C¸ OK PENCEREL˙I KES ˙IRL ˙I ZAMAN FREKANS ANAL ˙IZ ...birc¸ok is¸aret (ses, muzik, biyolojik, sismik, makina¨ titres¸imleri vs.) zamanla degis¸en frekans˘ ¨ozellikleri

ÇOK PENCEREL İ KESİRL İ ZAMAN FREKANS ANAL İZ İ

Yalçın ÇEKİÇ 1 Aydın AKAN 2

Elektrik-Elektronik Mühendislĭgi Bölümü1 Bahçeşehir̈Universitesi, Bahçeşehir,İstanbul

e-posta: [email protected] İstanbulÜniversitesi, 34850, Avcılar,̇Istanbul

e-posta: [email protected]

Anahtar s̈ozc̈ukler: Zaman-frekans analizi, Evrimsel izge, Kesirli Gabor açılımı.

ÖZETBu çalışmada, çok pencereli kesirli Gabor açılımıyardımı ile yeni bir Zaman-Frekans (ZF) analizyöntemi önerilmekte ve ayrık zamanlı durağan ol-mayan işaretlerin spektrum analizine uygulanmaktadır.Kullanılan kesirli Gabor açılımı, dikd̈ortgen olmayanbir ZF kafesi oluşturmaktadır. B̈oylece dar ve genişbandlı işaretlerin ZF analizleri ÿuksek ç̈oz̈unürlük ileelde edilebilmektedir. Önerilen ÿontemin başarımıörneklerüzerinde sunulmaktadır.

1. GİR İŞZaman Frekans (ZF) analizi bir işaretin taşıdığı ener-jisinin, birleşik zaman frekans düzlemine dăgılımınıveya zamanla dĕgişen g̈uç izgesini elde etmekte kul-lanılan bir ÿontemdir [1]. ZF analizinde ana hede-flerden biri, sinyal enerjisinin birleşik ZF düzleminedăgılımını delta fonksiyonu yerelleşmesi ile eldeetmektir; ancak kestirim ÿontemlerinin getirdĭgikısıtlamalar nedeniyle bu genel olarak mümkündĕgildir. Bir ZF analiz ÿontemi olan Evrimsel Spek-trum (ES) yaklaşımı rasgele durağan işaretlerin spek-trum gösterimine benzeyen, ancak zamanla değişenbir işaret g̈osterimine dayanır [2, 3]. Bu Wold-Cramer g̈osterimine g̈ore durăgan olmayan işaretler,rasgele ve zamanla değişen genlik ve faza sahipsinüsoidallerin birleşimi olarak g̈osterilebilirler [2].Buna paralel olarak, ayrık zamanlı, sonlu uzunlukta birx(n) işareti, zamanla dĕgişen genlikli sin̈usoidallerinbirleşimi olarak aşăgıdaki gibi ifade edilebilirmektedir[7]:

x(n) =K−1∑

k=0

X(n, k)ejn2πK k 0 ≤ n ≤ N −1 (1)

Ayrıca x(n) işaretinin evrimsel spektrumuSES(n, k) = 1K |X(n, k)|2 şeklinde verilir ve ke-stirimi için çeşitli yöntemlerönerilmiştir [4, 5, 6, 7, 8].x(n) işaretinin modellenmesi ve ES kestirimi için

2Bu çalışma İstanbul Üniversitesi Bilimsel Araştırma Pro-jeleri Yürütücü Sekreterlĭgince desteklenmiştir. Proje No.: UDP-12/21062002 ve BYP-6/05062002.

gerekli olanX(n, k) çekirdĕgi [7]’de çok pencereliGabor katsayıları kullanılarak elde edilmiştir.

Bir ZF gösterim ÿontemi olan Gabor açılımı,sinyalleri ZF atomu denen ve zamanda ve frekanstaöteleme ile elde edilen taban fonksiyonlarının birleşimiolarak ifade eder [9]. Gabor açılımı sinyal anal-izi alanında çok çeşitli uygulamalarda başarıyla kul-lanılmaktadır. Taban fonksiyonlarıhm,k(n) sabitbir h(n) pencere işlevinin zamanda eşit aralıklarlaötelenmesi ve d̈uzg̈un aralıklarla sin̈usoidal mod̈uleedilmesiyle elde edilir. Bunun sonucunda ZFdüzleminde d̈uzg̈un ve dikd̈ortgen birörnekleme kafesikullanılmış olur. Ancak incelenmekte olan işaret, böylesabit band genişliği ile modellenemiyor ise (sin̈usoidalbileşenlerin toplamından oluşmuyor ise) bu sinyalinGabor g̈osterimi yetersiz bir ZF ç̈ozünürlüğü sergileye-cektir. Ç̈unkü, sinyalin g̈osteriminde gerĕginden fa-zla Gabor atomu kullanılacaktır. Pratikte karşılaşılanbirçok işaret (ses, m̈uzik, biyolojik, sismik, makinatitreşimleri vs.) zamanla değişen frekans̈ozelliklerigösterir ve bu işaretler klasik Gabor analizi için uygundĕgildir.

