Buku Ajar Listrik Magnet I

7/25/2019 Buku Ajar Listrik Magnet I

1/142

k

c

E

B

Buku Ajar:

TEORI MEDAN I

Rahadi Wirawan

Oleh:

Fisika FMIPA Universitas Mataram

B2

B1


2/142

TEORI MEDAN I

Rahadi Wirawan

Oleh:

Fisika FMIPA Universitas Mataram


3/142

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas nikmat dan karuniaNya sehingga penulis

dapat menyusun Buku Ajar Teori Medan I ini hingga selesai. Penyusunan buku ini

dimaksudkan untuk membantu mahasiswa dalam memahami perkuliahan Teori Medan,

khususnya bagi mahasiswa Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Mataram.

Buku ini memaparkan tentang konsep-konsep kelistrikan dan kemagnetan yang

tersusun dalam 7 bab meliputi Analisis Vektor, Listrik Statis, Metode Analisis Potensial

Listrik, Medan Listrik dalam Bahan, Medan Magnet Statis, Medan Magnet Dalam Bahan

dan Elektrodinamika. Penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam

buku ini, oleh karena itu kritik dan saran dari pembaca sangat diharapkan untuk

penyempurnaan isi dari buku ini.

Melalui kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih atas

bantuan dan dukungan dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Mataram di dalam penyelesaian buku ini. Semoga buku ini dapat

memberikan manfaat yang besar bagi pembaca.

Desember, 2015

Penyusun


4/142

ii

DAFTAR ISI

Halaman Judul

Kata Pengantar

Daftar Isi

Bab 1 Analisis Vektor 11.1. Aljabar Vektor 11.2. Kalkulus Diferensial 91.3. Fungsi Delta Dirac 171.4. Teori Medan Vektor 20

Bab 2 Listrik Statis 222.1. Medan Listrik 222.2. Divergensi dan Curl Medan Listrik 302.3. Potensial Listrik 352.4. Usaha dan Energi Dalam Medan Listrik Statis 402.5. Konduktor 42

Bab 3 Metode Analisis Potensial Listrik 493.1. Persamaan Laplace dan Metode Separasi Variabel 493.2. Ekspansi Multipol 60

3.3. Metode Bayangan 66

Bab 4 Medan Listrik Dalam Bahan 704.1. Polarisasi Dalam Medium Dielektrik 704.2. Medan Dari Bahan Terpolarisasi 724.3. Perpindahan Listrik 774.4. Dielektrik Linier 794.5. Energi Tersimpan Dalam Dielektrik 824.6. Gaya Pada Dielektrik 84

Bab 5 Medan Magnet Statis 865.1. Gaya Magnetik 865.2. Medan Magnetik Arus Steady (Hukum Biot-Savart) 915.3. Hukum Ampere dan Aplikasinya 935.4. Potensial Vektor Magnetik 945.5. Syarat Batas Magnetostatis 985.6. Ekspansi Multipol Vektor Potensial 100


5/142

iii

Bab 6 Medan Magnet Dalam Bahan 1026.1. Magnetisasi 1026.2. Medan Magnet Untuk Benda Termagnetisasi 1066.3. Medan Auxiliary H 111

6.4. Bahan Linier dan Non Linier 114

Bab 7 Elektrodinamika 1197.1. Gaya Gerak Listrik 1197.2. Induksi Listrik Magnet 1237.3. Persamaan Maxwell 130

Daftar Pustaka


6/142

Teori Medan I 1

ANALISIS VEKTOR

Besaran-besaran dalam perkuliahan teori medan pada umumnya diungkapkan

dalam bentuk besaran vektor seperti halnya medan listrik, medang magnetik, potensial

vektor, vektor poynting dan sebagainya. Agar mahasiswa dapat dengan mudah

memahami formulasi yang akan dipaparkan maka pada bagian awal ini diuraikan hal-

hal yang terkait dengan analisa vektor.

Setelah mengikuti perkuliahan untuk materi analisis vektor, mahasiswa dapat

menerapkan operasi-operasi vektor dalam penyelesaian suatu permasalahan fisika

terkait. Adapun yang menjadi indikator capaian adalah dapat menyelesaikan suatuoperasi vektor dan dapat menerapkan konsep analisis vektor untuk menyelesaikan

suatu permasalahan.

I.1. ALJABAR VEKTOR

1. Definis i dan Operasi Vektor

Dalam fisika terdapat besaran-besaran yang tidak hanya diungkapkan dengan

nilai dari besaran tersebut, namun juga bagaimana orientasi besaran tersebut dalam

ruang. Besaran yang dimaksud antara lain adalah kecepatan, gaya, medan listrik, dan

sebagainya. Secara umum besaran tersebut dikenal dengan istilah vektor, yaitu

besaran yang tidak hanya memiliki nilai (skalar) akan tetapi juga mempunyai arah.

Ketika suatu operasi matematis dilakukan terhadap vektor seperti halnya operasi

penjumlahan atau perkalian, kedua faktor baik nilai maupun arah akan mempengaruhi

hasil operasi tersebut.

Penamaan sebuah vektor dtuliskan menggunakan notasi huruf tebal (a, B, d)

atau dengan menandai tanda panah di bagian atas nama sebuah vektor ( dBa

,, ).

Vektor juga digambarkan menggunakan panah dimana bagian ujung mata panah

menunjukkan arah vektor sedangkan panjang panah menunjukkan nilai suatu vektor

seperti tampak pada Gbr. 1.1.

Bab

1


7/142

Teori Medan I 2

Gbr. 1.1 Deskripsi Vektor

Operasi-operasi vektor meliputi operasi penjumlahan dan perkalian vektor.

Berikut ini diuraikan beberapa operasi vektor dan karakteristik dari operasi tersebut.

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Dalam operasi penjumlahan berlaku antara lain hukum komutatif dan hukum

asosiatif, seperti ditunjukkan melalui Gbr. 1.2.

(a) Komulatif (b) Asosiatif

Gbr. 1.2 Operasi penjumlahan dua vektor

Operasi pengurangan vektor dapat diuraikan sebagai operasi penjumlahan

vektor dengan negatif dari suatu vektor.

Gbr. 1.3 Operasi pengurangan dua vektor

B

A

C

CBACBA

B

ABBA

A

B

A

ABAB

A

A

B

B

A

B

B


8/142

Teori Medan I 3

b. Operasi Perkalian

1. Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor dengan skalar positif tidak akan merubah arah vektor, hanya

merubah besar vektor. Sedangkan untuk perkalian dengan skalar negatif akan

merubah arah dan besar. Perkalian ini bersifat distributif dimana

BaAaBAa

)( (1.1)

2. Perkalian dot dua vektor

cos. ABBA

(1.2)

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua buah vektor dan diperoleh nilai

skalar dari perkalian ini.

Gbr. 1.4 Operasi perkalian dot dua vektor

Dalam perkalian ini berlaku hukum komutatif

ABBA

.. (1.3)

dan hukum distributif.

CABACBA

... (1.4)

3. Perkalian cross dua vektor

nABBxA sin

(1.5)

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua buah vektor dan n merupakan

normal bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Perkalian vektor ini

menghasilkan suatu vektor baru yang tegak lurus bidang

A

B


9/142

Teori Medan I 4

Gbr. 1.5 Operasi perkalian cross dua vektor

Pada perkalian cross vektor tidak berlaku komulatif

AxBBxA

(1.6)

namun berlaku sifat distributif perkalian

CxABxACBxA

(1.7)

4. Perkalian tiga vektor

a. Perkalian yang menghasilkan skalar

)(.)(.)(. BxACCxABCxBA

(1.8)

Gbr. 1.6 Operasi perkalian tiga vektor

b. Perkalian yang menghasilkan vektor

).().()( BACCABCxBxA

(1.9)

2. Komponen Vektor

Untuk proses operasi vektor akan lebih mudah dilakukan dengan menguraikan

vektor dalam komponen-komponen vektor yang terkait dengan koordinat yang

digunakan. Komponen vektor tidak lain merupakan proyeksi panjang vektor terhadap

A

B

n

A

B

n

C


10/142

Teori Medan I 5

koordinat yang menjadi acuan. Penguraian vektor dalam komponen-komponen vektor

digambarkan berikut ini.

Gbr. 1.7 Komponen vektor dalam sistem koordinat kartesian

Ax, Ay, Az adalah besar komponen-komponen vektor A

dalam arah x, y dan z untukkoordinat kartesian. Besarnya komponen-komponen vektor berdasarkan besar vektor

dituliskan melalui rumus berikut

cossinAAx

sinsinAAx

cosAAx

Berdasarkan komponen-komponen vektor tersebut, suatu vektor dapat dituliskan

(koordinat kartesian) sebagai berikut:

zAyAxAAzyx

(1.10)

dengan besar vektorA.

222

zyx AAAA (1.11)

Dalam Gbr. 1.5 diungkapkan juga adanya vektor satuan atau vektor arah atau basis

( zyx ,, ) yang menyatakan arah komponen vektor untuk masing-masing sumbu

koordinat kartesian dengan besarnya satu satuan. Vektor satuan dirumuskan sebagai

a

a

a

aa

(1.12)

Beberapa operasi vektor terkait dengan penguraian vektor dalam komponen vektor.

penjumlahan:

x

y

z

xAx

yAy

zAx A


11/142

Teori Medan I 6

zByBxBzAyAxABA zyxzyx

perkalian dengan skalar:

zaAyaAxaAAa zyx

perkalian dot :

zzyyxx

zyxzyx

BABABA

zByBxBzAyAxABA

..

karena untuk perkalian vektor arah 1... zzyyxx sedangkan

0...... yzzyxzzxxyyx

perkalian cross :

zByBxBxzAyAxABxA zyxzyx .

