C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im Funktionenraum Zur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in Standardbasis: Element: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Skalarprodukt: Entwicklung: Koeffizienten: Vollständigkeit: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Basis- Wechsel Basis- Wechsel Standardbasis: Element: Allgemeine Basis: Orthonormalität: Skalarprodukt: Entwicklung: Koeffizienten: Vollständigkeit: Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum: Basis- Wechsel Basis- Wechsel
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C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung
Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im FunktionenraumZur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in
Standardbasis:
Element:
Allgemeine Basis:
Orthonormalität:
Skalarprodukt:
Entwicklung:
Koeffizienten:
Vollständigkeit:
Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt
Basis-Wechsel
Basis-Wechsel
Standardbasis:
Element:
Allgemeine Basis:
Orthonormalität:
Skalarprodukt:
Entwicklung:
Koeffizienten:
Vollständigkeit:
Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt
Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum:
Basis-Wechsel
Basis-Wechsel
Herleitung von 'Vollständigkeit' (a.8) & (b.8):
Zunächst: Entwickle alte Basisvektoren in neuer Basis:
mit Entwicklungskoeffizienten:(L5.4b.3)
Aus Orthonormalität der alten Basis folgt:
Hänsch-Frequenzkamm (Nobelpreis 2005, Theodor W. Hänsch, LMU)http://nobelprize.org/physics/laureates/2005/hansch-slides.pdf .../info.html
Ziel: Messung v. "optischen Frequenzen"
mit Genauigkeit"Wie zählt man von 0 auf
in einer Sekunde?"
ist zu schnell, um direkt gemessen zu werden(Caesium-Atomuhr) tickt mal langsamer)
Methode: Überlagere Signal mit unbekannter Frequenzmit Referenzsignal mit genau bekannter Frequenz