C Razones y Proporciones

Razones y ProporcionesProf: Moisés David Huamán Ramírez

Razones y Proporciones

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.

Por Diferencia Consiste en determinar en cuanto excede una

de las cantidades de la otra. La razón por diferencia, se le sabe llamar “RAZON ARITMÉTICA”. Ejm:

9 – 6 = 3 (razón aritmética = 3)

Se puede decir que nueve excede a seis en 3 unidades

Consiste en determinar en cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra. La razón por cociente, se le sabe llamar “RAZON GEOMÉTRICA”. Ejm:

(razón geométrica = 4)

Se puede decir que 4 unidades de la primera cantidad (8) hay 1 cantidad de la segunda cantidad (dos)

Por Cociente

41

4

2

8

Los términos de la razón aritmética y geométrica son el antecedente y el consecuente. Ejm:

13 - 10 = 3

Ejm:

Términos de la Razón

Antecedente

Consecuente

28

16

Consecuente

Antecedente

PROPORCIÓN

Es la comparación de dos razones iguales ya sean ARITMÉTICAS O GEOMÉTRICAS

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

EN GENERAL:

a-b = c-d “Se lee “a” es a “b”, como “c” es a “d” Donde: • “a” y “c” son antecedentes• “b” y “d” son consecuentes• “a” y “d” son términos extremos• “b” y “c” son términos medios

CLASES DE PROPORCIONES ARITMÉTICASPROPORCIONES ARITMÉTICAS DISCRETAS

Es aquella cuyos términos son diferentes:

16 – 9 = 11 - 4PROPORCIONES ARITMÉTICAS CONTINUA

Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamado media diferencial o media aritmética.

15 – 8 = 8 -1 medios Donde se cumple que la media diferencia es igual a la suma semi-

suma de los extremos:

2

1158

Propiedades Fundamentales de las Proporciones Aritméticas

En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.Es decir:Ojo: en una proporción aritmética discreta a cada uno de los cuatro términos se les llama «cuarta diferencial»Ejm: Hallar la cuarta diferencial de 10, 4 y 8Ejm: Hallar la media diferencial de 8 y 2Ejm: Hallar la cuarta diferencial de 2 y 8

cbdadcba

PROPORCIÓN GEOMÉTRICAEs la comparación de dos razones geométricas iguales: Ejm: , se lee seis es a tres, como ocho es a cuatro: En general:

4

8

3

6

dc

ba

a y c son antecedentesb y d son consecuentes a y d son términos extremosb y c son términos medios

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICASPROPORCIONES GEOMÉTRICAS DISCRETASEs aquella cuyos términos son diferentes: Ejm: , se lee doce es a tres, como diesiseis es a cuatro: En general:

416

312

416

312

………..y ……… son antecedentes………..y ……… son consecuentes ………..y ……… son términos extremos………..y ……… son términos medios

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Es aquella cuyos términos son diferentes Ojo: A cada uno de los cuatro términos se les llama «cuarta proporcional», respecto a las otras tres.De esta expresión se puede afirmar que :• 12 es cuarta proporcional de: 3; 16; y 4• 3 es cuarta proporcional de: 12; 16; y 4 • 16 es cuarta proporcional de: 12; 3; y 4• 4 es cuarta proporcional de: 12; 3; y 16

416

312

PROPORCION GEOMÉTRICA CONTINUA

Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamando a cada uno de los medios; media proporcional o media geométrica, y a cada uno de los extremos tercera o tercia proporcional.

Ojo la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos: Entonces

36

612

6 = media proporcional12 y 3 = tercera o tercias proporcional

6363126 x

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PR0PORCIONES GEOMÉTRICAS

En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al productos de los medios. Es decir:

dc

ba cxbdxa

extremo medios