Business Mathematics

គណតវទយា

ពាណជជកមម

Business Mathematics

រ ៀបចរោយៈ ធន កសល

២០១០

អា មភកថា

ស ៀវសៅគណតវទយាពាណជជកមម (Business Mathematics) ដែលសោកអនកកពងអាន សនេះរមមាន ៩ សមសរៀនដែល កាអព មលដឋា នគគរេះននគណតវទយា (Basic mathematics) ភាគរយ (Percentages) កសនាមពជគណត (Algebra) ផលស ៀប នង មាមាគត (Ratios and Proportions) ការគាកសោល (Simple interest) ការគាកផគប (Compound interest) នោភ ឬ ណងគបចគា (Annuities) ការតាងគកាហវ (Graphing) នងសែរសវ Derivatives)។

កនងស ៀវសៅសនេះមានៈ វតថបណងននជពកនមយៗ ខលរមសារសមសរៀនពសាា រតាមចណចនមយៗ ឧោហរណគរជាសគចើន កណត មាគ លសផេងៗ Quick quiz ណរពហសគជើ សរ ើ (Multiple choice questions) លហាតតាមជពកនមយៗជាសគចើន។

ការសរៀបចស ៀវសៅសនេះស ើងគសែើមបសលើយតបសៅនរងតគមវការននការ ការប េ ថនន កសគតៀម នងថនន កជនាញសៅកនងសាោពាណជជកមម។ ខាទយសជឿជាកថន ស ៀវសៅសនេះអាច ជយជាឯកសារមយ គមាបថនន កជនាញដែលោកទយងនរងពាណជជកមម។ បាដនែសោេះជាយាង សនេះកាកសៅដតមានកងវេះខាតសលើចណចមយចននជាពខាន។

សែើមបឱយស ៀវសៅ កាសនេះកានដតលអគបស ើរ ខាទយនរងទយទយលរាលការរេះគន នងដក លមអបដនថមព ណាកសោកគគ-អនកគគ នងអនកអានសដឋយការករាយ។

ភនសពញ, ដខ ហា ២០១០

ន ក ល

3

ចណងជ ើងជេជ ៀន ទព ជេជ ៀនទ ១ េលដឋា នគ រះននណតវទា ...................................................................... 1 ជេជ ៀនទ ២ ភា យ .................................................................................................. 35 ជេជ ៀនទ ៣ ព ណត .............................................................................................. 83 ជេជ ៀនទ ៤ ផលជ ៀប នងសមាមាគត ...................................................................... 109 ជេជ ៀនទ ៥ កា គាកជោល ..................................................................................... 143 ជេជ ៀនទ ៦ កា គាកផគប ......................................................................................... 161 ជេជ ៀនទ ៧ នលាភ .............................................................................................. 179 ជេជ ៀនទ ៨ កា តាងគកាហវ ...................................................................................... 203 ជេជ ៀនទ ៩ ជេ ជវ .................................................................................................... 235

4Y4

មេម ៀនទ ១

គណតវទាពាណជជកេម 1

1.1 ចននគត(Whole numbers)

ចននសាមញញបផតនៅកនងរបពនធចននរបសនយើង រតវបាននេតាងនោយនមតតសញញញ

0,1,2,3,4, ។ នដើមបឲយមានភាពជាកលាក នមតតសញញញ តាមពតេជាតនលខ (numerals) ដដល

តាងឲយចនន។ ន ោះជាយាងននោះកដ កនងការអនវតតនជាទនៅ ចនន (numbers) ជាធមមតារតវ

បាននេសនៅនៅនលើនលខ (numerals)។

នលខ ងននោះតាងឲយចននធមមជាត (natural numbers) ជាចននដដលជាធមមតារតវបាន

នេនរបើនដើមបរាបវតថ ងមលខសពរបភាេ (fraction) ដដលតាងឲយដផនកមយចននននវតថ ង

ន ោះ។ (មនសសមយចននមនបានរាបបញច លនលខ 0 ជាចននធមមជាតនទ ដតន ោះជាយាងននោះ

កនោយ កគមម នវធានដដលតងដតង នងជាកលាកចន ោះបញញា ននោះនទ។) ចននធមមជាត (natural

numbers) ជាធមមតារតវបានបញញា កនោយន ម ោះនផសងៗដចជា ចននេត (whole numbers) ឬ

ចនន េតរឡទប (Integers) ដដលនពញនយមជាងនេ។ ចននេតរឡាទប (Integers) ដដលធជាង

សនយ (មាននយថា 1,2,3,...) រតវបាននេនៅថា ចននេតរឡាទបវជាមាន (positive integers)

វតថបណងននមេម ៀន

ការអនវតតនការគណនាទាកទងនងចននគត

ការអនវតតនការគណនាទាកទងនងររភាគ

ការអនវតតនការគណនាទាកទងនងចននទសភាគ

ការអនវតតនការគណនាទាកទងនងសវយគណ

ការបររើរាស នងយលពទររងវទាសាសតសត ការបររើរាស នងយលពបោការត


2 គណតវទាពាណជជកេម

ន ើយចននេតរឡាទបដដលតចជាងសនយ (មាននយថា 1, 2, 3,... ) រតវបាននេនៅថា

ចននេតរឡាទបអវជាមាន (negative integers)។

មេខ (Numeral)េយមានខទង (digits)ជាមររើនដែេខទងេយរតវបានកណតជាតមេខ មយកនងចនោមតនលខ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9។ នលខខលោះមានមយខទង នលខខលោះមានពរ

ខទង ន ើយនលខខលោះនទៀតមានប ឬនរចើនខទង។ ចននមាននលខពរខទង (two-digit number) (ឧ. 43)

េនៅចន ល ោះព 10 នង 99 ចននមាននលខបខទង (three-digit number) (ឧ. 841) េនៅចន ល ោះព 100

នង 999ចននមាននលខបនខទង (four-digit number) (ឧ. 2853) េនៅចន ល ោះព 1000នង 9999។ល។

របពនធចនន (Number system) ដដលនយើងនរបើជារបពនធនគមលដប (decimal system) នោយ

សារវារតវពងដផែកនៅនលើចនន ង 10។ កនងរបពនធននោះ តនមលនលខតាមខទង (value of a digit)

អាសសយនៅនលើទតាង (position) របសវានៅកនងនលខ (នមើលតារាង 1.1)។

តារាង 1.1 តនមលនលខតាមខទងកនងរបពនធនគមលដប

ទតាងននខទង (position of digit) (រាបព

សាដ ) តនមល ន ម ោះខទង

ទ១ (first) 1 រាយ (ones or units)

ទ២ (second) 10 ដប (tens)

ទ៣ (third) 100 រយ (hundreds)

ទ៤ (fourth) 1 000 ន (thousands)

ទ៥ (fifth) 10 000 មន/ដប ន (tens of thousands)

ទ៦ (sixth) 100 000 ដសន/រយ ន (hundreds of thousands)

ទ៧ (seventh) 1 000 000 លាន (millions) ឧទាហរណ 1.1 សរនសរជា កយចន ោះចននដដលតាងនោយនលខដចខាងនរកាម៖

a) 56

b) 368

c) 1679

d) 367 297

ដម ោះសរាយ

a) 56 មានមេខ 6 មៅខទងរាយ នងមេខ 5 មៅខទងែប។ វាតាងឲយរនន«ហាសបរបាេយ»។



b) 368 មានមេខ 8 មៅខទងរាយ មេខ 6 មៅខទងែប នងមេខ 3 មៅខទង យ។ វាតាងឲយរនន «ប យហកសបរបាប»។

c) 1679 មានមេខ 9 មៅខទងរាយ មេខ 7 មៅខទងែប មេខ 6 មៅខទង យនងមេខ 1 មៅខទងពាន។ វាតាងឲយរនន«េយពានរបាេយ យរតសបរបាបន»។

d) 367 297 មានមេខ 7 មៅខទងរាយ មេខ 9 មៅខទងែប មេខ 2 មៅខទង យ មេខ 7 មៅខទងពាន មេខ 6 មៅខទងេន នងមេខ 3 មៅខទងដសន។ វាតាងឲយរនន«បដសនរបាេយេនរបាព ពាន ព យមៅសបរបាព »។ មានរបមាណវធ (Operation) គណតវទាជាមោេបនដែេអារមធវើមៅមេើរននគ៖ 1. វធគណ (multiplication) ជាធេមតាតាងមោយ 2. វធដរក (division) ជាធេមតាតាងមោយ ឬ / 3. វធបក (addition) តាងមោយ 4. វធែក (subtraction) តាងមោយ េោប (Order) ននរបមាណវធទងមនេះគ ដតរតវបានមធវើមៅកនងកមនោេគ៖ a) វធគណ នងវធដរកមធវើេនមគ b) បនទទ បេកវធបក នងវធែក។ ជាឧទហ ណ ៈ3 2 5 3 10 13 ។ មទេះជាយាងមនេះកដ មែើេបមជៀសវាងនវភាពេន

រាសលាស មយើងអារមរបើ ងរករក (Parentheses or brackets) ដែេមធវើមៅមេើអវដែេ មយើងធលល បមានពេនេកមេើរបមាណវធជាេេោា នទងបន។ កនងករណខាងនលើ នយើងអាចសរនសរ 3 2 5 នដើមបនធវើឲយកននោមកានដតចាសជាង

មន ដតនយើងនៅដតបានចនមលើយ 13 ដចមន។

ឧបមាថា នយើងចងបាន 3 នង 2 បកបញច លគមន មនេណនង 5។ កនងករណននោះ នយើង

នងសរនសរ 3 2 5 5 5 25 ។

ការពភាកោសនងេបនៅនលើរបមាណវធនមយៗរតវបានបងហា ញដចខាងនរកាម។

វធេណ (Multiplication)



នេតាងវធេណននពរចននតាមរនបៀបនផសងៗគមន ។ ឧ រណៈ នយើងចងេណចនន 3

នង 4 ន ោះនេអាចតាងដចខាងនរកាមៈ 1. 3 4

2. 43 3. 3 4

4. 3 4 ឬ 3 4

កមនោេ (Expression) ទងអសមនេះមាននយថាជាផេគណ វាង 3 នង 4។ កមនោេេយននផេគណមនេះ 3 4 12 គផេគណនន 3 4 មហើយកមនោេែនទមទៀត

ដែេតាងខាងមេើកមានេទធផេមសមើនង 12 ែរោន ។ កមនោេដបបមនេះ 3 4 12 មៅថា សេភាព ឬសេកា (Equation) េយមោយសា វាមានប មាណមសមើោន ទងព ។ របមាណវធគណមានេកខណៈរតេប (Symmetry)។ ឧទហ ណ ៈ មយើងអាររតេប េោបនន 3 នង 4 មៅកនងសេកា ខាងមេើ មហើយមយើងទទេបានេទធផេែរោន មាននយ ថា 4 3 12 ។

ដចគមន ននោះដដរ នបើពរចននដដលរតវនធវើរបមាណវធមានសញញញ ដចគមន ន ោះលទធផល

ដែេទទេបានជារននវជជមាន ដតមបើវាមានសញញា ផទយោន មនទេះេទធផេជារននអវជជមាន។ រតវរងចថា មពេមធវើរបមាណវធកនងកមនោេដែេមានវងរករក មយើងរតវគណនទកនង វងរករកេនមគ។

ឧទហ ណ 1.2 េណ ៈ

a.

b.

c.

d.

e.

f.

ដណ ោះសរាយ

a.

b.

c.

d.

e.

f.

វធដចក (division)

នេកអាចតាងវធដចកននពរចននតាមរនបៀបនផសងៗគមន បានដដរ។ ឧ រណៈ នយើង

ចងដចកចនន 12 នង 4 ន ោះនេអាចតាងដចខាងនរកាមៈ 1. 12 4



2. 12 / 4

3. 4

12

កនងករណននោះ ចននដដលរតវដចក(12) នៅថា តោងដចក(Numerator or Dividend)

ន ើយចននដដលនងរតវដចកឲយ(4) នៅថា តដចក(Denominator or divisor)។ ចនមលើយចន ោះ

របមាណវធដចក(កនងករណននោះនសមើ3) នៅថា ផលដចក(Quotient)។

របមាណវធដចកមនមានលកេណៈរតលបនទ។ នបើលោបននចននដដនធវើរបមាណវធ

ដចករតវបានផលល សបដរ ន ោះចនមលើយកបដរដដរ។ ឧ រណៈ 12

4

4

12 ។

ដចគមន នៅនងរបមាណវធេណដដរ នបើសញញញ ននតោងដចក នងតដចកដចគមន ន ោះ

ផលដចកមានសញញញ វជាមាន (positive) នបើញញញ ននតោងដចក នងតដចកខសគមន ន ោះផលដចក

មានសញញញ អវជាមាន(Negative)។

ឧ រណ 1.3 េណ

a. 6

3 b.

15

5

c.

4

20


a. 2

1

6

3

6

3

b.

3

1

15

5

15

5

c. 5

4

20

4

20

វធបក (Addition)

របមាណវធបកមានលកេណៈរតលបមាននយថា លោបននចននមនជោះឥទធពលនៅ

នលើលទធផលនទ។ ឧ រណៈ កននោម នង នសមើនង 5 ដចគមន ។

វធដក (Subtraction)

ខសពរបមាណវធបក របមាណវធដកមនមានលកេណៈរតលបដចរបមាណវធបកនទ

មាននយថា លោបននចននមានឥទធពលនៅនលើលទធផល។ ឧ រណៈកននោម 538 ដត

5583 ។

នៅនពលនធវើរបមាណវធបក នងដក នយើងរតវដងថា នបើសញញញ នង នៅបនតប ទ ប

គមន ន ោះរបមាណវធជារបមាណវធដក។ នបើសញញញ ពរនៅបនតប ទ បគមន ន ោះវាកាល យជា

របមាណវធបក។

ឧទហ ណ 1.4

a. 8 ( 5) b. 12 ( 3) c. 18 ( 5)




a). 8 ( 5) 8 5 3 b). 12 ( 3) 12 3 9

c). 18 ( 5) 18 5 23

1.2 សរបភាគ (Fraction)

របភាេ (fraction)េជាកននោមដដលមានទរមងៈ a

b (1.1)

តាមដផនកខាងនលើ a នៅថាតោងដចក (numerator or dividend) នង b នៅថាតដចក

(denominator)។ កនងដផនកននោះ a នៅថាភាេយក (numerator or dividend) នង b នៅថាភាេ

ដបង (denominator)។ ភាេដបងមនអាចនសមើ 0 បាននទ នបើវានសមើ 0 ន ោះរបភាេគមម ននយ។

របភាេសទធ (Proper fraction) េជារបភាេដដលមានភាេយកតចជាងភាេដបង (ដចជា2

3, 6

17) ឯរបភាេមនសទធ (Improper fraction) មានភាេយកធជាងភាេដបង (ឧ រណ:

3

25,

2

5 )។

វធបករបភាេដដលមានភាេដបងដចគមន (Addition of fractions with the same denominator)

នដើមបបករបភាេដដលមានភាេដបងដចគមន នយើងបកភាេយកបញច លគមន នដើមបបានភាេ

យកថម ភាេដបងរកោទកដដដល។

ឧទហ ណ 1.5

បករបភាេខាងនរកាម៖

a) 1

5នង 3

5 b)

4

9 នង 1

9 c)

2 4,

15 15នង 7

15


a) 1 3 1 3 4

5 5 5 5

b) 4 1 4 1 5

9 9 9 9

c) 2 4 7 2 4 7 13

15 15 15 15 15

វធបករបភាេដដលមានភាេដបងខសគមន (Addition of fractions with different denominators)

នយើងរតវដតបដររបភាេដដលមានភាេដបងខសគមន នៅជារបភាេដដលមានភាេដបងដច

គមន មននងបកភាេយកបញច លគមន ។ ភាេដបងដចគមន ដដលបាននរបើរតវបាននៅថា ភាេដបង រម



តចបផត (Lowest common denominator=LCD) ន ើយេជាចននតចបផតដដលដចកោចនង ភាេ

ដបង ងអស។ ចននតចបផតននោះខលន វារតវបាននៅថា ព េណរមតចបផត (lowest

common multiple=LCM)។ វាអាចរតវបានរកន ើញនោយេណកតាត រមននចនន ងអស

បញច លគមន ។

ឧទហ ណ 1.6

រកព េណរមតចបផត (LCM) នន៖ a) 2,5,6,8 b) 5,12,15,20


ព េណរមតចបផតេ៖ a) b)

ឧទហ ណ 1.7

េណ ៈ

a) 1 2 5

3 9 6 b)

2 4 1

5 15 12


a) LCM នន 3, 9 នង 6 េ 18 ដចននោះរបភាេនមយៗរតវដតបដបលងជារបភាេសមមល

មយដដលមានភាេដបងនសមើនង 18។ 1 6

3 18 2 4

9 18 5 15

6 18

ដចននោះ 1 2 5 6 4 15 25

3 9 6 18 18

b) LCM នន 5, 15 នង 12 គ 60។ 2 24

5 60 4 16

15 60 1 5

12 60

ដចននោះ 2 4 1 24 16 5 45 3

15 15 12 60 60 4

វធដករបភាេ (Subtraction of fractions)

វធបកអនវតតរមពាេះវធែក។ មពេមនេះ មធវើរបមាណវធែកមេើភាគយក។

ឧទហ ណ 1.8

គណនទៈ



a) 11 7 14

15 15 15 b)

5 1 1

16 8 12


a) ភាគដបងែរោន ែរមនេះ 11 7 14 11 7 14 4

15 15 15 15 15

b) មពេមនេះ ភាគដបង (16, 8 នង 12) ខសោន ។ LCM នន 16, 8 នង 12 គ 48។ ែរមនេះ 5 1 1 15 6 4 15 6 4 13

16 8 12 48 48 48 48 48

។

វធគណរបភាគ (Multiplication of fractions)

មែើេបគណរបភាគ មយើងគណភាគយកនងភាគយកមែើេបបានភាគយកថម មហើយគណ ភាគដបងនងភាគដបងមែើេបបានភាគដបងថម។ មបើមានកតាត េមៅកនងរបភាគេទធផេ មគគ ដត សរេេ(ដរក)។

ឧទហ ណ 1.9

គណនទៈ

a) 2 5

3 6 b)

4 3 7

5 4 12 c)

6 13

11 24


a) 2 5 2 5 10 5

3 6 3 6 18 9

b) 4 3 7 4 3 7 84 7

5 4 12 5 4 12 240 20

c) 6 1 3 6 1 18 3

311 24 1 11 24 264 44

មគកអារមធវើបានដែ កនងកា េបមចេកតាត េននភាគយក នងភាគដបងេននងគណ។ ជាធេមតា វាអារបនថយកា មនឿយហតកនងកា គណនទមេខ។

ឧទហ ណ 1.10

គណនទៈ 5 2 7

6 15 8 ។


5 2 7 5

6 15 8

1

2

6

1

15 3

7

8

4

7

72

វធដរករបភាគ (Division of fractions)



មែើេបដរករបភាគេយនងរបភាគទ២ មយើងរតវយករបភាគទ១ គណនងររមាស (invert) ននរបភាគទ២។ រាេកា ដរករបភាគអារបដ ជាកា គណរបភាគ។

ឧទហ ណ 1.11

គណនទៈ

a) 1 5

2 12 b)

26

3 c)

5 1 3

14 8 4


a) 1 5 1 12 12 6

2 12 2 5 10 5

b) 2 3 18

6 6 93 2 2

c) 5 1 3 5 1 4 20 5

14 8 4 14 8 3 336 84

1.3 ចននទសភាគ (Decimals)

មោយសា របពនធរនន បសមយើងរតវបានពងដផែកមៅមេើរនន 10 មគកអារតាង របភាគជារននទសភាគ (decimals)។ ជាឧទហ ណ មយើងមរបើរបពនធទសភាគកនង បយវតថ នងកនង ងវវ សរបដវង បសមយើង។ រននទសភាគ គពតជាែរោន មៅនងរបភាគដែេភាគយក រតវដរកនងភាគដបងមែើេបបានកមនោេទសភាគេយសេេេ។

រននទសភាគមានសមាសភាព (Components) បគ មេខគត (integer) រណរ ទសភាគ ឬមកបៀស (decimal point) នងមេខគត (integer) មផេងមទៀត។ តនេលមេខននខទងដែេ មៅបនទទ បពរណរទសភាគ ឬមកបៀស (decimal point) អាសសយមៅមេើទតាងដែេវាមៅ បនទទ បពមកបៀស (មេើេតារាង1.2)។

តារាង 1.2តនរលបលខននខទងរនាទ រពបកបៀស (decimal point)

ទតាងននខទងរនាទ រពបកបៀស តនរល ប ម ោះខទង

ទ១ (first) 0.1 ភាគដរ (tenths)

ទ២ (second) 0.01 ភាគរយ (hundredths)

ទ៣ (third) 0.001 ភាគពាន (thousandths)

ទ៤ (fourth) 0.000 1 ភាគរន (ten-thousandths)



ទ៥ (fifth) 0.000 01 ភាគសសន (hundred-thousandths)

ទ៦ (sixth) 0.000 001 ភាគោន (millionths)

បរើចននរយរតវានតាងជាទររងទសភាគ បលខសនយបៅខាងសាដ ចងរនាទ រព

ចណចទសភាគ (decimal point) នងរនាទ រពខទងចងបរកាយរនសររររលនរលននចននបទ។

ឧទហ ណ ចននទសភាគ 0.5,0.50,0.500 នង0.5000 ទាងអសតាងឲយចននទសភាគសត រ

យ។

ដចគនន បនោះសដរ បរើចននរយសដលរតវានតាងជាទររងទសភាគគតចជាង 1 វារន

ចសរលកបទកនងការលរបោល 0 បៅពរខចណចទសភាគ (បកបៀស)។ ឧទហ ណ 0.6អាចសរ-

បសរបោយងាយជា .6។

ឧទហ ណ 1.12

តាងចននខាងបរការជាររភាគ៖

a) 0.3 b) 0.47 c) 0.763 d) 0.25


a) 0.3 គ រភាគដរ (three-tenths) ឬ 3

10

b) 0.47 គ រនភាគដរ (four-tenths) សែររាពរភាគរយរយ(seven-hundredths) ឬសសសរ

រាពរភាគរយរយ (forty-seven hundredths) ឬ 47

100

c) 0.763 គ រាពរភាគដរ (seven-tenths) សែររារយភាគរយរយ (six-hundredths) នង

សែរ រភាគរយពាន (three-thousandths) ឬរាពររយហកសររភាគរយពាន (seven

hundred and sixty-three thousandths) ឬ 763

1000

d) 0.25 គ ពរភាគដរ(two-tenths) សែររាភាគរយរយ (five-hundredths) ឬនរៃរាភាគ

រយរយ (twenty-five hundredths) ឬ 25

100ឬ 1

4

ឧទហ ណ 1.13

តាងជាទសភាគ៖

a) 1

5 b)

3

4 c)

7

8




ទាងបនោះអាចរកបឃើញបោយបវើវ សចក៖

a) 0.2

5 1.0 ដចបនោះ 10.2

5

b) 0.75

4 3.00 ដចបនោះ 30.75

4

c) 0.875

8 7.000 ដចបនោះ 70.875

8

វ រក នងដកចននទសភាគ (Addition and subtraction of fractions)

វ រក នងដកចននទសភាគសសបដៀងគនន បៅនងវ រក នងដកចននគត (integers)។

ចណចសខានសដលរតវចងោគ ការបរៀរបលខយាងណាឲយចណចទសភាគ ឬបកបៀស

(decimal points) រតវគនន ។ អនកអាចរបពញកសនលងសដលគនម នបលខបោយបលខសនយបដើរបឲយ

ចនននរយៗមានចននខទងបសមើគនន រនាទ រពចណចទសភាគ ឬបកបៀស (decimal point)។

ឧទហ ណ 1.14

គណនា៖

a. 2.3 0.34 1.672

b. 5.7 2.49

c. 245.8794 356.37621


a)

b)

c)

វ គណ នងសចកចននទសភាគ (Multiplication and division of decimals)

បៅបពលគណចននទសភាគពរ បវើតារជហានដចខាងបរការ៖

1. រារចននខទងសដលបៅខាងសាដ បកបៀសននចនននរយៗ

2. រកចននខទងសដលានរារបៅកនងជហានទ១ បដើរបានចននរយតាងបោយ

3. គណចននទសភាគទាងពរបោយរនខវលពបកបៀស

4. បៅកនងចបរលើយសដលានកនងជហានទ៣ ោកសញញា បកបៀសបដើរបឲយមាន ខទងខាងសាដ

បកបៀស។បនោះជាចបរលើយននផលគណ។

ឧទហ ណ 1.15



គណនាាៈ a) b)


a) បោយ3.12 នង2.7 មាន 2 ខទង នង 1ខទងបរកាយបកបៀសបរៀងគនន , 2 1 3x បវើររមាណ

វ គណបោយរនខវលពបកបៀសាៈ

ោកសញញា បកបៀសកនងចនន 8424 បដើរបឲយមាន 3 ខទងខាងសាដ បកបៀស លទធផលគ 8.424

ជាចបរលើយ។

b) បោយ 5.542 នង 6.78 មាន 3 ខទង នង 2ខទងបរកាយបកបៀសបរៀងគនន , 3 2 5x

បវើររមាណវ គណបោយរនខវលពបកបៀសាៈ

ោកសញញា បកបៀសកនងចនន បដើរបឲយមាន 5 ខទងបរកាយបកបៀស លទធផលគ

37.57 476ជាចបរលើយ។

បៅបពលសចកចននទសភាគ បវើតារជហានដចខាងបរការាៈ

1. រារចននខទងននតសចក (divisor) សដលបៅខាងសាដ បកបៀស។ តាងចននបនោះបោយ ។

2. រកលបកបៀសកនងតណាងសចក (dividend) ខទងខាងសាដ (រសនែរ 0 បរើោាច)។ បវើដច

គនន ចបពាោះតសចក។

3. សចកតណាងសចកសដលានរសរលង (ជហានទ២) ជារយនងតសចកសដលានរសរលង

(សដលឥឡវបនោះគនម នបកបៀស)។ ផលសចក (quotient) ននវ សចកបនោះគជាចបរលើយ។

ឧទហ ណ 1.16

គណនទៈ a) 3.248÷0.04 b) 82.5÷4.125




a) តដរក (0.04) មាន 2ខទងមរកាយមកបៀស។ ែរមនេះ 2x ។ កេមកបៀស 2 ខទងមៅខាង

សាដ កនងតណាងដរក (3.248) មែើេបបាន 324.8។ មធវើែរោន រមពាេះ 0.04 មែើេបបាន 4។ ឥឡវមនេះ មយើងដរក 324.8 នង 4។

81.2

4 324.8

ដចបនោះ3.248÷0.04=81.2

b) តដរក (4.125) មាន 3ខទងមរកាយមកបៀស។ ែរមនេះ 3x ។ កេមកបៀស 3 ខទងមៅខាង សាដ កនងតណាងដរក (82.5) មែើេបបាន 82 500។ មធវើែរោន រមពាេះ 4.125 មែើេបបាន 4125

។ ឥឡវមនេះ មយើងដរក 82 500 នង 4125។

20

4125 82500

ែរមនេះ 82.5÷4.125=20។

1.4 សវយគណ (Exponents)

សវយគណ (exponent or power) គជាចននសដលសរបសរបៅខាងសាដ សផនកខាងបលើ

(superscript) ននចននរយបទៀតសដលបៅថា បគនល (base)។ វារារពចននដងននបគនលសដល

រតវគណនងខលនវា។ ទតាងនន superscript គបៅខាងសាដ បហើយបៅខាងបលើបគនល រនតច។

ចននសដលតាងជាបគនលរយសដលមានសវយគណបៅថា ទររងសវយគណ

(exponential form)។ ទររងបនោះសរបសរជា na សដល a ជាបគនល នង nជាសវយគណ

(exponent or power)។

ឧទហ ណ 1.17

គណនា៖

a) 24 b) 53


a) កនងករណបនោះ បគនលគ 4 បហើយសវយគណគ 2។ ដចបនោះ 24 4 4 16 ។

b) កនងករណបនោះ បគនលគ 3 បហើយសវយគណគ 5។ ដចបនោះ 53 3 3 3 3 3 243 ។

មានលកខណាៈរយចននសដលជាញកញារអាចសររលការគណនាទាកទងបៅនង សវ

យគណ។



សវយគណវជជមាន (Positive exponents)

សនមតថា ចននពរសដលមានបគនលដចគនន តាងជាទររងសវយគណ។

1. ផលគណ (product) ននចននទាងពរបនាោះនងមានបគនលដចគនន សដលមានសវយគណ

បសមើនងផលរក (sum) ននសវយគណបដើរទាងពរ។ ដចបនោះ m n m na a a (1.2)

2. ផលសចក (quotient) ននចននទាងពរបនាោះនងមានបគនលដចគនន សដលមានសវយគណ

បសមើនងផលដក (difference) រវាងសវយគណបដើរ។ ដចបនោះ m n m na a a (1.3)

ឧទហ ណ 1.18

គណនាាៈ a)

3 42 2 b) 6 23 3


a) កនងករណបនោះបគនលគ 2 បហើយសវយគណគ 3 នង 4។ បោយបររើសរការ (1.2):

3 4 3 4 72 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 128

b) កនងករណបនោះបគនលគ 3 បហើយសវយគណគ 6 នង 2។ បោយបររើសរការ (1.3):

6 2 6 2 43 3 3 3 3 3 3 3 81

បរើចននសដលតាងជាទររងសវយគណ បហើយបលើកជាសវយគណបផេងបទៀត លទធផល

គជា ចននរយសដលមានបគនលបដើរ បហើយសវយគណបសមើនងផលគណ (product) ននសវយ-

គណទាងពរ។ ដចបនោះ n

m m na a (1.4)

ឧទហ ណ 1.19

គណនា៖ 2

35 ។


កនងករណបនោះ បគនលគ 5 បហើយសវយគណគ 3 នង 2។ បោយបររើសរការ (1.4):

2

3 3 2 65 5 5 5 5 5 5 5 5 15 625

សវយគណអវជជមាន (Negative exponents)

ចននតាងជាទររងសវយគណសដលមានសវយគណអវជជមាន (negative) គបសមើនង

ចរមាស (reciprocal) ននចននដចគនន សដលសញញា អវជជមាន (negative sign) ននសវយគណរតវ

ានលរបោល។ ដចបនោះ 1n

na

a

(1.5)



ឧទហ ណ 1.20

គណនា៖

a) 32 b) 1 23 3 c)

214 d)

322


a) បោយបររើសរការ (1.5): 3

3

1 12

2 8

b) បោយបររើសរការ (1.2) នង (1.5): 1 2 1 2 3

3

1 13 3 3 3

3 27

c) បោយបររើសរការ (1.4) នង (1.5): 2

1 2

2

1 14 4

4 16

d) បោយបររើសរការ (1.4) នង (1.5): 3

2 2 3 6

6

1 12 2 2

2 64

សវយគណជាររភាគ (Fractional exponents)

នយេនយននសវយគណ ( )na អារពរងកមែើេបបញច េសាថ នភាពេយដែេ n គជា

របភាគ។ ជាពមសស មបើ n មានទរេង 1

k(ដែេ k ជារននគត ឡាទប)

1

ka រតវបានមគ

នយយថា ជាឫស (root) ទ k នន a។ ឫសទ k ននរននេយគជារននដែេគណនងខលនវា k

ែងបានរននមនទេះ។

ឫសទ k ពមសសគ 2k (មៅថាឫសកាម square root) នង 3k (មៅថាឫសគប cubic

root)។ សេកា 1.6 នង1.7 បងវា ញពទនទកទនង វាងសវយគណជារបភាគ នងឫសននេយ រនន។

1

kka a (1.6)

m

mnna a (1.7)

ឧទហ ណ 1.21

សរេេ (simplify):

a) 1

29

b)

41

25

c) 3

416

d) 3 27

e) 450 64




a) 1 11

22 12 229 3 3 3 3

b)

41 1

422 25 5 5 25

c) 333 4

4 344416 2 2 2 8

d) 1 11

33 13 3 3327 27 3 3 3 3

e) 1 1 11 1 1 1 1

2 2 44 2 4 42 4 2 4 250 64 50 64 2 25 4 16 2 5 2 2

1 1 1 11 1 1

2 2 2 22 5 2 2 10 2 2 10 2 20

សវយគណសនយ (Zero exponent)

តាេនយេនយ បសមយើង កមនោេ 0a ោម នអតថនយមទ។ មទេះជាយាងមនេះកដ តាេ សេកា 1.13:

0n

n n

n

aa a

a

រមពាេះរគបតនេលនន n។ ែរមនេះ វាសេមហតផេកនងកា កណតៈ

0 1a (1.8)

រមពាេះរគបតនេលនន a។ (មេើកដេងដត 00 ដែេេនអារកណតបាន។) ឧទហ ណ 1.22

កតនេលនន 05 ។


តាេសេកា 1.8, 05 1 ។

1.5 ទសរេងវវទយទសាាតសរ (Scientific notation)

ងវវ សេយរននជាញកញាបមកើតមឡើងកនងកា ងវ វទាសាសតសតទកទងរននធបផត ឬតរបផត។ ទរេងវទាសាសតសត (Scientific notation) គវធកាតឲយខលននកា ស មស រនន កនងទរេងេយឲយកានដតងវយសសេ។ នតវធ (procedure) រមពាេះកា តាងរននេយកនងទរេង វទាសាសតសតទកទងមៅនងទតាងមយង (Reference position) ននរណរទសភាគ ឬមកបៀស (Decimal point) ដែេកណត ែរខាងមរកាេ។ នយេនយ 1.1



ឧទហ ណ 1.23

រកទតាងបយងចបពាោះចណចទសភាគកនងចនននរយៗខាងបរការាៈ a) 315.68

b) 2793

c) 0.456

d) 0.003 472

e) 467 000

f) 50


ទតាងបយងចបពាោះចណចទសភាគកនងករណនរយៗរតវរងាា ញបោយសញញា រពញាៈ

a) 3 15.68

b) 2 793

c) 0.4 56

d) 0.003 472

e) 4 67000

f) 5 0

កបនកនងការសរបសរចនន N រយកនងទររងវទាសាសតសតគាៈ

' 10cN N សដល

'N ខទងបៅខាងរខចណចបយង (the digit before the reference position)

c ចននខទងរវាងចណចបយង នងបកបៀស។ បរើបកបៀសបៅខាងសាដ ចណចបយង

បនាោះតនរលនន c គវជជមាន។ បរើបកបៀសបៅខាងបឆវងចណចបយង បនាោះតនរលនន c គអវជជមាន។

បរើចននជាចននគតរឡាទរ បនាោះតនរលនន c គជាចននខទងរនាទ រពចណចបយង។

ឧទហ ណ 1.24

សរបសរចននកនងឧទាហរណ1.23 កនងទររងវទាសាសតសត។


តនរលនន ',N c នងទររងវទាសាសតសតរតវានរងាា ញកនងតារាង 1.3។

តារាង 1.3 ទររងវទាសាសតសតចបពាោះចននកនងឧទហ ណ 1.23

ចនន 'N c ទររងវទាសាសតសត 315.68 3 2 23.1568 10

2793 2 3 32.793 10

ទតាងមយង(reference position) រមពាេះរណរទសភាគកនងរនន េយគសថតមៅខាង សាដ ននខទងទេយេនសនយកនងរនន ។



0.456 4 -1 14.56 10

0.003 472 3 -3 33.472 10

467 000 4 5 54.67 10

50 5 1 15 10

មាា សនគតបលខភាគបរចើននងរដរជាទររងវទាសាសតសតបរើលទធផលចបរលើយពមាា សនគត

បលខបពក ឬតចបពកសរមារការរងាា ញរមតា (normal display)។

ឧទហ ណ 1.25

បររើមាា សនគតបលខររសអនកបដើរបរកតនរលននាៈ a) 52 658×49 875 b) 257÷458 964


a) បលើកសលងសតមាា សនគតបលខររសអនករងាា ញ ‘E’ (for error) ពបរពាោះវារនអាចបោោះ

សសាយចននាន បនាោះការរងាា ញគរសត (អាសសយបៅបលើចននខទងសដលមាា សនគត

បលខររសអនកអាចរងាា ញ): 2.62631 09 សដលជាទររងវទាសាសតសត។ វារតវនងចនន92.62631 10 ។ វាមាន 5 ខទងរនាទ រពបកបៀស ដចបនោះ បយើងរសនែរសនយ 4 រនាទ រពវា

(ពបរពាោះសវយគណគ 9)បដើរបានចនន 2 626 310 000។ កតសមាគ លថា បនោះជាតនរល

ររសហលននចបរលើយពតរាកដសដលបសមើនង 2 626 317 750។

b) បលើកសលងសតមាា សនគតបលខររសអនករងាា ញ ‘E’ (for error) ពបរពាោះវារនអាចបោោះ

សសាយចននាន បនាោះការរងាា ញគរសត (អាសសយបៅបលើចនខទងសដលមាា សនគត

បលខររសអនកអាចរងាា ញ):5.59956 04 សដលជាទររងវទាសាសតសត។ វារតវនងចនន45.59956 10 ។ វាមាន 1 ខទង(5) ពរខបកបៀស ដចបនោះ បយើងរសនែរសនយ 3 ពរខវា (ព

បរពាោះសវយគណគ -4) បដើរបានចនន 0.000559956។ កតសមាគ លថា បនោះគបៅសត

ជាតនរលររសហលននចបរលើយពតរាកដ។

1.6 មោកា ត (Logarithms)

អនគរនរយសខានរផតកនងគណតវទាគ បោការត (logarithm) សដលទាកទងយាង

ជតសនទធបៅនងរទសដននសវយគណ។ បោការតបដើរតជាសផនករយយាងសខានកនងវទាសាសតសត

ពតដចជាររវទា វសវករម សែត គរវទា នងគណតវទា។ បយើងនងបរើលលកខណាៈ

(properties) រយចននននបោការត នងបឃើញថាបតើវារតវានបគបររើកនងការគណនាចនន

យាងដចបរដច។



រហតដលការរកដលននមាា សនគតបលខកនងពាកកណាដ លទសវតេឆន 1970 វ

សារញាសដលសសេានសចកចនន ឬបលើកចននរយជាសវយគណគជាជនយនន បោការត។

ការបវើសររបនោះមានភាពញរទានបោយការសសាវរជាវតារាងបោការតបផេៗពគនន បហើយវាពត

ជាងាយរបងកើតឲយមានកហស។ បោយបពលបនាោះ របចេកបទសបនោះានកាល យជាសលបាៈសដល

ាតរង។ ឥឡវបនោះមាា សនគតបលខរតវានបគបររើបោយរគននសតចចរ តង (buttons) រយ ច

នន។ បទាោះជាយាងណាកបោយ បោការតបដើរតនាទយាងសខានកនងគណតវទាបោយ សារ

វាបកើតបឡើងកនងរញញា វទាសាសតសតបផេងៗគនន យាងទលទោយ។

ការសកា នងការបររើរាសបោការតអាចផដលនវការយលចាសរយបៅកនងរមជាត

ជារលោា នសដលជាការបររើរាសរយដបៅបពលជរររទោះវាបៅកនងរខវជាជ បជឿនបលឿនជា

បរចើន។ សផនកបនោះផដលនវឧទាហរណគរររយចននននការបវើការជារយបោការតសសរបៅនង

ការយលរយននទកខលាកននការអតរទាររសសសេរនការសណនាមាា សនគតបលខ!

កនងការអនវតតន បទាោះជាយាងណាកដរចេរបននបនោះគនម ននរណាមាន កចងបវើការគណនា

បលខគណតបោយរបាាយបោការតសដរ បោយសារការបររើរាសមាា សនគតបលខ ឬ ក

ពយទរមានសរតែភាពលអររបសើរជាង។ បទាោះជាយាងណាកបោយ បោយយលបឃើញពការ

គណនា ជារឋរទាកទងបៅនងបោការត គណតវទាបជឿនបលឿនកានសតទាកទងការបររើ

រាសររស វានងបវើឲយមានភាពងាយសសលខាល ងបឡើង។

រទសដ (theory) ននបោការតសផអកបៅបលើរញាតតននសវយគណ។ ដចបនោះ មានទនាក

ទនងផទទ លរវាងសវយគណ នងបោការតននចននដចកនងនយរនយ 1.2។

នយេនយ 1.2

មោេជាតយាងគរនន 10នងជាពមសសរនន e (ដែេតាងឲយexponential )។ តាេ ពត មលាកា តបគនល e រតវានបៅថាបោការតរមជាត (Natural logarithms) ឬបោការត បន

សព (Napierian logarithm) រនាទ រព Scotsman John Napier សដលជាអនកបាោះពរពផាយការ ងារ

ររសគនតកនងឆន 1614។

មលាកា តននរនន រមពាេះមោេ គជាសវយគណដែេ មេើកជាសវយគណ បានរនន ។ កណតស មស ៈ

(អានថាមលាកា តមោេ នន )

ែរមនេះ មបើ មនទេះ ។



ឧទហ ណ 1.26

ឧបមាថា មយើងពនតយមលាកា តមោេែបៈ មោយ 010 1 មនទេះ

10log 1 0

មោយ 110 10 មនទេះ 10log 10 1 មោយ 210 100 មនទេះ

10log 100 2

មោយ 310 1000 មនទេះ10log 1000 3

មោយ 410 10000 មនទេះ 10log 10000 4 មោយ 510 100000 មនទេះ 10log 100000 5

ឧទហ ណ 1.27

ឧបមាថា មយើងពនតយមលាកា តមោេ2:

មោយ 12 2 មនទេះ 2log 2 1 មោយ 22 4 មនទេះ 2log 4 2 មោយ 32 8 មនទេះ 2log 8 3 មោយ 42 16 មនទេះ 2log 16 4

មោយ 52 32 មនទេះ 2log 32 5

កនងរទសដ មយើងអារយកមលាកា តននរននេយមៅនងមោេណាកបាន។ មទេះជា យាងមនេះកដ មោយសា របពនធមោេែប បសមយើងអាសសយមៅមេើរនន 10 មោេដែេរតវ បានមរបើជាទមៅគ 10។ តារពតបោការតបគនល 10 រតវានបៅថា បោការតសារញា

(Common logarithm)។ តារបគនលរណងររសបយើង បរើបគនលរតវានលរ បនាោះវារតវាន

សនមតថា បគនលគ 10។

នយរនយននបោការតកអនវតតចបពាោះសវយគណអវជជមានផងសដរដចជាកនងឧទាហរ-

ណខាងបរការ។

ឧទាហរណ 1.28

បោយ 110 0.1 បនាោះ 10log 0.1 1

បោយ 210 0.01 បនាោះ 10log 0.01 2



បោយ 310 0.001 បនាោះ10log 0.001 3

បោយ 410 0.0001 បនាោះ 10log 0.0001 4

បោយ 510 0.00001 បនាោះ 10log 0.00001 5

ពឧទាហរណ1.26 ដល 1.28 បយើងបឃើញថា មលាកា តននរននដែេធជាងសនយ ដតតរជាង 1 ជារននអវជជមាន មលាកា តនន 1ខលនវាគសនយ មហើយមលាកា តននរននដែេ ធជាង 1 ជារននវជជមាន។ មលាកា តននរននអវជជមាន នងសនយេនអារកណតបាន (undefined)។

ការាា បតរសទច នងរាងទស (Characteristic and mantissa):

មោយសា វាទកទងយាងងវយកនងកា គណនទមលាកា តននរននដែេជាសវយគណនន10 មលាកា តននរននមផេងមទៀតេនអារគណនទជាកដសដងភាល េៗមទ។ មទេះជាយាងណាកដ មគកអារ កមលាកា តននរគបរននវជជមានបានដែ ។ នយរនយ 1.3

ការាា មត សទរននមលាកា តទសភាគននរននវជជមាន N គមសមើនងរននខទង វាងទតាង មយង នងរណរទសភាគកនងN ។

មបើរណរទសភាគមៅខាងសាដ ទតាងមយង មនទេះការាា មត សទរជារននវជជមាន។ មបើ រណរទសភាគមៅខាងមវវងទតាងមយង មនទេះការាា មត សទរជារននអវជជមាន។

សមាា េ មបើរននជារននគត មនទេះការាា មត សទរមសមើនងរននខទងកនងរននមនទេះែក 1។ ឧទហ ណ 1.29

កការាា មត សទរននរននខាងមរកាេៈ a) 235.89

b) 12.658

c) 0.256

d) 0.045

e) 3.68

f) 69


សនមតថា មលាកា តននរននវជជមានរតវបានតាងជារននគតបដនថេរននរបភាគ ទសភាគេនអវជជមាន (Non-negative decimal fraction) មនទេះ៖

រននគត មៅថាការាា មត សទរ (Characteristic) ននមលាកា ត របភាគទសភាគ មៅថាេាងទស (mantissa) ននមលាកា ត



ទតាងបយង នងការាា បតរសទចរតវានរងាា ញកនងតារាង 1.4។

តារាង 1.4 ទតាងបយង នងការាា បតរសទចចបពាោះឧទហ ណ 1.29

ចនន ទតាងបយង ការាា បតរសទច

235.89 2 35.89 2

12.658 1 2.658 1

0.256 0.2 56 -1

0.045 0.04 5 -2

3.68 3 .68 0

69 6 9 1

បដើរបរករាងទសននបោការតទសភាគររសចននរយ បយើងរតវបររើតារាងទ 5 បៅ

ខាងចងបសៀវបៅ។ រននងបររើតារាងបនោះ វាមានសារាៈសខានណាសកនងការសរបសរចនន ជា

ទររងវទាសាសតសត។ រនាទ ររកបយើងបររើលកខណាៈទាងរខាងបរការននបោការតសដល អនវតត

ចបពាោះពរចននវជជមាន A នងB បហើយចបពាោះបគនលណាកបោយ។

log log logA B A B (1.9)

log log logA B A B (1.10)

log lognA n A (1.11)

ឧទហ ណ 1.30

សរបសរចននខាងបរការជាទររងវទាសាសតសត បហើយបររើសរការ 1.9 នង 1.11 បដើរប

រកបោការតររសវាាៈ a) 563.2 b) 0.238


កនងទររងវទាសាសតសតាៈ

a) 2563.2 5.632 10

ដចបនោះ 2log563.2 log 5.632 10

2log5.632 log10 (បររើសរការ 1.9)

log5.632 2log10 (បររើសរការ 1.11)

log5.632 2 (បរពាោះ log10 1 )

សមាគ ល ចនន 2 ជាការ ាបតរសទចននបោការតសដលរតវការ។



b) កនងទររងវទាសាសតសតាៈ 10.238 2.38 10

ដចបនោះ 1log0.238 log 2.38 10

1log 2.38 log10 (បររើសរការ 1.9)

log2.38 log10 (បររើសរការ 1.11)

log 2.38 1 (បរពាោះ log10 1 )

សមាគ ល ចនន 1 ជាការ ាបតរសទចននបោការតសដលរតវការ។

កនង (a) នង(b) ទាងពរ បយើងានររងរបោការតននចននររសបយើងជាផលរកនន

បោការតននចននសដលមានបលខសតរយខទងរខបកបៀស រសនែរ(ឬរនែយ) ចននគត (សដលជា

ការាា បតរសទច)។

វាជាបោការតននចននទាងបនាោះសដលបលខមានរយខទងរខបកបៀសមានបៅកនងតារាង

ទ5។

ឧទហ ណ 1.31

បររើតារាងទ 5 បដើរបរកបោការតននចននកនងឧទហ ណ 1.30។


បយើងានបឃើញកនងឧទហ ណ 1.30 បហើយថា log563.2 log5.632 2 ។ កតសមាគ ល

ថា តារាងទ 5 ផដលនវបោការតននចននសដលមានបលខរយខទង នងរហតដលទសភាគ 2 ខទ

ង។ (សមាគ ល ទតាងទសភាគទ១ បៅសផនកខាងបឆវងនដចោះបរការននតារាង នងទតាងទស-

ភាគទ២ បកើនបៅខាងបលើ។)

កនងក ណ បសមយើង មយើងរង ក log5.632 បាដនតតារាងផដេឲយមយើងរតេដត log5.63

( 0.7505) នង log5.64( 0.7513) ។ ែរមនេះ រមេលើយដែេមយើងរងបានគមៅរមនទល េះ 0.7505 នង 0.7513។ ែមណើ កា មនេះមៅថា អាងដទបាឡាសយងេមនដអែ (Linear interpolation) ដែេ អារជយ កតនេលរបដហេកានដតជតតនេលជាកដសដង បាដនតរមពាេះមោេបណង បសមយើង មយើងនងមរបើមោយសាេញាដកប តនេលនន log5.63 0.7505 ។មនេះគជាេាងទសននមលាកា តនន563.2។ មយើងែងមហើយថា ការាា មត សទរគ 2 ែរមនេះ មយើងបានៈ

log563.2 2.7505



បយើងកានបឃើញផងសដរថាកនងឧទហ ណ 1.30 log0.238 log2.38 1 ។ កនងករណ

ររសបយើង បយើងចងរក log 2.38 បហើយតារតារាងទ 5 តនរលបនោះគ 0.3766។ បនោះគជារាងទស

ននបោការតនន 2.38។ បយើងដងបហើយថា ការាា បតរសទចគ 1 ដចបនោះ បយើងានាៈ

log0.238 0.3766 1

(សមាគ ល បនោះគជាវ សារញាបដើរបសរបសរបោការតននចននសដលមានការាា បតរសទចអវជជមាន)

អងទបោការត (Antilogarithms)

អងទបោការតគជាតនរលននចននសដលរតវនងបោការតសដលឲយ។ ដចបនោះ បយើងមាន

តនរលននបោការត បហើយបគនលរណងគរកតនរលននចននសដលមានបោការតដចបនោះ។

ឧទហ ណ 1.32

រកចននសដលមានអងទបោការតាៈ a) 2.8756 b) 0.5119 1


a) តារតារាងទ 5 រាងទសនន 0.8756 រតវនងចនន 7.51N ។ ដចគនន សដរ ការាា បតរសទច2

រតវនង កតាត 210 ។ ដចបនោះ ចននសដលរតវការគ 27.51 10 751 ។

b) តារតារាងទ 5 រាងទសនន 0.5119 រតវនងចនន 3.25N ។ ដចគនន សដរ ការាា បតរសទច 1

រតវនងកតាត 110 ។ ដចបនោះ ចននសដលរតវការគ 13.25 10 0.325 ។

ការគណនាសដលទាកទងនងបោការត (Calculations of involving logarithms)

បោការតអាចរតវានបររើរាសបដើរបរកដបណាោះសសាយរញញា បលខគណតដចជា វ

គណ វ សចក នងការបលើកចននរយជាសវយគណ។ បលើសពបនោះបៅបទៀត រនការរកដល

ននមាា សនគតបលខ បនោះគជាវ សដលបពញនយររផតននការគណនា។

ឧទហ ណ 1.33

បររើបោការតបដើរបរកតនរលននាៈ a) 4.32×5.89

b) 32.8÷4.65 c) 3 48.7

d)

2

3

20 2.31

54 0.86


a) បោយបររើសរការ 1.9:

log 4.32 5.89 log 4.32 log5.89 0.6355 0.7701 1.4056



ដចបនោះ 4.32 5.89 ជាអងទបោការតនន 1.4056។ តារតារាងទ 5 បនោះគជាតនរល

ររសហល 12.54 10 25.4 ។ (ចបរលើយពតរាកដគ 25.4448។)

b) បោយបររើសរការ 1.10:

log 32.8 4.65 log32.8 log 4.65 1.5159 0.6675 0.8484

ែរមនេះ តនេលនន 32.8 4.65 គជាអងទមលាកា តនន0.8484។ តាេតារាងទ5 វារបដហេ 7.05។

c) បោយបររើសរការ 1.11:

1

31

log 48.7 log 48.73

11.6875

3 0.5625

ែរមនេះ តនេលនន 1

348.7 ជាអងទមលាកា តនន 0.5625។ តាេតារាងទ 5វារបដហេ 3.65។

d) បោយបររើសរការ 1.11:

2

2 3

3

20 2.31log log 20 2.31 log 54 0.86

54 0.86

11

232log 20 log 2.31 log54 log0.86

1 1

log 20 2log 2.31 log54 log0.862 3

1 1

1.3010 2 0.3636 1.7324 0.9345 12 3

0.6505 0.7272 0.57750.0655

0.8657

ដចបនោះ តនរលននចបរលើយររសបយើងគជាអងទបោការតនន 0.8657។ តារតារាងទ5 គ

7.34។

4Y4



1. ចររកព េណរមតចបផត (Lowest Common Multiple=LCM) នន12, 18, 20, 30។

2. េណ ( Evaluate):

)418()6()12(52 ។

3. េណ (Evaluate):

24 16 15 5

3 16 4 9

។

4. េណ (Evaluate): 27 72 32 3 ។

5. េណ (Evaluate): 2 5 1

5 8 4 ។

6. េណ (Evaluate): 3.64 7.096 4.8 ។

7. កមមករមាន កនធវើការនៅកនងកដនលងលាងឡានមយរតវការរយៈនពល 5 ទនដើមបលាង

ឡានមយ នង 4 ទនដើមបនធវើឲយឡានន ោះសងត។ នបើសនកដនលងលាងឡានន ោះមាន

កមមករ 6 កដដលអាចលាង ឬនធវើឲយឡានន ោះសងត នតើនេអាចលាងឡាន នងនធវើឲយ

ឡានសងតបានបា ម នកនងរយៈនពល 3 នមាាង?

8. កនងនភសជាៈទករកច 1 ដបមានផទកសករ 50g ទក 800ml នងសរ ាទករកច 100g។ នបើនេ

មានសករ 310g ទក 6L នងសរ ាទករកច 590g នតើនេអាចផលតទករកចបានបា ម នដប?

9. ចរសរនសរ 692.7 ជាទរមងវទាសាសតសត (scientific notation) ។

10. ចរតាង 0.875 ជារបភាេសរមលន ើយ។

6



1. តនរលនន 33 564 52 2 គាៈ

a. 8 b. 4 c. 1 d. 2 e. គនម នចបរលើយ

2. ររភាគ 10

16 តាងជាទសភាគគាៈ

a. 0.160 b. 0.600 c. 0.100 d. 0.625 e. គនម នចបរលើយ

3. តនមលនន 0.327 0.159 1.643 េៈ

a. 2.129 b. 1.811 c. 1.157 d. 1.475 e. គមម នចនមលើយ

4. តនមលនន 2 1 3 26 3 2 6 2 េៈ

a. 3 b. 36 c. 18 d. 4 e. គមម នចនមលើយ

5. តនមលនន 3 1 3 5

16 4 8 12 េៈ

a. 1

2 b.

29

24 c.

5

12 d.

3

20 e. គមម នចនមលើយ

6. តនមលនន 1 3 12

3 4 4

េៈ

a. 9

2 b.

17

14 c.

39

16 d.

9

4

e. គមម ន

ចនមលើយ

7. ចនន 0.0372តាងជាទរមងវទាសាសតសតេៈ

a. 13.72 10 b.

23.72 10 c. 33.72 10 d.

237.2 10 e. គមម នចនមលើយ

8. តនមលនន 2 3

64 េៈ


9. នតើកននោមមយោដដលរតមរតវ? a. log5 log12 log4 log3 b. log25 2log10 c. log8 log6 log2

d. log20 log5 2log2 e. គមម នចនមលើយ

10. កមមករមាន ករតវការ 2.5 ទនដើមបនធវើន(Pie) មយ។ ចននន (Pie) នរចើនបផតដដល

កមមករមាន កអាចនធវើបានកនងរយៈនពល 44 ទេៈ


4



លហាត

1. ចរសរនសរជា កយចន ោះចននខាងនរកាមននោះ៖ a) 23 b) 59 c) 346 d) 782

2. ចរសរនសរជា កយចន ោះចននខាងនរកាមននោះ៖ a) 1428 b) 21 347 c) 66 469 d) 932 158 e) 3 457 622

3. េណ ៖ a) 4 3 8 b) 7 2 5 c) 15 6 4 2 1 d) 28 13 2 ( 6)

4. េណ ៖ a) 2×(4+3) b) (2+5)×3 c) (2×4)+3 d) 2+(5×3)

5. េណ ៖ a) 2 7 b) 6 3 c) 2 5 d) 2 5 1 (8 2 3)

6. េណ ៖

a) 2

8

b)

2

8 c)

2

8

7. េណ ៖

a) 2 6

20 4

b)

8 20

6 10

c)

3 18

2 17

8. ចររកព េណរមតចបផត (LCM) ននៈ a) 2, 3, 12, 20 b) 20, 25, 30 c) 2, 6, 9, 15

9. ចររកព េណរមតចបផត (LCM) ននៈ a) 24, 60, 144 b) 7, 14, 35, 49 c) 100, 150, 250

10. េណ ៖

a) 1 1 1

2 3 6 b)

1 1 1

5 10 20 c)

1 1 1

10 30 60

11. េណ ៖

a) 3 1 1

4 2 8 b)

5 1 1

6 3 4 c)

1 1 3

2 4 4

12. េណ ៖

a) 5 1 3

24 12 8 b)

2 12

3 6 c)

3 1 1

16 8 4

13. េណ ៖

a) 3 2

4 9 b)

14

8 c)

5 3

6 10

14. េណ ៖



a) 5 3

46 20 b)

3 22 5

11 15 18 c)

1 9 7

12 14 3

15. េណ ៖

a) 6

5

6

1 b)

4

12 c)

6

1

3

1

2

1

16. េណ ៖

a) 1 1 4

2 4 9

b)

22 (5 3)

3

c)

1 1 3 5 3

2 8 16 8 16

17. ចរតាងចននខាងនរកាមជារបភាេ (ដដលមានតតចបផត/មនអាចសរមលបាន)៖ a) 0.50 b) 0.075 c) 0.125

18. តាងចននខាងនរកាមជាចននទសភាេ៖

a) 1

2 b)

3

8 c)

5

12

19. ចរតាងចននខាងនរកាមជាចននទសភាេ៖

a) 5

8 b)

7

12 c)

9

20

20. េណ ៖ a) 0.8 2.7 6.5 b) 6.3 2.1 1.9 c) 1.43 3.05 0.29

21. េណ ៖ a) 0.4 0.18 0.326 b) 4.89 3.291 1.002 c) 3.9385 4.06 1.072

22. េណ ៖ a) 1.6 2.0 b) 0.8 0.4 c) 0.25 0.50

23. េណ ៖ a) 4.13 2.05 b) 6.8 2.125 c) 1.625 0.24

24. េណ ៖ a) 6.40 1.6 b) 0.625 0.125 c) 40.8 0.04

25. េណ ៖ a) 6.876 1.8 b) 61.8 0.16 c) 9.45 1.75

26. េណ ៖ a)

4 52 2 b) 12 103 3 c) 2 45 5 5

27. េណ ៖ a)

52 b) 1 24 4 c)

212

28. េណ ៖ a)

138 222 b) 2522 333 c) 22421 555



29. េណ ៖

a) 2

1

16 b) 2

3

9 c) 3

2

8

30. េណ ៖ a) 36643 b) 84 6432 c) 55 1664

31. រកតនមលនន 0100 ។

32. កមមករប កបានដចក Pizza មយនៅនពលអាហារនថងរតង។ Alan បានញ 3

1Bill បាន

ញ 4

1 ន ើយ Ron បានញ6

1 នន Pizza មយ។ នតើ Pizza ដដលមនរតវបានញសល

បា ម នភាេ?

33. េណ ៖ a) 852425 b) 364231887

34. នបើសនជាថាន លាប 1L អាចលាបនលើនផទ 212m នតើនេរតវការថាន លាបបា ម ននដើមបលាប

នលើនផទៈ a) mm 35.1 ? b) 0.25 0.75m m ? c) mm 5.400.8 ? ( )10001 mlL

35. នដើមបបានបបរមយចាន នេរតវការសសវសាឡ 4

1 នងទក 4

3 ។

a) នតើនេរតវការសសវសាឡបា ម នភាេ នងទកបា ម នភាេនដើមបបានបបរ 5 ចាន?

b) នបើសនជានេមានសសវសាឡចនន 6ចាន នងទក 15 ចានវញ នតើនេអាចបានបបរ

បា ម នចាន?

36. ចរតាងចននខាងនរកាមជាទរមងវទាសាសតសត (Scientific notation): a) 23.87 b) 0.359 c) 0.00046

37. ចរតាងចននខាងនរកាមជាទរមងវទាសាសតសត (Scientific notation): a) 0.068 b) 0.0064 c) 3564.8

38. ចរេណ នលាការតទសភាេននចននខាងនរកាម៖ a) 5.65 b) 48.2 c) 0.356

39. ចរេណ នលាការតទសភាេននចននខាងនរកាម៖ a) 237.0 b) 34.5 c) 0.0451

40. ចរនរបើនលាការតនដើមបេណ កននោមខាងនរកាម។ បងហា ញជហាននមយៗ។ (នផទៀង

ផលទ តចនលើយ របសអនកនោយនរបើរបាសមាា សនេតនលខ)

a) 2.56 7.61 b) 48.2

7.34 c)

80.156.2

38.11293



41. េណ ៖ a) 567 342 678 b) 1234 3215 678 c) 37 67 54

42. េណ ៖ a) 43 ( 14) ( 25) b) 57 ( 21) ( 17) c) 666 ( 144) ( 555)

43. េណ ៖ a) 12 (43 36) b) (15 9) 5 c) (7 12) ( 6 8 9)

44. េណ ៖ a) (13 7 16) (45 52 4) b) (3 5 9) (17 19 4) c) (35 2 6) (21 39 16)

45. ចររកព េណរមតចបផត (Lowest common multiple) នន: a) 36,72,180 b) 9,16,20,24 c) 9,20,30

46. ចររកព េណរមតចបផត(Lowest common multiple) នន: a) 48,156,180 b) 7,21,126 c) 12,42,64

47. េណ ៖

a) 3

28

5

12

7

25 b)

7

6

25

36

14

5 c) 1.08 0.03

48. េណ ៖

a) 223 293 b)

222 2045 c) 63

2

3 25610250

49. ចរតាងចននខាងនរកាមជាទរមងវទាសាសតសត (Scientific notation): a) 0.0456 b) 0.000 067 c) 345.89

50. ចរតាងចននខាងនរកាមជាទរមងវទាសាសតសត (Scientific notation): a) 256.987 b) 1.000 05 c) 17.171 7

51. a) នោយនរបើតារាងនលាការត ចរេណ នលាការតទសភាេននចននខាងនរកាម៖ i) 27.58 ii) 0.567 iii) 6.99

b) នផទៀងផលទ តចនលើយរបសអនកកនង a) នោយនរបើ log នៅនលើមាា សនេតនលខ។

52. នោយនរបើ ln កនងមាា សនេតនលខ ចររកនលាការតធមមជាត(ននដព)ននចននខាងនរកាមៈ a) 444.4 b) 1.008 c) 0.006

53. ទករកច១ដប (2L) ដចកបានមាន ក 2ដកវសរមាបមនសស 4 ក។ នតើនេរតវការទករកច

បា ម នដប នដើមបដចកឲយ៖

a) មនសស 6 ក កនងមាន ក 6 ដកវ?

b) មនសស 25 ក កនងមាន ក 4 ដកវ?

c) មនសស 40 ក កនងមាន ក 3 ដកវ?



54. នភាជនយោឋ នមយជាធមមតាអរតាចោយជលបេគលកមាន កសរមាបនថងនៅរេ $15

កនង១នមាាង នងសរមាបនថងអាទតយេ $20 កនង១នមាាង។ចររកច យសរបនៅនលើការជល៖

a) មនសស 12 កនធវើការ 6នមាាងសរមាបនថងនៅរ នងនថងអាទតយ។

b) មនសស 5 កនធវើការ 5នមាាងសរមាបនថងនៅរ នង 4 កនធវើការ 8នមាាងសរមាប

នថងអាទតយ។

c) មនសស 7 កនធវើការ 7នមាាងសរមាបនថងនៅរ នង 6 កនធវើការ 8នមាាងសរមាប

នថងអាទតយ។

55. មាា សនកនៅតចមយអាចកនៅបនទបដដលមានទ 320m កនងខណៈដដលមាា សនកនៅ

ធមយអាចកនៅបនទបដដលមានទ 330m ។ នតើវាអាចកនៅបនទបដដលមានទ

បា ម ន m3នបើមាា សន ងពរនធវើការរមគមន នោយមានៈ

a) 3 មាា សនតច នង 2 មាា សនធ?

b) 5 មាា សនតច នង 6 មាា សនធ?

c) 10 មាា សនតច នង 12 មាា សនធ?

56. កនងលហាត 55. ឥឡវននោះអនករតវបាននេរបាបថាមាា សនតចមយនថល $40 ន ើយមាា សន

ធមយនថល $55។ ចររករបាកចោយសរបចន ោះករណនមយៗខាងនលើ។

57. ជាងអ ត-កាតសកមាន កនរបើរយៈនពល 8 ទនដើមបកកសក នង20 ទនដើមបកាតសក

នភញៀវមាន ក។ នតើនេរតវការរយៈនពលសរបបា ម ននដើមប៖

a) កកសកនភញៀវ 5 ក នងកាតសកនភញៀវ 7 ក?

b) កក នងកាតសកនភញៀវ 8 ក?

c) កាត ដតមនកក សកនភញៀវ9 ក?

58. នបើសនជាជាងអ ត-កាតសកកនងលហាត 57. យកនថល $10 សរមាបការកកសក នង$25

សរមាបការកាតសក នតើតនមលសរបសរមាបករណនមយៗនសមើបា ម ន?

59. នបើសនជាជាងអ ត-កាតសកកនងលហាត 57. សនរមចចតតកកសកនភញៀវ 15 ក នតើនេ

អាចកាតសកនភញៀវបានបា ម ន កសរមាបនមាាងនធវើការដដលនៅសលនបើនេមាននមាាង

នធវើការសរប៖

a) 4 នមាាង? b) 6នមាាង? c) 8 នមាាង?



60. ទលានបាល តមយកដនលងមាននផទ 9600m2 ដដលរេបដណដ បនៅនោយនៅម ។ Sid

នងJack រតវបាននេរបេលការងហរជាអនកកាតនៅម កនងទលាន ងមល។ Sid អាចកាត

បាន 10m2 កនង១ ទ ឯJack អាចកាតបាន 12m2 កនង១ ទ។ នតើរតវចោយ រយៈ

នពលបា ម ននដើមបកាតនៅម ឲយអសនបើៈ

a) Sid កាតដតមាន កឯង?

b) Jack កាតដតមាន កឯង?

c) Sid នងJack កាតមាន ក កកោដ ល (កនងនពលដតមយ)?

d) Sid នង Jack កាតមាន ក កកោដ ល (មាន កកាតន ើយ មាន កនទៀតកាតបនតតាម

នរកាយ)

e) Sid កាតរយៈនពល 3 នមាាង ន ើយប ទ បមកJack កាតនៅម ដដលនៅសល?

61. សនមតថាកនងលហាត 60. Sid រតវបាននេចោយ $14 កនង១នមាាង ឯ Jack រតវបាននេ

ចោយ $15 កនង១នមាាង។ នបើសនជា Sid នងJack ចាបនផដើមកាតនៅម កនងនពល ដត

មយ ន ើយឈបនៅនពលដដលកាតនៅម អស ងសសងៈ

a) នតើរតវការរយៈនពលបា ម ននដើមបបញច បការងហរននោះ?

b) នតើនេរតវចោយសរបបា ម ន?

3



មេម ៀនទ ២


2.1. ការបបបែងជាភាគរយ នងចរាសមកវញ (Conversion to and from percentage) ភាគ យ (Percentage) ននចននេយគជាភាគយកននបរភាគតាងឱយចននម ោះដែលមាន ភាគដរងមមើនងេយ យ(100)។ នេមតញញា រភាគ យគ % ។

មែើេបរដរែងបរភាគេយជាភាគ យមយើងបតវគណបរភាគម ោះនង 100 ម ើយ ម ញញា ភាគ យ % រ ា រពចននម ោះ។

ឧទា ណ 2.1 ច រដរែងជាភាគ យៈ

a) 1

2 b)

3

5 c)

5

8 d)

2

3

ដណ ោះចរាយ

វតថបណងននណមណរៀន

យល នងមបរើបាភាគ យ អនវតតនភាគ យមៅកនងពាណជជកេមជាទមៅ គណ កនបេមជើងសា (គតរញច លទាងកនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល) គណ កា រញច ោះតនេែ (គតរញច លទាងបចវាកននកា រញច ោះតនេែកា

រញច ោះតនេែពាណជជកេម នងកា រញច ោះតនេែជាសាចបាក) គណ ពនធ (គតរញច លទាង GSTផទា លខែននងបកេ ន) គណ បាកចមណញនងបាកខាត គណ ពនធបរថារបតា



1 1 100) 100 % % 50%

2 2 2a

3 3 300

) 100 % % 60%5 5 5

b

5 5 500 1) 100 % % 62 %

8 8 8 2c

2 2 200 2

) 100 % % 66 %3 3 3 3

d

គ កតមាា លថា លទធផលទាងមនោះមែើយតរមៅនងនយេនយននភាគ យខាងមលើ។

100

50

2

1 100

60

5

3 100

2

162

8

5 100

3

266

3

2

មែើេបរដរែងចននទភាគេយជាភាគ យមយើងបតវគណចននម ោះនង 100 ម ើយ ម ញញា ភាគ យ % រ ា រពចននម ោះ។ មយើងអាច កលមកបៀព ខាងមៅខាង សាា ម ើយ ម ញញា ភាគ យ (រដនែេមលខ 0 កនងក ណចាច)។

ឧទា ណ 2.2 ច រដរែងជាភាគ យៈ

25.0).a 872.0).b 4.0).c 35.2).d ដណ ោះចរាយ

%25)%25.0(10025.0). a %2.87)%872.0(100872.0). b

%40)%4.0(1004.0). c %235)%35.2(10035.2). d

មែើេបរដរែងភាគ យននេយចននជាបរភាគមយើងបតវដចកភាគ យម ោះនង 100 ម ើយ លរញញា ភាគ យ % មចល។ មយើងបេលបរភាគមរើអាច។

ឧទា ណ 2.3 ច រដរែងជាបរភាគៈ

). 37.5%a ). 72%b 1). 33 %

3c ). 250%d


8

3

100

5.37%5.37). a

3

1

100

3

133

%3

133). c

25

18

100

72%72). b

2

5

100

250%250). d



មែើេបរដរែងភាគ យននេយចននជាចននទភាគមយើងបតវដចកភាគ យម ោះនង100 ម ើយលរញញា ភាគ យ % មចល។ មយើងកអាច កលមកបៀព ខាងមៅខាងមេង ម ើយលរញញា ភាគ យ % មចល។

ឧទា ណ 2.4 ច រដរែងជាចននទភាគៈ

a. 80% b. 25% c. 45.78% d. 150% e.

1

10

f. 1

5

g. 1

4

h. 1

3

ដណ ោះចរាយ a. 80% 0.80 ឬ80% 0.8

b. 25% 0.25

c. 45.78% 0.4578

d. 150% 1.50 ឬ150% 1.5

e. 1

0.1010

f. 1

0.205

g. 1

0.254

h. 1

0.333

គ កតមាា លថាញញា ចច • មៅពមលើមលខ3កនងែមណដោះសរសាយ ( )h រញញជ កថាជា

ចននទភាគខរដែលមានមលខ3រារេនអមាននយថា0.33 0.3333...

។ 2.2 កនចរមណ ើងារ (Commission) មានទនញនងមវាកេមជាមបចើនដែលជាធេមតាបតវានលកតាេ យៈភាន កងា ដែលបតវានទទលបាកកនបេជាភាគ យននតនេែ រដែលទទលានពកា លក។ បាកមលើកទក ចតត ឬ ងាេ នបតវានផាលជនមនោះជាកនបេមជើងសា (Commission)។ វាអាចជាកា ចណដយ ដែលបតវានទទលមោយភាន កងា ឬជាកា េរញច លគនន ជាេយនងបាកឈនលមេ ។ កនបេមជើងសា (Commission) មានភាពខគនន ពកេមភាពេយមៅកេមភាពេយ មទៀតម ើយវាអាសរយមៅមលើរគាលមាន កដែលមធេើកា ទាកទងផទា ល។ មទាោះជាយាងមនោះកា កនបេមជើងសា (Commission)ជាធេមតាបតវានមគគតជាភាគ យ (Percentage) ននតនេែ រ



ននកា លក ឬអាចជាតនេែ រននេលធនដែលភាន កងា មាន កមធេើឬវនមយគជាបរមយជនែល អតេជន។

ចណចេយពាកដែលអាចជរបរទោះមៅកនងពាណជជកេមគរញញា ននកា កណតថាមតើ កនបេមជើងសា បរមេទណដេយដែលលអបរម ើ ជាងមគ។ ឧទា ណ ឧរមាថាអនកនងចរ យកអាជពជាអនកលក េយនតេមមាន ក ម ើយអនកនងពាយេច ចមៅមលើបាកឈនលបរច ាា រអនកជាេយនមយជក រអនកមៅមពលខាងេខ។ នមតថាមានជមបេើែច ខាងមបកាេដែលអនកបតវដតមបជើម ើ យកេយៈ

1. បាកឈនលមេ គ$ 570កនងេយាា ឬ 2. បាកឈនលមេ គ$ 400កនងេយាា នងរដនែេ0.5%

ននតនេែលក រដែលអនកមធេើាន ឬ 3. េនមានបាកឈនលមេ មទគមានដតកនបេមជើងសា 1.5% ននតនេែលក រដែល

អនកលកាន។ មែើេបមបេចថា មតើជមបេើេយណដដែលជាជមបេើបរម ើ រផតចមពាោះ ញាវតែ

រអនក អនកបតវកា ែងពតមានេយចនន (ែចជាតនេែលក) នងមធេើកា គណ េយចននៈ នមតថាមយើងកណតរ មាណនេយៗែចតមៅ៖ S តនេែននកា លក /amount of sales R អបតាននកនបេមជើងសា / rate of commission per sale (ជាធេមតាគតជាភាគ យដត

បតវរដរែងជាចននទភាគមៅកនងកា គណ )។ F បាកឈនលមេ / Fixed amount (េនអាសរយមៅមលើកា លកមទ) C កនបេមជើងសា ដែល កាន / Commission earned ម ោះកនបេមជើងសា ដែលទទលានគៈ ( )C F S R (2.1) កនងក ណដែលគនម នបាកឈនលមេ រាដនតមានដតកនបេមជើងសា ទធម ោះF 0

ម ើយេកា (2.1) កាែ យមៅជាៈ C S R ។ (2.2) ឧទា ណ 2.5



ភាន កងា របកេ នធា រាារ ងមាន កមធេើកា ងា មោយានទទលកនបេមជើងសា ទធ(Commission) 2% ននតនេែធា រាា រ ងទាងអដែលគនតលកាន។ កនងដខេយគនតលករណណ ធា រាារ ងានែចខាងមបកាេៈ

រណណបរមេទ$45 000 ចនន1 រណណបរមេទ$25 000 ចនន 2 រណណបរមេទ$5 000 ចនន3

មតើគនតទទលាននវកនបេមជើងសា ចននរា ម នបមារដខម ោះ? ដណ ោះចរាយ

តនេែ រដែលគនតលកានគ S $45 000 2 $25 000 3 $5 000

$110 000 ភាគ យននកនបេមជើងសា គ 2% ែចមនោះR 2% 0.02 តាេ យៈ រេនតកនងេកា (2.2) កនបេមជើងសា ររារដខម ោះគ

C S R $110 000 0.02 $2 200 ែចមនោះកនបេមជើងសា រគនតគ$2 200។ ឧទា ណ 2.6 អនកលកមាន កទទលានអបតាកនបេមជើងសា ទធ 2.5% ននតនេែ រ រផលតផល ដែលគនតានលក។ មតើគនតបតវលកឱយានរា ម នមែើេបទទលានកនបេមជើងសា $600?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះមយើងមានអបតាកនបេមជើងគ2.5%ឬR 0.025

កនបេមជើងសា ដែលនងទទលានគC $600 ។តាេេកា (2.2)៖

C S R $600 S 0.025 មយើងាន $600

$240000.025

S

ែចមនោះគនតបតវលកឱយាន$24 000។



ឧទា ណ 2.7 អនកលកមៀវមៅមាន កានទទលកនបេមជើងសា ចនន $225 ពកា លកមៀវមៅដែល មានតនេែ រ$7 500។ នមតថា មគផាលដតកនបេមជើងសា ទធ មតើអបតាននកនបេមជើងសា មមើនងរា ម ន?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះមយើងានC $ 225 ម ើយS $7 500 ។ តាេេកា 2.2:

C S R $225 $7 500 R មយើងាន $225

0.03$7500

R

ែចមនោះអបតាននកនបេមជើងសា គ3%។ ឧទា ណ 2.8 ពច ណដមៅមលើរញញា បាកឈនលបរចាា រអនកលក េយនតកនងទព 38។ នមតថា អនកាា នសាម នថាអនកនងលកានជាេធយេ$36 000កនងេយាា ។ មតើបរមេទនន កនបេមជើងសា េយណដដែលអនកនងមបជើម ើ យក?

