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CAPITULO 3
FUNC ~OES REAIS DE VARIASVARIAVEIS REAIS
3.1 Func~oes Reais de Varias Variaveis Reais
Vamos agora tratar do segundo caso particular de func~oes F :
Dom(F ) Rn ! Rm,que s~ao as func~oes reais de varias variaveis
reais. Neste caso, temos que m = 1 e n 2,i.e. o domnio e um
subconjunto de Rn, n 2, enquanto que o contradomnio e umsubconjunto
da reta .
DEFINIC ~AO 3.1.1: DadoDom(f) Rn, uma func~ao real f de varias
variaveis reaise uma corresponde^ncia, f : Dom(f) Rn ! R, que a
cada pontoX = (x1; x2; :::; xn) 2Dom(f), associa um e apenas um y =
f(X) 2 R.
Exemplo 3.1.1: Abaixo temos alguns exemplos de func~oes reais de
varias variaveis,com n = 2 ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)).a) f(x;
y) = 4 (x2 + y2), (x; y) 2 R2.b) g(x; y) = xy, (x; y) 2 R2.c) h(x;
y; z) = x+ y + z, (x; y; z) 2 R3.d) w(x; y; z) =
1
x2 + y2 + z2, (x; y; z) 2 R3nf(0; 0; 0)g.
Conforme mencionado, o conjunto Dom(f) e chamado de domnio da
func~ao f . Alemdisso, continuaremos abusando da linguagem,
conforme mencionado nas aulas ante-riores. Isto e, quando a func~ao
f for dada por sua express~ao e zermos a pergunta:\qual e o domnio
da func~ao f?" Estaremos de fato perguntando: \qual e o
maiorsubconjunto de Rn no qual f esta bem denida?", ou seja, \qual
e o maior subconjuntoDom(f) Rn, tal que f(X) e um elemento de R,
para todo X 2 Dom(f)?"
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2013-1 28
3.2 Operac~oes com Func~oes Reais de Varias Varia-veis Reais
Deniremos a seguir as usuais operac~oes de soma, diferenca,
produto e quociente, damesma forma que zemos para func~oes reais de
uma variavel.
DEFINIC ~AO 3.2.1: Considere as func~oes f; g : D Rn ! R e a
constante k 2 R.Neste caso, denimos as seguintes func~oes:
a) a func~ao f + g : D Rn ! R, chamada de soma de f e g, dada
por(f + g)(X) = f(X) + g(X);8X 2 D;
b) a func~ao f g : D Rn ! R, chamada de diferenca entre f e g,
dada por(f g)(X) = f(X) g(X);8X 2 D;
c) a func~ao kf : D Rn ! R, chamada de produto de f pela
constante k, dada por(kf)(X) = kf(X); 8X 2 D;
d) a func~ao fg : D Rn ! R, chamada de produto de f pela func~ao
g, dada por(fg)(X) = f(X)g(X);8X 2 D;
e) se g(X) 6= 0, 8X 2 D, a func~ao fg: D Rn ! R, chamada de
quociente de f pela
func~ao g, dada por f
g
(X) =
f(X)
g(X);8X 2 D:
Vamos inicialmente nos concentrar em func~oes reais de apenas
duas variaveis reais.
3.3 Func~oes Reais de Duas Variaveis Reais
Vamos trabalhar nesta sec~ao apenas com func~oes reais de duas
variaveis reais. Isto e,vamos trabalhar com func~oes f da forma
f : Dom(f) R2 ! R(x; y) 7! f(x; y):
Vamos iniciar identicando e esbocando o domnio de algumas
func~oes de duas variaveisreais.
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2013-1 29
Exemplo 3.3.1: Determine e esboce o domnio das func~oes denidas
pelas express~oesabaixo.
a) f1(x; y) =x+ y
x y .b) f2(x; y) =
py x+p1 y.
c) f3(x; y) =1p
x2 y2 .d) f4(x; y) =
px2 y2 1.
e) f5(x; y) =y
x 1.f) f6(x; y) = ln(xy 1).
Soluc~ao:
a) Neste caso, como o termo x y aparece no denomi-nador da
express~ao de f1, devemos ter x y 6= 0. Destaforma, segue que
Dom(f1) = f(x; y) 2 R2 j y 6= xg:
Temos portanto, que o domnio da func~ao e todo planoxy,
excetuando a reta y = x (gura ao lado).
y
x
b) Neste caso, para podermos calcular as duas razes queaparecem
na express~ao de f2, devemos ter y x 0 e1 y 0. Portanto, segue
que
Dom(f2) = f(x; y) 2 R2 j y x e y 1g:
Ao lado, temos um esboco de Dom(f2), que e a regi~aoacima da
reta y = x e abaixo da reta y = 1.
y
x
1
c) Neste caso, para podermos calcular a raiz que aparecena
express~ao de f3, devemos ter x
2y2 0. Alem disso,como o termo
px2 y2 esta no denominador da func~ao
f3, e necessario ter x2 y2 6= 0. Portanto, segue que
Dom(f3) = f(x; y) 2 R2 jx2 y2 > 0g:
Como x2 y2 > 0, y2 < x2 , jyj < jxj , jxj < y 0.
