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1
Mdulo 16 Radiciao em 1. (MODELO ENEM) Os afixos das razes
n-simas (n 2) de um nmero complexo z 0 so pontos de
umacircunferncia com centro na origem do plano complexo, raioigual
a
n
z e que dividem essa circunferncia em n partescongruentes.Ento,
a rea do polgono cujos vrtices so os afixos das razessextas de
1
a) 3 b) 23 c) 73 d) 43 e)Resoluo
O polgono regular cujos vrtices so as razes sextas de 1
umhexgono regular cujo lado mede 1. Sua rea 6 . =
Resposta: E
Mdulos 17 e 18 Polinmios:Grau, Raiz, Identidades,Diviso,
Briot-Ruffini e Teorema do Resto
2. (UNESP MODELO ENEM) Seja x um nmero realpositivo. O volume de
um paraleleppedo reto retngulo dado,em funo de x, pelo polinmio x3
+ 7x2 + 14x + 8. Se umaaresta do paraleleppedo mede x+1, a rea da
face perpendiculara essa aresta pode ser expressa por:a) x2 6x + 8
b) x2 + 14x + 8 c) x2 + 7x + 8 d) x2 7x + 8 e) x2 + 6x + 8
ResoluoSe o volume do paraleleppedo reto retngulo dado por x3 + 7x2
+ 14x + 8, com x > 0, ento, a rea da face perpen -dicular aresta
de medida x + 1 dada por
= x2 + 6x + 8, pois
Resposta: E
3. Dividir x3 + 2x por x4 + 3x2 2x + 1.Resoluo
, pois
x3 + 2x (x4 + 3x2 2x + 1) . 0 + (x3 + 2x) gr(R) = 3 < gr(B) =
4 Resposta: Q(x) 0 e R(x) = x3 + 2xObs.: Se gr(A) < gr(B), ento
R(x) A(x) e Q(x) 0
4. Dividir x4 + 3x2 7x + 2 por x 2 pelo mtodo da
chave.Resoluo
Resposta: Q(x) = x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16
5. Repetir a questo anterior, utilizando o Dispositivo Prticode
Briot-Ruffini.ResoluoPara = 2, que a raiz de x 2 = 0, tem-se:
O resto 16 e os coeficientes de Q so 1, 2, 7, 7.Resposta: Q(x) =
x3 + 2x2 + 7x + 7 e R(x) = 16
6. Dividir 2x3 + 7x2 4 por x + 2.ResoluoUtilizando o Dispositivo
Prtico de Briot-Ruffini com = 2,que a raiz de x + 2 = 0,
tem-se:
Resposta: Q(x) = 2x2 + 3x 6 e R(x) = 8
33
2
123
433
2
x3 + 7x2 + 14x + 8
x + 1
11
76
148
80
1
coeficientes de Q resto
1 0 3 7 2 21 2 7 7 16
x3 + 2x x4 + 3x2 2x + 1x3 + 2x 0
x4 + 0x3 + 3x2 7x + 2 x2 2 x4 + 2x3 x3 + 2x2 + 7x + 7
2x3 + 3x2 7x + 2 2x3 + 4x2
7x2 7x + 2 7x2 + 14x
7x + 2 7x + 14
16
coeficientes de Q resto
2 7 0 4 22 3 6 8
LGEBRAFRENTE 1
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2
Mdulo 19 Equaes Algbricas:Relaes de Girard
7. Determinar a sabendo-se que 2 raiz da equaox4 3x3 + 2x2 + ax
3 = 0.ResoluoSe 2 raiz da equao, ento:24 3 . 23 + 2 . 22 + a . 2 3
= 0e da 16 24 + 8 + 2a 3 = 0 2a 3 = 0 a = 3/2Resposta: a = 3/2
8. Resolver a equao x3 3x2 x + 3 = 0, sabendo-se que asoma de
duas razes zero.ResoluoSendo V = {r1, r2, r3} o conjunto verdade da
equao, temos:
r1 + r2 + r3 = 3 (I)Relaes de Girard r1 . r2 + r1 . r3 + r2 r3 =
1 (II)r1 . r2 . r3 = 3 (III)Relao auxiliar: r1 + r2 = 0 (IV)
Substituin do (IV) em (I), temos:0 + r3 = 3 r3 = 3Sendo r3 = 3 e
r1 + r2 = 0, de (III) e (IV), resulta:
r1 . r2 = 1 r1 = 1 e r2 = +1r1 + r2 = 0Resposta: O conjunto
verdade da equao {1; 1; 3}.
Mdulo 20 Equaes Algbricas:Pesquisa de Razes
9. Resolver a equao x3 3x2 + 4x 2 = 0, sabendo-se que1 i
raiz.ResoluoSe a equao tem coeficientes reais e admite 1 i como
raiz,ento admite tambm o conjugado 1 + i como raiz. Assimsendo, o
conjunto verdade {r; 1 i; 1 + i}. Para calcular r,usar a 1a. Relao
de Girard. Assim: r + (1 i) + (1 + i) = 3 r = 1Resposta: V = {1; 1
i; 1 + i}
10. Resolver a equao 6x4 + 35x3 + 62x2 35x + 6 = 0ResoluoDividir
ambos os membros por x2 e agrupar os termos:6x4 35x3 + 62x2 35x + 6
= 0
6x2 35x + 62 35 . + 6 . = 0
6 x2 + 35 x + + 62 = 0
Se x + = t, ento x2 + = t2 2 e, portanto,
6(t2 2) 35t + 62 = 0 6t2 35t + 50 = 0
t = ou t =
Se t = , x + = 3x2 10x + 3 = 0
x = 3 ou x =
Se t = , x + = 2x2 5x + 2 = 0
x = 2 ou x =
Resposta: V = ; ; 2; 3
Mdulo 21 Fatorial e Nmero Binomial
11. (MODELO ENEM) De uma reunio participam npessoas (n 2). Se
todas elas se cumprimentam com um apertode mos, ento o total de
apertos de mos dado por
=
Se em uma festa todos os presentes se comprimentarem comum
aperto de mos e foram registrados 190 cumprimentos dessetipo,
quantas pessoas estavam presentes no local?a) 15 b) 18 c) 20 d) 24
e) 26Resoluo
= 190 = 190
= 190 = 190
n2 n 380 = 0 n = 20, pois n .Resposta: C
12. (MODELO ENEM) Sabendo-se que a soma dos ele -mentos de uma
coluna do tringulo de Pascal pode ser calculadapela frmula
+ + + + = ,
com n e p nmero naturais (n p) e o nmero binomial de n sobre p,
podemos concluir que a soma
S = + + + + resulta igual a
a) 870 b) 969 c) 1140 d) 1330 e) 1560Resoluo
+ + + + = =
1
x
1
x2
1
x2 1
x
1
x1
x2
10
35
2
10
31
x
103
1
3
5
21
x
5
2
1
2
131
2
n2 n!2! (n 2)!
n2 n!
2! . (n 2)!n(n 1)(n 2)!
2! . (n 2)!n2 n
2
pp p + 1
p p + 2
p n
p n + 1p + 1
np
22 32
42
182
18 + 12 + 1182
42
32
22
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-
= = = =
= = = 969
Resposta: B
13. (MODELO ENEM) Em uma barraca de frutas, aslaranjas so
arrumadas em camadas retangulares, obedecendo seguinte disposio:
uma camada de duas laranjas encaixa-sesobre uma camada de seis;
essa camada de seis encaixa-se sobreoutra de doze; e assim por
diante, conforme ilustrao abaixo
Assim, o nmero total de laranjas que compem quinze cama -das :a)
680 b) 1360 c) 2040 d) 2720 e) 3400ResoluoDe acordo com a disposio
apresentada, as camadas, (de cimapara baixo) podem ser
representadas da seguine maneira:
1a. camada: 2
2a. camada: 2
3a. camada: 2
15a. camada: 2
Assim, o nmero total de laranjas que compem 15 camadas igual
soma:
2 . + + + + =
= 2 . = 2 . = 2 .
2 . = 2 . =
= 2 . = 1360
Resposta: B
Mdulo 22 Teorema do Binmio de Newton
14. (MODELO ENEM) O termo geral do desenvolvimentodo bi nmio (x
+ y)n, Tk + 1 = xk . yn k, pode ser utilizado
para resolver certos problemas de probabilidade. Por exemplo,se
um casal tem n filhos (n 2), a probabilidade de serem khomens e,
con sequentemente, n k mulheres dada por
p = xk . yn k, em que x e y so, respectivamente, as
probabilidades de, em cada nascimento, o filho ser homem
oumulher.
Ento, a probabilidade de um casal ter 6 filhos, sendo 2 homense
4 mulheres igual a
a) b) c) d) e)Resoluo
p = xkyn k e n = 6, k = 2, x = y =
Logo, resulta p = 2
.
4
=
= .. = 15 . =
Resposta: D
15. (MODELO ENEM) Jogando dez vezes um dadohonesto, com faces
numeradas de 1 a 6, a probabilidade de seobter somente duas vezes a
face 6 voltada para cima
a).
8b)
.
10
c).
8d)
.
9
e).
8
ResoluoA probabilidade de ocorrer a face 6 em cada lanamento
x = e a de no ocorrer y = 1 = .
Temos, ento
p = xkyn k, x = , y = , n = 10 e k = 2
Logo, resulta
p =2
.
8= 45 . =
= 45 . =.
8= .
8
Resposta: C
22
32
42
162
22 32
42
162
16 +12 + 1 173 17!3!.(17 3)!
17!
3!.14!17 . 16 . 15 . 14!
3 . 2 . 1 . 14!
17 . 16 . 15
3 . 2 . 1
nk
nk
23
16
732
1564
764
nk 12 62 12
1
2 6!
2!.4!1
41
161
6415
64
2
3 1
6 3
5 1
6 5
4 5
6 25 1
6 3
8 5
6
1
61
65
6
nk 1
65
6
19 . 18 . 17 . 16!
3 . 2 . 1 . 16!19 . 18 . 17!
3 . 2 . 1
58
6105
61
6102
19!
3!16!19!
3!(19 3)!193
56545645
3658
62 . 68
3
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Mdulo 23 Princpio Fundamental da Contagem, Arranjos
ePermutaes
16. (MODELO ENEM) Uma clnica dispe de 4 enfer -meiras, 2 clnicos
gerais 3 cirurgies para os plantes. Cadaplanto deve ter uma equipe
composta de uma enfermeira, umclnico geral um cirurgio. O nmero de
equipes diferentes quepodem ser formadas :a) 11 b) 16 c) 24 d) 32
e) 40ResoluoO nmero de equipes diferentes que podem ser formadas,
nascon dies do enunciado 4 . 2 . 3 = 24, pelo Princpio Fun
-damental da Con tagem.Resposta: C
17. (MODELO ENEM) Na figura, temos um quadradomaior de lado 4
cm, subdividido em vrios quadrados de lados1 cm, 2 cm e 3 cm.
Quantos quadrados diferentes podem sercon tados na figura?a) 16 b)
20 c) 26 d) 28 e) 30
ResoluoQuadrado de lado 4 cm = 1Quadrados de lados 3 cm = 22 =
4Quadrados de lados 2 cm = 32 = 9Quadrados de lados 1 cm = 42 =
16So, portanto, 1 + 4 + 9 + 16 = 30 quadrados diferentes no
total.Resposta: E
Mdulo 24 Combinaes
18. (MODELO ENEM) Num veculo com 9 lugares, sendoum deles o do
motorista, devero viajar 9 pessoas das quaisapenas 4 podem dirigir.
Nessas condies, de quantas maneirasessas pessoas podero ser
dispostas no referido veculo?a) 20 160 b) 40 320 c) 80 640d) 161
280 e) 362 880ResoluoPara cada um dos 4 que podem ocupar a posio do
motorista,per mutamos entre si as demais 8 pessoas.Resulta,
portanto, 4 . P8 = 4 . 8! = 161 280Resposta: D
19. (ENEM) A escrita Braile para cegos um sistema desmbolos no
qual cada carter um conjunto de 6 pontosdispostos em forma
retangular, dos quais pelo menos um sedestaca em relao aos
demais.Por exemplo, a letra A representada por .
