7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini http://slidepdf.com/reader/full/cae-diplomski-numericka-simulacija-strujanja-fluida-u-teslinoj-turbini 1/94 Zenica, 2015 UNIVERZITET U ZENICI Mašinski fakultet u ZeniciKatedra za konstrukcije i CAD tehnologije CAE – Računarske simulacijeDelić Emir Numerička simulacija strujanja fluida u Teslinoj turbiniDiplomski rad Mentor: Prof. Dr Senad Balić
94
Embed
CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
1 Uvod – Opis Tesline turbine ........................................................................ 2
2 Analitička i eksperimantalna istraživanja prema (Rice, Analytical andExperimental Investigation of Multiple-Disk Turbines, 1965) ...................... 4
4.2 Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu 14
4.3 Konvekcijski i difuzijski protoci kroz kontrolnu površinu ............................ 16
4.4 Metoda konačnih volumena .............................................................................. 18
4.5 Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni volumen i kontrolnivolumen ............................................................................................................... 23
4.6 Modeli diskretizacije .......................................................................................... 25
4.6.1 Ojlerov model ................................................................................................. 26
4.6.2 Lagranžov model ........................................................................................... 29
4.7 Matematički model ............................................................................................ 31
4.8 k-ε model turbulencije ....................................................................................... 33
Slika 5.9 Granični uslov brzine na ulazu u mlaznicu turbine .................................................. 45
Slika 5.10 Granični uslov obrtanja diskova ............................................................................. 46
Slika 5.11 Granični uslov atmosferskog pritiska na izlazu iz turbine ...................................... 47
Slika 5.12 Prikaz vrijednosti parametra y+ .............................................................................. 49
Slika 5.13 Prikaz mreža pripremljenih za CFD analize ........................................................... 50
Slika 5.14 Mjerači na vanjskom i unutrašnjem radijusu.......................................................... 53
Slika 5.15 Utjecaj bezdimenzionalnog parametra protoka na efikasnost turbine .................... 55
Slika 5.16 Moment na diskovima i na unutrašnjem djelu statora ............................................ 57
Slika 5.17 Efikasnost vs. bezdimenzionalni parametar protokaQ/ω∙r0
3
sa unutrašnjim zidomstatora kao idealnim ................................................................................................ 58
Slika 5.18 Efikasnost η vs. bezdimenzionalni parametar brzine ω∙r0/v0 ................................ 60
Slika 5.19 Srednja visina neravnina R z .................................................................................... 61
Slika 5.20 Uticaj hrapavosti zidova diskova i statora na efikasnost turbine ............................ 62
Slika 5.21 Uticaj broja diskova na efikasnost turbine.............................................................. 64
Slika 5.22 Raspored brzine fluida između rotora Tesline turbine za parametreQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50;Parametri simulacije 3.;Tabela 8. .............. 65
Slika 5.23 Konture ukupnog pritiska sa iso linijama (Total Presure) na površini diskova, za
Slika 5.25 Raspored brzine na izlazu fluida iz diskova; ; za parametre simulacijeQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. .......................... 68
Slika 5.26 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacija
Slika 5.27 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=1; r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ............... 70
Slika 5.28 Raspored brzine na izlazu iz diskova; za parametre simulacija
Slika 5.29 Putanja fluida na izlazu iz mlaznice; za parametre simulacijeQ/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=12; r0/b=50; Broj diskova N=4; Parametri simulacije 3.;Tabela 11. ............................ 72
Slika 5.30 Linije koje su korišćene za dobijanje profila brzina između diskova duž rotora ... 73
Slika 5.31 Profil brzina između diskova; ; za parametre simulacija
Slika 5.32 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001;ω∙r0/v0=1;r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4. ................ 75
Slika 5.33 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacijaQ/ω∙r03=0.001;ω∙r0/v0=14;r0/b50; Parametri simulacije 4.;Tabela 8. .............. 76
Slika 5.34 Linija kroz središte rotora korištena za XY Plots.................................................... 77
Slika 5.35 Promjena ukupnog, statičkog i dinamičkog između diskova; za parametresimulacije Q/ω∙r03=0.001; ω∙r0/v0=1; r0/b50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.
Teslina turbina je nekonvencionalna turbomašina sa rotorom sastavljenim od diskova,
a razmjena količine kretanja između fluida i rotora obavlja se dejstvom smicajnih sila izmeđufluida i diskova. Postoji veliki broj radova sa analitičkim i eksperimentalnim rezultatima koji
razmatraju strujanje u Teslinoj turbini. U ovom radu dati su rezultati dobijeni analitički i
eksperimentalnim istraživanje (Rice, Analytical and Experimental Investigation of Multiple-
Disk Turbines, 1965) i rezultati do bijeni numeričkom dinamikom fluida. Optimizacija dizajna
Tesline turbine urađen je korištenjem softverskog paketa za kompjutersku dinamiku fluida
(CFD) Flow Simulation, SolidWorks, Dassault Systemes, 2014. Urađen je veliki broj
numeričkih simulacija strujanja u Teslinoj turbini sa različitim geometrijskim, strujnim i parametrima brzine. Nakon optimiziranja, pokazali smo da efikasnost Tesline turbine je veća
za manje parametre protoka, a najbolja efikasnost od 93 %, postignuta je za parametar protoka
Teslina turbina je nekonvencionalna turbomašina s rotorom sastavljenim od diskova,
kod koje se razmjena količine kretanja obavlja djejstvom tangencijalnih sila između fluida idiskova. Kod konvencionalnih turbomašina razmjena količine kretanja između fluida i rotora
obezbjeđuje se lopaticama. Rotor Tesline turbomašine, Slika 1.1 (below), sastavljen je od više
tankih, ravnih, blisko postavljenih paralelnih diskova upravnih na osovinu.
