第11章 3次元回転群とそのリー代数 - So-net1 第11章 3次元回転群とそのリー代数 11.1 SO(3)のリー代数 10.4...

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第 11 章 ３次元回転群とそのリー代数

11.1 SO(3)のリー代数

10.4 節でリー代数を定義したが、以下にその定義を再録する。なお、多くの教科

書に従って本章以降は、 )exp( At の代わりに )exp( Xt と書くこととする。

定義 10.4.1 Ｇをｎ次の線型リー群とすると、任意の実数ｔに対して

Gt )exp( X

となる ),( CX ngl の全体をＧのリー代数（またはリー環）という。

例えば、 )exp( Xt がｎ次の特殊直交群 )(nSO の元であれば、それに対応するX の集

合をリー代数 )(nso という。 )(nso の場合は(10.4.4a)式より、 0XXt および

0Tr X となる。次に、 )exp( Xt がｎ次の特殊ユニタリー群 )(nSU の元であれば、そ

れに対応するX の集合をリー代数 )(nsu という。 )(nsu の場合は(10.4.9)式より、

0XX および 0Tr X となる。

先ず、三次元回転群 )3(SO のリー代数 )3(so を考える。図 9.3.1 において、X-軸、

Y-軸、および Z-軸方向の単位ベクトルをそれぞれ 1e 、 2e 、および 3e と記載すること

とした。説明の都合上本章では、X-軸、Y-軸、および Z-軸を第１軸、第２軸、およ

び第３軸と呼ぶこととする。ベクトルｘを第１軸、第２軸、および第３軸から見た

回転前の座標を 321 ,, xxx とし、回転後の座標を ',',' 321 xxx とする。

321 ,, xxx と ',',' 321 xxx との関係は、(9.3.2)式を用いて次のようになる。

3

2

1

3

2

1

'''

xxx

xxx

R (9.3.2) = (11.1.1)

ここで、変換行列Ｒは(9.3.3)式を用いて表される。

第３軸を回転軸とする角度θの回転を )(3R と書くと、(2.3.10)式より

1000cossin0sincos

)(,)('''

3

3

2

1

3

3

2

1

RRxxx

xxx

(11.1.2)

となる。リー代数 )3(so を求めるために

)exp()( 33 XR (11.1.3)

となるような３ｘ３行列 3X を求めてみよう。

(11.1.3)式の左辺をθで展開すると、次式が得られる。

000001010

100010001

1000cossin0sincos

)(3R (11.1.4)

(11.1.3)式の右辺をθで展開すると、次式が得られる。

2

33 )exp( XEX (11.1.5)

となるので、無限小変換 3X としては次式が得られる。

000001010

3X (11.1.6)

上式で得られた 3X が(11.1.3)式を満足しているかを調べてみよう。 3X に関して

は、次式が成立することを計算することができる。

,3,2,1,000010001

123 nnnX (11.1.7a)

,3,2,1,1 312

3 nnn XX (11.1.7b)

従って、(11.1.3)式の右辺は次のようになる。

0

123

0

23

3 !12!2)exp(

n

n

n

n

nnXXX

100000000

000001010

!121

000010001

!21

0

12

0

2

n

nn

n

nn

nn

100000000

000001010

sin000010001

cos

1000cossin0sincos

(11.1.8)

上式により、 3X が(11.1.3)式を満足していることが証明できた。

同様にして、第１軸を回転軸とする角度θの回転を )(1R と書き、第２軸を回転

軸とする角度θの回転を )(2R と書くと、次式が成立する。

010100

000),exp()( 111 XXR (11.1.9a)

001000100

),exp()( 222 XXR (11.1.9b)

上式が成立することは、(11.1.4)式と同様にして )(1R と )(2R をθで展開すると、

3

010100

000

100010001

cossin0sincos0001

)(1R (11.1.10a)

001000100

100010001

cos0sin010

sin0cos)(2R (11.1.10b)