Desta forma, segue que
Dom(f6) = f(x; y) 2 R2 jxy > 1g:
Ao lado, temos um esboco de Dom(f6), que e a regi~aodo plano
determinada pela hiperbole xy = 1 que n~aocontem a origem.
y
x
~
3.4 Exemplos de Func~oes Reais de Duas VariaveisReais
Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func~oes reais de
duas variaveis reais.
Exemplo 3.4.1: (Func~ao Polinomial) Uma func~ao polinomial de
duas variaveisreais a valores reais e uma func~ao f : R2 ! R dada
por
f(x; y) =X
m+npamnx
nym;
onde p e um natural xo e os coecientes amn s~ao numeros reais
dados. A soma e
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2013-1 31
estendida a todas soluc~oes (m;n), m e n naturais, da inequac~ao
m+ n p.
Exemplo: f(x; y) = 2x5y2 + x2y3.
Exemplo 3.4.2: (Func~ao Am) Uma func~ao am de duas variaveis
reais a valoresreais e uma func~ao f : R2 ! R dada por
f(x; y) = ax+ by + c;
onde a, b e c s~ao numeros reais dados. A func~ao am e um caso
particular de umafunc~ao polinomial.
Exemplo: f(x; y) = 2x+ 7y +p6.
Exemplo 3.4.3: (Func~ao Linear) Uma func~ao linear de duas
variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R2 ! R dada
por
f(x; y) = ax+ by;
onde a e b s~ao numeros reais dados. A func~ao linear e um caso
particular de umafunc~ao am.
Exemplo: f(x; y) = 2x+2p3y.
Exemplo 3.4.4: (Func~ao Racional) Uma func~ao racional de duas
variaveis reais avalores reais e uma func~ao f : Dom(f) R2 ! R dada
por
f(x; y) =p(x; y)
q(x; y);
onde p e q s~ao func~oes polinomiais dadas. Temos, neste caso,
que Dom(f) = f(x; y) 2R2 j q(x; y) 6= 0g:
Exemplo: f(x; y) =x2y2 + 7y3
xy + x. Observe que
Dom(f) = f(x; y) 2 R2 jx(y + 1) 6= 0g= f(x; y) 2 R2 jx 6= 0 e y
6= 1g
Temos portanto, que o domnio da func~ao e todo planoxy,
excetuando as retas x = 0 e y = 1 (gura ao lado).
y
x1
3.5 Curvas de Nvel de Func~oes Reais de Duas Variaveis
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2013-1 32
Seja f : Dom(f) R2 ! R. Conforme ja sabemos, dado k 2 Im(f),
temos que oconjunto de nvel da func~ao f correspondente ao nvel k e
o subconjunto do domniodado por
Ck(f) = f(x; y) 2 Dom(f) j f(x; y) = kg:No caso em quest~ao, que
e o das func~oes reais de duas variaveis reais, os conjuntosde nvel
de f s~ao curvas. Por este motivo, os conjuntos de nvel de func~oes
reais deduas variaveis reais s~ao chamados de curvas de nvel. Em
alguns casos, temos quecurvas de nvel podem se degenerar em pontos.
Conforme mencionado, as curvas denvel s~ao muito uteis para se ter
uma vis~ao do comportamento da func~ao. Isto porque,elas nos
fornecem todos os pontos do domnio, tais que o valor da func~ao e
igual aum determinado real na imagem da func~ao. Desta forma, se,
para todo k na imagemda func~ao, conhece^ssemos suas curvas de nvel
k, poderamos construir o graco de f\pegando"cada curva de nvel de f
e \colocando"na altura z = k.
Observac~ao 3.5.1: Como sabemos que f e constante ao longo das
curvas de nvel,observe que duas curvas de nvel de uma func~ao f
correspondentes aos nveis k1 e k2,onde k1 6= k2, n~ao podem se
interceptar.
Vamos agora fazer alguns exemplos.
Exemplo 3.5.1: Determine e esboce as curvas de nvel das func~oes
dadas abaixo.
a) f1(x; y) = x+ y.b) f2(x; y) = x
2 + y2.
c) f3(x; y) =y
x 1.d) f4(x; y) = ln(xy 1).e) f5(x; y) = y
2 x2.f) f6(x; y) =
xy2
x2 + y4.
