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LYCÉE LA MARTINIÈRE MONPLAISIR LYON
SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR
CLASSE PRÉPARATOIRE M.P.S.I.
ANNÉE 2020 - 2021
C6 : ANALYSE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES ASSERVIS
C6-3 - Analyse fréquentielle des systèmes asservis
:applications
27 Avril 2021
Table des matières
I Combinaison des diagrammes de Bode élémentaires 21
Caractérisation d’une fonction de transfert complexe . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Méthodologie de tracé des
fonctions de transferts complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 2
II Application à l’exemple de la suspension d’un véhicule 21
Décomposition de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Construction du diagramme de
Bode de H1( j ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 33 Calcul et classement des pulsations de cassure . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Construction du diagramme
de Bode complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 55 Caractérisation fréquentielle paramétrée de la suspension
automobile . . . . . . . . . . . . . 66 Interprétation temporelle
d’une étude fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 6
III Autres types de lieux de transfert 101 Diagramme de Nyquist
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 102 Diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV Conclusion 11
Compétences
• Modéliser ; Proposer un modèle de connaissance et de
comportement : Schéma-bloc : - fonction de transferten chaîne
directe - fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle
fermée
• Résoudre ; Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de
résolution numérique : Grandeurs simulées• Expérimenter ; Mettre en
oeuvre un protocole expérimental : Identification fréquentielle
d’un modèle de com-
portement
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C6 : C6-3
I. Combinaison des diagrammes de Bode élémentaires
1 Caractérisation d’une fonction de transfert complexe
On cherche à étudier dans le domaine fréquentiel un phénomène
physique ou un composant. Onconsidère alors la fonction de
transfert reliant deux grandeurs physiques (d’entrée e(t ) et de
sorties(t )) qu’on pourra mettre dans la plupart des cas sous la
forme :
H(p) = S(p)E(p)
=KS
n3∏k=1
(1+τk ·p
) · n4∏l=1
(1+ 2ξl
ωl 0p + p
2
ω2l0
)
pα ·n1∏
i=1
(1+τi ·p
) · n2∏j=1
(1+ 2ξ j
ω j 0p + p
2
ω2j 0
) (1)
On remarque donc qu’on peut l’écrire qu’un produite de fonction
de transfert usuelles de type in-tégrateur, premier ordre, et
second ordre qui résultera dans le plan de Bode à la somme de
tracésélémentaires.
• KS est le gain statique.• α est la classe de la fonction
transfert :
◦ le nombre d’intégrations si α> 0 ;◦ le nombre de
dérivations si α< 0.
• L’ordre de la fonction de transfert est donné par◦ n = n1 +2
·n2 +α si α> 0 ;◦ n = n1 +2 ·n2 si α< 0 ;
avec :◦ n1 le nombre de fonction de transfert du premier
ordre.◦ n2 le nombre de fonction de transfert du second
ordre
à pôles complexes.
Définition 1 : Fonction de transfert complexe
2 Méthodologie de tracé des fonctions de transferts
complexes
1. Mise sous forme canonique de la fonction de transfert sous la
forme donnée par l’équation 1 ;
2. identification de fonctions de transfert élémentaires :
intégrateur, premier ordre, deuxième ordre;
3. calcul de toutes les pulsations caractéristiques (cassure ou
coupure) ( 1τk ,1τi
, ωl0 et ω j 0) ;
4. classement dans l’ordre croissant de toutes les pulsations
caractéristiques ;
5. construction d’un tableau permettant de caractériser les
comportement asymptotique de chaque fonction detransfert
élémentaires.
II. Application à l’exemple de la suspension d’un véhicule
Reprenons l’exemple de la suspension du véhicule Clever. Nous
rappelons la fonction de transfert du véhicule.
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C6 : C6-3
H(p) = k + c pk + c p +m p2 =
1+ ck p1+ ck p + mk p2
En remplaçant p par j ω, on obtient :
H( j ω) = 1+ck j ω
1+ ck j ω+ mk ( j ω)2= 1+ j τω
1+ 2ξω0 j ω+1ω20
( j ω)2
1 Décomposition de la fonction de transfert
On remarque donc que cette fonction de transfert est le produit
entre une fonction de transfert du premier et dusecond ordre :
H( j ω) = H1( j ω) ·H2( j ω)Avec,
H1( j ω) = 1+ j τω
H2( j ω) = 11+ 2ξω0 j ω+
1ω20
( j ω)2
On prendra pour valeurs numériques :• τ= 0,01 s ;• ξ= 0,2 ;• ω0
= 28,3r ad/s
2 Construction du diagramme de Bode de H1( j ω)
On pose :
H1( j ω) = 1+τ j ω
On se propose de tracer le diagramme de Bode de H1( j ω) avec τ=
0,01 sExpression du gain :
On a donc deux branches asymptotiques :• Un branche horizontale
jusqu’à ω= 1τ .• Un branche correspondant à une droite de pente
+20dB/décade et coupant l’axe des abscisse en ω= 1τ .
Expression de la phase :
On a donc deux branches asymptotiques :• Un branche horizontale
correspondant à ϕ= 0◦ pour ω< 1τ .• Un branche horizontale
correspondant à ϕ= 90◦ pour ω> 1τ .
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C6 : C6-3
100 101 102 103-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
100 101 102 103
-150
-100
-50
0
50
100
FIGURE 1 – Diagramme de Bode pour une fonction de transfert du
premier ordre de H1( j ω)
3 Calcul et classement des pulsations de cassure
1. Expressions littérales des pulsations de cassure :
2. Applications numériques :
3. Classement des pulsations de cassure
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4 Construction du diagramme de Bode complet
On va utiliser ici un tableau permettant de caractériser
complètement le tracé asymptotique de H( j ω).
ω 0 →ω2 ω2 ω2 →ω1 ω1 ω1 →∞
Tracéasymp-totique
Gain(dB/dec)
ϕ(◦) Gain (dB) Gain(dB/dec)
ϕ(◦) Gain (dB) Gain(dB/dec)
ϕ(◦)
H1(p)
H2(p)
H(p)
100 101 102 103-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
100 101 102 103
-150
-100
-50
0
50
100
FIGURE 2 – Diagramme de Bode de la fonction de transfert globale
de la suspension d’un véhicule
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5 Caractérisation fréquentielle paramétrée de la suspension
automobile
On peut alors tracer pour différentes valeurs de ξ les
différents diagrammes de Bode (figure 3 avec τ= 0,05s).• Pour des
pulsations faibles (ω→ 0) :
◦ GdB est proche de 0 c’est à dire que G est proche de 1 et donc
que l’amplitude du signal de sortie est similaireà celle du signal
d’entrée.
◦ ϕ' 0◦ ainsi le retard est très faible : peu de déphasage entre
l’entrée et la sortie.• Pour des pulsations proche de la pulsation
de coupure (ω'ω0 'ωr ) :
◦ La résonance apparaît dès lors que ξ<p
22 à ω=ωr 'ω0.
◦ Dans ce cas GdB est grand donc G aussi et l’amplitude de
sortie est fortement amplifiée par rapport à l’am-plitude
d’entrée.
◦ Le déphasage est équivalent à −90◦ soit environ 1/4 de
période.• Pour des pulsations élevées (ω→+∞) :
◦ GdB diminue fortement c’est à dire que G est très faible et
donc que l’amplitude du signal de sortie est trèsamortie par
rapport à celle du signal d’entrée.
◦ ϕ'−90◦ ainsi le retard est de l’ordre d’un quart de
période.
6 Interprétation temporelle d’une étude fréquentielle
On se place dans le cas de ξ= 0,2, τ= 0,05s et ω0 = 28,3 r ad/s.
Les diagrammes de Bode sont donnés sur la figure4. On note bien ici
l’existence d’une résonance lorsque ω=ωr =ω0
√1−2 ξ2.
On se place alors sur trois valeurs de ω pour étudier le signal
temporelle.
1. ω= 10 r ad .s−1,2. ω=ω0 = 28,3 r ad .s−1,3. ω= 100 r ad
.s−1.Grâce au diagramme de bode pour chacun de ces trois cas, on
peut reconstituer le signal temporel de sortie avec
GdB = 20 l og (|H( j ω)|) et ϕ= ar g (H( j ω).
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C6 : C6-3
−60
−40
−20
0
20
100 101 ω0 102 103ω(rad · s−1)
G(d
B)
ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =
√2
2ξ = 1ξ = 2ξ = 4
−180
−135
−90
−45
0
ω(rad · s−1)
ϕ(◦
)
100 101 ω0 102 103
ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =
√2
2ξ = 1ξ = 2ξ = 4
FIGURE 3 – Diagramme de Bode de la suspension d’un véhicule pour
différentes valeurs de ξ
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−60
−40
−20
0
20
100 101 ω0 102 103ω(rad · s−1)
G(d
B)
−180
−135
−90
−45
0
ω(rad · s−1)
ϕ(◦
)
100 101 ω0 102 103
FIGURE 4 – Diagramme de Bode de la suspension d’un véhicule pour
ξ= 0,2
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C6 : C6-3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps (s)
Dép
lace
men
t (m
)
s(t)e(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps (s)
Dép
lace
men
t (m
)
s(t)e(t)
ω= 10 r ad .s−1 ω= 100 r ad .s−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Temps (s)
Dép
lace
men
t (m
)
s(t)e(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Temps (s)
Dép
lace
men
t (m
)
s(t)e(t)
ω0 = 28,3 r ad .s−1
FIGURE 5 – Réponse temporelle de la suspension du Clever avec ξ=
0,2
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III. Autres types de lieux de transfert
1 Diagramme de Nyquist
Le diagramme de Nyquist permet de repré-senter l’état de la
réponse fréquentielle (s(t ) =G e0 sin(ω t + ϕ)) en fonction de la
pulsationω pour une fonction de transfert H(p). Ce dia-gramme donne
l’évolution de la partie imaginairede la fonction de transfert
(Im(H( j ω))) en fonc-tion de sa partie réelle (R(H( j ω)))
−2 −1 0 1 2 3 4−5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
R(H(j ω))Im
(H(j
ω))
ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =
√2
2ξ = 1ξ = 2ξ = 4
Définition 2 : Diagramme de Nyquist
2 Diagramme de Black
Le diagramme de Black permet de représen-ter l’état de la
réponse fréquentielle (s(t ) =G e0 sin(ω t + ϕ)) en fonction de la
pulsationω pour une fonction de transfert H(p). Ce dia-gramme donne
l’évolution du gain en décibel(GdB )
Gdb = 20 log (G) = 20 l og (|H( jω)|);en fonction de la phase en
degré (ϕ en ◦).
ϕ= ar g (H( jω)).−160 −135 −90 −45 0
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ϕ(◦)
G(d
B)
ξ = 0 · 1ξ = 0 · 2ξ = 0 · 5ξ =
√2
2ξ = 1ξ = 2ξ = 4
Définition 3 : Diagramme de Black
Ces deux derniers diagrammes (Nyquist et Black) sont utilisés
habituellement sous la formed’abaques pour caractériser la
stabilité des systèmes asservis.
Remarque 1 :
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IV. Conclusion
L’analyse fréquentielle présente des outils très puissant pour
caractériser la réponse d’un systèmevis-à-vis d’une consigne
harmonique. Ce chapitre a mis en exergue dans un premier temps la
né-cessité d’étudier :
• le gain (Gd B = 20log(|H( j ω)|)),
• la phase (ϕ= ar g (H( j ω))),en fonction de la pulsation ω. On
peut alors facilement reconstituer temporellement l’évolution dela
sortie puisque celle-ci est simplement de type harmonique en régime
permanent.Ce type de procédé est très répandu dans plusieurs
domaines de l’ingénierie :
• analyse modale pour la conception de système mécanique,•
conception de bâtiments résistant à des ondes sismiques.
Néanmoins dans ces domaines bien souvent, les comportements des
systèmes sont complexesou non-linéaires. On utilisera alors des
moyens numériques pour caractériser complètement leurcomportement
fréquentiel.
Conclusion : Analyse fréquentielle
Analyse modale d’un bogie de TGV Analyse modale pour le
dimensionne-ment para-sismique d’un bâtiment
Effondrement du pont de Tacoma(1940)
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Combinaison des diagrammes de Bode élémentairesCaractérisation
d'une fonction de transfert complexeMéthodologie de tracé des
fonctions de transferts complexes
Application à l'exemple de la suspension d'un
véhiculeDécomposition de la fonction de transfertConstruction du
diagramme de Bode de H1(j)Calcul et classement des pulsations de
cassureConstruction du diagramme de Bode completCaractérisation
fréquentielle paramétrée de la suspension automobileInterprétation
temporelle d'une étude fréquentielle
Autres types de lieux de transfertDiagramme de NyquistDiagramme
de Black
Conclusion