WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON B Ồ I D Ư Ỡ N G T O Á N - L Í - H Ó A C Ấ P 2 3 1 0 0 0 B T R Ầ N H Ư N G Đ Ạ O T P . Q U Y N H Ơ N WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
380
Embed
CÁC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHAN HUY KHẢI
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Mc dù rt nghiêm túc trong quá trình biên son b sách, nhng chc chn s
không tránh khi nhng khim khuyt. Chúng tôi rt mong nhn c các kin
óng góp cho b sách ca bn c xa gn b sách c hoàn thin hn trong ln in
sau. Th t liên h, góp xín gi v theo ìa ch?: Phan Huy Khi - Vin Toán
hc-18 Hoàng Quc Vit, Qun Cu Giy, Hà Ni. Chúng tôi xin chân thành cm
n.
Hà Mi, cui hè 2004
TÁC GI
Lài- g iê i ,thin
e h m y ê n s I PHNG T R 1 M H
M G H I M NOYÊN
Cun chuyên "Phng trình nghim nguyên" này l tp th 5 ca b sách Các
chuyên s hc b i dng hc sinh g i i Toán Trng hc.-Ngoài chng m u
(Chng 0) dành cho các kin thc c bn, cun sách gm các chng sau:
- Chng 1. Liên phn s.
- Chng 2. Phng trình v mh bc nht.
- Chng 3. Phng trình Pel
- Chng 4, Phng trình nghim nguyên trong lp cc a thc.
- Chng 5. Phng trình vô nh siêu vit.
Chúng tôi xin nói rõ hn v các Chng 3 và Chng 4.
Chng 3 dành xét v mtphng trình vô inh bc hai dng c bit: Phng trình
Pell. Trong chng này chúng iôi trình bày các tính cht c bn ca phng
trình Pell loi I : xz -d y 2 = 1, phng trình Peil loi II :x 2 - dy2
= -1. Sau ó áp dng chúng gii hàng lot các bài toán khác nhau v vic
tìm nghim nguyên ca nhiêu lp phng trình vô inh. Tip n chúng tôi kho
sát k iu kin tn t i nghim ca cc phng trình vô inh dng
X2 -2y2= n và x2-3 y 2= n .
Chng 4 chúng tôi xét nhiu phng pháp khác nhau gii các phng trình
nghim nguyn trong lóp các a ilìc. Các phng pháp c cp n trong chng
này bao gm:
- Phng pháp quy v các h bc nht
- Phng pháp ánh giá.
- Phng pháp la chn môulô.
- Phng pháp s dng các inh lí c ban cùa s hc.
- Phng pháp xây dng nghim.
- Phng pháp xung thang.
Phythagore và phng trình Fermat. Cui cùng chúng tôi cp n vic biu
din s nguyên ihành tong các ly tha.
Hi vng rng cun sách này s áp ng c mt s lng ln c gi t cc em hc sinh
Trung hc, n cc bn giáo viên ging Toàn trong nhà ng ph thông cng nh
các bn yêu thích S hc.
Trong quá trình biên son cun sách, chc chn s không tránh khi nhng
khim khuyt Chung tôi rt mong nhn c cc ý kin óng góp ca bn c xa gn
cun sách c hoàn thin hn trng ln n sau. Xin chân ìhành cm n.
Hà Ni, tháng 12/2004
Chng 0.
C C K I N T H e c & B N
1. TÍNH CHIA HT TRONG TP HP s NGUYÊN
nh ngh a 1. Vi hai s nguyên a và b, ta nói
rng a chia ht cho
b (hay a là bi ca b, hay b là c ca a ), nu
tn ti s nguyêri k sao
cho a = kb. Lúc y kí hiu là a : b.
Trong trng hp ngc li, a kí hiu 1& a b và nói rng a
không
chia ht cho b.
n h ngh a 2. Mt s nguyên dng p > 1. c gi
là s nguyên tô'
nu nó ch có hai c s là 1 và p.
Các tính ch t c bn ca tính chia ht
1) Nu a, b nguyên dng mà a : b, thì a >
b.
2) Nu <2,. : b vi mi ; = 1, n thì (a, + a2+ •• +
an) : b.
3) Vi hai s nguyên không âm bt kì a và b, trong ó b *
0, uôn luôn tn ti duy nht mt cp s nguyên q và r sao cho
a = bq + r, írong
ó 0 <>< b (tc là r nhn mt trong các giá
tri 0,1, 2, —,
2. C S CHNG LN NHT VÀ BI s CHNG NH NHT
Cho a, b là hai ‘S nguyên dng
nh ngh a 3. c s chung lón nht ca a và b
(và kí hiu là
USCLN {a, b), hay n gin là (a, b)) là sô' nguyên ng ln nht mà
c a
và b u chia ht cho nó.
n h ngh a 4. Bi s chung nh nht ca a và b
(và kí hiu là
BSCNN (a, b), hay n gin là [a, b \ ) là s nguyên dng nh nht
chia
ht c cho a ln b.
7
n h ngha 5. Cho n s nguyên dng at, a2, aH.
1) S nguyên dng d gi là USCLN ca ax, a2, a H nu
nh tho
mãn ng thi hai iu kin sau :
i) ax : d Ví = 1, n ;
ii) Nu d' là s nguyên dng mà O. :
d' Ví = 1,n, thìd : d '.
Khi
ó ta thng dùng kí hiu sau ây : d = ( ,, a2, . . . ,
an).
2) S nguyên dng b gi là BSCNN ca ax, a2, an nu
nhu tho
mãn ng thi hai iu kin sau :
i) b\ a. V; = 1, n ;
ii) Nu b' là s nguyên dng mà b : ã V/ =
1,n, thìb' : b. Khi
ó ta thng dùng kí hiu sau ây : b = [, a , , . . . ,
an ].
Các tính ck t c bn cà 'SCLN và BSC N N
) Cho a v b à các s nguyên dng. Khi ó ta có :
(, b) = (a, a + b).
2 ) (a ,b ) . [a ,b] = ab . :
3) Cho m là s nguyên dng, khi ó ta có :
[ma, mb) = m (a, b),
[m a mb] = m [a, b
. 4) Gi s (a, b ) : d, "thì
Í £ £ | 4 ( a , t ) . U d ì d
5) Hai s a, b c gi là'nguyên t cùng nhau nu (a, b ) =
i. Cho
a, b, c à 3 s nguyên dng sao cho ab : c. Nu (a,
c) = 1, thì b : c.
6) Hai sô' nguyên liên tip thì nguyên t cùng nhau.
7) Vi mi s nguyên dng a, b luôn tn ti các s nguyên X, y
sao
cho a x Jr b y = {a , b ) .
8) Cho , b là các s nguyên ng. Chúng nguyên t cùng nhau
khi
và ch khi tn t i các s ngu yên X và y
sao cho a x + b y = 1.
3. S NGUYÊN T
n h tí c bn ca sô 'hc (còn gi là nh lí c bn v s ngúyên
t). Cho n à s nguyên dng > 1. Khi ó n luôn c h biu
din c mt
'cách duy nht (hiu theo ngha không tính n vic sp xp th t các
nhân t) di dng sau :
K= p?'p“2•••/>?>
t rong ó k , à - ( == 1, k ) l à c á c s t n h iê n v á Pi
( i = 1, k ) là các sô nguyên
t tho mãn : < p [ < p 2 < ...< p k.
Lúc này dng phân tích trên c gi là dng khai trin chính tc ca s
nguyên dng n. ‘
n h lí Euclid. Tn ti vô hn s nguyên t.
n h K c bn v m i liên k gia tính ch iaht và s nguyê n t. Gi
s a, b là hai s nguyên dng còn p là sô' nguyên tô' sao cho
ab : p. Khi
ó t a p h i c ó h o c l à a : V, hoc à b \ p.
4. N G D
n h ngha 6. Cho hai s nguyên a và b. Ta nói
rng a ng d b
theo môulô m ( ây m là s nguyên dng) và kí hiêu a =
b (mod m)
khi và ch khi (a - b ) : m.
Các tính cht c bn ca ng d
1) Nu a = (m om ) và c = d (mom) thì a + c s b +
(m od m )
và a c s b d (modm).
2) Nu p à s nguyên t và ab = 0 (mod p ),
thì a = 0 (mod p ) hay
è s ( m o d p).
5. VÀI NH LÍ C BN CA s HC
n h lí F ermat. Nu p là s nguyên và alà mt s nguyên u ,
thì
9
Nói riêng, khi (a ,p ) = 1, thì ap~' =1
(mod/?).
n h l í Euler. Nu m là sô'nguyên dng và (a, m ) = 1,
thì
a<s>(m) (m0(j Wí) 5
ây o ( m ) là s các sô' nguyên dng nh hn m nguyên t cùng
nhau
vi m gi à Phi-hàm Elder).
n h lí Wilson, p là s nguyên ( khi và ch khi ( j3- l )
! +1 chia ht
cho p.
n h lí Ferm at - Euler. Nu p - A k + , thì tn ti các
sô' nguyên
dng a , b s a o ch o p = a 2 + b 2.
n h lí phn d Trung Hoa. Gi s r và s là các s nguyên
dng nguyên t cùng nhau, a và b là hai sô' nguyên tu ý.
Kh ó tn ti mt s
nguyên N sao cho . N = a (mod/-) và N = b
(modi'). Ngoài ra N c xác
nh m t c á c h d u y n h t ( h iu t h e o n gh a m ôu ô r s
).