Soluc~ao:
a) Neste caso, observe que Dom(f1) = R2 e que Im(f1) = R. Desta
forma, temos quepara todo k real, o conjunto de nvel k de f1 e dado
por
Ck(f1) = f(x; y) 2 R2 jx+ y = kg:
Ou seja, as curvas de nvel k de f1 s~ao retas x+ y = k. Por
exemplo,para k = 0, temos a reta y = x;para k = 1, temos a reta y =
x+ 1;para k = 2, temos a reta y = x+ 2;para k = 1, temos a reta y =
x 1;
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2013-1 33
para k = 2, temos a reta y = x 2.As curvas de nvel de f1
encontram-se esbocadas abaixo. A curva de nvel k = 0 estaesbocada
em azul, as curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde e as
curvas denvel k < 0 est~ao esbocadas em rosa.
y
x
b) Neste caso, observe que Dom(f2) = R2 e que Im(f2) = fz 2 R j
z 0g. Destaforma, temos que, para todo k 0 real, o conjunto de nvel
k de f2 e dado por
Ck(f2) = f(x; y) 2 R2 jx2 + y2 = kg:Observe que, para k = 0,
temos apenas o ponto (0; 0), i.e. C0(f2) = f(0; 0)g. Ja parak >
0, temos que as curvas de nvel k > 0 de f2 s~ao circunfere^ncias
x
2 + y2 = k, i. e.circunfere^ncias de raio
pk e centro na origem. Por exemplo,
para k = 1, temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 1;para k = 2,
temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 2;para k = 3, temos a
circunfere^ncia x2 + y2 = 3;para k = 4, temos a circunfere^ncia x2
+ y2 = 4.As curvas de nvel de f2 encontram-se esbocadas abaixo. A
curva de nvel k = 0 (aorigem) esta esbocada em azul e as curvas de
nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde.
y
x
c) Neste caso, observe que
Dom(f3) = f(x; y) 2 R2 jx 6= 1ge que Im(f3) = R. Desta forma,
temos que para todo k real, o conjunto de nvel k def3 e dado
por
Ck(f3) = f(x; y) 2 Dom(f3) j y = k(x 1)g;ou seja, as curvas de
nvel k de f3 s~ao retas y = k(x 1). Por exemplo,para k = 0, temos a
reta y = 0;
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2013-1 34
para k = 1, temos a reta y = x 1;para k = 2, temos a reta y = 2x
2;para k = 1, temos a reta y = x+ 1;para k = 2, temos a reta y =
2x+ 2.As curvas de nvel de f3 encontram-se esbocadas abaixo. As
curvas de nvel k = 0(semi-retas) est~ao esbocadas em azul, as
curvas de nvel k > 0 (semi-retas) est~aoesbocadas em verde e as
curvas de nvel k < 0 (semi-retas) est~ao esbocadas em rosa.
y
x
d) Neste caso, observe que
Dom(f4) = f(x; y) 2 R2 jxy > 1ge que Im(f4) = R. Desta forma,
temos que, para todo k real, o conjunto de nvel k def4 e dado
por
Ck(f4) = f(x; y) 2 Dom(f4) j ln(xy 1) = kg:Como ln(xy 1) = k ,
xy 1 = ek , xy = 1+ ek, temos que as curvas de nvel k def s~ao as
hiperboles xy = 1 + ek. Por exemplo,para k = 0, temos a hiperbole
xy = 2;para k = 1, temos a hiperbole xy = 1 + e;para k = 2, temos a
hiperbole xy = 1 + e2;
para k = 1, temos a hiperbole y = xy = 1 + 1e;
para k = 2, temos a hiperbole y = xy = 1 + 1e2.
As curvas de nvel de f4 encontram-se esbocadas abaixo. As curvas
de nvel k = 0est~ao esbocadas em azul, as curvas de nvel k > 0
est~ao esbocadas em verde e as curvasde nvel k < 0 est~ao
esbocadas em rosa.
y
x
e) Neste caso, observe que Dom(f5) = R2 e que Im(f5) = R. Desta
forma, temos que
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2013-1 35
para todo k real, o conjunto de nvel k de f5 e dado por
Ck(f5) = f(x; y) 2 R2 j y2 x2 = kg:Observe que, para k = 0,
temos que y2 x2 = 0 , y2 = x2 , jyj = jxj , y = x ouy = x, i.e. as
curvas de nvel zero s~ao as retas y = x e y = x. Ja para k > 0,
temosque as curvas de nvel k > 0 de f5 s~ao as hiperboles y
2 x2 = k > 0, i. e. hiperbolescujos focos est~ao no eixo y.
