calc2_03_kel_03

KALKULUS IIKALKULUS II

JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOVEMBER

3.1 Integrasi Numerik; Aturan Simpson3.2 Integral Tak Wajar3.3 Aturan L’Hopital3.4 Bentuk Tak Tentu yang Lain

Hampiran Jumlah RiemanMembagi selang [a,b] ke dalam n subselang

dengan lebar

Nilai f pada titik ujung subselang dinyatakan :

nabx /)(

)](......)()([)( **2

*1 n

b

a

xfxfxfxdxxf

),(0 afy ),( 11 xfy ),( 22 xfy )(),( 11 bfyxfy nnn ......,

Rata-rata dari hampiran titik ujung kiri dan kanan

]2...2[2

)( 110 nn

b

a

yyyyn

abdxxf

y0 y1 yn-1y2 yn

y

xa b

Hampiran titik tengah

]...[)( 21 mn

b

a

mm yyyn

abdxxf

ym1 ym2 ymn

m1 m2 mn

y

x

Dinotasikan hampiran titik tengah dan trapesoidal dari

b

a

dxxf )(

(n subselang) dengan Mn dan Tn

Galat (error) dalam hampiran ini adalah

b

a

nT

b

a

nM TdxxfEMdxxfE )(dan )(

Kuantitas mutlak EM dan ET yang menggambarkan nilai galat, disebut magnitude galat tersebut.

Untuk menghampiri bagian dari kurva y=f(x), digunakan aturan simpson yang menggunakan kurva parabola y=ax2+bx+c.

Luasan dari kurva tsb didapat dengan rumus:

A=(h/3)[Y0+4Y1+Y2]

x

y

Y0Y1

m2h

Y2

Galat dari hampiran didefinisikan:

nnn

b

a

yyyyyyyyn

abdxxf

1243210 42...24243

)(

Hasil dari penjumlahan semua hampiran, mengumpulkan suku-sukunya, dan mengganti h dengan (b-a)/n akan menghasilkan Aturan Simpson.

b

a

ns SdxxfE )(

dengan Sn adalah hampiran aturan simpson dengan n subselang

Perkiraan galat Titik Tengah dan TrapesoidalJika fn kontinu pada [a,b] dan jika K2 adalah nilai mutlak maks fn(x), maka untuk n bagian dari [a,b].

22

3

22

3

12

)( ;

24

)(

n

KabE

n

KabE TM

Perkiraan galat SimpsonJika f(4) kontinu di [a,b] dan jika K4 adalah nilai mutlak maks f(4)(x), maka untuk n bagian dari [a,b].

44

5

180

)(

n

KabES

Dalam mendefinisikan integral tentu

sebagai limit jumlah reiman ada dua syarat

yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]

Jika salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

Integral Pada Selang Tak Hingga

Definisi :

b

a

b

ldxxfdxxf )(lim)(

b

aal

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

c

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

cdx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen, maka konvergen.

Contoh Soal

0

212 )x(

dxdxxxe

4

2

)xx(

dx

522

a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

4

2

lim4

2a.

2

1

)12(2

1

2

1lim

bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

bxb

0

)12(2

1lim

1616

2

1

2

1lim

2

eee b

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2

16

2

1 e

0

2)12(lim

0

2)12( b x

dx

x

dxb

Periksa kekonvergenan ITW

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

122 52

lim52

lima

b

ba xx

dx

xx

dx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

Integral Tak Wajar dengan Integran Menuju Tak Hingga

(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang

Jika kontinu pada [a,b) dan maka

)(lim xfbx

t

abt

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika kontinu pada (a,b] dan maka

)(lim xfax

b

sas

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xf

cx maka

b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )()()(

Jika integral di ruas kanan konvergen maka

integral tak wajar

konvergen dan sebaliknya

b

a

dxxf )(

Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

lndx

x

x

Jawab :

x

xxf

ln)( Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xx

lnlim

0

maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

xt

xt

1)(ln

2

1lim 2

0

22

0)()(ln0

2

1lim tt

Integral tak wajar divergen

Contoh

dxx

x

2

0 1

Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab Fungsi diskontinu di x=1 dan x

xxf

1)(

x

xx 1lim

1

2

1

1

0

2

0 111dx

x

xdx

x

xdx

x

x

s

tts

dxx

xdx

x

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0011

|1|lnlim1

lim

Karena

maka integral tak wajar divergen

Aturan L’HôpitalUntuk aturan L’Hôpital bentuk 0/0 dinyatakan

Suatu limit,

anggap lim f(x) = 0 dan lim g(x) = 0 , jika lim = L ,+∞,- ∞ maka lim = lim

Bahwa f’/g’ dalam selang I yang memuat a Menyebabkan f dan g , g’(x)≠ 0 dalam I (kecuali di a)

,,, limlimlim axaxax

limlim , xx

)(

)(

xg

xf

)(

)(

xg

xf

)(

)(

xg

xf

Proses aturan L’Hôpital

1. Periksa apakah lim f(x)/g(x) berbentuk tak tentu2. Jika ya deferensialkan f dan g secara terpisah 3. tentukan lim f’(x)/g’(x) jika nilainya +∞,-∞ maka sama dengan lim f(x)/g(x)