6. H NH PHÂN
- Nu nh thông thng biu din mt s trong h thp phân, thì ta s dng 10
ch s : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lúc này mt s t nhiên
k
trong h thp phân có dng :
k = anan-i ••aia0’
ây , i = 0, n là mt trong 10 ch s 0,
1, . . . , 9 và an & 0, có ngha là :
k — n 10" + n_ 10" 1+— •+ 10
+ ciy
- gii các bài toán S hc trong ra s trng hp ngi ta phi
biu din mt s t nhiên trong mt h m khác (thí d h nh phân, h
tam phân, ...) .
Trong các h m ngoài h thp phân, h nh phân óng vai trò quan trng hn
c. H nh phân ch s dng hai ch s 0 và 1. M t s t nhiên k
trong h nh phân c vit di dng :
^ ~ anan-l ••!o| 2
(kí hiu 2 ch h m ùng à h nh phân), ây . , / = 0, 2 là m
t
trong hai ch s 0,1 và an * 0, có ngha là :
,10
k — 2” "f ,2" + •—" 2 4- .
Các phép tính cng và nhân trong h nh phân c cho bi bng sau :
Phép cn g : 0 1
0 0
7. HÀM PHN NGUYÊN
n h ngh a 7. Cho là sô' thc, ta gi phn nguyên ca
X (và kí hiu
là [x]) l à s n g u y ê n ln nht không vt quá X.
W d« :{3]= *3 ;[2,58] = 2;-[-Ó,12] = - l .
n h ngha 8. Cho X ià sô' thc, ta gi
phn l ca X (và kí hiu là
{Jf}) là s c nh ngha nhu sau :
{jr} = * - [ * ] .
n h ngha .. Cho X là s thc, ta gi ú
') ' là s nguyên gn X nht v khong cách. Trong
trng hp có hai s nguyên cùng gn X nht thì ta quy c chn s ln.
Ví d : (2,3) = 2 ; (5,7) = 6 tuy nhiên (2,5 = 3 ); (- 0 ,5 )
= 0.
Các tính cht c bn ca [xj, {x}, (x ) *
1) x] = a<z>x = a-t-d, trong ó a à sng uyên và
< d < \ .
2) [x 4- >>] = X, thì X là s nguyên và 0
< y < 1.
3) Nu n là s nguyên thì [n + jc] = n + [x] .
4) [x + ;y] > [* ] + [)>].
r w i *
n[x]<[nx).
7) Vi mi s t nhiên n và q { q * o), thì
n < n.
8) Vi mi s t nhiên n và q (q =£o ), thì
n \
L n _ = nx], n
dng.
s t nhiên chia11) Trong dãy n s t nhiên 1, 2 , . . n có
úng
ht cho s t nhiên < ^ 0 .
12) Nu sô' nguyên t p có mt trong phân tích ra tha s
nguyên t
ca s nì = ì.2 .3 .. .n , thì s m cao nht ca p
bng
n n n n
- p 1J + 3 _p .
-h • + y J ây k à s nguyên dng c xác nh t bt ng
thc kép sau :
p k < n< p k+l.
13) V i m i s thc X, ta có : .
ix ) X + — 2]
Ngoài, hàm phn nguyên, phn l ã nêu trên, trong S hc còn hay
dùng các hàm s thông dng sau ây (chú ý rng các hàm s này xác
nh
trên N và nhn giá tr cng trên N).
12
1. Hàm { n )
n h ngh a 16. Cho n là s nguyên dng, khi cr(« )
tng tt c
các c t nhiên ca n (k c 1 và n).
Vài t ính ch t ca in )
a) Hàm ( n ) là hàm nhân tính, tc là : Vi mi s t nhiên «J, n2
ta
có :
( p ) = i + p .
c) Gi s n là s nguyên dng và có khai trin chính tc
n = p ? p ? . .' .p? , tb ì
: ( n ) = É ^ = i , p r j z k . . . p r i i .
P i - 1 P 2 - 1 P k ~ 1
2. Phi - hàm Euer <>(n)
nh ngh a 11. Cho n là s nguyên ngi Ta nh ngha ®
(n ) là s các s không vt quá n và nguyên t cùng nhau vi
n.
Vài tính cht c bn ca o ( f z )
a) ® (« ) là hàm nhân tính.
b) nh lí Euler : Nu m là s nguyên dng và a là s nguyên
t cùng nhau vi m, thì
00"5=1 (mod m).
c) Gi s n là S nguyên dng và c khai trin chúih tc
n = p ? p Z 2 . . . p akk, thì
<!>(«) = n (l 1 ì - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1
í l - —l-T^-
! r * H
l P l) l P i )
d) Gi s n là s nguyên dng, thì
H = v< r> (d), d„
ây tng c ly theo mi c dng ca n.
13
3. Hàm s i n )
n h ngh a 12. Cho n à s nguyên dng. Kí hiu
s { n ) là tng các ch s n vit trong h thp phân.
.
V í d : s ( 3 2 ) - 2 + 3 = 5 ; «5,(l0 07) = l + 0 + 0 + 7 =
8.
Vài t ính ch t ca hàm s { n )
a) Vi mi n nguyên dng, t có 0 < s (n ) <
n.
b) s {rì) = n <=>1< n
< 9.
c) Vi mi m, n nguyên, dng thì
i) s { m + rì) < s i m ) + s in ),
ii) s { m n ) < s ( m ) . s ( n ) .
4. Hàm r ( n )
nh ngha 13. Cho n là s nguyên dng. Kí hiu r i n
) là s lng các c nguyên dng ca fii
Ví d : r( 8 ) = 4 vì 8 có 4 c nguyên dng là 1, 2, 4, 8.
Vài tính cht ca hà m ' T («)
a) Hàm r(«) là hàm nhân tính.
. b). Nu p là s nguyên t, thì t ( p
) = 2.
c) Nu s nguyên dng n có khai írin chính tc n = . . .
,
thì
5. Các hà m s hc khác
®Cho n à s nguyên dng. Gi g (n ) à tng các ch s
biu din
trong h nh phân ca n.
Ví d : g (l3 ) = 3 vì 13 = õ 2 .
®Cho n là s nguyên dng-; Ta gi f ( n ) à s
nguyên không âm ln
nht sao cho n chia ht cho 2k.
14
Ví d : / (3 2 ) = 5 vì 3 2 25 và 32 / 2J vi
j > 6, j € z.
Vi các hàm / (f t) và g (n ), ta có các tính cht sau
:
) f ( n ) là hàm nhân tính,
b) Vi mi s nguyên dng n, ta có h thc :
f { n ì ) = n - g ( n ) .
• Gi s n là sô' nguyên dng. i dng nh phân, g i s n có
dng
n = b b2.. . bk 2. Kihi xét hàm s h (n )
c xác nh nh sau :
h{ n) = bkbk_ì .. .b ,\ 2.
Ví d :Vì 12 = TÕÕ 2 => ft(l2> = .ÕÕ| 2= 3.
Vi hàm h(n) ta có các tính cht sau :
a) / ( l ) = 1; h(3) = 3.
b) V i mi n nguyên dng, thì
/ ( 2 n ) - h ( n ) ;
h ( 4« + l) = 2A(2n + l)- /z ( « );
h (4n + 3) = 3/z(2 n + 1) - 2/ (fi).
2. TÍN H CHT. .
®Tính, ch t 1. Mi sô' hu t u có th biu din di dng mt
liên
phân s hu hn.
Chng minh. Gi s X là s hu t, khi ó theo nh ngha cùa s hu t thì
X có th biu din c di dng :
_ a
b ’
t = a, \ = b. Theo thut chia Euclid, ta có :
>b=Wi+r2’ 0 < >2 < »
'i = r2q2 +r3, < r !
;h-2 ~ rn-\Cln-\ + r/i» ^ <' rn <' ì'n-\
>
r«-\ = !V ,f
T ó, ta CÓ:
Tht vy, theo cách t trên, thì :
a _ >h _ Vh + r2 = + ! ì.
Ta có :
rn- 1 __ r«-1 1 .— J /'«-2 Cln-\rn-\ + rn n 4- laH„-\ T
V l
Trong chng này ta xét cc tính cht c bn ca liên phân s, mt công c
kHá c lc trong vic gii phng trình nghim nguyên.
1. INH NG HA LIÊN PHÂ N S . '
a) nh ngha liên phâì s hujin .
Cho Oo là s nguyên, còn j, , , an à các s nguyên dng.
Khi
ó ai lng [<20 ; <2 j , «2, . . . , an ] c kí hiu nh
sau :
[a{ ) ' ,a v a2, . . . , a \ = a{) +
a\ •+---------------------j" <2-7H----------------
a„- ---- „
s goi là mt liên phân sh ai hn có dài n.
b) n h ngh a iên Rhân s vô hn.
Cho Oq , av 02,... là dãy vô hn các s nguyên vi d
> 0, i > 1. Vi
mi k, t Ck = [a ; <3j, a2, ak\. Khi ó
tn ti gii hn
lim C, = a. k->+oo
(S tn ti gii hn này s c nói rõ trong Tính cht 7 di ây).
Lúc này ta gi a là giá tr ca liên phân s vô hn [<3() ; |,
íí2, ... ], và
kí hiu a ==\a ; , a2, ...].
CHUYÊN-. NSHIM NGUYN — 02A 17
í _ rn _ 1
rn-\ 7'A cln
Thay các giá tr t nh c (£ = 2, 3 , n), vào () , tà'thu c :
n.k-l
a (2)
<7„
The nh igh lin phn ' h hn (chú ý rng -4 , € z , còn
qt > 0 V = 2, H), v phi ca (2) bng [íT/ ;q2,q 3, . .
. , qn ]. ó à iu phi
chng minh (pcm).