Contudo, para k < 0, temos que as curvas de nvel k < 0de f5
s~ao as hiperboles y
2 x2 = k < 0, i. e. hiperboles cujos focos est~ao no eixo
x.Por exemplo,para k = 0, temos as retas y = x e y = x;para k = 1,
temos a hiperbole y2 x2 = 1;para k = 2, temos a hiperbole y2 x2 =
2;para k = 1, temos a hiperbole x2 y2 = 1;para k = 2, temos a
hiperbole x2 y2 = 2.As curvas de nvel de f5 encontram-se esbocadas
abaixo. As curvas de nvel k = 0(retas) est~ao esbocadas em azul, as
curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde eas curvas de
nvel k < 0 est~ao esbocadas em rosa.
y
x
f) Neste caso, observe que Dom(f6) = R2nf(0; 0)g. Como a imagem
de f6 n~ao eimediata, diferente do que aconteceu nos exemplos
anteriores, vamos deixar para de-termina-la mais tarde. Supondo
ent~ao conhecida a imagem de f6, temos que, para todok 2 Im(f6), o
conjunto de nvel k de f6 e dado por
Ck(f6) =
(x; y) 2 Dom(f6)
xy2x2 + y4
= k
:
Observe que k = 0 2 Im(f6), e que o conjunto de nvel 0 de f6 e
dado porC0(f6) = f(x; y) 2 Dom(f6) jx = 0 ou y = 0g:
Desenvolvendo ent~ao a igualdadexy2
x2 + y4= k, para k 6= 0, temos que
xy2
x2 + y4= k , xy2 = kx2 + ky4 , kx2 y2x+ ky4 = 0:
Resolvendo a equac~ao acima em x, segue que
x =y2 y2p1 4k2
2k:
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2013-1 36
De posse deste resultado, podemos observar que Im(f6) =
12;1
2
, uma vez que, dado
y real, y 6= 0, temos, pela equac~ao anterior, que para obtermos
x real, devemos ter que1 4k2 0 , k2 1
4, jkj 1
2. Sendo assim, para k 2
12;1
2
, k 6= 0, temos que
o conjunto de nvel k de f6 e dado por
Ck(f6) =
(x; y) 2 Dom(f6)
x = y21p1 4k22k
;
ou seja, as curvas de nvel k (k 6= 0) de f6 s~ao as parabolas x
= y21p1 4k2
2k
,
com (x; y) 6= (0; 0). Por exemplo,para k = 1=2, temos a parabola
x = y2, (x; y) 6= (0; 0);para k = 1=3, temos as parabolas x =
y2
3 +
p5
2
!e x = y2
3p5
2
!, (x; y) 6=
(0; 0);para k = 1=4, temos as parabolas x = y2
2 +
p3e x = y2
2p3, (x; y) 6= (0; 0);
para k = 1=2, temos a parabola x = y2, (x; y) 6= (0; 0);para k =
1=3, temos as parabolas x = y2
3 +
p5
2
!e x = y2
3p5
2
!,
(x; y) 6= (0; 0);para k = 1=4, temos as parabolas x = y2 2 +p3 e
x = y2 2p3, (x; y) 6=(0; 0);As curvas de nvel de f6 encontram-se
esbocadas abaixo.
y
x
Vamos agora passar aos gracos de func~oes reais de duas
variaveis. Portanto, e interes-sante que voce^ faca uma revis~ao de
planos, cilindros, esferas, superfcies de revoluc~ao esuperfcies
quadricas em geral. No Ape^ndice 1, temos uma revis~ao destes
topicos. N~aodeixe de estuda-los.
3.6 Gracos de Func~oes Reais de Duas Variaveis
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2013-1 37
Seja f : Dom(f) R2 ! R. Conforme ja sabemos, temos que o graco
da func~ao f eo subconjunto de R3 dado por
Gr(f) = f(x; y; f(x; y)) 2 R3 j (x; y) 2 Dom(f)g:No caso em
quest~ao, que e o das func~oes reais de duas variaveis reais,
atente para ofato de que os gracos destas func~oes est~ao em
R3.
A representac~ao geometrica do graco de uma func~ao de duas
variaveis e uma tarefaque pode ser muito difcil. Por isto, em
alguns casos nos contentamos em visualizaras curvas de nvel. Vamos
agora fazer alguns exemplos que n~ao est~ao entre os
maisdifceis.
Exemplo 3.6.1: Determine e esboce os gracos das func~oes dadas
abaixo. Use ascurvas de nvel encontradas no Exemplo 3.5.1, se achar
necessario.
a) h1(x; y) = x+ y.b) h2(x; y) = x
2 + y2.c) h3(x; y) = y
2 x2.d) h4(x; y) = e
(x2+y2).e) h5(x; y) = 1 y2.f) h6(x; y) =
y
x 1.g) h7(x; y) = ln(xy 1).
