CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

Email: [email protected] Bỉm sơn: 10 – 02 – 2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]

https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1

Phương trình lượng giác và ứng dụng của nó là một phần rất quan trọng trong đề thi đại học và ứng dụng của nó trong đại số cũng như hình học. Và đặc biệt là giải phương trình lượng giác là một câu không thể thiếu trong đề thi đại học các năm. Vậy muốn làm tốt lượng giác trước tiên ta phải nắm được công thức lượng giác TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Các công thức lượng giác cần nhớ 1. Các công thức cơ bản

sintancos

aaa

với 2

a k

coscotsin

aaa

với a k

tan .cot 1a a 2 2

2 22 2

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin cos 1

cos 1 sin (1 sin )(1 sin )a a a a

a aa a a a

22

11 tancos

aa

22

11 cotsin

aa

2. Công thức cộng và trừ a. Với sin và cos

sin sin .cos cos .sina b a b a b cos cos .cos sin .sina b a b a b

sin sin .cos cos .sina b a b a b cos cos .cos sin .sina b a b a b b. Với tan

tan tantan1 tan .tan

a ba ba b

tan tantan1 tan .tan

a ba ba b

3. Công thức tính tích thành tổng

1cos .cos cos( ) cos( )2

a b a b a b 1sin .cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

1sin .sin cos( ) cos( )2

a b a b a b 1cos .sin sin( ) sin( )2

a b b a a b

4. Công thức biến đổi tổng thành tích a. Công thức sin và cos

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b cos cos 2sin sin

2 2a b a ba b

sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b sin sin 2cos sin

2 2a b a ba b

b.Công thức tan và cot sin( )tan tancos .cos

a ba ba b

sin( )tan tancos .cos

a ba ba b

sin( )cot cotsin .sin

a ba ba b

sin( )cot cotsin .sin

b aa ba b

5. Công thức nhân đôi và nhân ba, nhân bốn

2 2

sin 2 2sin .cos(sin cos ) 1 1 (sin cos )

a a aa a a a

2 2 2 2

4 4

cos 2 2cos 1 1 2sin cos sincos sin

a a a a aa a

2

2 tantan 21 tan

aaa

; 3

2

3tan tantan 3 =1 3tan

a aaa

3 2

2

sin 3 3sin 4sin sin 3 4sin

sin 4cos 1 sin 2cos 1 2cos 1

a a a a a

a a a a a

3 2

2

cos3 4cos 3cos cos 4cos 3

cos 1 4sin cos 1 2sin 1 2sin

a a a a a

a a a a a



4 2sin 4 4sin 2sina a a 4 2cos 4 8cos 8cos 1a a a 6. Công thức hạ bậc

2 1 cos 2cos2

aa 2 1 cos 2sin

2aa

22

2

sin 1 cos 2tan1 cos 2cos

a aaaa

22

2

cos 1 cos 2cot1 cos 2sin

a aaaa

3 cos3 3coscos4

a aa 3 3sin sin 3sin

4a aa

II. Giá tri lượng giác của các góc liên quan đặc biệt 1. Bỏ chẵn lần pi thì không thay đổi

sin 2 sin

cos 2 cos

x k x

x k x

tan 2 tan

cot 2 cot

x k x

x k x

2. Bỏ pi hay lẻ lần pi thì thành cộng biến thành trừ

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

x x

x x

x x

x x

TQ: sin( 2 ) sink x x cos( 2 ) cosk x x

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

x x

x x

x x

x x

TQ: sin( 2 ) sink x x cos( 2 ) cosk x x

3. Bỏ pi trên hai

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2

x x

x x

x x

x x

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2

x x

x x

x x

x x

d. Đổi dấu

sin sin

cos cos

x x

x x

tan tan

cot cot

x x

x x

III. Công thức tính sina, cosa theo tan2at

Ta có

2

2 2

2

2

2sin11 1cos cot

212tan

1

tatt ta a

tttat

Một số công thức khác



2cos sin cos cos 2cos .cos 2. cos2 4 4 2 4

3 32.sin 2.sin 2.sin 2.sin2 4 4 4 4

a a a a a a

a a a a

Vậy cos sin 2 cos 2 sin 2 cos4 4 4

a a a a x

Tương tự: cos sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin4 4 4 4

a a a a a a

3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x


4 4 2 2 2 21 1 1 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 42 2 2 4 4

x x x x x x x

4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos 2x x x x x

6 6 4 4 2 2 2 23 1 3 3 5sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 44 4 4 8 8

x x x x x x x x x

6 6 4 4 2 2cos sin cos 2 (sin cos sin cos )x x x x x x x

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x x

22 21 sin 2 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x 2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )x x x x x x x

2 2sin 2sin cos ,1 cos 2 2cos ,1 cos 2 2sin2

xx x x x x x

ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt (ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt)



- 3

-1

- 3 /3

(Ñieåm goác)

t

t'

y

y'

xx'

uu'- 3 -1 - 3 /3

1

1-1

-1-/2

5/6

3/4

2/3

-/6

-/4

-/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2

3 /2

2 /2

1/2

A

/3

/4

/63 /3

3

B /2 3 /3 1 3

O

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt Hoặc: Đường tròn lượng giác Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ cos ;sinM ứng với mỗi góc ta sẽ được một điểm M cụ thể trên đường tròn

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc Hslg

0 6

4

3

2 2

3 3

4 5

6

2

sin 0 12

22

32

1 3

2 2

2

12

0 0

cos 1 32

22

12

0 1

2 2

2 3

2

-1 1

tan 0 33

1 3 kxđ 3 -1 3

3

0 0

cot kxđ 3 1 33

0 3

3

-1 3 kxđ kxđ



Để giải được phương trình lượng giác chúng ta nắm được các bước giải sau Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa (nếu có). Điều kiện gồm, phương trình chứa mẫu, chứa cot hoặc tan, chứa căn bậc chẵn… Cụ thể:

- Phương trình chứa tan x , điều kiện: cos 0 ,2

x x k k .

- Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin 0 ,x x k k .

- Phương trình chứa cả tan x và cot x , điều kiện: ,2

x k k .

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác. Các phương pháp giải phương trình nói chung, tìm ra nghiệm của phương trình Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn và kết luận (xem mục kĩ năng 5 loại nghiệm và kết hợp nghiệm) Chú ý:

Đối với phương trình

2

2

1 1cos cos2 21 1sin sin2 2

x x

x x

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,

khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:

22

22

1cos 2cos 1 0 cos 2 021 cos 2 02sin 1 0sin2

x x xxxx

.

Tương tự đối với phương trình 2

2

sin 1 sin 1cos 1cos 1

x xxx

ta không nên hạ bậc, mà nên biến đổi dựa vào

công thức 2 2sin cos 1x x . Lúc đó: 2 2

2 2

sin 1 cos 0 cos 0sin 0cos 1 sin 0

x x xxx x



Đối với phương trình cos cos 2 0x x . Chúng ta có thể chuyển về dạng cos cos 2x x

nhưng đơn giản hơn là thay 2cos 2 2cos 1x x để phương trình trở thành phương trình bậc hai với cosx Tương tự với phương trình sin cos 2 0x x Khi đặt ẩn phụ sin , cost x t x thì điều kiện của t là 1t . Khi đặt ẩn phụ 2 2sin , cost x t x

thì điều kiện của t là 0 1t . Khi đặt ẩn phụ sin cost x x thì điều kiện của t là 2t . Một số phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ

Dạng 1: 2

sin sin ,2

u v ku v k

u v k

Đặc biệt:

sin 0

sin 1 2 ,2

sin 1 22

x x k

x x k k

x x k

Dạng 2: 2

cos cos ,2

u v ku v k

u v k

Đặc biệt:

cos 0 22 2

cos 1 2 ,cos 1 2

x x k k

x x k kx x k

Dạng 3: tan tan

,,

2

u v u v kk

u v k

Đặc biệt: tan 0

,tan 1

4

x x kk

x x k

Dạng 4: cot cot

,,

u v u v kk

u v k

Đặc biệt:

cot 0 2 ,

cot 14

x x kk

x x k



§ 1: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1. Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x a. Định nghĩa: Phương trình sin cos (1)a x b x c trong đó a, b, c và 2 2 0a b được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x b. Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1: Kiểm tra - Nếu 2 2 2a b c phương trình vô nghiệm - Nếu 2 2 2a b c khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2a b , ta được

2 2 2 2 2 2

sin cosa b cx xa b a b a b

Vì 2 2

2 2 2 21a b

a b a b

nên tồn tại góc sao cho 2 2 2 2

cos , sina ba b a b

Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2

sin .cos sin .cos sin( )c cx x xa b a b

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos 0 2 ,2x x k k thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?

Bước 2: Với cos 0 2 ,2x x k k

Đặt tan2xt suy ra

2

2 2

2 1sin , cos1 1

t tx xt t

Khi đó phương trình (1) có dạng 2

22 2

2 1 ( ) 2 0 (2)1 1

t ta b c c b t at c bt t

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, sau đó giải tìm x. Dạng đặc biệt:

sin cos 0 tan 1 ,4

x x x x k k

sin cos 0 tan 1 ,4

x x x x k k .

sin cos 0x x k k sử dụng công thức sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x x

Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau 2 2 2 2sin cosa b a x b x a b từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các

hàm số có dạng sin cosy a x b x , sin cossin cos

a x b xyc x d x

và phương pháp đánh giá cho một số phương

trình lượng giác . THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos 2 3x x Giải:



Cách 1: Chia cả hai vế phương trình cho 2 21 3 10 ta được

1 3 3sin 2 cos 210 10 10

x x

Đặt 3 1sin , cos10 10

. Lúc đó phương trình viết được dưới dạng

cos sin 2 sin cos 2 sin sin(2 ) sin

2 2,

2 22

x x x xx kx k

kx k x k

Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2: Ta nhận thấy cos 0x là nghiệm của phương trình

Với cos 0 ,2

x x k k .

Đặt tant x , lúc đó 2

2 2

2 1sin 2 , cos 21 1

t tx xt t

Phương trình sẽ có dạng 2

2 22 2

2 13 3 2 3(1 ) 3(1 ) 31 1

t t t t t tt t

Hay tan 3 tan ,x x k k Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin .cos 6coscos 0 cos 0

(sin 3cos )cos 0sin 3cos 0 tan 3 tan

x x x x xx x

x x xx x x

,2x k

kx k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Thí dụ 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000) Giải phương trình sau:

2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x

Giải: Phương trình 2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x

2 sin 2 1 cos2 3 2x x

Ta có

2 22 2

22

2 2 1 5 2 2

3 2 11 6 2

a b

c

Ta sẽ chứng minh: 2 2 2a b c 5 2 2 11 6 2 224 2 6 4 2 6 32 36 (đúng)

Vậy phương trình vô nghiệm. Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Thí dụ 3: Giải phương trình (1 3)sin (1 3)cos 2x x



Giải: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi

PT 1 3 1 3 2 1sin cos2 2 2 2 2 2 2

x x

Đặt 1 3 1 3cos ; sin2 2 2 2

x x

Phương trình được viết thành 1sin .cos sin .cos sin( ) sin42

x x x

2 24 4 ,

32 24 4

x k x kk

x k x k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin 6 cos 24 4

1 3 1 1sin cos sin cos cos sin2 4 2 4 4 3 4 32 2

22312 4sin sin

4 3 4 212 4

x x x x x x

x x x x

x kx kx

x k x

,5 26

kk

Vậy phương trình có hai họ nghiệm Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.

Bài trên cũng có thể sử dụng cách đặt tan2xt và ta cũng thu được nghiệm chẵn

Thí dụ 4: (ĐH – D 2007) Giải phương trình: 2

sin cos 3 cos 22 2x x x

Giải:

Phương trình 2 2sin 2sin cos cos 3 cos 22 2 2 2x x x x x

sin 3 cos 1x x 1 3 1sin cos2 2 2

x x

1sin .cos cos .sin3 3 2

x x

1sin3 2

x

2 23 6 6 ,

5 2 23 6 2

x k x kk

x k x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 , 2 ,2 6

x k x k k

Chú ý:



Đối với phương trình dạng sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)a P x b Q x c Q x d P x trong đó a, b, c, d thoả mãn 2 2 2 2 0a b c d và ,P x Q x không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho

2 2a b ta có (*) sin ( ) sin ( )P x Q x hoặc

(*) cos ( ) cos ( )P x Q x trong đó , là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:

Thí dụ 5: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x Giải:

PT 3 13 cos5 sin 5 2sin cos5 sin 5 sin sin 5 sin2 2 3

x x x x x x x x

5 23 18 3 ,

5 23 6 2

kx x k xk

kx x k x

Vậy phương trình có nghiệm là , ,18 3 6 2

k kx x k

Thí dụ 6: Giải phương trình: cos 7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x Giải: PT cos 7 3 sin 7 3 cos5 sin 5x x x x

1 3 3 1cos7 sin 7 cos5 sin 52 2 2 2

x x x x

cos cos7 sin sin 7 cos cos5 sin sin 53 3 6 6

x x x x

7 5 23 6

cos 7 cos 53 6 7 5 2

3 6

x x kx x

x x k

2 26 12 ,312 2

8 62

x k x kk

kxx k

Vậy phương trình có hai nghiệm Thí dụ 7: (ĐH – B 2012) Giải phương trình 2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1.x x x x x Giải: Nhận xét 1: Sau khi nhân phá ra ta nhóm cụm 22cos 1 cos 2x x và 2 3 sin cos 3 sin 2x x x , không còn hệ số tự do và chuyển cung 2x sang một bên, cung 1x sang một bên thì bài toán trở thành bài toán cơ bản nhưng mở rộng của bài phương trình bậc nhất đổi với sin và cos nên ta có lời giải sau Cách 1: 2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1 cos 2 3 sin 2 cos 3 sinx x x x x x x x x (*)

Chia hai vế cho 2 và biến đổi thành 2 23cos 2 cos 2 2 ,23 3 3 33

x kx x x x k k

x k

Chú ý: - Ta có thể biến đổi về sin như sau



M2

M3

M1

cos 2 3 sin 2 cos 3 sin

22 2 26 6 3sin 2 sin ,26 6 2 2

6 6 3

x x x x

x x k x kx x k

x x k x k

- Có thể giải phương trình (*) như sau cos 2 cos 3 sin 2 sin 0

3 32sin sin 2 3 sin cos 02 2 2 2

23sin 032 ,

2tan 3 22 3

x x x xx x x x

x x kk

x x k

Nhận xét 2: Sau khi nhân phá ra chuyển về một vế và nhóm thành hai cặp 22cos cos 1x x và

3 sin 2cos 1x x ta thấy chúng có nhân tử chung là 2cos 1x và ta có lời giải sau Cách 2:

22(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1 2cos cos 1 3 sin 2cos 1 0x x x x x x x x x

2cos 1 cos 1 3 sin 2cos 1 0 2cos 1 3 sin cos 1 0x x x x x x x

2 21cos 32cos 1 0 2 2 ,13 sin cos 1 0 cos 23 2 2

3

x kxxx k k

x x xx k

Sử dụng đường tròn lượng giác tổng hợp nghiệm ta thấy Với nghiệm 2x k tương ứng trên đường tròn là điểm M1

Với nghiệm 2 23

x k tương ứng trên đường tròn là điểm M2

Với nghiệm 2 23

x k tương ứng trên đường tròn là điểm

M3 Nhận thấy 3 điểm nghiệm không trùng với hai điểm điều kiện mà

3 điểm nghiệm này cách đều nhau một góc 23 nên ta có gộp 3 điểm

nghiệm thành 2 ,3

x k k .

Vậy phương trình có nghiệm là 2 22 , ,3 3

x k x k k

Chú ý: - Ta cũng có thể biến đổi về sin như sau

13 sin cos 1 0 sin sin6 2 6

x x x

- Ta có bài toán tổng quát như sau khi xuất hiện cos 2x (hoặc 2sin x hoặc 2cos x ), sin 2 ,sin ,cosx x x và hệ số tự do ta có bài toán tổng quát sau sin 2 cos 2 sin cos 0a x b x c x d x e ta biến đổi về một trong hai dạng



2

2

2

2

2 sin cos 2cos 1 sin cos 0

2 sin cos 1 2sin sin cos 0

2 cos cos sin 2 cos 0

2 sin sin cos 2 sin 0

a x x b x c x d x e

a x x b x c x d x e

b x d x b e x a x c

b x c x b e a x d

Từ đó sẽ xuất hiện nhân tử chung (với các hệ số , , , , a b c d e theo một tỉ lệ nào đó), với dạng bài này đề thi khối D năm 2010 (xem ở mục kĩ năng đưa về phương trình tích) Tương tự: Giải phương trình 6 68 sin cos 3 3 sin 4 3 3 cos 2 9sin 2 11x x x x x

Phương trình 238 1 sin 2 6 3 sin 2 cos 2 3 3 cos 2 9sin 2 11 04

x x x x x

23 cos 2 2sin 2 1 2sin 2 3sin 2 1 0

3 cos 2 2sin 2 1 sin 2 1 2sin 2 1 0

2sin 2 1 3 cos 2 sin 2 1 0

1sin 22sin 2 1 0 23 cos 2 sin 2 1 0 sin 2 sin

3 6

12512

4512

x x x x

x x x x

x x x

xx

x x x

x k

x k

x k

x k

,k

Thí dụ 8: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: 3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x

Giải: Phương trình

2sin 1 2sin cos .sin 2 3 cos3 2cos4x x x x x x

1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 42 2

x x x x x x

cos 4 cos 36

x x

4 3 26

x x k

26 ,

242 7

x kk

x k

Hoặc: Phương trình

1 3 1sin sin 3 sin 3 cos3 2 cos 4 sin sin 32 4 4

x x x x x x x

1 3 3 1sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 32 2 2 2

x x x x x x



1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 42 2

x x x x x x

Vậy phương trình có nghiệm là 2 , 2 ,42 7 6

kx x k k

Thí dụ 9: Giải phương trình 8sin tan cot 4cot 26

x x x x

Giải:

Điều kiện: sin 0

sin 2 0cos 0

xx

x

(*)

Phương trình 28sin 4cot 2

6 sin 2x x

x

2 24sin sin 2 1 2cos 2 2 3 sin cos .sin 2 3sin – cos 06

x x x x x x x x

( 3 sin cos )(2sin 2 3 sin cos ) 0

3 sin cos 0

2sin 2 3 sin cos 0

x x x x x

x x

x x x

TH1: 3 sin cos 0 cot 3 ,6

x x x x k k

3 1TH2: 2sin 2 3 sin cos 0 sin cos sin 22 2

5 26sin sin 2 ,

2618 3

x x x x x x

x kx x k

kx

Các nghiệm trên đều thỏa mãn (*). Vậy phương trình có 3 nghiệm trên Thí dụ 10: Giải phương trình tan 3cot 4 sin 3 cosx x x x

Giải:

Phương trình 2 2sin 3cos 1 38 sin cossin cos 2 2

x x x xx x

1 2cos 2 4sin 2 .sin3

x x x

2cos cos 2 cos cos 33 3 3

2cos 2 cos cos 3 cos 03 3 3

x x x

x x x

3 32cos cos cos 02 6 2 6 2 2

34cos sin sin 02 6 3 2 6

x x x

x xx



sin 02 6

3sin 0 ,4 239 334cos 0

2 6

x

x kx k

kxx

Vậy nghiệm của phương trình là 4 2; ,3 9 3

kx k x k

Vậy phương trình có ba nghiệm trên Chú ý: Cách khác xem ở Ví dụ 3 trang 23 Dạng 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . a. Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x , cos x là phương trình. 2 2sin sin .cos cosa x b x x c x d (1) trong đó a, b, c, d b. Cách giải : Cách 1: Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử 2sin x hoặc 2cos x hoặc sin .cosx x . Chẳng hạn nếu chia cho 2cos x ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra: cos 0 ,2

x x k k xem nó có phải là nghiệm của phương trình (1) hay

không? Bước 2: Với cos 0x chia cả hai vế cho 2cos x lúc đó phương trình (1) trở thành 2 2 2tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0a x b x c d x a d x b x c d Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải bằng cách đặt tant x . Cách 2:

Dùng công thức hạ bậc 2 21 cos 2 1 cos 2 sin 2sin ;cos ;sin .cos2 2 2

x x xx x x x đưa phương trình đã

cho về phương trình sin 2 ( )cos 2b x c a x d c a Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải (dạng 1) Chú ý: - Khi 0d thì 2 2sin sin .cos cos 0a x b x x c x gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 - Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sin cos ) 0n n k hA x x x x trong đó ; , ,k h n k h n Khi đó ta cũng làm theo 2 bước: Bước 1: Kiểm tra xem cos 0x có phải là nghiệm của phương trình hay không? Bước 2: Nếu cos 0x . Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu. THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233 Giải: Nhận xét 1: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên ta giải như sau Cách 1:

Thay cos 0 ,2

x x k k vào phương trình ta được 3sin 0 sin 0x x nên ,x k k

không phải là nghiệm của phương trình Khi cos 0x chia cả hai vế của phương trình cho 3cos x ta được



3 2 2 2tan 3 tan 3. tan tan tan 1 3 tan 1 0x x x x x x

2tan 1

tan 1 tan 3 0tan 3

xx x

x

4 ,

3

x kk

x k

Nhận xét 2: Ta nhận thấy có các nhân tử chung và các hệ số tương ứng tỉ lệ nên ta có lời giải sau Cách 2: Phương trình 3 2 3 2sin sin cos 3 cos 3 sin cos 0x x x x x x

2 2 2 2sin sin cos 3 cos cos sin 0

sin sin cos sin cos 3 cos cos sin cos sin 0

sin cos sin cos sin 3 cos 0

sin cos 0tan 1 4sin cos 0 ;tan 3

sin 3 cos 3

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x kxx x k

x x kx x

Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,4 2 3

x k x k k

Chú ý:

- Kết hợp hai nghiệm 4

x k thành một nghiệm 4 2

x k vì chúng hợp với nhau một góc

2

- Cũng có thể biến đổi Phương trình 3 2 3 2sin sin cos 3 cos 3 sin cos 0x x x x x x

2 2 2 2sin sin cos 3 cos cos sin 0

sin cos 2 3 cos cos 2 0

cos 2 sin 3 cos 0

cos 2 0 2 2 ;sin 3 cos

3

x x x x x x

x x x x

x x x

x kxk

x x x k

Thí dụ 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1 3tan 2sin 2x x Giải: Cách 1: Điều kiện: cos 0x (*)

Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin coscos

x x x x x x xx

Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x Ta được

2 22 2

3 2 2

1 tan3 4 tan 1 tan 3tan 1 tan 4 tancos cos

3 tan tan tan 1 0 tan 1 3tan 2 tan 1 0

x x x x xx x

x x x x x x

tan 1 ,4

x x k k (thỏa mãn (*)) vì 23tan 2 tan 1 0x x vô nghiệm

Chú ý: - Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho 2cos x - Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng



2 2 2

2sin cos 2 tansin 2sin cos 1 tan

x x xxx x x

hoặc 2

2

2

2sin cos2 tancossin 2 2sin cos

1 1 tancos

x xxxx x x

xx

từ đó ta đặt

tant x Cách 2:

Đặt 2

2tan sin 21

tt x xt

Khi đó ta được 3 2 22

41 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 01

tt t t t t t tt

1 tan 1 ,4

t x x k k (thỏa mãn (*))

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm ,4

x k k

Cách 3: Phân tích hệ số 3 1 2 Ta có phương trình 1 tan 2 tan 4sin cosx x x x

2sin cos 2cos 12sin 0cos cosx x xx

x x

sin cos 1 2sin cos sin 0x x x x x

sin cos 0 tan 11 2sin cos sin sin 2 cos 2 2

x x xx x x x x

,4

x k k (Vì phương trình sin 2 cos 2 2x x vô nghiệm)

Cách 4: Phân tích hệ số 1 3 2 Ta có phương trình 3 1 tan 2 1 sinx x

2 2

2

sin cos3 2 sin cos sin cos 3 sin 2 2cos 0cos

sin cos 0 tan 1sin 2 cos 2 23 sin 2 2cos 0

x x x x x x x xx

x x xx xx x

,4

x k k (Vì phương trình sin 2 cos 2 2x x vô nghiệm)

Thí dụ 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình: 3sin 2 sin4

x x

Giải: Cách 1:

Ta nhận thấy sin4

x

có thể biểu diễn được qua sin cosx x . Luỹ thừa bậc ba biểu thức

sin cosx x ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải

Phương trình 3

32 2 sin 4sin 2 sin 4sin4 4

x x x x

3(sin cos ) 4sinx x x (*)

Xét với cos 0 2 ,2

x x k k . Khi đó phương trình có dạng

3sin 4sin2 2

k k

mâu thuẫn



Vậy phương trình không nhận 22

x k làm nghiệm

Với cos 0x . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho 3cos x ta được: 3 2 3 2(tan 1) 4(1 tan ) tan 3tan 3 tan tan 1 0x x x x x x .