Contoh :

karena dan

maka

2

42

2lim

x

x

x

0)4( 2

2lim

xx

0)2(lim2

xx

2

42

2lim x

x

x

2

42

2lim

xdxd

xdxd

x

41

2lim

2

x

x

TEORI DIBALIK ATURAN L’HÔPITAL

Misalkan fungsi f dan g diturunkan pada (a,b) dan kontinu pada [a,b] jika g’(x) ≠ 0 untuk semua x dalam (a,b) maka satu titik c pada (a,b) hingga : )()(

)()(

)('

)('

agbg

afbf

cg

cf

Teorema nilai Rata-rata yang diperluas

BUKTI ATURAN L’HÔPITAL

1.

menyebabkan ada selang (a,r],

kekanan a dan selang [l,a)

kekiri a f(x) dan g(x), g(x) ≠ 0

sehingga

F(x) = f(x) , x ≠ a dan G(x) = g(x), x ≠ a 0, x = a 0, x = a 0)(lim)(lim

xfxf

axax0)()( limlim

xgxGaxax

)('

)('

)()(

)()(

cG

cF

aGxG

aFxF

Bukti lim = L )('

)('

xg

xf

Sehingga f dan g kontinu dan

kemudian F’(c) = f(c) dan G(c) = g(c), c berbeda dg a

sehingga

Karena F(a) dan G(a) = 0Maka

Karena c diantara a dan x maka menghasilkan

Jadi

)('

)('

)(

)(limlim cg

cf

xg

xf

axax

Lcg

cf

xg

xf

acax

)('

)('

)('

)('limlim

Lxg

xf

ax

)(

)(lim

3.4 Bentuk Tak Tentu 3.4 Bentuk Tak Tentu Yang LainYang Lain

•Beberapa Notasi

Untuk slide selanjutnya,limit sisi pada a adalah +∞ maupun -∞ maka dari situasi itu dapat terjadi spesifikasi dengan yang satu. Maka :

)(lim xfax

)(lim)(lim,)(lim

)(lim)(lim,)(lim

xfatauxfberartixf

xfatauxfberartixf

xxx

xxx

Dengan cara yang sama;

x

y

xfy

)(lim xfax

x

y

a

xfy

)(lim xfax

x

y

xfy

)(lim

)(lim

xf

xf

ax

ax

ax

y

xfy

)(lim

)(lim

xf

xf

ax

ax

a

Bentuk tak tentu tipe adalah suatu limit lim f(x) / g (x) dimana lim f(x) = ∞ ,dan lim g(x) = ∞. Beberapa contoh misalnya

Pembilang → -∞ , penyebut → +∞

Pembilang → +∞ , penyebut → +∞

Pembilang → ∞ , penyebut → ∞

ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK

Misalkan lim menyatakan salah satu limit , , , ,

dan anggap bahwa lim f(x) = ∞ dan lim g(x) = ∞. Jika lim mempunyai nilai berhingga L atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka

• Contoh soal:

Hitunglahxx e

x

lim

x

xxex limlim

01

lim

limlim

xx

xxxx

e

edxd

xdxd

e

x

• Bentuk – Bentuk Tak Tentu Tipe 0.∞

Suatu perkalian limit f(x) . g(x)Disebut Bentuk Tak Tentu Tipe 0.∞ jika:

Limit tipe ini dapat diubah menjadi bentuk menjadi

1. dengan menulis:

2. dengan menulis:

xgdanxf lim0lim

0

0

xg

xfxgxf

1

xg

xfxgxf

1

• Contoh soal:

Hitunglah xxx

lnlim0

xdanxxx

lnlim0lim00

Jawab

Maka kita dapat menerapkan aturan l’hopital sehingga akan mengubah dari bentuk 0.∞ diubah menjadi bentuk sehingga:

0

lim

1

1lim

1

lnlimlnlim

0

20

00

x

x

x

x

xxx

x

x

xx

Limit yang berbentuk

Peubah dari bentuk limit tak tentu:

Kemudian menghitung

Ketika nilai limit diketahui, akan lebih mudah ditentukan

000 1,,0

)()( lim xg

ax

xf

)()( xgxfy

yaxlnlim

)()(ln limlim xg

axax

xfy

)(ln)(lim)(lnlimlnlim )( xfxgxfyax

xg

axax

Bentuk – Bentuk Tak Tentu Tipe

Jika Limit lim[f(x)-g(x) dan lim[f(x)+g(x)]

Maka (+∞) – (+∞) , (-∞) – (-∞)(+∞) + (-∞) , (-∞) + (+∞)

Contoh soal:

xx

xlncotlim

0

xdanxxx

lnlimcotlim00

Penyelesaian

Mempunyai bentuk (+∞), (-∞), maka bukan bentuk tak tentu. suku pertama cenderung membuat limit besar karena pengurangan, suku kedua juga cenderung membuat limit besar.

xx

xlncotlim

0

THANK FOR YOUR ATTENTION

Seri Buku Kalkulus 2, Jurusan Matematika FMIPA ITS, Rev 1 Edisi ke-4