CONECTIVITATE I INTERDEPENDEN N SISTEMELE ADAPTIVE COMPLEXE
Conectivitatea i interdependena (CI) determin comportamentul
complex al sistemului.Agenii sistemelor (familii, organizaii,
asociaii) sunt n relaii, cu diferite grade de conectivitate,
formeaz o reea.Rolul CI: determin numrul i intensitatea legturilor
ntre ageni. asigur transferurile materiale i informaionale ntre
ageni. favorizeaz formarea reelelor complexe de conexiuni, care
constitue mediul n care agenii evolueaz.
Tipuri de interdependene:materiale, energetice, informaionle,
sociale, de proprietate.MODELAREA CONECTIVITII I
INTERDEPENDENEI
Principala metod de modelare este oferit de teoria
grafurilor.
GRAF: pereche ordonat de mulimi , unde este mulime finit i nevid
de elemente numite noduri sau vrfuri, iar mulime de perechi
ordonate sau neordonate din V, numite muchii (dac perechile sunt
neordonate) sau arce (dac perechile sunt ordonate).
Dac perechea este neordonat, iar graful se numete
neorientat;
Dac perechea se numete ordonat, iar graful este orientat.Graf
neorientat
Graf orientat
Ordinul unui graf : este numrul de vrfuri/noduri;
Numrul de muchii/arce :
Gradul unui nod, numrul de arce conectate la acel nod.
REELE COMPLEXEREEA: mulime de noduri sau vrfuri, conectate prin
arce sau muchii.1735 - EULER- formuleaz problema podurilor din
KNIGSBERG, fundamenteaz teoria grafurilor i formuleaz prima
problema de drum din graf/reea.Obs: Problema podurilor din
KNIGSBERG: problema care s-a pus a fost dac se poate pleca de pe un
mal, s se treac pe toate podurile i s revin pe acelai mal astfel
nct pe fiecare pod s se treac o singur dat.
Studii n domeniul reelelor: - statistice (proprietile statisice
ale reelei), - modelarea reelelor (pentru determinarea
comportamentului agenilor n reea);- analiza dinamicii reelelor,
etc.Tipuri de reele: Reele sociale: mulime de personae sau grupuri
de personae interconectate cu un anumit tip de conexiuni; Reele
informaionale: WORLD WIDE WEBB (system informatic care leag
documente care pot fi accesate prin internet. Reeaua de citri
Reeaua peer to peer: reea de calculatoare care folosesc aceleai
fiiere, Reele semantice (folosite pentru traducerile automate),
Reele tehnologice (rutiere, feroviare, calculatoare), Reele
biologice (genetice, ecologice, metabolice)
PROPRIETILE REELELOR COMPLEXE
Reelele complexe sunt grafuri care pot fi descrise de
indicatorii:
1. CONECTIVITATE: mulimea drumurilor de lungime unu (conexiunile
directe ntr-un graf):
k este numrul de arce/muchii, N este numrul de vrfuri, , nr
maxim de drumuri n reea.
2. DISTRIBUIA GRADELOR: P(k) probabilitatea ca un nod s aibe
k=1,2,3,N-1, vecini dac N este numrul de noduri. Este data de o
distribuie de probabilitate (probabilitatea de apariie a unei
anumite valori a unei variabile aleatoare), n cazul acesta a
vrfurilor cu acelai numr de muchii/arce incidente.
3. DRUM MEDIU DE LUNGIME MINIM:
numrul mediu de arce ale drumului minim ntre oricare dou noduri
ale unei reele.
drum minim ntre i L lungimea drumului mediu:
4. DIAMETRUL REELEI:
Cel mai lung drum minim n reea.
5.
COEFICIENTUL DE CLUSTERIZARE al reelei este media coeficienilor
de clusterizare ai tuturor nodurilor din reea. Coeficientul nodului
, cu vecini: numrul total de arce ntre cei vecini ai vrfului ,
notat ()/numrul potenial de arce care revin la un nod , respectiv
.
CLICA: reea n care fiecare nod este legat de celelalte noduri
(toi prietenii din reea se cunosc i interacioneaz).6. SUBGRAF: ,
unde V i respectiv E reprezint mulimea vrfurilor, respective
arcelor grafului.
Exemple de subgrafuri: ciclurile, arborii, subgrafe complete de
ordin 2.
Ciclu: Bucl nchis de r arce, astfel nct muchiile consecutive au
un vrf comun:
Arbore de ordin m: are m vrfuri/noduri, are (m-1) arce/muchii,
nu are cicluri.
Subgraf complet de ordin 2: conine z vrfuri interconectate ntre
ele, deci are z(z-1) drumuri, maxim posibil de (clica se reprezint
printr-un subgraph complet de ordin 2).
7. COMPONENTA GIGANT: cea mai mare parte care poate fi
deconectat din reea.
n general, o reea complex poate conine pri care pot fi
deconectate (separate) de reea atunci cnd analiza o impune.
Component puternic conectat: cluster cu proprietatea c exist
drumuri ctre toate componentele sale.