Đặt tant x phương trình có được đưa về dạng: 3 2 23 3 1 0 ( 1)(3 1) 0 1 ,

4t t t t t t x k k

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình . Cách 2: Từ phương trình (*)

3 2(*) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x 2 2(sin cos )(1 2sin cos ) 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x

2 2cos ( 2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (cos 2 2) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x

(cos 2 2)(cos sin ) 0 cos 2 2x x x x (loại) hoặc tan 1 ,4

x x k k

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm ,4

x k k

Cách 3.1: Đặt 4 4

t x x t khi đó ta được phương trình

3sin 2 sin sin cos4

t t t t

(**)

2 2sin sin 1 cos sin cos cos

cos sin 2 2 0 cos 0 ,2

t t t t t t

t t t t k k

Với 3 ,2 4

t k x k k

Cách 3.1: Từ phương trình (**) ta thấy nếu sin 0 cos 1x x thì phương trình (**) vô nghiệm nên sin 0x . Chia cả hai vế của (**) cho 3sin x ta được phương trình

2 21 1 cot cot 1 cot cot 0t t t t

3 ,2 4

t k x k k

Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất, khoa học nhất.

Thí dụ 4: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 21 tan

x xx

Giải:

Điều kiện cos 0 2 ,tan 1

4

x kxk

x x k

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2 3cos sin cos sin cos sin cos sincos sin

x x x x x x x xx x

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho 3cos 0x ta được:



32 2

3 2 2

1 tan 1 tan tan 1 tan

tan tan 2 tan 0 tan tan 2 tan 0 (*)

x x x x

x x x x x x

(do 2tan tan 2 0x x vô nghiệm) nên: Phương trình (*) tan 0 ,x x k k Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

2 2

2

coscos sin 24cos sin 2sin cotcos sin 4 4sin 1 cot

4 4

xx x x x x xx x x x

Đặt cot4

t x

ta được: 3 22

2 2 0 1 2 0 11

t t t t t t tt

Hay cot 1 ,4 4 4

x x k x k k

Vậy phương trình có một họ nghiệm là ,x k k Cách 3: Phương trình 2cos sin sin cos sin cosx x x x x x

3 3

2 3

2 3

cos sin sin cos 3sin cos sin cos

cos 1 cos sin sin 3sin cos sin cos 0

cos sin sin sin 3sin cos sin cos 0

sin sin 2 cos 2 3 0

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

sin 0 ,x x k k (Vì phương trình sin 2 cos 2 3 0x x vô nghiệm)

Cách 4: Đặt 2

2tan sin 21

tt x xt

ta được phương trình

3 22

1 21 2 01 1

t t t t tt t

2 2 0 0t t t t (vì phương trình 2 2 0t t vô nghiệm) Với tan 0 ,x x k k Thí dụ 5: (Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997) Giải phương trình: 3sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x Giải: PT 3 3sin 2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x x

3 2 34sin 3sin 2sin cos 6cos 0x x x x x (*) Nếu cos 0x là nghiệm (*) của thì:

33

sin 1cos 0

sin 14sin 3sin 0

4sin 3sin 0

xx

xx x

x x

vô lý

Chia 2 vế của (*) cho 3cos 0x ta được phương trình tương đương: 3 2 2* tan 2 tan 3 tan 6 0 tan 2 tan 3 0x x x x x

tan 2 tan,

tan 3 tan3 3

x x kk

x x k



Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,3

x k x k k với tan 2

Thí dụ 6: Giải phương trình cos 2 tan 2 sin 2 01 cot 4

x x xx

Giải:

Điều kiện: 1 cot 0sin 0cos 0

xxx

Phương trình cos 2 .sin sin sin 2 cos 2 0sin cos cos

x x x x xx x x

sin 1cos 2 1 sin 2cos 0sin cos cos

cos 2 .cos sin .cos 2 0sin cos cos

xx x xx x x

x x x xx x x

2 2

2 2

sin coscos 2 0cos sin cos

cos 2 (sin sin .cos cos ) 0cos 2 0 (1)sin sin .cos cos 0 (2)

x xxx x x

x x x x xxx x x x

2

(1) ,4 2

1 5 1 5(2) tan tan 1 0 tan arctan ,2 2

x k k

x x x x l l

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: 41 5arctan

2

x k

x l

Dạng 3: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x . a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c trong đó , ,a b c b. Cách giải: Cách 1: Do 2(sin cos ) 1 sin cosa x x x x nên ta đặt


t x x x x

. Điều kiện | | 2t

Suy ra 2 1sin cos2

tx x và phương trình được viết lại: 2 2 ( 2 ) 0bt at b c

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2:

Đặt 4

t x thì sin cos 2 cos 2 cos

4x x x t

21 1 1 1sin cos sin 2 cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 2

x x x x t t

nên phương trình trở thành



2cos 2 cos 02bb x x c . Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c bằng cách đặt

sin cost x x và lúc đó 21sin cos

2tx x

THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Giải phương trình sin cos 2sin cos 1 0x x x x Giải: Cách 1:

Đặt sin cosx x t điều kiện | | 2t . Lúc đó 2 1sin cos2

tx x

Khi đó phương trình có dạng 2

2 112 1 0 2 0 (*)22

ttt t tt

Với 2t không thoả mãn điều kiện nên (*) 1 sin cos 1t x x

212 sin 1 sin ,24 4 2 2

x kx x k

x k

Cách 2:

Đặt 4

z x . Khi đó phương trình có dạng 2 cos sin 2 1 0

4x x

2 cos sin 2 1 0 2 cos sin 2 1 04 2

z z z z

22 cos cos 2 2 0 2 cos (2cos 1) 1 0z z z z

2cos 2

2cos 2 cos 1 0 2cos2

zz z

z

(**)

Ta thấy cos 2z không thoả mãn

Do đó (**)

3 22 4cos32 24

z kz

z k

3 2 24 4 ,23 22

4 4

x k x kk

x kx k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm là 2 , 2 ,2

x k x k k

Thí dụ 2: (ĐH – A 2007) Giải phương trình: 2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x

Giải: Nhận xét:



Phương trình có tính chất đối xứng, điều đó gợi ý cho ta biến đối về phương trình đối xứng với sin và cos bằng cách đặt sin cost x x Phương trình 2 2 2cos sin cos sin cos sin (sin cos )x x x x x x x x

2cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )x x x x x x x x (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x

sin 04

sin cos sin cos 1 0

x

x x x x

Với phương trình thứ nhất ta có ;4

x k k

Với phương trình thứ hai đặt sin cost x x ta được

2 2 1 0 1 t t t 1sin

4 2x

2;

22

x kk

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là , 2 , 2 ,4 2

x k x k x k k

Chú ý: Phương trình sin cos sin cos 1 0x x x x Đây là phương trình đối xứng với sin và cos ngoài cách giải trên ta có nhận xét do các hệ số đều là 1 hoặc – 1 nên ta có thể nhóm về phương trình tích như sau sin cos sin cos 1 0 (sin 1) cos (1 sin ) 0

2sin 1(sin 1)(1 cos ) 0 ,

cos 1 22

x x x x x x xx kx

x x kx x k

Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình sau về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình 2 2tan cot ( sin cos ), 0a x b x c a x b x a b Cách giải:

Phương trình có thể viết 2 2 2 2sin cos ( sin cos )

sin .cosa x b x c a x b x

x x

( sin cos )( sin cos ) ( sin cos )a x b x a x b x c a x b x

( sin cos ) ( sin cos ) sin .cos 0a x b x a x b x c x x

sin cos 0

sin cos sin .cos 0

a x b x

a x b x c x x

Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Thí dụ 3: Giải phương trình tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x Giải:

Điều kiện: sin .cos 0 sin 2 0 ,2

kx x x x k (*)

PT 2 21 (sin 3cos ) 4(sin 3 cos )sin .cos

x x x xx x

(sin 3 cos )(sin 3 cos ) 4(sin 3 cos )sin .cosx x x x x x x x

(sin 3 cos ). (sin 3 cos )sin 2 0x x x x x



sin 3 cos 0

sin 3 cos sin 2 0

x x

x x x

TH 1: sin 3 cos 0x x tan 3 ,3

x x k k thỏa mãn (*)

TH 2: sin 3 cos sin 2 0x x x 1 3sin cos sin 2 cos sin sin cos sin 22 2 3 3

x x x x x x

2 2 23 3sin sin 2 ,

4 23 2 23 9 3

x x l x lx x l

lx x l x

thỏa mãn (*)

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm Bài toán 2: Giải phương trình:

(tan sin ) (cot cos ) ( ) 0a x x b x x a b với , , ,a b c d (1) Cách giải: Ta có: (tan sin 1) (cot cos 1) 0a x x b x x

(sin sin .cos cos ) (sin sin .cos cos ) 0cos sin

(sin sin .cos cos ) 0cos sin

a bx x x x x x x xx x

a b x x x xx x

0 tancos sinsin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0

a b bxx x ax x x x x x x x

Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình (tan sin ) (cot cos ) 0a x x b x x a b

Thí dụ 4: Giải phương trình tan 3 cot sin 3 cos 1 3 0x x x x Giải:

Điều kiện:sin 0

sin 2 0 ,cos 0 2

x kx x kx

(*)

Phương trình tan sin 3(cot cos ) 1 3 0x x x x 1 3(sin sin cos cos ) (sin sin .cos cos ) 0

cos sinx x x x x x x x

x x

1 3 (sin sin .cos cos ) 0cos sin

x x x xx x

1 3 0cos sinsin sin .cos cos 0

x xx x x x

TH1: 1 3 0cos sinx x

tan 3 ,3

x x k k thỏa mãn (*)

TH2: sin sin .cos cos 0x x x x .

Đặt sin cos 2 cos4

t x x x

với | | 2t suy ra 2 1sin . cos2

tx x .

Phương trình trở thành 2

21 0 1 0 1 22

tt t t t hoặc 1 2t (loại)



Với 1 2t ta có 1 22 cos 1 2 cos cos4 4 2

x x

2 2 , ,4 4

x l x l l thỏa mãn (*)

Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2.

Thí dụ 5: Giải phương trình: 4 4cos sin sin 22 2x x x

Giải :

Ta có: 4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos2 2 2 2 2 2x x x x x x x

Phương trình có dạng cos sin 2 cos 2sin .cosx x x x x

261sin 2 5cos (1 2sin ) 0 2 ,26cos 0

22

x k

xx x x k k

xx k

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Thí dụ 6: Giải phương trình: 6 6

2 2sin cos8 tan cotsin 2x x x x

x

Giải: Điều kiện: sin 2 0x

Phương trình 2 2

22 2

3 sin cos8 1 sin 2 2sin 24 cos sin

x xx xx x

2

2 2 22

11 sin 228 6sin 2 4sin 2 . (8 6sin 2 )sin 2 4 2sin 2

sin 2

xx x x x x

x

3 2 23sin 2 sin 2 4sin 2 2 0 (sin 2 1)(3sin 2 2sin 2 2) 0x x x x x x

2

sin 2 1 0

3sin 2 2sin 2 2 0

xx x

sin 2 1

1 7sin 23

7 1sin 2 sin3

x

x

x

(loại) 4

,

x k

x k kx k

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2 0x Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin và cos Dạng 1: 4 4sin cos sin 2 0a x x b x c

Đặt 4 4 21sin 2 , 1 sin cos 1 sin 22

t x t x x x

Dạng 2: 4 4sin cos cos 2 0a x x b x c



Đặt 4 4 2 21 1cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 22 2

t x t x x x x

Dạng 3: 6 6sin cos sin 2 0a x x b x c

Đặt 6 6 23sin 2 , 1 sin cos 1 sin 24

t x t x x x

Dạng 4: 6 6sin cos cos 2 0a x x b x c

Đặt 6 6 2 23 3cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 24 4

t x t x x x x

Dạng 5: sin cos sin cos 0a x x b x x c

Đặt 2 1sin cos , 2 sin cos2

tt x x t x x

Dạng 6: sin cos sin cos 0a x x b x x c

Đặt 21sin cos , 2 sin cos

2tt x x t x x

Dạng 7: 4 4sin cos .cos 2 0a x b x c x d

Đặt

2

2

1sin2cos 2 , 1

1cos2

txt x t

tx

Thí dụ 7: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x Giải:

214 1 sin 2 3 sin 4 22

x x

23 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos 4 1x x x x

2 4 2cos 4 cos ,3 3

12 2

x kx k

x k

Thí dụ 8: Giải phương trình: 2 2tan cot 2(tan cot ) 6 (*)x x x x Giải: Cách 1:

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ,2

kx x x x k

2(*) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6x x x x

2(tan cot ) 2(tan cot ) 8 0x x x x tan cot 2tan cot 4

x xx x

TH1: tan cot 2x x 2 21tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0tan

x x x xx

tan 1 tan ,4 4

x x k k

TH 2: 2 2sin costan cot 4 4 sin cos 4sin coscos sin

x xx x x x x xx x

1 2sin 2 1 sin 2 sin2 6

x x



2 26 12 ,

7 72 26 12

x k x kk

x k x k

Vậy nghiệm của phương trình là: 7; ; ,4 12 12

x k x k x k k

Cách 2: Đặt 2 2 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2t x x t x x x x x x x x

2 2 2 22 tan cot 2 4 4 2

2t

x x t tt

Khi 2 tan cot 2 t x x 2 21tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0tan

x x x xx

tan 1 tan ,4 4

x x k k

Khi 4 tan cot 4 t x x 2 2sin cos 4 sin cos 4sin coscos sin

x x x x x xx x

1 2sin 2 1 sin 2 sin2 6

x x

2 26 12 ,

7 72 26 12

x k x kk

x k x k

Vậy nghiệm của phương trình là: 7; ; ,4 12 12

x k x k x k k

Thí dụ 8: Giải phương trình: sin 3 2 cos 2 3sin 2 cosx x x x Giải: PT 2 22sin 1 cos 2cos cos 1 0x x x x

1 cos 2 sin cos 2sin cos 1 0x x x x x TH 1: cos 1x 2kx TH 2: 2 sin cos ) 2sin cos 1 0x x x x (2)

Đặt sin cost x x , 2t

Từ (2) ta có: 2 0 0t t t ,4

x k k

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2kx ; ,4

x k k

Thí dụ 9: Giải phương trình )cos)(sincos2(252cos xxxx Giải: Phương trình 2 22cos 1 5 4sin 2sin cos 4cos 2cos 0x x x x x x

2 sin cos sin cos 2 0x x x x

Đặt sin cost x x ( 2 2t ) 21sin cos

2tx x

Phương trình trở thành 2 4 5 0 1t t t hoặc 5t (loại)

Với 1 sin cos 1t x x 2 sin4

x

= 1 sin4

x

= 22



2

4 43 2

4 4

x k

x k

2

,22

x kk

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm trên Dạng 4: Dùng các phép biến đổi, các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác Một số dạng thường gặp Dạng 1: Phương trình bậc hai theo sinx: 2sin sin 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c (1) Cách giải: Đặt sint x , điều kiện 1t Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x Dạng 2: Phương trình bậc hai theo cosx: 2cos cos 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c (2) Cách giải: Đặt cost x điều kiện 1t ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm trồi tìm x Dạng 3: Phương trình bậc hai theo tanx: 2tan tan 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c (3) Cách giải:

Điều kiện: cos 0 ,2

x x k k

Đặt tant x t ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: Phương trình bậc hai theo cotx: 2cot cot 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c (4) Cách giải: Điều kiện sin 0 ,x x k k Đặt cot ( )t x t . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Dạng 5: Phương trình dạng thuận ngịch

Loại 1: 2

22 0k kA f x B f x C

f xf x

Với sin ,cos

1f x x xk

Đặt 2

2 22

k kt f x f x t kf x f x

, với điều kiện 2t k (tùy từng trường hợp cụ thể để

tìm điều kiện của tham số t) Ta được phương trình 2 2 0At Bt C Ak Loại 2: 2 2 2 2tan cot tan cot 0A a x b x B a x b x C

Đặt 2 2 2 2 2tan cot tan cot 2t a x b x a x b x t ab Thay vào phương trình ban đầu ta được một phương trình bậc 2 theo t THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Giải phương trình 2 22sin tan 2x x Giải: Cách 1: Điều kiện: cos 0x



Phương trình2

2 2 2 4 22

2 tan tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan1 tan

x x x x x xx

24 2

2

tan 1tan tan 2 0 tan 1 tan ,

4 4tan 2 ( )x

x x x x k kx loai

Cách 2: 2

2 2 2 2 22

sin2sin 2 2sin cos sin 2coscos

xx x x x xx

2 2 2 2 2 4 2 22(1 cos )cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cosx x x x x x x x

2

4 2 22

cos 1 ( )2cos cos 1 0 2cos 1 01cos

2

cos 2 0 2 ,2 4 2

x loaix x x

x

kx x k x k

Vậy phương trình có nghiệm là ,4 2

kx k

Thí dụ 2: Giải phương trình 8 8 1sin cos8

x x

Giải: 4 2 4 2 4 4 2 4 41 1(sin ) (cos ) (sin cos ) 2sin cos

8 8x x x x x x

2 42 4 2 41 1 1 1 11 sin 2 2(sin cos ) 1 sin 2 sin 2 2 sin 2

2 8 4 2 8x x x x x x

2 4 4 2 4 41 1 11 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 14 8 8

x x x x x x 4 2 2 2sin 2 8sin 2 7 0 sin 2 1 sin 2 7 1x x x x (loại)

cos 2 0 2 ,2 4 2

kx x k x k

Chú ý: Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt cos 2t x hoặc sử dụng BĐT cosi như sau Ta nhận xét, nếu dùng BĐT Cauchy sẽ được

4 4 48 2

4 4 48 2

1 1 1 1cos cos2 2 2 2

1 1 1 1sin sin2 2 2 2

x x

x x

Cộng từng vế 2 phương trình

4

8 8 2 21 1sin cos 6 sin cos2 2

x x x x

8 8 1sin cos8

x x

Do đó phương trình

48

2 24

8

1cos2 1sin cos cos 2 0

21sin2

xx x x

x

2 ,2 4 2

kx k x k

Vậy phương trình có một họ nghiệm là ,4 2

kx k



Thí dụ 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình: 25sin – 2 3 1 sin tanx x x

Giải:

Điều kiện: cos 0 ,2

x x k k

Phương trình 2 2 2 35sin (1 sin ) 2(1 sin ) 3sin 3sinx x x x x 3 22sin sin 5sin 2 0x x x Đặt sint x với 1;1t

3 2 22 5 2 0 ( 1)(2 3 2) 0t t t t t t 1t hoặc 12

t hoặc 2t (loại)

Với sin 1x 22

x k (loại)

Với 1sin2

x 2

6 ,5 26

x kk

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 52 ; 2 ,6 6

x k x k k

Thí dụ 4: Giải phương trình: 2

3 4 2sin 2 2 3 2(cot 1)sin 2cos

x xxx

.

Giải: Điều kiện: sin 2 0x (*) Phương trình đã cho tương đương với:

2 2

2 2

2

4 2(sin cos )3 1 tan 2 3 2cot 3 tan 3 2cot sin 2 sin cos

3 tan 2 tan 3 0

x xx x x xx x x

x x

tan 33 ,1tan

3 6

x x kk

x x k

(Thỏa mãn (*))

Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,3 6

x k x k k

Chú ý: Cũng có thể quy đồng hai vế và giải

Thí dụ 5: Giải phương trình 1 1sin2 sin 2cot22sin sin 2

x x xx x

Giải: Điều kiện: sin 0, cos 0x x Phương trình 2s in 2 sin 2 .sin cos 1 2cos2x x x x x

2 2 2 24cos sin 2cos .sin cos 1 4cos 0x x x x x x 2 2 2 24cos (1 cos ) 2cos (1 cos ) cos 1 4cos 0x x x x x x 4 34cos 2cos cos 1 0x x x

3 2(cos 1)(4cos 2cos 2cos 1) 0x x x x 2(cos 1)(2cos 1)(2cos 1) 0x x x

2cos 1,1 2cos

32

x kxk

x kx

(thỏa mãn)

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 ; 2 ,3

x k x k k



Dạng 5: Tìm nghiệm phương trình thuộc miền nghiệm cho trước Khi giải phương trình lượng giác mà giả thiết yêu cầu tìm nghiệm trên một miền cụ thể nào đó ta tiến hành theo các bước sau Bước 1: Giải phương trình lượng giác bình thương Bước 2: Với nghiệm tìm được, ta giải bất phương trình tìm giá trị k nguyên Bước 3: Khi tìm được k thay vào x ở bước 1 và kết luận THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: (ĐH – A 2002) Tìm nghiệm (0;2 )x của phương trình:

cos3 sin 35 sin cos 2 31 2sin 2

x xx xx

Giải:

Điều kiện: 1sin 22

x

Ta có: 3 3cos3 sin 3 4cos 3cos 3sin 4sinx x x x x x 4(cos sin )(1 sin cos ) 3(cos sin ) (cos sin )(1 4sin cos )x x x x x x x x x x và 1 2sin 2 1 4sin cosx x x Khi đó phương trình thành: 5sin 5cos 5sin cos 2 3x x x x 22cos 5cos 2 0x x

1cos 2 ;2 3

x x k k

Xét 0 2 23

k 1 5 0

6 6k k

vì k ta được 3

x

Xét 0 2 23

k

1 7 16 6

k k vì k ta được 53

x

Vậy các nghiệm thỏa mãn điều kiện là 5;3 3

x x

Thí dụ 2: (ĐH – D 2002) Tìm 0;14x nghiệm đúng phương trình: cos 3 – 4cos 2 3cos 4 0x x x Giải: Phương trình 3 24cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x

3 2 2cos 2cos 0 cos (cos 2) 0x x x x

cos 0 ,2

x x k k

Vì 0;14x nên 0 142

k mà k nên 0 1 2 3k k k k

Vậy các nghiệm cần tìm là 3 5 7; ; ;2 2 2 2

x x x x

Thí dụ 3: Tìm nghiệm ;2 2

x của phương trình 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 1

4x x x

Giải:

Phương trình 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 1 sin 4 3 cos 4 2cos 24

x x x x x x



12cos 4 cos 2 ,6

36 3

x kx x k

kx

Do ;2 2

x nên 11; ;

12 36 36x x x là các nghiệm cần tìm của phương trình.

Thí dụ 4: a. Giải phương trình:

32

2 tan2cos – sin 2 sin cos cos 2 sin 2 2 sin 2 1 – 2cos – sin tan 21 tan

xx x x x x x x x x xx

b. Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn 1; 2011 .

Giải:

a. Điều kiện: 24 kx

32cos – sin 2 sin cos cos 2 sin 2 2 sin 2 1 – 2cos – sin 0x x x x x x x x x

32 cos 2 – sin 2 – 1 sin cos 2 – sin 2 – 1 2cos – sin 2 cos – 2 cos 0x x x x x x x x x

2cos 2 – sin 2 – 1 2 sin cos 2cos – sin 2 – 2 0x x x x x x

cos 2 – sin 2 –1 2 sin cos cos 2 1 – sin 2 – 2 0x x x x x x

cos 2 – sin 2 – 1 cos sin 2 0x x x x cos2 sin 2 1 0

cos sin 2 0

x x

x x

2cos 2 2 24 2 4 4 ,

42cos 1 544 24

x kx x k

x k kx kx

x k

Kết hợp với điều kiện ta được: ,x k k b. Vì 1; 2011x 1 64012011 kk

Tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2011] là 2051202641.640)640...21(

Thí dụ 5: Tìm tổng tất cả các nghiệm x [1;100] của phương trình: 4 44 4 4sin sin sin 3 3sin sin 4

4 2 4 2x xx x x

Giải:

Ta được: 4 4 4 4

4sin cos s

4sin coVT x x x x

2 2 2 2 2sin cos – 2sin cos 1 – 2sin4

os4

cx x x x x x

2 2 2 21 1 1 1 31 sin 2 1 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 2 2 22 2

x x x x

Nên phương trình đã cho viết thành: 4 4sin 4 s3 3 ,2 2

in 4 1 cos4 08 4

x x x x k k



Để x [1; 100] ta phải có: 1 8 + k.

4 100 8 (2k+1) 800 mà k nên k = 1, 2, 3

…….,126

Nên tổng các nghiệm cần tìm là: S =

126

1

126

1)12(

8)21(

8 kkkk

Ta có

126

1

)12(k

k là tổng của 126 số hạng của cấp số cộng có 1 1263 và 253u u

Vậy S = 20162

126).2533(.8

Thí dụ 6: Tìm nghiệm của phương trình : cos sin cos 2 . 1 sin 2 0x x x x thỏa điều kiện: 2007 2008.x Giải: Đặt phương trình cos sin cos 2 . 1 sin 2 0x x x x (*)

Ta có: x2sin1 = xx sincos và cos 2 cos sin cos sinx x x x x

(*) cos sin 1 cos sin cos sin 0x x x x x x

cos sin 0 1

1 cos sin cos sin 0 2

x x

x x x x

+ Giải (1) cos2x = 0 + Giải (2) (1+ x2sin ).(1 + sin2x) = 1 sin2x = 0 (vì sin2x > 0 không xảy ra )

Tóm lại : (*) cos2x = 0 hoặc sin2x = 0 sin4x = 0 x = k ,4

k

Với điều kiện: 2007 < x < 2008 , chọn các số nguyên k = 2556. Vậy nghiệm thỏa mãn là: x = 639 .

