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MATEMTICA 1
1. Definio de matrizChama-se matriz de ordem m x n (l-se m por
n)
a uma tabela de m . n n meros reais, dispostos em mlinhas e n
colunas. Representa-se por A ou Amn.
Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna,pode ser
representado pelo smbolo a11. L-se a ndiceum um ou simplesmente a
um um.
O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, podeser
representado pelo smbolo a12. L-se a ndice umdois ou simplesmente a
um dois.
O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, podeser
representado pelo smbolo a13. L-se a ndice umtrs ou simplesmente a
um trs.
De modo anlogo, x o elemento a21, y o ele -mento a22 e z o
elemento a23.
Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, podeser assim
representada:
De modo geral, representando por aij o elemento dalinha de ordem
i e da coluna de ordem j, podemosrepresentar a matriz A de ordem m
x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxnObservaes
Ao apresentarmos uma matriz como tabela, es -ta mos dando uma
noo intuitiva de matriz. Formal men -te, matriz uma funo que a cada
par (i; j) associa onmero real aij.
a11a21
am1
a12a22
am2
a13a23
am3
a1na2n
amn
a11a21a12a22
a13a23A =ou
a11a21
a12a22
a13a23
A =
oua11a21a12a22
a13a23A =
mx ny pzA =
Matrizes Determinantes Sistemas Lineares Mdulos1 Matrizes2
Multiplicao de matrizes3 Propriedades4 Determinantes5 Determinante
nulo6 Determinante se altera 7 Determinante no se altera8
Abaixamento da ordem9 Regra de Chi e
Teorema de Binet
10 Inverso de matrizes
11 Clculo de um elemento
da inversa e propriedades
12 Sistemas lineares
Regra de Cramer
13 Escalonamento
14 Escalonamento
15 Substituio, eliminao
16 Caracterstica de uma matriz
1 Matrizes Matriz Colunas Matriz nula Matriz unidade
Artur Cayley (1821-1895)Multiplicao de Matrizes
e o Teorema de Cayley
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MATEMTICA2
Linha de uma matriz uma nupla de elementoscom o mesmo primeiro
ndice. Exemplo: a segunda linhada matriz A (a21, a22, a23,
a2n).
Coluna de uma matriz uma nupla de elemen -tos com o mesmo
segundo ndice. Exemplo: a segundacoluna da matriz A (a12, a22, a32,
am2).
Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -tin
tamente.
A matriz Amxn chamada:
Retangular m n
Quadrada m = n
Matriz Linha m = 1
Matriz Coluna n = 1
Exemplo
Matriz Retangular:
A =3 linhas2 colunas
Matriz Quadrada:
B =
Matriz Linha:C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nulaMatriz nula aquela que tem todos os elementos
iguais a zero. representada pelo smbolo Omxn. Exemplo
O32 =
3. Matriz unidade ou matriz identidadeA matriz A = (aij)nxn
chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e representada por In, se esomente se:
i, j { 1, 2, 3, ..., n}
Matriz identidade de ordem 3:
I3 =
4. Matriz opostaA matriz oposta de A = (aij)mxn a matriz A = (
aij)mxn.
5. Matriz transpostaA matriz transposta da matriz A = (aij)mxn a
matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, i {1, 2, 3, ..., m}, j {1, 2,
3, ..., n}
6. Igualdade de matrizesDuas matrizes, A e B, de mesma ordem, so
iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentesforem dois a
dois iguais.
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, ento cada elemento aijde A igual
ao correspondente elemento bij de B.
Sim bolicamente:
para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n}
7. Adio de matrizesDadas duas matrizes de mesma ordem, A =
(aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendoa matriz C =
(cij)mxn, tal que cada elemento de C a so ma dos elementos
correspondentes de A e B.
Sim boli camente:
para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n}
8. Subtrao de matrizesDadas duas matrizes, A e B, de mesma
ordem,
define-se diferena entre A e B como sendo a soma deA com a
oposta de B.
Simbolicamente:
9. Multiplicao de nmero real por matrizDada a matriz A =
(aij)mxn e o nmero real , define-
se o produto de por A como sendo a matriz B= (bij)mxntal que
cada elemento bij de B igual ao produto donmero pelo correspondente
elemento da matriz A.
Simbolicamente:
para i {1, 2, 3, ..., m} e j {1, 2, 3, ..., n} Exemplo:
3 . 1430
7 3 =
312
90
21 9
Obter a transposta trocar, ordena damente,linhas por colunas
A transposta da transposta de A a prpriamatriz A
Saiba mais??
B = . A bij = . aij
243156
A B = A + ( B)
C = A + B cij = aij + bij
100
010
001
1 0 0 00 1 0 0
In = 0 0 1 0 ......................0 0 0 1
A = B aij = bij
aij = 1 i = j aij = 0 i j
000
000
2 linhas2 colunas
14
36
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MATEMTICA 3
Questes de a .Sendo A = (aij)2x3 tal que aij = i + 2j, i {1; 2}
j {1; 2; 3}, pede-se:
Escrever a matriz A.RESOLUO:
A = A =
Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUO:
A =
Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUO:
At = 357
468
3 4 5 6 7 8
34 56 78a11a21
a12a22
a13a23
(UERJ MODELO ENEM) A temperatura corporal de umpaciente foi
medida, em graus Celsius, trs vezes ao dia, durante cincodias. Cada
elemento aij da matriz abaixo corresponde temperaturaobservada no
instante i do dia j.
Determinea) o instante e o dia em que o paciente apresentou a
maior tem -
peratura; b) a temperatura mdia do paciente no terceiro dia de
observao. Resoluoa) A maior temperatura dada pelo elemento a24(40,5
C) da matriz e
ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia so a13 = 38,6, a23 = 37,2
e
a33 = 36,1. A mdia, em graus Celsius, :
= = = 37,3
Sabe-se que duas matrizes de mesma ordem so iguais quandopossuem
todos os elementos correspondentes, dois a dois, iguais.
Porexemplo, com relao s matrizes
A = , B = e C =
observa-se que A = B e A C. Considere as matrizes
M = , N = e
P = .
Determine:a) x + y + z, sabendo que M = N b) M + Pc) M P d) 2M
Resoluoa) Se M = N, temos: x = 3, y = 0 e z = 12. Dessa forma,
resulta
x + y + z = 3 + 0 + 12 = 15
b) M + P = + =
= =
c) M P = =
= =
d) 2M = = 4
0
24
2
0
4
6
10
2
2.3
2.5
2.1
2.( 1)
2.0
2.( 2)
2.2
2.0
2.12
3
0
7
3
3
2
0
4
1
2 + 1
0 0
12 5
1 2
0 + 3
2 0
3 3
5 1
1 0
1
0
5
2
3
0
3
1
0
2
0
12
1
0
2
3
5
1
1
0
17
1
3
2
6
6
1
2 1
0 + 0
12 + 5
1 + 2
0 3
2 + 0
3 + 3
5 + 1
1 + 0
1
0
5
2
3
0
3
1
0
2
0
12
1
0
2
3
5
1
1
0
5
2
3
0
3
1
0
2
y
z
1
0
2
x
5
1
2
0
12
1
0
2
3
5
1
86 1
02
6
1
02
6
1
0
111,9
3
38,6 + 37,2 + 36,1
3
a13 + a23 + a33
3
35,6
36,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
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MATEMTICA4
(MODELO ENEM) Uma loja guarda as camisas queesto venda em uma
prateleira que permite separ-las emtamanho (pequeno, mdio e grande)
e cor (verde, azul, brancae preta), conforme a figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A =
(aij)34 emque (i; j) indi ca a po sio em que as camisas se encon
tram naprateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor
e ta -manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5
significaque existem cinco camisas brancas de tamanho mdio. Quan
-
do A = , pode-se dizer que
a) existem 7 camisas verdes mdias.b) existem 18 camisas mdias.c)
existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.d) esto em
falta camisas azuis grandes.e) h mais camisas grandes que
pequenas.
RESOLUO:Conforme a matriz, tm-se: 1 camisa verde mdia, 1 + 6 + 5
+ 8 = 20 camisas mdias, 7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 =
15 camisas pretas, 2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0
+ 4 = 15 camisasgrandes.Resposta: C
Se A = , B = e
A = B, qual o valor de x + y + z?
RESOLUO:
Sendo A = e B = , obter 2A B.
RESOLUO:
2 . A B = 2 . =
= = 500
27
1
142
013
642
282
142
013
321
141
142
013
321
141
z = 3x = 1 x + y + z = 1 + 4 + 3 = 8y = 4
3 = zx = 2x 1 y = 4
z421
12x 1
1x
3y
21
219
762
450
384
Verde Azul Branca Preta
Pequeno
Mdio
Grande
1. DefinioO produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz
B = (bkj)pxn a matriz C = (cij)mxn tal que cada elementocij de C
igual soma dos produtos dos elementos dai-sima linha de A pelos
correspondentes elementos daj-sima coluna de B.
Simbolicamente
C = A.B
cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
2 Multiplicao de matrizes Produto Linha por coluna
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M101
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 5
2. Existncia da matriz produtoa) A matriz produto A . B existe
se, e somente se, o
nmero de colunas da matriz A for igual ao nmerode linhas da
matriz B;
b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmonmero de linhas
da matriz A e o mesmo nmero decolunas da matriz B;
c) A existncia de A. B no implica a existncia deB . A.
Note que, sendo A = (aij)2x7 e B = (bjk)7x5, temos:a) A matriz
produto A . B existe, pois o nmero de
colunas de A (sete) igual ao nmero de linhas de B(sete);
b) A matriz produto C = A . B de ordem 2x5, poisa matriz A
possui duas linhas e a matriz B possui 5colunas.
c) No existe a matriz produto D = B . A, pois o n -mero de
colunas de B (cinco) diferente do nmero delinhas de A (dois).
Dadas as matrizes A =2x3
e B =3x3
,
obter a matriz A.B.