Xét các thí d sau v biu d in s hu t thành liên phâri s.
, 32 Thí d . Hãy biu diên s — thành liên phn s.
Ta có :
3 = 3.1.
32 Vy — = [4 ; 1, i, 3], ây [4 ; 1,1, 3] là iiên phân s
có dài 3, tc
là : 32
1 + 3
7Th í d 2 . Hãy biu din s 7— thành liên phân s.
Ta c ó : 7 = 0.11 + 7;
1 1 = 1 .7 + 4 ;
19
3 = 3.1. (*)
Khi ó : — = [o ; 1,1,1, 3] à liên phân s có ô dài 4. 11
ý rng ta có th vit li (*) di dng :
3 = 2.1 + 1;
1 = 1.1 .
Khi ó — = [o ; 1,1, l, 2,1] là liên phân sô'‘có dài 5.
T Thí d 2 ta rút ra nhn xét sau : Biù din mt s hu t di dng l iên
phân s không có t ính duy nh t !
nh ng ha g in ph ân . Cho liên phân s hu hn [a0 ; <2,, a2,
có dài n. Vi mi k < n , liên phân s
Ck —[o, <2p 2, a k\ vi dài
k, c gi là gin phân th k ca liên phân sô' ã
cho.
° Tìh cht 2 {công thc tính gin phân). Cho liên phân s h
hn
[a ; a{, a2, ,,].Gi s hai dãy s nguyên dng
p0, p,, p 2, p „ và
q0, q v q0, q „ c xác nh nh sau :
P() = a0 ’ ?0 = ^ »
p l = a 0a l + 1 ; < 7 i = a r .
p2 — (32/?i + Po ch = 2?l 9o
>
f t = + Pk-2 ; í i = + ?*-2 •
Khi ó gin phân th. £ , Q. = [tf0 ; p t ] c cho bi công
thc :
(1)
Chng mình. Ta chng minh bng quy np nh sau :
20
- VI k = 0, ta có c 0 = [0] = a0 = p 0 ~ ^ - = 1
%
- VI k = 1, ta có c, — a0 ; , ] —ÍZ0 + —- = =
E l _ «1 <7i
Vây (1) ã úng khi k = 0, k — 1.
- Gi s (1) ã úng cho mi 0 < k < n . Khi ó vi mi 2 <
k < n , ta có
c , . 3 , } = ^ = a‘P‘- ‘ + P‘- K
- Xét vi k + i . Ta có :
Ct+l = [0 ’ av ai ’ •••> ^A'+l] = 0 +
(2)
. 1
*+I {ak^k-\ + <k - 2 ) 1
_ aA-+l/?- + Pk-l _ P/ . -+I
ak+\Clk Qk+l
Nhn xét. T Thí d 1, ta có :
32 •= [4 ; 1,1, 3],
p - a = 4 ;
/?1 —na [ + 1 = 5 ; .
p~ — a^p2 + Pj = 32 ; G3 = a- cj + c/j =
7.
T ó suy ra các gin phân là :
C = ^ = - = 4 : c = £ • = - = 5 :u 0 — — —*t » ^ ) <7(1 ì
ch 1
& = & = ’ ; c , = = 2 . q2 2 ' Cj3 1
®Tính ch t 3. ì/ / OT' £ = 1, 2 .. . . , n , thì pkC[k_{—p k_xqk =
{ — i)i+1.
Chng minh, Ta s s dng quy np chg minh.
- Vi /t = , t h ì :
ýV/o - A)<7i = (auai + 1 )1 - «oai = 1 = ( - l),+l •
Vây iu khng nh úng khi k — .
- Gi s iu khng nh ã úng n k, tc à :
p kqk_ , - p k_xqk = { - +x.
- Xét VÓ k + i, ta có :
Pk+l4k - p^ík+l = iaM Pk + Pk-\)<k -
Pk («*+!?* +?*- )
= ak+\PkCh + Pk-\ch ~ ak+\Pkck ~ P kClk-\
= -{P k< k-l-P k-lCh )-
Vy iu khng nh cne úng vi k + .
Theo nguyên í quy np suy ra iu khng nh úng vi mi k £ N*,
tc à :
M i - I - P i - i t = ( - l)*+l •
N hn xé t. Tính cht 3 cho ta mi iên h quan trng gia các
pk và qk (chú
ý t p, và qk cho ta công hc ca gin phân th
k : Ck = — ). %:
22
9 Tín h ch t 4. Gi s {Q.} à dãy gin phân ca liên phân s
hu
han d dài n : [<20 ; ax, «2, . . . , an . Khi ó
ta có mi liên h sau :
( - l ý - 1 Ck — C k_) = — —— , vi I < k <
n ;
?*<?*-1
Ck —C 2 =-^-1—— , vi 2 < k < n . ch
clk-
Chng minh.
1) Ta có :
r _ r _ P k Pk-i ' P A -x -P k - ã k
Qk <?*-!
c —C (-1) ,k+l
k- 1
2) T ó : clkcik (.•-1
r r - P k P k~ 2 ,P k(k-2-Pk -2Clk ^ - it—2 — 1
— 7 *
ck Qk- C/ - 2
Áp dng công thc pk = akpk_\ + p k_2 ;
qk = +'<7A._2, ta có :
r< . r* - (akPk-l + Pk-ÌQk- ~ { akclk-\ Jr% -l)P k-2 W-
k—2 — ' : ~ : "
ak{ P k -t fk -2 - Pk-2<k-1)
<Ma-2
Lai theo Tính cht 3, th ì :
_ . 7 i\U*—l)-H /, ; P k ^ k - 2 - P t - i i i -
l = ; (- !) = ( - l ) .
Thay l vào (*), ta i n :
(*)
Ó là pcm. ?*?*-
51 T ính cht 5. Vi các gin phân Ck ca liên phân sô' hu
hn
[{) |, a2, . . an I ta c các dãy bt ng thc sau :
j) c, >c3>c5>... 2) C(, < C 2 < C 4 <
.......
3) Mi gin ohân l C 2 j_J u n hn mi gin phân chn
C2i.
1) Vi mi j — 1 ,2 ,... và theo Tính cht 4, ta có
:
/ - \2;'+l ; , t v ~ " i / . 'I I
c —r — 21— ..... ... — — -
-±±l __ < 0 ch j+\ ch j- 1 C2 j+1•ch j - 1
(do an j , q2j ., và q-,j _J là các s nguyên dng vi
m i j = 1 , 2 , ...).
T ó, vi mi j = 1, 2,-..., ta có :
Q;+1 < C0;-_| hay c, > C, > c 5 > . ..
2) Tu'o'n.g t, ta có :
c0<c2<c4<... 3) Vn theo Tính cht 4, ta có :
•(-1)2>~- _ ______ _
Cll jCh j-\
(iu này suy t g2y. và q2j_ là các s nguyên dng vi mi ý
= 1, 2 ,.. .) .
T ó suv ra :
Áp dng phn 1), ta .có :
c2 j_ >^ j-ì+i- , . p dng (**), thì
:
c c°2;-l+2i t-y2j+2i-
Áp dng phn 2) , th ì :
c.u 2/+2i 2/.'
/ -1 > Qi-
ó ehính à pcm.
••• Tính cht 6. Vi- m i /c —0 , 1 , ri, thì p k>qk) = (tc
là p k và
qk nguyên t cùng nhau),
Chng minh. Theo Tính cht 3, thì
. P t f k - i - P k - / h = ( - l i k+l .
G thit phn chng {pt ,q k) — d, vi d > 1. T p k
- d và qk \d,
nên theo (1) suy ra :
í \d . (2)
)ó là iu vô lí vì d > 1. Vy phi có {pk, qk)
— 1, suy ra pcm.
Các Tính cht 1 - 6 làdà nh cho các liên phân sô' hu hn.
Di ây ta s xét tip các tính cht ca liên phân s vô hn.
®Tính cht 7. Cho a0, av a-y, . .. là dãy vô hn các s nguyên,
trong
ó d > 0 vi m i / > 1. t c k —[a0
; <2, ó , , ak\. Khi ó tn ti gii hn
lim C,. k-~+\
C > C3 > C5 > .. . > C2„_I > C2n+\
> ...
c< c 2<c4<-..<Cj„_2<c2n<... Mt khác, vn theo Tính
cht 5, th ì :
C2j_ > c v vi mi i, j.
Vì l y dã {c2;t+1}, k = 0, 1,... là dãy gim b chn di bi
C0,
còn dãy { c 2k}, k — 0, 1, 2 ,. .. là dãy tng b chn trên bi
C.
Tho lí thuyt- v gii hn c dãy s, thì tn t i :
lim c 2t+ ì= a , ; lim C2k+2= a 2. t —* 4 - ^ k —>• - r
'X
Theo Tính cht 4, ta có :
25
Hlk+mk Chk+lC12k
qk > k. (2)
Tht vy, (2) c chng minh bng quy np nh sau :
- Vi k = 0, thì q0 = 1=» qt) > 0.
- Vi k = l, thì qx— , > 1 (do a nguyn
dng).
Vy (2) ã úng khi k = p, k = 1.
- Gi s (2) ã úng n k, tc qk > k . ’
- Xét vi k + ì, ta có :
? w = a W í+ ? i -1-
Theo gi thit quy np thì Cjk > k ; > k
— , còn ak > 1. T ó
qk+] > k + k — ì — 2 k - 1 > k + l
(dnhiên).
Vy (2) cng úrig vi k + 1. T ó vi mi k = 0,1, 2 ,
thì
qk > .
