c2_2

Partea II. Electrostatica 65

2. RELAIILE DINTRE SARCINILE SI

POTENIALELE UNUI SISTEM DE CONDUCTOARE (MAXWELL). CONDENSATOARE

Fie o incint cu peretele conductor n care avem n corpuri

conductoare (pentru simplitate, vom lua n=3). Mediul din jurul conductoarelor este liniar (1.3), iar densitatea de volum a sarcinii electrice este nul v =0. Dac se dau sarcinile electrice ale conductoarelor, atunci rezult unic cmpul electric (D,E) i, ca urmare, potenialele ( 1v , 2v , 3v ). Valorilor ( 1q , 2q , 3q )=(1,0,0) ale sarcinilor electrice le corespund potenialele ale cror valori numerice le notm cu ( 11p , 21p , 31p ); pentru valorile ( 1q , 2q , 3q )=(0,1,0), notm valorile potenialelor cu ( 12p , 22p , 32p ); iar pentru ( 1q , 2q , 3q )=(0,0,1), avem valorile ( 13p , 23p , 33p ). Atunci, din teorema superpoziiei (par.2.1), rezult c pentru sarcinile electrice:

( 1q , 2q , 3q )=( 1Q , 2Q , 3Q )= 1Q (1,0,0)+ 2Q (0,1,0)+ 3Q (0,0,1)

avem potenialele: ( 1V , 2V , 3V )= 1Q ( 11p , 21p , 31p )+ 2Q ( 12p , 22p , 32p )+

+ 3Q ( 13p , 23p , 33p ) sau:

1V = 11p 1Q + 12p 2Q + 13p 3Q 2V = 21p 1Q + 22p 2Q + 23p 3Q (2.1)

3V = 31p 1Q + 32p 2Q + 33p 3Q Relaiile (2.1) constituie prima form a relaiilor dintre sarcinile i potenialele unui sistem de conductoare. Matriceal, relaiile (2.1) se scriu:


=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

QQQ

ppppppppp

VVV

(2.1)

Coeficienii ijp se numesc coeficieni de potenial. Se poate arta (v. cap.3) c matricea coeficienilor de potenial ( )p este simetric

ijp = jip i pozitiv definit: ( ) ( )( ) 0>QpQ T , oricare ar fi matricea ( ) ( )0Q . Atunci, ea este inversabil i avem:

=

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

VVV

QQQ

(2.2)

sau: 1Q = 11 1V + 12 2V + 13 3V

2Q = 21 1V + 22 2V + 23 3V (2.2) 3Q = 31 1V + 32 2V + 33 3V

v=0 1v =1, 1q = 11 >0 0=v 2v =0, 2q = 21


Relaiile (2.2) constituie a doua form a relaiilor dintre sarcinile i potenialele unui sistem de conductoare. Coeficienii ij se numesc coeficieni de influen. Matricea coeficienilor de influen este, de asemenea, simetric i pozitiv definit. Semnificaia lor se obine dnd valori particulare potenialelor n relaiile (2.2). De exemplu (Fig.2.1), pentru potenialele (1,0,0), valorile numerice ale sarcinilor electrice sunt ( 11 , 21 , 31 ). Potenialul electric pozitiv de pe primul conductor face ca sarcina electric adunat pe acest conductor s fie pozitiv. n schimb, pe conductoarele vecine, legate la mas, este atras sarcina electric negativ; cea pozitiv este respins i poate prsi conductoarele, intrnd n mas. Cu ct distanele dintre conductoare sunt mai mici, cu att atracia dintre sarcinile electrice de semne contrarii este mai mare i, ca urmare, se adun mai mult sarcin negativ, prin influen. Conductoarele 2 i 3 au sarcina electric negativ. n prima dintre relaiile (2.2), facem urmtorul artificiu:

1Q =( 11 + 12 + 13 ) 1V - 12 ( 1V - 2V )- 13 ( 1V - 3V )

Fcnd notaiile:

10C = 11 + 12 + 13 , 12C = - 12 >0, 13C = - 13 , 12u = 1V - 2V , 13u = 1V - 3V ,

v=0

1v =1, 1q = 10C >0 0=v 2v =1, 2q = 20C >0 3v =1, 3q = 030 >C

Fig.2.2. Capacit`\i par\iale 0iC .


obinem relaia:

1Q = 10C 1V + 12C 12u + 13C 13u

Procednd asemntor cu toate relaiile din (2.2), obinem a treia form a relaiilor dintre potenialele i sarcinile electrice ale unui sistem de conductoare:

1Q = 10C 1V + 12C 12u + 13C 13u 2Q = 21C 21u + 20C 2V + 23C 23u (2.3)

3Q = 31C 31u + 32C 32u + 30C 3V

Sunt valabile relaiile ijC = jiC i iju = - jiu . Coeficienii ijC se numesc capaciti pariale. Semnificaia lor fizic se obine dnd valori particulare potenialelor corpurilor. Dac toate corpurile au aceleai poteniale (Fig.2.2), atunci ( 1Q , 2Q , 3Q )=( 10C , 20C , 30C ). Pe toate corpurile, se adun sarcin electric de acelai semn. Din cauz c aceste sarcini electrice se resping, la potenialul de 1V, sarcina electric adunat este foarte mic. Dac potenialele corpurilor sunt (0,-1,0), atunci sarcinile electrice sunt ( 12C ,( 21C + 20C + 23C ), 32C ) (Fig.2.3). n acest caz, sarcinile

v=0 1v =0, 1q = 12C >0

0=v 2v = -1, 2q C

Fig.2.3. Capacit`\i par\iale ijC .


electrice adunate pe corpurile conductoare sunt mult mai mari dect atunci cnd toate au acelai potenial, mai ales dac corpurile sunt apropiate. Sunt sarcini de semne contrarii, care se atrag pe corpurile conductoare.

Condensatorul

Fie dou conductoare foarte apropiate n comparaie cu distana pn la peretele incintei, care poate s fie chiar suprafaa de la infinit. A treia form a relaiilor ntre sarcinile i potenialele celor corpuri este (2.3):

1Q = 10C 1V + 12C 12u 2Q = 21C 21u + 20C 2V

Deoarece corpurile conductoare sunt foarte apropiate, capacitile proprii 10C , 20C sunt mult mai mici dect

capacitatea de cuplaj 21C i pot fi neglijate n relaiile de mai sus i, pentru c 12C = 21C =C i 12u = -

21u = u, rezult 1Q = - 2Q = Q. n locul relaiilor de mai sus, avem:

Q = Cu (2.4)

Numim condensator un sistem format din dou corpuri conductoare (numite armturi), care au proprietatea c sarcinile lor electrice sunt egale n modul i de semne contrarii. Constanta C din relaia (2.4) se numete capacitatea condensatorului. Unitatea de msur a capacitii este Faradul (F), care, din pcate, din punct de vedere tehnic, este uria. Din acest motiv, se folosesc deseori submultiplii:

mili. 310 micro.. 610 nano... 910

pico. 1210

qq =1u

qq =1

Fig. 2.4. Condensatorul.

C

Fig.2.5.Simbolulcondensa-torului.


Simbolul condensatorului este cel din Fig. 2.5. Capacitatea condensatorului plan. Fie un condensator (Fig. 2.6), ale crui armturi sunt plane egale, paralele, de arie A. Distana dintre armturi este d, iar mediul izolant dintre armturi are permitivitatea . Pe cele dou armturi, avem sarcinile electrice Q i Q. Cmpul dintre armturi poate fi considerat omogen. Densitatea de suprafa a sarcinii electrice la suprafaa armturii cu sarcin Q este (1.6):

AQctDS === (2.5)

Pentru calculul tensiunii electrice ntre cele dou armturi, alegem ca drum de integrare chiar o linie de cmp c ntre armturi:

AQddDEdEdldu

cc ===== lE (2.6)

De unde:

dA

uQC == (2.7)

Capacitatea lineic a cablului coaxial. Cablul coaxial este format dintr-un fir metalic de raz a i o cma metalic de raz b, ntre care se afl un dielectric de permitivitate (Fig.2.6). Pe unitatea de lungime, se adun sarcina electric lQ . Fie suprafaa

nchis de form cilindric, coaxial cu cablul, cu nlimea de 1m i cu raza R. Bazele cilindrului sunt 1S i 2S , iar suprafaa lateral este lS . Aplicm legea fluxului electric pe suprafaa (v. par.1.9 de la Partea I):

dSnD = 1

1S

dSnD + +2

1S

dSnD lS

QdSl

= nD (2.8)

Q c u

-Q Fig.2.6. Condensator plan.


Din motive de simetrie, putem admite c inducia electric are doar component radial, constant pe suprafaa lateral lS . Atunci,

relaia (2.8) devine:

lSS

RQdSDDdSll

2== (2.9)

de unde R

QD l2

= i:

RQE l2

= (2.10)

Pentru calculul tensiunii electrice ntre cele dou armturi, alegem, ca drum de integrare, chiar o linie de cmp c ntre armturi:

ablnQdR

RQEdldu l

b

a

l

cc 22==== lE

1n 1S n a b lS R D c lQ n lQ 2S

2n

Fig. 2.6. Cablul coaxial.


de unde:

abln

Cl2

= (2.11)

Relaia u-i la bornele unui condensator. Presupunem c

sarcina electric se acumuleaz pe armturile condensatorului prin alimentarea acestora cu cureni (Fig.2.7). Aplicnd teorema conservrii sarcinii electrice pe suprafaa nchis 1 ce nconjoar prima armtur, trecnd prin mediul izolant dintre armturi (v. (3.18), de la Partea

I), rezult dtdQi =1 . Procednd asemntor

pentru suprafaa 2 , rezult dtdQi =2 . De unde

iii == 21 i:

dtdQi = (2.12)

n cazul condensatorului liniar, unde este valabil relaia (2.4), pentru cazul n care capacitatea nu variaz n timp, avem:

dtduCi = (2.13)

Dac lum n considerare sistemul de corpuri conductoare din interiorul incintei i presupunem ca sarcinile lor electrice cresc prin alimentarea cu curenii electrici ki , atunci, prin aplicarea teoremei conservrii sarcinii electrice pe suprafaa primului corp, de exemplu, rezult, la fel ca mai sus:

dtdQi 11 =

1i

1 Q

2 -Q

2i

Fig. 2.7. Curentulcondensatorului.


Utiliznd relaiile (2.2) sau (2.3), obinem:

1i = 11 dtdV1 + 12 dt

dV2 + 13 dtdV3

i, respectiv

1i = 10C dtdV1 + 12C dt

du12 + 13C dtdu13

Reele de condensatoare

Reelele de condensatoare sunt circuite electrice formate doar din condensatoare i surse de tensiune. Din punctul de vedere al teoriei circuitelor electrice, reelele de condensatoare au elemente n exces: exist bucle formate numai din condensatoare i surse de tensiune. Deci, sunt modele de circuite pentru care existena soluiei (u,i) nu este asigurat n domeniul funciilor. Vom vedea totui c se poate determina o soluie (u,Q) n regimul static.

Teorema a 2-a a lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare. Teorema a 2-a a lui Kirchhoff pentru circuite electrice este valabil i pentru reelele de condensatoare: suma tensiunilor laturilor unei bucle este nul:

0=buclak

ku (2.14)

Teorema a 1-a a lui Kirchhoff pentru reele de

condensatoare. Fie un nod (seciune) de condensatoare i fie suprafaa nchis ce trece prin mediul izolant dintre armturile condensatoarelor (Fig.2.8). Aplicm teorema conservrii sarcinii electrice pe suprafaa :

= qdtdi

1Q

1Q

3Q 2Q 2Q

3Q

Fig.2.8. Nod de condensatoare.


Deoarece trece doar prin medii izolante, 0=i , iar

321 QQQq ++= . Rezult:

constantQQQ =++ 321 (2.15)

Valoarea constantei din membrul drept al relaiei (1.15) se obine din evoluia reelei de condensatoare.

Rezolvarea reelelor de condensatoare se face adugnd la relaiile lui Kirchhoff (2.14) i (2.15) valorile tensiunilor de la bornele surselor de tensiune i relaiile dintre tensiunile i sarcinile condensatoarelor (2.4). Pot fi folosite procedurile de soluionare a circuitelor rezistive.

Exemplu. Condensatorul de capacitate 1C este ncrcat cu sarcina electric 0Q , iar

condensatorul 2C este descrcat, comutatorul k fiind deschis. La timpul t=0, se nchide comutatorul, punnd n paralel cele dou condensatoare. S se determine sarcinile i tensiunile condensatoarelor la t>0.

Din prima teorem a lui Kirchhoff, rezult:

uuu == 21 (2.16)

iar din teorema a 2-a rezult:

021 QctQQ ==+ (2.17) La nchiderea comutatorului k, sarcina electric 0Q adunat iniial doar pe armtura condensatorului 1C se redistribuie pe armturile ambelor condensatoare. Folosind relaia (2.4), din (2.17) i (2.16), rezult:

k

1Q 2Q1C 2C

1Q 2Qu

Fig. 2.9. Re\ea decondensatoare.