Soluc~ao:
a) Temos que o graco de h1 e dado por
Gr(h1) = f(x; y; x+ y) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:
Temos portanto, que o graco da func~ao e o plano
z = x+ y;
que e o plano que contem a origem e e perpendicular aosvetores
(1; 1;1) e (1;1; 1) (gura ao lado).
x
y
z
b) Temos que o graco de h2 e dado por
Gr(h2) = f(x; y; x2 + y2) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:
Temos portanto, que o graco da func~ao e o paraboloidez = x2 +
y2 (gura ao lado).
x
y
z
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2013-1 38
c) Temos que o graco de h3 e dado por
Gr(h3) = f(x; y; y2 x2) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:
Temos portanto, que o graco da func~ao e o
paraboloidehiperbolico z = y2 x2 (gura ao lado).
xy
z
d) Temos que o graco de h4 e dado por
Gr(h4) =n
x; y; e(x2+y2)
2 R3 j (x; y) 2 R2
o:
Neste caso, observe que, as variaveis x e y so aparece naforma
(
px2 + y2)2. Estamos portanto diante de uma
superfcie de revoluc~ao. Desta forma, para descobrir afunc~ao z
= f(y) (ou z = f(x)), cuja rotac~ao do gracoresultou na superfcie
em quest~ao, vamos substituir otermo (x2 + y2) na express~ao de h4
por y
2 (ou por x2).Encontramos assim, a func~ao z = f(y) = ey
2. Temos
ent~ao, que o graco de h4 e a superfcie gerada pelarotac~ao da
curva z = ey
2, no plano yz, em torno do eixo
z (ou, o que da no mesmo, a rotac~ao da curva z2 = ex2,
no plano xz, em torno do eixo z) (gura ao lado).
xy
z
e) Temos que o graco de h5 e dado por
Gr(h5) =x; y; 1 y2 2 R3 j (x; y) 2 R2 :
Neste caso, observe que, no plano yz, a equac~ao z =1 y2, e a
equac~ao de uma parabola. Portanto, em R3,a equac~ao z = 1 y2 e a
equac~ao de um cilindro cujadiretriz e a parabola z = 1 y2, no
plano yz, e cujageratriz e paralela ao eixo x. Este cilindro e
chamadode cilindro parabolico (gura ao lado).
x y
z
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f) Temos que o graco de h6 e dado por
Gr(h6) =
x; y;
y
x 12 R3 jx 6= 1
:
Lembre-se que vimos, no Exemplo 3.3.1 (e), queDom(h6) = f(x; y)
2 R2 jx 6= 1g. Na gura ao lado,temos o graco esbocado pelo Maple V.
Embora sejadifcil visualizar, procure observar que a reta dada
pelaintersec~ao dos planos x = 1 e y = 0 n~ao pertence aograco da
func~ao. Alem disso, temos que o graco de h6n~ao intercepta o plano
x = 1 e, quanto mais os pontos dodomnio se aproximam da reta x = 1,
maior ca o valorda func~ao. Imagine mais ou menos uma \vareta"que
aomesmo tempo que gira em torno da reta x = 1, y = 0,vai levantando
uma extremidade e abaixando a outra.Note tambem, que o processo de
\colocar"as curvas denvel k na altura z = k, facilita a
visualizac~ao do graco.
x
y
z
g) Temos que o graco de h7 e dado por
Gr(h7) = f(x; y; ln(xy 1)) 2 R3 j (x; y) 2 Dom(f4)g:
Lembre-se que vimos, no Exemplo 3.3.1 (f), queDom(h7) = f(x; y)
2 R2 j xy > 1g. Na gura ao ladotemos o esboco do graco da
func~ao realizado pelo Ma-ple V. Apesar de ser de difcil
visualizac~ao, observe queo processo de \colocar"as curvas de nvel
k na alturaz = k, faz com que o graco de h7 esbocado parecabastante
razoavel.
x
y
z
~
Vamos agora nos concentrar em func~oes reais de tre^s variaveis
reais.
3.7 Func~oes Reais de Tre^s Variaveis Reais
Vamos estudar agora com mais detalhes as func~oes reais de tre^s
variaveis reais. Isto e,func~oes f da forma
f : Dom(f) R3 ! R(x; y; z) 7! f(x; y; z):
Vamos iniciar identicando e esbocando o domnio de algumas
func~oes de tre^s variaveis
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2013-1 40
reais.
Exemplo 3.7.1: Determine e esboce o domnio das func~oes denidas
pelas express~oesabaixo.
a) f1(x; y; z) =p1 x2 y2 z2.
b) f2(x; y; z) =p1 z.
c) f3(x; y; z) =1p
1 x y z , x 0, y 0 e z 0.
Soluc~ao:
a) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1x2y2 z2, que
aparece na express~ao de f1, devemos ter1 x2 y2 z2 0. Desta forma,
segue que
Dom(f1) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + y2 + z2 1g:
Temos portanto, que o domnio da func~ao e a esferax2 + y2 + z2 =
1 e seu interior (gura ao lado).
xy
z
b) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1 zque aparece
na express~ao de f2, devemos ter 1 z 0.Portanto, segue que
Dom(f2) = f(x; y; z) 2 R3 j z 1g:
Temos portanto, que o domnio da func~ao f2 e a regi~aodo espaco
abaixo do plano z = 1, incluindo o proprioplano z = 1.
xy
1
z
c) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1xyz que aparece
na express~ao de f3, devemos ter 1xyz 0. Alem disso, como o termop1
x y z esta nodenominador da func~ao f3, e necessario ter 1xyz 6=0.