Çok pencereli Gabor açılımı, sonlu uzunlukta birx(n), 0 ≤ n ≤ N − 1 işareti için [7]

x(n) =1I

I−1∑

i=0

M−1∑m=0

K−1∑

k=0

ai,m,k h̃i,m,k(n) (2)

olarak verilmiştir. Burada kullanılan taban fonksiyon-ları

h̃i,m,k(n) = h̃i(n−mL)ejn 2πK k (3)

h̃i(n) ölçeklenmiş ve periyodik hale getirilmiş(h̃i(n) = hi(n + rN), r tamsayı) sentez penceresiolup birim enerjiye sahip bir ana Gabor penceresindenhi(n) = 2i/2 h0(2in), i = 0, 1, · · · , I − 1 şeklindeelde edilmektedir. BuradaI kullanılan penceresayısını g̈ostermekte,M , K, L, L′ pozitif tamsayılarıML = KL′ = N şartını săglamaktadır. M ve Ksırasıyla zaman ve frekanstakiörnek sayılarını,L veL′ ise zaman ve frekans adımlarını göstermektedir.438

ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ

Çok pencereli Gabor katsayıları

ai,m,k =N−1∑n=0

x(n) γ̃∗i,m,k(n) (4)

ile elde edilir ki burada γ̃i,m,k(n) = γ̃i(n −mL) ej

2πkK n ve γ̃i(n) analiz penceresĩhi(n)’e ikili dik

olacak şekilde hesaplanır [9]. ES kestirimi (1) ve (2)eşitliklerinden,

X(n, k) =1I

I−1∑

i=0

M−1∑m=0

ai,m,k h̃i(n−mL)

=1I

I−1∑

i=0

Xi(n, k) (5)

olarak elde edilir. Ayrıca (4)’deki Gabor katsayılarıyukarıda yerine konarak,

X(n, k) =N−1∑

`=0

x(`) w(n, `)e−j`2πK k (6)

elde edilir ki burada w(n, `) zamanla dĕgişen pencerefonksiyonu

w(n, `) =1I

I−1∑

i=0

wi(n, `)

=1I

I−1∑

i=0

[M−1∑m=0

γ̃∗i (`−mL)h̃i(n−mL)]

olarak tanımlanmıştır. Daha sonra ES hesabı (6)eşitliği kullanılarak veya (5)’dekiXi(n, k) farklı orta-lama ÿontemleri ile birleştirilerek elde edilir. Ancakanaliz edilen sinyal zamanla değişen frekans̈ozelliklerigösteriyor ise, çok pencere ile yapılan sinüsoidal anal-izlerin ortalamasıyla elde edilen ES de yeterli bir ZFçözünürlüğü veremeyecektir.

Durăgan olmayan işaretlerin Gabor analizinde ZFçözünürlüğünü arttırmak amacıyla taban fonksiyon-larında dŏgrusal frekans mod̈ulasyonlu çırplar kul-lanılmakta, veya işaretin zamanla değişen frekanskarakteristĭgine uyumlu yapılmaktadır [8, 10, 11]. Buyöntemlerin bir çŏgunda işareti en iyi temsil eden ta-ban fonksiyonlarını bulabilmek için çok sayıda den-eme yapılarak bunlar arasından seçim yapılmaktadır.Dolayısı ile çok uzun ve zaman alıcı hesaplamalargerekmektedir.

Son yıllarda kesirli Fourier d̈onüş̈umü (KFD) [12],kesirli Fourier serisi [13], ve ayrık zamanlı KFD [14]tanımıüzerinde yŏgun çalışmalar yapılmaktadır.