0)()()(0)()()(0 yxzBAxxzBAzxyBAxxyBAzxxBAyxxBA yzxzzyxyzxyx 0)()()(0)()()(0 xBAyBAxBAzBAyBAzBA yzxzzyxyzxyx

zBABAyBABAxBABA xyyxzxxzyzzy

karena untuk perkalian vektor arah 0 zxzyxyxxx sedangkan

zxxyyxx

yzxxxxz

xyxzzxy

Untuk koordinat acuan lainnya seperti halnya kordinat sil inder maupun koordinat

bola, suatu vektor diuraikan berdasarkan komponen-komponennya dengan vektor arah

seperti gambarkan melalui Gbr.1.8.

zAArAA zr

(koordinat silinder) (1.13)

dan

AArAA

r

(koordinat bola) (1.14)


12/142

Teori Medan I 7

(a) Vektor arah koordinat silinder (b) Vektor arah koordinat bola

Gbr. 1.8 Sistem koordinat silinder dan bola

3. Posisi dan Vektor Perpindahan

Suatu titik ditempatkan pada ruang (x,y,z) dapat digambarkan sebagai suatu

vektor terhadap pusat sumbu koordinat.

zzyyxxr

(koordnat kartesian) (1.15)

(a) (b)

Gbr. 1.9 Vektor posisi titik dalam koordinat kartesian

dengan jarak titik

222zyxr

dan vektor arah

x

y

z

r

r

(x,y,z)1r

2r

12 rrr

x

y

z

z

r

A

x

y

z

A

r


13/142

Teori Medan I 8

222

zyx

zzyyxx

r

rr

(1.16)

Untuk vektor perpindahan antara titik (x,y,z) dan (x + dx, y + dy, z + dz) dituliskan

sebagai

zdzydyxdxld

(1.17)

Separasi antara dua buah vektor adalah selisih antara dua buah vektor seperti

deskripsikan melalui Gbr. 1.9b. Vektor separasi antara kedua buah vektor dituliskan

sebagai

12 rrr

(1.18)

4. Transformasi Vektor

Dalam meninjau vektor suatu titik terkadang kerangka acuan yang digunakan

bukanlah kerangka acuan yang utama (kerangka acuan inersia atau S) namun

menggunakan kerangka acuan/koordinat bayangan (S) seperti tampak pada Gbr.1.10.

Gbr. 1.10 Vektor posisi titik dalam koordinat kartesian

Oleh karenanya proses tranformasi koordinat akan mempengaruhi vektor baik dari

tinjauan arah maupun panjangnya. Berikut ini diuraikan proses transformasi vektor

tersebut. Jika vektor garis antara titik pusat sumbu dengan titik P diberi nama dengan

vektor R

. Komponen-komponen vektor R

terhadap kerangka acuan S dituliskan

sebagai

cosRRx dan sinRRy (a)

x

x

y

y

P

S

S

0


14/142

Teori Medan I 9

Sedangkan terhadap kerangka acuan S dengan perbedaan sudut

sinsincoscos)cos('cos' RRRRRx (b)

dan

sincoscossin)sin('sin' RRRRRy (c)

Substitusi persamaan (a) ke dalam persamaan (b) dan (c) menghasilkan hubungan

sincos' yxx RRR

cossinsincos' yxxyy RRRRR

Dalam notasi matriks hubungan antara komponen vektor dengan kerangka acuan yang

berbeda tersebut dapat ditampilkan sebagai

y

x

y

x

y

x

RRT

RR

RR

cossinsincos

'' (1.19)

dimana matriks

cossin

sincos dikenal sebagai matriks transformasinya (T). Untuk

koordinat tiga dimensi secara umum matriks transformasinya diungkapkan melalui

elemen-elemen matriks berikut:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTT

TTT

TTT

T (1.20)

Rumusan untuk transformasi vektor dalam bentuk umum dituliskan sebagai

3

1

'j

jiji RTR (1.21)

I.2. KALKULUS DIFERENSIAL

1. Operator del

Operator del merupakan operator vektor dan didefinisikan dalam koordinatkartesian sebagai

zz

yy

xx

(1.22a)

Dalam koordinat silinder dan bola, operator del dirumuskan sebagai berikut


15/142

Teori Medan I 10

zz

1

; dalam koordinat silinder (1.22b)

sin

11

rr

rr

; dalam koordinat bola (1.22c)

2. Gradien, Divergensi dan Curl

Dalam analisis diferensial terdapat adanya vektor operator diferensial yang

meliputi operator gradien, divergensi, dan curl.

Operator gradien suatu fungsi skalar T(x,y,z) atau (grad T atau T

) merupakan

operator vektor yang bekerja pada suatu fungsi skalar. Dalam koordinat kartesian

operator gradien tersusun atas tiga komponen koordinat kartesian berikut

zzTy

yTx

xTT

(1.23)

Gradien suatu fungsi T di atas diinterpretasikan sebagai perubahan nilai dari fungsi T

untuk suatu perubahan posisi (perpindahan). Diferensial fungsi T oleh perubahan

masing-masing komponennya dapat dituliskan sebagai

dzz

Tdy

y

Tdx

x

TdT

(1.24)

Diferensial di atas dapat dituliskan dalam hubungan perkalian dot antara vektor

operator del dengan vektor perpindahan

zdzydyxdxzz

Ty

y

Tx

x

TdT .

rdTgrad

. (1.25)

Sebagai suatu vektor, gradien (grad T) tentunya memiliki nilai dan arah. Berikut ini

dideskripsikan bagaimana gradien potensial V dalam tinjauan sistem koordinat

kartesian, silinder dan bola.

zz

Vy

y

Vx

x

VV

; dalam koordinat kartesian (1.26a)

Dalam koordinat silinder dan bola, operator del dirumuskan sebagai berikut


16/142

Teori Medan I 11

zz

VVVV

1

; dalam koordinat silinder (1.26b)

sin

11

V

r

V

rr

r

VV

; dalam koordinat bola (1.26c)

Divergensi (div) merupakan istilah yang digunakan untuk perkalian skalar

(perkalian dot) operator del dengan suatu vektor. Secara matematis untuk operator del

dalam koordinat katesian dituliskan sebagai

zuyuxuzz

yy

xx

uzyx

..

z

u

y

u

x

uzyx (1.27a)

atau dalam koordinat umum dapat dituliskan sebagai

3

1

.i i

i

x

uu

(1.27b)

Divergensi menyatakan sebaran suatu vektor dari suatu titik yang ditinjau. Hal tersebut

dapat dideskripsikan melalui gambar 1.11 berikut.

(a) Divergensi (b) Curl

Gbr.1.11 Divergensi dan curl

Dalam tinjauan divergensi, dikenal adanya teorema divergensiatau teorema

Gauss yaitu integrasi terhadap volum dari divergensi suatu medan vektor sama

dengan banyaknya aliran neto medan vektor (fluks) yang menembus permukaan

tertutup yang membentuk volum tersebut.

x

z


17/142

Teori Medan I 12

dSAndVAV S

.. (1.28)

dengan n merupakan arah normal permukaan bidang.

Untuk divergensi gradien menghasilkan suatu operator yang dikenal sebagai

operator Laplacian. Berikut ini dipaparkan divergensi dari gradien yang dimaksud

z

zy

yx

xz

zy

yx

x.

2

2

2

2

2

2

zyx

2

(1.29)

2 adalah operator Laplaciandan merupakan operator skalar.

Sedangkan curl merupakan perkalian vektor antara operator del dengan suatu

vektor. Secara matematis curl dituliskan sebagai

zyx uuu

zyx

zyx

ux

z

y

u

x

uy

x

u

z

ux

z

u

y

uxyzxyz

(1.30)

Curl mengungkapkan tentang banyaknya vektor yang melingkari suatu titik yang

ditinjau. Curl tersebut dideskripsikan melalui Gbr.1.11.

Terkait dengan curl, terdapat teorema yang dikenal sebagai teorema Stokes

yaitu integral garis dari suatu medan vektor sepanjang suatu lintasan tertutup sama

dengan integral luasan di atas daerah yang dibatasi oleh lintasan tertutup tersebut.

S C

drAdSAxn ..

(1.31)

3. Integral Kalkulus

Analisis matematis dalam membahas konsep maupun permasalahan dalam

listrik magnet dilakukan menggunakan teknik integrasi. Integrasi dapat dikatakan

sebagai penjumlahan yang terbatas. Suatu fungsi kontinu f yang dibatasi pada rentang


18/142

Teori Medan I 13

a x b. Jika rentang antara titik a dan b dibagi dalam n bagian dengan lebar

n

abx

. Integral dari fungsi fdari titik a ke b didefiniskan sebagai

b

a

n

iin

xxfdxxf1 )'(lim)(

(1.32)

dengan titik 'ix merupakan titik sampel yang berada dalam interval 1ix dan ix , seperti

tampak pada Gbr.1.12.

Gbr.1.12 Grafik suatu fungsi y=f(x)

Ada beberapa jenis integral terkait antara lain adalah integral garis, integral luas

dan integral volum.

Integral garis

Integral garis untuk suatu fungsi vektor yang dibatasi oleh dua buah dapat

dituliskan dalam bentuk

b

a

ldu

. (1.33a)

Sedangkan untuk lintasan yang bersifat tertutup (titik awal dan akhir berada pada titik

yang sama), simbol integralnya dituliskan sebagai

ldu

. (1.33b)

Integral luas

Integral suatu fungsi vektor terhadap suatu luasan bidang dituliskan sebagai

S

Sdu

. (1.34a)

y = f(x)


19/142

Teori Medan I 14

Dalam integral fungsi vektor di atas, hasil integrasi dipengaruhi arah normal luasan

bidang dS. Untuk luasan permukaan yang tertutup

S

Sdu

. (1.34b)

Integral volum

Untuk integral volum dituliskan sebagai

V

dVT (1.35)

dengan T merupakan suatu fungsi skalar dan dV suatu elemen volum yang dapat

dideskripsikan baik dalam koordinat kartesian, sil inder maupun bola.

4. Koordinat Silinder dan Bola

Dalam beberapa ulasan vektor sebelumnya digunakan sistem koordinat

kartesian (x, y, z). Selain koordinat kartesian, pengungkapan posisi suatu titik juga

dapat dideskripsikan dalam koordinat silinder maupun koordinat bola. Dalam koordinat

silinder, posisi suatu titik dituliskan dalam komponen (, , z) sedangkan dalam

komponen koordinat bola (r, , ). Gbr.1.13 menunjukkan posisi titik P baik dalam

tinjauan koordinat kartesian, silinder maupun bola.

(a) Koordinat kartesian (b) Koordinat silinder (c) Koordinat bola

Gbr. 1.13 Posisi titik dalam tinjauan sistem koordinat

Hubungan antara koordinat silinder (, , z) dengan koordinat kartesian (x, y, z)

dituliskan sebagai

x

y

z

x

y

z

P (x,y,z) r

x

y

z

P (r,,)

x

y

z

z

P(,,z)


20/142

Teori Medan I 15

cosx

siny

zz (1.36)

dan sebaliknya

2/122 yx

22

1

22

11 cossintanyx

x

yx

y

z

y (1.37)

dengan transformasi vektor arah

yxyx

sincossincos

(1.38a)

dan sudut bidang (sudut azimut)

yxyx cossin2

sin2

cos

(1.38b)

Dari kedua vektor arah dan pada persamaan (1.) dan (1.), tampak bahwa

keduanya merupakan fungsi dari sudut bidang . Diferensial kedua vektor arah

terhadap variabel , menghasilkan vektor arah yang berbeda berikut ini.

cossinsincos

yxyxd

d

d

d

sincoscossin

yxyx

d

d

d

d (1.39)

Dalam koordinat silinder, diferensial garis atau elemen panjang merupakan

penjumlahan dari diferensial garis untuk masing-masing vektor arah koordinat atau

zdzddld

(1.40)

dan untuk elemen volum suatu sil inder diformulasikan sebagai

dzdddV (1.41)

untuk gradien suatu fungsi dalam koordinat silinder dituliskan sebagai

zz

FFFF

1

(1.42)

Divergensi dan curl dalam koordinat silinder diungkapkan melalui formulasi


21/142

Teori Medan I 16

z

uuuu z

11.