ដណ ោះចរាយ ជមបេើនេយៗគ ដតបតវានពច ណដតាេក ណៈ ក ណទ១៖បាកកនបេមេ បរចាា គ$570 េនអាសរយនងកា លក។ ក ណទ២៖F $400 , S $36 000 ម ើយR 0.005 ។ មោយមបរើេកា (2.1)

C F S R $400 $36 000 0.005 $580 ក ណទ៣៖S $36 000 ម ើយR 0.015 ។មោយមបរើេកា (2.2)

C S R $36 000 0.015 $540



ជមបេើទ២ េកនវបាកកនបេជាេធយេមបចើនរផតមទាោះរជាតនេែលកននជមបេើ ទាងអមមើគនន កមោយ។ កា មបេចចតតមនោះពតជាអាសរយមៅមលើកា ាា នសាម នតនេែននកា លកបរចាា $36 000។ បរដ លជាមៅមពលដែលអនកកាែ យជាអនកជ ញខាងលក េយនត ជមបេើទ៣អាចជាជមបេើែបរម ើ រផត។ ឧទា ណ 2.9 តនេែននកនបេមជើងសា មៅមលើបទពយេបតតបតវលកដែលភាន កងា ទញ-លកអចលន បទពយនងបតវានទទលមៅកនងទបកង New South Wales ដលងបតតពនតយមោយ ោា េាល មទៀតម ើយមៅដខ េ ឆន ១៩៩៣។ កនងមគនលរណងបរកតបរដជងមពលម ោះ ពកមគអាច កណតនវអបតាកនបេមជើងសា ផទា លខែន។ មទាោះជាយាងមនោះកាអាទភាពបមារមពលម ោះ អបតាកនបេមជើងសា រពកមគបតវានកណតតាេតនេែែចខាងមបកាេៈ 5.0% ននតនេែ$15 000 ែរងដែលានលក 3.0% ននតនេែ$45 000រ ា រ 2.5% ននតនេែ$40 000រ ា រ 2.0% ននតនេែមលើព$100 000 (យាងមោចណដអនកជនញនងទទលាន $200 កនងក ណដែលកនបេមជើងសា តចជាង$200 )

មោយមបរើបាអបតាខាងមលើច គណ កនបេមជើងសា ដែលបតវចណដយមៅភាន កងា ទញ-លកអចលនបទពយដែលលកានមានតនេែែចខាងមបកាេៈ

(a) $3 000 (b) $18 000 (c) $65 000 (d) $165 000

ដណ ោះចរាយ (a) កនបេមជើងសា ដែលបតវចណដយមៅមលើ$3 000 គ$3 000 0.05 $150 ។ មោយសា

កនបេមជើងសា មនោះតចជាងតនេែទាររផត$200ម ោះភាន កងា នងទទលាន$200។



(b) កនបេមជើងសា ដែលបតវចណដយមៅមលើ$15 000 ែរងគ$15 000 0.05 $750 ។ កនបេ មជើងសា មៅមលើ$3000រ ា រគ$3000 0.03 $90 ។ ែចមនោះ កនបេមជើងសា រ ដែលបតវចណដយគ$750 $90 $840 ។

(c) កនបេមជើងសា ដែលបតវចណដយមៅមលើ$15 000 ែរងគ$15 000 0.05 $750 ។ កនបេ មជើងសា មៅមលើ$45 000រ ា រគ$45 000 0.03 $1350 ។ កនបេមជើងសា មៅមលើ$5 000រ ា រគ$5 000 0.025 $125 ។ ែចមនោះ កនបេមជើងសា រដែលបតវ ចណដយគ$750 $1350 $125 $2225 ។

(d) កនបេមជើងសា ដែលបតវចណដយមៅមលើ$15 000 ែរងគ$15 000 0.05 $750 ។ កនបេ មជើងសា មៅមលើ$45 000រ ា រគ$45 000 0.03 $1350 ។ កនបេមជើងសា មៅមលើ $40 000រ ា រគ$40 000 0.025 $1000 ។ កនបេមជើងសា មៅមលើ $65 000រ ា រគ$65 000 0.02 $1300 ។ ែចមនោះកនបេមជើងសា រគ$750 $1350 $1000 $1300 $4400 ។

កនចរមណ ើងារឈមញក ា ល (Brokerage) ឈមញកណដា ល (ភាគ ន) ឬ (stock) broker គជាភាន កងា មាន កដែលមែើ ត ទជន អនកម ើយគតកនបេមជើងសា ពអនក។ កនបេមជើងសា មនោះមៅថា កនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល (brokerage)។ មៅមពលដែលឈមញកណដា លានទញ ឬលកជនអនក គនតរញជ នមៅឱយអនក នវកចច នា (Contract note) កណតនវតនេែននភាគ ន កនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល នង ពនធបរថារបតាពអាជាា ធ (Government stamp duty)។ អបតាកនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល (Brokerage rate) មានភាពខគនន មយងមៅតាេ បរមេទននបរតរតតកា (transaction) រាដនតចារជាទមៅដែលមគអនវតតមានៈ

1. មៅមពលលកកនបេមជើងសា ឈមញកណដា លបតវានែកមចញពចណលននកា លក។ 2. មៅមពលទញកនបេមជើងសា ឈមញកណដា លបតវានរករដនែេពមលើតនេែដែលអនកទញ

បតវចណដយចមពាោះភាគ ន (stock or shares)។ ឧទា ណ 2.10



ឈមញកណដា លមាន កគតបាកឈនលមេ ពអតេជនគ$50 រដនែេ 2% ននតនេែដែលាន វនមយគទាងអ។ មរើនជាអតេជនមាន កវនមយគ រ $1200 តាេ យៈឈមញកណដា ល មាន ក មតើកនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល រដែលបតវចណដយមមើនងរា ម ន?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ $50, $1200F S ម ើយ 0.02R ។ មោយមបរើេកា 2.1:

( )C F S R $50 ($1200 0.02) $74 ែចមនោះ កនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល រគ $74 ដែលបតវចណដយ។ ឧទា ណ 2.11 នមតថាឈមញកណដា លកនងឧទា ណ 2.10 តមេែើងបាកឈនលមេ តែល $75។ មតើភាគ យរដនែេមមើនងរា ម នមែើេបឱយកនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល រដែលបតវចណដយមៅមលើ$1000មមើនង$110?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ $75, $1000F S ម ើយ $110C ។មោយមបរើេកា 2.1:

C F S R $110 $75 $1000 R មយើងានៈ $35

0.035$1000

R

ែចមនោះភាគ យរដនែេគ3.5%។ 2.3 ការបញោះតនមែ (Discounts) មៅមពលទនញនងមវាកេមបតវានលកជាញកញារមានកា ទាកទាញអតេជនឱយ ទញផលតផល។ កា ទាកទាញទាងមនោះអាចមានបទងបទាយមបចើនែចជាទញព គតតនេែដត េយកេមវធពមផាយកនង យៈមពលេយកណតរញច ោះតនេែមេ ឬកា រនែយតនេែកនងេយ ឯកតាមរើកា ទញមានរ មាណមបចើន។ កា រនែយជាតនេែគមៅមៅមលើកា រញច ោះតនេែ (discount) ម ើយជាធេមតាបតវមគគតកនងទបេងជាភាគ យ។



មៅកនងក ណខែោះអាចមានកា រញច ោះតនេែមបចើនមលើពេយមៅមលើវតែេយ។ ឧទា -ណ មៅមពលដែលកា រញច ោះតនេែមលើកទ១ មៅដតេនអាចទាកទាញអតេជន ម ោះកា រញច ោះ តនេែមលើកទ២ (រដនែេ) បតវានផាលឱយឬមៅមពលដែលកា រញច ោះតនេែពាណជជកេម (មេើលដផនក រ ា រ) បតវានផាលមៅមលើវតែានរញច ោះតនេែ ចម ើយ។ ព រញច ោះតនេែដររមនោះមៅថាកា រញច ោះតនេែរនតរ ា រ (Chain discounts)។ មែើេបគណ តនេែននកា រញច ោះតនេែមយើងកណតែចខាងមបកាេៈ L តនេែលកធេមតា (List price)

D តនេែរញច ោះ (amount of discount)

R អបតារញច ោះតនេែ (rate of discount) DP តនេែទធ (discount price or net price)

តនេែលកធេមតាគ ជាតនេែដែលកណតមោយអនកផលតបមារកា លករាយ (retail

price or catalogue price)។ អបតាននកា រញច ោះតនេែគៈ

DR

L (2.3)

មែើេបរងាា ញអបតាននកា រញច ោះតនេែជាភាគ យមយើងគណR នង100។ តនេែរញច ោះអាច កម ើញមោយ ម េកា (2.3) ម ើងវញជាៈ D R L (2.4) តនេែទធគៈ DP L D (2. 5) ឧទា ណ 2.12 ោងេយកពងលកមាា នចកកាដតវមែអេយកនងតនេែ $699 ដែលលកកនងតនេែ ធេមតា$799។ មតើមគានរញច ោះតនេែរា ម នភាគ យ?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ $799 $699 $100D ម ើយ $799L ។ តាេេកា (2.3):



D

RL

$100

0.125$799

R

ែចមនោះកា រញច ោះតនេែជាភាគ យគ100 12.5%R ននតនេែលកធេមតា។ ឧទា ណ 2.13 ោងកាតកេយកដនែងជាធេមតាគតតនេែ $18 បមារកា កាតកនងមធេើេាតក រ មាន ក។ មគានម ៀរចមធេើកា រញច ោះតនេែ 20% បមារអតេជនដែលចលមៅនេៃអងាា ។ មតើអតេជនមាន កបតវចណដយរា ម នមៅនេៃអងាា ?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ $18L ម ើយ 0.20R ។តាេេកា 2.4 តនេែរញច ោះគៈ

D R L 0.20 $18 $3.60 ែចមនោះតាេេកា 2.5 តនេែទធគ$18.00 $3.60 $14.40 ។ ឧទា ណ 2.14 ោងេយកពងលកមាា នរេធលេយតនេែ$120ដែលានរញច ោះតនេែ25%។ មតើតនេែ លកធេមតា រមាា នរេធលមនោះមមើនងរា ម ន?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ 0.25R ម ើយែចមនោះ

D R L 0.25L

មោយ $120DP មបរើេកា 2.5:

DP L D $120 0.25L L 0.75L ែចមនោះ$120តណដងឱយ75% នននេែលកធេមតា។មយើងអាច ម ៈ



$120

$1600.75

L ែចមនោះតនេែលកធេមតាគៈ$160។ ការបញោះតនមែពាណ ជកមម (Trade discounts) មៅមពលកា ទញទនញ ឬមវាកេមបតវានមធេើម ើង វាងអាជវកេមេយ នងអាជវកេម េយមផេងមទៀតជាធេមតាមានកា រញច ោះតនេែពមេយដែលមគសាា លថាជា កា រញច ោះតនេែ ពាណជជកេម (Trade discount)។

កា រញច ោះតនេែពាណជជកេមអាចមៅចម ែ ោះ10% នង25%អាសរយមៅមលើពាណជជកេម នងទនញ។ មរើកា រញច ោះតនេែេយចននបតវានផាលជាឧទា ណននកា រញច ោះតនេែពាណជជ-កេម េរញច លជាេយនងកា រញច ោះតនេែរដនែេចមពាោះកា ចណដយជាសាចបាក បតវានមគ មៅថាកា រញច ោះតនេែរនតរ ា រ (Chain discount)។ វធសាសតត បមារកា គណ កា រញច ោះ តនេែពាណជជកេមគែចកនងឧទា ណេន។ ឧទា ណ 2.15

ជាងតទមយទកមាន កចងទញទមយទក 20 m ដែលមានតនេែ $3.50 កនង1 m។ ជាងត ទមយទកទទលានកា រញច ោះតនេែពាណជជកេម (Trade discount) 15%ននតនេែធេមតា។

a) មតើតនេែ រដែលជាងតទមយទកបតវចណដយមមើនងរា ម ន? b) មរើនជាគនតចណដយជាសាចបាកមគនងផាលកា រញច ោះតនេែ10%រដនែេ

មតើគនតបតវចណដយរា ម នមរើគនតចណដយសាចបាក? ដណ ោះចរាយ

a) តនេែលកធេមតា រកនង20 m ដែលកនង 1m នេែ $3.50 គៈ

20 $3.50 $70 តាេេកា 2.4 តនេែរញច ោះគៈ

D R L 0.15 $70 $10.50

តាេេកា 2.5 តនេែទធគៈ



DP L D $70 $10.50 $59.50 (មនោះគជាតនេែ រដែលជាងតទមយទកបតវចណដយ)

b) កនងដផនក (a) កា រញច ោះតនេែពាណជជកេមគ 15% ដែលមាននយថាជាងតទមយទកបតវ ចណដយ រ $59.50។ ឥ វមនោះោងនងផាលនវកា រញច ោះតនេែមលើកទ២ (ឬកា រញច ោះតនេែរនតរ ា រ) រដនែេ 10% បមារកា ចណដយជាសាចបាក។ មរើជាងត ទមយទកទទលយកកា ផាលជនមនោះមយើងាន៖

តនេែរញច ោះពាណជជកេម=$59.50

កា រញច ោះតនេែជាសាចបាក=10% នន $59.50

0.10 $59.50 $5.95 តនេែរញច ោះេម= តនេែរញច ោះពាណជជកេមកា រញច ោះតនេែជាសាចបាក

$59.50 $5.95 $53.55

ែចមនោះ មរើជាងតទមយទកទទលយកអតែបរមយជនននកា រញច ោះតនេែជាសាចបាក ម ោះ តនេែសាចបាកដែលបតវចណដយគ$53.55 ។ ការបញោះតនមែជាាចចរាក (Cash discounts)

វាជាម ឿងធេមតាបមារអនកលកកនងកា រនែយតនេែជាភាគ យជាកលាកេយននវកកយ-របតដែលានផាលឱយមៅអនកទញរងងកនងក ងមពលកណតេយ។ មោយមានជមបេើ មផេងគនន កា ផាលមនោះអាចពនា ែលអនកទញដែលរងងកនងទបេងជាសាចបាក (cash) ឬជា េលរបទានរបត (check/cheque)។ កា រញច ោះតនេែទាងមនោះគមៅមៅមលើកា រញច ោះតនេែជា សាចបាក (Cash discounts) ម ើយភាគ យននកា រញច ោះតនេែអាចអាសរយមៅមលើភាព ននទទាតងវកកយរបត។ ឧទា ណ 2.16 ោងផាតផាងមាា ៈអគានេយកដនែងបារមៅអនកលករាយថា គនតនងរញច ោះតនេែ ចមពាោះកា ងេនមពលកណតែចតមៅៈ

េន 7 នេៃរញច ោះតនេែ 10.0%



េន 14 នេៃរញច ោះតនេែ 7.5% េន 28នេៃរញច ោះតនេែ 2.5%

ោងលកមាា ៈអគានេយានទញទនញដែលមានតនេែ $30 000 ពកដនែងផាត ផាង។ មតើមគបតវចណដយរា ម នចមពាោះទនញទាងមនោះមរើកា ងបតវានមធេើរ ា រពៈ

a) 5 នេៃ? b) 10 នេៃ? c) 21 នេៃ? d) 35 នេៃ?

ដណ ោះចរាយ a) រ ា រព 5 នេៃកា រញច ោះតនេែគ 10%។ មោយមបរើេកា 2.4 តនេែរញច ោះគៈ

D R L 0.10 $30000 $3000


DP L D $30000 $3000 $27000 (មនោះជាតនេែដែលបតវចណដយ)

b) រ ា រព 10 នេៃកា រញច ោះតនេែគ 7.5%។ មោយមបរើេកា 2.4 តនេែរញច ោះគៈ

D R L 0.075 $30000 $2250



c) រ ា រព 21 នេៃកា រញច ោះតនេែគ 2.5%។ មោយមបរើេកា 2.4 តនេែរញច ោះគៈ

D R L 0.025 $30000 $750





d) រ ា រព 35 នេៃគនម នកា រញច ោះតនេែមទ។ ោងម ោះបតវចណដយទាងអ $30 000។ 2.4 ពនធណលើទនញ នងណសវាកមម (Goods and Services Tax) មៅនេៃទ ០១ ដខកកកោ ឆន ២០០០ GST (goods and services tax) បតវានមគ មៅកាន បរមទអសតសាត ល។ មនោះគជាពនធជាេលោា នទលទលាយដែលគត 10% មៅមលើមាា ៈទនញ ភាគមបចើន នងមវាកេមដែលានមបរើមៅកនងអសតសាត ល។ GST ានជនពនធមផេងៗេយចនន មោយគតរញច លទាងពនធននកា លកែដែលបតវានអនវតតកនងអបតាមផេងៗមៅតាេទ នន ផលតផល។ GST េនអនវតតចមពាោះបគរមាា ៈម ោះមទ។ ឧទា ណ GST េនអនវតតានមៅមលើៈ

េារអាោ េយចនន ( េមាន សាច ដផែមឈើ នងរដនែ) ខភាព កា អរ កា ជលលមៅឯកជន កា ពាាលកមា កា ពាាលតាេផាោះ េយនត បមារជនពកា មវាកេមសា កា មចញ នងមាា ៈមផេងៗមទៀត

មទាោះជាយាងមនោះកាកមានេារអាោ នងមេជជៈេយចននកគតរញច ល GST ដែ ។ ឧទា ណ រាររញច លអាោ ចេអនសរសារ អាោ ចេអនោកតាេខែន អាោ មៅមភាជនយ-ោា ន តណដរ កាម ាេ អាោ សរសររ មេជជៈដែលមានជាតអាលកល មេជជៈដែលគនម ន ជាតអាលកល នងផលតផលមចញព (មលើកដលងដតនរង)។

តនេែនន GST ដែលបតវរងអាចគណ យាងងាយមោយគត 10% ននតនេែទនញ ឬ មវាកេម។



ឧទា ណ 2.17 Jenny បគរបគងោងកាតកេយកដនែង ម ើយកណតតនេែ (េនគត GST) $60

បមារសារ កកក កាតក នងកា ផែកឱយៃត។ មតើអតេជននងបតវចណដយរា ម ន គតទាង GST?

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ GST គ 10% នន $60 ែចមនោះ 0.10 $60 $6 ។ មនោះមាននយថា អតេ-

ជននងបតវចណដយ រ $66 ដែល $60 បមារ Jenny នង $6 បមារ GST។ ឧទា ណ 2.18 Julian ជាឈមញលកមឈើដែលលកមឈើមានតនេែ $220 (គតទាង GST=$20) មៅឱយ Andrea ដែលជាអនកផលតមបគឿងងាា េ។ Andrea មបរើមឈើមែើេបមធេើត នងលកមៅឱយ Don ដែលជាអនកដចកចយមបគឿងងាា េ កនងតនេែ $440 (គតទាង $40GST )។ Don លកតមៅឱយ Lyn ដែលជាអតេជនកនងតនេែ $550 (គតទាងGST $50 )។ GST នងកា កណតឥណទានពនធរញច លចមពាោះមាន កៗននអនកទាងមនោះមានែចខាងមបកាេៈ

Julian រង GST=$20មៅឱយ ATO Andrea បតវានផាលទធចមពាោះឥណទានពនធគតរញច ល GST=$20 ដែលានគត

រញច លកនងតនេែដែលានចណដយមៅឱយ Julian។ គនតទទាត $20 មនោះទរទលនង កា រង GST=$40មៅមលើមាា ៈផាតផាង (ត) មៅឱយ Don នងរង $20 មៅឱយ ATO។

Don បតវានផាលទធចមពាោះឥណទានពនធគតរញច ល GST=$20ដែលានគតរញច ល កនងតនេែដែលានចណដយមៅឱយ Andrea ។ គនតទទាត $40 មនោះទរទលនងកា រង GST=$50មៅមលើមាា ៈផាតផាង (ត) មៅឱយ Lyn នងរង $10 មៅឱយ ATO។

Lyn ជាអតេជនដែលទញតបតវរាា រ ង GST មោយសា អតេជនេនអាចជទានង កា គតរញច លឥណទានពនធានមទ។ ចមពាោះមគនលរណងននឧទា ណមនោះគទាកទងនង GST កនងជពកមនោះ រញញា ននកា

រញច លឥណទានពនធនងេនបតវានពច ណដមទ។



អតេជនអាចគណ តនេែនន GST ដែលបតវចណដយចមពាោះទនញ ឬមវាកេមាន យាងងាយ។ មគបគននដតដចកតនេែចងមបកាយ (គតទាង GST) នង 11។ ឧទា ណ 2.19

a) Edna ានទញ កានែេយមបគឿងមានតនេែ $52.80 មោយានគតញច លទាងពនធ មលើទនញ នងមវាកេម (GST)។ មតើពនធមលើទនញនងមវាកេម (GST) មមើនងរា ម ន?

b) Janice ានចណដយអ $187 មោយគតរញច លទាងពនធមលើទនញនងមវាកេម

GST មៅឱយជាងតទមយទកមែើេបជជលទមយេយចននដែលដរក (បជារទក) មៅ កនងរនារទក រ ង។ មតើពនធមលើទនញនងមវាកេម GST មមើនងរា ម ន?

ដណ ោះចរាយ a) មែើេប កតនេែ GST ដែលបតវចណដយ មយើងដចកតនេែចងមបកាយនង 11។

$52.80$4.80

11GST

ែចមនោះ Edna ានចណដយ GST=$4.80កនងតនេែនន កា រគនត។

b) មែើេប កតនេែ GST ដែលបតវចណដយ មយើងដចកតនេែចងមបកាយនង 11។ $187

$1711

GST

ែចមនោះ Janiceានចណដយ GST=$17កនងតនេែននទមយទក រគនត។ ជាេយនងកា ដណ រងាា ញនន GST មៅនេៃទ០១ដខកកកោ ឆន ២០០០ អតេជនាន

កម ើញថា វតែខែោះម ើងនេែ ម ើយវតែមផេងមទៀតេយចោះតនេែខណៈដែលវតែខែោះមៅនេែែដែល។ ជាឧទា ណ មលៀករពាកពេនគនម នពនធននកា លក រាដនតម ើងនេែមោយសា វាានកាែ យ មៅជាបរធានរទនន GST ខណៈដែលនេែននវតែេយចននែចជា ទ ទេន វមែអ បរពនធ ម ង នងមាា នេតានធាែ កចោះមោយសា ពេនវាបតវានគតពនធននកា លក 32%។ អាករណលើតនមែបបនថម (Value Added Tax)

អនកជារពនធតាេ ររេយបរកាដែលមធេើកា ផាតផាងជារអាក បតវមានកាតពេកចចចោះរញជ អាក មលើតនេែរដនែេ នងបរេលអាក មលើតនេែរដនែេមលើកា ផាតផាងទនញ ឬមវាឱយ



អតេជន។ ទនញមៅែលបទពយ រមបៅពែធែ នងបាកកា ឯមវាមៅែលកា ផតលអេ េយដែលមានតនេែមបៅពទនញែធែ នងបាកកា។

កា ផាតផាងជារអាក មៅែលៈ

កា ផាតផាងទនញ ឬមវាមោយរគាលជារអាក មៅកនងបពោះរាជាណដចបកកេពជា កា ែកយកទនញេកមបរើបាផទា លខែនមោយរគាលជារអាក កា ផតលជាអមណដយឬកា ផាតផាងមបកាេតនេែពតនវទនញ ឬមវាមោយរគាលជារ

អាក កា ចលទនញេកកនងតរនបតតពនតយគយននបពោះរាជាណដចបកកេពជា កា ផាតផាងេនជារអាក មានែចតមៅៈ

មវានបរណយសាធា ណៈ មវា រេនា មពទយនងគែនកមវាខាងមវជជសាសតតនងទនតសាសតតនងកា លកទនញ

រ ា ររនេខាងមវជជសាសតត នងទនតសាសតតដែលទាកទននងកា រមពញមវាទាងមនោះ មវាែកជញជ នអនកែមណើ មោយបរពនធែកជញជ នសាធា ណៈដែលជាកេម ទធទាង

សរង រ ែា មវាធា រាា រ ង មវាជាេលោា នខាង ញាវតែដែលបតវកណតមោយបរកា របកងមែាកចច

នង ញាវតែ កា ចលមាា ៈមបរើបាផទា លខែនដែល ចពនធគយកនងកបេតតនេែដែលបតវកណត

មោយបរកា របកងមែាកចចនង ញាវតែ កេមភាពេនដេង កចមណញមែើេបរមបេើផលបរមយជនសាធា ណៈដែលាន

ទទលសាា លមោយ ែាេនរនតបកងមែាកចច នង ញាវតែ កា ចល នងកា ទញទនញបមារ ឬមោយមរកកេមទត នងកង លរ មទ

អងាកា អនត ជាត នងទភាន កងា បរតរតតកា រមចចកមទ រ ោា េាល បមារយកេកមបរើមៅកនងកា រមពញេខងា ជាផែវកា រខែន



អបតាអាក មលើតនេែរដនែេមានៈ

១០% បមារកា ចលឬកា ផាតផាងទនញ ឬមវាកនងបពោះរាជាណដចបកកេពជា ០% បមារកា មចញ កា គណ បាកអាក បតវរងៈ

បាកអាក ដែលានរងមៅមពល ចលទនញឬបាកអាក ដែលានរងមលើកា ទញទនញឬមវាបមារបរករអាជវកេមមៅថា "អាក មលើធាតចល"

បាកអាក ដែលានគតយកពអតេជនពកា ផាតផាងទនញ ឬមវាមៅថា "អាក មលើធាតមចញ"

បាកអាក បតវរង = អាក មលើធាតមចញ - អាក មលើធាតចល អាក មលើធាតចលដែលេនអាចកាតកងានៈ

អាក មលើធាតចលដែលេនអាចកាតកងាន េមានបាកអាក ដែលានរងមលើៈ ចណដយទទលមេាៀវកា កសានត ឬកា បមាកលដ មលើកដលងដតរគាលជារអាក

មានអាជវកេមជាអនកផាតផាងកា ទទលមេាៀវកា កសានត ឬកា បមាកលដ កា ទញ ឬកា ចល េយនតមលើកដលងដតរគាលជារអាក បរករអាជវកេមជាអនកលក

ឬជល េយនត កា ទញ ឬកា ចលផលតផលមតលលាេយចននមលើកដលងដតរគាលជារអាក

បរករអាជវកេមជាអនកផាតផាងផលតផលមតលលាទាងម ោះ អនកជារពនធដែលមធេើកា ផាតផាងជារអាក នវទនញ ឬមវាបតវទទលខបតវកនងកា

រងបាកអាក ជន ែាាលសា មពើពនធយាងយតរផតបតេនេៃទ២០ននដខរ ា រពដខដែលមានកា ផាតផាង។ 2.5 ពនធណលើចរាកចណលផទា លខែន (Personal Income Tax) មៅកនងអសតសាត លរគាលដែលទទលានបាកចណលបតវទទលខបតវចមពាោះពនធមលើបាកចណលផទា លខែន។ បាកចណល (Income) ជាទមៅេនរាររញច លបាកចមណញដែល ទទលានមោយនចែនយ (ឧទា ណ កា ឈនោះមឆន ត នងដលបងជាមែើេ) កា ទទលេ តក នង



អមណដយ (មបៅពកា រមពញកា ងា ) រាដនតរាររញច លទាងបាកចមណញពបទពយេបតតដែល ានទញកនងមគនលរណង កបាកចមណញ។ នយេនយខាងមបកាេមយងមៅតាេចារ Income Tax Assessment Act 1997 នងរទ រញញជ ដែលមធេើម ើងមោយចារម ោះ។ នយេនយ 2.1

មៅមពលរគាលរមពញបកោរមពញពនធផទា លខែន រពកមគ េនេជាមបចើនមបរើ ភាន កងា ចោះរញជ ពនធ (Registered tax agent) មែើេបជយកនងែមណើ កា មនោះ។ មទាោះជាយាងណដក មោយ ទនលខបតវចមពាោះភាពបតេបតវននពតមានដែលបតវោកចលមៅកនងបកោរមពញ ពនធមៅដតករាតជាេយនងរគាល។

អបតាពនធមលើបាកចណលផទា លខែនមៅកនងអសតសាត លបតវានរងាា ញែចកនងតារាង 2.1។ ជ ឈ ទ២ រងាា ញពអបតាពនធជាភាគ យដែលបតវដតរងមលើរាល $1 មៅកនងចម ែ ោះនន បាកចណល។ គ កតមាា លថា កបេតខពរផតដែលេនគតពនធ (tax-free threshold) ចមពាោះរគាល គ $6000។ មនោះមាននយថា មគេនបតវរងពនធមទ កនងក ណដែលបាកចណលដែលបតវគត ពនធេនមលើព $6000។ វាកមានកា រងេលបាកេកឱយវញពម តែល $150 ចមពាោះ អនកដែលមានបាកចណលទារ។

ចណល រ (Gross income) = តនេែ រដែលានទទល ឬមកើន (total amounts received or

accrued) ចណលាា នសាម ន (Assessable income)=ចណល រេនគតចណលដែលមលើកដលង (Gross income less exempt income)

បាកកាតមចញមលើកដលង (Allowable deductions) =នេែមែើេននចណលកនងកា ផលត នងកា កាតមចញកា រនធ រនែយ (costs of producing income and certain concessional deduction) ចណលជារពនធ (Taxable income)=ចណលាា នសាម នេនគតកា កាតមចញ (assessable

incomeless allowable deductions) ពនធដែលបតវរង (Tax payable)=ពនធមយងមៅតាេតារាងមលើបាកចណលជារពនធែក បាកដែលបតវរងេលេកឲយវញ (Tax according to the table on taxable income less rebates)



តារាង 2.1 អបតាពនធមលើបាកចណលផទា លខែនមៅអសតសាត លបរចឆន 30 េេ 2002 បាកចណលដែលបតវគតពនធ 2001/02 ($) អបតាពនធ (%)

0 - 6 000 0 6 001 – 20 000 17

20 001 – 50 000 30

50 001 – 60 000 42

60 001 នងមលើពមនោះ 47

មោយមបរើពតមានកនងតារាង 2.1 តារាង 2.2 រងាា ញពពនធដែលបតវរងចមពាោះកបេតនន បាកចណលជាកលាក។ តារាង 2.2 តារាងគណ ពនធចមពាោះបាកចណលផទា លខែនមៅអសតសាត លនេៃទ 30 េេ 2002

បាកចណលដែលបតវគតពនធ Taxable income ($)

ពនធដែលបតវរង Tax payable ($)

6 000 0

20 000 2 380

50 000 11 380

60 000 15 580

ឧទា ណ 2.20 មបរើពតមានមៅកនងតារាង 2.1 នង 2.2 មែើេប កពនធមលើបាកចណលផទា លខែនដែលបតវ រងមៅកនងកា គតពនធបរចឆន 2001/02 ចមពាោះបាកចណលដែលបតវគតពនធែចខាងមបកាេៈ

a) $4 560

b) $17 543

c) $28 765

d) $72 600

ដណ ោះចរាយ a) មោយ$4 560 តចជាង $6 000គនម នពនធដែលបតវរងមទ។ b) មោយ $17 543មបចើនជាង $6 000ដតតចជាង$20 000 ពនធដែលបតវរងគៈ

$0 17% នន ($17543 $6000) (0.17 $11543) $1962.31 c) មោយ $28765មបចើនជាង $20 000 ដតតចជាង $50 000 ពនធដែលបតវរងគៈ

$2380 30% នន ($28765 $20000) $2380 (0.30 $8765)

$2380 $2629 $5009.50



d) មោយ $72 600មលើព$60 000 ពនធដែលបតវរងគៈ $15580 47% នន ($72600 $60000) $15580 (0.47 $12600)

$15580 $5922 $21 502.00 ពនធណលើចរាកណបៀវតស (Salary Tax)

ពនធមលើបាកមរៀវតេ គជាពនធបរចដខកណតមលើបាកមរៀវតេដែល រវនតរគាលាន ទទលកនងបករខណឌ ននកា រមពញកេមភាពរម ើកា ងា ។ រវនតរគាលនវានជនមៅកនងបពោះ រាជាណដចបកកេពជាបតវជារពនធមលើបាកមរៀវតេចមពាោះបាកមរៀវតេបរេពកេពជា នងបាក មរៀវតេបរេពរ មទ។ រវនតអនវានជនបតវជារពនធមលើបាកមរៀវតេចមពាោះបាកមរៀវតេ បរេពកេពជា។ បគនដែលជានមយជក បតវមានកាតពេកចចកាតទកពនធមលើបាកមរៀវតេ មៅេនមពលមរើកបាកមរៀវតេឱយែលនមយជត នងរងបាកពនធមនោះជន ែាាលសា មពើពនធ យាងយតរផតមៅនេៃទ ១៥ ននដខរ ា រពដខដែលបាកមរៀវតេបតវានមរើក។ បមារ នមយជតនវានជន បាកពនធបតវរងបតវកណតមលើបាកមរៀវតេជារពនធបរចដខ នងបតវ កាតទកតាេអបតាកមណើ នតាេថាន កែចតមៅៈ

ភាគមរៀវតេបរចដខបតវជារពនធ អបតាពនធ ព 0 ៛ ែល 500,000 ៛

0% ព 500,001 ៛ ែល 1,250,000 ៛

5% ព 1,250,001 ៛ ែល 8,500,000 ៛

10% ព 8,500,001 ៛ ែល 12,500,000 ៛

15% មលើព 12,500,000 ៛

20% បមារនមយជតអនវានជន ពនធមលើបាកមរៀវតេបតវានកាតទកតាេអបតា 20%

ននទកបាកបតវមរើកឱយេនកា កាតទក។ ពនធកាតទកមនោះគជាពនធចងមបកាយននបាកមរៀវតេ បមារអនវានជនជាអនកទទលបាកមរៀវតេ។

នមយជតនវានជនបតវទទលានកា កាតរនែយពបាកមរៀវតេជារពនធនវទកបាករារ ពនធ នងកនកនងរនាកចនន 75,000 (បាព េនបាពាន) ម ៀលកនងមាន កៗ។



ចមពាោះអតែបរមយជនរដនែេជាម ៀងរាលដខ បគន បកេ នបតវកាតទក នងរង បាកពនធតាេអបតា 20% ននតនេែ រ រអតែបរមយជនរដនែេដែលានផតលឱយនមយជត ទាងអ។ តនេែននអតែបរមយជនរដនែេគជាតនេែទផា េទាងពនធអាក ទាងអ។ ឧទា ណ ៖ រគាល ក មានបរពនធេយ នងកនេយម ើយទទលានបាកដខពបកេ ន 1,500,000 ម ៀល។ ពនធដែលបតវគតគៈ

បាក រ ពនធ នងកនៈ 75,000៛ + 75,000៛ = 150,000 ៛ បាកជារពនធននរគាល កៈ 1,500,000 ៛ 150,000 ៛ = 1,350,000 ៛ ចននមនោះែតមៅ

កនងអបតាពនធ 10%

ពនធដែលបតវរងៈ (1,250,000 500,000) 5% 1,350,000 1,250,000 10% 47,500 ៛

ែមចនោះ បាកពនធមលើបាកដខដែលរគាល ក បតវរងជន ែាគ 47,500 ៛។ 2.6 ពនធចរកមហ ន (Company Tax)

បកេ នគជាអងាភាពសររចារមោយដ កេយដែលបតវទទលខបតវពនធមលើបាកចណលដញកមចញពពនធមលើបាកចណលផទា លខែន។ បកេ នេយបតវដតជារពនធបកេ ន ដែលរងាា ញពបាកចណល នងបាក ចពនធ របកេ ន ម ើយបតវានមបរើមែើេបគណ ពនធមលើបាកចណលដែលបកេ នបតវរង។ ែចរគាលដែ ពនធមលើបាកចណល របកេ នបតវានគណ មៅមលើបាក ចណលជារពនធដែលជាចណល កានមោយបកេ នេនគតបាកចណលមលើកដលងពនធ។ កា ែក តចណដយកនងែមណើ កា បកេ នែចជា បាកឈនល (wages) តនេែននននធ (cost

of stock) កា ជល (rent) រណលេនានកា (bad debts) នងកា ខាតរងពឆន េន (previous

year losses)។ ពនធមលើបាកចណល របកេ នបតវានគណ ជាភាគ យននបាកចណលដែលបតវគតពនធ កានមោយបកេ នក ងឆន សា មពើពនធ (fiscal year)។ អបតាពនធដែលបតវរងជាទមៅមោយបកេ នមលើបាកចណលមៅឆន 2000/01 គ 34% ម ើយកនងឆន 2001/02 អបតាមនោះចោះេកបតេ 30%។



ឧទា ណ 2.21 គណ ពនធដែលបតវរងមរើបកេ នមានបាកចណលដែលបតវគតពនធ$124 500កនង ឆន 2001/02។

ដណ ោះចរាយ អបតាពនធបកេ នកនងឆន ម ោះគ 30 cents ចមពាោះរាល $1ននបាកចណលជារពនធ។ ែចមនោះ ពនធដែលបតវរងមលើ $124 500 គៈ

$124500 0.30 $37350 ពនធណលើចរាកចណណញ (Profit Tax)

ពនធមលើបាកចមណញបតវានកណតមលើអនកជារពនធនវានជន ចមពាោះបាកចណល បរេពកេពជា នងបាកចណល បរេពរ មទ។ បមារអនកជារពនធអនវានជន ពនធមលើ បាកចមណញកណតដតមលើបាកចណលបរេពកេពជារាមណដណ ោះ។

បាកចមណញជារពនធ បាកចមណញជារពនធ គជាបាកចមណញទធានេកពលទធផលទាងអនន

បរតរតតកា អា ជវកេមបគរបរមេទ េរញច លទាងចមណញេលធនដែលមបេចានកនងមពល កពងបរករអាជវកេម ឬមៅមពលរញច រអាជវកេមបពេទាងបាកចណលពបទពយកេម ញា វតែ ឬបទពយកេមវនមយគកា បាកនេែឈនល នងយសា ផង។ បាកចមណញជារពនធក េ រញច លផងដែ នវចមណញេលធនទាងអពអចលនបទពយ បទពយ ញាវតែ ឬបទពយវនមយគ ដែលមបេចានេកពបរតរតតកា មបៅពបរតរតតកា អាជវកេម។

អបតាពនធមលើបាកចមណញបរចឆន មានែចតមៅៈ ១- 20ភាគ យ ចមពាោះបាកចមណញដែលមបេចានមោយនតរគាល ២-30ភាគ យ ចមពាោះបាកចមណញដែលមបេចានមបកាេកចចនាដរងដចក

ផលតផលមបរងកាត នងឧមនធេមជាត ឬមបេចានពកា មធេើអាជវកេមមលើធនធានធេមជាត េទាងនបពមឈើ ដ ា មា ឬតបងេមមានតនេែ



៣-9ភាគ យ ចមពាោះបាកចមណញ រគមបមាងវនមយគមានលកខណៈេបតតបគរ បគននដែលទទលសាា លមោយបកេបរកាអេវឌឍនកេពជាបមារ យៈមពលអនត កាល ៥ឆន មោយគតចរមផតើេពបរកាឱយមបរើចារតពវនមយគនន បពោះរាជាណដចបកកេពជា

៤-0 ភាគ យ ចមពាោះបាកចមណញ រគមបមាងវនមយគមានលកខណៈេបតតបគរ បគននដែលែតមៅកនង យៈមពលមលើកដលងពនធដែលកណតមោយបកេបរកាអេវឌឍនកេពជា

៥-តាេតារាងអបតាពនធកមណើ នតាេថាន កខាងមបកាេចមពាោះបាកចមណញដែលមបេច ានមោយ រវនតរគាល នងចដណកដែលបតវដរងដចកឱយមាជកមាន កៗ របកេអាជវកេម ដែលេនបតវានចតទកជានតរគាលៈ

ភាគននបាកចមណញបរចឆន ដែលបតវជារពនធ អបតាពនធ ព 0 ៛ ែល 6,000,000 ៛

0% ព 6,000,001 ៛ ែល 15,000,000 ៛

5% ព 15,000,001 ៛ ែល 102,000,000 ៛

10% ព 102,000,001 ៛ ែល 150,000,000 ៛

15% មលើព 150,000,000 ៛

20% ៦- ចមពាោះ បគនដែលមានកេមភាពជាខានកនងកា ធា រាារ ង ឬធា រាា រ

ងរនតមលើជវត បទពយេបតត ឬោនេយមផេងៗ ពនធមលើបាកចមណញបតវានកណតខាង មបកាេៈ

ក. ៥% ននរពេលាេធា រាា រ ងែលដែលទទលានមៅកនងឆន ជារពនធចមពាោះ កា ធា រាា រ ង ឬធា រាា រ ងរនត នវោនេយមៅបពោះរាជាណដចបកកេពជា

ខ. តាេអបតាទាងឡាយែចមានដចងកនងចណច ១-២-៣-៤នង៥ ខាងមលើ ចមពាោះកេមភាពែនទមទៀតដែល េនដេនជាកា ធា រាារ ង ឬធា រាារ ងរនត

បាក មោោះពនធមលើបាកចមណញ អនកជារពនធតាេ ររេយបរកា េទាងគមបមាងវនមយគមានលកខណៈេបតតបគរ

បគននដែលជារពនធមលើបាក ចមណញតាេអបតា ៩% បតវមានកាតពេកចចរងបាក មោោះពនធ



មលើបាកចមណញបរចដខតាេអបតា ១% ននផល រ គត េរញច លទាងពនធអាក ទាងអមវៀ ដលងដតអាក មលើតនេែរដនែេដែលមបេចានកនងដខេន យាងយតរផតបតេនេៃទ ១៥ ននដខ រ ា រ។ ផល រ ននគមបមាងវនមយគមានលកខណៈេបតតបគរបគននដែលែតកនង យៈមពល មលើកដលងពនធបតវាន មលើកដលងពកា រងបាក មោោះមនោះ។ បាក មោោះពនធមលើបាក ចមណញនងបតវានយកមៅកាតកងពពនធមលើបាកចមណញមៅមពលមធេើកា ទទាតបរចឆន ។

ពនធមលើបាកចមណញរដនែេមលើកា ដរងដចកភាគលាេ មៅមពលដរងដចកភាគលាេ អនកជារពនធតាេ ររេយបរកាបតវរងពនធមលើបាក

ចមណញរដនែេមលើកា ដរង ដចកភាគលាេែចតមៅៈ ១- ពនធមលើបាកចមណញរដនែេបតវរងកនងចននមមើនង ២០ភាគ យននទកបាកបតវ

ដរងដចកចមពាោះ: ក. កា ដរងដចកបាកចមណញ កាទក ឬបាកចមណញបរចឆន មបកាយកា រងពនធ

មលើបាកចមណញបរនមរើអនកជារពនធមធេើកា ដរងដចកបាកចមណញ កាទក ឬបាក ចមណញបរចឆន ដែលានរងពនធមលើបាករចមណញតាេអបតា ០ភាគ យ

ខ. កា ដរងដចកែនទមទៀត មវៀ ដលងដតកា ដរងដចកដែលានកណតកនងចណច ២ នង ៣ ខាងមបកាេមនោះ នងកា រងងវញនវេលធន

២- ពនធមលើបាកចមណញរដនែេបតវរងកនងចននមមើនង ១១ ភាគ ៩១ ននទកបាកបតវ ដរងដចកចមពាោះកា ដរងដចក បាកចមណញ កាទកឬបាកចមណញបរចឆន មបកាយកា រង ពនធមលើបាកចមណញ បរនមរើអនកជារពនធមធេើកា ដរងដចក បាកចមណញ កាទកបាក ចមណញបរចឆន ដែលានរងពនធមលើបាកចមណញតាេអបតា ៩ភាគ យ

៣- ពនធមលើបាកចមណញរដនែេេនបតវអនវតតមទចមពាោះកា ដរងដចកបាកចមណញ កាទក ឬបាកចមណញបរចឆន មបកាយកា រងពនធមលើបាកចមណញបរនមរើអនកជារពនធ មធេើកា ដរងដចកបាកចមណញ កាទក ឬបាកចមណញបរចឆន ដែលានរងពនធមលើបាក ចមណញតាេអបតា ២០ភាគ យ ឬអបតា ៣០ភាគ យ

ពនធកាតទកមលើនវានជន



អនកជារពនធនវានជនដែលបរករអាជវកេមដែលានមធេើកា ទទាតជាសាចបាក ឬ ជាវតែឱយែលអនកជារពនធ នវានជន បតវកាតទកនងរងបាកពនធមៅតាេអបតាែចខាង មបកាេមលើចននទទាតេនកា កាតទកបាកពនធៈ

ក. អបតា ១៥% ចមពាោះ - បាកចណលដែល រវនតរគាលានទទលពកា រមពញមវា េទាងកា បគរ

បគង ឬកា ពមបគនោះមយរល ឬមវាបរោកបរដ ល - យសា ចមពាោះបទពយអ ររនងភាគកេមកនងធនធានដ ាម ើយ នងកា បាកដែលអនក

ជារពនធនវានជនដែលបរករអាជវកេមដែលេនដេនជាធ គន ឬ សាែ រនញជ យធនកនង សរករងឱយមៅអនកជារពនធនវានជន

ខ. អបតា ១០% ចមពាោះបាកចណលពកា ឱយជលចលនឬអចលនបទពយ គ. អបតា ៦% ចមពាោះកា បាកដែលធ គន ឬសាែ រនញច យធនកនងសរករងឱយមៅ

អនកជារពនធនវានជនដែលមានគណនរមញាើមានកាលកណត . អបតា ៤% ចមពាោះកា បាកដែលធ គន ឬសាែ រនញជ យធនកនងសរករងឱយមៅ

អនកជារពនធនវានជនដែលមានគណននេគនម នកាលកណតកា កាតទកខាងមលើមនោះេន បតវអនវតតមទចមពាោះកា បាកដែលរងមៅឱយធ គន នងសាែ រនញជ យធនកនងសរក នងកា ទទាតចមពាោះបាកចណលមលើកដលងពនធែចមានដចងកនងមាបតា៩េមននចារតពសា មពើពនធ។

ពនធកាតទកមលើេនវានជន អនកជារពនធនវានជនដែលបរករអាជវកេមដែលមធេើកា ទទាតបាកចណលែចខាង

មបកាេមនោះ ឱយមៅអនកជារពនធ អនវានជនបតវកាតទក នងរងនវបាកពនធតាេអបតា ១៤% ននទកបាកបតវមរើកៈ

ក. កា បាក ខ. យសា នេែឈនល នងបាកចណលមផេងៗទាកទននងកា មបរើបាបទពយ

េបតត គ. កា ទទាតចមពាោះមវាបគរបគង នងមវារមចចកមទ . ភាគលាេ



បគន បកេ នបតវោកលខតបរកា នងរងបាកពនធដែលានកាតទកកនង យៈមពល ១៥នេៃមបកាយែណដចដខដែលមានកា ទទាត។ មពលកាតទកគជាមពលដែល ចណដយបតវានកតបតាកនងរញជ គណមនយយ។ 2.7 ចរាកចណណញ នងចរាកខាត (Profit and Loss) នយេនយខាងមបកាេមានសា បរមយជនៈ SP selling price (not including any applicable GST) នេែលក (េនគតពនធ GST) CP cost price នេែមែើេ P actual profit ចមណញ (មៅមពល SP CP ) L actual loss ខាត(មៅមពល SP CP ) SP profit rate (or marked-up rate) expressed as fraction of selling price អបតាចមណញមធៀរនេែមែើេ CP profit rate (or marked-up rate) expressed as fraction of cost price អបតាចមណញមធៀរនេែលក SL loss rate (or marked-down rate) expressed as fraction of selling price អបតាខាតមធៀរនេែលក CL loss rate (or marked-down rate expressed as fraction of cost price(អបតាខាតមធៀរនេែមែើេ P SP CP (2.6) L CP SP (2.7)

S

PP

SP (2.8)

C

PP

CP (2.9)

S

LL

SP (2.10)



C

LL

CP (2.11)

គ កតមាា លថា នេែលកគតរញច លទាង GSTគ ( 10% ) 1.1SP of SP SP ។ ែចមនោះ នេែលកគតទាង GST គ 11/10 នននេែលកេនគត GST។ ឧទា ណ 2.22 ោងេយទញមាា នកាតមមម ដែលមានតនេែ $150 ពកដនែងផាតផាត ម ើយលកមៅ វញកនងតនេែ $225 )េនគត GST)។ គណ បាកចមណញជាភាគ យននៈ

a) នេែលក b) នេែមែើេ

ដណ ោះចរាយ កនងក ណមនោះ $150CP ម ើយ $225SP តាេេកា (2.6) បាកចមណញគៈ

P SP CP $225 $150 $75P

a) តាេេកា (2.8): $75 1

$225 3S

PP

SP

ែចមនោះ បាកចមណញជាភាគ យនននេែលកគ 1 1

100 33 %3 3

។

b) តាេេកា (2.8): $75 1

$150 2C

PP

CP

ែចមនោះ បាកចមណញជាភាគ យនននេែមែើេគ 1

100 50%2

។

ឧទា ណ 2.23 ោងលកមបគឿងងាា េេយកដនែងានទញមបគឿងងាា េេយបរមេទដែលមានតនេែ

$1200រាដនតមគេនអាចលកវាានមៅម ើយមទ។ មែើេបលកវាភាែ េៗមគកមបេចចតតរញច ោះ តនេែលកេកបតេដត$1100 (គតទាង GST)។ច គណ បាកខាតជាភាគ យននៈ

a) នេែលកមចញ



b) នេែមែើេ។ ដណ ោះចរាយ

កនងក ណមនោះCP=$1200 ។ $1100$100

11GST

មគានតនេែលកមោយេនគតGST គ$1100 - $100=$1000 មាននយថាSP=$1000 មោយCP SP មយើងានបាកខាតគL CP – SP $1200 $1000 $200

a) តាេេកា 2.10: $200 1

20%$1000 5

S

LL

SP

ែចមនោះ បាកខាតជាភាគ យមធៀរនេែលកគ 20%។

b) តាេេកា 2.11: $200 1 2

16 %$1200 6 3

C

LL

CP

ែចមនោះ បាកខាតជាភាគ យមធៀរនេែមែើេគ 216 %

3។

ឧទា ណ 2.24

រណដណ គន េយានតមលើងនេែមៀវមៅ 133 %

3មលើតនេែដែលមគានទញ(នេែមែើេ)។

(a) មរើមគតនេែទញចល $12 បមារមៀវមៅេយកាលមតើតនេែលកធេមតាបមារ មៀវ មៅេយកាលមមើនងរា ម ន?

(b) មរើមគលកមៀវមៅេយកាលកនងតនេែ $39.60 (គតទាងGST) មតើតនេែទញចល បមារមៀវមៅេយកាលមមើនងរា ម ន?


កនងក ណមនោះមគាន 1

3CP

(a) មោយCP=$12 ម ើយC

PP

CP មគាន 1

3 $12

P ឱយ 1

$12 $43

P

ដតP=SP – CP ែចមនោះ$4=SP-$12ឬSP=$12+$4=$16 មោយរដនែេពនធមលើទនញនងមវាកេមGST=$1.60 ែចមនោះមៀវមៅេយកាលបតវលកតនេែ$16+$1.60= $17.60



(b) តាេ រេនតC

PP

CP ឬ 1

3

P

CP មគអាច ម 1

3P CP

មោយP SP CP ែចមនោះ 1

3CP SP CP

កនងក ណមនោះ នេែលកគតទាង GST=$39.60 ។តនេែនន GST គមមើនង

60.3$11

60.39$

មយើងាន SP=$39.60-$3.60=$36

ែចមនោះ 1$36

3CP CP ឬ 1

$363

CP CP ឬ 4$36

3CP

មយើងាន 3$36 $27

4CP

ែចមនោះ រណដណ គន ម ោះបតវចណដយ $27 បមារមៀវមៅេយកាលមៅឱយកដនែង ផាតផាង។ ឧទា ណ 2.25 បរធានកដនែងលក េយនតដែលមគមបរើម ើយមាន កមានអតេជនមាន កានមនើទញ េយនតមាាក Hillman Minx sedan ម ឆន 1992 ពណនរតងេយមបគឿង។ បរធានមាន កមនោះេនមាន េយនតមៅកនងឃែ ងមទដតគនតាននាជាេយអតេជនថា មៅមពល េយនតេកែលគនត នងលកវាកនងតនេែេយមោយយកចមណញ 20%។ ជាយថាម ត អនកលកមាន កកនងចមណដេអនកលកមៅកនងកដនែងលក េយនតម ោះាន ក ម ើញ េយនតដែលអតេជនចងានមៅកដនែងេយដែលមានតនេែ $300 ម ើយបរធានម ោះក យលបពេទទលយកចមពាោះតនេែមនោះ។ មទាោះជាយាងមនោះកា បរធានមនោះកបតវគតនេែមៅមលើៈ

កា ដចកចយ$75 កា ចណដយមផេងៗ $55 កនបេមជើងសា បមារអនកលក 15% នននេែលក

មោយមយងមៅមលើកា មគន ពនា រគនត មតើតនេែរា ម នដែលបរធាន រមនោះគ ដត គតពអតេជនបមារ េយនតម ោះ?




ចមេែើយននណ មនោះអាសរយមៅមលើថាមតើនេែមែើេមមើនងរា ម ន។ នមតថា បរធាន គតដតនេែមែើេដែលគនតទញចល។ តនេែមនោះគ $300 ម ើយចមណញ 20% ននតនេែមនោះ មគាន បាកចមណញ P តាេេកា 2.9 គៈ

C

PP

CP

0.20

$300

P

0.20 $300 $60P តាេេកា 2.6:

P SP CP $60 $300SP ឬ $300 $60 $360SP ែចមនោះ បរធានម ោះគ ដតគតតនេែពអតេជនចនន $360។ (គនម នពនធ GSTបតវរងមោយអនកទញ េយនាមបរើម ើយ) នមតថា មទាោះជាយាងណដកបរធានម ោះគតនេែមែើេមោយរាររញច លរាលនេែ ចណដយទាងអមៅមលើ េយនតបមារអតេជន។ មលើពមនោះមៅមទៀត នេែមែើេឥ វមនោះ មាន $75 )កា ដចកចយ ( $55 )កា ចណដយមផេងៗ( នងកនបេមជើងសា ដែល ឱយចណដយ រដនែេ រគ $175។ នេែមែើេ របរធានម ោះគ $300 $175 $475 ។ បាកចមណញ 20% មលើនេែមែើេមនោះគ 0.20 $475 $95 បមារនេែលកគ $475 $95 $570 ។ បរធានម ោះគ ដតគតនេែពអតេជនចនន $360 ឬ $570 គជារញញា េយននកា ាា ន សាម ន។ មរើគនតគត $360 គនតនងខាត $475 $360 $115 មៅមលើកា លករាយមនោះ។ 2.8 ពនធចរបថាបចរា (Stamp duty) ែានេយៗកនងអសតសាត ល តពនធ (គតពនធ) ដែលមគសាា លថាជាពនធបរថារបតា (Stamp Duty) មៅមលើបរតរតតកា ពាណជជកេម នងសររចារពតបាកែែចជា បរតរតតកា បទពយ-េបតត នងកា មផា រណណកេមទធយនយនត។ កនងក ណនេយៗ ពនធបរថារបតាបតវានរង មោយអនកទញ។



ចមពាោះយនយនតតាេចារជាទមៅអនកទញបតវដតរងពនធបរថារបតាមលើតនេែទផា ននយនយនត ឬតនេែដែលមគានចណដយមលើវាដែលគតយកតនេែេយណដដែលខពជាង។ មៅកនងទបកង New South Whales កា រដនែេពនធបរថារបតាមានតនេែមផា $21។ តាងពនេៃទ ១ ដខកកកោ ឆន 1997 ពនធបរថារបតាមលើយនយនតអនកែមណើ មានតនេែបតេ $45 000 គ $3 រាល $100 ឬដផនកនន $100។ ចមពាោះយនយនត ដែលមានតនេែមលើព $45 000 ពនធបរថារ បតាមលើតនេែមលើព $45 000 គ $5 រាល $100 ឬដផនកនន $100។ មរើអនកទញេនានោកពាកយមផា កេមទធកនងក ង 14 នេៃននកា ទញយនយនត តនេែននកា ោកពាកយដែលយតយាងមោចណដ $74 បតវានគត។ ឧទា ណ 2.26

a) មរើ េយនតេយដែលមានតនេែមៅមលើទផា គ $52995 មតើពនធបរថារបតាដែលបតវរង មមើនងរា ម ន?

b) មតើអនកអាចនយយានយាងែចមេាចអពតនេែទផា ននយនយនតដែលគតពនធបរថារបតាចនន $621.00?

ដណ ោះចរាយ a) តនេែមៅមលើទផា គ $52995មាន$45000 $7995 ។

ពនធបរថារបតាមលើ $45000គ $3 450 $1350 ។ តនេែមៅល $7995 មាន 79×$100 នងរដនែេ $95។ ពនធបរថារបតាដែលបតវរងមលើ 79×$100 គៈ$79 5.00 $395.00 មោយពនធបរថារបតាគតមលើដផនក $100 ម ោះ $95 កបតវគតពនធបរថារបតា $5.00 ដែ ។ែចមនោះ ពនធបរថារបតាដែលបតវរងមលើដផនក $7995 គៈ

$395.00 $5.00 $400 ែចមនោះ ពនធបរថារបតា រដែលបតវរងមលើ េយនតម ោះ គ$1350 $400 $1750 ។

b) មរើពនធបរថារបតាដែលបតវរងគ $621.00 ម ោះចននព គណនន $100

មែើេបឱយានតនេែទផា គៈ $621207

$3



ែចមនោះ តនេែទផា នន េយនតម ោះគ មៅចម ែ ោះ $20601នង $20700។ ពនធបរថារបតាបតវគរងមៅមលើតនេែទញននបទពយេបតត ឬកា វាយតនេែកនងកាលៈ មទៈជាកលាក។ (កាតពេកចចបតវដតរងកនងក ងរដខននកាលរ មចេទននកា ផទែ រា កចច នាមលើកដលងដតកា ទញដែលមានរែងកេមទធម ើយ ឬលខតដែលពាកពនធនងផាោះ ែជា មែើេ) តនេែននពនធបរថារបតាដែលបតវរងចមពាោះតនេែមផេងពគនន ននបទពយេបតតបតវាន រងាា ញមៅកនងតារាង 2.3។

តារាង 2.3 ពនធបរថារបតាដែលបតវរងមលើតនេែទញននបទពយេបតត តនេែទញ ($) អបតាពនធបរថារបតា

បតេ 14 000 14 001 – 30 000 30 001 – 80 000

80 001 – 300 000 300 001 – 1 000 000 មលើព 1 000 000

$1.25 កនង $100 (អរបរ មា $10) $175 រដនែេ $1.50 កនង $100 មលើព $14 000 $415 រដនែេ $1.75 កនង $100 មលើព $30 000 $1290 រដនែេ $3.50 កនង $100 មលើព $80 000 $8990រដនែេ $4.50កនង $100 មលើព $300 000 $40 490 រដនែេ $1.50 កនង $100 មលើព $100 000

ឧទា ណ 2.27 មតើពនធបរថារបតាដែលបតវរងមមើនងរា ម នមលើបទពយេបតតដែលមានតនេែទញៈ

a) $217 000? b) $592 000?

ដណ ោះចរាយ a) តាេតារាង 2.3

តនេែននពនធបរថារបតាដែលបតវរងមលើបទពយេបតតដែលមានតនេែទញមមើនង $217 000 គៈ $1290 $3.50 2170 800 $1290 $3.50 1370 $6085 ។



b) តាេតារាង 2.3 តនេែននពនធបរថារបតាដែលបតវរងមលើបទពយេបតតដែលមានតនេែទញមមើនង $592 000 គៈ $8990 $4.50 5920 3000 $8990 $4.50 2920 $22130 ។

6



1. រដរែងបរភាគ 17

25ជាភាគ យ។

2. អនកលកមាន កទទលានកនបេមជើងសា មេ គ 6.5% មលើនេែលក រ។ មតើតនេែលក រមមើនងរា ម នមែើេបឱយអនកលកទទលានបាកកនបេ $250?

3. ោងេយជាធេមតាលកទ ទកកកកនងតនេែ $700រាដនតេមៗមនោះមគលកវាកនងតនេែ$577.5។ មតើកា រញច ោះតនេែជាភាគ យដែលោងម ោះផាលមមើនងរា ម នមលើទ ទកកកម ោះ?

4. នេែមែើេននវតែេយគ $170។ មោយគតរញច លតនេែនន GST មៅកនងគណន គណ តនេែលករាយដែលផាលបាកចមណញែលអនកដចកចយចនន $43។

5. ជាងតទមយទកមាន កទទលានកា រញច ោះតនេែពាណជជកេម 15% មលើរាលមាា ៈផាត ផាងទមយទាងអដែលានទញ។ មរើវកកយរបតគតបាក រ រជាងតទមយ ទកគ $275.25 េនគត( GST) មតើនេែលករាយធេមតា រននទនញដែលជាងត ទមយទកានទញមមើនងរា ម ន?

6. ជាងចមាែ កមាន ករង $995 (េនគត GST) បមារមាា ៈមបរើបា ា រពទទលាន កា រញច ោះតនេែពាណជជកេម 15% បពេទាងរដនែេ 2.5% (រ ា រពកា រញច ោះតនេែពាណជជកេម) ចមពាោះកា ចណដយជាសាចបាក។ មតើតនេែលកធេមតាននមាា ៈមមើនងរា ម ន?

7. ទ ទេនេយមបគឿងជាធេមតាលកកនងតនេែ $660 (គតរញច លទាង GST)។ ោងម ោះ ានផេពេផាយថា កា រញច ោះតនេែគ 15% មរើមគទញវាមៅនេៃអាទតយ នងរដនែេកា រញច ោះតនេែ 10% មរើ កា ចណដយជាសាចបាក។ មតើកា ចណដយជាសាចបាកមមើ នងរា ម ន( គតទាង GST បមារកា ទញមៅនេៃអាទតយ ) ?

8. ោងេយលកទ ពាឥតដខេកនងតនេែធេមតា $176 (គតទាង GST)។ មៅនេៃចងាា វាបតវានមគផេពេផាយថា មានកា រញច ោះតនេែ 20%។ មតើមគគ ដតតមេែើងនេែរា ម នភាគ យរដនែេមៅមលើនេែដែលានរញច ោះមែើេបទទលានតនេែមែើេធេមតាវញ?



9. ជាងអគានមាន កមធេើកា ជជលបរអររទមរើកកងតាកបកេ នេយ ម ើយរងាា ញ វកកយរបតចងមបកាយមានតនេែ $260.70។ មតើតនេែនន GST ននវកកយរបតមនោះមមើនង រា ម ន?

10. Sally មានបាកចណលដែលបតវគតពនធចនន $52.284បមារនេៃទ ៣០ េេ ២០០១។ គណ ពនធមលើបាកចណលផទា លខែនដែល ងបតវរង។

6



1. បរភាគ 5

16រដរែងជាភាគ យគៈ

a. 32% b. 5% c. 3.125% d. 31.25% e. គនម នចមេែើយ 2. អនកតណដងកា លកមាន កទទលានកនបេមជើងសា មេ 7.50% មលើតនេែដែលលកាន

រ។ មតើគនតបតវលកឱយានរា ម នមែើេបទទលានបាកកនបេមជើងសា $487.50? a. $3656.00 b. $65.00 c. $650.00 d. $6500.00 e. គនម នចមេែើយ

3. ឈមញកណដា លមាន កគតបាកឈនលមេ ពអតេជន $75 រដនែេ 3.50% ននតនេែ វនមយគទាងអដែលានមធេើ។ មរើអតេជនវនមយគ $15 000 តាេ យៈឈមញ កណដា ល កនបេមជើងសា ឈមញកណដា លដែលបតវរងគៈ a. $600 b. $5325 c. $480 d. $127.50 e. គនម នចមេែើយ

4. ោងេយកពងលកមៅអមាាា (massage chair) មានតនេែ $1163.50 ដែលមគានរញច ោះតនេែ 35%។ នេែលករាយធេមតាគៈ a. $1204.22 b. $3324.29 c. $1790.00 d. $1570.73 e. គនម នចមេែើយ

5. ោងលកមបគឿងមអ ចបតនចេយកដនែងតមេែើងនេែកពយទ ម ាេតចៗ 45% មលើនេែដែល មគទញចល។ មរើោងលកកពយទ ម ាេកនងតនេែ $36.25 (េនគត GST) តនេែដែលមគទញចលគៈ a. $16.31 b. $19.94 c. $34.69 d. $25.00 e. គនម នចមេែើយ

6. សាែ នយមវាកេមេយកដនែងទញមបគឿងទរនរោេ ងដែលមានតនេែ $36 ពកដនែងផាតផាង ម ើយលកមៅវញកនងតនេែ $41.40 (េនគត GST)។ បាកចមណញជាភាគ យនននេែមែើេគៈ a. 15.0% b. 5.4% c. 13.0% d. 54% e. គនម នចមេែើយ

7. មាា នបមារងកាម េេយលកកនងតនេែ $61.60 កនងោងែធេយ។ GST ននតនេែមនោះគៈ a. $6.16 b. $1.60 c. $6.60 d. $56.60 e. គនម នចមេែើយ



8. មេែៀករពាកេយបមារលកនេែ $88.00 េនគត( GST)។ តនេែដែលរងមោយ អតេជនគៈ a. $8.80 b. $8.00 c. $80.00 d. $0.80 e. គនម នចមេែើយ

9. Linda ទញ េយនតេយមបគឿងកនងតនេែ $16 000 ដែលមានតនេែមៅមលើទផា $17500។ តនេែននពនធបរថារបតាដែល Linda បតវរងគៈ a. $480 b. $526.50 c. $528.00 d. $175.50 e. គនម នចមេែើយ

10. សាេ យទេយដផែលកនេែ $4.00។ វាបតវានមគតមេែើងនេែ 25% ។ តនេែេមមនោះ រ ា រេក បតវានមគរញច ោះ 25%។ តនេែចងមបកាយននដផែសាេ យទមនោះគៈ a. $3.00 b. $3.75 c. $4.00 d. $5.00 e. គនម នចមេែើយ

4



លហាត

1. រដរែងជាភាគ យៈ

a. 1

4 b. 1

3 c. 1

8

2. រដរែងជាភាគ យៈ

a. 5

12 b. 3

8 c. 3

4

3. រដរែងជាភាគ យៈ a. 0.72 b. 0.505 c. 0.8273

4. រដរែងជាបរភាគ (បរភាគតចរផត)៖ a. 22.5% b. 2

66 %3

c. 87.5%

5. រដរែងជាចននទភាគៈ a. 70% b. 30.72% c. 2

16 %3

6. អនកលក េយនតមាន កមធេើកា មោយទទលានកនបេមជើងសា មេ គ 2.5% នននេែលក រ រ េយនតដែលានលក។ ច គណ កនបេដែលបតវានទទលមរើតនេែ រនន កា លកគៈ

a. b. c. 7. អនកលកកនងលោតទ 6 ានទទលកនបេមជើងសា ដែលរត េកជាបាកកនបេមេ $200

កនងេយាា នងរដនែេ 1.5% ននតនេែលក រ។ ច គណ កនបេដែលបតវាន ទទលមរើនេែលក រគៈ

a. $30 00 b. $150 000 c. $245 000 8. ឧរមាថាអនកជាអនកលកកនងលោតទ6នងទ7។

a. មតើបរមេទកនបេមជើងសា ណដេយអនកនងមបជើម ើ យក? b. មតើកតាត អេខែោះដែលមានឥទធពលចមពាោះចមេែើយ រអនកកនងណ a.? c. មរើនជានេែលក រជាេធយេ $15 000 កនងេយាា មតើកនបេមជើងសា

បរមេទណដេយដែលអនកនងមបជើម ើ យក? មផាៀងផទា តចមេែើយ រអនក។



9. អនកលករណណធា រាា រ ងមាន កានលករណណជាមបចើនដែលមានតនេែ រ $250 000។ នមតថាកនបេមជើងសា មេ បតវានមគផាលឱយមតើអបតាកនបេមជើងសា (ជាភាគ យ) មមើនងរា ម នមរើនជាកនបេដែលអនកលកទទលានគៈ

a. $2 500 b. $1 875 c. $1 825 10. ឈមញកណដា លមាន កគតឈនលមេ $75 នងរដនែេ 1.75% មលើតនេែដែលានវនមយគ

រ។ មរើនជាអតេជនមាន កវនមយគមលើតនេែ រ $2 500 តាេ យៈឈមញ កណដា ល មតើតនេែមជើងសា ឈមញកណដា ល រមមើនងរា ម ន?

11. ឧរមាថាឈមញកណដា លកនងលោតទ10 តមេែើងបាកឈនលមេ ែល $100។ មតើ ភាគ យននកនបេមជើងសា បតវមមើនងរា ម នមរើកនបេមជើងសា ឈមញកណដា ល រមលើតនេែវនមយគ$1500 គ $142.75?

12. ភាន កងា លកអចលនបទពយមាន កានបរកាថាគនតនងគតកនបេ (មយងមៅតាេនេែលក) មលើបទពយេបតតដែលគនតលកែចតមៅៈ

អបតាកនបេមលើតនេែលក(%) តនេែលក($) 5.0

3.0 50 001-125 000 2.5% 125 001-200 000 2.0% មលើព 200 000

ច គណ កនបេមជើងសា ដែលបតវគតមលើបទពយេបតតដែលលកកនងតនេែ៖ a. $120 000 b. $165 000 c. $195 000 d. $475 000

13. ចមពាោះភាន កងា លកអចលនបទពយកនងលោត 12។ a. មរើភាន កងា ម ោះចងទទលានបាកកនបេ $20 000 មតើគនតគ ដតលកបទពយ

េបតតនេែរា ម ន? b. មរើភាន កងា មនោះែងថា អនកទញនងរញច ោះតនេែ 10% នននេែដែលានោកលក

មតើមគគ ដតោកនេែលកបទពយេបតតមមើនងរា ម នមទើរមធេើឱយភាន កងា ទទលាន បាកកនបេ $20 000?



14. ោងេយជាធេមតាមានមាា ៈមអ ចបតនចបមារលកកនងតនេែ $29.99 រាដនតេមៗ មនោះមគលកវាកនងតនេែពមបតេដត $25.50។

a. មតើោងម ោះានផាលកា រញច ោះតនេែបរដ លរា ម នភាគ យ? b. មរើោងម ោះចងផាលកា រញច ោះតនេែ 17.5% នននេែធេមតា មតើមគគ ដតលកវាកនង

តនេែរា ម ន? 15. ោងេយកពងលកតណដរដផែមឈើេយដកវកនងតនេែ $1.70 ដែលតនេែមនោះតាងឱយកា

រញច ោះតនេែ 133 %

3។ មតើតនេែលកធេមតាជាធេមតាននតណដរដផែមឈើេយដកវមមើនង

រា ម ន? 16. អនកសាងងមាន កទញមឈើ 30 m ដែលមានតនេែលកធេមតាគ $12.50 កនងេយដេាត។

អនកសាងងានទទលកា រញច ោះតនេែ 12.5% នននេែលករាយធេមតា។ មតើគនតបតវ ចណដយ ររា ម នបមារមឈើដែលគនតទញ?

17. អនកផាតផាងទនញមៅឱយសាកលវទាលយមាន កានបារមៅសាកលវទាលយម ោះថា នងមានកា រញច ោះតនេែ បមារកា រងបាកចណដយចមពាោះកា ទញែចខាងមបកាេៈ

េន 10 នេៃ 5.0% េន 20 នេៃ 2.5% េន 30 នេៃ 1.5%

សាកលវទាលយានទញទនញដែលមានតនេែ$25000ពកដនែងផាតផាងម ោះ។ មតើមគបតវចណដយរា ម នចមពាោះទនញទាងម ោះ មរើកា រងបាកបរបពតតមៅរ ា រព៖

a. 8 នេៃ? b. 15 នេៃ? c. 27 នេៃ? d. 90 នេៃ? 18. តបមារោកដកប ដបគមគងេយលកកនងតនេែរាយ $159.50គតរញច លទាង GST។

គណ តនេែលកធេមតាេនគត GST? 19. មាា នេត(Camera) េយមបគឿងលករាយកនងតនេែ $325.60 គតរញច លទាង GST

ម ើយអនកដចកចយយកចមណញ $65។ កនេែមែើេ រមាា នេតេយមបគឿង។



20. ោងលកមបគឿងមអ ចបតនចេយកដនែងានតមេែើងនេែមាា នចក-េតមេែង 45% មលើនេែមែើេពកដនែងផាតផាង។

a. មរើោងម ោះចណដយមៅកានកដនែងផាតផាង$65បមារមាា នេតម ង េយ មតើមគនងលកវាកនងតនេែរា ម ន (គតទាង GST)?

b. មរើោងម ោះលកមាា នេតម ងកនងតនេែ $107.80គតទាង (GST) មតើនេែ មែើេ រវាពកដនែងផាតផាងមមើនងរា ម ន?

21. មែើយណ កនងលោត 20 មរើោងម ោះតមេែើងនេែមាា នេត ម ងម ោះ៖ a. 100% b. 150%

22. វចបតក មាន កទទលានកា រញច ោះតនេែពាណជជកេម 20% មលើបគរមាា ៈដែលគនតាន ទញ។ គនតានចណដយ $350។ មតើតនេែលកធេមតាននទនញដែលវចបតក ានទញ មមើនងរា ម ន?

23. ចននននរ នងសតតដែលមានអាយ 18 ឆន នងមលើពមនោះចល េកនងកា មលងកឡា មផេងៗមៅអសតសាត លបតវានរងាា ញែចកនងតារាងខាងមបកាេៈ

កឡា ចននរ

('000)

ចននសតត

('000)

ចនន រ

('000) Baseball Golf (វាយកលមោា ល) Lawn bowls Swimming )ដ លទក( Tennis

219.7 1059.2 243.5 885.3 508.1

91.4 265.6 124.5 1026.3 512.4

311.1 1324.8 368.0 1911.6 1020.5

Source: Australian Bureau of Statistics, Participation in Sport and Physical Activities,

1999-2000, Cat. No. 4177.0.

a. ចមពាោះកឡានេយៗ គណ ភាគ យននអនកចល េដែលជារ នងភាគ យ ដែលជាសតត។



b. កចនន រចមពាោះរជ ឈ នេយៗ។ គណ ភាគ យទាងេលននអនកចល េដែលជារ នងភាគ យដែលជាសតត។

24. មៅនេៃទ ៣០ េេ ឆន 2000បរជាពល ែារ ននបរមទ Queensland មមើនង 1783744។ បរជាពល ែាតាេបកេអាយបតវានរងាា ញែចកនងតារាងខាងមបកាេ៖ បកេអាយ )ឆន ( ចននរ

0 – 9 10 – 19 20 – 39 40 – 64

65 នងមលើពមនោះ

255 400 265 866 534 324 544 425 183 729

Source: Australian Bureau of Statistics, Australian Demographic Statistics, June Quarter

2000, p. 17. Cat. No. 3101.0.

គណ )បតេទភាគភាគ យ)៖ a. ភាគ យននបរជាពល ែារ កនងបកេអាយនេយៗ b. ភាគ យននបរជាពល ែារ ដែលមានអាយ 40 ឆន នងមលើពមនោះ c. ភាគ យននបរជាពល ែារ ដែលមានអាយ 19 ឆន នងមបកាេ 19ឆន ។

25. មបរើពតមានមៅកនងដផនក 2.8 មែើេប កតនេែពនធននកា មាោះបតា )រដនែេនេែមផា ) ដែលបតវ រងមៅមលើកា មនើមផា កេមទធកនងបកង New South Walesននយនយនតដែលមាន តនេែតាេទផា ៈ

a. $3650 b. $21786 c. $60450

26. មបរើពតមានមៅកនងដផនក 2.8 មែើេប កតនេែពនធននកា មាោះបតា )រដនែេនេែមផា ) ដែលបតវ រងមៅមលើកា មនើមផា កេមទធកនងបកង New South Wales ននយនយនតដែលមាន តនេែតាេទផា ៈ

a. $9870 b. $32990 c. $15400



27. ោងេយលកមាា នមាកគកកនងតនេែរាយ $1000គតទាង(GST)។ មែើេបលាងឃែ ង កនងកា ម ៀរចោកមាា នម េម មគានរញច ោះតនេែ 25%។ អតេជនមាន កេកែលោង ម ើយនយយថា គនតនងទញមាា នដែលានរញច ោះតនេែម ោះ រាដនតគនតចងានកា រញច ោះតនេែរដនែេ 10% មទៀត មរើគនតចណដយជាសាចបាក។ មតើអតេជននង ចណដយ រា ម នជាសាចបាកមែើេបទញមាា នម ោះ?

28. ោងកនងលោតទ 28 នយយថា នងេនមានផាលកា រញច ោះតនេែរដនែេ 10% បមារ កា ចណដយជាសាចបាកមទ រាដនតនងផាលែលអតេជននវកា រញច ោះតនេែ រ 35% នននេែលករាយពេន។ មតើែមណដោះសរសាយមនោះវាលអបរម ើ ឬេនបរម ើ ជាងកា មនើ រគនត? ច ពនយល។

29. ោងលកមបគឿងដែកេយកដនែងកពងលកbrush-cuttersម ើយានរញច ោះតនេែ 15% ននតនេែលកធេមតា$102។ អតេជនមាន កជាអនកដែលចងទញ(brush- cutter) មាន រងាក ននែតាេ យៈកាដតដែលផាលទធឱយគនតទទលាននវកា រញច ោះតនេែ $15 នន តនេែលកធេមតាចមពាោះរាលទនញមៅកនងោងៈ េនបតវានមបរើភាជ រជាេយតនេែលក។ ែចមនោះ គនតមានជមបេើននកា មបរើរងាក ននែ រគនត ឬទទលយកផលបរមយជន ននកា រញច ោះតនេែ។ មតើជមបេើេយណដដែលអតេជនគ ដតមបជើយក? ច ពនយល។

30. មបរើពតមានមៅកនងតារាង 2.1 នង 2.2 មែើេប កពនធមលើបាកចណលផទា លខែនដែលបតវ រងមៅមលើបាកចណលៈ

a. $6790 b. $25410 c. $125600 31. មបរើពតមានមៅកនងតារាង 2.1 នង 2.2 មែើេប កពនធមលើបាកចណលផទា លខែនដែលបតវ

រងមៅមលើបាកចណលៈ a. $12543 b. $37520 c. $87540

32. មបរើពតមានកនងដផនកពនធបកេ នកនងជពកមនោះ មែើេប កពនធដែលបកេ នបតវរង កនង 2001/ 02 មៅមលើបាកចណលដែលបតវគតពនធៈ

a. $56450 b. $15490 c. $327900



33. មបរើពតមានកនងដផនក 2.6 មែើេប កពនធដែលបកេ នបតវរងកនង 2001/ 02 មលើបាក ចណលដែលបតវគតពនធៈ

a. $16250 b. $75320 c. $534 860 34. សតតមាន កានទញ េយនតេយមបគឿងកនងទបកង New South Wales ដែលមានតនេែមៅ

មលើទផា $24 750។ មតើតនេែមផា កេមទធ នងពនធបរថារបតាដែលគនតបតវរងមមើនង រា ម ន?

35. អតេជនមាន កានមៅជរអនកបគរបគងធ គន មាន កមែើេបខចបាក $540 បមារកា រង ពនធបរថារបតា )េនគតតនេែមផា ) មៅមលើកា មផា កេម ទធកនងទបកង New South Wales នន េយនតេម រគនត។ មតើតនេែមៅមលើទផា នន េយនតម ោះមមើនងរា ម ន?

36. ោងេយទញមាា នមាកគកពកដនែងផលត ម ើយតមេែើងតនេែ 40% នននេែមែើេ បមារកា លក។ ជាកដាងរ ា រព យៈមពលរដខមោយគនម នអតេជនចរអា េមណ អនកបគរបគងកមបេចចតតលកវាមៅអតេជនមោយរញច ោះតនេែ 10%នននេែដែលាន តមេែើង។ មរើអតេជនចណដយ $252 កៈ

a. នេែមែើេែរង b. នេែដែលានតមេែើង។

37. មែើយណ កនងលោត 37 មរើឥ វវាបតវានរញញជ កបារមោយអនកបគរបគងថា តាេពតមគផាលែលអតេជននវកា រញច ោះតនេែ 40%(េនដេន10%មទ)នននេែដែលាន តមេែើង។

38. ចមពាោះបាកចណលកនង 2001/ 02 កណត ថាមតើតនេែននពនធដែលបតវរងណដេយ មបចើនជាងមរើវាជាពនធបកេ ន ឬពនធមលើបាកចណលផទា លខែន។ កនងក ណនេយៗ កពនធដែលបតវរងចមពាោះពនធទាងព បរមេទ។

a. $70000 b. $80000 c. $90000 39. ចមពាោះចារពនធកនងឆន 2001/ 02 កបាកចណលដែលពនធបកេ នមលើបាកចណល

ម ោះ មមើនងពនធមលើបាកចណលផទា លខែនម ោះ។ (ដណ ៈ ចមេែើយ រអនកកនង លោត 38 អាចផាលែលអនកនវគនែោះកនងកា ដេង ក។)



40. ចមពាោះចារពនធកនងឆន 2001/ 02 កបាកចណលដែលបតវគនន នងពនធមលើបាកចណល ផទា លខែនៈ

a. $7861.00 b. $27113.80 41. ចមពាោះចារពនធកនងឆន 2001/ 02 កបាកចណលដែលបតវគនន នងពនធមលើបកេ នៈ

a. $42732.90 b. $282939.00 42. បកេ នេយានផាលែលអនកលករាយនវអបតារញច ោះតនេែ 5% មរើគណន រមគបតវ

ានរងកនងក ង 5 នេៃ ម ើយ3% មរើរងកនងក ង 10 នេៃ។ មបៅពមនោះ អនកលករាយ រងតនេែមពញ។ កតនេែដែលមធេើឱយអនកលករាយទទលាននវគណនរងបាក $22500 មរើគណនបតវានរងរ ា រពៈ

a. 4 នេៃ b. 9 នេៃ c. 26 នេៃ 43. កនងលោត42អនកលករាយដែលានរងគណន រគនតរ ា រព7 នេៃគ$1406.50។

មតើតនេែននគណនែរងមមើនងរា ម ន?

3



មេម ៀនទ ៣


3.1 នយមនយ

វចនានកកេ Macquarie Dictionary (3rd edition, 1997, published by Macquarie Library

Pty Ltd) កណត ពជគណត (algebra) ជាវធសាសតរគណតវទាននកា ពចា ណា កមេតផល អព (ដែលជាប មាណ/quantitative) ទនាកទនងមោយេមធាបាយោកជាកបពនធរាបបញច ល ទងអកស (letters) នងនេតរញញា មផសងៗ (other symbols)។ មគអាចនយាយបានេាាងមទៀត ថា ពជគណត គរាលកា អនវតរនគនតនពវនរដែលប មាណេនសាា លកតវបានតាងមោយ នេតរញញា ។ ចមពាោះមោលបណង បមយើង នេតរញញា ដែលបានមកបើអាចជាអកស ននអកខ កកេែចជា , , ,..., , ,a b c x y z មទោះជាបនសននអកស (ឬេបដតពាកយ) កអាចកតវបានមកបើមែើេប តាងឱយប មាណដតេយដែ ។ េននងចាបមផដើេកា អនវតរនននបមចចកមទពជគណត វាចាបាចណាកនងកា សាា ល នយេនយធេមតាេយចននដែលមគនយេមកបើ។

វតថបណងននមមម ៀន

កា យលនងមកបើកបាកមនោេពជគណត កេលកមនោេពជគណត មោោះសរសាយេកា លមនដអែ ងាយ មោោះសរសាយកបពនធេកា លមនដអែ មោោះសរសាយបញញា ពាណជជកេមមោយមកបើពជគណតងាយ



ចននមេ (constant) គជាតដែលមានតនេៃេនដកបកបល។ ឧទេ ណៈ 12, 1

2, 45 ,

5.8,0, 234.589នង (pi) ទធដតជាចននមេ ពមកពាោះតនេៃ បវាេនផលៃ បដ ។ កនងពជគណត មពលខៃោះវាងាយសរលកនងកា តាងចននមេ េយមោយតអកស ននអកខ កកេ។ មទោះបជាោចខាតនយាយថា អកស េយណាកអាចតាងកមោយ កវាជាញកញាបកនងកា មកបើ អកស ដែលមៅជតអកស ចាបមផដើេអកខ កកេែចជា , , ,a b c d ។ អមេ (variable) គជាតដែលតាងឱយប មាណដែលអាចមានតនេៃមផសងៗពោន ។ ជា ធេមតា អមេ កតវបានតាងមោយអកស , ,x y z ននអកខ កកេ។ មទោះជាអកស ណាអាចតាងបានក មោយកជាធេមតាអកស មៅជតអកស ខាងចងននអកខ កកេកតវបានមគមកបើដែ ែចជា , ,x y z។ មទោះជាយាាងមនោះកដ មបើអមេ តាងឱយប មាណជាកលាក វាជាធេមតាចមពាោះកា មៅអកស ទ១ ននម ម ោះ បប មាណមនាោះដែលកតវបានមកបើជាម ម ោះអមេ ។ ឧទេ ណ 3.1 នមតថា កនងបញញា មផសងៗពោន ដែលមយើងនងពាយាេដវង កតនេៃននប មាណដែល េនសាា លជាកលាក។ េវតបតដត ម ម ោះអមេ ណាកអាចមោោះសរសាយបានកមោយ វាជាកា ងាយសរលកនងកា មកបើនេតរញញា ដែលទកទងមៅនងប មាណ បវាផលា ល។ មទោះជាយាាង មនោះកដ កនងបញញា ដតេយ ម ម ោះអមេ ដតេយេនគ មកបើមែើេបតាងប មាណមផសងោន មទ។ ឧទេ ណេយចននននម ម ោះអមេ ដែលអាចមកបើកមាបតាងប មាណែចខាងមកកាេៈ

ប មាណ(Quantity) ម ម ោះអមេ (Variable name)

Number of apples to buy (ចននផលែប ោមផែលតរវទញ) n

Length of string to purchase (តរផវងផសែផែលតរវទញ) l

Time to leave for work (ប ោងបចញពបវើការ) t

Price to charge for an item (រមមែផែលតរវលកវរថមយ) p

Cost of running a car each week (រមមែមនែប ើ រការរថយនតរាលស ា ហ) c

កមនោេពជគណត(Algebraic expression) គជាបនសននចននមេ នងអមេ មោយមកបើ កបមាណវធនពវនរ (arithmetic operation) ែចជា បក ែក គណ ដចកជាមែើេ។ ឧទេ ណ ននកមនោេពជគណតៈ



2 3 44x xy y 6

7

y

x

3x 5 24 17m n

3 5 9a b 23 2 4x x ត (term) គជាដផនកេយននកមនោេពជគណតដែលភជជ បជាេយតមផសងមទៀតមោយ

ញញា + ឬញញា ។ ជាឧទេ ណ កនងកមនោេ 3 2x y z តមានែចជា 3 ,2x y នង z ។ មបើោម ន ម ញញា មៅកនងត វាគជានចចកាលសាា លថាជាញញា +។

មេគណជាមលខ(numerical coefficient) គជាកតារ (factor) ដែលមៅលននតេយ កតវគណ។ ឧទេ ណ ត5xyមានមេគណ5 មេើយត 15z មានមេគណ 15 ។

ែមកកននកមនោេ (Degree of an expression)គជាវយគណខពបផតននអមេ ដែល មានមៅកនងកមនោេ។ ឧទេ ណ កមនោេ 3 7x គជា កមនោេលមនដអែ ឬកមនោេែកកទ១ (linear or first-degree)

25 4 5x x ជាកមនោេែមកកទ២ (quadratic or second-degree) មេើយ 3 221 4 2 8y y y ជាកមនោេែមកកទ៣ (cubic or third-degree)។ េកា លមនដអែ (linear

equation) គជាកមនោេេយដែលតនេៃខព បផតននវយគណគ 1។ កនងកមនោេេយ តដែលខោន ដតមេគណជាតែចោន (like terms)។ ឧទេ ណ កនង

កមនោេ 215 3 21 4 6x y x xy y x ត 15x នង 4x ជាតែចោន ។ ែចោន ដែ ត 3y នង y ជាតែចោន ។

េកា (equation) គជាមណើ េយដែលកមនោេព មមើោន ។ កមនោេទងព កតវបាន បងាា ញថា មមើោន មោយមកបើញញា មមើ /equal sign។ ឧទេ ណ 3.2 នមតថាកមនោេ 3 6x នង5 2x មមើោន ។ េកា លទធផលគៈ

3 6 5 2x x ែមណើ កា ននកា ដវង កតនេៃននអមេ ដែលនងមធវើឱយេកា ជាមណើ េយពតមៅថា កា មោោះសរសាយេកា (solving equation)។ តនេៃននអមេ ដែលមផាៀងផលា តេកា មៅថា



ចមេៃើយ (solution) ននេកា ។ កនងក ណមនោះ តនេៃ 4x គជាចមេៃើយននេកា កនងឧទេ - ណ 3.2 4x គមផាៀងផលា តេកា ។ កបពនធ េកា (Simultaneous equations) គជាេកា មកចើនដែលកតវដតមោោះសរសាយ ែណាលោន (មាននយថា កនងមពលដតេយ) មែើេបដវង កតនេៃននអមេ ដែលជាែមណាោះ សរសាយននេកា ទងព ។ ឧទេ ណេយននកបពនធេកា ដែលមានអមេ x នង y គៈ

4 3 11

5 2 8

x y

x y

បេនរ (Formula) គជាកបន ឬវធានដែលកតវបងាា ញកនងទកេងនេតរ ញញា ពជគណត។ ឧទេ ណេយដែលជា បេនរមែើេបដវង កកកឡានផាចតមកាណដកងដេដងជាៈ A L B ដែល A កកឡានផាចតមកាណដកង (area of rectangle) L បមណាដ យចតមកាណដកង (length of rectangle) B ទទងចតមកាណដកង (breadth of rectangle) មែើេបដវង កកកឡានផា A តនេៃនន L នងB កតវបានជនមៅកនង បេនរ។ កនងមពលខៃោះ មយើងកបដេលជាចងមកបើ បេនរែចោន មែើេបដវង កប មាណមផសងៗោន ។ ឧទេ ណ មយើងកបដេលជាចងដវង កបមណាដ យចតមកាណដកងមបើមយើងសាា លកកឡានផា នងទទង។ កនងក ណមនោះ មយើងអាច ម បេនរម ើងវញមោយមធវើយាាងណាឱយ Lជាអវ ដែលចង កមោយដចកអងាទងព ននេកា នង B។ ែចមនោះ មយើងបានៈ

AL

B

បេនរអាចកតវបាន ម មោយមកបើបមចចកមទដែលពណនាមពលមកកាយកនង មេម ៀនមនោះ។

3.2កមនោមពជគណត (Algebraic expressions)

មែើេបដវង កចមេៃើយននេកា វាមានសា ៈខានកនងកា យលអពវធានជាេលោា ន េយចននដែលអនវតរមៅមលើកមនោេពជគណត។



វធាន មបើកមនោេេយមានតែចោន តទងមនោះអាចបកងេបញច លោន ជាតដតេយ។ តែចោន គ ជាតទងឡាយណាដែលខោន ដតមេគណ (ជាមលខ) បវា។ ចននមេ កអាចកតវបាន បញច លមៅជាចននមេ ដតេយបានដែ ។

ឧទេ ណ 3.3 កមនោេ 5 2 4 7 3 7 6 4x y z x y z មានតែចោន ៈ 5x នង 3x ជាតែចោន 2y នង7yជាតែចោន 4z នង 6z ជាតែចោន 7 នង 4 ជាចននមេ 5x នង 3x អាចរញច លគនា បែើមបកាែ យជារផរមយៈ

5 3 2x x x

2y នង7y អាចរញច លគនា បែើមបកាែ យជារផរមយៈ

2 7 5y y y

4z នង 6z អាចរញច លគនា បែើមបកាែ យជារផរមយៈ

4 6 2z z z

7 នង 4 អាចរញច លគនា បែើមបកាែ យជាចននបថរមយៈ

7 4 11

ែចបនេះ កបនោមអាចសតមលជា 2 5 2 11x y z ។

វធាន មៅមពលដែលកមនោេេយថតមៅកនងវងកកចក (Parentheses /brackets) តនេយៗ ដែលមៅកនងវងកកចកកតវបានគណនងមេគណដែល ម មៅខាងមកៅវងកកចក។

ឧទេ ណ 3.4 ពនតយកមនោេៈ

2 3 4 1x y មែើេបលបវងកកចកមចាល មយើងកតវដតគណតនេយៗមៅកនងវងកកចកនងមេគណ2។ ែចមនោះ កមនោេអាច ម ជាៈ



2 3 2 4 2 1 6 8 2x y x y

វធាន មែើេបគណកមនោេេយនងកមនោេេយមផសងមទៀត មយើងគណតនេយៗននកមនោេ េយនងតនេយៗននកមនោេេយមទៀត។ កមនោេលទធផល (ដែលគ ដតកេលមោយផដត ណាដែលែចោន ) គជាផលគណ (product) ននកមនោេព ។

ឧទេ ណ 3.5 ពនតយកមនោេៈ

5 2 4x x y មែើេបលបវងកកចកមចាល មយើងកតវដតគណតនេយៗកនងវងកកចកនងមេគណ 5x។ ែចមនោះ កមនោេអាច ម ជាៈ 25 2 5 5 4 10 5 20x x x y x x xy x ។ ឧទ េណ 3.6 កផលគណននព កមនោេ 3 2x នង 2 1x ។


មយើងកពងពាយាេដវង កតនេៃនន 3 2 2 1x x ។ មគអាច ម ជាៈ

3 2 2 1 3 2 1 2 2 1x x x x x 3 2 3 1 2 2 2 1x x x x

26 3 4 2x x x 26 2x x

3.3 កា ម ោះសរាយសមកា លមនអ ែ (Solving Linear Equations)

មែើេប កតនេៃននអមេ ដែលមផាៀងផលា តេកា លមនដអែ េយ មយើងមធវើតាេជហានែច ខាងមកកាេៈ

1. ទកតដែលែចោន មៅអងាដតេយននេកា 2. កបមាណវធនពវនរដែលអនកមធវើមៅមលើអងាេយននេកា អនកកកតវដតមធវើវាមៅមលើអងាេយមទៀតដែ ។



មៅមពលដែលតកតវបានផលៃ បដ ពអងាេយននេកា មគនយាយថា វាកតវបានផលៃ បដ កដនៃង (transposed or transferred)។ ែមណើ កា មនោះមៅថា កា ផលៃ បដ កដនៃង (transposition)។

ជាពម មៅមពលមោោះសរសាយេកា ដែលមានដតេយអមេ មធវើតាេជហានៈ 1. ទកតដែលមានអមេ ទងអមៅអងាខាងមវវង (left-hand side) ននេកា មេើយទកចននមេ មៅអងាខាងសាដ (right-hand side) ននេកា ។

2. ផដតអមេ ដែលែចោន នងផដចននមេ ។ 3. ដចកអងាទងព ននេកា នងមេគណននអមេ ។ អងាខាងមវវង (left-hand side)ននេកា ឥ វមនោះមានដតអមេ ។ អងាខាងសាដ ននេ-

កា គជាចមេៃើយ។ ឧទេ ណ 3.7 មោោះសរសាយេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ :x

9 27 4 3x x ដម ោះសរាយ

មយើងកតវបានមគ ឱយ កតនេៃនន x ដែលមធវើឱយេកា ជាមណើ ពត។ នមតថា មយើងមធវើតាេជហានខាងមលើ។ ជាបឋេ ផលៃ បដ កដនៃងននត4x មៅអងាខាងមវវងននេកា ។ កនងកា អនវតរន មយើងែក 4x ពអងាទងព ៈ

9 27 4 4 3 4x x x x បនាា បពកបេលផដតដែលែចោន ដែលមាន x េកា កាៃ យជាៈ

5 27 3x កនងក ណមនោះ តដែលមាន x េនមលចម ើងមៅអងាខាងសាដ មទដែលឥ វមនោះមានដត ចននមេ 3។ មទោះជាយាាងមនោះកដ លទធផលននកា មធវើ មបៀបមនោះគកេលមែើេបផលៃ បដ កដនៃង 4x ពអងាខាងសាដ មៅអងាខាងមវវងដែលវាកាៃ យជាត 4x មាននយថា តែចោន បាដនរ ញញា ផលៃ បដ ។ ខាងមកកាេមនោះបងាា ញពវធានដែលទកទងនងកា ផលៃ បដ កដនៃងននតពអងាេយនន េកា មៅអងាេយមទៀត។



វធាន តអាចកតវបានផលៃ បដ កដនៃងពអងាេយននេកា មៅអងាេយមទៀត។ មទោះជាយាាង ណាកដ មៅមពលដែលកា ផលៃ បដ កដនៃងញញា ននតកតវដតផលៃ បដ ផាយពញញា មែើេ។ មាន នយថា តដែលមានញញា « » កាៃ យជាតដែលមានញញា «» មេើយតដែលមានញញា «» កាៃ យជាតដែលមានញញា « »។

វធានមនោះ ឥ វអាចកតវបានអនវតរចមពាោះតចននមេ មៅកនងេកា ។ មាននយថា មយើងអាចផលៃ បដ កដនៃងត 27 ពអងាខាងមវវងមៅអងាខាងសាដ ដែលវាកាៃ យជា 27 :

5 3 27x 5 30x ឥ វ ដចកអងាទងព នងមេគណនន x (មាននយថា 5 )។ មយើងបានៈ

5 30

5 5

x

6x ែចមនោះ ចមេៃើយននេកា គ 6x ។ (ពនតយចមេៃើយមនោះមោយជនតនេៃ 6x មៅកនងេកា មេើយមផាៀងផលា តថា វាពត។

មយើងបានៈ

9 6 27 4 6 3

54 27 24 3 27 27

ែចមនោះ ចមេៃើយ បមយើងគកតេកតវ។) ឧទេ ណ 3.8 មោោះសរសាយេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ :y

12 4 6 37y y ដម ោះសរាយ

ផលៃ បដ កដនៃងត 6y មៅអងាខាងមវវង ដែលវាកាៃ យជា 6 :y

12 4 6 37y y



ផលៃ បដ កដនៃងតចននមេ 12 មៅអងាខាងសាដ ដែលវាកាៃ យជា 12 :

4 6 37 12y y កបេលផដតដែលែចោន ៈ

10 25y ដចកអងាទងព នង 10 :

10 25

10 10

y

2.5y ែចមនោះ ចមេៃើយននេកា គ 2.5y ។ (មែើេបមផាៀងផលា តចមេៃើយ បមយើង ជន 2.5y មៅកនងេកា ។ មយើងបានៈ

12 4 2.5 6 2.5 37

12 10 15 37 22 22 ែចមនោះ ចមេៃើយ បមយើងគកតេកតវ។) ឧទេ ណ 3.9 មោោះសរសាយេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ :x

5 3 4 2 6 2x x ដម ោះសរាយ

ជាែបង លបញញា វងកកចកពអងាទងព ននេកា ៈ

15 20 12 4x x ផលៃ បដ កដនៃងត 4x មៅអងាខាងមវវងៈ

15 4 20 12x x ផលៃ បដ កដនៃងតចននមេ 20 មៅអងាខាងសាដ ៈ

15 4 12 20x x កបេលផដតដែលែចោន ៈ



19 32x ដចកអងាទងព នង 19 :

32

19x

ែចមនោះ ចមេៃើយននេកា គ 32

19x ។

(កនងកា មផាៀងផលា ត ជន 32

19x មៅកនងេកា ។ មយើងបានៈ

96 645 4 2 6

19 19

20 505 2

19 19

100 100

19 19

ែចមនោះ ចមេៃើយ បមយើងគកតេកតវ។) ឧទេ ណ 3.10 មោោះសរសាយេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ :z

3

3 2 5 364

zz


ជាែបង លបញញា វងកកចកពអងាខាងមវវងមែើេបបានៈ

36 15 36

4

zz

ផលៃ បដ កដនៃងត 3

4

z មៅអងាខាងមវវងៈ 3

6 15 364

zz

ផលៃ បដ កដនៃងតចននមេ 15 មៅអងាខាងសាដ ៈ

36 36 15

4

zz

កបេលផដតដែលែចោន ៈ

2121

4

z

គណអងាទងព នង 4:

21



4 21 421

21 4 21

z

4z ែចមនោះ ចមេៃើយននេកា គ 4z ។ (កនងកា មផាៀងផលា ត ជន 4z មៅកនងេកា ។ មយើងបានៈ

3 4

3 8 5 364

3 13 3 36

39 39 ែចមនោះ ចមេៃើយ បមយើងគកតេកតវ។) 3.4 កា ម ោះសរាយសរបពនធសសមកា លមនអ ែ (Solving simultaneous linear equations)

បញញា កនងដផនក 3.3 ទកទងមៅមលើកា ដវង កចមេៃើយចមពាោះេកា មទលដែលមាន ដតេយអមេ ។ កនងដផនកមនោះមយើងពចា ណាមៅមលើសាថ នភជពដែលមយើងកតវដវង កតនេៃអមេ ព ។ មែើេបមោោះសរសាយបានមយើងកតវដតមានេកា ព ទកទងនងអមេ ។កនងក ណមនោះវាជា ធេមតានងមានគតនេៃននអមេ ដតេយគតដែលនងមផាៀងផលា តេកា ទងព ។ េកា ែច មនោះគមៅមៅមលើកបពនធេកា (simultaneous equations)។ នមតថាមយើងមានេកា ដែលមានអមេ ព ។ ជហានកនងកា មោោះសរសាយមានែច ខាងមកកាេៈ

1. មធវើឱយមេគណននអមេ ណាេយកនងេកា េយមមើនងមេគណននអមេ មៅកនង េកា េយមទៀត។ (វាេនបញញា មទដែលអមេ ណាេយកតវបានមកបើចមពាោះ មោល បណងមនោះ។) វាអាចទទលបានមោយគណអងាទងព ននេកា េយ (ឬអាច េកា ទងព ) នងចននមេ េយ។ (មបើេកា ទងព ទកទងោន ចននមេ មផសង េយមទៀតនងកតវបានមកបើចមពាោះេកា នេយៗ)

2. បបាតអមេ ដែលឥ វមនោះមានមេគណែចោន កនងេកា ទងព ។ ថា មតើអនកមធវើវា មោយ មបៀបណាអាសរយញញា , ពេខមេគណៈ

a. មបើញញា ែចោន ែកេកា េយពេកា េយមទៀត។



b. មបើញញា ខោន បកេកា ។ ម េកា មៅមកកាេេកា េយមទៀតចមពាោះជហានមនោះកតវចាថាតដែលែ

ចោន កតវមៅពមកកាេកតងជ ោន ។ 3. បនាា បពវធែក ឬបកកតវបានមធវើ អនកមៅលេកា េយដែលមានដតេយអមេ គជាអមេ ដែលេនកតវបានបបាតកនងជហានទ២។ មោោះសរសាយេកា មនោះមោយមកបើ បមចចកមទកនងដផនក 3.3។

4. កតនេៃននអមេ ដែលបានបបាតមោយជនតនេៃននអមេ ដែលបាន កម ើញកនងជហានទ៣ មៅកនងេកា មែើេណាេយ។ អនកនងមានេកា េយដែលមានដតេយអមេ ដែលបានបបាតដែលអនកអាចមោោះសរសាយមោយមកបើបមចចកមទកនងដផនក 3.3។

5. មផាៀងផលា តចមេៃើយ បអនកមោយជនតនេៃននអមេ ទងព មៅកនងេកា នេយៗនន េកា មែើេ មេើយពនតយថាវាពត។

ឧទេ ណ 3.11 មោោះសរសាយកបពនធេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ x នង :y

3 4 33 1

2 3 5 2

x y

x y


នមតថាែបងមយើងបបាតអមេ x ពេកា ទងព ។ ឥ វមនោះ xមានមេគណ3 មៅ កនងេកា ទ 1 នង 2 មៅកនងេកា ទ 2 ។ មយើងកតវមធវើឱយមេគណមនោះែចោន កនងេកា ទងព (ជហានទ១): មយើងអាចមធវើវាមោយគណអងាទងព ននេកា 1 នង2 នងអងាទងព ននេកា 2 នង3។មនោះនងមធវើឱយមេគណនន x មមើនង6 មៅកនងេកា ទងព ។ ែចមនោះ

6 8 66 3

6 9 15 4

x y

x y

គ កតមាា លថាេកា 3 នង 4 គពតជាែចោន នងេកា 1 នង 2 ម ៀងោន ។



ឥ វមនោះមោយសា ញញា ែចោន ែកេកា េយពេកា េយមទៀត (ជហានទ២)។ នមតថាមយើងែកេកា 4 ពេកា 3 :

6 8 66

6 9 15

8 9 51

x y

x y

y y

មយើងមៅលេកា េយដែលមានអញញា តដតេយ y ដែលមយើងមោោះសរសាយ (ជហានទ៣):

8 9 51y y

17 51y 17 51

17 17

y

3y ឥ វមយើងបានចមេៃើយចមពាោះ y ។មែើេបបានចមេៃើយ x (ជហានទ៤) មយើងជនតនេៃ

3y មៅកនងេកា 1 ។មយើងបានៈ

3 4 3 33x

3 12 33x 3 33 12x 3 21x 3 21

3 3

x

7x ែចមនោះចមេៃើយននកបពនធ េកា គ 7x នង 3y ។ ជហានទ៥ទកទងមៅនងកា មផាៀងផលា តចមេៃើយ។ជនតនេៃទងមនោះកនងេកា 1

នង 2 មយើងបានៈ

3 7 4 3 33 2 7 3 3 5

មយើងអាចមផាៀងផលា តថាវាពតទងព ែចមនោះចមេៃើយ បមយើងកតេកតវ។



ឧទេ ណ3.12 មោោះសរសាយកបពនធេកា កនងឧទ េណ3.11មោយែបងបបាតអមេ y ។


កនងក ណមនោះមយើងកតមាា លថាញញា ននមេគណ បអមេ ដែលកតវបបាតគខោន មៅកនងេកា នេយៗមាននយថា 4 កនងេកា 1 នង 3 កនងេកា 2 ។ មបើមយើង េនគតពញញា មយើងអាចមធវើឱយមេគណនន y ែចោន មោយគណអងាទងព ននេកា 1 នង3

នងអងាទងព ននេកា 2 នង 4។មយើងបានៈ

9 12 99 5

8 12 20 6

x y

x y

មយើងអាចបបាតអមេ y មោយបកេកា 5 នង 6 : 9 12 99

8 12 20

17 119

x y

x y

x

ពមនោះមយើងបានៈ 17 119

17 7

x

7x ឥ វជន 7x មៅកនងេកា 1 :

3 7 4 33y

21 4 33y 4 33 21y 4 12y

4 12

4 4

y

3y ែចមនោះចមេៃើយដែលបានគ 7x នង 3y ។ែច ពងទកគែចនងឧទេ ណ 3.11។ 3.4 នវតតន (Applications)

មានបញញា ជាមកចើនដែលតនេៃននប មាណេនសាា លេយចននកតវដវង ក។ កនងក ណ ជាមកចើន មយើងអាចតាងប មាណដែលេនសាា លមោយម ម ោះអមេ េយចនននងបមងកើតជា



េកា ដែលទកទងនងអមេ ។ បនាា បេកមយើងអាចមោោះសរសាយេកា មោយមកបើបមចចក- មទកនងដផនក 3.3។ កាលណាមានប មាណេនសាា លព មយើងកណតអមេ ព បមងកើតជាកបពនធ េកា មេើយដវង កតនេៃែចកនងដផនក 3.4។ មោយសា មានកបមេទជាមកចើនននបញញា ដផនកមនោះអាចផដលកតេដតគកេននកបមេទេយ ចនន នងបងាា ញពលកខណៈដែលកតវបានមោោះសរសាយ។ ឧទេ ណ3.13 អតេជនមាន កបានមចញ េយនរ បោតមែើេបពនតយមេើយបានទទលវកកយបកត េ (កមាបមកគឿងបនាៃ នងកមាៃ ងពលកេម) មានតនេៃ$228។មបើនេៃពលកេមមមើនង 2 ែងនននេៃ មកគឿងបនាៃ កនេៃមកគឿងបនាៃ នងនេៃពលកេម។


តាង នេៃមកគឿងបនាៃ (ជា $) x ។មនាោះ នេៃពលកេម(ជា $) 2x ។មោយៈ នេៃមកគឿងបនាៃ +នេៃកេមក $228

មនាោះ 2 228x x

3 228x 3 228

3 3

x

76x ែចមនោះនេៃមកគឿងបនាៃ $ $76x មេើយនេៃពលកេម $2 $2 76 $152x ។ ឧទេ ណ3.14

កគសា េយមានេនសមពញវយ2នាកនងមកមងជាមកចើននាកបានមៅមេើលភជពយនរ។េនសមពញវយមាន កៗកតវបងកបាក$9 នងមកមងមាន កៗកតវបងកបាក$3.50។ មបើវកកយបកតបង កបាក បគ $39 មតើមានមកមងមានចននបានាម ននាកដែលបានមៅមេើលភជពយនរ?


តាង ចននមកមង x មនាោះ៖ តនេៃ បកមាបេនសមពញវយ 2 នាកដែលបង $9 កនងមាន ក 2 $9 $18



តនេៃ បកមាបេនសមកមង xនាកដែលបង $3.50 កនងមាន ក $3.5x វកកយបកត ប $39

តនេៃកមាបេនសមពញវយ+តនេៃកមាបមកមង $39

18 3.5 39x 3.5 39 18x 3.5 21x 3.5 21

3.5 3.5

x

6x ែចមនោះមកមង 6 នាកបានមៅមេើលភជពយនរ។ ឧទេ ណ 3.15

បណាា ោ េយកដនៃងបានទញមៀវមៅេតចេៃងចនន200កាល។ មៀវមៅទងមនោះ មានព កបមេទគ កបមេទកកបទន នងកបមេទកកប ង។ មៀវមៅកកបទនេយកាលលកនេៃ$47.50 មេើយមៀវមៅកកប ងេយកាលលកនេៃ $65.00។ មៅមពលដែលមគលកមៀវមៅ អតនេៃ បដែលមាច ហាងទទលបានគ$10 725។ កចននមៀវមៅកបមេទនេយៗ។


តាង ចននមៀវមៅកកប ងដែលបានលក x មោយចននមៀវមៅដែលបានលក បគ 200 កាលៈ ចននមៀវមៅកកបទនដែលបានលក 200 x

តនេៃដែលបានទទលពមៀវមៅកកប ង $65x តនេៃដែលបានទទលពមៀវមៅកកបទន $47.5 200 x តនេៃដែលទទលបាន ប $10725 ែចមនោះ

65 47.5 200 10725x x 65 47.5 200 47.5 10725x x



65 9500 47.5 10725x x 65 47.5 10725 9500x x

17.5 1225x 17.5 1225

17.5 17.5

x

70x ែចមនោះចននមៀវមៅកកប ងដែលបានលក 70

កាលមេើយចននមៀវមៅកកបទនដែលបានលក 200 70 130 កាល។ ឧទេ ណ3.16

ោរាមានមានអាយ 3 ឆន មលើោ ។ 3 ែងននអាយ បោរាមមើនង 15 ឆន មកចើនជាង 2 ែងននអាយោ ។ មតើោរា នងោ មានអាយបានាម ន?


តាង អាយ បោ x ។មនាោះ៖ អាយ បោរា 3x 3 ែងននអាយ បោរា 3 3x 2 ែងននអាយ បោ 2x ែចមនោះ

3 3 2 15x x 3 3 2 15x x

3 9 2 15x x 3 2 15 9x x 6x

ែចមនោះោ មានអាយ 6ឆន មេើយោរាមានអាយ6 3 9 ឆន ។ ឧទេ ណ3.17



ភជ នងផលកតវបានមគជលឱយលាបថាន បនាបេយ។ ភជបាា នសាម នថាោតអាច លាបមេើយកនង យៈមពល 3 មមាាងមបើោតមធវើដតមាន កឯងមេើយផលបាា នសាម នថា ោតអាច លាបមេើយកនង យៈមពលដត 2 មមាាងមបើោតមធវើដតមាន កឯង។ មបើផលនងភជលាបបនាប េ ោន មតើមគកតវមកបើមពលបានាម ន?


តាង x យៈមពល (ជាមមាាង) ដែលពកមគកតវលាបបនាប េោន ។មនាោះកនង 1 មមាាង

កបភជគននបនាបដែលបានលាប 1

x ។

កនង 1 មមាាងភជអាចលាបបាន 1

3ននបនាបមេើយផលអាចលាបបាន 1

2ននបនាប។

ែចមនោះ

1 1 1

2 3 x

5 1

6 x

គណអងាទងព ននេកា នង x មយើងបានៈ

5 1

6x x

x

51

6

x

គណអងាទងព ននេកា នង 6

5មយើងបានៈ

5 6 61

6 5 5

x

6

5x

ែចមនោះ មបើផលនងភជលាបបនាប េោន មគកតវកា 6 1.25 មមាាងឬ1មមាាង12នាទ។

ឧទេ ណ3.18 មោេមហាោះេយកតវបានបមបាាងមោយប មាណននខយល បវាមពញអតប មាមេើយពយ មៅមលើពតានននបនាបជបមលៀងេយ។ មៅមពលពធជបមលៀងកនៃងេមៅខយលកតវបាន ភជយមចញពមោេមហាោះកនងអកតា100ccកនងេយវនាទ។ បនាា បព12 វនាទមោេមហាោះមនាោះកតវ



បានបកងេប មាណខយលេកកតេដត 2

3ននប មាណអតប មា។ មតើនងមានខយលមៅកនងមោេ

មហាោះបានាម ន មៅខណៈដែលវាមានប មាណមមើ 50% ននប មាណអតប មា? ដម ោះសរាយ

តាង x ប មាណអតប មាននខយលមៅកនងមោេមហាោះ (គតជា cc) កនង 12 វនាទ ប មាណននខយលភជយមចញពមោេ 12 100 1200cc ។

ែចមនោះ 2 12003

x

1800x ែចមនោះ ប មាណអតប មាននខយលកនងមោេមហាោះគ 1800 cc។ មនាោះ មៅខណៈដែលវា មានប មាណ50% ននប មាណអតប មា វានងមាន0.5 1800 900cc cc ។ ឧទេ ណ 3.19 អតេជនមាន កបានទញដផៃមបាា េ5 ដផៃនងដផៃព 6 ដផៃមៅឯកដនៃងលកដផៃម ើេយកដនៃង មេើយកតវបានមគលកកនងតនេៃ$3.10។ អតេជនមាន កមទៀតបានទញដផៃមបាាេ 2 ដផៃ នងដផៃព 5ដផៃមេើយកតវបានមគលកកនងតនេៃ$2.15។ កតនេៃដផៃមបាាេេយដផៃ នងដផៃព េយដផៃ។


កនងក ណមនោះ មយើងមានប មាណេនសាា លព (មាននយថា តនេៃននដផៃមបាាេ នងដផៃព ) ែចមនោះ វាកតវកា អមេ ព ។ តាង A តនេៃ (គតជា$ ) ននដផៃមបាាេ 1 P តនេៃ (គតជា$ ) ននដផៃព 1 មនាោះ៖

5 6 3.10 1

2 5 2.15 2

A P

A P

ឥ វមយើងបានកបពនធេកា ដែលមានអមេ A នង P។ នមតថា មយើងបបាត A ព េកា ។ មែើេបមធវើែចមនោះ ែបងមយើងគណេកា 1 នង 2 នងេកា 2 នង5 :

10 12 6.20 3

10 25 10.75 4

A P

A P



បនាា បេក មបើមយើងែកេកា 4 ពេកា 3 មយើងបានៈ

10 12 6.20

10 25 10.75

13 4.55

A P

A P

P

ែចមនោះ 13 4.55

13 13

P

0.35P ជន 0.35P កនងេកា 1 :

5 6 0.35 3.10A

5 2.10 3.10A 5 3.10 2.10A 5 1.00A 5 1.00

5 5

A

0.20A ែចមនោះ ចមេៃើយននេកា គ 0.20A នង 0.35P ។ មនាោះដផៃមបាាេនេយៗនេៃ 20cents នងដផៃព នេយៗនេៃ 35cents។ (តនេៃទងមនោះគ ដតមផាៀងផលា តមោយជនវាកនងេកា ទងព 1 នង 2 ។)

4Y4



1. កេលកមនោេខាងមកកាេៈ

3 2 7 2 4 3 2x y z x y x z z x ។ 2. ដផៃមបាាេ5 ដផៃកកច 3 នងដផៃព 6 នេៃ ប $4.55។ មបើនផៃមបាាេេយនេៃ 40 cents មេើយដផៃព េយនេៃ 25 cents មតើដផៃកកចេយនេៃបានាម ន?

3. ប មាកតននចមាក រាងចតមកាណដកងេយគ 110m។ បែងននបមណាដ យមមើនងកបាបែង ននទទង។ កនផាកកឡាននចមាក មនាោះ។

4. មមម នែប នងបនាា តព នេៃ ប $6.15។ បនាា តេយនេៃជាងមមម នែេយ 45 cents។ កចណាយ បននមមម នែព នងបនាា តកបា។

5. មោោះសរសាយ ក x នង y : 3 2 87

2 5 135

x y

x y

6. មបើោ ខព ជាងមនោះ15cmនាងនងខពជាង តនា 5cm។ មបើ តនាទបជាងមនោះ 30% នាងនងទបជាងោ 29cm។ កផលបកននកេព បោ នង តនា។

7. នេៃបញច លោន ននកាមេវ1 ដកវ នងបដងែេ1 ចានមៅមភជជនយោា នេយគ $7.50។ មបើ បដងែេ1 ចាននេៃជាងកាមេវ 1 ដកវ $3.50 មតើកាមេវ 2 ដកវ នងបដងែេ 3ចាននេៃបានាម ន?

8. Jack អាចលាបថាន បនាបតច 2 នង យាេយកនង 50 មមាាង។ មបើបនាបតចេយចណាយ មពលព ែងននកា លាបយាេយ មតើោតកតវចណាយមពលបានាម នមែើេបលាបបនាបតច េយ នងយា 3?

9. មោោះសរសាយេកា ខាងមកកាេចមពាោះអមេ x :

3 2 16 9x x 10. អតេជនមាន កទញមមច 4 នងគនៃោះបងែច 3 ពហាងលកមាា ៈេយកដនៃងដែលមានតនេៃ ប 82 cents។ គនៃោះបងែចេយនេៃជាងមមច េយ 4 cents។ មតើគនៃោះបងែច 10 នងមមច 8 នេៃបានាម ន?



1. កមនោេ 2 1 3 1 2 2x x x x អាចកេលជាៈ

a. 6 b. 6x c. 6 6x d. 4x e. ោម នចមេៃើយ។ 2. ចមេៃើយ x ននេកា 3 2 5 2 2 5 14x x x គៈ

a. 5 b. 2.5 c. 2.5 d. 2 e. ោម នចមេៃើយ។ 3. តនេៃននក តាងដេា 2 នងដកកេ 4 គ 22 cents។ តនេៃននក តាងដេា 3 នងដកកេ 5 គ 30

cents។ ែមចនោះ តនេៃននក តាងដេា 7 នងដកកេ 2 គៈ a. 52cents b. 58cents c. 48cents d. 41cents e. ោម នចមេៃើយ។

4. េនសមពញវយបនាក នងមកមង 2 នាកបានមៅទសនាកា កបកតកឡាបាលទត។ េនសមពញវយមាន កកតវបង$9.50មេើយវកកយបកត បកតវជា $36.50។ តនេៃចណាយកមាបមកមងមាន កៗគៈ a. $3.50 b. $4.50 c. $5.50 d. $4.00 e. ោម នចមេៃើយ។

5. កកេេែន A បានមធវើអាជវកេម 10 ឆន មកចើនជាងគកបកត បវាគកកេេែន B។ ព ឆន កនៃងមៅកកេេែន B បានមធវើអាជវកេម យៈមពលកតេដតពាកកណាដ លកកេេែន A។ កនង យៈមពល 3ឆន ចននឆន ដែលកកេេែន B នងបានមធវើអាជវកេមគៈ a. 25 b. 22 c. 12 d. 15 e. ោម នចមេៃើយ។

6. ចតមកាណដកងេយមានប មាកត 22km។ 15 ែងននបមណាដ យមមើនង 40ែងននទទង។ នផាកកឡាគៈ a. 225km b. 220km c. 224km d. 228km e. ោម នចមេៃើយ។

7. ឧបមាថា x នង y មផាៀងផលា តកបពនធេកា ខាងមកកាេៈ 2 3 20

5

x y

x y

មនាោះ តនេៃនន x y គៈ

a. 9 b. 10 c. 12 d. 15 e. ោម នចមេៃើយ។



8. ហាងេយលកេធនេៃ$25 មេើយេតចនេៃ $15។ តនេៃននកា លក ប បេគ$490

មៅចងបាដ េេយមៅមពលដែលអតេជនបានទញេតចមានចននបែងននចននេ ធ។ ចននេ បដែលបានលកមៅចងបាដ េគៈ a. 20 b. 23 c. 25 d. 27 e. ោម នចមេៃើយ។

9. មោេមហាោះេយបមបាាងខយលកនងអកតាមេ 250ccកនងេយវនាទ មេើយមពញបនាា បព យៈមពល 12 វនាទ។ មាឌននមោេមៅមពលមបាាងបាន60% គៈ a. 1600cc b. 1800cc c. 2000cc d. 2200cc e. ោម នចមេៃើយ។

10. ភជគេែនេយលកមៅនេៃចនាកនងតនេៃ$20។ មៅនេៃមនាោះ ធារាាលកភជគេែនចនន35

មេើយកបាកចណលោតចណាយមែើេបទញបែមយ ដែលមានតនេៃ$2.50កនងេយ កបាង។ ចននបែមយ គតជាកបាងដែលធារាាបានទញគ៖ a. 200 b. 250 c. 380 d. 300 e. ោម នចមេៃើយ។

4



លហាត

1. កេលៈ a. 9 5 8 6x x x x b. 12 5 7 2 3 3x y x y x y c. 13 3 23 5 4x x

2. កេលៈ a. 2 1 3 4x x b. 5 4 2 3x x c. 2 3 7 3 2 4 2 1x x x x x

3. មោោះសរសាយចមពាោះអមេ :x a. 3 2 8 2x x b. 4 1 6x c. 3 5 2 6 2 81x x x x

4. មោោះសរសាយចមពាោះអមេ :y a. 22 2 2y y y y b. 2 3 6 3 1y y c. 4 7 2 7 3 10 2y y

5. មោោះសរសាយចមពាោះអមេ :z

a. 7 152

3 2

zz

b. 35 2

4

zz

c. 4 2 5 33 6

z z

6. មោោះសរសាយ ក x នង :y 5 2 1

3 2 7

x y

x y


4 3 11

x y

x y




8 3 253

x y

x y

9. អតេជនមាន កបានទញកកោ ម 3 ែពហាងេយ។ ោតទទលបានកបាកអាប$7.90ពកកោកបាក$10។ មតើកកោ ម េយែនេៃបានាម ន?

10. មៀវមៅ3កាល នងបែច4 មែើេនេៃ ប$11.70។ មបើបែចេយមែើេនេៃ$1.20 មតើមៀវ មៅេយកាលនេៃបានាម ន?

11. នបង5 នងនបាា វ6 នេៃ ប$9.80។ មបើនបាា វេយនេៃជាងនបងេយ50% កនេៃ បនបងេយ នងនបាា វេយ។

12. េនសមពញវយ 2នាក នងមកមង3នាកទសនាឧទានេយ។ ចណាយ បមែើេបចល ទសនាគ$24.50។ េនសមពញវយមាន កចណាយ$5 មកចើនជាងមកមងមាន ក។ កនេៃចល ទសនាកមាបេនសមពញវយមាន ក នងមកមងមាន ក។

13. េកតការ មកមងជាងធា 7ឆន ។ កនង យៈមពល 4ឆន មកកាយ េកតការ នងចាជាងពាកកណាដ ល ននអាយធា 1ឆន ។ មតើឥ វមនោះ មាន កៗមានអាយបានាម នឆន ?

14. ដផៃមបាាេេយដផៃនេៃជាងដផៃកកចេយដផៃ ¢4 (4 cents)។ ដផៃមបាាេ 6 ដផៃ នងដផៃកកច 4ដផៃនេៃ បគ$1.00។ មតើដផៃមបាាេេយដផៃនេៃបានាម នមេើយដផៃកកចេយដផៃនេៃបានាម ន?($1 ¢100 )

15. ចមាក េយរាងចតមកាណដកងមានប មាកត 70m។ ព ែងននកបដវងបមណាដ យមមើនង 5 ែងននកបដវងទទង។ ច ក៖ a. កបដវងបមណាដ យ នងកបដវងទទងននចកា មនាោះ b. កកឡានផាននចកា មនាោះ។

16. ជា នងេករាមធវើកា ងា ោចមោយដ កពោន មលើបនាា តផលតកេមដែលពកមគផា តមេៃើងទ ទសន។ ឥ វមនោះ អនកទងព អាចតមេៃើងបាន ប480 មកគឿងកនងេយ មមាាង។ មបើជាមធវើកា ព ែងននមលបឿនធេមតា បោត មេើយេករាមធវើកា បែងនន មលបឿនធេមតា បោត មនាោះពកោតអាចតមេៃើងបាន ប1260មកគឿងកនងេយមមាាង។ កចននទ ទសនដែលមាន កៗអាចតមេៃើងបានកនងមពលឥ វមនោះកនងេយនាទ។



17. ធងេយនងចបជកេយមានតនេៃ បគ$2.75។កបនមបើធងមនោះតនេៃ$0.35មលើចបជកមតើធង 3 នងចបជក 2 មានតនេៃ បបានាម ន?

18. អងាកា មែើេបភជពញញេននកមា បានទញមៀវមៅ ម ២០០ទព ចនន500កាលនងបែច 1000 មែើេ។ មកកាយេកមទៀតអងាកា មនោះបានទញបដនថេមទៀតនវមៀវមៅ 200 កាលនងបែច1000មែើេ។

a. កតនេៃមៀវមៅកនងេយកាលនងតនេៃបែចកនងេយមែើេ។ b. កតនេៃ បមៀវមៅ 2 កាលនងតនេៃបែច 3 មែើេ។

19. តបលកមៀវមៅេយកដនៃងបានទញមៀវមៅចនន 200កាល។ មគែងថា មៀវមៅ ទងមនាោះមានព កបមេទគ កបមេទកកបទន នងកបមេទកកប ង។ មៀវមៅកកបទនេយ កាលលកកនងតនេៃ 4 700៛ ឯមៀវមៅកកប ងេយកាលលកតនេៃ 6 500៛។ មកកាយមពលលកមៀវមៅអ មាច តបទទលបានកបាកចនន 1 084 000៛។ កចននមៀវ- មៅកបមេទនេយៗ។

20. អតេជនមាន កបានទញដផៃមបាាេ 5 ដផៃ នងដផៃព 6ដផៃមៅកដនៃងលកដផៃម ើេយកដនៃង អកបាក $3.10។ អតេជនមាន កមទៀតបានទញដផៃមបាាេ 2ដផៃ នងដផៃព 5 ដផៃមៅកដនៃង ែចោន មោយចណាយអកបាក $2.15។ កតនេៃ បដផៃមបាាេេយដផៃ នងតនេៃ ប ដផៃព េយដផៃ។

21. ច យានងធា មានកបាកេយចនន។មបើច យាឱយកបាកធា $85 មនាោះអនកទងព មាន កបាកមមើោន ។ មបើធា ឱយកបាកច យា $85 មនាោះច យានងមានកបាកមមើនងព ែងនន កបាកធា ។ មតើមាន កៗមានកបាកបានាម ន?

22. មលាក ទធមានកបាកេយចនន។ោតកតវកា កបាក $44 មទៀតមែើេបទញទកថាន កពនចនន 3 ែបរាបទកមកបើកនងកា យាលយ។ មកកាយពបានទទលកបាក $108 ពកបធាន ប ោត ោតអាចទញបានទកថាន ចនន 5 ែប។ a) មតើទកថាន កពន 1ែបនេៃបានាម ន? b) មតើែបងម ើយមលាក ទធមានកបាកបានាម ន?

6

មេម ៀនទ ៤


4.1 ផលធ ៀប នងសមាមាតរ (Ratios and proportions)

ផលម ៀប(ratio) គជាវ សាសតរននកា មបៀបម ៀបចនន ឬអាព ឬមចើន។ មពលខលះ

មយើងតវម ះសរសាយបញហា ដែលទាកទងមៅនងប មាណដែលទាេទា នវកា មបៀបម ៀប។

ឧបមាថា កនងថាន កម ៀនេយដែលមានស 45 នាក, 15 នាកននសទាងមនាះ ជាសសរ,

30 នាកននសទាងអជាសប មនាះ មយើងអាចមបៀបម ៀបចននននសបជា

េយនងចននននសសរាេវ ព មផសងគនន ។

1. មានសប 15នាកមចើនជាងសសរមៅកនងថាន ក។ កនងក ណមនះ មយើងកពង

មបៀបម ៀបចននននសប នងចននននសសរម យ កផលង។

2. ចននននសបមមើនង 2 ែងននចននសសរមៅកនងថាន ក។ កនងក ណមនះ

មយើងកពងមបៀបម ៀបចននននសប នងចននននសសរម យ កបភាគ

ដែលមានភាគយកជាចននននសប នងភាគដបងជាចននននសសរមាននយ

ថា បភាគគ 30

15។

វរថបណងននធេធ ៀន

កា គណនាផលម ៀប នងមាមាត កា គណនា នងអនវតរផលម ៀបាកចមណញ (Profit ratios) កា គណនា នងកា អនវតរនអាបទធភាព (efficiency ratios) កា គណនា នងកា អនវតរនមាភាគសាចាកទមន

(liquidity ratios)



«ផលម ៀបគ ជាបភាគននប មាណព ដែលមានបមេទែចគនន ។» េាាងមទៀត «ផល ម ៀ គជាកា មបៀបម ៀបប មាណព បមេទែចគនន » ឬ «ផលម ៀប គជាកា ដចកប មាណព a នងb ដែលមានឯកាែចគនន ។»

មគកណត ម a

bឬ :a b (អានថា « a ម ៀប b ») ឬ a b

ផលម ៀបគនម នឯកាមទ។ វាជាប មាណជាមលខដែលបងហា ញពចននែងននប មាណ

េយ ជាងប មាណេយមទៀត។

ឧទាហ ណ 1 ចននសប : ចននសសរមាននយថា 30 : 15 ឬ 2 : 1 បងហា ញថាចនន

ននសបគមមើនងព ែងននចននសសរ។

ឧទាហ ណ 2 ចននសសរ : ចននសប មាននយថា 1 : 2 ឬ 1

2បងហា ញថាស

សរមានពាកកណដា លននសប។

ឧទាហ ណ 3 ច កផលម ៀបនន

(1) 50g នង 200g (2) 700g នង 1kg

ដធ ោះតាយ

1. ផលម ៀបនន 50g នង 200g អាច កានាេព មបៀប។

50 : 200 ឬ 50 : 200

50

200 ឬ

50 200:

50 50 (ដចកនង 50)

1

4 ឬ 1 : 4

=1 : 4

ែចមនះ ផលម ៀបនន 50g នង 200g គ 1 នង 4.

2. 700g នង 1kg មានឯកាមផសងគនន ។ ជាបឋេ មយើងតវម វើឲយវាមានឯកាែចគនន ។ មយើងាន៖

700g : 1kg

=700g : 1000g (មពាះ 1kg=1000g)

=700 : 1000 (ដចកនង 100)

=7 : 10

ែចមនះ ផលម ៀបនន 700g នង 1kg គ 7 នង 10។

ឧទាហ ណ 4 នមតថា មានប បនាកទទលានាកចមណញ បពកមគ 4000, 3000 នង 1000។ ច កផលម ៀប វាងាកចមណញ បពកមគ។




ផលម ៀបននភាគហ ន (ាកចមណញ) គ 4000 : 3000 : 1000 = 4 : 3 : 1 (ដចកនង 1000) ឧទាហ ណ 5 េលផលម ៀប 3.5 : 2.5 ។


មយើងមាន៖ 3.5 : 2.5 35 25

:10 10

= 35 : 25 (គណនង 10) = 7 : 5 (ដចកនង 5)

ឧទាហ ណ 6 ច ាងជាទេង :a b នងបភាគ។ (1) 25, 45 (2) 30នាទ, 1មមាាង


1. 25, 45

:a b

= 25 : 45

=5 : 9 (ដចកនង 5)

នងជាទេងបភាគ មយើងាន 25 5

45 9

a

b

2. 30 នាទ, 1មមាាង

30នាទ : 1មមាាង (ម យ 60នាទ=1មមាាង)

1

2 h : 1h (1នាទ=

1

60មមាាង)

1

2 : 1 (30នាទ 30

60 មមាាង 1

2 h)

= 1 : 2 (គណនង 2)

នងជាទេងបភាគ មយើងាន

1

12

1 2

ha

b h

មាមាត (proportion) ាងឲយកា ដបងដចកម ៀបននប មាណេយមៅនងប មាណ ទាងអ។ ាេនយេនយមនះតនេលននមាមាតតវថតមៅចមនាល ះ 0 នង 1។ «េភាពននព ផលម ៀបមៅថា មាមាត»



ចមពាះចនន , , , a b c d មៅថា មាមាតមៅមពលដែលផលម ៀបគទេយ a នង b

មមើនងផលម ៀបននគទព c នងd ។ មាននយថា a c

b d ឬ : : a b c d

ឧទាហ ណ 7 2 6

3 9 ឬ 2 : 3 6 : 9

អនកនពនធេយចននមបើកា កណតមាមាតជា : :: : a b c d បាដនរកា កណតមនះ មគ េនចលចតរមបើមទមៅមពលបចចបបននមនះ។.

ែចមនះ a c

b d ឬ : : a b c d

មបើចននទាងបនជាមាមាត មនាះមយើងអាចទាញានមាមាតេយចននមផសងមទៀតពវា។

ាង a c

b d ជាមាមាត មនាះ

(1) a b c d

b d

(2) a b c d

b d

(3) a b c d

a b c d

(4) a b

c d

(5) b d

a c

កជាមាមាតដែ ។

ែចមនះ a c

b d ឬ : : a b c d មនាះ

ចនន a នង d មៅថាតចង (extremes) ននមាមាត មហើយចនន b នង c មៅថាតេ យេ

(means) ននមាមាត។

ែចមនះ ផលគណននតចង = ផលគណននតេ យេ។

មែើេបម ះសរសាយមាមាត មយើងមបើមគនលកា ណខាងមលើ តមទាលេយកនងមាមាតមៅថា ទហមាមាត (proportional)។

«a » ជាទហមាមាតទ 1

«b » ជាទហមាមាតទ 2

« c » ជាទហមាមាតទ 3

« d » ជាទហមាមាតទ 4

ឧទាហ ណ 8 ច កទហមាមាតទ3 កនង 2 : 3 : 15x ។




ាង 2 : 3 : 15x

មាននយថា 2

3 15

x

3 2 15x (ាេមគនលកា ណននមាមាត)

3 30x

3 30

3 3

x

10x

ឧទាហ ណ 9 ច កតនេលេនសាា លមៅកនង : 8 9 : 12x ។ ដធ ោះតាយ

ាង : 8 9 : 12x 9

8 12

x

12 9 8x (ាេមគនលកា ណននមាមាត) 12 72x 12 72

12 12

x

6x ឧទាហ ណ 10 ច កទហមាមាតទ 1 កនង 18, 8 នង6 ។


ាង x ជាទហមាមាតទ 1 : 18 8 : 6x 8

18 6

x

6 18 8x 18 8

246

x

ឧទាហ ណ 11 ច កទហមាមាតទ 2 កនង4, 20, 30។


ាង x ជាទហមាមាតទ2 4 : 20 : 30x 4 20

30x



20 4 30x 4 30

620

x

មាមាតសរប (Direct Proportion):

ឧបមាថា នលលននសាប េយែគ 20 Rs (Rands1)។ មបើេនសមាន កចងទញសាប េយឡ(12

ែ) មនាះ គនតតវចណដយ 240 Rs។ មបើគនតចងទញសាប ព ឡ គនតតវចណដយ 480 Rs។

មយើងអាចមេើល ម ើញយាងងហយថា មបើគនតទញសាប មចើន មនាះគនតតវចណដយមចើន

ឬគនតតវចណដយតច មបើគនតទញសាប តច។

ចននែននសាប នលល ប Rs

12 ែ 240

24 ែ 480

36 ែ 720

មាននយថា ចននែននសាប មកើនមឡើង នលល បកមកើនមឡើងដែ ផទយមៅវញ មបើចននែ

ននសាប លយចះ នលល បកលយចះដែ ។ កនងក ណមនះ មយើងនយយថាចននែននសាប នង

នលលមានទនាកទនងសរបគនន ។ េាាងមទៀត មបើប មាណេយមកើនមឡើងបណដា លឲយប មាណេយ

មទៀតមកើនមឡើង ឬប មាណេយលយចះបណដា លឲយប មាណេយមទៀតលយចះ មយើង

នយយថា វាមានទនាកទនងសរបគនន (វាជាមាមាតសរប)។

មបើ x នង y ជាមាមាតសរបគនន មនាះផលដចកនន x នង y គជាចននមល ។

មាននយថា x

c x cyy

កនងឧទាហ ណខាងមលើ មយើងម ើញថា

12 1

240 20

24 1

480 20

36 1

720 20 (ផលម ៀបនេយៗគែចគនន )

ែចមនះ មបើមយើងម ះសរសាយប មាណមានទនាកទនងសរបគនន (ដែលជាមាមាត

សរប) មនាះ មយើងនងមបើាេវធាន៖

ចននែននសាប ចណដយ ប

12 240

24 480

1 South Africa currency. http://en.wikipedia.org/wiki/South_African_rand#Brief_exchange_rate_history

http://en.wikipedia.org/wiki/South_African_rand%23Brief_exchange_rate_history



24 × 240 12 × 480

ជាទមៅ មគនលកា ណននមាមាតសរប

ប មាណទ1 ប មាណទ 2

a

b

c

d

a c

b d ឬ ad bc

ឧទាហ ណ 12 មបើ ត 30ឡនលល 300 Rs។ ច កនលលនន ត 5 ឡ។


ាង x ជានលលនន ត 5 ឡ

ត (ឡ) នលល (Rs)

30 300

5 x

ម យប មាណជាមាមាតសរប ែចមនះ មយើងមបើមគនលកា ណខាងមលើ។

30 300

5 x

30 5 300x

5 300

50 .30

x Rs

ឧទាហ ណ 13

លយនរេយម វើែមណើ ាន 81 km ម យមបើសាង 4.5 លត។ មតើវានងម វើែមណើ ាន

បានាម នម យមបើសាង 20 លត?


ាង x ជាចមាា យដែល លយនរម វើែមណើ ានម យមបើសាង 20 លត។

សាង (លត) ចមាា យ (km)

4.5 81

20 x

ម យប មាណមានទនាកទនងសរបគនន ែចមនះ ាេមគនលកា ណខាងមលើ

4.5 81

20 x

4.5 20 81x

20 81360

4.5x km

មាមាតា (Inverse Proportion):



ឧបមាថា ប 20នាកងផទះេយកនង យៈមពល 6នលា។ មបើចននប មកើនមឡើងែល

30នាក មនាះ ពកមគមបើមពល 4នលាមែើេប ងផទះែដែល។ មបើចននប មាន 40នាក ពកមគមបើ មពល 2នលាមែើេប ងផទះ។

មាននយថា ចននប ចនននលា 20 6

30 4

40 3

មយើងម ើញថា ចននប មកើនមឡើង យៈមពលតវងផទះលយចះកនងផលម ៀបែច

គនន ។ មបើប មាណេយមកើនមឡើងបណដា លឲយប មាណេយមទៀតលយចះ ឬប មាណេយ

លយចះបណដា លឲយប មាណេយមទៀតមកើនមឡើង មនាះមយើងនយយថា ប មាណទាងព មាន

ទនាកទនងាគនន យាងពតាកែ។

មបើព ប មាណ x នង y ជាមាមាតា មនាះ ផលគណ បវាជាចននមល ។

មាននយថា xy c ដែល c ចននមល កនងឧទាហ ណខាងមលើ មយើងម ើញថា

20 × 6 120

30 × 4 120

40 × 3 120

មនះបងហា ញថា ផលគណនេយៗជាចននមល ឬែចគនន ។

ែចមនះ មបើមយើងម ះសរសាយប មាណដែលមានទនាកទនងាគនន មយើងអាចមបើ វធានែចខាងមកាេ។

ចននប ចនននលា 20 6

30 4

20 × 6 30 × 4

ជាទមៅ មគនលកា ណននមាមាតា

ចននប ចនននលា a c

b d

ac bd ឬ a b

d c

ឧទាហ ណ 14 ទមយទក 4 អាចបមពញអាងេយកនង យៈមពល 70 នាទ។ មតើវាតវកា មពល

បានាម នមែើេបបមពញអាងម យមបើទមយទក 7?




ចននទមយ យៈមពលតវកា មកើនមឡើង 4

7

70

xលយចះ

ាេមគនលកា ណននមាមាតា មយើងាន

4 × 70 7 ×x

4 7040

7x

នាទ។

ឧទាហ ណ 15 កេមក 35 នាកអាចងផទះេយកនង យៈមពល 16 នលា។ មតើកេមក 28 នាកតវកា មពលបានាម ននលាមែើេប ងផទះេយែចគនន មនាះ?


ចននកេមក ចនននលា លយចះ 35

28

16

x មកើនមឡើង

ាេមគនលកា ណននមាមាតា មយើងាន

28 35 × 16x

35 1620

28x

នលា

ឧទាហ ណ 16 ភាានទញប បមកមងមលង 40 មគឿងម យេយមគឿងនលល 14 Rs។

មតើភាអាចទញប បមកមងមលងានបានាម នមគឿងចមពាះតនេល 8 Rs កនងេយមគឿងម យ

ចណដយាកែចគនន ?


នលលប បមកមងមលងេយមគឿង ចននប បមកមងមលង

លយចះ 14

8

40

x មកើនមឡើង

មគនលកា ណននមាមាតា មយើងាន

14 40 8 x

14 4070

8x

មគឿង

មាមាតផស (Compound Proportion)

«មាមាតដែលទាកទងនងប មាណព ឬមចើនមៅថា មាមាតផស»។

វធានម ះសរសាយមាមាតផស

ក ណទ1 ប មាណទ 1 ប មាណទ 2 ប មាណទ 3 a b c



d e x មបើប មាណទ 1 នងប មាណទ 2 មានទនាកទនងសរបគនន មហើយប មាណទ 2 នង ប មាណទ 3 កមានទនាកទនងសរបគនន ដែ មនាះមយើងមបើវធានខាងមកាេ៖

a e b d

x c

ក ណទ2 មបើប មាណទ 1 នងប មាណទ 2 មានទនាកទនងសរបគនន មហើយប មាណទ 2 នងប មាណទ 3 មានទនាកទនងាគនន មនាះមយើងមបើវធានខាងមកាេ៖

b c e x

a d

ក ណទ3 មបើប មាណទ 1 នងប មាណទ 2 មានទនាកទនងាគនន មហើយប មាណទ 2 នងប មាណទ 3 មានទនាកទនងសរបគនន មនាះមយើងមបើវធានខាងមកាេ៖

a b d e

c x

ក ណទ4 មបើប មាណទ 1 នងប មាណទ 2 មានទនាកទនងាគនន មហើយប មាណទ 2 នងប មាណទ 3 កមានទនាកទនងាគនន ដែ មនាះមយើងមបើវធានខាងមកាេ៖

a b c d e x ឧទាហ ណ 17 កេមក 195 នាកម វើកា 10 មមាាងកនងេយនលាអាចបញច បកា ងហ កនង យៈ មពល 20 នលា។ មតើមគតវជលកេមក បានាម ននាកមែើេបបញច បកា ងហ កនង យៈមពល 15 នលាមបើពក

មគម វើកា 13 មមាាងកនងេយនលា?


ាង x ជាចននកេមក ដែលតវជល

ចនននលា ចននមមាាង ចននកេមក 20 10 195

15 13 x

20 10 195 15 13 x

20 10 195200

15 13x

នាក

ឧទាហ ណ 18 មោងចកេយផលតសាប ាន 100 ឯកាកនង យៈមពល 9 នលាម យមបើ មាា ន 20មគឿង។ មតើមគអាចផលាសាប ានបានាម នឯកាកនង យៈមពល 12 នលាម យមបើ មាា ន18 មគឿង?




ចននមាា ន ចនននលា ចននឯកា

20 9 600

18 12 x

20 9 18 12

600 x

20 9 600 18 12x

600 18 12720

20 9x

ឯកា

មាមាតតគនន (Continued Proportions)

ប មាណព ឬ មចើនមៅថា មាមាតតគនន មបើប មាណទ1 ទាកទងមៅនងប មាណទ

2, ប មាណទ 2 ទាកទងមៅនងប មាណទ 3, ប មាណទ 3 ទាកទងមៅនងប មាណទ 4 ជាមែើេ។ មាននយថា មបើ , , , , a b c d e ជាមាមាតតគនន មនាះ

a b c d

b c d e

ឧទាហ ណ 19

េនសបនាក A, B នង C កានាកចមណញ 70000 Rs ពកា ម វើអាជវកេមេយ។

ភាគហ ន បពកមគមាន កៗននាកចមណញមានែចខាងមកាេ៖

A : B 4 : 2

B : C 10 : 5

ច កភាគហ នននាកចមណញ បេនសមាន កៗ។


តនេល បននាកចមណញ= 70000

ផលម ៀបនន A, B នង C គ

: :

4 : 2

10 : 5

40 : 20 : 10

A B C

ផលបកននផលម ៀប 40 20 10 70

ភាគហ ន ប 40×70000 40000

70A

ភាគហ ន ប 20×70000 20000

70B

ភាគហ ន ប 10×70000 10000

70C

ឧទាហ ណ 20

ច ដបងដចក 2562 កនងចមណដេេតរេកាបនាក Waqas, Usman នង Shakeel។



ផលម ៀប វាង ភាគហ ន បពកមគគ

Waqas : Usman = 4 : 5

Usman : Shakeel = 8 : 10


តនេលដែលតវដបងដចក= 2562

ផលម ៀបននភាគហ ន បពកមគ

: :

4 : 5

8 : 10

32 : 40 : 50

Waqas Usman Shakeel

ផលបកននផលម ៀប 32 40 50 122

ភាគហ ន ប Waqas 32

2562 672122

ភាគហ ន ប Usman 40

2562 840122

ភាគហ ន ប Shakeel = 105250

2562 1052122

ផលម ៀបជា េមាតវានបងេមៅជាមាមាត។ ជាពមមបើប មាណព X

នងY មកើតមឡើងកនងផលម ៀប :a b ម ៀងគនន វាមាននយថា X មកើតមឡើងកនងមាមាតba

a

+

ែង មហើយ Y មកើតមឡើងកនងមាមាតba

b

+ែង។

ែចគនន មនះដែ នមតថាបប មាណ ,X Y នង Z មកើតមឡើងកនងផលម ៀប : :a b c ម ៀងគនន

មាននយថា X មកើតមឡើងកនងមាមាត ,a

a b c Y មកើតមឡើងកនងមាមាត

cba

b

++

មហើយ Z មកើតមឡើងកនងមាមាតcba

c

++។

ញហា ណមនះតវានពនាល តម យងហយចមពាះប មាណមចើនាេកា ចងាន។ ឧទាហ ណ 21 មៅនលា 30ដខេលនាឆន 2000បជាជនអសតសារ លមានចនន 19.157លាននាក។ (Source: Australian Bureau of Statistics, Population by Age and Sex, June Quarter 2000, Cat.

No. 3201.0.) បនមបើបជាជនមនះតវានដបងដចកជាបកេអាយ(ជាឆន )គ 0-14, 15-64,

នងាបព 65ឆន មឡើងមៅ។ ផលម ៀបកនងកេអាយនេយៗគបដហលជា72 : 224 : 41។ ច កភាគ យ នងចននបជាជនកនងកេអាយនេយៗ។




កនងក ណមនះ 72, 224, 41a b c ។ែចមនះ

មាមាតកនងកេអាយ 0-14 a

a b c

72 72

72 224 41 337

ែចមនះ ភាគ យកនងកេអាយ 0-14 72100 21.365%

337 ។

ចននកនងកេអាយ 0-14 19.157 លាននាក 0.21365 4.093 លាននាក។

មាមាតកនងកេអាយ 15-64 ឆន b

a b c

224 224

72 224 41 337

ែចមនះ ភាគ យកនងកេអាយ15-64 224100 66.469%

337 ។

ចននកនងកេអាយ15-64 19.157 លាននាក 0.66469 12.733 លាននាក។

មាមាតកនងកេអាយ 65 នងមលើ 65 ឆន c

a b c

41 41

72 224 41 337

ែចមនះ

ភាគ យកនងកេអាយ65 នងមលើ 65 ឆន 41100 12.166%

337 ។

ចននកនងកេអាយ65 នងមលើ 65 ឆន 19.157 លាននាក 0.12166 2.331

លាននាក។ គ កតមាា លថា ផលបកភាគ យទាងបមនះគ 21.365 66.469 12.166 100%

ែចដែលមយើង ពងទកដេន។ ែចជាកនងក ណបភាគ ផលម ៀបេនដបបលមទ មបើអងាទាងព តវានគណ ឬដចក នងតនេលដតេយ។ ជាទមៅផលម ៀបគ ដតតវានាងជាតតចជាងបផត (lowest terms)។ ែចមនះ ចននទាងព មៅកនងផលម ៀបគ ដតតវានដចកនងការ េណដេយ។ វាជា េមាផងដែ ចមពាះផលម ៀបដែលតវាងអងាទាងងខាងជាចននគត។ មបើ េនែចមនះមទ មយើងអាចគណអងាទាងព នងចននដតេយមែើេបម វើឲយវាកាល យមៅជាចននគត។ ឧទាហ ណ 22 ច ាងផលម ៀបជាតតចជាងមគបផតៈ



a) 100:50 b) 4 : 6 c) 5.5: 2.5 d) 1 12 :3

3 2 e) 3.25:1


a) អងាទាងមនះមានការ េ50ែចមនះ ផលម ៀប100:50 ែចគនន មៅនងផលម ៀប 2 :1។ b) អងាទាងមនះមានការ េ2 ែចមនះផលម ៀប 4 : 6 ែចគនន មៅនងផលម ៀប 2 : 3។ c) កនងក ណមនះ គនម នអងាណដេយជាចននគតមទ។ទាង 5.5 នង 2.5 អាចតវានមគម វើ

ឲយមៅជាចននគតម យគណនង 2។ ែចមនះផលម ៀប 5.5 : 2.5 ែចគនន មៅនងផល ម ៀប 11: 5។

d) ការ តចជាងមគបផតដែល3

12 នង

2

13 អាចតវានគណមែើេបម វើឲយវាទាងព កាល យមៅ

ជាចននគតគ6។ ែចមនះផលម ៀប2

13:

3

12 ែចគនន មៅនងផលម ៀប

1 16 2 : 6 3

3 2

ដែលតវនង 14 : 21 ឬជាតតចបផតគ 2 : 3។

e) កនងក ណមនះមានដត 3.25 ដែលេនដេនជាចននគត។ វាអាចតវានមគម វើឲយមៅជា ចននគតម យគណនង 4។ មៅមពលដែលអងាទាងព ននផលម ៀបតវានមគគណ នង 4 មយើងទទលានផលម ៀបេេល 13 : 4។

អតា(Rates) វាេនដេនជាកា ចដេលកមទ ជាពមមៅមពលដែលកា មបៀបម ៀបទាកទងមៅនង

ចនន ៗតវានមគម វើមឡើងចមពាះផលម ៀបដែលតវមបើមែើេបាងអា (rate) ដែលពតរ-កា ណានមកើតមឡើង។ ជាឧទាហ ណ មយើងនយយអពអាកមណើ តកនងចមណដេបជាជន 100 000នាក នងចននក ណលមននអនកមកើតជងមអែ (AIDS) កនងចមណដេបជាជន100 000

នាក។ កនងក ណខលះចននទព មៅកនងផលម ៀបគជាតមលខមគនលេយែចជាឯកាបទ ា ន នន ងហវ ។ មៅមពលដែលក ណមនះមកើតមឡើងចននទេយជនកាលេនដេនជាចននគត។ មៅកនងក ណមផសងមទៀតចននទេយគជាមលខមគនល មហើយចននទព អាចេនដេនជាចនន គត។ ែចមនះអាគ ពតជាផលម ៀបដែលាងម យមគនលជាកលាកណដេយ (a specified

base)។



ឧទាហ ណ 23 អនកតណដងដផនកលកមាន កានមាា លថាមៅកនងារ ហណដេយមនាះ គនតមបើកប ានចមាា យ 1350Km នងមបើសាងអ 120L។ នែគដផនកលកមាន កមទៀត បគនត (យនជនះមផសងមទៀត)មបើកប ាន 940Km នងមបើសាងអ 88L។

ច ាងនវកា មបើសាង បពកមគជាអាកនងទេង Kilometres :100L។ ដធ ោះតាយ

កនងក ណមនះកា មបើាមបងសាង បពកមគគតវាងជា Kilometeres : 100L។ អនកមបើកប ទេយមានផលម ៀប 1350 : 120។ មែើេបបដលងផលម ៀបមនះមៅជាផលម ៀប េេលេយជាេយនងចននទព 100មយើងដចកអងាទាងព នង 1.2។ មគទទលានអា 1350 120

:1.2 1.2

ឬ1125 : 100។ មនះមាននយថា អនកតណដងដផនកលកម វើែមណើ ាន1125Km ោល

កា មបើសាង 100L។ អនកមបើកប ទព មានផលម ៀប 940:88។ មែើេបបដលងផលម ៀបមនះមយើងដចកអងាទាង

ព នង0.88។ មគទទលានអា 88.0

88:

88.0

940 ឬ1068.2 : 100។ មនះមាននយថា អនកមបើកប ទ

ព ម វើែមណើ ាន1068.2Km ោលកា មបើសាង100L។ ឧទាហ ណ4.3 មនះានបងហា ញពអតថបមយជនេយននកា ាងអាជាផលម ៀប ដែលចននទព ជាចនន េេយ។ កនងក ណមនះកនងមបងសាង 100L អនកទេយមបើកប ាន 1125Km មហើយអនកទព មបើកប ាន 1068.2Km។ ែចមនះ មយើងអាចមបើផលម ៀបមនះ ជា មគនលេយននកា មបៀបម ៀបចមពាះកា នចមបងឥនធនៈ។ ផលម ៀបដែលចននទេយ េ អាចតវានមគមបើាផងមែើេបមបៀបម ៀបម ឿងោា វ ជាមចើន នងមែើេបបងហា ញភាពខគនន ននភាគ យ វាងសាថ នភាពេយ នងសាថ នភាពមផសង មទៀត។ ឧទាហ ណ 24 គណមនយយក បនាក (Roy, Anna នង Irene ) ានមេចចតរ ក នធាន ប បពកមគ េគនន ម យបមងកើតកេហ នហកេម ទធេយនងដបងដចកាកចមណញ។មទាះបជាយាងមនះកាមែើេបបមងកើតអាជវកេម ពកមគតវកា ាក បចនន$60 000។ Roy មាន បណងចងផរល$30 000 , Anna ផាល $10 000 នង Irene ផាល$20 000។ កា ពេមពៀង ប



កេហ នហកេម ទធមនះានកណតថាាកចមណញមៅកនងឆន ទ1 នងតវដបងដចកកនង មាមាតែចគនន មៅនងវភាគទាន បពកមគដែ ។ មបើកេហ នមនះ កាកចមណញាន$45 000មៅកនងឆន ទ1 មតើគណមនយយក មាន កៗ តវទទលានបានាម ន?


កនងក ណមនះ ាកចមណញ ប Roy, Annaនង Ireneនងតវានកនងផលម ៀប 30 000 :10 000 : 20 000។ផលម ៀបមនះេេលមៅនង 3 : 1 : 2។ ែចមនះ មយើងានៈ

មាមាតននាកចមណញ ប 3 1

3 1 2 2Roy

ាកដែល Royានទទល 1$45000 $22500

2

មាមាតននាកចមណញ ប 1 1

3 1 2 6Anna

ាកដែល Annaានទទល 1$45000 $7500

6

េមាតននាកចមណញ ប 2 2 1

3 1 2 6 3Irene

ាកដែល Ireneានទទល 1$45000 $15000

3

4.2 ផលធ ៀបតាកចធណញ (Profit Ratios)

ាេកា វភាគលទធផលកនងអតតកាលវាអាចម វើានមែើេបកណតថាមតើកេហ នានាកចមណញ ឬអត។ កា កាមនះមានសា ៈខានម យសា វាផរលពតមានមៅមលើកា កាកវនមយគ នងជាចនាក (indicator) ពហានេយ (risk) ននភាពកសយ ន (bankruptcy)។ មែើេបម ះសរសាយបញហា មនះ មយើងមបើផលម ៀបាកចមណញដែលបងហា ញ នវទនាកទនងននាកចមណញ ( ប/ទធ) មៅនងប មាណហ ញាវតថេយចនន (e.g.ទពយ េបតរ បឬកា លក ប)។ សាថ នភាពហ ញាវតថននកេហ នតវានបងហា ញម យាោងតលយកា (balance sheet)។ ាោងតលយកា ោយបញជ ព នធានននតនេលទពយេបតរនងបណល។ បញហា ខានថា មតើកេ ហ នមានទពយេបតរមែើេប នាោា ប ងមៅមលើបណល បមគដែ ឬមទ។ បញហា ខានេយ



មទៀតគ ថាមតើកេហ នមានទពយបរ យកាកាន ហ (liquid assets) គបគននមែើេបបង ងនលលបណលភាល េៗឬមទ។ទពយបរ យកាកាន ហ ោបបញច លសាចាក (Cash) គណនអតលជន ឬគណនតវទា (account receivable)នន (inventory) នងកា បងជាេន (Prepayment)។ ធាតផសនន ាយកា ណាកចមណញនងាកខាត (Profit and loss statement) ឬ ាយកា ណាកចមណញ (income statement) បអងាភាពអាជវកេមបមងកើតានជាផល ម ៀបចមណញទធ:កា លក។ មនះជាម ឿយៗតវានមគមៅមៅមលើ ផលម ៀបាក ចមណញទធ (net profit ratio)។ មទាះបជាមានឬគនម ន បោងលទធផលដែលជាភាពមពញចតរ គវាអាសរយមៅមលើបមេទអាជវកេមដែលមគតវពា ណដ។ នមតថាអាជវកេមដែលមានាកចណលខព ែចជាផា ទមនើបដែលានលកទនញកនងប មាណែមចើន។ ជា េមាវាគ ដត កាកចមណញកនងទនញេយដែលានលកទាប ជាងអាជវកេមដែលមានាកចណលទាបែចជាកេហ នលក លយនរ បណត ដែលគននដត ម ៀបមៅនងចននតចដែលតវានលក។ កនងក ណមនះ កេហ ននង កានាកចមណញ ខពកនងទនញនេយៗដែលតវានលក។ អតាតរពយសេបរត(Asset Turnover)

ទពយេបតរគជា នធានននតនេលដែលានគបគងម យអាជវកេមេយ (e.g. សាច ាកាកបមញាើមៅ នាគន នន ាកដែលមគេនទានង)។ អាននាកចណលតវ ានវាម យផលម ៀបាកលកានមៅនងទពយេបតរ បមហើយតវានមគសាា លថាជាអាទពយេបតរ ប (total asset turnover) ។ មគាន បេនរៈ

salesTotal asset turnover

total assets

(0.1)

Total asset turnover = អាទពយេបតរ ប Sales =ាកលកាន Total assets = ទពយេបតរ ប



តនេលននកា លកតវគតជាែលាល មហើយតនេលននកា លកមនះានេកព ាយកា ណាកចមណញនងាកខាត (profit and loss statement)។ ទពយេបតរ បានេកពាោងតលយកា (Balance sheet) មហើយតវ ានមគគតជាែលាល ផងដែ ។ បណងននកា មបើាទពយេបតរគមែើេបកណតកា មបើាដែលមកើតមឡើងព ទពយេបតរ បអងាភាពេយ នងមែើេបលាតត ងននាន កា ណដេយកនងកា បមងកើតេល ា នទពយេបតរ ប។ អាជវកេមេយគ ដតពងកតេដតេល ា នទពយេបតរបាមណដ ះ មបើនវាផរលលទធផលលអ បម ើ កនងកា បមងកើនាកចមណញ នងកា លក បវា។ អាទពយេបតរវាដវងនវភាពមានបទធភាពទាងេលននកា គបគងកនងមពល បចចបបនន បកេហ ន។ ជាពមវាបងហា ញថាមតើទពយេបតរបរ ជាាក ហកនងនែមាន គបគនន ឬអតមែើេបងកចចនាកនងមពលបចចបបននដែលខណៈមពលជាេយគនន មនះេនទាន មានលវកាមៅលដែលមចើនជាងបេព នធានេនទានតវានមគមបើ។ ចណលទពយេបតរ បជា េមាតវានមគាងជាភាគ យ។ ឧទាហ ណ 5 កេហ នលកកពយទ ខាន ត េយកដនលងមានចណលពកា លក ប$3 400 000

មៅកនងមពលេយមហើយមានទពយេបតរ ប $1 200 000។ កចណលទពយេបតរ ប។ ដធ ោះតាយ

កនងក ណមនះ ចណលននកា លក $3 400 000 នងទពយេបតរ ប $1 200 000 ។ ាេ បេនរៈ

sales

Total asset turnovertotal assets

$34000002.833

$1200000

មបើគតជាភាគ យគ2.833 100 283.3% ។ មនះមាននយថាមានអា283.3% ននកា លកម ៀបមៅនងទពយេបតរ។ េាាងមទៀត មគអាចនយយថាោល$1 ននទពយេបតរ ប បកេហ នបមងកើតាន $2.83 ននកា លក។



កេហ នដែលមានអាាកចមណញទធទាបគ ដតមានអាទពយេបតរ ប ជាងកេហ នដែលមានអាាកចមណញទធខព។មទាះបជាមានណងាកចណល ខពកម យចមពាះអាាកចមណញទាបគអាសរយមៅមលើអាចមណញម ៀបនងទនវនមយគ (Return on investment) ទាងសរង។ អាចមណញម ៀបនងទនវនមយគ បកេហ ន េយអាចតវានមគបដបកជាផលគណននអាាកចមណញ បវានងអាទពយេបតរ ែចខាងមកាេៈ

Return on investmentnet profit

total assets

(0.2)

net profit sales

sales total assets

net profittotal asset turnover

sales

Net profit =ាកចមណញទធ Return on investment =អាចមណញម ៀបនងទនវនមយគ។

មែើេបាន បភាពចាននែមណើ កា បកេហ នមយើងគ ដតពា ណដមលើ ងហវ ែនទមទៀតផងដែ ។

4.3 អតាតបសរធភាព (Efficiency Ratios) បទធភាពននកេហ នេយអាចតវានមគវាម យលទធភាព បវាមែើេបមេចានាកចណលអតប មាចមពាះកេតដែលអាចម វើមៅានទាបបផតននទពយេបតរ។ កេតបម ើ បផតននទនញ (ឬនន ) គអាសរយមៅមលើបមេទននកេហ ននងទហននកា លក។ ជាឧទាហ ណមបើនមានអាបងវលរកខាល ង (ែចជាមៅកនងផា ទមនើប) ាកែជា តវកា បដនថេរកមែើេបបមពញតេវកា ។ ផទយមៅវញកេហ នដែលមានអាបងវលរក តច (ែចជាកដនលងលកយនយនរជាមែើេ) េនាាចតវកា កេតននកា រក មទ។ មបៀបននកា បមងកើត បេនរមគនលកា ណនន មែើេបបមពញតេវកា ទនញអាចមគសាម ញដែលអាសរយមៅអមល ជាមចើន។ វាគជាដផនកេយននគណតវទាដែលតវានមគ



សាា លថាជា កា តតពនតយនន (inventory control) ដែលជាម ឿយៗតវានមគបមងៀន មៅកនងវគាមានបធានបទថាកា សរសាវជាវបតបតរកា (Operation research) ។ ងហវ ភាពមានបទធភាពននកា តតពនតយនន បកេហ នតវានផរលម យអាបងវលរក(Stock turnover/inventory turnover) ដែលៈ

cost of goods soldStock turnover =

average stock (0.3)

Stock turnover = អាបងវលរក Cost of goods sold = នលលមែើេទនញលកមចញ Average stock = រកជាេ យេ រកជាេ យេ អាចតវានមគ កម ើញម យ កេ យេភាគននរកមែើេគន នងរក ចងគនដែលានេកពាោងតលយកា បកេហ ន។ (រកចងគនដែលានបងហា ញមៅកនង ាោងតលយកា មៅចងគនេយគជារកមែើេគនមៅគនបនាទ ប)។ នលលមែើេទនញលកមចញតវ ានយកមចញព ាយកា ណាកចមណញ នងាកខាត។ ែចមនះ

closing

2

opening stock stockAverrage stock

(0.4)

Opening stock = រកមែើេគន Closing stock = រកចងគន មបើកេហ នេយជាហគនដែលអាជវកេមាេ ែវកាល មគគ ដតមបើតមលខបា ដខម យគតជាេ យេ។ អាបងវលរកបមពញចតរ ឬអតគអាសរយមៅមលើបមេទអាជវកេមដែលមគកពង ម វើ។ ឧទាហ ណ 6 ហាងលកមគឿងអគានេយកដនលងមានចណលកា លកកនង យៈមពល 1 ឆន គ $640 000។ រកមែើេគនមានតនេល$110 000មហើយរកចងគនមានតនេល$150 000។ ច គណនារកជាេ យេនងអាបងវលរក។

ដធ ោះតាយ ាេ បេនរៈ



closing

2

opening stock stockAverrage stock

$110 000 $150 000

2

$130 000

ាេ បេនរៈ

cost of goods soldStock turnover =

averrage stock

$640 000= =4.92

$130 000

ែចមនះមានអាបងវលរក4.92ែងកនងេយឆន ឬតវនង 36574

4.92 នលាេរង។

វាគ ដតតវានមគមាា លថាកនងក ណេយចនន កេតនននន ចងឆន តវានមគ មបើជនកេតនននន ជាេ យេមបើនជាវាតវានមគពា ណដមែើេបតណដងឲយកេតនន នន ដែលមាន។ អាបងវលរកអាចដបបលម យសា ភាពខគនន ននខប ឬ ែវកាល (មេើលជពក S11)ម យសា ដតនន អាចខបកតខព ឬទាបអាសរយមលើ ថាមតើវាជា ែវ កាលននកា លកមៅចណចកពល (peak) ឬទាប (low)។ មបើអាបងវលរកទាប វាបងហា ញថា កេតនននន គខពមាននយថា ការកទក មចើនដែលបណដា លឲយមានកា ចណដយដល កា (carrying cost)ខព ។ មបើអាបងវលរក ខពមពកមាននយថាកា លកេនអាចបមពញតេវកា បអតលជន។

អតាកនបណល(Debtor turnover) ងហវ េយមទៀតពភាពមានបទធភាពបតបតរកា ននមគនលកា ណឥណទាន ប អាជវកេមេយគអាកនបណលដែលកណតម យៈ

gross credit salesDebtor turnover

average gross accounts recieable (0.5)

Debtor turnover=អាកនបណល Gross credit sales =តនេលលកមជឿ ប Average gross account receivable = គណនតវទា បជាេ យេ



អាកនបណលមបើាតនេលមលខ ប មហើយោលឥណមទយយពាកទា (bad debt) េនតវានមគែកមចញមទ។ តមលខគណនតវទា អាចជាបធានបទននកា ដបបល ាេខប ឬាេ ែវកាល។ អាកនបណលអាចតវានមគបងហា ញ យៈមពលបេលបណលជាេ យេ “average

collection period” (គតជានលា)ម យយក 365 មៅដចក។មគានៈ

365Average collection period

debtor turnover

(0.6)

អាកនបណលវានវភាពមានបទធភាពននកា តតពនតយឥណទាន (credit control) ថាមតើកេហ នបេលបណល បខលនយាង ហជាេយវធានទមៅដែលម វើ ឲយ ចណលកានដតខព នងកានដតបម ើ ។ ផលម ៀបមនះ បងហា ញផងដែ ថាមតើកេហ នអាច ពនា មពលេលឥណទាន បខលន ចពកា ទទលខតវដែលទទលានដែ ឬមទ។ មបើ យៈមពលបេលបណលជាេ យេ ជាងគនឥណទាន េមាដែលានកណត លទធផល បដហលជាអាចលាតនធងមៅ ជាឥណមទយយពាកទា ។ ឧទាហ ណ7 កេហ នេយមានតនេលលកមជឿ ប $4300000 មហើយគណនតវទា បជា េ យេគ $520000។ ច កអាកនបណល នង យៈមពលបេលបណលជាេ យេ។

ដធ ោះតាយ អាកនបណល

ាេ បេនរៈ gross credit salesDebtor turnover

average gross accounts recieable

$4 300 0008.27

$52 000

ក យៈមពលបេលបណលជាេ យេ

ាេ បេនរៈ 365Average collection period

debtor turnover

36544.1

8.27days

4.4 អតាាចតាករធន (Liquidity Ratios)



កា មលចមឡើងននសា ៈខានេយចននគ េតថភាពននកេហ នេយមែើេបង បណលបនាទ ន បមគ។ មនាះជាកា បមាណនវ លទធភាពងបណល (solvency) យៈ មពលខលដែលតវានមគតេវឲយវាដវងថា មតើទពយេបតរចលត (current assets) មបៀប ម ៀបជាេយនងកា នាជា បយវតថលអ បម ើ ដែ ឬមទ។ កា វាដវងទាងព មនះតវានមគ សាា លថាជាមាភាគសាចាកទមន (Liquidity Ratios) ដែលតវពភាកាែចខាងមកាេៈ អតាតរពយសេបរតចលរ (Current-asset ratio)

ងហវ េយដែលបងហា ញថាមតើបណលច នរ (Current liabilities)លអយាងណដមនាះតវានមគបញជ កម យទពយេបតរចលត។វាតវានមគកណតម យៈ

-current assets

Current asset ratiocurrent liabilities

(0.7)

Current- asset ratio = អាទពយេបតរចលត/ទពយេបតរច នរ Current assets = ទពយេបតរចលត Current liabilities =បណលចលត (ទាងទពយេបតរចលតនងបណលចលតតវានមគយកមចញពាោងតលយកា ។) មបើកេហ នេយមានអាទពយេបតរចលតម ៀបខពមនាះបងហា ញថាកេហ នអាចង បណល បខលនាន។ េាាងមទៀតវាអាចបងហា ញថា អាបងវលរកតចឬកបនធ បនថយ មគនលកា ណបេលបណល។ មទាះជាយាងណដកា អាទពយេបតរចលតអាចទទលយកាន ឬអតគអាសរយ មលើរកមានមសរច នងគណនតវទា អាចបា ជាសាចាក នងលហ សាចាក ហពកា លក។ អាមនះអាចតវានមគមបើមែើេបមបៀបម ៀបកេហ នដែលមានទហខគនន កែចជា ងហវ លទធភាពងបណលននកេហ នេយពេយឆន មៅេយឆន ។ បញហា េយទាកទងនង អាទពយេបតរចលត គថាអាចមានកា លាកកនងកា បកសរសាយមាភាគជាបគាល ែចជាថាមតើ ទពយេបតរចលតអាចបា មៅជាសាចាកាន ហបាណដ មែើេបងបណល



ចលត ឬថាមតើបណលចលតដែលែលនលាកណតតវានងមលឿនបាណដ ។ អនកជនាញ វភាគដែលមានបទពមសា នអាចទទលានពតមានលអតមនះពាោងតលយកា ។ ឧទាហ ណ8 ាោងតលយកា បកេហ នេយានបងហា ញឲយម ើញថាទពយេបតរចលតមាន$315 000 នងបណលចលតគ $420 000។ច គណនាផលម ៀបទពយេបតរចលត នងបកសរសាយតនេល បវា។


ាេ បេនរៈ -current assets

Current asset ratiocurrent liabilities

$315 0000.75

$420 000

មនះបងហា ញថាកេហ នមានទពយេបតរចលត75មនចមពាះោល$1 ននបណលចលតដែលានជពាក។ អតា សស(Acid-test ratio/Quick ratio)

អាទពយេបតរចលត េមានទពយេបតរដែលតវានមគ ពងថាតវបរ មៅជាសាចាកនងបណលចលតដែលែលមពលកណតតវងកនង យៈមពល 12ដខ។ មទាះបជា យាងណដកម យ លទធភាពងបណលអាចតវានមគវាដវងកានដតឆបម យេនោប បញច លទពយចលតបា យកាកាន ហតចតច នងបណលចលតបនាទ នតចតច។ ជាឧទាហ ណ ទពយេបតរចលតដែលេនោបបញច ល េមាននន នងកនបណល កចចនាទញបណដា ក (hire-purchase debtors)។ កនងមនាះផងដែ បណលចលតដែលេន ោបបញច ល េឥណទានមលើេតលយ (Bank overdrafts) ម យសា វាខព េមាចមពាះ នាគន មែើេបទាេទា ឲយងភាល េៗ។ ផលម ៀបលទធផលែចមនះគ ជាកា ដកដបផលម ៀបទពយេបតរចលតមហើយតវាន មគសាា លថាជា អា ហ(Acid-test ratio or quick-test ratio)។ វាតវានមគកណតម យៈ

-current assets inventory

Acid test ratiocurrent liabilities bank overdraft

(0.8)



Inventory = នន /រក(ទនញបេងមាបលក) Bank overdraft = ឥណនទានមលើេតលយ/កា ែកាកមលើាកបមញាើ អា ហ(Acid-test ratio) ផរលនវកា បងហា ញពលទធភាព បកេហ នកនងកា មបើ ាទពយបរ យកាកាន ហ បខលនមែើេបម ះកចច នាហ ញាវតថ បខលនភាល េៗ។ វាកផាលកា បងហា ញេយបម ើ ជាងផលម ៀបទពយេបតរចលតពេតថភាព បកេហ នមែើេបងបណល យៈមពលខល។ ឧទាហ ណ 9 ពា ណដមៅមលើកេហ នកនងឧទាហ ណ8។មគនមតថាទពយេបតរចលត េមាន $92 000ជានន មហើយបណលចលត េមាន $145 000ឥណទានមលើេតលយ ( នាគន )។ ច គណនាអា ហ(Acid-test ratio)។


ាេ បេនរៈ -current assets inventory

Acid test ratiocurrent liabilities bank overdraft

$315 000 $92 000

$420 000 $145 000

$223 0000.81 81%

$275 000

ម យសា តនេលមនះតចជាង 100% មនាះគ ដតមានកា ពយា េភកនងែមណើ កា យៈ មពលខលយាងមហាចណដ។

4



1. កេហ នេយានម វើកា កតមាា លថាយនរជនះ បកនហ នម វើែមណើ ាន

580km កនងកឡងារ ហកនលងផតមៅ។ បនមបើមបងឥនធៈ102លត តវានមគមបើ ច បងហា ញកា មបើមបងឥនធនៈជាទេងKilometers :100L។

2. តបមៅចមញច ើេលនលេយកដនលងលកឡងម វើអពម ើដែលមានទហព បមេទមផសងគនន ។ផលម ៀបចននននឡងដែលមានទេាន 10kg ម ៀបនងចននឡងដែលមានទេាន 5kg ដែលតវានមគលកគ 3 : 5។ បនមបើឡងចនន20 កនងចមណដេឡងដែលមាន ទេាន 5kg តវលក មតើមគលកឡងដែលមានទេាន10kg ានចននបានាម ន?

3. ាោងតលយកា ននអងាភាពអាជវកេមខាន តតចេយបងហា ញថា ទពយេបតរចលតមាន ចនន $80 000 នងបណលចលតមានចនន $60 000។ ច គណនាអាទពយេបតរ ចលត (current-asset ratio) មហើយបកសរសាយនវតនេល បវា។

4. ម យនមតថា ទពយេបតរចលតននពាណជកេមខាន តតចកនងណ 3 េបញច លមាន $42000 នននន នងបណលចលត បវា េបញច លមាន $35 000 ដែលជាឥណទាន មលើព នាគន ។ ច គណនាអា ហ(acid-test ratio)។

5. មោងចកផលតេាងតេយកដនលងមាននលលលកជាទកាក បចនន $650 000 នង គណនតវទា បជាេ យេចនន$48 000។ ក យៈមពលបេលបណលជាេ យេ។

6. Yolanda and Susieគជាបធានកេហ ន មហើយានពេមពៀងដចកាកចមណញ ប កេហ នែចតមៅ Yulanda តវទទលមលើកែបងចនន $32 000 ឬ 40% ននាក ចមណញ (តនេលដែល ) មហើយ Susieតវទទល $16 000ឬ20% ននាកចមណញ (តនេលដែលតច) ាកមៅលតវ កមៅកនង នាគន ។ មបើាកចមណញគ $90 000 មតើបធានកេហ នមាន កៗទទលានាកបានាម ន មហើយាកតវ កកនង នាគន មានចននបានាម ន?



7. កេហ នេយមាន យៈមពលបេលបណលជាេ យេ62.5714 នលា(1ឆន 365 នលា) មបើនលល លកជាទកាក បគ$3.5 million មតើគណន បជាេ យេដែលទទលានមាន បានាម ន?

8. ច ាងផលម ៀបមៅជាផលម ៀបតចជាងមគបងអ បវា224 : 480។ 9. កនងគេាងេយដែលមានអនកញអាហា មពលលាា ចចន 58 នាកមៅមភាជនយ ា ន

េយមាន 23 នាកតវកា កាមហវ 21នាកតវកា ដត 10 នាកតវមេជជៈមផសងមទៀត មហើយអនកដែលមៅលមៅពមនះេនតវកា មេជជៈណដេយមសាះ។ មតើភាគ យនន អនកញអាហា មពលលាា ចដែលេនតវកា មេជជៈ ឬេយតវកា ដតមានចននបានាម ន?

10. ាងអាខាងមកាេកនងទេងតដែលតចបផតៈ224 : 480។

6



1. ផលម ៀប 2

13:

4

12 ាងជាតចននគតតចបផតគៈ

a. 2 : 3 b. 27 : 40 c. 9 : 14 d. 67 : 1 e. គនម នចមេលើយ 2. កេហ នលកយនរមហាះេយមានមានតនេលលក $23 500 000 នងទពយេបតរចនន

$9400000។ អាទពយេបតរ ប(គតជាភាគ យ) គៈ a. 25.0% b. 250.0% c. 40.0% d. 400.0% e. គនម នចមេលើយ

3. ហាងេយមាននលលលក បមពញេយឆន គ $875 000។ តនេលរកមែើេគនគ $230000

នងរកចងគនគ $195 000។អាបងវលរក (តេទភាគភាគ យ) គៈ a. 2.61 b. 5.22 c. 167.50 d. 0.38 e. គនម នចមេលើយ

4. កេហ នេយមាននលលលកមជឿ បចនន $3 200 000 នងគណនតវទា បជាេ យេ $370 000។ យៈមពលបេលបណលជាេ យេគតជានលា (តេទភាគភាគែប)គៈ

a. 8.6 b. 21.1 c. 17.3 d. 0.38 e. គនម នចមេលើយ 5. ភាន កងហ សា ពតមានកនងសរកេយមាននលលលក បចនន $524 000 នងទពយេបតរ

ចនន$368 000។អាទពយេបតរ ប (តេទភាគភាគ យ) គៈ a. 0.70 b. 1.42 c. 0.71 d. 0.42 e. គនម នចមេលើយ

6. មោងចកផលតកេមេយកដនលងមានទពយេបតរចលត$120 000ជានន នងបណល ចលតមាន$185 000 ជាឥណទានមលើេតលយ នាគន ។ ទពយេបតរចលត បមាន $424000 នងបណលចលត បមានចនន $327 000។ អា ហ /Acid-test ratio (តេទភាគភាគ យ)គៈ

a. 1.06 b. 1.30 c. 2.14 d. 1.49 e. គនម នចមេលើយ 7. កេហ នេយមានទពយេបតរចលតចនន $150 000នន មានចនន $80000 នង

ឥណទានមលើេតលយ នាគន មានចនន$20 000។ អា ហ បកេហ នគ 0.50។ បណលចលត បកេហ នគៈ

a. $50 000 b. $70 000 c. $160 000 d. $190 e. គនម នចមេលើយ



000 8. កេហ នេយមានទពយេបតរចលតចនន $1.4លាន នងអាទពយេបតរចលត

0.8។ បណលចលតគៈ a. $1.12លាន b. $571 429 c. $2.2លាន d. $1.75លាន e. គនម នចមេលើយ

9. បអបទកម ះមគនតវានមគកនងទហបបមេទគ តច េ យេ នង ។ ផលម ៀបននកា លកគ 11:15 :10។ មបើចននបអបដែលានលកគ 240000 ចននដែលានលកជា បអបតច ឬ គៈ

a. 140000 b. 21000 c. 210000 d. 100000 e. គនម នចមេលើយ 10. ម យមបើទនននយកនងឧទាហ ណ 1

មាមាតននចននបជាជនអសតសារ លដែលមានអាយ65 ឬមលើពមនះគៈ a. 41/ 224 b. 41/ 296 c. 41/ 337 d. 41/100 e. គនម នចមេលើយ

4



លហារ

1. ភាព នងចនារ ម ៀបឯកសា ាន40ចាបមបើ យៈមពលអ1h។ មបើមគមានឯកសា

ចនន100ចាបដែលតវម ៀបចឱយមហើយកនង យៈមពល1hែដែល មតើមគតវបដនថេ

បគាលកបានាម ននាកមទៀត?

2. កេមក 20នាកជញជ នទនញ កកនងឃល ងមបើមពល 10 មមាាង។ មបើមគែកកេមក 10នាក

មចញ មតើពកមគតវមបើមពលបានាម នមមាាងវញ?

3. ណដ កាកចណលាន36000៛កនង យៈមពល 2 នលា។ មបើកនង យៈមពល12 នលាមតើគនត

កាកចណលានបានាម ន?

4. មាា នលតចេលងឯកសា េយអាចលតចេលងឯកសា ាន30 ទព កនងេយនាទ។ មបើមគ

ចងលតចេលងឯកសា ចនន 1200ចាបដែលេយចាបមាន 20 ទព មតើមគតវចណដយ

មពលបានាម ន?

5. អនកម វើន25នាកម វើន1200មបើមពល150mn។ មបើមគែកអនកម វើន7 នាកមចញ មតើពកគនត

តវមបើមពលបានាម នវញមែើេបចេអននមនះែដែល?

6. កេមក 10នាកមវចខចបផលតផលាន250ឯកាមបើមពល3h ។ មបើមានកេមក 5នាក

មហើយតវមវចខចបផលតផលឱយាន300ឯកា មតើមគតវមបើ យៈមពលបានាម ន?

7. អនកមាអ តមៅកា យលយ5នាកមាអ តបនទប25បនទបមបើមពល45នាទ។ មបើបនទប

មាន45 ដែលតវមាអ តឲយមហើយកនង យៈមពល35នាទ មតើមគតវកា អនកមាអ តបានាម ន

នាក?

8. ពែា នងេតរេករ បមគ3នាកមទៀតបញជ លទនននយកនងកពយទ មបើមពល45mn។

មបើមានេតរេករេកជយមាន កមទៀត មតើពកមគមបើ យៈមពលបានាម ននាទវញ?

9. កញហា ធា នងភាពទងេតអតលជន 4នាកមបើ យៈមពល1មមាាង។ មបើអតលជនដែល

តវទងេតមានចនន330នាក មតើគនតតវមបើ យៈបានាម នមមាាង?

10. ចងមៅ10នាកម វើកា ណដា គន េនមពញម វើេាបោបមេញៀវ20 តមបើមពល 2 មមាាង។

មបើមានមេញៀវ40 តម វើឲយមហើយកនង យៈមពល 4 មមាាង មតើមគតវកា ចងមៅបានាម ននាក?



11. អនកម ៀបចបនទប5នាកម ៀបចបនទប10 មបើ យៈមពល2 មមាាង។ មបើមានអនកម ៀបចបនទប6

នាកេកម ៀបចបនទប 12 មតើពកគនតតវមបើ យៈមពលបានាម ននាទ?

12. ជាងជជលឡន 4នាកជជលឡនាន 2កនង យៈមពល4h។ មបើជាងជជល

ឡន8នាកវញជជលឡនាន 4 មតើពកគនតតវមបើ យៈមពលបានាម នមមាាង?

13. អនកសរចនារ ម ើវន150 តវមបើមេៅេអ49.5 kg។ មបើគនតម វើន210 មតើគនតតវទញមេៅ

េបានាម នគឡកាេ?

14. អនកម ៀបចបនទប3នាកម ៀបចបនទបេយចននមបើមពល15នាទ។ មបើមានអនកម ៀបចបនទប

5នាកវញ មតើពកមគតវមបើ យៈមពលបានាម ននាទ?

15. ឡនេយតវកា សាង36 L មែើេបម ើវែមណើ ានចមាា យ522 km។ មតើវាតវកា សាង

បានាម នលតមែើេបម ើវែមណើ ានចមាា យ203km?

16. អនកជង70នាកសាន កមៅេនទ មពទយមបើទកម ះមគនអ35 Lកនង យៈមពល6 នលា។

មតើមានអនកជងបានាម ននាក មបើមគមបើទកម ះមគនអ15Lកនង យៈមពល36 នលា?

17. ន 2 នលល1400៛ មតើន10 នលលបានាម នម ៀល?

18. សាវ នងណដោាចេអនេាបាន3 េខ។ មបើពកមគមានគនន េកជយ 2នាកមទៀត មតើចេអន

េាបានបានាម នេខ?

19. អនកលក8អាចដចកាយផលតផលាន1200ឯកាកនង យៈមពលនលា5។ មបើមគមាន

អនកលកចនន10 នងផលតផលចនន2000ឯកា មតើមគតវដចកាយកនង យៈមពល

បានាម ននលា?

20. ផា ទមនើបេយលកទកម ះមគនបអបចណះ1L នង600mL។ ផលម ៀបននបអប ទកម ះមគន1L ដែលានលក នងបអប 600mL ដែលានលកគ 17:23។

a. កភាគ យននបអបទហនេយៗដែលានលក។ b. មបើផា ទមនើបានលកទកម ះមគន បចនន 6600 បអប មតើបអបទហ

នេយៗមានចននបានាម នដែលានលក?



21. មលើយណ កនងលហាត 1 ដែលផលម ៀបននបអបទកម ះមគន1L ដែលានលក នងបអប 600mL ដែលានលកគ 6:19។

22. ាងជាតតចបផតៈ a. 16:12 b. 3:18 c. 8.5:21.25

23. ាងជាតតចបផតៈ a. 8.125:5 b. 1 1

3 :44 3

c. 150.75:201 24. អនកតណដងដផនកលកមាន កានកតមាា លថា កនងកឡងដខកនលងមៅ គនតានមបើកប

1650km មហើយមបើមបងអ125L។ ាងកា មបើាមបង បគនតកនងទេង :100kilometres L។

25. ាងកា មបើាមបង បអនកតណដងដផនកលកកនងលហាត 5 កនងទេង :metres litre។

26. ហាងេយមានតមលខននកា លកតកនងកឡង 4 ដខែបងននឆន ែចតមៅៈ េកោ 240

កេភៈ 203

េនា 124

មេសា 51

a. ាងតមលខននកា លកនេយៗជាផលម ៀបេយមបៀបម ៀបមៅនងដខកេភៈ (ដខមគនល) ដែលចននទព កនងផលម ៀបគ 100។

b. មបើាចមេលើយ បអនកកនង (a) មែើេបគណនាកា ដបបលជាភាគ យកនងកា លកកនងដខនេយៗមបៀបម ៀបនងដខកេភៈ។



27. មលើយណ កនងលហាត 7 ម យមបើដខមេសាជាដខមគនល។

6



មេម ៀនទ ៥


5.1. សេចកដសដើម (Introduction)

ជាទមៅពាកយ កា បរាក (Interest) សមៅមៅម ើបរាកចមណញ (Income) ដែ ានទទ ពមែើេទន ឬេ ធន (capital) ដែ ានវនមោគ ឬជាតមេៃមនបរាកដែ ានបងសបរាប កា មបរបើបរាសបរាកដែ ានខច។ តមេៃមនបរាកដែ ានឱយខច ឬវនមោគ ឬសេត យបចចបបនន (current balance) មនតមេៃមែើេ (original amount) មៅថា បរាកមែើេ (principal or capital)។

តមេៃមនបរាកដែ ានទទ ជាកា បរាកអាសសយម ើកតតា បៈ 1. តមេៃមនបរាកដែ ានឱយខច ឬវនមោគ (ាននយថា បរាកមែើេ) 2. អបរតតកា បរាក (the rate of interest) ជាធេមតតគតជាភាគ យមនកា បរាកដែ ទទ

ានបរតវនងបរាកមែើេមៅម ើឯកតតមនមព មវលា។ 3. យៈមព មនបណ ឬកា វនមោគ។

វតថបណងនៃសមស ៀៃ

ឥទធព មនអតផ ណាមៅម ើកបរេតមនអបរតតកា បរាក កា គណនាដែ ទាកទងនងកា បរាកមទា បេនាកា បរាកមទា ដញកដាចពគនន វាងអបរតតកា បរាកមេ នងអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក ាា នសមម នអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក



ជាេយនងកា បរាកមទា (Simple interest) កា បរាកបរតវានគណនាមដាយដផែកមៅ ម ើបរាកមែើេែបងកនងបរគបបរគនមៅតតេអបរតតកា បរាក។

តមេៃមនបរាកកេច ឬវនមោគេននងកា បរាកបរតវានបកបដនែេពម ើមៅថា តមេៃ បចចបបនន (face value/present value)។ តមេៃមនកា បរាក (ឬបរាកចមណញ) មធៀបនងតមេៃ ដែ ានបងមៅថា ទននផ (yield)។

ឥទធពលនៃអត ណាសលើកមមតនៃអមាកា មាក

(The effect of inflation on the level of interest rate) មោងមៅតតេបរទសដ បយវតែ (Monetary theory) កបរេតមនមេៃជាទមៅនងមកើនម ើងមបើ កា ផគតផគង បយវតែមកើនម ឿនជាងទននផ ស បមនមសែឋកចច។ សមណើ មនេះសនមតថាភាពាន កា ងា មធវើមពញជាសម វនា នងគនម នកា ផលៃ សបដ អបរតតដែ បរាកចរាច ។ អតផ ណា (Inflation) អាចកណតថាជាកមណើ នោាងយ ជាទមៅកបរេតមនមេៃម ើយ ជាធេមតតមៅតតេអបរតតកា បរាកខពស។ េ ម តចបងគអនកឱយខច (lenders) ជាញកញាបអាច បរបមេើ ទកជាេននវកមណើ ន នងតបរេវកា អបរតតកា បរាកខពសមែើេបទទាតសណងចមពាេះតមេៃ បនែយមនបរាក បសមគមៅមព ដែ បរាកកេចបរតវានសងជាយថាម ត។ ឧបាថាអនកឱយខចាន កមពញចតានងអបរតត 8% ម ើបរាកកេចកនង កខខណឌ មេៃសែតមសែ ។ មបើមេៃមកើនកនងអបរតត2% កនងេយឆន អបរតតជាកដសដងម ើបរាកកេចនងានបរតេដត8 2 6% ។ កនងក ណមនេះ អនកឱយខចនងទាេទា អបរតតកា បរាក 10% ៖ អបរតតែបង8% បដនែេ 2% មែើេប ទទាតអតផ ណា2%។ អនកខចបរាកអាចាន ទធភាពបងសងអបរតតកា បរាកខពស មបើអតផ ណាអាចមធវើឱយពក មគតមេៃើងមេៃ កមែើេបទទាត។ តតេ មបៀបមនេះ អនកខចខៃនឯងផលា កពងជយបមងកើត កា ម ើង ខពសមនអតផ ណា (inflationary spiral) ដែ អតផ ណា នងអបរតតកា បរាកជ ញគនន មៅវញមៅ េកឱយមកើនម ើងជា ដាប។ អបរតតកា បរាកខពសកជយឱយមកើនកា ម ើងខពសមនអតផ ណាដែ វាជេះឥទធព មៅម ើសេតែភាពកនងកា ផ ត មេៃមែើេផ តកេម នងតមេៃមនបរាក។ កនងក ណនេយៗ ានសពាធ មៅខាងម ើមៅម ើមេៃ។



5.2. កា គណនាកា មាកសោល(Calculation of simple interest) មែើេបគណនាកា បរាកមទា ម ើបរាកមែើេ (principal) ចមពាេះអបរតតកា បរាកដែ ផដ

ឱយតតេចននឆន មយើងគណបរាកមែើេនងអបរតត ម ើយនងចននឆន ។ វាានសម ៈសខានកនង កា កណតៈ

P principal (បរាកមែើេ) R rateof interest (អបរតតកា បរាកជាធេមតតគតជា % កនងេយឆន )

total simple I interest (កា បរាកស ប) T time ( យៈមព ជាធេមតតគតជាឆន ) S amount or maturityvalueof the principal (តមេៃអនាគតមនបរាកមែើេ) កា បរាកមទា I អាច កតតេ បេនាៈ I P R T (5.1) តមេៃអនាគត S មនបរាកមែើេគៈ S P I (5.2) ដែ មៅមព ជនស I ពសេកា (5.1)មយើងអាចស មស ៈ

1S P RT (5.3) កនងក ណខៃេះ មយើងអាចចងែងពមេៃមែើេដែ នងផដ នវតមេៃអនាគតជាកលាកេយ។

កនងក ណមនេះ មយើងអាចស មស សេកា 5.3 ែចខាងមបរកាេៈ

1

SP

RT

(5.4)

មៅមព ដែ P បរតវានគណនាមចញព S ែចកនងសេកា 5.4 តមេៃមនP

មៅថាតមេៃបចចបបនន (present value) មន S ឬ discounted value មន S ។ ឧទា ណ 1

ច គណនាកា បរាកមទា ដែ ទទ ានពកា ដាកបរាក $15,000 មដាយអបរតតកា បរាក 1.5% កនងេយឆន សបរាប យៈមព ៖

a) 2 ឆន ។ b) 4 ឆន 3 ដខ។



ដសណាោះមាយ មដាយមបរបើ បេនា I P R T មគានៈ ,

a) $15,000 0.015 3 675I $

b) 3 174 3 4

12 4T years months years years years

17$15,000 0.015 956.25

4I $

ឧទា ណ 2 អតេជនាន កដាកបរាក $5,000 វនមោគកនងធនាគន េយសបរាប យៈមព 18 ដខ

មដាយអបរតតកា បរាក9.5%កនងេយឆន ។ ច គណនាៈ a) កា បរាកស បដែ បរតវទទ ាន។ b) តមេៃអនាគត។

ដសណាោះមាយ a) មដាយមបរបើ បេនា មគានៈ

$5,000P , 9.5% 0.095R , 1818

12T months years

18$5,000 0.095 712.5

12I $

b) មដាយមបរបើ បេនា មគានៈ $5,000 $712.5 $5,712.5S ឧទា ណ 3

បរកេ ន The Acme Loan Company ឱយអតេជនាន កខចបរាក $500 ម ើយបរតវសង បរកេ នវញមៅចងដខដែ បណ បរតវជា$560។ ច គណនាអបរតតកា បរាកបរបចឆន ដែ បរកេ នមនាេះមបរបើ។

ដសណាោះមាយ

កនងក ណមនេះ $500P , $60I ម ើយ 1

12T ។ មព មនេះ មយើងមបរបើសេកា 5.1

ដែ ប ាណេនសមគ គ R ។ ែចមនេះ

I P R T



1$60 $500

12R

មយើងអាចស មស $601.44

1$500

12

R

ែចមនេះ អបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន គ 144%។ ឧទា ណ 4

អនកវនមោគាន កចងានបរាក$4,000មៅកនង យៈមព 5 ឆន ខាងេខ។ គនតអាច វនមោគបរាកដែ គនតានជាេយនងកា បរាកមទា ដែ ានអបរតតកា បរាក 12.0%កនង េយឆន ។ មតើឥ វមនេះគនតបរតវដាកបរាកវនមោគបានាម នមែើេបសមបរេចមគន បណង បសគនត?

ដសណាោះមាយ កនងក ណមនេះ $4,000S , 0.12R ម ើយ 5T ។ តតេសេកា 5.4

1

SP

RT

$4,000

1 0.12 5

$4,000

1.60

$2,500 ែចមនេះ គនតគ ដតវនមោគ $2,500 ឥ វមនេះមែើេបានបរាក $4,000មៅចងឆន ទ5។ ឧទា ណ5

មតើមគបរតវមបរបើ យៈមព បានាម នមែើេបទទ ានកា បរាកស ប $2,860 ពកា វនមោគ ដែ ានទកបរាក$16,000មបើមគគតកា បរាកមទា ដែ ានអបរតត3.25%កនងេយឆន ?

ដសណាោះមាយ កនងក ណមនេះ $16,000P , 0.0325R ម ើយ $2,860I ។ មព មនេះ មយើងមបរបើ សេកា 5.1 ដែ ប ាណេនសមគ គ T (ឆន )។ ែចមនេះ

I P R T



$2,860 $16,000 0.0325 T មយើងអាចស មស $2,860

5.5$16,000 0.0325

T

ឆន

ែចមនេះ មគបរតវមបរបើមព 5ឆន នង6 ដខមែើេបានកា បរាកស ប$2,860។ េមតលយមបចខែអបបប មា (Minimum monthly balance)

សមែ បនេបរក ញញវតែេយចននគតកា បរាកមទា មដាយដផែកម ើ សេត យបរបចដខ អបបប ា (Minimum monthly balance) មនគណនមៅកនងដខនេយៗ។ មបើបរាកស ប ដែ ានដាក (Deposited) នងែក (Withdrawal) មធវើម ើងមៅកនងដខដតេយមនាេះេនបរតវាន មគគតកា បរាកឱយមទ។ ឧទា ណ 6

អតេជនាន កានមបើកគណនសនស (Saving account) មៅមេៃទ 15 ដខតលាឆន 2001 ជាេយទកបរាក $1000។ តតរាងខាងមបរកាេមនេះបងាា ញពបរបតបតាកា កនងគណន បសគនត តែ ចងដខមេសមឆន 2002។

កាលបរចឆេទ /

Date

ឆននបរាកានដាក /

Deposits ($)

ឆននបរាកានដក /

Withdrawals ($)

សមតលយ /

Balance ($)

15-Oct-01 1000 1000

11-Nov-01 2500 3500

21-Dec-01 800 2700

3-Jan-02 750 3450

8-Mar-02 400 3050

29-Mar-02 1400 4450

9-Apr-02 650 3800

22-Apr-02 500 4300 ធនាគន ទទាតកា បរាកមទា ចមពាេះគណនកនងអបរតតកា បរាក 2.5% កនងេយឆន (Per annum) មដាយដផែកមៅម ើសេត យបរបចដខអបបប ា (Minimum monthly balance)។ គណនាកា បរាកកនងដខនេយៗ នងកា បរាកស បមៅចងកា យប មចេទមៅមេៃទ 30 ដខមេសមឆន 2002។

ដសណាោះមាយ



កនងក ណមនេះសបរាបដខខៃេះធនាគន ពានគតកា បរាកឱយមទមដាយសម ានកា ដាកបរាកផងនងែកបរាកផង។ កា បរាកកនងដខនេយៗអាចគណនាតតេ បេនា I P R T ដែ

P minimummonthlybalance , 0.025R នង 1

12T

តតេកា គណនាបងាា ញែចកនងតតរាងខាងមបរកាេៈ

ខែ/ Monthសមតលយអបបបរមា /

Minimum balance ($)

ការបរាក /

Interest ($)

November-01 1000 2.08

December-01 2700 5.63

January-02 2700 5.63

February-02 3450 7.19

March-02 3050 6.35

April-02 3800 7.92

Total 16700 34.79 ឧ. កា បរាកកនងដខNovember-01 គៈ

1 $1000 0.025 2.08

12I P R T $

កា បរាកស បមៅចងកា យប មចេទមៅមេៃទ 30-April-02 គជាផ បកកា បរាកកនងដខនេយៗឬអាចគណនាានមដាយ បេនា I P R T

ដែ កនងក ណមនេះ $16700P

មគាន 1$16700 0.025 34.79

12I $ ។

5.3. អមាមបេទធភាពនៃកា មាក (Effective rate of interest) ជាម ឿយៗមៅមព ដែ បរាកកេច យៈមព ខៃ ឬបរាកកេចផលា ខៃនបរតវានមធវើម ើង

មែើេបមគន បណងអវេយ សមែ បនេបរក ញញវតែនងគតកា បរាកមេ (flat rate)។ អបរតតកា បរាកមនេះដតងដតអាសសយមៅម ើបរាកមែើេមបើមទាេះបជាបរាកកេចកពងកាតបនែយកមដាយ។

ឧទា ណៈ ឧបាថាបរាកកេច $10,000 បរតវានផដ ឱយកនង យៈមព 5 ឆន មដាយ អបរតតកា បរាកមេ 9.5%។ មៅមែើេបរគនមគនោយថាមៅឆន ទ៥ តមេៃស បមនបណ នងាន



ចននតចជាង$10,000។ មទាេះជាោាងមនេះកដកា បរាកសបរាបឆន ទ៥នងបរតវានគណនាម ើ បរាកមែើេ$10,000។

មែើេបឱយអនកខចយ ពបរបមេទមនកា បរាកដែ មគនងបងែចជាអបរតតកា បរាកមេ បរាកកេចជាធេមតតកបរតវគតបញច អបរតតកា បរាកដែ ានបរបសទធភាព (Effective rate of Interest) ផងដែ ។ មនេះបងាា ញថាអបរតតកា បរាកពតជាបរតវានបងមដាយអនកខចែចមនេះអនកខចានបង អបរតតកា បរាកមៅម ើសេត យមនបរាកកេចដែ មៅស កនងបរគននេយៗ។

ែចមនេះរា អបរតតកា បរាកមេ នងនាឱយានអបរតតបរបសទធភាពសេេ េយ។ អបរតត បរបសទធភាពមនកា បរាកនងានតមេៃធជាងអបរតតកា បរាកមេ ម ើយតមេៃបរបដ បសវាអាច

គណនាតតេ បេនាៈ 2

1

N RE

N

ដែ E effectiverateof interest (អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក) R flat rateof interest (អបរតតកា បរាកមេ ) N numberof repaymentsinloan (ចននែងមនកា ទទាត)

ឧទា ណ 7 អតេជនាន កានខចបរាកចនន $15, 000 ពធនាគន េយដែ នងបរតវបងសងបរបចដខ

កនង យៈមព 5 ឆន ។ ធនាគន គតកា បរាកកនងអបរតត9.5%។ គណនាៈ a) កា បរាកមទា ស បម ើបរាកកេច b) អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកសេេ ។

ដសណាោះមាយ a) កនងក ណមនេះ $15000P , 0.095R , 5 T

$15000 0.095 5 7125I P R T $ b) មដាយបរាកកេចបរតវបងសងបរបចដខកនង យៈមព 5 ឆន មនាេះចននែងមនកា បងគ

5 12 60N 2 2 60 0.095

0.1869 18.691 60 1

N RE

N

%



គ កតសាគ ថាអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកានតមេៃតចជាង 2 ែងមនអបរតតកា បរាកមេ ។ ឧទា ណ 8 ស គេនឥណទានេយានផដ បរាកកេចដែ នងបរតវបងសងវញបរបចដខកនង យៈមព 20 ឆន មដាយអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក17.0%។ គណនាអបរតតកា បរាកមេ ដែ សេេ នងអបរតតកា បរាកមនេះ។

ដសណាោះមាយ កនងក ណមនេះ 20 12 240N នង 0.17E ។ តតេសេកា 5.6៖

1

2

N ER

N

240 1 0.17

2 240

40.97

480 0.08535

ែចមនេះ អបរតតសេេ មនកា បរាកគ 8.535%។ (កតសាគ ថា វាពតជាធជាងពាក កណាដ មនអបរតតបរបសទធភាព។) ឧទា ណ9 អនកសមងសងាន កចងខចបរាកពសមែ បនេយមែើេបទញសាា ៈេយចនន។អនកបរគបបរគងសមែ បនមនេះានគតអបរតតកា បរាកមេ 6.4% ម ើបរាកកេច។ អនកសមងសងសឱយគតអបរតតកា បរាកសេេ កនងក ងមព មនាេះ ម ើយមគានបរាបគនតវញថាអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក គ12.0% ។ មតើនងានកា បងសងចននបានាម នែងមៅម ើបរាកកេចមនេះ?

ដសណាោះមាយ កនងក ណមនេះ 0.120E , 0.064R ម ើយ N េនសមគ ។ មដាយស មស សេកា 5.6 ម ើងវញ៖

2

EN

R E

0.120

2 0.064 0.120

15

ែចមនេះ កា បងសង15ែងនងបរតវមធវើម ើង។ (កតសាគ ថា មនេះគេនអាសសយមៅ ម ើចននដែ អនកសមងសងចងខច។)

3



1. ច គណនាកា បរាកមទា ស បដែ ទទ ានម ើបរាកមែើេ $3500 កនងអបរតតកា បរាក7.5%កនងេយឆន ម ើ យៈមព 4 ឆន ។ 2. ច កអបរតតកា បរាកមទា ដែ មធវើឱយបរាកមែើេ $750 ទទ ានបរាកស ប $984.38

បនាា បព យៈមព 5ឆន ។ 3. បរកេ នផដ ញញបបទានេយានឱយអតេជនាន កខចបរាកចនន $2000 ម ើយបរតវសង វញមៅចងបញច បមន យៈមព 2 ដខដែ បរាកបណ បរតវជា$2400។ មតើបរកេ នគតអបរតត កា បរាកមទា បរបចឆន មសមើនងបានាម ន? 4. ហាងេយានផាយពាណជជកេម កាា សនមាកគកកនងតមេៃ$800។ មគបរាបថាអតេជន អាចទញវាានមដាយបងបរាក 10% នងបរតវបង$40កនងេយដខម ើ យៈមព 2ឆន ។ មតើអបរតត កា បរាកមេ មសមើនងបានាម ន? 5. ចមពាេះទនននយមៅកនងសណ 4 មតើអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកមសមើនងបានាម ន? 6.ធនាគន េយផា បរាកកេចបគគ (មដាយគនម នវតែធានា) ដែ បរតវសងវញជាេយមដាយបង បរបចដខម ើយអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកគ 15%។ ច គណនាអបរតតកា បរាកមេ ដែ សេេ ។ 7. មបើបរាកកេចានកា បងសងមសមើៗគនន ចនន20ែង ច កអបរតតកា បរាកមេ ដែ បរតវគនន នង អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក12.5%។ 8.មេធាវាន កទទ ានកា បរាកស ប $864 បនាា បព យៈមព 4.5ឆន មនកា វនមោគបរាក មែើេចនន $6000កនងគណន។ មតើអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន មសមើនងបានាម ន? 9.មតើនងានអវមកើតម ើងចមពាេះកបរេតមនមេៃមបើកា ផគតផគងបរាកមកើនម ើងម ឿនជាងទននផ ស បមនមសែឋកចច? 10. ពនយ សមងខបពអតែនយមនពាកយ កា វ សម ចេះសម ម ើងមនអតផ ណា (inflationary spiral)។

6



1.កា បរាកមទា ដែ ទទ ានពកា ដាកបរាក$35 000 មដាយគតអបរតតកា បរាក 6%កនងេយឆន សបរាប យៈមព 5ឆន 3ដខគៈ

a) $11 943.75 b) $2275.00 c) $12 057.50 d) $1194.38 e) គនម នចមេៃើយ 2. ធនាគន េយានឱយអតេជនាន កខចបរាក $10 000ម ើយបរតវសងវញមៅចង យៈមព 9 ដខដែ បណ បរតវជា $10 281.25។ អបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន ដែ ធនាគន កពងគតគៈ

a) $5.57% b) $3.75% c) $2.81% d) $7.50% e) គនម នចមេៃើយ 3.ភាន កងា សម ពតានាន កបរតវកា បរាកស បចនន $25 000កនង យៈមព 6 ឆន មៅមព ដែ គនតច នវតាន។ គនតអាចវនមោគបរាក បសគនតមដាយអបរតតកា បរាកមទា 8.5%

កនងេយឆន ។មតើគនតគ វនមោគបរាក បសគនតបានាម នមែើេបសមបរេចមគន បណង បសគនត? a) $23 041 b) $17 482 c) $16 556 d) $15 000 e) គនម នចមេៃើយ

4. ទនាមពទយាន កខចបរាក $27 000 ចសងបរបចដខកនង យៈមព 3ដខ។ អបរតតកា បរាកមេ គ 7.25%។ កា បរាកស បម ើបរាកកេចមនេះគៈ

a) $1957.50 b) $19 575.00 c) $5000.00 d) $5872.50 e) គនម នចមេៃើយ 5. ចមពាេះទនននយសណ 4 អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកគៈ

a) $7.0% b) $14.1% c) $11.8% d) $12.0% e) គនម នចមេៃើយ

6. មោងមៅតតេ បេនា 1

SP

RT

មតើបរបមោគណាេយដែ បរតេបរតវ?

a) មបើតមេៃR មកើនម ើង មនាេះតមេៃP កមកើនម ើងដែ b) មបើតមេៃ S មកើនម ើង មនាេះតមេៃPកមកើនម ើងដែ c) មបើតមេៃTមកើនម ើង មនាេះតមេៃPកមកើនម ើងដែ d) មបើតមេៃR នង T មកើនម ើងទាងព មនាេះតមេៃP កមកើនម ើងដែ e) មបើតមេៃS នង Rមកើនម ើងទាងព មនាេះតមេៃP កមកើនម ើងដែ

7. ពាកយតមេៃបចចបបនន(face value) សមៅម ើៈ a) កខណៈមនឯកសម បរាកកេច



b) តមេៃមនបរាកកេចរាបបញច ទាងកា បរាក c) ពនធដែ បរតវបងម ើបរាកកេច d) តមេៃមនបរាកកេចេនមព កា បរាកបរតវានបកបដនែេ e) គនម នចមេៃើយ

8. មបើអនកែកកា បរាកមេ (fixed interest)ចមពាេះបណ ផាេះ មនាេះអនកនងគតថា៖ a) អបរតតបណ នងមកើនម ើងមៅមព អនាគត b) អបរតតបណ នងេយចេះមៅមព អនាគត c) អបរតតបណ នងសែតមៅែដែ d) មសែឋកចចនង កចម ើនោាងឆប ស e) គនម នចមេៃើយ

9. ជាងម ើាន កានមបើកគណសនសមៅមេៃទ8 ដខេករាមៅធនាគន កនងសសកេយដែ ផដ អបរតតកា បរាកមទា 0.02%ម ើសេត យបរបចដខអបបប ា។ បរាកដែ ានដាកមៅមេៃទ 8 ដខេករាគ $500។មៅមេៃទ15 ដខេករាគនតានដាកបរាកបដនែេ $400ម ើយមៅមេៃទ 25 ដខេករាគនតានដាកបដនែេ $100មទៀត។ កា បរាកដែ ផដ មដាយធនាគន ចមពាេះគណន មនេះសបរាបដខេករាគៈ

a) $0 b) $2 c) $10 d) $20 e) គនម នចមេៃើយ

4Y4



លហាត

1. គណនាកា បរាកមទា ដែ កានម ើ៖ a. បរាកមែើេ$4000 កនងអបរតតកា បរាក 8%កនងេយឆន យៈមព 4ឆន b. បរាកមែើេ$12500 កនងអបរតតកា បរាក 6%កនងេយឆន យៈមព 5ឆន c. បរាកមែើេ$25000 កនងអបរតតកា បរាក 7%កនងេយឆន យៈមព 3ឆន

2. ច កអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន ដែ នងមធវើឱយ៖ a. បរាកមែើេ $1000ទទ ានបរាកស ប $1100បនាា បព យៈមព 5ឆន b. បរាកមែើេ $5000ទទ ានបរាកស ប $6600បនាា បព យៈមព 3 ឆន c. បរាកមែើេ$2500 ទទ ានបរាកស ប $2812.50បនាា បព យៈមព 5 ឆន

3. ច កអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន ដែ មធវើឱយ៖ a. បរាកមែើេ $250ទទ ានបរាកស ប $282.50បនាា បព យៈមព 4ឆន b. បរាកមែើេ $1500ទទ ានបរាកស ប $2412បនាា បព យៈមព 8ឆន c. បរាកមែើេ $900ទទ ានបរាកស ប $1498.50បនាា បព យៈមព 7ឆន

4. មតើបនាា បពបានាម នបរគនដែ ៈ a. បរាកមែើេ $3000នងទទ ានបរាកស ប $3300

កនងអបរតតកា បរាកមទា 5%កនងេយឆន ? b. បរាកមែើេ $6500នងទទ ានបរាកស ប $7523.75

កនងអបរតតកា បរាកមទា 4.5%កនងេយឆន ? c. បរាកមែើេ $18 000នងទទ ានបរាកស ប $30

397.50កនងអបរតតកា បរាកមទា 9.5%កនងេយឆន ? 5. មតើបនាា បពបានាម នបរគនដែ ៈ

a. បរាកមែើេ $2200នងទទ ានបរាកស ប $2511.67 កនងអបរតតកា បរាកមទា 4.25%កនងេយឆន ?

b. បរាកមែើេ $430នងទទ ានបរាកស ប $650.73 កនងអបរតតកា បរាកមទា 8%កនងេយឆន ?



c. បរាកមែើេ $345 000នងទទ ានបរាកស ប $474 375 កនងអបរតតកា បរាក មទា 6.25%កនងេយឆន ?

6. អតេជនាន កវនមោគបរាកស ប $600 កនង យៈមព 15 ដខកនងអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន 7.5%។ ច កៈ

a. កា បរាកស បដែ ទទ ាន b. តមេៃអនាគតមនបរាកមែើេ

7. ច មៃើយសណ ហាត6ម ើងវញមដាយសនមតថាអតេជនមនាេះវនមោគ$2300កនង យៈមព 42 ដខមដាយអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន 10.5%។

8. អនកវនមោគាន កានបណងចងានបរាកស ប $3000

កនង យៈមព 5ឆន ។គនតអាចវនមោគបរាក បសគនតមដាយទទ ានអបរតតកា បរាក 13.25%កនងេយឆន ។មតើឥ វមនេះ គនតគ វនមោគបានាម នមែើេបសមបរេចមគន បណង បសគនត?

9. ច មៃើយសណ ហាត8ម ើងវញមដាយសនមតថាអនកវនមោគានបណងចងានបរាកស ប$10 000កនង យៈមព 8ឆន ។

10. អតេជនាន កមបើកគណនធនាគន សនសេយមៅមេៃទ3 េនា ឆន 2001 មដាយានបរាក ស ប $50។ តតរាងខាងមបរកាេបងាា ញពបរបតបតាកា កនងគណន តែ ចងដខេេនា ឆន 2001។

Date Deposits ($) Withdrawals ($) Balance ($)

03.03.01 50 50

23.03.01 120 170

15.04.01 35 135

27.05.01 75 210

29.05.01 20 190

08.06.01 200 390 ធនាគន គតកា បរាកមទា ដែ ានអបរតតបរាក 5.5%កនងេយឆន មដាយដផែកម ើ

សេត យបរបចដខអបបប ា។ a) ច គណនាសេត យបរបចដខអបបប ានងកា បរាកកនងដខនេយៗ b) ច គណនាកា បរាកស បមៅមេៃទ 30ដខេេនា ឆន 2001។



11. ច មៃើយសណ កនង ហាត10ម ើងវញមបើធនាគន ផដ អបរតតកា បរាកមទា 9.25% កនងេយឆន មដាយដផែកមៅម ើសេត យបរបចដខអបបប ា។

12. នសសតាន កខចបរាក $3500ពធនាគន េយ ម ើយបរតវសងវញបរបចដខ យៈមព 3ឆន ។ ធនាគន ានគតអបរតតកា បរាកមេ 6.25%។ច គណនាៈ

a. កា បរាកមទា ស បម ើបរាកកេច b. អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកដែ សេេ (the equivalent effective rate of

interest)។ 13. បរកេ នផដ ញញបបទានេយកពងផដ បរាកកេចទញ េយនាដែ បរតវបងសង យៈ

មព 15ឆន មដាយបងបរបចដខ ម ើយអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកគ 14.0%។ គណនាអបរតតកា បរាកមេ ដែ សេេ ។

14. មៃើយសណ កនង ហាត 13 ម ើងវញ មបើអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកគ 18.5%។ 15. មៃើយសណ កនង ហាត 13 ម ើងវញ មបើកា សងបងជាម ៀងរា ាស។ 16. ាា សនអា ម ើេយ កកនងតមេៃ $1000។ មបើសនវាបរតវានមគទញ

មគបរតវបងបរាក16%នងបរតវបង$38.50កនងេយដខម ើ យៈមព 2ឆន ។ច កៈ a. មេៃស បមនាា សនអា ម ើដែ អនកទញបរតវបង b. កា បរាកស បដែ បរតវបង c. អបរតតកា បរាកមេ d. អបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាកដែ ានាា នសមម ន

17. ច មៃើយសណ កនង ហាត12ម ើងវញ មបើាា សនអា ម ើបរតវានមគ កកនងតមេៃ $500ជាេយកា ទញមដាយគនម នបងបរាក ម ើយបរតវបងសង $12.25កនងេយដខម ើ យៈមព 4ឆន ។

18. នសសតាន កានសនសបរាក $3500 មែើេបទញ េយនាេយមបរគឿង។ សនមតថា បរាកដែ បរតវកា គ $4750កនង យៈមព 4ឆន មតើអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន អបបប ា ដែ នសសតមនាេះបរតវដតទទ ានមសមើនងបានាម ន?



19. មតើបរតវមបរបើមព បានាម នមែើេបឱយកា វនមោគបរាក $25000 ទទ ានបរាកស បចនន$40000 មដាយអបរតតកា បរាកមេ គ 9.5% កនងេយឆន ?

20. មតើបរតវចណាយ យៈមព បានាម នកនងកា វនមោគទន $20 000មែើេបទទ កា បរាក $5312.50មដាយអបរតតកា បរាកមទា 6.25%កនងេយឆន ?

21. ាច សហាង កដផៃម ើាន កវនមោគបរាក $15 000 មដាយអបរតតកា បរាក 7.50%

កនងេយឆន ។មតើបរតវចណាយ យៈមព បានាម នមែើេបមធវើឱយគនតទទ ានបរាកស បមសមើនងព ែងមនបរាកមែើេ បសគនត?

22. សតសាាន កានវនមោគបរាក $5000សបរាបកនសស បសគនតកនង យៈមព 12ឆន ។ វាានតមេៃស ប $7250 មៅចងបរគន។ មតើអបរតតកា បរាកមទា កនងេយឆន មសមើនងបានាម ន?

23. នាយកបរកេ នាន កសមបរេចចតាទញ េយនាបរបណតេយដែ ានតមេៃ $80 000។ គនតបងបរាក20%ម ើយមៅស បានាម នបរតវបងបរបចដខែចបរាកកេច យៈមព 6ឆន មដាយគតអបរតតកា បរាកមេ 8.5%កនងេយឆន ។

a. គណនាកា បរាកស បដែ គនតបរតវបង b. កតមេៃបរបដ មនអបរតតបរបសទធភាពមនកា បរាក c. គណនាបរាកស បដែ គនតបរតវបងមេៃទញ េយនា

24. វសវក ាន កានឱយបគគ ក េកា ងា ខចបរាក $2000សបរាប យៈមព 50 មេៃ។ មៅ មព មនាេះបគគ ក េកា ងា ានសងគនត $2200។ មតើអបរតតកា បរាកមទា បរបចឆន មសមើនងបានាម នដែ បគគ ក េកា ងា បរតវបង? សនមតថាេយឆន មសមើនង365មេៃ។

25. មេធាវាន កានឱយអតេជនាន កខចបរាក $4000កនង យៈមព 120

មេៃមដាយគតអបរតតកា បរាក5%កនងេយឆន ។ a. មតើមេធាវមនាេះនងទទ ានកា បរាកបានាម ន? b. មតើអតេជនបរតវសងបរាកស បឱយមេធាវវញមសមើនងបានាម ន?

26. មៅមេៃទ15េករាឆន 2001បរគបមបរងៀនាន កានមបើកគណនសនសមដាយដាកបរាក$150។ តតរាងខាងមបរកាេបងាា ញពបរបតបតាកា មៅកនងគណន តែ ចងដខតលាឆន 2001។



Date Deposits ($) Withdrawals ($) Balance ($)

15-Jan-2001 150 150

12-Apr-2001 500 650

8-Jun-2001 325 325

21-Sep-2001 120 445

15-Oct-2001 90 355 ធនាគន ទទាតកា បរាកមទា កនងអបរតតកា បរាក 3.25% កនងេយឆន (Per annum)

មដាយដផែកមៅម ើសេត យបរបចដខអបបប ា(Minimum monthly balance)។ a) គណនាសេត យបរបចដខអបបប ានងកា បរាកកនងដខនេយៗ។ b) គណនាកា បរាកស បមៅចងកា យប មចេទមៅមេៃទ 31 ដខតលាឆន 2001។ 27. សនមតថានសសតាន កចងានបរាកចនន $12 000កនង យៈមព 6ឆន មែើេបទញ

េយនាេមេយ។ ធនាគន ានផា ឱយគនតនវគណនសនសដែ គតកា បរាកមទា 5% កនងេយឆន ។ មបើគនតវនមោគបរាក$9000មេៃមនេះកនងគណន មតើគនតានបរាកបរគប បរគននមែើេបទញ េយនាដែ ឬមទ? ច ពនយ ។

4



មេម ៀនទ ៦



កនងជពកេន អនកបានសកាអព មបៀបគតកា បរបាកមោលដែលជានចចកាលបរតវបាន គណនាមលើតមេៃបរបាកមែើេែបង។ កនងជពកមនេះ ម ើងពចា ណាមៅមលើក ណដែលកា បរបាក ដែលជពាកបរតវបានបកបញច លមៅមលើបរបាកមែើេមៅមនចងបរានេ ៗ ម ើ កា បរបាកខៃនវា កអាច កបានកា បរបាកពចណចមនាេះមៅេខ។ កនងក ណមនេះ កា បរបាកបរតវបានមគមៅថា កា បរបាកផគប (compound interest) ម ើ ផលបកមនបរបាកមែើេ នងកា បរបាកស បដែល កបាន មៅថាតមេៃកមណើ ន (accumulated value or maturity value)។ ផលែក វាងតមេៃកមណើ ន នងបរបាក មែើេមៅថា កា បរបាកផគប។

សនមតថា ម ើងកណតៈ P =principal at the beginningបរបាកមែើេ i =rate of interest per period (expressed as a fraction or decimal) អបរាកា បរបាកកនងេ បរា


កា ដែកមចែពាន វាងកា បរបាកមោល នងកា បរបាកផគប កា គណនាកា បរបាកផគប កា មបរបៀបម ៀបកា គណនាកា បរបាកមោល នងកា បរបាកផគប កា គណនាមលៃបចចបបនន តមេៃកមណើ នមនបរបាកមែើេ ម េះសរា បញហា ដែលោកទងនងកា ផលៃ សបដ បេនតកា បរបាកផគប



n =number of periods for which interest is accumulated ចននែងមនកា ទោត S =accumulated value at the end of n periodsតមេៃកមណើ ន (មលៃអនាគត) មៅចងបរា មគបាន បេនតគ ៈ (1 ) n

S P i (សមគគ លៈ ក ណខៃេះមគាង FV(Future value)=S, PV(Present value)=P) កនងក ណមនេះកាត ដែលមគគណជាេ នងបរបាកមែើេមែើេបបានតមេៃកមណើ នមៅថា

កាត កមណើ ន (Accumulation factor)។មគស មស ៖Accumulation factor= (1 ) ni

មៅមពលដែលម ើងចងបានតមេៃមនកា បរបាកមគអាចគណនា: កា បរបាក តមេៃកមណើ ន បរបាកមែើេ

Amount of compound interest accumulated value original principal 1

nP i P

1 1n

P i

( 1)P accumulation factor

កា សបៀបស ៀបកា គណនាកា ាកសោលៃងកា ាកគបសលើាកសដើមដបង

(Comparison of the calculation of simple interest and compound interest from first principles)

ចមពាេះបរបាកមែើេP , អបរាកា បរបាក i , នង ៈមពលវនមោគ ឬខចែចាន កា បរបាកផគប នងមគនតមេៃ ជាងកា បរបាកមោលជានចច។ កនងក ណមនេះ ាេទសសនៈ បសអនកវនមោគគ ចងបានកា បរបាកផគប ខណៈដែលអនកខចចងបានកា បរបាកមោល។ ជាឧោ ណ តមេៃមនកា បរបាកមោលដែល កបានកនងឆន នេ ៗគ មល P i Pi ។ តមេៃមនកា បរបាកផគបដែល កបានកនងឆន ទ១ ក Pi ដែ ។ មោេះជាោាងមនេះកដ តមេៃមនកា បរបាក ផគបដែល កបានមៅឆន ទ២ គ 1Pi i ដែល ជាង Pi។ តមេៃមនកា បរបាកផគបដែល កបានមៅ ឆន ទ៣ គ

21Pi i ក ជាង Piផងដែ ។

ោងមនេះអាចបងហា ែ ក ណទមៅម មបរបើពជគណតងហ េ ចនន។ តមេៃមនកា បរបាកផគបដែល កបានកនងឆន ទ

11

kk Pi i

តមេៃមនកា បរបាកមោលដែល កបានកនងឆន នេ ៗ Pi



ម 1

1 1k

i

ចមពាេះ 0i នង 1k មគអាចោែបាន

11

kPi i Pi

ចមពាេះ 0i នង 1k នង 0Pi ដែលមគនន ថា តមេៃមន

កា បរបាកផគបនងមបរចើនជាងតមេៃមនកា បរបាកមោលចមពាេះតមេៃ i នង k ែចាន ។ ឧោ ណ 6.1

មគច សហាងមគន កបានវនមោគ $1000 កនងគណន បសាតម ទទលបានអបរាកា បរបាក 8% កនងេ ឆន (per annum)។ទកបរបាកបរតវបានវនមោគ ៈមពល 3 ឆន ។ គណនា កា បរបាកដែលទទលបានកនងឆន នេ ៗ នងកា បរបាកស បដែលទទលបានបនាា បព ៈ មពល 3 ឆន មបើគណន បសាតបរតវបានគតាេៈ

a) កា បរបាកមោល (Simple interest)។ b) កា បរបាកផគប (Compound interest)។

ដស ោះាយ

a) ាេ បេនតកា បរបាកមោលដែលមគន $1000 , 0.08, 1P R T

មគបានកា បរបាកមោលដែលទទលបានសបរមគបឆន នេ ៗគ

$1000 0.08 1 $80I PRT ែចមនេះកា បរបាកមៅចងឆន ទ៣ស បាេកា បរបាកមោលគ ៈ3 $80 $240

b) សនមតថាកា បរបាកផគបដែលមគនអបរាបរបចាឆន 8% បរតវបានបកបដនែេ មៅចងឆន ទ១៖ កា បរបាកដែលបរតវបដនែេកនងឆន ទ១ $1000 0.08 $80

បរបាកមែើេលមមៅចងឆន ទ១ $1000 $80 $1080

មៅចងឆន ទ២៖ កា បរបាកសបរមគបឆន ទ២បរតវបានគណនាមៅមលើបរបាកមែើេមៅមែើេឆន ចនន

$1080 កា បរបាកដែលបរតវបដនែេកនងឆន ទ២ $1080 0.08 $86.40 បរបាកមែើេលមមៅចងឆន ទ២ $1080 $86.40 $1166.40



មៅចងឆន ទ៣៖ កា បរបាកសបរមគបឆន ទ៣បរតវបានគណនាមៅមលើបរបាកមែើេមៅមែើេឆន ចនន

$1166.40 កា បរបាកដែលបរតវបដនែេកនងឆន ទ៣ $1166.40 0.08 $93.31 បរបាកមែើេលមមៅចងឆន ទ៣ $1166.40 $93.31 $1259.71

ែចមនេះមៅចងឆន ទ៣កា បរបាកផគបស បដែលបរតវទទលបានគ $1259.71 $1000 $259.71

ម ើងម ើែថាកា បរបាកផគបមគនចននមបរចើនជាងកា បរបាកមោល។

6.2. កា គណនាកា ាកគប (Calculation of Compound Interest) ឧោ ណ6.2

ឧបមគថាទកបរបាកចនន $8000 បរតវបានមគវនមោគជាេ នងអបរាកា បរបាកផគប 5% កនងេ ឆន ។ កកាត កមណើ ន (Accumulation factor), តមេៃកមណើ ន (Accumulated value) នងចននកា បរបាកផគបដែលទទលបានបនាា បពកា វនមោគ ៈមពល៖

a. 3 ឆន ។ b. 10 ឆន ។

ដស ោះាយ

កនងក ណមនេះ $8000P ម ើ 0.05i a) មគបាន 3n , ាេ បេនត៖

3

1 1 0.05 1.05 1.05 1.05 1.157625n

Accumulated factor i (សមគគ លៈ តមេៃមនេះអាច កមចែពកនងារាង ញញវតែបរតងអបរាកា បរបាក នង ) តមេៃកមណើ ន

3 (1 ) $8000 1.05 $8000 1.157 625 $9261nAccumulated value S P i

កា បរបាកផគប 1 $8000 1.157 625 1 $8000 0.157 625P accumulation factor $1261 (ឬមគអាចគណនា$9261 $8000 $1261 )

b) កនងក ណមនេះ



កាត កមណើ ន 10 10

1 1 0.05 1.05 1.62889463n

Accumulation factor i (សាលៈតមេៃមនេះអាច កមចែពកនងារាង ញញវតែបរតងអបរាកា បរបាក នង )

តមេៃកមណើ ន

10

(1 ) $8000 1.05 $8000 1.628 894 63 $13 031.16nAccumulated value S P i កា បរបាកផគប 1P accumulation factor

$8000 1.628 894 63 1 $8000 0.628 894 63 $5031.16 (ឬមគអាចគណនា$13 031.16 $8000 $5031.16 ) ឧោ ណ 6.3

គណនាតមេៃមនកា បរបាកមោលដែល កបានបនាា បព ៈមពល 10 ឆន មលើបរបាក $8000 ម អបរាកា បរបាកបរបចាឆន 5%។ មបរបៀបម ៀបចមេៃើ មនេះ មៅនងចមេៃើ កនងឧោ ណ6.2b។

ដស ោះាយ

ាេ បេនតកា បរបាកមោលៈ

$8000 0.05 10 $4000I P R T ែចដែលបាន ពងទក គ វាតចជាង $5031.16។ ឧោ ណ 6.4

ទកបរបាកចនន$20000 បរតវបានវនមោគ ៈមពល 10 ឆន កនង នាា េ ដែលផដល អបរាកា បរបាក6%កនងេ ឆន ទោតរាលឆមគស។ កៈ

a) កាត កមណើ ន b) តមេៃកមណើ នបនាា បព ៈមពល 10 ឆន c) កា បរបាកស បដែល កបាន។

ដស ោះាយ

កនងក ណមនេះ $20000P ។ ម កា បរបាកផគបគតពែងកនងេ ឆន អបរាកា បរបាកកនងេ ឆមគសគ ៈ



0.060.03

2i

ចននបរាស បគ ៈ

2 10 20n a) ាេ បេនត 1

nAccumulated factor i

20

1 0.03

201.03

1.80611123

(សមគគ លៈ តមេៃមនេះអាចមបរបើារាងទ១ បរតងអបរាកា បរបាក 3% នង 20n ) b) ាេ បេនតៈ

1n

Accumulated value S P i

20$20000 1.03

$20000 1.80611123 $36122.22

c) ាេ បេនតៈ កា បរបាកស ប 1P accumulated factor

$20000 1.80611123 1

$20000 0.80611123 $16122.22 (សមគគ លៈ មគអាច កម ើែតមេៃមនេះម ែកបរបាកមែើេ $20000 មចែពតមេៃកមណើ ន $36122.22 )

ឧោ ណ 6.5 ម េះសរា លហាត 6.4 ម ើងវែ បាដនតសនមតថាកា បរបាកផគបបរតវបានគតបរបចាដខ

ម ើ មគវនមោគបរតេដត ៈមពល 5ឆន បាមណាណ េះ។ ដស ោះាយ



ម ើងមគន $20000P ។ ម កា បរបាកគតផគបរាលដខ (មគនន ថា 12ែងកនងេ ឆន ) អបរាកា បរបាកកនងេ បរា (ដខ)គ ៈ

0.060.005

12i

ចននបរាមនកា ទោតស បគ ៈ

12 5 60n a) ាេ បេនតៈ កាត កមណើ ន

60 601 1 0.005 1.005 1.34885015

ni

(គ កតសមគគ លថា តមេៃមនេះអាច កម ើែម មបរបើារាងទ១ បរតងអបរាកា បរបាក 1%

2 នង

60n )។ b) តមេៃកមណើ ន 1

nS P i

60 60

$20000 1 0.005 $20000 1.005 $20000 1.34885015 $26977.00 c) កា បរបាកស ប 1P accumulation factor

$20000 1.34885015 1 $20000 0.34885015 $6977.00 (គ កតសមគគ លផងដែ ថា តមេៃមនេះអាច កម ើែម ែកបរបាកមែើេ $20000 មចែពតមេៃ កមណើ ន $26977.00) ឧោ ណ 6.6

មលខាមគន ក បសបរកេ នេ មគនឱកាសផដលបរបាកកេចមៅឲយាែ បនេ ដែលគតអបរាកា បរបាកផគប 4.0% ទោតរាលបរតមគស។ មបើាតសមបរេចចតតវនមោគចនន $6000 កនង ៈមពល 8ឆន គណនាៈ

a) កាត កមណើ ន b) តមេៃកមណើ នបនាា បព ៈមពល 5 ឆន c) កា បរបាកផគបស បដែល កបាន។

ឧោ ណ 6.7



សនមតថា ាែ បនខចបរបាកកនងឧោ ណ 6.6 ផដលែលមលខានវជមបរេើស េ មទៀត គ ាតនងទទលបានកា បរបាកមោលកនងអបរា 4.6% កនងេ ឆន ៈមពល 8 ឆន ។ មតើជមបរេើស ណាេ ដែលាតគ ដតមបរជើស ក?

6.3. តនមៃបចចបបៃន (Present Value) មៅកនងាែ នភាពពាណជជកេមេ ចននវាមគនា ៈសខានណាសកនងកា កណតថាមតើ

បរបាកមែើេ មសមើបានាម ននងមកើនបានចនន ដែលចងបានជាេ អបរាកា បរបាកផដលឲយកនង n

បរា។ ែចមនេះ ម ើងចងែងថាមលៃមនេះម ើងបរតវវនមោគបានាម នមែើេបមកើនបានបរបាកដែលម ើង ចងបានមៅមពលអនាគត។ កនងក ណមនេះតមេៃដែលមគេនាគ លគ P ដែលោែមចែពកនង សេកា ៖

n S P(1 i)(1 )n

SP

i

ឬ (1 ) n

P S i

P present value or discounted value 1

nPresent value factor discount factor i

ឧោ ណ 6.8 អតលជន បស នាា មគន កចងបានតមេៃ $30000 មៅចងឆន ទ 10។ នាា ផដលអបរា

កា បរបាក 8%កនងេ ឆន ទោតរាលឆន ។ មតើឥ វមនេះអតលជនបរតវ វនមោគបានាម នជាេ នាា មនេះ?

ដស ោះាយ កនងក ណមនេះ $30000S , 0.08i នង 10n ។ ាេសេកា 6.5៖

Present valuefactor 1n

i

101 0.08

0.46319349 (កតសមគគ លថា តមេៃមនេះអាច កមចែពកនងារាងទ២ ម មបរបើអបរាកា បរបាក 8%

នង 10n ។) ាេសេកា 6.4 ៖



1n

P S i

$30000 0.46319349 $13895.80

ែចមនេះ អតលជនបរតវវនមោគចនន$13 895.80ឥ វមនេះ មែើេបបានបរបាកស ប$30000 មៅចងឆន ទ10។

កា គណនាអាកា ាក(Calculation of the interest rate)

ម ើងោែ ក ពកនងសេកា ៖ (1 ) n

S P i ដចកអងគោងព នង មគបានៈ

(1 )n Si

P គណនាឫសទ មៅមលើអងគោងព មគបានៈ

1 1

1 1nS

iP

nSi

Pដែល

1

nS

P

ជាឫសទ មន S

P

កា គណនាចៃៃដងនៃកា ទោត ឬចៃៃា(Calculation of the number of periods)

បេនតគណនាកា បរបាកផគបអាចបរតវបានមបរបើមែើេប កចននបរា n ដែលចាបាចឲយ តមេៃមនP មកើនបានតមេៃ S ខណៈដែលអបរាកា បរបាកគ i កនងេ បរា។ មែើេបម វើែចមនេះ បានម ើងបរតវោែ ក n ពកនងសេកា (1 ) n

S P i ែចខាងមបរកាេៈ

1n

S P i ក log មៅមលើអងគោងព ៖ log log (1 )S n

P i មបរបើលកខណៈមនមោកា តមគអាចស មស ៖ log log log(1 )S P n

i

log log log(1 )S P n i log 1 log logn i S P

log 1 logS

n iP

log

log(1 )

S

Pn

i

ឧោ ណ 6.12



ក ៈមពលដែលបរតវចណា មែើេបឲយបរបាក $800 មកើនែល $1500 មបើអបរាកា បរបាក គ 5%កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបរាលបរតមគស។

ដស ោះាយ កនងក ណមនេះ បរាជាបរតមគស ម ើ ម ើងមគនៈ

$800 , $1500P S នង 0.050.0125

4i

ាេ បេនតៈ

1500log

log1.875 0.273080050.56

log 1 0.0125 log1.0125 0.0054n

ែចមនេះ ចននបរាដែលបរតវកា គ 50.56។ ម កនងក ណមនេះ បរាគ ជាបរតមគស ៈ

មពលបរបហាកបរបដ លមសមើនង 50.5612.64

4 ឆន ។

ឧោ ណ 6.13 នសសតបញច បកា សកាមគន កចងទែ ល នតមបរបើម ើ េ មបរគឿងដែលាតបាា នាម នថា ាតនងបរតវកា បរបាកចនន $8000។ បចចបបនន ាតមគនបរបាកចនន $6200ម ើ ាតមគន គមបរមគងវនមោគព មផសងាន គ A នង B។ មបរកាេគមបរមគង A ាតនងទទលបានកា បរបាក មោលដែលមគនអបរាបរបចាឆន 5.4% ឯគមបរមគង B ាតនងទទលបានអបរាកា 4.8% ទោត កា បរបាកផគបរាលដខ។ ាេ ៈគមបរមគងនេ ៗ មតើបរតវមបរបើ ៈមពលបានាម នេននងាតបាន ែលមាលមៅ $8000?

ដស ោះាយ

ាេគមបរមគង A ាតមគន $6200P , 0.054R នង $8000S ។ ម មបរបើសេកា 5.3 (ដែលT មពលមវោេនាគ លគតជាឆន )៖

1S P RT $8000 $6200 1 0.054T

$80001 0.054

$6200T

1 0.054 1.29032258T 0.29032258

0.054T



5.376 ឆន េាាងមទៀត អនកអាចស មស សេកា 5.3 ម ើងវែម ោែ ក T ។ លទធផលគ ៖

S PT

PR

$8000 $6200

$6200 0.054T

5.376 ឆន (ែចាន )

ាេគមបរមគងB ាតមគន $6200P , $8000S នង 0.0480.004

12i

ៈមពលេនាគ លគ n (គតជាដខ)។ ម មបរបើសេកា 6.7:

8000log

6200

log 1 0.004n

log1.29032258

log1.004

0.110698297

0,001733713

63.32 ដខ 5.32 ឆន ែចមនេះ វាមគន ៈមពលតចជាងាន ដតបនតច វាងគមបរមគងោងព (0.056ឆន ឬបរបដ ល20 មលៃ) មោេះបជាគមបរមគង B មលឿនជាងកម ។

4Y4



1.បរបាកចនន$8000 បរតវបានមគវនមោគម ទទលបានអបរាកា បរបាក 5% កនងេ ឆន ទោតកា បរបាកផគបរាលឆន ។ ច កកា បរបាកផគបដែលទទលបាន ៈមពល6 ឆន បនាា ប។ 2. បរបាកចនន$50 000 បរតវមគបានវនមោគ ៈមពល 5 ឆន កនង នាា េ ដែលផដលអបរា កា បរបាក 7% កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបរាលេ ឆមគសេតង។ ច កកាត កមណើ ន នងតមេៃកមណើ នបនាា បព ៈមពល5ឆន ។ 3. មតើឥ វមនេះ មគគ ដត កបរបាកបានាម នកនងគណនដែលផដលអបរាកា បរបាក 8% កនងេ ឆន ទោតកា បរបាករាលបរតមគសមែើេបមកើនបាន $25000កនង ៈមពល 6 ឆន ? 4. អតលជនមគន កមគនបណងចងបានបរបាកស ប $5000 មៅចងបញច បមន ៈមពល5ឆន ។ នាា គតអបរាកា បរបាក6%កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង។ មតើបរបាកចននបានាម នដែលអតលជនបរតវវនមោគមៅកនង នាា ឥ វមនេះ? 5. មតើបរតវចណា មពលបានាម នមែើេបវនមោគបរបាក $2500 មទើបអាចទទលបានបរបាកស ប $3500 មបើអបរាកា បរបាក 6% កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ បរតមគសេតង? 6. សនមតថាបរបាកមែើេ $20 000មកើនបានបរបាកស ប $44 161កនង ៈមពល10 ឆន ម ទោតកា បរបាកេ បរតមគសេតង។ មតើអបរាកា បរបាកផគបបរបចាឆន មសមើនងបានាម ន? 7. ច គណនាអបរាកា បរបាកបរបចាឆន ដែលបរតវបានមគផតលឲយចមពាេះបរបាកវនមោគ $1000

មែើេបបានតមេៃកមណើ ន$1600កនង ៈមពល 5ឆន មបើកា បរបាកផគបបរតវបានទោតរាលបរតមគស។ 8. អនកមលងដលបងមគន កដែលបានឈនេះបរបាក 1ោនែោៃ មៅកាសណ(Casino) ចងវនមោគ បរបាកដែលឈនេះ ៈមពល5ឆន ។ ជមបរេើសមគនព គ គណន (X) ដែលផដលកា បរបាកមោល ម អបរាកា បរបាកបរបចាឆន 5.5%ម ើ គណន (Y) ដែលផដលកា បរបាកផគបបរបចាដខម អបរាកា បរបាកបរបចាឆន 5%។ មតើគណនេ ណាដែលអនកមលងដលបងគ ដតមបរជើសម ើស ក មែើេបឲយកា បរបាកមគនតមេៃអតប មគ?



9. អនកមបើកប នតមហាេះមគន កចងវនមោគ $5000កនងក ងមពល 3 ឆន ។ គមបរមគង A ផដលកា បរបាកមោលដែលមគនអបរាបរបចាឆន 8% ខណៈដែលគមបរមគង B ផដលអបរាកា បរបាក 2.7% ទោតកា បរបាកផគបរាលឆន ។ មតើគមបរមគងណាេ ដែលាតគ ដតមបរជើស ក? ច ពនយល។ 10. ពនយលថា ម តអវបានជាចមេៃើ បសអនកកនងលហាត 9. គ ែចាន ចមពាេះតមេៃមនទកបរបាក ដែលាតចងវនមោគណាកម ។

4



1.មេធាវមគន កបានវនមោគបរបាក $13 000 ម ទទលបានអបរាកា បរបាក 4%កនងេ ឆន ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង។ តមេៃកមណើ នដែលទទលបានបនាា បព ៈមពល 5ឆន គ ៈ

a) $5 260 b) $15 500 c) $15 816 d) $15 600 e) ាម នចមេៃើ ។ 2. មៅកនងសណ 1 កា បរបាកផគបដែលទទលបានបនាា បព ៈមពល5ឆន គ ៈ

a) $2260 b) $2816 c) $2500 d) $2600 e) ាម នចមេៃើ ។ 3. បរបាកចនន $75000បរតវបានមគវនមោគកនង ៈមពល8ឆន ជាេ នាា េ ដែលផដល អបរាកា បរបាក 8% កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ ឆមគសេតង។ តមេៃកមណើ ន បនាា បព ៈមពល6ឆន គ ៈ

a) $120 077 b) $123 000 c) $140 474 d) $111 000 e) ាម នចមេៃើ ។ 4. មបើាសតាត ចា យាកលវទាល មគន កចងបានបរបាកចនន $100 000មៅចង ៈមពល 20 ឆន ម ើ នាា ផដលអបរាកា បរបាកបរបចាឆន 6% ម ទោតកា បរបាកផគបេ ដខេតង មតើ ាតបរតវវនមោគបរបាកចននបានាម នជាេ នាា ឥ វមនេះ?

a) $47 169 b) $90 506 c) $30 209 d) $50 000 e) ាម នចមេៃើ ។ 5. បរគបមងៀនមគន កវនមោគបរបាក $750កនងគណនេ ដែលផដលអបរាកា បរបាក 5%កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ ដខេតង។មតើបរតវមបរបើមពលបានាម នដខមែើេបឲយបរបាកមែើេ$750

ទទលបរបាកបានបរបាកស ប$1500? a) $150 b) $167 c) $133 d) $142 e) ាម នចមេៃើ ។

6. តមេៃកមណើ នមនកា វនមោគគ ៈ a) តមេៃមនបរបាកមែើេមៅមែើេបរាមនបរបាកកេច b) ចននបរាដែលបានវនមោគ c) តមេៃស បមនបរបាកមែើេបកនងកា បរបាកស បដែលទទលបាន d) កា បរបាកដែលមកើនបានកនងក ងមពលខច e) ាម នចមេៃើ ។



7. តមេៃបចចបបននកា វនមោគគ ៈ a) តមេៃមនកា វនមោគមលើមលៃអនាគត b) តមេៃមនកា វនមោគមលើមលៃអនាគតបកបដនែេកា បរបាក c) កា បរបាកស បដែលទទលបានកនងមពលបចចបបនន d) តមេៃបចចបបននមនវនមោគដចកនងអបរាកា បរបាក e) ាម នចមេៃើ ។

8. Annie មគនបរបាក $80 មែើេបវនមោគកនងគណនសនសសបរមគប ៈមពល 4ឆន ម អបរា កា បរបាកផគបបរបចាឆន 8%។តមេៃកមណើ ន បសាតមៅចងឆន ទ 4គ ៈ

a) $105.60 b) $ 832.00 c) $108.33 d) $352.00 e) ាម នចមេៃើ ។ 9. Xanthe កបរបាក $8000កនងគណនសនស បសនាងដែលទទលបានអបរាកា បរបាក6%

ម ទោតកា បរបាកផគបេ បរតមគសេតង។កា បរបាកស បដែលនាងទទលបានបនាា បព ៈមពល5ឆន គ ៈ

a) $2775.20 b) $ 2400.00 c) $2705.80 d) $960.00 e) ាម នចមេៃើ ។

4



លហាត

1. ទកបរបាកចនន $5000បរតវបានមគវនមោគជាេ អបរាកា បរបាក 4%កនងេ ឆន ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង។ ច កកាត កមណើ នតមេៃកមណើ ន នងតមេៃមនកា បរបាកផគបស បដែល ទទលបានបនាា បព ៈមពល៖

a) 2ឆន b) 5ឆន

2. ច មឆៃើ សណ កនងលហាត1 ម ើងវែ មបើបរបាកដែលបានវនមោគគ $12 000 ម ើ អបរា កា បរបាក6%កនងេ ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង។ 3. បរបាកចនន $16000 បរតវបានមគវនមោគ ៈមពល5ឆន កនងាែ បនឥណោនេ ដែលផដល អបរាកា បរបាកបរបចាឆន 5% ម ទោតកា បរបាកផគបេ ឆមគសេតង។ច ក៖

a) កាត កមណើ ន b) តមេៃកមណើ នបនាា បព ៈមពល5ឆន c) កា បរបាកផគបស បដែលទទលបាន។

4. ច មឆៃើ សណ មៅកនងលហាត3ម ើងវែមបើបរបាកស បចនន $25000បរតវបានមគវនមោគ ៈមពល5ឆន ។ 5. ច មឆៃើ នងសណ មៅកនងលហាត 4ម ើងម សនមតថាកា បរបាកបរតវបានមគទោតេ ដខេតង។ 6. អនកវនមោគមគន កមគនបណងចងបានបរបាកស បចនន $8000មៅចងឆន ទ 6។ នាា ផដល អបរាកា បរបាក9%កនងេ ឆន ម ើ ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង។ មតើទកបរបាកចននបានាម ន ដែលអតលជនបរតវវនមោគជាេ នាា ឥ វមនេះ? 7. ច មឆៃើ នងសណ មនលហាតទ 6ម ើងវែម សនមតថាកា បរបាកបរតវបានមគទោតេ ដខេតង។ 8. ច មឆៃើ នងសណ មនលហាតទ6 ម ើងវែម សនមតថាកា បរបាកបរតវបានមគទោតេ បរតមគសេតង។



9. បរគបមបរងៀនចលនវតតនមគន កបានវនមោគបរបាកចនន $5000កនងាែ បនឥណោនដែលផដល អបរាកា បរបាក6%កនងេ ឆន ម ើ ទោតកា បរបាកផគបេ បរតមគសេតង។ ជាកដសដង ៈ មពល 2ឆន មបរកា េកាតបានវនមោគបរបាកបដនែេចនន$6000 មទៀតមបរកាេលកខខណឌ ែច ាន ។ មតើកា បរបាកស បចននបានាម នដែលាតនងទទលបាន ៈមពល 5 ឆន បនាា បពកា វនមោគ បរបាកមែើេែបង? 10. ច មឆៃើ នងសណ មនលហាតទ 9ម ើងវែម សនមតថាកា បរបាកផគបបរតវបានមគទោត េ ដខេតង។ 11. មោកាសតាត ចា យមគន កចងចលនវតតនមៅមលៃខបកមណើ តមលើកទ 65 បសាតម ើ មគន បរបាក$100000 ពកា វនមោគេ កនងគណន នាា បសាតមៅមលៃខបកមណើ តមលើកទ 45 បសាត។ មបើសនមបើ នាា ផដលអបរាកា បរបាក6%កនងេ ឆន ម ើ ទោតកា បរបាកផគប េ ឆមគសេតង មតើាសតាត ចា យមនាេះបរតវវនមោគបរបាកបានាម នឥ វមនេះ? 12. មតើបរតវចណា ៈមពលបានាម នមែើេបឲយបរបាកមែើេ $3000 ទទលបានបរបាកស បចនន$5000 មបើអបរាកា បរបាកគ 4%កនងេ ឆន ម ើ ទោតកា បរបាកផគបេ បរតមគសេតង? 13. ច មឆៃើ នងសណ មនលហាតទ 12 ម ើងវែម សនមតថាកា បរបាកផគបបរតវបានមគទ ោតេ ឆន េតង។ 14. សនមតថាបរបាកមែើេចនន $5000ទទលបានបរបាកស បចនន $6352កនង ៈមពល 12ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ បរតមគសេតង។ មតើអបរាកា បរបាកផគបបរបចាឆន ដែលបានមបរបើមសមើ នងបានាម ន? 15. សនមតថាបរបាកមែើេចនន $2500ទទលបានបរបាកស បចនន$3750 កនង ៈមពល 6ឆន ម ទោតកា បរបាកផគបេ ដខេតង។ មតើអបរាកា បរបាកផគបបរបចាឆន ដែលបានមបរបើមសមើនង បានាម ន? 16. សនមតថាអនកមគនជមបរេើសព កនងចមណាេកា វនមោគខាងមបរកាេមលើបរបាក $3000កនង ៈមពល 5ឆន បនាា ប៖

a) អបរាកា បរបាកមោល8%កនងេ ឆន b) អបរាកា បរបាកផគបទោតេ បរតមគសេតងម អបរា 7%កនងេ ឆន ។



មតើកា វនមោគណាេ ដែលអនកគ ដតមបរជើសម ើស? ផដលម តផល។ 17. Susan ចងទែផាេះេ ដែលមគនតមេៃ$1400មៅមលៃខបកមណើ តមលើកទ15 បសនាងដែល មគន ៈមពល3ឆន 6ដខពឥ វមនេះ។ មគត បសនាងមគនបរបាកបរតេដត $800បាមណាណ េះមែើេប វនមោគឲយនាងមៅកនងគណនដែលទោតកា បរបាកផគបេ ឆមគសេតង។ មតើអបរាកា បរបាក បរបចាឆន មសមើនងបានាម នមទើបនាងអាចទែផាេះបាន? 18. មៅកនងលហាតទ17 សនមតថាកា បរបាកផគបបរតវបានមគទោតេ ដខេតង។ មតើអបរាកា បរបាកបរបចាឆន មសមើនងបានាម នបរតវបានមគផតលឲយឥ វមនេះ? 19. Roy នងទទលមក េ តកចនន $25 000កនង ៈមពល10 ឆន ។ មតើតមេៃបចចបបននមនបរបាក មនេះមសមើនងបានាម ន មបើកា បរបាក5% (ទោតកា បរបាកផគបេ ឆន េតង) បរតវបានមគបដនែេមែើេប សមបរេចបានតមេៃមនេះ?

6

មេម ៀនទ ៧



ធនលាភ (Annuity) គជាម េ េយននកា បងបរាក (ជាធេមតាម មើៗគនា ) មធវើម ើងមៅ ចម ល ោះមេលម មើៗគនា ។ កាងជវភាេ មៅបរបចានងៃជនជាតអសរតា លមបរចើនមបរបើទាកទងមៅនង កា ង ឬកា ទទលានននធនលាភមៅចម ល ោះមេលមវលាដែលអាចជារាល ាា ហរាល ២ ាា ហ រាលដែ រាលឆមា ឬរាលឆា ា។ ឧទាហ ណ 1: ឧទាហ ណេយចាននននកា បងធនលាភមានែចជា៖

(a) Mortgage payment កា បង េល បាណល (b) Any loan repayment កា បង ងបរាកកេច (c) Payment of rent កា បងនងលជល (d) Hire-purchase payments កា បងនងលទញបណដា ក (e) Dividend payments កា បងបរាកចាមណញ (ដែលកនហេនទទល) (f) Insurance premiums កា បងបរាកឲយបរកេហេនធរាា ប ង


យលែង នងអនវតានធនលាភ ដញកមចញេគនា វាងនងលអគត នងនងលបចចបបនាននធនលាភ ម ោះសរតយបញហា ដែលទាកទងនងនងលអគតននធនលាភ គណនងលបចចបបនាននធនលាភ គណកា បងជាបរគនននធនលាភនងលបចចបបនា ( េល ) គណកា បងជាបរគនននធនលាភនងលអគត (េលនធ កទន)



(g) Interest payments on bonds កា បងកា បរាកមៅមលើបណណភាគហេន (h) Child support payments កា បងបរាកឧបតថេភកមា មានបរបមភទននធនលាភមសេងៗេគនា មហើយេននងចបមសាើេកា េភាកាធនលាភទាាង

មោះ មយើងគ ដ វងយលេនយេនយេយចាននជាេន ន។

នយេនយ 1 បរគន (rent period / payment period) គជាចម ល ោះននមេលមវលា វាងកា បងេ បនាគនា ។

កាល (term) ននធនលាភេយគជា យៈមេលចបេមែើេបរគនទ១ ហតែលចងមេលមវលានន បរគនចងមបរកាយ។

បរបមភទេ ធាៗននធនលាភគធនលាភធេមតា (Simple annuity) នងធនលាភទមៅ (General annuity)។

នយេនយ 2 ធនលាភធេមតា (simple annuity) គជាធនលាភដែលគតកា បរាកសគបមៅមេលជាេយ

គនា មៅនងកា បងធនលាភ។ ធនលាភទមៅ (General annuity) គជាធនលាភដែលគតកា បរាកសគបមៅមេលដវងជាង ឬែលជាងមៅមេលដែលកា បងធនលាភបរតវានមធវើម ើង។

មយើងនងម ោះសរតយមៅមលើដតធនលាភធេមតា (Simple annuities) ដែលអាចដចក មចញជា 4 បរបមភទែចខាងមបរកាេៈ

នយេនយ 3

1. ធនលាភបងចងបរគន (An ordinary annuity) គជាធនលាភេយបរបមភទដែលកា បង បរបបរេតាមៅមៅចងបរគននេយៗ។

2. ធនលាភបងមែើេបរគន (An annuity due) គជាធនលាភេយបរបមភទដែលកា បងបរបបរេតា មៅមៅមែើេបរគននេយៗ។

3. ធនលាភេនា (A deferred annuity) គជាធនលាភេយបរបមភទដែលកា បងេនាន ចបមសាើេ ហតែលបរគនេយចាននានកនលងមៅ។

4. ធនលាភអននា (A perpetuity) គជាធនលាភដែលកា បងបនាេនកាណត។



មយើងនងម ោះសរតយមៅមលើដតធនលាភបងចងបរគន(ordinary annuity)។ កាងមោះមយើង នងេកាមៅមលើចាណចែចខាងមបរកាេៈ

1. តនេលអគត ប ធនលាភ (The futue value of an annuity): ជាតនេល ប ធនលាភ មៅចងននកាល ប វា។

2. តនេលបចចបបនា ប ធនលាភ(the present value of an annuity): ជាតនេល ប ធនលាភ មៅមែើេកាល។

3. កា ងបាណល េល (amortization): កា បមងកើតឲយមានកា បងតាេមេលកាណតមែើេប ងបាណល (រាបបញច លទាាងបរាកមែើេ នងកា បរាក)។

4. េលនធ ក នេាបបរេង (Sinking fund): កា បងតាេមេលកាណតដែលចាាចមែើេប ឲយានបរាក បមៅមេលអគត។

7.2. តនមៃអនាគត បេធៃលាភ (future value of an annuity) តនេលអគត (future value or accumulated value) ននធនលាភេយគជាតនេលែល

មេលកាណតមៅចងកាល ប ធនលាភ (term) ។ ែចមនោះសលបកននកា បងតាេបរគនទាាង អ េទាាងកា បរាកដែលានមកើនម ើង នងរាបបញច លទាាងកា បងមលើកចងមបរកាយ។ តនេល អគតននធនលាភេយអាចគណានម យមធវើតាេ បេនាគណកា បរាកសគបមៅកាងមេម ៀនទ៦។ ឧទាហ ណ 2

េនតយមៅមលើធនលាភេយដែលកា បងបរាករាលឆា ា យៈមេល 4ឆា ាដែលកា បងេយ មលើកៗមានទកបរាកចានន $200 ជាេយអបរតាកា បរាកសគបបរបចាឆា ា 5%។ មបើកា បងបរាក បរបបរេតាមៅមៅរាលចងឆា ានេយៗ ច កតនេលអគត ប ធនលាភមនោះ។ (មាននយថា មយើង ក េតលយកាងគណនមៅចងឆា ាទ4)។

ដស ោះសរាយ

កា គណអាចមធវើានែចបងហា ញកាងតារាងខាងមបរកាេៈ



YearBalancea at

beginning of year ($)

Interest on

balance ($)

Annual

payment ($)

Total at

end of year ($)

1 0.00 0.00 200.00 200.00

2 200.00 10.00 200.00 410.00

3 410.00 20.50 200.00 630.50

4 630.50 31.53 200.00 862.03 ជ ឈ “Interest on balance” បរតវាន កម ើញម យគណកា បរាក យៈមេល 1 ឆា ា មលើ េតលយមៅមែើេឆា ា (Balance at beginning of year) ជាេយអបរតាកា បរាក5%។ ឧទាហ ណ មៅមែើេឆា ាទ៣ េតលយគ ែចមនោះមយើងាន $410, 0.05P i មហើយ 1n

(មបរពាោះមយើងទទាតកា បរាក 1ឆា ាេាង)។ កា បរាក បរមាបឆា ាទ៣ គ$410 0.05 1 $20.50 ។ ប ា បេកកា បរាកមនោះ ($20.50) បរតវានបកបញច លជាេយ េតលយមែើេ ($410 ) នងបរាក បងបរបចាឆា ាទ៣ ($200) មែើេបបមងកើតជាបរាក បមៅមែើេឆា ាទ៤គ$630.50 ។ តាេតារាងខាងមលើមយើងម ើញថាតនេលអគតននធនលាភមនោះមៅចងឆា ាទ ៤ គ$862.03 ។ កា គណែចកាងតារាងខាងមលើអាចមានភាេធញបរទានមបើ នជាកា បងមានចាននមបរចើនែង។ ម យមហតមនោះមហើយតនេលអគតននធនលាភេយអាចគណម យងហយតាេ បេនាែចខាងមបរកាេ។ នមតថាឥ វមនោះមយើងកាណតៈ R =amount of the annuity payment made per period (ចាននទកបរាកបងេយមលើកៗ) n =total number of payments (i.e. compounding periods)ចាននែងននកា បង ប

i =interest rate per payment period (i.e. the periodic interest rate) អបរតាកា បរាកកាងេយបរគន

S =future value of the annuity (i.e. total payments plus accrued interest) តនេលអគតនន ធនលាភ (បរាកបង ប នងកា បរាកដែលមកើន) មគអាចបងហា ញថាតនេលអគតននធនលាភេយគៈ

(1 ) 1niS R

i

(7.1)

ម យត ត ៈ ាខាន ប វាដសាកនន េកា ខាងមលើបរតវានកាណតម យលកខណៈេម គៈ

(1 ) 1n

n i is

i (7.2)



តនេលននn i

s (ឬns កាងអបរតា %i ) បរតវានមគគតថាជាតនេលអគតម យអបរតាកា បរាក

%i នន $1 ដែលបរតវចាណដយមៅចងបរគននេយៗ បរមាប n បរគន។ ម យបញច ល េកា ទាាងេ ខាងមលើមគានតនេលអគតននធនលាភអាចគណតាេៈ

n iS R s (7.3)

ឧទាហ ណ 3 ម ោះសរតយបញហា កាងឧទាហ ណ 2 ម យមបរបើតារាងជានយទ៣។


កាងក ណមនោះ $200R , 0.05i មហើយ 4n ។ តាេតារាងទ៣ម យមបរបើអបរតាកា បរាក5%នង 4n :

4

4 0.05

(1 0.05) 14.3101 25 00

0.05n iss

ែចមនោះ តាេ បេនាមយើងានតនេលអគតននធនលាភគៈ $200 4.3101 25 00 $862.03

n iS R s (តនេលែចគនា នងឧទាហ ណ 2)

មបើ នជាអបរតាកា បរាកជាភាគ យកាងេយឆា ាដតកា បរាកេនានគតសគបរាលឆា ាមទមោះតនេលនន n នង i មៅកាង បេនាបរតវមានកា បរបងបរបយតា។ នមតថាកា បរាកសគបទទាត k ែង កាងេយឆា ា។ មោះមយើងតាងៈ

( )n numberof interest periods k numberof years

interest rate per annum

i interest rate per periodk

ឧទាហ ណ 4 អតងជនមាា ក កបរាក$250រាលបដែេាងមៅកាងគណនេយដែលសាលអបរតាកា បរាក

8%កាងេយឆា ា។ មតើទកបរាកមៅកាងគណន ប គនតមានចាននបា ម នមៅចងឆា ាទ១០? ដស ោះសរាយ

កាងក ណមនោះ $250R ។ម យអបរតាកា បរាកសគបរាលបរតមា (មាននយថា 4k ែង កាងេយឆា ា) អបរតាកា បរាកកាងេយបរតមា (បរគន)គៈ

0.080.02

4i (ឬ2% កាងេយបរតមា )



ចាននបរគន បគៈ 4 10 40n តាេតារាងទ៣ម យមបរបើអបរតាកា បរាក2%នង 40n :

40

40 0.02

(1 0.02) 160.401 9831 8

0.02s

ែចមនោះតាេ បេនាមគានតនេលអគតននធនលាភគៈ

40 0.02$250 $250 60.401 9831 8 $151 00.50

n iS R s s ែចមនោះ អតងជននងទទលាន$151 00.50 មៅកាងគណន ប គនតមៅចងឆា ាទ១០។ 7.3. តនមៃបចចបបៃន បេធៃលាភ (Present value of an annuity)

តនេលបចចបបនា (Present value or discounted value) ននធនលាភេយគជាតនេល ប វាមៅមែើេ ែាបងននបរគន។ ែចមនោះវាគជាសលបកននតនេលបចចបបនាននបរគបកា បងេយបរគនេនកា បងមែើេ ែាបង។ ឧទាហ ណ 5

អាកជានញមាា កមានកចច នាេយដែលនងបរតវទទល$5000មៅចងឆា ានេយៗ បរមាប យៈមេល4ឆា ាប ា បមហើយបរាកមនោះនងានទទលានអបរតាកា បរាកសគប 6% កាងេយឆា ា ទទាតរាលឆា ា។ កតនេលបចចបបនាននធនលាភមនោះមៅមែើេននបរគនទ១ គេយឆា ាេនកា បងមលើក ទ១។

ដស ោះសរាយ បរគនននកា បងកាងក ណមនោះគ១ឆា ា។ តនេលបចចបបនាអាច កម យគណសលបកនន

តនេលបចចបបនាសគបនេយៗននកា បងទាាងអ ១ ឆា ាេនកា បងមលើកទ១។ កាងក ណមនោះ$5000R នង 0.06i ។ ែចមនោះ បេនាតនេលបចចបបនាកាងកា បរាកសគបអាចមបរបើាន (ម យ

$5000S R ) មែើេបគណតនេលបចចបបនា (A) ននកា បងនេយៗចាមពាោះ 1, 2, 3n នង4។ កា គណទាាងមនោះអាចបងហា ញែចតារាងខាងបរកាេៈ



Payment number

1 5000(1+0.06)-1

= 4716.98

2 5000(1+0.06)-2

= 4449.98

3 5000(1+0.06)-3

= 4198.10

4 5000(1+0.06)-4

= 3960.47

Total 17325.53

Present value of payment at

beginning of first rent period ($)

តាេតារាងខាងមលើតនេលបចចបបនាននធនលាភ (មាននយថា១ឆា ាេនកា បងមលើកទ១) គ

$17325.53 ។ ែចគនា ដែ កា គណែចកាងតារាងខាងមលើអាចមានភាេធញបរទានមបើ នជាកា បង

មានចាននមបរចើនែង។ ែចមនោះតនេលបចចបបនា ( )A ននធនលាភេយអាចគណម យងហយតាេ បេនាែចខាងមបរកាេ។ 1

nA S i

(7.4)

ម យសេា េកា 7.1 នង 7.4 មយើងអាចបងហា ញថាៈ

1 1n

iA R

i

(7.5)

ម យត ត ៈ ាខាន ប វាដសាកមនោះមយើងតាងម យកាណត មាគ លេម ៈ 1 1

n

n i

ia

i

(7.6)

មយើងាន n i

A R a (7.7)

តនេលននn i

a អាច កម ើញម យមបរបើមាា នគតមលែឬម យមបរបើតារាងទ៤។ ឧទាហ ណ 6

ម ោះសរតយបញហា កាងឧទាហ ណ 5ម យមបរបើតារាងទ 4 ជាជានយ។ ដស ោះសរាយ

កាងក ណមនោះ $5000, 0.06R i នង 4n ។ តាេតារាងទ៤ម យមបរបើអបរតាកា បរាក នង 4 n មយើងានៈ

4

4 0.06

1 (1 0.06)3.4651 05 61

0.06a



ែចមនោះតនេលបចចបបនាននធនលាភគៈ

4 0.06$5000 $5000 3.4651 05 61 $17 325.53

n iA R a a

ឧទាហ ណ 7 ន េតមាា កានែចបរាកេតថ បនឥណទានេយមែើេបទញកាេយទ េយមបរគឿង។ គនត បរតវ ងបរាកកេចកាងេយដែេាងម យបងមង $120 យៈមេល 5ឆា ា។ គណតនេលបចចបបនា ននកា បងមនោះមបើអបរតាកា បរាកគ9%កាងេយឆា ា (បរតវគតកាងេយដែ)។

ដស ោះសរាយ កាងក ណមនោះ $120R ។ ម យកា បរាកសគបគតរាលដែ (12ែងកាង1 ឆា ា)

អបរតាកា បរាកកាងេយ(បរគន) ដែគ 0.090.0075

12i

(ឬ 3%

4កាងេយដែ)

ចាននបរគនននកា បង បគៈ 12 5 60n

តាេតារាងទ៤ម យមបរបើអបរតាកា បរាក 3%

4នង 60n :

60 0.0078548.173 373 52a

ែចមនោះតាេ បេនាតនេលបចចបបនាននធនលាភគៈ

60 0.0075$120 $120 48.173 373 52 $5780.80

n iA R a a ែចមនោះកា បង ងទាាងអ មានតនេលម មើនង$5780.80 មៅមែើេបរគនននកា ែច។

ឧទាហ ណ 8 បរគត េយទញសាោះងមេយមហើយយលបរេេបងបរាកភាល េចានន$25000នងមធវើកា បងជា

ម ៀងរាលដែកាងចានន$750កាង យៈមេល 20ឆា ាប ា ប។ មបើអបរតាកា បរាកគ9% គតកា បរាក សគបរាលដែ មតើតនេល េេលជាតចបរាកននសាោះមោះម មើនងបា ម ន?




ែាបងមយើងបរតវ កតនេលបចចបបនាននធនលាភបងបរបចាដែ $750 ដែលមធវើម ើង បរមាប យៈ មេល 20 ឆា ាជាេយអបរតាកា បរាក 9% ទទាតកា បរាកសគបរាលដែ។ កាងក ណមនោះ $750R មហើយអបរតាកា បរាកកាងេយបរគន(ដែ)គៈ

0.090.0075

12i (ឬ 3

%4កាងេយដែ)

ចាននបរគនននកា បង បគៈ 12 20 240n មយើងបរតវ កតនេលនន

240 0.0075a ម យមបរបើមាា នគតមលែមបរពាោះកាងតារាងទ៤

មានតនេលបរតេដត 120n ។ 240

240 0.0075

1 (1 0.0075) 1 0.166413 0.0833587111.144 954

0.0075 0.0075 0.0075a

តាេ បេនាតនេលបចចបបនាននធនលាភគៈ

240 0.0075$750 $750 111.144 954 $83358.72

n iA R a a ម យបរគត មោះានចាណដយ ចជាមសរ ច $25 000 នងល េេលជាតចបរាកននសាោះ

មោះគជាសលបកននបរាកបងភាល េមនោះជាេយ នងតនេលបចចបបនាននធនលាភ ែចមនោះ នងល េេលជាតចបរាក $25000 $83358.72 $108358.72 ។

ឧទាហ ណ 9 ធនលាភេយបង $1000 កាងេយឆា ា បរមាប យៈមេល 4 ឆា ា មហើយប ា បេកមទៀត

$2000កាងេយឆា ា បរមាប យៈមេល 5ឆា ា។ កតនេលននធនលាភមនោះ 1 ឆា ាេនកា បងមលើកទ1 មបើអបរតាកា បរាកគ 10% កាងេយឆា ាទទាតកា បរាកសគបរាលឆា ា។

ដស ោះសរាយ បញហា មនោះទាកទងមៅនងធនលាភេ បញច លគនា មហើយអាចដចកជាេ ដសាក។ ចាមពាោះធនលាភទ១មយើងាន $1000, 0.10R i នង 4n ។ែចមនោះ

4

4 0.10

1 (1 0.10)3.169 865 45

0.10a

តាេ បេនា តនេលបចចបបនាននធនលាភទ១គ

4 0.10$1000 $1000 3.169 865 45 $3169.87

n iR a a មែើេប កតនេលបចចបបនាននធនលាភទ២មយើងមានភាេ មគតម ញបនាចដែលមានេ ជាហានៈ



a) កតនេលននធនលាភ 1ឆា ាេនកា បងមលើកទ១ ប វា b) បញច ោះតនេលកាង (a) បរតលបមៅ១ឆា ាេនកា បងននធនលាភទ១។ មែើេប កតនេលននធនលាភទ២ េយឆា ាេនកា បង ប វា ឥ វមនោះមយើងមាន $2000R

, 0.10i នង 5n ។ តនេលននធនលាភទ២

១ឆា ាេនកា បង ប វា=5

5 0.10

1 (1 0.10)$2000 $2000

0.10n iR a a

$2000 3.790 786 77 $7581.57 ម យមបរបើ បេនា 1

nA S i

តនេលននចាននមនោះេយឆា ាេនកា បងននធនលាភទ១គៈ

តនេលបចចបបនាននធនលាភទ២= 4 (1 ) $7581.57(1 0.10) $5178.32nS i ែចមនោះ តនេល បននធនលាភេយឆា ាេនកា បងមលើកទ១ គជាសលបកននតនេល

បចចបបនា ប ធនលាភទាាងេ ។ ែចមនោះ $3169.87 $5178.32 $8348.19 ។ ឧទាហ ណ 10

បរកេហេនេយចងសាល ងហវ ននងល កាជាទកបរាក $2000 ែលន េតមឆាើេ បរមាបវគគ កាគណតវទា បរមាបពាណជជកេមមៅឆា ាទ១ននតកលវទាលយេយ។ វគគ កាមនោះបរតវ ានសាលជន បរមាបវគគនេយៗគេ ឆមា កាងេយឆា ា។ ែមចាោះ ទកបរាកមនោះបរតវានមគសាល ជា ងហវ នឲយម ៀងរាល 6 ដែេាង (មៅចងដែេង នងមៅចងដែធា)។ កាងែាណដកកាលមនោះ បរកេហេនមានបាណងរាា ប ងនងល កា បរមាប យៈមេល ប5 ឆា ា។

កាងតថ នភាេែចមនោះ ជាធេមតាតកលវទាលយម ាើឲយបរកេហេនសាល ងហវ នជាបរាក ទាាងអ មៅមែើេឆា ាទ១ ដែលជានងល កាបរតវដតសាលឲយ។ តនេល បដែលសាលឲយគដតមាន កា ធារាា ប ងមលើនងល កាទាាងអ កាងកា កា យៈមេល5ឆា ា។ តកលវទាលយអាច វនមោគបរាកណដេយដែលែលនានទទលម យអបរតាកា បរាក7%កាងេយឆា ា ម យទទាត កា បរាកសគបេយឆមា េាង។

មតើបរាកចាននបា ម នដែលតកលវទាលយម ាើឲយបរកេហេនសាលនងល កាមៅមែើេឆា ាទ១ មែើេបបងនងល កា ប បរមាប យៈមេល 5 ឆា ា?



ដស ោះសរាយ កាងក ណមនោះ $2000R ។ ម យកា បរាកទទាតេ ែងកាងេយឆា ា ។

អបរតាកា បរាកកាង យៈមេល 6 ដែគៈ 0.070.035

2i (ឬ 1

3 %2កាងេយឆមា )

ចាននែងននកា ទទាតកា បរាក បគៈ 1052 n

តាេតារាងទ4 ម យមបរបើអបរតាកា បរាក %2

13 នង 1 0n :

10 0.0358.31660532a

តាេ បេនា ni

A R a តនេលបចចបបនាននធនលាភគៈ

$2000 8.316 605 32 $16 633.21ni

A R a ែមចាោះ បរកេហេនគ ដតសាលបរាក $16 633.21ែលតកលវទាលយមៅមែើេឆា ាទ១

ដែលនងល កាបរតវានសាលឲយែេបធារាា បមលើនងល កា យៈមេល 5ឆា ា។ 7.4. កា េងបណល មៃេ(Amortization) កាលណដបគគល ឬអាកជានញមាា កបងបាណល )គតបញច លទាាងកា បរាក ( ម យមធវើកា

បងតាេបរគនកាងចម ល ោះមេលមទៀងទាតបាណលបរតវានកាត េល បនាចេាងៗ។ បញហា កា បង េល បរតវ កកា បងតាេបរគនដែលនងបនធ បនថយបាណល។ ជាេម មៅមេលដែលកា បង តាេបរគននេយៗបរតវានមធវើម ើង តនេលមនោះគតទាាងដសាកននបរាកមែើេ (principal) នងកា បរាក មលើ េតលយននបរាកមែើេ។ ជាលា បមានកា កាតបនថយកាងបរាកមែើេដែលមៅ លដែល មៅចងកាលននធនលាភ (មៅេមលដែលកា បងចងមបរកាេបរតវានមធវើម ើង) បាណលបរតវាន េល អ ែចមនោះ េតលយគម មើនង នយ។ កាងបញហា កា បង េល បាណល ជាធេមតាមយើងេាោេ កកា បងតាេបរគន (ឬធនលាភ) ដែលទាេទា ឲយមានកា បង ងបាណលឲយបរគបចានន ឬបាណលដែលមៅ លប ា បេចានន ែងននកា បងដែលានកាណតបរតវានមធវើម ើង។ កាងកា គណ មយើងអាចមបរបើតារាងទ៤។ ឧទាហ ណ 11

បរគត េយទទលរាា ប ងកា បញហច ាេយដែលមានតនេល$40000េធគន េយមែើេបទញ សាោះងមេយ។ ធគន គតកា បរាកកាងអបរតា 12%កាងេយឆា ា ទទាតកា បរាកសគបរាលបរតមា



បរមាប យៈមេល 20ឆា ា។ មតើបរគត មនោះបរតវបង ងមៅធគន វញចាននបា ម នកាងេយ បរតមា ?

ដស ោះសរាយ កាងក ណមនោះ មយើងែងថាតនេលបចចបបនាននធនលាភគ $40000A ។

ម យកា បរាកសគបរាលបរតមា អបរតាកា បរាកកាងេយបរតមា (បរគន) គ៖ 0.120.03

4i (ឬ

3% កាងេយបរតមា ) ចាននែងននកា បង បគៈ 4 20 80n ប មាណដែលេនតគ លគ តនេលនន Rជាតនេលននធនលាភដែលបរតវបងបរតមា នេយៗ។ តាេតារាងទ៤ ម យមបរបើអបរតាកា បរាក 3% នង 80n មយើងានៈ

80 0.0330.200 763 45a

តាេ បេនាៈ n i

A R a

0.03$40000

nR a

30.200 763 45R $40000

$1324.4730.20076345

R

ែចមនោះបរគត មោះបរតវបង ងបរាកកេចម យអបរតា$1324.47កាងេយបរតមា ។ (គ កត មាគ លថា តាេេត បរគត មោះបរតវបង ងមៅធគន បចានន

$1324.47 80 $105957.60 េច ណដមៅគមបរចើនជាងបរាកកេច $40000 ខាល ាងណដ ។) ឧទាហ ណ 12

កតនេលនន េតលយេនទាន ងចាមពាោះបរាកកេចកាង ឧទាហ ណ 11 មៅចងឆា ាទ៥។ ដស ោះសរាយ

មៅចងឆា ាទ ៥ មៅ ល១៥ឆា ាមទៀតចាមពាោះបរាកកេច។ មយើងអាចមបរបើ បេនាែចខាង មលើេាងមទៀត បាដនាឥ វមនោះតនេលដែលមយើងេនតគ លគ ជាតនេលបចចបបនាននបរាកកេចមៅមេល មោះ។

ម យត មៅ ល ១៥ឆា ាចាមពាោះបរាកកេច ចាននែងននកា បងមៅ លគៈ



4 15 60n តាេតារាងទ៤ ម យមបរបើអបរតាកា បរាក 5% នង 60n មគានៈ

60 0.0327.675 563 67a

តាេ បេនា តនេលបចចបបនាននធនលាភគៈ $1324.47 27.675 563 67 $36 655.45

n iA R a

ែចមនោះ មៅចងឆា ាទ៥បរគត មោះនងជាពាកធគន $36 655.45។ (មៅចងឆា ាទ៥ បរគត មោះនងានបង ងចានន 4 5 20 ែងដែលកា បងេយមលើកមាន ចានន $1324.47 ែចមនោះ បរាកបង បគ $26 489.40។ មទាោះជាោាងមនោះកា បរាកមែើេនង បរតវានកាតបនថយបរតេដត $40 000 $36 655.45 $3344.55 ។ ែចមនោះ កា បង ប បរគត មោះមានចានន $26 489.40 នងបរតវមានកា បរាកចានន $26 489.40 $3344.55 $231 44.85 ។ សលមធៀប វាងកា បរាកជាេយនងបរាកដែលានបង បគៈ

$231 44.85100 87.4%

$26 489.40 មនោះបងហា ញថា មៅឆា ាែាបងននកា បងបរាកកេច ចាននបរាក

បងោាងមបរចើនកាល យជាកា បងកា បរាក នងកាតបនថយបរាកមែើេានតចតច។ តថ នភាេមនោះ សាយមៅនងតថ នភាេននបរាកកេចមៅចងបរគន។) ឧទាហ ណ 13 មែើេបសាលបរាកទនអាជវកេមមលើមបរគឿងប កាខ ប គនត មលាកBob Catt ានែចបរាក $100000 មលើ យៈមេល20ឆា ាម យអបរតា 10%កាងេយឆា ា ទទាតកា បរាកសគបរាលបរតមា ។ មទាោះជាោាងមនោះកា អបរតាមនោះនងធាល កចោះ ធគន ានជនែាណងថា ប ា បេ5ឆា ាននកា បង អបរតាកា បរាកមលើបរាកកេច ប មលាក Bob Catt នងធាល កចោះេកបរតេដត8%កាងេយឆា ា។

a) កបរាកបង ងរាលបរតមា ដែលមលាក Bob Catt បរតវបងមលើបរាកកេច ប គនត។ b) មៅចងឆា ាទ5 កតនេលងមដែលមលាក Bob Catt នងបរតវបងបរតមា នេយៗ មបើគនតមៅ ដតចងបនាកា បង ហតែលចងឆា ាទ 20។


a) តនេលបចចបបនាននធនលាភគ $100000A ។ ម យគតកា បរាកសគបរាលបរតមា អបរតាកា បរាកកាងេយបរតមា គៈ



0.100.025

4i (ឬ 2.5%កាងេយបរតមា )

ចាននបរគនននកា គតកា បរាក បគ 4 20 80n ។ មែើេប កតនេលននកា បងកាងេយបរតមា (R ) មយើងមបរបើ បេនាៈ

n iA R a

80 0.025$100000 R a 34.451 817R (តាេតារាងទ 4 )

$100000

34.451817R

$2902.60 ជាបរាកបងកាងេយបរតមា ដែលមលាក Bob Catt បរតវបងមលើបរាកកេច ប គនត។

b) ឥ វ មយើង កតនេលដែលជាពាកមលើបរាកកេច( A ) ប ា បេកា បង5ឆា ា។ កាងក ណមនោះ មយើងានៈ

$2902.60R , 4 15 60n 0.10

0.0254

i (ឬ2.5% )

តាេ បេនាៈ

n iA R a

60 0.025

$2902.60 a

$2902.60 30.908656 49 ឧទាហ ណ 14 បរកេហេនFirst Finance Plc ានសាលបរាកកេចែលអតងជន បរមាបកា ទញ ឬកា ជ ជលសាោះម យគតអបរតាកា បរាក 18% កាងេយឆា ា។ អតងជនដែលមានបាណងចងែច បរាកេបរកេហេនបរតវបង ងបាណលមៅឲយបរកេហេនជាម ៀងរាលដែអាសរ យមៅលមលើ យៈ មេលដែលែច។ មតើអតជនបរតវបងបរាកកាង េយដែៗចាននបា ម នមបើគនតែចបរាកចានន$3000 , $4000 , $5000 , … មហើយបរតវបង ងកាង យៈមេល 2ឆា ា? 7.5. មលៃធដាកេៃសបសរមង (Sinking funds)



េលនធ ក នេាបបរេង គជាេលនធដែលកា បងបរាកតាេបរគនបរតវានមគមធវើម ើង មែើេបបរបេលបរាក បមៅចងបរគននន យៈមេលកាណតេយ។ ឧទាហ ណ មៅមេលដែល បរាក បដែលមគបរតវកា បរមាបទញ ងយនាងម ឬក បរមាបកា ឈប ារាកកាតនាមៅឯ ប មទ មហើយអាកចងែងេតនេលដែលអាកបរតវដត ក (ឬ កកាងេលនធ) កាងបរគននេយៗ មែើេបទទលាននវតនេលដែលអាកចងានមៅមេលមវលាេកែល។ វាបរតវានមគ នមតថាកា កបរាកនេយៗបរតវទទលអបរតាកា បរាកសគប ហតែលចងបរគន។

តនេលេតបរាកែននកា បងតាេបរគនដែលចងានអាចបរតវានមគគណម យមបរបើតាេ បេនាៈ

n iS R s ដែលឥ វមនោះចាននេនតគ លគ R

(តនេលននកា បងធនលាភដែលមធវើម ើងកាងេយបរគន មហើយ S (តនេលអគតននធនលាភ) គឥ វមនោះមគតគ ល។ ែមនោះ បេនាមនោះមគអាច ម ៈ

n i

SR

s ឬ

(1 ) 1n

SR

i

i

ឧទាហ ណ 14 Connie កាេងមានដសនកា ចាណដយមេលវ េេកាល ប ងកាង យៈមេល 2 ឆា ាកាង

ហ ែឋអាមេ ក។ ងាា នបរបមាណថា ងនងបរតវកា បរាក ប $6000មែើេបបងនងល ាបបរតយនាមហាោះ នងកា ចាណដយែនទមទៀត។ ងនង នេាបរាក ប ងកាងគណនដែល ានចោះកចចបរេេមបរេៀងគនា ម យមានកា បរាក10%កាងេយឆា ា ម យទទាតកា បរាកសគបេយ បរតមា េាង។ មតើ Connie បរតវ កបរាកកាងគណន ប ងមៅចងបរតមា នេយៗចានន បា ម នមែើេបឲយានតនេលតាេបាណងមៅចងបញច បនន យៈមេល 2ឆា ា?


កាងក ណមនោះ 6000$S មហើយ 0.010.025

4i (ឬ2.5% )។

ចាននែងននកា ទទាតអបរតាកា បរាក បគ 842 n តាេ បេនាៈ

8

8 0.025

1 1 1 0.025 18.736 115 90

0.025

n

n i

is s

i



ម យមបរបើតាេ បេនាn i

SR

s បរាក កបរបចាបរតមា គៈ

$6000$686.80

8.736 115 90R

មោះគមបើ Connie កបរាក $686.80 ម ៀងរាល 3 ដែកាង យៈមេល2 ឆា ា មោះងនងទទលានបរាក $6000មៅចងកាលមោះ។

ច មាគ លថា នងល បដែល Connie បរតវបងគ 40.549$880.686$ ។ ែមចាោះកា បរាក បដែលានទទលគ $6000 $5494.40 $505.60 ។

ឧទាហ ណ 15 Kylie មទើបដតចល កលវទាលយមែើេប កាថាា កជាញ យៈមេល 3ឆា ា។ មៅចង

កាលមនោះ ងបរតវកា បរាក$8000 មែើេបទញ ងយនាដែលមគមបរបើមហើយេយមបរគឿង។ ធគន នងសាលអបរតាកា បរាកកាងគណន5%កាងេយឆា ា ម យទទាតកា បរាកសគបេយដែេាង។

មតើ Kylie គ ដត កបរាកចលមៅកាងគណនកាងដែនេយៗបា ម ន មែើេបានបរាក $8000 មៅចងបញច បនន យមេល3 ឆា ា? គណសងដែ ថា មតើកា បរាកបា ម នដែលង ទទលានមៅមេលមោះ?


កាងក ណមនោះ 8000$S មហើយ 0.050041667

12i (ឬ 5

% 12

)

ចាននែងននកា ទទាតកា បរាក ប គ 36123 n តាេ បេនាៈ

36

36 0.041 6667

1 1 1 0.041 6667 138.753 335 52

0.041 6667

n

n i

is s

i

ម យមបរបើតាេ បេនាn i

SR

s បរាក កបរបចាដែគៈ

$8000$206.43

38.753 335 52R

ែចមនោះ មបើ Kylie កបរាក $206.43ចលកាងគណនម ៀងរាលដែកាង យៈមេល 3ឆា ា មោះងនងទទលានបរាក $6000 មៅចងកាល។ ច មាគ លថានងល បដែល Kylie



បរតវបងគ 48.7341$3643.206$ ។ ែមចាោះកា បរាក បដែលានទទលគ$8000 $7341.48 $568.52 ។ ឧទាហ ណ 16 បរកេហេនតជវកេមេយានាា នតម នថា មគនងបរតវកា េលនធ ក នេាបបរេង $30000កាង យៈមេល 4ឆា ា។ េលនធ ក នេាបបរេងេនទានមានទនទាលដតមតោះ មហើយ បរកេហេនបរតវ កបរាកកាងគណនដែលសាលអបរតាកា បរាក 7%កាងេយឆា ា ទទាតកា បរាក សគបរាលឆមា ។ មតើមគបរតវ កបរាកបា ម នមៅចងឆមា នេយៗ មហើយកា បរាកដែលទទលានតាេ យៈេលនធ កបបរេងមនោះម មើនងបា ម ន?


