C4 : Modélisation des performances cinématiques des ... et hypoth esesRep erageParam etrage C4 : Mod elisation des performances cin ematiques des syst emes C4-1 Introduction a la

Introduction et hypotheses Reperage Parametrage

C4 : Modelisation des performances cinematiques des systemesC4-1 Introduction a la modelisation cinematique des systemes

Emilien [email protected]

Lycee La Martiniere Monplaisir LyonClasse de MPSI

Emilien DURIF [email protected] 1/28


Plan

1 Introduction et hypothesesIntroductionObjectifs de la modelisation mecaniqueSolide indeformableDifferents types de modelisations mecaniques

2 Repere et referentiel lies a un solideRepere de referenceReferentielReperes lies aux solides

3 Parametrage d’un solideParametrage de la position de l’origine du repere associeParametrage de l’orientation de la base



Modelisation mecanique d’un systeme

Systeme mecanique

Un systeme mecanique est generalement constitue d’un ensemble de mecanismes. Cesmecanismes sont constitues d’un ensemble de solides agences entre eux dans le but derealiser une fonction.

Moteurs pas à pas

Tête d’impression

Mécanisme articulé





On focalisera notre etude sur l’exigence technique qui permet de “deplacer la teted’impression”.



Plan






Objectifs de la modelisation mecaniqueObjectifs de la modelisation mecanique

Fonctions techniques : loi entree/sortie en vitesse ou en effort.

Modelisation mecanique : comprendre, analyser, ameliorer et valider lecomportement d’un systeme mecanique constituant d’un produit industriel.

Système simulé ou virtuel

Système réel ou physique

Comportement réel

Simulation sur le modèle du

comportement réel

Modélisation

Validation

Outils de la mécanique

générale



Objectifs de la modelisation mecaniqueObjectifs de la modelisation mecanique

Fonctions techniques : loi entree/sortie en vitesse ou en effort.

Modelisation mecanique : comprendre, analyser, ameliorer et valider lecomportement d’un systeme mecanique constituant d’un produit industriel.

Système simulé ou virtuel

Système réel ou physique

Comportement réel

Simulation sur le modèle du

comportement réel

Modélisation

Validation

Outils de la mécanique

générale



Plan






Modelisation mecanique d’un solideSolide indeformable

Un point materiel est une portion de l’espace pourvue de matiere etsuffisamment petite pour etre consideree comme ponctuelle.

Un solide indeformable est un ensemble de points materiels. S est un solide“indeformable” si, pour tout AB ∈ S, et pour tout instant t :∥∥∥−→AB∥∥∥ = cste (1)

A

B

S

Remarque

Dans la realite, aucun solide n’est indeformable






A

B

S

Remarque







A

B

S

Remarque




Plan






Differents types de modelisation mecanique

Modelisation mecaniques

la cinematique : etude des mouvements et des vitesses ;

la statique : etude des actions mecaniques (types efforts) des solides “al’equilibre” ;

la cinetique : etude des quantites de mouvement et des inerties (programme dedeuxieme annee) ;

la dynamique : lien entre les mouvements et leurs causes (programme dedeuxieme annee) ;

l’energetique : etude des mouvements et de leur cause d’un point de vueenergetique (programme de deuxieme annee).







































Plan






Repere de referenceRepere

Un repere R0 est l’association d’une base B formee de trois vecteurs unitaires(−→x 0,−→y 0,−→z 0

)avec un point O :

R0 =(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

)(2)

Le repere de reference se definit comme celui par rapport auquel les mouvementsseront etudies.

O

x0

y0

z0

Remarque

On definira les reperes comme etant orthonormes directs, c’est a dire que le triplet(−→x 0,−→y 0,−→z 0

)forme un triedre direct et que chacun des vecteurs composant la base

(−→x 0, −→y 0 et −→z 0) sont unitaires et orthogonaux entre eux.