となることにより理解できる。 問題 11.1.1 (11.1.9a)式および(11.1.9b)式が成立することを証明せよ。

リー代数 )3(so では、(10.4.4a)式より 0XXt および 0Tr X となる必要がある。

このようなX の一般形は実数のパラメーター 321 ,, を用いて次式のようになる。

00

0

12

13

23

X (11.1.12)

従って、「リー代数 )(nso の総ての元 X は )3,2,1(iiX を基底とする一次結合で表

される」ことが次式を見れば了解できる。

3

1332211

iii XXXXX (11.1.13)

上式より、無限小変換 iX が与えられたとき )3(SO の任意の元は３ケのパラメーター

321 ,, によって3

1

expi

ii X と与えられる。 iX は３次元回転を生成するので、群

)3(SO の生成子と呼ばれている。 iX に対しては、次の交換関係が成立することが容

易に確かめられる。 213132321 ,,,,, XXXXXXXXX (11.1.14)

問題 11.1.2 (11.1.14)式を証明せよ。

上の記載を拡張して、リー代数の一般的な定義を次のように述べることができる。 定義 11.1.1 線形リー群の元である行列の独立成分をｎとすると、ｎケの実数パラ

メーター ),,1( nii に対応してｎケの独立な無限小変換 iX がある。これら iX の張

るベクトル空間を線形リー群のリー代数（またはリー環）と呼ぶ。またｎをリー代

数の次元と呼ぶ。

なお、 iX の張るベクトルの一般形はn

iii

1X で与えられる。

11.2 SU(2)の表現

本節では、２次元特殊ユニタリー群 )2(SU の色々な性質を解説する。表 10.1.1 か

ら、 )2(SU の元Ｕは次の条件を満たすことが必要である。

1det, UEUU n (11.2.1)

4

(11.2.1)式の条件を満たす行列U の一般形は次式のようになる。

1, 22U (11.2.2)

ここで、 と は複素数で、それらの複素共役を と と書く。

問題 11.2.1 (11.2.2)式で与えられたU が(11.2.1)式の条件を満たすことを示せ。

(11.2.2)式において、 )4,3,2,1(ixi を実数とすると と は次式で表される。

34 xix (11.2.3a)

12 xix (11.2.3b)

そうすると、 122の条件は次式で表される。

124

23

22

21 xxxx (11.2.4)

)4,3,2,1(ixi を使うとU は次式で表すことができる。

443322113412

1234 σσσσU xxixixixixxixxixxix

(11.2.5)

ここで、 )3,2,1(iiσ は次式で定義されるパウリ行列で、 4σ は単位行列Ｅである。

1001

,10

01,

00

,0110

4321 σσσσi

i (11.2.6)

(11.2.6)式を用いると、次のようなパウリ行列の性質が確かめられる。

(a) Eσσσ 23

22

21 (11.2.9a)

(b) 23113233231221 ,, σσσσσσσσσσσσσσσ iii

(11.2.9b)

(c) Eσσσ i321 (11.2.9c)

(d) 1detdetdet 321 σσσ (11.2.9d)

問題 11.2.2 (11.2.9)式で与えられたパウリ行列の性質を証明せよ。

また、 ),,( 321 σσσ を３次元ベクトルにようにσと書くと、３次元ベクトル

),,( 321 aaaa との成分ごとの積の和を通常のベクトルの内積のように

332211, aaa σσσaσ (11.2.10)

と表すことができる。

パウリ行列の性質(b)より、 パウリ行列の交換子積は次のようになる。

3

12, σσσ kjkj i (11.2.11)

ここで、 BAABBA, であり、 kj は次式で定義される定数である。

321

sgnkjkj (11.2.12)

5

具体的に、 kj の値は次のようになる。

1213132321 (11.2.13a)

1123231132 (11.2.13b)

.,0112112211 etc (11.2.13c)

問題 11.2.3 (11.2.11)式を証明せよ。

次に、スピン回転の生成子 js を次式で定義する。

定義 11.2.1 jj σs21

(11.2.14)