Slika 1.1 Rotor Tesline turbine [1]
Rotor se smješta u blisko postavljeno kućište, da bi formirao hidrauličnu ili gasnu
turbinu, hidrauličnu pumpu ili kompresor. Fluid ulazi u turbinu kroz mlaznicu i usmjerava se
u međuprostor između diskova, približno tangentno na obim rotora, Slika 1.2 (below).
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 3.1 Efikasnost Tesline turbine u zavisnosti od parametra protoka i parametra brzine;
rezultati za: r 0/b=50 i f=0.05 1
Iz prethodnog dijagrama vidimo da efikasnost Tesline turbine raste sa smanjenje
parametra protoka. Zbog toga prvo ćemo izvršiti više simulacija sa različitim parametrima
protoka za jedan par diskova, radi uštede u vremenu i računarskim resursima, za to vrijeme
nećemo mijenjati ostale parametre turbine. Nakon toga za parametar protoka za koji smo dobili
najbolju iskoristivost turbine, mijenjati ćemo parametar brzine da bi utvrdili na koji način ono
utiče na efikasnost turbine. Nakon toga postavlja se pitanje na koji način utiče hrapavost površine na efikasnost turbine pošto smo sve prethodne simulacije izvršili sa idealnim
površinama, izvršiti ćemo par simulacija u kojim ćemo varirati hrapavost površine diskova i
odrediti na koji način to utječe na efikasnost turbine.
1 Slika zbog nemogućnosti pristupu orginalnom radu preuzeta iz [3]
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Mehanika fluida je teorijsko eksperimentalna znanost. Teorijski pristup se temelji na
analitičkom rješavanju matematičkih modela strujanja fluida. Analitičko rješenje daje
kompletan uvid u fiziku nekog problema, a jednom određeno analitičko rješenje je pogodno za
analizu pojedinih parametara u matematičkom modelu. Pod analitičkim rješenjima
podrazumijevamo i rješenja koja su prikazana razvojem u red specijalnih funkcija (poput
Besselovih funkcija, Čebišljevih polinoma i sl.) ili s pomoću eliptičnog integrala, koja se
računaju numerički, jer takva numerička rješenja možemo odrediti sa željenom tačnošću.
Na žalost većina problema vezanih za strujanje fluida opisana je nelinearnim
parcijalnim diferencijalnim jednačinama, koje nemaju opće analitičko rješenje. To posebnovrijedi za turbulentno strujanje, koje se zbog stohastičke prirode toga strujanja niti ne može
opisati analitički. Npr. analitičko rješenje Navier -Stokesovih jednačina moguće je odrediti
samo za slučaj laminarnog strujanja i to u vrlo ograničenom broju slučajeva. Navier –
Stokesove jednačine koje opisuju strujanje fluida između dva diska, također nelinearne, tako
da ne postoji analitičko rješenje takvih jednačina.
To su osnovni r azlozi što su se problemi mehanike fluida u prošlosti uglavnom rješavali
uz pomoć eksperimentalnog pristupa. Eksperimentalnim pristupom dobiva se ograničen broj
Teorijski
pristup
Računarska
(Numerička)
Dinamika fluida
Eksperimentalni
pristup
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
određen broj konstanti (funkcija) integracije), a posebno rješenje je definirano početnim i
rubnim uvjetima specifičnim za promatrani problem (početni i rubni uvjeti definiraju funkcije
integracije čineći rješenje jedinstvenim). Naravno kada se radi o komercijalnim programima
tada je matematički model već ugrađen u računarski program, a korisnik putem sučelja može
odabrati podvarijante modela koja odgovara njegovom problemu.
Drugi korak u numeričkoj simulaciji je numerički riješiti postavljeni matematički
model. Numeričko rješavanje sastoji se iz tri koraka. U prvom se diskretizira područje
proračuna ( područje proračuna se podjeli na određen broj manjih volumena, a svakom
volumenu se dodijeli jedan ili više čvorova u kojima će se računati vrijednosti polja fizikalnih
veličina, koja se pojavljuje u jednačinama matematičkog modela). Rezultat diskretizacije
prostora nazivamo geometrijskom mrežom. U nastavku ne definiranoj geometrijskoj mreži potrebno je diskretizirati parcijalne diferencijalne jednačine matematičkog modela,
uvažavajući specifične rubne uvjete. Diskretizaciju jednačina provodi se nekom od metoda
(metodom konačnih volumena, metodom konačnih elemenata, metodom konačnih razlika i sl.).
Rezultat diskretizacije parcijalne diferencijalne jednačine na zadanoj geometrijskoj mreži je
sustav algebarskih jednačina (ako je polazna diferencijalna jednačina linearna dobija se i sistem
linearnih algebarskih jednačina, inače nelineranih). Nelineralni sustav jednačina rješava se
iterativnim postupkom koji u sebi sadrži rješavanje sistem linearnih algebarskih jednačina.
Nakon što je numeričko rješenje dobiveno, slijedi njegova analiza, koja podrazumjeva
tokova i sl., te dijagramski prikaz željenih veličina. U organizacijskom smislu numerička
simulacija se provodi kroz tri programa: predprocesor, procesor i postprocesor.
