C4 Malthus, Solow,Harrod

8/18/2019 C4 Malthus, Solow,Harrod

1/30

(1)

Rela ia (1) esteț ecua ie recursivă.ț

(2)

Rela ia (2) esteț ecua ie cu diferen e de ordin unu.ț ț

În ecua ia (1)ț poate filiniară/neliniară.

Ecua ia dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficien i constan i:ț ț ț

Rezolvarea ecua iilor liniare dinamice discrete cu coeficien i constan i:ț ț ț

1. Rezolvăm ecua ia omogenă:ț

1


2/30

Căutăm o solu ie de formaț :

Împăr im ecua ia laț ț :

ecua ia caracteristică.ț

, rădăcini reale distincte

rădăcini reale egale

rădăcinicomplee con!ugate.

"orma polară a numerelor complee:

2


3/30

#eorema lui $oivre:

cu ișconstante complee.

Înlocuind %n solu ie i făc&nd calculele o' inem:ț ș ț

cu iș constante reale.

olu ia particulară prin metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț ț

3


4/30

se consideră de forma termenului li'er i se pune condi ia ca ea să verifice ecua iaș ț țneomogenă.

Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete ș

Considerăm sistemul dinamic discret

este punct de ecili'ru, fi sau sta ionar, dacă i numai dacă:ț ș

ta'ilitatea*insta'ilitatea punctelor fie:

+ dacă , atunci este asimptotic sta'il i este punct fi de tipșatractor

+ dacă , atunci este asimptotic insta'il i este punct fi de tipșrepelor

4


5/30

istem sta'il, punct fi atractor

istem insta'il

-unct fi repelor

5


6/30

-unct fi atractor, local asimptotic sta'il (traiectoria tinde către traiectoria sta ionară dacăț punctul ini ial este %ntr+o vecinătate a punctului sta ionar de tip atractor).ț ț

-unct fi atractor,glo'al asimptotic sta'il (traiectoria tinde către traiectoria sta ionară dacăț punctul ini ial este %n orice vecinătate a punctului sta ionar de tip atractor).ț ț

EE$-/E

1. 0o'&nda compusă0acă este capitalizată anual la o rată a do'&nzii r pentru un număr de ani t ,atunci plata totală după t ani este:

0acă do'&nda este capitalizată de m ori %n fiecare an, atunci suma totală este:

Rata anuală efectivă a dobânzii%n cazul capitalizării de m ori anual este:

Împăr im la :ț

6


7/30


8/30

au mai general ecua ia recursivă:ț

Considerăm cazul particular:

at =a pentru to iț t :

Rezolvarea ecua iei omogene:ț

olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț

plicăm condi iile Cauc8ț :

olu ia:ț

-unct fi:

8


9/30

tunci:

Condi ia necesară i suficientă de sta'ilitate a traiectoriei:ț ș

.

Încazulnostru :

-entru sistemul este sta'il, mi carea esteșconvergentă, oscilantă.

-entru sistemul este sta'il, mi carea este monotonă,șconvergentă.

-entru sistemul este insta'il, mi care este eplozivă.ș

Eemplu:

9n investitor face un depozit ini ial 1.u.m.pe ; ani i un depozit anual suplimentarț șde:2;u.m.Rata do'&nzii pe pia a monetară este de ;4 pe an.țe cere valoarea depozitului după ; ani:cuY 1. , at a2; to iț t ișb (1 < r ) 1.;.

9


10/30

olu ia:ț

Valoarea prezentă i rata internă a dobânzii ș

-lă ile viitoare c&nd do'&nda este capitalizată sunt:ț

=aloarea prezentă a sumei , este:

În acest caz r se nume teș rată de scont .

uma (-=+-) se nume teș taxă de scont.

pera iunea de scont !sau de scontare":ț cumpărarea de către o 'ancăcomercială aunorpoli e (sau 'ilete la ordin,citan e sau scrisori de scim', efecte comerciale)ț ț%nainte de scaden ă, cu re inerea din valoarea lor nominală, a do'&nzii p&nă laț țscaden ă i a unui comision.ț ș

Anuitate:

#nuitate #: o serie de plă i %n valoare făcute la intervale constante de timp deț n perioade.

