信号処理 第6回講義 2 今日学習する事項 離散時間信号のフーリエ変換(第３章) 離散時間フーリエ変換（ 3.1節）(復習) エイリアジング（ 3.2節） 離散時間逆フーリエ変換（ 3.3節）
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信号処理
第6回講義
2
今日学習する事項
離散時間信号のフーリエ変換(第３章)
離散時間フーリエ変換（ 3.1節 ）(復習)
エイリアジング（ 3.2節 ）
離散時間逆フーリエ変換（ 3.3節 ）
第3章離散時間信号のフーリエ変換
4
離散時間フーリエ変換の位置づけ
離散時間信号
周期信号
連続時間信号
非周期信号
フーリエ級数(Fourier Series)
離散時間フーリエ級数(Discrete-TimeFourier Series)
フーリエ変換(Fourier Transform)
•離散時間フーリエ変換(Discrete-Time
Fourier Transform)
•離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)
x(t)
拡張
5
インパルス列による離散時間信号の表現
0 1 2 3 4 5 6 7-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
時刻
信号値
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1
2
3
4
5
6
7
時刻
信号
値
アナログ信号xA(t)
×
離散時間信号
積
離散時間信号(実際には数列)が，アナログ信号xA(t)とインパルス列s(t)との積で表される見かけ上は，連続時間信号であると式の上で解釈
サンプリング周期T
インパルス列s(t)
nTt
ttx sA
0 1 2 3 4 5 6-1
0
1
2
3
4
5
6
7
時刻
信号値
6
インパルス列による離散時間信号の表現(2)
2.3
)(
:
)2.3(0
00
1.3
ttx
nTttx
nTttxnTtnTx
nTx
tx
T
t
tt
nTtt
t
sA
nA
nA
n
A
ns
s
の関係離散時間信号
と るアナログ信号・ インパルス列によ
サンプリング周期
：
・ インパルス列
インパルス列 stは，アナログ信号であるインパルス tの和であるため
連続関数とみなすと，離散時間信号（実際には数列）を，見かけ上t の連続信号として表現可能
離散時間信号
連続信号
txA
1n
2n
0n
サンプリング周期T
nTtnTxn
7
離散時間フーリエ変換の導出
(3.3)
(3.3)
(3.3)
( 13)
A
An n
j tA
n
j tA
n
j tA
x t
x nT t nT x t t nT
X x t t nT e dt
x t t nT e dt
t P
x t t nT e dt x nT e
アナログ信号 をサンプリングして得られる離散時間信号は
式 となるので
フーリエ変換の対象を式 とすると
ここで、インパルス の性質 より、
j nT
j nT
n
X x nT e
なので
(3.4) or (3.11)
nTjnTt
tjA
tjA
enTx
etx
dtnTtetx
離散信号に対するフーリエ変換式
8
離散時間フーリエ変換(discrete-time Fourier transform)
クトル離散時間フーリエスペ
、離散時間フーリエ変換
サンプリング周期
のフーリエスペクトル離散時間信号
:
:
)4.3(
D
n
nTjD
D
X
T
enTxX
XnTx
9
例題1（離散時間フーリエ変換）
右図の離散信号 x(nT) の離散時間フーリエ変換 X() を求めよ.