Bu çalışmada, ayrık zamanlı sinyallerin yüksekçözünürlüklü, zamanla dĕgişen spektrum kestirimi içinçok pencereli kesirli bir ES ÿontemi verilmektedir.Kesirli ES, dikd̈ortgen olmayan bir̈ornekleme kafesiüzerinde tanımlanmış, kesirli Gabor açılımı yardımıylaelde edilmektedir. Bu yeni açılımın taban fonksiyon-ları kesirli Fourier serisi vëornekleme kullanılarak elde

edilmiştir. Bu taban işlevleri ile ZF d̈uzlemi paralelke-narlar biçiminde b̈olütlenmekte ve bunların k̈oşe nok-talarıörnekleme kafesini oluşturmaktadır.

2. KESİRL İ GABOR AÇILIMIBir x(n), 0 ≤ n ≤ N − 1, işareti için ayrık za-manlı kesirli çok pencereli Gabor açılımı aşağıdaki gibitanımlanabilir:

x(n) =M−1∑m=0

K−1∑

k=0

ai,m,k,α h̃i,m,k,α(n) (7)

Burada ai,m,k,α kesirli Gabor katsayılarını,α kesirderecesini g̈ostermekte olup taban foksiyonları,

h̃i,m,k,α(n) = h̃i(n−mL) Wα,k(n)

ve h̃i(n) daha önce oldŭgu gibi bir pencereninölçeklenmesi ve periyodikleştirilmesiyle elde edilir.Wα,k(n) ise kesirli çekirdek fonksiyonudur:

Wα,k(n) = ej[−12 (n

2+(k 2πK sin α)2) cot α+k 2πK n]

Bu çekirdek [13]’deki Kesirli Fourier Serisi (KFS) ta-ban fonksiyonlarının zamandäorneklenmesi ile eldeedilmiştir. (7) eşitlĭgi α = π/2 için klasik Gaboraçılımına d̈onüş̈ur. M , K, L, veL′ paremetreleri klasikGabor açılımındaki parametreler ile aynıdır. Sayısalolarak kararlı bir ç̈ozüm elde edebilmek içinL ≤ Kkoşulu săglanmalıdır.L = K koşulu kritik örnekleme,L < K ise fazlaörnekleme durumunu göstermektedir.Gabor katsayıları klasik Gabor açılımına benzer olarak,

ai,m,k,α =N−1∑n=0

x(n) γ̃∗i,m,k,α(n) (8)

ile verilir ve buradaki analiz fonksiyonları aşağıdakişekildedir:

γ̃i,m,k,α(n) = γ̃i(n−mL) Wα,k(n)

buradãγi(n), (4) eşitlĭgindeki ikili dik analiz pencere-sidir.

Kesirli Gabor taban işlevlerinin tamlık koşulu (7)eşitliği (8)’da yerine konarak

M−1∑m=0

K−1∑

k=0

g̃i(n−mL)γ̃∗i (`−mL)ej[−12 (n

2−l2) cot α]

× ej ωk(n−`) = δ(n− `)olarak bulunur. Analiz ve sentez taban kümelerinindikli ğini gösteren kesirli ikili diklik koşulu ise, yukar-daki tamlık koşulunda ayrık Poisson toplam ilişkisikullanılarak elde edilir:

N−1∑n=0

g̃∗i (n + mK)ejk 2πL (n+mK)γ̃i(n)

×ej(nmK+ m2K22 ) cot α =

L

Kδmδk 439

20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

Synthesis window gi(n)

Am

plit

ud

e

20 40 60 80 100 120

−0.2

0

0.2

0.4

Am

plit

ud

e

Analysis window γi(n)

20 40 60 80 100 1200

0.01

0.02

0.03

0.04

Analysis window γi(n)

Am

plit

ud

e

Time [n]

Şekil 1. Bir Gauss sentez penceresi (enüstte), kri-tik örnekleme (L = 16,K = 16, ortada) ve fazlaörnekleme (L = 8, K = 64, en altta) durumları içinanaliz pencereleriγ.

0 ≤ m ≤ L′ − 1, 0 ≤ k ≤ L − 1. Yukarıdakitamlık ve ikili diklik koşulları, α = π/2 duru-munda klasik sin̈usoidal Gabor açılımının koşullarınadönüşmektedir. Bu da yukarıdaki kesirli açılımın, ayrıkGabor açılımının genelleştirilmiş bir hali olduğunugöstermektedir.