Predprocesor je računarski program za generiranje geometrijske mreže. Jasno je da se
pri generiranju mreže treba voditi računa i o rubnim uvjetima. Na primjer poznato je da ugraničnom sloju koji nastaj pri opstrujavanju tijela, postoje veliki gradijenti fizikalnih veličina,
što zahtjeva popunjavanje tog područja manjim volumenima. Ovo je veoma značajno za
numeričku simulaciju Tesline turbine, zbog uskog prostora između diskova, tako da područje
uz diskove treba biti područje gušće podjele mreže. Također veliki gradijenti brzine i pritiska
mogu se očekivati u području izlaska fluida iz mlaznice i ulazak u prostor između diskova, kao
i izlazak fluida iz diskova, tako da na tome području mreža treba biti gušća nego ne nekim
drugim podr učjima. Generiranje geometrijske mreže u geometrijski složenijim
trodimenzionalnim problemima uopće nije trivijalan posao, a samo generiranje mreže čini
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
znatan dio ukupnog vremena za provedbu simulacije. Može se reći da je problematika
generiranja mreže zasebni dio računarske dinamike fluida, i da se danas još uvijek intenzivno
radi na automatskom generatoru geometrijske mreže koja bi na temelju rubova područja
proračuna i zadanih rubnih uvjeta izradio mrežu koja udovoljava svim zahtjevima numeričkog
rješavanja matematičkog modela. Danas postoje i algoritmi koji rade sa adaptivnim mrežama
(mrežama koje se u postupku rješavanja automatski progušćuju u području velikih gradijenata,
odnosno proređuju u područjima gdje se rješenje ne mijenja značajno). Jasno je da u toj
koncepciji generiranja mreže treba biti obavljeno u istom programu koji rješava jednačine
matematičkog modela.
Procesor je program koji numerički rješava željeni matematički model sa zadanim
početnim i rubnim uvjetima. Može biti koncipiran tako da ima fiksnu ugrađeni matematičkimodel (a korisnik putem sučelja bira hoće li koristiti puni model ili neki od njegovih dijelova)
poput komercijalnih programa Fluent, Flow Simulation, ili se temelji na objektivnom
programiranju gdje korisnik praktično slobodno zadaje matematičke model koji će se rješavati
poput programa OpenFoam. Ova druga koncepcija je puno bolja ako se uzme u obzir da će se
razvojem računala naoko različita područja mehanike kontinuuma sve više integrirati u smislu
istovremenog rješavanja strujanja višekomponentnog, višefaznog fluida, uz izmjenu topline,
hemijsku reakciju i promjenu faza i to uz elastičnu granicu, gdje je potrebno računati i poljenaprezanja i deformacije u čvrstoj fazi.
Postprocesor je program koji je u principu opće namjene a služi za vizualizaciju
rezultata proračuna, odnosno za izračunavanje pojedinih integralnih veličina.
4.2
Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu
Ekstenzivna fizikalna veličina
(koja može biti masa, energija, količina kretanja,
entropija i sl.) se može definisati po jedinici mase (specifično fizikalno svojstvo) /
ili po jedinici volumena /. S obzirom da je masa definirana gustoćom
vrijedi , odakle je Φ .
Općenito zakon očuvanja fizikalnog svojstva se može iskazati riječima: Brzina
promjene neke fizikalne veličine unutar materij alnog volumena jednaka je izvoru i l i ponoru
tog fizikalnog svojstva. Izvor može biti raspodijeljen po prostoru ili po površini materijalnog
volumena (u tom slučaju izvor se prikazuje fluksom vektora kroz površinu, a taj površinski
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 4.2 Konvektivni i difuzijski potok kroz elementarnu površinu dS [4]
Difuzijski protok kroz elementarnu površinu je definiran izrazom
≈ (4.7)
Iz kojeg je jasno da difizijski protok zavisi od derivacije u smjeru normale. Ako se na
normali dvije simetrično smještene točke udalje za
, od kojih je jedna unutar kontrolnog
volumena u kojoj je , a druga izvan (o okolini) u kojoj je , aproksimacijom
usmjerene derivacije dobija se da se difuzijski protok sastoji iz dva dijela: jednog pozitivnog
koji govori o prenosu fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena u okolinu i drugi negativni
koji govori o dotoku fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena u okolinu. Naravno da se oba
protoka događaju istovremeno, a neto protok jednak je njihovoj razlici. Ako je veće od kontrolni volumen će predavati fizikalno svojstva okolini, i obrnuto. Ako je jednako
neće biti difuzijskog protoka. Dakle, za razliku od konvekcijskog protoka koji je
jednosmjeran, možemo uočiti simetrični karakter difuzije po kojem se prenos istovremeno
događa u oba smjera. Odnos veličine / se naziva jačina difuzije i očito je da se izborom
po volji malog uvijek može dobiti po volji velika jačina difuzije.
Dakle za slučaj pozitivne konvekcije (fluid izlazi iz kontrolnog volumena) definirane
kao (gdje je normalna komponenta brzine na kontrolnoj površini) kontrolni volumen
će predavati okolini fizikalno svojstvo konvekcijskim protokom
i difuzijski protok
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
vektor položaja bilo koje tačke unutar kontrolnog volumena. Uvrštavajući
(4.12) u (4.11) slijedi
∆∆ ∆ ⏞∆ ∆∆ ∆ (4.13)
Integral u drugom članu desne jednačine (4.13) je po definiciji umnožak vektora
položaja težišta volumena i volumena ∆. Ako je tačka C težište volumena ∆ drugi član
desne strane izraza (4.13) otpada, pa se zaključuje da će se za slučaj linearne raspodjele unutar ∆ biti . Slično vrijedi i za integral izvorskog člana koji se može aproksimirati
∆ ∆ (4.14)
gdje je srednja vrijednost izvorskog člana unutar volumena ∆.