(11.2.14)式の定義と(11.2.11)式の関係を用いると、次式が得られる。

3

1, sss kjkj i (11.2.15)

解説[Ⅰ]の２章において、３次元回転の生成子 zyx jjj ,, を次のように定義した。

y

zz

yijx (2.2.13a)

z

xx

zij y (2.2.13b)

ix

yy

xij z (2.2.11)

zyx jjj ,, の間には、次の交換関係が成立する。

yxzxzyzyx jijjjijjjijj ],[,],[,],[ (2.2.14)

(11.2.15)式の交換関係は、(2.2.14)式の交換関係と全く同じである。ここに、

)3(SO と )2(SU との接点が見えてくる。

次の例題で、パウリ行列と重要な性質を学習しよう。 例題 11.2.1 ２ｘ２複素行列のつくる四次元複素ベクトル空間において、パウリの

行列 )3,2,1(iiσ と 4σ は１次独立な直交基底を作っている。

証明 １次独立性は 0σσσσ 44332211 cccc (2.2.15)

の解が 04321 cccc となることを示せばよい。(2.2.15)式の左辺は

左辺4321

21434321 10

0110

010

00110

cciccicccc

cci

icc (2.2.16)

となるので、左辺がゼロ行列になるためには 04321 cccc でなければならない。

２ｘ２行列の作るベクトルにおける内積 ),( BA は次式で定義されている。

定義 11.2.2 jiji

ji ba2

1,

),( BA (2.2.17)

6

(2.2.17)式の内積の定義を用いると、次式が得られる。

4,3,2,1,,2),( σσ (2.2.18)

(2.2.18)式より、 )3,2,1(iiσ と 4σ の直交性が証明された。証明終

なお、(2.2.18)式の右辺には係数２が付いている。従って、 )3,2,1(iiσ と 4σ は規

格直交とは言えない。(11.2.14)式のスピン行列を用いると、規格直交性を持つ。

例題 11.2.1 より、任意の２ｘ２複素行列A は次のように展開できる。

4

1σA a (2.2.19)

σ と(2.2.19)式の左辺との内積を取ると、次式が得られる。

)(Tr)(),(2

1

2

1,

2

1,

AσAσAσ jj

jiji

ijjiji

ji aa (2.2.20)

上式で、 ij はσ の ji-要素を表した。σ と(2.2.19)式の右辺との内積を取ると、次

式が得られる。

aaaa 22),(,4

1

4

1

4

1

σσσσ (2.2.21)

(2.2.20)式と(2.2.21)式より、展開係数 a が次式のように求めることができる。

)(Tr21 Aσa (2.2.22)

(2.2.22)式の両辺の複素共役を取ると、次式が得られる。

)(Tr21)(Tr

21)(Tr

21)(Tr

21 AσσAAσAσa (2.2.23)

(2.2.22)式と(2.2.23)式より、 a は一般に複素数であることが分かる。

特別な場合として、A がエルミート行列だとすると AA となる。この場合

aa )(Tr21)(Tr

21 AσAσ

となるので、 a は実数となる。これは、２ｘ２エルミート行列の全体が四次元実ベ

クトル空間を作ることに対応している。

更に、 A が 0TrA のエルミート行列の場合は、(2.2.22)式より次式が得られる。

0)(Tr21)(Tr

21)(Tr

21

44 AAEAσa

上式より、この場合は 4a は恒等的にゼロになることを示している。従って、トレー

スがゼロの２ｘ２エルミート行列の全体が三次元実ベクトル空間を形成することに

対応している。

7

11.3 SU(2)行列と三次元実ベクトルの回転

前節の最後に、「トレースがゼロの２ｘ２エルミート行列の全体が三次元実ベク

トル空間を形成することに対応している」ことを説明した。三次元直交座標

321 ,, xxx から、次の行列を用意する。

321

213

xixxixxx

X (11.3.1)