; divergensi (1.43a)

zu

uu

z

u

z

uuux zz

11

; curl

(1.43b)

Laplacian untuk koordinat silinder dituliskan

2

2

2

2

2

2 11

z

FFFF

(1.44)

Transformasi vektor arah dari koordinat kartesian ke dalam koordinat silinder

dapat dituliskan dalam bentuk matriks transformasi berikut:

zy

x

z

1000cossin

0sincos

(1.45)

Selain koordinat kartesian dan silinder, juga terdapat sistem koordinat bola.

Transformasi dari sistem koordinat bola menjadi koordinat kartesian diuraikan melalui

hubungan

cossinrx

sinsinry

cosrz (1.46)

dan sebaliknya

2/1222 zyxr

z

yx 22

1tan

z

y1tan (1.47)

Adapun untuk transformasi vektor arah keduanya dirumuskan sebagai berikut

zyxr cossinsincossin

zyx sinsincoscoscos

yx cossin (1.48)

atau dalam bentuk matriks transformasi berikut


22/142

Teori Medan I 17

z

y

xr

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

(1.49)

Untuk tinjauan diferensial garis, elemen volum, gradien, divergensi, curl serta

Laplacian dalam koordinat bola dituliskan sebagai berikut:

sin drrdrdrld

; diferensial garis

rddrdrdV sin ; elemen volum

sin

11

F

r

F

rr

r

FF

; gradien

u

ru

rur

rru

rsin1sin

sin11. 2

2

; divergensi

1

sin

11sin

sin

1

rr u

urrr

rur

u

rr

uu

rux

;

curl

2

2

222

2

2

2

sin

1sin

sin

11

F

r

F

rr

Fr

rrF ; Laplacian

(1.50)

I.3 FUNGSI DELTA DIRAC

I.3.1 DEFINISI

Fungsi delta dirac didefinisikan sebagai suatu fungsi yang memiliki ketinggian

(puncak) infinit pada nilai x=0 dengan luasan kurva tersebut adalah satu. Secara

matematis fungsi delta diracdituliskan dalam bentuk

00

0)(

x

xx (1.51)

dengan

1)(

dxx


23/142

Teori Medan I 18

(a) (b)

Gbr 1.14 Fungsi delta dirac

Dalam tinjauan koordinat satu dimensi (sumbu x) jika suatu fungsi kontinu f(x),

dimana hasil perkalian fungsi tersebut dengan delta dirac bernilai nol pada sembarang

titik kecuali pada posisi x=0 diungkapkan melalui hubungan

)()0()()( xfxxf (1.52)

dengan generalisasi fungsi tersebut pada nilai x=0

)0()()0()()( fdxxfdxxxf

Posisi puncak dalam fungsi delta dirac dapat bergeser ke posisi lainnya

(misalnya pada x=a) seperti tampak pada Gbr.1.14. Hal tersebut dituliskan dalam

bentuk

axuntuk

axuntukax

0)( (1.53)

dengan

1)(

dxax

Untuk fungsi f(x)dxmaka

)()()()( axafaxxf (1.54a)

(x)

x

0

Luas daerahdiarsir =1

(x-a)

x

a

Luas daerahdiarsir =1


24/142

Teori Medan I 19

sehingga untuk integrasi

)()()( afdxaxxf

(1.54b)

Contoh:

a. Buktikan bahwa )())(( xxdx

dx

b. Bila (x) merupakan fungsi tangga

0,0

0,1)(

xuntuk

xuntukx

buktikan bahwa )(xdx

d

Solusi:

a.

dxxxxf

dx

dxxxfdxx

dx

dxxf )())()()()()(

dxxfdx

dfx )(0

dxxxff )()()0(0

sehingga dapat disimpulkan bahwa )()( xxdx

dx

b.

dxxdx

dfxxfdx

dx

dxf )()()()(

dxxxf

f

fff

dxdx

dff

)()(

)0(

)0()()(

)(0

Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa )(xdx

d


25/142

Teori Medan I 20

I.3.2 FUNGSI DELTA DIRAC TIGA DIMENSI

Dalam ruang tiga dimensi delta dirac diuraikan berdasarkan kooordinat yang

digunakan, seperti halnya dalam koordinat kartesian berikut delta dirac dituliskan

sebagai

)()()()(3 zyxr

(1.55)

yang bernilai nol di semua titik terkecuali pada titik pusatnya (0,0,0). Pada titik ini,

delta dirac memiliki nilai yang sangat besar dan memiliki nilai integrasi volum sebesar

1.

V V

dxdydzzyxdVr 1)()()()(3

(1.56)

dimana V merupakan volume seluruh ruang.

Secara umum, delta dirac dapat diungkapkan melalui persamaan integrasiberikut:

V

afdVarrf )()()( 3

(1.57)

I.4 TEORI MEDAN VEKTOR

Hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan pada umumnya diungkapkan dalam

rumusan medan listrik E (atau E

) dan medan magnetik B (atau B

). Kedua besaran

tersebut merupakan besaran vektor sehingga dalam berbagai formulasi fisika yang

diungkapkan selalu melibatkan derivatif vektor seperti divergensi dan curl. Maxwell

kemudian mengungkapkan hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan tersebut dalam

empat persamaan matematis dalam bentuk hubungan curl maupun divergensi dari

besaran Edan B yang dikenal sebagai persamaan Maxwell. Secara umum hubungan

tersebut dapat dipahami sebagai berikut: Jika divergensi suatu vektor F

(baik itu

medan listrik E (atau E

) dan medan magnetik B (atau B

), menghasilkan suatu produk

fungsi skalar dan curlnya menghasilkan suatu fungsi vektor berikut.

SF

. (1.58)

dan

CFx

(1.59)


26/142

Teori Medan I 21

Oleh karena divergensi dari suatu curl selalu nol,

0. C

(1.60)

maka solusi fungsi-fungsi F

merupakan solusi trivial untuk F

. Selain itu untuk

penyelesaian persamaan diferensialnya diterapkan suatu syarat batas.


27/142

Teori Medan I 22

LISTRIK STATIS

Dalam bab ini diuraikan tentang tinjauan kelistrikan statis yang meliputi medan

listrik, operasi vektor medan listrik, potensial listrik, usaha dan energi yang tersimpan

dalam medan listrik, konduktor. Setelah mengikuti perkuliahan listrik statis ini,

mahasiswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep listrik statis dalam

menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait. Indikator capaian untuk

perkuliahan ini adalah dapat menentukan arah orientasi medan listrik, menghitung

besarnya suatu medan dan besarnya potensial serta menghitung besarnya usaha

dan energi dalam medan listrik statis.

II.1 MEDAN LISTRIK

1. Hukum Coulomb

Adanya dua buah partikel bermuatan dalam suatu ruang akan menimbulkan

interaksi diantara kedua partikel tersebut. Interaksi antara keduanya dideskripsikan

melalui adanya gaya interaksi Coulomb. Besarnya gaya interaksi Coulomb yang

dialami suatu muatan Q (sebagai muatan uji) akibat adanya medan listrik yang

ditimbulkan muatan q yang terpisah sejauh r dirumuskan melalui persamaan

rr

qQF

4

12

(2.1)

dengan merupakan permitivitas listrik medium dimana = r0; r permitivitas

relatif dan 0permitivitas listrik vakum 8,854 x 10-12N-1m-2C2, rmerupakan vektor

arah dimanar

rr

dimana r

adalah vektor separasi antara muatan q dengan

muatan Q sedangkan r merupakan panjang vektor r

seperti tampak pada Gbr. 2.1.

Bab

2


28/142

Teori Medan I 23

Gbr. 2.1 Vektor separasi antara muatan q dan Q dalam koordinat kartesian

Untuk sekumpulan muatan-muatan q1, q2, q3, qi, .....,qn (Gbr. 2.2), besarnya

gaya interaksi yang dialami oleh muatan Q merupakan jumlah total pasangan

interaksi individual terhadap muatan Q.

Gbr. 2.2 Gaya yang ditimbulkan oleh sebaran muatan q1, q2,....qn

Besarnya gaya total tersebut dituliskan melalui persamaan

ni FFFFFF

...321

2222

222

1

11 .....

4 n

nn

i

ii

r

rq

r

rq

r

rq

r

rqQF

n

i i

ii

r

rqQF

1

2

4

(2.2)

Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan representasi hukum Coulomb yang

menjelaskan tentang adanya gaya interaksi antara dua buah muatan tunggal atau

interaksi antara muatan tunggal dengan muatan terdistribusi.

Q

qi

(titik reference)

ir

r

ir

q1

q2q3

q4FQ

(x2, y2, z2)Q

q

(x1, y1, z1)

(0, 0, 0)

1r

2r

12 rrr


29/142

Teori Medan I 24

Terkait dengan faktor medium dimana terjadinya interaksi, memberikan

pengaruh terhadap besarnya gaya interaksi. Untuk vakum atau udara dengan

permitivitas relatif r = 1, formulasi gaya Coulomb pada persamaan (2.1) dituliskan

kembali dalam bentuk

rr

qQF 4

12

0

(2.3a)

dimana dari definisi vektor arahr

rr

, maka

rr

qQF

304

1

(2.3b)

Contoh :

1. Muatan q, 2q, -4q and -2q (q positif) berada pada keempat titik sudut kubus

dengan panjang sisi 2L, dengan pusat kubus berhimpit pada pusat sistem

koordinat.

(a) Hitunglah besarnya gaya netto pada muatan q akibat dari pengaruh muatan

lain?

(b) Tentukan besarnya gaya yang dialami muatan Q yang ditempatkan pada pusat

sumbu koordinat.

Solusi :

FL

qk

L

qkF

2

1

4

2

)2(

22

2

2

2

12 dimana

FL

qkF

FL

qkF

L

qkF

2

1

4

2

2

1

8

4

2

2

14

2

2

13

2

2

+ +

_ _

2qq

-4q-2q

L

L

F12F13

F14


30/142

Teori Medan I 25

+

qF12

F14F13

F13x

F13y

)707,1(2112221

)293,0(2

1

2

21

2

1

22

1.

2

1

1413

1213

1313

FFFFF

FFFFF

FFF

yy

xx

yx

293,0

707,1arctanarctan

)707,1()293,0(2

1 2222

x

y

yx

F

F

NFFFF

2. Muatan Q terdistribusi secara uniform pada kawat dengan panjang 2L. Carilah

besarnya gaya Coulomb yang dialami muatan q pada jarak a dari sumbu kawat

tersebut.

