-
El captulo concluye con una seccin de aplicaciones donde se
engloban las frmulas y losconceptos tratados, con problemas que
combinan los diferentes tipos y las modalidades de lasanualidades.
En esa seccin se pretende que el estudiante desarrolle su capacidad
para planteary resolver problemas.
Adems, se hace referencia al concepto de rentas equivalentes,
tan importante como el delas tasas y plazos equivalentes estudiados
en el captulo 4. Y se utiliza para explicar un parde frmulas que
sirven para encontrar el valor presente de las anualidades
anticipadas y el va-lor futuro de las ordinarias.
228 Captulo 5: Anualidades
5.1 Definiciones y clasificacin de las anualidades
Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos
anuales, no necesariamente los pa-gos se realizan cada ao, sino que
su frecuencia puede ser cualquiera otra: mensual, semanal,semestral
o diaria, como se ver en este captulo, pero antes, es necesario
formular algunas de-finiciones importantes relacionadas con el
tema.
Definicin 5.1
Anualidad es una sucesin de pagos generalmente iguales que se
realizan a intervalos de tiempoiguales y con inters compuesto.
Definicin 5.2
Renta de la anualidad es el pago peridico y se expresa con
R.
Definicin 5.3
Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos
sucesivos, y el plazo de la anualidades el tiempo entre las fechas
inicial del primer periodo y terminal del ltimo.
Definicin 5.4
El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce
como capital o valor presente C.Su valor al final del plazo es el
valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.
Quiz los pagos sean iguales entre s, por la misma cantidad, o
diferentes. Ahora se es-tudiar el primer caso y en captulos
subsecuentes el segundo, es decir, las anualidades de ren-ta
variable.
-
Clasificacin de las anualidades
Genricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia
de capitalizacin de intereses,pero es posible que no coincida. Quiz
tambin la renta se haga al inicio de cada periodo o alfinal; o que
la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos
despus. Dependien-do de stas y otras variantes, las anualidades se
clasifican de la siguiente manera:
Segn las fechas inicial y terminal del plazo
Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las
fechas extremas del plazo. Enun crdito automotriz, por ejemplo, se
establecen desde la compra el pago del enganche y elnmero de
mensualidades en las que se liquidar el precio del
automvil.Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al
menos una de las fechas extremasdel plazo. Un ejemplo de este tipo
de anualidades es la pensin mensual que de parte del Ins-tituto
Mexicano del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la
pensin se suspendeo cambia de magnitud al fallecer el empleado.
Segn los pagos
Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan
al comienzo de cada periodo.Un ejemplo de este tipo se presenta
cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta ban-caria
comenzando desde la apertura.Anualidad ordinaria o vencida: cuando
los pagos se realizan al final de cada periodo. Unejemplo es la
amortizacin de un crdito, donde la primera mensualidad se hace al
terminar elprimer periodo.
De acuerdo con la primera renta
Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer
periodo. Un ejemplo de es-ta categora se presenta en la compra de
un departamento, donde el enganche se paga en abo-nos comenzando el
da de la compra.
2295.1: Definiciones y clasificacin de las anualidades
Ejemplo 1
Elementos de una anualidad
Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de
arrendamiento por un ao, pa-ra rentarlo en $6,500 por mes,
entonces:
El plazo es de un ao, la renta es R = $6,500 y el intervalo de
pago es un mes.Adems, si el inquilino decide pagar por adelantado
en la firma del contrato el equivalen-
te a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de
los intereses que devenga el di-nero anticipado, recibir un capital
menor a los $78,000 que obtendra durante el ao. Estecapital es el
valor presente o valor actual de la anualidad.
Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo
deposita en un banco queredita un inters compuesto, entonces el
dinero que al final del ao tendr en la institucinbancaria ser mayor
a los $78,000 y eso ser el monto o valor futuro de la
anualidad.
-
Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el
primer periodo, sino despus.El ejemplo tpico de este caso se
relaciona con las ventas a crdito del tipo compre ahora ypague
despus, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el
primer abono doso ms periodos despus de la compra.
Segn los intervalos de pago
Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas
fechas en que se capitalizan losintereses y coinciden las
frecuencias de pagos y de conversin de intereses. Por ejemplo, los
de-psitos mensuales a una cuenta bancaria que redita el 11% de
inters anual compuesto pormeses.
Anualidad general: cuando los periodos de capitalizacin de
intereses son diferentes a los in-tervalos de pago. Una renta
mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo
deesta clase de anualidades.
Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua,
la cual se caracterizaporque los pagos se realizan por tiempo
ilimitado. La beca mensual, determinada por los inte-reses que
genera un capital donado por personas, o instituciones
filantrpicas, es un claro ejem-plo de estas anualidades.
Todas las anualidades de este captulo son ciertas, las primeras
son simples e inmediatas;tambin se analizan las generales, tomando
en cuenta que pueden convertirse en simples utili-zando las tasas
equivalentes que se estudiaron en el captulo anterior.
Tambin es cierto que los problemas de anualidades se
resuelven:
a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor
presente o el valor acumulado pa-ra np rentas unitarias. En el
apndice de este libro estn las tablas (vase
www.pearsoneducacion.net/villalobos) para algunas tasas i/p y
algunos plazos o nmero de rentas np.
b) Empleando frmulas que para cada clase de anualidad existen y
aqu se deducen, ya quela gran mayora de los ejercicios en este
libro se resuelven de esta manera.
c) Utilizando solamente dos frmulas, la del inters compuesto y
la de la suma de los pri-meros trminos de una progresin geomtrica,
tal como se deducen las frmulas de lasanualidades, en las secciones
5.2 y 5.3.
d) Con programas y paquetera de software que hay en el mercado,
que son de fcil acce-so para el usuario y que fueron elaborados con
fundamento en los conceptos y la teorade las matemticas
financieras. Uno de estos soportes es el que se consigue con la
edi-torial que publica este libro.
Para decidir con acierto cmo plantear o a qu clase de anualidad
corresponde o se ajusta unasituacin particular, se sugiere
considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema.