Portanto, segue que
Dom(f3) = f(x; y; z) 2 R3 jx+y+z < 1; x 0; y 0 e z 0g:
Temos portanto, que o domnio da func~ao f3 e a regi~aodo
primeiro octante limitada pelo do plano x+y+z = 1,excluindo o
proprio plano x+ y + z = 1.
xy
11
1
z
~
3.8 Exemplos de Func~oes Reais de Tre^s Variaveis Re-ais
-
Calculo 2B - Notas de Aula (em construc~ao) - Prof a Denise
2013-1 41
Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func~oes reais de
tre^s variaveis reais.
Exemplo 3.8.1: (Func~ao Polinomial) Uma func~ao polinomial de
tre^s variaveis reaisa valores reais e uma func~ao f : R3 ! R dada
por
f(x; y; z) =X
m+n+kpamnkx
nymzk;
onde p e um natural xo e os coecientes amnk s~ao numeros reais
dados. A soma eestendida a todas soluc~oes (m;n; k), m, n e k
naturais, da inequac~ao m+ n+ k p.
Exemplo: f(x; y; z) = 2x5y2z + x2y3z3 + z2.
Exemplo 3.8.2: (Func~ao Am) Uma func~ao am de tre^s variaveis
reais a valoresreais e uma func~ao f : R3 ! R dada por
f(x; y; z) = ax+ by + cz + d;
onde a, b, c e d s~ao numeros reais dados.
Exemplo: f(x; y; z) = 2x+ 7y +
p5
7z + 3.
Exemplo 3.8.3: (Func~ao Linear) Uma func~ao linear de tre^s
variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R3 ! R dada
por
f(x; y; z) = ax+ by + cz;
onde a, b e c s~ao numeros reais dados.
Exemplo: f(x; y; z) = 2x+2p3y + z.
Exemplo 3.8.4: (Func~ao Racional) Uma func~ao racional de tre^s
variaveis reais avalores reais e uma func~ao f : Dom(f) R3 ! R dada
por
f(x; y; z) =p(x; y; z)
q(x; y; z);
onde p e q s~ao func~oes polinomiais dadas. Temos, neste caso,
queDom(f) = f(x; y; z) 2R3 j q(x; y; z) 6= 0g:
Exemplo: f(x; y; z) =x2y2 + 7y3 + z2
xy + xz. Neste caso, observe que
Dom(f) = f(x; y; z) 2 R3 jxy + xz 6= 0g= f(x; y; z) 2 R3 jx(y +
z) 6= 0g= f(x; y; z) 2 R3 jx 6= 0 e y + z 6= 0g:
-
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2013-1 42
Portanto, o domnio de f e todo R3, menos o plano x = 0 e plano y
+ z = 0.
3.9 Superfcies de Nvel de Func~oes Reais de Tre^sVariaveis
Seja f : Dom(f) R3 ! R. Conforme ja sabemos, dado k 2 Im(f),
temos que oconjunto de nvel da func~ao f correspondente ao nvel k e
o subconjunto do domniodado por
Sk(f) = f(x; y; z) 2 Dom(f) j f(x; y; z)) = kg:No caso em
quest~ao, que e o das func~oes reais de tre^s variaveis reais, os
conjuntos denvel de f s~ao superfcies. Por este motivo, os
conjuntos de nvel de func~oes reais detre^s variaveis reais s~ao
chamados de superfcies de nvel. Em alguns casos, temos
quesuperfcies de nvel podem se degenerar em curvas e ate em
pontos.
Observac~ao 3.9.1: Como sabemos que f e constante ao longo das
superfcies de nvel,observe que duas superfcies de nvel de uma
func~ao f correspondentes aos nveis k1 ek2, onde k1 6= k2, n~ao
podem se interceptar.
Vamos agora fazer alguns exemplos.
Exemplo 3.9.1: Determine e esboce as superfcies de nvel das
func~oes dadas abaixo.
a) h1(x; y; z) = x.b) h2(x; y; z) = x
2 + y2.c) h3(x; y; z) = x
2 + 4y2 + z2.
d) h4(x; y; z) =1p
1 x y z , x 0, y 0 e z 0.e) h5(x; y; z) = x
2 + y2 z2.