Resoluo
O elemento c11 da matriz produto A . B obtido utilizando a
primeira
linha de A e a primeira coluna de B e igual a 7, pois:
O elemento c12 da matriz produto A . B obtido utilizando
aprimeira linha de A e a segunda coluna de B e igual a 3, pois:
O elemento c13 da matriz produto A . B obtido utilizando a
primeira linha de A e a terceira coluna de B e igual a 9,
pois:
O elemento c21 da matriz produto A . B obtido utilizando a
segunda linha de A e a primeira coluna de B e igual a 6,
pois:
O elemento c22 da matriz produto A . B obtido utilizando a
segunda linha de A e a segunda coluna de B e igual a 3,
pois:
O elemento c23 da matriz produto A . B obtido utilizando a
segunda linha de A e a terceira coluna de B e igual a 8,
pois:
Assim sendo,
A . B = . = 1 3 22 1 1 2 1 31 0 21 1 0
76 33 98
2 1 1( ) . 32
0( ) =
=
2.3 + 1.2 + 1.0( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 3 86 3
2 1 1( ) . 10
1( ) =
=
2.1 + 1.0 + 1.1( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 36
2 1 1( ) . 21
1( ) =
=
2.2 + 1.1 + 1.1( ) = 7 3 9( )7 3 9
6
1 3 2( ) . 320
( ) ==
1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3
1 3 2( ) . 101
( ) ==
1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7
1 3 2( ) . 211
( ) ==
1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )
2 1 31 0 21 1 01 3 2
2 1 1
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MATEMTICA6
Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.
RESOLUO:
A.B = . =
Sendo A = e B = ,
calcular a matriz A . B.
RESOLUO:
A.B = . =
Sendo A = , e B = ,
obter, se possvel, A . B e B . A
RESOLUO:
A . B = . =
B . A
(FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e Cso,
respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A B).C de ordem
3 x 4, ento r + s + t igual a:a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
RESOLUO:I) Se existe A3xr B3xs, ento as matrizes A e B possuem a
mesma
ordem. Portanto, r = s e (A B)3xr.II) Se (A B)3xr.C2xt = [(A
B).C]3x4, conclui-se que r = 2 e t = 4.III)De (I) e (II),
conclui-se que r = s = 2 e t = 4 e, portanto
r + s + t = 8.Resposta: B
3 21
1
5
3 23
4
112
125
1111 83 3015
3 211
5 3
23
4
112
125
110
235
0 2 1
2
12
13
2
204
4 5 7
51417
2 6 4
1
10
235
0 2 1
2
12
13
2
204
2314
11
52
37
1223
2314
11
52
Para que exista o produto entre duas matrizes, Amxn e Bpxr,
preciso que n = p, ou seja, o nmero de colunas da primeira
matrizdeve ser igual ao nmero de linhas da segunda matriz.
Existindo oproduto, a matriz C, resultante do produto AB, ter o
mesmo nmerode linhas que a primeira matriz e o mesmo nmero de
colunas dasegunda matriz. Dessa forma, se n = p, ento Amxn . Bpxr =
Cmxr.
Dadas as matrizes e B = , deter mine:a) A.B b) B.A
Resoluo
a) A2x2 . B2x3 = C2x3
. =
Observe que:c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 2 . 1 + 3 . ( 1) =
1c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 2 . 1+ 3 . 2 = 8c13 = a11 . b13 +
a12 . b23 = 2 . 0 + 3 . 5 = 15c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = ( 1) .1
+ 0 . ( 1) = 1c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = ( 1) . 1 + 0 . 2 = 1c23
= a21 . b13 + a22 . b23 = ( 1) . 0 + 0 . 5 = 0
Dessa forma, resulta C =
b) B2x3.A2x2 no existe, pois o nmero de colunas (3) da pri mei
ra
matriz B, diferente do nmero de linhas (2) da se gunda matriz
A.
Respostas: a) C = b) no existe B.A. 1 1 8 1 150
1 1 8 1 150
c11c21c12c22
c13c2311 12 052 1 30
1 1 12 052 1 30
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 18:03 Pgina 6
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MATEMTICA 7
(UFRJ MODELO ENEM) Uma fbrica de guarda-roupasutiliza trs tipos
de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada)para guarda-roupas de
mogno e cerejeira, nos modelos bsico,luxo e requinte. A tabela 1
mostra a produo de mveisdurante o ms de outubro de 2005, e a tabela
2, a quantidadede fechaduras utilizadas em cada tipo de armrio no
mesmoms.
Tabela 1: Produo de armrios em outubro de 2005
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005
A quantidade de fechaduras usadas nos armrios do modelorequinte
nesse ms foi dea) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
RESOLUO:
A matriz A = 2 3
representa a tabela 1, a matriz
B = 3 2
representa a tabela 2 e a matriz C = B.A
representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . =
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218
fechaduras.
Resposta: D
FECHADURAS POR MODELO
TIPO BSICO LUXO REQUINTE
Dourada 78 86 100
Prateada 56 64 72
Bronzeada 36 38 46
785636
866438
1007246
34
53
45
1084
1286
1084
1286
3453
45
MADEIRA
TIPO MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
MODELO
MADEIRA BSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
1. ComutativaA multiplicao de matrizes no comutativa, ou
seja:
as matrizes AB e BA no so obrigatoriamente iguais.Existem,
portanto, matrizes A e B tais que AB BA.
2. Anulamento do produtoNa multiplicao de matrizes, no vale a
lei do
anulamento do produto, ou seja: o produto de duasmatrizes pode
ser nulo mesmo que ambas sejam nonulas. Existem, portanto, matrizes
A e B tais que A 0,B 0 e AB = 0.
3. CancelamentoNa multiplicao de matrizes, no vale a lei do
cancelamento, ou seja: na igualdade AB = AC no se
pode cancelar A e concluir que B = C. Existem,portanto, matrizes
A, B e C tais que AB = AC e B C.
4. Propriedades da transpostaSe A e B forem matrizes conformes
para a operao
indicada e k um nmero real, ento:
a) A = B At = Bt
b) (At)t = A
c) (A + B)t = At + Bt
d) (kA)t = k . At
e) (AB)t = Bt . At
3 Propriedades Comutativa Anulamento de produto Cancelamento
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M102
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 7
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MATEMTICA8
Dadas as matrizes
A = , B= e C= ,
determine:a) AB b) BA c) AC d) CA
Resoluo
a) A . B = . =
= =
=
b) B . A = . =
= =
=
c) A . C = . =
= =
d) C . A = . =
= =
=
Observe que A.B B.A e A.C = C.A. Conclui-seque o produto entre
matrizes no comutativo,ou seja, diferentemente do que ocorre com
oproduto de nmeros reais, podemos ter A.B eB.A com A.B B.A.
Respostas:
a) A.B = b) B.A =
c) A.C = d) C.A =
Considere as matrizes A = e B =
determine A.B e B.A.Resoluo
A.B = . =
= =
=
B.A = . =
= =
=
Observe que, diferentemente do que ocorrecom o produto de nmeros
reais, temosA.B=O sendo A O e B O, em que O amatriz nula.
2 22
21.1 + 1.1( 1).1 + ( 1).1
1.1 + 1.1
( 1).1 + ( 1).111 1111 11
00 001.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)1.1 + 1.( 1)
11 1111 11
11 1111 11
24 0224 02
42 1124 13
24 02
2.0 + 0.10.0 + 2.12.1 + 0.20.1 + 2.2
12 0120 02
24 021.0 + 0.22.0 + 1.21.2 + 0.02.2 + 1.0
20 0212 01
42 11
2.0 + 1.10.0 + 1.12.1 + 1.20.1 + 1.2
12 0120 11
24 13
1.1 + 0.12.1 + 1.11.2 + 0.02.2 + 1.0
20 1112 01
20 0220 1112 01
Enunciado para questes e .
Sendo A = , B = e C = ,
obter:
A . B e B . A
RESOLUO:
A . B =
B . A =
Concluso: A multiplicao de matrizes no comutativa, ou seja,A.B e
B.A nem sempre so iguais.
A . (B + C) e (B + C) . A
RESOLUO:
B + C =
A . (B + C) =
(B + C) . A =
Concluso: Observe que A . (B + C) (B + C) . A
Considere as matrizes A = e B = e
determine A . B.
RESOLUO:
A . B = . =
Concluso: Existem matrizes A e B, tais que A 0, B 0 e A . B =
0.
122
4 2
1
6
3 0
0
0
0
1224
21
63
3411 .
2 2
13 =
46
67
2 213 .
34
11 =
106
31
13 25 +
21
3 4 =
34
11
13 25 .
2 2
13 =
6 4
518
2 213 .
13
25 =
57
119
2 213
13
25
21
3 4
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MATEMTICA 9
(UNESP MODELO ENEM) Uma rede de comunicaotem cinco antenas que
transmitem uma para a outra, conformemostrado na matriz A = (aij),
em que aij = 1 significa que aantena i transmite diretamente para a
antena j, e aij = 0 significaque a antena i no transmite para a
antena j.
Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A2?
a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 no trans mitepara
a antena 1.
b) Como b41 = 1, isso significa que a antena 4 transmite paraa
antena 1.
c) Como b41 = 3, isso significa que a antena 4 transmite paraa
antena 1.
d) Como b41 = 3, isso significa que existem 3 maneiras dife -ren
tes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usan do ape -nas uma
retransmisso entre elas.
e) Como b41 = 3, isso nada significa, pois bij s pode valer 0
ou1, conforme definido no enunciado da questo.
RESOLUOComo B = A2 = A . A, temos:b41 = a41 . a11 + a42 . a21 +
a43 . a31 + a44 . a41 + a54 . a51 =
= 1 . 0 + 1 . 1 + 1 . 1 + 0 . 1 + 1 . 1 = 3
Este resultado significa que existem 3 maneiras distin tas de
a
antena 4 transmitir informaes para a antena 1, usando apenas
uma nica retransmisso entre elas. A saber:4 transmite para a
antena 2 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 3 e
esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 5 e esta
retransmite para 1.Resposta: D
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1. ConceitoSubmetendo os elementos de uma matriz quadra -
da (tabela de nmeros) a operaes (mediante umadefinio), obtm-se
como resultado um nmero que chamado determinante dessa matriz.
O determinante da matriz
indicado por:
2. Como calcular
a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) det A = a11
ou
a11a21..
an1
a12a22..
an2
a13a23...
a1na2n..
ann
det M ou deta11a21..
an1
a12a22..
an2
a13a23..
an3
a1na2n..
ann
a11a21..
an1
a12a22..
an2
a13a23...
a1na2n..
ann
M = a) Matriz tabela de nmeros reais.b) Determinante um nmero
real.c) S se define deter minante se a matriz for qua -
drada.
Saiba mais??