En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado
para los diagramas de tiempo,utilizaremos rectngulos que
representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho
oizquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago
de la anualidad, utilizando,claro, puntos suspensivos para
representarlos a todos sin tener que graficarlos.
Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete
meses, entonces una gr-fica ser la figura 5.1, donde los depsitos
estn al final de cada periodo, y el monto que seacumula est al
final del ltimo rectngulo.
230 Captulo 5: Anualidades
-
En esta grfica se aprecian dos puntos importantes.
El plazo real no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el
primer mes no interviene,salvo que el trato se haya realizado al
inicio; en la prctica, lo ms comn es que el pri-mer depsito se
realice al comenzar el plazo.En el momento en que se retira el
monto acumulado de los anteriores, se realiza el lti-mo depsito.
Esto no tiene razn de ser ya que este pago no se incluira.
En consecuencia, cuando de la sucesin de rentas se requiera el
monto, stas debern con-siderarse al inicio de cada periodo, siendo
el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde lasflechas
horizontales indican que cada renta se traslada en el tiempo hasta
el final del plazo,sumando los intereses de cada una y sumndolas
todas.
2315.1: Definiciones y clasificacin de las anualidades
R R R R
1 2 3 7
MontoFIGURA 5.1
R1 R2 R3 R7
Monto M
M1
M7M3M2
1 2 3 7
FIGURA 5.2
R1 R2 R3 Rn
Capital C
1 2 3 N-simo
C1
CNC3C2
FIGURA 5.3
Contrariamente, si de las rentas se requiere el valor presente
al comenzar el plazo, entonces s-tas debern ubicarse al final de
cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3.
-
Esto significa que al no especificarse lo contrario las
anualidades anticipadas se asociarncon el valor futuro al trmino
del plazo, mientras que las ordinarias sern asociadas con su va-lor
presente al comenzar el plazo; es decir,
232 Captulo 5: Anualidades
Anualidadanticipada
Anualidadordinaria
Valor futuroo monto
Valor presenteo capital
Renta
N-simo21
Monto
de cada renta se evala el monto
Por supuesto que lo anterior no es una regla y, como se estudiar
despus, en muchas oca-siones el monto se relaciona con rentas
vencidas; y el valor presente, con una serie de
rentasanticipadas.
Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada
renta har las veces de capitalal considerar el monto de la
anualidad, y ser un monto cuando se trate del valor presente.
FIGURA 5.4
Renta
N-simo21
Capital
de cada renta se evala el capital
FIGURA 5.5
Ejercicios5.1
l. Defina y explique plazo e intervalo de pago en las
anualidades.
2. Cmo se definen las anualidades y la renta de una
anualidad?
3. Qu son el monto y el valor presente de una anualidad?
-
2335.2: Monto de una anualidad anticipada
4. Mencione cinco ejemplos de anualidades en la vida real.5. En
los ejemplos del problema 4, defina el monto o el valor presente,
el plazo, la renta, el in-
tervalo de pago y la tasa de inters.
6. Si usted deposita $1,350 cada quincena durante 2 aos y al
final le devuelven $45,000, de-termine cul son la renta, el plazo,
los intereses, el valor futuro y el intervalo de pago de
laanualidad.
Recuerde que los intereses son la diferencia entre el monto y el
capital.
7. Mencione las caractersticas principales de las
anualidades:
a) Diferidas b) Contingentesc) Ciertas
d) Simplese) Generales f) Anticipadas
g) Inmediatash) Perpetuas
8. Mencione la diferencia bsica entre la anualidad:a) inmediata
y diferidab) simple y general
c) cierta y contingented) ordinaria y anticipada
a) ordinaria, general y anticipada. b) inmediata, simple y
anticipada.c) vencida, diferida, simple y cierta.d) general,
ordinaria, diferida y contingente.
9. Justificando su respuesta, determine si es posible que una
anualidad sea, al mismo tiempo,
10. Describa con detalle las anualidades que s son posibles en
el problema 9.
11. Mencione y describa con brevedad los cuatro mtodos para
evaluar los elementos de lasanualidades.
12. Por qu causas una serie de depsitos peridicos que se
acumulan en un monto al final delplazo no debiera considerarse
vencida?
13. Mencione dos razones por las que los pagos peridicos en una
anualidad no debieran ser an-ticipados, cuando se relacionan con su
valor presente.
14. Qu diferencia encuentra entre las anualidades y
amortizaciones que se estudiaron en el ca-ptulo 3?
e) ordinaria, simple y cierta.f) contingente, cierta y
general.g) anticipada, cierta, simple y diferida.
Se ha dicho que una anualidad es anticipada si los pagos se
realizan al comenzar cada periodo.Como se aprecia en el ejemplo 1,
para hallar el monto de una anualidad anticipada, a cada
renta se le agregan los intereses que dependen del nmero de
periodos que haya entre la rentay el final del plazo. Por lo tanto,
la frmula del inters compuesto se emplea para cada montoparcial,
despus se suman y se obtiene una frmula general.
5.2 Monto de una anualidad anticipada
-
Cabe sealar que cualquier anualidad se resuelve aplicando
apropiadamente esta frmulageneral, ya que si se tiene un valor nico
equivalente a todas las rentas, al trmino del plazo s-te se
traslada a cualquiera otra fecha con la frmula del inters
compuesto, como se ilustra enla solucin alterna del ejemplo 2 de la
seccin 5.3.
234 Captulo 5: Anualidades
solucin
Ejemplo 1
Deduccin de la frmula general
Obtenga el monto que se acumula en 2 aos, si se depositan $1,500
al inicio de cada mes enun banco que abona una tasa del 24% anual
capitalizable por meses.
La anualidad es simple porque coinciden la frecuencia de
conversin y la de pagos; es cier-ta porque se conoce el nmero de
rentas; es inmediata porque desde el primer periodo se ha-cen los
depsitos; y es anticipada porque estos ltimos se realizan al
principio de cada pe-riodo mensual.