Soluc~ao:
-
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2013-1 43
a) Neste caso, observe que Dom(h1) = R3 e queIm(h1) = R. Desta
forma, temos que para todo k real,as superfcies de h1
correspondentes ao nvel k s~ao dadaspor
Sk(h1) = f(x; y; z) 2 R3 j x = kg;ou seja, as superfcies de nvel
de h1 s~ao planos paralelosao plano yz. Por exemplo,para k = 0,
temos o plano x = 0;para k = 1, temos o plano x = 1;para k = 2,
temos o plano x = 2;para k = 1, temos o plano x = 1;para k = 2,
temos o plano x = 2.As superfcies de nvel de h1 encontram-se
esbocadas aolado.
xy
z
b) Neste caso, observe que Dom(h2) = R3 e que a ima-gem de h2
e
Im(h2) = fk 2 R j k 0g:
Desta forma, temos que para todo k 0, as superfciesde nvel de h2
correspondentes ao nvel k s~ao dadas por
Sk(h2) = f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 = kg:
Observe que para k = 0, temos que a superfcie denvel de h2 e da
forma x
2 + y2 = 0, o que correspondeao eixo z. Ja para cada k > 0,
temos que a superfciede nvel de h2 correspondente ao nvel k e da
formax2+y2 = k > 0, o que corresponde a cilindros
circularesretos conce^ntricos (gura ao lado). De fato,
porexemplopara k = 0, temos x2 + y2 = 0 , x = 0 e y = 0, que ea
reta (x; y; z) = (0; 0; z), z 2 R;para k = 1, temos o cilindro x2 +
y2 = 1;para k = 2, temos o cilindro x2 + y2 = 2;para k = 3, temos o
cilindro x2 + y2 = 3.
xy
z
-
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2013-1 44
c) Neste caso, observe que Dom(h3) = R3 e que a ima-gem de h3
e
Im(h3) = fk 2 R j k 0g:
Desta forma, temos que para todo k 0, as superfciesde nvel de h3
correspondentes ao nvel k s~ao dadas por
Sk(h3) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + 4y2 + z2 = kg:
Observe que para k = 0, temos que a superfcie de nvelde h3 se
degenera em apenas um ponto, que e a origem(0; 0; 0). Ja para cada
k > 0, temos que a superfciede nvel de h3 correspondente ao nvel
k e da formax2 + 4y2 + z2 = k > 0, o que corresponde a
elipsoidesconcentricos (gura ao lado). De fato, por exemplopara k =
0, temos x2 + 4y2 + z2 = 0 , x = 0, y = 0 ez = 0, que e a origem
(0; 0; 0);para k = 1, temos o elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 1;para k =
2, temos o elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 2;para k = 3, temos o
elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 3.
x y
z
d) Neste caso, observe que
Dom(h4) = f(x; y; z) 2 R3 j x+ y + z < 1; x 0; y 0; z 0ge que
a imagem de h4 e
Im(h4) = fk 2 R j k 1g:De fato, como x + y + z < 1, x 0, y 0,
z 0, temos que 0 x + y + z < 1 ,1 < x y z 0 , 0 < 1 x y z
1, de modo que 1
1 x y z 1 e,
portanto,1p
1 x y z 1. Desta forma, temos que, para todo k 1, as
superfciesde nvel de h4 correspondentes ao nvel k s~ao dadas
por
Sk(h4) =
(x; y; z) 2 Dom(h4)
1p1 x y z = k
=
(x; y; z) 2 Dom(h4)
p1 x y z = 1k
=
(x; y; z) 2 Dom(h4)
1 x y z = 1k2
=
(x; y; z) 2 Dom(h4)
x+ y + z = 1 1k2
Portanto, temos que as superfcies de nvel de h4 correspondentes
ao nvel k (k 1)s~ao da forma x + y + z = 1 1
k2, o que corresponde a planos paralelos ao plano
-
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2013-1 45
x+ y + z = 1, contidos no tetraedro x+ y + z < 1, x 0, y 0, z
0 (excetuando aface x+ y + z = 1) (gura abaixo). Por exemplo,para k
= 1, temos x+ y + z = 0 , x = 0, y = 0 e z = 0, pois x 0, y 0, z
0;para k = 2, temos o plano x+ y + z = 1 1
4;
para k = 3, temos o plano x+ y + z = 1 19;
para k = 4, temos o plano x+ y + z = 1 116
.
x1
y
1
1
z
e) Neste caso, observe que Dom(h5) = R3 e queIm(h5) = R. Desta
forma, temos que para todo k real,as superfcies de nvel de h5
correspondentes ao nvel ks~ao da forma
Sk(h5) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + y2 z2 = kg:
Portanto, vamos ter tre^s casos diferentes:{ para k = 0, temos
que as superfcie de nvel de h5 e ocone x2 + y2 z2 = 0;{ para cada k
> 0, temos que a superfcie de nvel de h5correspondente ao nvel k
e da forma x2+ y2 z2 = jkj.Temos assim, que as superfcies de nvel
de h5 s~aohiperboloides de duas folhas;{ para cada k < 0, temos
que a superfcie de nvel de h5correspondente ao nvel k e da forma z2
x2 y2 = jkj.Temos assim, que as superfcies de nvel de h5
s~aohiperboloides de uma folha.