4 Determinantes Matriz quadrada Determinante nmero Matriz
tabela
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M103
No Portal Objetivo
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MATEMTICA10
IV) Obter o det A fazendo a diferena entre a soma das parcelas
do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a11
. a22
. a33
+ a12
. a23
. a31
+ a13
. a21
. a32
a13
. a22
. a31
a11
. a23
. a32
a12
. a21
. a33
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M104
No Portal Objetivo
b) Matriz de Ordem 2
c) Matriz de Ordem 3Neste caso, podemos usar um dispositivo
prtico
(Regra de Sarrus), que consiste em:I) Repetir as duas pri mei
ras colunas ao lado na ter -
ceira colu na:
II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 ea13 .
a21 . a32
III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 ea12 .
a21 . a33
a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
a11a21a31
a12a22a32
a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
a11a21a31
a12a22a32
a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
a11a21a31
a12a22a32
det A =
a11 a12 a11 a12A = det A = = a11.a22 a12.a21a21 a22 a21 a22
Calcular o determinante da matriz A =
Resoluo
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 1 . 2 . 1 3 . 0 . 1 3 . 2 .
2 == 6 + 0 + 6 2 0 12 = 2
Resposta: det A = 2
Calcular o determinante da matriz A =
Resoluo
det A = = 2 . 7 5 . 3 = 1
Resposta: det A = 1
2
3
5
7
23 571 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
det A =
121
223
103
Sendo A = , obter det A
RESOLUO:
det(A) = = 1 . 2 3 . 4 = 1014
32
1432
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MATEMTICA 11
Calcular det = =
RESOLUO:
= = 6 + 16 = 10
Sendo A = e B = , calcular
det (At . B).
RESOLUO:
At . B = . =
det(At . B) = 48 70 12 42 + 16 + 60 = 0
(FEI MODELO ENEM) As faces de um cubo foramnumeradas de 1 a 6,
depois em cada face do cubo foiregistrada uma matriz de ordem 2,
com elementos definidospor:
aij = em que f o valor associado face cor -
res pondente. Qual o valor do determinante da matriz regis
-trada na face 5?a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 e) 0
RESOLUO:Para a face 5, temos f = 5. Dessa forma, os elementos da
matriz Aso definidos por
aij = Assim, det (A) = det = 63 2 = 61
Resposta: B
(UNESP-adaptado MODELO ENEM) Foi realizadauma pesquisa, num
bairro de determinada cidade, com umgrupo de 500 crianas de 3 a 12
anos de idade. Para essegrupo, em funo da idade x da criana,
concluiu-se que o pesomdio p(x), em quilo gramas, era dado pelo
determinante damatriz A, em que
A =
Com base na frmula p(x) = det A, podemos concluir que opeso mdio
de uma criana de 5 anos , em kg, igual a:a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e)
22RESOLUO
p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . ( 1) . ( x)
1 . 0 . 0 1 . ( x) . 2 ( 1) . 3 . =
= 0 + 6 + 0 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18Resposta: A
23
23
1 1 1
3 0 x2
0 2 3
2i + 5, se i = jj, se i j 7
1
2
9
2i + f, se i = jj , se i j
20 1
32
3 12 4 1 01 84
7
5 2 1
32
3
2302
1 3
12
4 1
01
121
113
313
121
113
313 12
1
113
313
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MATEMTICA12
1. Fila nulaO determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
Exemplo
De fato:
2. Filas paralelas iguaisO determinante de uma matriz quadrada
se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
Exemplo
De fato:
3. Filas paralelas proporcionaisO determinante de uma matriz
quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas propor -cio
nais.
Exemplo
De fato:
4. Fila combinao linearO determinante de uma matriz quadrada se
anula
quando a matriz possui uma fila que combinaolinear das demais
filas paralelas.
Exemplo
De fato:
131
545
242
= 0, pois a primeira linha igual terceira (L1 = L3).
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4 = 0
1 5 2 1 5
8 20 30 + 8 + 20 + 30
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0 = 0
5 0 1 5 0
0 0 0 + 0 + 0 + 0
= 0, pois a segunda coluna nula.235
000
731
= 0, pois a segunda linha propor cional primeira (L2 =
3.L1).
5151
265
392
5 2 3 5 2
15 6 9 15 6 = 0
1 5 2 1 5
18 225 60 + 60 + 18 + 225
= 0, pois a terceira linha com bina -o linear das duas primeiras
(L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
135
113
204
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1 = 0
5 3 4 5 3
10 0 12 + 4 + 0 + 18
5 Determinante nulo Fila nula Filas paralelas iguais Filas
paralelas proporcionais Fila combinao linear
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MATEMTICA 13
Dada a matriz A = , mostrar que
a) se c = d = 0, ento det A = 0.
b) se a = 6, b = 8 e e = 5, ento det A = 0.
c) se a = 3, b = 4 e e = 10, ento det A = 0.
d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, ento det A = 0.
Resoluo
a) se c = d = 0, ento:
A = e det A = 0,
pois a segunda linha nula.
b) se a = 6, b = 8 e e = 5, ento:
A = e det A = 0,
pois a 3a. linha igual 1a. linha.
c) se a = 3, b = 4 e e = 10, ento:
A = e det A = 0,
pois a 3a. linha proporcional 1a. linha (3a. linha = 2 . (1a.
linha)).
d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, ento:
A = e det A = 0,
pois
= 32 + 6 + 0 30 8 0 = 0
Note que, neste caso, det A = 0 e em A no h fila nula, nem filas
pa -
ralelas iguais e nem filas paralelas proporcionais. Certa mente,
uma
das filas combinao linear das demais filas paralelas.
Verifique, por exemplo, que:
(3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).
Resolver, em , a equao:
= 0
Resoluo
15 + 2x + ( 8) 2 ( 3x) 40 = 0 5x 35 = 0 x = 7
Resposta: V = {7}
Observao:
Para x = 7, o determinante zero, pois a terceira linha
combinaolinear das outras duas.
De fato: 3a. linha = 1 . (2a. linha) 1 . (1a. linha)
3 2 2 3 2
4 1 x 4 1
1 1 5 1 1
= 0
341
211
2x5
1 1 5 1 1
0 1 1 0 1
6 8 32 6 8
=
106
118
5132
306
4c8
5d10
606
8c8
5d5
a06
b08
50e
a06
bc8
5de
Nas questes de a , calcular os determinantes.
= 0
Observaes: Se todos os ele mentos de uma fila de uma
matrizquadrada M forem nulos, ento det (M) = 0.
= 5ac + ab + 3bc 5ac ab 3bc = 0
Observaes: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para
-lelas iguais, ento det (M) = 0.
= 2 . = 2 . 0 = 0
Observaes: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para
-lelas proporcionais, ento det (M) = 0.
=
= b.(2 + c) + 2a.(3 + b) + 3c(1 + a) 2b(1 + a) c(3 + b) 3a(2 +
c) == 2b + bc + 6a + 2ab + 3c + 3ac 2b 2ab 3c bc 6a 3ac =
0Observaes: Se uma fila de uma matriz quadrada M com -binao linear
das demais filas paralelas, ento det (M) = 0.
1a
1 + a
3b
3 + b
2c
2 + c
123
123
512
123
246
512
abc
351
abc
260
550
480
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MATEMTICA14
= 0
Observando que cada elemento da coluna 3 igual ao dobro docor
res pondente elemento da coluna 1 sub trado do triplo do cor -res
pon dente elemento da coluna 2, conclui-se que o determinante
nulo.
O valor de x que satisfaz a equao = 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUO:
= 0 2x + 18 + 140 + 5 21x 48 = 0
23x + 115 = 0 23x = 115 x = 5
Observe que para x = 5, C3 = C1 + C2Resposta: E
(MODELO ENEM) Nove candidatos a uma vaga de esta -girio foram
dis tri budos em uma sala de espera, como repre -sen tado a
seguir:
A tabela que representa essa distribuio pode ser chamada
dematriz e se substituirmos o nome de cada um desses can dida -tos
pelo nmero que representa a posio ocupada, em nossoalfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obteremosuma nova matriz. O
determinante dessa nova matriz igual a:a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
RESOLUO:A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo
nmeroque indica a posio, em nosso alfabeto, ocupada pela
primeiraletra do respectivo nome :
e o seu determinante = 0, pois a
terceira linha combinao linear das outras duas linhas. Ela igual
soma da primeira linha com a segunda linha.Resposta: C.
134
246
112
134
246
112
AlbertoCarlos
Daniele
BrunoDenise
Fernanda
AndrAlvaroBarone
271
314
56x
56x
3 1
4
271
2a 3b13
b31
a53
1. Trocando filas paralelasO determinante de uma matriz quadrada
muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de
posio.ExemploTrocando entre si as duas ltimas co lu nas, por
exemplo, obtm-se
2 3 1 2 3
5 0 2 5 0 = 7 e
1 1 0 1 1
0 4 0 + 0 + 6 + 5
2 1 3 2 1
5 2 0 5 2 = 7
1 0 1 1 0
6 0 5 + 4 + 0 + 0
6 Determinante se altera Muda de sinal
Multiplicando a matriz por Multiplicando o determinante por
n
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M105
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 15
2. Multiplicando uma fila por O determinante de uma matriz
quadrada fica multiplicado por , quando os elementos de uma fila so
mul -
tiplicados por .ExemploMultiplicando os elementos da primeira
linha por 3, por exemplo, tm-se:
e
De fato:
3. Multiplicando a matriz por O determinante de uma matriz
quadrada de ordem n fica multiplicado por n, quando a matriz
multiplicada
por .Exemplo
Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por
2, obtm-se
De fato:
111
213
32 0
= 4311
613
920
= 3 .111
213
320
= 12
= 4121
134
101
det M =121
134
101
M =
1 1 1 1 1
2 3 0 2 3
1 4 1 1 4
= + 3 0 2 + 3 + 0 8 = 4
det M = =
2 2 2 2 2
4 6 0 4 6 =
2 8 2 2 8
det (2M) =
+ 24 0 16 + 24 + 0 64 = 32
det (2M) = 23 . det M = 8 . ( 4) = 322M = 242268
202
3 6 9 3 6
1 1 2 1 1
1 3 0 1 3
9 18 0 + 0 + 12 + 27 = 12
1 2 3 1 2
1 1 2 1 1
1 3 0 1 3
3 6 0 + 0 + 4 + 9 = 4
Calcular o valor de , saben -
do-se que = 17.
