BAB II TEKNIK INTEGRAL Terdapat beberapa macam teknik atau cara pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan (integral tak tentu) suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: 1) Teknik substitusi, 2) Integral fungsi trigonometri, 3) Subtitusi fungsi trigonometri, 4) Integral parsial 5) Integral fungsi rasional, dan 6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri 2.1 Teknik Substitusi Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; a. dx = + c, asalkan n -1 atau
57
Embed
C - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another … · Web view= 5x + x + c 3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy = dy = Soal-soal Tentukan hasil integral berikut ini. 2.3 Substitusi Fungsi
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB II
TEKNIK INTEGRAL
Terdapat beberapa macam teknik atau cara pengintergralan digunakan untuk
menentukan antiturunan (integral tak tentu) suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk
memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik
pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik
pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral
tersebut adalah:
1) Teknik substitusi,
2) Integral fungsi trigonometri,
3) Subtitusi fungsi trigonometri,
4) Integral parsial
5) Integral fungsi rasional, dan
6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Teknik Substitusi
Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk
memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + c, asalkan n -1 atau
b. = + c, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya
menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di
atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran
sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus
dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan
dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
= -
2. =
Substitusi E =
=
d( ) = d
2E dE = 3 dx
dx =
=
=
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 17
= + c
=
2.
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
3. dx
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dx =
dx =
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 18
=
=
=
=
=
4. (4x+2) dx
Jawab
Misal A =
A = 4x 4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga
(4x+2) dx = .A dA
=
=
= + c
5.
Jawab
Misal P =
P = 3t + 4 t =
d(P ) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt dt = , sehingga
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 19
=
=
6.
Jawab
Misal U =
U = 16 - x x = 16 - U
d(U ) = d(16 - x )
2U du = (-2x)dx
dx =
= du
=
= -
=
=
=
7.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2)
2M dM = 3(t+2) dt
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 20
=
=
= + C
= + C
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1)
2)
3)
4)
5)
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 21
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci,
berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk
menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar
tersebut adalah:
1.
2.
3.
=
4.
=
5.
6.
Berdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya diberikan beberapa kasus
bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
a. Bentuk dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 22
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m
digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas
atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin dan .
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan
tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
m bilangan ganjil
1.
Jawab
=
= dx
=
=
=
2.
Jawab
= dx
=
=
=
=
=
3.
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
Sehingga
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 23
=
=
=
=
=
=
Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat
dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin = dan cos
Contoh:
1.
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
= =
=
=
2.
Jawab
= dx
=
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 24
= 42sin
4xx
+
=
=
3.
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = ,
sehingga
=
=
=
=
=
=
=
Karena u = 2x, maka
=
Soal-soal
Tentukan
1.
2.
3.
4.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 25
5.
b. Bentuk
Bentuk ini mempunyai ciri-ciri m atau n ganjil dan m dan n genap sekaligus.
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan,
maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas
dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m
ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1.
Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut
dan sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
1.
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
=
=
=
=
= (teorema 1)
= (hasil teorema 1)
=
2.
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
=
=
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 26
3.
Jawab
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap
=
=
=
=
Atau
=
=
=
=
4.
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
=
=
=
=
=
=
4.
Jawab
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 27
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan
kesamaan setengah sudut sin = dan cos .
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
c. dan
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + dan
1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +
dan 1+cot .
Perhatikan contoh berikut:
1.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 28
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap,
selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +
Sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
=
2.
Karena pangkat n genap, maka gunakan kesaman identintas ,
sehingga didapat
=
=
=
=
=
=
=
=
d. , dan
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n
sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau
Contoh
1.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 29
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan
identitas 1+tan , sehingga diperoleh
=
=
=
=
2.
Jawab
=
=
=
=
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan
substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .
Contoh:
1. =
=
=
=
=
2. =
=
=
= + C
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 30
e. ,
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus
kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =
sin mx sin nx =
cos mx cos nx =
Contoh
1. 3x cos 4x dx = dx
= + sin (-x) dx
= - x + C
2. dx = dx
=
= 5x + x + c
3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy
= dy
=
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
6.