Thí dụ 7: Tìm nghiệm 0;2

x

của phương trình:

(1 cos ) (sin 1)(1 cos ) (1 cos ) (sin 1)(1 cos ) sin 2x x x x x x x . Giải:

3 3sin 1 1 cos 1 cos sin 2x x x x

2sin 1 1 cos 1 cos 2 1 cos sin 2x x x x x

sin 1 1 cos 1 cos 2 sin sin 2x x x x x , do 0;2

x

2

(sin 1) 1 cos 1 cos 1 2(sin 1) 1 sin 1x x x x x

2 2 1 1 cos 2 12(1 sin ) 1 cos2 2 2

xx x

cos 2 0 ,4 2

kx x k

Vì 1 10; 02 4 2 2 2 2

kx x k

vì 0k k 4

x

Vậy nghiệm của phương trình là 4

x



Thí dụ 8: (Đại học Kinh tế Quốc Dân Hà Nội 1997) Tìm các nghiệm 2 6,5 7

x

của phương trình

sau: cos 7 3 sin 7 2x x Giải:

Phương trình 1 3 2cos 7 sin 72 2 2

x x

3cos cos7 sin sin 7 cos3 3 4

x x

3cos 7 cos3 4

x

37 23 4

37 23 4

x k

x k

13 284 7 ( )

5 284 7

kxk

kx

Xét 13 2 2 6;84 7 5 7

kx

2 13 2 65 84 7 7

k

168 65 120 360k 233 120 425k 2; 3k k

Với 13 4 35284 7 84

k x

Với 13 6 59384 7 84

k x

Xét 5 2 2 6;84 7 5 7

kx

2 5 2 6< <5 84 7 7

k

168 25 120 335k 2k

Khi đó 5 4 5384 7 84

x

Kết luận: 35 53 59; ;84 84 84

x

Thí dụ 9: Tìm mọi nghiệm của phương trình: sin .tan 2 3 sin 3 tan 2 3 3x x x x thoả mãn bất

phương trình 12

2 log 0x

Giải:

Điều kiện: cos 2 04

x x k , k

Ta có: sin .tan 2 3 sin 3 tan 2 3 3x x x x

sin tan 2 3 3 3 3 tan 2 3 tan 2 3x x x x

tan 2 3 sin 3 0x x tan 2 3x do sin 3 0x

6 2kx

k

Mặt khác 1 2 22

2 log 0 2 log 0 log 2 4x x x

Ta tìm k sao cho 46 2

k

3kk

Kết luận: 6 2

kx với

3kk

.



Thí dụ 10: (ĐHDB 1 – A 2005) Giải phương trình:

2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos , 0;2 4x x x x

Giải:

32 1 cos 3 cos 2 1 1 cos 2 2 2cos 3 cos 2 2 sin 22

x x x x x x

3 13 cos 2 sin 2 2cos cos 2 sin 2 cos2 2

x x x x x x

5 218 3cos 2 cos , ,

76 26

kxx x k l

x l

Vì 1 2 35 17 50; ; ; 18 18 6

x x x x

Thí dụ 11: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 3

22

cos cos 1cos 2 tancos

x xx xx

thoả mãn 1 x 70

Giải:

Điều kiện: 2

x k

PT 2 2 22cos 1 tan 1 cos 1 tanx x x x

22cos 1

22cos cos 1 0 ,1 3 32cos32

x kxx x x k k

x kx

Vì 1 70x 21 703 3

k

3 210 , 0,1, 2,...,31,322 2

k k k

Phương trình (1) có 33 nghiệm trên [1;70] lập thành cấp số cộng :

0 1 322; ;...; 32

3 3 3 3 3x x x

có công sai là 23

0 1 2 3233 232 3632 3 3 3

S x x x x

Tương tự: (ĐHSPHN – A 2000) Tìm các nghiệm của phương trình 2 2 7sin cos 4 sin 2 4sin

4 2 2xx x x

(1) thỏa mãn điều kiện 1 3x

HD:

PT (1) 1 1 3sin .cos 4 cos 4 2sin2 2 2

x x x x 1cos 4 2 sin 02

x x

cos 4 21sin sin2 6

x

x

26 ,

7 26

x kk

x m

Mặt khác: 1 3 2 4x x

* Với 2 2 4 06

k k . Do đó : 6

x



* Với 72 2 4 06

m m nên 7

6x

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 6

x và 7

6x thoả mãn (2)

§ 2: CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP KĨ NĂNG 1: DỰA VÀO MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC CUNG Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Thí dụ 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 74.sin3sin 4sin2

xx x

Nhận xét:

Từ sự xuất hiện hai cung 32

x và 7

4x

mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng

một cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc đặc biệt Giải: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Ta có 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos2 2 2

x x x x

7 7 7 2sin sin cos cos .sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Sử dụng công thức về các góc đặc biệt

Ta có 3 3sin sin 2 sin cos2 2 2

x x x x

Hoặc 3sin sin 2 sin cos2 2 2

x x x x

7 7 2sin sin 2 sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Hoặc 7 2sin sin 2 sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Chú ý:

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

và

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

Điều kiện: sin 0

sin 2 0 ,cos 0 2

xx x k k

x

Phương trình 1 1 4sinsin cos 4

xx x

sin cos 2 2 sin .cos sin cosx x x x x x sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x



tan 1sin cos 022 2 sin .cos 1 0 sin 2

2

xx x

x x x

4 4

2 2 ,4 8

5 52 24 8

x k x k

x k x k k

x k x k

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

4x k

;8

x k ; 5

8x k

với k

Thí dụ 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos 2 – cos –1 0x x x Giải: Cách 1: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức nhân ba và nhân đôi của hàm cos Phương trình 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x

3 22cos cos 2cos 1 0x x x 22cos 1 cos 1 0x x

21cos

2cos 1 sin 0 2sin 0

xx x

x

2 2;3

x kk

x k

Vậy phương trình có nghiệm là 2 2 , ,3

x k x k k

Cách 2:

Nhận xét: Ta có 32

x x x và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các

hạng tử bằng cách dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích 2cos3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 .sin 2sin 0x x x x x x

22sin 2cos 1 0x x … Giải như cách 1

Thí dụ 3: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x (1 2cos )(sin 2 1) 0x x

1cos2

sin 2 1

x

x

2 23 ,

4

x kk

x k

Vậy phương trình có nghiệm là 2 2 , ,3 4

x k x k k

Thí dụ 4: (ĐHDB – B 2003) Giải phương trình: 6 23cos 4 – 8cos 2cos 3 0x x x Giải: Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện cung 4x = 2.2x và 2x = 2.x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau

22 2 4 2cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x Cách 1: Phương trình 6 4 24cos 12cos 11cos 3 0x x x (phương trình bậc 6 chẵn)



Đặt 2cos , 0 1t x t

Khi đó ta có 3 21

4 12 11 3 0 12

tt t t

t

Với 21 cos sin 0 ,t x x x k k

Với 21 1 cos 2 1cos cos 2 0 ,2 2 2 4 2

xt x x x k k

Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi Cách 2: Phương trình

3

2 21 cos 2 1 cos 23 2cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 cos 2 3cos 2 2 02 2

cos 2 0cos 2 1 ,4 2cos 2 2

x xx x x x

xx k

x kx kx

Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích Cách 3:

0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242 xxxxxxx 2 2 2 2 26cos 2 2cos (2cos 1) cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0x x x x x x x x

2 4 2

cos 2 04 2

3(2cos 1) 2cos cos 0

kx x

x x x

Phương trình 4 2 22cos 5cos 3 0 cos 1 sin 0x x x x x k (vì 2 3cos2

x loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm là , ,4 2

x k k k

Thí dụ 5: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin 5 15sin

xx

Giải: Điều kiện: sin 0x Phương trình sin 5 5sin sin 5 5sinx x x x Nhận xét: Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai

sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1

x x x x x xx x x x x x

2cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 cos 2 1x x x x x hoặc 3cos2

x (loại) 21 cos 2 0 2sin 0 sin 0x x x (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3x x x , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba



23 2 2 3 2 2

sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin

3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

5 3 3 2 212sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0x x x x x … vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm Thí dụ 6: Giải phương trình 33sin 3 3 cos 9 1 4sin 3x x x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x =3.3x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

33sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x 2

1 3 1 1 18 9sin 9 cos9 sin 9 ,7 22 2 2 3 254 9

x kx x x k

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 7 2, ,18 9 54 9

x k x k k

Thí dụ 7: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin 3 sin 53 5

x x

Giải: Nhận xét 1:

Nhìn vào bài này ta thấy hai cung không hề có một quan hệ gì, vậy chúng ta phải tìm một cung “trung gian” nào đó giữa hai cung trên, ta thấy 5 4 2.2x x x x x và

3 2sin 3 3sin 4sin sin 3 4sinx x x x x . Từ đây ta tìm được cung trung gian là cung 1x Vậy để đưa về cung 1x ta phải sử dụng công thức nhân ba của hàm sin và công thức sin của tổng

để xuất hiện sinx từ đó đưa về phương trình tích để giải Phương trình 25sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos 4 cos sin 4x x x x x x x x x

2 2

2 2

5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2

sin 0

5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 *

x x x x x x

x x k

x x x x

Phương trình 2* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 2 1 cos 2 cos 2x x x x

2cos 2 1

3cos 2 cos 2 2 0 ,1 22 arccoscos 22 33

x kxx x k

x kx

với 5cos6

Vậy phương trình có các nghiệm là 1 2, arccos ,2 3

x k x k k

Nhận xét 2: Một trong những kĩ năng giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích là phải chú ý đến các cặp nhân tử chung và các hệ số tương ứng tỉ lệ. Với bài toán trên ta thấy xuất hiện hệ số 3; 5 = 3 + 2 và cung 3x; 5x = 3x + 2x. Từ đó ta tách hệ số và nhóm lại, sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích xuất hiện nhân tử chung. Bạn sẽ tìm được lời giải trên thông qua bài sau đây

Giải phương trình : 5cos3 3cos5 06 10

x x

5cos 3 3cos 5 0 5sin 3 3sin 5 2sin 3 3(sin 5 sin 3 )2 2

x x x x x x x



22

sin 02sin (3cos 4 4sin 3) 0

3cos 2 cos 2 2 0x

x x xx x

,1 2arccos2 3

x kk

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 2, arccos ,2 3

x k x k k

Thí dụ 8: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: 3 1 3sin sin10 2 2 10 2

x x

Giải: Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng nhưng lại gặp trở ngại lớn là

cung 310 và

10 không phải là cung đặc biệt nên hướng giải quyết đó khó thành công. Nhưng nếu để ý

một chút ta thấy 3 3.10 10 và 3 3

2 2x x từ đó chúng ta tìm được mối quan hệ giữa hai cung 3

10 2x

và

310 2

x

Thật vậy 3 3 9 3 3sin sin sin sin 310 2 10 2 10 2 10 2

x x x x

từ đó ta đặt 310 2

xt và

sử dụng công thức nhân ba

Phương trình 3 22

sin 01 1sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 02 2 1 sin 0

tt t t t t t t

t

TH 1: 3sin 0 2 ,5

t t k x k k

TH 2: 2 1 cos 2 1 31 sin 0 1 0 cos 2 2 ,2 2 3 5 3

tt t t k x k k

Chú ý: - Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau

3 3 3210 2 5 10 2

x xt x t t

Thí dụ 9: (ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình 4 4 7sin cos cot cot8 3 6

x x x x

Giải:

sin 03 13 3 ,

6 2sin 0

6 66

x x k x kx k k

x k x kx

Ta thấy cot tan cot cot 13 6 2 3 6 3 6

x x x x x x

Ta có

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2

22

sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos 1 2sin cos

1 1 1 3 11 2 .2sin cos 1 sin 2 1 1 cos 4 cos 42 2 4 4 4

x x x x x x x x x x

x x x x x

Thay vào phương trình ta được



3 1 7 1 1 1cos 4 cos 4 cos 4 cos 4 cos4 4 8 4 8 2 3

14 23 12 2 ,

14 23 12 2

x x x x

x k x kk

x k x k


kx k

Thí dụ 10: (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 38cos cos33

x x

Giải:

Đặt cos3 cos 3 cos33 3

t x x t x t t

Phương trình trở thành

3 3 3 3

2

8cos cos3 0 8cos 4cos 3cos 0 12cos 3cos 0

3cos 4cos 1 0 cos 2cos 1 2cos 1 0

cos 0 13

cos 02cos 1 0 22cos 1 0

32cos 1 0

2cos 1 0 33

t t t t t t t

t t t t t

xt

xtt

x

Giải (1) cos 0 cos cos ,3 3 2 3 2 6

x x x k x k k

Giải (2) 22

1 3 3cos cos cos ,23 2 3 3 22 33 3

x kx kx x k

x kx k

Giải (3)

2 2 21 2 3 3cos cos cos ,323 2 3 3 22

3 3

x k x kx x k

x kx k

Nhận xét: Cung 23

k và cung 2 23

k đối xứng nhau qua gốc tọa độ nên tổng hợp lại ta được

23

x k . Cung 2x k và 2k đối đối xứng nhau qua gốc tọa độ nên tổng hợp lại ta được

x k . Vậy nghiệm của phương trình là 2; ; ,6 3

x k x k x k k

Bình luận: Qua bài trên ta thấy cứ gặp 2 2cos ,sinx x mà giải như trên thì vô hình chúng ta tạo thêm nghiệm và sẽ không tổng hợp được nghiệm nếu không biết cách, để hạn chế việc tạo thêm nghiệm khi gặp 2 2cos ,sinx x chúng ta nên hạ bậc và giải bình thường như sau Phương trình 23cos 4cos 1 0 cos 2cos 1 0t t t t



6cos 022 ,1 3cos

2 3

x kt t k

x k kt t k

x k

KĨ NĂNG 2. BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG VÀ NGƯỢC LẠI – SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC HẠ BẬC KHI SỐ MŨ CHẴN Chú ý: Chỉ áp dụng công thức tổng và tích khi các hệ số đằng trước sin và cos bằng nhau (hoặc bằng 1) mà không cần quan tâm tới cung của chúng THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Giải phương trình: sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0x x x x x x Giải: Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Phương trình sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0x x x x x x

7 5 3 7 32sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 02 2 2 2 2 2x x x x x x x

27sin 072

3 2cos 0 ,2 3 3

2cos 1 0 2 23

kx x

x kx k

x x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 2 2; ; 2 ,7 3 3 3

k kx x x k k

Thí dụ 2: Giải phương trình: 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin8

x x x x

Giải: Nhận xét: Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Phương trình 2 21 1 2 3 2cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 42 2 8

x x x x x x

2 2 2 2 22 3 2 2 3 2cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 24 4

24cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 4 ,2 16 2

x x x x x x x x

kx x x x k

Cách khác: Sử dụng công thức nhân ba

3 3 1 3 3 1 1 3cos3 cos sin 3 sin cos3 cos3 cos sin 3 sin sin 3 cos 44 4 4 4 4 4

x x x x x x x x x x x

Bạn đọc giải tiếp

Vậy phương trình có các nghiệm là ,16 2

kx k



Thí dụ 3: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng thành tích đưa về phương trình tích

Phương trình 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos122 2 2 2

x x x x

cos12 cos10 cos8 cos6 0x x x x 2 cos11 .cos 2cos 7 .cos 0x x x x

cos cos11 cos 7 0x x x cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0x x x x x

sin 9 0 9 9 ,sin 2 0 2

2

x kx x kk

x x k x k

Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,9 2

x k x k k

Chú ý: Có thể nhóm cos12 cos8 cos10 cos6 0x x x x

Thí dụ 4: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xx

Giải: Nhận xét: Cách 1: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích Điều kiện: cos 0x

Phương trình

21 cos tan2 1 cos 0

2 2

x xx

2 2 21 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos 1 cos 0x x x x x x x

3 3 2 2sin cos sin cos 0

sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0

x x x x

x x x x x x x x

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0sin cos 01 sin cos cos sin 0

x x x x x xx x

x x x x

Khi sin cos 0 tan 1 ;4

x x x x k k

Khi 1 sin cos cos sin 0x x x x

Đặt 21cos sin sin cos

2tt x x x x

Ta được 2 2 1 0t t 1t

2 3cos cos4 2 4

x

23 2 ,24 4 2

x kx k k

x k

So với điều kiện ta chỉ nhận 2x k Chú ý: Phương trình 1 sin cos cos sin 0 1 cos sin 1 cos 0x x x x x x x



1 cos 1 sin 0x x Cách 2:

22 2

2

1 sin 11 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos )cos2 2 2cos

xx x x x x xx

2sin 1 2(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2 ,

tan 14

x kxx x x x x x k k

x x k

Kết hợp với điều kiện ta được kxkx 4

2

Chú ý: Vì cos 0 sin 1x x nên ta loại ngay được 22

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 , ,4

x k x k k

Thí dụ 5: (ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x Giải: Nhận xét:

Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và 7 2.22

x x x chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng

công thức biến đổi tổng thành tích Phương trình 2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x 2 cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x

cos 4 0

cos 4 2sin 3 1 0 1sin 32

xx x

x

48 42

23 2 ,6 18 35 5 23 26 18 3

x kx k

x k x k k

x k x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 5 2; ,18 3 18 3

x k x k k

Thí dụ 6: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình 2 2 2 3sin sin 2 sin 32

x x x


Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 42

x x x mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử

dụng công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích cos 2 cos4 cos6 0 cos 4 (2cos 2 1) 0x x x x x

cos 4 08 4 ,1cos 2

2 3

kx xk

x x k

Vậy phương trình có các nghiệm là , ,8 4 3

kx x k k

Thí dụ 7: (ĐHL – 1995) Giải phương trình 4 4 1cos sin4 4

x x

Giải:



Phương trình 2

2 1 cos 21 cos 2 12

2 2 4

xx

2 2(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 14

x x x x x

1 2cos 2 ,4 2

4

x kx k

x k

Vậy phương trình có nghiệm là , ,2 4

x k x k k

Thí dụ 8: Giải phương trình 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 14

x x x

Giải:

PT 2 21 cos 4 3 cos 4 4cos 1 sin 4 3 cos 4 2 2cos 12

x x x x x x

1 3 12sin 4 cos 4 cos 2 cos 4 cos 2 ,2 2 6

36 3

x kx x x x x k

kx

Vậy phương trình có các nghiệm là , ,12 36 3

kx k x k

KĨ NĂNG 3: SỬ DỤNG 7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ MỘT SỐ ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG Thường gặp một số đẳng thức sau

22 21 sin 2 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x 2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )x x x x x x x

2 2sin 2sin cos ,1 cos 2 2cos ,1 cos 2 2sin2

xx x x x x x


3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x 2 2sin cos sin cos 2tan cot

cos sin sin cos sin 2x x x xx xx x x x x

2 2cos sin cos sin 2cos 2cot tan 2cot 2sin cos sin cos sin 2

x x x x xx x xx x x x x

4 4 2 2 2 21 1 1 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 42 2 2 4 4

x x x x x x x

4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos 2x x x x x

6 6 4 4 2 2 23 3 5sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 44 8 8

x x x x x x x x 6 6 4 4 2 2cos sin cos 2 (sin cos sin cos )x x x x x x x




x x x x

cos cos sin sin cos 12 2 21 tan .tan2 coscos cos cos cos

2 2

x x xx xxxx x xx x

Mối quan hệ giữa cos x và 1 sin x là

2 2cos cos 1 sin 1 sin1 sin cos 1 sin cos 1 sin cos

x x x xx x x x x x

cos3 sin 3 cos sin 1 4sin cosx x x x x x

cos3 sin 3 cos sin 1 4sin cosx x x x x x

3 3

3 3 3

3cos .sin 3 sin .cos cos 44

cos .cos3 sin .sin cos 2

x x x x x

x x x x x

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1: (ĐH – B 2003) Giải phương trình: x

xxx2sin

22sin4tancot

Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện hiệu cot tanx x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung hay cung một cung 2x hay không

Ta có 2 2cos sin cos 2 2cos 2

sin cos sin cos sin 2x x x xx x x x x

từ đó ta định hướng giải như sau

Điều kiện: sin 0cos 0 sin 2 0

2sin 2 0

xkx x x

x

2 2cos sin 2 cos 2 14sin 2 2sin 2sin cos sin 2 sin 2 sin 2

x x xx xx x x x x

2 2cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0x x x x cos 2 1

1cos 22

x

x

Khi cos 2 1x thì sin 0x không thỏa mãn

Khi 1cos 22

x thì 2 1cos x

4 thỏa mãn điều kiện

Vậy ta nhận 1cos 2 ,2 3

x x k k

Vậy phương trình có nghiệm là ,3

x k k

Chú ý: - Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau

Đặt

2

1cottan

2sin 21

xtt x

txt

Ta được phương trình 2

2

1 2 14 221

t ttt tt

… Bạn đọc giải tiếp



- Ta cũng có thể giải như sau

2

2cot tan 4sin 2 tan cotsin 2

sin8sin cos 2 tan 2 4cos 1 0cos

12 1 cos 2 1 0 cos 2 ,2 3

x x x x xx

xx x x xx

x x x k k

Thí dụ 2: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos .sin 3 04 4 2

x x x x


Từ đẳng thức 4 4 21sin cos 1 sin 22

x x x và hiệu hai cung 3 24 4

x x x

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x

Phương trình 2 2 1 12sin cos sin 4 sin 2 02 2 2

x x x x

2sin 2 cos 4 sin 2 1 0x x x 2sin 2 sin 2 2 0x x

sin 2 1 ;4

x x k k


x k k

Thí dụ 3: (ĐH – A 2010) Giải phương trình: 1 sin cos 2 sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

Giải:

Điều kiện: tan 1cos 0

xx

Phương trình 2sin 1 sin cos2 1 tan .cos4

x x x x x

sin cossin cos 1 sin cos2 .coscosx xx x x x x

x

sin cos 2 0x x

22sin sin 1 0 sin 1x x x (loại) hoặc 1sin2

x 2

6 ,7 26

x kk

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 72 , 2 ,6 6

x k x k k

Thí dụ 5: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: x

xx

xx2sin8

12cot21

2sin5cossin 44

Giải: Điều kiện: sin 2 0x Phương trình

0492cos52cos

812cos

21

5

2sin211

812cos

21

5cos.sin21 2

222

xxxx

xxx



9cos 22

x (loại) hoặc 1cos 2 ,2 6

x x k k


x k k

Thí dụ 6: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x Giải: Nhận xét: Từ phương trình ta nhận thấy các cặp sin cosx x ; 1 sin 2x và cos 2x đều chứa nhân tử chung là sin cosx x nên ta định hướng đưa về phương trình tích như sau Phương trình 2sin cos sin cos cos sin cos sin 0x x x x x x x x

(sin cos )(1 2cos ) 0x x x

sin 04 4 ;

21 2cos 32

x x kk

x kx

Vậy phương trình có các nghiệm là 2; 2 ,4 3

x k x k k

Chú ý: - Ta có thể biến đổi như sau

2sin cos 2sin cos 2cos 0 sin cos 2cos sin cos 0x x x x x x x x x x

Hoặc: 2sin cos 2sin cos 2cos 0 sin 1 2cos 2cos 1 2cos 0x x x x x x x x x đây là dạng phương trình đặc biệt đã xét ở ví dụ 8 mục 1 trang 12 khi biến đổi không còn hệ số tự do

Thí dụ 7: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: 2tan cos – cos sin 1 tan .tan2xx x x x x

HD:

Điều kiện:

02

cos

0cosxx

Ta có: sin .sin cos .cos sin .sin cos 12 2 2 21 tan .tan 1

2 coscos .cos cos .cos cos .cos2 2 2

x x x xx x xxx x x x xx x x

Phương trình

2)0(cos1cos0)cos1(coscossincoscostan 2 kxxxxx

xxxxx

Vậy phương trình có nghiệm là 2 ;x k k

Thí dụ 8: (ĐH – B 2006) Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 42xx x x

Giải:

Điều kiện: sin 0cos 0 sin 2 0 ,

2cos 0

2

xx x x k kx



Phương trình sinsin 2cot sin 1 . 4

cos cos2

xxx x

xx

cos .cos sin .sin2 2cot sin 4

cos .cos2

x xx xx x xx

cos2cot sin . 4

cos .cos2

x

x x xx

cos sin 4sin cos

x xx x

1 4sin .cosx x

2 21 6 12sin2 ,

5 52 2 26 12

x k x kx k

x k x k

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 12

x k ; 512

x k với k

Vậy phương trình có các nghiệm là 5; ,12 12

x k x k k

Thí dụ 9: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos 4cot tansin 2

xx xx

Giải: Điều kiện: 12cos02sin xx Phương trình

2cos sin cos 4 cos 2 cos 4 2cos 2 cos 2 1 0sin cos sin .cos

x x x x x x xx x x x

cos 2 1x (loại) hoặc 1 2cos 2 ,2 3

x x k k

Vậy phương trình có nghiệm là 2 ;3

x k k

Thí dụ 10: (ĐH – A 2009) Giải phương trình:

1 2sin cos

31 2sin 1 sin

x xx x

.