Resoluo
Para calcularmos o valor de , im -
portante que ob servemos que os elementos dasegunda coluna so
mltiplos de 3 e portanto,podemos colocar o 3 em evidncia. Dessa
forma, resulta
= 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duasprimeiras colu nas,
desse novo deter minante,de posio entre si, obteremos o deter
minantecujo resultado igual a 17. No podemos es -quecer que ao
trocar duas linhas ou duas colu -
2x4
123
582
2x4
369
582
2x4
369
582
123
2x4
582
2x4
369
582
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MATEMTICA16
nas de posio entre si, o sinal do determinan -te alterado.
Assim, temos:
= 3 . =
= 3 . =
= ( 3) . ( 17) = 51
Resposta: 51
Calcular o determinante da matriz
, sabendo-se que
= k
Resoluo
= 2 . 3 . =
= 6 . = + 6 .
= 6 . = 6k
Resposta: = 6k
123
2x4
582
2x4
369
582
2x4
123
582
2nyb
6m3x3a
2pzc
amx
bny
cpz
max
nby
pcz
m
x
a
n
y
b
p
z
c
nyb
mxa
pzc
2nyb
6m3x3a
2pzc
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2nyb6m3x3a
2pzc
Considere as matrizes
A = , B = , C = , D = e
resolva as questes de a .
Calcular det(A) e det(B).
RESOLUO:
det(A) = = 8 6 = 2
det(B) = = 6 8 = 2
Observao: Comparando os determinantes da matriz A e damatriz B,
verifica mos que o determinante de uma matriz qua dra -da muda de
sinal quando trocamos duas filas paralelas de posioentre si.
Obter det(C).
RESOLUO:
det(C) = = 24 18 = 6 = 3 . 2 = 3 det A
Observao: Os elementos da primeira linha da matriz C soiguais
aos correspondentes elementos da primeira linha de A,mul tiplicados
por 3. Por este motivo, o det(C) = 3 . det A.
Calcular o determinante da matriz D.
RESOLUO:
det(D) = = 72 54 = 18 = 9 . 2 = 32 . 2 = 32 . det A
Observao: A matriz D = 3 . A, enquanto det D = 32 . det A, pois
A e D so matrizes de ordem 2.
Dado que A = e det(A) = 5, podemos
concluir que det igual a:
a) 30 b) 5 c) 10 d) 15 e) 30
RESOLUO:
= 2 . 3 . = 6 . = ( 6).5 = 30
Resposta: A
2c3pz
2b3ny
2a3mx
cpz
bny
amx
amx
bny
cpz
2c3pz
2b3ny
2a3mx
amx
bny
cpz
39
624
33
68
28
13
13
28
39624
33
68
28
13
13
28
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MATEMTICA 17
(PUC-MG) M uma matriz quadrada de ordem 3, e seudeterminante
det(M) = 2. O valor da expresso det(M) + det(2M) + det(3M) :a) 12
b) 15 c) 36 d) 54 e) 72
RESOLUO:Sendo M uma matriz quadrada de ordem 3 e det(M) = 2,
temos:det(2M) = 23.det(M) = 8.2 = 16 e det(3M) = 33.det(M) = 27 . 2
= 54Assim, det(M) + det(2M) + det(3M) = 2 + 16 + 54 = 72Resposta:
E
(MODELO ENEM) Sabe-se que multiplicar o deter mi -nante de uma
matriz quadrada por um nmero real k omesmo que multiplicar os
elementos de uma nica fila (linhaou coluna) desse deter minante por
k. Por exemplo:
k . = = = =
= = =
Considere os determinantes
A = e B = . Utilize seus
co nhecimentos sobre o tema e o texto da questo para deter
-minar qual das alternativas relaciona de forma correta A e B.
a) B = A b) B = A c) B =
d) B = 3A e) A = 3B
RESOLUO:
B = = 3 . = 3 . A
Resposta: D
1132
251
3
0 653
1323
3396
251
3
0 653
1323
A2
3396
251
3
0 653
1323
1132
251
3
0 653
1323
amx
bny
kckpkz
amx
kbknky
cpz
kakmkx
bny
cpz
amkx
bnky
cpkz
akmx
bkny
ckpz
kamx
kbny
kcpz
amx
bny
cpz
7 Determinante no se altera Trocando linhas por colunas Somando
uma combinao linear
1. Trocando linhas por colunasO determinante de uma matriz
quadrada A no se altera quando trocamos ordenadamente as linhas
pelas
colunas.Simbolicamente
Exemplo
De fato:
= 35 2
13
114
531
det M = det Mt =
2 1 5 2 1
1 1 3 1 1 = 353 4 1 3 4
15 + 24 1 2 + 9 + 20
det M =
15 + 24 1 2 + 20 + 9
2 1 3 2 1
1 1 4 1 1 = 355 3 1 5 3
det Mt =
M = 2
13
114
531
det A = det At
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M106
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 17
-
MATEMTICA18
2. Somando uma combinao linearSe a uma fila de uma matriz
quadrada M somarmos uma combinao linear das demais filas
paralelas,
obteremos uma nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de
Jacobi).Exemplos:
1)
e
2)
De fato:
12
3
214
3124
1 + 2 . 1 + 3 .( 2)5 + 2 . 2 + 3 . 1
2 + 2.( 3) + 3 . 4=
12
3
214
=12
3
214
15
2
27
16
=43 + (7) . 6
651 + (7) . 7
7=
517
436
9 48 + 16 + 4 + 72 24
1 2 3 1 2
2 1 12 2 1 = 113 4 4 3 4
+ 3 20 8 2 + 30 + 8
1 2 1 1 2
2 1 5 2 1 = 11 3 4 2 3 4
De fato:517
436
= 306 301 = 527
16
= 12 7 = 5
Considere a matriz A = . Calcule det(A) e
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz
que seobtm trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas
colunas.Resoluo
det(A) = = 2 + 12 + 0 2 0 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 2 0 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
Calcular o determinante da matriz M = .
ResoluoLembrando que o determinante de uma matriz no se altera
quandoadicionamos a uma fila qualquer uma combinao linear das
demaisfilas paralelas, podemos calcular
det(M) = , adicionando primeira coluna de M,
a seguinte combinao linear:
100.(coluna 2) 10.(coluna 3)
Dessa forma resulta det(M) = =
= =
Note que, embora o determinante original e o novo deter
minantesejam iguais, o determinante resultante pode ser cal culado
maisfacilmente.
Assim det(M) = = =
= 3 + 18 + 64 24 18 8 = 35
Resposta: 35
141
232
891
281394211
232
891
141
232
891
891
232
281 100.2 10.8394 100.3 10.9211 100.2 10.1
281394211
232
891
281394211
232
891
281394211
232
891
1 21
02
6
101
101
220
1 61
101
220
1 61
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MATEMTICA 19
Calcular os determinantes de A = e de
At (transposta de A).
RESOLUO:
det A = = 42
det(At) = = 42
Observao: Comparando os determinantes de A e de At, verifi
-camos que o determinante de uma matriz A no se altera
quandotrocamos ordenamente as linhas pelas colunas.
Simbolicamente,det A = det At.
Sejam A = e
B = =
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men
-
tos da 3a. coluna uma combinao linear das outras colunas.
Cal cular det(A), det(B) e observe que, apesar de A B, temos
det(A) = det(B).
RESOLUO:
det(A) = = 1 + 4 + 0 4 0 0 = 1
det(B) = = 5 + 16 + 0 20 0 0 = 1
O valor de :
a) 1 b) 0 c) abc d) a + b + c e) 3
RESOLUO:Somar a 2a. coluna na 3a. coluna.
Resposta: B
O valor do determinante :
a) 0 b) 2 c) 2 d) 1 e) 572
RESOLUO:
I) multiplicar a 1a. linha por ( 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
Resposta: B
117 5
352
16
2 33
11=
100
311
211
= 2
117
5
352
16
2 33
11
1
1
1
a
b
c
b + c
a + c
a + b
=
1
1
1
a
b
c
a + b + c
a + b + c
a + b + c
= (a + b + c) .
1
1
1
a
b
c
1
1
1
= 0
111
abc
b + ca + ca + b
102
210
1045
102
210
211
102
210
2 + 2 . 1 + 3 . 21 + 2 . 0 + 3 . 1 1 + 2 . 2 + 3 . 0
102
210
1045
102
210
211
2 1
3
2 2
3
031
2 2
0
1 2
3
331
2
20
1 2
3
331
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 19
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MATEMTICA20
(MODELO ENEM) Um professor dividiu os alunos deuma sala de aula
em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
J ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
B = .
Aps alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados
obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.O professor
ento comentou que o que eles haviam observadoera apenas uma
propriedade matemtica relacionada teoriade matrizes e
determinantes. Segundo ela, quando trocamosor denadamente as linhas
de uma matriz quadrada A pelascolunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta deA, representada por At, cujo determinante
igual ao deter -minante da matriz original.Sendo A uma matriz
quadrada de ordem n, podemos con -siderar que essa propriedade pode
ser expressa matemati ca -mente pela sentena:
a) det(A) = det(A) b) det(A) =
c) det(A) = d) det(At) = det(A)
e) det(At) = det(A)
RESOLUO:Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos
ordena -damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova
matrizchamada de transposta de A e representada por At. O que
oprofessor tentou mostrar para os alunos que duas
matrizestranspostas possuem determinantes iguais.
Matematicamente,det(A) = det(At).Resposta: D
1det(At)
1det(A)
24638
03142
00030
01213
02151
20000
4 3 012
61021
34315
82031
1. Menor complementarO menor complementar Dij, do elemento aij
da
matriz quadrada M, o determinante que se obtm deM, eliminando-se
dela a linha i e a coluna j.
2. Cofator ou complemento algbricoO cofator do elemento aij da
matriz quadrada M
Aij = (1)i+j. Dij, em que Dij o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
Simbolicamente:
Se M = , ento
ou
O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan - te de uma
matriz de ordem n como sendo a soma de ndeterminantes de ordem n 1.
Permite, pois, abaixar aordem.
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + + aij . Aij + + ain . Ain
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + + aij . Aij + + anj . Anj
a11.
ai1.
an1
a12.
ai2.
an2
a1j.aij.
anj
a1n.
ain.
ann
O determinante de qualquer matriz qua dradaM de ordem n igual
soma dos produtosdos elementos de uma fila pelos seus respec -tivos
cofatores.