Monto total
R1 R2 R3 R24
1 2 3 24
M1
M24M3M2
FIGURA 5.6
Como se observa en la figura 5.6, el primer depsito genera
intereses durante 24 periodos men-suales, el segundo durante 23
meses y as sucesivamente, hasta el ltimo que gana solamentedurante
un mes.
Por lo tanto, los montos parciales son, respectivamente:
M1 = 1,500(1 + 0.24/12)24 M = C (1 + i/p)npM2 = 1,500(1 +
0.02)23M3 = 1,500(1.02)22o
M23 = 1,500(1.02)2M24 = 1,500(1.02)
C x
7 8 9
4
5 6
1 2 3
0 .
C x
7 8 9
4
5 6
1 2 3
0 .
-
2355.2: Monto de una anualidad anticipada
El valor futuro o monto de la anualidad es la suma de todos los
anteriores, que en orden in-verso es:
M = 1,500(1.02) + 1,500(1.02)2 + + 1,500(1.02)24
Se factoriza la renta $1,500, y lo que queda entre los corchetes
corresponde a los trminosde una progresin geomtrica cuyo primer
trmino es al = 1.02; la razn es tambin r = 1.02y el nmero de
trminos es m = 24. Por lo tanto:
M = 1,500[1.02 + (1.02)2 + (1.02)3 + + (1.02)24] (A)La suma,
segn la ecuacin 2.4, es
suma = 1.02(30.42186245) o suma = 31.0302997Si se sustituye este
resultado en la ecuacin (A), se tendr que el monto total es:
M = 1,500(31.0302997) o M = $46,545.45
Para generalizar, note que el primer trmino y la razn son:
a1 = r = 1 + 0.24/12 o a1 = r = 1 + i/p
y el nmero de trminos es el nmero de rentas:
m = 2(12) = 24 o m = npLa suma es, entonces:
se cancelan los unos del denominador
a b = (a b)
Resultado que se formaliza en el siguiente teorema:
suma = ++( ) ( )1 1 1i p i p
i p
np
suma = + +
( ) ( )1 1 1i p i pi p
ya que S a rr
m
=
111
suma = + +
+( ) ( )( )1
1 11 1
i p i pi p
np
suma =
1 021 1 608437249
0 02.
.
.
suma =
ar
r
m
111
suma = ( )
1 02
1 1 021 1 02
24.
.
.
-
De manera semejante a los otros, en lo sucesivo se har
referencia a este teorema como ecua-cin 5.1, teorema 5.1 o ecuacin
del teorema 5.1.
236 Captulo 5: Anualidades
Teorema 5.1
El monto acumulado de np depsitos anticipados en las anualidades
simples y ciertas es:
R es el pago peridico, n es el plazo en aos, e i es la tasa de
inters anual capitalizable en pperiodos por ao.
M R i pi pi p
np
= ++( )
( )1
1 1 donde
solucin
Ejemplo 2
Resuelva el ejemplo 1 con la ecuacin 5.1.
Los valores a reemplazar por las literales son:
R = 1,500, la renta mensualp = 12, la frecuencia de conversin y
la de pagos son mensualesn = 2, los aos del plazo
np = 24, el total de rentasi = 0.24, la tasa de inters anual
capitalizable por meses
i/p = 0.02, la tasa por periodo mensual. Entonces,
M = 1,500 (1 + 0.02)
M = 1,500(1.02)(30.42186245) o M = $46,545.45
Note que ms que el valor de n, el plazo en aos, es ms til el de
np, el nmero de rentas.
1 02 10 02
24.
.
( )
Ejemplo 3
Plazo en inversiones
En cunto tiempo se acumulan $40,000 en una cuenta bancaria que
paga intereses del8.06% anual capitalizable por semanas, si se
depositan $2,650 al inicio de cada semana?
C x
7 8 9
4
5 6
1 2 3
0 .
F
-
2375.2: Monto de una anualidad anticipada
solucin
En la ecuacin 5.1 se reemplazan los valores:
M = 40,000, el monto que se pretende.R = 2,650, la renta
semanal.i = 0.0806, la tasa de inters anual capitalizable por
semanas.
i/p = 0.0806/52 = 0. 00155, la tasa semanal capitalizable por
semanas.
La incgnita es n, el plazo en aos o np = x, el nmero de rentas;
entonces:
40,000 = 2,650(1 + 0. 00155) (Teorema 5.1)
Para despejar x, 2,650(1.000155) pasa dividiendo, y 0.000155
pasa multiplicando al lado iz-quierdo; luego el 1 pasa sumando, es
decir:*
(0.00155) + 1 = (1. 00155)x
15.0709796 (0. 00155) + 1 = (1. 00155)xo (1. 00155)x =
1.023360018Como siempre que la incgnita est en el exponente, se
despeja empleando logaritmos, yaque si dos nmeros positivos son
iguales, entonces sus logaritmos tambin son iguales. Esdecir:
Ln(1. 00155)x = Ln(1.023360018)(x)Ln(1. 00155) =
Ln(1.023360018), ya que Ln(an) = (n)Ln(a)
x = Ln(1.023360018)/Ln(1.00155)= 0.023091349/0.0015488
x = 14.90918709
Puesto que el nmero de rentas, x = np, debe ser un entero, el
resultado se redondea dandolugar a que la renta o el monto varen un
poco.Por ejemplo, con np = 15, el entero ms cercano, resulta que la
renta es:
40,000 = R(1. 00155)
40,000 = R(15.18735236)de donde
R = 40,000/15.18735236 o R = $2,633.77
( . ).
1 00155 10 00155
15
40 0002 650 1 00155
,
, ( . )
( . ).
1 00155 100155
x
0
* Esto es equivalente a decir que los dos lados de la igualdad
se dividen entre 2,650(1.000155), se multiplicanpor 0.000155 y el 1
se suma en ambos lados.
-
238 Captulo 5: Anualidades
solucin
Ejemplo 4
Tasa nominal quincenal y recuperacin de pagar
Qu tasa de inters capitalizable por quincenas le estn cargando a
la seora de Ramrez, sipara recuperar un pagar con valor nominal de
$39,750, incluidos los intereses, hace 15 pa-gos quincenales
anticipados de $2,400?