Solusi :

Vektor arah

2/122 yajyia

r

jyiayady

kq

jyiaya

dqkqdF

2/322

2/322

j

ya

ydyi

ya

adykqdF

2/3222/322

Untuk integral pertama digunakan hubungan

L/4

a

Garis sumbu

q

-L


31/142

Teori Medan I 26

y = a tan dan dy = a sec2d,

sedangan untuk integral kedua a2+ y2= b dan 2ydy = db

sehingga diperoleh

jLaLa

iLaLaa

Lkq

j

LaLa

i

LaLa

La

kq

jya

iya

y

akq

jb

ia

kqF

jdbbida

kq

jb

dbi

a

dakqdF

L

L

L

L

L

L

2/1222/1222/1222/122

2/1

22

2/1

22

2/1

22

2/1

22

4

3

4

52/122

4

3

4

52/122

4

3

4

5

2/3

2/333

22

2516

1

916

14

2516

5

916

3

16

25

1

16

9

1

16

25

4/5

16

9

4/31

11

1sin

1

2

1cos

1

2/

sec

sec

2. Medan Listrik

Besarnya gaya interaksi Coulomb pada persamaan (2.2) dapat dituliskan sebagai

hubungan antara muatan Q dan medan listrik E

EQF

dimana medan listrik E

adalah kuat medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan-

muatan q1, q2,....qn. Dari persamaan di atas medan listrik dapat didefinisikan sebagai

suatu daerah dimana suatu muatan titik masih mengalami suatu gaya interaksi

Coulomb.

Q

FE

(2.4)


32/142

Teori Medan I 27

Besarnya medan pada suatu titik bergantung pada muatan yang menyebabkan

timbulnya medan tersebut dan kuadrat jarak suatu titik terhadap muatan

penyebabnya. Berdasarkan hukum Coulomb dapat dituliskan sebagai

r

r

qE

4

1

20

untuk muatan tunggal (2.5a)

dan

n

i

i

i

in

i

i rr

qEE

12

01

4

1

untuk n jumlah muatan (2.5b)

Sedangkan untuk muatan yang terdistribusi secara kontinyu

rr

dqE

4

12

0

(2.5c)

Semakin jauh posisi titik pengukuran suatu medan yang ditimbulkan oleh suatu

muatan baik itu muatan titik atau sekumpulan muatan, maka besarnya medan

semakin kecil yang sebanding dengan seper kuadrat jarak titik terhadap posisi

muatan sumber atau

2

1

rE .

3. Dist ribus i Muatan

Medan listrik yang ditimbulkan oleh banyak muatan dipengaruhi oleh distribusi

muatan-muatan tersebut. Distribusi muatan digolongkan dalam distribusi muatan

garis, distribusi muatan permukaan, dan distribusi muatan volum.

Distribusi muatan garis

Rapat muatan garis dituliskan dalam rumusdl

dq , dan banyaknya muatan

yang terdistribusi dlq . Besarnya medan listrik pada suatu titik yang ditimbulkan

oleh muatan yang terdistribusi dalam suatu garis seperti tampak pada Gbr.2.3

berdasarkan persamaan (2.5c) adalah

rr

dl

rr

dq

E

4

1

4

1

20

20

dldq

r

P

dE


33/142

Teori Medan I 28

Gbr. 2.3 Diferensial medan akibat distribusi muatan

garis

Distribusi muatan permukaan

Untuk rapat muatan permukaan dituliskan dalam rumusdA

dq , dan

banyaknya muatan yang terdistribusi dAq . Medan listrik pada suatu titik yang

ditimbulkan oleh muatan-muatan yang terdistribusi pada permukaan ditentukan

dengan rumus

rrdA

rr

dqE

A

4

1

4

1

20

20


permukaan

Distribusi muatan volum

Dalam distribusi muatan volum, besarnya rapat muatan volum dituliskan

dalam rumus dV

dq

, dan banyaknya muatan yang terdistribusi adalah dVq .Medan listrik pada suatu titik yang ditimbulkan oleh muatan-muatan yang terdistribusi

pada suatu volum tertentu ditentukan dengan rumus

rr

dV

rr

dqE

V

4

1

4

1

20

20


volum

dAdq

r

P

dE

A

dVdq

r

P

dE


34/142

Teori Medan I 29

Contoh:

Tentukan besarnya medan listrik pada titik P yang ditimbulkan oleh cakram dengan

radius R seperti tampak pada gambar. Cakram bermuatan total Q yang tersebar

secara uniform pada permukaannya.

Berapakah besarnya medan jika R >> x dan

sebaliknya untuk x >> R.

Solusi:

xa

x

a

dAkx

a

dAkdE

x cos

2/122

dengan dA = 2rdr dan a =(r2+ x2)1/2

x

xR

xk

xxRx

xk

xxr

xk

xbxk

xb

dbxk

xxr

rdrxkE

xa

rdrxkdE

Rr

r

Rr

r

x

x

12

112

1

2

).2.(2

2

2

2

2

2

2/122

2/122

0

2/122

0

2/1

2/3

2/322

2/3

r

Rx

a

PdEx

dqdA

Rx P


35/142

Teori Medan I 30

II.2 DIVERGENSI dan CURL MEDAN LISTRIK

1. Garis-garis Medan dan Fluks Medan Listr ik

Medan listrik pada suatu daerah dimana terdapat muatan-muatan sumber

dideskripsikan melalui garis-garis medan yang dihasilkan oleh suatu muatan sumber.

Medan yang ditimbulkan oleh suatu muatan tunggal positif digambarkan dengan

arah garis medan (arah panah) keluar atau menjauhi muatan titik ke segala arah,

sedangkan untuk arah medan yang ditimbulkan oleh muatan titik negatif

digambarkan dengan arah garis medan menuju muatan titik tersebut. Gambar

berikut mendeskripsikan medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik dan arah

garis-garis medan ketika timbul gaya interaksi antara muatan-muatan titik.

Gbr. 2.6a. Garis-garis medan untuk

muatan titik positif.

Gbr. 2.6b. Garis-garis medan untuk muatan titik

negatif.

Gbr. 2.6c. Garis-garis medan untuk

pasangan muatan titik yang berlawanan

jenis.

Gbr. 2.6d. Garis-garis medan untuk pasangan

muatan titik yang sejenis.


36/142

Teori Medan I 31

Perbedaan panjang garis pada Gbr. 2.6a. mendeskripsikan besarnya medan,

dimana semakin dekat dengan sumber besarnya medan listriknya semakin besar.

Fluks medan listrik menyatakan tentang banyaknya garis-garis medan listrik

yang melalui suatu luasan bidang dA. Gambar berikut mendeskripsikan hal tersebut.

Gbr. 2.7 Fluks medan listrik

Besarnya fluks medan listrik (E) bergantung pada besarnya medan listrik dalam

suatu daerah yang diungkapkan melalui rumusan

S

E AdE

. (2.6)

Besaran densitas fluks listrik (D

) digunakan untuk menyatakan banyaknya fluks

medan listrik yang melalui suatu permukaan.

ndA

dD

(2.7)

dengan n adalah normal bidang permukaan.

2. Hukum Gauss dan Divergensi Medan Listr ik E

Medan listrik ditimbulkan oleh adanya muatan, dan ketika muatan tersebut

dilingkupi oleh suatu permukaan maka dapat dikatakan bahwa total fluks yang keluar

melalui permukaan sebanding dengan besarnya muatan yang dilingkupi oleh

permukaan tertutup tersebut. Hal tersebut dikenal sebagai hukum Gauss.

E

dA


37/142

Teori Medan I 32

Gbr. 2.8 Fluks medan listrik E yang ditimbulkan oleh muatan tunggal q yang terlingkupi oleh

permukaan dengan luasan A (Hukum Gauss)

Hukum Gauss diaplikasikan untuk menentukan besarnya medan listrik yang

ditimbulkan oleh suatu muatan. Faktor yang perlu dipertimbangkan dalam

menentukan besarnya medan listrik menggunakan hukum Gauss adalah pemilihanpermukaan tertutup Gaussian.

Besarnya medan listrik pada jarak r yang diakibatkan oleh sebuah partikel

bermuatan q yang berada pusat sumbu koordinat, ditentukan melalui persamaan

(2.8a)

0

.

qAdE

A

dengan pemilihan permukaan Gaussian untuk koordinat bola rddrAd sin2

diperoleh

qrddrrr

qAdE

A 0

2

20

1sin.

4

1.

Jika terdapat n muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup Gaussian tersebut,

maka besarnya medan yang dideskripsikan melalui banyaknya fluks yang keluar

melalui permukaan tertutup tersebut adalah jumlah total dari medan individual

n

i

iEE

1

n

i

i

n

i AA

qAdEAdE1 01

1..

atau dapat dituliskan sebagai

total

A

QAdE0

1.

(2.8)

+dA

E

q


38/142

Teori Medan I 33

denganQtotal adalah jumlah muatan total yang terlingkupi oleh permukaan tertutup

dan A adalah luasan tertutup (permukaan Gaussian). Persamaan (2.8) merupakan

ungkapan matematis dari hukum Gauss. Dalam hubungan dengan densitas fluks

medan listrik hukum Gauss dituliskan sebagai

total

A

QAdD

. (2.9)

Integrasi medan listrik terhadap luasan permukaan pada bagian kiri dari persamaan

(2.8) dapat dituliskan dalam bentuk divergensi medan listrik berdasarkan teorema

divergensi berikut

VA

dVEAdE

..

Dan penentuan muatan berdasarkan distribusi muatan volum V

total dVQ , maka

persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali sebagai

VV

dVdVE0

.

Dan diperoleh hubungan diferensial hukum Gauss dalam bentuk

0

.

E

(2.10a)

Atau

D

. (2.10b)

Dari persamaan (2.10a) terungkap bahwa divergensi atau sebaran medan

listrik E

sebanding dengan distribusi muatan yang menimbulkan medan listrik.

Secara fisis dapat dikatakan bahwa terdapat adanya sebaran medan dari suatu

sumber muatan titik ataupun muatan terdistribusi. Tinjauan pada sebuah bola

bermuatan yang tersebar di permukaannya dengan distribusi muatan seperti

tampak pada Gbr. 2.9.


39/142

Teori Medan I 34

Gbr. 2.9 Bola dengan distribusi muatan permukaan

Pada gambar di atas tampak bahwa tidak ada muatan yang terlingkupi oleh

permukaan Gaussian 1 dimana 0. E

sehingga dapat disimpulkan bahwa 0E

,

sedangkan permukaan Gaussian 2 melingkupi muatan yang tersebar dengan

distribusi sehingga disimpulkan bahwa terdapat medan E

yang tersebar secara

radial. Besar medannya ditentukan melalui hubungan AA

dAAdE 0

1.

