BAB II METODE INTEGRASI Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah: Substitusi, 1) Integral Fungsi Trigonometri, 2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri, 3) Integral Parsial 4) Integral Fungsi Rasional, dan 5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri 1. Metode Substitusi Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 28
65
Embed
C · Web viewSoal-soal Kerjakan soal berikut sebagai latihan Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB II
METODE INTEGRASI
Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-
metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan
dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah
integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan
6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode
mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah:
Substitusi,
1) Integral Fungsi Trigonometri,
2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri,
3) Integral Parsial
4) Integral Fungsi Rasional, dan
5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
1. Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya
digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus
integral tak tentu, yaitu;
a. asalkan n -1 atau
b. asalkan n -1
Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika
integrannya berbentuk funsi berpangkat yaitu atau bentuk lain
yang tidak sejenis dengan tanda integrasinya, misalnya ,
atau yang lainnya.
Jika integrannya maka yang disubstitusi adalah
dan jika integrannya maka yang disubstitusi adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-28
Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian
didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umuma. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:
Tentukan integral fungsi-fungsi berikut:
1.
Jawab
Substitusikan
Substitusi bentuk terakhir ke , diperoleh
Dengan rumus dasar di dapat
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Substitusi
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-29
Sehingga
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Substitusi
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-30
Akhirnya diperoleh
4.
Jawab
Substitusikan
Sehingga
Akhirnya diperoleh
5.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-31
Sehingga
Akhirnya diperoleh
6.
Jawab
Substitusi Misal
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-32
7.
Jawab
Substitusi
Sehingga
Akhirnya diperoleh
8.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-33
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-34
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
B. Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih
mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan
antiturunannya. Bentuk dasar integral fungsi trigonometri tersebut adalah:
1)
2)
3)
4)
5)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-35
6)
Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,
selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-
masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di
bahas adalah:
a. Bentuk dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m
digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas dan diferensial atau
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara
integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.
Contoh:
1.
Jawab
Sehingga
2.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-36
Sehingga
3.
Jawab:
Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan
substitusi terlebih dahulu. Substitusikan dan atau
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Kasus 2 m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan
menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
sehingga atau
Contoh:
Tentukan pengintegralan berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-37
1.
Jawab
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Substitusikan Misal diperoleh atau , sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-38
Akhirnya diperoleh
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-39
8)
9)
10)
b. Bentuk
Terdapat dua kasus pada pengintegralan .
Kasus 1 : m atau n ganjil
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih salah satu m atau n. Jika
dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n
menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan
identitas dan sifat diferensial dan
dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara
sebelumnya.
Contoh
1.
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-40
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilihu salah satu dan diubah menjadi