. 1 1 2 Vì l ó 0 < ----- ----- ----- —r— , mà
lim -------—T— = 0, nên
chk + Qik & k + 2 ) 2k k ->+ou
(2k + 2)2£
theo nguyên lí quy n p su y ra im ----- ----- = 0. iu ó có
ngha à k~'+™q2ìc+cl k
lim (C2Jt+1- C „ ) = 0, h ay; k —k-400
ai = Um c2t+1 = l m c2k = a2.(3) k —*+ Cví ' + co
ng thc (3) chng t rng tn íi gii hn a = lim Ck
(pcm). k —>+ou
N hn xé t. T Tính cht 7 suy ra rng ng vi dãy a, av a2,
. .. thì tn ti
lim [0 ; ã , a2,..., ak ] = lim Ck =a , ó chính là
lí do vì sao ta li chn k —‘ •+00 k—*+ÍXJ
a làm nh ngh a cho l iê n ph ân s vô hn [0 ; <3, a
2, a k, . . .] , và v ì sao
nh ngha nh th li hp lí !
26
®Tính cht 8.. Cho a0, ai t a2, :.. là các s nguyên, trong ó ;
> 0
vi mi i — 1,2 ,. .. Xét liên phân sô 'vô hn a =
[a0 «2 , K h i ã ó á l '
s vô t.
Chngnùhìu Gi s trái li or là s hu,, tc là
a = —, vi a, b £ z, 5* 0. . . 6
Theo Tính cht 6, thì vi mi «, ta có :
1 < a < C2,+1 0 < Q- C2„ < C2„+1 c 2„
—
Ch.n+\-Chn
Qln+l
.y a ——, t i n :
1 0 < 7 1’CÍ2><- Pin < ~ ~ 0 < aC2n - b
P„ < -I ‘AH X i / i *iUli * Z/J
#2/1+1 ?2;i+l
Do tính nguyên ca a q „ - b p Vt, nên ta có :
l< a q 2n- b p 2n< - ^ — . (1) chn+l
Chú ý rng (1) úng vi mi n e N*, mt khác, ta có qt >
k (xem các
bài trèn). Do vy t ( ) suy*ra iu mâu thun vì
im —- — = 0, ',- , + ,’OÍ/2„+l
l im —-—>1. "~+noí2i,+i
Mâu thun này chng t gi thit a là s hu t là sai. Vy a
là s vô t ó là pcm.
27
®Tính cht 9. M i sô' vô t a u biu din c mt cách duy
nht di dng m t liên phân s vô hn.
Chng m inh.
1) Gi s a = OiQ là sô' vô t. Ta xây dng dãy Oq , ax,a 2 í
... mt cách
truy hi nh sau :
CKn
« , = [ » , ] ; q 2 = ——
a.
a 2 —•
ak ~ [a k ] > a k+\ — • a k ~ a t
Trc ht, do a () là s vô t, nên a0 ^ a , do ó a { tn ti.
Ta chng
minh rng a ; là s vô t vi mi k = 0, 1, 2 ,. .. iu này c
chng minh
bng quy np nh sau :
- Vi k — 0, thì rõ ràng a là s vô t.
- Gi s a k à s vô t (k > o), khi ó
ak = [otjt] là s nguyên, vì th
a k 5* ak và a k — ak là s vô
t, nên a k+ì = ---- tn ti và là sô' vô t. a k ~ a k
rheo nguyên lí quy np, suy ra a k là s vô tvi mi k = 0
, , 2 , ...
Mt dhác, da vào tính cht phn nguyên, t ak — [ak ] suy ra
ak < ak.
Nhng do ak 5* a k nên ak
< Ctt .
Vn theo nh ngha phn nguyên, ta có :
.k < ak + 1 =4- at —ak < 1.
Vy, ta có 0 < a k —ak < 1, vì th a t+I = — > 1. Do ó
: a k ~ ak
Nói tóm li, ta ã chng minh c a0, ax, , ak, ... u là.các
s
nguyên, trong ó d > 0 vi mi i = 1 ,2 , .. .
28
a - = H **2' a i+iJ*
-V i k = , thì [a0, Qíj ] = <2 + — = a + ( a'o
_ o ) ~ a o ~ a - t t
r 1 ] 1 - Vi k = 1, thì <20 ; a., a2 =
u H-------- — —a0 H--------- ~~ — —
a -_ L a\ + (Í11~ a\ ) OLn
= a-\-----= a0 + (a0 - a 0) —a = a .
. '
- Xét vi k + 1, ta có :
[a0 ; , a2, <3t+1, ttA.+2] = % H " " ; [ _|-------
:--------------
2 ----- h + a ,k+2
ý rng ak+ì + —!— = flt+l +(.at+j ~a *+1) = < w Vì th :
Oi.*+2
|<2q ; , a2, k+l, O.k+7 — a0 + 1
a, H-------------- 1
\a >aì ' ^2 ’ •• • > ’ i'rl-1 j ^
•
Vy ta ã chng minh c vi mi k, thì
a = a0 ; a{, a2, , ak, a k+ jj.
T ó theo tính cht ca gin phân, ta có :
Pit+Í = a k+iPk Pk-\a - C k = ± r-E í-, 5 ây <7ifc+I
-k Qk-t-l ~ a k+\ck + <k-\-
29
- (/ y / t- 1 - f t - i ? t ) ( -l) * ~ 2
i'U -:? , - V; . .’i<7. K-.|<7<S+<?*-! )<7i ’
v> 'V A +<?*-! >«*♦!?* +c/í_ì = nên suy ra :
\a — c , .\ < — -— .
D thy lim — — = 0. nên ta có <>•=. iim;
c,. Nói cách khác. (V k- ^ ci k ck - i
biu din c di dng liên phân s vô hn.
Gi s ta có hai biu din
nr = [(, ; at, a2, ...] = [/?(! ; /?,. b2, ...].
Theo nh ngha RÌn phân, ta có
0,
Ngoài ra. nh ã bit mi gin, phân i n hn mi gin phân chn, nên
ta có :
au < n < a0 + -
Í(VJ — ú y
Mt khác : a = iQ ; , a->, . .. ]= lim [0 ; Cí, a
,,
1 = lim
Tng t ta cng có :
a = b0 + lim J — — ----- —7, (2)
^ ^ [ b v b2, . . . , b k]
ngoài ra : [a] = b. (**)
T (*) và (**), cng nh t (1), (2) ta i n a0 — bQ và
lim — ----------- — = lim f — — --— — T,
k-*+™[ax,a 2, . . . , a k\ +™[,, è2, bk\
hay
lim ; k , a2,-..., j = / l im [p b2, b k}.'
Lp lun tng t nh trên (chính xác là bng quy np), suy ra
ak = ,= *+l = bk+i.
Vy hai b iu din trên là trùng nhau (pcm).
Nhn xét.
1) T Tính cht 9, cho phép ta biu din cn s di dng liên phân s vô
hn.
Xét ií d sau ây : Hãy biu din V5 thành liên ph ân s vô hn,
Theo cách ã làm trong chng minh Tính cht 9, ta có :
a. = /5 + 2] —4. ;a 2 = ——-—= —=-----= Vs + 2 ==Qí. a, —
a, V5 —2
cu = [V5 + 2] = 4 ; ct, = — ——- = -p r——= /5 +
2,—ct, —«!• a 2 - a 2 V 5 - 2
Vy Q= 2 ; 4 —<3j = 2 —a3 = ••• Do ó V? — 2 ; 4, 4,
4,...].
- Xét thêm thí d : Biu din V thành lin phân s vô hn.
Ta có :
% = '^ 6 ' í % = [ % ] = 1^6 ] = 2 ; i = — — = • QÍ0 'VO — í
.
31
a, <3j
&s O')
/ +2 : a,
Vy Q3 = a p do ó 2 = iZj = = a 5 = •• ; 4 =Vy a 3 = a 1, do
ó 2 — ax
Do ó V = 2 ; 2, 4, 2, 4, 2, 4,...].
— Cl A — c —
J\2>cho :
2) Cng t Tính cht 9 cho ta mt tính cht sau ây ca s vô t :
Cho a là s vô t. Khi ó tn ti vô s cp sô' nguyên dng (h,
m) Un
h „ 1a < 2. m m
Chng minh. Trong quá trinh chng minh Tính cht 9, ta ã thu c
bt ng thc sau ây vi;mi k :
'a —c J = or —— !< ----- — .
Í -I ?*+!
Chú ý rng theo cách xác nh thì t+I = ak qk + q k_ì > C[k.
Vì
\ a - C k\ = \ a - ^ - clk
1
lr Chn h — p k \ m = qk, suy ra pcm.
nh ngha liên phân s vô hn tun hoàn. Liên phân s vô hn
a ; j, á2, ...] c gi là ?zí2 hoàn, nu dã}' { a ,J là
tun hoàn k t mt
ch s nào ó, tc là tn ti các s nguyên m và k sao
cho vi mi n > m ,
ta có an = aìl+k. S nguyên dni> k khi y gi là
chu kì.
Lúc này ta vit liên phân s vô hn di dng :
a0 ; d, a2, —a() ; ,, a2, ãm_Cimam+l, flW)+i+.
Trc khi a ra íiêo chuu mt s vô t có biu din liên phân s vô hn
tun hoàn, .ta cn b sun;’, m t s tính cht sau ây ca sô' v i bc
hai.
32
nh ng h s vô tí bc hai. S vô t a uc gi 1&sô' vô t bc
hai, nu nó là nghim cá mt tam thc bc hai vi h s nguyên.
Th í d. S vô t 1 + V2 là s vô t bc hai, vì nó à nghim
ca tam
thc bc hai vi h s nguyên sau : X2 - 2x -1 .