O nmero total de caracteres que podem ser represen tados
nosistema Braile a) 12. b) 31. c) 36. d) 63. e) 720.ResoluoA partir
do enunciado, conclui-se que o nmero total decaracteres que podem
ser representados no sistema Braile :C6,1 + C6,2 + C6,3 + C6,4 +
C6,5 + C6,6 = 26 1 = 63Resposta: D
Obs.: Note que nos 63 caracteres possveis de serem obtidosest
includo aquele em que os seis pontos esto em destaque.Neste caso no
existe pelo menos 1 que se destaque dos demais;todos, porm,
destacam-se em relao ao plano do papel.
20. (MODELO ENEM) Quantos so os nmeros de trsalgarismos do
Sistema Decimal de Numerao que possuempelo menos dois algarismos
iguais?a) 126 b) 144 c) 252 d) 378 e) 504ResoluoO total de nmeros
de trs algarismos do Sistema Decimal deNumerao igual a 9 . 10 . 10
= 900, dos quais 9 . 9. 8 = 648tm os algarismos distintos.Portanto,
os que possuem pelo menos dois algarismos iguaisso em nmero de 900
648 = 252Resposta: C
21. (MODELO ENEM) As avenidas de uma cidade estodispostas na
direo norte-sul e as ruas dessa mesma cidade nadireo leste-oeste.
Paulo mora em uma das esquinas da cidadee sua namorada Tnia em
outra esquina situada, em relao dePaulo, trs quadras ao sul e cinco
quadras a leste. Quantoscaminhos diferentes Paulo pode fazer para
ir de sua casa at acasa de Tnia caminhando apenas para sul e para
leste?a) 28 b) 35 c) 56 d) 84 e) 120Resoluo
Na figura considere o ponto P como sendo onde mora Paulo eT onde
mora Tnia. Se S representa sul e L leste, dois possveiscaminhos
para Paulo ir de sua casa at onde mora Tnia, de
4
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acordo com o que se pede SSSLLLLL e SSLLLSLL.O nmero de caminhos
possveis igual quantidade de
anagramas da palavra SSSLLLLL que P8(3;5)
= = 56
Resposta: C
Mdulo 25 Probabilidade: Definio eUnio de Eventos
22. (ENEM) Um municpio de 628 km2 atendido por duasemis soras de
rdio cujas antenas A e B alcanam um raio de 10 km do municpio,
conforme mostra a figura:
Para orar um contrato publicitrio, uma agncia precisa avaliara
probabilidade que um morador tem de, circulando livrementepelo
municpio, encontrar-se na rea de alcance de pelo menosuma das
emissoras.Essa probabilidade de, aproximadamente, a) 20% b) 25% c)
30% d) 35% e) 40%ResoluoA rea de alcance de pelo menos uma das
emissoras
= 157km2.
A probabilidade de um morador en con trar-se na rea de al can
-
ce de pelo menos uma das emissoras = 25%.
Resposta: B
23. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completouo Ensino
Mdio h 10 anos se encontraram em uma reuniocomemorativa. Vrias
delas haviam se casado e tido filhos. Adistribuio das mulheres, de
acordo com a quantidade defilhos, mostrada no grfico abaixo.
Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.A
probabilidade de que a criana premiada tenha sido um(a)filho(a)
nico(a) a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15 d) 7/23 e) 7/25
ResoluoA partir da distribuio apresentada no grfico, temos:8
mulheres sem filhos.7 mulheres com 1 filho.6 mulheres com 2
filhos.2 mulheres com 3 filhos.Como as 23 mulheres tm um total de
25 filhos, aprobabilidade de que a criana premiada tenha sido
um(a) filho(a) nico(a) igual a P = .
Resposta: E
Mdulo 26 Probabilidade Condicional eInterseco de Eventos
24. (MODELO ENEM)
Uma urna contm apenas 10 bolas, sendo 7 azuis e 3
verdes.Retirando-se duas bolas ao acaso e sem reposio da
primeiraantes de retirar a segunda, qual a probabilidade de as duas
bolasserem ver des?
a) b) c) d) e)
ResoluoRepresentando por PA o evento primeira bola azul, SA
oevento segunda bola azul, PV o evento primeira bola verdeetc.,
temos:
P(PV SV) = P(PV) . P(SV/PV) = . =
Resposta: A
25. (MODELO ENEM) Em um determinado semforo, asluzes completam
um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1minuto e 40 se gundos.
Desse tempo, 25 segundos so para a luzverde, 5 segundos para a
amarela e 70 segundos para avermelha. Ao se aproximar do semforo,
um veculo tem umadeterminada probabilidade de encontr-lo na luz
verde, amarelaou vermelha. Se essa aproximao for de forma aleatria,
pode-se admitir que a probabilidade de encon tr-lo com umadessas
cores diretamente propor cio nal ao tempo em que cadauma delas fica
acesa.Suponha que um motorista passa por um semforo duas vezesao
dia, de maneira aleatria e independente uma da outra. Qual a
probabilidade de o motorista encontrar esse semforo coma luz verde
acesa nas duas vezes em que passar?
a) b) c) d) e)
7
25
1
152
151
51
31
4
3
102
91
15
8!
3!5!
1022
157
628
1
31
31
91
161
25
5
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Mdulo 16 Radiciao em De 1 a 7 calcular as razes:
1. Quadradas de 4.2. Cbicas de 8 i.
3. Quartas de 16. 4. Quartas de 16 (cos 120 + i . sen 120)5.
Sextas de 64.
6. Sextas de 64.
7. Cbicas de 8.
Mdulo 17 Polinmios: Grau, Raiz, Identidades e Diviso
1. As solues da equao Q(x) = 0, em que Q(x) o quocienteda diviso
do polinmio x4 10x3 + 24x2 + 10x 24 por x2 6x + 5, so:a) 1 e 5 b) 1
e 5 c) 1 e 5d) 1 e 5 e) 0 e 1
2. (UESPI) O resto da diviso do polinmio P(x) = x4 + 69por x2 +
4x + 8 :a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. (PUC-RS) Se chamamos de Q(x) o quociente da divisode P(x) =
x3 12x2 + 41x 30 por D(x) = x2 7x + 6, entoQ(3) igual a:a) 8 b) 2
c) 2 d) 3 e) 8
4. (UESPI) Se o polinmio P(x) = x3 + mx2 1 divisvelpor x2 + x 1,
ento m igual a:a) 3 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2
5. (UEL) Sabe-se que na diviso do polinmiof = x3 2x2 + kx + t
por g = x2 x + 1, obtm-se resto 3x 2.Nessas condies, os nmeros
reais k e t so tais que k t igual a:
a) 8 b) 4 c) 2 d) 2 e) 8
6. O quociente da diviso do polinmio f = x3 1 por g = x2 + 1 :a)
x + 1 b) x 1 c) x d) x + 1 e) x 1
7. (FGV) Dividindo o polinmio P(x) por x2 + x 1 obtm-sequociente
igual a x 5 e resto igual a 13x + 5. O valor de P(1) :a) 12 b) 13
c) 15 d) 16 e) 14
8. (UFRN) Se A, B e C so nmeros reais e P(x) = x5 7x2 + 2x + 4
dividido por Q(x) = x3 8 deixa restoR(x) = Ax2 + Bx +C, pode-se
afirmar que 4 A + 2 B + C iguala:
a) 8 b) 16 c) 12 d) 20
6
ResoluoSe a cada 1 minuto e 40 segundos (100 segundos) a luz
verdefica acesa 25 segundos, a probabilidade de o motorista
encontrar
a luz verde, ao passar pelo semforo, =
A probabilidade de encontrar a luz verde acesa nas duas vezesem
que passar
. =
Resposta: B
Mdulo 27 Lei Binomial deProbabilidade
26. (MODELO ENEM) A probabilidade de um atiradoracertar um alvo
em um nico tiro 0,2. Com apenas 4 tiros,qual a probabilidade de
esse atirador acertar o alvo s 2 vezes?a) 14,25% b) 15% c) 15,36%
d) 16% e) 16,35%Resoluo Sendo A o evento acertar o alvo e A
o evento complementar,temos:a) P(A) = p = 0,2
b) P(A ) = 1 p = 1 0,2 = 0,8c) A probabilidade pedida C4,2 .
(0,2)2 . (0,8)4 2 = 0,1536Resposta: C
27. (MODELO ENEM) Um casal decidiu que vai ter 3filhos. Con
tudo, quer exatamente 2 filhos homens e decide que,se a proba
bilidade for inferior a 50%, ir procurar uma clnicapara fazer um
tratamento especfico para assegurar que ter osdois filhos ho
mens.Aps os clculos, o casal concluiu que a probabilidade de
terexatamente 2 filhos homens a) 66,7%, assim ele no precisar fazer
um tratamento.b) 50%, assim ele no precisar fazer um tratamento.c)
7,5%, assim ele precisar fazer um tratamento.d) 25%, assim ele
precisar procurar uma clnica para fazer um
tratamento.e) 37,5%, assim ele precisar procurar uma clnica para
fazer
um tratamento.ResoluoAdmitindo-se que para esse casal a
probabilidade do filho ser dosexo masculino (ou feminino) 50%, a
probabilidade delesterem exata mente dois filhos homens e, claro,
uma mulher
P = C3,2 . 50% . 50% . 50% = 3 . 3
= = 0,375 = 37,5%Resposta: E
25
1001
4
1
41
41
16
123
8
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9. (UEL) Dividindo-se o polinmio x4 + 2x3 2x2 4x 21por x + 3,
obtm-se:a) x3 2x2 + x 12 com resto nulob) x3 2x2 + 3 com resto 16c)
x3 + x2 13x + 35 e resto 84d) x3 + x2 3x + 1 com resto 2e) x3 x2 +
x 7 e resto nulo
10. O resto da diviso do polinmio x4 + x3 + x2 + x + 1 por x + 1
:a) 0 b) 5 c) 1 d) 1 e) 2
11. O resto da diviso do polinmio p(x) = 2x4 3x + 1 porg(x) = 2x
1 :
a) b) c) d) e)
12. (UEL) Se o resto da diviso do polinmiop = x4 4x3 kx 75 por
(x 5) 10, o valor de k :a) 5 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
Mdulo 18 Polinmios: Briot-Ruffini e Teorema do Resto
1. (PUCCAMP) Dividindo-se um polinmio f por g = x2 1, obtm-se
quociente q = 2x + 1 e resto r = kx 9,sendo k . Se f divisvel por x
2, ento k igual aa) 6 b) 3 c) 1 d) 3 e) 6
2. O resto da diviso de x142 1 por x + 1 :a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e)
2
3. A diviso x999 1 por x 1 tem resto R(x) e quocienteQ(x).
Pode-se afirmar que:a) R(x) = 2 e Q(x) tem grau 998b) R(x) = 0 e
Q(x) se anula para x = 0c) R(x) = 2 e Q(x) se anula para x = 1d)
R(x) = 0 e Q(x) vale 1 para x = 0e) R(x) = 2 e Q(x) vale 1 para x =
0
4. O polinmio P(x) = x5 + ax4 bx divisvel por x 2.Dividido por x
+ 2, d resto 8. Ento, o valor de b :
a) b) 18 c) 18 d) e) 12
5. Para que o polinmio x3 6x2 + mx + n seja divisvel por (x 1)
(x 2) o produto mn deve ser igual a:a) 2 b) 66 c) 2 d) 66 e) 0
6. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinmio x4 12x3 +
47x2 + mx + n seja divisvel por x2 7x + 6. Ento m + n igual a:a) 72
b) 0 c) 36 d) 36 e) 58
7. O resto da diviso de um polinmio P(x) por 2x 1 4;deste modo,
o resto da diviso de (x2 x) . P(x) por 2x 1 :a) 2 b) c) d) 1 e)
4
8. (FUVEST) Seja p(x) um polinmio divisvel por x 3.Dividindo
p(x) por x 1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10. O resto da
diviso de q(x) por x 3 :a) 5 b) 3 c) 0 d) 3 e) 5
9. (FUVEST) Considere P(x) um polinmio de grau 2 talque P(1) = 2
e P(2) = 1. Sejam D(x) = (x 2) (x 1) e Q(x) oquociente da diviso de
P(x) por D(x).a) Determine o resto da diviso de P(x) por D(x).b)
Sabendo-se que o termo independente de P(x) igual a 8,
determine o termo independente de Q(x).