3. Curl Medan Listr ik E

Jika sebelumnya diungkapkan tentang divergensi dari medan listrik, bagaimana

halnya dengan curl dari medan listrik tersebut. Berikut ini diuraikan curl dari medan

listrik E

, dimana medan listrik ditimbulkan oleh sebuah muatan titik (persamaan

2.5a)

rr

qE

4

12

0

Sebelum menentukan curl medan, terlebih dahulu ditinjau bagaimana integrasi

divergensi medan terhadap lintasan B

A

ldE

. seperti tampak pada Gbr. 2.10. Untuk

muatan titik diferensial lintasan dituliskan dalam koordinat bola

sin drdrrdrld

.

Permukaan Gaussian 1

Permukaan Gaussian 2


40/142

Teori Medan I 35

Gbr. 2.10 Diferensial lintasan

Penyelesaian permasalahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut

B

A

B

A

drdrrdrrr

qldE

sin.

4

1.

20

B

A

dr

r

q2

04

1

BA rr

q 11

4 0

dengan rA dan rB jarak titik dari titik pusat acuan muatan sumber. Untuk lintasan

tertutup dimana jarak radial antara kedua titik terhadap pusat sumbu sama (rA= rB),

hasil integrasi medan terhadap lintasan muatan adalah nol.

0. ldE

(2.11)

Berdasarkan teorema Stokes untuk curl ldEAdExlA

..

diperoleh curl dari medan

listrik

0 Ex

(2.12)

Persamaan (2.12) secara fisis menegaskan tidak adanya curl dari medan listrik yang

ditimbulkan oleh muatan statis yang menimbulkan medan tersebut.

II.3 POTENSIAL LISTRIK

1. Potensial Listr ik

Potensial listrik merupakan karakteristik skalar dari medan listrik. Potensial

listrik pada sembarang titik dalam medan listrik adalah usaha persatuan muatan

untuk memindahkan sebuah muatan positif dari tak terhingga (titik reference) ke titik

tujuan. Secara matematis potensial listrik dirumuskan sebagai

x

y

z

rA

rB

qdl

A

B


41/142

Teori Medan I 36

r

ldErV

.)( (J/C atau volt) (2.13)

dengan r posisi titik potensial listrik. Beda potensial antara dua titik potensial listrik

dapat ditentukan melalui

BA

r

r

BAAB

rr

qldE

rVrVV

A

B

11

4.

)()(

0

Hubungan antara potensial listrik dan

medan listrik dapat ditentukan

berdasarkan teorema gradien,

dimana diungkapkan

A

B

r

r

BA ldVrVrV

.)()( Gbr. 2.11 Lintasan antara antara dua titik

medan.

dan

A

B

r

r

ldE

. A

B

r

r

ldV

.

Sehingga diperoleh hubungan

VE

Dari persamaan di atas diungkapkan bahwa medan listrik merupakan gradien

potensial listrik skalar.

Formulasi potensial listrik untuk muatan titik yang terdistribusi dapat dibangun

dari persamaan potensial listrik untuk muatan titik berikut

r

qrV

04

1)(

(2.14)

Untuk sekumpulan muatan-muatan individual yang terlokalisasi pada suatu daerah,

potensial listrik pada suatu titik tertentu adalah

N

i i

iq

rV104

1)(

r (2.15)

dan untuk muatan yang terdistribusi kontinu seperti tampak pada Gbr.2.12, besarnya

potensial listrik pada titik P dapat ditentukan melalui formulasi berikut


42/142

Teori Medan I 37

dqrVr

1

4

1)(

0 (2.16)

Gbr. 2.12 Potensial dititik P akibat distribusi muatan dq

Untuk muatan dengan distribusi volum, pada titik P diperoleh besarnya potensial

listrik

')(

4

1

)( 0 dV

r

rV r

(2.17)

distribusi ruang

')(

4

1)(

0

dAr

rVr

(2.18)

dan untuk distribusi garis

')(

4

1)(

0

dlr

rVr

(2.19)

Contoh:

1. Tentukan potensial listrik pada titik P, dimana muatan terdistribusi secara uniform

pada cakram dengan densitas .

Solusi :


43/142

Teori Medan I 38

Diferensial muatan untuk model cincin cakram rdrdAdq 2 , potensial

listrik V untuk titik P akibat muatan cincin

xxa

rdrxa

drrxr

V

dqrV

a

a

P

2/122

0

0

2/122

0

022

0

0

)2(4

1

24

)2(14

1

1

4

1)(

r

2. Sebuah batang dengan panjang l memiliki distribusi muatan uniform lQ /

ditempatkan pada garis sumbu harisontal x dari pusat sumbu koordinat. Carilahpotensial pada titik P yang berada pada sumbu vertikal y yang berjarak a, seperti

tampak pada gambar dibawah.

Solusi :

Posisi elemen panjang batang dx diketahui berjarak 22 axr terhadap titik

P dengan muatan dq = dx. Berdasarkan formulasi potensial listrik akibat distribusi

muatan kontinu (persamaan 2.16)

dqrV r14 1)( 0

diperoleh


44/142

Teori Medan I 39

a

alax

a

dx

dxa

rV

l

l

l

2

0

02

0

02

0

02

0

ln4

ln4

4

1

4

1)(

2

2

2

2

lx

x

x

2. Syarat Batas Dalam Lis trik Statis

Ketika suatu medan listrik melewati suatu permukaan dengan distribusi

muatan , terjadi diskontinuitas medan vertikal. Hal tersebut diungkapkan melalui

hukum Gauss dengan pendekatan permukaan Gaussian dengan luasan A.

0

bawahatas EE (2.20)

Gbr. 2.17 Bidang Batas Permukaan dengan Distribusi Muatan

dengan atasE danbawahE menyatakan komponen medan listrik yang tegak lurus

permukaan untuk permukaan atas dan bawah. Sedangkan untuk komponen medan

listrik tangensial dengan permukaan terjadi kontinuitas medan. Hal tersebut

diungkapkan melalui persamaan (2.11)

0. ldE

dimana untuk bagian tepi kotak Gaussian terdapat medan tangensial, dan diperoleh

hubungan

0|||| bawahatas EE atau||||bawahatas EE (2.21)

A

atasE

bawahE

||bawahE

||atasE

d


45/142

Teori Medan I 40

dan untuk potensial listrik terkait dengan persamaan (2.21)

bawahatas VV (2.22)

Dari kedua persamaan (2.20) dan (2.21) dapat disimpulkan menjadi satu

persamaan umum untuk syarat batas bagi medan listrik yang melalui suatu

permukaan dengan distribusi muatan adalah

nEEbawahatas

0

(2.23)

Hubungan antara medan listrik yang dinyatakan dengan gradient potensial

listrik ( VE

), memberikan peluang untuk melakukan perubahan bentuk

persamaan (2.28) dalam bentuk persamaan gradien potensial listrik berikut

nVVbawahatas

0

atau

0

n

V

n

V bawahatas

dengan

nVn

V.

(2.24)

II.4 USAHA dan ENERGI DALAM MEDAN LISTRIK STATIS

Dalam proses perpindahan partikel muatan tentunya melibatkan parameter

energi dan usaha. Gbr 2.13 mendeskripsikan perpindahan partikel bermuatan antara

dua titik.

Gbr. 2.13a Pergerakan muatan Q dari

titik a ke titik b

Gbr. 2.13b Gaya yang bekerja dalam

perpindahan muatan

Q

q1

q2

q3

q4

a

bE

Q

F

'F


46/142

Teori Medan I 41

Besarnya gaya listrik yang ditimbulkan oleh medan listrik E

adalah EQF

sedangkan untuk mengimbangi gaya agar muatan Q dapat diam diperlukan gaya

EQF

' . Besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan dalam

rentang lintasan ld

oleh gaya 'F

adalah

ldEQldFW

.'.

dengan lintasan ld

dapat diuraikan dalam sistem koordinat kartesian

kdzjdyidxld

, untuk koordinat silinder zdzrdrdrld

, atau dalam

koordinat bola sin rddrrdrld

.

Untuk memindahkan muatan dari titik a ke titik b seperti tampak pada Gbr.

2.13 diperlukan usaha sebesar

)()(

.'.

aVbVQ

ldEQldFW

b

a

b

a

(2.25)

Perbedaan potensial listrik antara titik a dan b dikaitkan dengan usaha yang

diberikan dapat dituliskan dalam hubungan berikut

)()( aVbVQ

W (2.26)

Persamaan di atas menjelaskan bahwa beda potensial antara titik a dan b sama

dengan usaha persatuan muatan yang diperlukan untuk memindahkan/ membawa

muatan dari titik a ke titik b.

Untuk sekumpulan muatan, interaksi antara muatan-muatan individu

mempengaruhi besarnya total usaha yang dilakukan. Jika kumpulan muatan tersebut

terdiri atas muatan q1, q2, q3, q4. Usaha totalnya diperoleh melalui hubungan

3,42,41,444,32,31,334,23,21,224,13,12,112 VVVqVVVqVVVqVVVqW

dimana besarnya potensial masing-masing

4,13,12,11 VVVV

4,23,21,22 VVVV

4,32,31,33 VVVV

3,42,41,44 VVVV

dengan 2,1V potensial pada titik 1 akibat muatan 2 pada posisi 2 , diperoleh usaha


47/142

Teori Medan I 42

n

i

iiVq

VqVqVqW

1

332211

2

1

2

1

atau

i

n

i

i

n

ijj ij

jn

i

i rVq

qqW

11 01 2

1

4

1

2

1

r (2.27)

Untuk muatan terdistribusi seperti halnya muatan dengan distribusi volum, usaha

pada persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk

dVW 21

(2.28a)

Untuk muatan terdistribusi luas dan garis

daVW 21 (2.28b)

dan dlVW 21

(2.28c)

Usaha menyatakan energi yang tersimpan dalam medan listrik statis.

Persamaan usaha di atas dapat dituliskan kembali dalam hubungannya dengan

medan listrik melalui hubungan divergensi medan listrik yang diungkapkan dalam

hukum Gauss, dimana E

.0 . Untuk distribusi muatan volum

dVEW

.

2

0

SV

daEVdE

daEVdVEW

.2

.).(2

20

0

ruangSeluruh

dEW 20

2 (2.29)

II.5 KONDUKTOR

1. Konduktor

Konduktor merupakan bahan suatu penghantar arus listrik. Dalam konduktor

elektron-elektron pembawa muatan bebas bergerak. Konduktor ideal memiliki

beberapa karakteristik antara lain:


48/142

Teori Medan I 43

a. Medan listrik di dalam konduktor adalah nol ( 0E

). Hal ini dapat dijelaskan

melalui Gbr. 2.14. Adanya medan eksternal (E

) yang diberikan pada

konduktor menyebabkan pergerakan muatan-muatan sehingga membentuk

dipol muatan pada bagian tepi konduktor.