8 Abaixamento da ordem Menor complementar Cofator Teorema de
Laplace
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M107
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 20
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MATEMTICA 21
Calcular o menor complementar e o cofa -tor do elemento
a23 da matriz M =
Resoluo
Na matriz M = , temos
a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 5 = 3
A23 = ( 1)2 + 3 . D23 = ( 1)
5 . =
= ( 1) . ( 3) = 3
Resposta: D23 = 3; A23 = 3
Calcular os cofatores dos elementos a13 ea33 da matriz
M =
Resoluo
Na matriz M = , temos
a13 = 2 e a33 = 1
Logo:
A13 = (1)1 + 3 . = 1 . (8 8) = 0
A33 = (1)3 + 3 . = 1 . (8 20) = 12
Resposta: A13 = 0; A33 = 12
Calcular o determinante da matriz
M = aplicado o Teorema de
Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resoluo
De acordo com os exerccios 1 e 2, temos
A13 = 0; A23 = 3;
A33 = 12.
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 2 . 0 + 3 . 3 + ( 1) . ( 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: det M = 21
141
582
23
1
1
4
5
8
4
1
8
2
141582
23
1
141582
23
1
1
1
5
2
1
1
5
2
141582
23
1
141
582
231
Dada a matriz M = , pedem-se:
a) os cofatores dos elementos da 2a. linha de M.b) o valor de
det M utilizando o Teorema de Laplace na segun -
da linha de M.
RESOLUO:
a) A21 = (1)2+1 = 1 . 4 = 4
A22 = (1)2+2 = 0
A23 = (1)2+3 = 1 . 4 = 4
b) det M = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23
det M = 2 . ( 4) 2 . 0 + 5 . ( 4)
det M = 28
Obs.: Ateno professor: se julgar conveniente, calcule pela
Regrade Sarrus, confirmando o resultado.
Calcular os cofatores dos elementos a14
e a44
da matriz
M =
RESOLUO:
A14 = (1)1+4 = 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 20) = 6
A44 = (1)4+4 = 6 + 6 + 8 8 + 9 + 4 = 25
312
423
211
121
232
115
3
121
42
32
2115
100
1
12
3
0 2
4
153
12
3
0 2
4= 6 + 0 8 + 6 20 + 0 = 28
1 3
04
1 3
13
04
13
12 30
24
153
C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Pgina 21
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MATEMTICA22
Calcular o valor de
RESOLUO:
= ( 1) . A14 + 0 . A24 + 0 . A34 + ( 1) . A44 =
= ( 1) . A14 + ( 1) . A44 = ( 1) . ( 6) + ( 1) . 25 = 6 25 =
19
Obs.: Os cofatores A14 e A44 foram calculados no exerccio an
terior.
(MODELO ENEM) Um professor dividiu os alunos deuma sala de aula
em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
J ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
B = .
Aps alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados
obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.O professor
ento comentou que o que eles haviam observadoera apenas uma
propriedade matemtica relacionada teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamosor
denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelascolunas,
obtemos uma nova matriz chamada de transposta deA, representada por
At, cujo determinante igual ao deter -minante da matriz original.O
valor encontrado por cada um dos dois grupos igual a:a) 24 b) 12 c)
24 d) 25 e) 28
RESOLUO:De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . =
= 2 . ( 3) . = ( 6) . ( 4) = 24
Resposta: C
3121
4232
2115
1001
3121
4232
2115
1001
312
121
231
3012
1021
4315
2031
20000
43012
61021
34315
82031
24638
03142
00030
01213
02151
20000
4 3 012
61021
34315
82031
1. Regra de ChiA Regra de Chi permite abaixar em uma unidade
a
ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor doseu
determinante.
S pode ser utilizada se a matriz M possuir umelemento igual a
1.
Consiste em
a) Eliminar de M a linha e a coluna que contm oelemento aij =
1.
1 a b c
x m n py q r s
z t u v
9Regra de Chi e Teorema de Binet
Regra de Chi Teorema de Binet
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MATEMTICA 23
Calcular, pela Regra de Chi, o determinante da matriz
M =
ResoluoO nico elemento de M que igual a 1 o a43, que dificulta o
clculopela Regra de Chi. Um recurso transformar a11 = 3 em a11 =
1fazendo, pelo Teorema de Jacobi,
(1a. coluna) (3a. coluna). Assim sendo:
det M = = =
= =
= . ( 1)1 + 1 = 1 . ( 33) = 33
Resposta: det M = 33
Observao
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 trocar a 1a.
linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 3a.
coluna.
Calcular o determinante de A . B, sendo
A = e B =
Resoluo
Primeiro Processo
A . B = . =
det (AB) = = 162 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143
5
1
2
3
2
3
1
4
9
19
1
18
9191
185
1
2
32
3
1
4
512
32
3
1
4
3
6
1
2
7
1
1
2
4
1021
43 4 . 02 4 . 23 4 . 1
22 2 . 0
3 2 . 21 2 . 1
0 1 0 . 0
2 0 . 24 0 . 1
1021
4323
22
31
0 1
24
32
12
4323
22
31
0 1
24
3
2
1
2
4
3
2
3
2
2
3
1
0
1
2
4
b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair oproduto dos
elementos correspondentes na linha e nacoluna eliminadas.
c) Calcular o determinante da matriz assim obtida emultiplicar o
resultado por (1)i + j.
Observao
Torna-se mais cmodo utilizar o elemento igual a 1que se encontre
num dos cantos da matriz, isto , a11ou a1n ou an1 ou ann.
2. Teorema de Binet
Para calcular o determinante do produto de duas ma -trizes
quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,portanto:
a) obter o produto A . B das duas matrizes e, emseguida,
calcular o determinante dessa matriz;
b) calcular, separadamente, os determinantes de A ede B e, em
seguida, multiplicar os dois valores obtidos(Teorema de Binet).
Se A e B so matrizes quadradas de mes -
ma ordem, ento det (A.B) = det A . det B
1
x
y
z
a
m a . x
.
.
b
n b . x
.
.
c
p c . x
.
.
1 a b c
x m a . x n b . x p c . x
y q a . y r b . y s c . y
z t a . z u b . z v c . z
. (1)i + jm a . x n b . x p c . xq a . y r b . y s c . y t a . z
u b . z v c . z
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M109
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 23
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MATEMTICA24
O determinante da matriz M = igual
a:
a) 1 b) 1 c) 2385 d) 0 e) 1938
RESOLUO:a11
= ( 1)2. = =
= 0 1 = 1Resposta: B
Calcular o determinante da matriz
M = utilizando a Regra de Chi.
RESOLUO:
det M = =
= = =
= (2 4 4 + 2 + 2 8) = ( 10) = 10
Sejam as matrizes A = e B =
Calcule:a) det A b) det B c) det (A + B) d) det (A . B)
RESOLUO:a) det A = 20 + 3 det A = 23b) det B = 8 + 5 det B =
13
c) A + B = + =
det (A + B) = 54 (Observe que: det(A + B) det A + det B)
d) det (A . B) = det A . det B = 23 . 13 = 299
(MODELO ENEM) Dezesseis candidatos a uma vaga deestagirio foram
distribudos em uma sala de espera, comorepresentado a seguir:
A tabela que representa essa distribuio pode ser chamada
dematriz e se substituirmos o nome de cada um dessescandidatos pelo
nmero que representa a posio ocupada, emnosso alfabeto, pela letra
com a qual se inicia o nome, obte -remos uma nova matriz. O
determinante dessa nova matriz igual a:a) 192 b) 119 c) 0 d) 119 e)
192
RESOLUO:O determinante da matriz obtida, substituindo cada um
dos no -mes pelo nmero que indica a posio, em nosso alfabeto, ocupa
-da pela primeira letra do respectivo nome :
= ( 1)1+1 . = 192
Resposta: A
2 40
10 24
17 25 6
1341
2442
11325
7431
AlbertoCarlos
Danielelvaro
BrunoDeniseDaniel
Benedito
AndrMrciaBaroneEstela
GeraldoDeiseCarla
Antnio
51 3
4 4
1
5
2 9
0
2
6
51 34
4 1
52
1432
314105
7302016
2683
7302016
314105
1432
2683
15 15
61 60
41 40
159 160
0
1
1
1
1 3 8
5 15 41
20 61 159
15203
1561
841
159
2
1
1
2
1
2
2
2
1
14 3 . 4
10 3 . 3
5 3 . 2
30 7 . 4
20 7 . 3
16 7 . 2
6 2 . 4
8 2 . 3
3 2 . 2
C1_2AMAT_prof 2011 16/09/10 10:11 Pgina 24
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MATEMTICA 25
1. DefinioAs matrizes A e B (quadradas e de ordem n) so
inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In a
matriz identidade de ordem n.
Indicaremos a inversa de M por M1.
2. ExistnciaExiste a inversa de M se, e somente se, det M 0.
Neste caso, diz-se que M inversvel ou M no sin gular.Se det M =
0, ento M no inversvel ou M sin -
gular.
3. Como obter a matriz inversaExemplo: Obter a inversa da matriz
M = .
1o. Modo: Usando a definioResoluo:
Se M1 = , por definio de inversa, decorre
que:
Este modo no pr tico, pois se recai em n siste -mas de n equaes
e n incgnitas.
2.o Modo: Regra Prticaa) Calcular o determinante de M:
det M = = 12 11 = 1
b) Obter a matriz M chamada matriz dos cofato -res, substituindo
cada elemento de M pelo respectivoco fator.
c) Obter a matriz M
, chamada matriz adjunta de M,
sendo M
= (M)t
d) Obter M1, que a inversa de M, multiplicando
M
por 1 .det M
4. Como obter um elemento de M1Se M uma matriz inversvel e bij
um de seus ele -
mentos, ento:
sendo aji um elemento de M.
5. PropriedadesSe A e B so duas matrizes quadradas, inversveis
e
de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
(A1)1 = A
A = B A1 = B1
(At) 1 = (A1)t
(A . B)1 = B 1 . A1
1det(A1) = det A
cofator de ajibij =
det M
3 11
14 =
M 1 =1
. M
det M
1 M 1 = .
1 3
11 1
4
M = 3 1 114
t
= 3 11 14
M = A11A21A12A22 =
3 1
114
411
13
3 11
14
1001
xz
yw
xzyw
41113
M1 =
x = 3y = 1z = 11w = 4
4x + z = 111x + 3z = 04y + w = 011y + 3w = 1
1001=
4y + w11y + 3w
4x + z11x + 3z
=.41113
10 e 11Inverso de matrizes, clculo de umelemento da inversa e
propriedades
Existncia Matriz dos cofatores Matriz adjunta Matriz inversa
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M110
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:07 Pgina 25
-
MATEMTICA26
Obter o elemento da segunda linha eterceira coluna da in versa
da matriz:
M =
Resoluo
a) det M = = 21
b) A32 = ( 1)3 + 2 . = (1 15) = 14
c) b23 = =
= = =
Resposta:
Determinar a sabendo-se que
a matriz inversa de .