10. Um polinmio P(x) dividido por x 2 d resto 3 e divididopor x2
2 d resto 3x 1. O resto da diviso de P(x) por(x 2) (x2 2) :a) x2 +
3x + 1 b) 9x 3 c) x2 3x 1d) 4x2 + 2x 3 e) x2 + 3x + 1
11. (UnB) O resto da diviso do polinmio 310 . (x + 3)12pelo
polinmio x3 :a) 66x2 + 36x + 9 b) zero c) 48x2 + 12x + 9d) 66x2 9
e) x2 + x + 9
12. Um polinmio P(x) divisvel por x + 1 e, dividido porx2 + 1, d
quociente x2 4 e resto R(x). Se R(2) = 9, escrevaP(x).
13. (UnB) P1(x) e P2(x) so polinmios do 2o. grau que seanulam
quando x = 0. O resto da diviso de P1(x) por(x 1) (x + 2) 3x + 1. O
resto da diviso de P2(x) por(x + 1) (x + 2) 2x 1. Ento, o quociente
da diviso de P1(x)por P2(x) :a) 1 b) 0 c) x + 1 d) 2 e) x 1
14. (MACKENZIE) Um polinmio p(x), de grau maior que 1,deixa
resto 1, quando dividido por x 2, e deixa resto 2, quandodivi di do
por x 3. O resto da diviso de p(x) por x2 5x + 6 a) x. b) 2x + 1.
c) 2x. d) x 1. e) 2.
15. (UNESP) Considere a matriz
A = .
O determinante de A um polinmio p(x).a) Verifique se 2 uma raiz
de p(x).b) Determine todas as razes de p(x).
16. (UNIFESP) Dividindo-se os polinmios p1(x) e p2(x) por x 2
obtm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. Sa -bendo-se que r1
e r2 so os zeros da funo quadrtica y = ax2 + bx + c, conforme
grfico,
45
45
3
83
825
1
41
4
1
21
2
x
x1
2x
x
0
2
1
x
0
7
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o resto da diviso do polinmio produto p1(x).p2(x) por x 2 :a) 3
b) 5 c) 8 d) 15 e) 21
17. (UNESP) Considere o polinmio p(x) = x3 + bx2 + cx + d,onde
b, c e d so constantes reais. A derivada de p(x) , pordefinio, o
polinmio p(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p(1) = 0, p(1) = 4 e o resto da
diviso de p(x) por x 1 2, ento o polinmio p(x) :a) x3 x2 + x + 1.
b) x3 x2 x + 3.c) x3 x2 x 3. d) x3 x2 2x + 4.e) x3 x2 x + 2.
Mdulo 19 Equaes Algbricas:Relaes de Girard
1. Determinar o polinmio do 3o. grau que se anula parax = 1 e
que, dividido por x + 1, x 2 e x + 2, d restos iguais a 6.
2. Se P(x) = x3 + ax + b, em que a, b so nmeros reais e 1, 2, c
so razes do polinmio P(x), ento c igual a:a) 0 b) 1 c) 3 d) 1 e)
3
3. A equao polinomial 4x5 + 3x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3 = 0tem como
razes a, b, c, d e e.
O valor de + + + + :
a) b) c) d) e)
4. (FUVEST) O polinmio p(x) = x3 x2 + x + a divisvelpor x 1.
Ache todas as razes complexas de p(x).
5. Resolver a equao x3 7x + 6 = 0, sabendo-se que 1 uma de suas
razes.
6. (FATEC) Se 1 raiz do polinmiop(x) = x3 4x2 + x k, k , ento as
outras duas razes so:a) reais e de multiplicidade 2 b) racionais e
negativasc) no reais d) irracionaise) inteiras
7. (UEL) Uma das razes do polinmio x3 + 2x2 7x 2 2. O produto
das outras razes :a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 28. (MACKENZIE) Se a soma
de duas razes deP(x) = x3 6x2 + 11x + k 3, ento o nmero real k
igual a:a) 6 b) 3 c) 2 d) 3 e) 6
9. (UFCE) Sabendo-se que as razes do polinmio P(x) = x3 18x2 +
8x + 384 esto em progresso aritmtica,determinar a maior delas.
10. (VUNESP) Se as razes do polinmio p(x) = x3 6x2 + kx 6 so
reais e esto em progresso aritmtica,o valor de k :a) 0 b) 2 c) 3 d)
5 e) 11
11. (FUVEST) Sabe-se que P(x) um polinmio cujas razesformam uma
progresso geomtrica de razo 2 e primeiro termo2. O coeficiente do
termo de mais alto grau de P(x) 1 e o termoindependente igual a
221. O grau do polinmio :a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12. (ITA) As razes da equao de coeficientes reaisx3 + ax2 + bx +
c = 0 so inteiras, positivas e consecutivas. Asoma dos quadrados
dessas razes igual a 14. Entoa2 + b2 + c2 igual a:a) 190 b) 191 c)
192 d) 193 e) 194
13. Um polinmio P1(x) anula-se em 3 pontos distintos. Umpolin
mio P2(x) anula-se em 4 pontos distintos. Ento, oproduto dos
polinmios P1(x) e P2(x):a) pode no se anular em nenhum ponto.b)
anula-se em exatamente 7 pontos distintos.c) pode anular-se em mais
de 7 pontos distintos.d) pode anular-se em apenas 5 pontos
distintos.e) anula-se em exatamente 12 pontos distintos.
14. (FGV) O polinmio p(x) = x3 5x2 52x + 224 tem trsrazes
inteiras. Se a primeira delas o dobro da terceira e a somada
primeira com a segunda 1, ento, o produto da primeira ea segunda a)
224. b) 167. c) 56. d) 28. e) 5.
15. (UNIFESP) Considere a equao x3 Ax2 + Bx C = 0,onde A, B e C
so constantes reais. Admita essas constantesescolhidas de modo que
as trs razes da equao so as trsdimenses, em centmetros, de um
parale leppedo reto-retn -gulo. Dado que o volume desse para le
leppedo 9 cm3, que asoma das reas de todas as faces 27 cm2 e que a
soma doscomprimentos de todas as arestas 26 cm, pede-se: a) os
valores de A, B e C. b) a medida de uma diagonal (interna) do
paralele ppedo.
16. (UNESP) Seja z = 1 + i um nmero complexo.a) Escreva z e z3
na forma trigonomtrica.b) Determine o polinmio de coeficientes
reais, de menor grau,
que tem z e |z|2 como razes e coe ficiente dominante igual
a1.
17. (FUVEST) O produto de duas das razes do polinmio p(x) = 2x3
mx2 + 4x + 3 igual a 1. Determinara) o valor de m.b) as razes de
p.
1
a
1
b1
c
1
d1
e
4
34
33
43
41
4
8
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18. (UFOP) Sabendo que 1 raiz da equao polinomial6x3 + 5x2 + kx
1 = 0 e denominando de a e b as outras razesdessa equao, pode-se
afirmar que a2 + b2 vale:
a) b) c) 1 d) 1
Mdulo 20 Equaes Algbricas:Pesquisa de Razes
1. Na equao x4 x3 3x2 + 5x 2 = 0, o nmero 1 raiz:a) simples b)
dupla c) triplad) qudrupla e) quntupla
2. Se a equao x3 2x2 + x + m 1 = 0 tem uma raiz dupla,ento m
pode ser:a) zero b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3. (FUVEST) Suponha que o polinmio do 3o. grau P(x) = x3 + x2 +
mx + n, em que m e n so nmeros reais, sejadivisvel por x 1. a)
Determine n em funo de m.b) Determine m para que P(x) admita raiz
dupla diferente de 1.c) Que condies m deve satisfazer para que P(x)
admita trs
razes reais e distintas?
4. O polinmio x7 2x6 + x5 x4 + 2x3 x2 = 0 tem:a) 2 razes duplas
b) 1 raiz triplac) 4 razes no reais d) 6 razes no reaise) 3 razes
duplas5. Determine as razes da equao x3 16x2 + 85x 150 =
0,sabendo-se que uma das razes tem multiplicidade 2.
6. (UEL) Sabe-se que 2 raiz de multiplicidade 2 daequao 2x4 + x3
17x2 16x + 12 = 0. A soma das demaisrazes dessa equao :
a) 7 b) c) 3 d) e) 7
7. (UNICAMP) Para resolver equaes do tipox4 + ax3 + bx2 + ax +1
= 0, podemos proceder do seguintemodo: como x = 0 no uma raiz,
divide-se a equao por x2 e,
aps fazer a mudana de variveis u = x + , resolve-se a
equa o obtida [na varivel u]. Observe que, se x e x > 0,ento
u 2 .a) Ache as 4 razes da equao x4 3x3 + 4x2 3x + 1 = 0. b)
Encontre os valores de b para os quais a equa o
x4 3x3 + bx2 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz
realpositiva.
8. As razes da equao 3x3 13x2 + 13x 3 = 0 so:
a) 7, 6, b) 6, 5, c) 5, 7,
d) 1, 3, e) 2, 4,
9. (PUCCAMP) Sabe-se que a equao 2x3 + x2 6x 3 = 0 admite uma
nica raiz racional e nointeira. As demais razes dessa equao so:a)
inteiras e positivas. b) inteiras e de sinais contrrios.c) no
reais. d) irracionais e positivas.e) irracionais e de sinais
contrrios.10. (VUNESP) Os coeficientes do polinmiof(x) = x3 + ax2 +
bx + 3 so nmeros inteiros. Supondo que f(x)tenha duas razes racio
nais positivas distintas:a) encontre todas as razes desse
polinmio.b) determine os valores de a e b.11. Sabe-se que o nmero
complexo i soluo da equao x4 3x2 4 = 0. Ento:a) essa equao tem uma
soluo de multiplicidade 2.b) as solues dessa equao formam uma
progresso.c) a equao tem duas solues reais irracionais.d) a equao
tem 2 solues reais racionais.e) a equao no tem solues reais.12. Se
x4 3x3 + 2x2 + 2x 4 = 0 admite a raiz complexa 1 i, ento a soma das
duas razes reais dessa equao : a) 3 b) 1 c) 1 d) 2 e) 313. O
polinmio de coeficientes inteiros, de menor graupossvel, que tem
como razes 2 e i, pode ser:a) x3 2x2 x + 2 b) x2 + (2 i)x 2c) x2 (2
+ i)x + 2i d) x3 2x2 + x 2e) x3 + x2 x 2
14. O polinmio p(x) = x3 2x2 x + 2 tem:a) duas razes reais no
intervalo [ 1; 0]b) pelo menos uma raiz real no intervalo ]0; [
c) pelo menos uma raiz real no intervalo ]2; 3[d) duas razes
reais no intervalo [1; 3]e) uma raiz real no intervalo [3; 4]
15. (FUVEST) A figura mostra parte do grfico de umafuno
polinomial f(x) de grau 3.
O conjunto de todos os valo res reais de m para os quais aequao
f(x) = m tem trs razes reais distintas :a) 4 < m < 0 b) m
> 0c) m < 0 d) 1 < m < 1e) m > 4
16. (GV) Considere a seguinte equao polinomial:x4 + 2x3 + x2 x 6
= 0a) Mostre que esta equao tem uma raiz racional e encontre
esta raiz.b) Mostre que esta equao tem uma raiz irracional.
13
361
6
7
27
2
1
x
1
71
615
1
31
2
1
2
9
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17. (UNICAMP) Dada a equao polinomial com coefi -cientes reais
x3 5x2 + 9x a = 0:a) Encontre o valor numrico de a de modo que o
nmero
complexo 2 + i seja uma das razes da referida equao.b) Para o
valor de a encontrado no item anterior, determine as
outras duas razes da mesma equao.
18. (UFPR) Considere as seguintes afirmativas a respeito dopoli
n mio p(x) = x2 + bx + c:I. Quando c = 0, o valor x = 0 raiz do
polinmio.II. Se x = e x = so razes do polinmio e 0, ento
b = 0.III. Se o nmero complexo x = 1i raiz do polinmio, ento
b + ic = 0.
Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e II
so verdadeiras.b) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.c)
Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.d) Somente a
afirmativa I verdadeira.e) As afirmativas I, II e III so
verdadeiras.