Gbr. 2.14 Medan induksi dalam konduktor

Dipol ini menyebabkan adanya medan induksi dalam konduktor yang arahnya

berlawanan dengan medan eksternal. Medan induksi yang melawan medan

eksternal menyebabkan resultan medan dalam konduktor menjadi nol.

b. Berdasarkan pada hukum Gauss dimana divergensi medan listrik sebanding

dengan densitas muatan0

.

E

, sehingga dapat dikatakan bahwa densitas

muatan di dalam konduktor adalah nol ( = 0).

c. Muatan-muatan konduktor berada pada permukaan konduktor dan medan

listrik pada permukaan luar konduktor memiliki orientasi tegak lurus terhadap

permukaan.

Gbr. 2.15 Arah medan listrik pada permukaan luar konduktor

+++

+++

+

-------

E

iE

Konduktor E = 0


49/142

Teori Medan I 44

d. Karena medan di dalam konduktor nol maka dapat dikatakan adanya

ekuipotensial. Jika a dan b adalah titik-titik yang berada dalam konduktor, dan

medan di dalam konduktor nol maka berdasarkan hubungan beda potensial

antara dua titik 0.)()( ldEaVbVb

a

sehingga )()( aVbV .

Ketika suatu muatan listrik didekatkan pada sebuah konduktor, maka timbul

adanya muatan induksi. Apabila muatan tersebut bermuatan positip, muatan-muatan

negatif pada konduktor bergerak ke sisi terdekat dengan muatan positif tersebut

sedangkan muatan-muatan positif bergerak menjauhi. Pada Gbr. 2.16 ditampilkan

sebuah muatan yang berada dalam sebuah rongga konduktor.

Gbr. 2.16 Muatan yang dilingkupi oleh konduktor berongga

Adanya muatan positif yang terisolasi tersebut menimbulkan adanya muatan

induksi pada kedua permukaan konduktor. Medan listrik yang terdapat di dalam

konduktor adalah nol, dikarenakan medan yang ditimbulkan oleh muatan positif

terisolasi dihilangkan oleh medan listrik muatan terinduksi. Hal tersebut dapat

jelaskan dimana total muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gaussian adalah nol

0. AdEA

. Besarnya muatan terinduksi pada permukaan bagian dalam konduktor

dapat diperoleh dari total muatan terlingkupi permukaan Gauss Qnetto= q + qinduksi = 0

atau qinduksi = -q. Sedangkan untuk medan listrik diluar konduktor sebanding dengan

total muatan yang terlingkupi (Q = q + q-+ q+= q).

q

E 0

+++

+

+

++ + + + + +

++

+

++

++++++

- - --

-

--

----

--

-----

--

--

- Permukaan Gaussian

Permukaan konduktor

E = 0


50/142

Teori Medan I 45

2. Kapasitor

Kapasitor merupakan suatu komponen elektronika yang banyak dijumpai

diberbagai peralatan listrik. Kapasitor tersusun atas dua buah keping

konduktor/elektroda yang dipisahkan oleh bahan dielektrik seperti halnya mika, kaca,

udara, kertas, dan lain-lain seperti tampak pada Gbr. 2.17.

Gbr. 2.17 Beberapa jenis kapasitor

Dalam kapasitor energi tersimpan dalam medan listrik. Kemampuan kapasitordalam menyimpan energi diungkapkan melalui nilai kapasitansinya, secara

matematis dirumuskan sebagai

V

QC (farad) (2.30)

Dengan Q menyatakan muatan total dan V adalah beda potensial antara kedua

elektroda.

Pada Gbr. 2.18 ditampilkan kapasitor yang tersusun atas dua buah pelat

logam bermuatan + dan yang terdistribusi uniform dan dipisahkan oleh jarak d.Besarnya medan listrik yang timbul pada salah satu pelat bermuatan (dengan

menggunakan hk. Gauss) adalah /20. Oleh karenanya ketika dua buah lempeng

dengan densitas muatan yang sama ditempatkan pada posisi sejajar maka resultan

medan listrik diantara kedua pelat tersebut adalah E = /0.

Gbr. 2.18 Dua keping pelat kapasitor

Beda potensial listrik yang timbul diantara kedua pelat adalah

- - - - - - - - -

Keping konduktor

d

+

-

/0


51/142

Teori Medan I 46

00

0

.

A

dQd

ldEVVV

d

Besarnya kapasitansi kapasitor dapat ditentukan berdasarkan formulasi

d

A

V

QC 0

(2.31)

Dalam proses pengisian kapasitor, usaha yang dilakukan untuk menjauhkan elektron

agar tidak menuju pelat positif . Dalam proses perpindahan muatan sejumlah muatan

q, beda potensial antara dua pelat konduktor adalah q/C dan diperlukan usaha

memindahkan total muatan Q sebesar

22

0

2

1

2

1CV

C

Q

dq

C

qW

Q

(2.32)

Energi yang dapat tersimpan dalam kapasitor adalah sebanding dengan usaha

tersebut di atas.


52/142

Teori Medan I 47

Soal-soal Latihan

1. Tentukan besarnya medan listrik pada titik P yang berada pada jarak z diatas

pusat bidang yang dibentuk kawat segiempat dengan panjang sisi a=4 cm. Kawat

mengandung muatan sebesar 4q yang tersebar uniform.

2. Besarnya medan listrik pada suatu daerah E = rar 4

1 2 , dimana a adalah

konstanta.

(a) Carilah rapat muatan .

(b) Carilah besarnya muatan total yang dilingkupi oleh bola berjari-jari Rdengan poisisi pusat bola berada pada pusat sumbu koordinat.

3. Sebuah bola berongga memiliki rapat muatan a < r < b (dimana a jari-jari bagian

dalam kulit bola, b jari-jari kulit luar bola) sebesar3r

c . Carilah besarnya medan

listrik pada daerah (i) r < a, (ii) a < r < b, (iii) r > b. Plotkan grafik antara IEI

sebagai fungsi dari r.

4.Sebuah bola pejal dengan jari-jari R memiliki muatan total sebesar a yang

tersebar merata pada seluruh bagian bola.a. Tentukan besarnya potensial untuk r < R dan r > R serta gambarkan grafik V(r)

b. Tentukan gradient fungsi potensial V untuk daerah r < R dan r > R. (Gunakan

titik referensinya titik pada tak hingga).

5. Suatu fungsi potensial dituliskan dalam bentuk persamaan

''

4

1)(

0

dVr

rV r

Hitunglah besarnya potensial pada daerah dibagian dalam bola padat dengan

muatan total q yang terdistribusi secara kontinu.

6.Sebuah silinder berongga dengan jari-jari R memiliki muatan total q yang

terdistribusi kontinu. Tentukan besarnya potensial pada permukaan silinder.

7. Sebuah bola logam dengan radius R bermuatan q, diselubungi oleh bola

berongga tipis dengan titik pusat yang sama (jari-jari dalam a dan jari-jari luar b).

Muatan netto dari kulit bola pelindung nol.


53/142

Teori Medan I 48

(a) Carilah besarnya rapat muatan pada

permukaan R, a dan b.

(b) Carilah besarnya potensial listrik pada

pusat bola bagian dalam, dimana titik

referensinya pada titik di tak hingga.

(c) Jika permukaan bagian terluar bolapelindung ditanahkan. Carilah besarnya

potensial listrik pada pusat bola bagian

dalam.

R

ab


54/142

Teori Medan I 49

METODE ANALISIS POTENSIALLISTRIK

Dalam bab ini diuraikan tentang metode-metode penentuan potensial listrik yang

meliputi aplikasi persamaan Laplace, separasi variabel, metode ekspansi multipol dan

metode bayangan. Setelah mengikuti perkuliahan metode analisis potensial listrik,

mahasiswa dapat mengaplikasikan metode-metode penentuan potensial listrik dalam

menyelesaikan permasalahan-permasalahan terkait. Indikator capaian untuk

perkuliahan ini adalah dapat menghitung besarnya potensial listrik menggunakan

persamaan Laplace, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode

separasi variabel, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode

ekspansi multipole, menghitung besarnya potensial listrik menggunakan metode

bayangan.

III.1 PERSAMAAN LAPLACE dan METODE SEPARASI VARIABEL

1. Persamaan Laplace

Dalam bab II sebelumnya diungkapkan bahwa medan listrik merupakan negatif

gradien potensial listrik yang diungkapkan melalui VE

dan divergensi dari medan

listrik0

.

E

serta curl medan listrik 0 Ex

. Melalui substitusi persamaan medan

listrik dengan gradien potensial menghasilkan hubungan berikut:

0

.

V

0

2

V atau

0

2

V (3.1)

Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan Poisson. Untuk suatu daerah dimana

tidak terdapat adanya muatan atau = 0, persamaan Poisson tereduksi menjadi

persamaan Laplaceberikut

02 V (3.2)

Bab

3


55/142

Teori Medan I 50

Baik persamaan Poisson dan persamaan Laplace, keduanya digunakan dalam

menentukan fungsi potensial maupun potensial listrik dengan penerapan syarat-syarat

batas untuk kasus yang dihadapi. Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam berbagai

bentuk, terkait dengan pemilihan basis koordinat di dalam penyelesaian suatu

permasalahan. Berikut ini dituliskan persamaan Laplace untuk masing-masing koordinat

kartesian, silinder dan bola.

Untuk koordinat kartesian:

2 2 22

2 2 20

V V VV

x y z

(3.3a)

koordinat silinder:

2 22

2 2 2

1 10

V V VV r

r r r r z

(3.3b)

dan untuk koordinat bola:

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin 0

sin sin

V VVV r

r r r r r

(3.3c)

Untuk kasus satu dimensi dimana dimisalkan potensial listrik hanya bergantung

pada variable x, persamaan Laplace untuk tiga dimensi mengalami reduksi menjadi

02

22

x

VV

dengan solusi umumnya dalam koordinat kartesian merupakan fungsi linier potensial

listrik V(x) = mx + b.

Untuk koordinat silinder, dimana dimisalkan besarnya potensial listrik bergantung pada

jarak radial (r) atau

012

r

Vr

rrV

Solusi persamaan Laplace di atas dapat diturunkan sebagai berikut:


56/142

Teori Medan I 51

CrArV

rA

rVA

rVr

drr

Vr

r

Vr

rr

ln)(

atau

0

01

(3.4)

dimana A dan C merupakan konstanta yang dapat ditentukan berdasarkan syarat batas

yang diterapkan pada permasalahan yang dihadapi.

Metode yang sama juga digunakan untuk variable-variabel lainnya dalam

koordinat silinder maupun koordinat bola namun dengan memperhatikan hubungan

antar variabel pada persamaan Laplace untuk pemilihan koordinat yang digunakan

dalam penyelesaian masalah.