Se trata de una anualidad anticipada, donde:
M = 39,750, el valor futuroR = 2,400, la renta quincenalp = 24,
la frecuencia de pagos y de conversin n = 15/24, el plazo en
aos
np = 15, el nmero de rentasi = la incgnita
por lo tanto, 39,750 = 2,400(1 + i/24)
Para despejar i, se sustituye i/24 por x, y se dividen los dos
miembros entre 2,400.
16.5625 = (1 + x)
En la tabla 4 del apndice se encuentran algunos valores de la
expresin:
Ah se busca un valor que sea poco menor que 16.5625 en el rengln
que corresponde anp = 15. El resultado obtenido para la tasa i/p =
0.0125 es el valor 16.3863, el cual es unabuena aproximacin para la
incgnita.
Para determinar el valor de i/p con mayor exactitud, o para
encontrarlo sin el uso de ta-blas, se procede con iteraciones,
dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisin de-seada. A
continuacin se indican algunos de tales valores.
Primero se simplifica la ecuacin anterior, multiplicndola por x
y otras operaciones al-gebraicas.
16.5625(x) = (l + x)[(1 + x)15 _ 1]16.5625(x) = (l + x)16 _ (l +
x) aan = a1+n
(l + x)16 1 x 16.5625(x) = 0 o (l + x)16 17.5625(x) = 1
( )1 115+ i pi p
1 115+( )
x
x
( / )1 24 124
15+
ii
-
Tasa de inters variable
2395.2: Monto de una anualidad anticipada
Si x = 0.01,
(1.01)16 17.5625(0.01) = 0.996953645Si x = 0.02,
(1.01)16 17.5625(0.01) = 1.021535705Si con x = 0.01 result menor
que 1 y con x = 0.02 qued mayor que 1, entonces el valor quese
busca para x debe estar entre 0.01 y 0.02, argumento que sirve para
continuar con las ite-raciones.
Si x = 0.015: (1.015)16 17.5625(0.015) = 1.005548048Si x =
0.012: (1.012)16 17.5625(0.012) = 0.999536531
Continuando con el proceso se ver que cuando
x = 0.012287288, el resultado es 1.000000001
entonces, x = i/24 = 0.012287288
de donde i = (0.012287288)24, i = 0.294894912 o 29.4894912%, la
cual es la tasa anual ca-pitalizable por quincenas que le cargan a
la seora de Ramrez. Y puede comprobarse reempla-zndola en la
primera ecuacin del desarrollo anterior.
Solucin alterna
Este resultado se obtiene ms fcil con la calculadora financiera,
la HP12C por ejemplo, ylas siguientes instrucciones:
solucin
Ejemplo 5
Monto en cuenta de ahorros e intereses
Cunto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos
quincenales de $625 cada uno,si la tasa de inters nominal quincenal
en los primeros 5 meses es del 22.32%, y despus au-menta 2.4 puntos
porcentuales por ao cada trimestre? Cunto se genera por concepto
deintereses?
a) El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de
10, 8, 8 y 6 rentas quincena-les cada una, como se ilustra en la
figura 5.7.
fi x24 29.48949002
nCLX CHS PMTFV39,750 2,400 15
-
240 Captulo 5: Anualidades
El monto de la primera, puesto que la tasa por quincena es i/p =
0.2232/24 = 0.0093, es
M1 = 625(1 + 0.0093)
M1 = 625(1.0093)(10.42904957) o M1 = $6,578.77 que se traslada
hasta el final de la segunda anualidad empleando la frmula del
interscompuesto, con la nueva tasa que es 2.4 puntos mayor que la
primera.
i = 0.2232 + 0.024 = 0.2472 o i/24 = 0.2472/24 = 0.0103,
quincenalcompuesto por quincenas; entonces:
MA = 6,578.77(1.0103)8MA = 6,578.77(1.085432507)MA =
$7,140.81
Este monto deber sumarse con el monto acumulado M2 de la segunda
anualidad:
M2 = 625(1.0103)
M2 = 625(1.0103)(8.294418155)M2 = $5,237.41
El acumulado de las primeras 18 rentas es, entonces:
MA + M2 = 7,140.81 + 5,237.41 = 12,378.22
que tambin se traslada con la nueva tasa, la del tercer grupo de
rentas, hasta el final dela tercera anualidad, ocho quincenas
despus.
MB = 12,378.22(1 + 0.2712/24)8MB = 12,378.22(1.094057274) o MB =
13,542.48
monto que debe sumarse al monto M3 del tercer grupo de
rentas
1 0103 10 0103
8.
.
( )
( . ).
1 0093 10 0093
10
Nmero de rentas
M1 M2 M3 M4
1a_ 2a_ 3a_ 4a_
MAMB
MC
10 8 8 6
FIGURA 5.7
-
2415.2: Monto de una anualidad anticipada
M3 = 625(1.0113)
M3 = 625(1.0113)(8.323652566) o M3 = 5,261.07entonces,
MB + M3 = 13,542.48 + 5,261.07MB + M3 = 18,803.55
que es el acumulado de los 26 depsitos al trmino de la tercera
anualidad. Este montose lleva hasta la fecha terminal del plazo y,
finalmente, se suma con el monto M4 de laltima que comprende seis
quincenas.
La tasa de inters anual es ahora
i = 0.2232 + 3(0.024) o i = 0.2952e i/24 = 0.0123 es la
quincenal capita1izable por quincenas, entonces
MC = 18,803.55(1.0123)6 o MC = 20,234.63 y
M4 = 625(1.0123)
M4 = 625(1.0123)(6.187553821) o M4 = 3,914.79Consecuentemente el
monto acumulado de los 32 depsitos quincenales en la cuenta
deahorros al final del plazo es:
MC + M4 = 20,234.63 + 3,914.79MC + M4 = $24,149.42
b) Los intereses son la diferencia entre este monto y el total
invertido en los 32 pagos quin-cenales.
I = 24,149.42 32(625.00) I = $4,149.42
(1.0123)0.0123
6
1
( . ).
1 0113 10 0113
8
Ejercicios5.2
l. Explique las caractersticas de las anualidades
anticipadas.
2. Cunto debe invertir cada quincena en una cuenta que abona el
9.06% de inters compues-to por quincenas, durante 6 meses, para
disponer de $20,000 al final?
3. En cunto tiempo se acumulan US$15,000 con depsitos semanales
de US$445 y una tasade inters del 6.5% anual compuesto por
semanas?
-
242 Captulo 5: Anualidades
4. Cunto se acumula en 8 meses con depsitos quincenales de $700,
en una cuenta que abo-na el 10.24% de inters compuesto por
meses?
5. Cuntos pagos mensuales de $1,800 se necesitan para acumular
$25,000, a una tasa de in-ters del 11.4% nominal mensual?
6. Cunto debe invertir quincenalmente la contadora Rosala
durante 7 meses, para recuperarun pagar que firm por un crdito de
$35,000 al principio, a una tasa de inters del 12%simple anual?
Suponga que su inversin redita el 13.02% de inters compuesto por
quincenas.
7. Qu le conviene ms al comprador de un reproductor de DVD cuyo
precio es de $3,200: pagar-la de contado en ese precio o en 8
abonos semanales anticipados de $375, antes de adquirirla?
Suponga que el dinero redita el 9.52% de inters compuesto por
semanas.
8. Cunto gana en intereses la licenciada Claudia, al realizar 20
depsitos quincenales antici-pados de $450 que devengan el 11.20% de
inters anual compuesto por quincenas?
9. Determine cul alternativa acumula ms dinero en un ao y
medio:
a) Un pago nico al principio de $22,500 y una tasa de inters del
10% anual simple.b) 18 rentas mensuales anticipados de $1,380
ganando el 9.06% de inters compuesto pormeses.
c) 6 pagos trimestrales de $4,050 y una tasa de inters del 11%
anual compuesto por trimestres.d) 3 depsitos semestrales
anticipadas de $7,800 y una tasa de inters del 12.36% efectiva.
10. Al nacer su primognito, un padre de familia realiza un
depsito bancario por $7,000, cun-to debe depositar al comenzar cada
semestre, desde el segundo, para disponer de $150,000cuando su hijo
cumpla los 7 aos de edad, suponiendo que la inversin redita el
11.6% deinters nominal semestral? De cunto dispondra a los 15 aos
de edad si contina con losdepsitos? Obtenga los intereses que gan a
los 15 aos del primognito.
11. Con cuntas rentas mensuales anticipadas de $875 se acumula
un monto de $14,000? Si latasa de inters es del 9.72% anual
capitalizable por meses?
12. Al comenzar su carrera profesional, cuya duracin es de 9
semestres, un estudiante decideahorrar $500 al inicio de cada mes,
durante todo ese tiempo, en un banco que paga interesesdel 21.6%
anual capitalizable por meses. De cunto dinero dispondr 2 aos
despus de ha-ber concluido sus estudios?
13. Cunto debe invertir cada quincena, al principio, una persona
que pretende acumular$54,000 en un ao y medio, considerando que su
inversin gana el 11.76% de inters anualcompuesto por quincenas?
14. Cunto dinero se acumula con 15 pagos mensuales anticipados
de $850, si la tasa de inte-rs anual capitalizable por meses en los
primeros 4 meses es del 9.6% y despus aumenta1.8 puntos
porcentuales cada semestre? Evale los intereses.
15. Cuntos depsitos semanales de $375 se necesitan para acumular
$8,500 con intereses del12.48% anual compuesto por semanas?
-
2435.2: Monto de una anualidad anticipada
16. Con cul de los siguientes planes de ahorro un empleado
acumula ms dinero en un perio-do de dos aos?a) Depositando $400 al
inicio de cada mes ganando intereses del 12.6% anual
capitalizablepor meses.b) Invirtiendo $800 al comenzar cada
bimestre con intereses del 12.6% nominal bimestral.c) Ahorrando
$200 cada quincena, al inicio, devengando intereses del 11.28%
compuestopor quincenas.
17. Cunto acumula la licenciada Martha Patricia con 26 pagos
quincenales de $425 en un ban-co que le da a ganar el 19.8% de
inters anual, capitalizable por quincenas, en los primeros3 meses,
el 22.2% en los 4 meses siguientes y el 24% en los ltimos 6 meses
del plazo?
18. Cunto dinero tiene Adriana si desde hace 5 aos ha estado
ahorrando $650 al inicio de cadaquincena en un banco que le ha
pagado el 16.8% compuesto por quincenas?
19. Cuntos abonos semanales de $1,735 se requieren para acumular
$25,000, si se devenganintereses del 20.28% anual compuesto por
semana?
20. Para rescatar un pagar que se firm por un crdito en mercanca
de $179,500, intereses del15% simple anual y un plazo de 14 meses,
un comerciante en abarrotes deposita $41,600 ca-da bimestre, en un
banco que le da intereses del 11.70% anual compuesto por
bimestre.Cuntos abonos deber hacer antes de que se venza el
documento?
21. Cunto debe depositar cada mes al inicio, el arquitecto
Hernndez durante 8 meses a partirdel segundo para acumular
$125,000, que piensa destinar a la remodelacin de sus oficinas,si
su inversin devenga intereses del 12.9% anual capitalizable por
meses y abri la cuentacon $30,000?