កាងក ណមនោះ $30000S មហើយ 0.070.035

2i (ឬ3.5% )។ ចាននបរគន បគ

4 2 8n ។ តាេតារាងទ៣៖

8 0.0359.05168677s

ម យមបរបើ បេនា (7.9) បរាកដែលបរតវ ករាលឆមា គៈ

$30000$3314.30

9.05168677R

ែចមនោះ មបើមាច តជវកេមបរតវ កបរាក$3314.30ជាម ៀងរាល6 ដែេាង យៈមេល 4ឆា ា មគនងទទលាន$30000 មៅចង យៈមេលមោះ។ តនេលដែលបរតវបង បម យមាច តជវកេមគ $3314.30 8 $26514.40 ែចមនោះកា បរាក បដែលទទលានគ$30000 $26514.40 $3485.60 ។

4Y4



1.េនតយមេើលធនលាភេយដែលមានកា បងបរបចាឆា ា 4 ែងមហើយេាងៗម មើនង $600 បរតវាន មគមធវើម ើងជាេយនងអបរតាកា បរាកសគប 6%កាងេយឆា ា។ មបើ នកា បងបរាកបរតវានមគមធវើ ម ើងមៅចងឆា ា ច កតនេលននធនលាភមៅចងឆា ាទ 4។ 2.អតងជនមាា ក កបរាក $150 ម ៀងរាល3ដែេាងមៅកាងគណនធគន ដែលសាលកា បរាក ម យអបរតាបរបចាឆា ា 4% មហើយទទាតម ៀងរាល3ដែ។ មតើបរាកដែលមានកាងគណនមៅចង បញច បនន យៈមេល5ឆា ាម មើនងបា ម ន? 3. ឱ ងកា មាា កានយកបរាកកេចមែើេបទញមាា នបរតជាក បរមាប កកាងឱ ងតថ ន។ គនតបរតវានមគតបរេវឲយបង ងបរាកកេចបរបចាដែម យកាងេយដែ $75 បរមាប យៈមេល 3ឆា ា។ ច គណតនេលបចចបបនាននបរាកកេចមបើអបរតាកា បរាកគ 5% ម យទទាតកា បរាកសគប ជាម ៀងរាលដែ។ 4. តសរតា ច យមាា កែចបរាក $25000េតថ បនឥណទានេយមែើេប ងសាោះាយ ប គនត។ តថ បនឥណទានគតកា បរាកកាងអបរតា 8%កាងេយឆា ាទទាតកា បរាកសគបរាលរាលឆមា យៈមេល 10ឆា ា។ មតើគនតបរតវបង ងតថ បនចាននបា ម នរាល 6 ដែេាង? 5. Margot បរតវកា បរាកចានន $8000 កាង យៈមេល 5ឆា ាមែើេបទញ ងយនាដែលមបរបើមហើយេយ មបរគឿង។ ធគន សាលឲយគនតនវគណនដែលគតអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា 3.5% ម យទទាតកា បរាកសគបេយឆា ាេាង។ មតើគនតបរតវ កបរាកចាននបា ម នមៅកាងគណនជាម ៀងរាលឆា ាមែើេបឲយ ានបរាកចានន $8000កាង យៈមេល5ឆា ា? 6.បរកេហេនវនមោគេយមានកចច នាដែលបរតវទទលាន $10000 មៅចងឆា ានេយៗកាង យៈមេល 3 ឆា ាប ា ប មហើយបរាកមនោះនង កានកា បរាក5%កាងេយឆា ាទទាតកា បរាកសគប រាលឆា ា។ កតនេលបចចបបនាននធនលាភមៅមែើេបរគនននកា បងមលើកទ1មាននយថាេយឆា ាេន កា បងមលើកទ1។



7. Hennryចងមានបរាកចានន $25 000 កាងគណនមៅនងៃទ31 ដែធា ឆា ា 2004។ មបើគនតវនមោគ បរាកចានន $21 000កាងគណនងមមៅនងៃទ31 ដែធា ឆា ា2001 ដែលមានអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា 6%ម យទទាតកា បរាកសគបេយដែេាង មតើគនតនង មបរេចមគនលបាណង ប គនតឬមទ? 8. ច កអបរតាកា បរាកមទាលបរបចាឆា ាដែលមាន េេលនងអបរតាកា បរាក 6% ដែលបរតវាន មគទទាតកា បរាកេយបរតមា េាងមលើ យៈមេល5ឆា ា។ 9. េនយលេភាេែ គនា វាងធនលាភេនា នងធនលាភអននា។ 10. េនយលេភាេែ គនា វាងធនលាភធេមតា នងធនលាភទមៅ។

4



1. បរបធានបរគបបរគងអាជវកេមមាា ក កបរាក $400 ជាម ៀងរាលដែមៅកាងគណនដែលសាល អបរតាកា បរាក 5% កាងេយឆា ាម យទទាតកា បរាកសគបេយដែេាង។ បរាក បមៅកាង គណនមៅចងបញច បនន យៈមេល3ឆា ាគៈ

a. $14 400 b. $15 120 c. $15 501 d. $15 132 e. គនម នចមេលើយ។ 2. មបើ Tonyែចបរាកចានន $11 500មែើេបទញេាតេយ មហើយបរតវានមគគតអបរតាកា បរាកបរបចា ឆា ា 6% ម យទទាតកា បរាកសគបេយបរតមា េាង។ បរាកដែលគនតបរតវបង ងបរបចាបរតមា ចាមពាោះបរាកកេចកាង យៈមេល3ឆា ាគៈ

a. $990.32 b. $1015.83 c. $958.33 d. $1054.32 e. គនម នចមេលើយ។ 3. មេធាវមាា កកាេងបង ងបរាកកេចកាងេយឆា ាចានន $3500 បរមាប យៈមេល8ឆា ា។ បរប ន មបើអបរតាកា បរាក 7% កាងេយឆា ាម យទទាតកា បរាកសគបេយឆា ាេាង មោះតនេលបចចបបនានន បរាកកេចគៈ

a. $20 500 b. $21 900 c. $26 215 d. $22 100 e. គនម នចមេលើយ។ 4. នមតថាអាកចងមានបរាកចានន $10 000 កាងគណនធគន ប អាកកាង យៈមេល4ឆា ា មហើយធគន សាលគណនដែលគតអបរតាកា បរាក5% កាងេយឆា ាម យទទាតកា បរាកសគប េយឆមា េាង។ បរាកដែលអាកបរតវបងចលមៅកាងគណនជាម ៀងរាល6ដែេាងគៈ

a. $14 45 b. $1200 c. $1250 d. $1312 e. គនម នចមេលើយ។ 5. អាកវនមោគមាា ក កបរាកម ៀងរាល3ដែេាងមៅកាងគណនេយដែលសាលអបរតាកា បរាក សគប 7% ម យទទាតកា បរាកេយបរតមា េាង។ បរាក បកាងគណនមៅចងបញច បនន យៈ មេល6ឆា ាគៈ

a. $17 707 b. $14 400 c. $15 408 d. $10 800 e. គនម នចមេលើយ។ 6. វ វក មាា កែចបរាកចានន $60 000េធគន ដែលគតអបរតាកា បរាក 9%កាងេយឆា ាម យ ទទាតកា បរាកសគបេយបរតមា េាងមលើ យៈមេល 15 ឆា ា។ បរាកដែលវ វក បរតវបងបរបចា បរតមា មលើបរាកកេចមនោះគៈ



a. $1832 b. $1941 c. $2053 d. $2351 e. គនម នចមេលើយ។ 7. បរគន (rent period)ននធនលាភេយគៈ

a. បរគន បដែលធនលាភបរតវ ង b. អាចអនវតាានដតចាមពាោះធនលាភធេមតាបាមណដណ ោះ c. ចម ល ោះមេល វាងកា បងធនលាភ d. បរាកដែលបរតវបងម យមាច ធនលាភ e. គនម នចមេលើយ

8. តនេលអគតននធនលាភេយគៈ (a) តនេលអគតននកា បងបរាកជាម េ បកបដនថេកា បរាក (b) តនេលអគតននកា បងបរាកជាម េ េនគតកា បរាក (c) កា បរាក បដែលបងមៅចងបញច បននធនលាភ (d) តនេលននធនលាភមៅមែើេបរគនែាបង (e) គនម នចមេលើយ

9. កា ងបាណល េល គៈ (a) តនេល បននធនលាភ (b) ែាមណើ ននកា ងបរាកកេចម យបងតាេបរគនម មើៗគនា (c) អាយកាលេធយេ ប អាកែចបរាក (d) ែាមណើ ននកា បមងកើតេលនធ ក នេាបបរេង បរមាបកា បងបរាក (e) គនម នចមេលើយ

10. តនេលបចចបបនាននធនលាភេយគៈ a. តនេលអគតននកា បងបរាកជាម េ បកបដនថេកា បរាក b. កា បរាក បដែលបងមៅចងបញច បននធនលាភ c. ែចគនា មៅនងតនេលបចចបបនាននធនលាភ d. អបរតាកា បរាកដែលអាចអនវតាានមៅមលើធនលាភ e. គនម នចមេលើយ។



លហាត

1. មបរៅេឧទាហ ណ 7.1 ច ឲយឧទាហ ណបមសេងមទៀតននកា បងធនលាភ។ 2. អតងជនមាា ក កបរាកចានន $100 ជាម ៀងរាលដែមៅកាងគណនធគន េយដែលសាល អបរតាកា បរាក 6% កាងេយឆា ាគតកា បរាកសគបរាលដែ។ មតើទកបរាកមៅកាងគណននង មានចាននបា ម នប ា បេ យៈមេល 5ឆា ា?

3. អតងជនមាា ក កបរាកចានន $250 ជាម ៀងរាលដែមៅកាងគណនធគន េយដែលសាល អបរតាកា បរាក 9% កាងេយឆា ាគតកា បរាកសគបរាលដែ។ មតើទកបរាកមៅកាងគណននង មានចាននបា ម នប ា បេ យៈមេល 3 ឆា ា?

4. Frank កបរាកចានន $500 ម ៀងរាលបដែេាងមៅកាងគណនដែលទទលានអបរតាកា បរាកសគប 4% កាងេយឆា ាទទាតកា បរាកសគបរាលបរតមា ។ មតើ Frank នងមានបរាកចានន បា ម នមៅកាងគណនមៅចង យៈមេល 6 ឆា ា?

5. តនតនាក មាា កានចោះកចចបរេេមបរេៀងជាេយមាច កលបរាបរត បរមាប យៈមេលបឆា ាប ា ប ម យមាច កលបរាបរតនង កបរាក $3 000 មៅរាលចង យៈមេល 6 ដែេាងមៅកាងគណនដែលគតអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា 6% ម យទទាតកា បរាកសគបេយបរតមា េាង។ ច ក តនេលបចចបបនាននធនលាភមនោះមៅមែើេបរគនទ1(មាននយថា6ដែេនកា កបរាកមលើកទ1)។

6. ច មឆលើយនង ាណ កាងលាហាត5 ម ើងវញម យឧបមាថា មាច កលបរាបរតានយលបរេេ កបរាក $5000 យៈមេល 5 ឆា ាកាងលកខែណឌ ែដែល។

7. Sophie មានគមបរមាងចងមៅមលងមៅចបរកភេអងមគល មហើយងចងែកបរាក $250 ជាម ៀងរាលដែេកាងគណនដែលទទលានអបរតាកា បរាក 5% កាងេយឆា ា ទទាតកា បរាកសគបម ៀងរាលដែ។ មតើទកបរាកចាននបា ម នដែលងគ ដត កកាងគណនេនមេល ងមចញមែើ កាតនា?

8. ច មឆលើយ ាណ កាងលាហាត 7 ម ើងវញម យ នមតថា Sophie បរតវកា បរាក $500រាល ដែ បរមាប យៈមេល3ឆា ា។

9. គតវ េភ ោងមេយគកាេង នេាបរាកមែើេបទញែេយកដនលង។ េកមគ កបរាក $500 ម ៀងរាល 3 ដែេាងមៅកាងគណនធគន ដែលសាលអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា 10% ម យ



ទទាតកា បរាកសគបេយបរតមា េាង។ មតើេកមគនងមានបរាកបា ម នមៅកាងគណន ប េកមគមៅចងបញច បនន យៈមេល5ឆា ា?

10. មេធាវមាា កានចោះកចចបរេេមបរេៀងដែលគនតនងទទលបរាកចានន$4500 មៅចងឆា ានេយៗ កាង យៈមេល 5 ឆា ាប ា បម យទទលានអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា8% ទទាតកា បរាក សគបេយឆា ាេាង។ ច កតនេលបចចបបនាននធនលាភមនោះមៅមែើេបរគនទ១ (មាននយថា1 ឆា ាេន កា បងបរាកមលើកែាបង)។

11. ច មឆលើយ ាណ កាងលាហាត10 ម ើងវញម យ នមតថា បរាកដែលបរតវទទលានមៅចង ឆា ានេយៗគ $7500 មហើយអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ាគ 3.5%ទទាតកា បរាកសគបរាលឆា ា។

12. ជាងមឈើមាា កានែចបរាកេធគន មែើេបទញ មាភ ៈទាមនើបបដនថេមទៀត។ បរាកកេចមនោះ នងបរតវានបង ងជាម ៀងរាលដែចានន $45 កាង យៈមេល 5ឆា ាប ា ប។ គណ តនេលបចចបបនាននកា បងមនោះមបើអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា 5% ទទាតកា បរាកសគបរាលដែ។

13. តសរតា ច យមាា កទញ ងយនាងមេយមបរគឿងម យបងបរាកភាល េចានន $2000 មហើយយល បរេេបង ងបរបចាដែចានន $240 កាងេយដែមលើ យៈមេល5ឆា ាប ា ប។ មបើ នអបរតាកា បរាកបរបចាឆា ា6%ម យទទាតអបរតាកា បរាកសគបេយដែេាង មតើតនេល េេលជាតច បរាកនន ងយនាមនោះម មើនងបា ម ន?

14. ច មឆលើយនង ាណ លាហាត 13 ម ើងវញម យឧបមាថាកា បង ងបរបចាដែគ $500 ជាន ឲយ$240វញ។

6



មេម ៀនទ ៨


9.1 សេចកដសដើម (Introduction)

វធេយននកា បងហា ញទនាកទនងដែលមកើតម ើង វាងអមេ គតាេេមធាបាយ ករកាហវ (Graph)។ឧទាហ ណ មយើងចងបងហា ញពលកខណៈដែលកា លក (sales) ឬករបាកចមណញ (profits) បានដករបករបលកនងក ង យៈមពលេយ ឬបងហា ញថា មតើចននននកា លកដែលបានមធវើ ទាកទងមៅនងតនេៃននទនញយាងែចមេេច? ករកាហវ (graph) នងមធវើកា បងហា ញមនេះជាញក ញាបយាងមានករបសទធភាព។ កនងកាលៈមទសៈមសេងៗមទៀត មយើងអាចបងហា ញជាេយនង ពតមានដែលមាន ចជាមរសចមៅកនងទករេងជាករកាហវ (graphical form) មហើយមយើងករតវកា បករាយ (interpret) ករកាហវ។ កា យលេយននគនតជាេលដឋា នដែល ទាកទងនងករកាហវគ កតនេៃដឋកគមម នចមពាេះកា បករាយននបងហា ញ។ 9.2 ការសៅចណច (Plotting points)

កនងកា អនវតតន មយើងដតងដតមានគននកា សមងេតដែលករតវសគគមន ។ ឧទា ហណែចជា កា លក នងឆន , កពស នងទេងន, ករបាកចមណញ នងកា លក, កា នាមចញ(exports) នងកា នាចល(Imports), កា ចណាយ (expenditure) នងករបាកចណល(income)។ ប មាណ

វតថបណងនៃសមសរៀៃ

កា មៅគមានលដឋបមលើករកាហវ គស នងបករាយករកាហវជាបនាា តករតង មដឋេះរាយករបពនធសេកា ងហយមដឋយមករបើករកាហវ មករបើករបពនធសេកា មែើេបមដឋេះរាយបញហា កនងកា វភាគចណច ចមែើេ គស នងបករាយករកាហវេនលមនដអែ (រាបបញច លទាងចណចប មា)



(quantities) ទាងមនេះជាធេមតាករតវបាន តាងមដឋយម ម េះអមេ (variable names) មហើយែច ជាគមានលដឋប (ordered pair) ននកា សមងេត។ (ែចមនេះ ប មាណជានចចកាលករតវបាន ស មស កនងលដឋបែចគមន ។) អងគ (member)ទ១ ននគមានលដឋប ជាធេមតាសមៅមៅមលើអកេ កអ មដឋមន- x ( x -coordinate) មហើយ អងគទ២ ននគមានលដឋបជាអកេកអ មដឋមន- y (y-

coordinate)។ កណតសមាគ លសករមាបគមានលដឋបននតនេៃ x នង y គ ( , )x y ។ ឧទាហ ណ 9.1 សណាក (sample) េយននសសេករបសថាន កេហាវទាលយបមចចកមទស 5នាកករតវបាន មករជើសម ើសមហើយកេពស (ជា cm /in cm) នងទេងន(ជា kg/ in kg) បសពកមគករតវបានកតករតា ែចខាងមករកាេៈ កេពស / height (cm) ទេងន / weight (kg) 175 67 183 81 164 58 172 64 178 75 ច តាងកា សមងេតទាងមនេះជា 5គមានលដឋបននគ / type (កេពស, ទេងន)។

ដស ោះសរាយ កា សមងេតជាគមានលដឋបគៈ (175, 67) (183, 81) (164, 58) (172, 64) (178, 75) គមានលដឋប (ordered pairs) ននកា សមងេតអាចករតវបានមៅមៅកនងបៃងវមាករតព (two-

dimensional plane) គនេយៗអាចករតវបានតាងជាចណចដតេយគត (unique point) មៅកនងបៃង

(plane)។ មៅកនងបៃងមនេះ មយើងគសបនាា តកាតដកងគមន (perpendicular lines) ព (ដែលមៅថា អកេ

កអ មដឋមន / coordinate axes) ដែលេយគអកេមែក (horizontal) (មៅថា អកេអាបសស/x-axis)



មហើយេយមទៀតគអកេ ឈ (vertical) (មៅថា អកេអ មដឋមន / y-axis)។ ចណចករបសពវននអកេ ទាងមនេះមៅថា គល (origin)។

មៅមលើអកេ (axis) នេយៗមាន តនេៃននមលខ (scale)។ តនេៃមលខ (scales) ទាងមនេះគ ដត ករតវបានមករជើសម ើសដែលសេរសបមៅនងទនននយនងបងហា ញ។ តនេៃវជជមាន (positive values) ននអមេ x ( x -variable) ករតវបានតាងកនងលដឋបមកើន (ascending order) មៅខាងាេ ននគល (origin) ឯតនេៃអវជជមាន (negative values) មៅខាងមវវង។ តនេៃវជជមាន(positive values) ននអមេ y ( y -variable) ករតវបានតាងម ើងមលើបនត (proceeding upwards) ពគល (origin) ឯតនេៃអវជជមាន (negative values) បនតចេះមករកាេ (proceeding downwards)។

ករបពនធអកេកអ មដឋមន / The coordinate axis system (មពលខៃេះករតវបានមៅថា បៃង x - y / x-

y plane មបើអមេ ទាងព គ x នង y ) ករតវបានបងហា ញមៅកនង បទ១។ គ កតសមាគ លថា អកេ នេយៗករតវបានកណតតនេៃយាងចាសជាេយនងតនេៃមលខ (scale) នងម ម េះអមេ (variable

names)។ មបើអមេ ទាងព ដែលនងករតវតាងមៅមលើករកាហវ (graph) មានតនេៃវជជមាន (positive) វា

ជាទមៅ (នងជាធេមតាតាេកា ចងបាន) ករតវគ ដតដសនកាេ នែខាងមលើ (upper right-hand) នន ករបពនធកអ មដឋមនែចកនង បទ២។

បទ១: ករបពនធអកេកអ មដឋមនចមពាេះព អមេ x នង y



បទ២: ដសនកាេ នែខាងមលើននករបពនធអកេកអ មដឋមន x - y

គមានលដឋបនេយៗននកា សមងេតននគ / type ,x y ករតវគមន នងចណចកនងបៃង -x y (x-y plane)។ ជាពមសស គមានលដឋប 0,0 គជាចណចដែលអកេករបសពវគមន (គល/ origin)។ ឧទាហ ណ 9.2 ពណនា នងមៅចណចកនងបៃង -x y ដែលករតវនងគមានលដឋបែចខាងមករកាេ។ ចណចដែលមានកអ មដឋមនែចខាងមករកាេៈ

a) 2, 3 b) ( 3, 5) c) 4, 1 d) ( 2, 5) ដស ោះសរាយ

a) ចណចករតវគមន នង 2, 3 អាច កម ើញមដឋយ កល 2 ឯកតាមៅខាងាេ ននគល នង 3 ឯកតាមៅខាងមលើ ននគល។

b) ចណចករតវគមន នង ( 3, 5) អាច កម ើញមដឋយ កល 3 ឯកតាមៅខាងមវវង ននគល នង5ឯកតាមៅខាងមលើ ននគល។



c) ចណចករតវគមន នង (4, 1) អាច កម ើញមដឋយ កល 4 ឯកតាមៅខាងាេ ននគល នង1 ឯកតាមៅខាងមករកាេ ននគល។

d) ចណចករតវគមន នង ( 2, 5) អាច កម ើញមដឋយ កល 2 ឯកតាមៅខាងមវវងននគល នង5ឯកតាមៅខាងមករកាេ ននគល។ ចណចនេយៗននចណចទាងបនករតវមៅែចខាងមករកាេៈ

បទ៣: ចណចទាងបនមៅកនងករបពនធអកេកអ មដឋមន -x y។

9.3 ការគេបនទា តសរតង (Plotting a straight line) កនងដសនក 3.1 បងហា ញថាសេកា លមនដអែ (linear equation) គជាសេកា ដែលសវយគណ ធបសតននអមេ មសមើនង 1។ សេកា លមនដអែ េយអាចស មស ជាទករេងែចខាងមករកាេៈ y bx a ឬ y a bx (9.1) ដែល a នងbជាចននមេ (constants)។ ចននមេ b មៅថាមេគណករបាបទស (slope or

gradient) ននបនាា តមករពាេះវាតាងឲយអករតាដែល y ដករបករបលមៅតាេតនេៃ x។ ចននមេ aតាង ឲយ



តនេៃករបសពវ y ( y -intercept) ជាតនេៃនន y ដែលបនាា តករបសពវជាេយអកេ y (y-axis)។ (មបើ 0a

បនាា តកាតអកេ y ( -axisy )ករតងចណចដែល 0y ែចមនេះបនាា តកាតតាេគល(origin)។ មគមៅថា សេកា លមនដអែ មករពាេះមៅមពលដែលគមានលដឋបដែលមសាៀងផទា តសេកា ករតវ បានគសកនងបៃង -x y ( -x y plane) វាបមងេើតបានជាបនាា តករតង។ មែើេបគសបនាា ត មយើងមៅយាងតចព ចណចដែលមសាៀងផទា តសេកា មហើយគស បនាា តករតងដែលកាតតាេចណចទាងមនេះ។ ចណចមៅមលើបនាា តនងតាងឲយករគបចណច ដែលកអ មដឋមនមសាៀងផទា តសេកា បនាា ត។ កាលណាករកាហវករតវបានគសជាធេមតាមគស មស សេកា បនាា តមៅមលើបនាា ត។ កា មធវើដបបមនេះវាមាា ៈសខានមបើបនាា តមលើសពេយករតវ បានគសមៅកនងែាករកាេ (diagram) ដតេយ។ មទាេះបជាមៅកនងកា គសតាេករទសេករតេដតព ចណចគករគបករគមន (suffice) ករតវចថាយាងមហាចណាស (at least) បចណចករតវមករបើ។ មបើករគបបចណចករតវបានគសករតេ ករតវវាគ ដតសថតមៅមលើបនាា តករតង។ មបើវាេនសថតមៅមលើបនាា តករតងមទ មនាេះកហសករតវបាន មកើតមានម ើងេយ (ឬមករចើន) ននចណច មហើយករគបចណចទាងអសដែលបានគសគ ដត ពនតយម ើងវញ។ វាេនមានបញហា មទដែលចណចមៅមលើបនាា តករតវបានគសឲយដតវាមសាៀងផទា តសេកា ។ បមចចកមទសេយគមករជើសម ើសតនេៃេយចនននន x មហើយ កតនេៃករតវគមន នន y មដឋយជនសតនេៃx ទាងមនាេះមៅកនងសេកា ។ គ ដណនាសងដែ េនករតវមករជើសម ើសតនេៃ x ដែលមៅជតគមន មពក ពមករពាេះកា គសបនាា តពតជាពបាក។ ឧទាហ ណ 9.3 គសករកាហវតាងសេកា បនាា តៈ 2 3y x ។

ដស ោះសរាយ សនមតថា មយើងមករជើសម ើសមដឋយមស បនតនេៃនន x មហើយ កតនេៃករតវគមន នន y មដឋយ ជនសកនងសេកា ។ (ជាធេមតាវាមានភាពងហយរសលកនងកា មករជើសម ើស0ជាតនេៃេយនន x។) មបើ 0,x 2(0) 3 3y មបើ 2,x 2(2) 3 7y



មបើ 2,x 2( 2) 3 1y មបើ 4,x 2( 4) 3 5y ែចមនេះ មយើងមៅចនចៈ

0, 3 2, 7 ( 2, 1) ( 4, 5) មហើយ ពងថា វានងសថតមៅមលើបនាា តករតង។ វាករតវបានបងហា ញកនង បខាងមករកាេៈ

បទ៤: ករកាហវននបនាា ត 2 3y x ឧទាហ ណ 9.4

ស មស សេកា ៈ 2 5 10x y ជាទករេង y a bx មហើយគសវាមៅមលើករកាហវ។ ដស ោះសរាយ



ែបង ទកត (terms) ដែលមាន x មៅអងគ(side) ខាងាេ ននសេកា ៖

5 10 2y x បនាា បេក ដចកអងគទាងព នង 5 មែើេបឲយមេគណនន y មសមើនង 1:

2 0.4y x (បនាា តមនេះមានមេគណករបាបទស 0.4 មហើយកាតអកេ y ករតង 2) ឧបមាថា មយើងមករជើសម ើសតនេៃ x : 2,0 នង 3 មហើយជនសវាកនងសេកា មនេះ។ មបើ 2, 2 0.4( 2) 2.8x y មបើ 0, 2 0.4(0) 2x y មបើ 3, 2 0.4(3) 0.8x y ែចមនេះ មយើងមៅចណច៖ ( , 2.8) (0, 2) (3, 0.8) មយើងអាចម ើញករកាហវែចខាងមករកាេ៖

បទ៥: ករកាហវននបនាា ត2 5 10x y



9.4 ការសោោះសរាយសរបពៃធេមការលសៃអ ែរសោយសសរបើសរកាហវជៃយ(Solving simultaneous equations with the aid of a graph) ករបពនធសេកា (Simultaneous equations) អាចមដឋេះរាយមដឋយគសសេកា នេយៗមៅកនងែាករកាេ (diagram) ដតេយ បនាា បេក កកអ មដឋមនននចណចករបសពវ។ កអ មដឋមន x ( x -coordinate) នងកអ មដឋន y ( y -coordinate) តាងឲយែមណាេះរាយនន សេកា ។ មទាេះជាយាងណាកេ មៅមពលដែលបនាា តព ដែលករតវគសមានមេគណករបាបទសមសមើ គមន បនាា តទាងព រសបគមន ែចមនេះមហើយគមម នចណចករបសពវ។ កនងក ណមនេះ ករបពនធសេកា គមម នែមណាេះរាយ។ ែចមនេះ គមម នតនេៃ x នង yណាដែលមសាៀងផទា តសេកា ទាងព មទ។ ឧទាហ ណ9.5 ពនតយករបពនធសេកា មៅកនងឧទាហ ណ 3.11:

3 4 33 (1)

2 3 5 (2)

x y

x y

មដឋេះរាយករបពនធសេកា មដឋយមករបើករកាហវជនយ។ ដស ោះសរាយ

គសបនាា តករតងដែលតាងករកាហវទាងមនេះមៅមលើែាករកាេដតេយ។ ែបងពនតយសេកា (1)។ ដឋកវាជាទករេង y a bx មយើងបានលទធសលៈ

33 3

4 4

xy

ឧបមាថា មយើងមៅចណចដែល 3,0x នង 5។

មបើ 33 3( 3)3, 10.5

4 4x y

មបើ 33 3(0)0, 8.25

4 4x y

មបើ 33 3(5)5, 4.5

4 4x y

ែចមនេះ ចណចដែលករតវគសបនាា តមនេះគៈ 3, 10.5 , 0, 8.25 , 5, 4.5 បនាា តកាតតាេចណចទាងបករតវបងហា ញែច បខាងមករកាេ។



ឥ វពនតយសេកា (2)។ ដឋកវាជាទករេង y a bx មយើងបានលទធសលៈ

2 5

3 3

xy

ឧបមាថា មយើងមៅចណចដែល 5,0x នង 4។

មបើ 2( 5) 55, 5

3 3x y

មបើ 2(0) 5 50,

3 3 3x y

មបើ 2(4) 54, 1

3 3x y

ែចមនេះ ចណចដែលករតវគសសករមាបបនាា តមនេះគ ( 5,5) , 50,

3

, (4,1)

បនាា តកាតតាេចណចទាងបករតវបងហា ញែចកនង បខាងមករកាេ៖

បទ៦: ករកាហវតាងសេកា បនាា ត3 4 33x y នង 2 3 5x y ។



ចណចករបសពវននបនាា តទាងព មនេះគ 7, 3 ែចបងហា ញមៅកនងករកាហវ។ មនេះមាននយ ថា ែមណាេះរាយចមពាេះករបពនធសេកា គ 7x នង 3y ។ ែចអវដែល ពងទកវាករតវគមន នង ចមេៃើយដែលបាន កម ើញកនងឧទាហ ណ 3.11។ វាគ ដតចាសថា ករតវដតគសករកាហវឲយបានករតេករតវ នងម ៀប យ វាងហយរសលកនង កា កណតកអ មដឋមនននចណចករបសពវ វាងបនាា តទាងព ។ 9.5 ការវភាគចណចរចសដើម(Break-even analysis)

កនងាថ នភាពននសលតកេម ជាធេមតាករតវចបអា េមណចងែងពប មាណសលតសល ដែលករតវបានសលតនងលកមែើេបែងពចណច ចមែើេ (Break-even) មនាេះគមែើេប កចនន សលតសលដែលមធវើឲយករបាកចណល (Income) ទទលបានជាកដសេងមសមើមៅនងករបាកចណាយ (cost) កនងកា សលតសលតសល។ែមណើ កា មនេះករតវបានមគាគ លថាជា កា វភាគចណច ច មែើេ (Break-even analysis) មហើយអាចករតវបានមគ កម ើញមដឋយកា មដឋេះរាយគនន ករបពនធសេកា ឬមដឋយមករបើករកាហវជនយ។ នេៃមែើេ(Costs): ចណាយអាចដចកជាព គចណាយមេ (fixed cost) នងចណាយដករបករបល (Variable cost)។ ចណាយមេ (fixed costs)(e.g. ចណាយមៅមលើកា ជល/rent), កា ដេទា /maintenance, ែាបាល/administration, កា េៃស/depreciation, ករបាកមបៀវតេ/salaries, ចណាយទ សពា/telephone) ជាចណាយដែលគតេនអារសយមៅមលើចននសលតសលដែល បានសលត ឯចណាយដករបករបល (variable costs) (e.g. កា ធនារាា ប ង/insurance, កមាៃ ង ពលកេម/labor, វតថធាតមែើេ/materials) អារសយមៅនងចននសលតសលដែលបានសលត។ ែចមនេះ ចណាយស បគៈ

ចណាយស ប ចណាយដករបករបល ចណាយមេ (9.2)

Total cost = variable cost+fixed cost ឧបមាថាមយើងតាងៈ x = ចននសលតសលដែលបានសលត(number of items manufactured)



v = ចណាយដករបករបលមែើេបសលតសលតសលនេយៗ(variable cost to manufacture each item)

f = ចណាយមេ ននសលតកេម(fixed cost of manufacture) C =ចណាយស ប(total cost) ចណាយដករបករបលគ vx នងចណាយស បគ Cអាចករតវបានតាងមដឋយៈ C vx f (9.3)

ចណល(Income): សនមតថាមយើងតាង s = ចណលបានពសលតសលនេយៗ(income made from each item) I =ចណលស ប (total income) ែចមនេះ ចណលដែលបានេកពកា លកសលតសលស បគៈ I sx (9.4) ដែលមានទករេងែចគមន មៅនងសេកា 9.1។ កនងក ណមនេះ វាគមម នតដែលតាងឲយ

ចណចករបសពវ វាងបនាា តជាេយអកេ y មទ ែចមនេះបនាា តកាតតាេគល (origin)។ ចមណញស ប (total profit=P) គ៖ P I C (9.5) មបើតនេៃPអវជជមាន វាតាងឲយកហាត (loss)។ ឧបមាថា ែបងមយើងពនតយមេើលែមណាេះរាយតាេករកាហវ។ ែមណើ កា មនេះ មានកា

គសបនាា តេយតាងឲយកា ចណាយ នងបនាា តេយមទៀតតាងឲយចណលមៅកនងែាករកាេដត េយ មហើយ កចណចករបសពវ បសវា។ ចណចមនេះតាងឲយចណច ចមែើេ (Break-even point)។ បមចចកមទសករតវបងហា ញកនងឧទាហ ណ9.6។ វធាសតសតពជគណតបងហា ញកនង ឧទាហ ណ 9.7។ ឧទាហ ណ 9.6

ករកេហែនេយសលតមាា សនគតមលខវទាាសតសតេយករបមេទដែលមានតនេៃមថាក សេ េយ មហើយមានចណាយមេ ករបចសបាត ហ$500សករមាបកា សលតមាា សនគតមលខ នង



មានចណាយដករបករបល $8កនងកា សលតមាា សនគតមលខេយ។ ករកេហែនទទលករបាកចណល $12 ចមពាេះមាា សនគតមលខនេយៗដែលបានលក។

a) កចណាយស បននកា សលតមាា សនគតមលខចនន 80 មករគឿងកនងេយសបាត ហ។ b) កករបាកចណលដែលបានពកា លកមាា សនគតមលខចនន80 មករគឿង។ c) កករបាកចមណញ(ឬខាត) មបើសនករកេហែនសលត នងលកមាា សនគតមលខចនន80 មករគឿងកនងសបាត ហណាេយ។

d) មដឋយមករបើតាេករកាហវជនយ កចណចដែលចណាយស បមសមើនងចណល។ មនាេះគ កកា លកករបចសបាត ហដែលតាងឲយចណច ចមែើេ។ បករាយតនេៃននចណច មនេះ។

ដស ោះសរាយ កនងក ណមនេះ មយើងមាន v = $8,f = $500 នង s = $12។

a) តាេសេកា 9.3ដែល មករគឿងមនាេះចណាយស បគៈ

$8 80 $500

$1140

C vx f

ែចមនេះ ចណាយស បននកា សលតមាា សនគតមលខចនន 80 មករគឿងកនងេយសបាត ហគ $1140។

b) តាេសេកា 9.4ដែល មករគឿង មនាេះករបាកចណលស បគៈ

( )( )

960$=

8012$=

=sxI

ែចមនេះករបាកចណលបានេកពកា លកមាា សនគតមលខចនន80 មករគឿងគ$960។

c) តាេសេកា 9.5ចមណញស បពកា សលត នងលកមាា សនគតមលខ 80មករគឿងកនងេយ សបាេ ហគ៖

$960 $1140 $180P I C មដឋយតនេៃ Pអវជជមាន មនេះបងហា ញថាករកេហែនខាតអស $180។



d) សនមតថា ចននមាា សនគតមលខដែលបានលកកនងេយសបាត ហ។ តាេសេកា 9.3 ចណាយស បគៈ 8 500C x តាេសេកា 9.4 ចណលស បគៈ 12I x ។ ចណច ចមែើេមលចម ើងមៅករតងចណចករបសពវ វាងបនាា តទាងព មៅមពលដែល

បនាា តទាងព ករតវបានគសមៅមលើករកាហវដតេយ។ មទាេះបជាអងគខាងមវវង បសវាខសគមន (i.e C នង I ) ដតវាទាងព តាងឲយតនេៃជាែលលៃ ែចគមន ែចមនេះ មយើងអាចគតថា ជាចបាចអមេ ករតវមានករបមេទែចគមន ។ អកេឈ ( )y អាចកណតតនេៃមដឋយងហយជាែលលៃ ($)។

បនាា តទាងព ករតវបានគសែច បខាងមករកាេ។ តាេ ប មយើងម ើញថាចណចករបសពវគ (125,1 500)។ ែចមនេះ ចណច ចមែើេននកា លកគ 125មាា សនគតមលខកនងេយសបាេ ហដែល មានចណាយស ប នងចណលមសមើគមន គ $1,500។ មនេះមាននយថា មបើករកេហែនលកតចជាង 125មាា សនគត មលខកនងេយសបាេ ហករកេហែននងខាត មបើលកមលើសព125មាា សនគតមលខ ករកេហែននងចមណញ។

បទ៧: ករកាហវននបនាា តករតង 8 500C x នង 12I x



ឧទាហ ណ 9.7 ច ក បេនតពជគណតមែើេប កចណច ចមែើេមដឋយេនមករបើករកាហវជនយ។ ច មសាៀង

ផទា តចមពាេះឧទាហ ណ 9.6មដឋយមករបើ បេនតមនេះ។ ដស ោះសរាយ

ចណច ចមែើេមកើតម ើងមៅមពលដែលចណាយស បមសមើនងចណលគៈ

I C មដឋយមករបើសេកា 9.3 នង 9.4 មនេះមាននយថាៈ

sx vx f មដឋេះរាយសេកា ក x មគបានៈ

sx vx f

s v x f

ដែលនាឲយ fx

s v

(9.6)

ែចមនេះ

ចណច ចមែើេ ចណាយមេ ចណលកនងេយឯកតា ចណាយដករបករបលកនងេយឯកតា

(9.7)

fixed costBreak-even point=

incomeper item variable cost item

មយើងករតវដតមានកា ករបងករបយតនកនងកា មករបើសេកា 9.6 នង 9.7។ មបើ s v បនាា ត ចណល នងបនាា តចណាយរសបគមន មហើយគមម នចណច ចមែើេមទ។ រសមែៀងគមន មនេះដែ មបើ sមានតនេៃតចជាង v មនាេះវាកគមម នចណច ចមែើេដែ មករពាេះចណាយកនងកា សលតដករបករបល កនងេយសលតសលមលើសចណលកនងេយសលតសល។ ែចមនេះចណច ចមែើេមកើតម ើងដត កនងក ណដែលចណាយដករបករបលកនងេយឯកតា v តចជាងចណលកនងេយឯកតា s ។ (កនងក ណពមសសដែលគមម នចណាយមេ មនាេះចណច ចមែើេេនបានបមងេើតអវម ើយ អនក អាចែងមទថាមហតអវ?) កនងឧទាហ ណ 9.6 មយើងមាន , នង $500f ។ តាេសេកា 9.6 ចណច ចមែើេគៈ



$500

$12 $8

fx

s v

125 មាា សនគតមលខ មនេះករតវនងចមេៃើយដែលទទលបានកនងឧទាហ ណ9.6។ សមាគ លៈ ប មាណ ( – )s v គជាតនេៃដែលអាច កបានកនងេយឯកតាមែើេបនាឲយជបចណាយ មេ ។ វាករតវបានមគមៅថា កករេតននកា េចដណកកនងេយឯកតា (Contribution margin per unit) មហើយកនងឧទាហ ណខាងមលើមនេះគ $12 - $8 =$4កនងមាា សនគតមលខេយ។ ឧទាហ ណ 9.8

អាជវកេមខាន តតចេយករតវសមករេចថាមតើករតវជលមាា សនេតចេៃងសករមាបមករបើផទា លខៃន ឬករតវបនតឲយមានកា េតចេៃងដែលមធវើម ើងមដឋយករកេហែនខាងមករៅម ម េះ Ripoff Copies។ Ripoff គតនេៃពអាជវកេមមេ 15មសន (cents) មែើេបេតចេៃងទព នេយៗ។ នេៃជលមាា សន គ $75 កនងេយសបាេ ហ បដនថេពមលើមនេះមទៀត វានងមានចណាយពាណជជកេមមេ 3 មសនកនង េយទព សករមាបនេៃករកដឋស នងទកថាន ជាមែើេ។

មតើករតវមានករកដឋសបានាម នទព កនងេយសបាត ហដែលអាជវកេមករតវេតចេៃងចមណញ ជាងកា ជលមាា សន?

ដស ោះសរាយ ចមពាេះបញហា មនេះមយើងអាចយក v (ចណាយដករបករបលកនងកា សលត) ជាចណាយដករប

ករបលកនងេយទព ននកា ជល, f (ចណាយមេ កនងកា សលត) ជាចណាយមេ កនងេយ សបាត ហននកា ជល មហើយ s (ចណលបានេកពសលតសលនេយៗ) ជាចណាយកនងេយទព ននករកេហែន Ripoff ដែលកពងមធវើកា េតចេៃង។

ែចមនេះ v $0.03 , $75f នង s $0.15 ។ មដឋយមករបើសេកា 9.6ចណច ចមែើេ x មកើតម ើងមៅមពលៈ

$75

$0.15 $0.03

fx

s v



625 ទព (copies) ែចមនេះចណច ចមែើេគ625ទព កនងេយសបាត ហ។មនាេះគមបើអាជវកេមមានកា េតចេៃ

ងតចជាង625ទព កនងេយសបាត ហវាលអករបមសើ កនងកា មករបើមសវា បសករកេហែន Ripoff ។ មបើ មានកា េតចេៃងមករចើនជាង625 ទព កនងេយសបាត ហ វានងមានភាពចមណញជាងកនងកា ជលមាា សន។ 9.6 សរកាហវមៃលសៃអ ែរៃងចណចបរមា(Non-linear graphs and Turning points)

កនងមពលខៃេះមយើងករបដហលជាចបអា េមណចមពាេះករកាហវដែលេនដេនជាបនាា តករតង។ករកាហវ ែចមនេះករតវបានមគមៅថាេនលមនដអែ (non-linear) មហើយទាកទងមៅនងសេកា ដែលមានសវយគណននអមេ ធជាង1។ ឧទាហ ណ 9.9

ឧទាហ ណខៃេះៗននករកាហវេនលមនដអែ គៈ a) 2y x b) 2 4 6y x x

c) 36y x d) y x

មែើេបសងករកាហវេនលដអែ មយើងអាចមៅចណចសខានៗេយចនន ហតមយើងបាន រាងទមៅននដខេមកាង។ ឧទាហ ណ 9.10

គសករកាហវដែលតាងឲយសេកា ៈ 28 2y x x ។ ដស ោះសរាយ

មយើងនងកណតលកខខណឌ មដឋយខៃនឯងចមពាេះតនេៃវជជមាននន x។ មដឋយសនមតថាឲយ តនេៃនន xចបព0 ែល 4 ដែលមានចមនាៃ េះ0.5។ តនេៃករតវគមន នន y ករតវបានបងហា ញែច ខាងមករកាេៈ

តមលៃ x (x-value) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

តមលៃ y (y-value) 8 8.75 9 8.75 8 6.75 5 2.75 0



បទ៨: ករកាហវននសេកា 28 2y x x កនងឧទាហ ណ 9.10 លទធសលករកាហវករតវបានបងហា ញែច បខាងមករកាេ។ កតសមាគ លថា ចណចករតវបាន ភាជ បមដឋយដខេមកាងរាបមសមើ (smooth curve) មដឋយា ករកាហវេនលមនដអែ ។ កនងមពលខៃេះមយើងអាចមានទនននយពាណជជកេមេយចននដែលមយើងចងគសករកាហវ។ ជាម ឿយៗ ករកាហវែចមនេះេនដេនលមនដអែ មហើយមែើេបដសវង កសេកា ករបាកែននករកាហវជា ធេមតាមានកា លបាកមហើយកេនចបាចដែ ។ ជាងមនេះមៅមទៀតមយើងអាចគសករកាហវ នង ពភាកាមលើលកខណៈពមសស បសវាេយចនន។ ឧទាហ ណ 9.11

ករកេហែនលកមាា សនករតជាកេយកដនៃងបានកតករតាចននកា លកននឯកតាកនង យៈ មពល 10 ឆន េន។ លទធសលដែលទទលបានគៈ

ឆន ទ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 កា លក (ឯកតា) 21 34 45 18 29 55 62 40 35 32 ច សងករកាហវននកា លកជាេយនងឆន មហើយពនយល។




ករកាហវលទធសលករតវបានបងហា ញកនង បខាងមករកាេដែលចណចទាងអសករតវបានភាជ បគមនមដឋយបនាា តករតង។ (កតសមាគ លថាមយើងេនបានមករបើដខេមកាងរាបមសមើមែើេបភាជ បចណចទាង អសកនងក ណមនេះមទមករពាេះមយើងេនសងសេកា លមនដអែ ជាកលលកេយមទ។ វាជាទមៅសង ដែ កនងកា ភាជ បចណចមៅមលើករកាហវដែលមានទនននយដករបករបលមៅតាេមពលមវលល។)

ច សមាគ លថាករកាហវកនង បទ ៩ មានចណចដែលម ើងែលចណចខពសបសត (Peak /កពល) មហើយបនាា បេកចេះែលចណចទាប (low point or trough)។ ជាកា ពតចណច ទាងមនេះតាងឲយចណចអតប មា (maximum) នងចណចអបបប មា(minimum) មៅមលើករកាហវ មហើយករតវមៅនងទតាងដែលករកាហវផទៃ សបត ទសមៅ។ ចណចទាងមនេះមៅថាចណចប មា (turning points) មហើយកនងក ណមនេះមកើតម ើងមៅកនងឆន ទ3 ទ4នងទ7 មៅមពលដែលកា លក=45 (ខពស / high) ;18(ទាប / low); 62(ខពស / high) ម ៀងគមន ។កនងក ណឧទាហ ណ 9.10 ចណចប មាមកើតម ើងមៅមពល 1x នង 9y ។ ឧទាហ ណ 9.12 បខាងមករកាេបងហា ញពតនេៃដករបករបលននចននឱកាសកា ងហ (job vacancies) កនង អសតាត ល វាងដខសហា 1997 នងដខសហា 2000។ កមានកា បងហា ញសងដែ នវដខេមកាង ដែលមានករទងករទាយរាលដែលបានមករបើមែើេបបងហា ញទសមៅ យៈមពលដវងននទនននយ។ កតសមាគ លថាមានចណចប មាព មៅមលើដខេមកាងឱកាសកា ងហ ។ចណចទ1 មកើតម ើង ករបដហលដខឧសភា 1998 មៅមពលចណចកពលករបដហល95 000ឯចណចប មាេយមទៀត គចណចអបបប មាដែលមកើតម ើងករបដហលជាដខវចឆកា 1998 មៅមពលដែលវាធាៃ កចេះែល ករបដហល90 000េននងម ើង ហតែល120 000មៅករតេដខសហា 2000។ ចមពាេះដសនកដែលមៅសលននករកាហវគមម នសញហា ននចណចប មាមសេងមទៀតមកើតម ើងមទមដឋយា ទនននយមកើនម ើង ហត។ ឧទាហ ណ 9.13 ករបធានករកេហែនមអ ចករតនចតចេយមានកងវលជាេយនងកា ដករបករបលម ើងចេះនន ចណាយករបចសបាេ ហននករបតបតតកា អាជវកេម។ មែើេបកណតេលមហតននបញហា មនេះ គមត



បានកតករតានវចណាយករបចសបាេ ហជាេលដឋា នចនន 10 សបាេ ហ។ ទនននយបងហា ញែច តារាង 9.1។

បទ៩៖ ករកាហវទនននយននកា លកកនងឧទាហ ណ 11

បទ ១០: តនេៃដករបករបលននចននឱកាសកា ងហ មៅអសតាត ល វាងដខសហា 1997

នងដខសហា 2000 Source: Australian Bureau of Statistics, Australian Economic Indicators, December 2000. Cat. No.

1350.0



តារាង 9.1 កា ចណាយករបចសបាេ ហសករមាបករកេហែនអគគសន សបាេ ហទ/Week no. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ចណាយ/Cost ($) 534 486 320 550 610 630 575 500 425 390

ចណាយករបចសបាេ ហកនងតារាង 9.1 ករតវបានគសជាករកាហវែចកនង បខាងមករកាេ។ គ កតសមាគ លថា មានចណចប មា ឬកា បេ ទសមៅព មសេងគមន ។ ចណចទេយមកើតម ើង មៅសបាេ ហទ៣ (អបបប មា /trough) មៅមពលដែលចណាយបេ ពទាបបសត មហើយចបមសេើេ មកើនម ើង។ ចណចទព មកើតម ើងមៅសបាេ ហទ៦ មៅមពលដែលចណាយមកើនែលអតប មា (peak) មហើយចបមសេើេចេះ។



ែចដែលបានកណតចណចប មាមៅមលើដខេមកាងចណាយ (cost curve) បមចចកមទស ែចគមន កអាចអនវតតចមពាេះដខេមកាងចណល (revenue curve) មែើេបកណតក ណទាងមនាេះ មៅមពលដែលចណល បសករកេហែនផទៃ សបេ ទសមៅម ើងមលើ ឬចេះមករកាេ។

4Y4



1. គសមៅមលើករកាហវនវសេកា បនាា ត 2 3 24x y ។ 2. គសមៅមលើករកាហវនវសេកា បនាា ត 1.5 2.5 15x y ។ 3. មដឋេះរាយករបពនធសេកា ខាងមករកាេមដឋយមករបើករកាហវជាជនយ៖

2 3 18

6 5 14

x y

x y

4. ករកេហែនសលតអពលេយកដនៃងមានចណាយមេ ករបចសបាេ ហ $1200កនងកា សលត នងចណាយដករបករបល$45កនងអពលេយ។ ករកេហែនទទលបានករបាកចណល$75

ពកា លកអពលេយ។ គណនាចណាយស បកនងកា សលតអពល120កនងេយ សបាេ ហ។

5. ចមពាេះទនននយកនងសណ ទ 4 កករបាកចមណញ (ឬខាត) មបើករកេហែនលកបាន150

អពលកនងេយសបាេ ហ។ 6. ចមពាេះទនននយកនងសណ ទ 4 មដឋយមករបើករកាហវជនយ កចណចដែលចណាយស ប មសមើនងករបាកចណលស ប។ កចននននកា លកករបចសបាេ ហដែលតាងឲយចណច ច មែើេ។

7. ហាងលកសមាា ៈកឡាេយកដនៃងចណាយឲយមៅកដនៃងសគតសគង$15កនងបាលទាតេយ មហើយលកវាកនងតនេៃ$25។ មគកចណាយ$30ឲយមៅកដនៃងសគតសគងកនងែបងវាយកន មហាគ លេយ មហើយលកវាកនងតនេៃ $45។ សនមតថា ហាងមានេវកា $500មែើេបទញ បាលទាត នងែបងវាយកនមហាគ ល។ ស មស ករបពនធសេកា ដែលអាចមករបើមែើេប កណតចននននវតថនេយៗដែលគ ដតទញមែើេបឲយករបាកចមណញស បមលើវតថនេយៗមានចននមសមើគមន ។ (កណតអមេ បសអនក)

8. គសករកាហវននសេកា ទាងព កនងលហាត 7។ កចណចករបសពវ នងបករាយតនេៃ បសវា។



9. គសករកាហវននសេកា ៖ 2y x x នងកណតចណចដែលដខេមកាងកាតអកេអាបសស (x-axis)។

10. មបើចណាយមេ ននកា សលតកនងេយឯកតាមកើនម ើង50% មតើអវដែលមានឥទធពលមៅមលើចណច ចមែើេ?

6



1. េ វាងអកេអាបសស x ដសនកវជជមាន នងអកេអមដឋមន y ដសនកវជជមានគៈ a) 60 b) 90 c) 180 d) 270 e) គមម នចមេៃើយ

2. មបើសនបនាា តករតងេយកាតតាេគល មតើករបមយគណាេយកនងចមណាេករបមយគខាង មករកាេដែលករតេករតវជានចច?

a) មេគណករបាបទសគ សនយ b) មេគណករបាបទស គ វជជមាន c) មេគណករបាបទស គ អវជជមាន d) គមម នតចននមេ មៅកនងសេកា e) គមម នករបមយគណាេយដែលករតេករតវជានចចមនាេះមទ។

3. ករបសនមបើបនាា តព ករបសពវគមន មៅករតងគល មតើករបមយគណាេយកនងចមណាេករបមយគខាង មករកាេដែលករតេករតវជានចច?

a) បនាា តទាងព មានមេគណករបាបទសវជជមាន b) បនាា តទាងព មានមេគណករបាបទសអវជជមាន c) បនាា តទាងព មានមេគណករបាបទសខសគមន d) បនាា តទាងព រសបគមន e) គមម នករបមយគណាេយដែលករតេករតវជានចចមនាេះមទ។

4. ករបសនមបើបនាា តព រសបគមន មតើករបមយគណាេយកនងចមណាេករបមយគខាងមករកាេដែល ករតេករតវជានចច?

a) បនាា តទាងព មានមេគណករបាបទសវជជមាន b) យាងមហាចណាសមានបនាា តេយកាតតាេគល c) បនាា តទាងព មានមេគណករបាបទសមសមើគមន d) យាងមហាចណាសមានបនាា តេយគមម នតចននមេ e) គមម នករបមយគណាេយដែលករតេករតវជានចចមនាេះមទ។



5. ករកេហែនេយដែលលកដខេករកវាតកា ពា មានចណាយមេ ករបចសបាត ហ $2700 នង ចណាយដករបករបល $25កនងដខេករកវាតេយ។ ដខេករកវាតនេយៗសតលករបាកចណល$45។ នេៃ លកករបចសបាត ហដែលតាងឲយចណច ចមែើេគ៖

a) 1350 ដខេករកវាត b) 600 ដខេករកវាត c) 135 ដខេករកវាត d) 540 ដខេករកវាត e) គមម នចមេៃើយ

6. ចមពាេះទនននយមៅកនងសណ 5 មបើករកេហែនសលតដខេករកវាតចនន 800 ដខេករកវាតកនងេយ សបាត ហមនាេះលទធសលគ៖

a) ខាត $1100 b) គមម នករបាកចមណញឬ ខាត c) ចមណញ $9300 d) ចមណញ $800 e) គមម នចមេៃើយ

7.មបើករបាកចណលកនងេយឯកតាមកើនម ើងមទវែង ចណាយដករបករបលកនងេយឯកតាមកើនម ើង មទវែង មហើយចណាយមេ មកើនម ើងបែង។ ឥទធពលមៅមលើចណច ចមែើេគ៖

a) វាសថតមៅែដែល b) វាមកើន 6 ែង c) វាមកើន 12 ែង d) វាេយចេះ 50% e) គមម នចមេៃើយ

8.ចណចករបសពវននបនាា តព ៖ 2 3 5x y នង20 19 21x y គ៖ a) 1, 1x y b) 1.5, 1x y c) 2.5, 0x y d) 5

0,3

x y e) គមម នចមេៃើយ

9. ករបតបតតកា បសអាជវកេមខាន តតចេយមៅសា េយលកនា កាដែលមគទញនា កា នេយៗកនងតនេៃ $10ពកដនៃងសគតសគងមហើយលកវញនេៃ $16 កនងេយមករគឿង។ នេៃចណាយជល តបមៅសា គ $300 សករមាប យៈមពល 8មមាាងកនងេយនេង។ ចននអបបប មាននកា លក នា កាដែលអាជវកេមករតវលកកនងេយមមាាងមែើេបឲយយាងមហាចបាន ចមែើេគ៖

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) គមម នចមេៃើយ 10. មៅកនងសណ 9ចនននា កាដែលករតវលកកនងេយនេងមែើេបឲយបានករបាកចមណញករបច នេង (នេៃលកែកនេៃទញ) មសមើនង$200គ៖

a) 100 b) 800 c) 125 d) 50 e) គមម នចមេៃើយ

4



លហាត

1. តនេៃេធយេននមករគឿងមទស 8េខកនង Perth ករតវបានបងហា ញកនងតារាងខាងមករកាេសករមាប ដខកញហា ឆន 1985 នងឆន 2000។

Items Unit Price in 1985 ($) Price in 2000 ($)

Milk

Rice

Dry biscuits

Bananas

Peaches

Eggs, 55 g

Pet food

Toothpaste

1L

1 kg

205 g

1 kg

825 g can

1 dozen

400 g

140 g

0.74

0.77

0.87

1.62

1.33

1.61

0.71

1.54

1.44

1.77

1.60

2.86

2.17

2.96

1.00

2.30

Source: Australian Bureau of Statistics, Average Retail Prices of selected Items, September

Quarters 1985 and 2000, Cat. No. 6403.0.

a) តាងទនននយទាងមនេះជា 8គមានលដឋបកនងទករេង (price in 1985, price in 2000)។ b) មដឋយមករបើតនេៃមលខសេ េយមៅមលើអកេមៅចណចកនងសណ (a)មៅមលើករកាហវ។ មៅចណចសករមាបឆន នេយៗមដឋយមករបើសញហា សមាគ លមសេងគមន ។

c) មតើមានចណចខសករបករកតមៅមលើករកាហវ បសអនកកនង (b) ដែ ឬមទ? មបើមានកណត ចណចទាងមនាេះមហើយពនយលថាមហតអវបានជាវាេនករបករកត។

2. មៅចណចខាងមករកាេកនងបៃង -x y មហើយបញហជ កតនេៃ បសវា៖ a. (2, 5) b. (-2, 4) c. (0, 5) d. (3, -3)

3. មៅចណចខាងមករកាេកនងបៃង -x y មហើយបញហជ កតនេៃ បសវា៖ a. (-1.5, -3.5) b. (2.2, 0) c. (1.2, -2.6) d. (-0.4, 0.4)

4. គសករកាហវននបនាា តតាងមដឋយសេកា y x ។ 5. គសករកាហវននបនាា តតាងមដឋយសេកា 3y x ។ 6. គសករកាហវននបនាា តតាងមដឋយសេកា 2 1y x ។ 7. គសករកាហវននបនាា តតាងមដឋយសេកា 4.5 1.5y x ។ 8. ស មស សេកា ខាងមករកាេជាទករេង y a bx ឬ y bx a :

a. 3 6 24x y b. 5 3 13x y c. 4 7 14x y d. 3 2 12x y 9. ពនតយករបពនធសេកា ខាងមករកាេៈ



6

2

x y

x y

a) មដឋេះរាយករបពនធសេកា មដឋយមករបើករកាហវជនយ។ b) មដឋេះរាយសេកា តាេពជគណតមហើយពនតយថាមតើចមេៃើយ បសអនកករតវនងសណ

(a) ឬមទ។ 10. ពនតយករបពនធសេកា ខាងមករកាេៈ

2 11

5 2 5

x y

x y


(a) ឬមទ។ 11. ពនតយករបពនធសេកា ខាងមករកាេៈ

4 2 13

7 19

x y

x y


(a)ឬមទ។ 12. ពនតយករបពនធសេកា ខាងមករកាេៈ

2 4

4 2 8

x y

x y

ពាយេមដឋេះរាយករបពនធសេកា មនេះមដឋយមករបើករកាហវជនយ។ ពនយលថាមានអវ មកើតម ើង។ (មតើវាមានែមណាេះរាយមករចើនជាងេយឬមទ? មបើមានអនកអាចស មស ទករេង ទមៅននករគបែមណាេះរាយឬមទ?)

13. អាជវកេមខាន តតចេយកដនៃងសលតបណណេយករបមេទដែលមានចណាយមេ ករបច សបាត ហ $200 សករមាបជលមាា សននងមានចណាយដករបករបល $1.20កនងបណណេយ។ អាជវកេមមនេះទទលករបាកចណល$2.00សករមាបបណណនេយៗដែលមគលក។

a) ច កចណាយស បននកា សលតបណណចនន1000បណណកនងេយសបាត ហ។



b) ច កករបាកចមណញ (ឬខាត)មបើអាជវកេមមនេះសលតនងលកបណណបានចនន1000 បណណ កនងេយសបាត ហ។

c) មដឋយមករបើតាេករកាហវ ច កតនេៃលកករបចសបាត ហដែលជាចនច ចមែើេ។ 14. ច មវៃើយនងសណ កនងលហាត13 ម ើងវញមដឋយឧបមាថាករបាកចណាយមេ ករបច សបាត ហសករមាបជលមាា សនគ $300។

15. ច មវៃើយនងសណ កនងលហាត13ម ើងវញមដឋយឧបមាថា អាជវកេមមនេះទទលបាន ករបាកចណល$2.50 ពកា លកបណណនេយៗ។

16. ច មករបើ បេនតពជគណតមែើេប កចណច ចមែើេចមពាេះទនននយមៅកនងលហាត 13។ 17. ច មករបើ បេនតពជគណតមែើេប កចណច ចមែើេចមពាេះទនននយមៅកនងលហាត 14។ 18. មយងមៅតាេតករេវកា បសសសេ សហគេនននាកលវទាលយេយសមករេចចតត មបើកហាងាចករកកអាមេ កាង (hot-dog stand)។ មាា សនសករមាបសលតាចករកក អាមេ កាងអាចជលកនងតនេៃ $140កនងេយសបាេ ហ។ សហគេនបងកនករេមជើងា ឲយអនកលក $0.40ចមពាេះរាលាចករកកនេយៗដែលបានលក មហើយចណាយ សករមាបមករគឿងសេ $0.75។ ាចករកកនេយៗលកកនងតនេៃ$1.50។ a. កចណាយស បចមពាេះកា លក 330ាចករកក។ b. កករបាកចមណញ (ឬខាត) មបើហាងសលត នងលកាចករកក330កនងេយសបាេ ហ។ c. មដឋយមករបើករកាហវជាជនយ កចននលកករបចសបាេ ហដែលជាចណច ចមែើេ។

19. កចណច ចមែើេកនងលហាត 18(c) មដឋយមករបើសេកា 9.7។ មសាៀងផទា តថា ចមេៃើយ បសអនកែចគមន នងចមេៃើយកនងលហាត 18 (c)។

20. ករកេហែនជលកនងលហាត 18 សមករេចចតតតមេៃើងនេៃជលមាា សនសលតាចករកកអាមេ- កាង ហតែល $160កនងេយសបាេ ហ។ សនមតថា ចណាយដករបករបលគែចគមន មតើចនន ននាចករកកដែលករតវលកកនងេយសបាេ ហមែើេបឲយករបាកចមណញបាន$50?

21. ច ពនតយទនាកទនង វាងអមេ x នង y ននសេកា េនលមនដអែ ខាងមករកាេៈ

xxy 62 2



a) ច មៅចណចកនងបៃង -x y ចមពាេះតនេៃននអមេ xខាងមករកាេ៖ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 ។

b) ច ភាជ បចណចទាងមនេះមៅជាដខេមកាងរាបមសមើ។ c) មករបើដខេមកាងកនងសណ b) មែើេបបាា នាម នតនេៃនន x ដែលតនេៃនន y មៅករតងចណច អតប មា។ ច កសងដែ នវតនេៃករតវគមន នន y។(ែចមនេះ កកអ មដឋមនននចណចប មា)

22. ករគបមករងៀនេត បមាន កទញមាា សនេតតច 2 នងហវល 5ែពហាងលកសមាា ៈេត ប េយកដនៃងកនងតនេៃ $107.50។ សបាត ហបនាា បេកមៅតបែដែល នងតនេៃែដែលកនង េយឯកតាគមតបានទញមាា សនេតតច5នងហវល8ែកនងតនេៃ $253។ កណត៖

x =នេៃមាសនេតតចកនងេយមករគឿង(គតជា $) y =នេៃហវលេយែ (គតជា$)

a) ច បមងេើតករបពនធសេកា មែើេប កតនេៃនន x នង y។ b) មដឋេះរាយករបពនធសេកា កនង a) មដឋយមករបើករកាហវ។ c) មករបើចមេៃើយ បសអនកកនង b)មែើេប កចណាយស បននមាា សនតច3 នងហវល 2ែ។

23. ករកេហែនេយសលតនា កាពយ ជញហជ ងមានចណាយមេ ករបចដខ$1620កនងកា សលត នា កានងចណាយដករបករបលកនងកា សលត$80កនងនា កាេយ។ករកេហែនទទលបានករបាក $125ចមពាេះកា លកនា កានេយៗ។ a. ច កករបាកចមណញឬខាតករបចឆន មបើករកេហែនលកនា កាបាន 30 មករគឿងកនងេយ ដខ។

b. ច កចណច ចមែើេចមពាេះកា លកករបចដខមដឋយមករបើតាេករកាហវ។ c. ច កចណច ចមែើេចមពាេះកា លកករបចដខមដឋយមករបើពជគណត។ ពនតយថា ចមេៃើយ បសអនកករតវគមន នងចមេៃើយកនង b)។

24. a) ច គសករកាហវននសេកា ទាងព កនងែាករកាេដតេយ៖

2 2y x x 2 3y x

មដឋយគសឲយបានករតេករតវ ច កចណចករបសពវននករកាហវទាងព ។



b) មដឋយមករបើចមេៃើយ បសអនកកនង a)ច មដឋេះរាយសេកា ៖

0342 xx ច ពនយលមហតសល បសអនក។

25. a) ច គសករកាហវននសេកា ទាងព កនងែាករកាេដតេយៈ

2 2y x x 5 3y x

មដឋយគសឲយបានករតេករតវ ច កចណចករបសពវននករកាហវទាងព ។ b) មដឋយមករបើចមេៃើយ បសអនកកនង a)ច មដឋេះរាយសេកា 0652 xx

ច ពនយលមហតសល បសអនក។

6



មេម ៀនទ ៩


9.1. នយមនយដេរដេ(Definition of derivative) សណ (Set)៖ គជាបណ ននវតថ ដែលកណតមោយលកខខណឌ ជាកលាក។ឧទាហ ណ៖

សណ ននសសសថនា ក 4P A , សណ អកស ននពាកយ tradeតាងមោយ , , , ,A t a e r d ,...។, , , ,t a e r d មៅថនធាត (Element) ដែលមគស មស , , , ,t a e r d A ឬ , , , ,A t a e r d ។

អន គេន (Function): មបើ E នង F ជាព សណ េនទមទ ទនាកទនង f ពសណ E មៅសណ F ជាអន គេនកាលណាធាត នេយៗននសណ E មបើមាន បភាពគមានដតេយគតមៅកា ងសណ B ។

ទនាកទនង f នង g គជាអន គេន ឯទនាកទនង h េនដេនជាអន គេនមទ។ អន គេនខលះដែលមគនយេម បើើៈ

េតថបណងននដមដរៀន

នយេនយមែ មវ បេនតមែ មវ កចណ ប មាននអន គេន អន វតតនមែ មវកា ងពាណជជកេម



អន គេនលមនដអែ , 0y a bx a

អន គេនអ ដពបល , 0a

y ax

អន គេនអចសបណងដសយល , 0, 1,xy a a a x អន គេនមលាកា ត log , 0, 1, 0ay x a a x ។

ដេរដេននអនគមនតតង0x

ឧបេថន មគមានអន គេន Q f x ដែល Qជាប មាណផលតផលស ប មហើយ xជា យើៈមពល។ កណតទនាផលមៅខណើៈ xណាេយ។

កា ង យើៈមពល x គព x មៅ x x ផលតផលដែលផលតបានគ Q f x x f x ែចមនះ ទនាផលពលកេមេធយេកា ងចមនាល ះ យើៈមពលមនះគើៈ f x x f xQ

x x

។

កា ងចមនាល ះ យើៈមពល x ទនាផលពលកេមអាចដ ប បលជាម ចើន ែចមនះចង កទនាផល ពលកេមមៅខណើៈ x មគ តវសមងេតទនាផលពលកេមេធយេកា ង យើៈមពលតចបផ ត។ មយើងអាច កណតបានថន ទនាផលពលកេម តងខណើៈ x គជាលេត (មបើមាន) បសទនាផលពលកេម េធយេកា ង យើៈមពល x កាលណា 0x ។

ទនាផលពលកេមើៈ 0

limx

f x x f x

x

។

មែ មវ តង0x ននអន គេន ( )y f x ជាលេត(មបើមាន) ននផលមធៀបកមណើ ន y

x

កាល

ណា x ខតមៅជត0។

មគស មស 0

0 0 00 0

0 00

( ) ( ) ( ) ( )' '( ) lim lim lim

x x x h

y f x f x f x h f xy f x

x x x h

។

មបើ y f x មានមែ មវ តង គបចណ ច x មនាះ

0 0' ' lim lim

x x

f x x f xyy f x

x x

ឧទាហ ណ1 កមែ មវ តង 2x ននអន គេន 2 1y x ។

មគបាន2 2(2 ) (2) (2 ) 1 (2 1)

4y f h f h

hx h h



ែចមនះ 0 0

'(2) lim lim 4 4x h

yf h

x

។

ឧទាហ ណ2 កមែ មវ បស 3 22y f x x x ។ 9.2. របមនតដេរដេ (Formulas of derivatives)

អន គេន អន គេនមែ មវ អន គេន អន គេនមែ មវ ,y k k ជាចននមេ ' 0y y kx 'y k ny x 1' ny nx ny u 1' ' ny nu u

y x 1'

2y

x y u '

'2

uy

u

1y

x

2

1'y

x 1

yu

2

''

uy

u

y u v ' ' 'y u v y u v ' ' 'y u v y uv ' ' 'y u v v u u

yv

2

' 'u v v uy

v

xy e ' xy e uy e ' ' uy u e xy a ' lnxy a a uy a ' ' lnuy u a a

lny x 1'y

x lny u '

'u

yu

logay x 1'

lny

x a logay u '

'ln

uy

u a

ឧទាហ ណ3 គណនាមែ មវននអន គេន 4

3 22y x x ។

9.3. អនេតតនដេរដេ

1. មបើ ( )C x ជាអន គេនចណាយស ប(Total cost) មនាះ '( )C x ជាអន គេនចណាយឯកតាបដនថេ(Marginal cost function) ដែលតាងមោយMC ឬMC ។

ឧទាហ ណ 4 មគមានអន គេនចណាយស ប 3 2( ) 9 33 330C x x x x ។ កអន គេន ចណាយឯកតាបដនថេ (Marginal cost function)នង Marginal cost តង 1x ។

អន គេនMarginalcost គើៈ 2( ) '( ) 3 18 33MC x C x x x Marginal cost តង 1x គើៈ (1) '(1) 3 18 33 18MC C



2. មបើ ( )R x ជាអន គេនចណលស ប (Total revenue) មនាះ '( )R x គជាអន គេនចណល ឯកតាបដនថេ (Marginal revenue) ដែលមគតាងមោយMRឬMR ។

3. មបើ ( )P x ជាអន គេន បាកចមណញស ប(Total profit)មនាះ '( )P x គជាអន គេន បាក ចមណញឯកតាបដនថេ (Marginal profit)ដែលតាងមោយMPឬMP ។

ឧទាហ ណ 5 មគមានអន គេន បាកចមណញស ប ( ) 20 1 2P x x x ។ ក Marginal profit មបើមគផលត 15 ឯកតាផលតផល។

អន គេន Marginal profit គើៈ 1 1 10( ) '( ) 20 2 2

2 1 1MP x P x

x x

មបើមគផលត 15 ឯកតាមនាះ Marginal profit គើៈ10 10 1

(15) '(15) 2 24 215 1

MP P

អតបរមានងអបបបរមា(Maxima and Minima) មបៀប កប មាើៈ

ក ' '( )y f x មោះសរាយសេកា '( ) 0f x (ឧបមាថន

0x ជាឫស) ក '' "( )y f x ច ក

0"( )f x មបើ

0"( ) 0f x មនាះ ( )y f x មានអបប មា តង0x ដែល min 0y f x

មបើ0"( ) 0f x មនាះ ( )y f x មានអតប មា តង

0x ដែល max 0( )y f x

ឧទាហ ណ 6 អន គេនចណលស ប(Total revenue) េយកណតមោយ2 3( ) 8000 4R x x x x ដែល xជាប មាណផលតផលដែលបានលក។ មតើមគ តវលកផលត

ផលមនះចននបប នាម នមែើេឲយចណលស បអតប មា? កចណលអតប មាមនះ។ េដ ោះតាយ

មយើងមានើៈ 2 38000 40R x x x x 2'( ) 8000 80 3R x x x

2'( ) 0 8000 80 3 0R x x x 40x ឬ 200

3x (មោលម ពាះ xជាប មាណផលតផល)



"( ) 80 6R x x " 40 80 240 0R ទនាកទនងមនះបញជជ កថន ចណលស ប ( )R x អតប មាមបើមគ

លកផលតផល 40ឯកតា។ ចណលអតប មាគើៈ

2 3

max 40 8000 40 40 40 40 192000R R (ឯកតា បយបណណ) មបើអន គេនចណាយស ប (Total cost)កណតមោយ ( )C C x មនាះចណាយេធយេ

កា ងេយឯកតា(Average cost)ឬនេលមែើេកា ងេយឯកតាគើៈ ( )C xC

x ។

ឧទាហ ណ7 ចណាយស បកា ងកា ផលតេយកណតមោយ 214 100 ;

4C x x x x ជា

ប មាណផលតផលដែលបានផលត។ មតើមគ តវផលតបប នាម នឯកតាមែើេឲយចណាយ េធយេកា ងេយឯកតាអបប មា? កចណាយអបប មាមនះ។

េដ ោះតាយ

អន គេនចណាយេធយេកា ងេយឯកតាើៈ 1 1004

4

C xC x

x x

2

1 100'

4C x

x

2

1 100' 0 0

4C x

x

2 400 0 0x x

20x ឬ 20x (មោល)

3

200"C x

x

200

" 20 08000

C ែចមនះ ចណាយេធយេកា ងេយឯកតាអបប មាមបើមគផល

តចនន20ឯកតា។ ចណាយេធយេអបប មាមនះគើៈ

min

1 10020 20 4 5 4 4 14

4 20C C (ឯកតា បយបណណ)



ឧទាហ ណ8 មគមានអន គេនចណលស ប (Total revenue) 32R x x នងអន គេន ចណាយស ប (Total cost) 2200 2C x x x ( xជាប មាណផលតផលដែលបានលក)។ មតើមគ តវលកបប នាម នឯកតាមែើេឲយ បាកចមណញអតប មា? ក បាកចមណញអតប មាមនះ។

េដ ោះតាយ

អន គេន បាកចមណញស បើៈ

2 232 200 2 200 30P x R x C x x x x x x

' 30 2P x x

' 0 30 2 0P x x

15x " 2 0 ,P x x

" 15 0P ែចមនះ មគបានចមណញម ចើបផ តមបើមគលកទនញចនន 15ឯកតា។ បាកចមណញអតប មាគើៈ

max 15 200 450 225 25P P (ឯកតា បយបណណ)

4Y4



លហាត

1. ផលតក មាា កលកផលតផលេយ បមេទចនន xឯកតាតាេនេល (គតជា dollar) កា ង

េយឯកតា 50

ln 3x ។

a. កណតអន គេនចណលស ប (Total revenue)។ b. កចណលស បពកា លកផលតផលចនន30ឯកតា។

2. សង កាហវតាងអន គេនចមណញឯកតាបដនថេ (Marginal profit) មបើអន គេន បាក ចមណញ 230 200P x x x ។

a. មតើមៅក េតណាននផលតកេមដែលមធវើឲយ 0MP ? b. មតើមៅមពលណាមទើប បាកចមណញអតប មា? ក បាកចមណញអតប មា

មនះ។

3. មគមានអន គេនចណលស ប 260

2 1

xR x

x

។ កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ។

4. អន គេនចណលស បដែលបានពកា លកក ពយទ កណតមោយ៖

2 32000 20R x x x x ។ មតើមគ តវលកក ពយទ បប នាម នម គឿងមែើេឲយចណលស បអតប មា? កចណលអតប មាមនះ។

5. មោងច កេយផលត VCRs មោយចណាយនេលមែើេ$125កា ងេយម គឿង។ មគបាប នាម ន ថន មគអាចលកវានេល x dollar កា ងេយម គឿង មហើយអតេជននងទញ បដហល

0.021000 xe ម គឿងកា ងេយសបាហ។ a. ស មស អន គេន បាកចមណញ P x ។ b. មតើមគ តវលកកា ងេយម គឿងនេលបប នាម នមែើេឲយមគចមណញអតប មា? ក បាក

ចមណញអតប មាមនះ។ 6. ឧបមាថន មគមានអន គេនចណាយស បេយកណតមោយ

3 24 12 15 100C x x x x ដែល xជា ប មាណផលតផលដែល តវផលត។ a. ច កណតអន គេនចណាយឯកតាបដនថេ (Marginal cost function)។ b. ច កអន គេនចណាយឯកតាបដនថេ តង 20x ឯកតា។



7. អន គេនចណាយស បេយកណតមោយ 3 22 12 27 250C x x x x ដែល xជា ប មាណផលតផលដែល តវផលត។

a. កអន គេនចណាយឯកតាបដនថេ (Marginal cost function)។ b. កអន គេនចណាយឯកតាបដនថេ តង 10x ឯកតា។

8. មគមានអន គេនចណលស បេយកណតមោយ 240 0.02R x x x ដែល xជាប មាណផលតផលដែល តវលក។

a. ច គណនា 1,000R ចពនយលពលទធផលមនះ។ b. ច កណត កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ (Marginal revenue function)។ c. ច កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ តង 100x ឯកតា។

9. មគឱយអន គេនចណលស បេយកណតមោយ 260 0.05R x x x ដែល xជាប មាណផលតផលដែល តវលក។

a. ច គណនា 600R ចពនយលពលទធផលមនះ។ b. ច កណត កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ (Marginal revenue function)។ c. ច កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ តង 100x ឯកតា។

10. អន គេន បាកចមណញស បេយកណតមោយ 250 225 7502

xP x x ដែល

x ជាប មាណ ផលតផលដែល តវលក។ a. ច ក 8P ចពនយលពលទធផលមនះ។ b. ច កអន គេនចមណញឯកតាបដនថេ (Marginal profit function)។ c. កអន គេនចមណញឯកតាបដនថេ តង 20x ឯកតា។

11. មគមានអន គេន បាកចមណញស បេយកណតមោយ 250 49 3502

xP x x

ដែល x ជាប មាណផលតផលដែល តវលក។ a. ច ក 24P ចពនយលពលទធផលមនះ។ b. ច កអន គេនចមណញឯកតាបដនថេ (Marginal profit function) ។ c. កអន គេនចមណញឯកតាបដនថេ តង 24x ឯកតា។

12. មគមានអន គេនចណាយស បេយដែលកណតមោយ 2

4 2,7003

xC x x ។ មតើមគ

តវផលតបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណាយេធយេកា ងេយឯកតាអបប មា? 13. ឧបមាថន អន គេនចណាយស បកា ងកា ផលតេយកណតមោយ

2

2 2,5009

xC x x ដែល xជាប មាណផលតផលដែលបានផលត។ មតើមគ តវ ផ



លតផលតផលមនះបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណាយេធយេអបប មា? កចណាយេធយេអបប មាមនាះ។

14. អន គេនចណាយស បកា ងកា ផលតេយកណតមោយ 2

2 4004

xC x x ។ មតើមគ

តវផលតផលតផលមនះបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណាយេធយេកា ងេយឯកតាអបប មា? កចណាយេធយេអប ប មាមនាះ។

15. មគមានអន គេនចណាយស បមលើកា ផលត qឯកតាននផលតផលេយ បមេទដែលកណតមោយ

2

3 8002

qC q q ។

a. កចណាយេធយេកា ងេយឯកតា មបើមគផលត 100ឯកតា។ b. កណតប មាណផលតផលដែល តវផលតមែើេឱយចណាយេធយេកា ងេយឯក

តាអបប មា 16. មគឱយអន គេនចណលស បេយដែលកណតមោយ

2880

2

x xR x

x

ដែល xជា

ប មាណផលតផលដែល តវលក។ មតើមគ តវលកផលតផលបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណលស បអតប មា? កចណលអតប មាមនាះ។

17. អន គេនចណលស បេយកណតមោយ 2 884 1764

0.2

x xR x

x

។

a. កអន គេនចណលឯកតាបដនថេ (Marginal revenue function)។ b. មតើមគ តវលកផលតផលបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណលស បអតប មា? ក

ចណលអតប មាមនាះ។ 18. អន គេន បាកចណលស បេយកណតមោយ 2 313,500 60R x x x x ដែល xជា

ប មាណផលត ផលដែល តវលក។ មតើមគ តវលកផលតផលមនះបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណលស បអតប មា? កចណលអតប មាមនាះ។

19. អន គេន បាកចណលស បេយកណតមោយ 2 319,000 5

3R x x x x ដែល xជា

ប មាណផលត ផលដែល តវលក។ មតើមគ តវលកផលតផលមនះបប នាម នឯកតាមែើេឱយចណលស បអតប មា? កចណលអតប មាមនាះ។

20. ឧបមាថន មគមានអន គេនចណលស ប 12,600R x x នងអន គេនចណាយស ប 2 36,000 15C x x x ដែល xជាប មាណផលតផល។ ច កណតប មាណ

ផលតផលដែល តវលកមែើេឱយ បាកចមណញអតប មា? ច ក បាកចមណញអតប មាមនាះ។



21. ឧបមាថន មគមានអន គេនចណលស ប 12,000R x x នងអន គេនចណាយស ប 2 36,000 600 15C x x x x ដែល xជាប មាណផលតផល។ ច កណតប មាណ

ផលតផលដែល តវលកមែើេឱយ បាកចមណញអតប មា? កណត ក បាកចមណញអតប មាមនាះ។

6

ឯកសារយោង (References)

3

1. Croucher, John S., Introductory Mathematics and Statistics for Business,

Australia: McGraw-Hill Australia Pty Limited, 4th

ed., c., 2002.