Şekil 1’de, bir Gauss sentez penceresi (enüstte)h̃i(n), n = 0, 1, · · · , 127, ve onun ikili dik çifti γ̃i(n)iki farklı örnekleme parametre kümesi veα = π/4için (9) eşitliğinden hesaplanarak verilmiştir. Or-tadaki şekilde verilen analiz penceresiL = 16,K =16 ile kritik örnekleme durumundaüretilmiştir.Diğer taraftan en alttaki analiz penceresi iseL =8,K = 64 sabitleri ile fazlaörneklemeörnĕgi olarakhesaplanmıştır.

3. KESİRL İ ES ANAL İZ İBu bölümde yukarıda verilen çok pencereli kesirliGabor açılımı yardımıyla bir Çok Pencereli KesirliZaman Frekans ÿontemi önerilmektedir. Verilen birx(n) işaretinin (2) eşitlĭgindeki ayrık zamalı ve ayrıkfrekanslı spektrum g̈osterimini (7)’deki çok pencerelikesirli Gabor g̈osterimi ile karşılaştırarak,i. pencere ilehesaplanacakα kesirli ZF çekirdĕgi aşăgıdaki şekildeelde edilir:

Xαi (n, k) =1I

I−1∑

i=0

M−1∑m=0

ai,m,k,α g̃i(n−mL)

× e−j 12 (n2+(ωk sin α)2) cot α (9)

Daha sonra (8) eşitliğinde verilen kesirli Gabor kat-sayıları yukarıda yerine konarak

Xαi (n, k) =N−1∑

`=0

x(`) pαi (n, `) e−jωk` (10)

20 40 60 80 100 120−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Am

plit

ud

e

pi(32,l) and p

i(80,l) windows and their spectrograms

20 40 60 80 100 120−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Am

plit

ud

e

20 40 60 80 100 120

1

2

3

Time [n]

Fre

qu

en

cy [ra

d]

Şekil 2. Evrimsel Spektrum hesabında kullanılanpi(n, `) penceresi;n = 32 (üstte) ven = 80 (ortada)ve bunların ES’ları (altta).

bulunur. Buradaki zamanla değişen ve kesirli(sinüsoidal olmayan biçimde) modüle edilmiş pencerefonksiyonu,

pαi (n, `) =M−1∑m=0

h̃i(n−mL)γ̃∗i (`−mL)ej12 (`

2−n2) cot α

ile verilmektedir. Sonuç olarakx(n) sinyalinin kesirlive çok pencereli ZF spektrumu

Sαi (n, k) =1K|Xαi (n, k)|2, i = 0, 1, · · · , I − 1

şeklinde elde edilir. Sαi (n, k), daha önce oldŭgugibi çeşitli ortalama ÿontemleri ile birleştirilerek sonuçelde edilebilir [7]. Ayrıca pαi (n, `) penceresi işarettenbăgımsız olarak hesaplanabilecek ve yukarıdaki evrim-sel spektrum hesabı FFT ile işlem yükü azaltılarakyapılabilecektir. Şekil 2’de, pαi (n, `) penceresi birölçek seviyesinde veα = π/4 kesir derecesi için,n = 32 (üstte) ven = 80 (altta) zaman noktaları içinverilmiştir.

Ayrıca g̈osterilebilir ki, pαi (n, `), ∀i, pencerelerininbirim enerjiye normalize edilmesi durumunda, çokpencereli kesirli ES, işaret enerjisini korumaktadır.

4. UYGULAMALARZaman eksenine biriπ/4 diğeri ise −π/4 radyanaçı yapan iki çırpın birleşiminden oluşan bir işaretigözönüne alalım. Kesirli evrimsel spektrum yöntemiile bu sinyal, iki ayrı kesir derecesi ile analiz edilmiştir.Şekil 3’da bu sinyalinα = π/4, L = 2,K = 128, I =3 kullanılarak hesaplanan kesirli ES kestirimi, ZFdüzleminde analiz ÿonteminin yarattı̆gı dönüş̈un etk-isi yok edildikten sonra verilmektedir. Ayrıca sinyalinES’si α = −π/4 ile de hesaplanmış ve Şekil 4’degösterilmiştir. Dikkat edilirse, analizde kullanılan kesirderecesi, dolayısı ile kullanılan ZF̈ornekleme kafesi,440

ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ

herhangi bir sinyal bileşeninin ZF davranışına uyumgösterdĭginde, o bileşenin spektrumu daha yüksekçözünürlük ile elde edilebilmektedir.