Giải: Cách 1:

Điều kiện:sin 1

1sin2

x

x

Phương trình 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sinx x x x 2cos 2sin cos 3 3 sin 2 3 sinx x x x x

2cos 3 sin sin 2 3 1 2sinx x x x

cos 3 sin sin 2 3 cos 2x x x x 1 3 1 3cos sin sin 2 cos 22 2 2 2

x x x x

cos .cos sin .sin sin2 .sin cos2 .cos3 3 6 6

x x x x cos cos 2

3 6x x



222 2 ;

26 318 3

x kx x k k

x k

Cách 2: 2cos cos 1 sin

1 sin cos (1 sin ) cosx x x

x x x x

Phương trình thành: (1 2sin )(1 sin ) sin cos 23 3

(1 2sin )cos cos sin 2x x x x

x x x x

3 cos sin 3 sin 2 cos 2 0 sin sin 2 03 6

x x x x x x

32sin cos 02 12 2 4x x

TH 1: 3 3 2sin 0 ,2 12 2 12 18 3x x k x k k

(biểu diễn trên đường tròn lượng

giác ứng với các cung là 11 23, ,18 18 18 , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)

TH 2: cos 0 3 2 ,2 4 2 4 2 2x x l x l l

(khi đó sin 1x không thỏa điều

kiện ban đầu)

Vậy nghiệm phương trình là 2 ,18 3

x k k

Chú ý: Phương trình sin cos 2 3 3 cos sin 3 sin 2 cos 2cos sin 2

x x x x x xx x

(phương trình bậc

nhất đối với sin và cos … xem ở dạng § 1 dạng 1 để giải) KĨ NĂNG 4: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Xu hướng trong đề thi đại học các năm gần đây giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tử chung… quan sát các bài sau đây Cụ thể: Khi trong phương trình suất hiện các cặp sau Cặp 21 sin 2 sin cosx x x và cos 2 cos sin cos sinx x x x x và

3 3cos sin cos sin 1 sin cosx x x x x x và 4 4cos sinx x và cos3 sin 3x x có nhân tử chung là

cos sinx x

Cặp sin cos1 tancosx xx

x

và sin cos1 cotsinx xx

x

có nhân tử chung là sin cosx x

Các cặp 1 sin 2 ;cos 2 ;1 tanx x x và 1 cot x có nhân tử chung là cos sinx x Cặp 2sin x ; 2cos cosx x và 2tan x có nhân tử chung là 1 cos 1 cosx x

Cặp 2cos x ; 2sin sinx x và 2cot x có nhân tử chung là 1 sin 1 sinx x Và còn rất nhiều các cặp khác, trong quá trình làm bài tập các bạn tự tìm ra nhé, chú ý lại chỗ giải phương trình bằng các đẳng thức ấy



Chú ý: Khi đưa về phương trình tích đặc biệt chú ý các cặp hệ số tỉ lệ hoặc bằng nhau trong đó hệ số 3 thường nhóm vào cặp có liên quan tới phương trình sin cosa x b x c ; hệ số 2 thường liên quan tới

công thức sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x x

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1: (ĐH – A 2003) Giải phương trình: 2cos 2 1cot 1 sin sin 21 tan 2

xx x xx

Giải:

Nhận xét: các cặp cot 1x và cos 2x và 2 1sin sin 22

x x đều chứ nhân tử chung là cos sinx x nên có

đính hướng giải như sau Điều kiện: cos 0,sin 0, tan 1x x x

2 22

cos cos sincos sin sin sin cossin cos sin

x x xx x x x xx x x

2 2cos sin cos sin cos sin sin cossinx x x x x x x x

x

cos sin 1 2sin cossinx x x x

x

2 2cos sin sin (cos sin ) (cos sin )(1 sin cos sin ) 0x x x x x x x x x x

22

cos sin 0(cos sin )(1 sin cos sin ) 0

1 sin cos sin 0x x

x x x x xx x x

,4

x k k (thỏa mãn điều kiện)

Giải phương trình 21 sin cos sin 0x x x đây là phương trình đẳng cấp nên chia hai về phương trình cho cos 0x ta được 22 tan tan 1 0x x vô nghiệm)


x k k

Chú ý: - Ta có thể biến đổi như sau

22

cos sin cos (cos sin )(cos sin ) sin (cos sin )sin cos sin

cos sin 0(cos sin )(1 sin cos sin ) 0

1 sin cos sin 0

x x x x x x x x x xx x x

x xx x x x x

x x x

Giải phương trình 2 1 1 cos 21 sin cos sin 0 1 sin 2 0 sin 2 cos 2 32 2

xx x x x x x

(Vô nghiệm vì 2 2 21 1 3 ) - Phương trình chứa các cặp tanx, sin2x, cos2x nên có thể đặt tant x Thí dụ 2: (ĐH – D 2004) Giải phương trình: 2cos – 1 2sin cos sin 2 – sinx x x x x

Giải: Nhận xét: Vế phải sin 2 – sin 2sin cos sin sin 2cos 1x x x x x x x có chung nhân tử 2cos 1x nên ta định hướng đưa về phương trình tích như sau

2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x

12cos 1 0 cos(2cos 1)(sin cos ) 0 2

sin cos 0 tan 1

x xx x x

x x x



23 ,

4

x kk

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 , ,3 4

x k x k k

Chú ý: Có thể nhân phá ra VT của phương trình và nhóm lại cũng được một phương trình tích như trên Thí dụ 3: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x Giải: Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x (1 2cos )(sin 2 1) 0x x

1cos2

sin 2 1

x

x

2 23 ,

4

x kk

x k

Vậy phương trình có các nghiệm là 2 2 , ,3 4

x k x k k

Hoặc ta có thể biến đổi như sau (nhân vào và nhóm thành từng cặp) 2 sin cos 1 sin 2 2sin cos 2 0x x x x x

2

2

2 sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin 0

sin cos 2 sin cos 2sin cos 2sin 0

x x x x x x x x x

x x x x x x x

Bạn đọc giải tiếp Thí dụ 4: (ĐH – B 2010) Giải phương trình: sin 2 cos 2 cos 2cos 2 – sin 0x x x x x

Giải: Phương trình 22sin .cos sin cos 2 .cos 2cos2 0x x x x x x

2sin 2cos 1 cos 2 cos 2 0x x x x cos 2 sin cos 2 0x x x

cos 2 0cos 2 0

2 sin 24

xx

x

hoặc sin 2 14

x

(loại)

2 ,2 4 2

x k x k k


x k k

Thí dụ 5: (ĐH – D 2010) Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x Giải: Phương trình 22sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x

2cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0(2sin 1)(cos sin 2) 0

x x xx x x x

x x x

1sin2

x hoặc cos sin 2x x (vô nghiệm)

26 ,5 26

x kk

x k



Vậy phương trình có nghiệm là 52 ; 2 ,6 6

x k x k k

Thí dụ 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3 – tan tan 2sin 6cos 0x x x x

Giải: Điều kiện: cosx 0 Phương trình

0cos6)cos21(sincos30cos6cos

cossin2sincossin3 322

xxxxxx

xxxxx

0)sincos3)(cos21(0)cos21(sin)cos21(cos3 2222 xxxxxxx

2

2

1cos1 1 12 cos 1 cos 2 cos 2 ,

1 4 2 2 3cos4

xx x x x k k

x

Vậy phương trình có nghiệm là ;3

x k k

Thí dụ 7: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos2 cos 2 tan –1 2x x x

Giải: Điều kiện: cosx 0 Phương trình

2 22

2

sin sincos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 2sincos cos12sin 1 1 cos

cos

x xx x x x xx x

x xx

0]cos)cos1(2)[cos1(cos)cos1()cos1)(cos1(2 22 xxxxxxx

2

cos 1cos 1,1cos2cos 5cos 2 0

2

xxk

xx x

Vậy phương trình có nghiệm là 2 , 2 ,3

x k k k

Thí dụ 8: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: )sin1(2cossin

)1(coscos2

xxx

xx

HD:

Điều kiện: 04

sin2cossin

xxx

Phương trình 2(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin )x x x x x (1 sin )[(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )] 0x x x x x

sin 1 sin 1 2,2

(1 cos )(1 sin ) 0 cos 1 2

x x x kk

x x x x k

Vậy phương trình có nghiệm là 2 , 2 ;2

x k x k k

Thí dụ 9: Giải phương trình 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x Giải: PT 2 2 3 3 4 4(sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) 0x x x x x x x x



(sin cos ) 1 sin cos 1 sin cos sin cos 0

sin cos 2 2 sin cos sin cos 0

x x x x x x x x

x x x x x x

sin cos 02 2 sin cos sin cos 0

x xx x x x

TH1: sin cos 0x x sin cos tan 1 ,4

x x x x k k

TH2: 2 2 sin cos sin cos 0x x x x

Đặt sin cos ,| | 2x x t t (*) suy ra 2 1sin cos2

tx x

Khi đó phương trình có dạng 2

2 112 2 0 4 3 032

ttt t tt

Kết hợp với điều kiện (*) phương trình trên tương đương với 1sin cos 1 2 sin 1 sin

4 4 2x x x x

2 24 4 ,25 22

3 4

x k x kk

x kx k

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Thí du 10: Giải phương trình 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x Giải: PT (1 cos 2 ) sin (cos3 cos ) sin 2 0x x x x x

22sin sin 2sin 2 sin 2sin cos 0(2sin 1 4sin cos 2cos )sin 0 (2sin 1)(1 2cos )sin 0

x x x x x xx x x x x x x x

21 3cos2

sin 0 ,2

1 6sin72 26

x kx

x kx k

x kx

x k

Vậy phương trình có 5 họ nghiệm . KĨ NĂNG 5: KĨ NĂNG LOẠI NGHIỆM HOẶC KẾT HỢP NGHIỆM Phương pháp 1: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm lượng giác

Thí dụ 1: Giải phương trình 2 3

22


x xx xx

Giải: Điều kiện: cos 0x (*) Phương trình 2 2 22cos 1 tan 1 cos 1 tanx x x x

2cos 1

2cos cos 1 0 1cos2

xx x

x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn



Vậy phương trình có các nghiệm là 2 ; 2 ,3

x k x k k

Thí dụ 2: Giải phương trình 1 1 2cos sin 2 sin 4x x x

Giải:

Điều kiện:

2

cos 0 sin 1sin 2 2sin cos 0 sin 0

sin 4 2sin 2 .cos 2 2sin 2 1 2sin 0 2sin2

x xx x x x

x x x x x x

(*)

Phương trình 24sin cos 2 cos 2 2 sin 2sin sin 1 0x x x x x x

sin 0x hoặc sin 1x hoặc 1sin2

x

Đối chiếu với điều kiện (*) chỉ có 1sin2

x thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là 52 ; 2 ,6 6

x k x k k

Thí dụ 3: Giải phương trình 2 4sin 2 cos 2 1 0

sin .cosx x

x x

Giải: Điều kiện sin 2 0x Khi đó phương trình đã cho trở thành

22 4 4 2

2

cos 2 0 sin 2 1sin 2 cos 2 1 0 cos 2 cos 2 0

sin 2 0cos 2 1

x xx x x x

xx

Đối chiếu điều kiện ta được sin 2 1 2 .2 ,2 4

x x k x k k

Nhận xét: Qua 3 thí dụ này ta thấy việc biến đổi nghiệm của phương trình và điều kiện ban đầu bằng cách đưa về so sánh cùng một loại hàm hết sức đơn giản và hiệu quả Chú ý: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau

sin 0sin 2 0

cos 0a

aa

sin 0sin 2 0

cos 0a

aa

2sin 0 cos 1a a ; 2sin 1 cos 0a a 2cos 0 sin 1a a ; 2cos 1 sin 0a a

sin 0 cos 1a a ; cos 0 sin 1a a Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi lượng giác

Thí dụ: Giải phương trình 2

44

2 sin 2 sin 3tan 1

cos

x xx

x

Giải: Điều kiện: cos 0 sin 1x x

PT 2

4 4 2 22 sin 2sin cos 2 sin 2 sin 3 2 sin 2 sin 32

xx x x x x x



2 12 sin 2 1 2sin 3 0 sin 32

x x x (*) vì 22 sin 2 1 0,x x

3 13sin 4sin2

x x (**)

Thay sin 1x vào (**) ta thấy không thỏa mãn. Vậy số nghiệm của phương trình (*) cũng là nghiệm của phương trình ban đầu

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là 2 5 2; ,18 3 18 3

k kx x k

Nhận xét: Như vậy việc biến đổi cos 0 sin 1x x và khi thay vào (**) không thỏa mãn dẫn tới nghiệm của phương trình (*) cũng là nghiệm của phương trình ban đầu mà không cần thiết phải thay vào điều kiện ban đầu Phương pháp 3: Thử trực tiếp nghiệm vào điều kiện ban đầu Thí dụ 1: Giải phương trình cos3 . tan 5 sin 7x x x Giải: Điều kiện: cos 5 0x . Khi đó phương trình

22sin 5 cos3 2sin 7 cos5 sin8 sin12 ,

20 10

kxx x x x x x k

kx

Với 2

kx thì 5cos5 cos cos 2 cos 0 2 ,

2 2 2k k kx k m m

(khi k chẵn)

Với 20 10

kx thì cos5 cos5 cos 0

20 10 4 2k kx

(khi k chẵn hay lẻ)

Vậy nghiệm của phương trình là ; , ,20 10

kx m x k m

Thí dụ 2: Giải phương trình: 2 sin cos1

tan cot 2 cot 1x x

x x x

.

Giải:

Điều kiện:

cos 0tan cot 0 sin 0cot 1 0 sin 2 0

sin cos 0

xx x xx x

x x

Khi đó phương trình

2 3sin 2 2 sin sin 2cos 2 0 cos 2 ,2 4

x x x x x x k k

Dễ thấy nghiệm này thỏa mãn sin 0x và cos 0x . Thử trực tiếp vào hai điều kiện còn lại ta thấy

Với 3 2 ,4

x k k thì

3 3sin 2 sin 4 sin 02 2

3 3 3 3sin cos sin 2 cos 2 sin cos 04 4 4 4

x k

x x k k

Tương tự với 3 2 ,4

x k k ta thấy không thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là 3 2 ,4

x k k

Chú ý:



M1M3 M2

M4

M5

- Với điều kiện

cos 0sin 0 sin 2 0sin 2 0 sin cos 0sin cos 0

xx x

x x xx x

(vì sin 2 sin cosx x x hay sin2x bao hàm sinx và

cosx) còn sin 0x và cos 0x chưa chắc sin cos 0x x - Khi thử nghiệm trực tiếp thì nếu nghiệm nào thử vào một điều kiện mà không thỏa mãn thì không cần phải thử vào điều kiện còn lại, còn nếu thử mà nghiệm nào thỏa mãn thì phải thỏa mãn tất cả các điều kiện nên khi thử chọn điều kiện nào dễ trước tiên mà thử

Thí dụ 3: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0sin22

cossin)sin(cos2 66

x

xxxx

Giải:

Điều kiện: 2sin2

x

Phương trình 4 4 2 22(cos sin sin cos ) sin cos 0x x x x x x 2 22 6sin cos sin cos 0x x x x 23sin 2 sin 2 4 0x x

sin 2 1 ,4

x x k k

Với k chẵn 2k m thì 2sin sin 2 sin4 4 2

x m

(loại)

Với k lẻ 2 1k m thì 5 5 2sin sin 2 1 sin 2 sin4 4 4 2

x m m (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là 5 2 ;4

x m m

Hoặc sử dụng đường tròn lượng giác như sau Điều kiện:

Với 24


Với 3 24


Nghiệm:

Với nghiệm 4

x k tương ứng trên đường tròn là điểm M3 và M4

Ta thấy M1M3 nên chỉ có một nghiệm duy nhất M4 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình 5 2 ;4

x m m

Chú ý: Để sử dụng được phương pháp này khi thử nghiệm trực tiếp ta phải nhớ các công thức sau

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

và

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

Thí dụ 4: Giải phương trình tan 5 . tan 2 1x x Giải:

Điều kiện:

1cos5 0 10 5 ,cos 2 0 2

4 2

x mxm n

x x n

Phương trình tương đương với 1tan 5 tan 5 cot 2 ,

tan 2 14 7x x x x k k

x



M1

M2M7

M4M5

M3 M6

+ Đối chiếu điều kiện (1)

Giả sử 1 214 7 10 5 5

mk m k m

Do ,k m Z nên 1 2 1: 25 2

m tt Z t m t

Lại do ,t m Z nên 1: 2 12

ts Z s t s

Từ đó 7 3k s . Suy ra 14 7

x k với 7 3k s thoả mãn phương trình

+ Đối chiếu điều kiện (2)

Giả sử 4 14 5 314 7 4 2

k n k n

Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại ,k n Z thoả mãn (3). Từ đó suy ra điều kiện (2) luôn được thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ,14 7

x k k

Phương pháp 4: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác đều được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác (gọi tắt là đường tròn) + Với 2 ,x k k thì được biểu diễn trên đường tròn bởi một điểm + Với ,x k k thì được biểu diễn trên đường tròn bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc O

+ Với 2 ,3

x k k thì được biểu diễn trên đường tròn bởi ba điểm cách đều nhau tạo thành 3

đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn

Tổng quát: Với 2 , , 3x k k nn thì được biểu diễn trên đường tròn bởi n điểm cách đều nhau

tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn Vẽ đường tròn lượng giác đánh dấu các điểm là điều kiện ban đầu và các nghiệm của phương trình….Nếu các điểm nào trùng với điều kiện (tập xã định) thì tùy vào từng trường hợp cụ thể để loại đi

Thí dụ 1: (ĐH – D 2011) Giải phương trình sin 2 2cos sin 1 0tan 3

x x xx

Giải:

Điều kiện : tan 3 3 ,cos 0

2

x kx kx x k

Phương trình sin 2 2cos sin 1 0 2sin cos 2cos sin 1 0x x x x x x x

2cos sin 1 sin 1 0 (2cos 1) sin 1 0x x x x x

1 2cos 3 ,2sin 1 2

2

x kxk

x x k

Bây giờ chúng ta dùng đường tròn lượng giác xét nghiệm như sau Điều kiện:



M3

M4

M2 M1

M5

Với 2


Với 3


Nghiệm:

Với nghiệm 23


Với nghiệm 22


Ta thấy M2M7 và M4M5 nên chỉ có một nghiệm duy nhất M6 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình : 2 ,3

x k k

Chú ý: Nếu dùng các phương pháp trên ta làm như sau

cos 0 sin 1x x loại ngay được nghiệm sin 1x hoặc thay 22

x k vào ta được

cos 2 cos 02 2

k

nên loại còn nghiệm 2

3x k thay vào

tan 2 tan 33 3

k

nên cũng loại

Vậy chỉ duy nhất một nghiệm thỏa mãn là 2 ,3

x k k

Thí dụ 2: (ĐH – A 2011) Giải phương trình 2

1 sin2 cos 2 2.sin .s in21 cot

x x x xx

Giải: Điều kiện: in 0s x x k Phương trình 2 2sin (1 s in2 cos 2 ) 2 2 sin cosx x x x x

1 sin 2 cos 2 2 2 cosx x x (vì sin 0x ) 22cos 2sin cos 2 2 cos 0

2cos (cos sin 2) 0

x x x x

x x x

cos 0cos 0 2 ,sin 1cos sin 2 24 4

x x kxk

xx x x k

Bây giờ chúng ta dùng đường tròn lượng giác xét nghiệm như sau Điều kiện: Với x k tương ứng trên đường tròn là điểm M1 và M2 Nghiệm:

Với nghiệm 2


Với nghiệm 24


Ta thấy các nghiệm này không trùng nhau (có hai điểm M3 và M4 và một điểm M5) Vậy các nghiệm của phương trình

; 2 ,2 4

x k x k k

Với cách xét nghiệm trên ta có thể biểu diển “ví dụ 3 phần kĩ năng 3 trên



M1

M2

M4

M3

M5 M6

M2M7 M4M5

M3M6 M1M8

đường tròn như sau ĐH – A 2010) Điều kiện:

Với 2


Với 4


Nghiệm:

Với nghiệm 26


Với nghiệm 7 26


Ta thấy các nghiệm này không trùng nhau (có hai điểm M3 và M4 và một điểm M5) Vậy các nghiệm của phương trình

72 ; 2 ,6 6

x k x k k

Nhận xét: Qua các thí dụ ở phương pháp này ta thấy rất hiệu quả và nhanh gọn bởi vì điều kiện và các nghiệm của phương trình thường rơi vào các trường hợp đặc biệt (góc và cung) chính vì thế học sinh nên vận dụng phương pháp này cho nhanh và chính xác Ngoài việc sử dụng đường tròn lượng giác để loại nghiệm ta còn có thể dùng để kết hợp các nghiệm

Thí dụ 3: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:4 4

4sin 2 cos 2 cos 4tan tan

4 4

x x xx x

Giải: Điều kiện:

tan 04 4 4

tan 04 4 4 ,

cos 04 2 44

cos 0 4 2 44

x x k x k

x x k x kk

x k x kx

x k x kx

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy

Với 4


Với 4


Với4


Với 4


Ta thấy có 8 điểm nhưng thực chất chỉ có 4 điểm vì có từng cặp trùng nhau, 4 điểm này cách đều nhau tạo thành một hình vuông



M4

M5

M2

M1

M3

nội tiếp đường tròn nên ta có thể thu gọn 4 nghiệm là ,4 2

kx k

Như vậy việc tìm ra nghiệm thu gọn bằng đường tròn lượng giác giúp chúng ta rất nhiều trong việc kiểm tra nghiệm của phương trình mà không cần thử với từng nghiệm một, ngoài ta chúng ta có thể dùng phương pháp đại số để tìm nghiệm thu gọn như sau Nhận xét:

Từ tổng hai cung 4 4 2

x x

nên tan tan 14 4

x x

và cung 2x có thể đưa về cung

4x bằng công thức nhân đôi

Điều kiện:

1cos .cos 0 cos 2 cos 04 4 2 2

cos 2 0 ,4 21sin .sin 0 cos 2 cos 0

4 4 2 2

x x xkx x k

x x x

Phương trình 4 4 4 2 2 4 2 41sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4

2x x x x x x x x

2 4 4 2 211 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 cos 4 12

x x x x x hoặc 2 1sin 42

x (loại)

sin 4 0 sin 2 0x x hoặc cos 2 0x (loại)

,2

kx k

Thí dụ 4: Xét lại ví dụ 11 dạng 5: Tìm nghiệm thuộc miền cho trước Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

2 32

2


x xx xx

thoả mãn 1 x 70

Giải:

Điều kiện: 2

x k

PT 2 2 22cos 1 tan 1 cos 1 tanx x x x

22cos 1

2cos cos 1 0 1 2cos32

x kxx x

x kx

2 ,3 3

x k k

Nếu bây giờ ta để nguyên 3 nghiệm của phương trình và giải bất phương trình thì vất vả nên ta dùng đường tròn lượng giác kết hợp thành 1 nghiệm như sau Với nghiệm Với nghiệm 2x k tương ứng trên đường tròn là điểm M1

Với nghiệm 23


M2

Với nghiệm 23


M3 Với điều kiện:

Với 2


Nhận thấy 3 điểm nghiệm không trùng với hai điểm điều kiện mà 3 điểm

nghiệm này cách đều nhau một góc 23 nên ta có gộp 3 điểm nghiệm thành



2 ,3 3

x k k . Như vậy việc tìm k khi giải bất phương trình trở nên đơn giản hơn và tính tổng

cũng dễ dàng hơn Chú ý: Khi vận dụng các kĩ năng trên chúng ta có thể làm ra ngoài giấp nháp không cần thiết viết vào bài thi, chỉ cần nói đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn hay không thỏa mãn và kết luận và đôi khi phải kết hợp các phương pháp giải với nhau sao cho nhanh và chính xác nhất Một số phương pháp khác như giải phương trình nghiệm nguyên, chu kì … các bạn tự tìm hiểu do khuôn khổ bài biết BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau

a. 1tan 2 tan cos sin 33

x x x x b. 3 3sin cos 12 2 cos2 sin 3

x x

xx

c. 42sin 7 .sin 8sin 2 3 sin 6 4 1 cos 4x x x x x d. 2 2cos 3 .cos 2 – cos 0x x x Bài 2: Giải các phương trình sau

a. 2 sin 2 3sin cos 24

x x x

b. 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x

c.

2(2 3)cos 2sin2 4 1

2cos 1

xx

x

d. 3 2

2

3(1 sin )3tan tan 8cos 04 2cos

x xx xx

Bài 3: Giải các phương trình sau

a. 2

44

(2 sin 2 )sin 3tan 1cos

x xxx

b. 52 2 cos sin 1

12x x

c. 12sin sin 23 6 2

x x

d. 2tan cot 4cos 2x x x


a. 4 44(sin cos ) cos 4 sin 2 0x x x x b. 23sin cos2 sin 2 4sin cos2xx x x x

c. (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x d. sin 2 cos 2 tan cotcos sin

x x x xx x


a. 5 3sin cos 2 cos2 4 2 4 2x x x

b. 1 1sin 2 sin 2cot 2

2sin sin 2x x x

x x

c. 2 2 sin cos 112

x x

d. 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 14

x x x


a. 3cos3 2sin 52

x x

b. 2 2cos cos3 3 4sin 2sin cos sin 6 0x x x x x x

c. 2 22sin 1 4cos2 4 3 6x x

d. sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0x x x x x


a. 2cos 2 6cos 5 03 6

x x

b. 6 6 213cos sin cos 28

x x x

c. tan cot 2(sin 2 cos 2 )x x x x d. 3tan cot 2cot 2x x x




a. 2tan tan .tan 3 2x x x b. 12 tan cot 2 2sin 2sin 2

x x xx

c. 22

1 14 sin 4 sin 7 0sinsin

x xxx

d. 22

2 2 tan 5(tan cot ) 4 0sin

x x xx

Bài 9: Giải phương trình 22

3 3cot 4(tan cot ) 1 0cos

x x xx .


a. 22 tan cot 3sin 2

x xx

b. 2tan 2 cot 8cosx x x

c. 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x d. 1 12 2 sin4 sin cos

xx x


a. (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x b. 23tan 3 cot 2 2 tansin 4

x x xx

c. 3 2

2

4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos0

2sin 1x x x x x x

x

d. 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x Bài 12: Giải các phương trình sau

a. 2 cos sin1

tan cot 2 cot 1x x

x x x

b. 3sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3 0x x x x x x

c. 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x

d. 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos 24

x x x x x


a. 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x b. sin sin 2 3cos cos 2

x xx x

c. 3 18sincos sin

xx x

d. 2 3cos 2 2cos sin 3 24 4

x x x


a. 3sin 2 cos 2 3 tanx x x b. 32 2 cos 3cos sin 04

x x x

c. 2 2 3sin .cos 2 cos tan –1 2sin 0x x x x x d. 22

cos 2 1tan 3 tan2 cos

xx xx


a. 3 sintan 22 1 cos

xxx

b. sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x

c. sin 3 cos 2 1 2sin cos 2x x x x d. 4 4sin cos 1 2sin2 2x x x


a. 3 3 3 1cos3 cos sin 3 sin cos 44

x x x x x b. 2 2sin cos 4 2sin 2 1 4sin4 2

xx x x

c. 2 2 7sin cos 4 sin 2 4sin4 2 2

xx x x

d. 22sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x




a. 24cos 2sin 1 2sin 2 1 3x x x b. 3 2cos cos 2sin 2 0x x x

c. 3 31 cos sin sin 2x x x d. cos 7 sin 5 3 cos5 sin 7x x x x Bài 18: Giải các phương trình sau a. 3 34sin cos 3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x b. 32cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0x x x x

c. 4 sin 3 cos 2 5 sin 1x x x

d. 1 1 10cos sincos sin 3

x xx x


a. 3 3 1cos .cos .cos sin .sin . in2 2 2 2 2x x x xx x s b. 2(cot 2 cot 3 ) tan 2 cot 3x x x x

c. 3sin sin 2 sin 3 6cosx x x x d. 2

1 sin8cos

xx

Bài 20: Giải các phương trình sau:

a. 2 2sin sin 3 tan 2 (sin sin 3 )

cos cos3x x x x xx x

b. 2 tan 2 2sin 2 3cotx x x

c. 2cos 3(2sin 1) tansin 1 cos

xx xx x

d. 52.cos5 sin( 2 ) sin 2 .cot 3 .2

x x x x

Bài 21: Giải các phương trình sau: a. sin 5 sin 3 2 cos 1 sin 4x x x x

b. 2 22sin sin cos 2 sin 2 sin 42

x x x x x

c. 4 cos 2 cos 2 cos 4 1x x x

d. 2 cos 4 2 2 cos 2 1 08

x x


a. 2 2

2

sin cos 2sin 2 sin sin 32 4 41 cot

x x xx x

x

b. 2 sin 12(1 cos )(cot 1)cos sin

xx xx x

c. 2

42

1 tan8cos sin 4 2.4 1 tan

xx xx

d. 23(tan sin ) 2cos (1 cos ) 2sintan sin

x x x x xx x


a. 9 112sin 2 7 2 sin 2 sin 4 2 04 2

x x x

b. 35sin 5cos .sin2 2x xx

c. 2 3sin sin cos 0x x x

d. 2 18cos 2cos 6 2 3 sincos

x x xx




a. 4cos cot 3cot 23

x x x

b. 2 20172.sin sin 2 1 tan4 2

x x x

c. 4cos 2 sin 2 3 tan tanx 6cos 2 02xx x x

d. 3 2(cos sin ) 13tan 2 2sin 22 cos sin cos 2

x xx xx x x


a. 1 12 sin 2 4sin 1sin 6 2sin

x xx x

b. 2 2sin .sin 2 cos .sin 2 2sin 14

x x x x x

c. 2 22009cos 2 2 2 sin 4cos sin 4sin cos4

x x x x x x

d. 2 21 sin .sin 2 cos .sin 2 2cos4

x x x x x

Bài 26: Giải các phương trình sau: a. sin 2 os2 1 2(sin 2 sin 4 )x c x x x b. cos 3 3 sin cos 7x x x c. 2(sin cos ) sin 3 cos3 3 2(2 sin 2 )x x x x x

d.

2cos . cos 12 1 sin

sin cosx x

xx x

Bài 27: Giải các phương trình sau: a. 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x

b. 32cos cos 2 1sinx x

x

c. (1 tan )(2cos 2 1) 2 2 cos3cos

4

x x xx

d. 2

sin cos1 6 3cos sin .tan

2 coscos

x xxx x

xx


a. 2 32sin cos sin cos 2 cos 2 2 sin2 4xx x x x x

b. 4 2 43sin 2cos 3 cos3 3cos cos 1x x x x x

c. sin (sin cos 2 ) cos (sin cos 2 ) sin1 cot 2 cos

4

x x x x x x xx x

d. 2 2(3 4sin )(3 4sin 3 ) 1x x Bài 29: Giải phương trình: a. 4 3 24cos 4 3 cos cos 3 sin 2 3 0x x x x b. cos 2 cos 4 cos 6 cos cos 2 cos3 2x x x x x x



c. 2013 2013(cos3 sin 2 cos ) cos (sin 3 cos 2 sin )sin5 5

x x x x x x

d. 4sin 3 sin 5 2sin .cos 2 0x x x x Bài 30: Giải phương trình

a. 11sin 2 cos 2 1 2 sin4

x x x

b. 1tan 2 tan sin 4 sin 26

x x x x

c. 22cos .cos (cos 2 3)sin 3.cos34

x x x x x

d. 22

1 sin 2 cos 2 cos (sin 2 2cos )1 tan

x x x x xx

Bài 31: Giải phương trình:

a. sin 2 cos2 2 2cos 3cos

4 11 cos

x x x x

x

b. 2

sin tan 1 sin 2 sin21 tan

x x x xx

c. 22cos3 .cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos 24

x x x x

d. 2 sin 2 3sin cos 24

x x x

Bài 32: Giải phương trình: a. 9sin 6cos cos 2 3sin 2 8x x x x .

b. 217sin 2 16 2 3.s in cos 20sin2 2 12

xx x x

c. 2 23tan 2 2 2 3 2 sinx cos x x

d. 4 41t anx.cot 2 1 sin 4 sin os .2 2

x x x c x

e. 2 21 sin sin cos sin 2cos2 2 4 2x x xx x

Bài 33: Giải phương trình

a. 24cos 2tan 2 .tan 2

4 4 tan cotxx x

x x

b. Tìm các nghiệm 0;x của phương trình 5cos sin 3 2 sin 24

x x x

c. 1 tan 2sin cot .costan

x x x xx

d. 3tan 3cos sin .tan .2

x x x x


a.

2cos . cos 12 1 sin

sin cosx x

xx x

b. 1 cot 2 2 (tan cot )sin 3 2

x x xx

c. 2sin 3 cos .cos 2 tan tan 2x x x x x



d. 2

2

2

2cos 3 sin 2 3 3(tan 1)2cos sin

3

x x xx x

Bài 35: Giải phương trình a. 2 3cos (2sin 2sin 1) 2cos sin 1x x x x x

b. sin 3 cos3 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x

c. 2 2

2

sin cos 2sin 2 sin sin 32 4 41 cot

x x xx x

x

d.

3 3 176 2 sin 2 8cos 3 2 cos 4 cos 22 16

cos

x x x x

x

víi 5;

2 2x

Bài 36: Giải phương trình a. 2cos6 2cos 4 3 cos 2 sin 2 3x x x x

b. 1 1sin2 sin 2cot 22sin s in2x

x x xx

c. sin cos 1 2sin cos 2

1sin cos

x x x xx x

d. Tìm nghiệm của phương trình 2cos 4 3 2 cos 2 sin 2 3 x x x biết x [0; ].


a. 2 2 2(3tan 1)sin 2sin4

x x x

b. cos9 2cos3 2 sin 3 3sin4

x x x x

c. 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x

d. 4 4 1sin 3 sin 34 4 2

x x

Bài 38: Giải phương trình

a. 3 3sin cos sin 2 2 sin4

x x x x

b. 2 2 1 3sin 3 cos sin 2 2(sin cos ) sin 22 2

x x x x x x .

c. 2cos 6 2cos 4 3 cos 2 sin 2 3x x x x

d. Tính tổng các nghiệm của phương trình 1 tan

2

1 tan2

cos2 cos sin .1 sin

x

xx x x

x

trên đoạn [0;38].


a. 3 cos 22 tan 4cos

xxx

b. 2 23cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x

c. 4sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2)

3 11 2cos

x x x x

x

d. 3cos cos cos sin 2 02 6 3 2 2 6x xx x



Bài 40: Giải phương trình :

a. 2 1 sin 2 cos 4 3 sin 4

2 2 sin4sin 2 3 cos 2

x x xx

x x

b. cos .cos 2 .cos 3 sin .sin 2 .sin 3 1x x x x x x

c. cos cos3 1 2 sin 24

x x x

d. 23sin 2 4cos 10sin 3cos 42

x x x x

Bài 41: Cho phương trình 4 4

2009 20094

sin 2 cos 2 tan tan4 4cos 4

x x x xx

(1)

a. Giải phương trình (1). b. Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010]. Bài 42: Giải các phương trình

a. 2 3 42cos 1 3cos5 5x x .

b. 2 2 21sin sin 3 sin .sin 34

x x x x .

c. 43 sin costan cot

x xx x

d. 3 sin sin 2sin 5 03 6 6

x x x

Bài 43: Giải các phương trình sau :

a. sin 3 4cos 3

6 0sin 3 1

x x

x

b. 2cos 2 cos 4 6 2sin 3x x x

c. 3 1 tan (sin 2cos ) 2(sin 3cos )x x x x x


x x x x x


a. sin 2 cos 2 tan cotcos sin

x x x xx x

b. cos 2 sin cos sinx x x x

c. 5 216sin 10sin 5sin 32

x x x

d. 4 21 11 cos cos16 2

x x + 4 225 5cos cos16 2

x x = 1


a. 2 2 2 11tan cot cot 23

x x x

b. 2sin 2 3 cos 2 5 cos 2

6x x x

c. sin 2012 cos 2012 4 sin 503 cos503 1x x x x

d. 2sin 2 cos 2 2 2 sin 2 .cos sin 2cosx x x x x x Bài 46: Giải các phương trình:



a. 2 2

2 2

sin sin 2 2sin 2 sin

x xx x b. 2 2sin 3 cos 2 sin 0.x x x

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

a. Điều kiện: cos 0cos 2 0

xx

Phương trình 3sin 2 .cos cos 2 .sin 1 cos 3sin 4sincos 2 .cos 3

x x x x x x xx x

2sin 1 cos sin 3 4sincos 2 .cos 3

x x x xx x

TH 1: sin 0 ,x x k k

TH 2: 2 3 21 1 cos 3 4sin 2cos 2 3cos 2 cos 2 6 0cos 2 .cos 3

x x x x xx x

cos 2 1 ,x x k k b. Điều kiện: sin 2x

Phương trình 3 sin cos 1 sin cos 2 sin cos2 2 2 2x x x x x x

3 sin cos 2 sin 2 sin cos2 2 2

x x x x x

3 sin cos cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x

TH 1: 3cos sin2 2 2x x (vô nghiệm)

TH 2: cos sin 0 2 ,2 2 2x x x k k

c. Phương trình đã cho tương đương: 2 2cos 6 cos8 3 sin 6 8sin 2 1 sin 2x x x x x

2 2 2cos6 1 2sin 4 3 sin 6 8sin 2 .cos 2x x x x x 2 2cos 6 1 2sin 4 3 sin 6 2sin 4x x x x

cos 6 3 sin 6 1x x 1cos 6

3 2x

.9 3 ,.3

x kk

x k

d. Phương trình 1 cos 6 1 cos 2.cos 2 02 2

x xx

cos 6 .cos 2 1 0x x 1 cos8 cos 4 1 02

x x 22cos 4 1 cos 4 2 0x x

22cos 4 cos 4 3 0 cos 4 1x x x hoặc 3cos4 12

x (loại)

4 2 ,2

x k x k k

Vậy nghiệm của phương trình là ,2

x k k



Bài 2: a. Phương trình sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x 22sin cos 2cos 1 3sin cos 2x x x x x 2sin 2cos 3 2cos cos 3 0x x x x

sin 2cos 3 cos 1 2cos 3 0x x x x

2cos 3 sin cos 1 0x x x

1sin cos 1 0 sin cos 1 sin

4 2x x x x x

2

4 45 2

4 4

x k

x k

2,2

2

x kk

x k

b. Phương trình:

1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 cos 2 cos 4 1 cos6 02 2 2

x x x x x x

22cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 04cos3 cos 2 cos 0

x x x x x xx x x

6 3

,4 2

2

x k

x k k

x k

Vậy phương trình có 3 nghiệm là , , ,6 3 4 2 2

x k x k x k k

c. Điều kiện: 1cos2

x

Phương trình (2 3) cos 1 cos 2cos 12

x x x

1 33 cos sin 0 2 sin cos 02 2

x x x x

32sin 0 (2 1) ,13 3 3cos2

x kx x k x n n

x

d. Phương trình 3 23 tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0x x x x x

3 2

2

2

3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0

3 tan 1 sin tan 1 sin tan 0

1 sin tan 3 tan 1 0

x x x x x

x x x x x

x x x

TH 1: 1tan ,63

x x k k

TH 2: 1 sin tan 0 sin cos sin cos 0x x x x x x (phương trình đối xứng với sin và cos)

Giải phương trình này ta được 2 ,4

x k k với 2 1cos2




x k k hoặc 2 ,4

x k k với 2 1cos2

Bài 3:

a. Điều kiện: cos 02

x x k

4 4 2 2 21sin cos (2 sin 2 )sin 3 1 sin 2 (2 sin 2 )sin 32

x x x x x x x

22 2 sin 2 2

2 sin 2 2(2 sin 2 )sin 3sin 3 1

21 18 3sin 3 sin ,

5 22 618 3

x vnx x x

xkx

x kkx

Vậy nghiệm của phương trình là 2 5 2, ,18 3 18 3

k kx x k

b. Ta có 5 5 52 2 cos sin 1 2 sin 2 sin 112 12 12

x x x

5 5 1 5 5sin 2 sin sin sin 2 sin sin12 12 4 12 4 122

2cos sin sin3 12 12

x x

52 25 612 12sin 2 sin ,

5 13 312 12 2 212 12 4

x kx kx k

x k x k

Vậy nghiệm của phương trình là 3, ,6 4

x k x k k

c. 1 52sin sin 2 2sin sin 2 sin3 6 2 3 6 6

x x x x

2sin 2sin .cos sin sin 1 03 3 2 3

x x x x x

sin 0 3 ,32sin 1

2

x kxk

x kx

Vậy nghiệm của phương trình là , ,3 2

x k x k k

d. Điều kiện : sin 2 0 ( )2

x x l l

Phương trình tương đương với 2 2cos sin 2cos 24cos 2 0 4cos 2 0

sin cos sin 2x x xx xx x x

12cos 2 2cos 2 0 2cos 2 (1 sin 4 ) 0sin 2

x x x xx



cos 2 0 4 2 ,sin 4 1

8 2

x kxk

x x k

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: ,4 2 8 2

x k x k k

Bài 4: a. Phương trình 2 2 24(1 2sin . os ) 1 2sin 2 sin 2 0x c x x x

2 25 2sin 2 2sin 2 sin 2 0x x x 24sin 2 sin 2 5 0 sin 2 1 2 ,

2x x x x k k

Vậy nghiệm của phương trình là 2 ,2

x k k

b. Phương trình

2 2

3sin cos 2 sin 2 2sin (1 cos )3sin 1 2sin 2sin 2sin sin 1 0

x x x x xx x x x x

22sin 1

2 ,1 6sin2 7 2

6

x kx

x k kx

x k

Vậy nghiệm của phương trình là 72 , 2 , 2 ,

2 6 6k k k kx

c. PT 2cos – sin cos sin cos sinx x x x x x (hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm) cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1

tanx = -1 hay cos2x = 1 x = 4

+ k hay x = k, k

Vậy nghiệm của phương trình là ; ;4

x k k k

Chú ý: Xem lời giải khác ở bài 11a d. PT

2 2cos 2cos2 cos sin 2 sin sin cos sin cossin cos cos sin sin cos sin cos

x xx x x x x x x xx x x x x x x x

2cos cos 2 sin 2 0 2cos cos 1 0 sin 2 0x x x x x x 1cos2

x ( cos 1x loại vì sin 0x ) 2 ,3

x k k

Vậy nghiệm của phương trình là 2 ;3

x k k

Bài 5:

a. PT 5 3 5 3 3sin sin 2 cos sin sin 2 cos2 4 2 4 2 2 2 4 4 2 2x x x x x x

3 3 3 32cos sin 2 cos 2cos cos 2 cos4 2 2 2 4 2 2

x x x xx x



23 3 3 3cos 02 2 2 2 ,

32 22cos 24 44 2

x kx x kx k k

x kx x k

Vậy nghiệm của phương trình là 2 ; 2 ; 2 ;3 3 2

x k x k x k k

b. PT 2cos 2 cos cos 2 2cos 2x x x x và sin 2 0x cos 2 0x hoặc 22cos cos 1 0x x (vô nghiệm)

cos 2 0 2 ,2 4 2

x x k x k k

Vậy nghiệm của phương trình là ,4 2

x k k

c. PT 12 sin 2 sin 1 sin 2 sin12 12 12 12 2

x x

5sin 2 sin sin 2sin cos sin 2 cos sin12 4 12 6 12 12 12 12

x x

52 2412 12 ,

72 2312 12

x kx kk

x kx k

Vậy nghiệm của phương trình là ; ,4 3

x k x k

d. Phương trình tương đương với 21 cos 4 3 cos 4 4cos 1

2x x x

2 1 3sin 4 3 cos 4 2 2cos 1 sin 4 cos4 cos 22 2

12cos 4 cos 2 ,6

36 3

x x x x x x

x kx x k

kx

Bài 6: a. PT tương đương với:

cos3 2cos5 0 cos 2 2cos 4 0x x x x x x

2 2 2

2

cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 4 .cos 2sin 4 .sin 0cos 2 .cos 2sin .cos 2(2cos 2 1)cos 2sin .(4cos 2 .cos ) 0cos (8cos 2 2cos 2 3) 0

x x x x x x x xx x x x x x x x x

x x x

cos 0 21 2cos 2 cos2 3 3

3 1 3cos 2 arccos4 2 4

x kx

x x k

x x k

b. Đặt cos , 1t x t (*).



Phương trình 2 2cos3 . 3 4sin 2sin . sin 6 0 1 .t x x x t x

Phương trình dạng 2 0t a

t a b t abt b

2

cos 2sin (2)(1)

cos cos3 .(3 4sin ) (3)x xx x x

2 cos 2sin cot 2 cot 2 , x x x x arc k k

23 cos cos3 3 4sinx x x Nếu sinx = 0 phương trình vô nghiệm không thỏa mãn (3)

Nếu sinx 0 khi đó (3) , 2 1,

2sin 2 sin 6,

8 4

kx k n n Zx x

kx k Z

c. Đặt 2

t x khi đó phương trình đã cho trở thành 2 22sin 1 4cos

2 3t t

2 2cos 4cos cos3. 4cos 03 3 3t t tt 3 24cos 4cos 3cos 0

3 3 3t t t

3cos 0 33 ,21 6cos

3 2

tt k

kt t k

3

,6

2

x kk

x k

d.sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0x x x x x (sin 3 sin ) 2sin 3sin 2 (cos 2 2 3cos ) 0x x x x x x

22sin 2 .cos 2sin 6.sin .cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x 2 22sin .cos 2sin 6.sin .cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x

2

1sin2

(2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 cos 11cos2

x

x x x x

x

+ Với 2

1 6sin ,52 26

x kx k

x k

+ Với 2 22

1 3cos ,2 2

3

x kx k a b

x k

+ Với cos 1 2 ,x x k k Z Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên. Bài 7: a. Phương trình đã cho tương đương với:

21 2sin 6sin 5 03 3

x x

22sin 6sin 4 03 3

x x



sin 13

x

hoặc sin 23

x

(loại)

5sin 1 2 2 ,3 3 2 6

x x k x k k

b. Nhận xét: Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu 6 6cos sinx x có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung hay không ta làm như sau

2 3 2 3 213(cos ) (sin ) cos 28

x x x

2 2 4 4 2 2 213(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 28

x x x x x x x

2 2 2

2 2

1 1 13cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 22 4 8

cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2

x x x x

x x x

2 2

2

cos 2 0 cos 2 08 2sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2

cos 2 02cos 2 13cos 2 6 0

x xx x x x

xx x

cos 2 0 1 4 2cos 2 ,2

cos 2 6 ( ) 6

xx k

x kx kx loai

Vậy phương trình có các nghiệm là ; ,4 2 6

x k x k k

c. Điều kiện cos 0

sin 2 0sin 0

xx

x

sin costan cot 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )cos sin

1 22(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )sin cos sin 2

x xx x x x x xx x

x x x xx x x

21 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2x x x x x x

2 cos 2 0 4 2cos 2 sin 2 cos 2 ,tan 2 1

8 2

kxxx x x k

kx x

Vậy phương trình có các nghiệm là ,4 2 8 2

k kx x k

d. Điều kiện cos 0sin 0 sin 2 0

2sin 2 0

xkx x x

x

3 3

3 3

sin costan cot 2cot 2 2cot 2cos sin

2cos 2 2cot 2 cot 2 cot 2sin 2

x xx x x xx x

x x x xx

cot 2 0x hoặc 2cot 2 1x (loại)



2 ,2 4 2

kx k x k


kx k

Bài 8:

a. Điều kiện: cos 0cos3 0

xx

2tan tan .tan 3 2 tan (tan tan 3 ) 2x x x x x x 2sin sin 2 2sin cos2 2

cos cos cos3 cos cos cos3x x x x

x x x x x x

2 2 4 2sin cos cos3 cos 1 4cos 3cosx x x x x x 4 24cos 4cos 1 0x x

2 2(2cos 1) 0 cos 2 0 2 ,2 4 2

kx x x k x k


kx k

b. Điều kiện: cos 0

sin 2 0sin 2 0

xx

x

2sin cos 2 1 sin sin 22 2sin 2 2 cos 2 2sin 2 1 0cos sin 2 sin 2 cos

x x x xx x xx x x x 2 2

2

4sin cos 2 2(1 cos 2 ) 1 02(1 cos 2 ) cos 2 3 cos 2 0

x x xx x x

2 12cos 2 cos 2 1 0 cos 22

x x x hoặc cos 2 1x (loại vì sin 2 0x )

22 2 ,3 3

x k x k k


x k k

c. Điều kiện: sin 0x 2

2

1 14 sin 2 4 sin 7 0sin sin

1 14 sin 4 sin 15 0sin sin

x xx x

x xx x

1 3 1 5sin (1) sin (2)sin 2 sin 2

x xx x

. 2(1) 2sin 3sin 2 0x x (vô nghiệm)

2(2) 2sin 5sin 2 0 sin 2x x x (loại) hoặc 1sin sin2 6

x

72 2 ,6 6

x k x k k

d. Nhận xét:

Từ phương trình thấy xuất hiện 2

1sin x

và 2cot x ta nghĩ đến công thức 22

11 cotsin

xx

, sau khi thay

vào ta được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x



PT 2 22(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0x x x x 2 2

2

2(tan cot ) 5(tan cot ) 6 0

2 (tan cot ) 2 5(tan cot ) 6 0

x x x x

x x x x

22(tan cot ) 5(tan cot ) 2 0x x x x (*) Đặt: 2 2tan cot (tan cot )t x x t x x 2 2 2 2tan cot 2 tan cot tan cot 2x x x x x x

2 2 2 22 tan cot 2 4 4 2

2t

x x t tt

.

Phương trình 2(*) 2 5 2 0 2t t t hoặc 12

t (loại)

Khi sin cos2 2cos sin

x xtx x

2 2sin cos 2sin cos sin 2 1x x x x x

,4

x k k

Bài 9: Nhận xét:

Từ phương trình thấy xuất hiện 2

1cos x

và 2tan x ta nghĩ đến công thức 22

11 tancos

xx

, sau khi thay

vào ta được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ,k2

kx x x x

PT 22

3 3cot 4(tan cot ) 1 0cos

x x xx

2 23(1 tan ) 3cot 4(tan cot ) 1 0x x x x 2 2

2

3(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0

3 (tan cot ) 2 4(tan cot ) 2 0

x x x x

x x x x

23(tan cot ) 4(tan cot ) 4 0x x x x (*) Đặt: 2 2tan cot (tan cot )t x x t x x

2 2 2 2tan cot 2 tan cot tan cot 2x x x x x x 2 2 2 2

2 tan cot 2 4 4 22

tx x t t

t

.

2(*) 3 4 4 0 2t t t hoặc 23

t (loại)

Khi : sin cos2 2cos sin

x xtx x

2 2sin cos 2sin cos sin 2 1x x x x x

2 2 ,2 4

x k x k k

Bài 10:

a. Điều kiện: sin 0

sin cos 0cos 0

xx x

x

2sin cos 13cos sin sin cos

x xx x x x

.

2 2

2 2

2sin cos 3 sin cos 1

1 sin 3 sin cos 1 sin 3 sin cos

x x x x

x x x x x x

sin 3 cosx x hoặc sin 0x (loại)



tan 3 ,3

x x k k

b. Điều kiện: cos 2 0sin 0

xx

Phương trình 2sin 2 cos 8coscos 2 sin

x x xx x

2sin 2 sin cos 2 cos 8coscos 2 sin

x x x x xx x

2 cos 0cos 8cos cos 2 sin

8cos cos 2 sin 1x

x x x xx x x

cos 0cos 0 cos 014cos 2 sin 2 1 2sin 4 1 sin 42

xx xx x x x

5 ,2 24 2 24 2

k kx k x x k

c. Điều kiện cos 0sin 0

xx

3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0cos sin3 cos 1 5 sin 1 0sin cos

x x x xx xx xx x

cos sin cos sin sin sin cos cos3 5 0sin sin

x x x x x x x xx x

3 5(cos sin cos sin ) 0sin cos

cos sin cos sin 0 (1)3 5 (2)

sin cos

x x x xx x

x x x x

x x

2(1) 2 1 0 1 2t t t hoặc 1 2t (loại)

Với sin cos 2 sin 24

t x x x t

1 2 3sin sin 2 2 ,4 4 42

x x k x k k

3 5 3(2) tan tan ,sin cos 5

x x k kx x

d. Điều kiện: cos 0

sin 2 0sin 0 2

x kx xx

Phương trình sin cos 0 tan 1sin cos2(sin cos )sin 2 1 sin 2 1sin cos

x x xx xx xx xx x

4 4 ,4 22 2

2 4

x k x k nx nx m x m


nx n



Bài 11: a. Điều kiện: cos 0 x

2

2

(cos sin )(cos sin ) cos sincos cos

(cos sin )(cos sin ) cos sin

x x x x x xx x

x x x x x x

2 2

cos sin 0 tan 1,

cos 2 1 4cos sin 1x x x

x k x k kxx x

b. Điều kiện :

cos3 0sin 2 0 6 3 ,cos 0

4sin 4 0

x kxxk

x kxx

(*)

Phương trình 22 tan 3 tan tan 3 cot 2sin 4

x x x xx

2sin 2 cos 2cos3 cos cos3 sin 2 sin 4

x xx x x x x

4sin 4 sin 2cos 2 cos 2cos34sin 4 sin cos3 cos 2cos34sin 4 sin cos3 cos8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin

x x x x xx x x x xx x x xx x x x x

1 1cos 2 ,4 2

x x m m nghiệm này thoả mãn

c. Điều kiện : 22sin 1 0 cos 2 0 ,4 2

kx x x k

Phương trình 24cos sin cos 2cos sin cos 2 sin cos 0x x x x x x x x

4

2 sin cos cos 1 2cos 1 0 2 ,2 23

x m

x x x x x m m

x m

Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm 2 ,3

mx m

d. Phương trình 3 3 32 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0x x x x x

2 2

2

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

22(cos2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )2

2 2cos 2 .cos 2 cos 2 ,4 2 8

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x k k

Bài 12:

a. Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1x x x x xx

Phương trình



2 cos sin1 cos .sin 2 2 sinsin cos 2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

2sin .cos 2 sinx x x

22 4cos ,

2 24

x kx k

x k

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ,4

x k k

b. PT 3

2 3

2

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos

6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

x x x x x x

x x x x x

x x x

22cos ( 3 cos sin ) 6.cos ( 3 cos sin ) 8( 3 cos sin ) 0x x x x x x x x

2( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0x x x x

2

3 cos sin 0tan 3

cos 3cos 4 0x x

xx x

hoặc cos 1x hoặc cos 4x (loại)

,32

x kk

x k

Vậy nghiệm của phương trình là , 2 ,3

x k x k k

c. PT 6 8 8 6sin 2sin 2cos cosx x x x 6 2 6 2 6 6sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2x x x x x x x x

6 6 6

cos 2 0 cos 2 0 cos2 0tan 1sin cos tan 1

x x xxx x x

4 2 ,4 2

4

x mx m m

x k

d. PT 10 8 8 8 52cos cos 2sin sin cos2 0

4x x x x x

8 2 8 2

8 8

5cos (2cos 1) sin (1 2sin ) cos 2 04

5cos cos 2 sin cos 2 cos 2 04

x x x x x

x x x x x

8 8 5cos 2 cos sin 0 cos 2 04

x x x x

hoặc 8 8 5sin cos 14

x x (vô nghiệm)

,4 2

kx k

Bài 13: Cách 1: PT

3 5 5 3sin 2sin 2cos cosx x x x



3 2 3 2 3 3sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos2x x x x x x x x

3 3 3

cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0tan 1sin cos tan 1

,4 2 4 4 2

x x xxx x x

x m x k x m m

Cách 2: 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x

3 3 2 2 5 5(sin cos )(sin cos ) 2(sin cos )x x x x x x 3 2 3 2 5 5

3 2 2 3 2 2

sin cos cos sin sin cossin (cos sin ) cos (cos sin )


2 2 3 3

2 2 2 2

3 3

(cos sin )(cos sin ) 0

cos sin 0 cos sin 0cos sincos sin 0

x x x x

x x x xx xx x

2 22 2cos sin 0

cos sin 0cos sin

cos 2 0 ,4 2

x x x xx x

x x k k

b. Điều kiện: 2

cos cos 2 0 ,23

x kx x kkx

sin sin 2 3 cos 3 cos 2

3 1 3 1cos 2 sin 2 cos sin2 2 2 2

x x x x

x x x x

2cos 2 cos ,26 6

9 3

x kx x kkx

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2 ,9 3

kx k

c. Điều kiện: sin 0

,cos 0

2

x kxk

x x k

23 18sin 8sin cos 3 sin coscos sin

x x x x xx x

2 3 1 3 14sin cos sin cos (2sin cos )(2sin ) sin cos2 2 2 2

x x x x x x x x x

3 1 1 3 12sin sin 2 sin cos (cos cos3 ) sin cos2 2 2 2 2

x x x x x x x x

3 1 1 3cos cos3 sin cos cos sin cos32 2 2 2

x x x x x x x

3 23 6cos3 cos ,

3 3 23 12 2

x x k x kx x k

kx x k x



Hoặc: 2 2

sin 3 1 18 .sincos cos coscos

xxx x xx

(chia 2 vế cho cosx)

2 218 tan 3 1 tan 1 tantan

x x xx

3 23 tan 7 tan 3 tan 1 0x x x ( 3 tanx 1)(tan2x 2 3 tanx 1) = 0… bạn đọc giải tiếp

d. Phương trình 2cos 2 sin 4 sin(2 ) 22

x x x

2 2 2

2

cos 2 – cos 4 sin 2 2 1 sin 2 1 2sin 2 sin 2 2

sin 2 1 sin 2 sin 2 2 0 ,

sin 2 2 4

x x x x x x

xx x x k k

x loai

Bài 14: a. Điều kiện: cos 0x

3tan cos 2cos 2 3tan cos (3tan 2) 2 3 tanx x x x x x x 23tan 2 0 tan tan

,3cos 1 2cos 1

x x kxk

x x kx

b. PT 3

2 cos 3cos sin 04

x x x

3

3 3 2 2

cos sin 3cos sin 0

cos sin 3cos sin 3cos sin 3cos sin 0

x x x x

x x x x x x x x

3

cos 0sin sin 0

xx x

hoặc

2 3 2 3

cos 01 3tan 3 tan tan 3 3tan tan tan 0

xx x x x x x

2sin 1x hoặc tan 1x 2 ,

4

x kk

x k

c. Điều kiện: cos 02

x x k

PT 2 2 3sin cos 2 sin cos 2sin 0x x x x x 2sin cos 2 2sin cos 2 0 sin cos 2 1 cos 2 cos 2 0x x x x x x x x

2 2sin 1 2sin 0 2sin sin 1 0x x x x 1sin2

x hoặc sin 1x (loại vì cos 0x )

1 5sin sin 2 2 ,2 6 6 6

x x k x k k

d. Điều kiện: cos 0

cos 02

x

x



Phương trình 2

2 22

2sincot 3 tan 2 tancos

xx x xx

2 31 tan 0 tan 1 tan 1 ,tan 4

x x x x k kx

Bài 15: a. Điều kiện: cos 1 sin 0x x

PT sin cos sincot 2 21 cos sin 1 cos

x x xxx x x

2 2cos cos sin 2sin 2sin cosx x x x x x

cos 1 2sin cos 1x x x 2

62sin 1 ,5 26

x kx k

x k

b. PT 22sin cos 1 2sin 3sin cos 2 0x x x x x 22sin 2cos 3 sin cos 1 0x x x x

22sin 2cos 3 sin cos 1 0x x x x ( 3 ) (phương trình bậc 2 theo sinx)

Ta có 2 22cos 3 4 2 cos 1 2cos 1x x x

Vậy PT

2cos 3 2cos 1 1sin4 2

2cos 3 2cos 1sin cos 14

x xx

x xx x

2sin cos 1 sin sin4 2 4

1sin 12 sin2

x x x

xx

22 6 ,252 26

x kx kk

x k x k

Hoặc: PT 22sin cos cos 2sin 3sin 1 0x x x x x

cos 2sin 1 2sin 1 sin 1 0x x x x Vậy phương trình có các nghiệm là

52 ; 2 ; ; 2 ,2 6 6

x k x k x x k k

c. PT

2 2

sin 3 cos 2 1 2sin cos 2 sin 2 cos 2 1 2sin cos 2 0sin 2 cos sin cos 2 cos 2 1 2sin cos 2 0sin 2 cos sin cos 2 cos 2 1 0

sin 0sin 2 1 2sin 1 0 sin 2sin 0 1sin

2

x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x

xx x x x x

x

Với sin 0 sin sin 0 ,x x x k k



Với 2 2

1 6 6sin sin sin ,52 6 2 2

6 6

x k x kx x k

x k x k

d. 2 2

2 2 2 2 2 2

22 2

22

sin cos 2sin cos 2sin cos 1 2sin2 2 2 2 2 2

sin cos 2 sin cos 1 2sin2 2 2 2

1 11 2 sin 1 2sin sin 2sin 02 2

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

2sin 4sin 0 sin 0x x x hoặc sin 4x (loại) Với sin 0 sin sin 0 ,x x x k k Bài 16: a. Ta có

3 3

3 3

cos3 3coscos3 4cos 3cos cos4

3sin sin 3sin 3 3sin 4sin sin4

x xx x x x

x xx x x x

Thay vào phương trình ta được 3

2 2 3

cos3 cos3 3cos sin 3 3sin sin 3 1cos 44 4 4

cos 3 3cos cos3 3sin sin 3 sin 3 4cos 4 1

x x x x x xx

x x x x x x x

3

3 3

1 3 cos cos3 sin sin 3 4cos 4 1

3cos 4 4cos 4 4cos 4 3cos 4 0 cos12 0

x x x x x

x x x x x

12 224 62 ,

12 22 24 6

kxx kk

kx k x

b. Ta có

2 2

2

cos 2 1 2sin 2sin 1 cos 2

4sin 2 1 cos 2 1 sin4 2 2

x x x xx x x

2sin cos 4 2sin 2 1 2 1 sin sin cos4 1 cos 4 1 2sin

sin cos 4 2 cos 4 2sin 0 cos 4 sin 1 2 sin 1 0

x x x x x x x x

x x x x x x x

sin 1 cos 4 2 0 sin 1x x x hoặc cos 4 2x (loại)

2 22 2sin sin 2 ,

2 22 22 2

x k x kx x k k

x k x k

c. PT

2 2

2

cos 2 1 2sin 2sin 1 cos 2

4sin 2 1 cos 2 1 sin4 2 2

x x x xx x x



2 2

2

7 3sin cos 4 sin 2 2 2sin sin cos 4 sin 2 2sin 02 2

2sin cos 4 2sin 2 4sin 3 02sin cos 4 1 cos 4 4sin 3 02sin cos 4 cos 4 4sin 2 0cos 4 2sin 1 2 2sin 1 0

x x x x x x x x

x x x xx x x xx x x xx x x

12sin 1 cos 4 2 0 sin2

x x x hoặc sin 4 2x (loại)

7 72 27 6 6sin sin ,

76 2 26 6

x k x kx k

x k x k

d. PT

2

2

2

2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3

2sin 1 3cos 4 2sin 4 3 4 1 sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0

x x x x

x x x x

x x x x

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 0

2sin 1 3cos 4 3 0 3 2sin 1 cos 4 1 0

1sin 12sin 1 02

cos 4 1 0 cos 1 2

x x x x x

x x x x

x x x x

xxx x

Giải (1)

7 72 21 7 6 6sin sin sin ,

72 6 2 26 6

x k x kx x k

x k x k

Giải (2) cos 1 cos cos0 2 ,x x x k k Bài 17: a. PT

2

2

2

2

4cos 2sin 1 2sin 2 1 3

2sin 1 2sin 2 1 3 4cos 0

2sin 1 2sin 2 1 3 4 1 sin 0

2sin 1 2sin 2 1 1 4sin 0

x x x

x x x

x x x

x x x

2sin 1 2sin 2 1 2sin 1 1 2sin 0

2sin 1 2sin 2 1 1 2sin 0 2sin 1 2sin 2 2sin 0

1sin 12sin 1 02

2sin 2 2sin 0 sin 2 sin 2

x x x x

x x x x x x

xxx x x x

Giải (1) 2 2

1 6 6sin sin sin ,52 6 2 2

6 6

x k x kx x k

x k x k



Giải (2) 22 2

sin 2 sin ,22 23 3

x kx x kx x k

x x k x k

b. PT

3 2 2

2

cos cos 2sin 2 0 cos cos 1 2 sin 1 0

1 sin cos 1 2 sin 1 0

1 sin sin 1 cos 1 2 sin 1 0

x x x x x x

x x x

x x x x

sin 1 cos 1 sin 1 2 0

sin 1 2 sin cos cos sin 1 0

sin 1 1 sin cos cos sin 0

sin 1 0 11 sin cos cos sin 0 2

x x x

x x x x x

x x x x x

xx x x x

Giải (1) sin 1 sin sin 22 2

x x x k k Z

Giải (2) 1 sin cos cos sin 0x x x x Đặt cos sint x x đk 2t

22 11 2sin cos sin cos

2tt x x x x

Thay vào (2) ta được 2

211 0 2 3 0 12

t t t t t hoặc 3t (loại)

Với 2 2 21 cos sin 1 cos sin cos cos2 2 2 4 4

t x x x x x

2 24 4 ,222

4 4

x k x kk

x kx k

c. Ta có 3 3 2 2cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin 1 cos sinx x x x x x x x x x x x thay vào phương trình ta được

2 2

2

1 cos sin 1 cos sin sin 2

cos sin 1 cos sin cos sin 2sin cos 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

cos sin 1 cos sin cos sin 0

cos sin 0 11 cos sin cos sin 0 2

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x xx x x x

Giải (1) 2 2cos sin 0 cos sin 0 cos cos2 2 4 2

x x x x x

2 2 2

4 2 2 4 432 2 2

4 2 2 4 4

x k x k x kk

x k x k x k

Giải (2). Đặt cos sint x x với 2t



22 11 2sin cos sin cos

2tt x x x x

Thay vào (2) ta được 2

211 0 2 3 0 12t t t t t

hoặc 3t (loại)

Với 2 2 21 cos sin 1 cos sin2 2 2

t x x x x

3cos cos4 4

x

3 2 224 4 ,

3 22 24 4

x kx kk

x kx k

d. PT cos 7 sin 5 3 cos5 sin 7 cos7 3 sin 7 3 cos5 sin 5

1 3 3 1cos7 sin 7 cos5 sin 5 cos 7 cos 52 2 2 2 3 6

7 5 2 2 23 6 6 12

7 5 2 12 224 63 6 2

x x x x x x x x

x x x x x x

x x k x k x k

kxx x k x k

,k

Bài 18: a. Ta có

3 3

3 3

cos3 4cos 3cos 4cos cos3 3cossin 3 3sin 4sin 4sin 3sin sin 3


Thay vào phương trình ta được 3sin sin 3 cos3 cos3 3cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x x x

3sin cos3 sin 3 cos3 cos3 sin 3 3cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x x x x x sin cos3 cos sin 3 3 cos 4 1 sin 4 3 cos 4 1

1 3 1sin 4 cos 4 cos 4 cos2 2 2 6 3

4 2 4 2 26 3 6 24 ,

4 2 4 2 26 3 6 24

x x x x x x x

x x x

x k x k x kk

x k x k x k

b. Đặt cos sint x x với t 2 2 2 21 2sin cos 1 sin 2 sin 2 1t x x t x x t

22 2 2 2 2 2 2 2 4cos 2 1 sin 2 1 1 1 1 1 1 2 2x x t t t t t t t Thay vào phương trình ta được

2 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2

22 2 2

2 2 3 1 3 0 2 3 2 0 2 0

02 1 0 1 0

1

t t t t t t t t t t t

tt t t t t

t

Với 2 20 cos sin 0 cos sin 0 cos cos2 2 4 2

t x x x x x



32 234 2 4 ,42 2

4 2 4

x k x kx k k

x k x k

Với 2 2 20 cos sin 0 cos sin cos cos2 2 2 4 4

t x x x x x

2 24 4 ,222

4 4

x k x kk

x kx k

c. PT

3 2

4 sin 3 cos 2 5 sin 1 4sin 3 4cos 2 5 sin 1 0

4 3sin 4sin 4 1 2sin 5 sin 1 0

x x x x x x

x x x x

Đăt sin 1t x t khi đó phương trình có dạng

3 2 3 2

23 2 2

4 3 4 4 1 2 5 1 0 12 16 4 8 5 5 0

16 8 7 1 0 1 16 8 1 0 1 4 1 0

114

t t t t t t t t

t t t t t t t t

t

t

Với 1 sin 1 sin sin 2 ,2 2

t x x x k k

Với 21 1sin sin sin ,

24 4x k

t x x kx k

Trong đó ;2 2

và 1sin

4

d. Điều kiện: sin 0cos 0

xx

1 1 10 1 1 10cos sin sin coscos sin 3 cos sin 3

x x x xx x x x

sin cos 10sin cossin cos 3

x xx xx x

1 10(sin cos ) 1sin cos 3

x xx x

Đặt 2 1sin cos 2 cos sin cos

4 2tt x x x x x

.

Điều kiện : 2t . Khi đó phương trình có dạng: 3 2 23 10 3 10 0 ( 2)(3 4 5) 0t t t t t t

2t (loại) hoặc 2 19 3

t (thỏa mãn) hoặc 2 19

3t (loại)

Với 2 19 2 19 2 cos3 4 3

t x

2 19 cos cos 2 ,4 43 2

x x k k

Bài 19:



a. PT 3 3 1cos .cos .cos sin .sin . in2 2 2 2 2x x x xx x s

1 1 1cos (cos cos 2 ) sin (cos cos 2 )2 2 2

x x x x x x

2

2

cos cos cos 2 sin cos sin cos 2 1cos cos 2 sin cos 2 sin sin cos

x x x x x x xx x x x x x x

cos 2 (cos sin ) sin (sin cos )(cos sin )(cos 2 sin ) 0

x x x x x xx x x x

2

2

(cos sin )(1 2sin sin ) 0(cos sin )(2sin sin 1) 0

x x x xx x x x

4

tan 1 22sin 1 ,

21sin 62 5 2

6

x k

x x kx k

x kx

x k

b. PT 2(cot 2 cot 3 ) tan 2 cot 3x x x x . Điều kiện : sin 2 0 ; sin 3 0 ; cos 2 0x x x

cos 2 cos3 sin 2 cos32(cot 2 cot 3 ) tan 2 cot 3 2sin 2 sin 3 cos 2 sin 3

x x x xx x x xx x x x

232sin cos 2sin (cos 2 cos ) 0 sin 0

sin 2 sin 3 sin 3 cos 2 sin 2 sin 3 cos 2x x x x x x

x x x x x x x

(loại) do đó sin 2 0x

Vậy phương trình vô nghiệm c. PT

2 3 32sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x 3 2

2

tan 2 tan 3 tan 6 0tan 2 tan

(tan 2)(tan 3) 0tan 3

x x xx

x xx

,3

x kk

x k

d. Điều kiện: cos 0x 2 2 2 2

2 2

2

1 1sin sin 8cos sin 1 2sin 2 18cos 8cos

21 2 8sin 2 sin 2 sin 2 sin ,

32 2 4 28

x x x x xx x

x kx x x k

x k

Vậy phương trình có nghiêm.2

8 ,3 28

x kk

x k



Bài 20:

a. Điều kiện: cos 0cos3 0

xx

Phương trình tan sin tan 3 sin 3 tan 2 (sin sin 3 )x x x x x x x (tan tan 2 )sin (tan 3 tan 2 )sin 3 0

sin( ) sinsin sin 3 0cos cos 2 cos3 cos 2

x x x x x xx xx x

x x x x

sin 0 sin 0sin 3 sin sin 3 cos cos3 sin 00cos3 cos

x xx x x x x xx x

sin 0sin 0

sin 2 0x

xx

hoặc cos 0x (loại)

,x k k

b. Điều kiện: cos 2 0sin 0

xx

Phương trình 22sin 2 (1 cos 2 ).sin 3cos .cos 2 2sin 2 .cos 3cos .cos 2x x x x x x x x x 22(1 cos 2 ).cos 3cos .cos 2x x x x

2

2cos 0cos 0

cos 2 2 ,62cos 2 3cos 2 2 0

1cos 22 6

x kx

xx x n k

x xx x m

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có 3 họ nghiệm

c. Điều kiện: sin 1cos 0

xx

Phương trình

2

sin 3 2cos(2sin 1)cos cos sin 1

2sin sin 3 2cos (2sin 3)(sin 1) 2coscos sin 1 cos sin 1

x xxx x x

x x x x x xx x x x

2 2 2 2(2sin 3)(sin 1) 2cos (2sin 3)cos 2cosx x x x x x

21 62sin 3 2 sin ,

52 26

x kx x k

x k

Hoặc 22cos 2cos 2(1 sin )(1 sin ) 2(1 sin )

sin 1 (sin 1)cos (sin 1)cos cosx x x x x

x x x x x x

d. Điều kiện: sin 3 0x Phương trình 2cos5 sin 2 cos 2 .cot 3x x x x



2cos5 sin 3 sin 2 cos3 cos 2 .cos3 2cos5 sin 3 cos5 02

12 31sin 3 2cos5 ( 2 sin 3 1) 0 ,24 3

cos5 0

10 5

x x x x x x x x xkx

x kx x x kx kx

Bài 21: a. PT 2sin 4 .cos 2 cos 1 sin 4 0x x x x

2cos sin 4 1 1 sin 4 0x x x sin 4 1 2cos 1 0x x

sin 4 18 2 ,1cos 22 3

x x kk

x x k

b. Phương trình

2

2 2

2

2

2sin sin cos 2 sin 2 1 cos 2

2sin sin cos 2 sin 2 .2sin

2sin sin cos 2 sin 2 0

sin 0sin 0

,2sin 2 sinsin cos 2 sin 2 0 4 4 3

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x kxkkx x xx x x

c. PT 2 24cos 2 2cos 1 – 1 2sin 2 1x x x 2 2 24cos – 4cos 2 1 8sin cos 1 0x x x x