En los problemas 22 a 36 seleccione la opcin correcta
justificando la eleccin.22. Cunto se acumula con 13 depsitos
semanales de $1,750 en una cuenta que bonifica inte-
reses del 9.10% anual capitalizable por semanas?a) $23,653.09 b)
$24,786.42 c) $23,030.65 d) $25,093.18 e) Otra
23. Cunto debe invertirse cada mes al 13.8% capitalizable por
meses, para disponer de$129,000 en un ao?a) $9,322.45 b) $10,005.38
c) $9,972.22 d) $9,725.40 e) Otra
24. En cunto tiempo se acumulan $38,850, depositando $2,500 cada
quincena al 10.5% nomi-nal quincenal?a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e)
Otra
25. Cunto se devenga por intereses en el problema 24?a) $1,450
b) $1,430 c) $1,350 d) $1,270 e) Otra
26. El matemtico Gonzlez firma un documento por un crdito de
$32,570, con cargos del 13%simple anual y plazo de 6 meses. Cunto
debe depositar cada semana en una cuenta que bo-nifica el 11.44%
nominal semanal para librar el pagar? Suponga que abre la cuenta
cuandofirma el documento.a) $1,311.75 b) $1,250.43 c) $1,297.00 d)
$1,294.94 e) Otra
-
244 Captulo 5: Anualidades
27. Cunto gan o perdi por intereses el matemtico del problema
26?a) perdi $1,098.44 b) gan $502.75 c) perdi $502.75 d) gan
$785.32 e) Otra
28. Un estudiante abre una cuenta en un banco que paga el 15.6%
nominal quincenal y continadepositando $1,750 cada quincena al
inicio. 20 meses despus de que la abri tiene acumu-lados
$90,857.45. Con cunto inici sus ahorros?a) $8,250 b) $10,000 c)
$11,750 d) $9,000 e) Otra
29. Cuntos pagos bimestrales de $8,193, se necesitan para
alcanzar un monto de $70,000, sise devengan intereses del 8.76%
capitalizable por bimestre?a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) Otra
30. Para ayudar con los gastos de su graduacin, una pareja de
estudiantes decide depositar $450cada quincena, desde que comienzan
su carrera profesional. Cunto acumulan si el primerao ganan el 8.4%
de inters anual capitalizable por quincenas, los siguientes dos les
boni-fican el 9.12% y los ltimos 3 semestres, el 9.60% nominal
quincenal?a) $61,243.09 b) $60,110.07 c) $60,425.08 d) $60,021.32
e) Otra
31. Cunto pag por intereses la pareja del problema 30?a)
$11,510.07 b) $11,623.21 c) $12,008.72 d) $11,927.72 e) Otra
32. Durante los primeros 6 aos de vida de su hijo, un padre de
familia deposita $750 cada mesen un banco que durante ese periodo
bonifica intereses del 15.84% nominal mensual. Paralos siguientes 5
aos incrementa sus depsitos en un 20%, pero la tasa de inters se
reduceal 15.48% nominal mensual y durante los siguientes 7 aos
incrementa los depsitos mensua-les otro 15%, pero en un lapso el
banco le bonificar el 17% efectivo. Cunto dinero tienecuando el
hijo llega a los 18 aos de edad?a) $859,343.09 b) $600,302.48 c)
$429,425.71 d) $961,496.67 e) Otra
33. Cunto gan por intereses el padre del problema 32?a)
$763,556.67 b) $302,465.03 c) $528,293.45 d) $899,008.35 e)
Otra
34. Para renovar su maquinaria y equipamiento, la Impresora
Occidental consigue un crdito yfirma un documento con valor nominal
de $1950,000 incluyendo intereses y vencimiento a13 meses.
Simultneamente, abre una cuenta con depsitos mensuales de $125,000
e intere-ses del 10.2%. Cunto le faltar para liberar su pagar?a)
$175,243.25 b) $302,425.58 c) $273,429.82 d) $224,946.96 e)
Otra
35. En el problema 34, por qu capital fue el crdito otorgado a
la Impresora, si le cargaron el12% efectivo?a) $1724,706.05 b)
$1689,423.52 c) $1605.405.38 d) $1 928.878.43 e) Otra
36. En el problema 34, cunto dinero pag por concepto de
intereses a la Impresora Occidental?a) $127,943.51 b) $125,240.91
c) $115,201.43 d) $140,810.03 e) Otra
-
2455.3: Valor presente de las anualidades ordinarias
Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se realizan
al final de cada periodo, raznpor la cual se conocen tambin como
anualidades vencidas. Lo ms comn, como se dijo an-tes, es asociar
las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir,
con su valorpresente C que se obtiene con la frmula que se
desarrolla en el primer ejemplo de esta sec-cin.
Las aplicaciones ms comunes de estas anualidades se refieren a
la amortizacin de deudas,como crditos hipotecarios, automotrices o
cualquier otro que se liquida con pagos peridicosy cargos de inters
compuesto.
5.3 Valor presente de las anualidades ordinarias
solucin
Ejemplo 1
Deduccin de la frmula general
Cunto podr retirar cada viernes durante 8 meses el ingeniero
Serrano, si al comienzo delplazo deposita $30,000 devengando
intereses del 26% compuesto por semanas?
Los rectngulos de la grfica de la figura 5.8 representan las
semanas. Al final de cada unose ubican las rentas.
30,000 R1 R2 R3 R35
1 2 3 35
C1
C35C3C2
8 meses
FIGURA 5.8
El nmero de semanas que hay en 8 meses es
(8/12)52 = 34.67,resultado que se redondea como 35 semanas.
El proceso consiste en encontrar al inicio del plazo el valor
presente C de cada renta, pa-ra despus igualar la suma de todos con
los $30,000 de la inversin inicial, como si el iniciofuese una
fecha focal.
Se emplea la frmula del inters compuesto:
M = C(l + i/p)np
C x
7 8 9
4
5 6
1 2 3
0 .
-
246 Captulo 5: Anualidades
de donde se despeja C dividiendo los dos lados entre (1 +
i/p)np.M/(l + i/p)np = C o C = M(1 + i/p)np ya que a/bn = abn
La tasa por periodo es i/p = 0.26/52 = 0.005 y el plazo en cada
renta es, respectivamente, de1, 2, 3, , hasta 35 meses en la ltima.
Por lo tanto, el valor actual de cada una es:
C1 = R1(1 + 0.005)1C2 = R2(1.005)2C3 = R3(1.005)3o
C35 = R35(1.005)35y cuya suma deber ser igual a los $30,000
iniciales, es decir:
R1(1.005)1 + R2(1.005)2 + + R35(1.005)35 = 30,000.Puesto que
todas las rentas son iguales, stas se reemplazan por R que luego se
factoriza.