5. SONUÇLARBu çalışmada ayrık zamanlı, durağan olmayan sinyalleriçin zamanla dĕgişen ve ÿuksek ç̈ozünürlüklü bir güçspektrumu kestirebilmek için, kesirli bir evrimsel spek-trum analiz ÿontemi sunulmuştur.İşarete ait evrim-sel çekirdek, çok pencereli kesirli bir Gabor açılımıyardımıyla elde edilebilmektedir. Uygulama sonuçları,analizde kullanılan kesir derecesi, işaretin frekansiçeriğine uyum g̈osterdĭginde, ÿuksek ç̈ozünürlüklü birevrimsel spektrum elde edilebildiğini göstermiştir.

0.51

1.52

2.53

20

40

60

80

100

120

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Frequency [rad]

Fractional Evolutionary Spectrum for α= π/4

Time [n]

S(n

,ωk)

Şekil 3. Kesişen çırp işaretininα = π/4 ile kesirli ESkestirimi.

0.51

1.52

2.53

20

40

60

80

100

120

0

0.1

0.2

0.3

Frequency [rad]

Fractional Evolutionary Spectrum for α= −π/4

Time [n]

S(n

,ωk)

Şekil 4. Aynı işaretinα = −π/4 ile kesirli ES kestir-imi.

KAYNAKLAR

[1] Cohen, L., Time-Frequency Analysis. PrenticeHall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.

[2] Priestley, M.B., “Evolutionary Spectra and Non–stationary Processes,”J. of Royal Statistical Soci-ety, B, Vol. 27, No. 2, syf. 204–237, 1965.

[3] Melard, G., and Schutter, A.H., “ Contributionsto Evolutionary Spectral Theory,”J. Time SeriesAnalysis, Vol. 10, syf. 41-63, Jan. 1989.

[4] A. S. Kayhan, A. El-Jaroudi, and L. F. Chaparro,“Evolutionary Periodogram for Non-StationarySignals,” IEEE Trans. on Signal Proc., Vol. 42,No. 6, syf. 1527–1536, June 1994.

[5] A. S. Kayhan, A. El-Jaroudi, and L. F. Cha-parro, “Data-Adaptive Evolutionary Spectral Es-timation,” IEEE Trans. on Signal Proc., Vol. 43,No. 1, syf. 204–213, Jan. 1995.

[6] S.I. Shah, L. F. Chaparro, and A. S. Kayhan,“Evolutionary Maximum Entropy Spectral Anal-ysis,” IEEE Proc. ICASSP–94, Vol. IV, syf. 285–288, Adelaide, Australia, Apr. 1994.

[7] Akan, A., and Chaparro, L.F., “Multi–windowGabor Expansion for Evolutionary Spectral Anal-ysis,” Signal Processing, Vol. 63, syf. 249–262,Dec.1997.

[8] Akan, A., and Chaparro, L.F., “EvolutionaryChirp Representation of Non-stationary Signalsvia Gabor Transform,,” Signal Processing, vol.81, no. 11, syf. 2429-2436, Nov. 2001.

[9] Wexler, J., and Raz, S., “Discrete Gabor Expan-sions,” Signal Processing, Vol. 21, No. 3, syf.207–220, Nov. 1990.

[10] Akan, A., and Chaparro, L.F., “Signal-AdaptiveEvolutionary Spectral Analysis Using Instan-taneous Frequency Estimation,” IEEE-SP Pro-ceedings of International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis - TFTS’98,syf. 661–664, Pittsburgh, PA, Oct. 6-9, 1998.

[11] Bultan A., “A Four–Parameter Atomic Decompo-sition of Chirplets,”IEEE Tans. on Signal Proc.,Vol. 47 syf. 731–745, 1999.

[12] Almeida, L.B., “The Fractional Fourier Trans-form and Time–Frequency Representations,”IEEE Trans. on Signal Proc., Vol. 42, No. 11, syf.3084–3091, Nov. 1994.

[13] Pei, S.C., Yeh, M.H., and Luo, T.L., “Frac-tional Fourier Series Expansion for Finite Signalsand Dual Extension to Discrete–Time FractionalFourier Transform,”IEEE Trans. on Signal Proc.,Vol. 47, No. 10, syf. 2883–2888, Oct. 1999.

[14] Candan Ç., Kutay, M.A., and̈Ozaktaş, H.M.,“The Discrete Fractional Fourier Transform,”IEEE Trans. on Signal Proc., Vol. 48, syf. 1329–1337, Mayıs 2000. 441