D i ây s trìii bày m t vài tính cht c bn ca sô' vô t. bc hai.
Mnh 1. S thc a là s vô t bc hai khi và ch khi tn ti các s
nguyên , b, c vi b > 0, và không chính phng, c ^
0 sao cho :
a-\-4b a = ———
c Chng minh.
Gi s vi b > 0 không phi là s chính phng, C ^Q c
và a, b, c nguyên. Trc ht do b không phi là s chính
phng, nên a là
s v t. Bây gi ta s chng minh rng a l nghim ca phng trình
bc
hai A x 2 + B x + C — 0, trong A
,B ,C là các s nguyên.
Gi s a l s vô t bc hai, khi ó theo nh ngha tn ti các s
nguyên A, B, c sao cho
- B ± ^ I b 2 - 4 A C a =
------------------------
2A
(do a là nghim ca phng trình bc hai A x2 + B x + C —
0, vi A, B, c
nguyên).
t a — — B ; b — B2 —4AC. Rõ ràng b > 0 và do
-a là s vô tí nên
b — B 2 —4A C không phi là s chính phng ;C — 2 A ;
hoc a = B,
b = B 2 — 4AC , còn c = —2 A. Lúc órõ ràng a
có dng :
a + yfb Ot =
c
trong ó a, b, c tho mãn yêu eu bài. Mnh 1 c chng minh.
M nh 2. Nu a là's vô t bc hai, thì vi mi s nguyên r, s, t,
^ r a + . , , ^ t
sô —1 cng là s vô tí bc hai. ra + u
CHUYÊN ...NGHIM NGUYÊN — 03A 33
Chng mink. Do O! là s vô 't bc hai, nên theo Mnh 1
a + 4 h — ,
c
trong ó a, b, c € z ; c 5É 0, b > 0 không
phi íà s chính phng.
Ta có :
tcc + u a + ~J ta + cu + t S
---- — ---- 'rU
- ((rfl + cs) + r^ ) { ( ta + cu) + b )
{ta + cu)2 — bi1
\ r a + c s ) { t a Jt-cu ) —n b + { r ( t a + c u ) — t ( r + c s
) } 'J b _ _ - - .
{ta + cu) — bt
T a, b, c, r, t, s, u nguyên và theo (1), kt hp vi Mnh 1 suy
ra
a à s vô t bc hai. ó à.pcm.
®Tính chí 10. S vô t a có biu din liên phân s tun hoàn khi và
ch khi nó à s vô t bc hai.
Chng minh.
1) Gi s s vô t a có biu din liên phân s tun hoàn, tc là a
c dng :
01 ~ [ 0 > l ’ a 2 ’ • • ’ a m - \ » a m ’ a m
+ i » • • > a m + k ] •
t p = [am, am+1, a m+k\. Khi.ó p = [am, am+], a m
t , 0 \. T
ó áp dng các tính cht iên phân s hu hn, ta có :
e = ± £ ^ , (1)
#?<fc + 4k-i
b ó — và ^= - là hai gin phân cui cùng ca \a , a +l, a
m,k\. <?k 9k-i
T (1) suy ra:
34 CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 03B
T ó theo nh ngha thì j3- là s vô t bc hai.
Ta li có a = [0 ; av a2, P], do :
a 0p„-i + p m-2
' .%m-! + qm-2
Do 3 là s vô t bc hais nên t ng thc trên và t Mnh 2,
suy ra
a cng là s vô t bc hai.
Vy i kin c chng minh.
2) Bây gi ta chng minh phn ngc li : Nu là s vô t bc
hai thì nó C Ó th biu din c di dng liên phân s tun hoàn.
Trc ht có nhn xét sau ây :
Nhn xét. Nu a là s vô t be hai thì nó có th
biu din di dng
_ p + '4 d ' a — — —— ,
Q
trong ó p , Q, d là các s nguyên sao cho (d —P
2)\ Q.
Tht vy, vì ã. l s vô t bc hai, nên theo Mnh 1, ta c ó :
a + s[b a — .. — ,
e
trong ó b > 0 là s không chính phng ; a, b, c nguyên,
c ^ 0. T ó :
t p = a\c \ ; d — be2 ; Q = c\c\. Khi y d — P2 =
bc2 —a2c2 — c2 (b —
nên ( — P2) ':Q. Nhn xét là úng !
Gi s a = a là s vô t bc hai. Ta xây dng dãy (0, £Zj,
á2,...) nh
sau : Theo nhn xt trên, ta có các s nguyên P0, Q và
d sao cho
'.và ( d - P t ) :.Qo. Qo
t a0 =[o;]> ây [a0j là phn nguyên ca s a0.
35
t : P — qQq —Pq, thì i3! € z ;
Qx = ^ ~ , thì Q, e Z (-do Q{ = ^ - + [2a0P - a lQ ) ) ; /9«
L/nb Oo
sau ó t <2 j = [j 1 ,
Mt cách truy toán, nu có p* e z, <2e z , .trong ó (e — P -Q
k ;
Pk + V -----r 1 . Or — — - — , ri t ak
— [at ] ; thì s t :
Qk
Q - d ~ P y-k+1 Qk
__pk - ' ^í+l ^ ’ ak+1 l^i+ljK-M '
K-t-i L K-t-1 J
Qk+1
Do Pk, Qk nguyên suy ra Pí+1 eZ. Do (d — P
l ): *, và
ô*+, = ^ - + { 2 ^ - « & * ) ’ tí*
,2
_ _ -^± L = a = » (d _ p 2 +I) : t+1. y*+l
Ta có th chng minh c rng a = [fl0 ; j, a2,...], và dãy {an}
xác
nh nh trên à dãy tun hoàn. ó à pcm.
Mnh 3. S vô t OL = —— c gi là liên hp vi s vô t c
a + 4> a = — —— .
c
Nu s vô t bc hai a là nghim ca phng trình A x2 +
Bx + c = 0,
vi A, B, c nguyên (A o) thì liên hp ca nó a
' cng là nghim ca
phng trình này.
Tht vy, ta có : a + o i ' = — ; a a ' — — . 7 - .
Mt khác, do sô' vô t c C
bc hai a = ?— ..- à nghim ca phng trình bc hai A
x2 + Bx + c = 0, £•
nên theo Mnh 1, thì a — B, b = B2 — 4 AC, c =
—2 A. T ó,ta có
0!+ ^ = —— v a c t ' — —. Theo nh lí Viète, a và
Oi à nghim ca A A .
phng trình A r2 + fix -r c = 0 (pcm).
M nh 4. Gi s a và 3 íà các s vô t bc hai, còn a ', 0
1tng
ng là các liên hp ca a và /3. Khi ó ta có :
(í±/?) — OL^c' ;
(a/? — a '0 ' ;
1/5 J
(Chng minh trc tip suy t nh ngha v S vô tj liên
hp).
®Tín h c há i 11. S vô t bc hai a có biu din tun hoàn ngay t
u
khi và ch khi a > và —1 < a ' <0, ây a 1 l liên hp
ca a.
(Ta tha nhn và không chng minh tính cht này !).
Bây gi ta s xác nh biú din liên phân s vô hn ca s yfd.
t a — 4 d + \ 4 d \ . Khi ó ta có a ' — [4 d\ — s[d.
Do không phi
là s chính phng, nên theo nh ngha phn nguyên ta c ó — \ < a '
<0 , còn
hin nhiên a > 1. Theo Tính cht 11, thì 4 d có
biu din tn hoàn ngay t u. T có :
a0 = [V + [V?]] = l[4d } = 2a, vi a = \-4d\
;
'Jd+ a= - y fd +{-Jd} = 2a ; at, a2, ,,]
— ì CI , 2 • •*>&I í t t
&2 5• •í ^íì ] *
T ó i n :
•37
Nu phân tích cn thn hn, ía còn có th chng minh c :
a-x = a,„
ngha à dãy có tính i xng. Vì th -d có dng.
•Jd'=[a ; av a2, d, 2a ,
trong ó a = \ 4 \ .
Ta hãy xét m t s thí d minh ho cho lí. thuyt.
) Thí d minh ho cách tìm s vô t bc hai t biu din liên phân s tun
hoàn ca nó.
Tìm X bit X — 3
; 1, 2 ].
t. y = [1, 2 ], thì X = [3, y \ .
o y — [1, 2 ] nên suy ra :
; y =£2v2 + y = 3y +1 =$2 y2 — 2y
— 1 = 0
1 + V3
= i o y > 0 ) -
T V * ,* - 0 , 1 o , 2 5 + 3-Js (5 + 3 ^ ) ( V s - l ) T ó
X = 3, V = 3 + —= 3 + —p=----= —5=-— =
--------------------- ;—
J y V 3 + 1 V 3 + 1 2
4 + 2V3,
2) Thí d v vc tim liên phân s tun hoàn ca s vô t bc hai
6 + V28 a :
6 —V28 _ - a d ~~ ^ ' a0 ~ ~ 2-
T dng ca a, ta có P —6 ,d = 28, () —4, ây c —
P q .= —8, và
thy ngay (í/ —P02) ': Qj. Do ó ta có :
P ,= 2 .4 - 6 = 2 ; 2 , = ^ = 6 : < v = ± ^ I ; I,1= h H ', 4
0
P2 = 1.6 —2 = 4 ; 2 = — - ^ - = 2 ; , ; (2, —[<a2] =
4 . 6 " 2
_ , _ 28 —42 4 + y28 [ 1. P3 = 4 . 2 — 4
—4 ; Q — - —6 ; «3 — ; a 3
—[a3J — 1.
n ^ 28 —22 _ 2 + V28. _ r p4 = 1 .6 - 4 = 2 ; Ó, = - ^
- — = 4 ; a 4 ; a4 = a 4]= 1.