Resoluo
Se as matrizes so inversas uma da outra,
ento:
. =
=
a = 1
Resposta: a = 1
2a + 2 = 0 5a + 6 = 1
1 0 0 11 2a + 2 0 5a + 6
1 0 0 13 a 5 22 1 5 3
3 a 5 2
2 1 5 3
2
3
2
3
14 21
A32
det M
cofator de a32
det M
1 35 1
1 2 35 1 10 4 7
1 2 3
5 1 10 4 7
(UEL) A soma de todos os elementos da inversa da
matriz M = igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
RESOLUO:
Se for a inversa da matriz , ento, por definio,
temos:
. = =
A matriz inversa , portanto, e a soma de seus ele -
mentos 2.
Resposta: E
Dada a matriz M = , calcular
a) o determinante de M;
RESOLUO:
det M = = 1 + 20 10 10 det M = 1
b) a matriz dos cofatores de M;
RESOLUO:
A11 = ( 1)1 + 1 . = 9 A12 = ( 1)
1 + 2 . = 5
A13 = ( 1)1 + 3 . = 5 A21 = ( 1)
2 + 1 . = 2
A22 = ( 1)2 + 2 . = 1 A23 = ( 1)
2 + 3 . = 1
A31 = ( 1)3 + 1 . = 16 A32 = ( 1)
3 + 2 . = 10
A33 = ( 1)3 + 3 . = 9 M =
1
5
2
1 9216
5110
519
2
1
4
10
1
5
4
10
10
41
1
0
2
1
50
11
2
1
4
1
11
101
5
0
10
1 101212
a = 1
1b =
2c = 0
1d =
2
a = 1 a + 2b = 0c = 0 c + 2d = 1
a + 2b c + 2d
10
01
ac
10
01
10
12
10 12
10 1
2
acbd
acbd
150
211
4101
150
211
4101
Exerccios Propostos Mdulo 10
Exerccios Resolvidos Mdulos 10 e 11
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Pgina 26
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MATEMTICA 27
c) a matriz adjunta de M;
RESOLUO:
M
= (M)t =
d) a matriz inversa de M.
RESOLUO:
M1 = . M
=
(UFF) Determine os valores de x para que a matriz
M = no admita inversa.
RESOLUO:Se M matriz quadrada e no existe M1, temos:
det(M) = = 0 x5 x = 0 x = 0, x = 1 ou x = 1
Observao: Ditar para o aluno: Se a matriz quadrada M nopossui
inversa ( no inversvel), seu determinante igual a zeroe ela chamada
de matriz singular. Se a matriz quadrada Mpossui inversa (
inversvel), seu deter minante diferente de zeroe ela chamada de
matriz no sin gular. Resposta: Os valores de x para que no exista a
inversa de M soos elementos do conjunto {0; 1; 1}.
(MODELO ENEM) Cada um dos cartes abaixo tem deum lado um nmero e
do outro uma letra.
Algum afirmou que todos os cartes que tm uma vogalnuma face tm
um nmero par na outra. Para verificar se tal afirmao verdadeira:a)
necessrio virar todos os cartes.b) suficiente virar os dois
primeiros cartes.c) suficiente virar os dois ltimos cartes.d)
suficiente virar os dois cartes do meio.e) suficiente virar o
primeiro e o ltimo carto.
RESOLUO: preciso virar o primeiro carto para confirmar que no
ver so temum nmero par. preciso virar o ltimo para confirmar que no
verso no tem umavogal.Resposta: E
9 5
5
21
1
1610 9
9 5
5
21
1
1610 9
1det M
A B 2 3
x310
00
x
1x1
x3
10
00
x
1x1
Dada a matriz M = , calcular os ele men -
tos b13 e b32 da matriz inversa de M.
RESOLUO:
A31 = 7
A23 = ( 1) . ( 2) A23 = 2
det M = 12 + 10 3 + 6 det M = 25
b13 = b13 =
b32 = b32 = A23
det M
225
A31det M
725
4 31230
151
Exerccios Propostos Mdulo 11
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 11:23 Pgina 27
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MATEMTICA28
(FUVEST) O determinante da inversa da matriz
A = :
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
I) det (A) = =
II) det (A1) = = =
Resposta: C
Sendo A e B matrizes inversveis de mesma ordem, resolva asequaes
e .
AX = B
RESOLUO:AX = B A1 . A . X = A1 . B I . X = A 1 . B X = A1 .
B
XA = B
RESOLUO:
XA = B X . A . A1 = B . A1 X . I = B . A1 X = B . A1
(MODELO ENEM) A teoria de matrizes e determinantesencontra
grande aplicao na resoluo de sistemas lineares. Eao que tudo
indica, segundo documentos histricos, suacriao remonta a um artigo
de 1855, assinado pelo inglsArthur Cayley (1821-1895). Nesse
artigo, Cayley utiliza asmatrizes para facilitar o estudo das
transformaes dadas porequaes lineares. Para ele, a resoluo de
sistemas linearesestaria facilitada com o uso da teoria de
matrizes. A ideia eratransformar um sistema linear em uma equao
matricialequivalente cuja resoluo forneceria a soluo do sistema.Em
notao atual, teramos, por exemplo,
. =
Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes
, e , resulta a equao matricial A.X = B
cuja soluo X = A1.B, em que A1 a matriz inversa de A.
Considere a matriz A = e a sua inversa A1 =
Com base no texto, e seguindo as orientaes de Cayley,pode mos
concluir que o par (x, y), soluo do sistema
, tal que x + y igual a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
RESOLUO:
. =
= . =
x + y = 2 + 8 = 6
Resposta: A
1det(A)
1
48
5
548
1 1
15
0 2
4
10
3
48
5
52
5
48
5
548
552
548
1
11
5
0 2
4
10
3
x = 2y = 8
xy 3
5 12
414
xy
28
2x + y = 45x + 3y = 14 25
13
xy
414
2x + y = 45x + 3y = 14
2513
35
12
2513
xy 414
2x + y = 45x + 3y = 14 25 13 xy 414
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MATEMTICA 29
12Sistemas Lineares Regra de Cramer
Matrizes de um sistema Sistema normal Regra de Cramer
1. Sistemas linearesSistemas de equaes, como e
, constitudos apenas por equaes do
1o. grau nas incgnitas x, y ou z so chamados
sistemaslineares.
Observe que no so lineares os sistemas
e , pois, em cada um, nem todas
as equaes so do 1o. grau.
Podemos dizer ento que sistema linear (S) todoconjunto de m (m
2) equaes em n incgnitas x1, x2, , xn, que se denota da seguinte
forma:
, em que os
reais aij so os coeficientes de xj e b1, b2, , bm soconstantes.
Se b1 = b2 = = bm = 0, o sistema linear dito homogneo.
2. Soluo de um sistemaAs solues dos sistemas com duas incgnitas
so
pares ordenados da forma (1,
2), com trs incgnitas
so ternos ordenados da forma (1,
2,
3), com quatro
incgnitas so quadras ordenadas da forma (1,
2,
3,
4), e assim por dian te. A nupla (
1,
2, ,
n) uma
soluo do sistema linear (S) se ela soluo de cadauma das n equaes
de (S).
3. Classificao de um sistemaquanto ao nmero de soluesa) Um
sistema linear POSSVEL (ou compatvel)
se admite pelo menos uma soluo.b) Um sistema linear IMPOSSVEL
(ou incom -
patvel) se no admite soluo alguma.c) Um sistema linear possvel e
DETERMINADO
se admite uma nica soluo.d) Um sistema linear possvel e INDETER
MI -
NADO se admite infinitas solues.
Portanto, quanto ao nmero de solues, podemosclassificar os
sistemas lineares da seguinte forma:
4. Exemplos
a) O sistema possvel e determinado.
A nica soluo o par ordenado (2; 1).
b) O sistema possvel e indeter -
minado, pois apresenta in finitas solues. So todos os
pa res ordenados do tipo (k; 4 k). Algumas dessas
solues so: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), etc.
c) O sistema impossvel, pois no exis-
te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenas ver -dadeiras
simultaneamente. Em outras palavras: noexistem 2 nmeros reais x e y
cuja soma 4 e 5 simul -taneamente.
5. Matrizes de um sistemaa) Matriz incompletaA matriz
incompleta, representada por M.I., associa -
da a um sistema, a matriz cujos elementos so, or de -nadamente,
os coeficientes das incgnitas.
Se M.I. quadrada, diz-se que o seu determinante o determinante
do sistema (D).
b) Matriz completaA matriz completa, representada por M.C., asso
cia -
da a um sistema, a matriz que, alm dos elementos deM.I., possui
mais uma coluna constituda pelos se gun -dos membros de cada equao
do sistema. No sistemalinear a seguir, as matrizes incompleta e
completa so:
a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1a21 . x1 + a22 . x2 +
... + a2n . xn = b2
...am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm
x2 + y = 1 x 3y = 0 x + 2y = 1x . y = 8
4x y + z = 32x + y + 3z = 7
3x + 2y = 15x y = 2
x + y = 4x + y = 5
x + y = 42x + 2y = 8
x + 3y = 5x + y = 3
Sistema Possvel e Determinado (SPD): uma
s soluo
Sistema Possvel e Indeterminado (SPI):
infinitas solues
Sistema Impossvel (SI): nenhuma soluo
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MATEMTICA30
No sistema linear (S) por exem-
plo, temos:
6. Sistema normalUm sistema linear de n equaes e n incgnitas
normal se o determinante D do sistema for diferente dezero.
Teorema de Cramer
Regra de CramerDado um sistema normal nas variveis x
1, x
2, x
3, ,
xn, demonstra-se que:
na qual ressaltamos quea) D o determinante do sistema;b) Dj o
determinante da matriz que se obtm da
ma triz incompleta, trocando-se sua j-sima coluna porb
1, b
2, , b
n.