解答
jjjjjj
jjj
n
nj
n
nTj
eeeeee
eeee
enTxX
T
n
n
n
nTx
2
1coscos21
3
11
3
1
3
1
3
1
)3.3(1
5,4,30
2,1,03
1,2,10
2102
0
よりであるので、式また
グラフより
ｔ0
x(nT)
1 2 3 4 5 6-1-2-3
3
1
10
例題1（離散時間フーリエ変換）
5,4,30
2,1,01
,2,10
n
n
n
nTx
n0
x(nT)
1 2 3 4 5 6-1-2-3
3
1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos213
1
cos213
1
X
eX j
振幅スペクトル |X()|離散時間信号
離散時間フーリエ変換
T = 1 s
Ts 2
Ts 2
11
フーリエ変換と離散時間フーリエ変換の関係（重要！）
サンプリング角周波数ただし、
とすると
ペクトルを の離散時間フーリエス離散時間信号
を のフーリエスペクトルアナログ信号
:2
)12.3(1
,
T
kXT
X
X
nTx
Xtx
s
ksAD
D
A
•(3.12)右辺 → アナログ信号のフーリエスペクトルXA() が s の周期で繰り返される形式。
12
フーリエ変換と離散時間フーリエ変換の関係の導出
nsA
nsA
nsA
tj
nD
n
tj
n
tj
nD
nXT
dvnvvXT
dvnvT
vXdtenTttxX
txtx
nTttxtxtx
dvvXvXtxtx
dtenTttxdtenTttxX
11
2
2
1
)15.3(
,
2
1
)26.2(
)15.3(
)6.3()5.3(
21
21
2121
られるのでのフーリエ変換と考え右辺は、積式
と考えると、上式で
み式よりの周波数領域たたみ込式
を代入するとへ式
F
フーリエ変換の定義
との積自体のtxtx 21 と
2
2
( 27 3)
2
n
sn
sn
t nT
nT
p Column
X v v nT
ここでインパルス列 の
フーリエ変換自体は
である ので
13
例題2（インパルス列s(t)の離散時間フーリエ変換、p28)
n
s
n
nTj
n
nTj
n
nTj
n
nTjD
D
n
s
n
sAD
D
A
A
nT
e
B
CeeenTxX
X
Ttx
BnT
nXT
X
X
Ttx
AX
Xtx
2
)C()(
)(1
)4.3(
1
)(21
,
1)12.3(
)(2
2.220
1
よりよって、式
からは、式離散時間フーリエ変換
でサンプルした信号の を一方、
は換の離散時間フーリエ変
でサンプルした信号 を、間隔式から、
、のフーリエ変換対からページ表教科書
は、エ変換 の連続信号のフーリ
t
……. …….
T
s (t)
14
インパルス列s(t)とそのフーリエ変換()を利用した、離散時間フーリエ変換XD)の導出（別な導出方法）
たたみ込みの定理 (２章（2.23）式) を利用
インパルス列
t
入力信号
xA (t)
離散時間信号
t
時間領域
周波数領域
XA()
フーリエ変換 フーリエ変換 フーリエ変換
() XD()
s(t)
t
xA(t)s(t)積
=
XA()()
たたみこみ
15
nss
n
nTj
n
tj
tj
n
tjs
ns
ne
dtenTt
dtenTt
dtet
nTtt
は、変換（連続時間）フーリエ
のよって、インパルス列
例題2（インパルス列自身の離散時間フーリエ変換、p27)
t
……. …….
T
s (t)
フーリエ変換
…….…….
s ()
ss ss
インパルス列自身のフーリエ変換は、インパルス列
s s s s
16
nsA
nsA
s
nsA
s
nssA
A
AD
nXT
nX
duunuX
duunuX
p
duuuX
XX
1
2
2
2
1
27
2
1
2
1
の結果を代入して
離散時間フーリエスペクトルXDは、元の信号のフーリエスペクトルXAを、s周期でずらしては、足し合わせ、1/T を掛けたもの
17
フーリエ変換と離散時間フーリエ変換の関係
(a) アナログ信号
t
x(t)
(c) 離散時間信号
t
x(nT)
フーリエ変換
(b) アナログ信号の振幅スペクトル
maxmax
(d) 離散時間信号の振幅スペクトル
DX
離散時間フーリエ変換
サンプリング周期 T
T
2
T
4
T
2
T
4
AX
周期T でサンプリング
x(t)が実信号であ
れば，振幅スペクトルはで対称(P13 演習3)
複素フーリエ級数展開と離散時間フーリエ変換の双対性（補足）
周波数領域表現
n0
x(nT)
1 2 3 4 5 6-1-2-3
3
1
- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8- 0 .4
- 0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
振幅スペクトル |X()|
Ts 2
Ts 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
[ d/ ]
Ak
-0
-20
-30 0
02
03
0
0
0.5
1
t [ ]
x (t
)
0-T0
T0
周期 T0 複素フーリエ級数展開
時間領域表現
A0
A1A-1
t
離散時間フーリエ変換
振幅スペクトル
離散 周期
周期離散
19
離散時間信号の振幅スペクトル
DX
T
2
T
4
T
2
T
4
…………….…………….
