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Corrig de lexercice 1 : Moteur Diesel (ENAC 2008)1. La
transformation 1 2 est adiabatique et rversible. De plus, le fluide
est considr
comme un gaz parfait et nous pouvons donc lui appliquer la loi
de Laplace :
= Donc
= = 9102. La transformation
2 3est isochore donc
= . En consquence,
=
. La loi de
Laplace applique la transformation 1 2 donne aussi = . En
remplaant danslexpression prcdente, nous obtenons :
= 1 = 1,03.10
3. La loi de Laplace pour la transformation 4 5 permet dcrire
que = . Orla transformation 5 1 tant isochore, = = . De plus, la
transformation 3 4tant isobare, = donc = et donc = = . En
conclusion,
=
Or = donc
=
= 8824. = + : calculons ces deux transferts thermiques
sparment.
La transformation 2 3 est isochore donc = = .La transformation 3
4 est isobare donc = = .En conclusion,
= 1 + = 1,13.10 . 5. La transformation 5 1 tant isochore, nous
trouvons, comme prcdemment pour ,
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= 1 = 422 .
6.
Daprs le premier principe appliqu sur un cycle, + + = 0 (lnergie
internetant une fonction dtat, sa variation est nulle sur un
cycle).En consquence,= 1 + + = 709 .
7. Par dfinition et en utilisant le rsultats prcdents,= = 1
+
+ = 62,7%
Rsultat trs suprieur aux valeurs relles
Corrig de lexercice 5 : PAC (ICNA 2008)
1. Les transformations sont rversibles et la machine ditherme
(cest un cycle de Carnotinvers) donc, daprs le second principe
appliqu un cycle (galit de Clausius),
+
= 0
Or, en appliquant le premier principe au fluide pour un cycle, =
0 (fonction dtat) et= + + donc = + .
Or, par dfinition, = . Donc=
2. Par dfinition de lefficacit, = puisque est le transfert
thermiquealgbriquement reu par le fluide et, donc, loppos du
transfert thermique
algbriquement reu par la pice. Dautre part, daprs lnonc, = .Donc
= . En consquence, en isolant ,
= 1 En intgrant alors entre linstant initial ( 0 = et pour
lequel = ,
= ln 3. Lefficacit dune rsistance chauffante est de 1 donc =
donc
= 4. Numriquement, = 81,6.10 22 40 , = 1,13.10 20 et donc
= 22 20 , ce qui parait tout de mme excessif
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5. En appliquant le premier principe la pice, nous pouvons crire
:= =
Nous en dduisons immdiatement lquation diffrentielle suivante
:
+ = La solution de cette quation diffrentielle, somme dune
solution particulire et dela solution gnrale de lquation homogne
exp scrit alors :
= + ex p A, linstant initial, 0 = = 288 . Donc = .Donc
= + exp En conclusion,
= 1 ln Numriquement, = 2,1.10 .
6. En rgime permanent, la temprature de la pice reste constante
et donc = . Enappliquant le premier principe la pice, = .Or, la
temprature de la pice restant constante, = 0.De plus, daprs la
premire question, = .Lquation issue du premier principe devient
donc :
= 0 = 0
+ 2 + = 0 Nous pouvons en dduire = + .Numriquement, = 322 = 49
(lautre solution, 249 est physiquementimpossible).Dans la pratique,
le chauffage sera arrt (bien) avant que cette limite ne soit
atteinte
7. Il suffit de reprendre le raisonnement prcdent avec = 1. Nous
obtenons alors : = + = 288
Ce qui nest pas vraiment suffisant ! Nous pouvons supposer que
la pice nest pas
suffisamment isole
Corrig de lexercice 6 : Machine frigorifique (ICNA 2011)
1. Dans le diagramme , la transformation est une isotherme dont
les tats initial etfinal se trouvent sur la courbe de saturation :
lun de ces points se trouve donc sur la
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courbe dbullition et lautre sur la courbe de rose. Dautre part,
dans le diagramme ,
les isothermes sont des segments horizontaux et les
transformations isentropiques (
entropie constante) des segments verticaux. Le cycle est donc
reprsent par un
rectangle. La temprature tant suprieure , le fluide est forcment
diphas dansles tats et . Nous obtenons donc la reprsentation
suivante dans le diagramme :
Nous pouvons alors en dduire la reprsentation du cycle dans le
diagramme :
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2. Les transformations et sont des isentropiques rversibles,
donc adiabatiques : ilny a pas dchanges de chaleur.
La transformation est une isotherme la temprature
: le fluide change de la
chaleur avec la source froide ( < ).La transformation est une
isotherme la temprature : le fluide change de lachaleur avec la
source chaude.
3. Les transformations et sont des isentropiques : = = 0 .Dautre
part, = ln +
(en la calculant par le chemin passant par le
point de la courbe dbullition la temprature ).