19. (UFMT) A diviso de um polinmio de coeficientes reaisP(x) por
(x + 1) apresenta como quociente um polinmio Q(x)de grau 3 com o
coeficiente do termo de maior grau igual a 1e, como resto, (x 3). O
grfico de Q(x) mostrado na figura aseguir.
A partir dessas informaes, qual a soma dos coeficientes
deP(x)?a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
20. (MACKENZIE) Se as trs razes reais, no neces saria -mente
distintas, do polinmio p(x) = x3 a3x2 + ax 1, a ,formam uma
progresso geomtrica, ento o valor de a a3 a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e)
2
Mdulo 21 Fatorial e Nmero Binomial
1. O valor de :
a) 210 b) 420 c) 360 d) 400 e) 500
2. Simplificando a expresso obtemos:
a) n b) n2 + 1 c) n2 + nd) n2 1 e) n2 n
3. (UNESP) Se n um nmero inteiro positivo, pelosmbolo n!
subentende-se o produto de n fatores distintos,n . (n 1) . (n 2)
... 2 . 1. Nestas condies, qual o algarismodas unidades do nmero
(9!8!)7!?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4. (UESPI) Se n1 e n2 so os nmeros inteiros positivos quesatis
fazem a equao
= 0, ento
n1 + n1 . n2 + n2 igual a:a) 119 b) 129 c) 139 d) 149 e) 159
5. (VUNESP) Seja n , n 1. Ento,(n 1)! [(n + 1)! n!] igual a:a)
n!n b) (n 1)!n c) (n2)! d) (n!)2 e) 2(n!)
6. (MACKENZIE) Efetuando ,obtm-se:
a) b) c)
d) e) 0
7. O valor do nmero binomial :
a) 19900 b) 20000 c) 19800d) 39800 e) 5460
8. O valor do nmero binomial :
a) 336 b) 56 c) 48 d) 36 e) 20
9. Resolver a equao 2 = 7
10. (UEL) A soluo da equao = um nmero
inteiro mltiplo de
a) 11 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3
11. Resolver a equao = 0
12. Resolver a equao =
21! 20!
19!
(n + 1)!(n 1)!
1
6!(n 6)!1
4!(n 4)!2
5!(n 5)!
n(n + 1)!
1
n!
n!(n + 1)!
n 12
n!1
(n + 1)!2n + 1
(n + 1)!
200198
83
x 12x + 14
7
2n + 14
n 12
145x 7145 x
152x153 x10
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13. O valor de + :
a) b) c) d) e)
14. (PUC) Se = 10 e = 55, ento igual a:a) 40 b) 45 c) 50 d) 55
e) 60
15. Calcular p, p > 3, sendo dado: =
Questes de 16 a 21
Lembrando que ak, por exemplo, significa
a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 e utilizando as propriedades do
Tringulo de Pascal, calcular:
16. = + + + + =
17. = + + + + =
18. = 19. =
20. = 21. =
22. O valor de m que satisfaz a sentena = 512 :
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Mdulo 22 Teorema do Binmio de Newton
1. Utilizando o Teorema do Binmio de Newton, desen volver(x
2)6
2. (MACKENZIE) O sistema
x3 + x2y + xy2 + y3 = 8x2 y2 = 6
tem por soluo um par ordenado (x, y) cuja representao
grfica um ponto do:a) primeiro quadrante b) segundo quadrantec)
terceiro quadrante d) quarto quadrantee) eixo das abscissas3. (UEL)
No desenvolvimento do binmio
segundo as potncias decrescentes de x, o
stimo termo :
a) 210 . x 4 b) 120 . x c) 210 . x2
d) 120 . x e) 210 . x4
4. Calcular o sexto termo do desenvolvimento de(2 x 5 y)10.5.
(U.F.CEAR) O coeficiente de x6 no desenvolvimentode (2 . x2 + 2)5
:a) 40 2 b) 48 2 c) 60 2 d) 80 2 e) 84 2
6. (UFSC) Qual o coeficiente numrico do termo em x2,no
desenvolvimento do binmio (x + )10?7. (MACKENZIE) O coeficiente do
termo em x3 no
desenvol vimento de (x + )6 :a) 1 b) 6 c) 10 d) 15 e)
inexistente
8. Calcular o termo independente de x no desenvolvimento
de ( + 4x )18.9. (MACKENZIE) Um dos termos do desenvolvimento de
(x + 3a)5 360x3. Sabendo-se que a no depende de x, o valor dea :a)
1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. (U.F.GOIS) Determine o valor que deve ser atribudoa k de
modo que o termo independente de x, no desenvol vi -men to de (x +
)6, seja igual a 160.11. (MACKENZIE) No desenvolvimento (x2 + )k, k
, os coeficien tes binomiais do quarto e do dcimo-terceirotermos so
iguais. O termo independente de x, feito segundo osexpoentes
decrescentes de x, o:a) dcimo b) dcimo-primeiro c) nonod)
dcimo-segundo e) oitavo
12. (MACK) No desenvolvimento de (2x + b)5, b 0, ocoeficiente
numrico do termo em x4 oito vezes aquele dotermo em x3. Ento, b
vale:
a) b) c) d) 32 e) 16
m 1p 1 mm p m 1p
p 1 p 1 2 + 3
p p 1 2 3 5
3
7k = 2
4k = 0
4k 40 41 42 43 44 4
k = 0
k + 2k 20 31 42 53 64
9p = 2
9p 10p = 4
p4
10p = 5
p5 3
p = 0
p + 8p m
k = 0
mk
3( )0 3( )1 3( )2 3( )3
21132115211420152014
20142013
14x +
x11
4
114
1
x
1
x
1
x2
k
x
3
x
1
21
41
8
11
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-
13. A soma dos coeficientes numricos dos termos do desen
-volvimento de (x y)104 :a) 1 b) 1 c) 0 d) 104 e) 214. A soma dos
coeficientes numricos dos termos do desen -volvimento de (3x 2y)n
:a) 1 b) 1 c) 2 d) 2n e) 2n
Mdulo 23 Princpio Fundamental da Contagem, Arranjos e
Permutaes
1. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas sequncias,com cinco
elementos cada uma, que podem ser formadas comos algaris mos 0 e 1.
Quantas dessas sequncias possuem pelomenos trs zeros em posies
consecutivas?a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16
2. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas,sendo 4
brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, deuma vez, 4
bolas. Quantos so os casos possveis em queaparecem exa tamente uma
bola de cada cor?a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12
3. (UEL) Para responder a certo questionrio, preenche-seo carto
apresentado abaixo, colocando-se um x em uma sres posta para cada
questo.
De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questio
-nrio?a) 3125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10
4. (UFRJ) Um construtor dispe de quatro cores (verde,amarelo,
cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado alado. Ele
deseja que cada casa seja pintada com apenas uma core que duas
casas consecutivas no possuam a mesma cor.Por exemplo, duas
possibilidades diferentes de pintura seriam:
Primeira
verde amarelo bege verde cinzaSegunda
verde cinza verde bege cinzaDetermine o nmero de possibilidades
diferentes de pintura.
5. (UNESP) Quatro amigos vo ocupar as poltronas a, b, c, dde um
nibus dispostas na mesma fila horizontal, mas em ladosdiferen tes
em relao ao corredor, conforme a ilustrao.
Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado
docorredor, seja em lados diferentes. Nessas condies, de
quantasmaneiras distintas os quatro podem ocupar as
poltronasreferidas, considerando-se distintas as posies em que
pelomenos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes?a) 24 b) 18
c) 16 d) 12 e) 6
6. (MACKENZIE) Cada um dos crculos da figura ao ladodever ser
pintado com uma nicacor, escolhida dentre quatro dispon -
veis. Sabendo-se que dois crculos consecutivos nunca
seropintados com a mesma cor, ento o nmero de formas de sepintar os
crculos :a)100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040
7. (UEL) Um professor de Matemtica comprou dois livrospara
premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como sodois livros
diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrera premiao?a) 861
b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 242
8. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O nmero deequipes de
trabalho que podero ser formadas num grupo dedez indivduos, devendo
cada equipe ser constituda por umcoordenador, um secretrio e um
digitador, :a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720
9. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) Numa cor ri -da de Frmula 1,
esto inscritos 12 participantes. No podendohaver empate, o nmero de
resultados possveis para os doisprimeiros lugares :a) 96 b) 108 c)
112 d) 121 e) 132
10. Quantos nmeros de 3 algarismos distintos, maiores que500,
podemos formar com os algarismos de 0 a 9?
11. Quantos nmeros diferentes de quatro algarismos
distintosexistem no sistema decimal de numerao?
12. Quantos nmeros mpares diferentes, de quatro
algarismosdistintos existem no sistema decimal de numerao?
13. Quantos nmeros pares diferentes, de quatro
algarismosdistintos existem no sistema decimal de numerao?
14. Cada linha telefnica nova formada por 8 algarismos,divi di
dos em 2 grupos: um formado pelos primeiros 4 algaris -mos, que
distingue os centros telefnicos, e outro, com 4algaris mos, que
distingue as linhas de um mesmo centro. Su -
CARTO RESPOSTAQUESTES 1 2 3 4 5
SIM o o o o o
NO o o o o o
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po nha que s os alga rismos de cada grupo sejam todos distin
-tos. Quantas linhas telefnicas, comeando com o algarismo
2,poderiam ser lanadas?
15. (UFMG) O total de nmeros inteiros, com todos osalgarismos
distintos, compreendidos entre 11 e 1000, :a) 576 b) 648 c) 728 d)
738 e) 741
16. (MACKENZIE)
Considerando a tabela acima, x + y igual a: a) 180 b) 190 c) 270
d) 280 e) 300
17. (FGV) Num concurso que consta de duas fases, os can -didatos
fizeram uma prova de mltipla escolha, com 30 questes de4
alternativas cada. Na segunda fase, outra prova continha 30questes
do tipo falsa ou verdadeira. Chamando de n1 o nmerodos diferentes
modos de responder a prova da 1a. fase e de n2, onmero dos
diferentes modos de responder a prova da 2a. fase, tem-se quea) n1
= 2 n2. b) n1 = 30 n2. c) n1 = 4 n2.d) n1 = 230 n2. e) n1 = 430
n2.
18. (FGV) Por ocasio do Natal, um grupo de amigosresolveu que
cada um do grupo mandaria 3 mensagens a todosos demais. E assim foi
feito. Como o total de men sagensenviadas foi 468, pode-se concluir
que o nmero de pessoas queparticipam desse grupo a) 156. b) 72. c)
45. d) 13. e) 11.
19. (FGV) Deseja-se criar uma senha para os usurios de
umsistema, comeando por trs letras escolhidas entre as cinco A,B,
C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2,4, 6 e
8. Se entre as letras puder haver repetio, mas se osalgarismos
forem todos distintos, o nmero total de senhaspossveis :a) 78 125
b) 7 200 c) 15 000d) 6 420 e) 50
20. (MACKENZIE) Um hacker est tentando invadir umsite do Governo
e, para isso, utiliza um programa que conseguetestar 163 diferentes
senhas por minuto. A senha composta por5 caracteres escolhidos
entre os algarismos de 0 a 9 e as letrasde A a F. Sabendo que o
programa testa cada senha uma nicavez e que j testou, sem sucesso,
75% das senhas possveis, otempo decorrido desde o incio de sua
execuo de a) 2 horas e 16 minutos. b) 1 hora e 40 minutos.c) 3
horas e 48 minutos. d) 3 horas e 12 minutos.e) 2 horas e 30
minutos.
21. (UNIFESP) A figura exibe um mapa representando 13pases.
Considerando-se como pases vizinhos aqueles cujasfronteiras tm um
segmento em comum, o nmero mnimo decores que se pode utilizar para
colori-los, de forma que doispases vizinhos no tenham a mesma cor,
:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
22. (UNESP) Considere o tabuleiro da figura.
a) Considere uma pea com 4 casas:
De quantas maneiras diferentes pode-se coloc-la notabuleiro, sem
gir-la e mantendo-se sempre a mesma facevoltada para cima, de forma
a cobrir 4 casas por completo?
b) Considere, agora, a pea com 3 casas:
Imaginando todas as posies possveis para a mesma, emantendo-se
sempre a mesma face voltada para cima, dequantas maneiras
diferentes pode-se coloc-la no tabuleirode modo que cubra 3 casas
por completo?