Površinski integral u izrazu (4.10) označava protok fizikalnog svojstva uslijed
konvekcije i difuzije kroz površinu konačnog volumena. Vektor konvekcijskog toka je
definiran izrazom , a vektor difuzijskog je . Ova dva vektora u općem slučaju nisu
kolinearna, a njihov zbir čini ukupni vektor toka . Protok fizikalnog svojstva doprinosi samo
normalna komponenta vektora toka .
∆ ∆
∆
∆ (4.15)
gdje je srednja vrijednost proizvoda na površini ∆, a srednja vrijednost normalne
derivacije polja na površini ∆. U izrazu na normalnu derivaciju je uobičajeno uvesti
bezdimenzijsku koordinatu ∆ , gdje je ∆ udaljenost čvora C i N prema slici 4.3, a
srednja vrijednost proizvoda aproksimirati proizvodom srednje vrijednosti, pa se može
pisati:
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
gdje je ∆ jačina konvekcije, tj. maseni protok fluida kroz površinu ∆, a jačina difuzije. Omjer ∆ ∆ se naziva lokalni Pecletovim brojem, za
razliku od Pecletova broja koji bi se dobio svođenjem polazne diferencijalne jednačine (4.15)
na bezdimenzijski oblik, u kojem bi karakteristična duljina bila definirana kao udaljenost na
kojoj je promjena istog reda veličina kao i karakteristična vrijednost za konvekcijski
transport, te bi tako definirani Pecletov broj služio za ocjenu važnosti pojedinog transporta.
Očito je lokalni Pecletov broj manji što su volumeni sitniji (manji
Δ), čime lokalni uticaj
difuzijskog transporta postaje uticajni. Teorijski gledano u graničnom prijelazu kada ∆ težinuli konvekcija postaje zanemariva, što znači da ostaje uticajni samo članovi s drugom
(najvišom) derivacijom, što zovemo principijelnim dijelom parcijalne diferencijalne jednačine,
a kod ispitivanja karaktera diferencijalne jednačine samo se taj dio analizira. S obzirom da je
u jednačini (4.15) sve poznato osim polja , jačina konvekcije i difuzije u izrazu (4.16) se
mogu izračunati, a jedino su nepoznanice srednje vrijednosti i normalne derivacije
/ na površini
∆. S obzirom da se u numeričkom postupku pamte i računaju samo
čvorne vrijednosti polja i to u glavnim čvorovima, biti će potrebno definirati (aproksimirati)
tražene vrijednosti na stranicama konačnih volumena s pomoću vrijednosti u glavnim
čvorovima, a to se naziva šemom diferencije ili numerička šema. Aproksimacija će biti
najtačnija ako se te vrijednosti definiraju u težištu površine ∆. Ako se izrazi (4.11), (4.14) i
(4.16) uvrste u jednačinu (4.10) slijedi:
∆
= ∆ (4.17)
gdje suma po označava zbrajanje po svih stranica konačnog volumena.
Primjenom neke od šema diferencije, koje koriste samo čvorne vrijednosti i za
aproksimaciju i / , izraz (4.16) se može prikazati u obliku
∆ , (4.18)
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
odnosno broju nepoznatih čvornih vrijednosti polja . Sistem jednačina se može simbolički
zapisati u matričnom obliku
[] [] (4.23)
gdje je [] matrica sistema u kojoj kolone čine koeficijenti i iz jednačina oblika
(4.21), pri čemu su koeficijenti na glavnoj dijagonali, označavaju vektor nepoznatih
(čvornih vrijednosti polja ), a [] vektor desne strane u kojeg ulaze sve poznate veličine
(zadnja dva člana desne strane jednačine (4.21)). Polje mora zadovoljavati rubne uvjete, koje
će trebati ugraditi u diskretizirane jednačine prije njihovog rješavanja. Informacije o rubnim
uvjetima se pretežno ugrađuju kroz desnu stranu sistema jednačina. Naravno ako je izvorski
član bio nelinearna funkcija od , tada će se numerički postupak nužno imati iterativni
karakter, pa će sistem linearnih jednačina trebati riješiti više puta unutar jednog vremenskog
koraka. Naravno, umjesto linearizacije izvorskog člana je moguće koristiti i druge metode za
rješavanje nelinearnih jednačina, poput Newtonove metode.
4.5 Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni volumen i kontrolni volumen
Polazna osnova za metodu konačnih volumena čine integralni oblici osnovnih zakona,
za volumen koji ne mora biti materijalni. Najčešće se radi o kontrolnom volumenu (koji je
nepromjenjive veličine, položaja i oblika), a može se raditi i o volumenu koji je promjenjiv u
vremenu (npr. promjenjivi volumen u unutrašnjosti cilindra motora pri analizi jednog takta),
kada govorimo o proizvoljnom volumenu.