7.
8.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 31
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri
digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. , a Real
b. = , a Real
c. , a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 32
= atau yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat
sempurna.
Bentuk integral yang integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat
diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =
dengan - .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a sin t maka =
=
= a cos t
dx = a cos t dt.
Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam
integral semula.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dx
Jawab
Misal x = 2 sin t sin t =
dx = 2 cos t dt
=
Sehingga
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 33
= 4 = 4 = 2 + 2 dt
=
= +c
Atau 4 = 4 ( + )
= 2 sint cost + 2t + C
= 2 + 2 arc sin + C
=
2.
Jawab
=
Misal (x-2) = 2 sin t, sin t =
dx = 2 cos t dt
, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
3.
Jawab
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 34
Misal (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
= 5 cos t, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2.
3.
4. dx
Jawab
Substitusi x =
dx =
= , sehingga
dx =
= 9
= 9
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 35
=
=
=
=
= + C
=
5.
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk lain yang dapat
diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan
substitusi x = a tan t atau dan dx = a sec , dengan -
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a tan t maka =
=
= a sec t
Selanjutnya bentuk dan dx = a sec .substitusikan ke dalam
integral semula.
Contoh:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 36
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Misal x = 3 tan t
dx = 3 sec t2 dt
3 sec t, sehingga
=
=
= ln
= ln + C
= ln
2.
Jawab
=
=
Misal (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
dx = sec t dan
= sec t, sehingga
=
= - dt
= 2 sec t – 5 ln
= 2
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 37
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,
- .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a tan t maka =
=
= a
Selanjutnya bentuk = a dan dx = a substitusikan ke dalam
integral semula.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 38
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Misal x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
= 3 tan t, sehingga
=
= 3
= 3
= 3 tan t – 3 t + C
= 3
2.
Jawab
=
Misal (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
= 3 tgn t, sehingga
=
=
= ln
= ln
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 39
2.
3.
4.
5.
6.
2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral
yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan
dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit
dibandingkan dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 40
dv = cos x dx , v = dx = sin x
Akibatnya = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
x d(sin x) = x sin x - d(x)
= x sin x - dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C
2. dx
Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
= -
3. e dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = sin x d(
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 41
=
Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = cos x d(
=
=
=
Akhirnya diperoleh
e dx =
=
e dx =
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. dx
8.
9. e dx
10. dx
11. dx
12.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 42
13.
14. dx
15.
16. dx
17. dx
18. dx
19. dx
20. dx
21. dx
22.
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ,
dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional
adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
1. f(x) = …………….fungsi rasional sejati
2. f(x) = …………….fungsi rasional tidak sejati)
3. f(x) = .............fungsi rasional tidak sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang
lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak
sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 43
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka
fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan
diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
f(x) =
= x +
F(x) = , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat
difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran
dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
(Penyebut kombinasi liner berbeda)
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
(kombinasi linear dan kuadrat)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 44
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan
hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …
A dan B , B , …B .
6. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya
dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh
masing-masing konstanta.
7. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh : (Faktor linear berbeda)
1. Tentukan
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
dx =
=
=
=
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
dx =
= -
= ln
= ln
2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 45
=
3.
Jawab
=
=
=
=
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - , B = , C =
Sehingga =
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 46
7)
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. ,
Jawab
Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
=
=
=
=
= dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
= dx
=
= ln
2.
Jawab
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi
fungsi rasional sejati. Sehingga:
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 47
=
Selanjuntnya
=
=
=
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
dx
= 5 ln
3.
Jawab
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
=
=
=
=
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 48
=
= ½ ln
4. dx
Jawab
Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang
integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)
dx =
= +
= +
Selanjutnya dicari =
=
=
=
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4,
atau A = -1, B = , C =
Hasil akhir pengintegralan
-
Soal-soal
Tentukan
1.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 49
2.
3.
4.
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan
berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut
dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan
kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1.
Karena integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
=
=
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo 50
2.
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga