復習 開水路の流れの分類 急変流 Rapidly Varied Flow なし 非定常等流 Unsteady Uniform Flow 漸変流 Gradually Varied Flow あり (定常)不等流 Non-Uniform Flow あり 非定常不等流 Unsteady Non-uniform Flow あり 非定常流 Unsteady Flow なし (定常)等流 Uniform Flow なし 定常流 Steady Flow 空間的変化 時間的変化
復習 開水路の流れの分類
急変流
Rapidly Varied Flowなし
非定常等流
Unsteady Uniform Flow
漸変流
Gradually Varied Flowあり
(定常)不等流Non-Uniform Flow
あり
非定常不等流
Unsteady Non-uniform Flow
あり
非定常流
Unsteady Flow
なし
(定常)等流Uniform Flow
なし
定常流Steady Flow
空間的変化時間的変化
αmF =F = 力, m = 質量, and α = 加速度.
( , ) ( , )Dv v x x t t v x tDt t
v v v vv x t v v t tx t x t
t tv vvt x
α + ∆ + ∆ −= =
∆∂ ∂ ∂ ∂
+ ∆ + ∆ − ∆ + ∆∂ ∂ ∂ ∂= =
∆ ∆∂ ∂
= +∂ ∂ 流体の加速度は だけじゃない。v
t∂∂
第5章 開水路の非定常流
基本に戻って・・・
長さ1
幅1
1 1V h hm hW gV gh
ρρ ρ
= × × =
=
= =
体積:
質量:
重量:
W
1F
2F
水塊に働く力 ( )1 wF ghI gh z hx
ρ ρ ∂= = − +
∂摩擦抵抗 2 1 1b bF τ τ= × × =
水深h
z
wI
1 2
( )
( )
F mF F m
z h v vgh h vx t x
v v z hv gt x x h
αα
ρ τ ρ
τρ
=− =
∂ + ∂ ∂⎛ ⎞− − = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂ +
+ = − −∂ ∂ ∂
b fghIτ ρ=不等流と同様に
z ix
∂= −
∂河床勾配
hgi gx
∂−
∂
212
vx
∂∂
21 02 f
v v hi Ig t x g x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
重要開水路非定常流の運動方程式
21 02 f
v v hi Ig t x g x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
02 f
h vi Ix x g
⎛ ⎞∂ ∂− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
時間変化無し、定常 0t
∂=
∂
非定常流の運動方程式
不等流の運動方程式(漸変流のベルヌイの式)
空間変化無し、 0x
∂=
∂
0fi I− + = fI i= 等流の条件
h
2
2vg
等流の式(マニングの式、ジェジーの式)
2/3 1/ 21.)eg v R in
→ =
21 02 f
v v hi Ig t x g x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
2fvI
C R=Chezy公式では
2 2
43
fn vIR
=Manning公式では
2 2
2
1 02
v v h vig t x g x C R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2
43
1 02
v v h n vig t x g x
R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
非定常流れの連続の式
Q QQ xx
∂+ ∆
∂
x∆
AA A tt
∂→ + ∆
∂
Q AQ Q x t A t A xx t
⎧ ∂ ⎫ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ∆ ∆ = + ∆ − ∆⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
0A Qt x
∂ ∂∴ + =
∂ ∂重要
0A Qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
一様幅の長方形断面では、 ,( ),
A Bh Q Av BhvA h Q BhvBt t x x
= = =∂ ∂ ∂ ∂
= =∂ ∂ ∂ ∂
より
( ) 0h BhvBt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
x方向に幅が変化する場合の連続式
0Bx
∂≠
∂
0Bx
∂=
∂の場合は, ( ) 0h hv
t x∂ ∂
+ =∂ ∂
または
0h qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
0A Qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
定常状態 0t
∂=
∂0Q
x∂
=∂
Q =一定
Q Av=
2
4/3
0
| |
A Qt xu u H gn u uu gt x x h
∂ ∂+ =
∂ ∂∂ ∂ ∂
+ = − −∂ ∂ ∂
定常状態を考えると・・
2
4/3
| |u H gn u uu gx x h
∂ ∂= − −
∂ ∂
212
u uux x
∂ ∂=
∂ ∂
2 2 2
4/3 02
H u n ux x g h
⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
2 2 2
2 2 4/3 02
H Q n Qx x A g A h
⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
Non-uniform flow equation in open channel flow
(不等流の式)
constantQQ Au
==
0A Qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
非定常の連続式と運動方程式
2 2 2
43
1 02