Ò 4
p5 = 1 . 4 - 2 = 2 ; e 5 = ^ = 6 ; „ 5 ^ = « 5] = l.
Ta thy / » = / » ; j2j = Ô5 do ó fl —<%, và dãy là tun hoàn chu
kì 4.
Vì th ta có :
4
3) Hãy biu din liên phân s Vô hn ca các V , vi d = 23, 29,
31, ,
46.
Xét y[d. = j2 3 . ây P0 = 0 ; Ôo = ; ^ = 23 ;
0=-J23;
a0 —[0j —V2 3 ] —4. T ac ó :
/> ,= 4 ; , = ^ ^ = 7 ;
d — p 2 7 Q _ Q
P y--^/d 3 + V 23 ' r 1 „ a 2 = 2, _ =
' - =»02 =[Qi2j = 3.
d — P 2 23 —9 P3 = a2Q2 - P 2 = 3 .2 - 3 = 3 ;
(23 = — = 1 ;
P -.~ 4 d 3 - V 2 3 « 3 - - g 3 - 7 ^ ° 3 -
P4 = a33- / ,3 = l ,7 - 3 = 4 ; 04
p . + 4 d _ 4 . + r
a * ~ 4 1 ^
Pj = a i a - P 4 = 8 .1- 4 = 4 ; e s = ^ = = 7.
Ta thy Pl = P s ',Ql — Q5 do ó j = a 5. T ó :
V23 = 4 ; 1, 3, 8].
Bng phép toán tng t, ta có :
7 2 9 = [5 ; 2 , 1 , 1 , 2 , 10].
V31 5 ; 7T7 3, 5, 3,1, 1, 10] .
V46 = [ó ; 1, 2,1, , 2, 6, 2, 1, 2, 1 2].
2 2
Ô4 1
Chng 2.
P H U T O i ® T H N H V B N H
B C $ Ì t f ^
BÀ I 1. Xét phng trình vô nh bc nht hi n s X, y
sau :
ax + by = c, ây a, b, c là cc s nguyên. Chng minh
rng
phng trình trên có ít nh t mt nghim nguyên khi và ch
khi
c : (a, b ) (tc là SCLN ca a, b là c s ca c ).
L ig i
1) Gi s phng trình ax + by = c có ít nht mt nghiêm
nguyên, tc
là tn ti cp s nguyên (x0, y0) sao cho :
ax0 + by0 = c. (1)
Gi s (a ,b ) = d , tc là a = dav b = dbx, ây
1 và b là các s
nguyên. T ó theo (1), thì daxx -1-dbxy0 = c,
hay
d (a ix + bly0) = c. (2)
Do Xg + by € z, nên t (2) suy ra c :
d, hay c : (a, b).
2) o li,gi s c : (a, b). K í hiu d*=a, b).
Rõ ràng tn ti
av £ z , b € 2 , saò cho :
a a ^ + b ^ — d . (3)
Vi c : d, nên c — C, vi Cj € z T (3) ta có
:
—C-Cbb^ = —c,á=» a[— C1) + è (— clb) + d
cl = 0
=>a (- c lal) + b (- c ìb) + c = 0. (4)
41
ng thc (4) chng t rng cp s nguyên (—Cp —Cb) là
nghim'
ca phng trình ax + hy + c = 0. ó là pcra.
N hn xét.
) Bài toán nói trên cho ta iu kin phng trình vô nh bc nht
ax -I- by 4-c = 0 có nghim nguyên.
2) Ta có mt h qu Quan trng sau :
Xét phng trình ax + by + c = 0, ây a, b, c là các s
nguyên. Nu
(a, b) = i, thì phng trình có nghim nguyên (iu này trc tip suy
ra t
Bài 1 vì c : 1 => c : (<2, b ) ) .
H qu này quan trng ch : Ta bit rng t Bài 1 suy ra, ta ch cn
quan tâm n các phng trình ax + by + c = , mà c I
(a, b ) (vì nu trái li
thì phng trình này kbông có nghim nguyên).
Gi s (a, b) = d, khi ó a — dav b = db. Do c : d =$ c =
dc t ây
J, b, C nguyên. Lúc này :
ax + by + c = Q tX + dbV + C —0 ^ a-X + by + cx = 0 .
(*)
Vi phng trình (*) thì (j, ) = 1. Vì lí do ó mà ta có th ch
xét
phng trình a x Jr b y + c = Q vi a, b, c nguyên và
(a , b) 1 là .
BÀI 2. Xét phng trình ax + by Jr c = 0, trong ó a, b,
c là các s
nguyên và (a, b) — I. Gi s (x0, 3>0) à m t nghim
nguyên
ca phng trình. Khi. ó mi nghim nguyên ca phng trình ã cho, có dng
sau ây :
x = x0 + bt
[3; = }’o ~ í-
L g.i
Vì ( jc0, J 0) là m t nghim ca phng írình ã oho, nên ta có
:
axQ+ by0 + c = 0. ( )
;r a ( x 0 + h t) + b ( y 0 + a t ) + c = ax 0 + b y 0 + c = 0
( theo ( l ) ) .
T ó suy ra (*0 + í, y —cit) là nghim ca phng trình a x +
b y + c = 0,
\ vi m i € Z.
'I Bây gi ta. chng minh rng mi nghim (xp >y) tu ý ca phng
• trình ax + bv + c = 0, u có th biu din c di dng :
‘ K.: X — ,Y,, -i- b t
I : . ì = y 0 - t-
L t xv= x 0 + a ; y = y0 +,6, :khi ó do '(jc0, J’o) và
(a:j»>’ ) là các
cp s nguyên, nên a và 0 cng là nhng s nguyên,
Vì (Xj, y,) là nghim ca phng trình ax + by + c = 0, nên ta có
: / '
| :' axl + by] + c = Q=> a(xo + a) + b(o + 0 ) + c = Q
;;|r. =>(ax0+ by 0 Jrc) + aa + b3 = 0.
:|v _ .ì' Do (-v0,^ 0) cng là nghim ca phng trình ax + by+ c —
0, nên
ax0 + by0 4- c = 0. T ó suy ra : S i ' ; aa 4-
b3 = 0. (2)
H;; • T (2) ta có h3 : a. Do (a, b) = l=> 0 :
cx, tc là 8 — t\ (vi f| e Z).
iì Tng t, ta có a — bt^ (vi t2 6 z ). Kt hp vi
(2), suy ra :
abí2.+ãbtl = 0 = *ò ( f,+ r ,) = = 0 .
Do 3É 0 => í .+ 2 = 0 =>fj = —í, t2 = t , t 6
z. Thay li vào trên, vy
ta có :
' làpcm.
C N hnxét .
f - Ý ngha ca bài toán trên là ch : Nu bit mt nghim
riêng
' (*0’ o ) ca phng trình ax + by + c — 0,
thì mi nghim ca phng trình
này có dng :
y = yQ- a t
Vì th gii phng trình CA' + by + c —0, ta ch cn tìm mt
nghiêm
riêng (jf0, y) ca nó mà thôi !
- M t nghim riêng (x0, y) ca phng trình ax + by + c =
0 là mt
nghiêm c th nào ó ca phng trình y.
BÀI 3. Tim nghim nguyên ca phcmg trình 2 x — ì9 y + 2 ì — 0.
Li gi i
Ta s gii bài này bng nhiu cách khác nhau.
Cách 1 (Phng pháp bin s nguyên).
Xét phng trìn h :
T (1) ta có :
1 9J.-2 1 = j y - 1 5 3 _ 5 , z z l . (2) 12 12 12
X nguyên, thì —— - = f 6 z => ;y = 2í + 3. Thay li vào (2) ta có
:
X = 24? + 6 —3 —5? = 19í + 3.
Vy nghiêm ca phng trình ã cho à :
x = 19/ + 3 \ tGZ. y = 2? + 3,
/VMm xét.
- Cách gii này n gin và cho ta công thc trc tip nghim ca phng trình
ban u (mà k hôn g cn thông qua nghim riêng) .
- Tuy nhiên vi phng trình n gin nh th này, ta có th thy
ngay
{3, 3) !à mt nghim riêng. Sau ó dùng kt qu Bài 2 s có :
* = 3 - 1 9 r te z. y = 3 - 12í.
44
(Ch vic thay t = - t v ta có li công thc nghim nh
trên).
D nhiên không phi phng trình bc nht ax + by + c = 0 nào
cng
d dàng tìm c m t nghim riêng !
Cách 2 (Phng pháp s dng <!>- hàm Euler).
Phng pháp này da trên mnh sau :
M nh . Xét phng trình ax + by + c = 0, trong ó a,
b là các s
nguyên dng, (a, b) = 1, c là s nguyên. Khi ó phng trình
này có mt
nghim riêng sau ây :
' %=*•— - >
Do a, c là các s nguyên, còn > () > 1 là s nguyên, nên
hin nhiên
x Ià s nguyên. Theo n h lí Euler, thì
am = 1 (mod b) =» (am - ì ) [b.
T ó y0 là s nguyên. Mt khác :
ax0 + by0 + c = — aca + ca — c + c =
— + C'>() = 0.
Vy (x0, J0) là nghim riêng ca phng trinh ax + by + c
— 0 , suy
ra pcm.
Tr li phng trình ã cho :
1 2 x - l 9 y + 21 = Q- &1 2x + 1 9 ( - y) + 2 l = 0
I2 x + 9 z + 21 = 0 ,-vi z = —.