2. Mathematical Analysis.

3. http://www.emathzone.com/tutorials/everyday-math

4. គេហទពរេណតវទា។

5. ឯកសារេណតវទាគសេៗគទៀត។

{0|

http://www.emathzone.com/tutorials/everyday-math

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n

1 1.00416667 1.00500000 1.00666667 1.00750000 1.01000000 1.01250000 1.01500000 1.01750000 1.02000000 1.02250000 1.02500000 1.02750000 12 1.00835069 1.01002500 1.01337778 1.01505625 1.02010000 1.02515625 1.03022500 1.03530625 1.04040000 1.04550625 1.05062500 1.05575625 23 1.01255216 1.01507513 1.02013363 1.02266917 1.03030100 1.03797070 1.04567838 1.05342411 1.06120800 1.06903014 1.07689063 1.08478955 34 1.01677112 1.02015050 1.02693452 1.03033919 1.04060401 1.05094534 1.06136355 1.07185903 1.08243216 1.09308332 1.10381289 1.11462126 45 1.02100767 1.02525125 1.03378075 1.03806673 1.05101005 1.06408215 1.07728400 1.09061656 1.10408080 1.11767769 1.13140821 1.14527334 56 1.02526187 1.03037751 1.04067262 1.04585224 1.06152015 1.07738318 1.09344326 1.10970235 1.12616242 1.14282544 1.15969342 1.17676836 67 1.02953379 1.03552940 1.04761044 1.05369613 1.07213535 1.09085047 1.10984491 1.12912215 1.14868567 1.16853901 1.18868575 1.20912949 78 1.03382352 1.04070704 1.05459451 1.06159885 1.08285671 1.10448610 1.12649259 1.14888178 1.17165938 1.19483114 1.21840290 1.24238055 89 1.03813111 1.04591058 1.06162514 1.06956084 1.09368527 1.11829218 1.14338998 1.16898721 1.19509257 1.22171484 1.24886297 1.27654602 9

10 1.04245666 1.05114013 1.06870264 1.07758255 1.10462213 1.13227083 1.16054083 1.18944449 1.21899442 1.24920343 1.28008454 1.31165103 1011 1.04680023 1.05639583 1.07582732 1.08566441 1.11566835 1.14642422 1.17794894 1.21025977 1.24337431 1.27731050 1.31208666 1.34772144 1112 1.05116190 1.06167781 1.08299951 1.09380690 1.12682503 1.16075452 1.19561817 1.23143931 1.26824179 1.30604999 1.34488882 1.38478378 1213 1.05554174 1.06698620 1.09021950 1.10201045 1.13809328 1.17526395 1.21355244 1.25298950 1.29360663 1.33543611 1.37851104 1.42286533 1314 1.05993983 1.07232113 1.09748763 1.11027553 1.14947421 1.18995475 1.23175573 1.27491682 1.31947876 1.36548343 1.41297382 1.46199413 1415 1.06435625 1.07768274 1.10480422 1.11860259 1.16096896 1.20482918 1.25023207 1.29722786 1.34586834 1.39620680 1.44829817 1.50219896 1516 1.06879106 1.08307115 1.11216958 1.12699211 1.17257864 1.21988955 1.26898555 1.31992935 1.37278571 1.42762146 1.48450562 1.54350944 1617 1.07324436 1.08848651 1.11958404 1.13544455 1.18430443 1.23513817 1.28802033 1.34302811 1.40024142 1.45974294 1.52161826 1.58595595 1718 1.07771621 1.09392894 1.12704794 1.14396039 1.19614748 1.25057739 1.30734064 1.36653111 1.42824625 1.49258716 1.55965872 1.62956973 1819 1.08220670 1.09939858 1.13456159 1.15254009 1.20810895 1.26620961 1.32695075 1.39044540 1.45681117 1.52617037 1.59865019 1.67438290 1920 1.08671589 1.10489558 1.14212533 1.16118414 1.22019004 1.28203723 1.34685501 1.41477820 1.48594740 1.56050920 1.63861644 1.72042843 2021 1.09124387 1.11042006 1.14973950 1.16989302 1.23239194 1.29806270 1.36705783 1.43953681 1.51566634 1.59562066 1.67958185 1.76774021 2122 1.09579072 1.11597216 1.15740443 1.17866722 1.24471586 1.31428848 1.38756370 1.46472871 1.54597967 1.63152212 1.72157140 1.81635307 2223 1.10035652 1.12155202 1.16512046 1.18750723 1.25716302 1.33071709 1.40837715 1.49036146 1.57689926 1.66823137 1.76461068 1.86630278 2324 1.10494134 1.12715978 1.17288793 1.19641353 1.26973465 1.34735105 1.42950281 1.51644279 1.60843725 1.70576658 1.80872595 1.91762610 2425 1.10954526 1.13279558 1.18070718 1.20538663 1.28243200 1.36419294 1.45094535 1.54298054 1.64060599 1.74414632 1.85394410 1.97036082 2526 1.11416836 1.13845955 1.18857857 1.21442703 1.29525631 1.38124535 1.47270953 1.56998269 1.67341811 1.78338962 1.90029270 2.02454575 2627 1.11881073 1.14415185 1.19650242 1.22353523 1.30820888 1.39851092 1.49480018 1.59745739 1.70688648 1.82351588 1.94780002 2.08022075 2728 1.12347244 1.14987261 1.20447911 1.23271175 1.32129097 1.41599230 1.51722218 1.62541290 1.74102421 1.86454499 1.99649502 2.13742682 2829 1.12815358 1.15562197 1.21250897 1.24195709 1.33450388 1.43369221 1.53998051 1.65385762 1.77584469 1.90649725 2.04640739 2.19620606 2930 1.13285422 1.16140008 1.22059236 1.25127176 1.34784892 1.45161336 1.56308022 1.68280013 1.81136158 1.94939344 2.09756758 2.25660173 3031 1.13757444 1.16720708 1.22872964 1.26065630 1.36132740 1.46975853 1.58652642 1.71224913 1.84758882 1.99325479 2.15000677 2.31865828 3132 1.14231434 1.17304312 1.23692117 1.27011122 1.37494068 1.48813051 1.61032432 1.74221349 1.88454059 2.03810303 2.20375694 2.38242138 3233 1.14707398 1.17890833 1.24516731 1.27963706 1.38869009 1.50673214 1.63447918 1.77270223 1.92223140 2.08396034 2.25885086 2.44793797 3334 1.15185346 1.18480288 1.25346843 1.28923434 1.40257699 1.52556629 1.65899637 1.80372452 1.96067603 2.13084945 2.31532213 2.51525626 3435 1.15665284 1.19072689 1.26182489 1.29890359 1.41660276 1.54463587 1.68388132 1.83528970 1.99988955 2.17879356 2.37320519 2.58442581 3536 1.16147223 1.19668052 1.27023705 1.30864537 1.43076878 1.56394382 1.70913954 1.86740727 2.03988734 2.22781642 2.43253532 2.65549752 3637 1.16631170 1.20266393 1.27870530 1.31846021 1.44507647 1.58349312 1.73477663 1.90008689 2.08068509 2.27794229 2.49334870 2.72852370 3738 1.17117133 1.20867725 1.28723000 1.32834866 1.45952724 1.60328678 1.76079828 1.93333841 2.12229879 2.32919599 2.55568242 2.80355810 3839 1.17605121 1.21472063 1.29581153 1.33831128 1.47412251 1.62332787 1.78721025 1.96717184 2.16474477 2.38160290 2.61957448 2.88065595 3940 1.18095142 1.22079424 1.30445028 1.34834861 1.48886373 1.64361946 1.81401841 2.00159734 2.20803966 2.43518897 2.68506384 2.95987399 4041 1.18587206 1.22689821 1.31314661 1.35846123 1.50375237 1.66416471 1.84122868 2.03662530 2.25220046 2.48998072 2.75219043 3.04127052 4142 1.19081319 1.23303270 1.32190092 1.36864969 1.51878989 1.68496677 1.86884712 2.07226624 2.29724447 2.54600528 2.82099520 3.12490546 4243 1.19577491 1.23919786 1.33071360 1.37891456 1.53397779 1.70602885 1.89687982 2.10853090 2.34318936 2.60329040 2.89152008 3.21084036 4344 1.20075731 1.24539385 1.33958502 1.38925642 1.54931757 1.72735421 1.92533302 2.14543019 2.39005314 2.66186444 2.96380808 3.29913847 4445 1.20576046 1.25162082 1.34851559 1.39967584 1.56481075 1.74894614 1.95421301 2.18297522 2.43785421 2.72175639 3.03790328 3.38986478 4546 1.21078446 1.25787892 1.35750569 1.41017341 1.58045885 1.77080797 1.98352621 2.22117728 2.48661129 2.78299590 3.11385086 3.48308606 4647 1.21582940 1.26416832 1.36655573 1.42074971 1.59626344 1.79294306 2.01327910 2.26004789 2.53634352 2.84561331 3.19169713 3.57887093 4748 1.22089536 1.27048916 1.37566610 1.43140533 1.61222608 1.81535485 2.04347829 2.29959872 2.58707039 2.90963961 3.27148956 3.67728988 4849 1.22598242 1.27684161 1.38483721 1.44214087 1.62834834 1.83804679 2.07413046 2.33984170 2.63881179 2.97510650 3.35327680 3.77841535 4950 1.23109068 1.28322581 1.39406946 1.45295693 1.64463182 1.86102237 2.10524242 2.38078893 2.69158803 3.04204640 3.43710872 3.88232177 5051 1.23622022 1.28964194 1.40336325 1.46385411 1.66107814 1.88428515 2.13682106 2.42245274 2.74541979 3.11049244 3.52303644 3.98908562 5152 1.24137114 1.29609015 1.41271901 1.47483301 1.67768892 1.90783872 2.16887337 2.46484566 2.80032819 3.18047852 3.61111235 4.09878547 5253 1.24654352 1.30257060 1.42213713 1.48589426 1.69446581 1.93168670 2.20140647 2.50798046 2.85633475 3.25203929 3.70139016 4.21150208 5354 1.25173745 1.30908346 1.43161805 1.49703847 1.71141047 1.95583279 2.23442757 2.55187012 2.91346144 3.32521017 3.79392491 4.32731838 5455 1.25695302 1.31562887 1.44116217 1.50826626 1.72852457 1.98028070 2.26794398 2.59652785 2.97173067 3.40002740 3.88877303 4.44631964 5556 1.26219033 1.32220702 1.45076992 1.51957825 1.74580982 2.00503420 2.30196314 2.64196708 3.03116529 3.47652802 3.98599236 4.56859343 5657 1.26744946 1.32881805 1.46044172 1.53097509 1.76326792 2.03009713 2.33649259 2.68820151 3.09178859 3.55474990 4.08564217 4.69422975 5758 1.27273050 1.33546214 1.47017799 1.54245740 1.78090060 2.05547335 2.37153998 2.73524503 3.15362436 3.63473177 4.18778322 4.82332107 5859 1.27803354 1.34213946 1.47997918 1.55402583 1.79870960 2.08116676 2.40711308 2.78311182 3.21669685 3.71651324 4.29247780 4.95596239 5960 1.28335868 1.34885015 1.48984571 1.56568103 1.81669670 2.10718135 2.44321978 2.83181628 3.28103079 3.80013479 4.39978975 5.09225136 60

Table 1 Amount at Compound Interest tables (1+i )n

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

1 1.03000000 1.03500000 1.04000000 1.04500000 1.05000000 1.06000000 1.07000000 1.08000000 1.09000000 1.10000000 1.11000000 1.12000000 12 1.06090000 1.07122500 1.08160000 1.09202500 1.10250000 1.12360000 1.14490000 1.16640000 1.18810000 1.21000000 1.23210000 1.25440000 23 1.09272700 1.10871788 1.12486400 1.14116613 1.15762500 1.19101600 1.22504300 1.25971200 1.29502900 1.33100000 1.36763100 1.40492800 34 1.12550881 1.14752300 1.16985856 1.19251860 1.21550625 1.26247696 1.31079601 1.36048896 1.41158161 1.46410000 1.51807041 1.57351936 45 1.15927407 1.18768631 1.21665290 1.24618194 1.27628156 1.33822558 1.40255173 1.46932808 1.53862395 1.61051000 1.68505816 1.76234168 56 1.19405230 1.22925533 1.26531902 1.30226012 1.34009564 1.41851911 1.50073035 1.58687432 1.67710011 1.77156100 1.87041455 1.97382269 67 1.22987387 1.27227926 1.31593178 1.36086183 1.40710042 1.50363026 1.60578148 1.71382427 1.82803912 1.94871710 2.07616015 2.21068141 78 1.26677008 1.31680904 1.36856905 1.42210061 1.47745544 1.59384807 1.71818618 1.85093021 1.99256264 2.14358881 2.30453777 2.47596318 89 1.30477318 1.36289735 1.42331181 1.48609514 1.55132822 1.68947896 1.83845921 1.99900463 2.17189328 2.35794769 2.55803692 2.77307876 9

10 1.34391638 1.41059876 1.48024428 1.55296942 1.62889463 1.79084770 1.96715136 2.15892500 2.36736367 2.59374246 2.83942099 3.10584821 1011 1.38423387 1.45996972 1.53945406 1.62285305 1.71033936 1.89829856 2.10485195 2.33163900 2.58042641 2.85311671 3.15175729 3.47854999 1112 1.42576089 1.51106866 1.60103222 1.69588143 1.79585633 2.01219647 2.25219159 2.51817012 2.81266478 3.13842838 3.49845060 3.89597599 1213 1.46853371 1.56395606 1.66507351 1.77219610 1.88564914 2.13292826 2.40984500 2.71962373 3.06580461 3.45227121 3.88328016 4.36349311 1314 1.51258972 1.61869452 1.73167645 1.85194492 1.97993160 2.26090396 2.57853415 2.93719362 3.34172703 3.79749834 4.31044098 4.88711229 1415 1.55796742 1.67534883 1.80094351 1.93528244 2.07892818 2.39655819 2.75903154 3.17216911 3.64248246 4.17724817 4.78458949 5.47356576 1516 1.60470644 1.73398604 1.87298125 2.02237015 2.18287459 2.54035168 2.95216375 3.42594264 3.97030588 4.59497299 5.31089433 6.13039365 1617 1.65284763 1.79467555 1.94790050 2.11337681 2.29201832 2.69277279 3.15881521 3.70001805 4.32763341 5.05447028 5.89509271 6.86604089 1718 1.70243306 1.85748920 2.02581652 2.20847877 2.40661923 2.85433915 3.37993228 3.99601950 4.71712042 5.55991731 6.54355291 7.68996580 1819 1.75350605 1.92250132 2.10684918 2.30786031 2.52695020 3.02559950 3.61652754 4.31570106 5.14166125 6.11590904 7.26334373 8.61276169 1920 1.80611123 1.98978886 2.19112314 2.41171402 2.65329771 3.20713547 3.86968446 4.66095714 5.60441077 6.72749995 8.06231154 9.64629309 2021 1.86029457 2.05943147 2.27876807 2.52024116 2.78596259 3.39956360 4.14056237 5.03383372 6.10880774 7.40024994 8.94916581 10.80384826 2122 1.91610341 2.13151158 2.36991879 2.63365201 2.92526072 3.60353742 4.43040174 5.43654041 6.65860043 8.14027494 9.93357404 12.10031006 2223 1.97358651 2.20611448 2.46471554 2.75216635 3.07152376 3.81974966 4.74052986 5.87146365 7.25787447 8.95430243 11.02626719 13.55234726 2324 2.03279411 2.28332849 2.56330416 2.87601383 3.22509994 4.04893464 5.07236695 6.34118074 7.91108317 9.84973268 12.23915658 15.17862893 2425 2.09377793 2.36324498 2.66583633 3.00543446 3.38635494 4.29187072 5.42743264 6.84847520 8.62308066 10.83470594 13.58546380 17.00006441 2526 2.15659127 2.44595856 2.77246978 3.14067901 3.55567269 4.54938296 5.80735292 7.39635321 9.39915792 11.91817654 15.07986482 19.04007214 2627 2.22128901 2.53156711 2.88336858 3.28200956 3.73345632 4.82234594 6.21386763 7.98806147 10.24508213 13.10999419 16.73864995 21.32488079 2728 2.28792768 2.62017196 2.99870332 3.42969999 3.92012914 5.11168670 6.64883836 8.62710639 11.16713952 14.42099361 18.57990145 23.88386649 2829 2.35656551 2.71187798 3.11865145 3.58403649 4.11613560 5.41838790 7.11425705 9.31727490 12.17218208 15.86309297 20.62369061 26.74993047 2930 2.42726247 2.80679370 3.24339751 3.74531813 4.32194238 5.74349117 7.61225504 10.06265689 13.26767847 17.44940227 22.89229657 29.95992212 3031 2.50008035 2.90503148 3.37313341 3.91385745 4.53803949 6.08810064 8.14511290 10.86766944 14.46176953 19.19434250 25.41044919 33.55511278 3132 2.57508276 3.00670759 3.50805875 4.08998104 4.76494147 6.45338668 8.71527080 11.73708300 15.76332879 21.11377675 28.20559861 37.58172631 3233 2.65233524 3.11194235 3.64838110 4.27403018 5.00318854 6.84058988 9.32533975 12.67604964 17.18202838 23.22515442 31.30821445 42.09153347 3334 2.73190530 3.22086033 3.79431634 4.46636154 5.25334797 7.25102528 9.97811354 13.69013361 18.72841093 25.54766986 34.75211804 47.14251748 3435 2.81386245 3.33359045 3.94608899 4.66734781 5.51601537 7.68608679 10.67658148 14.78534429 20.41396792 28.10243685 38.57485103 52.79961958 3536 2.89827833 3.45026611 4.10393255 4.87737846 5.79181614 8.14725200 11.42394219 15.96817184 22.25122503 30.91268053 42.81808464 59.13557393 3637 2.98522668 3.57102543 4.26808986 5.09686049 6.08140694 8.63608712 12.22361814 17.24562558 24.25383528 34.00394859 47.52807395 66.23184280 3738 3.07478348 3.69601132 4.43881345 5.32621921 6.38547729 9.15425235 13.07927141 18.62527563 26.43668046 37.40434344 52.75616209 74.17966394 3839 3.16702698 3.82537171 4.61636599 5.56589908 6.70475115 9.70350749 13.99482041 20.11529768 28.81598170 41.14477779 58.55933991 83.08122361 3940 3.26203779 3.95925972 4.80102063 5.81636454 7.03998871 10.28571794 14.97445784 21.72452150 31.40942005 45.25925557 65.00086731 93.05097044 4041 3.35989893 4.09783381 4.99306145 6.07810094 7.39198815 10.90286101 16.02266989 23.46248322 34.23626786 49.78518112 72.15096271 104.21708689 4142 3.46069589 4.24125799 5.19278391 6.35161548 7.76158756 11.55703267 17.14425678 25.33948187 37.31753197 54.76369924 80.08756861 116.72313732 4243 3.56451677 4.38970202 5.40049527 6.63743818 8.14966693 12.25045463 18.34435475 27.36664042 40.67610984 60.24006916 88.89720115 130.72991380 4344 3.67145227 4.54334160 5.61651508 6.93612290 8.55715028 12.98548191 19.62845959 29.55597166 44.33695973 66.26407608 98.67589328 146.41750346 4445 3.78159584 4.70235855 5.84117568 7.24824843 8.98500779 13.76461083 21.00245176 31.92044939 48.32728610 72.89048369 109.53024154 163.98760387 4546 3.89504372 4.86694110 6.07482271 7.57441961 9.43425818 14.59048748 22.47262338 34.47408534 52.67674185 80.17953205 121.57856811 183.66611634 4647 4.01189503 5.03728404 6.31781562 7.91526849 9.90597109 15.46591673 24.04570702 37.23201217 57.41764862 88.19748526 134.95221060 205.70605030 4748 4.13225188 5.21358898 6.57052824 8.27145557 10.40126965 16.39387173 25.72890651 40.21057314 62.58523700 97.01723378 149.79695377 230.39077633 4849 4.25621944 5.39606459 6.83334937 8.64367107 10.92133313 17.37750403 27.52992997 43.42741899 68.21790833 106.71895716 166.27461868 258.03766949 4950 4.38390602 5.58492686 7.10668335 9.03263627 11.46739979 18.42015427 29.45702506 46.90161251 74.35752008 117.39085288 184.56482674 289.00218983 5051 4.51542320 5.78039930 7.39095068 9.43910490 12.04076978 19.52536353 31.51901682 50.65374151 81.04969688 129.12993817 204.86695768 323.68245261 5152 4.65088590 5.98271327 7.68658871 9.86386463 12.64280826 20.69688534 33.72534799 54.70604084 88.34416960 142.04293198 227.40232303 362.52434692 5253 4.79041247 6.19210824 7.99405226 10.30773853 13.27494868 21.93869846 36.08612235 59.08252410 96.29514487 156.24722518 252.41657856 406.02726855 5354 4.93412485 6.40883202 8.31381435 10.77158677 13.93869611 23.25502037 38.61215092 63.80912603 104.96170790 171.87194770 280.18240220 454.75054078 5455 5.08214859 6.63314114 8.64636692 11.25630817 14.63563092 24.65032159 41.31500148 68.91385611 114.40826162 189.05914247 311.00246644 509.32060567 5556 5.23461305 6.86530108 8.99222160 11.76284204 15.36741246 26.12934089 44.20705159 74.42696460 124.70500516 207.96505672 345.21273775 570.43907835 5657 5.39165144 7.10558662 9.35191046 12.29216993 16.13578309 27.69710134 47.30154520 80.38112177 135.92845563 228.76156239 383.18613890 638.89176776 5758 5.55340098 7.35428215 9.72598688 12.84531758 16.94257224 29.35892742 50.61265336 86.81161151 148.16201663 251.63771863 425.33661418 715.55877989 5859 5.72000301 7.61168203 10.11502635 13.42335687 17.78970085 31.12046307 54.15553910 93.75654043 161.49659813 276.80149049 472.12364174 801.42583347 5960 5.89160310 7.87809090 10.51962741 14.02740793 18.67918589 32.98769085 57.94642683 101.25706367 176.03129196 304.48163954 524.05724234 897.59693349 60

Table 1 Amount at Compound Interest tables (1+i )n

(Continued)

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n

1 0.99585062 0.99502488 0.99337748 0.99255583 0.99009901 0.98765432 0.98522167 0.98280098 0.98039216 0.97799511 0.97560976 0.97323601 12 0.99171846 0.99007450 0.98679882 0.98516708 0.98029605 0.97546106 0.97066175 0.96589777 0.96116878 0.95647444 0.95181440 0.94718833 23 0.98760345 0.98514876 0.98026373 0.97783333 0.97059015 0.96341833 0.95631699 0.94928528 0.94232233 0.93542732 0.92859941 0.92183779 34 0.98350551 0.98024752 0.97377192 0.97055417 0.96098034 0.95152428 0.94218423 0.93295851 0.92384543 0.91484335 0.90595064 0.89716573 45 0.97942457 0.97537067 0.96732310 0.96332920 0.95146569 0.93977706 0.92826033 0.91691254 0.90573081 0.89471232 0.88385429 0.87315400 56 0.97536057 0.97051808 0.96091699 0.95615802 0.94204524 0.92817488 0.91454219 0.90114254 0.88797138 0.87502427 0.86229687 0.84978491 67 0.97131343 0.96568963 0.95455330 0.94904022 0.93271805 0.91671593 0.90102679 0.88564378 0.87056018 0.85576946 0.84126524 0.82704128 78 0.96728308 0.96088520 0.94823175 0.94197540 0.92348322 0.90539845 0.88771112 0.87041157 0.85349037 0.83693835 0.82074657 0.80490635 89 0.96326946 0.95610468 0.94195207 0.93496318 0.91433982 0.89422069 0.87459224 0.85544135 0.83675527 0.81852161 0.80072836 0.78336385 9

10 0.95927249 0.95134794 0.93571398 0.92800315 0.90528695 0.88318093 0.86166723 0.84072860 0.82034830 0.80051013 0.78119840 0.76239791 1011 0.95529211 0.94661487 0.92951720 0.92109494 0.89632372 0.87227746 0.84893323 0.82626889 0.80426304 0.78289499 0.76214478 0.74199310 1112 0.95132824 0.94190534 0.92336145 0.91423815 0.88744923 0.86150860 0.83638742 0.81205788 0.78849318 0.76566748 0.74355589 0.72213440 1213 0.94738082 0.93721924 0.91724648 0.90743241 0.87866260 0.85087269 0.82402702 0.79809128 0.77303253 0.74881905 0.72542038 0.70280720 1314 0.94344978 0.93255646 0.91117200 0.90067733 0.86996297 0.84036809 0.81184928 0.78436490 0.75787502 0.73234137 0.70772720 0.68399728 1415 0.93953505 0.92791688 0.90513775 0.89397254 0.86134947 0.82999318 0.79985150 0.77087459 0.74301473 0.71622628 0.69046556 0.66569078 1516 0.93563657 0.92330037 0.89914346 0.88731766 0.85282126 0.81974635 0.78803104 0.75761631 0.72844581 0.70046580 0.67362493 0.64787424 1617 0.93175426 0.91870684 0.89318886 0.88071231 0.84437749 0.80962602 0.77638526 0.74458605 0.71416256 0.68505212 0.65719506 0.63053454 1718 0.92788806 0.91413616 0.88727371 0.87415614 0.83601731 0.79963064 0.76491159 0.73177990 0.70015937 0.66997763 0.64116591 0.61365892 1819 0.92403790 0.90958822 0.88139772 0.86764878 0.82773992 0.78975866 0.75360747 0.71919401 0.68643076 0.65523484 0.62552772 0.59723496 1920 0.92020372 0.90506290 0.87556065 0.86118985 0.81954447 0.78000855 0.74247042 0.70682458 0.67297133 0.64081647 0.61027094 0.58125057 2021 0.91638544 0.90056010 0.86976224 0.85477901 0.81143017 0.77037881 0.73149795 0.69466789 0.65977582 0.62671538 0.59538629 0.56569398 2122 0.91258301 0.89607971 0.86400222 0.84841589 0.80339621 0.76086796 0.72068763 0.68272028 0.64683904 0.61292457 0.58086467 0.55055375 2223 0.90879636 0.89162160 0.85828035 0.84210014 0.79544179 0.75147453 0.71003708 0.67097817 0.63415592 0.59943724 0.56669724 0.53581874 2324 0.90502542 0.88718567 0.85259638 0.83583140 0.78756613 0.74219707 0.69954392 0.65943800 0.62172149 0.58624668 0.55287535 0.52147809 2425 0.90127013 0.88277181 0.84695004 0.82960933 0.77976844 0.73303414 0.68920583 0.64809632 0.60953087 0.57334639 0.53939059 0.50752126 2526 0.89753042 0.87837991 0.84134110 0.82343358 0.77204796 0.72398434 0.67902052 0.63694970 0.59757928 0.56072997 0.52623472 0.49393796 2627 0.89380623 0.87400986 0.83576931 0.81730380 0.76440392 0.71504626 0.66898574 0.62599479 0.58586204 0.54839117 0.51339973 0.48071821 2728 0.89009749 0.86966155 0.83023441 0.81121966 0.75683557 0.70621853 0.65909925 0.61522829 0.57437455 0.53632388 0.50087778 0.46785227 2829 0.88640414 0.86533488 0.82473617 0.80518080 0.74934215 0.69749978 0.64935887 0.60464697 0.56311231 0.52452213 0.48866125 0.45533068 2930 0.88272611 0.86102973 0.81927434 0.79918690 0.74192292 0.68888867 0.63976243 0.59424764 0.55207089 0.51298008 0.47674269 0.44314421 3031 0.87906335 0.85674600 0.81384868 0.79323762 0.73457715 0.68038387 0.63030781 0.58402716 0.54124597 0.50169201 0.46511481 0.43128391 3132 0.87541578 0.85248358 0.80845896 0.78733262 0.72730411 0.67198407 0.62099292 0.57398247 0.53063330 0.49065233 0.45377055 0.41974103 3233 0.87178335 0.84824237 0.80310492 0.78147158 0.72010307 0.66368797 0.61181568 0.56411053 0.52022873 0.47985558 0.44270298 0.40850708 3334 0.86816599 0.84402226 0.79778635 0.77565418 0.71297334 0.65549429 0.60277407 0.55440839 0.51002817 0.46929641 0.43190534 0.39757380 3435 0.86456365 0.83982314 0.79250299 0.76988008 0.70591420 0.64740177 0.59386608 0.54487311 0.50002761 0.45896960 0.42137107 0.38693314 3536 0.86097624 0.83564492 0.78725463 0.76414896 0.69892495 0.63940916 0.58508974 0.53550183 0.49022315 0.44887002 0.41109372 0.37657727 3637 0.85740373 0.83148748 0.78204102 0.75846051 0.69200490 0.63151522 0.57644309 0.52629172 0.48061093 0.43899268 0.40106705 0.36649856 3738 0.85384604 0.82735073 0.77686194 0.75281440 0.68515337 0.62371873 0.56792423 0.51724002 0.47118719 0.42933270 0.39128492 0.35668959 3839 0.85030311 0.82323455 0.77171716 0.74721032 0.67836967 0.61601850 0.55953126 0.50834400 0.46194822 0.41988528 0.38174139 0.34714316 3940 0.84677488 0.81913886 0.76660645 0.74164796 0.67165314 0.60841334 0.55126232 0.49960098 0.45289042 0.41064575 0.37243062 0.33785222 4041 0.84326129 0.81506354 0.76152959 0.73612701 0.66500311 0.60090206 0.54311559 0.49100834 0.44401021 0.40160954 0.36334695 0.32880995 4142 0.83976228 0.81100850 0.75648635 0.73064716 0.65841892 0.59348352 0.53508925 0.48256348 0.43530413 0.39277216 0.35448483 0.32000968 4243 0.83627779 0.80697363 0.75147650 0.72520809 0.65189992 0.58615656 0.52718153 0.47426386 0.42676875 0.38412925 0.34583886 0.31144495 4344 0.83280776 0.80295884 0.74649984 0.71980952 0.64544546 0.57892006 0.51939067 0.46610699 0.41840074 0.37567653 0.33740376 0.30310944 4445 0.82935212 0.79896402 0.74155613 0.71445114 0.63905492 0.57177290 0.51171494 0.45809040 0.41019680 0.36740981 0.32917440 0.29499702 4546 0.82591083 0.79498907 0.73664516 0.70913264 0.63272764 0.56471397 0.50415265 0.45021170 0.40215373 0.35932500 0.32114576 0.28710172 4647 0.82248381 0.79103390 0.73176672 0.70385374 0.62646301 0.55774219 0.49670212 0.44246850 0.39426836 0.35141809 0.31331294 0.27941773 4748 0.81907102 0.78709841 0.72692058 0.69861414 0.62026041 0.55085649 0.48936170 0.43485848 0.38653761 0.34368518 0.30567116 0.27193940 4849 0.81567238 0.78318250 0.72210654 0.69341353 0.61411921 0.54405579 0.48212975 0.42737934 0.37895844 0.33612242 0.29821576 0.26466122 4950 0.81228785 0.77928607 0.71732437 0.68825165 0.60803882 0.53733905 0.47500468 0.42002883 0.37152788 0.32872608 0.29094221 0.25757783 5051 0.80891736 0.77540902 0.71257388 0.68312819 0.60201864 0.53070524 0.46798491 0.41280475 0.36424302 0.32149250 0.28384606 0.25068402 5152 0.80556086 0.77155127 0.70785485 0.67804286 0.59605806 0.52415332 0.46106887 0.40570492 0.35710100 0.31441810 0.27692298 0.24397471 5253 0.80221828 0.76771270 0.70316707 0.67299540 0.59015649 0.51768229 0.45425505 0.39872719 0.35009902 0.30749936 0.27016876 0.23744497 5354 0.79888957 0.76389324 0.69851033 0.66798551 0.58431336 0.51129115 0.44754192 0.39186947 0.34323433 0.30073287 0.26357928 0.23109000 5455 0.79557468 0.76009277 0.69388444 0.66301291 0.57852808 0.50497892 0.44092800 0.38512970 0.33650425 0.29411528 0.25715052 0.22490511 5556 0.79227354 0.75631122 0.68928918 0.65807733 0.57280008 0.49874461 0.43441182 0.37850585 0.32990613 0.28764330 0.25087855 0.21888575 5657 0.78898610 0.75254847 0.68472435 0.65317849 0.56712879 0.49258727 0.42799194 0.37199592 0.32343738 0.28131374 0.24475956 0.21302749 5758 0.78571230 0.74880445 0.68018975 0.64831612 0.56151365 0.48650594 0.42166694 0.36559796 0.31709547 0.27512347 0.23878982 0.20732603 5859 0.78245208 0.74507906 0.67568518 0.64348995 0.55595411 0.48049970 0.41543541 0.35931003 0.31087791 0.26906940 0.23296568 0.20177716 5960 0.77920539 0.74137220 0.67121044 0.63869970 0.55044962 0.47456760 0.40929597 0.35313025 0.30478227 0.26314856 0.22728359 0.19637679 60

Table 2 Present Value at Compound Interest tables (1+i )-n

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

1 0.97087379 0.96618357 0.96153846 0.95693780 0.95238095 0.94339623 0.93457944 0.92592593 0.91743119 0.90909091 0.90090090 0.89285714 12 0.94259591 0.93351070 0.92455621 0.91572995 0.90702948 0.88999644 0.87343873 0.85733882 0.84167999 0.82644628 0.81162243 0.79719388 23 0.91514166 0.90194271 0.88899636 0.87629660 0.86383760 0.83961928 0.81629788 0.79383224 0.77218348 0.75131480 0.73119138 0.71178025 34 0.88848705 0.87144223 0.85480419 0.83856134 0.82270247 0.79209366 0.76289521 0.73502985 0.70842521 0.68301346 0.65873097 0.63551808 45 0.86260878 0.84197317 0.82192711 0.80245105 0.78352617 0.74725817 0.71298618 0.68058320 0.64993139 0.62092132 0.59345133 0.56742686 56 0.83748426 0.81350064 0.79031453 0.76789574 0.74621540 0.70496054 0.66634222 0.63016963 0.59626733 0.56447393 0.53464084 0.50663112 67 0.81309151 0.78599096 0.75991781 0.73482846 0.71068133 0.66505711 0.62274974 0.58349040 0.54703424 0.51315812 0.48165841 0.45234922 78 0.78940923 0.75941156 0.73069021 0.70318513 0.67683936 0.62741237 0.58200910 0.54026888 0.50186628 0.46650738 0.43392650 0.40388323 89 0.76641673 0.73373097 0.70258674 0.67290443 0.64460892 0.59189846 0.54393374 0.50024897 0.46042778 0.42409762 0.39092477 0.36061002 9

10 0.74409391 0.70891881 0.67556417 0.64392768 0.61391325 0.55839478 0.50834929 0.46319349 0.42241081 0.38554329 0.35218448 0.32197324 1011 0.72242128 0.68494571 0.64958093 0.61619874 0.58467929 0.52678753 0.47509280 0.42888286 0.38753285 0.35049390 0.31728331 0.28747610 1112 0.70137988 0.66178330 0.62459705 0.58966386 0.55683742 0.49696936 0.44401196 0.39711376 0.35553473 0.31863082 0.28584082 0.25667509 1213 0.68095134 0.63940415 0.60057409 0.56427164 0.53032135 0.46883902 0.41496445 0.36769792 0.32617865 0.28966438 0.25751426 0.22917419 1314 0.66111781 0.61778179 0.57747508 0.53997286 0.50506795 0.44230096 0.38781724 0.34046104 0.29924647 0.26333125 0.23199482 0.20461981 1415 0.64186195 0.59689062 0.55526450 0.51672044 0.48101710 0.41726506 0.36244602 0.31524170 0.27453804 0.23939205 0.20900435 0.18269626 1516 0.62316694 0.57670591 0.53390818 0.49446932 0.45811152 0.39364628 0.33873460 0.29189047 0.25186976 0.21762914 0.18829220 0.16312166 1617 0.60501645 0.55720378 0.51337325 0.47317639 0.43629669 0.37136442 0.31657439 0.27026895 0.23107318 0.19784467 0.16963262 0.14564434 1718 0.58739461 0.53836114 0.49362812 0.45280037 0.41552065 0.35034379 0.29586392 0.25024903 0.21199374 0.17985879 0.15282218 0.13003959 1819 0.57028603 0.52015569 0.47464242 0.43330179 0.39573396 0.33051301 0.27650833 0.23171206 0.19448967 0.16350799 0.13767764 0.11610678 1920 0.55367575 0.50256588 0.45638695 0.41464286 0.37688948 0.31180473 0.25841900 0.21454821 0.17843089 0.14864363 0.12403391 0.10366677 2021 0.53754928 0.48557090 0.43883360 0.39678743 0.35894236 0.29415540 0.24151309 0.19865575 0.16369806 0.13513057 0.11174226 0.09255961 2122 0.52189250 0.46915063 0.42195539 0.37970089 0.34184987 0.27750510 0.22571317 0.18394051 0.15018171 0.12284597 0.10066870 0.08264251 2223 0.50669175 0.45328563 0.40572633 0.36335013 0.32557131 0.26179726 0.21094688 0.17031528 0.13778139 0.11167816 0.09069252 0.07378796 2324 0.49193374 0.43795713 0.39012147 0.34770347 0.31006791 0.24697855 0.19714662 0.15769934 0.12640494 0.10152560 0.08170498 0.06588210 2425 0.47760557 0.42314699 0.37511680 0.33273060 0.29530277 0.23299863 0.18424918 0.14601790 0.11596784 0.09229600 0.07360809 0.05882331 2526 0.46369473 0.40883767 0.36068923 0.31840248 0.28124073 0.21981003 0.17219549 0.13520176 0.10639251 0.08390545 0.06631359 0.05252081 2627 0.45018906 0.39501224 0.34681657 0.30469137 0.26784832 0.20736795 0.16093037 0.12518682 0.09760781 0.07627768 0.05974197 0.04689358 2728 0.43707675 0.38165434 0.33347747 0.29157069 0.25509364 0.19563014 0.15040221 0.11591372 0.08954845 0.06934335 0.05382160 0.04186927 2829 0.42434636 0.36874815 0.32065141 0.27901502 0.24294632 0.18455674 0.14056282 0.10732752 0.08215454 0.06303941 0.04848793 0.03738327 2930 0.41198676 0.35627841 0.30831867 0.26700002 0.23137745 0.17411013 0.13136712 0.09937733 0.07537114 0.05730855 0.04368282 0.03337792 3031 0.39998715 0.34423035 0.29646026 0.25550241 0.22035947 0.16425484 0.12277301 0.09201605 0.06914783 0.05209868 0.03935389 0.02980172 3132 0.38833703 0.33258971 0.28505794 0.24449991 0.20986617 0.15495740 0.11474113 0.08520005 0.06343838 0.04736244 0.03545395 0.02660868 3233 0.37702625 0.32134271 0.27409417 0.23397121 0.19987254 0.14618622 0.10723470 0.07888893 0.05820035 0.04305676 0.03194050 0.02375775 3334 0.36604490 0.31047605 0.26355209 0.22389589 0.19035480 0.13791153 0.10021934 0.07304531 0.05339481 0.03914251 0.02877522 0.02121227 3435 0.35538340 0.29997686 0.25341547 0.21425444 0.18129029 0.13010522 0.09366294 0.06763454 0.04898607 0.03558410 0.02592363 0.01893953 3536 0.34503243 0.28983272 0.24366872 0.20502817 0.17265741 0.12274077 0.08753546 0.06262458 0.04494135 0.03234918 0.02335462 0.01691029 3637 0.33498294 0.28003161 0.23429685 0.19619921 0.16443563 0.11579318 0.08180884 0.05798572 0.04123059 0.02940835 0.02104020 0.01509848 3738 0.32522615 0.27056194 0.22528543 0.18775044 0.15660536 0.10923885 0.07645686 0.05369048 0.03782623 0.02673486 0.01895513 0.01348078 3839 0.31575355 0.26141250 0.21662061 0.17966549 0.14914797 0.10305552 0.07145501 0.04971341 0.03470296 0.02430442 0.01707670 0.01203641 3940 0.30655684 0.25257247 0.20828904 0.17192870 0.14204568 0.09722219 0.06678038 0.04603093 0.03183758 0.02209493 0.01538441 0.01074680 4041 0.29762800 0.24403137 0.20027793 0.16452507 0.13528160 0.09171905 0.06241157 0.04262123 0.02920879 0.02008630 0.01385983 0.00959536 4142 0.28895922 0.23577910 0.19257493 0.15744026 0.12883962 0.08652740 0.05832857 0.03946411 0.02679706 0.01826027 0.01248633 0.00856728 4243 0.28054294 0.22780590 0.18516820 0.15066054 0.12270440 0.08162962 0.05451268 0.03654084 0.02458446 0.01660025 0.01124895 0.00764936 4344 0.27237178 0.22010231 0.17804635 0.14417276 0.11686133 0.07700908 0.05094643 0.03383411 0.02255455 0.01509113 0.01013419 0.00682978 4445 0.26443862 0.21265924 0.17119841 0.13796437 0.11129651 0.07265007 0.04761349 0.03132788 0.02069224 0.01371921 0.00912990 0.00609802 4546 0.25673653 0.20546787 0.16461386 0.13202332 0.10599668 0.06853781 0.04449859 0.02900730 0.01898371 0.01247201 0.00822513 0.00544466 4647 0.24925876 0.19851968 0.15828256 0.12633810 0.10094921 0.06465831 0.04158747 0.02685861 0.01741625 0.01133819 0.00741003 0.00486131 4748 0.24199880 0.19180645 0.15219476 0.12089771 0.09614211 0.06099840 0.03886679 0.02486908 0.01597821 0.01030745 0.00667570 0.00434045 4849 0.23495029 0.18532024 0.14634112 0.11569158 0.09156391 0.05754566 0.03632410 0.02302693 0.01465891 0.00937041 0.00601415 0.00387540 4950 0.22810708 0.17905337 0.14071262 0.11070965 0.08720373 0.05428836 0.03394776 0.02132123 0.01344854 0.00851855 0.00541815 0.00346018 5051 0.22146318 0.17299843 0.13530059 0.10594225 0.08305117 0.05121544 0.03172688 0.01974188 0.01233811 0.00774414 0.00488122 0.00308945 5152 0.21501280 0.16714824 0.13009672 0.10138014 0.07909635 0.04831645 0.02965129 0.01827952 0.01131937 0.00704013 0.00439749 0.00275844 5253 0.20875029 0.16149589 0.12509300 0.09701449 0.07532986 0.04558156 0.02771148 0.01692548 0.01038474 0.00640011 0.00396170 0.00246289 5354 0.20267019 0.15603467 0.12028173 0.09283683 0.07174272 0.04300147 0.02589858 0.01567174 0.00952728 0.00581829 0.00356910 0.00219901 5455 0.19676717 0.15075814 0.11565551 0.08883907 0.06832640 0.04056742 0.02420428 0.01451087 0.00874063 0.00528935 0.00321541 0.00196340 5556 0.19103609 0.14566004 0.11120722 0.08501347 0.06507276 0.03827115 0.02262083 0.01343599 0.00801892 0.00480850 0.00289676 0.00175304 5657 0.18547193 0.14073433 0.10693002 0.08135260 0.06197406 0.03610486 0.02114096 0.01244073 0.00735681 0.00437136 0.00260970 0.00156521 5758 0.18006984 0.13597520 0.10281733 0.07784938 0.05902291 0.03406119 0.01975791 0.01151920 0.00674937 0.00397397 0.00235108 0.00139751 5859 0.17482508 0.13137701 0.09886282 0.07449701 0.05621230 0.03213320 0.01846533 0.01066592 0.00619208 0.00361270 0.00211809 0.00124778 5960 0.16973309 0.12693431 0.09506040 0.07128901 0.05353552 0.03031434 0.01725732 0.00987585 0.00568081 0.00328427 0.00190819 0.00111409 60

Table 2 Present Value at Compound Interest tables (1+i )-n

(Continued)

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n1 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 12 2.00416667 2.00500000 2.00666667 2.00750000 2.01000000 2.01250000 2.01500000 2.01750000 2.02000000 2.02250000 2.02500000 2.02750000 23 3.01251736 3.01502500 3.02004444 3.02255625 3.03010000 3.03765625 3.04522500 3.05280625 3.06040000 3.06800625 3.07562500 3.08325625 34 4.02506952 4.03010012 4.04017807 4.04522542 4.06040100 4.07562695 4.09090337 4.10623036 4.12160800 4.13703639 4.15251562 4.16804580 45 5.04184064 5.05025063 5.06711259 5.07556461 5.10100501 5.12657229 5.15226693 5.17808939 5.20404016 5.23011971 5.25632852 5.28266706 56 6.06284831 6.07550188 6.10089335 6.11363135 6.15201506 6.19065444 6.22955093 6.26870596 6.30812096 6.34779740 6.38773673 6.42794040 67 7.08811018 7.10587939 7.14156597 7.15948358 7.21353521 7.26803762 7.32299419 7.37840831 7.43428338 7.49062284 7.54743015 7.60470876 78 8.11764397 8.14140879 8.18917641 8.21317971 8.28567056 8.35888809 8.43283911 8.50753045 8.58296905 8.65916186 8.73611590 8.81383825 89 9.15146749 9.18211583 9.24377092 9.27477856 9.36852727 9.46337420 9.55933169 9.65641224 9.75462843 9.85399300 9.95451880 10.05621880 9

10 10.18959860 10.22802641 10.30539606 10.34433940 10.46221254 10.58166637 10.70272167 10.82539945 10.94972100 11.07570784 11.20338177 11.33276482 1011 11.23205526 11.27916654 11.37409870 11.42192194 11.56683467 11.71393720 11.86326249 12.01484394 12.16871542 12.32491127 12.48346631 12.64441585 1112 12.27885549 12.33556237 12.44992602 12.50758636 12.68250301 12.86036142 13.04121143 13.22510371 13.41208973 13.60222177 13.79555297 13.99213729 1213 13.33001739 13.39724018 13.53292553 13.60139325 13.80932804 14.02111594 14.23682960 14.45654303 14.68033152 14.90827176 15.14044179 15.37692107 1314 14.38555913 14.46422639 14.62314503 14.70340370 14.94742132 15.19637988 15.45038205 15.70953253 15.97393815 16.24370788 16.51895284 16.79978639 1415 15.44549896 15.53654752 15.72063266 15.81367923 16.09689554 16.38633463 16.68213778 16.98444935 17.29341692 17.60919130 17.93192666 18.26178052 1516 16.50985520 16.61423026 16.82543688 16.93228183 17.25786449 17.59116382 17.93236984 18.28167721 18.63928525 19.00539811 19.38022483 19.76397948 1617 17.57864627 17.69730141 17.93760646 18.05927394 18.43044314 18.81105336 19.20135539 19.60160656 20.01207096 20.43301957 20.86473045 21.30748892 1718 18.65189063 18.78578791 19.05719051 19.19471849 19.61474757 20.04619153 20.48937572 20.94463468 21.41231238 21.89276251 22.38634871 22.89344487 1819 19.72960684 19.87971685 20.18423844 20.33867888 20.81089504 21.29676893 21.79671636 22.31116578 22.84055863 23.38534966 23.94600743 24.52301460 1920 20.81181353 20.97911544 21.31880003 21.49121897 22.01900399 22.56297854 23.12366710 23.70161119 24.29736980 24.91152003 25.54465761 26.19739750 2021 21.89852942 22.08401101 22.46092536 22.65240312 23.23919403 23.84501577 24.47052211 25.11638938 25.78331719 26.47202923 27.18327405 27.91782593 2122 22.98977330 23.19443107 23.61066487 23.82229614 24.47158598 25.14307847 25.83757994 26.55592620 27.29898354 28.06764989 28.86285590 29.68556615 2223 24.08556402 24.31040322 24.76806930 25.00096336 25.71630183 26.45736695 27.22514364 28.02065490 28.84496321 29.69917201 30.58442730 31.50191921 2324 25.18592053 25.43195524 25.93318976 26.18847059 26.97346485 27.78808403 28.63352080 29.51101637 30.42186247 31.36740338 32.34903798 33.36822199 2425 26.29086187 26.55911502 27.10607769 27.38488412 28.24319950 29.13543508 30.06302361 31.02745915 32.03029972 33.07316996 34.15776393 35.28584810 2526 27.40040713 27.69191059 28.28678488 28.59027075 29.52563150 30.49962802 31.51396896 32.57043969 33.67090572 34.81731628 36.01170803 37.25620892 2627 28.51457549 28.83037015 29.47536344 29.80469778 30.82088781 31.88087337 32.98667850 34.14042238 35.34432383 36.60070590 37.91200073 39.28075467 2728 29.63338622 29.97452200 30.67186587 31.02823301 32.12909669 33.27938429 34.48147867 35.73787977 37.05121031 38.42422178 39.85980075 41.36097542 2829 30.75685866 31.12439461 31.87634497 32.26094476 33.45038766 34.69537659 35.99870085 37.36329267 38.79223451 40.28876677 41.85629577 43.49840224 2930 31.88501224 32.28001658 33.08885394 33.50290184 34.78489153 36.12906880 37.53868137 39.01715029 40.56807921 42.19526402 43.90270316 45.69460831 3031 33.01786646 33.44141666 34.30944630 34.75417361 36.13274045 37.58068216 39.10176159 40.69995042 42.37944079 44.14465746 46.00027074 47.95121003 3132 34.15544090 34.60862375 35.53817594 36.01482991 37.49406785 39.05044069 40.68828801 42.41219955 44.22702961 46.13791226 48.15027751 50.26986831 3233 35.29775524 35.78166686 36.77509711 37.28494113 38.86900853 40.53857120 42.29861233 44.15441305 46.11157020 48.17601528 50.35403445 52.65228969 3334 36.44482922 36.96057520 38.02026443 38.56457819 40.25769862 42.04530334 43.93309152 45.92711527 48.03380160 50.25997563 52.61288531 55.10022765 3435 37.59668268 38.14537807 39.27373286 39.85381253 41.66027560 43.57086963 45.59208789 47.73083979 49.99447763 52.39082508 54.92820744 57.61548391 3536 38.75333552 39.33610496 40.53555774 41.15271612 43.07687836 45.11550550 47.27596921 49.56612949 51.99436719 54.56961864 57.30141263 60.19990972 3637 39.91480775 40.53278549 41.80579479 42.46136149 44.50764714 46.67944932 48.98510874 51.43353675 54.03425453 56.79743506 59.73394794 62.85540724 3738 41.08111945 41.73544942 43.08450009 43.77982170 45.95272361 48.26294243 50.71988538 53.33362365 56.11493962 59.07537735 62.22729664 65.58393094 3839 42.25229078 42.94412666 44.37173009 45.10817037 47.41225085 49.86622921 52.48068366 55.26696206 58.23723841 61.40457334 64.78297906 68.38748904 3940 43.42834199 44.15884730 45.66754163 46.44648164 48.88637336 51.48955708 54.26789391 57.23413390 60.40198318 63.78617624 67.40255354 71.26814499 4041 44.60929342 45.37964153 46.97199191 47.79483026 50.37523709 53.13317654 56.08191232 59.23573124 62.61002284 66.22136521 70.08761737 74.22801898 4142 45.79516547 46.60653974 48.28513852 49.15329148 51.87898946 54.79734125 57.92314100 61.27235654 64.86222330 68.71134592 72.83980781 77.26928950 4243 46.98597866 47.83957244 49.60703944 50.52194117 53.39777936 56.48230801 59.79198812 63.34462278 67.15946777 71.25735121 75.66080300 80.39419496 4344 48.18175357 49.07877030 50.93775304 51.90085573 54.93175715 58.18833687 61.68886794 65.45315367 69.50265712 73.86064161 78.55232308 83.60503532 4445 49.38251088 50.32416415 52.27733806 53.29011215 56.48107472 59.91569108 63.61420096 67.59858386 71.89271027 76.52250605 81.51613116 86.90417379 4546 50.58827134 51.57578497 53.62585365 54.68978799 58.04588547 61.66463721 65.56841398 69.78155908 74.33056447 79.24426243 84.55403443 90.29403857 4647 51.79905581 52.83366390 54.98335934 56.09996140 59.62634432 63.43544518 67.55194018 72.00273637 76.81717576 82.02725834 87.66788530 93.77712463 4748 53.01488521 54.09783222 56.34991507 57.52071111 61.22260777 65.22838824 69.56521929 74.26278425 79.35351927 84.87287165 90.85958243 97.35599556 4849 54.23578056 55.36832138 57.72558117 58.95211644 62.83483385 67.04374310 71.60869758 76.56238298 81.94058966 87.78251126 94.13107199 101.03328544 4950 55.46176298 56.64516299 59.11041837 60.39425732 64.46318218 68.88178989 73.68282804 78.90222468 84.57940145 90.75761776 97.48434879 104.81170079 5051 56.69285366 57.92838880 60.50448783 61.84721424 66.10781401 70.74281226 75.78807046 81.28301361 87.27098948 93.79966416 100.92145751 108.69402256 5152 57.92907388 59.21803075 61.90785108 63.31106835 67.76889215 72.62709741 77.92489152 83.70546635 90.01640927 96.91015661 104.44449395 112.68310818 5253 59.17044502 60.51412090 63.32057009 64.78590136 69.44658107 74.53493613 80.09376489 86.17031201 92.81673746 100.09063513 108.05560629 116.78189365 5354 60.41698854 61.81669150 64.74270722 66.27179562 71.14104688 76.46662283 82.29517136 88.67829247 95.67307221 103.34267442 111.75699645 120.99339573 5455 61.66872600 63.12577496 66.17432527 67.76883409 72.85245735 78.42245562 84.52959893 91.23016259 98.58653365 106.66788460 115.55092136 125.32071411 5556 62.92567902 64.44140384 67.61548744 69.27710035 74.58098192 80.40273631 86.79754292 93.82669043 101.55826432 110.06791200 119.43969440 129.76703375 5657 64.18786935 65.76361086 69.06625736 70.79667860 76.32679174 82.40777052 89.09950606 96.46865752 104.58942961 113.54444002 123.42568676 134.33562718 5758 65.45531881 67.09242891 70.52669907 72.32765369 78.09005966 84.43786765 91.43599865 99.15685902 107.68121820 117.09918992 127.51132893 139.02985692 5859 66.72804930 68.42789105 71.99687706 73.87011109 79.87096025 86.49334099 93.80753863 101.89210405 110.83484257 120.73392169 131.69911215 143.85317799 5960 68.00608284 69.77003051 73.47685625 75.42413693 81.66966986 88.57450776 96.21465171 104.67521588 114.05153942 124.45043493 135.99158995 148.80914038 60

Table 3 Future value of an annuity tables (1 ) 1n

n i

iS

i

(1 ) 1n

n i

iS

i

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n61 69.28944152 71.11888066 74.96670195 76.98981795 83.48636655 90.68168910 98.65787149 107.50703215 117.33257021 128.25056972 140.39137970 153.90139174 6162 70.57814753 72.47447507 76.46647997 78.56724159 85.32123022 92.81521022 101.13773956 110.38840522 120.67922161 132.13620754 144.90116419 159.13368002 6263 71.87222314 73.83684744 77.97625650 80.15649590 87.17444252 94.97540034 103.65480565 113.32020231 124.09280604 136.10927221 149.52369330 164.50985622 6364 73.17169074 75.20603168 79.49609821 81.75766962 89.04618695 97.16259285 106.20962774 116.30330585 127.57466216 140.17173083 154.26178563 170.03387726 6465 74.47657278 76.58206184 81.02607220 83.37085214 90.93664882 99.37712526 108.80277215 119.33861370 131.12615541 144.32559477 159.11833027 175.70980889 6566 75.78689183 77.96497215 82.56624601 84.99613353 92.84601531 101.61933933 111.43481374 122.42703944 134.74867852 148.57292066 164.09628853 181.54182863 6667 77.10267055 79.35479701 84.11668765 86.63360453 94.77447546 103.88958107 114.10633594 125.56951263 138.44365209 152.91581137 169.19869574 187.53422892 6768 78.42393168 80.75157099 85.67746557 88.28335657 96.72222021 106.18820083 116.81793098 128.76697910 142.21252513 157.35641713 174.42866314 193.69142022 6869 79.75069806 82.15532885 87.24864867 89.94548174 98.68944242 108.51555334 119.57019995 132.02040124 146.05677563 161.89693651 179.78937971 200.01793427 6970 81.08299264 83.56610549 88.83030633 91.62007285 100.67633684 110.87199776 122.36375295 135.33075826 149.97791114 166.53961758 185.28411421 206.51842746 7071 82.42083844 84.98393602 90.42250837 93.30722340 102.68310021 113.25789773 125.19920924 138.69904653 153.97746937 171.28675898 190.91621706 213.19768422 7172 83.76425860 86.40885570 92.02532510 95.00702758 104.70993121 115.67362145 128.07719738 142.12627984 158.05701875 176.14071106 196.68912249 220.06062054 7273 85.11327634 87.84089998 93.63882726 96.71958028 106.75703052 118.11954172 130.99835534 145.61348974 162.21815913 181.10387705 202.60635055 227.11228760 7374 86.46791499 89.28010448 95.26308611 98.44497714 108.82460083 120.59603599 133.96333067 149.16172581 166.46252231 186.17871429 208.67150931 234.35787551 7475 87.82819797 90.72650500 96.89817335 100.18331446 110.91284684 123.10348644 136.97278063 152.77205601 170.79177276 191.36773536 214.88829705 241.80271709 7576 89.19414880 92.18013752 98.54416118 101.93468932 113.02197530 125.64228002 140.02737234 156.44556699 175.20760821 196.67350941 221.26050447 249.45229181 7677 90.56579108 93.64103821 100.20112225 103.69919949 115.15219506 128.21280852 143.12778292 160.18336441 179.71176038 202.09866337 227.79201709 257.31222983 7778 91.94314855 95.10924340 101.86912973 105.47694349 117.30371701 130.81546863 146.27469967 163.98657329 184.30599558 207.64588329 234.48681751 265.38831615 7879 93.32624500 96.58478962 103.54825726 107.26802056 119.47675418 133.45066199 149.46882016 167.85633832 188.99211549 213.31791567 241.34898795 273.68649485 7980 94.71510435 98.06771357 105.23857898 109.07253072 121.67152172 136.11879526 152.71085247 171.79382424 193.77195780 219.11756877 248.38271265 282.21287345 8081 96.10975062 99.55805214 106.94016950 110.89057470 123.88823694 138.82028020 156.00151525 175.80021617 198.64739696 225.04771407 255.59228047 290.97372747 8182 97.51020792 101.05584240 108.65310397 112.72225401 126.12711931 141.55553370 159.34153798 179.87671995 203.62034490 231.11128763 262.98208748 299.97550498 8283 98.91650045 102.56112161 110.37745799 114.56767091 128.38839050 144.32497787 162.73166105 184.02456255 208.69275180 237.31129160 270.55663966 309.22483137 8384 100.32865253 104.07392722 112.11330771 116.42692845 130.67227440 147.12904010 166.17263597 188.24499239 213.86660683 243.65079567 278.32055566 318.72851423 8485 101.74668859 105.59429685 113.86072977 118.30013041 132.97899715 149.96815310 169.66522551 192.53927976 219.14393897 250.13293857 286.27856955 328.49354837 8586 103.17063312 107.12226834 115.61980130 120.18738139 135.30878712 152.84275501 173.21020389 196.90871716 224.52681775 256.76092969 294.43553379 338.52712095 8687 104.60051076 108.65787968 117.39059997 122.08878675 137.66187499 155.75328945 176.80835695 201.35461971 230.01735411 263.53805060 302.79642213 348.83661678 8788 106.03634622 110.20116908 119.17320397 124.00445265 140.03849374 158.70020557 180.46048230 205.87832555 235.61770119 270.46765674 311.36633268 359.42962374 8889 107.47816433 111.75217492 120.96769200 125.93448604 142.43887868 161.68395814 184.16738954 210.48119625 241.33005521 277.55317902 320.15049100 370.31393839 8990 108.92599002 113.31093580 122.77414328 127.87899469 144.86326746 164.70500762 187.92990038 215.16461718 247.15665632 284.79812555 329.15425328 381.49757170 9091 110.37984831 114.87749048 124.59263757 129.83808715 147.31190014 167.76382021 191.74884889 219.92999798 253.09978944 292.20608337 338.38310961 392.98875492 9192 111.83976434 116.45187793 126.42325515 131.81187280 149.78501914 170.86086796 195.62508162 224.77877295 259.16178523 299.78072025 347.84268735 404.79594568 9293 113.30576336 118.03413732 128.26607685 133.80046185 152.28286933 173.99662881 199.55945784 229.71240148 265.34502094 307.52578645 357.53875453 416.92783418 9394 114.77787071 119.62430800 130.12118403 135.80396531 154.80569803 177.17158667 203.55284971 234.73236850 271.65192135 315.44511665 367.47722339 429.39334962 9495 116.25611184 121.22242954 131.98865859 137.82249505 157.35375501 180.38623151 207.60614246 239.84018495 278.08495978 323.54263177 377.66415398 442.20166674 9596 117.74051230 122.82854169 133.86858298 139.85616377 159.92729256 183.64105940 211.72023459 245.03738819 284.64665898 331.82234099 388.10575783 455.36221257 9697 119.23109777 124.44268440 135.76104020 141.90508499 162.52656548 186.93657264 215.89603811 250.32554248 291.33959216 340.28834366 398.80840177 468.88467342 9798 120.72789401 126.06489782 137.66611380 143.96937313 165.15183114 190.27327980 220.13447868 255.70623947 298.16638400 348.94483139 409.77861182 482.77900194 9899 122.23092690 127.69522231 139.58388790 146.04914343 167.80334945 193.65169580 224.43649586 261.18109866 305.12971168 357.79609010 421.02307711 497.05542449 99

100 123.74022243 129.33369842 141.51444715 148.14451201 170.48138294 197.07234200 228.80304330 266.75176789 312.23230591 366.84650213 432.54865404 511.72444867 100101 125.25580669 130.98036692 143.45787680 150.25559585 173.18619677 200.53574627 233.23508895 272.41992383 319.47695203 376.10054842 444.36237039 526.79687100 101102 126.77770589 132.63526875 145.41426264 152.38251281 175.91805874 204.04244310 237.73361529 278.18727250 326.86649107 385.56281076 456.47142965 542.28378496 102103 128.30594633 134.29844509 147.38369106 154.52538166 178.67723933 207.59297364 242.29961951 284.05554976 334.40382089 395.23797401 468.88321539 558.19658904 103104 129.84055444 135.96993732 149.36624900 156.68432202 181.46401172 211.18788581 246.93411381 290.02652188 342.09189731 405.13082842 481.60529578 574.54699524 104105 131.38155675 137.64978701 151.36202399 158.85945444 184.27865184 214.82773438 251.63812551 296.10198602 349.93373526 415.24627206 494.64542817 591.34703761 105106 132.92897990 139.33803594 153.37110415 161.05090035 187.12143836 218.51308106 256.41269740 302.28377077 357.93240996 425.58931318 508.01156388 608.60908114 106107 134.48285065 141.03472612 155.39357818 163.25878210 189.99265274 222.24449457 261.25888786 308.57373676 366.09105816 436.16507273 521.71185298 626.34583088 107108 136.04319586 142.73989975 157.42953537 165.48322296 192.89257927 226.02255076 266.17777118 314.97377716 374.41287932 446.97878687 535.75464930 644.57034123 108109 137.61004251 144.45359925 159.47906560 167.72434714 195.82150506 229.84783264 271.17043774 321.48581826 382.90113691 458.03580957 550.14851553 663.29602561 109110 139.18341769 146.17586725 161.54225937 169.98227974 198.77972011 233.72093055 276.23799431 328.11182007 391.55915965 469.34161529 564.90222842 682.53666631 110111 140.76334859 147.90674658 163.61920777 172.25714684 201.76751731 237.64244218 281.38156422 334.85377693 400.39034284 480.90180163 580.02478413 702.30642464 111112 142.34986255 149.64628032 165.71000249 174.54907544 204.78519248 241.61297271 286.60228769 341.71371802 409.39814970 492.72209217 595.52540373 722.61985131 112113 143.94298697 151.39451172 167.81473584 176.85819351 207.83304441 245.63313487 291.90132200 348.69370809 418.58611269 504.80833924 611.41353883 743.49189723 113114 145.54274942 153.15148428 169.93350074 179.18462996 210.91137485 249.70354905 297.27984183 355.79584798 427.95783495 517.16652687 627.69887730 764.93792440 114115 147.14917754 154.91724170 172.06639075 181.52851468 214.02048860 253.82484342 302.73903946 363.02227532 437.51699165 529.80277373 644.39134923 786.97371732 115116 148.76229911 156.69182791 174.21350002 183.88997854 217.16069349 257.99765396 308.28012505 370.37516514 447.26733148 542.72333614 661.50113296 809.61549455 116117 150.38214203 158.47528704 176.37492335 186.26915338 220.33230042 262.22262463 313.90432693 377.85673053 457.21267811 555.93461120 679.03866129 832.87992065 117118 152.00873429 160.26766348 178.55075618 188.66617203 223.53562343 266.50040744 319.61289183 385.46922331 467.35693167 569.44313995 697.01462782 856.78411846 118119 153.64210401 162.06900180 180.74109455 191.08116832 226.77097966 270.83166253 325.40708521 393.21493472 477.70407030 583.25561060 715.43999351 881.34568172 119120 155.28227945 163.87934681 182.94603518 193.51427708 230.03868946 275.21705832 331.28819149 401.09619608 488.25815171 597.37886184 734.32599335 906.58268797 120


n i

iS

i

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

1 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1

2 2.03000000 2.03500000 2.04000000 2.04500000 2.05000000 2.06000000 2.07000000 2.08000000 2.09000000 2.10000000 2.11000000 2.12000000 2

3 3.09090000 3.10622500 3.12160000 3.13702500 3.15250000 3.18360000 3.21490000 3.24640000 3.27810000 3.31000000 3.34210000 3.37440000 3

4 4.18362700 4.21494287 4.24646400 4.27819112 4.31012500 4.37461600 4.43994300 4.50611200 4.57312900 4.64100000 4.70973100 4.77932800 4

5 5.30913581 5.36246588 5.41632256 5.47070973 5.52563125 5.63709296 5.75073901 5.86660096 5.98471061 6.10510000 6.22780141 6.35284736 5

6 6.46840988 6.55015218 6.63297546 6.71689166 6.80191281 6.97531854 7.15329074 7.33592904 7.52333456 7.71561000 7.91285957 8.11518904 6

7 7.66246218 7.77940751 7.89829448 8.01915179 8.14200845 8.39383765 8.65402109 8.92280336 9.20043468 9.48717100 9.78327412 10.08901173 7

8 8.89233605 9.05168677 9.21422626 9.38001362 9.54910888 9.89746791 10.25980257 10.63662763 11.02847380 11.43588810 11.85943427 12.29969314 8

9 10.15910613 10.36849581 10.58279531 10.80211423 11.02656432 11.49131598 11.97798875 12.48755784 13.02103644 13.57947691 14.16397204 14.77565631 9

10 11.46387931 11.73139316 12.00610712 12.28820937 12.57789254 13.18079494 13.81644796 14.48656247 15.19292972 15.93742460 16.72200896 17.54873507 10

11 12.80779569 13.14199192 13.48635141 13.84117879 14.20678716 14.97164264 15.78359932 16.64548746 17.56029339 18.53116706 19.56142995 20.65458328 11

12 14.19202956 14.60196164 15.02580546 15.46403184 15.91712652 16.86994120 17.88845127 18.97712646 20.14071980 21.38428377 22.71318724 24.13313327 12

13 15.61779045 16.11303030 16.62683768 17.15991327 17.71298285 18.88213767 20.14064286 21.49529658 22.95338458 24.52271214 26.21163784 28.02910926 13

14 17.08632416 17.67698636 18.29191119 18.93210937 19.59863199 21.01506593 22.55048786 24.21492030 26.01918919 27.97498336 30.09491800 32.39260238 14

15 18.59891389 19.29568088 20.02358764 20.78405429 21.57856359 23.27596988 25.12902201 27.15211393 29.36091622 31.77248169 34.40535898 37.27971466 15

16 20.15688130 20.97102971 21.82453114 22.71933673 23.65749177 25.67252808 27.88805355 30.32428304 33.00339868 35.94972986 39.18994847 42.75328042 16

17 21.76158774 22.70501575 23.69751239 24.74170689 25.84036636 28.21287976 30.84021730 33.75022569 36.97370456 40.54470285 44.50084281 48.88367407 17

18 23.41443537 24.49969130 25.64541288 26.85508370 28.13238467 30.90565255 33.99903251 37.45024374 41.30133797 45.59917313 50.39593551 55.74971496 18

19 25.11686844 26.35718050 27.67122940 29.06356246 30.53900391 33.75999170 37.37896479 41.44626324 46.01845839 51.15909045 56.93948842 63.43968075 19

20 26.87037449 28.27968181 29.77807858 31.37142277 33.06595410 36.78559120 40.99549232 45.76196430 51.16011964 57.27499949 64.20283215 72.05244244 20

21 28.67648572 30.26947068 31.96920172 33.78313680 35.71925181 39.99272668 44.86517678 50.42292144 56.76453041 64.00249944 72.26514368 81.69873554 21

22 30.53678030 32.32890215 34.24796979 36.30337795 38.50521440 43.39229028 49.00573916 55.45675516 62.87333815 71.40274939 81.21430949 92.50258380 22

23 32.45288370 34.46041373 36.61788858 38.93702996 41.43047512 46.99582769 53.43614090 60.89329557 69.53193858 79.54302433 91.14788353 104.60289386 23

24 34.42647022 36.66652821 39.08260412 41.68919631 44.50199887 50.81557735 58.17667076 66.76475922 76.78981305 88.49732676 102.17415072 118.15524112 24

25 36.45926432 38.94985669 41.64590829 44.56521015 47.72709882 54.86451200 63.24903772 73.10593995 84.70089623 98.34705943 114.41330730 133.33387006 25

26 38.55304225 41.31310168 44.31174462 47.57064460 51.11345376 59.15638272 68.67647036 79.95441515 93.32397689 109.18176538 127.99877110 150.33393446 26

27 40.70963352 43.75906024 47.08421440 50.71132361 54.66912645 63.70576568 74.48382328 87.35076836 102.72313481 121.09994192 143.07863592 169.37400660 27

28 42.93092252 46.29062734 49.96758298 53.99333317 58.40258277 68.52811162 80.69769091 95.33882983 112.96821694 134.20993611 159.81728587 190.69888739 28

29 45.21885020 48.91079930 52.96628630 57.42303316 62.32271191 73.63979832 87.34652927 103.96593622 124.13535646 148.63092972 178.39718732 214.58275388 29

30 47.57541571 51.62267728 56.08493775 61.00706966 66.43884750 79.05818622 94.46078632 113.28321111 136.30753855 164.49402269 199.02087793 241.33268434 30

31 50.00267818 54.42947098 59.32833526 64.75238779 70.76078988 84.80167739 102.07304137 123.34586800 149.57521702 181.94342496 221.91317450 271.29260646 31