24cos 1 cos 2sin cos 0x x x x

2

2

cos 01 cos 2sin cos 0

2cos3 1

cos 2sin 1 1 0 cos3 cos 2cos 1

xx x x

x k

xx x x x

x

,2 2cos 1 2

x k x kk

x x k

d. cos 4 2cos 2 cos 08 4

PT x x

2cos 2 cos 2 2cos 2 08 8 8

x x x

2cos 2 cos 2 1 08 8

x x

3cos 2 0 2 28 8 2 16 ,92 2cos 2 1

8 168

x x k x kk

x k x kx



Cách khác: Đặt 28

t x

Bài 22: a. Điều kiện: sin 0x (*). Khi đó:

Phương trình đã cho tương đương với: 2s in2 cos 2 .sin 2 cos 2 .sin4

x x x x x

cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 04 4 4

x x x x x

Với sin 1 22

x x k ,k , thỏa (*)

Với 3cos 2 04 8 2

kx x

,k thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm: 32 ; ,2 8 2

kx k x k

b. Điều kiện: sin 0sin cos 0

xx x

Ta có 22

sin 1 1 sin 12(1 cos )(cot 1) 2(1 cos )cos sin cos sinsin

x xx x xx x x xx

2 sin 1 sin cos sin .cos 1 01 cos cos sin

x x x x xx x x

sin 1x hoặc cos 1x (loại)

Vậy phương trình có nghiệm: 2 ,2

x k k

c. Điều kiện: cos 02

x x k

Ta có 22 cos cos sin , 1 sin 2 cos sin4

x x x x x x

4 2 2

4 3

cos sin cos sin 1 sin 2

cos sin cos sin sin cos

x x x x x

x x x x x x

3sin cos sin 0x x x

sin 0,

cos sin 0 tan 14

x kx x kk

x x x x k

Vậy phương trình có 2 nghiệm: ,4

x kk

x k

d. Điều kiện: sin 0sin (1 cos )tan sin 0 0cos 1 ,cos

cos 0 2cos 0 cos 0

xx xx xx x k kx

x x x

, (*)

Với điều kiện (*) ta có:

23(tan sin ) 3(tan sin )2cos (1 cos ) 2sin 2(1 cos )tan sin tan sin

3(1 cos ) 2(1 cos ) (1 cos ) 3 2(1 cos ) 01 cos

x x x xx x x xx x x x

x x x xx



1 2cos 2 ,2 3

x x k k

Vì cos 1x loại do sin 0x

Vậy phương trình có nghiệm: 2 2 ,3

x k k

Bài 23:

a. Phương trình 2 sin 2 7sin cos 4 04

x x x

sin 2 cos 2 7sin cos 4 0.x x x x 2(2sin cos cos ) 2sin 7sin 3 0

cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0(2sin 1)(cos sin 3) 0.

x x x x xx x x x

x x x

1sin2

x hoặc cos sin 3 0x x (vô nghiệm)

26 ,5 2 .6

x kk

x k

b. Ta có 2

5sin sin 2 sin 2 cos cos 2 sin2 2 2 2

sin 2 cos 2sin cos cos 4sin cos cos cos 4sin cos cos2 2 2 2 2 2 2

x x x xx x x

x x x x x x xx x x x x

25sin sin 4cos cos cos 22 2 2x x x x x

Vậy phương trình (1) tương đương với 2 3

2 3

sin 4cos cos cos2 5cos 02 2

sin 0 (2)2

4cos cos cos 2 5cos 0 (3)2

x x x x x

x

x x x x

+ Giải (2) + Giải (3) phương trình (3) tương đương

2 3

2 3

3

4cos cos cos 2 5cos 02

2(1 cos )cos 2cos 1 5cos 05cos 2cos 1 0

x x x x

x x x xx x

c. Phương trình tương đương

2 3 2

2

sin 1 cos cos 0 1 sin cos 1 cos 0

1 sin 1 sin 1 cos 0

1 sin 1 sin 1 sin 1 cos 0

sin 11 sin 1 1 sin 1 cos 0

1 1 sin 1 cos 0

x x x x x x

x x x

x x x x

xx x x

x x

d. Điều kiện : cos 0 ,2

x x l l . Phương trình tương đương với



3 28cos 2cos 6cos 3 sin 2 1 0x x x x 32(4cos 3cos ) cos 2 3 sin 2x x x x

1 3cos3 cos 2 sin 2 cos3 cos 22 2 3

x x x x x

3 2 2 23 3 ,

23 2 23 15 3

x x k x kk

kx x k x

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là : 2

3 ,2

15 3

x kk

kx

Bài 24:

a. Điều kiện: sin 2 0

sin 2 0 ,sin 0 2

xx x k k

x

Với điều kiện trên phương trình 23cos 2 2cos2(cos 3 sin )

sin 2x xx x

x

2 22sin 2 (cos 3 sin ) cos 3sinx x x x x

cos 3 sin 0

2sin 2 cos 3 sin

6cot 32 ,

18 3sin 2 sin6 5 2

6

x x

x x x

x kx

x k kx x

x k

So sánh với điều kiện phương trình đã cho có hai họ nghiêm 2; ,6 18 3

x k x k k

b. Điều kiện: cos 0 ,2

x x k k

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:

1 cos 2 sin 2 1008 1 tan2 2

x x x

1 sin 2 cos 2 1 tanx x x

sin 2 cos 2 tan 0x x x 2 sin2sin .cos 2cos 1 0cos

xx x xx

sin cos2cos .(sin cos ) 0cosx xx x x

x

1(sin cos ). 2cos 0

cosx x x

x

sin 0 42 sin .cos 2 0 ,44

cos 2 04 2

x kxx x k

kxx

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm: ,4 2

kx k (họ

4 2k

chứa 4

k )



c. Điều kiện cos 0

2cos 0

x

x

Phương trình 4cos 2 4sin 2 sin 2 1 tan tan 6cos 2 02xx x x x x

2

14cos 2 4sin 2 2sin .cos . 6cos 2 0cos

4cos 4sin cos sin 3cos 1 0

x x x x xx

x x x x x

24cos 3cos 1 sin 4cos 1 0

4cos 1 cos 1 sin 4cos 1 0

x x x x

x x x x

1cos

4cos 1 cos 1 sin 0 4sin cos 1

xx x x

x x

1arccos 24

2 ; 22

x k

x k x k

Đối chiếu điều kiện ta có 1arccos 2 ,4

x k k là nghiệm

d. Điều kiện: cos 2 04 2

x x k

Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với

2 2

sin 2 2(cos sin ) 13 2cos 2cos 2 cos sin cos 2

3sin 2 2cos 2 2(cos sin ) 1

x x xxx x x x

x x x x

2 23sin 2 2(1 sin 2 ) 2(1 sin 2 ) 1 2sin 2 sin 2 1 0x x x x x

4sin 2 1,1 12sin 2

2 512

x kx

x k kx

x k

Đối chiếu với điều kiện ta thấy 5; ,12 12

x k x k k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 5; ,12 12

x k x k k

Bài 25: a. Điều kiện: sin 0x (*) Với điều kiện (*) ta có:

2

1 12 sin 2 4sin 1sin 6 2sin

4sin 2 sin 2 8sin 2sin 16

1 32(2sin 1) cos 2 sin 2 (2sin 1)(4sin 1)2 2

x xx x

x x x x

x x x x x



Suy ra : 2sin 1 0x hoặc cos 2 3 sin 2 4sin 1x x x

TH 1: 2

62sin 1 0 ,5 26

x kx k

x k

TH 2: 2cos 2 3 sin 2 4sin 1 4sin 2sin 2 3 sin cos 0x x x x x x x 7sin 3 cos 2 cos 1 2 ,

6 6x x x x k k

(Vì sin 0x )

Vậy phương trình có nghiệm: 2 ;6

x k

5 26

x k ; 7 2 ,

6x k k

b. Phương trình đã cho 2sin .sin 2 cos .sin 2 1 cos 2 1

2x x x x x

2sin .sin 2 cos .sin 2 sin 2 0 sin 2 (sin cos .sin 2 1) 0x x x x x x x x x

sin 2 0sin cos .sin 2 1 0

xx x x

Giải phương trình: sin 2 0 ,2

kx x k

Giải phương trình: 2sin cos .sin 2 1 0 sin 2(1 sin ).sin 1 0x x x x x x 3 22sin sin 1 0 (sin 1)(2sin 2sin 1) 0x x x x x

sin 1 2 ,2

x x k k (vì 22sin 2sin 1 0x x vô nghiệm)

Vậy phương trình có các nghiệm: ,2

kx k

c. Ta có 2 22009cos 2 2 2 sin 4cos sin 4sin cos4

x x x x x x

2 2cos sin 2(sin cos ) 4sin .cos (sin cos )x x x x x x x x (cos sin )(cos sin 4cos .sin 2) 0x x x x x x cos sin 0 (1)cos sin 4sin .cos 2 0 (2)

x xx x x x

+ Giải (1): (1) tan 14

x x k

+ Giải (2): Đặt cos sin , 2x x t t ta có phương trình: 22 0t t 0

1 / 2t

t

Với 0t ta có: tan 14

x x k

Với 1 / 2t ta có: arccos( 2 / 4) / 4 2

cos 2 / 44 arccos( 2 / 4) / 4 2

x kx

x k

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm: 4

x k , 4

x k ,

arccos( 2 / 4) / 4 2x k , arccos( 2 / 4) / 4 2 ,x k k d. Phương trình

2sin .sin 2 cos .sin 2 cos 22

sin 2 sin cos .sin 2 1 0

x x x x x

x x x x



2sin 2 sin 1 2sin (1 sin ) 0

sin 2 sin 1 2sin 2 2sin 1 0

x x x x

x x x x

sin 2 0 2sin 1 2

2

x kxx x k

Vậy phương trình có nghiệm ,2

x k k

Bài 26: a. Ta có phương trình đã cho tương đương với

2sin 2 1 cos 2 2(sin 2 sin 4 ) 2sin .cos 2cos 2 2 sin 3 .cosx x x x x x x x x cos 0

2cos (sin cos 2 sin 3 ) 0sin cos 2 sin 3 0 (*)

xx x x x

x x x

Với cos 0 ,2

x x k k

(*) sin cos 2 cos3 2 sin 2 sin 34

3 24 8sin 3 sin

54 3 24 16 2

x x x x x

x x k x kx x

x x k x k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 5; ; ,2 8 16 2

x k x k x k k

b. Ta có: cos 3 3 sin cos 7x x x cos cos7 3 3 sinx x x 2sin 3 sin 4 3 3 sin 0x x x 22sin 4 3 4sin sin 3 3 sin 0x x x x

2

sin 0 1

2sin 4 3 4sin 3 3 0 2

x

x x

(1) sin 0x x k (2) 22sin 4 3 4sin 3 3 0x x 2sin 4 3 2 2cos 2 3 3 0x x

2sin 4 1 2cos 2 3 3 0x x 3 3sin 4 1 2cos 22

x x

2 3 3sin 4 4sin 2 cos 22

x x x (*)

Mặt khác : 2 2 4

2 23cos 2 cos 2 cos 21 sin 2 3 sin 2

2 2 4x x xx x

2 4

3sin 2 cos 21 3

4x x

2 44 sin 2 cos 227

x x

Suy ra: 2 2 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 23 3

x x x x

2 8 3 3sin 4 4sin 2 cos 2 123 3

x x x .

Vậy phương trình (*) vô nghiệm Hay phương trình (1) có nghiệm duy nhất ,x k k



c. 2(sin cos ) sin 3 cos3 3 2(2 sin 2 )x x x x x 3 32(sin cos ) 3sin 4sin 4cos 3cos 3 2(2 sin 2 )x x x x x x x 5(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos ) 3 2(2 sin 2 )x x x x x x x (sin cos )(1 4sin cos ) 3 2(2 sin 2 )x x x x x (1) + Đặt t = sinx – cosx , 2 2t thì t2 = 1 – sin2x + (1) trở thành t[1 + 2(t2 – 1)] = 3 2 ( 3 – t2 ) 3 22 3 2 9 2 0t t t 2( 2)(2 5 2 9) 0t t t t = 2

Với sinx – cosx = 2 3sin 1 2 ,

4 4x x k k

d. Điều kiện: 4

x k .

PT (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )x x x x x x

1 sin 01 sin 01 sin cos 1 0sin cos sin cos 1 0

xxx xx x x x

2,2

2

x kk

x k

(thoả mãn điều kiện)

Bài 27:

a. Đặt 2

2tan sin 21

tt x xt

. Phương trình trở thành

2 2

22

121 1 1 1 1 1 11 1 11

ttt t t t t tt t tt

Với 1 0 tan 1 tan 0 ,4

t t x x x k x k k

b. Điều kiện: sin 0x Biến đổi phương trình về: 3 3 22cos cos 2 sin 0 2cos 2cos – 1 sin 0x x x x x x

22cos 1 cos – 1 – sin 0

1 – sin 2 1 sin 1 cos – 1 0

x x x

x x x

1 – sin 0 *x hoặc 2 1 sin 1 cos –1 0 **x x

TH 1: (*) sin 1 2 ,2

x x k k . Thỏa điều kiện.

TH 2: (**) 1 2sin cos 2 sin cos 0x x x x

2sin cos 2 sin cos 0x x x x

sin cos sin cos 2 0x x x x sin cos 0x x hoặc sin cos 2 0x x (vô nghiệm – giải thích)

2 sin 0 ,4 4

x x k k

. Thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có các họ nghiệm: 2 ; ,2 4

x k x k k

c. Điều kiện: ;2 4

x k x k



2

2.(sin cos )(2cos 2 1) 2 2 cos3 2cos 2 1 2cos3 .coscos (cos sin )

cos 2 02cos 2 1 cos 4 cos 2 cos 2 2cos 2 1cos 2

2

x x x x x x xx x x

xx x x x x

x

4 2 ,

6

x kk

x k

Kết hợp điều kiện ta có ;4 6

x k x k là nghiệm của phương trình.

d. Điều kiện cos 0

cos 02

xx

.

Phương trình 22

2cos cos1 3 3cos 2sin

2 coscos

x xxx

xx

2

22

2cos cos1 2 6(cos 1 cos )

coscos1 3 sin1 tan 3 tan

coscos

xx x

xxx x x

xx

2tan 0

tan 3 tan 0tan 3

3

x kxx x

x kx

Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là 2

,3

x ll Z

x l

Bài 28: a. Phương trình sin 1 cos sin cos 2 cos 2 sin cosx x x x x x x

cos 2 sin 1 cos sin 1 0 sin 1 cos 2 cos 0x x x x x x x

Với sin 1 2 ,2

x x k k

Với 2 2

cos 2 cos cos2 2

x x lx x x

x x l

2 , 2 ,3 33 32

x l lx l l

x l

Vậy phương trình có nghiệm 2 ,2

x k k ; 2 ,3 3

x l l

b. Pt 4 4 23(sin cos ) (2cos 3 1) (cos3 cos ) 0x x x x x

3

3cos 2 cos6 2cos 2 cos 04cos 2 6cos 2 2cos 2 cos 0

x x x xx x x x



22

cos 2 0(*)cos 2 (2cos 2 3 cos ) 0

2(cos 2 1) (cos 1) 0(**)x

x x xx x

(*) , .4 2

kx k Z (**)

2 2

2(cos 2 1)(cos 2 1) (cos 1) 08cos ( sin ) (cos 1) 0

x x xx x x

2 2

2

8cos (cos 1) (cos 1) 0

(cos 1) 8cos (cos 1) 1 0

x x x

x x x

2

cos 12 ,

8cos (cos 1) 1 0( )x

x k kx x vn

Phương trình có 2 nghiệm: ; 2 ,4 2

x k x k k

c. Điều kiện: 1 cot 0;sin 0x x Phương trình sin (sin cos2 ) cos (sin cos 2 ) 1x x x x x x

2

2

1 sin sin cos 2 cos sin cos cos 2 0cos (cos sin ) cos2 (sin cos ) 0(sin cos )(cos cos 2 ) 0(sin cos )(2cos cos 1) 0

1sin cos 0 cos 1 cos2

x x x x x x xx x x x x xx x x xx x x x

x x x x

2

cos (cos sin ) cos 2 (sin cos ) 0(sin cos )(cos cos 2 ) 0(sin cos )(2cos cos 1) 0

1sin cos 0 cos 1 cos2

x x x x x xx x x xx x x x

x x x x

Đối chiếu với điều kiện chỉ có 1cos2

x thỏa mãn

Ta có: 1cos 2 ,2 3

x x k k

Vậy phương trình đã cho có nghiêm là 2 ,

3x k k

d. Dễ thấy sin 0x không thoả mãn phương trình. Khi sin 0x ta được (*) 3 2(3sin 4sin )(3 4sin 3 ) sinx x x x

2 3sin 3 (3 4sin 3 ) sin 3sin 3 4sin 3 sin 9 sinx x x x x x x

4 ( )

10 5

kxk

kx

Kết hợp điều kiện sin 0x ta được ; ;4 2 2 10 5

k kx x k x với k là các nghiệm của

phương trình. Bài 29: a. Phương trình

4 3 2 2 24cos 4 3 cos 3cos cos 2 3 sin .cos 3sin 0x x x x x x x



2 22

22 2

2cos 3 cos cos 3 sin 0

cos 2cos 3 4cos 03

x x x x

x x x

2

2

cos 0

cos 03

x

x

(vô nghiệm) và 2

3cos 2

cos 03

x

x

26 2 ,

66

x kx k k

x l

b. PT 1cos 2 cos 4 cos 6 (cos3 cos )cos3 22

x x x x x x 22cos 2 2cos 4 2cos6 cos 3 cos cos3 4

cos 2 1... cos 2 cos 4 cos6 3 cos 4 1 ...

cos6 1

x x x x x xx

x x x x x kx

c. 2013 2013(cos3 sin 2 cos ) cos (sin 3 cos 2 sin ) sin5 5

x x x x x x

2013 2013 2013cos 3 sin 2 cos 05 5 5

x x x

2013 20132sin 2 sin sin 2 05 5

x x x

2013sin 2 2sin 1 05

x x

2013sin 2 05

x

hoặc 2sin 1 0x

Phương trình có các họ nghiệm: 2013 7; 2 ; 2 ,10 2 6 6

x k x k x k k

d. Phương trình đã cho tương đương với: 4sin 3 sin 5 sin 3 s inx 0x x x 3sin 3 sin 5 sin 0 3sin 3 2sin 3 .cos 2 0

sin 3 (3 2cos 2 ) 0 sin 3 0 ,3

x x x x x xkx x x x k

Bài 30:

a. Biến đổi 11sin sin 2 cos4 2 4 4

x x x

Pt sin 2 cos 2 1 (cos sin )x x x x 22sin cos 2cos (cos sin ) 0x x x x x

2cos (sin cos ) (sin cos ) 0x x x x x

TH 1. sin cos 0 tan 14

x x x x k

TH 2. 12cos 1 0 cos 22 3

x x x k



Vậy phương trình có các nghiệm là ; 24 3

x k x k ,

b. Điều kiện: cos 2 0 4 2cos 0

2

mxxm

x x m

PT 6sin cos 2 cos (sin 4 sin 2 )x x x x x

2 2 2

6sin cos cos 2 (4sin cos cos 2 2sin cos )sin (4cos cos 2 2cos cos 2 6) 0

x x x x x x x xx x x x x

2

3 2

2

sin (2cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 cos 2 ) 6 0

sin (2cos 2 3cos 2 cos 2 6) 0sin (cos 2 1)(2cos 2 5cos 2 6) 0

x x x x x

x x x xx x x x

2

sin 0cos 2 1 ,2cos 2 5cos 2 6 0( )

xx x k k

x x VN

c. Phương trình

1 cos 2 .cos (cos 2 3)sin 3 cos32

(1 sin 2 ).cos (cos 2 3)sin 3 cos3

cos (sin 2 .cos cos 2 sin ) 3 sin 3 cos3

cos 3 sin 3 cos3 sin 3

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x

1 3 3 1cos sin cos3 sin 32 2 2 2

3 26 3cos 3 cos

6 3 3 26 3

4 ,

24 2

x x x x

x x kx x

x x k

x kk

x k

d. Điều kiện: cosx ≠ 0. Biến đổi PT về: cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx) 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) (vì cosx ≠ 0) (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0 (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0 (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0 tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0)

,4

x k k

Bài 31: a. Điều kiện: cos 1x . Phương trình đã cho tương đương với : sin 2 cos2 2(cos sin ) 3cos 1

1 cosx x x x x

x

sin 2 cos2 cos 2sin 1 cosx x x x x



2sin 2 cos2 1 2sin 0 2sin cos 2sin 2sin 0sin (cos sin 1) 0

x x x x x x xx x x

sin 0cos 1 (loai) ,

2sin 1 2

x x kx k

x kx

So sánh điều kiện có nghiệm 2x k và 22

x k , k

b. Điều kiện: cos 0 ,2

x x k k

Khi đó phương trình trở thành: 2 2cos (sin tan ) sin cosx x x x x 2 2cos (sin tan ) sin cos sin sin sin

sin 0sin (cos sin 1) 0

cos sin 1 0

x x x x x x x xx

x x xx x

sin 022cos sin 1 0 2cos

4 2 2

x lx lx

x mx x x

x n

trong đó k, m, n .

Kết hợp nghiệm và so sánh với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là: ,x l l c. Phương trình

cos 4 cos 2 3(1 sin 2 ) 3 1 cos 42

cos 4 3 sin 4 cos 2 3 sin 2 0

x x x x

x x x x

sin 4 sin 2 06 6

18 32sin 3 .cos 06

2

x x

x kx x

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm 2

x k ;

18 3x k ,k

d. PT sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x 22sin cos 3sin 2cos cos 3 0x x x x x

2cos 3 sin cos 1 2cos 3 0

sin cos 1 2cos 3 0

x x x x

x x x

Khi: 3cos2

x (loại)

Khi 21sin cos 1 sin ,2

4 2 2

x kx x x k

x k

.

Vậy, Nghiệm phương trình là 2 , 22

x k x k . k

Bài 32: a. Phương trình đã cho 29sin 6cos 2cos 1 6sin cos 8x x x x x



29 sin 1 6cos 1 sin 2 1 sin 0

1 sin 2sin 6cos 7 0

x x x x

x x x

sin 1x hoặc 2sin 6cos 7 0x x (không thỏa mãn)

Với sin 1 2 ,2

x x k k

Vậy nghiệm của phương trình là: 2 ,2

x k k

b. 217sin 2 16 2 3.s in cos 20sin2 2 12

xx x x

Biến đổi phương trình đã cho tương đương với

cos 2 3 sin 2 10cos 6 0

6

cos 2 5cos 3 03 6

x x x

x x

22cos 5cos 2 06 6

x x

1cos6 2

x

hoặc cos 26

x

(loại)

22 ,

5 26

x kk

x k

c. 2 23tan 2 2 2 3 2 sinx cos x x

Với cos 0x thì sin 1x , vì thế chia cả 2 vế phương trình cho sin 0x , ta được phương trình: 2

2

sin cos3 2 2 2 3 2sincos

x xxx

Đặt 2

sincos

xtx

, thì phương trình trở thành: 13 2 2 2 3 2tt

23 2 3 2 2 2 0 2t t t hoặc 23

t

Với 23

t tức 2 22

sin 2 2 1 sin 3sin 2sin 3sin 2 03cos

x x x x xx 1

Đặt sin ,u x 1 1u . Khi đó phương trình trở thành: 22 3 2 0u u , phương trình này có nghiệm 2u (không thỏa ), 1

2u ( thỏa)

Với 12

u tức 1sin 22 6

x x k hoặc 5 26

x k

Với 2t tức là

2 22

sin 2 2 1 sin sin 2 sin sin 2 0cos

x x x x xx 2 .

Đặt sin ,v x 1 1v . Khi đó phương trình trở thành: 22 2 0v v , phương trình này có nghiệm

2v ( không thỏa ), 12

v ( thỏa ).