Do 19 là s nguyên t, nên $Cl 9) = 19 —1= 18. Do ó :
'x0 = - 2 . l2 n .
là m t nghiêm riông ca phng 'trình 12x + 19z + 21 = 0. Vy mi nghim
riêng ca phng trình này có dng :
45
1 * _ 1 í 6 z. Z - 2 1 - — ----- - —12?,
9
Nói cách khác, phng trình 2 x — 9 y + 2 Ì ^ Q có
nghim ià :
x = —21.12 17 + 19? 1ÌS _ 1 t s 2.
y ——21- - +12?, 19
N hn xét.
Cách gii này hoàn toàn mang f«/z cM? lí ihuyt. Trong thc t nu
s dng phng pháp này gii bài toán trên, có l ngi ta s cho rng chúng
ta hoc à "có vn v thn kinh", hoc là b "cung ch" !
Cách 3 (Phng phá p s dng "liên phâ n s").
Trc ht, ta hãy trình bày phng pháp s dng "iên phân s” tìm mt nghim
riêng ca phng trinh' ax + by = c, ây a, b, c là
các s
nguyên, và (, b) = 1. Ta có nhn xéí sau :
Nu (x, ) là nghim .riêng ca phng trình ax + by =
ì, thì
(c„r0, cy0) là ngh iêm ca p hng trình a x + b y = c.
Ta biu din — íhành liên phân s hu han : l!
= a0 ’ ai5^2 ’ ••’ an ] •
Gi C n_J = và Cn = — à hai gin phân cui cùng ca iiên 1
<7»
phân s này. Khi ó ta có : - r = — ; {a, b) — 1 ;
[pn, qn) = 1, nên a = p n ; \b\ qn
\b\ = qn. Theo tính cht ca liên phân s hu hn (xem Chng
1), ta có :
pnq 1 - 1 -\b\pn_{=(-ÌT~l
=^(-l)"_I «n_].+ |Z?|(-l)"/?„-i =!•
46
1) Nu b > 0, thì phng trình ax + by = 1 có
nghim riêng là :
x 0 = ( - ) n_1 . y y 0 = ( - 1) " p H_
.
2) Nu b < 0, thì phng trình ax + by = 1 có nghim
riêng là :
Tr li bài toán ang xét. Ta có :
ì 2 x - ì9 y + 2 l = ^ 2 x - ì 9 y = - 2 \ .
Ta hãy tìm mtn gh im riêng ca phng trình
Ì 2 x - I 9 y = .
, 12 Ta hãy tìiu din phân s — thành liên phân s hu hn :
12 = 0.19 + 12 ;
.19 = 1.12 + 7 ;
12 —1.7 + 5 ;
7 —1.5 + 2 ;
5 = 2.2 + 1 ;
'2 = 2 .1:
Vy — = [0 ; u , 1, 2, 2], T acó n = 5 và
p 0 = a0 = 0 ; qQ= \ \
p x = a 0a j + 1 = 1 ; -. , = 1 ;
P2 = a2Pl +Po 1=1 ; ' < ? 2 - a 2í? l + <? 0 = 2
;
Ps = aP2 + Pi —2 ; :<?3 = *?1 = 3 ’>
P4 = + >2 = 5 ' ?4 = a4Ch +<2 = 8-
Do >= —19 < 0, vy phng trình 12z —19y = l có mt nghim riêng
là
x0 = ( - l ý .q 4 = 8
47
Vy phng trình I2 x — 9 y + 2 = Q nhn
ÍX = —8.21 = —168
\yi = - 5 .2 1 = -1 0 5
là m t nghim riêng. Vì th phng trình 12x — 19y + 21
có nghim là
N hn xét.
Ging nh phng pháp $ - hàm Euler, phng pháp liên phân s hu hn cng ch
mang nng tính cht lí thuyt mà thôi !
B nh lun .
Vi cùng mt phng trình 2x — 9y + 2 = 0, bng ba phng
pháp
. gii khác nhau cho ta ba áp s :
Ba áp s này "b ngoài" có v khác nhau. Nhng thc cht ca chúng là mt.
Chúng có cùng mt lõi, ch khác nhau phn "nghim riêng" mà
thôi !
BÀI 4. •' Cho a, b, c nguyên dng. Xét phng trình vô nh
ax —by = c. Chng minh rng nu phng trình ã cho có
nghim nguyên, thì nó cng có nghim nguyn dng.
Li gi i
ax + (— b) y + (—c) = 0.
Ta luôn có th cho à (a, b) = (xem Bài 2). Theo Bài 2,
gi s
(:x0, yQ) là mt nghim ca phng trình này, thì mi nghim ca nó
có
d n g :
x = x0 - b t í E z.
y = y0 - a t ,
Cho t —>— oo, thì rõ ràng X —>+00 và y
—>+CO. iu ó chng t rng phng trình ã cho không nhng có
nghiêm nguyn dng, mà còn có vô hn nghim nguyên dng. ó là pcm.
BÀ I5 . , 1) Cho a, b nguyên dng và (a ,b) = l . Chng
minh rng
phng trình ax + by — ab khng có nghim nguyên dng.
2) Cho phng trình ax + by = c, ' ây a,, b, c
nguyên
dng, (a, b) = 1 và c > ab. Chng minh rng'phng
trình
ã cho có nghim nguyên dng.
Li gi i
1) Gi thit trái li, phng trình ã cho có nghim nguyên dng
(x0, ;y0). Khi ó ta có :
ax0 + by0 = ab=> by0 = a ( b - x 0). (1)
T (1) suy ra by : a. Do (a , b) = 1, nên
y0 : a, tc là ;y0 = at, V t0
nguyên dng. Lí lun tng t la cng có x0 = bk0, vi k0
nguyên ãong.
Thay li vào phng trình trên, ta c :
abk0 + a bt 0 — a b k0 + 0 — I . (2)
Vì k, t0 nguyên dng nên k > ; r0 > 1. Ta nhn c
/c0 + t > 2
là iu mâu thun vi (2). Vy gi thit phn chng là sai, tc à phng trình
ax + by — ab không có nghim ngúyên dng. ó à pcm.
2) Vì (a, b) = 1, nên theo Bài 1 ,suy ra phng trình
ax — by = c (3)
có nghim nguyên. Do vy theo Bài 2 suy ra (3) có nghim nguyên dng,
tc là tn ti các s nguyên dng UQ, v0 sao cho
au0 — bv0 — c > ab. (4)
Chia c hai v ca (4) cho ab, ta có :
^ - ^ > . 1 , (5) b a
T (5) suy ra tôn ti s nguyên rQ tho mãn iu kin :
CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 04A 49
a b
t x0 - Uq - bt0 và y0 = at - v0. Khi ó rõ ràng
x0 và ;y0 là nguyên
(do a, b, u0, v0, t là các s nguyên), ngoài ra í (6),
thì x0 > 0 , u > 0. Mt
khác, ta có
ax0 + by= a[u — btii) + b{atíò~ v ) = au — bv = c.
''•/ì ! ó (- V Jo ) là nghim nguyên dng ca phng trình
ax + by — c. ó chính là pcm.
(6)
BÀI 6. Tm nghim nguyên dng ca phng trình 8x —27 y
—38.
Li gii
Trc ht ta hãy tìm các nghim nguyên ca phng trình
%x —7Tiy = 38.
T i i ( ) t a c ó :
27^ + 38 3y + 6 , y + 2 x = —
— -----= 3 j + 4 + - ^ -— = 3;y + 4 + 3- — — .
(1)
(2)
y = 8í —2, và thay và (2) ta có :
y+2 t, í nguyên. Khi y
• X —24f —~6 4 -~31 —271 —2.
Nh vy nghim, nguyên ca phng trình ã cho lá
\x = 2 1 t - 2
y - t - 2 , te z.
X >0, y > 0 thì
[ 2 7 ?- 2 > 0
2 t > ---
27 1
t > — 4
' 4 '
1 Do t nguyên, nên t t > — , suy ra t —
\, 2,... Vy nghim nguyên
' 4 ng ca phng trình ã cho có dng sau :
50 CHUYÊN ...NGHIM NGUYN — 04B
x — 7.11 — 2
b = 8 / - 2 , ' '
vi t — 1, 2,... Ta có th lit kê vài nghim u tiên
ca phng trình này
trong bng sau :
Nhn xét.
1) Ta có th gn bi toán trên vào bài toán sau ây : Xét hàm s'
f (x ,y )< = 2 x + 5y, trn min
D — ( x , y ) : X, y
nguyên dng và 8x —27 y = 38}.
Tìm giá tr nh nht ca f ( x , y ) trên min
D. .
T trn suy ra
D- , . vX — T ì t — l . (X, y ) : j vi
t = 1, 2 , . . . v ly —8í - 2
Lúc này a có : ,
f (x, y) = 2x + 5y = 2(27 1 - 2) + 5(8 í - 2) =
941 - 1 4 .
T ó ta có :
mip f i x , y)i= m in(9 4r —14), vi T == {/
e z • í > l}. (x ,y )àD 1ST
T ó d thy :
min (94/ -1 4 ) = 94.1 —14 = 80. teT
V fflin / ( * , } ) —80, và giá tr nh nht t ílc khi x =
25 ; • ( x , y ) e : :( x , y ) D
y = 6 (ng vi / = 1).
tìm mt ni ln ra ng. Ngi h nht thc dy, n b sông, m s cá thy chia ba
tha mt con, bèn vt bt mt con xung sông và xách 1/3 s
51
nsú, n b sông, m s cá, vt mt con xuông sông và xách 1/3 sô cá vê
nhà. Ngi th ba thc dy, c ngh à mình dy sm nht, n b sông, m s cá
xong vút mt con xung sông và xách 1/3 sô' cá v nhà. Bit rng h à ba
chàng i câu cá ti. Bn hãy tính xem h ã câu c bao nhiêu con c.