Razlika između proizvoljnog i materijalnog volumena je u tome što kroz granicu
proizvoljnog volumena postoji protok mase. Ako uočimo u nekom trenutku jedna materijalni
volumen u polju strujanja, tada možemo zamisliti i jedan proizvoljni volumen koji se u tomtrenutku poklapa s materijalnim volumenom. U trenutku poklapanja svi volumenski i
površinski integrali po ta dva volumena su isti (dakle i sadržaj fizikalnog svojstva u ta dva
volumena su isti). S obzirom da se granica materijalnog volumena giba brzinom kretanja
čestica fluida, a proizvoljni volumen brzinom , već u idućem trenutku će se volumeni
razlikovati, pa će i sadržaj fizikalnog svojstva u ta dva volumena biti različit. Iz toga
zaključujemo da će i brzine promjene sadržaja fizikalnih svojstava u ta dva volumena biti
različit. Brzina promjene fizikalnog svojstva u proizvoljnom volumenu definirana je izrazom
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
S obzirom da se u trenutku poklapanja dvaju volumena površinski i volumenski integrali
ne razlikuju, oduzimanjem gornjih izraza dobija se
{∫ [ ] ∫ (4.26)
Primjenom izraza (4.26) na opći oblik zakona održanja (4.1) i (4.2) dolazi se do
integralnog zakona očuvanja za proizvoljni volumen
(4.27)
Volumenski integral na lijevoj strani jednačine predstavlja brzinu promjene fizikalnog
svojstva unutar proizvoljnog volumena, površinski integrali označavaju konvekcijski i
difuzijski protok fizikalnog svojstva kroz granicu proizvoljnog volumena (konvekcijski protokse odvija relativnom brzinom ), a integral na desnoj strani jednačine doprinos izvora
odnosno ponora fizikalnog svojstva. U gornjoj jednačini se brzina pomicanja površine
proizvoljnog volumena, smatra poznatom, te je moguće izračunati brzinu promjene zapremine
proizvoljnog volumena.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Numerički postupa se češće primjenjuje na kontrolni volumen (KV), koji je nepomičan
( 0), pa iz izraz (4.28) slijedi da je zapremina kontrolnog volumena konstantna ., što znači da se operator vremenskog deriviranja ispred integrala po kontrolnom
volumenu slobodnu može uvesti pod integral i primijeniti samo na podintegralnu funkciju. U
tom slučaju jednačina (4.27) prelazi u sljedeći oblik općeg integralnog zakona očuvanja za
kontrolni volumen
ℎ š
(4.29)
Primijetimo da su integralni oblici općeg zakona očuvanja (4.4) za materijalni volumen
i gornji izraz za kontrolni volumen, slični jer se izrazi razlikuju samo za područje integracije.
Ako se u nekom trenutku kontrolni i materijalni volumen poklapaju, vrijednosti integrala će
biti potpuno jednake. Razlika je samo u fizikalnom tumačenju pojedinih članova. Prvi član ugornjoj jednačini označava ukupnu brzinu promjene fizikalnog svojstva unutar kontrolnog
volumena, dok istovjetni član za materijalni volumen označuje samo dio ukupne promjene
sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena nastao usljed vremenske promjene
polja . Isto tako član ∫ označava promjenu fizikalnog svojstva unutar
kontrolnog volumena nastalu usljed protoka fluida kroz kontrolnu površinu (naime fluid
napuštajući kontrolni volumen iznosi sa sobom fizikalno svojstvo i obrnuto pri utjecanju ga
unosi).. Kroz materijalnu površinu nema protoka fluida, a istovjetni član u jednačini zamaterijalni volumen označava dio ukupne promjene fizikalnog svojstva unutar materijalnog
volumena nastao kretanjem materijalnog volumena. Pomicanje volumena, on napušta određeni
prostor, a određeni osvaja. Budući je gustoća fizikalnog svojstva u tim prostorima različita,
dolazi do promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena.
4.6 Modeli diskretizacije
Postoje dva načina za modeliranje fluida: Ojlerov i Lagranžov.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Ojlerov model diskretizira fluid kad rešetku konačnih volumena. Jednačine očuvanja se
primjenjuju na svaku od ćelija.
Slika 4.4 Metoda konačnih volumena dijeli prostor na kontrolne volumene u čijim središtimase nalaze čvorovi u kojima računamo vrijednosti varijabli [5]
U centru svake ćelije se nalazi čvor u kojem se izračunavaju vrijednosti varijabli (u
nekim slučajevima neke od vrijednosti se postavljaju na stranice ćelija). Ostale vrijednosti se
dobijaju interpolacijom, površinski i volumni integrali se aproksimiraju prikladnim kvadratnim
formulama. Kao rezultat dobiva se algebarska jednačina za svaku ćeliju u kojoj se pojavljuju
neke vrijednosti susjednih ćelija. Ova metoda podržava bilo kakav tip mreže te je prikladna i
za kompleksnu geometriju.
Slika 4.5 Ojlerovski metod diskretizacije fluida [6]
Najčešći pristup je definiranje ćelija odgovarajućom mrežom i određivanjem računskog
čvora u centru ćelije. Moguće je definirati (za strukturne mreže) čvorne lokacije prvo i onda
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
komponenta konvektivnog ili difuzivnog vektora toka u smjeru normale na
stranicu ćelije. Zbog održavanja zakona očuvanja, bitno je da se ćelije ne preklapaju, tj. da
svaka stranica ćelije je unikatna za svaku od dvije ćelije koje leže sa svake njezine strane.
Za računanje površinskog integrala potrebno je poznavati integrant duž cijele površine. Ta informacija nije dostupna, osim u čvorovima (koji se nalaze u centrima ćelije) te je
potrebno aproksimacija koja se odvija u dva koraka:
Integral se aproksimira izrazima sastavljenim od vrijednosti varijabli na jednom ili više
lokacija na stranicama ćelija,
vrijednost na stranicama ćelija se aproksimiraju do vrijednosti u čvorovima (centrima
ćelija).
Najjednostavnija aproksimacija integrala je pravila središnje tačke: integral je aproksimiran
kao produkt integranta u središtu stranice ćelije (što je samo po sebi aproksimacija srednje
vrijednosti površine) i područja stranice ćelije:
(4.31)
Ovakva aproksimacija integrala je drugog reda tačnosti i zahtjeva vrijednost integranta na lokaciji „e“. S obzirom da vrijednosti od nije poznata lokaciji „e“, potrebno ju je dobiti
interpolacijom. Da bi se sačuvala tačnost drugog reda koje donosi pravila središnje tačke,
vrijednosti
treba se izračunati postupkom koji je isto tako barem drugog reda tačnosti.