Contoh :

Dua buah silinder dengan jari-jari yang berbeda ditempatkan dengan posisi

konsentris satu dengan lainnya. Silinder bagian dalam memiliki jari jari a diketahui

memiliki potensial V=0. Silinder bagian luar memiliki jari-jari b dan besarnya potensial

listriknya adalah V, seperti tampak pada Gbr.3.1.

a. Tentukan fungsi potensial dalam daerah di antara kedua lapisan silinder tersebut.b. Tentukan besarnya kuat medan listrik pada daerah yang dimaksud dalam point (a).

Gbr. 3.1 Dua silinder kosentris dengan potensial V dan V=0

z

x

y

V=0

V=V

ab

0


57/142

Teori Medan I 52

Solusi :

Koordinat yang digunakan adalah koordinat silinder

a. Fungsi potensial

Persamaan Laplace dalam koordinat silinder dituliskan

sebagai berikut

2 22

2 2 2

1 10

V V VV r

r r r r z

Karena nilai potensial hanya bergantung pada r

maka,

10 atau 0

V Vr r

r r r r r

melalui integrasi 0V

r drr

diperoleh konstanta C

atauV V C

r Cr r r

sehingga diperoleh fungsi potensial ln + DC

V dr C r r

atau DrCrV ln)(

Untuk menentukan nilai masing-masing konstanta, baik itu konstanta C maupun

D digunakan syarat batas, dimana

Syarat batas 1 : V = 0 pada r = a

diperoleh )ln()ln(0 aCDDaC

dan untuk syarat batas 2 diketahui bahwa V = V pada r = b, dan diperoleh

R1

R2

x

y

z

0

V=V0

V=0


58/142

Teori Medan I 53

a

b

VCaCbCV

DbCV

ln

lnln

ln

Sehingga fungsi potensial listrik pada a< r < b dapat dituliskan sebagai berikut

ar

a

b

VrV lnln

ln

)(

b. Medan listrik

r

a

b

V

r

rarr

a

b

V

zz

VV

rr

r

V

VE

ln

1

lnln

ln

1

Besarnya medan listrik pada a < r < b adalah r

a

b

V

rE

ln

1

2. Metode Separasi Variabel

Suatu fungsi potensial yang bergantung lebih dari satu variabel, misalnya

bergantung pada dua variabel dimana dalam koordinat kartesian V=V(x,y). Persamaan

Laplace untuk fungsi potensial tersebut dapat dituliskan sebagai

02

2

2

2

y

V

x

V (3.5)

Jika fungsi potensial tersebut dapat dituliskan sebagai fungsi V= X(x)Y(y), maka

fungsi potensial tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode separasi

variabel. Metode separasi variabel merupakan suatu cara penyelesaian persamaan


59/142

Teori Medan I 54

Laplace dengan cara menentukan solusi persamaan melalui perkalian dari fungsi-fungsi

yang hanya bergantung pada satu variabel.

A. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat kartesian

Solusi dua dimensi untuk koordinat kartesian

Penggunaan metode separasi variabel untuk menentukan fungsi potensial dapat

diikuti melalui penyelesaian permasalahan berikut. Pada Gbr. 3.2 diilustrasikan dua

buah pelat logam ditanahkan yang terletak pada bidang XZ yang dibatasi oleh suatu

kondisi dimana pada y =0 dan y = a potensial V = 0; V=V0(y)pada x = 0 serta V = 0

pada x = .

Gbr. 3.2 Dua pelat logam sejajar

Untuk menentukan fungsi potensial diantara kedua pelat logam tersebut, fungsi

potensialnya dituliskan sebagai suatu fungsi yang bergantung pada variabel x dan y

terpisah.

)()(),( yYxXyxV (3.6)

Persamaan Laplace untuk variabel dua dimensi (x,y)

02

2

2

22

y

V

x

V

V

02

2

2

2

y

YX

x

XY

011

2

2

2

2

y

Y

Yx

X

X

(3.7)


60/142

Teori Medan I 55

Persamaan di atas secara sederhana dapat dituliskan sebagai

C1+ C2= 0 atau C1= -C2

dengan mendefinisikan XkC 21 dan YkC2

2 diperoleh hubungan

XkxX 2

2

2

dan Yk

yY 22

2

(3.8)

Solusi untuk kedua persamaan di atas merupakan fungsi eksponensial dan fungsi

sinus/cosinus berikut

-kxkx + B e= A exX )( (3.9a)

)cos()sin()( ky+ DkyCyY (3.9b)

Fungsi potensial yang diperoleh dari kedua solusi tersebut adalah

)()(),( yYxXyxV

)cos()sin( ky+ DkyC+ B eA e -kxkx (3.10)

Berdasarkan kondisi atau syarat batas dari permasalahan yang dihadapi, dimana

diketahui bahwa

1. Syarat batas I : potensial V = 0 pada y = 0 dan y = a;

0)cos()sin( ky+ DkyC

disyaratkan bahwa konstanta D = 0, karena cos (ka) 0 ; dan sin(ka) = 0dengan

ank (n=1, 2, 3, )

2. Pada x = besarnya potensial V = 0

0-kxkx + B eA e

disyaratkan bahwa konstanta A = 0 karena Be-kx = 0, sehingga diperoleh solusi

untuk fungsi potensial

)sin(.),( kyCBeyxV kx

)/sin(./ ayneF axn

Dari hasil penerapan syarat batas tersebut diperoleh solusi umum untuk fungsi

potensialnya adalah

1

/)/sin(),(

n

axn

n ayneFyxV

(3.11)

V=V0(y) pada x = 0


61/142

Teori Medan I 56

)()/sin(),0( 01

yVaynFyVn

n

Untuk penentuan konstanta Fn

dyaymyVdyaymaynF

a

n

a

n

0 0

10 )/sin()()/sin()/sin(

nmanm

dyaymayna

,2

,0)/sin()/sin(

0

ganjilnuntukn

V

genapnuntuk

n

Vdyayn

a

V

dyaynyVa

F

a

a

n

,4,0

cos12

)/sin(2

)/sin()(2

00

0

0

00

(3.12)

Fungsi potensial yang diperoleh adalah

,...3,1

/0

1

/

)/sin(14

)/sin(),(

n

axn

n

axn

n

aynen

V

ayneFyxV

(3.13)

(a) (b)

Gbr. 3.3 Grafik solusi fungsi potensial

,...3,1

/0 )/sin(14

),(n

axn aynen

VyxV

Pada Gbr. 3.3b tampak grafik (a) untuk fungsi potensial (V/V0) dengan n = 1,

grafik (b) untuk fungsi potensial (V/V0) sampai dengan n = 3, (c) penjumlahan untuk 10

suku pertama, (d) untuk 100 suku pertama.


62/142

Teori Medan I 57

Solusi tiga dimensi untuk koordinat kartesian

Seperti halnya solusi persamaan dua dimensi, dalam penyelesaian kasus

persamaan Laplace untuk fungsi potensial yang bergantung pada tiga variabel

),,( zyxVV . Solusi separasi variabel fungsi potensialnya dituliskan sebagai

)()()(),,( zZyYxXzyxV dan persamaan Laplacenya dapat dituliskan sebagai

0111

2

2

2

2

2

2

dz

Zd

Zy

Y

Yx

X

X

(3.14)

Dengan tiga konstanta separasi

2

2

32

2

22

2

1

1;

1;

1

dz

Zd

ZC

y

Y

YC

x

X

XC

(3.15)

Penyelesaian selanjutnya tidak jauh berbeda dengan kasus dua dimensi, dimana

diperoleh tiga solusi umum awal untuk X(x), Y(y), Z(z). Penerapan syarat batas pada

kasus yang dihadapi untuk solusi awal tersebut pada akhirnya akan menghasilkan

suatu fungsi potensial untuk 3 variabel ),,( zyxV .

B. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat silinder

Dalam koordinat silinder, solusi fungsi potensial dituliskan sebagai

)()()( zZrRV dengan persamaan Laplace

02

2

2

2

2

z

ZR

r

RZ

r

Rr

rr

Z

(3.16)

dengan membagi persamaan tersebut dengan ZR diperoleh

2

2

2

2

22

2 1111

z

Z

Zrr

R

Rrr

R

R

(3.17)

dan dimisalkan untuk parameter

2

2

21

bz

Z

Z

(3.18)

Solusi untuk variabel Z adalah

-bzbz + B e= A ezZ )( (3.19)


63/142

Teori Medan I 58

Sehingga persamaan (3.17) dapat dituliskan kembali sebagai

2

222

2

22 1

rb

r

R

R

r

r

R

R

r (3.20)

dengan memisalkan

2

2

21a

(3.21)

diperoleh solusi untuk variabel

)sin()cos( kaDkaC (3.22)

Persamaan Laplace dalam fungsi variabel r berdasarkan kedua permisalan parameter

sebelumnya (persamaan (3.18) dan (3.21)).

01

2

22

2

2

Rr

a

br

R

rr

R

(3.23)

Persamaan di atas tidak lain merupakan persamaan dalam bentuk diferensial Bessel,

dengan solusi fungsi untuk variabel R adalah

)()( brNFbrJER aa (3.24)

dengan

0

2

)1(!

2

1)1(

)( m

ma

m

a mam

br

brJ (3.25a)

a

brJbrJabrN aaa

sin

)()()(cos)(

(3.25b)

dimana )(brJa dan )(brNa merupakan fungsi Bessel I dan fungsi Bessel II.

C. Solusi persamaan Laplace untuk koordinat bola

Dalam sistem koordinat bola, persamaan Laplace dituliskan seperti pada

persamaan (3.3c)

0sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

V

r

V

rr

Vr

rr

(3.26)


64/142

Teori Medan I 59

Dalam kasus dimana fungsi potensial bergantung pada variabel r dan atau

),( rVV dengan solusi )()( rRV . Berdasarkan kondisi tersebut, persamaan

Laplace mengalami reduksi

0sinsin

12

V

r

Vr

r

(3.27)

Dengan penerapan solusi fungsi potensial untuk persamaan di atas diperoleh

0sinsin

11 2

r

Rr

rR

(3.28)

Persamaan di atas menunjukkan dimana bagian pertama hanya mengandung variabel

r, sedangkan bagian kedua bergantung pada saja.

)1(1 2

aa

r

Rr

rR

(3.29a)

dan

)1(sinsin

1

aa

(3.29b)

Untuk mendapatkan solusi parameter R, persamaan (3.29a) dituliskan kembali sebagai

Raar

Rr

r)1(2

Dengan solusi umum

)1(

21)( aa rCrCrR (3.30)

Sedangkan untuk persamaan parameter

sin)1(sin aa

(3.31)

dengan solusi untuk dalam bentuk polinomial Legendre sebagai fungsi cosinus

)(cos)( aP (3.32)

dimana aa

a

aa x

dx

d

axP 1

!2

1)( 2 yang lebih dikenal sebagai formulasi Rodrigues. Dari

formulasi Rodrigues, polinomial untuk orde ke 3,2,1,0a adalah 1)(0 xP ; xxP )(1 dan

2/13)( 22 xxP .