D1 D2D . x1 = D1 x1 = ; D . x2 = D2 x2 = ; D D
D3 DnD . x3 = D3 x3 = D . xn = Dn xn = D D
Todo sistema normal possvel e deter mi nado e a
ni ca soluo pode ser obtida pela Regra de Cramer.
M.I.= 211
32
3
412 M.C. =
211
32
3
412
5 1
7
2x + 3y 4z = 5x + 2y + z = 1x 3y + 2z = 7
Resolver o sistema
pela Regra de Cramer.
Resoluo
a) O sistema normal e pode ser resolvido
pela Regra de Cramer, pois
D = = 9 2 = 7 D 0
b) Dx = = 27 13 = 14
x = = = 2
c) Dy = = 39 18 = 21
y = = = 3
Resposta: (2;3)
Resolver o sistema
pela Regra de Cramer.
Resoluo
a) O sistema normal e pode ser resolvido pe -
la Regra de Cramer, pois
D = = 7 D 0
b) Dx = = 7
x = = = 1
c) Dy = = 14
y = = = 2
d) Dz = = 21
z = = = 3
Resposta: (1; 2; 3)
21
7
DzD
121
2 11
236
14
7
DyD
121
236
111
77
DxD
236
2 11
111
121
2 11
111
x + 2y z = 2
2x y + z = 3x + y + z = 6
217
DyD
32
913
14
7
DxD
913
13
32
13
3x + y = 9 2x + 3y = 13
Considere o sistema . Pedem-se:
a) a matriz incompleta do sistema;
RESOLUO:
M.I. =
3x + y = 5x + y = 3 31
1
1
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M111
No Portal Objetivo
C1_2AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Pgina 30
-
MATEMTICA 31
b) o determinante do sistema;
RESOLUO:
D = = 3 1 = 2
c) resolver o sistema pela Regra de Cramer.
RESOLUO:
Dx = Dx = 2 x = x = 1
Dy = Dy = 4 y = y = 2
V = {(1, 2)}
Resolver o sistema pela Regra
de Cramer.
RESOLUO:
D = = 8
Dx = = 8 x = x = 1
Dy = = 16 y = y = 2
Dz = = 8 z = z = 1
V = {(1, 2, 1)} (S.P.D.)
(UFPE MODELO ENEM) Perguntado sobre a idade deseu filho Jnior,
Jos respondeu o seguinte:Minha idade quando somada idade de Jnior
igual a 47 anos; e quando somada idade de Maria igual a 78 anos.As
idades de Maria e Jnior somam 39 anos. Qual a idade deJnior?a) 2
anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos
RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, as idades de Jos, de
Jnior e deMaria, temos:
D = = 2 e Dy = = 8. Dessa forma,
y = = 4
Resposta: C
112
121
211
Dz
D
112
211
123
Dy
D
2
1
1
1
2
1
1
2
3
DxD
1
1
2
1
2
1
1
2
3
x y + z = 2x 2y 2z = 1
2x + y + 3z = 1
31
53
DyD
53
11
DxD
31
11
Dy
D
110
477839
011
110
101
011
x + y = 47x + z = 78y + z = 39
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MATEMTICA32
Dizemos que o sistema est
escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equao zeroe os
coeficientes de x e y na 3a. equao so iguais azero. fcil resolver
este sistema, pois:
Logo: V = {(8; 1; 3)}
Se o sistema no estiver escalonado, podemos trans - form-lo em
um outro, escalonado, que tenha a mes masoluo, ou seja, equivalente
ao primeiro.
Exemplo
Resolver o sistema por escalo -
namento.
Primeiro Passo: Repetir a 1a. equao e eliminar a
varivel x das demais.
Para tanto, fazemos:
a) (Segunda Equao) 2 . (Primeira Equao)
b) (Terceira Equao) 3 . (Primeira Equao)
Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equa -es e eliminar a
varivel y da 3a. equao.
Para tanto, basta fazermos: (Terceira Equao) 2 . (Segunda
Equao)
Resolvendo, agora, o sistema por substituio, ob -tm-se z = 1, y
= 1 e x = 8. Portanto, o conjunto ver da -de do sistema V = {(8; 1;
1)}.
ImportantePara escalonar um sistema e trans form-lo em outro
sistema, equivalente (que apresenta a mesma soluo) emais
simples, podemos
a) trocar de posio duas equaes;
b) multiplicar qualquer equao por um nmero realdiferente de
zero;
c) multiplicar uma equao por um nmero real dife -rente de zero e
adicion-la outra equao.
x + 2y z = 7 y + 4z = 13
3z = 9
x + 2y z = 7 x + 2y z = 7
y + 4z = 13 y + 4z = 13 3z = 9 z = 3x + 2y z = 7 x + 2y z =
7
y + 4 . 3 = 13 y = 1 z = 3 z = 3x + 2 . 1 3 = 7 x = 8
y = 1 y = 1z = 3 z = 3
x + 2y + z = 72x + 5y 3z = 8 3x + 8y 5z = 11
x + 2y + z = 7
y 5z = 63x + 8y 5z = 11x + 2y + z = 7
y 5z = 62y 8z = 10
x + 2y + z = 7 y 5z = 62z = 2
13 e 14 Escalonamento Escalonamento Sistemas equivalentes
Resolver o sistema
ResoluoI) Da terceira equao, resulta z = 2.II) Substituindo z
por 2, na segunda equao,
temos y + 7 . 2 = 15 y = 1.III) Substituindo z por 2 e y por 1,
na primeira
equao, temos x + 2(1)3 .2=5 x = 3IV) De I, II e III resulta V =
{(3; 1; 2)}
Resolver o sistema
ResoluoVamos escalonar o sistema, transformando-oem um sistema
equivalente (de mesma solu -o) e cuja resoluo mais
simples.Conservamos a primeira equao e eliminamosx nas demais
equaes. Para isso, devemosse guir as seguintes etapas:a)
conservamos a primeira equao;
b) trocamos a segunda equao por (segun daequao) 2.(primeira
equao);
c) trocamos a terceira equao por (terceiraequao) 3(primeira
equao).
Dessa forma, temos:
x + 2y 3z = 5
y + 7z = 15 11y + 10z = 31
x + 2y 3z = 5
2x + 3y + z = 53x 5y + z = 16
x + 2y 3z = 5
y + 7z = 1567z = 134
Exerccios Resolvidos Mdulos 13 e 14
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MATEMTICA 33
Resolver o sistema:
RESOLUO:I) 3z = 9 z = 3
II) y 2z = 4 y 6 = 4 y = 2
III) x + 2y + z = 8 x + 4 + 3 = 8 x = 1
V = {(1; 2; 3)}
(S.P.D.)
Aplicando o mtodo do escalonamento, resolver o sis tema:
RESOLUO:
x + 2y + z = 8 x( 1) x( 2)
x + 3y z = 4 +2x + 6y + z = 17
+
x + 2y + z = 8
y 2z = 4 x( 2)2y z = 1 +
V = {(1; 2; 3)}
(S.P.D.)
(UFES) Resolva o sistema linear
RESOLUO:
Multiplicando a primeira equao por ( 2) e adicionando-a se -gun
da e mul tiplicando a primeira por ( 5) e adicio nando-a terceira,
temos:
Multiplicando a segunda equao por (3) e adicionando-a ter
-ceira, temos:
x = 1, y = 2 e z = 3
Resposta: V = {(1; 2; 3)}
x + 2y + z = 8
y 2z = 43z = 9
x + 2y + z = 8x + 3y z = 4
2x + 6y + z = 17
x + 2y + z = 8
y 2z = 4 3z = 9
2x + 3y + z = 11x + y + z = 65x + 2y + 3z = 18
x + y + z = 62x + 3y + z = 115x + 2y + 3z = 18
2x + 3y + z = 11x + y + z = 65x + 2y + 3z = 18
x + y + z = 6y z = 1 3y 2z = 12
x + y + z = 6y z = 1
5z = 15
Exerccios Propostos Mdulo 13
Agora, conservamos a primeira e a segunda equa es e eliminamos
aincgnita y na ter cei ra equao. As etapas a serem seguidas, so:a)
conservamos as duas primeiras equaes;b) trocamos a terceira equao
por (terceira equao) 11(segunda
equao).
Dessa forma resulta
Que equivalente a
Resolvendo esse ltimo sistema, chegamos a x = 3, y = 1 e z =
2.
Portanto, o conjunto soluo S = {(3; 1; 2)}.
x + 2y 3z = 5
y + 7z = 1567z = 134
x + 2y 3z = 5
y + 7z = 15 67z = 134
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M112
No Portal Objetivo
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-
MATEMTICA34
(U.F.CEAR MODELO ENEM) Para uma festinha,foram encomendados 90
refri gerantes, 230 salgados e 120doces. Os convidados foram
divididos em 3 faixas: crianas,senhores e senhoras. Cada criana
dever consumir exata -mente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces;
cada senhordeve r consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e
3do ces; cada senhora dever consumir exatamente 3 refrige -rantes,
6 salgados e 3 doces. Qual dever ser o total deconvidados para que
no sobrem e nem faltem refrigerantes,salgados e doces?a) 25 b) 35
c) 45 d) 55 e) 65
RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, o nmero de crianas, de
senho -res e de senhoras convidados para a festa, temos:
I) Os refrigerantes a serem consumidos so 2 para cada
criana,
3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma,
resulta
2x + 3y + 3z = 90.
II) Os salgados a serem consumidos so 8 para cada criana, 5
para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos
8x + 5y + 6z = 230.
III)Os doces a serem consumidos so 4 para cada criana, 3
para
cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos
4x + 3y + 3z = 120.
Resolvendo o sistema formado pelas trs equaes.
Multiplicando a primeira equao por ( 2) e adicionando-a segunda,
temos:
Multiplicando a primeira equao por ( 1) e adicionando-a
terceira, resulta
x + y + z = 25
Resposta: B
2x + 3y + 3z = 904x y = 502x = 30
z = 10y = 10 x = 15
2x + 3y + 3z = 904x y = 504x + 3y + 3z = 120
2x + 3y + 3z = 908x + 5y + 6z = 2304x + 3y + 3z = 120
Nos exerccios de a , resolva e classifique os sistemas,aplicando
o mtodo do escalonamento:
RESOLUO:
x + 2y + z = 9 x( 2) x( 3)
2x + y z = 3 +3x y 2z = 4 +
x + 2y + z = 9
3y 3z = 15 ( 3) 7y 5z = 31
x + 2y + z = 9
y z = 5 x( 7) 7y 5z = 31 +
O sistema apresenta uma nica soluo, portanto, trata-se de um
Sistema Possvel e Determinado (S.P.D.).
x + 2y + z = 92x + y z = 33x y 2z = 4
x + 2y + z = 9
y z = 5
2z = 4
x = 1
y = 3
z = 2
V = {(1; 3; 2)}Exerccios Propostos Mdulo 14
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MATEMTICA 35
RESOLUO:x( 3) x( 5)
++
x( 2)
+
A terceira equao verdadeira para z .Abandonando a ltima equao e
fazendo z = , com , temos:
,
com V = {( 8; 2 12; )},
O sistema apresenta infinitas solues, portanto, trata-se de
um
Sistema Possvel e Indeterminado (S.P.I.).