Drugi način aproksimacije površinskog integrala drugog reda tačnosti u 2D prostoru je
pravilo trapezoida, koje vodi do izraza:
≈ 2 ∙ (4.32)
U tom slučaju potrebno je izraziti tok u kutovima ćelija.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
određenim funkcijama sa svojstvima susjednih čestica ako su one unutar tzv. „radijusa
zaglađenja“. U simulacijama fluida po uzoru na Navire-Stokesove jednačine izračunavaju se
utjecaji viskoznosti, pritiska, te naravno drugih sila poput gravitacije ili čvrstih objekata.
Slika 4. 8. Primjer lagranžovog sistema, čestice se slobodno kreću prostorom, nisu ograničenemr ežom [8]
Prednost ovog model jeste znatno manja zahtjevnost u smislu memorije i kapaciteta
računara, stoga se ovakva metoda više koristi u interaktivnim simulacijama i video igrama.
Glavni nedostatak je veća „grubost“ simulacije što onda za posljedicu ima manju
uvjerljivost. Rješenje je naravno povećanje količine čestica međutim onda naravno raste i
računarska kompleksnost. Još jedna zadatak je što je očuvanje nestišljivosti fluida teže
izvodivo jer se jednačina za tlak ne rješava na cijelom fluidu kao u ojlerovskom modelu već
samo unutar prije spomenutog „radijusa zaglađenja“. Danas je najzastupljeni metod konačnihvolumena Ojleov metod, dok je Lagranžov metod još uvjek u razvoju, tako da u teksta kada
govorimo o metodu konačnih volumena podrazumjevamo Ojlerov metod.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Homogenost podrazumjeva da su fizikalna svojstva ista u svim tačkama fluida. Tako
ćemo npr. zrak smatrati homogenom smjesom plinova jer je udio pojedinih plinova koji čini
zrak jedan te isti u svim tačkama fluida. Izotropnost podrazumjeva da su fizikalna svojstva
fluida ista u svim smjerovima. Zrak smatramo homogenom mješavinom plinova i tretiramo ga
kao jednokomponentni fluid, no za slučaj da je npr. koncentracija kisika i dušika različita u
različitim tačkama, morali bi ga promatrati kao višekomponentni fluid, i modelirati miješanje
tih komponenti. Ako se u strujanju pojavljuje promjena faze to također treba dodatno
modelirati.
Često je moguće zanemariti promjene fizikalnih veličina u nekom od smjerova pa se
problem od trodimenzionalnog (3D) svodi na ravanski ili osnosimetričan (2D), ili pak za
strujanje u cijevima, gdje imamo uzdužnu koordinatu puno veću od poprečnih, čak na jednodimenzijsko (1D). Nadalje strujanje je u stvarnosti uvijek manje ili više nestacionarno
(vremenski promjenjivo), a na onome ko modelira strujanje je da odluči je li moguće uvesti
pretpostavku o stacionarnosti, koje pojednostavljuje problem. Strujanje fluida u prirodi je
najčešće turbulentno (izrazito nestacionarno strujanje sa slučajnim pulsacijama fizikalnih
veličina, pa se polje u turbulentnom strujanju ne mogu opisati analitički), a laminarno strujanje
se u prirodi pojavljuje samo pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja. Pri problemu toka
fluida oko tijela mogu se pojaviti oba vida strujanja (laminarno u blizini tačke zastoja, a uostatku područja turbulentno).
Modeliranje turbulencije je jedno veliko područje samo za sebe, danas postoje različite
razine pristupa (od direktnog rješavanja Navier-Stokesovih jednačina – DNS, preko
modeliranja malih pulsacija i direktnog rješavanja velikih-LES (Large Eddy Simulation), do
modeliranja svih turbulentnih pulsacija uz pomoć pristupa temeljenom na Reynoldsovom
osrednjavanju jednačina – RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes)). U klasi RANS modela
postoji više razina modela od modela u kojima se rješavaju jednačine za turbulentno naprezanje
(RSM – Reynolds stress models) do najjednostavnih modela temeljenih na Bossinesqovoj
hipotezi i modeliranju turbulentne viskozonosti. Turbulentna viskoznosti se modelira s pomoću
dva parametra turbulencije, čija raspodjela može biti definirana s pomoću diferencijalne ili
algebarske jednačine. Najpoznatiji modeli s dvije jednačine su k – ε i k – ω modeli, a s jednom
jednačinom Spalart – Almaras model. U nekim slučajevima kada su inercijeske sile puno veće
od viskoznih (npr. kretanje broda na valovima) moguće je uticaj viskoznosti zanemariti, čime
se pojednostavljuje matematički model. Dakle može se zaključiti da je svaki stvarni problem
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Pri modeliranju se balansira između jednostavnosti matematičkog modela (da bude što
jednostavnije za riješiti),ali i bolji fizikalni model (koji će što vjer nije opisivati stvarnost, tj.
modelirati sve relevantne fenomene u pojavi). Ako za strujanje Tesline turbine uvedemo
aproksimacije nestišljivog i stacionarnog toka tada ćemo pojednostaviti početne Navier –
Stokesove jednačine u cilindričnim koordinatama na jednostavni oblik:
∙
1
(4.34)
I jednačine kontinuiteta:
0 (4.35)
Prethodne jednačine u potpunosti opisuju stacionaran tok nestišljivog fluida između dva
rotirajuća diska.