ksAD kX
TX 1
AX
折り返しスペクトル折り返しスペクトル
s s s ss s
Xd (): 周期s=2/Tの周期関数
max max
20
エイリアジング(aliasing)
2s
離散時間信号の振幅スペクトル
DX
s
アナログ信号の振幅スペクトル
maxmax
AX
2s s2
2s
2
3 s
ssss
ss2
2
3 s
2s
アナログ信号の最高角周波数 max
≦ サンプリング角周波数の1/2 s / 2アナログ信号の最高角周波数 max
＞ サンプリング角周波数の1/2 s / 2
離散時間信号の振幅スペクトル
DX
s
アナログ信号の振幅スペクトル
maxmax
AX
2s s2
2s
2
3 s
ssss
ss2
2
3 s
2s
2s
離散時間信号の－max /2 ≦≦ max /2の周波数領域から、アナログ信号の振幅スペクトルが完全に復元可能
s離散時間信号の－max /2 ≦≦ max /2の周波数領域から、アナログ信号の振幅スペクトルが正しく復元できない。
エイリアジング
x(t)が実信号であれ
ば，振幅スペクトルはで対称(P13 演習3)
21
エイリアジング(aliasing)とナイキスト周波数
エイリアジング： 信号のサンプリングにより、s / 2 以上の角
周波数成分が、それ以下の成分と重なり、サンプリング前の信号の周波数成分とは異なる成分をもってしまう現象。
エイリアジング防止： 元々の信号の上限角周波数を max とすると、2max < s となるようサンプリング角周波数sを設定すれば良い。
エイリアジング防止のためのサンプリング条件
max(=2 fmax)：信号の上限角周波数, fmax： 上限周波数
サンプリング角周波数 s ＞ 2max ＝ 4 fmax
サンプリング周波数 fs ＞ 2 fmax
サンプリング周期max2
1
fT ）間隔ナイキスト（：
）周波数ナイキスト（
Nyquist2
1
Nyquist:2
max
max
f
f
）間隔ナイキスト（：
）周波数ナイキスト（
Nyquist2
1
Nyquist:2
max
max
f
f
22
(補足) ナイキスト周波数を考慮した一般的なアナログ信号のサンプリング方法
1. アナログ信号をサンプリングした離散時間信号の離
散時間フーリエスペクトルを一旦算出し、= s /2 の近辺で振幅スペクトルが充分小さいことを確認す
る。
2. アナログ信号に、広い周波数帯域のノイズが含まれ
ている場合、maxが大きいと解釈できるため、かな
らずエイリアジングが発生すると考え、次のようなエ
イリアジング誤差の低減方法を実施する。
23
(補足) フィルタによるエリアジング誤差の低減方法
原則： 広い周波数帯域のノイズが含まれているアナログ信号を
サンプリングする場合、高周波成分の情報はある程度捨て
ても、所定の周波数成分までは極力忠実に解析する。
方法
1. 解析周波数帯域の上限周波数 fc を設定
2. カットオフ周波数 fc のアナログ低域通過（ローパス）フィルタ
を用いて、アナログ信号の高周波領域を削除。
3. 2 fc 以上のサンプリング周波数を用いて、信号のサンプリン
グを実施
例： CDオーディオ信号では、サンプリング前に fc＝20kHz の
カットオフ周波数をもつローパスフィルタを通過させる。
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