210CC

Qu+

=

apoi:

2101

1 CCQCQ+

= 21

022 CC

QCQ+

=

Observaie. Vom vedea la par.3 c energia cmpului electric

al unui condensator verific relaia C

QWe 2

2= . n cazul exemplului

de mai sus, unde pentru simplitate vom lua CCC == 21 , apare urmtoarea anomalie energetic: nainte de nchiderea

comutatorului k, energia cmpului electric era C

QWe 2

20

0 = , iar dup

nchidere devine ( )C

QC

QC

QC

QWe 42

2/222

20

20

22

21

==+= . O parte din

energie a disprut. Este o consecin a faptului c circuitul are elemente n exces. Teorema a 2-a a lui Kirchhoff nu este verificat de valorile iniiale ale tensiunilor de la bornele condensatoarelor; ca urmare, nici teorema lui Tellegen (conservarea puterilor) nu este verificat, ea fiind o consecin a teoremelor lui Kirchhoff. O interpretare fizic poate fi gsit n faptul c, la nchiderea comutatorului, n circuit apare un impuls de curent, rezistena circuitului fiind nul. Dar produsul dintre ptratul impulsului i rezistena circuitului este o nedeterminare de forma 0, care poate fi nenul. Dac am nseria cu cele dou condensatoare un rezistor de rezisten R, atunci am obine un model corect de circuit, fr elemente n exces. Prin rezolvarea circuitului, se obin curentul din rezistor (care, de data aceasta, este funcie), puterea disipat n rezistor i energia transformat n cldur n intervalul (0,). Se obine o valoare care nu depinde de valoarea rezistenei rezistorului

i este egal chiar cu energia disprut: C

Q4

20 .


Observaie. A 3-a form a relaiilor dintre sarcinile i potenialele unui sistem de conductoare ne sugereaz adoptarea schemei din Fig.2.10

Conectarea condensatoarelor n paralel. Fie n condensatoare conectate ca n Fig.2.11. Se obine tot un condensator a crui capacitate echivalent este:

ne CCCC +++= ...21 (2.18)

ntr-adevr, dac aplicm la bornele ansamblului tensiunea u, atunci armturile fiecrui condensator k se ncarc cu sarcinile electrice

kQ , kQ . Armturile noului ansamblu sunt formate prin

1Q 2Q nQ u 1C 2C nC

1Q 2Q nQ

Fig. 2.11. Conectarea condensatoarelor [n paralel.

v=0 10C 1Q , 1v 10C 10C 20C 2Q , 2v 23C 3Q , 3v 30C

Fig.2.10. Capacita\ile par\iale pentru conductoarele dintr-o incint`.


conexiunile armturilor ncrcate cu kQ i kQ , deci au sarcini egale n modul i de semne contrarii, ndeplinind condiiile armturilor unui condensator:

nQQQQ +++= ...21 = nuCuCuC +++ ...21 = )...( 21 nCCCu +++

de unde:

ne CCCuQC +++== ...21

Observaii: a) Capacitatea echivalent este mai mare dect oricare din capacitile ce formeaz ansamblul.

b) Dac sunt conectate n paralel condensatoare de capaciti egale C, atunci capacitatea echivalent este nCCe = . Conectarea condensatoarelor n serie. Fie n condensatoare descrcate, conectate ca n Fig.2.12. Se obine tot un condensator a crui capacitate echivalent eC verific relaia:

ne CCCC1...111

21+++= (2.19)

ntr-adevr, avnd n vedere c iniial condensatoarele au fost descrcate, din teorema a 2-a a lui Kirchhoff scris pentru nodurile 1A , 2A , avem, la aplicarea tensiunii u la bornele ansamblului:

021 =+ QQ , 032 =+ QQ ,

de unde rezult c armturile fiecrui condensator se ncarc cu sarcinile Q i Q. Armturile noului ansamblu sunt prima armtur a primului condensator i a doua armtur a ultimului condensator, care au sarcini egale n modul i de semne contrarii (Q i Q), ndeplinind condiiile armturilor unui condensator. Dac tensiunea la bornele fiecrui condensator k este ku , atunci, din a 2-a teorem a lui Kirchhoff rezult:


+++=+++=+++=

nnn CCC

QCQ

CQ

CQuuuu 1...11......

212121

de unde:

ne CCCQu

C1...111

21+++==

Observaii: a) Capacitatea echivalent este mai mic dect oricare din capacitile ce formeaz ansamblul.

b) Dac sunt conectate n paralel condensatoare de capaciti

egale C, atunci capacitatea echivalent este nCCe = .

c) Pentru dou condensatoare conectate n paralel, putem scrie:

2121CC

CCCe += .

1Q 1Q 2Q 2Q 3Q 3Q nQ nQ

1C 1A 2C 2A 3C nC 1u 2u 3u nu u

Fig. 2.12. Conectarea condensatoarelor [n serie.

c2_2

Documents