4.8 k-ε model turbulencije
U dvodimenzionalnim tankim slojevima sa izraženim gradijentima u profilu
osrednjenih brzina promjena u smjeru strujanja su dovoljno spore da se turbulencija sama
prilagođava lokalnim uvjetima. U slučaju kada konvekcija i difuzija uzrokuju razlike između
produkcije i destrukcije turbulencija, npr. u strujanju sa recirkulacijom, kompaktna algebarska
prezentacija duljine miješanja više nije održiva. Zbog velikih gradijenata koji se mogu
očekivati na izlazu iz mlaznice i interakciji fluid i diskovi izabran je ovaj model turbulencije.
k – ε model se fokusira na mehanizam koji utječe na turbulentnu kinetičku energiju. Standardni
k – ε model sadrži dvije jednačine, jedna za k i jedna za ε , baziranu na relativnim procesima
koji uzrokuju promjene tih varijabli. U tim jednačinama se potpuno odvojeno rješavaju dvijenove varijable: brzina turbulencije izražena kinetičkom energijom turbulencije k i turbulentna
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 5.2 Prikaz Tesline turbine sa jednim parom diskova
Tokom analize nisu mijenjani geometrijske parametre rotora kao što su: vanjski radijus, unutrašnj radijus , razmaka između diskova . U slijedećoj tabeli 2.2 prikazani su
geometrijski parametri rotora.
.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Spojnica bi trebala biti okomita na stranicu konačnog volumena, jer se tada difuzijski
protok meže modelirati bez potrebe za interpolacijom gradijenata iz centralnih čvorova
na stranicu konačnog volumena.
Posebno, prvi čvor do granice područja proračuna treba ležati na okomici na granicu povučenu iz težišta rubne stranice, zbog tačnije ugradnje rubnih uvjeta.
Naravno da sve ove uvjete zadovoljavaju samo mreže sastavljene iz elemenata
pravilnog oblika (npr. kvadrata u 2D ili kocke u 3D), u mrežama koje opisuju složeniju
geometriju, nikad nisu zadovoljeni svi nabrojani uvjeti. Pošto je u programu Flow
Simulation generiranje mreže polu automatski ne možemo uticati na sve navedene uvjete, ali
za simulaciju Tesline turbine generiranje mreže uz same diskove je od velike važnosti zbog
uticaja graničnog sloja.
Slika 5.5 Šematski prikaz strukture graničnog sloja [4]
Unutarnji dio graničnog sloja, koji uključuje viskozni podsloj, prijelazni sloj i inercijski
podsloj, zauzima 10 do 15% debljine graničnog sloja. U viskoznom podsloju se može
zanemariti turbulentna viskoznost, a profil brzine je linearan, dok se u inercijskom podsloju
može zanemariti molekularna viskoznost, a profil brzine slijedi logaritmski zakon. Pri visokim
vrijednostima Reynoldsova broja uz tijelo se formira granični sloj unutar kojeg postoje veliki
gradijenti, i gdje će mreža biti gusta. Što je Reynoldsov broj veći granični sloj će biti tanji, pa
će geometrijska mreža ovisiti o Reynoldsovu broju. Pri analizi strujanja tipa graničnog sloja,
neće se moći izbjeći upotreba izduženih elemenata kao što je to prikazano ispod na slici 5.6
(below) mreže između dva diska, jer je granični sloj tanak a dugačak. Jasno je da maksimalna
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
elemenataPritisak na ulazu u mlaznicu [Pa] 227628.5282 229471.920
Volumni protok na ulazu u mlaznicu [m^3/s] 0.0001 0.000
Brzina na ulazu u mlaznicu [m/s] 10 1
Pritisak na obodu diska [Pa] 195994.8475 197501.07
Brzina na obodu diska 9.185590706 8.97911926
Pritisak na unutršnjem radijus diska [Pa] 103270.7162 103292.633
Brzina na unutrašnjem radijus diska [m/s] 5.998378407 5.88253110
Pritiska na izlazu iz turbine [Pa] 101285.4379 101284.88
Volumni protok na izlazu iz turbine [m^3/s] -9.99997E-05 -0.00010000
Brzina na izlazu iz turbine [m/s] 0.7292126 0.7475862
Moment na diskovima [N*m] 0.06605489 0.06851846
Pad pritiska kroz turbinu [Pa] 126343.0902 128187.037Pad pritiska kroz rotor [Pa] 92724.13132 94208.4426
Efikasnost [ ] 0.524099436 0.53582596
Iz tabele 3. vidimo da se rezultati sa modelom od 514. 271 fluidnih elemenata i modelom
sa 1.116.061 fluidnih elemenata, što je otprilike duplo veći broj fluidnih elemenata, me
razlikuju puno što vodi do zaključka da je daljnje povećanje kvalitete mreže nije potrebno. Sve
ostale simulacije za različite parametre /∙, urađene su sa istom kvalitetom mreže i
otprilike svi modeli su imali oko 500.000 fluidnih elemenata.
5.6 Uticaj bezdimenzionalnog parametra protoka /∙ na efikasnost turbine
Kao prvi parametar od interesa koji je praćen tokom simulacija je bezdimenzionalni
parametar protoka definisan slijedećim izrazom:
/∙ (5.3)
Gdje je:
Q – protok kroz turbinu;
ω – ugaona brzina obrtanja diskova;
– vanjski poluprečnik diska.
Prema slici 3.1 (na stranici 10) vidimo da efikasnost turbine je veća što je
bezdimenzonalni koeficijent protoka izraz (5.3) manji, zbog toga je prvo izvršeno višesimulacija kod kojih smo mijenjali parametar protoka. Geometrijske karakteristike kao što su
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
diskovima, mlaznica će biti uža za iste vrijednosti protoka i brzine nego sa jednim parom
diskova.
Svi parametri simulacija od interesa dati su u slijedećoj tabeli 11.