v v h n vig t x g x
R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
等流や不等流のときのように、このままの形でその特性を議論したり、解を求めたりするのは難しい
卒業研究や、大学院で。。
0A Qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
2 2 2
43
1 02
v v h n vig t x g x
R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
ただし、ある条件の下ではその特性を調べることができる。
たとえば、
2 2 2
43
12
v v h n vig t x g x
R
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
1/1000i > 比較的急流な河川
0≈
等流の条件
2 /3 1/ 21v R in
=
擬似等流条件
連続の式だけを使って運動を表す
Kinamatic Wave 理論キネマティックウェーブ
等流の一般的表示は
( )Q Av Q A= =
v R R A∵ は の関数であり、 は の関数なので
( , )A A x t=
dA A dt A dxdt t dt x dt
∂ ∂= +
∂ ∂
( , ) dF F dx F dyF x ydt x dt y dt
∂ ∂= +
∂ ∂一般的に のとき
dA A Acdt t x
∂ ∂= +
∂ ∂dxcdt
≡
0A Qt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
一方 連続式
0A dQ At dA x
∂ ∂+ =
∂ ∂
比較すると・・・・・・・
速度そのもの
Kinematic Wave 理論
( )dQ d vA dA dv dvc v A v AdA dA dA dA dA
= = = + = +
0dAdt
=
dA A Acdt t x
∂ ∂= +
∂ ∂
0A dQ At dA x
∂ ∂+ =
∂ ∂
=
0
Av
dvdA
→
→
>
増加
増加
ゆえに
v>
断面積が変化せずに下流に伝播する。(キネマティック型洪水波)
x
h:c 波の伝播速度
0A dQ At dA x
∂ ∂+ =
∂ ∂0A Ac
t x∂ ∂
+ =∂ ∂
Aが一定速度cで形を保ってx方向に移動する
,
1, , 0, 1
,
X T X Tx x X x T t t X t TX X T Tcx t x t
cx X t X T
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = − = =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, X x ct T t= − =
0A Act x
∂ ∂+ =
∂ ∂代入
0A A Ac cX T X
∂ ∂ ∂− + + =
∂ ∂ ∂0A
T∂
=∂
constantA =
という変数変換を行う
速度 で移動する座標に変換c
速度 で移動する座標上ではAは一定c
x
h:c 波の伝播速度
dvc v A vdA
= + > 波の伝播速度は流速より速い
Kleitz(1887), Seddon(1900)の式
2/3 1/ 2
1/3 1/ 2 2 /3 1/ 2
1
1
2 1 1 2 1 2 53 3 3 3
dv d dhc v A v Bh h idA dh n dA
dhA Bh dA BdhdA B
c v Bh h i v h i v v vn B n
−
⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
= + = + = + =
広長方形断面・Manningの流速公式を用いると
広長方形断面・Chezyの流速公式を用いると
( )
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1
1 1 1 1 32 2 2 2
dv d dhc v A v Bh C hidA dh dA
dhA Bh dA BdhdA B
c v Bh h Ci v Ch i v v vB
−
= + = +
= = =
= + = + = + =
v>
v>
大学院では、
多次元問題、水+α(土砂、植物、動物、水質。。。)
卒論・大学院での研究の紹介
水工・水文学研究室
水の流れを調べる水工・水文学研究室
釧路湿原の保全
サロベツ湿原の環境
網状河川
世界の河川環境(メコン川)
洪水災害の防止
厚別川河口部の氾濫状況
厚別川赤無橋下流の氾濫状況
赤無橋
ミューグリッツ川(ドイツ)(2002年8月13日)
ミューグリッツ川の出水8月13日午後,ミューグリッツ川(エルベの支川)沿川のベーゼンシュタイン村.普段はほんの小さな渓流に,上流の調整池が破堤防して250m3/sの流量が流れ5m以上の浸水があり,川沿いの多くの家屋が流出した.壁だけ残った1枚の壁の上で数人の家族が救援を待つ映像が報道され,衝撃的であったそうである.
HWHW--Situation an der Elbe bei DresSituation an der Elbe bei Dres
急流都市河川の環境
Flood of Aug. 5, 1981Flood of Aug. 5, 1981
Abashiri RiverL=115kmA=1,380km2
Area: 32.9km2
Max. Depth: 16.8m7km
Initial Condition
Two-dimensional plane 100 × 30 computational grids
non-slip condition for wallssec)/(000002.0sec),/(000001.0 22 mDDm yx ===ν
Experiment
t=0.0(sec)
t=2.1(sec)
t=4.1(sec)
t=6.1(sec)
t=12.2(sec)
t=25.1(sec)
Calculation
世界中の河川の研究をやってます。
2002年韓国・タイ・イタリア・ベルギー・オランダチェコ・ドイツ・カナダ・アメリカ
2003年韓国・スペイン・オランダ・ポーランドアメリカ・ドイツ・フィリピン
http://ws3-er.eng.hokudai.ac.jp/yasu
2004年スリランカ・タイ・アメリカ・オランダインドネシア・イタリア・韓国・沖縄