23. (UNESP) Considere a identificao das placas deveculos,
compostas de trs letras seguidas de 4 dgitos. Sendoo alfabeto
constitudo de 26 letras, o nmero de placas possveisde serem
constitudas, pensando em todas as combinaespossveis de 3 letras
seguidas de 4 dgitos, a) 3 120. b) 78 624 000. c) 88 586 040.d) 156
000 000. e) 175 760 000.
24. (FUVEST) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais,forma-se
um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco desuas seis faces
pintadas de vermelho. O nmero de cubosmenores que tiveram pelo
menos duas de suas faces pintadasde vermelho
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32
Agrupamentos de quatro algarismos
TIPO I Quantidade x TIPO II Quantidade y
Os dois primeiros algaris mosiguais e os dois l ti mosiguais,
mas dife rentes dos pri -meiros
Trs algarismos iguais emposi es consecu tivas, sendoo algarismo
res tante dife rentedos anteriores.
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Mdulo 24 Combinaes
1. Calcular o nmero total de anagramas da palavraVESTIBULAR.
Questes de 2 a 17
Considerando-se os anagramas da palavra ALIMENTO, qual o nmero
total dos que:
2. comeam com a letra M?
3. terminam com a letra O?
4. comeam com a letra M e terminam com a letra L?
5. possuem a letra N em segundo lugar e a letra O em
quintolugar?
6. comeam com AL, nessa ordem, e terminam em I?
7. comeam com a letra L ou terminam com a letra I?
8. possuem as letras LIM juntas e nesta ordem?9. possuem as
letras LIM juntas?10. comeam com uma vogal?
11. terminam com uma consoante?
12. comeam com vogal e terminam em consoante?
13. comeam e terminam com vogal?
14. comeam com vogal ou terminam em consoante?
15. comeam ou terminam com vogal?
16. no possuem duas vogais juntas nem duas consoantesjuntas?17.
possuem todas as letras em ordem alfabtica?
18. (MACK) Um trem de passageiros constitudo de umalocomotiva e
6 vages distintos, sendo um deles restaurante.Sabendo-se que a
locomotiva deve ir frente e que o vagorestaurante no pode ser
colocado imediatamente aps alocomotiva, o nmero de modos diferentes
de montar acomposio :a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720
19. (GV) Um processo industrial deve passar pelas etapas A,B, C,
D e E.a) Quantas sequncias de etapas podem ser delineadas se A e
B
devem ficar juntas no incio do processo e A deve antece der B?b)
Quantas sequncias de etapas podem ser delineadas se A e B
devem ficar juntas, em qualquer ordem, e no necessaria -mente no
incio do processo?
20. Um estudante ganhou numa competio quatro diferenteslivros de
Matemtica, trs diferentes de Fsica e dois diferentesde Qumica.
Querendo manter juntos os da mesma disciplina,calculou que poder
enfileir-los numa prateleira da estante, demodos diversos, num
total de:a) A9,3 b) A9,3 . A9,3 . A9,2 c) P9d) P4 . P3 . P2 e) P3 .
P4 . P3 . P221. (UNESP) O nmero de maneiras que 3 pessoas
podemsentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que,
entreduas pessoas prximas (seguidas), sempre tenha exatamenteuma
cadeira vazia, a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15.
22. (UNESP) Considere todos os nmeros formados por 6algaris mos
distintos obtidos permutando-se, de todas as formaspossveis, os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.a) Determine quantos nmeros possvel
formar (no to tal) e
quantos nmeros se iniciam com o algarismo 1.b) Escrevendo-se
esses nmeros em ordem cres cente, determine
qual posio ocupa o nmero 512346 e que nmero ocupa a242a.
posio.
23. (UNIFESP) As permutaes das letras da palavraPROVA foram
listadas em ordem alfabtica, como se fossempalavras de cinco letras
em um dicionrio. A 73a. palavra nessalista a) PROVA. b) VAPOR. c)
RAPOV.d) ROVAP. e) RAOPV.
24. (UFOP) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, formam-se todosos
nmeros de trs algarismos distintos possveis. Dentre estes,o nmero
de mltiplos de trs :a) 0 b) 6 c) 12 d) 24
25. Considere o conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Calcular onmero
de subconjuntos de A com 3 elementos.a) 2 b) 18 c) 20 d) 120 e)
216
26. De um grupo de estudos de vinte pessoas, em que s seisso
mdicos, deseja-se formar comisses de dez pessoas, sendoque todos os
mdicos devem ser includos em cada comisso. Onmero de formas para
elaborar as comisses pode ser dadopor:a) A14,4 b) A20,4 c) A20,6d)
C20,4 e) C14,427. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca so
colineares.Qual o nmero total de retas determinadas por estes
pontos?
28. Considere 21 pontos, dos quais 3 nunca so colineares.Qual o
nmero total de tringulos com vrtices nestes pontos?
29. So dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente5 esto
alinhados. Quantos tringulos podem ser formados comvrtices em 3 dos
12 pontos?
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30. (MACKENZIE) Os polgonos de k lados (k mltiplo de 3), que
podemos obter com vrticesnos 9 pontos da figura, so em nmerode:a)
83 b) 84c) 85 d) 168e) 169
31. (UEL) Em uma floricultura, esto venda 8 mudas decravos e 12
mudas de rosas, todas diferentes entre si. Um clientepretende
comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantosmodos ele pode
selecionar as 7 mudas que quer comprar?a) C20,7 b) A20,7 c) 7!d)
A8,3 . A12,4 e) C8,3 . C12,432. (VUNESP) De um grupo constitudo de
6 enfermeiros e2 mdicos, deseja-se formar comisses de 5 pessoas.
Quantasdessas comisses podem ser formadas se os 2 mdicos
devem,necessariamente, fazer parte de todas as comisses?a) 10 b) 15
c) 20 d) 168 e) 336
33. (GV) Em uma Universidade, no Departamento deVeterinria,
existem 7 professores com especializao emParasitologia e 4 em
Microbiologia. Em um congresso, para aexposio dos seus trabalhos,
sero formadas equipes daseguinte forma: 4 com especializao em
Parasitologia e 2 comespecializao em Microbio logia. Quantas
equipes diferentespodero ser formadas?
34. Uma empresa formada por 6 scios brasileiros e 4japoneses. De
quantos modos podemos formar uma diretoria de5 scios, sendo 3
brasileiros e 2 japoneses?
35. De quantas maneiras doze brinquedos diferentes podem
serdistribudos entre trs crianas, de modo que a mais nova
ganhecinco brinquedos, a mais velha quatro, e a outra trs?
36. Calcular o nmero total de palavras (com sentido ou no)de 4
letras, que podem ser formadas com as 10 primeiras letrasdo
alfabeto.
37. Quantos so os anagramas da palavra SAPATO?
38. Quantos nmeros naturais de 4 algarismos existem, aotodo, no
sistema decimal de numerao, tendo cada um pelomenos dois algarismos
iguais?
39. Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar, aotodo, com
os algarismos 0, 1, 2, 3, 4?
40. Quantos nmeros de trs algarismos existem no sistemadecimal
de numerao?
41. (MACKENZIE) O frentista de um posto de gasolinadeve calibrar
os 4 pneus de um carro. Como est com pressa,escolhe, ao acaso,
apenas 2 deles para calibrar. A probabilidadede ele ter calibrado
os dois pneus dianteiros
a) . b) . c) . d) . e) .
42. (PUC) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores:4
mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e trs homens foremescolhidos
para compor o elenco de uma pea teatral, aprobabilidade de que Joel
e Jane, juntos, estejam entre eles
a) b) c) d) e)
43. (FGV) No estoque de uma loja h 6 blusas pretas e 4brancas,
todas de modelos diferentes. O nmero de diferentespares de blusas,
com cores diferentes que uma balconista podepegar para mostrar a
uma cliente, pode ser calculado assim:a) A10,2 (C6,2 + C4,2) b)
C10,2 (C6,2 + C4,2)c) A10,2 A6,4 d) C10,2 C6,4.e) C10,2 A6,4.
44. (UNESP) Considere os algarismos 2, 3, 5, 7 e 11. Aquantidade
total de nmeros distintos que se obtmmultiplicando-se dois ou mais
destes algarismos, sem repetio,a) 120. b) 52. c) 36. d) 26. e)
21.
45. (UNESP) Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D,E, F, G,
H, I, J, dos quais 4 esto sobre a mesma reta e trsoutros pontos
quaisquer nunca esto alinhados, conforme afigura.
O nmero total de tringulos que podem ser formados, unin - do-se
trs quaisquer desses pontos, a) 24. b) 112. c) 116. d) 120. e)
124.
46. (UNESP) A turma de uma sala de n alunos resolve formaruma
comisso de trs pessoas para tratar de um assunto delicadocom um
professor.a) Explicite, em termos de n, o nmero de comisses
possveis
de serem formadas com estes alunos.b) Determine o nmero de
comisses possveis, se o professor
exigir a participao na comisso de um deter minado alunoda sala,
por esse ser o represen tante da classe.
47. (FUVEST) Trs empresas devem ser contratadas pararealizar
quatro tra balhos distintos em um condomnio. Cadatrabalho ser atri
bu do a uma nica empresa e todas elas devem
1
41
31
21
51
6
3
41
21
41
61
8
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ser contra ta das. De quantas maneiras distintas podem ser dis
-tribudos os trabalhos?a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108
48. (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homenssempre se
cumprimentam (na chegada) com um aperto de moe se despedem (na
sada) com outro aperto de mo. Um homeme uma mulher se cumprimentam
com um aperto de mo, mas sedespedem com um aceno. Duas mulheres s
trocam acenos,tanto para se cumprimentarem quanto para se
despedirem.Em uma comemorao, na qual 37 pessoas almo aram
juntas,todos se cumprimentaram e se des pedi ram na forma
descritaacima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo
queforam trocados 720 apertos de mo?a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e)
20
49. (UEG) A UEG realiza seu Processo Seletivo em doisdias. As
oito disciplinas, Lngua Portuguesa-LiteraturaBrasileira, Lngua Es
tran geira Moderna, Biologia, Matemtica,Histria, Geogra fia, Qumica
e Fsica, so distribudas em duasprovas objetivas, com quatro
disciplinas por dia. No ProcessoSeletivo 2005/2, a distribuio a
seguinte: primeiro dia:Lngua Portuguesa-Literatura Brasileira,
Lngua EstrangeiraModerna, Biologia e Matemtica; segundo dia:
Histria,Geografia, Qumica e Fsica.A UEG poderia distribuir as
disciplinas para as duas provasobjetivas, com quatro por dia, dea)
1.680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes.c) 140 modos
diferentes. d) 128 modos diferentes.e) 70 modos diferentes.
50. (UFMT) Braille o sistema de leitura e escrita maisutilizado
pelos deficientes visuais em todo mundo. Esse mtodottil consiste em
pontos em relevo, dispostos de maneirasdiferentes para cada letra
do alfabeto, nmeros, smbolos epontuao.A unidade de leitura onde so
assinalados os pontos para representar cada algarismo denominada CE
-LA. A figura ao lado ilustra uma CELA.
Admita que na ilustrao abaixo esto asrepresentaes dos algarismos
da base decimal nesse sistema.
(Adaptado da Revista Galileu, maio/2005, p.82.)
A partir das informaes acima, quantas celas distintas, nosistema
Braille, podem ser assinaladas com 1, 2, 3 e 4 pontos eNO
representam algarismos da base decimal?a) 78 b) 109 c) 380 d) 46 e)
506
51. (UNB) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado nafigura
a seguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES)ao
quadrado direito inferior (DI).
Somente so permitidos os movimentos horizontal (H), vertical(V)
e diagonal (D), conforme ilustrado nas represen taesseguintes.
Com base nessa situao e com o auxlio dos princpios deanlise
combinatria, julgue os itens que se seguem.(0) Se forem utilizados
somente movimentos horizontais e
verticais, ento o nmero de percursos possveis ser iguala 70.
(1) Se forem utilizados movimentos horizontais, verticais
eapenas um movimento diagonal, o nmero de percursospossveis ser
igual a 140.