RESOLUO:
x(2) x(1)
++
x( 1)+
A terceira equao falsa para z V = O sistema no apresenta soluo,
portanto, trata-se de um Sis -
tema Impossvel (S.I.).
(PUCCAMP MODELO ENEM) Se o convidarem parasaborear um belo
cozido portugus, certamente a ltima coisaque experimen tar entre as
iguarias do prato ser a batata, poisao ser colocada na boca sempre
parecer mais quente. ... Masser que ela est sempre mais quente, uma
vez que todos oscomponentes do prato foram cozidos juntos e saram
aomesmo tempo da panela? Sabemos que, ao entrarem emcontato,
objetos com temperaturas diferentes tendem a trocarcalor at ficarem
com a mesma temperatura. Parece estranho,no? Uma coisa certa: ao
comer o cozido, a chance de vocqueimar a boca com a batata muito
maior do que com opedao de carne. Comprove isso no prximo cozido
que tiver oportunidade decomer.
(Anbal Figueiredo. Fsica um outro lado calor e temperatura.So
Paulo. FTD, 1997.)
De acordo com uma receita da vov, entre os ingredientesusados no
preparo de um belo cozido portugus, incluem-se xgramas de batatas,
y gramas de cebolas e z gramas de linguiaportuguesa, totalizando
1450 gramas. Sabendo-se que z e x,nesta ordem, esto entre si na
razo 2/3 e que o dobro de y,acrescido de 100, igual soma de x e z,
correto afirmar quecompem essa receita:a) 450 g de cebolas. b) 480
g de batatas.c) 480 g de cebolas. d) 500 g de linguia.e) 750 g de
batatas.
RESOLUO:A partir dos dados contidos no enunciado, temos:
Multiplicando a primeira equao por (2) e adicionado-a
terceira,temos:
Adicionado a segunda equao terceira, temos:
x = 600, z = 400 e y = 450
Resposta: A
x + y + z =14502x 3z = 05x = 3000
x + y + z = 14502x 3z = 03x + 3z = 3000
x + y + z =1450z 2
= x 32y + 100= x + z
x + y + z = 14502x 3z = 0x 2y + z = 100
x 2y 3z = 5
y 4z = 130z = 6
x 2y 3z = 5
y 4z = 13y 4z = 7
x 2y 3z = 5 2x + 5y + 2z = 3 x + 3y z = 2
x 2y 3z = 5
2x + 5y + 2z = 3 x + 3y z = 2
x y + = 4y 2 = 12 x y = 4
y = 2 12 x = 8
y = 2 12
x y + z = 4
y 2z = 12
0z = 0
x y + z = 4
y 2z = 12
2y 4z = 24
x y + z = 4
3x 2y + z = 0
5x 3y + z = 4
x y + z = 43x 2y + z = 05x 3y + z = 4
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MATEMTICA36
Os mtodos de resoluo de sistemas lineares(Cramer e
Escalonamento) apresentados anteriormenteso bastante teis e muito
utilizados. No entanto, paracertos sistemas, mais simples eliminar
incgnitaspela adio ou subtrao de duas ou mais equaes,ou, ainda,
usar o mtodo geral da substituio.
Exemplo 1Resolver, por substituio, o sistema
RESOLUO
Isolando z na 1a. equao, temos: z = 7 2x y.Substituindo z, na
2a. e na 3a. equao, pela expres -
so obtida, resulta:
Portanto, z = 7 2 . 3 (1) z = 2O conjunto verdade do sistema : V
= {(3; 1; 2)}
Exemplo 2
Resolver o sistema
RESOLUOA resoluo deste sistema, tanto pelo mtodo da
substituio, como pelo mtodo do escalonamento, e,tambm, pela
Regra de Cramer, muito trabalhosa.
No entanto, se observarmos as relaes existentesentre os
coeficientes das incgnitas, podemos resolv-lorapidamente. De
fato:
a) Somando, membro a membro, as duas primeirasequaes, obtemos:
8x = 16 x = 2
b) Multiplicando a terceira equao por 1 e soman -do-a com a
primeira, temos: 7y = 21 y = 3
c) Substituindo os valores encontrados na primeiraequao, por
exemplo, obtemos:
3 . 2 + 4 . ( 3) 7 . z = 34 z = 4
O conjunto verdade , portanto, {(2; 3; 4)}
3x y + (7 2x y) = 12 x 2y = 5 x + 2y 3 . (7 2x y) = 5 7x + 5y =
16 x = 5 + 2y
7 . (5 + 2y) + 5y = 16x = 5 + 2y x = 3
y = 1 y = 1
2x + y + z = 7 3x y + z = 12x + 2y 3z = 5
3x + 4y 7z = 34 5x 4y + 7z = 503x 3y 7z = 13
(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dadossobre os carros de
determinada cidade e constatou que soroubados, em mdia, 150 carros
por ano.O nmero de carros roubados da marca X o dobro do nmerode
carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntasrespondem por
cerca de 60% dos carros roubados.O nmero esperado de carros
roubados da marca Y :a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 ResoluoSendo x e
y respectivamente, o nmero de carros roubadosdurante um ano, das
marcas X e Y, tem-se:
O nmero esperado de carros roubados da marca Y, durante
um ano, 30.
Resposta: B
Se tivermos , ento x + y + z + t igual
a:
a) 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 5/9
Resoluo
Somando, membro a membro, as equaes, temos:
3x + 3y + 3z + 3t = 15 x + y + z + t = 5
Resposta: C
x + y + z = 1
x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4
x + y + z = 1
x + z + t = 5y + z + t = 7x + y + t = 4
x = 60y = 30x = 2y2y + y = 90
x = 2yx + y = 60% .150
15 Substituio, eliminao Substituir Eliminar incgnitas
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MATEMTICA 37
(UNICAMP) Resolver o sistema
RESOLUO:Somando membro a membro as quatro equaes, resulta 5x +
5y + 5z + 5w = 10 x + y + z + w = 2
Substituindo x + y + z + w = 2 em cada equao, obtm-se:
O conjunto soluo V = {(x, y, z, w)} = {(2; 1; 0; 1)}
Resolver o sistema
RESOLUO:Multiplicando a 3a equao por ( 1), temos:
2x + 3y + z = 17 (I)
x 5y + 2z = 5 (II) x 3y z = 11 (III)
Somando membro a membro as equaes I e III, resulta x = 6.
Substituindo x = 6 em cada equao, obtemos:
3y + z = 5 (a) 5y + 2z = 1 (b) 3y z = 5 (c)A e quao (c)
equivalente equao (a), logo, pode ser eli mina da.Substituindo z =
5 3y (a) em (b): 5y + 10 6y = 1 11y = 11 y = 1 z = 2V = {(6; 1;
2)}
(PUC MODELO ENEM) Sabe-se que na compra de umacaixa de len os,
dois bons e trs camisetas gasta-se um totalde R$ 127,00. Se trs
caixas de lenos, quatro bons e cincocamisetas, dos mesmos tipos que
os primeiros, custam juntosR$ 241,00, a quantia a ser desembolsada
na compra de apenastrs unidades desses artigos, sendo um de cada
tipo, sera) R$ 72,00 b) R$ 65,00 c) R$ 60,00d) R$ 57,00 e) R$
49,00
RESOLUO:Sendo x, y e z, respectivamente, os preos de uma caixa
delenos, de um bon e de uma camiseta, temos:
Multiplicando a primeira equao por (1) e adicionando-a se -gun
da equao, temos:
Dividindo a segunda equao por (2), resulta:x + y + z = 57
(quantia a ser desembolsada na compra de apenastrs unidades desses
artigos, sendo um de cada tipo).Resposta: D
(UFR-RJ MODELO ENEM) Uma loja de departa -mentos, para vender um
televisor, um videocassete e umaparelho de som, props a seguinte
oferta: o televisor e ovideocassete custam juntos R$ 1 200,00; o
videocassete e oaparelho de som custam juntos R$ 1 100,00; o
televisor e oaparelho de som custam juntos R$ 1 500,00.Quanto pagar
um cliente que comprar os trs produtos anun -ciados?
RESOLUO:Sendo t, v e s, respectivamente os preos de um
televisor, umvideocassete e um aparelho de som, temos:
Somando, membro a membro, as trs equaes, resulta2t + 2v + 2s = 3
800 t + v + s = 1 900
Resposta: Para comprar os trs produtos anunciados, o
clientepagar R$ 1 900,00.
t + v = 1 200v + s = 1100t + s = 1 500
x + 2y + 3z =1272x + 2y + 2z = 114
x + 2y + 3z =1273x + 4y + 5z = 241
x + y + z + 2w = 1x + y + 2z + w = 2x + 2y + z + w = 3
2x + y + z + w = 4
2 + w = 12 + z = 22 + y = 32 + x = 4
x = 2y = 1z = 0w = 1
2x + 3y + z = 17x 5y + 2z = 5x + 3y + z = 11
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M113
No Portal Objetivo
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MATEMTICA38
Os sistemas lineares so utilizados para resolverproblemas
prticos. Alm de resolver, muito importantediscutir o sistema, que
consiste em prever se ele pos -svel ou impossvel. Em certos casos,
quando uma ou maisequaes depen dem de um parmetro,
importanteverificar em que condies o sistema admite solues.
Um dos critrios existentes para discutir um sistema o Teorema de
Rouch-Capelli. Este teorema utiliza oconceito de caracterstica de
uma matriz. Para simplificara apresentao deste conceito, abusando
um pouco dalinguagem, escreveremos DETERMINANTE DE OR -DEM p em
lugar de determinante de uma matriz deordem p.
1. Definio
A caracterstica de uma matriz M, no nula, a m -xima ordem dos
determinantes no todos