)avec un point O :

R0 =(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

)(2)


O

x0

y0

z0

Remarque








)avec un point O :

R0 =(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

)(2)


O

x0

y0

z0

Remarque






Plan






Referentiel

Referentiel

Un “referentiel” est constitue :

d’un repere de reference (ie R0 =(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

)) ;

d’une horloge qui servira de reference pour mesurer le temps (et deriver parrapport au temps).



Referentiel

Referentiel



−→y 0,−→z 0

)) ;




Referentiel

Referentiel



−→y 0,−→z 0

)) ;




Plan






Repere et referentiel lies a un solide

Reperes lies aux solides

La position d’un solide S1 par rapport a un repere de reference R0

(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

),

est definie par la position d’un repere R1

(O1,−→x 1,−→y 1,−→z 1

)qui lui est propre. C’est a

dire que le repere R1 est fixe par rapport au solide S1. Le repere R1 est defini par sonorigine O1 et sa base

(−→x 1,−→y 1,−→z 1

).

O

x0

y0

z0

O1

x1

y1

z1

Remarque

Parametrage :

position du point O1.

orientation de la base(−→x 1,

−→y 1,−→z 1

)par rapport a la base

(−→x 0,−→y 0,−→z 0

).






(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

),


(O1,−→x 1,−→y 1,−→z 1



(−→x 1,−→y 1,−→z 1

).

O

x0

y0

z0

O1

x1

y1

z1

Remarque

Parametrage :



−→y 1,−→z 1


(−→x 0,−→y 0,−→z 0

).






(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

),


(O1,−→x 1,−→y 1,−→z 1



(−→x 1,−→y 1,−→z 1

).

O

x0

y0

z0

O1

x1

y1

z1

Remarque

Parametrage :



−→y 1,−→z 1


(−→x 0,−→y 0,−→z 0

).






(O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0

),


(O1,−→x 1,−→y 1,−→z 1



(−→x 1,−→y 1,−→z 1

).

O

x0

y0

z0

O1

x1

y1

z1

Remarque

Parametrage :



−→y 1,−→z 1


(−→x 0,−→y 0,−→z 0

).



Plan






Parametrage d’un solide

Types de parametrage

Differents types de parametrage peuvent etre choisis pour reperer un point dansl’espace. Il s’agit des systemes de coordonnees :

cartesiennes,cylindriques,spheriques.

Choix du systeme de coordonnees

Le choix du systeme de coordonnees repose generalement sur les symetries duprobleme a traiter.

Vecteur position−−→OO1 decompose avec trois vecteurs unitaires formant une base

orthonormee directe(−→u 1,

−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)

Les parametres α(t), β(t) et γ(t) sont les coordonnees et peuvent dependre dutemps.











−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)












−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)












−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)












−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)












−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)












−→u 2,−→u 3

):

−−→OO1 = α(t) · −→u 1 + β(t) · −→u 2 + γ(t) · −→u 3 (3)




Coordonnees cartesiennes

−−→OO1 = x · −→x0 + y · −→y0 + z · −→z0 . (4)

O

x0y0

z0

O1

x y

z



Coordonnees cylindriques


r = ‖−→OH‖.

−→uθ est obtenu en considerant que le triedre(−→ur ,−→uθ,−→uz ) est direct.

θ =(−→x0 ,−→ur)

est l’angle oriente par le vecteur −→z0 .

z est la projection orthogonale de−→O−→O1 sur l’axe

(O,−→z0

).

−−→OO1 = r · −→ur + z · −→z0 .

(5) O

x0y0

z0

O1z

ur

θ

r

uq

H




−−→OO1 = r · −→ur + z · −→z0 .

O

x0y0

z0

O1z

ur

θ

r

uq

H

Relation entre systeme de coordonnees cartesiennes et cylindriques :




−−→OO1 = r · −→ur + z · −→z0 .