(2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e trs movi
-mentos diagonais, o nmero de percursos possveis iguala 10.
52. (MACKENZIE) Dentre os anagramas distintos quepodemos formar
com n letras, das quais somente duas soiguais, 120 apresentam estas
duas letras iguais juntas. O valorde n :a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)
122
53. Um feirante possui, em sua banca, mas, peras e laranjasem
grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clien -tela, o
feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de mo -do que
cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantostipos de pacotes
poder o feirante oferecer, no mximo, suaclientela?
54. (VUNESP) Dez rapazes, em frias no litoral, esto orga
-nizando um torneio de voleibol de praia. Cinco deles so sele -cio
nados para escolher os parceiros e capitanear as cincoequi pes a
serem formadas, cada uma com dois jogadores.a) Nessas condies,
quantas possibilidades de formao de
equipes tm os capites escolhidos?b) Uma vez formadas as cinco
equipes, quantas partidas se rea -
lizaro, se cada uma das equipes dever enfrentar todas asoutras
uma nica vez?
ES
DI
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55. (MACKENZIE) O nmero de comisses diferentes, de2 pessoas, que
podemos formar com os n diretores de umafirma, k. Se, no entanto,
ao formar estas comisses, tivermosque indicar uma das pessoas para
presidente e a outra parasuplente podemos formar k + 3 comisses
diferentes. Ento, nvale:a) 3 b) 10 c) 13 d) 30 e) 40
56. (MACKENZIE) O valor de Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ... + Cn,n 1,com
n *, :
a) 2n 1 b) 2n c) 2n + n d) n2 e) (n + 2) . 2
57. Existem n maneiras de distribuir 7 moedas de
valoresdiferentes entre duas pessoas. Excluindo-se a possibilidade
deuma s receber todas as moedas, o valor de n ser:a) 126 b) 128 c)
49 d) 45 e) 30
58. (UNICAMP) O smbolo Cn,p definido por para n 0 com 0! = 1.
Estes nmeros Cn,p so inteiros e
aparecem como coeficientes no desenvolvimento de (a + b)n.a)
Mostre que Cn,p 1 + Cn,p = Cn + 1,p.b) Seja S = Cn,0 + Cn,1 + ....
+ Cn,n. Calcule log2S.
59. (UNICAMP) a) De quantas maneiras possvel distribuir 20 bolas
iguais
entre 3 crianas de modo que cada uma delas receba, pelomenos, 5
bolas?
b) Escolhendo, aleatoriamente, uma das distribuies do item(a),
qual a probabilidade de uma delas receber exata mente 9bolas?
Mdulo 25 Probabilidade: Definio eUnio de Eventos
1. (FATEC) Considere todos os nmeros de cinco alga
rismosdistintos obtidos pela permutao dos algarismos 4, 5, 6, 7 e
8.Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, a probabilidadede ele
ser um nmero mpar :
a) 1 b) c) d) e)
2. O nmero da chapa de um carro par. A probabilidade de
oalgarismo das unidades ser zero :a) 1/10 b) 1/2 c) 4/9 d) 5/9 e)
1/5
3. Foram preparadas noventa empadinhas de camaro, dasquais, a
pedido, sessenta deveriam ser bem mais apimentadas.Por pressa e
confuso de ltima hora, foram todas colocadas aoacaso, numa mesma
travessa para serem servidas. A proba -bilidade de algum retirar
uma empadinha mais apimentada :a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e)
1/90
4. Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o nmero que
eleaponta ao parar. Repete-se a operao. Qual a probabilidade deque
a soma dos dois nmeros obtidos seja 5?
a) b) c)
d) e)
5. Sete lmpadas de non so dispostas formando um oito,como no
mostrador de uma calculadora (figura I), e podem seracesas
independentemente umas das outras. Estando todas assete apagadas,
acendem-se quatro delas ao mesmo tempo, aoacaso. A probabilidade de
ser formado o algarismo 4, comoaparece na figura II, :a) 1/35b)
1/2c) 1/3d) 1/5e) 1/28
6. (VUNESP) A final da Olimpada de Matemtica de umacerta escola
vai ser disputada por apenas trs alunos, A, B e C.Admite-se que
duas vezes mais provvel que A vena do queB e duas vezes mais
provvel que B vena do que C. Nessecaso, a probabilidade de que A
vena a Olimpada :
a) b) c) d) e)
7. (FUVEST) Considerando-se um polgono regular de n lados,n 4, e
tomando-se ao acaso uma das diagonais do polgono, aproba bilidade
de que ela passe pelo centro :
a) 0 se n par. b) se n mpar. c) 1 se n par.
d) se n mpar. e) se n par.
8. (FUVEST) Numa urna so depositadas n etiquetasnumeradas de 1 a
n. Trs etiquetas so sorteadas (semreposio). Qual a probabilidade de
que os nmeros sorteadossejam consecutivos?
a) b) c)
d) e) 6(n 2) (n 1)
9. (UNICAMP) Uma urna contm 50 bolas que sedistinguem apenas
pelas seguintes caractersticas: X delas so brancas e numeradas
sequencialmente com os
nmeros naturais de 1 a X.
n!p!(n p)!
1
22
51
41
5
5
368
3612
3624
3635
36
5
74
73
72
71
7
1
2
1
n
1
n 3
(n 2)!
n!(n 3)!
n!(n 2)!
3! n!
(n 2)! 3!
n!
17
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X + 1 delas so azuis e numeradas sequencialmente com osnmeros
naturais de 1 a X + 1.
X + 2 delas so amarelas e numeradas sequencialmente comos nmeros
naturais de 1 a X + 2.
X + 3 delas so verdes e numeradas sequencialmente de 1 aX +
3.
a) Qual o valor numrico de X?b) Qual a probabilidade de ser
retirada, ao acaso, uma bola azul
ou uma bola com o nmero 12?
10. So escolhidas aleatoriamente trs dasclulas brancas do tabu
leiro repre sen tado nafigura ao lado. Qual a proba bilidade de
astrs posi es escolhidas no estaremalinhadas?
a) b) c) d) e)
11. (UNICAMP) Em uma festa para calouros esto presentes250
calouros e 350 calouras. Para danar, cada calouro escolheuma
caloura ao acaso formando um par. Pergunta-se:a) Quantos pares
podem ser formados?b) Qual a probabilidade de que uma determinada
caloura no
esteja danando no momento em que todos os 250 calourosesto
danando?
12. (MACKENZIE) Uma loja colocou venda 27 calasjeans, das quais
6 apresentam defeito. Escolhendo-se 3 calas aoacaso, a
probabilidade de as 3 estarem com defeito
a) . b) . c) . d) . e) .
13. (PUC) Em um nibus h apenas 4 bancos vazios, cadaqual com 2
lugares. Quatro rapazes e quatro moas entram nessenibus e devem
ocupar os bancos vagos. Se os lugares foremescolhidos
aleatoriamente, a probabili dade de que cada bancoseja ocupado por
1 rapaz e 1 moa
a) b) c) d) e)
14. (FGV) a) Uma urna contm 6 bolas brancas, 8 bolas pretas e 4
bolas
verdes, todas iguais e indistinguveis ao tato. Um jogador
tirauma bola ao acaso. Se a bola for branca, ele ganha; se a
bolafor preta, ele perde. Se a bola for verde, ele retira outra
bolaao acaso, sem repor a verde. Ele ganha se a segunda bola
forbranca; se no, ele perde.Determine a probabilidade de o jogador
ganhar.
b) Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, esto reunidas
paraescolher, entre si, a Diretoria de um clube formada por
umpresidente, um vice-presidente, um secretrio e um tesour
-eiro.Determine o nmero de maneiras de compor a Diretoria,onde
Paulo vice-presidente e Bento no presidente nemtesoureiro.
15. (FGV) Dois dados com a forma de tetraedro regular tmas faces
numeradas de 1 a 4 e de 7 a 10, respectiva mente.Combina-se que ao
lan-los, a face sorteada a que fica viradapara a mesa. Os dois
dados so lanados. a) Calcule a probabilidade de serem sorteados
dois nmeros
cujo produto par. b) Represente, num grfico de setores, as
probabili dades de se
obter produto par e de se obter produto mpar, no lanamentodesses
dois dados.
16. (FGV) Uma urna contm quatro fichas numeradas,sendo: A 1a.
com o nmero 5 A 2a. com o nmero 10 A 3a. com o nmero 15 A 4a. com o
nmero 20
Uma ficha sorteada, tem seu nmero anotado e recolocadana urna;
em seguida outra ficha sorteada e anotado seunmero. A probabilidade
de que a mdia aritmtica dos dois n -me ros sorteados esteja entre 6
e 14 :a) b) c) d) e)
17. (UNIFESP) Um engradado, como o da figura, temcapacidade para
25 garrafas.
Se, de forma aleatria, forem co lo cadas5 garrafas no engradado,
a proba bili dadede que quaisquer duas delas no recaiamnuma mesma
fila horizontal, nem numamesma fila vertical, :
a) b) c)
d) e)
18. (UFSCar) Juntam-se 27 cubos brancos, cada um com 1cm3 de
volume, formando um cubo de 27 cm3. Em seguida,pinta-se de preto
cada uma das seis faces do cubo de 27 cm3,como indica a figura
1.
Separa-se novamente os 27 cubos. Aleatoriamente e de umanica
vez, 2 desses cubos so sorteados. Com os cubossorteados, deseja-se
formar um paralele ppedo de 2 cm3 comcinco faces brancas e apenas
uma preta, da forma indicada nafigura 2.
6
713
1425
2827
2811
65
15
3512
96
1174
58524
65
1
706
353
148
352
7
5!
25!5!5!
25!5!20!
25!
5!5!20!
25!5!5!25!
20!
5
129
166
137
148
15
18
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-
A probabilidade de que esse paraleleppedo possa ser formadocom
os cubos sorteados igual a
a) b) c) d) e)
19. (UFRN) Para a correo das provas de um concurso, ocoordenador
da equipe dispe de dez pessoas, sendo setehomens e trs mulheres,
para formar duplas de examinadores.Admitindo-se que a escolha das
duplas seja aleatria, aprobabilidade de se ter uma dupla feminina
igual a:
a) b) c) d)
20. (UFPE) As cidades A e B esto conectadas por trsrodovias, e
as cidades B e C esto conectadas por cincorodovias.
Se escolhermos aleatoriamente uma trajetria para ir de A at Ce
voltar para A, usando as rodovias indicadas, qual aprobabilidade de
a trajetria no conter rodovias repetidas?a) 2/5 b) 7/15 c) 8/15 d)
3/5 e) 2/3
Mdulo 26 Probabilidade Condicional eInterseco de Eventos
1. Jogando-se um dado honesto de seis faces e sabendo queocorreu
um nmero maior do que 2, qual a probabilidade deser um nmero
mpar?
2. (PUCC) Lana-se um par de dados no viciados. Se asoma nos dois
dados 8, ento a probabilidade de ocorrer a face5, em um deles, :a)
1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 1/5 e) 1/4
3. Sabendo-se que 6% de uma populao tem estatura superiora 1,80m
e 30% entre 1,70m e 1,80m, qual a probabilidade deuma pessoa com
mais de 1,70m ter mais de 1,80m?
4. Se dois prmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas,sendo
duas brasileiras e trs argentinas, qual ser aprobabilidade de:a)
serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma
argentina?c) serem premiadas duas argentinas?
5. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquiracerta
enfermidade, no decurso de cada ms, igual a 30%, aprobabili dade de
que um animal sadio venha a contrair a doenas no 3o. ms igual a:a)
21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26%
6. (UNESP) Um piloto de Frmula I estima que suas chancesde subir
ao pdio numa dada prova so de 60% se chover no diada prova e de 20%
se no chover. O servio de Meteorologiaprev que a probabilidade de
chover durante a prova de 75%.Nessas condies, calcule a
probabilidade de que o piloto venhaa subir ao pdio.
7. (UNESP) A eficcia de um teste de laboratrio para checarcerta
doena nas pessoas que comprovadamente tm essa doen -a de 90%. Esse
mesmo teste, porm, produz um falso-po si -tivo (acusa positivo em
quem no tem com prova damente adoen a) da ordem de 1%. Em um grupo
populacional em que aincidncia dessa doena de 0,5%, seleciona-se
uma pessoa aoacaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que
o resultadodesse teste venha a ser positivo?