Component gigant puternic conectat: cea mai mare component care
poate fi desprins din reea i care are arce ntre toate vrfurile ,
deci este cea mai mare component puternic conectat.
Component slab conectat: component conectat pentru care se ignor
direcia arcelor (subgraf neorientat).
Component gigant slab conectat: cea mai mare component slab
conectat cel mai mare subgraf neorientat.
8. CRITICALITATEA: prag critic de la care se formeaz componenta
gigant (unul dintre subgrafe se transform ntr-o component gigant
puternic conectat).Sub acest prag, reeaua este format din
subgrafuri, care nu pot fi separate de graf.
9. BETWEENESS CENTRALITY (BC):Centralitatea este importana
relativ a unui nod n reea, se msoar prin numrul de drumuri care
trece prin acel nod.
TemConstruii un graf orientat cu 10 noduri i 7 muchii. Calculai:
- conectivitatea, drumul mediu de lungime minim, diametrul reelei,
coeficientul de clusterizare, betweeness centrality.Construii o
reea cu o component gigant, o reea de tip clic, de tip ciclu, de
tip arbore, de tip subgraph complet de ordin 2.
MODELAREA REELELOR COMPLEXE
1. Reele financiare
Reelele financiare vizeaz relaiile financiare dintre diferite
companii, membrii comuni n Consiliul de Administraie, instituii
financiare, clieni, etc.
1. Modelul portofoliilor optime al lui Markowitz (1952, 1959)
modeleaz o reea de active (aciuni).Modelul lui Markowitz se bazeaz
pe selecia portofoliului cu ajutorul varianei (dispersiei) , mediei
i matricei de covarian. media
media
variana sau dispersiaUnde X este un vector cu elemente variabile
aleatoare:
Fiecare avnd un numr de j=1,N realizri posibile.
Problema optimizrii portofoliului a fost asociat cu minimizarea
riscului, utiliznd o funcie obiectiv:
Matrice de covarian:
Elementul este covariana ntre elementele i i j ale unui vector
de variabile aleatoare.
Funcia obiectiv reprezint minimizarea riscului calculat ca suma
diferenelor ntre cursul actual i valoarea ateptat a cursului (egal
cu media cursului) corespunztoare activelor portofoliului.
Cu urmtoarele restricii: Atingerea unui anumit profit:
este randamentul ateptat al aciunii i;R este rentabilitatea
ateptat a portofoliului,n este numrul de aciuni tranzaionabile,
- cursul aciunii i
restricia bugetar:
unde - cursul aciunii i, iar M este bugetul alocat, n este
numrul de aciuni tranzaionabile.Markowitz a sugerat c pentru un set
de valori ateptate i pentru covariana ateptat a cursului tuturor
aciunilor i i j , fiecare investitor poate gsi o combinaie (R, V)
care s satisfac restriciile i s minimizeze riscul.
Fiecare investitor trebuie s identifice Frontiera Markowitz i
apoi s i aleag portofoliul n concordan cu aceasta. Frontiera
Markowitz locul geometric al combinaiilor de active (portofolii)
care are o varian/dispersie minim n raport cu venitul ateptat (cu
cel mai mic risc). Agenii care prefer un venit ateptat superior i o
varian mai mic (avnd deci preferine de tipul medie-varian) vor
alege portofolii aparinnd frontierei. Este clar c, chiar dac
preferinele agenilor economici nu ndeplinesc aceste proprieti, o
frontier medie-varian exist ntotdeauna, i poate fi util n scopuri
pur i simplu descriptive.
Modelul din 1959 are ca obiectiv maximizarea profitului i
minimizarea riscului:
reprezint aversiunea la risc a investitorului.n prezent exist o
literatur bogat pentru modele de optimizare a reelelor
financiare.
2. MODELUL GRAFELOR ALEATOARE (Erds i Renyi)Modelul grafelor
aleatoare are N noduri (vrfuri) legate ntre ele prin arce sau
laturi plasate ntre perechi de vrfuri alese aleator.Fie GN,p graful
n care ntre dou vrfuri exist un arc cu o probabilitate egal cu p.
Gradul de separare al elementelor grafului:
Notm A o persoan din reea care are z vecini, care la rndul lor
au cte z vecini. Atunci A are vecini de ordinul doi, vecini de
ordinul trei, .a.m.d. Gradul de separare al grafului este exponenul
lui z pentru care se poate atinge ntreaga populaie, de N persoane,
vrfuri:
, Creterea logaritmic a numrului de grade de separare odat cu
creterea mrimii reelei complexe se numete efect de lume mic
(small-world effect) i este una dintre cele mai interesante
proprieti ale unor astfel de reele.Deoarece log N crete lent odat
cu creterea lui N, rezult c numrul de grade de separare rmne mic
chiar i n condiiile n care N devine foarte mareERDS RENY (reea
ERDS) a matematicienilor (noduri) ntre care apare n mod aleator un
arc dac doi sau mai muli matematicieni scriu un articol. Fiecare
dintre cele N noduri se poate conecta cu maximum (N-1) vecini.
