisfa:
La probabilit poi si calcola con gli integrali
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Esempi di variabili continue
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Valore atteso di variabili continue
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Funzione di distribuzioneUn altro modo per descrivere una
variabile aleatoria la funzione di distribuzione. Non un metodo
intuitivo, ma talvolta molto utile:
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Simulazione di una variabile uniforme
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Simulazione di variabili continue
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Analisi di datiPer analizzare dati casuali (che interpretiamo
come realizzazioni di variabili aleatorie) si utilizzano le stesse
quantit calcolate per sui dati, e quindi dette empiriche:
indicate nei fogli di calcolo con funzioni tipo MEDIA, DEV ST,
VAR
Il valor medio empirico anche detto media empirica e pu essere a
sua volta pensato come funzione delle variabili aleatorie.
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Convergenza della media empirica
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Teorema centrale del limite
Con qualche calcolo questo risultato permette di stimare molto
accuratamente la probabilit che la somma di variabili indipendenti
disti pi di una data costante dal valore atteso.
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Illustrazione grafica del TCLCi sono molti siti in cui si pu
vedere come la distribuzione della somma di variabili indipendenti
converge ad una normale.
Per le variabili Bernoulli si veda per esempio
http://cnx.org/content/m11198/latest/
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Stima della deviazione dal valore atteso
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Stima della deviazione della media empirica dal valore
attesoAbbiamo visto che la media empirica approssima il valore
atteso, ma il TCL permette di dare una stima pi accurata:
Questa osservazione si usa nei problemi di misura fornendo una
stima di quanto la media empirica delle misurazioni disti dalla
misura vera.
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Variabili congiunteSpesso si considerano pi variabili aleatorie
allo stesso momento. Queste possono essere non essere indipendenti,
e quindi occorre una trattazione delle distribuzioni congiunte.In
un corso di scuola superiore conviene per limitarsi ad un caso
semplice: una misura del grado di dipendenza di due variabili
aleatorie.
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CorrelazioneDate due variabili aleatorie X ed Y si introduce la
covarianza:
E poi la misura adimensionale della dipendenza, detta
correlazione:
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Propriet della correlazioneLa correlazione soddisfa:
Quando r=1 oppure r=-1 c dipendenza lineare tra X ed Y. Quando X
ed Y sono indipendenti r=0. Per cui r misura la dipendenza di X ed
Y
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Correlazione empirica
I fogli di calcolo forniscono di solito una funzione, a volte
indicata con CORRELAZIONE che calcola questo valore sui dati.
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Test: un modello per pesi ed altezze