32 52.50275852 57.33450247 62.70146867 68.66624524 75.29882937 90.88977803 110.21815426 134.21353744 164.03698655 201.13776745 247.32362369 304.84771924 32

33 55.07784128 60.34121005 66.20952742 72.75622628 80.06377084 97.34316471 118.93342506 145.95062044 179.80031534 222.25154420 275.52922230 342.42944555 33

34 57.73017652 63.45315240 69.85790851 77.03025646 85.06695938 104.18375460 128.25876481 158.62667007 196.98234372 245.47669862 306.83743675 384.52097901 34

35 60.46208181 66.67401274 73.65222486 81.49661800 90.32030735 111.43477987 138.23687835 172.31680368 215.71075465 271.02436848 341.58955480 431.66349649 35

36 63.27594427 70.00760318 77.59831385 86.16396581 95.83632272 119.12086666 148.91345984 187.10214797 236.12472257 299.12680533 380.16440582 484.46311607 36

37 66.17422259 73.45786930 81.70224640 91.04134427 101.62813886 127.26811866 160.33740202 203.07031981 258.37594760 330.03948586 422.98249046 543.59869000 37

38 69.15944927 77.02889472 85.97033626 96.13820476 107.70954580 135.90420578 172.56102017 220.31594540 282.62978288 364.04343445 470.51056441 609.83053280 38

39 72.23423275 80.72490604 90.40914971 101.46442398 114.09502309 145.05845813 185.64029158 238.94122103 309.06646334 401.44777789 523.26672650 684.01019674 39

40 75.40125973 84.55027775 95.02551570 107.03032306 120.79977424 154.76196562 199.63511199 259.05651871 337.88244504 442.59255568 581.82606641 767.09142034 40

41 78.66329753 88.50953747 99.82653633 112.84668760 127.83976295 165.04768356 214.60956983 280.78104021 369.29186510 487.85181125 646.82693372 860.14239079 41

42 82.02319645 92.60737128 104.81959778 118.92478854 135.23175110 175.95054457 230.63223972 304.24352342 403.52813296 537.63699237 718.97789643 964.35947768 42

43 85.48389234 96.84862928 110.01238169 125.27640402 142.99333866 187.50757724 247.77649650 329.58300530 440.84566492 592.40069161 799.06546504 1081.08261500 43

44 89.04840911 101.23833130 115.41287696 131.91384220 151.14300559 199.75803188 266.12085125 356.94964572 481.52177477 652.64076077 887.96266619 1211.81252880 44

45 92.71986139 105.78167290 121.02939204 138.84996510 159.70015587 212.74351379 285.74931084 386.50561738 525.85873450 718.90483685 986.63855947 1358.23003226 45

46 96.50145723 110.48403145 126.87056772 146.09821353 168.68516366 226.50812462 306.75176260 418.42606677 574.18602060 791.79532054 1096.16880101 1522.21763613 46

47 100.39650095 115.35097255 132.94539043 153.67263314 178.11942185 241.09861210 329.22438598 452.90015211 626.86276245 871.97485259 1217.74736912 1705.88375247 47

48 104.40839598 120.38825659 139.26320604 161.58790163 188.02539294 256.56452882 353.27009300 490.13216428 684.28041107 960.17233785 1352.69957973 1911.58980276 48

49 108.54064785 125.60184557 145.83373429 169.85935720 198.42666259 272.95840055 378.99899951 530.34273742 746.86564807 1057.18957163 1502.49653350 2141.98057909 49

50 112.79686729 130.99791016 152.66708366 178.50302828 209.34799572 290.33590458 406.52892947 573.77015642 815.08355640 1163.90852880 1668.77115218 2400.01824858 50

51 117.18077331 136.58283702 159.77376700 187.53566455 220.81539550 308.75605886 435.98595454 620.67176893 889.44107647 1281.29938168 1853.33597892 2689.02043841 51

52 121.69619651 142.36323631 167.16471768 196.97476946 232.85616528 328.28142239 467.50497135 671.32551044 970.49077336 1410.42931984 2058.20293661 3012.70289102 52

53 126.34708240 148.34594958 174.85130639 206.83863408 245.49897354 348.97830773 501.23031935 726.03155128 1058.83494296 1552.47225183 2285.60525963 3375.22723795 53

54 131.13749488 154.53805782 182.84535865 217.14637262 258.77392222 370.91700620 537.31644170 785.11407538 1155.13008782 1708.71947701 2538.02183819 3781.25450650 54

55 136.07161972 160.94688984 191.15917299 227.91795938 272.71261833 394.17202657 575.92859262 848.92320141 1260.09179573 1880.59142471 2818.20424039 4236.00504728 55

56 141.15376831 167.58003099 199.80553991 239.17426756 287.34824924 418.82234816 617.24359410 917.83705752 1374.50005734 2069.65056718 3129.20670684 4745.32565295 56

57 146.38838136 174.44533207 208.79776151 250.93710960 302.71566171 444.95168905 661.45064569 992.26402213 1499.20506251 2277.61562390 3474.41944459 5315.76473131 57

58 151.78003280 181.55091869 218.14967197 263.22927953 318.85144479 472.64879040 708.75219089 1072.64514390 1635.13351813 2506.37718629 3857.60558349 5954.65649906 58

59 157.33343379 188.90520085 227.87565885 276.07459711 335.79401703 502.00771782 759.36484425 1159.45675541 1783.29553476 2758.01490492 4282.94219768 6670.21527895 59

60 163.05343680 196.51688288 237.99068520 289.49795398 353.58371788 533.12818089 813.52038335 1253.21329584 1944.79213289 3034.81639541 4755.06583942 7471.64111243 60


n i

iS

i

(1 ) 1n

n i

iS

i

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

61 168.94503991 204.39497378 248.51031261 303.52536190 372.26290378 566.11587174 871.46681019 1354.47035951 2120.82342485 3339.29803496 5279.12308176 8369.23804592 61

62 175.01339110 212.54879786 259.45072511 318.18400319 391.87604897 601.08282405 933.46948690 1463.82798827 2312.69753309 3674.22783845 5860.82662075 9374.54661143 62

63 181.26379284 220.98800579 270.82875412 333.50228333 412.46985141 638.14779349 999.81235098 1581.93422733 2521.84031107 4042.65062230 6506.51754903 10500.49220480 63

64 187.70170662 229.72258599 282.66190428 349.50988608 434.09334398 677.43666110 1070.79921555 1709.48896552 2749.80593906 4447.91568453 7223.23447943 11761.55126937 64

65 194.33275782 238.76287650 294.96838045 366.23783096 456.79801118 719.08286076 1146.75516064 1847.24808276 2998.28847358 4893.70725298 8018.79027216 13173.93742170 65

66 201.16274055 248.11957718 307.76711567 383.71853335 480.63791174 763.22783241 1228.02802188 1996.02792938 3269.13443620 5384.07797828 8901.85720210 14755.80991230 66

67 208.19762277 257.80376238 321.07780030 401.98586735 505.66980733 810.02150236 1314.98998341 2156.71016373 3564.35653546 5923.48577610 9882.06149433 16527.50710178 67

68 215.44355145 267.82689406 334.92091231 421.07523138 531.95329770 859.62279250 1408.03928225 2330.24697683 3886.14862365 6516.83435371 10970.08825871 18511.80795399 68

69 222.90685800 278.20083535 349.31774880 441.02361679 559.55096258 912.20016005 1507.60203201 2517.66673497 4236.90199978 7169.51778909 12177.79796717 20734.22490847 69

70 230.59406374 288.93786459 364.29045876 461.86967955 588.52851071 967.93216965 1614.13417425 2720.08007377 4619.22317976 7887.46956799 13518.35574356 23223.33189749 70

71 238.51188565 300.05068985 379.86207711 483.65381513 618.95493625 1027.00809983 1728.12356645 2938.68647967 5035.95326594 8677.21652479 15006.37487535 26011.13172519 71

72 246.66724222 311.55246400 396.05656019 506.41823681 650.90268306 1089.62858582 1850.09221610 3174.78139805 5490.18905987 9545.93817727 16658.07611164 29133.46753221 72

73 255.06725949 323.45680024 412.89882260 530.20705747 684.44781721 1156.00630097 1980.59867123 3429.76390989 5985.30607526 10501.53199500 18491.46448392 32630.48363607 73

74 263.71927727 335.77778824 430.41477550 555.06637505 719.67020807 1226.36667903 2120.24057821 3705.14502268 6524.98362203 11552.68519450 20526.52557715 36547.14167240 74

75 272.63085559 348.53001083 448.63136652 581.04436193 756.65371848 1300.94867977 2269.65741869 4002.55662449 7113.23214801 12708.95371395 22785.44339063 40933.79867309 75

76 281.80978126 361.72856121 467.57662118 608.19135822 795.48640440 1380.00560055 2429.53343800 4323.76115445 7754.42304134 13980.84908535 25292.84216360 45846.85451386 76

77 291.26407469 375.38906085 487.27968603 636.55996934 836.26072462 1463.80593659 2600.60077866 4670.66204681 8453.32111506 15379.93399388 28076.05480160 51349.47705552 77

78 301.00199693 389.52767798 507.77087347 666.20516796 879.07376085 1552.63429278 2783.64283316 5045.31501056 9215.12001541 16918.92739327 31165.42082978 57512.41430219 78

79 311.03205684 404.16114671 529.08170841 697.18440052 924.02744889 1646.79235035 2979.49783148 5449.94021140 10045.48081680 18611.82013260 34594.61712105 64414.90401845 79

80 321.36301855 419.30678685 551.24497675 729.55769854 971.22882134 1746.59989137 3189.06267969 5886.93542831 10950.57409031 20474.00214585 38401.02500437 72145.69250066 80

81 332.00390910 434.98252439 574.29477582 763.38779497 1020.79026240 1852.39588485 3413.29706727 6358.89026258 11937.12575844 22522.40236044 42626.13775485 80804.17560074 81

82 342.96402638 451.20691274 598.26656685 798.74024575 1072.82977552 1964.53963794 3653.22786198 6868.60148358 13012.46707670 24775.64259648 47316.01290788 90501.67667283 82

83 354.25294717 467.99915469 623.19722952 835.68355680 1127.47126430 2083.41201622 3909.95381231 7419.08960227 14184.58911360 27254.20685613 52521.77432775 101362.87787357 83

84 365.88053558 485.37912510 649.12511870 874.28931686 1184.84482752 2209.41673719 4184.65057918 8013.61677045 15462.20213382 29980.62754175 58300.16950380 113527.42321840 84

85 377.85695165 503.36739448 676.09012345 914.63233612 1245.08706889 2342.98174142 4478.57611972 8655.70611209 16854.80032587 32979.69029592 64714.18814922 127151.71400461 85

86 390.19266020 521.98525329 704.13372839 956.79079125 1308.34142234 2484.56064591 4793.07644810 9349.16260105 18372.73235520 36278.65932551 71833.74884563 142410.91968516 86

87 402.89844001 541.25473715 733.29907753 1000.84637685 1374.75849345 2634.63428466 5129.59179946 10098.09560914 20027.27826717 39907.52525806 79736.46121865 159501.23004738 87

88 415.98539321 561.19865295 763.63104063 1046.88446381 1444.49641812 2793.71234174 5489.66322543 10906.94325787 21830.73331121 43899.27778387 88508.47195270 178642.37765307 88

89 429.46495500 581.84060581 795.17628225 1094.99426468 1517.72123903 2962.33508225 5874.93965121 11780.49871850 23796.49930922 48290.20556226 98245.40386750 200080.46297144 89

90 443.34890365 603.20502701 827.98333354 1145.26900659 1594.60730098 3141.07518718 6287.18542679 12723.93861598 25939.18424705 53120.22611848 109053.39829293 224091.11852801 90

91 457.64937076 625.31720295 862.10266688 1197.80611189 1675.33766603 3330.53969841 6728.28840667 13742.85370526 28274.71082928 58433.24873033 121050.27210515 250983.05275137 91

92 472.37885189 648.20330506 897.58677356 1252.70738692 1760.10454933 3531.37208032 7200.26859513 14843.28200168 30820.43480392 64277.57360336 134366.80203671 281102.01908153 92

93 487.55021744 671.89042074 934.49024450 1310.07921933 1849.10977680 3744.25440514 7705.28739679 16031.74456181 33595.27393627 70706.33096370 149148.15026075 314835.26137132 93

94 503.17672397 696.40658546 972.86985428 1370.03278420 1942.56526564 3969.90966944 8245.65751457 17315.28412676 36619.84859054 77777.96406007 165555.44678943 352616.49273587 94

95 519.27202568 721.78081595 1012.78464845 1432.68425949 2040.69352892 4209.10424961 8823.85354059 18701.50685690 39916.63496368 85556.76046608 183767.54593627 394931.47186418 95

96 535.85018645 748.04314451 1054.29603439 1498.15505117 2143.72820537 4462.65050459 9442.52328843 20198.62740545 43510.13211042 94113.43651269 203982.97598926 442324.24848788 96

97 552.92569205 775.22465457 1097.46787577 1566.57202847 2251.91461564 4731.40953486 10104.49991862 21815.51759788 47427.04400035 103525.78016396 226422.10334808 495404.15830643 97

98 570.51346281 803.35751748 1142.36659080 1638.06776976 2365.51034642 5016.29410696 10812.81491292 23561.75900572 51696.47796038 113879.35818035 251329.53471637 554853.65730320 98

99 588.62886669 832.47503059 1189.06125443 1712.78081939 2484.78586374 5318.27175337 11570.71195683 25447.69972617 56350.16097682 125268.29399839 278976.78353517 621437.09617958 99

100 607.28773270 862.61165666 1237.62370461 1790.85595627 2610.02515693 5638.36805857 12381.66179381 27484.51570427 61422.67546473 137796.12339822 309665.22972404 696010.54772113 100

101 626.50636468 893.80306464 1288.12865279 1872.44447430 2741.52641477 5977.67014209 13249.37811937 29684.27696061 66951.71625656 151576.73573805 343729.40499368 779532.81344767 101

102 646.30155562 926.08617191 1340.65379890 1957.70447564 2879.60273551 6337.33035061 14177.83458773 32060.01911746 72978.37071965 166735.40931185 381540.63954299 873077.75106139 102

103 666.69060228 959.49918792 1395.27995086 2046.80117705 3024.58287229 6718.57017165 15171.28300887 34625.82064685 79547.42408442 183409.95024304 423511.10989272 977848.08118875 103

104 687.69132035 994.08165950 1452.09114889 2139.90723001 3176.81201590 7122.68438195 16234.27281949 37396.88629860 86707.69225201 201751.94526734 470098.33198092 1095190.85093140 104

105 709.32205996 1029.87451758 1511.17479485 2237.20305536 3336.65261670 7551.04544487 17371.67191685 40389.63720249 94512.38455470 221928.13979407 521810.14849882 1226614.75304317 105

106 731.60172176 1066.92012570 1572.62178664 2338.87719286 3504.48524753 8005.10817156 18588.68895103 43621.80817869 103019.49916462 244121.95377348 579210.26483369 1373809.52340835 106

107 754.54977342 1105.26233010 1636.52665811 2445.12666653 3680.70950991 8486.41466185 19890.89717761 47112.55283298 112292.25408943 268535.14915083 642924.39396539 1538667.66621735 107

108 778.18626662 1144.94651165 1702.98772443 2556.15736653 3865.74498540 8996.59954156 21284.25998004 50882.55705962 122399.55695748 295389.66406591 713647.07730159 1723308.78616344 108

109 802.53185462 1186.01963956 1772.10723341 2672.18444802 4060.03223467 9537.39551406 22775.15817864 54954.16162439 133416.51708366 324929.63047250 792149.25580476 1930106.84050305 109

110 827.60781026 1228.53032694 1843.99152275 2793.43274818 4264.03384641 10110.63924490 24370.41925115 59351.49455434 145425.00362119 357423.59351975 879286.67394329 2161720.66136341 110

111 853.43604456 1272.52888839 1918.75118366 2920.13722185 4478.23553873 10718.27759960 26077.34859873 64100.61411869 158514.25394709 393166.95287173 976009.20807705 2421128.14072702 111

112 880.03912590 1318.06739948 1996.50123100 3052.54339683 4703.14731566 11362.37425557 27903.76300064 69229.66324819 172781.53680233 432484.64815890 1083371.22096552 2711664.51761427 112

113 907.44029968 1365.19975846 2077.36128024 3190.90784969 4939.30468145 12045.11671091 29858.02641068 74769.03630804 188332.87511454 475734.11297479 1202543.05527173 3037065.25972798 113

114 935.66350867 1413.98175001 2161.45573145 3335.49870293 5187.26991552 12768.82371356 31949.08825943 80751.55921268 205283.83387485 523308.52427227 1334823.79135162 3401514.09089534 114

115 964.73341393 1464.47111126 2248.91396071 3486.59614456 5447.63341129 13535.95313637 34186.52443759 87212.68394970 223760.37892359 575640.37669950 1481655.40840030 3809696.78180278 115

116 994.67541634 1516.72760015 2339.87051914 3644.49297106 5721.01508186 14349.11032456 36580.58114822 94190.69866567 243899.81302671 633205.41436945 1644638.50332433 4266861.39561911 116

117 1025.51567884 1570.81306616 2434.46533990 3809.49515476 6008.06583595 15211.05694403 39142.22182860 101726.95455893 265851.79619911 696526.95580639 1825549.73869001 4778885.76309341 117

118 1057.28114920 1626.79152347 2532.84395350 3981.92243673 6309.46912775 16124.72036067 41883.17735660 109866.11092364 289779.45785703 766180.65138703 2026361.20994591 5352353.05466461 118

119 1089.99958368 1684.72922679 2635.15771164 4162.10894638 6625.94258414 17093.20358231 44815.99977156 118656.39979753 315860.60906417 842799.71652574 2249261.94303996 5994636.42122437 119

120 1123.69957119 1744.69474973 2741.56402011 4350.40384897 6958.23971334 18119.79579725 47954.11975557 128149.91178134 344289.06387994 927080.68817831 2496681.75677435 6713993.79177129 120


n i

iS

i

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n

1 0.99585062 0.99502488 0.99337748 0.99255583 0.99009901 0.98765432 0.98522167 0.98280098 0.98039216 0.97799511 0.97560976 0.97323601 12 1.98756908 1.98509938 1.98017631 1.97772291 1.97039506 1.96311538 1.95588342 1.94869875 1.94156094 1.93446955 1.92742415 1.92042434 23 2.97517253 2.97024814 2.96044004 2.95555624 2.94098521 2.92653371 2.91220042 2.89798403 2.88388327 2.86989687 2.85602356 2.84226213 34 3.95867804 3.95049566 3.93421196 3.92611041 3.90196555 3.87805798 3.85438465 3.83094254 3.80772870 3.78474021 3.76197421 3.73942787 45 4.93810261 4.92586633 4.90153506 4.88943961 4.85343124 4.81783504 4.78264497 4.74785508 4.71345951 4.67945253 4.64582850 4.61258186 56 5.91346318 5.89638441 5.86245205 5.84559763 5.79547647 5.74600992 5.69718717 5.64899762 5.60143089 5.55447680 5.50812536 5.46236678 67 6.88477661 6.86207404 6.81700535 6.79463785 6.72819453 6.66272585 6.59821396 6.53464139 6.47199107 6.41024626 6.34939060 6.28940806 78 7.85205970 7.82295924 7.76523710 7.73661325 7.65167775 7.56812429 7.48592508 7.40505297 7.32548144 7.24718461 7.17013717 7.09431441 89 8.81532916 8.77906392 8.70718917 8.67157642 8.56601758 8.46234498 8.36051732 8.26049432 8.16223671 8.06570622 7.97086553 7.87767826 9

10 9.77460165 9.73041186 9.64290315 9.59957958 9.47130453 9.34552591 9.22218455 9.10122291 8.98258501 8.86621635 8.75206393 8.64007616 1011 10.72989376 10.67702673 10.57242035 10.52067452 10.36762825 10.21780337 10.07111779 9.92749181 9.78684805 9.64911134 9.51420871 9.38206926 1112 11.68122200 11.61893207 11.49578180 11.43491267 11.25507747 11.07931197 10.90750521 10.73954969 10.57534122 10.41477882 10.25776460 10.10420366 1213 12.62860283 12.55615131 12.41302828 12.34234508 12.13374007 11.93018466 11.73153222 11.53764097 11.34837375 11.16359787 10.98318497 10.80701086 1314 13.57205261 13.48870777 13.32420028 13.24302242 13.00370304 12.77055275 12.54338150 12.32200587 12.10624877 11.89593924 11.69091217 11.49100814 1415 14.51158766 14.41662465 14.22933802 14.13699495 13.86505252 13.60054592 13.34323301 13.09288046 12.84926350 12.61216551 12.38137773 12.15669892 1516 15.44722422 15.33992502 15.12848148 15.02431261 14.71787378 14.42029227 14.13126405 13.85049677 13.57770931 13.31263131 13.05500266 12.80457315 1617 16.37897848 16.25863186 16.02167035 15.90502492 15.56225127 15.22991829 14.90764931 14.59508282 14.29187188 13.99768343 13.71219772 13.43510769 1718 17.30686654 17.17276802 16.90894405 16.77918107 16.39826858 16.02954893 15.67256089 15.32686272 14.99203125 14.66766106 14.35336363 14.04876661 1819 18.23090443 18.08235624 17.79034177 17.64682984 17.22600850 16.81930759 16.42616837 16.04605673 15.67846201 15.32289590 14.97889134 14.64600157 1920 19.15110815 18.98741915 18.66590242 18.50801969 18.04555297 17.59931613 17.16863879 16.75288130 16.35143334 15.96371237 15.58916229 15.22725213 2021 20.06749359 19.88797925 19.53566466 19.36279870 18.85698313 18.36969495 17.90013673 17.44754919 17.01120916 16.59042775 16.18454857 15.79294612 2122 20.98007661 20.78405896 20.39966688 20.21121459 19.66037934 19.13056291 18.62082437 18.13026948 17.65804820 17.20335232 16.76541324 16.34349987 2223 21.88887297 21.67568055 21.25794723 21.05331473 20.45582113 19.88203744 19.33086145 18.80124764 18.29220412 17.80278955 17.33211048 16.87931861 2324 22.79389839 22.56286622 22.11054361 21.88914614 21.24338726 20.62423451 20.03040537 19.46068565 18.91392560 18.38903624 17.88498583 17.40079670 2425 23.69516853 23.44563803 22.95749365 22.71875547 22.02315570 21.35726865 20.71961120 20.10878196 19.52345647 18.96238263 18.42437642 17.90831795 2526 24.59269895 24.32401794 23.79883475 23.54218905 22.79520366 22.08125299 21.39863172 20.74573166 20.12103576 19.52311260 18.95061114 18.40225592 2627 25.48650517 25.19802780 24.63460406 24.35949286 23.55960759 22.79629925 22.06761746 21.37172644 20.70689780 20.07150376 19.46401087 18.88297413 2728 26.37660266 26.06768936 25.46483847 25.17071251 24.31644316 23.50251778 22.72671671 21.98695474 21.28127236 20.60782764 19.96488866 19.35082640 2829 27.26300680 26.93302423 26.28957464 25.97589331 25.06578530 24.20001756 23.37607558 22.59160171 21.84438466 21.13234977 20.45354991 19.80615708 2930 28.14573291 27.79405397 27.10884898 26.77508021 25.80770822 24.88890623 24.01583801 23.18584934 22.39645555 21.64532985 20.93029259 20.24930130 3031 29.02479626 28.65079997 27.92269766 27.56831783 26.54228537 25.56929010 24.64614582 23.76987650 22.93770152 22.14702186 21.39540741 20.68058520 3132 29.90021205 29.50328355 28.73115662 28.35565045 27.26958947 26.24127418 25.26713874 24.34385897 23.46833482 22.63767419 21.84917796 21.10032623 3233 30.77199540 30.35152592 29.53426154 29.13712203 27.98969255 26.90496215 25.87895442 24.90796951 23.98856355 23.11752977 22.29188094 21.50883332 3334 31.64016139 31.19554818 30.33204789 29.91277621 28.70266589 27.56045644 26.48172849 25.46237789 24.49859172 23.58682618 22.72378628 21.90640712 3435 32.50472504 32.03537132 31.12455088 30.68265629 29.40858009 28.20785822 27.07559458 26.00725100 24.99861933 24.04579577 23.14515734 22.29334026 3536 33.36570128 32.87101624 31.91180551 31.44680525 30.10750504 28.84726737 27.66068431 26.54275283 25.48884248 24.49466579 23.55625107 22.66991753 3637 34.22310501 33.70250372 32.69384653 32.20526576 30.79950994 29.47878259 28.23712740 27.06904455 25.96945341 24.93365848 23.95731812 23.03641609 3738 35.07695105 34.52985445 33.47070848 32.95808016 31.48466330 30.10250133 28.80505163 27.58628457 26.44064060 25.36299118 24.34860304 23.39310568 3839 35.92725416 35.35308900 34.24242564 33.70529048 32.16303298 30.71851983 29.36458288 28.09462857 26.90258883 25.78287646 24.73034443 23.74024884 3940 36.77402904 36.17222786 35.00903209 34.44693844 32.83468611 31.32693316 29.91584520 28.59422955 27.35547924 26.19352221 25.10277505 24.07810106 4041 37.61729033 36.98729141 35.77056168 35.18306545 33.49968922 31.92783522 30.45896079 29.08523789 27.79948945 26.59513174 25.46612200 24.40691101 4142 38.45705261 37.79829991 36.52704803 35.91371260 34.15810814 32.52131874 30.99405004 29.56780136 28.23479358 26.98790390 25.82060683 24.72692069 4243 39.29333040 38.60527354 37.27852453 36.63892070 34.81000806 33.10747530 31.52123157 30.04206522 28.66156233 27.37203316 26.16644569 25.03836563 4344 40.12613816 39.40823238 38.02502437 37.35873022 35.45545352 33.68639536 32.04062223 30.50817221 29.07996307 27.74770969 26.50384945 25.34147507 4445 40.95549028 40.20719640 38.76658050 38.07318136 36.09450844 34.25816825 32.55233718 30.96626261 29.49015987 28.11511950 26.83302386 25.63647209 4546 41.78140111 41.00218547 39.50322566 38.78231401 36.72723608 34.82288222 33.05648983 31.41647431 29.89231360 28.47444450 27.15416962 25.92357381 4647 42.60388492 41.79321937 40.23499238 39.48616775 37.35369909 35.38062442 33.55319195 31.85894281 30.28658196 28.82586259 27.46748255 26.20299154 4748 43.42295594 42.58031778 40.96191296 40.18478189 37.97395949 35.93148091 34.04255365 32.29380129 30.67311957 29.16954777 27.77315371 26.47493094 4849 44.23862832 43.36350028 41.68401949 40.87819542 38.58807871 36.47553670 34.52468339 32.72118063 31.05207801 29.50567019 28.07136947 26.73959215 4950 45.05091617 44.14278635 42.40134387 41.56644707 39.19611753 37.01287575 34.99968807 33.14120946 31.42360589 29.83439627 28.36231168 26.99716998 5051 45.85983353 44.91819537 43.11391775 42.24957525 39.79813617 37.54358099 35.46767298 33.55401421 31.78784892 30.15588877 28.64615774 27.24785400 5152 46.66539439 45.68974664 43.82177260 42.92761812 40.39419423 38.06773431 35.92874185 33.95971913 32.14494992 30.47030687 28.92308072 27.49182871 5253 47.46761267 46.45745934 44.52493967 43.60061351 40.98435072 38.58541660 36.38299690 34.35844632 32.49504894 30.77780623 29.19324948 27.72927368 5354 48.26650224 47.22135258 45.22345000 44.26859902 41.56866408 39.09670776 36.83053882 34.75031579 32.83828327 31.07853910 29.45682876 27.96036368 5455 49.06207692 47.98144535 45.91733444 44.93161193 42.14719216 39.60168667 37.27146681 35.13544550 33.17478752 31.37265438 29.71397928 28.18526879 5556 49.85435046 48.73775657 46.60662361 45.58968926 42.71999224 40.10043128 37.70587863 35.51395135 33.50469365 31.66029768 29.96485784 28.40415454 5657 50.64333656 49.49030505 47.29134796 46.24286776 43.28712102 40.59301855 38.13387058 35.88594727 33.82813103 31.94161142 30.20961740 28.61718203 5758 51.42904885 50.23910950 47.97153771 46.89118388 43.84863468 41.07952449 38.55553751 36.25154523 34.14522650 32.21673489 30.44840722 28.82450806 5859 52.21150093 50.98418855 48.64722289 47.53467382 44.40458879 41.56002419 38.97097292 36.61085526 34.45610441 32.48580429 30.68137290 29.02628522 5960 52.99070632 51.72556075 49.31843334 48.17337352 44.95503841 42.03459179 39.38026889 36.96398552 34.76088668 32.74895285 30.90865649 29.22266201 60

Table 4 Present value of an annuity tables i

ia

n

in

)1(1|

i

ia

n

in

)1(1|

n i (5/12)% (1/2)% (2/3)% (3/4)% 1% (5/4)% (3/2)% (7/4)% 2% (9/4)% (5/2)% (11/4)% i n

61 53.76667850 52.46324453 49.98519868 48.80731863 45.50003803 42.50330054 39.78351614 37.31104228 35.05969282 33.00631086 31.13039657 29.41378298 6162 54.53943087 53.19725824 50.64754836 49.43654455 46.03964161 42.96622275 40.18080408 37.65213000 35.35264002 33.25800573 31.34672836 29.59978879 6263 55.30897680 53.92762014 51.30551161 50.06108640 46.57390258 43.42342988 40.57222077 37.98735135 35.63984316 33.50416208 31.55778377 29.78081634 6364 56.07532959 54.65434839 51.95911749 50.68097906 47.10287385 43.87499247 40.95785298 38.31680723 35.92141486 33.74490179 31.76369148 29.95699887 6465 56.83850250 55.37746109 52.60839486 51.29625713 47.62660777 44.32098022 41.33778618 38.64059678 36.19746555 33.98034405 31.96457705 30.12846605 6566 57.59850871 56.09697621 53.25337238 51.90695497 48.14515621 44.76146195 41.71210461 38.95881748 36.46810348 34.21060543 32.16056298 30.29534409 6667 58.35536137 56.81291165 53.89407852 52.51310667 48.65857050 45.19650563 42.08089125 39.27156509 36.73343478 34.43579993 32.35176876 30.45775581 6768 59.10907357 57.52528522 54.53054158 53.11474607 49.16690149 45.62617840 42.44422783 39.57893375 36.99356351 34.65603905 32.53831099 30.61582074 6869 59.85965832 58.23411465 55.16278965 53.71190677 49.67019949 46.05054656 42.80219490 39.88101597 37.24859168 34.87143183 32.72030340 30.76965522 6970 60.60712862 58.93941756 55.79085064 54.30462210 50.16851435 46.46967562 43.15487183 40.17790267 37.49861929 35.08208492 32.89785698 30.91937247 7071 61.35149738 59.64121151 56.41475230 54.89292516 50.66189539 46.88363024 43.50233678 40.46968321 37.74374441 35.28810261 33.07107998 31.06508270 7172 62.09277748 60.33951394 57.03452215 55.47684880 51.15039148 47.29247431 43.84466677 40.75644542 37.98406314 35.48958691 33.24007803 31.20689314 7273 62.83098172 61.03434222 57.65018756 56.05642561 51.63405097 47.69627093 44.18193771 41.03827560 38.21966975 35.68663756 33.40495417 31.34490816 7374 63.56612287 61.72571366 58.26177573 56.63168795 52.11292175 48.09508240 44.51422434 41.31525857 38.45065662 35.87935214 33.56580895 31.47922936 7475 64.29821365 62.41364543 58.86931363 57.20266794 52.58705124 48.48897027 44.84160034 41.58747771 38.67711433 36.06782605 33.72274044 31.60995558 7576 65.02726670 63.09815466 59.47282811 57.76939746 53.05648638 48.87799533 45.16413826 41.85501495 38.89913170 36.25215262 33.87584433 31.73718304 7677 65.75329464 63.77925836 60.07234581 58.33190815 53.52127364 49.26221761 45.48190962 42.11795081 39.11679578 36.43242310 34.02521398 31.86100540 7778 66.47631002 64.45697350 60.66789319 58.89023141 53.98145905 49.64169640 45.79498485 42.37636443 39.33019194 36.60872675 34.17094047 31.98151377 7879 67.19632533 65.13131691 61.25949654 59.44439842 54.43708817 50.01649027 46.10343335 42.63033359 39.53940386 36.78115085 34.31311265 32.09879685 7980 67.91335303 65.80230538 61.84718200 59.99444012 54.88820611 50.38665706 46.40732349 42.87993474 39.74451359 36.94978079 34.45181722 32.21294098 8081 68.62740550 66.46995561 62.43097549 60.54038722 55.33485753 50.75225389 46.70672265 43.12524298 39.94560156 37.11470004 34.58713875 32.32403015 8182 69.33849511 67.13428419 63.01090281 61.08227019 55.77708666 51.11333717 47.00169720 43.36633217 40.14274663 37.27599026 34.71915976 32.43214613 8283 70.04663413 67.79530765 63.58698954 61.62011930 56.21493729 51.46996264 47.29231251 43.60327486 40.33602611 37.43373130 34.84796074 32.53736850 8384 70.75183482 68.45304244 64.15926114 62.15396456 56.64845276 51.82218532 47.57863301 43.83614237 40.52551579 37.58800127 34.97362023 32.63977469 8485 71.45410936 69.10750491 64.72774285 62.68383579 57.07767600 52.17005958 47.86072218 44.06500479 40.71128999 37.73887655 35.09621486 32.73944009 8586 72.15346991 69.75871135 65.29245979 63.20976257 57.50264951 52.51363909 48.13864254 44.28993099 40.89342156 37.88643183 35.21581938 32.83643804 8687 72.84992854 70.40667796 65.85343687 63.73177427 57.92341535 52.85297688 48.41245571 44.51098869 41.07198192 38.03074018 35.33250671 32.93083994 8788 73.54349730 71.05142086 66.41069888 64.24990002 58.34001520 53.18812531 48.68222237 44.72824441 41.24704110 38.17187304 35.44634801 33.02271527 8889 74.23418818 71.69295608 66.96427041 64.76416875 58.75249030 53.51913611 48.94800234 44.94176355 41.41866774 38.30990028 35.55741269 33.11213165 8990 74.92201313 72.33129958 67.51417591 65.27460918 59.16088148 53.84606036 49.20985452 45.15161037 41.58692916 38.44489025 35.66576848 33.19915489 9091 75.60698403 72.96646725 68.06043964 65.78124981 59.56522919 54.16894850 49.46783696 45.35784803 41.75189133 38.57690978 35.77148144 33.28384905 9192 76.28911272 73.59847487 68.60308574 66.28411892 59.96557346 54.48785037 49.72200686 45.56053860 41.91361895 38.70602423 35.87461604 33.36627644 9293 76.96841101 74.22733818 69.14213815 66.78324458 60.36195392 54.80281518 49.97242055 45.75974310 42.07217545 38.83229754 35.97523516 33.44649776 9394 77.64489063 74.85307282 69.67762068 67.27865467 60.75440982 55.11389154 50.21913355 45.95552147 42.22762299 38.95579221 36.07340016 33.52457202 9495 78.31856329 75.47569434 70.20955696 67.77037685 61.14298002 55.42112744 50.46220054 46.14793265 42.38002254 39.07656940 36.16917089 33.60055671 9596 78.98944062 76.09521825 70.73797049 68.25843856 61.52770299 55.72457031 50.70167541 46.33703455 42.52943386 39.19468890 36.26260574 33.67450775 9697 79.65753422 76.71165995 71.26288460 68.74286705 61.90861682 56.02426698 50.93761124 46.52288408 42.67591555 39.31020920 36.35376170 33.74647956 9798 80.32285566 77.32503478 71.78432245 69.22368938 62.28575923 56.32026368 51.17006034 46.70553718 42.81952505 39.42318748 36.44269434 33.81652512 9899 80.98541642 77.93535799 72.30230707 69.70093239 62.65916755 56.61260610 51.39907422 46.88504882 42.96031867 39.53367968 36.52945790 33.88469598 99

100 81.64522797 78.54264477 72.81686133 70.17462272 63.02887877 56.90133936 51.62470367 47.06147304 43.09835164 39.64174052 36.61410526 33.95104232 100101 82.30230172 79.14691021 73.32800794 70.64478682 63.39492947 57.18650801 51.84699869 47.23486294 43.23367808 39.74742349 36.69668806 34.01561296 101102 82.95664901 79.74816937 73.83576948 71.11145094 63.75735591 57.46815606 52.06600856 47.40527071 43.36635106 39.85078092 36.77725665 34.07845544 102103 83.60828117 80.34643718 74.34016835 71.57464113 64.11619397 57.74632697 52.28178183 47.57274762 43.49642261 39.95186398 36.85586014 34.13961600 103104 84.25720947 80.94172854 74.84122684 72.03438325 64.47147918 58.02106368 52.49436634 47.73734410 43.62394373 40.05072272 36.93254648 34.19913966 104105 84.90344511 81.53405825 75.33896706 72.49070298 64.82324671 58.29240857 52.70380920 47.89910968 43.74896444 40.14740609 37.00736242 34.25707023 105106 85.54699928 82.12344104 75.83341099 72.94362579 65.17153140 58.56040353 52.91015685 48.05809305 43.87153377 40.24196194 37.08035358 34.31345034 106107 86.18788310 82.70989158 76.32458045 73.39317696 65.51636772 58.82508990 53.11345502 48.21434207 43.99169977 40.33443711 37.15156447 34.36832150 107108 86.82610765 83.29342446 76.81249714 73.83938160 65.85778983 59.08650855 53.31374879 48.36790375 44.10950958 40.42487737 37.22103851 34.42172409 108109 87.46168397 83.87405419 77.29718259 74.28226461 66.19583151 59.34469980 53.51108255 48.51882432 44.22500939 40.51332750 37.28881806 34.47369741 109110 88.09462304 84.45179522 77.77865820 74.72185073 66.53052625 59.59970350 53.70550005 48.66714921 44.33824450 40.59983129 37.35494444 34.52427972 110111 88.72493581 85.02666191 78.25694523 75.15816450 66.86190718 59.85155902 53.89704438 48.81292306 44.44925932 40.68443158 37.41945799 34.57350824 111112 89.35263317 85.59866856 78.73206480 75.59123027 67.19000710 60.10030520 54.08575801 48.95618974 44.55809737 40.76717025 37.48239804 34.62141921 112113 89.97772598 86.16782942 79.20403788 76.02107223 67.51485852 60.34598045 54.27168277 49.09699237 44.66480134 40.84808827 37.54380297 34.66804790 113114 90.60022504 86.73415862 79.67288531 76.44771437 67.83649358 60.58862266 54.45485987 49.23537334 44.76941308 40.92722569 37.60371021 34.71342861 114115 91.22014112 87.29767027 80.13862779 76.87118052 68.15494414 60.82826930 54.63532993 49.37137429 44.87197361 41.00462170 37.66215631 34.75759475 115116 91.83748493 87.85837838 80.60128589 77.29149431 68.47024172 61.06495733 54.81313293 49.50503616 44.97252314 41.08031462 37.71917688 34.80057884 116117 92.45226715 88.41629690 81.06088002 77.70867922 68.78241755 61.29872329 54.98830831 49.63639917 45.07110112 41.15434193 37.77480672 34.84241249 117118 93.06449841 88.97143970 81.51743048 78.12275853 69.09150252 61.52960325 55.16089488 49.76550287 45.16774620 41.22674027 37.82907972 34.88312651 118119 93.67418929 89.52382059 81.97095743 78.53375536 69.39752725 61.75763284 55.33093092 49.89238611 45.26249627 41.29754550 37.88202900 34.92275086 119120 94.28135033 90.07345333 82.42148089 78.94169267 69.70052203 61.98284725 55.49845411 50.01708709 45.35538850 41.36679266 37.93368683 34.96131471 120


ia

n

in

)1(1|

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

1 0.97087379 0.96618357 0.96153846 0.95693780 0.95238095 0.94339623 0.93457944 0.92592593 0.91743119 0.90909091 0.90090090 0.89285714 1

2 1.91346970 1.89969428 1.88609467 1.87266775 1.85941043 1.83339267 1.80801817 1.78326475 1.75911119 1.73553719 1.71252333 1.69005102 2

3 2.82861135 2.80163698 2.77509103 2.74896435 2.72324803 2.67301195 2.62431604 2.57709699 2.53129467 2.48685199 2.44371472 2.40183127 3

4 3.71709840 3.67307921 3.62989522 3.58752570 3.54595050 3.46510561 3.38721126 3.31212684 3.23971988 3.16986545 3.10244569 3.03734935 4

5 4.57970719 4.51505238 4.45182233 4.38997674 4.32947667 4.21236379 4.10019744 3.99271004 3.88965126 3.79078677 3.69589702 3.60477620 5

6 5.41719144 5.32855302 5.24213686 5.15787248 5.07569207 4.91732433 4.76653966 4.62287966 4.48591859 4.35526070 4.23053785 4.11140732 6

7 6.23028296 6.11454398 6.00205467 5.89270094 5.78637340 5.58238144 5.38928940 5.20637006 5.03295284 4.86841882 4.71219626 4.56375654 7

8 7.01969219 6.87395554 6.73274487 6.59588607 6.46321276 6.20979381 5.97129851 5.74663894 5.53481911 5.33492620 5.14612276 4.96763977 8

9 7.78610892 7.60768651 7.43533161 7.26879050 7.10782168 6.80169227 6.51523225 6.24688791 5.99524689 5.75902382 5.53704753 5.32824979 9

10 8.53020284 8.31660532 8.11089578 7.91271818 7.72173493 7.36008705 7.02358154 6.71008140 6.41765770 6.14456711 5.88923201 5.65022303 10

11 9.25262411 9.00155104 8.76047671 8.52891692 8.30641422 7.88687458 7.49867434 7.13896426 6.80519055 6.49506101 6.20651533 5.93769913 11

12 9.95400399 9.66333433 9.38507376 9.11858078 8.86325164 8.38384394 7.94268630 7.53607802 7.16072528 6.81369182 6.49235615 6.19437423 12

13 10.63495533 10.30273849 9.98564785 9.68285242 9.39357299 8.85268296 8.35765074 7.90377594 7.48690392 7.10335620 6.74987040 6.42354842 13

14 11.29607314 10.92052028 10.56312293 10.22282528 9.89864094 9.29498393 8.74546799 8.24423698 7.78615039 7.36668746 6.98186523 6.62816823 14

15 11.93793509 11.51741090 11.11838743 10.73954573 10.37965804 9.71224899 9.10791401 8.55947869 8.06068843 7.60607951 7.19086958 6.81086449 15

16 12.56110203 12.09411681 11.65229561 11.23401505 10.83776956 10.10589527 9.44664860 8.85136916 8.31255819 7.82370864 7.37916178 6.97398615 16

17 13.16611847 12.65132059 12.16566885 11.70719143 11.27406625 10.47725969 9.76322299 9.12163811 8.54363137 8.02155331 7.54879440 7.11963049 17

18 13.75351308 13.18968173 12.65929697 12.15999180 11.68958690 10.82760348 10.05908691 9.37188714 8.75562511 8.20141210 7.70161657 7.24967008 18

19 14.32379911 13.70983742 13.13393940 12.59329359 12.08532086 11.15811649 10.33559524 9.60359920 8.95011478 8.36492009 7.83929421 7.36577686 19

20 14.87747486 14.21240330 13.59032634 13.00793645 12.46221034 11.46992122 10.59401425 9.81814741 9.12854567 8.51356372 7.96332812 7.46944362 20

21 15.41502414 14.69797420 14.02915995 13.40472388 12.82115271 11.76407662 10.83552733 10.01680316 9.29224373 8.64869429 8.07507038 7.56200324 21

22 15.93691664 15.16712484 14.45111533 13.78442476 13.16300258 12.04158172 11.06124050 10.20074366 9.44242544 8.77154026 8.17573908 7.64464575 22

23 16.44360839 15.62041047 14.85684167 14.14777489 13.48857388 12.30337898 11.27218738 10.37105895 9.58020683 8.88321842 8.26643160 7.71843370 23

24 16.93554212 16.05836760 15.24696314 14.49547837 13.79864179 12.55035753 11.46933400 10.52875828 9.70661177 8.98474402 8.34813658 7.78431581 24

25 17.41314769 16.48151459 15.62207994 14.82820896 14.09394457 12.78335616 11.65358318 10.67477619 9.82257960 9.07704002 8.42174466 7.84313911 25

26 17.87684242 16.89035226 15.98276918 15.14661145 14.37518530 13.00316619 11.82577867 10.80997795 9.92897211 9.16094547 8.48805826 7.89565992 26

27 18.32703147 17.28536451 16.32958575 15.45130282 14.64303362 13.21053414 11.98670904 10.93516477 10.02657992 9.23722316 8.54780023 7.94255350 27

28 18.76410823 17.66701885 16.66306322 15.74287351 14.89812726 13.40616428 12.13711125 11.05107849 10.11612837 9.30656651 8.60162183 7.98442277 28

29 19.18845459 18.03576700 16.98371463 16.02188853 15.14107358 13.59072102 12.27767407 11.15840601 10.19828291 9.36960591 8.65010976 8.02180604 29

30 19.60044135 18.39204541 17.29203330 16.28888854 15.37245103 13.76483115 12.40904118 11.25778334 10.27365404 9.42691447 8.69379257 8.05518397 30

31 20.00042849 18.73627576 17.58849356 16.54439095 15.59281050 13.92908599 12.53181419 11.34979939 10.34280187 9.47901315 8.73314646 8.08498569 31

32 20.38876553 19.06886547 17.87355150 16.78889086 15.80267667 14.08404339 12.64655532 11.43499944 10.40624025 9.52637559 8.76860042 8.11159436 32

33 20.76579178 19.39020818 18.14764567 17.02286207 16.00254921 14.23022961 12.75379002 11.51388837 10.46444060 9.56943236 8.80054092 8.13535211 33

34 21.13183668 19.70068423 18.41119776 17.24675796 16.19290401 14.36814114 12.85400936 11.58693367 10.51783541 9.60857487 8.82931614 8.15656438 34

35 21.48722007 20.00066110 18.66461323 17.46101240 16.37419429 14.49824636 12.94767230 11.65456822 10.56682148 9.64415897 8.85523977 8.17550391 35

36 21.83225250 20.29049381 18.90828195 17.66604058 16.54685171 14.62098713 13.03520776 11.71719279 10.61176282 9.67650816 8.87859438 8.19241421 36

37 22.16723544 20.57052542 19.14257880 17.86223979 16.71128734 14.73678031 13.11701660 11.77517851 10.65299342 9.70591651 8.89963458 8.20751269 37

38 22.49246159 20.84108736 19.36786423 18.04999023 16.86789271 14.84601916 13.19347345 11.82886899 10.69081965 9.73265137 8.91858971 8.22099347 38

39 22.80821513 21.10249987 19.58448484 18.22965572 17.01704067 14.94907468 13.26492846 11.87858240 10.72552261 9.75695579 8.93566641 8.23302988 39

40 23.11477197 21.35507234 19.79277388 18.40158442 17.15908635 15.04629687 13.33170884 11.92461333 10.75736020 9.77905072 8.95105082 8.24377668 40

41 23.41239997 21.59910371 19.99305181 18.56610949 17.29436796 15.13801592 13.39412041 11.96723457 10.78656899 9.79913702 8.96491065 8.25337204 41

42 23.70135920 21.83488281 20.18562674 18.72354975 17.42320758 15.22454332 13.45244898 12.00669867 10.81336604 9.81739729 8.97739698 8.26193932 42

43 23.98190213 22.06268870 20.37079494 18.87421029 17.54591198 15.30617294 13.50696167 12.04323951 10.83795050 9.83399753 8.98864593 8.26958868 43

44 24.25427392 22.28279102 20.54884129 19.01838305 17.66277331 15.38318202 13.55790810 12.07707362 10.86050504 9.84908867 8.99878011 8.27641846 44

45 24.51871254 22.49545026 20.72003970 19.15634742 17.77406982 15.45583209 13.60552159 12.10840150 10.88119729 9.86280788 9.00791001 8.28251648 45

46 24.77544907 22.70091813 20.88465356 19.28837074 17.88006650 15.52436990 13.65002018 12.13740880 10.90018100 9.87527989 9.01613515 8.28796115 46

47 25.02470783 22.89943780 21.04293612 19.41470884 17.98101571 15.58902821 13.69160764 12.16426741 10.91759725 9.88661808 9.02354518 8.29282245 47

48 25.26670664 23.09124425 21.19513088 19.53560654 18.07715782 15.65002661 13.73047443 12.18913649 10.93357546 9.89692553 9.03022088 8.29716290 48

49 25.50165693 23.27656450 21.34147200 19.65129813 18.16872173 15.70757227 13.76679853 12.21216341 10.94823436 9.90629594 9.03623503 8.30103831 49

50 25.72976401 23.45561787 21.48218462 19.76200778 18.25592546 15.76186064 13.80074629 12.23348464 10.96168290 9.91481449 9.04165318 8.30449849 50

51 25.95122719 23.62861630 21.61748521 19.86795003 18.33897663 15.81307607 13.83247317 12.25322652 10.97402101 9.92255862 9.04653439 8.30758794 51

52 26.16623999 23.79576454 21.74758193 19.96933017 18.41807298 15.86139252 13.86212446 12.27150604 10.98534038 9.92959875 9.05093189 8.31034637 52

53 26.37499028 23.95726043 21.87267493 20.06634466 18.49340284 15.90697408 13.88983594 12.28843152 10.99572512 9.93599886 9.05489359 8.31280926 53

54 26.57766047 24.11329510 21.99295667 20.15918149 18.56514556 15.94997554 13.91573453 12.30410326 11.00525240 9.94181715 9.05846270 8.31500827 54

55 26.77442764 24.26405323 22.10861218 20.24802057 18.63347196 15.99054297 13.93993881 12.31861413 11.01399303 9.94710650 9.06167810 8.31697167 55

56 26.96546373 24.40971327 22.21981940 20.33303404 18.69854473 16.02881412 13.96255964 12.33205012 11.02201195 9.95191500 9.06457487 8.31872470 56

57 27.15093566 24.55044760 22.32674943 20.41438664 18.76051879 16.06491898 13.98370059 12.34449085 11.02936876 9.95628636 9.06718457 8.32028991 57

58 27.33100549 24.68642281 22.42956676 20.49223602 18.81954170 16.09898017 14.00345850 12.35601005 11.03611813 9.96026033 9.06953565 8.32168742 58

59 27.50583058 24.81779981 22.52842957 20.56673303 18.87575400 16.13111337 14.02192383 12.36667597 11.04231021 9.96387303 9.07165373 8.32293520 5960 27.67556367 24.94473412 22.62348997 20.63802204 18.92928953 16.16142771 14.03918115 12.37655182 11.04799102 9.96715730 9.07356192 8.32404928 60


ia

n

in

)1(1|

i

ia

n

in

)1(1|

n i 3% (7/2)% 4% (9/2)% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% i n

61 27.84035307 25.06737596 22.71489421 20.70624118 18.98027574 16.19002614 14.05530949 12.38569613 11.05320277 9.97014300 9.07528101 8.32504400 61

62 28.00034279 25.18587049 22.80278289 20.77152266 19.02883404 16.21700579 14.07038270 12.39416308 11.05798419 9.97285727 9.07682974 8.32593215 62

63 28.15567261 25.30035796 22.88729124 20.83399298 19.07508003 16.24245829 14.08446981 12.40200286 11.06237082 9.97532479 9.07822499 8.32672513 63

64 28.30647826 25.41097388 22.96854927 20.89377319 19.11912384 16.26647009 14.09763534 12.40926190 11.06639525 9.97756799 9.07948197 8.32743315 64

65 28.45289152 25.51784916 23.04668199 20.95097913 19.16107033 16.28912272 14.10993957 12.41598324 11.07008738 9.97960727 9.08061439 8.32806531 65

66 28.59504031 25.62111030 23.12180961 21.00572165 19.20101936 16.31049314 14.12143885 12.42220671 11.07347466 9.98146115 9.08163459 8.32862975 66

67 28.73304884 25.72087951 23.19404770 21.05810684 19.23906606 16.33065390 14.13218584 12.42796917 11.07658226 9.98314650 9.08255368 8.32913370 67

68 28.86703771 25.81727489 23.26350740 21.10823621 19.27530101 16.34967349 14.14222976 12.43330479 11.07943327 9.98467864 9.08338170 8.32958366 68

69 28.99712399 25.91041052 23.33029558 21.15620690 19.30981048 16.36761650 14.15161659 12.43824518 11.08204887 9.98607149 9.08412765 8.32998541 69

70 29.12342135 26.00039664 23.39451498 21.20211187 19.34267665 16.38454387 14.16038934 12.44281961 11.08444850 9.98733772 9.08479969 8.33034412 70

71 29.24604015 26.08733975 23.45626440 21.24604007 19.37397776 16.40051308 14.16858817 12.44705519 11.08665000 9.98848883 9.08540512 8.33066439 71

72 29.36508752 26.17134275 23.51563885 21.28807662 19.40378834 16.41557838 14.17625063 12.45097703 11.08866973 9.98953530 9.08595056 8.33095035 72

73 29.48066750 26.25250508 23.57272966 21.32830298 19.43217937 16.42979093 14.18341180 12.45460836 11.09052269 9.99048664 9.08644195 8.33120567 73

74 29.59288107 26.33092278 23.62762468 21.36679711 19.45921845 16.44319899 14.19010449 12.45797070 11.09222265 9.99135149 9.08688464 8.33143363 74

75 29.70182628 26.40668868 23.68040834 21.40363360 19.48496995 16.45584810 14.19635933 12.46108399 11.09378225 9.99213772 9.08728346 8.33163717 75

76 29.80759833 26.47989244 23.73116187 21.43888383 19.50949519 16.46778123 14.20220498 12.46396665 11.09521307 9.99285247 9.08764275 8.33181890 76

77 29.91028964 26.55062072 23.77996333 21.47261611 19.53285257 16.47903889 14.20766821 12.46663579 11.09652575 9.99350225 9.08796645 8.33198116 77

78 30.00998994 26.61895721 23.82688782 21.50489579 19.55509768 16.48965933 14.21277403 12.46910721 11.09773005 9.99409295 9.08825806 8.33212604 78

79 30.10678635 26.68498281 23.87200752 21.53578545 19.57628351 16.49967862 14.21754582 12.47139557 11.09883491 9.99462996 9.08852077 8.33225539 79

80 30.20076345 26.74877567 23.91539185 21.56534493 19.59646048 16.50913077 14.22200544 12.47351441 11.09984854 9.99511814 9.08875745 8.33237089 80

81 30.29200335 26.81041127 23.95710755 21.59363151 19.61567665 16.51804790 14.22617331 12.47547631 11.10077847 9.99556195 9.08897068 8.33247401 81

82 30.38058577 26.86996258 23.99721879 21.62070001 19.63397776 16.52646028 14.23006851 12.47729288 11.10163163 9.99596541 9.08916277 8.33256608 82

83 30.46658813 26.92750008 24.03578730 21.64660288 19.65140739 16.53439649 14.23370889 12.47897489 11.10241434 9.99633219 9.08933583 8.33264828 83

84 30.55008556 26.98309186 24.07287241 21.67139032 19.66800704 16.54188348 14.23711111 12.48053230 11.10313242 9.99666562 9.08949174 8.33272168 84

85 30.63115103 27.03680373 24.10853116 21.69511035 19.68381623 16.54894668 14.24029076 12.48197436 11.10379121 9.99696875 9.08963220 8.33278721 85

86 30.70985537 27.08869926 24.14281842 21.71780895 19.69887260 16.55561008 14.24326239 12.48330959 11.10439561 9.99724432 9.08975874 8.33284573 86

87 30.78626735 27.13883986 24.17578694 21.73953009 19.71321200 16.56189630 14.24603962 12.48454592 11.10495010 9.99749483 9.08987274 8.33289797 87

88 30.86045374 27.18728489 24.20748745 21.76031588 19.72686857 16.56782670 14.24863516 12.48569066 11.10545881 9.99772258 9.08997544 8.33294462 88

89 30.93247936 27.23409168 24.23796870 21.78020658 19.73987483 16.57342141 14.25106089 12.48675061 11.10592551 9.99792962 9.09006796 8.33298627 89

90 31.00240714 27.27931564 24.26727759 21.79924075 19.75226174 16.57869944 14.25332794 12.48773205 11.10635368 9.99811783 9.09015132 8.33302345 90

91 31.07029820 27.32301028 24.29545923 21.81745526 19.76405880 16.58367872 14.25544667 12.48864079 11.10674649 9.99828894 9.09022641 8.33305665 91

92 31.13621184 27.36522732 24.32255695 21.83488542 19.77529410 16.58837615 14.25742680 12.48948221 11.10710687 9.99844449 9.09029407 8.33308630 92

93 31.20020567 27.40601673 24.34861245 21.85156499 19.78599438 16.59280769 14.25927738 12.49026131 11.10743750 9.99858590 9.09035501 8.33311277 93

94 31.26233560 27.44542680 24.37366582 21.86752631 19.79618512 16.59698839 14.26100690 12.49098269 11.10774083 9.99871445 9.09040992 8.33313640 94

95 31.32265592 27.48350415 24.39775559 21.88280030 19.80589059 16.60093244 14.26262327 12.49165064 11.10801911 9.99883132 9.09045939 8.33315750 95

96 31.38121934 27.52029387 24.42091884 21.89741655 19.81513390 16.60465325 14.26413390 12.49226911 11.10827441 9.99893757 9.09050395 8.33317634 96

97 31.43807703 27.55583948 24.44319119 21.91140340 19.82393705 16.60816344 14.26554570 12.49284177 11.10850863 9.99903415 9.09054410 8.33319316 97

98 31.49327867 27.59018308 24.46460692 21.92478794 19.83232100 16.61147494 14.26686514 12.49337201 11.10872352 9.99912195 9.09058027 8.33320818 98

99 31.54687250 27.62336529 24.48519896 21.93759612 19.84030571 16.61459900 14.26809826 12.49386297 11.10892066 9.99920178 9.09061286 8.33322159 99

100 31.59890534 27.65542540 24.50499900 21.94985274 19.84791020 16.61754623 14.26925071 12.49431757 11.10910152 9.99927434 9.09064221 8.33323356 100

101 31.64942266 27.68640135 24.52403750 21.96158157 19.85515257 16.62032663 14.27032777 12.49473849 11.10926745 9.99934031 9.09066866 8.33324425 101

102 31.69846860 27.71632981 24.54234375 21.97280533 19.86205007 16.62294965 14.27133436 12.49512823 11.10941968 9.99940028 9.09069249 8.33325379 102

103 31.74608602 27.74524619 24.55994591 21.98354577 19.86861911 16.62542420 14.27227510 12.49548910 11.10955934 9.99945480 9.09071395 8.33326232 103

104 31.79231652 27.77318473 24.57687107 21.99382371 19.87487535 16.62775868 14.27315430 12.49582324 11.10968747 9.99950437 9.09073329 8.33326993 104

105 31.83720051 27.80017848 24.59314526 22.00365905 19.88083366 16.62996102 14.27397598 12.49613263 11.10980501 9.99954942 9.09075071 8.33327672 105

106 31.88077719 27.82625940 24.60879352 22.01307086 19.88650825 16.63203870 14.27474391 12.49641910 11.10991286 9.99959039 9.09076641 8.33328278 106

107 31.92308465 27.85145836 24.62383992 22.02207738 19.89191262 16.63399877 14.27546160 12.49668435 11.11001180 9.99962762 9.09078055 8.33328820 107

108 31.96415986 27.87580518 24.63830762 22.03069605 19.89705964 16.63584790 14.27613233 12.49692996 11.11010257 9.99966148 9.09079329 8.33329304 108

109 32.00403870 27.89932868 24.65221886 22.03894359 19.90196156 16.63759236 14.27675919 12.49715737 11.11018584 9.99969225 9.09080476 8.33329735 109

110 32.04275602 27.92205669 24.66559506 22.04683597 19.90663006 16.63923807 14.27734504 12.49736793 11.11026224 9.99972023 9.09081510 8.33330121 110

111 32.08034565 27.94401613 24.67845679 22.05438849 19.91107624 16.64079063 14.27789256 12.49756290 11.11033233 9.99974566 9.09082442 8.33330465 111

112 32.11684043 27.96523297 24.69082383 22.06161578 19.91531071 16.64225531 14.27840426 12.49774343 11.11039663 9.99976878 9.09083281 8.33330772 112

113 32.15227227 27.98573234 24.70271523 22.06853185 19.91934353 16.64363709 14.27888249 12.49791058 11.11045563 9.99978980 9.09084037 8.33331047 113

114 32.18667210 28.00553849 24.71414925 22.07515009 19.92318432 16.64494065 14.27932943 12.49806535 11.11050975 9.99980891 9.09084718 8.33331292 114

115 32.22007000 28.02467487 24.72514351 22.08148334 19.92684221 16.64617042 14.27974713 12.49820866 11.11055940 9.99982628 9.09085331 8.33331511 115

116 32.25249515 28.04316413 24.73571492 22.08754387 19.93032591 16.64733059 14.28013750 12.49834135 11.11060496 9.99984208 9.09085884 8.33331706 116

117 32.28397587 28.06102814 24.74587973 22.09334342 19.93364372 16.64842508 14.28050234 12.49846421 11.11064675 9.99985643 9.09086382 8.33331880 117

118 32.31453968 28.07828806 24.75565359 22.09889322 19.93680355 16.64945763 14.28084331 12.49857798 11.11068509 9.99986948 9.09086831 8.33332036 118

119 32.34421328 28.09496431 24.76505152 22.10420404 19.93981290 16.65043172 14.28116197 12.49868331 11.11072027 9.99988135 9.09087235 8.33332175 119

120 32.37302261 28.11107663 24.77408800 22.10928616 19.94267895 16.65135068 14.28145978 12.49878084 11.11075254 9.99989214 9.09087599 8.33332299 120


ia

n

in

)1(1|

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N1.0 0.0000 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374 1.01.1 0.0414 0.0453 0.0492 0.0531 0.0569 0.0607 0.0645 0.0682 0.0719 0.0755 1.11.2 0.0792 0.0828 0.0864 0.0899 0.0934 0.0969 0.1004 0.1038 0.1072 0.1106 1.21.3 0.1139 0.1173 0.1206 0.1239 0.1271 0.1303 0.1335 0.1367 0.1399 0.1430 1.31.4 0.1461 0.1492 0.1523 0.1553 0.1584 0.1614 0.1644 0.1673 0.1703 0.1732 1.41.5 0.1761 0.1790 0.1818 0.1847 0.1875 0.1903 0.1931 0.1959 0.1987 0.2014 1.51.6 0.2041 0.2068 0.2095 0.2122 0.2148 0.2175 0.2201 0.2227 0.2253 0.2279 1.61.7 0.2304 0.2330 0.2355 0.2380 0.2405 0.2430 0.2455 0.2480 0.2504 0.2529 1.71.8 0.2553 0.2577 0.2601 0.2625 0.2648 0.2672 0.2695 0.2718 0.2742 0.2765 1.81.9 0.2788 0.2810 0.2833 0.2856 0.2878 0.2900 0.2923 0.2945 0.2967 0.2989 1.92.0 0.3010 0.3032 0.3054 0.3075 0.3096 0.3118 0.3139 0.3160 0.3181 0.3201 2.02.1 0.3222 0.3243 0.3263 0.3284 0.3304 0.3324 0.3345 0.3365 0.3385 0.3404 2.12.2 0.3424 0.3444 0.3464 0.3483 0.3502 0.3522 0.3541 0.3560 0.3579 0.3598 2.22.3 0.3617 0.3636 0.3655 0.3674 0.3692 0.3711 0.3729 0.3747 0.3766 0.3784 2.32.4 0.3802 0.3820 0.3838 0.3856 0.3874 0.3892 0.3909 0.3927 0.3945 0.3962 2.42.5 0.3979 0.3997 0.4014 0.4031 0.4048 0.4065 0.4082 0.4099 0.4116 0.4133 2.52.6 0.4150 0.4166 0.4183 0.4200 0.4216 0.4232 0.4249 0.4265 0.4281 0.4298 2.62.7 0.4314 0.4330 0.4346 0.4362 0.4378 0.4393 0.4409 0.4425 0.4440 0.4456 2.72.8 0.4472 0.4487 0.4502 0.4518 0.4533 0.4548 0.4564 0.4579 0.4594 0.4609 2.82.9 0.4624 0.4639 0.4654 0.4669 0.4683 0.4698 0.4713 0.4728 0.4742 0.4757 2.93.0 0.4771 0.4786 0.4800 0.4814 0.4829 0.4843 0.4857 0.4871 0.4886 0.4900 3.03.1 0.4914 0.4928 0.4942 0.4955 0.4969 0.4983 0.4997 0.5011 0.5024 0.5038 3.13.2 0.5051 0.5065 0.5079 0.5092 0.5105 0.5119 0.5132 0.5145 0.5159 0.5172 3.23.3 0.5185 0.5198 0.5211 0.5224 0.5237 0.5250 0.5263 0.5276 0.5289 0.5302 3.33.4 0.5315 0.5328 0.5340 0.5353 0.5366 0.5378 0.5391 0.5403 0.5416 0.5428 3.43.5 0.5441 0.5453 0.5465 0.5478 0.5490 0.5502 0.5514 0.5527 0.5539 0.5551 3.53.6 0.5563 0.5575 0.5587 0.5599 0.5611 0.5623 0.5635 0.5647 0.5658 0.5670 3.63.7 0.5682 0.5694 0.5705 0.5717 0.5729 0.5740 0.5752 0.5763 0.5775 0.5786 3.73.8 0.5798 0.5809 0.5821 0.5832 0.5843 0.5855 0.5866 0.5877 0.5888 0.5899 3.83.9 0.5911 0.5922 0.5933 0.5944 0.5955 0.5966 0.5977 0.5988 0.5999 0.6010 3.94.0 0.6021 0.6031 0.6042 0.6053 0.6064 0.6075 0.6085 0.6096 0.6107 0.6117 4.04.1 0.6128 0.6138 0.6149 0.6160 0.6170 0.6180 0.6191 0.6201 0.6212 0.6222 4.14.2 0.6232 0.6243 0.6253 0.6263 0.6274 0.6284 0.6294 0.6304 0.6314 0.6325 4.24.3 0.6335 0.6345 0.6355 0.6365 0.6375 0.6385 0.6395 0.6405 0.6415 0.6425 4.34.4 0.6435 0.6444 0.6454 0.6464 0.6474 0.6484 0.6493 0.6503 0.6513 0.6522 4.44.5 0.6532 0.6542 0.6551 0.6561 0.6571 0.6580 0.6590 0.6599 0.6609 0.6618 4.54.6 0.6628 0.6637 0.6646 0.6656 0.6665 0.6675 0.6684 0.6693 0.6702 0.6712 4.64.7 0.6721 0.6730 0.6739 0.6749 0.6758 0.6767 0.6776 0.6785 0.6794 0.6803 4.74.8 0.6812 0.6821 0.6830 0.6839 0.6848 0.6857 0.6866 0.6875 0.6884 0.6893 4.84.9 0.6902 0.6911 0.6920 0.6928 0.6937 0.6946 0.6955 0.6964 0.6972 0.6981 4.95.0 0.6990 0.6998 0.7007 0.7016 0.7024 0.7033 0.7042 0.7050 0.7059 0.7067 5.05.1 0.7076 0.7084 0.7093 0.7101 0.7110 0.7118 0.7126 0.7135 0.7143 0.7152 5.15.2 0.7160 0.7168 0.7177 0.7185 0.7193 0.7202 0.7210 0.7218 0.7226 0.7235 5.25.3 0.7243 0.7251 0.7259 0.7267 0.7275 0.7284 0.7292 0.7300 0.7308 0.7316 5.35.4 0.7324 0.7332 0.7340 0.7348 0.7356 0.7364 0.7372 0.7380 0.7388 0.7396 5.45.5 0.7404 0.7412 0.7419 0.7427 0.7435 0.7443 0.7451 0.7459 0.7466 0.7474 5.55.6 0.7482 0.7490 0.7497 0.7505 0.7513 0.7520 0.7528 0.7536 0.7543 0.7551 5.65.7 0.7559 0.7566 0.7574 0.7582 0.7589 0.7597 0.7604 0.7612 0.7619 0.7627 5.75.8 0.7634 0.7642 0.7649 0.7657 0.7664 0.7672 0.7679 0.7686 0.7694 0.7701 5.85.9 0.7709 0.7716 0.7723 0.7731 0.7738 0.7745 0.7752 0.7760 0.7767 0.7774 5.96.0 0.7782 0.7789 0.7796 0.7803 0.7810 0.7818 0.7825 0.7832 0.7839 0.7846 6.06.1 0.7853 0.7860 0.7868 0.7875 0.7882 0.7889 0.7896 0.7903 0.7910 0.7917 6.16.2 0.7924 0.7931 0.7938 0.7945 0.7952 0.7959 0.7966 0.7973 0.7980 0.7987 6.26.3 0.7993 0.8000 0.8007 0.8014 0.8021 0.8028 0.8035 0.8041 0.8048 0.8055 6.36.4 0.8062 0.8069 0.8075 0.8082 0.8089 0.8096 0.8102 0.8109 0.8116 0.8122 6.46.5 0.8129 0.8136 0.8142 0.8149 0.8156 0.8162 0.8169 0.8176 0.8182 0.8189 6.56.6 0.8195 0.8202 0.8209 0.8215 0.8222 0.8228 0.8235 0.8241 0.8248 0.8254 6.66.7 0.8261 0.8267 0.8274 0.8280 0.8287 0.8293 0.8299 0.8306 0.8312 0.8319 6.76.8 0.8325 0.8331 0.8338 0.8344 0.8351 0.8357 0.8363 0.8370 0.8376 0.8382 6.86.9 0.8388 0.8395 0.8401 0.8407 0.8414 0.8420 0.8426 0.8432 0.8439 0.8445 6.97.0 0.8451 0.8457 0.8463 0.8470 0.8476 0.8482 0.8488 0.8494 0.8500 0.8506 7.07.1 0.8513 0.8519 0.8525 0.8531 0.8537 0.8543 0.8549 0.8555 0.8561 0.8567 7.17.2 0.8573 0.8579 0.8585 0.8591 0.8597 0.8603 0.8609 0.8615 0.8621 0.8627 7.27.3 0.8633 0.8639 0.8645 0.8651 0.8657 0.8663 0.8669 0.8675 0.8681 0.8686 7.37.4 0.8692 0.8698 0.8704 0.8710 0.8716 0.8722 0.8727 0.8733 0.8739 0.8745 7.47.5 0.8751 0.8756 0.8762 0.8768 0.8774 0.8779 0.8785 0.8791 0.8797 0.8802 7.57.6 0.8808 0.8814 0.8820 0.8825 0.8831 0.8837 0.8842 0.8848 0.8854 0.8859 7.67.7 0.8865 0.8871 0.8876 0.8882 0.8887 0.8893 0.8899 0.8904 0.8910 0.8915 7.77.8 0.8921 0.8927 0.8932 0.8938 0.8943 0.8949 0.8954 0.8960 0.8965 0.8971 7.87.9 0.8976 0.8982 0.8987 0.8993 0.8998 0.9004 0.9009 0.9015 0.9020 0.9025 7.98.0 0.9031 0.9036 0.9042 0.9047 0.9053 0.9058 0.9063 0.9069 0.9074 0.9079 8.08.1 0.9085 0.9090 0.9096 0.9101 0.9106 0.9112 0.9117 0.9122 0.9128 0.9133 8.18.2 0.9138 0.9143 0.9149 0.9154 0.9159 0.9165 0.9170 0.9175 0.9180 0.9186 8.28.3 0.9191 0.9196 0.9201 0.9206 0.9212 0.9217 0.9222 0.9227 0.9232 0.9238 8.38.4 0.9243 0.9248 0.9253 0.9258 0.9263 0.9269 0.9274 0.9279 0.9284 0.9289 8.48.5 0.9294 0.9299 0.9304 0.9309 0.9315 0.9320 0.9325 0.9330 0.9335 0.9340 8.58.6 0.9345 0.9350 0.9355 0.9360 0.9365 0.9370 0.9375 0.9380 0.9385 0.9390 8.68.7 0.9395 0.9400 0.9405 0.9410 0.9415 0.9420 0.9425 0.9430 0.9435 0.9440 8.78.8 0.9445 0.9450 0.9455 0.9460 0.9465 0.9469 0.9474 0.9479 0.9484 0.9489 8.88.9 0.9494 0.9499 0.9504 0.9509 0.9513 0.9518 0.9523 0.9528 0.9533 0.9538 8.99.0 0.9542 0.9547 0.9552 0.9557 0.9562 0.9566 0.9571 0.9576 0.9581 0.9586 9.09.1 0.9590 0.9595 0.9600 0.9605 0.9609 0.9614 0.9619 0.9624 0.9628 0.9633 9.19.2 0.9638 0.9643 0.9647 0.9652 0.9657 0.9661 0.9666 0.9671 0.9675 0.9680 9.29.3 0.9685 0.9689 0.9694 0.9699 0.9703 0.9708 0.9713 0.9717 0.9722 0.9727 9.39.4 0.9731 0.9736 0.9741 0.9745 0.9750 0.9754 0.9759 0.9763 0.9768 0.9773 9.49.5 0.9777 0.9782 0.9786 0.9791 0.9795 0.9800 0.9805 0.9809 0.9814 0.9818 9.59.6 0.9823 0.9827 0.9832 0.9836 0.9841 0.9845 0.9850 0.9854 0.9859 0.9863 9.69.7 0.9868 0.9872 0.9877 0.9881 0.9886 0.9890 0.9894 0.9899 0.9903 0.9908 9.79.8 0.9912 0.9917 0.9921 0.9926 0.9930 0.9934 0.9939 0.9943 0.9948 0.9952 9.89.9 0.9956 0.9961 0.9965 0.9969 0.9974 0.9978 0.9983 0.9987 0.9991 0.9996 9.9

តារាងមងទសលោការត log10N

Business Mathematics

Documents

lowest common

marginal revenue

marginal cost

minimum monthly

marginal profit

compound interest

annuity tables

log log log