Tabela 11. Parametri simulacija za različit broj diskova
Na slijedećem dijagramu dati su rezultati simulacija sa parametrima iz prethodne tabele
11. Kod ovih simulacija fiksirali smo bezdimenzionalni parametra protoka Q(ω∙r 03 ) na
vrijednost 0.001 kao i vrijednost bezdimenzionalnog parametra brzine (ω∙r 0 )/v0 na vrijednost
½. Pošto se protok računa po jednom međurastojanju između diskova tako za tri diska imamodva međurastojanja između diskova tako da je protok duplo veći nego za dva diska gdje imamo
jedno međurastojanje. Kod prve simulacije debljina diskova nije ni uzeta u razmatranje jer je
širina mlaznice upravo jednaka međurastojanju između diskova, a kod ostale dvije simulacije
debljina diskova je uzeta u razmatranje tako kod npr. druge simulacije širina mlaznice je 7 mm,
od čega 4 mm otpadaju na dva međurastojanja između diskova i 3 mm na t ri diska po jedna
mm. Na taj način smo uzeli u razmatranje i interakciju fluida sa obodom diskova.
Simulacijabr.
Parametar protoka/∙
Ukupni protok
krozturbinu
Brojdiskova
N
Debljinadiskova t
[mm]
Parametar brzine ∙ /
Odnos/
Vanjskiradijus
Ugaona brzinaobrtanjadiskova
/
PovršinamlazniceA[mm2]
(širina xdužina)
Odnosvanjskog i
unutrašnjegradijusa/
1. 0.001 0.0001 2 - ½ 50 0.1 100 5 (2 x 2.5) 0.25
2. 0.001 0.0002 3 1 ½ 50 0.1 100 10 (7 x 1.43) 0.25
3. 0.001 0.0003 4 1 ½ 50 0.1 100 15 (10 x 1.5) 0.25
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 5.21 Uticaj broja diskova na efikasnost turbine
Sa dijagrama vidimo da na efikasnost ne utječe negativno povećanje broja diskova,
naravno da za kompletniju sliku treba izvršiti simulacije sa dosta većim brojem diskova da bi
se vidjelo koja je gornja granica kada daljnje povećanje diskova nema smisla i dovodi od
smanjenja efikasnosti.
Povećanje efikasnosti koje se može uočiti na dijagramu pri povećanju broja diskova
može se objasniti užom mlaznicu zbog toga što debljina diskova sada ulazi u kompletnu širinurotora a uža mlaznica dovodi do povećanja referentnog radijusa koji predstavlja dužinu od
težišta mlaznice do ose obrtanja a znamo da referentni radijus ulazi u empirijske formule za
moment i impulsnih i reakcionih turbina.
Veći referentni radijus dopušta fluidu veću razmjenu količine kretanja sa diskovima, što
objašnjava i veću efikasnosti za manje parametre protoka što se može vidjeti i sa slike 5.17 (na
stranici 58) , gdje za manje parametre protoka imamo veću efikasnosti.
5.10 Vizualizacija rezultata CFD analiza
U ovom odjeljku je dat prikaz alata raspoloživih u softveru SolidWorks Flow
Simulation za vizualizaciju rezultata CFD analiza.
Jedna od najboljih alatkih za vizualizaciju toka fluida je Flow Trajectories koja
nam pokazuje putanju fluida od ulaza u mlaznicu do izlaza iz turbine.
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 5.31 Profil brzina između diskova; ; za parametre simulacija Q
ω∙r 03 =0.001;
ω∙r 0vo
=1;r 0 b
=50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.
Površina između profila brzina na ulazu u rotor i izlazu iz rotora proporcionalna jerazvijenom momentu na diskovima rotora, što znači da je iskoristivost turbine veća što je ta
površina veća i obratno. Sa slike 5.31 (above) možemo uočiti da je površina između profila na
ulazu u rotor i profila na sredini rotora dosta veća nego od sredine do izlaza iz rotora, što vodi
do zaključka da se većina transfera ener gije sa fluida na diskove posredstvom viskoznosti
odvija u prvom djelu rotora. Poznato je da tangencijalna komponenta brzine proizvodi moment
, dok radijalna komponenta brzine pravi samo gubitke. Zbog toga daćemo profil i za radijalnu
komponentu brzine kao što smo to uradili na slici 5.31 (above).
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002
B r z i n a ( m / s )
Aksijalna pozicija između diskova(m)
Na ulazu u rotor Na sredini rotora Na izlazu iz rotora
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini
Slika 5.32 Profil radijalne komponente brzine između diskova; za parametre simulacija Q
ω∙r 03 =0.001;
ω∙r 0vo
=1;r 0 b
=50; Parametri simulacije 3.;Tabela 4.
Sa slike 5.32 se može uočiti promjena pravca radijalne komponente brzine koja jeizraženi ja u unutrašnjosti rotora, a ta pojava se slaže sa izvještajima (Matsch (1968), citirano
prema [9]) za laminarno rješenje toka između diskova. Takva pojava promjene pravca radijalne
komponente brzine a prema također se može sresti za slučaj Tesline pumpe za slučaj Re b=20.
Pošto znamo da radijalna komponenta brzine utječe samo na gubitke, uporediti ćemo radijalne
komponente brzina sa prethodne slike za parametar (ω∙r 0)/v0=1 i za parametar (ω∙r 0)/v0=1/4 za
koji imamo veću efikasnost, slika 5.18 (na stranici 60).
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002
R a d i j a l n a k o m p o n e t a b r z i n e ( m / s )
Aksijalna pozicija između diskova [m]
Na ulazu u rotor Na sredini rotora Na izlazu iz rotora
7/23/2019 CAE DIPLOMSKI-Numerička Simulacija Strujanja Fluida u Teslinoj Turbini