(A) R[(1.005)1 + (1.005)2 + + (1.005)35] = 30,000De nuevo, la
suma entre corchetes es una serie geomtrica con 35 trminos, donde
el prime-ro y la razn son:
a1 = r = (1.005)1 porque r = a2/a1, por lo tanto, est dada
por
suma = (1.005) 1
a1 = 1/a, si a 0
aa1 = 1, siempre que a 0
(B) 1.005 1 = 0.005suma = 32.03537132
Este resultado se sustituye por el corchete de la ecuacin
(A):R[32.03537132] = 30,000
de donde la renta semanal queda como:
R = 30,000/32.03537132 o R = $936.46 Para generalizar, note que
la suma entre los corchetes en la misma ecuacin (A) est
dadapor:
suma = + +
+
( ) ( / )( / )1 11 11 1
11p
i pi p
np
suma =
1 1 0050 005
35( . ).
suma =
1 1 0051 005 1
35( . ).
suma =
11 005
1 1 0051 1 005
35
1.
( . )( . )
S a rr
n
=
111
1 1 0051 1 005
1 35
1
(( . ) )( . )
-
Como en todas las frmulas, es posible cuestionar cualquiera de
las literales, por lo que para des-pejar una, lo mejor, insistimos,
es hacerlo despus de haber sustituido los valores que se
conocen.
2475.3: Valor presente de las anualidades ordinarias
que con algunos pasos algebraicos, como en el desarrollo
anterior, se simplifica como:
tal como result en la ecuacin (B).En la tabla 5 del apndice estn
algunos valores para esta expresin, que en ocasiones se
denota como aN i : a subndice N al i, que corresponde al valor
presente de N, es decir, nprentas vencidas de $1 cada una.
Si se reemplaza la suma en la ecuacin (A), resulta la frmula del
siguiente teorema.
suma = + 1 1( )i p
i p
np
Teorema 5.2
El valor presente C de una anualidad vencida, simple, cierta e
inmediata est dado por:
donde:R es la renta por periodo.i es la tasa de inters anual
capitalizable en p periodos por ao.p es la frecuencia de conversin
de intereses y de pagos, y n es el plazo en aos.
C R i pi p
np=
+
1 1( / )/
solucin
Ejemplo 2
Valor presente de un seguro de vida
La beneficiaria de un seguro de vida recibira $3,100 mensuales
durante 10 aos, aunque pre-fiere que le den el equivalente total al
inicio del plazo. Cunto le darn si el dinero reditaen promedio el
19.35% anual compuesto por meses?
Los valores para reemplazar en la ecuacin 5.2 son:R = 3,100, la
renta mensualn = 10, el plazo en aosp = 12, porque son mensualesi =
0.1935 o i/p = 0.016125, la tasa mensual capitalizable por
meses
C x
7 8 9
4
5 6
1 2 3
0 .
F
-
248 Captulo 5: Anualidades
Entonces, el capital que la aseguradora deber entregar a la
beneficiaria es:
np = 10(12) = 120
C = 3,100(52.91964132) o C = $164,050.89
Solucin alterna
Como se dijo en la seccin que precede, otra forma de obtener
este resultado consiste en apli-car la ecuacin 5.1 para el monto de
anualidades anticipadas; no obstante, para ello se nece-sita
convertir o expresar la anualidad ordinaria como una anticipada,
agregando un periodoficticio, el 121, e ignorando el primero tal
como se ve en la figura 5.9, teniendo presente querealizar un pago
al final de cada periodo es lo mismo que hacerlo al inicio del
siguiente.
C =
3 100 1 1 0161250 016125
120,
( . ).
R1 R2 R120
C
1o_ 2o_ 120o_ 121o_
Monto
Entonces, el monto que se acumula al final del periodo 120 sin
contar el primero, es
M = 3,100(1.016125)(360.8056081) o M = 1136,533.155y 121 meses
antes est el valor presente C de este monto, de tal forma que:
l136,533.155 = C(1.016155)121
de donde C = l136,533.155/6.927930526 o C = $164,050.89, que es
igual al anterior.
M =
3 100 1 016125
1 016125 10 016125
120, ( . ) ( . )
.
FIGURA 5.9
Ejemplo 3
Plazo en la compra de un tractor
Cuntos abonos bimestrales vencidos de $40,000 son necesarios
para pagar el precio de untractor, que se compr con un anticipo y
un crdito de $350,000? Suponga intereses de13.8% capita1izab1e por
bimestres.
-
Ajuste del nmero de rentas
En virtud de que los intereses se hacen efectivos hasta que
concluyen periodos completos, elresultado anterior deber ser un
entero, por eso se hace un ajuste, en este caso y casi siempreque
se cuestione el nmero de rentas. Este ajuste se realiza por lo
menos de las siguientes ma-neras:
Redondeando x al entero menor, razn por la cual los abonos
crecen. Redondeando al entero mayor, con lo que la renta
disminuye.Con un pago menor al final del plazo. O bien,Con uno
mayor al final.
En todas se supone, claro, que el capital no vara, variarlo sera
otra opcin
a) Con np = 9 rentas, cada una es de $43,496.61, ya que
350,000 = R(8.046604074)
350 000 1 1 0230 023
9,
( . ).
=
R
2495.3: Valor presente de las anualidades ordinarias
solucin
En la ecuacin 5.2 se reemplazan C por 350,000, i por 0.138, p
por 6, porque son bimestra-les y son 6 los bimestres del ao, R por
$40,000, el valor de cada pago, e i/p = 0.023. La in-cgnita es n o
np, entonces,
Para despejar la incgnita, se multiplica por 0.023, se divide
entre 40,000, se resta la unidada los dos lados de la ecuacin, se
denota con x a np, el nmero de pagos, y despus se
tomalogaritmo.
0.20125 1 = (1.023)x(1.023)x = 0.79875
Ln(1.023)x = Ln(0.79875)(x)Ln(1.023) = Ln(0.79875)
x = Ln(0.79875)/Ln(1.023)x = 9.881809277 o x = 9.881809277
350 000 0 02340 000
1 1 023, ( . ),
( . ) = x
350 000 40 000 1 1 0230 023
, ,
( . ).