この行列X は、トレースがゼロの２ｘ２エルミート行列 XX である。パウリ行列

を使うと、行列X は次式で表される。 332211 σσσX xxx (11.3.2)

また、X の行列式は次のようになる。

)(det 23

22

21 xxxX (11.3.3)

上式より、 X の行列式は三次元回転で不変な内積（原点からの距離の２乗）で表さ

れることが分かる。

この行列X に対して、 )2(SU 行列U によるユニタリー変換を考える。

UXUX' (11.3.4)

上式を用いると、 'X には次のような性質があることが分かる。

')()'( XUXUUXUUXUX (11.3.5a)

0Tr)Tr()Tr('Tr XUUXUXUX (11.3.5b)

上式より、 'X もまたトレースがゼロの２ｘ２エルミート行列である。

従って、行列 'X も行列X と同様に次のように表すことができる。

'''

''''

321

213

xixxixxx

X (11.3.6)

上式を用いると、 'X の行列式は次のようになる。

)'''('det 23

22

21 xxxX (11.3.7)

一方、

XUXUUXUX det))(det)(detdet()det('det 1 (11.3.8)

なので、ユニタリー変換U は原点からの距離の２乗を不変に保つことが分かった。

2

32

22

12

32

22

1 ''' xxxxxx (11.3.9)

これは、三次元空間の直交変換と同じ性質である。

そこで、三次元の回転行列R と )2(SU 行列U の働きを比べてみよう。まず、回転

行列 )1(R によりベクトルｘをｘ’に写す。この操作を、次式で表わす。

xRx )1(' (11.3.10)

ここで、下付き添字（１）は「第１回目の回転を施す」の意味である。第２回目以

降の回転も、 )2(R などと記載する。

8

さらに、 )2(R で回転して、ｘ’をｘ”に写す。

'" )2( xRx (11.3.11)

そうすると、ｘ”とｘは回転 )1()2()3( RRR で結ばれている。

xRxRRxRx )3()1()2()2( '" (11.3.12)

ここで、 '', XxXx と対応させると、(11.3.10)式に対応して(11.3.4)式型

の変換を考えることができる。

)1()1(' UXUX (11.3.13)

次に、 "" Xx と対応させると、

)2()2( '" UXUX (11.3.14)

となる。(11.3.14)式に(11.3.13)式を代入すると、次式が得られる。

)3()3()1()2()1()2()2()1()1()2(" UXUUUXUUUUXUUX (11.3.15)

上式で、 )1()2()3( UUU である。

(11.3.12)式と(11.3.15)式を比較すると、２回続けて行ったベクトルの回転で現

れる変換行列のかたちが、 )3,2,1(,)()( UR の対応のもとで同じかたちになっ

ていることが分かる。このことを、 )3(SO 行列R と )2(SU 行列U はその積に関して

準同型であると呼ぶ。 三次元の回転行列R で、直交座標系の各座標軸まわりの回転を復習してみよう。

(11.1.2)式より、第３軸を回転軸とする角度θの回転を )(3R と書くと、

1000cossin0sincos

)(,)('''

3

3

2

1

3

3

2

1

RRxxx

xxx

(11.1.2)＝(11.3.16)

となる。上式において、次のように書き換える。

21 xixx (11.3.17)

そうすると、(11.3.16)式の回転は次式で表すことができる。

xixiixixixx )exp()sin(cos)sin(cos''' 2121 (11.3.18a)

33 ' xx (11.3.18b)

(11.3.18a,b)式を再現するような )2(SU 行列によるユニタリー変換 )(3U を求め

ると、次式が得られる。

)2/exp(0

0)2/exp()(3 i

iU (11.3.19)

実際、(11.3.19) 式を用いて(11.3.4)式の右辺を計算すると次式が得られる。

)2/exp(0

0)2/exp()2/exp(0

0)2/exp()()(

3

333 i

ixx

xxi

iUXU

9

'''