10


11/30

"iecare plată este afectată de o do'&ndă de la data c&nd este făcută p&nă la sf&r itul celorș n perioade.9ltima perioadă nu este afectată de do'&ndă.=aloarea viitoare este "=, la sf&r itul celorș n perioade:

olu ia, respectiv suma primilorț n termeni ai unei progresii geometrice crescătoare infinite:

=aloarea prezentă, %mpăr im "= laț :

Cu solu ia, respectiv suma primilorț n termeni ai unei progresii geometrice descrescătoareinfinite:

Eemplu:

uma de 1 u.m. este depusă la 'ancă la sf&r itul fiecărui an %ntr+un cont de economii i %iș șeste aplică do'&nda capitalizată de >,;4 anual.

a) Care este suma din contul de economii la sf&r itul anului al 1+lea?ș ') Care este suma irului de valori prezente?ș

11


12/30

a)

$aloarea prezentă netă:0iferen a %ntre valoarea reală a 'eneficiului i valoare reală aț școstului

'eneficiul

costul

valoarea prezentă a 'eneficiilor %n fiecare an t

valoare prezentă a costurilor %n fiecare an t.

=aloarea prezentă netă pe o perioadă de n ani:

0acă %&$ @', proiectul de investi ii va fi adoptat.ț

(xemplu:

Aportunitatea acizi ionării unei ma ini cu costulț ș 5u.m.care va duce la cre tereașvenitului cu 3;u.m.%n fiecare an pentru următorii 1 ani. 0upă ; ani eistă o celtuialăde %ntre inere deț ;u.m. Rata de scont considerată este de 64.

0ecizia de investire se va lua %n func ie de valoarea prezentă netă:ț

12


13/30

0eci:

Este necesar să se facă ipoteze asupra ratei de scont, ceea ce introduce o dificultate ma!oră.

A alternativă este de a calcula rata internă a dobânzii !R)*":rata de scont care dă o valoare prezentă netă egală cu zero.

R0B este rata de scont r , care satisface:

În mem'rul st&ng avem un polinom de grad n, eistă deci n solu ii posi'ile.ț

-entru decizia de investi ii de la eemplul precedent avem:ț

Ecua ia are 6 solu ii complee i una negativă.ț ț șingura solu ie reală pozitivă este:țrRB0 ,1132, rRB011,324

Exemplul 2:

Cre terea +altusiană a popula ieiș ț

Bpoteză: %ntre t- iș t , cre tereaș popula iei este propor ională cu nivelul ini ial al popula iei, ț ț ț ț @ este factorul de

propor ionalitate:ț

Este ecua ia cu diferen e, liniară de ordinul unu, omogenă, cu solu ia analitică:ț ț ț

13


14/30

-unct fi:

ta'ilitatea:

sistem asimptotic insta'il, punctfi repelor.

#emă:-entru modelul lui $altus considerăm datele:D1,;- 1Calcula i popula ia pentru t1,..,1, face i graficul, calcula i punctul fi, analiza iț ț ț ț țsta'ilitatea.

Exemplul 3

+odelul arrod *omar, varianta discretă

A' inem o ecua ie cu diferen e de ordinul unu, liniară, omogenă:ț ț ț

Cu solu ia:ț

14


15/30

sistemul este sta'il,

sistemul este insta'il.

-unct fi:

emă:

crie i traiectoria de evolu ie a venitului, calcula i punctul fi, analiza i sta'ilitatea (tipul deț ț ț ț punct fi), face i graficul traiectoriei pentruț t 1+1

Aproximarea liniară a ecua iilor neliniare cu diferen eț ț

"orma generală a ecua iei de ordin unu, neliniară:ț

Eistă punct fi, dacă:

to i t.ț

proimarea liniară de ordinul unu:

15


16/30

Bgnor&nd restul, o' inem:ț

Care este o ecua ie cu diferen e liniată, cu coeficien i constan i, neomogenă.ț ț ț ț

Exemplu:

Modelullui Solow ntimpdiscret

Întimpdiscretavem: venitul la momentult esteprodusde com'ina ia de factoriaianului precedent.ț

func ia deț

produc iemacroeconomică per capita, cuț iș

ratadeprecieriicapitalului fi,

-opula iacre te cu o ratăconstantăț ș n:

dicăindicele de dinamicăeste:

16


17/30

Economiilesunto pondere s din venit isuntegale cu investi iile:ș ț

0e unde:

Împăr im am'ii mem'rii la /ț t+1:

A' inem:ț

au:

Eplicităm capitalul per capita:

17


18/30

În cazul func iei de produc ie Co''+0ouglas per capita cu randamente constante la scală:ț ț

Ecua ia de dinamică a capitalului per capita:ț

au:

0eci:

olu ia sta ionară:ț ț

18


19/30

vem două puncte fie:

0ezvoltarea #a8lor %n !urul punctului :

proimarea liniară este:

Întruc&t este punct fi, , deci:

Rela ie care reprezintă aproimarea liniară a ecua iei de evolu ie a capitalului per capita.ț ț ț

Rescriem ecua ia %n forma:ț

19


20/30

Este o ecua ie cu diferen e liniară, de ordinul unu, neomogenă.ț ț

otăm:

Ecua ia devine:ț

eminar:

1. Considerăm ecua ia capitalului per capita:ț

0etermina i traiectoria de evolu ie a capitalului per capita.ț ț

2. Considerăm valorile:

a. crie i modelul lui olo7 %n mărimi per capita.ț

'. 0etermina i numeric punctele fie ale func ieiț ț :

20


21/30


22/30


23/30

investi iilesuntfunc ie de sporula'solut alț ț

venitului%nintervalul , @ este coeficient de accelerare care arată vitezade transformare a sporului de venit %n investi ii.ț

investi ia autonomă cre te cu o rată constantăț ș g .

u'stituind %n ecua ia de distri'u ie a venitului o' inem:ț ț ț

au, rearan!&nd termenii:

ecua ia omogenăț

"acem ipoteza că solu ia este de forma:ț

-unem condi ia să verifice ecua ia omogenă:ț ț

23


24/30

para'olă conveă care intersectează a'scisa (aa A) %n două puncte

, unde este propensitatea marginală către

economii

%n afara rădăcinilor lui . Rădăcini reale i diferite ale ecua ieiș ț

caracteristice: ,

, %ntre rădăcinile lui , rădăcini complee con!ugate ale ecua ieiț

caracteristice ,

24


25/30

pentru rădăcinile lui , , rădăcinile

ecua iei caracteristicevor fi reale i egaleț ș

Fonele de sta'ilitate:

Zona A:

$i care monotonă:ș mi careamortizată*convergentăș

olu ia:ț

Zona B:

modulul numărului comple

25


26/30

argumentul numărului comple

mi care oscilantă convergentăș

Zona C:

Rădăcini complee con!ugate:

mi care oscilantă divergentăș

Zona D:

, mi caremonotonădivergentăș

olu ia:ț

Zona H:

26


27/30

$i care oscilantă cu amplitudine constantă.ș

Zona E:

Rădăcini reale egale:

$i caremonotonădivergentăș

Zona F:

Rădăcini reale egale:

$i caremonotonăș convergentă.

0eterminarea solu iei particulare:ț

Căutăm o solu ie particulară de forma termenului li'er:ț

-entru determiarea constantei 0, utilizăm metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț

-unem condi ia caț să verifice ecua ia neomogenă:ț

27


28/30

plica ie numerică (seminar):ț

crie i ecua ia de dinamică a venitului i determina i traiectoria venituluiț ț ș ț

naliza i sta'ilitatea traiectorieiț

Calcula i valorile indicatorilor din ta'el pentru t,1,G,1 i face i graficele.ț ș ț

ecua ia caracteristică.ț

28


29/30

modulul numărului comple

argumentul

plicăm condi iile Cauc8:ț

A's:

29


30/30

C4 Malthus, Solow,Harrod

Documents