=
np
-
de dondeR = 350,000/8.046604074 o R = $43,496.61
b) Si se consideran 10 rentas, entonces cada una se reduce:
350,000 = R(8.843210239)de donde
R = 350,000/8.843210239 o R = $39,578.39En ste y todos los casos
semejantes, debe suponerse que el saldo al final es nulo, es
de-cir, que la deuda queda en ceros.
c) Para hallar el pago menor al final del plazo, se obtiene el
valor actual C de los 9 prime-ros y su diferencia con el crdito
original, ser el valor presente del ltimo pago 10 bi-mestres
despus.
C = 40,000(8.046604074) o C = $321,864.163La diferencia con el
crdito inicial es:
350,000 321,864.163 = 28,135.837
y el valor futuro, 10 bimestres despus, es:
M = 28,135.837(1.023)10M = 28,135.837(1.25532546) o M =
$35,319.63
Note que otra manera ms prctica de obtener la ltima renta
consiste en multiplicar laparte decimal de x por 40,000, aunque
esto carece de precisin.
0.881809277(40,000) = 35,272.37d) Si el ltimo abono es mayor que
los restantes, entonces deber ser el noveno. Para obte-
nerlo, a los $40,000 se les suma el valor futuro de la
diferencia anterior, que con plazode 9 meses, es:
M = 28,135.84(1.023)9M = 28,135.84(1.227102112) o M =
34,525.55
Consecuentemente, el ltimo abono es
R9 = 40,000.00 + 34,525.55 o R9 = $74,525.55
C =
40 000 1 1 0230 023
9,
( . ).
350 000 1 1 0230 023
10,
( . ).
=
R
250 Captulo 5: Anualidades
-
Anualidad general
Como se dijo anteriormente, una anualidad es general si los
pagos se realizan en periodos dis-tintos a la frecuencia con que
los intereses se capitalizan. Un mtodo de solucin consiste
entransformar la anualidad general en simple, utilizando la tasa de
inters equivalente, como seaprecia en el siguiente ejemplo.
2515.3: Valor presente de las anualidades ordinarias
solucin
Ejemplo 4
Toma de decisiones al vender un camin
El dueo de un camin de volteo tiene las siguientes opciones para
vender su unidad:
a) Un cliente puede pagarle $300,000 de contado.b) Otro le
ofrece $100,000 de contado y 7 mensualidades de $30,000 cada una.
c) Un tercero le ofrece $63,000 de contado y 20 abonos quincenales
de $12,500 cada uno.Determine cul le conviene ms, si sabe que el
dinero redita el 9.6% de inters anual capi-talizable por
quincenas.
El problema se resuelve si se encuentra el valor presente de las
ltimas dos opciones y secompara con los $300,000 de la primera.
Para el capital al inicio del plazo de la segunda alternativa,
es necesario encontrar la tasacapitalizable por meses, equivalente
al 9.6% nominal quincenal, ya que los abonos son men-suales. Para
esto se igualan los montos considerando que el capital es C = 1.
Luego, para des-pejar i, se obtiene la raz doceava y se realizan
otros pasos algebraicos, esto es:
(1 + i/12)12 = (1 + 0.096/24)241 + i/12 = (1.004)2 se obtiene
raz doceava, 24/12 = 21 + i/12 = 1.008016
de donde
i = (1.008016 1)12 i = 0.096192 o 9.6192%El valor presente de
las 7 mensualidades de $30,000 es, por lo tanto,
C = 30,000(6.780843239)C = 203,425.2972 o C = $203,425.30
que agregados al anticipo arrojan un total de100,000 +
203,425.30 = $303,425.30
Note que la anualidad general se transform en una simple.
C =
30 000 1 1 0080160 008016
7,
( . ).
-
252 Captulo 5: Anualidades
Para la ltima opcin, se tiene que el valor presente de las 20
rentas quincenales de $12,500es:
C = 12,500(19.18408398) o C = 239,801.0498que junto con el pago
de contado nos dan:
63,000 + 239,801.05 = $302,801.05Segn estos tres valores C
a= 300,000, Cb = 303,425.30 y Cc = 302,801.05, que sin tomar
en
cuenta otros factores como la inflacin, la segunda opcin es la
que ms conviene a los in-tereses del propietario del camin. Sin
embargo, la primera, aunque sea menor, sera la msatractiva, ya que
se dispone del dinero en efectivo.
C = +
12 500 1 1 0 096 240 004
20,
( . / ).
Ejercicios5.3
1. Cul es la caracterstica de las anualidades ordinarias?
2. Por qu en las anualidades ordinarias las rentas se relacionan
con su valor presente al ini-cio del plazo?
3. Cunto debe invertir al principio, al 16% de inters compuesto
por semestres, un padre defamilia para retirar $15,000 al final de
cada semestre durante 4 aos?
4. Cunto puede retirar cada quincena durante 2 aos la
beneficiaria de un seguro de vida de$250,000, si al principio los
invierte en una cuenta que produce intereses del 11.28%
anualcompuesto por quincenas?
5. Cuntos retiros de $3,585 al mes pueden hacerse, si al inicio
se depositan $47,000 en unacuenta que genera intereses del 29.4%
anual compuesto por meses?
6. Se compra una lancha cuyo precio es de $275,000 y se paga con
un enganche del 30%, unabono a los 3 meses por $50,000 y el resto
con 10 mensualidades vencidas a partir del cuar-to mes. De cunto es
cada mensualidad si se tienen cargos del 18.6% de inters anual
com-puesto por meses? A cunto ascienden los intereses?
7. Cul es el precio al contado de una recmara que se paga con
enganche de $1,500 el da dela compra, 24 abonos semanales de $325 e
intereses del 13.26% nominal semanal?
8. Cunto debe invertir el padre de un estudiante un ao antes de
que ste comience sus estu-dios profesionales, si sabe que necesitar
$10,000 al inicio de cada cuatrimestre durante 2aos y 8 meses, y el
inters es del 19.5% anual compuesto por cuatrimestres?