'')exp(

)exp(

3

3

3

3 Xxx

xxxxi

xix (11.3.20)

(11.3.20)式は、(11.3.18a,b)式を満足している。

なお、(11.3.19)式の右辺は 3σ を用いて次のように書き直すことができる。

)2/exp(10

012

exp2/0

02/exp)( 33 σU ii

ii

(11.3.21)

例題 11.3.1 行列 )3,2,1(),2/exp()( ji jj σU は )2(SU 行列であり、j-軸まわ

りの角度θの回転を与える。

証明 行列 )3,2,1( ji jσ はトレースがゼロの反エルミート行列であるので、定義

10.4.1 より )(jU は )2(SU 行列であることが分かる。 )(3U が第３軸を回転軸とす

る角度θの回転を表すことは、上で証明した。次に、 )(2U が第２軸を回転軸とす

る角度θの回転を表すことを証明しよう。 )(2U は次のように変形できる。

2cos

2sin

2sin

2cos

)2/exp()( 22 σU i (11.3.22)

上式を用いて )()( 22 UXU を計算すると、次のようになる。

2cos

2sin

2sin

2cos

2cos

2sin

2sin

2cos

)()(3

322 xx

xxUXU

'''

'''cossinsincos

sincoscossin

321

213

21231

23121

xxixxixx

xxxixxxixxxx

(11.3.23)

(11.3.23)式を用いて、各成分ごとに比べると次式がえられる。

3

2

1

31

2

31

3

2

1

cos0sin010

sin0cos

cossin

sincos

'''

xxx

xxx

xx

xxx

(11.3.24)

上式は、第２軸を回転軸とする角度θの回転を再現している。同様にして

2cos

2sin

2sin

2cos

)2/exp()( 11

i

ii σU (11.3.25)

は第１軸を回転軸とする角度θの回転を表すことが証明できる。証明終

例題 11.3.1 より、次式が得られる。

)3,2,1(,2

sin2

cos)( 4 ji jj σσU (11.3.26)

10

問題 11.3.1 (11.3.25)式の )(1U が第１軸を回転軸とする角度θの回転を表すこと

を証明せよ。 問題 11.3.2 (11.3.26)式を証明せよ。 例題 11.3.1 より、 )(jU がリー群 )2(SU の元であることが分かる。その指数関数

の肩にある )3,2,1(,2/ jijσ は、(11.2.11)式より次の交換関係を満足しているこ

とを示すことができる。

213132321 21

21,

21,

21

21,

21,

21

21,

21 σσσσσσσσσ

iiiiiiiii (11.3.27)

(11.3.27)式は(11.1.14)式と同じ交換関係を示しているので、「 )3,2,1(,2/ jijσは )2(su のリー代数を満足している」ことが分かる。

以上の結果より、任意の三次元回転をオイラー角で表した(2.4.7)式

),,(R )exp( Zji )exp( Yji Zjiexp (2.4.7)＝(11.3.28)

に対応する )2(SU 行列は次式で表されることが分かる。

)()()(),,( 323 UUUU (11.3.29)

例題 11.3.2 (11.3.28)式の右辺を計算して

),,(U (11.3.30)

を求めると、 ,,, が )2(SU の条件

1,, 22 (11.3.31)

を満たすことを示せ。

証明 (11.3.29)式の右辺に、(11.3.19)式と(11.3.22)式を代入すると、

)2/exp(0

0)2/exp(

2cos

2sin

2sin

2cos

)2/exp(00)2/exp(

),,(i

ii

iU

2cos)2/)(exp(

2sin)2/)(exp(

2sin)2/)(exp(

2cos)2/)(exp(

ii

ii (11.3.32)

となる。（なお、(11.3.32)式の最後の項は多くのリー代数の教科書に記載されてい

る。しかし、文献[5]の p.129 には少し違う数式が記載されている。この相違は、文

献[5]における三次元回転とオイラー角の記述手法が他の多くの教科書と違う所が原

因である。この分野ではこのような教科書上の記述手法に相違があり、学生が勉強

する時に混乱をまねいている。）

(11.3.32)式の結果より、 と と22とを計算してみよう。

2

cos)2/)(exp(i (11.3.33a)

11

2

sin)2/)(exp(i (11.3.33b)

12

sin2

cos 2222 (11.3.33c)

上式より、(11.3.32) 式の結果は(11.3.31)式の条件を満足していることが分かる。 証明終

11.4 SO(3)と SU(2)との関係 前節では三次元の回転を表す行列として、 )3(SO 行列R と )2(SU 行列U の働きを

調べた。第 j-軸 )3,2,1( j まわりの回転に対応する )2(SU 行列 )(jU は角度θについ

ては例題 11.3.1 に示すように、θ/2 のかたちで依存している。これは )3(SO 行列

)(jR のθ依存性とは対照的である。 )(jR に 2 を代入すると、(11.3.16)式の

例から分かるように元に戻って単位行列になる。

100010001

)2(jR (11.4.1)

一方、 )(jU に 2 を代入すると、(11.3.26)式から

10

01sincos)2( 4 jj i σσU (11.4.2)

となる。(11.4.2)式の最後の項は、（－１）ｘ（単位行列）となっており、

(11.4.1)式の右辺のような単位行列になっていない。

(11.4.2)式の行列は )2(SU では重要なので、次式のようにK と名前を付ける。

10

01K (11.4.3)

)(jU において、さらに 2 回転すると

1001

)4()2()2( jjj UUU (11.4.4)

となり単位行列を得る。従って、 )(jU において角度 )2( の回転を行うと、

)()()()2()2( jjjjj UUKUUU (11.4.5)

が成り立っている。

)3(SO の )20(),(jR による三次元ベクトルｘの回転を考えた場合、

(11.3.10)式より次式のように変換される。

xRx )(' j (11.4.6)

これに対応する )2(SU のユニタリー変換に対しては、(11.3.4)式より次の２通りが

考えられる。

12

))(())((',)()(' jjjj UKXUKXUXUX (11.4.7)

このことは、 )3(SO 行列 )(jR には )(jU のみならず、 )(jUK も対応することを意

味する。 11.5 SU(2)とスピノル 文献[1]や文献[12]を参考にして、三次元回転を(11.1.1)式とは別の方法で記述し

てみよう。なお、本節では座標系として、xyz-直交座標軸系を用いる。次頁の図

11.5.1 に示すように、半径１の球がその中心が xyz-座標軸系の原点Ｏと一致するよ

うに置かれているとする。球面上の点Ｐの座標を ),,( zyx とし、点Ｐと球の南極点Ｓ

とを結ぶ。Ｓの座標は )1,0,0( である。

図 11.5.1 の x-y 平面を複素平面と見なし、直線ＰＳが x-y 平面と交わる交点ζを

),,( zyx と対応させる。この対応では、半径１の球面の北半球上の点は、x-y 平面の

原点を中心とする半径１の円の内部に対応する。南北半球上の点はその円の外部に

対応する。具体的に、x,y,z をζで表せば次式が得られる。

212yix (11.5.1a)

2

2

1

1z (11.5.1b)

問題 11.5.1 (11.5.1)式を証明せよ。 図 11.5.1 と(11.5.1)式とを見比べると、点Ｐが南極点Ｓと一致している場合は点

Ｓは という無限遠点に対応している。無限遠点を除外して考えるならば、南

極点Ｓだけは対応する複素数がない。そこで、 / とおいて、複素数 , を導入

する。そうすると、(11.5.1)式は次のように書き換えることができる。

22

**x (11.5.2a)

22

**1i

y (11.5.2b)

22

2yix (11.5.2c)

22

22

z (11.5.2d)

上式のようにすれば、南極点Ｓは 0,0 に対応している。

問題 11.5.2 (11.5.2)式を証明せよ。

13

図 11.5.1 Ｏを原点とする直交座標系（xyz-座標系）において、半径１の球がその

中心が xyz-座標軸系の原点Ｏと一致するように置かれているとする。球面上の点Ｐ

の座標を ),,( zyx とし、点Ｐと球の南極Ｓとを結ぶ。（文献[12]の図 1.1 を参考にし

て、本図を描いた。）

三次元空間の回転を行えば、図 11.5.1 の半径１の球上の点Ｐ ),,( zyx は同じ半径

の球上の他の点Ｐ’ )',','( zyx に移動する。従って対応する複素平面上の点ζも点

ζ’に移動することになる。あるいは、 ),( が )','( に変換されると言ってもよい。

それでは、 ),( のどのような変換が三次元空間の回転に対応するのだろうか。

),( を(11.3.19)式で定義された )(3U で変換して、 )','( を得たとしよう。

)2/exp(00)2/exp(

''

ii

(11.5.3)

Ｏ

Ｐ

Ｓ

14

上式で現れた複素二成分量 をスピノルと呼ぶ。スピノルはスピンの表示などで

よく使われている。

(11.5.2)式に(11.5.3)式の変換を施せば、 )',','( zyx は ),,( zyx を用いて

)()exp('' yixiyix (11.5.4a)

zz' (11.5.4b)

と表すことができる。これはｚ－軸周りの角度θの回転にほかならない。

問題 11.5.3 (11.5.4)式を証明せよ。

次に ),( を(11.3.22)式で定義された )(2U で変換して、 )','( を得たとしよう。

)2/cos()2/sin()2/sin()2/cos(

''

(11.5.5)

(11.5.2)式にこの変換を行えば、(11.5.2)式の分子と分母に現れる各項は

sin)(cos)**()''*'*'( 22 (11.5.6a)

)**()''*'*'( (11.5.6b) cos)(sin)**()''( 2222

(11.5.6c) )()''( 2222

(11.5.6d) と表すことができる。上式により、 )',','( zyx は ),,( zyx を用いて

))(exp()''( xizixiz (11.5.7a)

yy' (11.5.7b)

と表すことができる。これはｙ－軸周りの角度θの回転にほかならない。

以上のことから、(11.1.1)式でオイラーの角 ),,( で表される三次空間の回転と),( の変換とを、(11.3.32)式で求められた )2(SU 行列 ),,(U を用いて

**),,(

''

abba

U (11.5.8)

と対応づけることができる。 (11.5.8)式の最後の項で定義した二つの複素数 a,b は

2

cos)2/)(exp( ia (11.5.9a)

2

sin)2/)(exp( ib (11.5.9b)

と定義することができる。これらの複素数 a,b はケーリー・クラインのパラメータ

と呼ばれている。なお、明らかに 122 ba である。

15

11章 問題解答 問題 11.1.1 (11.1.8)式と同様な手順で証明できる。

問題 11.1.2 (11.1.14)式に(11.1.6)式、(11.1.9a)式、および(11.1.9b)式を代入

し、行列の計算を具体的に行うことによって証明することができる。

問題 11.2.1 (11.2.1)式の左辺に、(11.2.2)式の一般形を代入すれば証明できる。

問題 11.2.2 (11.2.6)式を(11.2.9)式に代入すれば証明できる。

問題 11.2.3

例えば、(11.2.9b)式を用いて 21,σσ を愚直に計算してみると、次のようになる。

31212122121 2, σσσσσσσσσσσ i

一方、3

1212 σi は次のようになる。

3321332122211121

3

121 2100222 σσσσσσσσ iiii

従って、 2,1 kj 場合の(11.2.11)式が証明された。他の場合も同様に証明できる。

問題 11.3.1 (11.3.23)式と同様な計算を行えば、証明できる。

問題 11.3.2 問題の式の右辺にパウリ行列の値を代入して、(11.3.19)式や

(11.3.22)式や(11.3.25)式と同じになることを示せば、証明できる。