3. Modele ale reelelor lumii mici
Ctre sfritul anilor 60 ai secolului trecut, Milgram (1967) a
efectuat un experiment devenit faimos. Dei nu exista o reea fizic n
spatele acestui experiment, rezultatele arat fora deosebit a
structurii reelelor sociale complexe. n esen, experimentul
examineaz lungimea drumurilor dintre vrfurile unei reele sociale,
cerndu-se participanilor la acest experiment s trimit o scrisoare
unuia dintre cunoscuii si direci, cu rugmintea ca aceasta s fie
transmis mai departe n acelai mod, pn cnd i atinge inta,
reprezentat de un destinatar final. Dei multe scrisori s-au pierdut
pe drum i nu au mai ajuns la destinaie, aproape un sfert dintre ele
i-au atins inta.n medie, o scrisoare a trebuit s treac prin minile
a cinci sau ase persoane pn cnd a ajuns la destinaie. Acest
experiment a reprezentat sursa cunoscutului concept de ase grade de
separare.Dac considerm o reea/graf neorientat i L este distanta
medie geodezic (cea mai scurt) dintre perechile de vrfuri ale
reelei, atunci:
unde dij reprezint distana geodezic de la vrful i la vrful j. n
tabelul de mai jos sunt date distanele medii geodezice pentru cteva
tipuri de reele complexe.
TIPUL DE REEA N \(Numrul de vrfuri) M (Numrul de arce) L
(Distana medie geodezic)
Reeaua actorilor de film 449913253164823.48
Directori de companii 7673553924.60
Mesaje e-mail59912863004.95
Internet 10697319923.31
Reea de ci ferate 587196032.16
Reea metabolic 76536862.56
Reea neuronal 30723593.97
Reea ecologic submarin 1355982.56
Relaii interstudeni 57347716.01
Di tabel reiese c efectul de lume mic este aproape
general.Efectul de lume mic are implicaii mari asupra dinamicii
proceselor care se petrec ntr-o reea. De exemplu, dace consider
procesul de difuzare a informaiei sau al oricrui lucru din cadrul
reelei, efecul de lume mic implic faptul c acest proces se desfoar
cu o vitez mare n cadrul ntregii reele. Acest efect se aplic nu
numai informaiei, dar i reelelor Internet, n care sunt necesare
maximum ase calculatoare provider prin care un pachet de informaii
trebuie s treac pentru a ajunge la orice destinatar din reea,
numrului de pai necesari pentru a strbate lumea utiliznd reeaua de
aeroporturi, de exemplu, timpului necesar unei boli molipsitoare
pentru a se rspndi n ntreaga populaie a unei regiuni (reele
biologice) etc.
Modelul reelelor libere de scal
n cazul reelelor reale de dimensiuni mari, distribuia gradelor (
probabilitatea ca un nod s aibe k=0,1,2,,N-1 vecini)
este de tip putere, , unde reprezint un coeficient pozitiv
adimensional.
Cel mai vechi exemplu de reea n care avem o astfel de distribuie
este cea construit de Price plecnd de la citrile ntre lucrrile
tiinifice menionate n revistele ISI ( a gsit ). Mai recent,
distribuia gradelor de tip lege a puterii a fost observat i n alte
reele, cum ar fi WWW, Internetul, reelele metabolice, reeaua
apelurilor telefonice etc.Distribuia gradelor exponenial, este de
asemenea frecvent n reelele mari:
care a fost descoperit, de exemplu, n cazul reelelor electrice,
reelelor de ci ferate, reeaua actorilor, reele colaborative
.a.Distribuia binomial a gradelor ( probabilitatea ca un nod s aibe
k=0,1,2,,N-1 vecini),
N este numrul de noduri, p este probabilitatea ca ntre dou
noduri s existe muchie, k este nr de vecini.
Cel mai cunoscut model al unei reele libere de scal este modelul
Barabasi Albert n care se introduc dou elemente dinamice eseniale:
creterea reelei i conectarea preferenial. Reeaua este supus
permanent unui proces de cretere, ncepnd cu un mic numr de vrfuri
complet conectate. Creterea are loc n aa fel nct vrfurile nou
introduse n reea sunt legate preferenial de acele vrfuri care au
cele mai multe conexiuni. n figura de mai jos se reprezint acest
proces de cretere prin conexiuni prefereniale.
O implicaie major a acestui fapt este c apare un numr mic de
vrfuri puternic conectate (hub-uri), n timp ce marea majoritate a
vrfurilor are o conectivitate foarte mic. Reeaua este foarte
sensibil la atacuri intenionate dac intele sunt aceste huburi, dar
este foarte robust la atacuri aleatoare, n care vrfurile int sunt
alese aleatoriu.Faptul c reelele sociale sunt libere de scal, ca i
multe alte reele informaionale, tehnologice sau biologice
demonstreaz existena unei similitudini uimitoare ntre sistemele
adaptive complexe din natur, tehnic sau societate.
30