Solusi umum persamaan Laplace dengan metode separasi untuk kasus di atas adalah


65/142

Teori Medan I 60

)()( rRV

0

)1(

21 )(cos),(a

a

aa PrCrCrV

(3.33)

III.2 Ekspansi Multipol

1. Fungsi potensial Listrik

Penentuan pontensial listrik yang ditimbulkan oleh sekumpulan muatan yang

terdistribusi dapat dilakukan melalui suatu pendekatan pengembangan multipol. Dalam

pendekatan ini, kumpulan muatan tersebut dapat ditinjau sebagai muatan titik tunggal

(monopol), pasangan muatan (dipol), pasangan dipol (quadrupol), pasangan quadrupol

(oktapol) yang masing-masing memberikan kontribusi terhadap potensial listrik. Untuk

lebih memahami tentang konsep pendekatan ekspansi multipol, berikut ini diuraikan

penentuan fungsi potensial listrik pada titik P (Gbr 3.4) yang berjarak r dari sekumpulan

muatan. Fungsi potensial listriknya dituliskan dalam rumus

')(1

4

1)(

0

dVarV r

(3.34)

dengan kuadrat jarak elemen volum yang diamati terhadap titik P adalah

'cos21cos2

2

2222

r

a

r

arraarr

Gbr. 3.4 Potensial di titik P oleh distribusi muatan

Jarak antara elemen volum dVdengan titik potensial di P dapat tuliskan dalam bentuk

2/11 rr

P

dV

r

a

r


66/142

Teori Medan I 61

dengan

cos2

r

a

r

a

dimana sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh r

dan a

. Jika titik potensial

berada diluar distribusi muatan, maka pendekatan untuk nilai lebih kecil dari 1. Untuk

r

1dilakukan pendekatanderet binomial

...

16

5

8

3

2

11

11

11 322/1 rrr

Substitusi parameter kedalam persamaan di atas, dihasilkan

...

2

)cos3cos5(

2

)1cos3()(cos1

113322

r

a

r

a

r

a

rr

0

)(cos11

n

n

n

Pr

a

r

r (3.35)

Persamaan (3.35) tidak lain merupakan bentuk polinomial Legendre. Dari solusi

persamaan untukr

1, fungsi potensial pada persamaan (3.35 ) dapat dituliskan kembali

dalam bentuk ekspansi multipol berikut:

')(

1

4

1)(

0

dVarV

r

')()(cos1

4

1

01

0

dVaPar

n

n

nn

(3.36)

dimana n=0 untuk monopol; n=1 untuk dipol; n=2 untuk quadrupol, dan seterusnya.

Contoh :

Bola berjari jari R memiliki rapat muatan pembawa sebesar sin),(20 r

Rr

dimana 0 merupakan suatu konstanta. Tentukanlah aproksimasi potensial di suatu titik

pada sumbu z yang letaknya cukup jauh dari bola tersebut ! (pendekatan hanya

menggunakan monopol, dipol dan quadrupol).


67/142

Teori Medan I 62

Solusi : Bola berjari jari a memiliki rapat muatan pembawa sebesar

sin),(2r

Rr o dengano: konstanta

Ekspansi multipol :

')()(cos14

1)(0

10

dVaPar

rV nn

nn

(i). Untuk kontribusi monopol

r

R

r

R

dr

Rd

r

R

dddrr

R

dddrr

r

R

r

dr

dPrr

rV

oo

oo

R

o

o

2

000

2

0

0

2

00

2

2

0

2

0 0

2

00

2

2

0

0

0

0

0

4

12sin

2

1

4

1

2cos12

1

2

1sin

2

1

sin'4

1

'sin'sin

'

1

4

1

1

4

1

cos'1

4

1)(

(ii). Kontribusi dipol

0sin3

1

4

1

sinsin2

'

4

1

cossin''4

1

'sin'cos'sin'

1

4

1

cos'1

4

1

cos'1

4

1)(

0

3

2

3

0

0

22

0

0

2

2

0

2

0 0

2

0

2

0

2

22

0

2

0

1

1

2

0

r

R

dr

r

R

dddrrr

R

dddrrrr

R

r

drr

dPrr

rV

o

R

o

R

o

o


68/142

Teori Medan I 63

(iii). Quadrupol

0

222

0

0

3

3

0

2

0 0

22

0

2

3

0

22

2

23

0

22

3

0

2

2

3

0

1cos3sin21

3'

41

2

1cos3sin''

4

1

'sin'2

1cos3'sin

'

1

4

1

2

1cos3'

1

4

1

cos'1

4

1)(

drrR

dddrrr

R

dddrrrr

R

r

drr

dPrrrV

R

o

R

o

o

untuk integral bagian III dari persamaan potensial di atas

2 2 2 2

0 0

2 2

0

2 4

0 0

3cos 1 sin 3 3sin 1 sin

= 2 3sin sin

= 2sin 3sin

d d

d

d d

200 0

1 12 sin 2 1 cos2 sin 2

2 2d d


69/142

Teori Medan I 64

2

4

0 0

2

0

2

0

2

0

13 sin 3 1 cos 2

2

3 = 1 2cos 2 cos 2

4

3 = 1 2cos 2 1 sin 2

4

3 = 2 2cos 2 sin 2

4

d d

d

d

d

0

0

3 1 = 2 2cos 2 1 cos 4

4 2

3 2 1 1 = 2 sin 2 sin 4

4 2 2 8

3 1 = 2

4 2

9 =

8

d

Jadi hasil integral untuk 2 20

93cos 1 sin

8 8d

Fungsi potensial listrik oleh quadrupol

244

1

82

12

34

1)(

3

4

0

3

3

0

r

R

R

r

RrV

o

o

Fungsi potensial listrik yang diperoleh melalui kontribusi monopol, dipol dan quadrupol

adalah

244

10

4

1)(

3

4

0

2

0

r

R

r

RrV oo

2. Potensial Monopol dan Dipol serta Medan Lis trik Dipol

Seringkali pendekatan fungsi potensial yang digunakan dalam penggunaan

metode ekspansi multipol adalah fungsi potensial monopol, khususnya untuk jarak titik


70/142

Teori Medan I 65

potensial (r) yang cukup besar. Dari persamaan (3.36), bentuk potensial monopol dapat

dituliskan sebagai

')(1

4

1)(

0

dVar

rV monopol

r

Q

04

1

(3.37)

Untuk kasus ekspansi multipol dengan tinjauan khusus pendekatan potensial

dipol, fungsi potensialnya dituliskan sebagai

')(cos1

4

1)( 1

1

2

0

dVaPar

rV dipol

')(cos14 1 20dVaa

r

(3.38)

Variabel cosa dapat dikonversikan dalam bentuk ar

. seperti tampak melalui Gbr.3.3,

sehingga persamaan (3.38) dapat dituliskan kembali dalam bentuk

')(1

4

1)(

2

0

dVaarr

rV dipol

(3.39)

dimana bagian integral merupakan bagian yang terpisah dan tidak bergantung pada r.

Bagian integral ini merupakan tinjauan momen dipol dari distribusi muatan. Oleh karena

itu fungsi potensial dengan tinjauan momen dipol dan rumusan pada persamaan (3.39)

dapat tuliskan secara lebih sederhana menjadi

2

0

.

4

1)(

r

rprV dipol

(3.40)

dengan besarnya momen dipol ')( dVaap

. Momen dipol ditentukan oleh geometri

dari distribusi muatan. Untuk sekumpulan muatan titik momen dipol dinyatakan sebagai

n

i

iiaqp1

(3.41)

Jika persamaan (3.40) mendefinisikan fungsi potensial karena tinjauan momen

dipol suatu distribusi muatan, bagaimana halnya dengan medan yang ditimbulkan oleh

adanya dipol tersebut. Untuk itu marilah kita uraikan kembali persamaan (3.40) terkait

dengan variabel-varibel yang terikat pada persamaan.


71/142

Teori Medan I 66

20

20

cos

4

1.

4

1)(

r

p

r

rprV dipol

Dari persamaan di atas, tampak bahwa fungsi potensial listrik bergantung pada r dan

atau V(r,). Besarnya medan listrik yang tidak lain merupakan negatif gradien fungsi

potensial listrik ( VE

) dalam sistem koordinat bola diungkapkan sebagai berikut

3

0

cos2

4

1

r

p

r

VEr

3

0

sin

4

11

r

pV

rE

0sin

1

V

rE

dan besarnya medan listrik total

sincos24

),(3

0

rr

prEdipol (3.42)

Secara grafis medan listrik tersebut dideskripsikan garis-garis medan listrik seperti

tampak pada gambar berikut

Gbr. 3.5 Garis-garis medan dipol

III.3 Metode Bayangan

Metode banyangan merupakan suatu metode penentuan fungsi potensial

dengan memisalkan terdapatnya muatan titik pasangan yang berlawanan tandanya

dengan muatan titik di atas bidang permukaan dengan potensial nol (seperti tampak


72/142

Teori Medan I 67

pada gambar 3.6b). Untuk lebih memahami tentang metode bayangan, tinjau kasus

berikut, dimana terdapat sebuah muatan q yang berada pada jarak s di atas bidang

permukaan konduktor tak terhingga yang ditanahkan (potensial V=0) pada sumbu z,

seperti ditunjukkan pada Gbr. 3.6a.

(a) (b)

Gbr. 3.6 Metode bayangan

Berapakah potensial listrik di atas permukaan konduktor tersebut?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, hal yang perlu diperhatikan tidak hanya muatan

titik pada s namun juga dipengaruhi oleh muatan-muatan terinduksi pada permukaanatas bidang konduktor.

Kondisi yang disyaratkan untuk permasalahan di atas adalah:

1. Besarnya potensial pada z = 0 adalah nol (V = 0)

2. Untuk titik-titik di atas permukaan konduktor yang cukup jauh dari titik P ( x2+ y2

+ z2>> s2) nilai potensialnya mendekati nol.

Dari kondisi tersebut dapat dikatakan bahwa di antara bidang permukaan dan muatan

titik terdapat suatu fungsi potensial tertentu. Oleh karenanya diperkenalkan metode

bayangan dimana terdapat pasangan muatan titik seperti tampak pada Gbr. 3.4b.

Persamaan fungsi potensial dituliskan sebagai

2222220 )()(4

1),,(

szyx

q

szyx

qzyxV

Dari persamaan di atas tampaknya memenuhi permasalahan di atas, dimana:

x

y

z

q

s

-q

s

x

y

z

q

s

V=0

P


73/142

Teori Medan I 68

1. Pada z=0 diperoleh besarnya potensialnya nol (V=0);

2. Potensial mendekati nol untuk titik pada jarak yang cukup jauh dimana x2+ y

2

+ z2>> s

2

Setelah diketahuinya fungsi potensial, dapat diperoleh informasi tentang jumlah

muatan yang ter

Buku Ajar Listrik Magnet I

Documents