Au cours de la transformation , le fluide passe intgralement de
ltat gazeux ltat
liquide : = .Pour la transformation , le fluide, en et est
diphas : la fraction de liquide passant
ltat gazeux est et donc = .4. Lentropie est une fonction dtat
donc, sur un cycle, = 0.
En consquence, = 0.
Nous en dduisons que :
= ln Et que
=
+ ln
5. Dterminons les transferts thermiques changs par le fluide
avec les deux sources, lepremier principe (sur un cycle) nous
permettra den dduire le travail reu par le fluide,
la variation dnergie interne sur un cycle tant nulle (fonction
dtat).
= =
= = Or nous avons vu que
= 0 et donc que =
. Donc
= = Nous en dduisons alors, comme = , que
= 1 6. Par dfinition, la machine tant un machine
frigorifique,
=
. Donc
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= Remarque : nous retrouvons sans surprise le rendement de
Carnot pour une machine
frigorifique puisque le cycle dcrit est un cycle de Carnot !
Corrig de lexercice 7 : Etude dune pompe chaleur (hors-programme
?)
1.1.1.En rgime permanent, il ne peut pas y avoir daccumulation
ni de dcroissance de matire
(donc de masse) dans le systme donc = .1.2.En amont, la pression
du systme est constante : la transformation est monobare
donc le travail massique est gal loppos de la pression multiplie
par lavariation de volume massique
:
= . =
De ma mme manire, en aval, = . = .1.3.Appliquons le premier
principe de la thermodynamique au systme ferm :
= + O est lnergie totale du systme, et les travaux et transferts
thermiques changs.Le travail reu par peut tre dcompos en travail
des forces de pression et desforces autres que de pression :
Travail des forces de pressions :o reu en aval : o reu en amont
: o nul dans le volume , constant
Travail des forces autres que de pression : , que lon peut
ramener lunitde masse de telle sorte que = . .
Lnergie du systme peut tre dcompose en : = + + .Les nergies
cintique et potentielle du fluide compris dans le volume ne varient
pas :
seule la masse entrant et sortant voit ces nergies varier donc =
. et = . .
Pour lnergie interne,
= + + = , en notant
lnergie interne (constante en rgime permanent) du fluide contenu
dans le volume .Le premier principe devient alors :
+ + = + + En simplifiant par et en remarquant que = + , on peut
alors crire que :
+ + = + Dans toute la suite, l'coulement est suppos horizontal
et lent : on ngligera
dventuelles variations dnergie cintique ou potentielle de
pesanteur.
Donc = + 2.
Attention : la pression est note .Diagramme de Clapeyron
massique = .
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Dans le diagramme de Clapeyron, une transformation isotherme dun
gaz parfait est
reprsente par une hyperbole (car = ).Diagramme entropique = Dans
un diagramme = , une isobare (pour un gaz parfait) est reprsente
par uneexponentielle. En effet, daprs la seconde identit
thermodynamique,
= + =. Or = donc = donc = .exp .Dans un diagramme = , une
transformation adiabatique rversible estreprsente par un segment
parallle laxe des ordonnes.
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3. On adopte le point de vue de linstallation, ce qui signifie
que nous allons utiliserlexpression du premier principe dmontre la
question 1.
Transformation1 2
: compresseur
o Le compresseur est calorifug donc = 0 .o La transformation est
isentropique et le fluide est considr comme un gaz
parfait donc = (loi de Laplace).Donc =
= 313,7
o Daprs le premier principe, = = = = 26,01 .
Transformation2 3
: condenseur (isobare)
o Le condenseur ne comportant pas de pice mobile, = 0 .o Dans le
condenseur, le fluide subit un refroidissement isobare jusqu
temprature de lquilibre liquide vapeur du fluide la pression .
puisune liqufaction totale (point 3) donc
= 1 = 190,3 .
Transformation3 4
: dtendeur (calorifug)
o Le dtendeur est calorifug donc = 0 .o Le dtendeur ne comporte
pas de pice mobile donc = 0 .
Transformation 4 1: vaporateuro Lvaporateur ne comporte pas de
pice mobile donc = 0 .o Pour lensemble du cycle, = 0 donc = 163,8 .
.
Donc, daprs le premier principe, = 163,8 . Par dfinition, = .
Donc = 7,31 .
4. La rserve en eaux uses est en moyenne dun mtre cube par jour,
cest--dire de10 . Donc, par jour, = 10 4,185 2 5 2 = 96,3 /
Le transfert thermique est ralis lors de la transformation 4 1
et lors de latransformation 2 3 donc = donc = 82,9 / Soit le dbit
volumique deau chaude, en . .= 24 10 4,1856025Donc
= 23,6.10
.