Với 12

v tức 2sin 22 4

x x k hoặc 3 2

4x k

Đối chiếu điều kiện, phương trình có các nghiệm :

24

x k , 3 24

x k , 26

x k , 5 26

x k với k

d. PT 2 2s inx.cos 2 sin 2 .cos 1. os4 1 2sin . ossin 2 .cos 2

x x x c x x c xx x

23 2

2

cos 4 1 sin 21 cos 2 7 cos 2 cos2 5 02 22cos

x x x x xx

Đặt cos 2 , 1 1.t x t Ta có phương trình: 3 27 5 0 1;3 14;3 14t t t t

Đối chiếu điều kiện, suy ra 13 14 arccos 3 14 , .2

t x k k

e. PT 21 sin sin cos sin 1 cos 1 sin2 2 2x xx x x x

sin sin cos sin 1 0 sin sin cos .2sin cos 1 02 2 2 2 2 2x x x x x xx x x

2sin sin 1 2sin 2sin 1 0 ... ,2 2 2x x xx x k k

Bài 33:

a. Điều kiện ,8

x k k

Với điều kiện trên (1) 2

2 2

4sin cos cos 2tan 2 .cot 24 4 sin cos

x x xx xx x

1 = 2sin2xcos2x sin4x = 1 8 2

x k

Dựa vào điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm. b. Pt 5cos sin 3 sin 2 cos 2x x x x

22cos 5cos 2 sin 2 sin 0x x x x 2cos 1 cos 2 sin 2cos 1 0x x x x

2cos 1 cos sin 2 0.x x x + Với cos sin 2x x vô nghiệm.

+ Với cosx = 1 2 ,2 3

x k k .

Đối chiếu điều kiện x 0; suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là : 3

c. Điều kiện: sin .cos 0x x 2

3 2

2

PT 1 tan 2 tan .sin coscos 2cos 2cos 1 0(cos 1)(cos 3cos 1) 0

x x x xx x xx x x

2cos 3cos 1 0x x hoặc cos 1x (loại)

3 5cos

2x hoặc 3 5cos

2x (loại)



3 5arccos 22 ,3 5arccos 2

2

x kk

x k

d. Điều kiện: cosx 0 (*). Phương trình đã cho tương đương với: tan 3.sin s inx.tanxx x

2sin 3.sin .cos sinx x x x sin 1 3 cos sin 0x x x

• sin 0x x k , thỏa mãn (*) 1• sin 3 cos 1 0 sin 2

3 2 2x x x x k

(không thỏa mãn (*)) hoặc 7 2

6x k

Vậy phương trình có nghiệm: 7; 2 ,6

x k x k k .

Bài 34:

a. Điều kiện: 4

x k .

PT (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )x x x x x x 1 sin 0sin cos sin cos 1 0

xx x x x

1 sin 01 sin cos 1 0

xx x

22

2

x k

x k

(Thoả mãn điều kiện)

b. Điều kiện: sin 3 0sin 2 0

xx

Pt 1 cot 2 2 sin 2 cos 2 2 sin 3sin 3 sin 2

x x x xx x

24sin 2 sin 33 2420 5

x kx x

kx

thỏa mãn điều kiện.

c. 2sin 3 cos .cos 2 tan tan 2x x x x x (1)

Điều kiện:cos 0 2 ,cos 2 0

4 2

x kxk

x x k

(2)

Với điều kiện (2) thì

2

3

sin .cos 2sin 3 sin 2 .coscos

sin 3 .cos cos 2 .sin 2cos sin

x xx x xx

x x x x x x

2 33 4sin .cos cos 2 .sin 2cos sin 0x x x x x x

TH1: sin 0x x k thoả mãn (2) TH2: 32cos cos cos 2 sin 0 cos 2 . cos 2 sin 0x x x x x cosx x x cos 2 cos sin 0x x x

Đối chiếu với điều kiện được cos sin 0 tan 14

x x x x k không thoả mãn (2)

Kết luận tập nghiệm của phương trình là ,x k k



d. Điều kiện cos 0

2 (*)sin 0

3 3

x x k

x x k

PT 22

3cos 2 3 sin 2 4 2cos sin3 cos

x x x xx

cos 2 .cos sin 2 sin 2 3sin3 3 3

x x x

2

cos 2 3sin 2 03 3

cos 1 (1)6

2cos 3cos 1 06 6 1cos (2)

6 2

x x

xx x

x

(1) 2 2 ,6 6

x k x k k ;

2 2 ( )6 3 2(2)

2266 3

x k x k loai

x kx k

Vậy nghiệm của phương trình: 2 ,6

x k k

Bài 35: a. Phương trình

2 2

2

2

2

2cos (sin cos ) sin 2 cos sin 12cos (sin cos )(sin cos ) (sin cos ) cos sin 0(sin cos ).(2cos 2sin .cos sin cos 1) 0sin cos 0 (1)2cos 2sin .cos sin cos 1 0 (2)

x x x x x xx x x x x x x x x

x x x x x x xx x

x x x x x

(1) 2 sin 0 ,4 4

x x k k

2(2) 2cos cos 1 sin (2cos 1) 0(2cos 1)(cos 1) sin (2cos 1) 02cos 1 0cos sin 1

x x x xx x x xx

x x

21cos 32 2 ,1sin

4 222

x kxx k k

xx k

Vậy phương trình có các nghiệm trên b. Pt 3 33sin 4sin 4cos 3cos sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x x

sin cos 2sin 2 1 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x



sin cos 2sin 2 1 sin 2sin 2 1 4cos 1 3x x x x x x

1sin 222sin 2 1 2sin 2 cos 3 sin 0

3 sin cos 2sin 2

xx x x x

x x x

+ Với 1 12sin 2 sin ,52 612

x kx k

x k

+ Với 3 sin cos 2sin 2 sin .cos cos .sin sin 26 6

x x x x x x

2 2 26 6sin sin 2 ,

7 26 2 26 18 3

x x k x kx x k

x x k x k

Vậy phương trình có các họ nghiệm trên c. Điều kiện: sin 0x (*). Khi đó:

Phương trình đã cho tương đương với: 2sin2 cos 2 .sin 2 cos 2 .sin4

x x x x x

cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 04 4 4

x x x x x

+ Với sin 1 2 ,2

x x k k , thỏa (*)

+ Với 3cos 2 0 ,4 8 2

kx x k

, thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm: 32 ; ,2 8 2

kx k x k

d. Ta có: cos 02

x x k

PT 3 2 28cos 6 2 sin 2 sin 2 cos 2 16cosx x x x x 34cos 3 2 sin 2 8cosx x x 2(2cos 3 2 sin 4) 0x x

22sin 3 2 sin 2 0x x 2

4 ,3 24

x kk

x k

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 5;2 2

x

là 3 9;4 4

x x

Bài 36: a. PT 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x

cos 0

2cos5 sin 3 cos

x

x x x

cos 0

cos5 cos6

x

x x



2

,24 2

36 3

x k

kx k

kx

b. Điều kiện: x4 2

k . Pt tương đương

22sin 2 2(sin cos )cos 2 1 cos 2 cos 2 2 0cos 2 cos sin

x x xx x xx x x

cos 2 2x (loại) hoặc cos 2 12

x x k

c. Điều kiện: 23

x k

PT 2 3 cos 1 cos 2 2cos 12 4xx x

2cos 3 cos 1 cos 2cos 12

x x x x

3 cos cos 02

x x

3 cos sin 0x x

tan 33

x x k .

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là 4 2 ,3

x k k

d. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x

2cos 0

4cos3 cos 2 3 cos 2sin cos2cos3 3 cos sin

xx x x x x

x x x

+ Với cos 02

x x k

+ Với 3 2

62cos3 3 cos sin cos3 cos6 3 2

6

x x kx x x x x

x x k

12

24 2

x k

kx

vì x 11 130; , , ,2 12 24 24

x x x x

Bài 37:

a. Điều kiện : cos 0x ,2

x n n

Phương trình 2 2 2 2(3 tan 1)sin 1 cos 2 (3tan 1)sin 1 sin 22

x x x x x x



+ Chia hai vế cho 2cos x ta được 2 2 2

4

3 2

3 3

3 3

(3 tan 1) tan tan 1 2 tan3 tan 2 tan 1 0(tan 1)(3 tan 3tan 3 tan 1) 0

tan 1 4 4 ,1 12 tan (1 tan ) tan arctan

1 2 1 2

x x x xx x

x x x x

x k x kxk

x x x x k

b. Pt cos9 2cos 3 sin 3 cos 3 3sinx x x x x

3 3

cos9 3cos3 sin 3 3sin

4cos 3 4sin cos3 cos2

x x x x

x x x x

8 2 ,

4

kxk

x k

c. PT (sin cos ). 2 2(sin cos ) sin .cos 0x x x x x x sin cos 02 2(sin cos ) sin .cos 0

x xx x x x

+ Với sin cos 0 ,4

x x x k k

+ Với 2 2(sin cos ) sin .cos 0x x x x , đặt sin cos , 2; 2t x x t

Ta được phương trình : 2 4 3 0 1t t t hoặc 3t (loại)

Với 2

1 ,2

2

x mt m

x m

Vậy nghiệm của phương trình là : 4

2 , ,

22

x k

x m k m

x m

d. Pt 4 4 1cos 3 sin 34 4 2

x x

2 2 21 1 11 2cos 3 sin 3 1 sin 64 4 2 2 2 2

x x x

2 2cos 6 1 sin 6 0 ,6

kx x x k

Bài 38:

a. 3 3 3 3sin cos sin 2 2 sin sin cos sin 2 (sin cos )4

x x x x x x x x x

(sin cos )(1 sin .cos ) (sin cos ) 2sin .cossin .cos (sin cos ) 2sin .cos sin .cos (sin cos 2) 0

x x x x x x x xx x x x x x x x x x



sin 0

cos 02

sin cos 2 0 (1)

x x k

x x k

x x

PT (1) 2 sin 2 sin 24 4

x x

PT vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm là : ,2

x k k

b. PT (s in os )(sin 3 os 2) 0x c x x c x sin cos 0 (1)

sin 3 cos 2 (2)

x x

x x

(1) t an 1 ;

4x x k k

(2) sin 1 2 ;3 6

x x k k

c. Phương trình

24cos 5 cos 2sin cos 2 3 cosx x x x x

cos 0

2cos5 sin 3 cos

x

x x x

cos 0

cos5 cos6

x

x x

2

,24 2

36 3

x k

kx k

kx

d. Điều kiện:

sin 12

cos 0 ,22 2

tan 12

xx kx kx k

x

(*)

Phương trình

2

sin cos sincos 2 .cos 2 2

cos sincos sin 2 22 2

x xxx x

x xx x

cos 2 .cos sin cos sin cos sin2 2 2 2

cos 2 .cos sin .cos cos (cos 2 sin ) 0

x x x xx x x

x x x x x x x

2cos (2sin sin 1) 0x x x



2cos 0sin 1 2 ,

61 5sin 22 6

x kxx x k k

x x k

Kết hợp với điều kiện thì phương trình đã cho có nghiệm là 2 ,

6 3x k k

1 3 3820;38 0 38 {0;1;2...;17}4 2 6

6 3k

x k kk

Các nghiệm của phương trình trên 0;38 lập thành một cấp số cộng với 1 6u và công sai 2

3d

gồm 18 số hang có tổng là

18 118 2(2 17 ) 9 17. 1052 3 3

S u d

Bài 39: a. Điều kiện: cos 0x Phương trình đã cho tương đương với: 2sin 4cos 3 cos 2x x x

3(sin cos ) (cos sin ) 3 (sin cos )(cos sin )(sin cos 1)(sin cos 3) 0

x x x x x x x xx x x x

sin cos 1x x hoặc sin cos 3x x (vô nghiệm)

2 21 4 4sin ,24 2 22

4 4

x k x kx k

x kx k

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 2 ,x k k b. Điều kiện : x k

Phương trình tương đương: 3cosx 2

cos 2sin

xx

= 2(cosx - 2 sin2x)

(cosx - 2 sin2x)(3cosx – 2sin2x) = 0 2

2

2 cos cos 2 02cos 3cos 2 0

x xx x

2 1cos ;cos2 2

x x hoặc cos 2x (loại) hoặc cos 2x (loại)

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2 ; 2 ,4 3

x k x k k

c. Điều kiện: 23

x k

2

1 2.cos 2 5( 3 sin cos ) 5 03

4.sin 10sin 4 06 6

x x x

x x

21sin 36 2 2

x kx

x k

hoặc sin 26

x

(loại)

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 2 ,x k k



d. Đặt: 2 6xt

. Phương trình trở thành:

cos cos 2 cos3 cos 4 03 72cos .cos 2cos .cos 02 2 2 2

t t t tt t t t

3 7 5cos cos cos 0 4cos .cos .cos 02 2 2 2 2t t t t tt

7 42cos 0 32 4cos 0 22 3

5 2 11 4cos 02 5 5 15 5

t kt t k

t t k t kt k kt t

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: 7 43

x k , 4 23

x k , 11 4 ,15 5

kx k

Bài 40:

a. Với điều kiện: sin 2 3 cos 2 0 tan 2 3 ,6 2

x x x x k k , ta có

2

2

2

2 1 sin 2 cos 4 3 sin 42 2 sin

4sin 2 3 cos 2

1 3 1 3sin cos cos 4 sin 4 2 2 sin sin 2 cos 22 2 4 2 2

2sin cos 4 2 2 sin cos 24 3 4 6

2sin4

x x xx

x x

x x x x x x x

x x x x

x

22cos 2 1 2 2 sin cos 2 06 4 6

x x x

222 sin cos 2 sin 2

4 6 6

2 sin cos 2 sin 24 6 6

2 sin cos 2 sin 24 6 6

x x x

x x x

x x x

2 sin 2 sin 24 6 4

2 sin 2 sin 24 6 4

x x

x x

2 2 24 6 4 3

5 22 24 6 4 18 3 ,

2 22 24 6 4 9 3

72 2 24 6 4 6

x x k x k

x x k x kk

x x k x k

x x k x k



b. cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1x x x x x x cos 2 (cos 4 cos 2 ) 2sin .sin 2 .sin 3 2x x x x x x

2

3 2 2

cos 2 (2cos 2 cos 2 1) 2 2sin .2sin .cos .sin 3 0

2cos 2 cos 2 cos 2 2 2sin .2cos .sin 3 0

x x x x x x x

x x x x x x

2

2

(cos 2 1)(2cos 2 3cos 2 2) (cos 2 1)(sin 4 sin 2 ) 0(cos 2 1)(2cos 2 3cos 2 2 sin 4 sin 2 ) 0

x x x x x xx x x x x

2

2

(cos 2 1)(4cos 2 6cos 2 4 2sin 4 2sin 2 ) 0

(cos 2 1) (2cos 2 1) 2cos 2 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 1 sin 4 ) 0

x x x x x

x x x x x x x

2(cos 2 1) (2cos 2 1) 2(cos 2 1)(1 sin 2 ) 1 sin 4 ) 0

cos 2 1 ,

x x x x x

x x k k

c. PT 2cos 2 cos 1 sin 2 cos 2x x x x 22cos 2 cos sin 2 2cos 2cos (cos 2 sin cos ) 0x x x x x x x x

2cos (cos sin )(cos sin 1) 0

cos cos 2 cos 1 04 4

x x x x x

x x x

2cos 03

cos 0 ( , , )44 2

1cos 24 2 2

x kx

x mx k l m

x lx x l

d. PT 3sin 2 2 1 cos(2 ) 10sin 3cos 4x x x x 3sin 2 2 cos 2 10sin 3cos 6x x x x

23cos (2sin 1) 4sin 10sin 4x x x x (2sin 1)(3cos 2sin 4) 0x x x 2sin 1 03cos 2sin 4 0

xx x

* Với 2

1 62sin 1 0 sin ,52 26

x kx x k

x k

* do 2 3 22 3 13 16 4 nên phương trình 3cos 2sin 4 0x x vô nghiệm Bài 41:

a. Điều kiện: 8 4

4 2

x k

x k

(1) 4 4

4

sin 2 cos 2 1cos 4x x

x



4 4 4 4 2

2

sin 2 cos 2 cos 4 2sin 4 3sin 4 0

sin 4 0sin 4 0 43 4sin 4

2

x x x x x

xx x k x k

x

Kết hợp với điều kiện ta được: 2

x k , k

b. [1;2010] 1 2010 1 12792

x k k , vì k .

Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là 1279.1280(1 2 ... 1279) . 409280

2 2 2

Bài 42:

a. Phương trình 6 41 cos 1 3cos5 5x x

.

Đặt 25xt khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 cos3 3cos 2t t

2(cos 1)(4cos 2cos 5) 0t t t

+ Với 2cos 1 2 5 ,5xt t k x k k

+ Với 2 1 214cos 2cos 5 0 cos4

t t t hoặc 1 21cos

4t (loại)

1 21arccos 2 ,4

t k k

5 1 21arccos 5 ,2 4

x k k

b. Phương trình 22

2 2sin 3 1sin sin 3 (1 sin 3 ) 02 4

xx x x

2

2

sin 3sin2

sin 6 0

xx

x

sin 0

2 ,1 6sin2 5 2

6

x kx

x k kx

x k

c. Đặt 43 sin cos (1)tan cot

x xx x

Điều kiện: sin 2 0 ; (*)2

x x k k

Khi đó phương trình (1) 3 1sin cos sin 2

2 2x x x

sin sin 26

x x

26 ;

7 218

x kk

x k

Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình là: 72 ; 2 ,6 18

x k x k k



d. Do sin cos6 3

x x

nên phương trình đã cho trở thành:

3 sin cos 2sin 5 03 3 6

x x x

2 sin cos cos sin 2sin 5 03 6 3 6 6

x x x

sin sin 5 02 6

x x

2sin 3 cos 2 06 3

x x

sin 3 06

cos 2 0

3

x

x

18 3 , ,

12 2

kxk l

lx

Bài 43:

a. Đặt sin 3 4cos 3

6 0sin 3 1

x x

x

(1)

Điều kiện: 3sin 3 1 0 4sin 3sin 1 0x x x

21sin

2sin 1 sin 1 0 2sin 1

xx x

x

3

2

2

2

22

2

1 sin 3 2 3 cos 2sin 3 0 4sin sin 2 3 cos 3 0

3sin 4sin 1 2 3 cos 02

3cos4sin 4sin 1 2 3 03cos

24cos 3sin 4sin 1 3 02cos 3

2sin cos 3 sin 34sin 1 02cos 3

1sin2

2sin cos 3

x x x x x x

x x x

xx x

x

xx xx

x x xxx

x

x x

1sin2

sin 3 0 sin 2 3 3 sin

x

x x x

TH 1: Với 2

1 6sin ,72 26

x kx k

x k

TH 2: Với 2 2sin 2 3 3 sin sin 2 2 3 sin 2 3 3sinx x x x x 2 2 2

2

4sin cos 4 3 sin cos 3cos 0

4sin cos 4 3 sin 3cos 0

x x x x x

x x x x

Chia hai vế cho 3osc x ta được 2 2 24 tan 4 3 tan 1 tan 3 1 tan 0x x x x



3 24 3 tan 7 tan 4 3 tan 3 01sin

1 2tan33 cos

2

x x x

xx

x

(rơi vào TH 1)

Vậy phương trình có nghiệm là 72 ; 2 ,6 6

x k x k k

b. Phương trình 2 24sin sin 3 6 2sin 3x x x 2 2

2 2 2

2 2 2

2 22

2

4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin 3 ) 0

4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin 3 ) 0

4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin 3 ) 0sin 3 1

sin 3 1sin cos 3 0 2 ,

2cos 0cos 0

x x x

x x x x

x x x xx

xx x x k k

xx

c. 3 1 tan (sin 2cos ) 2(sin 3cos )x x x x x 3 1 tan (tan 2) 2(tan 3)x x x

Đặt tant x Ta được phương trình 2 23 1( 2) 2( 3) 9( 1)( 4 4) 4( 6 9)t t t t t t t t

3 2 29 41 48 0 (9 41 48) 0 0t t t t t t t (vì 9t2 + 41t + 48 = 0 vô nghiệm) sin 0x x k


2x x x x x

2012 2 2012 2

2012 201212 12

3cos (2 cos 1) sin (1 2sin ) cos 2 0

2cos 2 0 (1)

cos 2 0 3cos sin 0 (2)

2

3cos sin2

x x x x

xx

x x

x

x x

+ Với cos 2 04 2

,x x k k

+ Với 2012 20123cos sin 0

2x x

Ta nhận thấy

2012

2012 20122012

cos 0, 3cos sin 0,3 2sin 0,2

x xx x x

x x

Vậy phương trình (2) vô nghiệm

Phương trình có nghiệm là: ,4 2

x k k

Bài 44: a. Điều kiện: sin 2 0x

Phương trình cos 2 cos sin 2 sin sin cossin cos cos sin

x x x x x xx x x x

2 2cos 2 sin cos

sin cos sin cosx x x x

x x x x

2cos cos 2 2cos cos 1 0x x x x

1cos2

x hoặc cos 1x (loại vì sin 0x )



2 ,3

x k k

b. PT 2 2cos sin sin cos sin 0x x x x x

cos sin cos sin sin 1 0x x x x x

2cos sin cos 0x x x cos sin 0cos 0

x xx

.

4 ,

2

x kk

x k

.

Phương trình có hai họ nghiệm là , ,4 2

x k x k k .

c. Ta có 2

25 2 21 cos 216sin 16sin sin 16sin 4sin cos 2 2cos 2 12

xx x x x x x x

= 1 cos 44sin 8sin cos 2 4sin . sin 5 5sin 3 10sin2

xx x x x x x x .

PT 5 2

2 4sin 5 032 5 24

x kx

x k

220 5 ,3 220 5

kxk

kx

.

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2 3 2, ,20 5 20 5

k kx x k .

d. Ta có 2

4 2 2 21 1 1 11 cos cos cos 1 1 cos16 2 4 4

x x x x

2

4 2 2 225 5 5 5cos cos cos cos16 2 4 4

x x x x

Phương trình 4 21 11 cos cos16 2

x x + 4 225 5cos cos16 2

x x =1

211 cos4

x + 25 cos4

x =1 2cos 1x cos 1x x k , k

Bài 45:

a. Điều kiện:2

kx

PT 2 2 20(tan cot ) 1 cot 23

x x x 2

5 203sin 2x

2 3 1sin 2 cos 4 ,4 2 6 2

kx x x k

b. PT 2

1 34 sin 2 cos 2 5 cos 22 2 6

x x x

VT 4, 4VP nên phương trình



cos 2 0

3

cos 2 16

x

x

712 2 ,

7 1212

kxx h h

x h

c. sin 2012 os2012 4 sin 503 os503 1x c x x c x (1) Đặt 503t x phương trình (1) trở thành:

sin 4 cos 4 4 sin cos 1t t t t

sin 4 1 cos 4 4 sin cos 0t t t t

22sin 2 .cos2 2cos 2 4 sin cos 0t t t t t

cos 2 . sin 2 cos 2 2 sin cos 0t t t t t

2 2cos sin . sin 2 cos 2 2 sin cos 0t t t t t t

cos sin . sin 2 cos 2 sin cos 2 0t t t t t t

cos sin 0(2)sin 2 cos 2 sin cos 2 0(3)

t tt t t t

Giải (2):

cos sin 0 tan 1t t t (vì 2 2sin cos 1t t )

503 ,4 4 2012 503

t k x k x k k

Giải (3):

sin 2 cos 2 sin cos 2 0t t t t cos 2 .cos 1 04 4

t t

cos3 cos 2 0 cos3 sin 2 02

t t t t

Ta có: cos3 1

cos3 sin 2 0sin 1

tt t

t

Do đó cos 3 sin 2 0t t 3cos3 1 4cos 3cos 1

sin 1 cos 0t t tt t

(vô nghiệm)

Vậy phương trình sin 2012 cos 2012 4 sin 503 cos503 1x x x x có nghiệm

,2012 503

x k k

d. PT

2

cos 2 2 sin 2 .cos sin 2 2 sin sin 2 2 2 cos 2

2cos 1 sin 2 2 cos 1 2 sin 2 cos 1 2 2 cos 1

2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 sin 2 2 sin 2

1cos 12

2 sin cos 2sin .cos 1 0 2

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x

x x x x

(1) 2 ,4

x k k

(2) 2 ,4 4

x k x k k

Bài 47:



a. PT 2 2

22 2

sin 2 0sin sin 2 2 sin sin 2sin 2 sin 0

sin 2 sin

xx x

x xx xx x

hay 22 2 2 2

sin 2 0sin 2 0 sin 2 01cossin sin 2 sin sin 24

xx xxx x x x

23 ,2 23

x kk

x k

b. Ta có 3 2sin 3 3sin 4sin (3 4sin )sin (1 2cos2 )sin ,x x x x x x x nên PT 2 2[(1 2cos 2 ) cos 2 1]sin 0x x x

3 2 2

2 2

(4cos 2 4cos 2 cos 2 1)sin 0(1 cos 2 )(1 4cos 2 )sin 0

x x x xx x x

sin 0,

cos 2 1 2x kx k

x

CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Documents