8. (MACK) Numa caixa A, temos um dado preto e outrobranco e,
numa caixa B, dois dados brancos e um preto.Escolhida ao acaso uma
caixa, se retirarmos dela, tambm aoacaso, um dado, ento a
probabilidade de termos um dadobranco com o nmero 2 :
a) b) c) d) e)
9. (PUC) Em uma urna h 10 bolas, numeradas de 1 a 10.Um amigo
prope-me o seguinte jogo: Sorteie 3 bolas. Se asoma dos nmeros
nelas marcados for menor do que ou iguala 9, voc ganha. Caso
contrrio, voc perde. Nesse jogo, aprobabilidade de que eu ganhe
:
a) b) c) d) e)
10. (MACKENZIE) Um ultraleve est a 400 metros dealtura quando o
motor pra de funcionar. Antes de cada tentativade religar o motor,
inclusive a primeira, o piloto deve esperarum intervalo de 10
segundos e, a cada tentativa, cai pela metadea probabilidade de o
motor voltar a funcionar. Se o ultraleveest em queda, com
velocidade vertical constante de 10m/s, e achance de o motor ligar
na primeira tentativa de 40%, aprobabilidade de o motor funcionar
antes de o ultraleve tocar osolo dea) 56,8% b) 43,2% c) 70%d) 62%
e) 65,6%
11. (FATEC) Suponha que, na regio em que ocorreu apassagem do
Furaco Katrina, somente ocorrem trs grandesfenmenos destrutivos da
natureza, dois a dois mutuamenteexclusivos: os hidrometeorolgicos
(A), os geofsicos (B) e os biolgicos (C).Se a probabilidade de
ocorrer A cinco vezes a de ocorrer B, eesta corresponde a 50% da
probabilidadede ocorrncia de C, ento a probabilidade de ocorrer a)
A igual a duas vezes a de ocorrer C.
1
121
365
727
723
24
1
301
241
207
1207
720
15
1
301
153
10
5
1172
929
11717
392
3
19
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b) C igual metade da de ocorrer B.c) B ou C igual a 42,5%.d) A
ou B igual a 75%.e) A ou C igual a 92,5%.
12. (UNESP) O gerente de uma loja de roupas, antes de fazernova
encomenda de calas jeans femininas, verificou qual aquantidade de
calas vendidas no ms anterior, para cadanmero (tamanho). A
distribuio de proba bi li da des referenteaos nmeros vendidos no ms
anterior foi a seguinte:
Se o gerente fizer uma encomenda de 500 calas de acordo comas
probabilidades de vendas dadas na tabela, as quantidades decalas
encomendadas de nmero 40 ou menos, e de nmerosuperior a 40, sero,
respectivamente:a) 320 e 180. b) 380 e 120. c) 350 e 150.d) 180 e
320. e) 120 e 380.
13. (UNESP) Joga-se um dado honesto. O nmero queocorreu (isto ,
da face voltada para cima) o coeficiente b daequao x2 + bx + 1 = 0.
Determinea) a probabilidade de essa equao ter razes reais.b) a
probabilidade de essa equao ter razes reais, sabendo-se
que ocorreu um nmero mpar.
14. (UNESP) Uma urna contm as letras: A, C, D, D, E, E,F, I, I e
L.a) Se todas as letras forem retiradas da urna, uma aps a
outra,
sem reposio, calcule a probabilidade de, na sequncia
dasretiradas, ser formada a palavra FELICIDADE.
b) Se somente duas letras forem retiradas da urna, uma aps
aoutra, sem reposio, calcule a proba bilidade de seremretiradas
duas letras iguais.
15. (UNESP) Um colgio possui duas salas, A e B, dedeterminada
srie. Na sala A, estudam 20 alunos e na B, 30alunos. Dois amigos,
Pedro e Joo, estudam na sala A. Umaluno sorteado da sala A e
transferido para a B. Pos -teriormente, um aluno sorteado e
transferido da sala B para asala A.a) No primeiro sorteio, qual a
probabilidade de qualquer um
dos dois amigos ser transferido da sala A para a B?b) Qual a
probabilidade, no final das transferncias, de os
amigos ficarem na mesma sala?
16. (UNESP) O sangue humano est classificado em quatrogrupos
distintos: A, B, AB e O. Alm disso, o sangue de umapessoa pode
possuir, ou no, o fator Rhsus. Se o sangue de umapessoa possui esse
fator, diz-se que a pessoa pertence ao gruposanguneo Rhsus positivo
(Rh+) e, se no possui esse fator, diz-se Rhsus negativo (Rh). Numa
pesquisa, 1000 pessoasforam classificadas, segundo grupo sanguneo e
respectivo fatorRhsus, de acordo com a tabela
Dentre as 1000 pessoas pesquisadas, escolhida uma ao
acaso,determinea) a probabilidade de seu grupo sanguneo no ser A.
Determine
tambm a probabilidade de seu grupo sanguneo ser B ouRh+.
b) a probabilidade de seu grupo sanguneo ser AB e Rh.Determine
tambm a probabilidade condicional de ser ABou O, sabendo-se que a
pessoa escolhida Rh.
17. (FGV) Quatro meninas e cinco meninos concorreram aosorteio
de um brinquedo. Foram sorteadas duas dessas crianasao acaso, em
duas etapas, de modo que quem foi sorteado naprimeira etapa no
concorria ao sorteio na segunda etapa. Aprobabilidade de ter sido
sorteado um par de crianas de sexodiferente
a) . b) . c) . d) . e) .
18. (UNIFESP) Sendo A e B eventos de um mesmo espaoamostral,
sabe-se que a probabilidade de A ocorrer
p(A) = , e que a probabilidade de B ocorrer p(B) = .
Seja p = p(A B) a probabilidade de ocorrerem A e B.a) Obtenha os
valores mnimo e mximo possveis para p.
b) Se p = , e dado que A tenha ocorrido, qual a
pro babilidade de ter ocorrido B?
Mdulo 27 Lei Binomial deProbabilidade
1. Jogando-se cinco vezes um dado, qual a probabilidade
deocorrer cinco vezes o resultado 6?
2. Um jogador A joga um dado perfeito 4 vezes e ganhar
casoconsiga, pelo menos, dois resultados iguais a 1, durante
asjogadas. Neste caso a probabilidade de o jogador A ganhar :a) b)
c) d) e)
3. Jogando-se seis vezes um dado, qual a probabilidade deocorrer
o resultado 3 s duas vezes?
4. (MACK) No lanamento de 4 moedas honestas, aprobabilidade de
ocorrerem duas caras e duas coroas :
a) b) c) d) e)
5
94
95
81
25
18
3
42
3
7
12
47
14311
10119
1447
5313
107
Nmero (tamanho) 36 38 40 42 44 46Probabilidade 0,12 0,22 0,30
0,20 0,11 0,05
A B AB O
Rh+ 390 60 50 350
Rh 70 20 10 50
1
23
81
43
161
16
20
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5. (VUNESP) Sabe-se que, de cada 5 pessoas de umadeterminada
comunidade, uma portadora de um certo tipo deanemia. Se
selecionarmos, ao acaso, 3 pessoas dessa comuni -dade, qual a
probabilidade de que pelo menos uma delas sejaportadora daquele
tipo de anemia?
a) b) c) d) e)
6. (UFPE) As faces de um tetraedro so numeradas de 1 a 4e as de
um cubo de 5 a 10. Lanando-os simultaneamente 100vezes, qual o
nmero mais provvel de vezes em que a soma menor do que 9?
(Contam-se, em cada lanamento, os nmerosda face da base do
tetraedro e do cubo.)
7. (GV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de2000
motoristas de uma cidade a fim de determinar a relaoentre o nmero
de acidentes (y) em um certo perodo e a idade
em anos (x) dos motoristas. Os resultados esto na
tabelaabaixo:
Adotando a frequncia relativa observada como probabilidadede
cada evento, obtenha:a) A probabilidade de um motorista escolhido
ao acaso ter exa -
tamente um acidente no perodo considerado.b) A probabilidade de
um motorista ter exatamente 2 acidentes
no perodo considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.
68
12564
12561
1253
1251
125
y = 0 y = 1 y = 2 y > 2
x < 20 200 50 20 10
20 x < 30 390 120 50 10
30 x < 40 385 80 10 5
x 40 540 105 20 5
21
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-
Mdulo 11 Definio e Propriedadesdos Determi nantes
1. Calcular o determinante da matriz A =
Resoluo
det A = = 2 . 7 5 . 3 = 1
Resposta: det A = 1
2. Calcular o determinante da matriz A =
Resoluo
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 1 . 2 . 1 3 . 0 . 1 3 . 2 .
2 == 6 + 0 + 6 2 0 12 = 2Resposta: det A = 2
3. Calcular o valor de , sabendo-se que
= 17
Resoluo
a) = 3 .
b) =
Assim sendo:
= 3 . = ( 3) . ( 17) = 51
Resposta: = 51
4. Calcular o determinante da matriz
M =
Resoluo
det M = = =
= 3 + 18 + 64 24 18 8 = 35Resposta: det M = 35
Mdulo 12 Teorema de Laplace, Teorema de Binet ePropriedades
Complementares
5. Calcular o menor complementar e o cofator do elemento
a23 da matriz M =
Resoluo
Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 5 = 3
A23 = ( 1)2 + 3 . D23 = ( 1)5 . = ( 1) . ( 3) = 3
Resposta: D23 = 3; A23 = 3
6. Calcular o determinante da matriz M =
apli do o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.ResoluoDe
acordo com o exerccio anterior, temos A13 = 0; A23 = 3; A33 = 12.
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:det M = a13 . A13 + a23
. A23 + a33 . A33 == 2 . 0 + 3 . 3 + ( 1) . ( 12) = 9 + 12 =
21Resposta: det M = 21
235
7 23
57
121
223
103
2x
4
369
582
123
2x
4
582
2x
4
369
582
2x
4
123
582
2x
4
123
582
123
2x
4
582
2x
4
369
582
123
2x
4
582
2x4
369
582
281394211
232
891
281394211
232
891
281 100.2 10.8 2 8394 100.3 10.9 3 9211 100.2 10.1 2 1
141582
231
141
582
23
111
52
11
52
141582
23
1
22
LGEBRAFRENTE 2
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7. Calcular o determinante da matriz M =
aplicando o Teorema de Laplace e utilizando a 1a. linha.
Resoluo
det M = = 1 . A11 + 5 . A12 + 2 . A13 =
= 1 . (1)1 + 1 . + 5 . (1)1 + 2 . +
+ 2 . (1)1 + 3 . =
= 1 . 1 . (14) + 5 . (1) . (7) + 2 . 1 . 0 = 21Resposta: det M =
21
Observaesa) Os exerccios 6 e 7 confirmam que o valor do determi
nante
independe da fila escolhida.b) Pela Regra de Sarrus, obteramos,
claro, o mesmo resul -
tado. De fato:
8. Calcular o determinante de A . B, sendo
A . B = e B =
Resoluo
Primeiro Processo
A . B = . =
= det (AB) = = 162 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 2) = 11 . 13 = 143Resposta: det (AB) = 143
Mdulo 13 Definio, Clculo ePropriedades da Matriz Inversa
9. Determinar a sabendo-se que a matriz inversa de
.
ResoluoSe as matrizes so inversas uma da outra, ento:
. =
= a = 1
Resposta: a = 1
10. Determinar o valor de a para o qual a matriz
M = singular.
Resoluo
M singular det M = 0 = 0 a = 2
Resposta: a = 2
11. Determinar os possveis valores reais de a para os quais
a
matriz M = inversvel.