Gi X à s cá h câu c và y í s cá còn i sau khi c ba
ngi
ã y i phn cá ca mình.
S cá ngi dy u tiên y i là :
U - 1 ) .
i f 2
3 13
S cá còn i sau khi c ba ngi ly i là :
27.2
313
- ( x - ) - l - i .3
O c - l M 2 .. 5 —* —— 3 3.
2 (2 x - 5 )
^ 2 { A x - m - 9 ) = 21y
%X — T y = 38. ( 1)
Ta phi tìm nghim nguyên dng bé nht (i vi x )
(vì ba chàng i câu là nhng ngi câu cá ti) ca phng trình
(1).
Da vào bng ã p ía thy nghim X — 25 à thích hp
(lúc ó y = 6 ). Tr li s cá h câu c là 25 con !
BÀ I 7. Cho a, b là hai s nguyên dng khác 1 và (a, b) =
1. Cho c
ià sô' nguyên dng và c > ab — a — b. Chng minh rng
phng trình ax + by ----- c có nghim nguyên không
âm.
52
ax -- by — c. (1)
T (1) ta có :
*0 = 0 ; = 1; x2 = 2 ; . . . ; xb_ =
b —1.
Khi ó ta nhn c các giá tr tng ng cùa y là
c c — a c — 2 c — ba + a
: . . y° = b ^ . = ~ b ^ = ' b ....
Rõ ràng ta có :
Ta có nhn xét sau : Mi s trong các s c — X i = 0, 1, b —
ì)
khi chia cho s cho nhng s d khác nhau.
Tht vy, nu tn ti 0 < í'< ý < —1 mà
( c —aXj) = (c — aXj'j ( m o d b ) .
Khi ó |(c — ãX ) — c — a X j : b, hay a x j — x :
b. VI {a — b) = 1, nên
(xj : b, hay
(j-i)':b. (2)
Do 0 < i < j < b —1, nên 0 < j — i <
b — l. T ó theo (2) suy ra vô lí.
M t khác, mt s nguyên khi chia cho b thì ch có b loi
phnd.Vìl trong dãy y0, _yp y b_x có úng mt và ch
mt à s nguyên (chú-ý
rng ây do 1 =» b > 1).
T gi thit c > ab — a — b ta suy ra :
c — ab + a '
53
Theo trên tn ti y; nguyên vi 0 < i < b — \. Do ,-
> — 1 => y-t > 0 ,
vy 3;. à sô' nguyên không âm. Nghim (x,., ,-) chính là nghim
nguyên
> 0 ca phng írình ax + b y = c. Tóm i, c > a b —
a —b à mt iu kin
v s tn ti nghim nguyên > 0 ca phng trình a
x + b y + c — 0
(pcm).
BÀISo Tìm giá tr nh nht ca hàm s f ( x , y) = 5U |
— 3 y| , trên tp
L i gi i
t D |(jc, }’): X, y € z và
Ax 4- 5y — 7} . Trc ht, ta có nhn xét
rng : Nêu X và y là các s nguyên tho m ãn
phng trình
Mt khác,và y phi khác du (íht vy, nu chng hn X > 0, y
> 0, thì
X > I, > , và khi ó v trái ca () > 9 , ó là iu vô lí). Vì
l ó
D = DX u2, trong ó
D x = {(jf, y ) : X, y e z , X > 0, y
< 0 và 4x + 5y = };
D2 = j(jr, y ) : X, y e Z , X < 0, }’ > 0 và 4jf +
5y = 7 .
Hin: nhiên ta có :
Trên miên D, thì f ( x , y ) = 5\x \~3\ \ — 5x + 3y (do
x > 0 , y < 0 ) .
Ta e ó :
hp các nghim nguyên ca phng trình 4x + 5 y = 7.
Ax + 5y — 7, ( )
. . _ 7 —5y _ 1 + y 4 * + 5y = 7 =» X = — — — 2 —
V----- —
^ 7 4 4
, 1 -- y X, y nguyên hì — — — t, te
2. T ó có :
54
x = 2 ~ 4 t + i — t ) x = 3 — 51.
Do :
Do t' nguyên nên í — 0, —1, —2 ,. .. Lúc này
:
f { x , y ) = 5 x + 3 y= -5(3~ 5t) + 3 { 4 t - ) = l 2 - \ 3
t :
Ta có :
mn f i x , y) = m inF(r), . . (^ )ê V '
/eh, .
ây F(t) = ì 2 ~ l 3 t và .t = {? : 0,
-1 , - 2 ,. . .} . D thy :
min F it ) — F (o) = 12. /en.
: , X . ; Lr = 3 - 5 .0 = 3 x = 3 min f (x , y) — 2
&\ j
(x“y ) € O i [ = 4 . 0 - l = - l - [y = - l .
Trên min Z)2, thì f { x , y) = 5\x\ — 3\y\ = —5x —
?>y (do X < 0, ;y > 0 ).
The trên ta c nghim nguyên ca phng trình (1) l à :
y = 4 f - l
jc = 3 -5 f .
x < 0
> 0
Lúc này •
f { x , y) = - 5 x - 3 = -5 ( 3 - 5í) - 3(41- 1) = 13 r -1 2
.
Ta c :
min f ( x , j ) = m i n G (í), (x.-y)<=D2 í e
f i 2
ây G(f) = 13 r-12 và í 2 = { / : t - 1, 2,...}. D thy :
-W.
55
m i n G Í / )= . G ( ) = 1. / Í-'\ -!
Vv ;
u.V i-V V = 4 . 1 - 1 = 3.
T (2) suy ra :
min / Í .í . ví = min {12. 1 = 1. Í A . v S ^ O ' ' ’ '
Txn li :
min f [ x , v) = .r = —2 ; V = 3.
BÀI 9. Cho b, c à các s nguvên tho mn iu kin lal < \b\
< A,
tron? ó A là s nguyên dng và ( a , b ) — . Xét phng
trình nghim nguyên sau : a.\- + h = c. Chng minh rng s
nghim nguyên (.V, v) ca phng trình ã cho mà tho mãn
3/4 iu kiên . v < A, y < A không vt quá
I—- .
. . li
Xét hai kh nns sau :
1) Nu a — 0. Vì {a, h) = 1. nên /; —I hoc b = —
. Líie này phng
trình có dna;: • V= ±c . (1)
Trong phng trình (í ) s nhim nguyên tho mãn UI < /4 , v <
A
không vt quá .s im nguyn trên —A ; ,4 ]. tc là nh hn hoc
còng m
, , - „ . 3/4 a bãnt 2/4 4- í < 3/4 = —-T-
\b\
Kt lun ca bài toán úng trong rng hp này.
2) Nu a * 0. Gi sU\ v), (a-/, y') là hainghimnguyên
khác nhau
ca phng trình ã cho, thìt ax 4- by = ax ' + by ' —
c, suy ra :
b(y ' — y) = a (x - x ').
(2)
Do (a, b) = 1. nên t (2) ta có :
56
(x — x ' ) : b => ix —jr l > l|. (3)
Gi s (a-,; V,), (jf2; y 2) , . . . , (_Y(I; y n)
là tt c các nghim ngu yên thoa
mãn :
k . < / L .v , .|< Á ,/ = . (4)
Không gim tính tng qáí có th ch là .V < X o < . . . <
x n . T (3) i
n :
—-V, >
Cng tng v các bt ng thc trên ta có :
xn - X , > ( « - l ) | | . (5)
. Mt khác, t (4) ta có :
(6)
3A > n\h\ => n < \b\
à pcm.
BÀI 10. Gi s n là s nguyên dng cho trc. Ta nh ngh a dãy
Pharei hng n là dãy tng lp t các phân sô' ti gin —, mà
\ h
chúng tho mãn tính cht sau : (í7, b) = 1, 0 < a <
b < n.
1 1 1 9 3 (Thí d dãy Pharei hng 4 là dãy sau : 0, 1).
Chng iiinh rng :
I
1) Nu —, — à nhng sô' hang liên tip trong dãy Pharei và b
— < — thì be — ad == 1. b d
2) Nu —, —, — là ba s hang liên tip trong dãy Pharei v b d
f
a c e s c a + e thì — = — :— .
b d f d b + f
Li gii
ì ) Do — < — =$ad < bc => bc — a> 0. Do
tính nguyên ca bc — ad.
suy ra : bc — a d > . ( 1)
Gi thit phn chng kt lun ca bài toán không úng, tc là bc —
ad 1.Khi ó t (1), ta có :
b c — a > . (2)
t b c - a d = m, thì m nguyên > (suy t (2)). Do (,
b) — 1, nên
có th chn c x0, 3>0 nguyên sao cho :
bx — ay = 1. (3)
Khi ó theo công thc nghim ca phng trình vô nh bc nht, thì
I X — xn T ak k e Z , (4){y =y+bk,
là nghim nguyên ca phng trình bx — ay = 1. T (4) ta có th
chn
k e z sao cho :
o « < n
(5)
y+ b k + b > n
- í < k < '± ZL b b t ì ^ _ 1 < í s £ z i .
(6)
l c > í = 2 í ~ í b b
58
T s ehng minh rng vi cách chn x , y nh vy (tc là chn X, t
(4) vi £ tho mãn (6)), ta có :
0 < X < <n.
Tht vy,