x
y
z
-
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xy
z
x
y
z
x
y
z
3.10 Gracos de Func~oes Reais de Tre^s Variaveis
Seja f : Dom(f) R3 ! R. Conforme ja sabemos, temos que o graco
da func~ao f eo subconjunto de R4 dado por
Gr(f) = f(x; y; z; f(x; y; z)) 2 R4 j (x; y; z) 2 Dom(f)g:No
caso em quest~ao, que s~ao o das func~oes reais de tre^s variaveis
reais, atente para ofato de que os gracos destas func~oes est~ao em
R4, de modo que n~ao e possvel esboca-los.
Exemplo 3.10.1: Determine o graco da func~ao f(x; y; z) = x2 +
y2.
Soluc~ao: Gr(f) = f(x; y; z; x2 + y2) 2 R4 j (x; y; z) 2
R3g:
3.11 Exerccios
Exerccio 3.11.1: Determine e esboce as curvas de nvel da func~ao
f(x; y) = ex2y.
Resposta: Temos que Dom(f) = R2 e Im(f) = (0;1). As curvas de
nvel k, parak > 0, s~ao dadas por
Ck(f) = f(x; y) 2 R2 j ex2y = kg= f(x; y) 2 R2 jx2y = ln kg:
Observe que se k = 1, temos que x2y = 0 , x = 0 ou y = 0.
Portanto, as curvas denvel 1 de f s~ao os eixos coordenados. Se 0
< k < 1 ou se k > 1, as curvas de nvel de
f s~ao dadas pela equac~ao y =ln k
x2. Note que se 0 < k < 1, ln k < 0, de modo que as
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2013-1 47
curvas est~ao abaixo do eixo x e se k > 1, ln k > 0, de
modo que as curvas est~ao acimado eixo x. Abaixo temos um esboco
das curvas de nvel.
As curvas de nvel k = 1 (eixos coordenados) est~ao esbocadas em
azul, as curvas de nvelk > 1 est~ao esbocadas em verde e as
curvas de nvel 0 < k < 1 est~ao esbocadas em rosa.
y
x
Exerccio 3.11.2: Determine e esboce as curvas de nvel da func~ao
f(x; y) =xy
x+ y.
Resposta: Inicialmente, observe que
Dom(f) = f(x; y) 2 R2 j y 6= xg
e que Im(f) = R. Desta forma, temos que, para todo k real, o
conjunto de nvel k def e dado por
Ck(f) =
(x; y) 2 Dom(f) j xy
x+ y= k
:
Para k = 0, temos que as curvas de nvel zero de f s~ao as
semi-retas x = 0 e y = 0,
(x; y) 6= (0; 0). Ja se k 6= 0, temos que xyx+ y
= k , xy = k(x + y) , y(x k) = kx,
x 6= y. Portanto, a curva de nvel k 6= 0 de f e o graco das
func~ao gk(x) = kxx k ,
x 6= k, retirando os pontos que pertencem a reta x = y (pois
estes pontos n~aopertencem ao domnio de f). Para descobrir que
pontos do graco de gk devem serretirados, procedemos com a
seguir.
x 6= y e y = kxx k , x 6=
kx
x k , x2 kx 6= kx, x 6= 0:
Desta forma, ent~ao temos que as curvas de nvel zero de f s~ao
as semi-retas x = 0 ey = 0, (x; y) 6= (0; 0) e que as curvas de
nvel k 6= 0 de f s~ao formadas pelos gracosdas func~ao gk(x) =
kx
x k , x 6= k, retirando-se a origem.
Abaixo, temos exemplos de curvas de nvel de f relativas a
diferentes valores de kescolhidos.
Para k = 1, a curva de nvel de f e dada por y =x
x 1, com x 6= 0.
-
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2013-1 48
Para k = 2, a curva de nvel de f e dada por que y =2x
x 2, com x 6= 0.
Para k = 3, a curva de nvel de f e dada por que y =3x
x 3, com x 6= 0.Para k = 1, a curva de nvel de f e dada por que
y = x
x+ 1, com x 6= 0.
Para k = 2, a curva de nvel de f e dada por que y = 2xx+ 2
, com x 6= 0.Para k = 3, a curva de nvel de f e dada por que y =
3x
x+ 3, com x 6= 0.
Algumas curvas de nvel de f encontram-se esbocadas abaixo.
y
x
Exerccio 3.11.3: Determine e esboce o graco e as curvas de nvel
da func~ao
f(x; y) =
4x2 + 9y2; se 4x2 + 9y2 36
72 (4x2 + 9y2); se 36 4x2 + 9y2 72 ;
.
x y
z
Exerccio 3.11.4: Faca os exerccios da Lista 1 do GMA.