C´ alculo num´ erico y an´ alisis de las frecuencias cuasinormales de potenciales tipo inverso de coseno hiperb´ olico. Jonathan Jaimes-Najera 1,a) , A. L´opez-Ortega 1,b ) Departamento de F´ ısica. Escuela Superior de F´ ısica y Matem´ aticas Instituto Polit´ ecnico Nacional Unidad Profesional Adolfo L´opez Mateos. Edificio 9 Ciudad de M´ exico, M´ exico, C. P. 07738 a) [email protected] b ) [email protected] Introducci´on A diferencia de la mayor´ ıa de los sistemas f´ ısicos macrosc´opicos idealizados, los espaciotiempos asociados a agujeros negros son intr´ ınsecamente disipativos debido a la presencia del horizonte de sucesos. Esto proh´ ıbe un an´ alisis est´ andar de modos normales porque el sistema no es sim´ etrico en el tiempo y el problema de valores en la frontera asociado no es hermitiano. El m´ etodo de iteraci´on asint´ otica (AIM) El m´ etodo AIM se emplea para resolver num´ ericamente ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas de segundo orden para una funci´on χ(x ): χ 00 = λ 0 (x )χ 0 + s 0 (x )χ (1) donde λ 0 y s 0 son funciones de clase C ∞ (a , b ). Para encontrar una soluci´on general, se aprovecha la estructura sim´ etrica del lado derecho de (1) [1,2]. Derive (1) respecto a x : χ 000 = λ 1 (x )χ 0 + s 1 (x )χ (2) donde λ 1 = λ 0 0 + s 0 +(λ 0 ) 2 , (3) y s 1 = s 0 0 + s 0 λ 0 . (4) Al tomar la segunda derivada de (1) se obtiene χ (4) = λ 2 (x )χ 0 + s 2 (x )χ, (5) donde λ 2 = λ 0 1 + s 1 + λ 0 λ 1 , (6) y s 2 = s 0 1 + s 0 λ 1 . (7) De forma iterativa, para la derivada (k + 1), k =1, 2, ..., se tiene χ (k +1) = λ k -1 (x )χ 0 + s k -1 (x )χ, (8) al derivar la ecuaci´on anterior otra vez con respecto de x da una forma sim´ etrica para el lado derecho: χ (k +2) = λ k (x )χ 0 + s k (x )χ, (9) donde λ k (x )= λ 0 k -1 (x )+ s k -1 (x )+ λ 0 (x )λ k -1 (x ) (10) y s k (x )= s 0 k -1 (x )+ s 0 (x )λ k -1 (x ). (11) Para un valor de k suficientemente grande, se presenta el aspecto “asint´otico” del m´ etodo y se propone que se cumple s k (x ) λ k (x ) = s k -1 (x ) λ k -1 (x ) ≡ β (x ), (12) para alguna funci´on β (x ). Los modos cuasinormales se obtienen al resolver la “condici´on de cuantizaci´on”: δ k = s k λ k -1 - s k -1 λ k =0, (13) la cual es equivalente a detener las iteraciones para un n´ umero suficientemente grande [3]. El m´ etodo AIM mejorado En lugar de usar las relaciones de recurrencia [4] (10) y (11) ahora se expanden las mismas en series de Taylor alrededor del punto en donde se realiza el AIM [5]: λ k (x )= ∞ X i =0 c i k (x - x 0 ) i , s k (x )= ∞ X i =0 d i k (x - x 0 ) i , (14) donde los c i k y d i k son los i -´ esimos coeficientes de λ k (x ) y s k (x ), respectivamente. Al sustituir esto en (10) y (11) lleva a un conjunto de relaciones de recurrencia para los coeficientes c i k y d i k , las cuales toman la forma c i k =(i + 1)c i +1 k -1 + d i k -1 + i X j =0 c j 0 c i -j k -1 , d i k =(i + 1)d i +1 k -1 + i X j =0 d j 0 c i -j k -1 . (15) Usando estos coeficientes la “condici´on de cuantizaci´on” (13) se puede expresar como sigue: d 0 k c 0 k -1 - d 0 k -1 c 0 k =0. (16) - 4 - 2 2 4 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 V H x L Figura 1: Potenciales de la forma V 0 / cosh 2n 1 (αx ) con V 0 = 1, α = 1, n 1 = 1 (l´ ınea continua), n 1 = 2 (l´ ınea a rayas), n 1 =3 (l´ ınea a puntos y rayas) y n 1 = 4 (l´ ınea a puntos). Resultados Calculamos num´ ericamente las frecuencias cuasinormales de potenciales tipo barrera de la forma V (x )= V 0 cosh 2n 1 (αx ) . (17) Para α = 1, n 1 =2, 3y V 0 =1/8, se obtuvieron sus frecuencias cuasinormales. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Re H w L - 80 - 60 - 40 - 20 Im H w L Figura 2: Parte imaginaria contra parte real de las primeras 101 frecuencias cuasinormales para V 0 =1/8y α = 1. Potencial V 0 /[cosh(αx )] 4 . 20 40 60 n - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 Im H w L Figura 3: Parte imaginaria de las primeras 77 frecuencias cuasinormales contra n´ umero de modo para V 0 =1/8y α = 1. Potencial V 0 /[cosh(αx )] 4 . 2 4 6 8 10 Re H w L - 100 - 80 - 60 - 40 - 20 Im H w L Figura 4: Parte imaginaria contra parte real de las primeras 101 frecuencias cuasinormales para V 0 =1/8y α = 1. Potencial V 0 /[cosh(αx )] 6 . 20 40 60 n - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 Im H w L Figura 5: Parte imaginaria de las primeras 77 frecuencias cuasinormales contra n´ umero de modo para V 0 =1/8y α = 1. Potencial V 0 /[cosh(αx )] 6 . n Re(ω ) Im(ω ) 1 0 -0,08825392756 2 0 -1,000000000 3 0 -1,000000000 4 0 -1,792925050 5 0,257198802 -2,380895081 6 0,551470026 -3,384688689 7 0,727033704 -4,393889059 8 0,855982138 -5,404251945 9 0,956855123 -6,414613627 10 1,038099453 -7,424718256 Cuadro 1: Primeras 15 frecuencias cuasinormales para el potencial (17) con n 1 = 2, V 0 =1/8y α = 1. n Re(ω ) Im(ω ) 1 0 -0,06903327820 2 0 -1,000000000 3 0 -1,000000000 4 0 -2,000000000 5 0 -2,000000000 6 0 -2,627806409 7 0,621417077 -3,165462563 8 1,052473896 -4,133931734 9 1,361255386 -5,139892125 10 1,467983570 -4,808237797 Cuadro 2: Primeras 10 frecuencias cuasinormales para el potencial (17) con n 1 = 3, V 0 =1/8y α = 1. Discusi´on Hasta donde conocemos, el espectro de frecuencias cuasinormales para los potenciales de la forma V 0 /[cosh(αx )] 2n 1 con n 1 > 1 se present´o por primera vez en la tesis de maestr´ ıa en la que est´ a basado este trabajo. Al comparar con el espectro del potencial de P¨oschl-Teller, encontramos que ninguno exhibe un comportamiento ni siquiera cercano. Tambi´ en se ha intentado variar los par´ ametros de estos potenciales para ajustar las gr´ aficas lo m´ as cercano a la del potencial de P¨oschl-Teller y calcular sus frecuencias, pero no se obtienen espectros parecidos. En lo que respecta al comportamiento de los espectros de los diferentes potenciales que se trataron, observamos que el comportamiento de los mismos no es ca´otico: se organizan teniendo fuerte dependencia de los par´ ametros que los determinan, de ´ estos el m´ as determinante es n 1 . Bibliograf´ ıa [1] H. Ciftci, R. L. Hall and N. Saad, J. Phys. A vol. 36, 11807, 2003. [2] H. Ciftci, R. L. Hall and N. Saad, Phys. Lett. A vol. 340, 388, 2005. [3] T. Barakat, Int. J. Mod. Phys. A vol. 21, 4127, 2006. [4] H. T. Cho, A. S. Cornell, J. Doukas and W. Naylor, Class. Quant. Grav. vol. 27, 155004, 2010. [5] H. T. Cho, A. S. Cornell, J. Doukas, T. R. Huang and W. Naylor, Adv. Math. Phys. vol. 2012, 281705, 2012. Agradecemos al proyecto SIP 20200384