O

x0y0

z0

O1z

ur

θ

r

uq

H

Relation entre systeme de coordonnees cartesiennes et cylindriques :

{x = r cos(θ)y = r sin(θ)



Coordonnees spheriques


ρ = ‖−−→OO1‖.

θ =(−→z0 ,−→ur)

est l’angle oriente par le vecteur −→v . On l’appelle egalement lacolatitude.

ϕ =(−→x0 ,−→u)

est l’angle oriente par le vecteur −→z . On l’appelle egalement lalongitude ou l’azimut.

−−→OO1 = ρ · −→ur . (6)

O

x0y0

z0

O1

u

θur

vuq

u

r




O

x0y0

z0

O1

u

θur

vuq

u

r

Relation entre systeme de coordonnees cartesiennes et spheriques :




O

x0y0

z0

O1

u

θur

vuq

u

r

Relation entre systeme de coordonnees cartesiennes et spheriques :

x = ρ sin(θ) cos(ϕ)y = ρ sin(θ) sin(ϕ)

z = ρ cos(θ)




Systeme de positionnement par satellite (GPS)

C’est le systeme de coordonnees em-ploye par le systeme GPS



Plan






Parametrage de l’orientation de la base : angles d’Euler

Angles de Cardan

Dans le cas des angles de cardan, les trois anglesqui sont utilises generalement dans le domaineaeronautique portent les noms suivant :

angle de lacet : θl oriente par la directionverticale,

angle de roulis : θr oriente par l’axelongitudinal,

angle de tangage : θt oriente par l’axetransversal.




angle de precession : ψ =(−→x0 ,−→u)

oriente par −→z0 ,

angle de nutation : θ =(−→z0 ,−→z1

)oriente par −→u ,

angle de rotation propre : ϕ =(−→u ,−→x1

)oriente par −→z1 .

O

x0

y0

z0










O

x0

y0

z0

u

v










O

x0

y0

z0

u

θz1

v

wθ










O

x0

y0

z0

u

θ

x1

y1

z1

v

wθ



Parametrage de l’orientation de la base : figures planes de projection

1 Rotation de precession :(−→x0 ,−→y0 ,−→z0

) Rot(−→z0 ,ψ)−→

(−→u ,−→v ,−→z0

).

2 Rotation de nutation :(−→u ,−→v ,−→z0

) Rot(−→u ,θ)−→

(−→u ,−→w ,−→z1

).

3 Rotation propre :(−→u ,−→w ,−→z1

) Rot(−→z1 ,ϕ)−→

(−→x1 ,−→y1 ,−→z1

).

0x0

y0

z0

u

θ

r

x1

y1

z1

v

O

x0

y0

z0





) Rot(−→z0 ,ψ)−→

(−→u ,−→v ,−→z0

).


) Rot(−→u ,θ)−→

(−→u ,−→w ,−→z1

).


) Rot(−→z1 ,ϕ)−→

(−→x1 ,−→y1 ,−→z1

).

0x0

y0

z0

u

θ

r

x1

y1

z1

v

O

x0

y0

z0

u

v





) Rot(−→z0 ,ψ)−→

(−→u ,−→v ,−→z0

).


) Rot(−→u ,θ)−→

(−→u ,−→w ,−→z1

).


) Rot(−→z1 ,ϕ)−→

(−→x1 ,−→y1 ,−→z1

).

z0

u

θ

z1

v

w

θ

O

x0

y0

z0

u

θz1

v

wθ





) Rot(−→z0 ,ψ)−→

(−→u ,−→v ,−→z0

).


) Rot(−→u ,θ)−→

(−→u ,−→w ,−→z1

).


) Rot(−→z1 ,ϕ)−→

(−→x1 ,−→y1 ,−→z1

).

u

x1

y1

z1

w

O

x0

y0

z0

u

θ

x1

y1

z1

v

wθ

Animation des angles d’Euler


http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/euler1.html

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