Resoluo
M inversvel det M 0 0 a 15
Resposta: a 15
Mdulos 14 e 15 Sistemas Lineares:Regra de Cramer
eEscalonamento
12. Resolver o sistema pela Regra de Cramer.
Resoluo
a) O sistema normal e pode ser resolvido pela Regra
deCramer,
pois D = = 9 2 = 7 D 0
b) Dx = = 27 13 = 14 x = = = 2
141582
231
141
582
231
82
31
41
31
41
82
2314
51
23
2314
51
23
919118
919
118
23
14
51
23
2 1 5 33 a
5 2
2 1 5 3 3 a 5 2
1 0 0 11 2a + 2 0 5a + 6 1 0 0 1
2a + 2 = 0 5a + 6 = 1
1 2 a3 2 20 1 1
1 2 a3 2 20 1 1
2 5 6 a
2 56 a
3x + y = 9 2x + 3y = 13
32
13
14
7Dx
D913
13
23
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-
c) Dy = = 39 18 = 21 y = = = 3
Resposta: (2;3)
13. Resolver o sistema pela Regra de
Cramer.Resoluoa) O sistema normal e pode ser resolvido pela
Regra de
Cramer, pois
D = = 7 D 0
b) Dx = = 7 x = = = 1
c) Dy = = 14 y = = = 2
d) Dz = = 21 z = = = 3
Resposta: (1; 2; 3)
Mdulo 16 Caracterstica, Teorema de Rouch-Capelli eSistemas
Homogneos
14. Calcular a caracterstica da matriz:
ResoluoSe p for a caracterstica de
, ento:
a) 1 = 1 0 p 1b) = 1 0 p 2
c) = 5 0 p 3
d) Orlando este menor de ordem 3, obtemos:
e) Sendo nulos todos os determinantes de ordem 4, conclumosque a
caracters tica p 3.
Resposta: 3
15. Discutir o sistema.
Resoluo
a) A caracterstica p da matriz MI = 2, pois
0.
b) A caracterstica q da matriz MC = 3, pois
0.
c) p = 2, q = 3 p q o sistema no tem soluo.
16. Resolver o sistema
Resoluo
Resposta: (8; 1; 3)
17. Resolva o sistema
Resoluo
a) 0 p = n sistema possvel e determinado.
b) A nica soluo do sistema a trivial (0, 0, 0).Resposta: (0, 0,
0)
Mdulos 17 e 18 Noes de Estatstica 18. (FGV) Seja x um inteiro
positivo menor que 21. Se amediana dos nmeros 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x
igual a 4, ento, onmero de possibilidades para x a) 13. b) 14. c)
15. d) 16. e) 17.
121
2 11
111
236
2 11
111
DxD
77
121
236
111
DyD
14
7
121
2 11
236
DzD
21
7
1203
0 1
42
1311
0 1
42
1203
1203
0 142
1311
0 142
1203
12
0 1
120
0 14
131
1203
0 142
1311
0 142
= 0
1203
0 142
1311
1203
= 0
x + y = 1 2x y = 13x + 2y = 5
123
1 1
212
1 1
123
1 1
2
115
123
1 12
115
x + 2y z = 7
y + 4z = 133z = 9x + 2y z = 7
y + 4z = 133z = 9x + 2y z = 7
y + 4z = 13z = 3
x + 2y z = 7
y + 4 . 3 = 13z = 3
x + 2y z = 7
y = 1z = 3
x + 2 . 1 3 = 7 y = 1
z = 3
x = 8 y = 1
z = 3
2x + 3y + 4z = 0 3x y + z = 05x + 2y + 8z = 0
235
312
418
32
913
Dy
D21
7
x + 2y z = 22x y + z = 3x + y + z = 6
24
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Mdulo 11 Definio e Propriedadesdos Determi nantes
1. (UEL) A soluo positiva da equao = um nmero:
a) mpar b) primo c) no inteirod) cubo perfeito e) quadrado
perfeito
2. A sentena + = :
a) equivalente a + =
b) s verdadeira se x = y 0.c) s verdadeira se x = y = 0.d) nunca
verdadeira.e) equivalente a x = y.
3. O conjunto soluo de = :
a) {x x 1} b) {0, 1} c) {1}d) { 1} e) {0}
4. (PUC) A matriz A = (aij) quadrada de ordem 2
com
O determinante de A igual a:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
5. Se A = e B = , calcular o nmero
real x tal que det(A x . B) = 0.
6. (UNIFOR) Sejam as matrizes A = e
B = .
O determinante da matriz A . B :a) 64 b) 8 c) 0 d) 8 e) 64
7. O conjunto soluo da equao = 3 :
a) {1; 3} b) {1; 2} c) {2; 4}1d) { 2; 4} e) { ; 2}2
8. (UNESP) Considere as matrizes reais
A = e B = .
Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz
igual a:
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
x
41x
2x
55
x y + 1y x + 1
0y
y1
x
01x
x y + 1y y + 10y
y1
x
01x
1x
11
11
x
1
1x
11
aij = 2i j para i = jaij = 3i 2j para i j
432
123
14
1002
12
210
121
x
31
1x
3
x
43
4 zy xx2 02 y + z
xz4y15
112
25
ResoluoSe x um inteiro positivo menor que 21, e a mediana
dosnmeros 10, 2, 5, 2, 4, 2 e x igual a 4, ento, dispostos emordem
crescente podemos ter 2, 2, 2, 4, x, 5, 10 ou 2, 2, 2,4, 5, x, 10
ou ainda 2, 2, 2, 4, 5, 10, x. Assim, 4 x < 21, portanto o nmero
de possibilidades para x 17.Resposta: E
19. (UFPR MODELO ENEM) Considere as seguintesmedidas descritivas
das notas finais dos alunos de trs turmas:
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:1.
Apesar de as mdias serem iguais nas trs turmas, as notas
dos alunos da turma B foram as que se apresentaram
maisheterogneas.
2. As trs turmas tiveram a mesma mdia, mas com
variaodiferente.
3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em tornoda
mdia.
Assinale a alternativa correta.a) Somente a afirmativa 3
verdadeira.b) Somente a afirmativa 2 verdadeira.c) Somente as
afirmativas 2 e 3 so verdadeiras.d) Somente as afirmativas 1 e 2 so
verdadeiras.e) Somente as afirmativas 1 e 3 so
verdadeiras.Resoluo1. VERDADEIRA, pois o desvio-padro das notas
desses
alunos maior que o desvio-padro das notas dos outros.2.
VERDADEIRA, pois as mdias so todas iguais e o desvio-pa -
dro das notas so diferentes.3. FALSA, pois o desvio-padro 1,31
menor, indicando
menos disperso.Resposta: D
Turma Nmero dealunos Mdia
Desviopadro
ABC
151514
6.06.06.0
1.313.512.61
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9. (FEI) Para que o determinante da matriz
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou 2 b) 1 ou 3 c) 3 ou 5d) 5 ou 3 e) 4 ou 4
10. O produto M . N da matriz M = ( ) pela matriz N = (1 1 1):a)
no se define;b) uma matriz de determinante nulo;c) a matriz
identidade de ordem 3;d) uma matriz de uma linha e uma coluna;e) no
matriz quadrada.
11. Sabendo-se que o determinante associado matriz
nulo, conclu mos que essa matriz tem:
a) duas linhas proporcionais.b) duas colunas proporcionais.c)
elementos negativos.d) uma fila combinao linear das outras duas
filas paralelas.e) duas filas paralelas iguais.
12. (MACKENZIE) O menor valor assumido pela funo
real definida por f(x) =
a) 1 b) c) d) 1 e) 2
13. O trao de uma matriz quadrada a soma dos elementosde sua
diagonal principal. Se os nmeros inteiros x e y so tais
que a matriz tem trao igual a 4 e deter -
minante igual a 19, ento o produto xy igual a
a) 4 b) 3 c) 1 d) 1 e) 3
14. (FGV) Considere a matriz A = com
x , x > 0 e x 1 e seja n, o determinante de A. Considere
as
equaes: (1) 6 x + 3 = 0 (2) x +
2= 0
(3) 9x 3 = 0 (4) x2 =
(5) x2 =
Pode-se afirmar que n raiz da equaoa) (1). b) (2). c) (3). d)
(4). e) (5).
15. (UNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro dedeterminada
cidade, com um grupo de 500 crianas de 3 a 12anos de idade. Para
esse grupo, em funo da idade x da criana,concluiu-se que o peso
mdio p(x), em quilogramas, era dadopelo determinante da matriz A,
onde
A =
Com base na frmula p(x) = det A, determine:a) o peso mdio de uma
criana de 5 anos;b) a idade mais provvel de uma criana cujo peso 30
kg.
16. O valor do determinante da matriz
A = , para 0 < < ,
a) 1. b) tg(). c) sec(). d) 0. e) 1.
17. (UNESP) Sejam A = ,
B = e C = , matrizes reais.
a) Calcule o determinante de A, det(A), em funo de x e y,
erepresente no plano cartesiano os pares ordenados (x,y)
quesatisfazem a inequao det(A) det(B).
b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.
18. (UEL) Seja o determinante D = . verdade que:
a) = D 1 b) = D c) = D
d) = D e) = D2
19. Sendo x e y, respectivamente, os determinantes no nulos,
das matrizes e , ento vale:
a) 36 b) 12 c) 6 d) 12 e) 15
20. (UESPI) Se o determinante da matriz
igual a 18, ento o determinante da matriz
111
123
114
7
63
2
3x 4x
x
11
4
1
2
2311x
1
04y
logxxlog31log39log93
121
41
2
1 1 13 0 x
20 2
3
2sen()cos()tg()
cos()sen()
1
sec()cossec()sec2()
1 1
x 2y3x + y
3 5
131 22 1
a
c
bd
c
a
db
bd
a
c
a
c
11
1+a 13 1 a
a2
c2b2d2
db
c
a
y
x
2a3b
2c3d
a
c
bd
ppp244
241ppp
122
241
26
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igual a:a) 9 b) 6 c) 3 d) 6 e) 9
21. (MACK) A uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = 6. O valor
de x tal que det (2A) = x 97 :
a) 12 b) 0 c) 1 d) e) 194
22. (CESGRANRIO) Quando os elementos da 3a. linha deuma matriz
quadrada so divididos por x (x diferente de zero)e os elementos da
1a. coluna so multiplicados por y (y diferentede zero), o
determinante da matriz fica dividido por:
a) xy b) c) d) e)
23. (PUC) Se somarmos 4 a todos elementos da matriz
A = cujo determinante D, ento o deter mi -
nan te da nova matriz :
a) 2D b) 3D c) 4D d) 5D e) 6D
24. (UESPI) Se o determinante da matriz
igual a 10, ento o determinante da matriz
iguala:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
25. (UFSCar) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3
tal que, com p inteiro positivo. Em tais
con dies, correto afirmar que, necessariamente, det A mltiplo
dea) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.
26. (UFRN) Seja A = uma matriz 3 x 3.
Se Det. (A) = = 6, ento
+ + + igual a:
a) 18 b) 12 c) 6 d) 0
27. (UFOP) A matriz A, dada a seguir, igual oposta dasua
transposta, ou seja, A = At
A =
Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0
28. (MACK) Se abc 0, ento, o determinante
D = vale:
a) a b) b c) c d) 2a e) 0
29. Prove que se a + b + c + d = 0, ento:
= 0
30. (VUNESP) Sejam a, b, c, d, e cinco nmeros inteirosformando,
nessa ordem, uma progresso aritmtica. Ento, o
determinante da matriz A = vale:
a) a + b + c + d + e b) ace c3 c) 0d) 1/2 e) 131. Qualquer que
seja m , o valor de
:
a) (m + 1) . (m + 3) . (m + 5) b) (m + 3)3c) zero d) 1e) 1
32. Calcule
33. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz
A = :
a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3
34. O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem
a
equao = 0 :
a) {0} b)+* c) {7} d) e) {0; 7}
97
2
1
xyx
yy
x
x3
y3
111211
3m
1
2k11k2
0k
2
2k + 41
1k + 3
2
0k 1
2
aij = p, se i = j2p, se i j
a
dg
be
h
c
fi
a
dg
be
h
c
fi
a
dg
be
h
c
fi
a
gd
bhe
c
if
ga
d
hbe
ic
f
gda
he
b
ifc
x12yx
0
z
w
x
a bb cc a
b cc a
a b
c a
a bb c
a
bc
d
bc
da
c
da
b
da
bc
a
bc
bc
d
c
de
m + 1m + 2m + 3
m + 2m + 3m + 4
m + 3m + 4m + 5
159
13
26
1014
371115
48
1216
210121
312
0x2
x
0
4x
67
03x30
0x
45
27
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35. (UEMT) O maior valor real de x tal que
= 0 :
a) 8 b) 0 c) 1 d)